化简成铁兽在哪里

抬头，抬头，还在走神呢，这道题我们考试经常会遇到一个化简题，一定要认真听，你走神一秒钟你就跟不上，信不信 一会我让你讲啊，注意听。你看这道题呢，让我们去化解那根号下八加，根号下四十，加八倍根号五。一看非常复杂，我直接求知肯定求不出来，对不对？所以呢，我们要进行一个化简构造，怎么去构造？注意看啊， 首先解要写上，那这个式子单独求太复杂了，我先简化一下，那我就令 m 等于根号下的八，加上根号下四十，加上八倍根号五。同样 n 呢，会等于根号下的八，减去根号下四十，加上八倍根号五。各位同学注意看，我要他和他有什么用？这里有一个加号，有一个减号，这是非常好用的。那我直接就可以得到 m 方加上 n 方应该等于多少来？殷红说， m 方加 n 方，他的根号都可以去掉了，对不对？八八留下来，一加一减，互相抵消。 m 方加 n 方等于多少？ 等于十六，非常棒！那 m 乘以 n 会等于什么呢？是不是等于根号下的它加它乘以它减它一个数，加一个数，乘以一个数减一个数。课代表告诉我哪个公式？ 平方差公式，对吧？所以你看它就等于八的平方是六十四，减去它的平方，我们可以把外面的根号去掉了，那就是减四十。注意啊，这里是减去八倍根号五，那你看它会等于什么呀？等于根号下的 二十四，减去八倍根号五吧。那各位同学，这里我们还能不能听约方化解，提出来多少？ 提出一个四就等于多少。二倍的根号下六减去根号五，对不对？好，接下来同学们一定要注意看，你这里提出来的是二，这里还有一个啥 啊？还有一个，哎，这里是四，你提出来的是四还是二呀？提出来的是四吧，是不是啊？那你看，这里是六减去二倍根号五。一，看到这个式子，大家一定要注意，我给你们写过来啊，那二倍的根号下面， 六和五它们是相邻的，对吧？我能不能去构造一个完全平方？为什么要构造？如果这里出现一个平方的形式，外面有一个根号，是不是刚好就开出来了？那我怎么去构造呢？你看六，我可以写成一和五。好，那就是一加上五得到六，没问题的。 中间是减去二倍根号五，这里是加，看出来没有 没问题了吧？ a 方加上 b 方减去 r， a、 b， 对 吧？所以 a 是 几一， b 是 根号五二，那这个式子就可以写成二倍的根号下 来，这里是减号，所以这里是多少根号五乘以根号五是负的吧，那也就是一减去根号五的平方，再开方就等于二乘以 一减去根号五，那么也就等于二减去二倍根号五，没有问题吧？好，到这一步都没有问题，对不对？有没有问题？没有吗？确定没有吗？ 注意看，你这里开出来一定是一个什么数，正数，对不对？但是二减二倍根号五是正的还是负的？非常好，所以我应该写成什么？ 二倍根号五减二吧。是不是很多同学都在这个地方出错了？那你看，我们现在有 m 方加上 n 方，又有 m n， 我 就会想到哪一个公式， 完全平方公式。那所以我可以知道 m 加上 n 的 平方会等于 m 方加 n 方是不是等于十六呀？再加上二倍的 m n 吧，是不是二倍的 m n， m n 等于这一串啊？那就等于二倍的二乘以二倍 根号五再减二，是不是这样的？好，等于多少？等于十六，加上四倍根号五，我就写成四倍根号五，然后呢？加上多少？ 十六减去四是十二吧。好了，那这样的话，我们可以得到 m 加 n 就 等于多少？他要开根号，对不对？那怎么开呢？ 四倍根号五加上十二，我们要用完全平方来开。首先根号前面应该是几倍四倍还是二倍二倍，对吧？啊，那你看十二这个数字，我可以先怎么分解 谁和谁，我先把它带进来试一下，你看这里是二倍的根号下，我把一个二拿进来就应该是 十了，对吧？他就是十，没问题吧？那他如果是十的话，我的十肯定是通过两边的数字构造的，所以十二我可以分解成十和二，是吧？那二加上这里十，好，各位同学来看一下， 接下来我们怎么去构造，怎么去分呢？好，到这之后我们是不是又进行一个完全平方就好了？你看这里是二倍根号十，他是根号二的平方，他是根号十的平方，对吧？那这个整体是不是等于根号下面根号二加上 根号十的平方，有没有问题？没有问题，平方根号我们刚好可以开出来，所以它就等于多少？等于根号下的二加上根号十。好，往后不用再化解了，已经是最简形式了，有没有问题？ 但是一定要注意啊，这里 m 加，我们为什么直接取正值啊？因为你看非负的，非负的，所以相加直接取正值就可以了啊，听懂没有？嗯，好，那下课。

