棱柱棱锥用a4纸怎么做

好，今天我们来学这个一个棱锥的画法啊， 首先还是定出来它的上下左右， 最高点，最低点最左最右啊，这个时候要注意一下呢，就是说左边和右边它这个水平的高低之分啊， let's go， 这样的话它的外形就出来了啊，我们今天这个呢，它是比较简单的，因为只有两个面，一个亮面，一个暗面， 我在旁边呢给你们画一下这个步骤，第一步，上下左右，第二步，在确定好上下左右的时候 找到顶点这个位置在你整体框的这个范围内，它的这个顶点呢，应该是中间啊，靠右的一点点，你一定要学会找参考， 这个线呢，它不是垂直的，它它是有一点倾斜的，所以呢我们要找一下中间偏右一点，它们两个都在中间偏右一点啊，找点连线， 接下来就是去画这个亮暗面， 找他的投影 啊，有的同学说 说我一次性画不成这个样子对不对？画不成这个样子怎么办呢？还是我们要延长我们的辅助线啊，你一开始的时候有同学刚开始学习啊，不要说，先不要管你的作品画的多么的完整啊， 先要学会使用辅助线，我们这些辅助线呢要尽量的延长， 隐隐约约是有一个框架在里面的，我们首先该垂直的要垂直，该平行的要平行，为什么要这样呢？

这个呢比较小啊，找到这个纸的一个中心位置， 一周留个边，好习惯，留个边，这个纸不要画的太满。然后呢，我们中心物体稍微的往左侧挪一点点， 往左挪一点，右边有影子，整个整个这个物体呢，体量感高宽比例，大概看一看它的高宽比例，差不多这么宽就可以了啊，这个比例我还是不习惯去打这个正方长方形啊，大家以这个眼睛观察为主。 好，我们看一下，基本上这个中心线，这个最高点就在正中心，拉下来是一条斜线，略带倾斜度的斜线，拉到最低下，最低点，最高点，最低点连成一条线，左边往这延伸，右边往外延伸，这是一个三棱锥，三棱锥 带着斜度斜过来，我们这个呢，一般来说斜的时候呢，要想办法把另另外一个角给它找出来，另外一个角在地面啊，它是个四棱锥啊，四棱锥，四个棱 隐藏的那个角，那个线我们要给他找出来，然后看一看它成立不成立。整个在画的过程中，这个就有点像初中生，高中生考试的那个几何题了， 其实他并不难，主要是后面那个四棱锥啊，四个棱，背面还有一条棱带过来。画完了之后呢，把背面这个棱画一画，看一看，看一看这个底是不是能符合近大远小，近大远小基本能符合了，外面这个就差不多了，把外面的线给他加重一下。 哎，这个面窄面窄呢，对应的这个线的这个斜度就相对来说就是比较斜面比较宽，对应的这个角度就相对小，这个面窄，对应的脚的斜度就比较大，大概还是这样的一个规则好，找完了之后呢，把投影的位置简单的一控制， 我这个摆放的时候稍微的有点靠墙了，这个投影有点往墙上飞，有时候影子靠墙了，就这样啊，但是投影稍微往墙上飞，平铺了影，平铺了影子吧，形体比较简单，主要是控制一下它的这个立体的那个面， 把这个看不到的这个面可以想象出来，这是它的一个结构性，一般来说我们能看到的线可以重一点，看不见的线让他轻一点，用侧风 中铅笔，三笔，二笔，三笔中铅笔侧方。好，大概行起到这就差不多了。到这呢，这个看录像的朋友可以直接暂停，先跟到这一步，然后我们画下一步， 把这个空看不到的线给它擦掉。擦掉之后，然后呢我们就开始上明暗。好了，差不多了，我们开始找面，面也比较简单，一个迎一个暗面，一共就两个面，两个面的话他第一他第二，非常好分。 今天跟直播画的朋友比较简单，先来一个特别简单的这个呢，我们刚开始可以可以先铺上一个面，带过来，往右边延伸。 好了，这个面找出来了啊，把这个线可以擦一擦，尽量把这个线和面的这个重度弄到一起，好拿出我们的卫生纸，没有不好 擦一擦， 擦一擦之后呢，我们换一些笔，换一个硬一点的笔，到这步啊，铺完明暗擦一擦，到这步，大家可以简单暂停一下，暂停回来之后，我们换一支硬一点的笔，去刻画它的细节，它的细节就是边缘暗面的这个交界线，把交界线画的稍微的紧致一些， 之前抹过的痕迹啊，用线条给它覆盖一下，让它更结实。前半段要画到哪，我们多以平铺还有橡皮去给它分析一下。 这条线稍微的画的轻一点，画的轻一点，看不到了，没关系，看不到了，一会我给大家打一个背景啊，画到今天我给大家说一下背景，背景这个东西正好借着这张画可以简单的讲一下。 好，这个时候我们先换一个硬性的笔啊，稍微的硬一点，把这个字的底从从影子这开始刻画，刻画过来，往这拉勒带过来，影子重一点啊，往这个他的这个发散的方向去打线，这样一个方向， 往这个方向打线，打过来，越靠右越延伸，从这个交界线往右边带。哎，这这种线呢，就是各个角度都可以啊，只要你顺手就是一个中指，就是从底部靠近物体的这个地方，从重的地方往浅的地方打，这是影子的一个画法。对， 好，影子到这差不多了。然后呢，我们找到这个交界线， 交界线找到这个位置啊，加重，我们这个画交界线的方法叫重线渐浅，先从一个重线开始，然后逐渐变浅，因为它是一个实的，它这个重线很好画，把这条线加重，整体加重，加重之后呢，一段一段的给它渐浅，从交界线往右边一点一点一段的渐浅， 一段一段的，你别咔这样去，太难了，一段一段的，然后渐浅的过程中渐渐的越来越轻，渐渐的越来越轻，给它过渡过来就可以了。用一只稍微的硬一点的铅笔， 就是 h b 或者二 b， 二 b 需要尖一点，这个时候用这个铅笔尖一点，画一点点，这个一个就是这个线条，要就是这个整个这个色度要有重到轻的这样一个过程，主要就是画这个由重到轻的一个过程来模拟光影效果，素描画就是铅笔模拟光影效果， 往这渐渐的戴小。这个点呢，这个面我们主要是一个亮面，亮面呢，我们为了让他这个地方有一个高光的感觉，所以我会稍微的戴上一点点非常轻非常轻的灰啊，还有一个呢，我为什么上一点点灰吧？我刚才起稿的时候，我把这个地方画了一个线，这个碳笔的线是是覆盖不掉的，所以我用一个灰面把我刚才起稿的时候这个线给它遮一遮， 非常浅的一个灰，把这个量留出来，就是所有的这些行为都是为了你面能和谐。好了，轻轻的一擦非常小的一个灰，第一可以跟它区分开，第二是可以把我的线压一压，然后把这个高光， 高光的这个边高光的边擦出来。好了，这个其实在明暗上到这步已经可以了，在明暗上就可以了。大家说一下怎么去画这个背景，背景是什么背景？就比如说出现像这种 背景也是亮的，他也是亮的，哎，你看起来好像这个形，不太清楚啊。前景，大面积的前景也是亮的，这个线条你区分不出来了，这个时候我们可以简单的给他上一点点背景。好了，我们这个背景你看他是亮面，背景稍微重一点。 背景吧，就是一个中间色啊，比如说这个颜色色度相当于二比较亮，背景我们画一个三四，这个色度是七八啊，他比较重，背景，在他们之间能把它衬托出来，而且又不影响他的一个重度，这个就是背景，能让这个形体看起来呢，更加的清晰，更加清楚，这个就是背景的作用。 前面那几几个那个示范的过程中我没有画背景，是因为我觉得没必要啊，那几个本身他就很清晰，画不画背景都那么地了，这个可以简单的画一点背景，把它给包起来。 背景呢有两种画法，一种呢我们只画这个水平线以上，就是在这画到这，你看这有一条线啊，这条线叫什么？