一道烂大街的经典题，但是我保证今天讲的思路让你眼前一亮，咱们一起来看一看这道题。在 x 属于零到二分之派时，这个方程有解，求 lamb 的 的取值范围。 拿到这个题的第一步，应该没有什么可以想的，就是参变分离，直接写出 lamb 的 等于 cosine x， 比上一减 cosine x 从这一步开始就产生了分歧，有的同学呢，直接说来，我把这一部分进行横等变换，用我们的降角生密公式化简，最后可以求出 lamb 的 值没问题。 还有一部分同学呢，他可以想到，哎，这个分式我可以把它理解成一个斜率，所以他去构造两个点找斜率，然后去找他的取值范围。这个思路还是有点意思的，大家可以试一试。 今天我要给你们说的这个思路呢，更加的奇特，大家来看，这个式子里面有正弦还有余弦，所以你能联想到什么呢？当然就是它俩的一个基本关系， sin x 方加上 cos sin x 方，它等于一。 那到这之后呢？如果你把它整理代换进去，就变复杂了，那看到这个式子还能想到什么呢？如果你没有什么特别的想法，你看我给你变一步， 把它变成等于一的平方。这个式子拿到了之后，应该可以想到，这东西不就是一个勾股定律吗？所以咱们可以把它看成一个直角三角形，一条边是 sin x， 一条边是 cosine x， 而斜边正好是一。那么在一个三角形当中，当然两边之合是大于第三边的，所以 cosine x 就 大于一减 cosine x， 而本身这个整体是大于零的，因为它给了 x 的 取值范围，所以直接 cosine x 比上一减， cosine x 大 于一，答案就是 c。 所以 对于这道题目来说，用竖形结合的方式来解这个 lamb 的 的取值范围，这个思路大家一定要去总结。

绝对值的化减呢，是初一上的四大难点之一，今天呢，咱们一起来看一道挑战题啊。首先， m 的绝对值等于五， n 的绝对值等于三， m 减 n 的绝对值等于 n 减 m， 则 m 加 n 等于几？根据绝对值的双解性， m 的绝对值等于五，那 m 可以是正五，也可以是负五， n 的绝对值是三呐， n 就可以等于正负三。好，那么 m 减 n 的绝对值等于 n 减 m， 怎么去理解呢？我们说啊， a 减 b 的相反数是 b 减 a， 所以 m 减 n 的绝对值等于 n 减 m 就相当于一个数的绝对值等于他的相反数，绝对值等于他的相反数。我们想到了负数，所以你想 m 减 n 可能是 小于零的，那 m 减 n 能不能是等于零的呢？由于前面咱们可以知道， m 和 n 是不相等的，所以 m 减 n 肯定不等于零。那么这道题 m 的范围就是 m 小于 n， 那这道题的范围呢？就是 m 减 n 小于零，整理一下，也就是 m 小于 n。 好，那接下来咱们在前面啊，去看一下，当 m 等于几的时候，可以满足 m 小于 n 呢？ m 等于五可以吗？你发现 m 等于五，不论 n 等于几， m 是不是都大，所以 m 只能等于负五， 此时 n 等于三，或者 n 等于负三，这两种情况都满足。那么我们来最后算一下， m 加 n 啊，负五加三是负二， 负五加负三是负八，所以 m 加 n 的值是负二或负八，你听明白了吗？

给大家讲一下初二下学期的重点章节和难点章节，这个学期基本上已经是初中的难度天花板，然后呢，重难点的章节我给大家做一个总结啊，就是他会考啥，孩子们要怎么学， 有什么样的题型，认真听清楚了啊，点赞收藏一下这个视频。来，先说一下重点章节啊，二次根式、因果定律、数据分析， s 根式。这个章节呢，其实最核心考什么，就是在考计算化简呢，预算规则这个东西，孩子一定要熟练，但是在这块会有一个地方容易出问题，什么呢？就根号下套根号这种孩子就废了。 来，我告诉大家啊，也不用太担心，这里面核心是什么？就是根号下套根号，一定要把这个根号这个根号给它消掉，对不对？那怎么消呢？其实核心就是配方，但是我们太多孩子配方这关不顾啊，举个例子啊， 三加二倍根号二，这个东西咋配方？两个点，第一点，你要对配方这个公式你要有深刻的理解。第二，这个东西你要有些专题化的训练，你要有些树感。