叫水平线，我们只画水平线以上，我刚才没想讲到这，我忘了。 一种是只画水平线以上，什么意思呢？就是往后面是背景，往前面我们这个桌面给它留亮，这是一种画法。还有一种画法呢，就是把这个整张画都给打满，一般你要如果说画那种长期的素描作品的话，我们是整张画都打满的。 今天这个咱们说个意思，我们就画这个水平线以上就行了啊，能把它稍微的衬托起来，看出这是一个立面啊，这是一个平面，就是这是桌面平面，这是立面背景我们只画这个立面里边啊，这个面 第一遍在我这还是穷铺，简单铺一铺，铺一铺就行了，看它能区分出来啊，就不用画满，能把这个物体给它衬出来就可以了。铺完了之后呢，还是用我们的这个卫生纸， 这个还没完啊。在这个基础上，我们可以简单的把这个，就比如说他是这个亮的地方，从亮的地方稍微的往往外面去延伸一点，这样的话更好的可以把这个亮的地方给它逼出来，因为外面种了吗？外面种了，这个亮的地方看起来就被逼出来了，这个光的效果就更明显了。 这个是左边的背景，背景在左边，左边他是亮面，亮面的背景我们要怎么样？要重啊？要稍微的偏重一点，这样的话可以更好的表现他的亮面。那暗面的背景怎么样？暗面的背景要亮，那就反了，暗面的背景要灰啊，亮面的背景要重一点，暗面的背景要灰一点，你不要影响他，让暗面自己重去吧。 就是亮面的背景略重，带过来，然后到了中间呢，我们就是简单过渡，自然衔接， 我们衬托的部分是亮面，画的重一点，衬托的部分是重面。重面我们画的干什么呢？灰一点，灰一点就是虚一点，哎，就简单一打，别打的太漂亮，打的太漂亮容易被人发现，容易容易抢抢了这个观者的视线，所以我们画的简单一点，就像这样， 包括这个影子跟背景融到一起去，也是一个很好的处理方式。好了，嗯，暗面的背景灰一点，亮面背景重一点，这个就是背景的话。

同学们你们好，欢迎来到木有老师的零基础素描学习课堂，今天我们学习的内容是四轮锥。第一步呢，先去定位置，找出它的上下左右，再找出物体的大致比例，开始起形。 刚开始学习呢，如果把控不准线的走向，可以用笔去量一下。我们把投影的位置给找到，那么这样一个造型就算完成了。接着我们开始上明暗， 首先呢亮暗投影，每个面我都给标记好了，然后亮暗中间呢还有一个明暗交界线，首先找一只软碳去画明暗交界线，注意前实后虚， 然后按照这个手法把整个暗面全部拍完。拍完之后呢，再用力轻轻的从后面往前排去，找到它的一个外形。紧接着画投影，就是前实后虚，最前面的尖尖的地方加重，越到后面呢越来越轻即可。 然后再把暗面的前实后虚关系加强，加完之后的效果呢，大概就是这样的，我们就可以接着画下一步了， 开始画背景，背景的排线先从亮面的背景开始，亮面因为比较亮，所以他的背景颜色我们要反复多加几遍。贴着边缘线往外排。 暗面的背景呢，我们就要和他对着排，如果贴着边排的话，他的一个暗面就会看不清了，所以需要我们注意手法。桌面的排线他就比较浅一点，因为桌面他整个光都照在上面，是个浅色。 全部排完之后，我们就开始揉擦了，去刻画细节，先把所有的暗面和背光面排过的线条都给他揉擦一遍。揉擦的手法呢，和我们一开始排线的手法是一样的，然后方向顺序都是一样的， 揉擦的时候一定要把里面的暗面全部揉擦匀，多擦两遍，再到背景的揉擦，也要格外的仔细，防止把外面的背景擦到我们的亮面里面，待会不好去调整， 擦完的整个效果就是这样了，那我们接下来就去刻画细节，刻画细节呢就是把笔削尖，按照我们一开始排线的方法， 一个绘画顺序再来一遍，把它整个颜色对比加强，然后一些小的细节呢给它画精细一点。 背景揉擦完呢当然也是要排线的，我们不能揉擦完了一点线条都没有，那样的一个画作呢，看着像未完成 背景，再来一组交叉线，让画面的更有排线，更有层次感。暗面的排线一定要轻一点，让浅色和暗面呢它有一个对比，这样物体体积感更强烈。 最后一步就是把我们的亮面浅浅的排一点颜色了，亮面的排线一定要少量多次的去叠加，千万不要一下就化太重， 那样到最后他就不好调整喽。最后再用橡皮刻画出一些物体的质感，那么这副死楞锥你学会了吗？觉得老师说的好的可以关注老师哦，接下来老师会出更多的干货视频，最后再谢谢你们的关注和点赞！

今天我来画一个四棱柱穿搭四棱锥，老规矩先定到他的一个高光比例， 中轴线一定要画画中轴线，他的尖尖是很容易画完的，然后宽度定住， 这个时候呢，我们需要通过中轴线来找到他这一地的斜边和这个位置，这穴位是有多斜，这要靠观察，然后来找到他这个底边的斜度，斜度长度好不好， 然后我们通过这个宽度找到这个底座的厚实关系，这个时候呢，我们再从这个中点这个尖尖把它剪到边缘的位置， 这样子画出来的话呢，它就会比较合理一些，千万不要直接去切它的轮廓边，直接去切你没有找到这些辅助线，中轴线没有给它定出来，直接去切它的边缘的话呢，尖尖是很难画歪的， 他是不规范的。所以为什么一定要画中轴线？就是要把他的尖尖画在他的物体正中间的位置，这样子画出来的话呢，他就不会说出现他的尖尖会往一边歪的感觉， 这条边是被遮挡的，但是呢，我们把他的后视杆结构给画出来，画轻一点，前面这几条边呢是没有遮挡的，是我们能够直接看到的，会给他画深一点， 这个时候呢，他的这个四能锥就好了，再画一个窗台外的四能柱，注意这第一条边跟他这个尖尖的一个距离，一定要注意把握这点，我们主要讲的是一个方法和思路，并不是说啊换个角度就不会了，我们把这个思路跟方法给它梳理清楚，这样子的话呢，观察方法，理解方法，然后去画不同的东西， 镜宽圆窄，镜大圆小，这个透视关系搞清楚， 这个时候我们来判断它的下面这个斜切斜进去这个面的，这个面呢，同样也是有一个透视的面，也是一个径大圆小的面， 所以把它右边往左上方一侧倾斜进去，你看它的右边会宽一点，左边会窄了一点点，它径大圆小的一个关系。透视原理， 那这个时候会出现这一面和这一面它的一个比例关系，那么径长圆短啊，会跟这个关系理论的推前面这一段会长到后面的一段。 其实呢，很多人在学几何的时候可能都画过这些问题，但是大部分人他都是直接靠感觉去画的，他没有去严谨的去观察和比较，没有用一些相对比较科学的方法，只是靠感觉是这么斜，那么斜让他斜多少，是吧？这个就比较有依据的去画斜多少度多长， 这样子的，你就把这个侧面的方形的画好，后面这段你这个边它会短一些，就这条线，这条线的一个斜度，这条边和这条边它会有一个透视， 然后找到这个侧下去的这个面的这个边，这样我们把它里面的透视也画出来，这样才能够更加明确的去检测它到底是不是对的。 我们想象它是一个透明的，我们能看到它这个结构线把它连起来，在穿插的时候呢，它会出现一些交接的边，我们把这个交接的边也给它画出来， 我们在画的时候呢，它多少会有点误差，这是很正常，因为手绘都会存在误差，只是你看的明显不明显，误差多与少的问题，所以的话呢，不用过于纠结一些小小的误差，只要你能够用科学合理的方法去把它画好，画对画合理是关键，而不是去纠结那么分行之间的一个差距， 我们把它影子的这个范围形状也给他找一下，它有体积有空间呢，就会出现这个投影， 这个时候把投影给它铺一遍， 我的习惯是统一过一遍，然后再来找变化。 