配方这个东西，它显然就是三个东西吧，对吧？就 a 方加 b 方加二 a b， 它一定的是三项，所以为什么大家看这个不会呢？因为它是两项，所以你 一定得给它拆成三项，这是我们孩子解决这个题的方向。然后呢，专题化的训练，有点树感，你会发现这玩意怎么拆成三项呢？对不对？它里面有个二 a b， 有 个 a 方加 b 方，你一定要知道带根号这个东 西是啥，它是二 a b， 所以 它应该是二乘根号二乘一吧，所以导致什么呢？这个根号二和一它一定是一个，是 b， 那 我们就发现 a 方式不就是二， b 方式不就一，所以这样的话我们就把它拆成三项，这个东西需要专题化的训练，你光会这一个是不行的， 所以阿司根氏这一章要给孩子补充公式，我之前给大家讲过，我说初中要给孩子补充很多的公式，教材上没有很多老师也不讲，但是考试会考，来大家评论区回复公式啊，这个东西我给大家整理好了，直接过来要 就可以。这个技巧根号下套，根号这个东西该怎么训练？在刘校长的代数大专题的拓展题，大家可以来听这个，这个说到这，接下来我们来讲，哦对对， 勾股定律这个东西有两东西我觉得你一定要注意，第一就是勾股定律，逆定律啊，学起来很容易，但是很多孩子呢，就是把结果背下来，但是对于孩子来说，怎么样才把它真正的学明白，听清楚啊？ 是勾股定律这个东西的证明过程，在这个勾股定律的证明过程里面，你会学到的那个东西叫做，比如说三垂直模型、斜土模型、轻松出入图模型，就这几个模型，第一可以用来证明勾股定律，第二就这几个模型在你以后做的大量的几何题当中，其实是非常容易， 你可能想不到啊，我用这个东西正他，但是他不是重点，他才是重点，因为在以后很多几何题你都要用到这个，哎，你说你的老师还会在别的地方反复给你讲吗？因为很多老师都不 讲，但是在这好老师上课一定要讲到他，你把这几个东西一定要学会，如果你还不知道这东西是啥，你老师也不给你讲，你来我这听啊，我都有讲，然后强调一下啊，互补定律，日常的小学太简单，没有啥可说的。但是就有一个问题，很多孩子会在坑里啊，会出问题，会丢分，就是折叠问题， 一旦出现了折叠问题，我们很多孩子国五地理就用不上了，为什么呢？找不到条件，不会设未知数，不会表示边长，所以明知道要用国五，但是就是用不了。来这个地要专题化训练。我给大家总结好了折叠问题的各种各样的题型，包括处理方法，带给孩子们 去看看。好数据分析这个我就把它列在这，但是我不打算多讲，为什么呢？它也是个重点，因为这一学期这道题呢，大概是七分左右，为什么不多讲呢？ 大家你把这几个东西教材好好看看就行了，他考的题型不会脱离你的教材的那个范围，你只要教材上基本例题这个知识点，你都会考试，这七分你稳拿满分。 所以我想跟大家说的是，即便你孩子成绩再差，你也别觉得说，哎呀，我东西都学不明白，是不是思维要求太高了？初中的但凡是像这种数据分析啊，数据统计啊这种章节难度都非常低， 只要把教材反复看，你就能拿满分。好，这个不多说了啊，接下来我们重点来讲比较难的两个章节，一个是四边形，一个是 e、 c、 s。 这两个章节我说了啊，难度都会很大。来强调一下啊，函数最重要的就是这个东西叫做性质与图像，对于这部分，给同学提的要求是，你别背，你一背你将来就火了，一定要画图， 你把 e、 c、 s 那 个图啊，给他好好画，结合着那个图形去理解它的性质，它的图像，然后它的解析式之间到底是什么样的关系。比如说，如果你脑子里时刻有不同的 e、 c、 s 的 图像的画法， 不同的一次函数的解析式，它都在你脑子里是图形的呈现，你发现这部分你就掌握了，根本不需要背，反之背的都容易混他妈这是第一个强调，第二强调一次函数这部分的考试啊。压轴题与几何综合函数新定义加动态加最值，有没有发现动态又出现了，初一学什么动点，动角动线段，然后呢？到初二，函数里面 仍然要跟几何放在一块，仍然会出现动态，仍然会考最值。所以你千万别觉得有一个东西学完了，会就不会了，下学期就学别的，不是有些难的东西，会在后 后面学的新章节不断的去给他重到一块。那这部分呢，不多说啊，包括四边形，包括几何变换，包含动点这些东西，这都是这学期的压轴重点啊，大家怎么办呢？来听刘校长的 几何加代数大专题的压轴训练。来听这一部分，每一个压轴题我们都一类一类的给大家做了总结， 就这个题应该拆成几部分，每一部分用什么样的方法，然后这个方法怎么举一反三，有没有可能用多个方法都能把它搞定，来训练孩子思维？这两个章节拉开的分尺，少则十分，多则二十分。如果我们希望孩子能够进重点高中，甚至进重点高中的重点班的话，这十分到二十分一旦被别人落下，那想追都追不上。反之， 如果我们能超越别人十分到二十分，那我们的优势会非常的大。所以希望大家在这学期抓住重点，攻克难题，想把这份彻底突破，自己又搞不定。想跟这学员学的评论区回复大专题啊！