它这里是一个上身下起的一个远光镜， 我们换的是一个结构和框架，要训练我们这个起形的思路，对空间的理解，比例透视的一个理解与运用，就没有过同一样 我画的结构，所以呢，咱们这个线条可以把它画重一些。如果说画的是光影呢，就不能够勾这个黑色的边，因为它是靠面与面之间的深浅对比来拉开它这个关系，它不是靠线，它是靠轮廓线的深浅来区分的。画结构主要以框架为主，所以的话以结构为主，它就可以把这个主要的一个线轮廓线给它画重些。 然后按道理来说呢，这些线是需要给它擦掉的，就是遮挡住它真实存在的。只是呢，在我们看到一个物体的时候，如果它不透明情况下，这些线它是被这个双面铁给挡住了，那么画结构的话呢，就没有必要去擦它，就把所有我们能够理解到的，想象到的都给它画出来，它真实存在的。

棱锥分为很多种，当棱锥底面为正 n 边形时，就称为正 n 棱锥。 那么棱锥有什么投影特征？怎样分析棱锥的三面投影图如画面中所示，为一正三棱锥。三棱锥底面 abc 是 水平面， 后棱面 s、 a、 c 是 侧垂面，其他两个侧面都是一般面。棱线 s、 b 为侧平线，其他两条棱线为一般线。 分析其三面投影图。 h 投影为三个大小相等三角形外轮廓线是底面三角形 abc 的 时长投影。 v 投影为两个三角形，是三棱锥左右两锥面 s、 a、 b、 s、 b、 c。 的 投影。而外形轮廓线的三角形是后棱面 s、 a、 c。 的 投影。 三角形底边是水平面锥底 a、 b、 c 的 基距投影。 w 投影 为一个三角形，是棱面 s、 a、 b 和 s、 a、 c 重合的相仿型投影。三角形底边是水平面锥底 abc 的 基距投影。三角形左斜边是后棱面 s、 a、 c。 的 基距投影。 三角形右斜边是线段 s、 b 的 时长投影。我们由正三棱锥归纳，正棱锥体投影特征为， 当底面平行于某一投影面时，在该面上投影为实形正多边形及其内部的 n 个共顶点等腰三角形，另两个投影为一个或多个三角形。 正六棱锥如画面所示，其形体前后和左右都是对称的。分析其三面投影图 h 投影外轮廓线是底面六边形的实心投影，由六个共顶点的等腰三角形组成，也是六个棱面的相仿型投影。 v 投影为三个三角形，是前三个棱面与后三个棱面重合投影，前三个棱可见，后三个棱面不可见。 w 投影为两个三角形，是左侧可见的两个棱面与右侧两个不可见棱面的重合投影。形体。前后两个棱面是侧垂面，积聚为 w 投影外轮廓的左右两直线 棱台是棱锥顶部被平行于底面的平面切割后形成的。棱台的两个底面为相互平行的相似平面土形，所有的棱线延长后仍应汇交于一公共顶点，即锥顶。 如画面所示，是上下底面为矩形的正四棱台立体图，正四棱台上下底面为水平面，左右侧面为正垂面，前后侧面为侧垂面。 分析其三面投影图， h 投影为大小两个矩形，对应顶点连线，两个矩形是上下底面的实心投影。连接线是四个侧棱的非时长投影， v 投影、 w 投影都为等腰梯形，是左右棱面前后棱面重合的相仿型投影。等腰梯形上下边线是上下底面的基距投影， 左右边线分别是左右棱面前后棱面的基距投影，或说是棱线的时长投影。 接下来我们看两个求解棱锥表面定点和定线的例题。例一，如图所示， 已知三棱锥表面上点 k 的 v 投影 k 撇儿和点 m 的 h 投影 m， 求它们的另外两投影分析。由已知条件可知，点 k 和点 m 分 别位于三棱锥的棱面 s a、 b 和 s b、 c 上。因这两个棱面都是一般面，没有积聚投影， 所以应利用求平面上点的方法来求解作图。利用过锥顶的辅助线求 k、 m 两点的各投影， 一过 k 撇做 s 撇一撇。二，求出 h 投影一，连接 s 一 以及 s 撇撇一撇撇 三过 k 撇分别向下向右引投影连接线与 s 一 及 s 撇撇一撇撇相交，即得 k 和 k 撇撇， 同理可求得 m 撇儿和 m 撇儿撇儿，其中点 m 的 v 投影不可见。例二，如图所示，已知三棱锥表面上现 k、 l、 l、 m 的 h 投影，求它们的另外两投影 分析。由已知条件可知，直线 k、 l 和 l、 m 分 别位于三棱锥的棱面 s、 a、 b 和 s、 b、 c 上。因这两个棱面都是一般面，没有极具投影， 所以应利用求平面上点的方法来求解点 k、 l 分 别在底边 a、 b 和侧棱 s、 b 线上固，可直接求出。 作图一、过 k 向上引投影连接线，求出 a 撇 b 撇上的 k 撇，再求出 k 撇撇。 二过 l， 通过四十五度作图线，求得 l 撇撇，再过 l 撇撇，向左引投影连接线，求出 l 撇。 三、连接 s， m 为辅助线，与 b、 c 交于点一，求出 s 撇一撇。四、过 m 向上引投影连接线，与 s 撇一撇相交，得 m 撇。 五、根据 m 和 m 撇求得 m 撇撇六连线，并判断可见性。除 l 撇撇、 m 撇撇不可见，其他都可见。 请思考三棱锥的三面投影特征是什么？怎样求解棱锥表面上的点和线？

坐咱们那今天我们要开始立体几何初步。那你对立体几何的认识从幼为人就开始了， 幼儿园你就干这事情是吧？小学也设计，初中也设计，那我们要继续往下来研究，那粒粒皆禾初步主要是研究什么呢？粒粒皆禾是研究现实世界中物体的形状、大小、位置关系的数学分支， 在解决实际问题中也是广泛的应用啊。那小学的上幼儿园的时候，你就开始认识这东西了， 那立体学的图形是各式各样的，千姿百态的，如何认识和把握它们？本章我们将从空间几何体的整体观察入手，研究他们的结构特征，学习他们的表示方法， 了解他们的表面积、体积的计算方式。其次借助于长方体， 从构成立体几何的基本元素点、线面入手，来研究他们的位置关系，特别是平行跟垂直的位置关系。 总之一句话，我们立体几何干什么活？一两个位置关系，两个关系，平行跟垂直。第二个我们要研究三个角， 两条异面，直线所成角，线跟面所成角，面跟面所成角。三个角离三七个距离， 两点间的距离，点到线的距离，点到面的距离。然后两异面直线距，两平行直线距离， 还有线面距离，点面距离啊，七个距离啊，就是要掌握这些东西，两个位置，三个角，七个距离。 那研究方法是什么呢？它是由现实物理、物体抽象而成的， 所以我们在研究的方法下面一直观，要直观的感知，也就是要空间想象能力 啊，要空间想象能力，第二去操作，切乱，第三推理论证。第四，那就去度量计算啊，这是各式立体图形的基本方法， 那么有效的图形就是整体局部整体之间的切换，那第一节是基本立体图形之间的切换，那第一节是基本立体图形， 那么我们研究的空间几何体啊，它是由 哎现实的这些物体抽象出来的，抽象的哪些东西，我们只关心它怎么样旋转 大小啊，只考虑它的形状大小，不考虑其他因素，你什么材质构成啊？你密度多少啊？这些东西是不与上关系的，我们只关心什么形状跟大小啊，形状跟大小。好，那第一个是 多面体跟旋转体的概念，那么这一些图形啊，这十个图形 是我们日常里面经常碰到图形，是吧？你给他归类一下，分类一下，我记得这活就幼儿园大家都干过了，是不是？哎，最近有什么共同之争啊？