各位同学大家好，今天我们来讲解初中七年级数学上册第一章有理数的第五课相反数的练习题。 在我们做题之前呢，我们首先对基本的知识点做一个梳理。一、相反数的意义。 第一呢，它的代数意义只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别的零的相反数呢，它就是零。第二个呢，相反数的几何意义？在数轴上位于圆点的两侧，并且到圆点距离相等的两个点， 所表示的两个数是互为相反数。第二个呢，相反数的表示一般的一个数 a 的相反数，我们可以把它表示 字为负 a。 第三个，相反数的求法。求一个数的相反数，只要在他的前面填上符号就可以了。第四个，多重符号的画卷规律。 多重符号的化解结果是由符号的个数决定的，与正号的个数是没有关系的。如果符号的个数是基数，那么结果就为负数。如果 负号的个数是偶数，那么结果就为正数。第一题负二分之三的相反数是多少？ 我们根据相反数的定义，负二分之三的相反数呢？就是二分之三，然后后二分之三我们画成小数，那么他就是一点五。所以 第一题呢，我们应该要选 a。 负二分之三的相反数是 a 一点五。 第二题下列说法正确的是哪一个呢？哎，符号不同的两个数互为相反数， 这个说法是错误的。我们举一个例子，五和负二，他们的符号不同，但是呢，他们不是互为相反数，所以 a 是错误的。 b 因为相反数是成对出现的，所以零没有相反数。 根据定义，零的相反数就是零，所以必选项也是错的。 c 数轴上圆点两侧的两点表示的数互为相反数，这个说法呢，也是错误的。数轴上圆点两旁 且到原点的距离相同的点表示的数呢？互为相反数，这个才是正确的说法。所以 c 呢，也是错误的。 d 选项正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， 这个是正确的。所以第二题我们应该要选第第三题。 如图竖轴上 ab 两点所表示的数互为相反数。第一问如果 ab 两点之间的距离为两千零二十，则 a 点所表示的数是多少呢？ 在这个图形当中，我们可以看到，由于 ab 两点之间的距离是为二零二零，而这个圆点呢，是位于 ab 的中间。因为根据地 一从 a 点到圆点和 b 点到圆点，他们的距离是相等的。那么我们用二零二零除以二， 那么就等于一千零一十。我们根据定义，这个 a 点在圆点的左边，所以他的符号呢，应该是一个符号。 所以呢， a 点的值就等于负的一千零一十。所以第一个空呢，我们应该填负的一千零一十。第二问如果数轴上点 a 表示数 a， 点 b 表示数 b， 则二零一九乘以括号 a 加 b 等于多少？这个地方已经说的很清楚。 ab 两点，它是表示互为相反数。既然是互为相反数，那么挣的一千 零一十加上负的一千零一十，那么掐他就等于零。所以二零一九乘以零就等于零。所以第二问 这个代数式的值呢？他就为零。第四题在数轴上标出表示数四负一点五负二的点，以及表示他们的相反数的点。 这个题目呢，我们首先画出竖轴，竖轴呢要有三要素圆点、正方向和单位长度。然后呢，我们首先标出四负、一点五和负二。 首先我们标出四，然后是标出负一点五，然后呢，再标出负二。第二步呢，要求我们写出他们相 反数的点，那么我们首先把他们的相反数写一下。四的相反数呢，就是负四。负一点五的相反数就是一点五。负二的相反数呢，就是二。那么我们再分别标出负四这个点。 然后呢，标出一点五这个点，然后最后标出二这个点。第五题化解 这个题目呢，是多重符号的化解。我们在前面总结过，在多重符号的化解中，他的结果是由符号的个数决定的。 如果符号的个数是基数，那么他的结果就为负数。如果符号的个数为偶数，那么他的结果就为正数。我们来看 第一小题，负的括号负七分之一。我们来看一看，这个地方有两个符号，也就是说他是一个偶数， 所以我们就得到原式等于七分之一。第二小题复的括号正十九有三分之一。在这个地方呢，符号的个数是一个，也就是维基数，那么它的结果 就等于负的十九右三分之一。第第三题，负的括号正，括号负一百。这个地方我们看一看，他一共有两个符号，所以他最后的结果等于一百。 第四小题，他有三个符号，所以他最后的结果呢，是等于负的三有五分之一。

这个呢，是广东省的数学竞赛的根式化简求知题，大树陷阱啊，坑惨了无数同学，要么拿这道题来说，百分之九十的孩子呀，看到根号下面这么一堆大树就发蒙了，要么硬算，要么绕弯路，却没人发现啊。 命题人考察你的是换元思维和巧算的核心能力，别慌，老师，今天啊，就借着这道题给大家讲清楚，如何在大数根号里面换元巧算教给你呢，考场遇到直接拿分。好，我们来看这道题啊。 首先，根号下面这么一长串，那肯定是干嘛不能死算的，需要我们换元操作，很多孩子理解不了换元的本质，我再说一遍啊，什么是换元啊？重复出现就是换元， 那比如说这里两千多、两千多，两千多，两千多，是不是都是两千多呀？我就挑一个数字给它换元。然后呢，假设我拿这个二零二五，拿二零二五，为什么呀？因为它出复出现次数最多，好，我就设它为 a， 那 么由此可知，原式等于什么呀？是根号下面二零二四，什么呀？是 a 减一。好，先不带根号啊， 这个二零二四乘二零二五乘二零二六乘二零二七。好，就等于什么？来看一下啊，等于 a 减一，乘以 a 乘以 a 加一，乘以 a 加二。 各位，这个式子接下来再怎么算啊，你难道把它乘出来啊？注意啊，它一定不是一股脑全乘，我们可以干嘛用重组的思维， 这个呢，在我们英式分解中，有个方法叫做分组分解，里面就是通过一种重组的思维来构造出来的。那怎么重组呢？大家去想想，你看，你是最少的，你是最多的，你是中间的， 我还是希望有东西能重复出现，我们可以试一下啊，比如说来，你看他两相乘是多少，是不就是 a 方加 a 减二， 是吧？然后它俩相乘呢？是 a 方加 a， 各位，你看到了没有？看到了，没有看到，同学，没有，是不是有东西重复出现了，对吧？它乘它是 a 方加 a 减二，它乘它是 a 方加 a， 来，看到了吗？所以说它们中间是不是它又重复出现了， 所以我可以怎么办？哎，我可以继续换元，因为重复出现了呀，对不对？所以说到此为止呢？我写一下啊，我可以再去设这个 a 方加 a 是 t， 或者来分享一个思路，大家有没有学过？我之前在视频里面讲过啊，换元里面有一种方法叫做什么叫做中值换元， 也叫均值换元，一样的叫法，就是我取平均数，你比如说啊， 一个是减二，一个是加零，你告诉我负二和零的平均数是多少，是不是负一啊？设它为 t 的 话，那么原式可以变成什么呢？各位，原式又继续写，等啊，等于什么？这个是减一是 t， 那 么减二是 t 减一，然后呢？这里是加零，它是 t 的 话，那么加零就是 t 加一， 对不对？得到结果就是 t 方减一，平方差呗。好，有了，它是 t 方减一，咱们带回来这根号，你看啊，这一堆式子现在是多少？是不是 t 方减一？你后面还有一个加一号， 所以原式等于根号下什么呢？哎， t 方减一，再加一，然后呢？再减去，注意，咱们设它是 a 吗？再减去我们 a 的 平方。 好，然后这个地方就变成了根号下 t 方，再减去 a 的 平分别急，根号平方等于什么？等于 t 的 绝对值是不等于 t 对 吧？为什么老师等于 t 呢？因为这个数字很明显是干嘛？ 是不是大于等于零的对不对？因为它是 a 方加 a 减一啊， a 是 一个这么大的数是吧？所以说答案是 t 减 a 方来， t 是 多少呢？是不是 a 方加 a 减一 对好，再减去 a 方，所以答案就是 a 减一好， a 减一是多少？ a 是 二零二五，那么 a 减一就是二零二四。各位，因此这个题就是答案化进去的结果，是二零二四， 难吗？这个题我们的收获是一定要通过大根号下面的哎，重复出现进行一个换元，换元过程中呢，需要重组二次换元。好吧，当你掌握了这些朋友们，这么大的根号化简，咱们就再也不怕了，学会了吗？