分类一下 哦，我们从整体上面来问，这个纸杯， 他跟纸箱的区别在哪里？哈哈哈。哦，刚才就没没认真听讲对不对？我们只关心什么 形状大小，你关心材质，你去三里客啊，哎，这个腰骨呢？金字塔呢？茶叶盒呢？ 这前面五个我们可以分升级的呀，我们从整体上面来感知它，有的包起来，它的旁边是什么啊？平的有的是，是不是这样子啊？ 所以从这两个整体上面去认识他们啊，你到底是由这平的面构成的，还是曲的面构成的，是不是 啊？这就是我们要认识的这个概念，那如果 从他们的这个平面去构成这个面的形状，去认识他们，那我们就可以给他分成什么，你看把谁归在一起？纸杯跟谁归在一起？腰鼓，还有还有没有奶粉罐，还有球，还有 因为他是有一些面是什么面，而我们剩下的这些呢？他的面都是什么？平的？都是平的，所以， 所以我们得到的一个特点就是围起来的面的形状，面的形状，如果它是由平面多边形围起来的，那我们把这种结体就叫做多面，多面， 由平面多边形围起来的就叫做多面啊，多面， 那多面体里面这些面，我们就叫做多面体的。什么呀？面， 围成多面体的这个这个多边形，我们就把它叫做面，面是里面的，所以我们写的上 a、 b、 e 加一个。什么前面加一个啊？中文面 abc 啊，面 abc。 再说呢，这个 a、 b、 c、 d 是 它的面吗？哎，这 a、 b、 c、 d 是 不是它的面？是，是围成它的这个面才叫做啊，这个多边形才叫做它的面啊。那线呢？线， 比如我们这条线是 a、 e、 a、 e 是 两个面的公共的直线，那在这里的话，我们把这条线叫做多面里的来棱，多面里的棱也就是两个面的公共边，我们叫做棱，然后点呢？ 这些线是有公共点，那这些公共点就叫做它的什么呀？零点， 零点，那比如说用字母来表示，就零点 a， 那 就直接写 a、 b、 c、 d， 我 们注意点啊，所以点线面啊，点线面，点就它的零点，这线就是它的人啊。多面体的面， 那当然了，我们这里研究的多面体啊，都叫做凸的多面体。你怎么定义凹的？ 秃的话，如果变延展呢？那所有的顶点都在这个面的什么呀？哎，同色在同色的叫做秃的哈， 那凹的就是我这面延展完以后呢？这平面的两侧怎么样都有顶点。那就是啊，不是秃的了， 那这个点的数目，面的数目，人的数目之间有什么关系啊？啊？那个公司叫什么公司啊？ 什么叫做欧拉公司啊？点线面之间的跟个数的关系。什么叫欧拉公司？哎，有兴趣的同学自己跟客户啊，上网去看一下，自己去做一些研究，然后看一下视频去验证欧拉公司啊。 啊，那这不是我们这节的重点啊，那怎么我们要强调的，我这里的面是要围成多边啊，围起来是吧，所以它不是这个三角形， 我们解，我们解三角形是不是三条边构成，如一张三角形，不是我们这边的一个面子的热门要包括他什么啊？这个多边形以及他的内部啊，内部，这个叫做他的面 啊，围起来吧，主要这个几个体是吧？就这几个体，所以是多边形以及它的内部啊，以及它的内部。第二，至少要几个面才能围得起来啊， 哎，四个，那这个四个，所以我们把这个几何体就叫做，哎，四面体，哎，这个四面体也叫做什么来着？哎，四面体也是什么三轮锥啊，三轮锥， 所以至少要有四个面啊，至少要四个面。第三，如果各个面都是正多边形，我们把这种几何体就叫做正的多面体 啊，那正的多面体就是五种，哎，这个多边形可以是什么？三角形行不行？哎，正多面体 我可以数，三角形行不行？四边形行不行？四边形是啥？围起来是什么？正方形？五边形行不行？六边形行不行？ 哎，这六边形能不能围成一个几何体？哎，行不行？能不能用这六边形围成正东面体？ 这六边形这个角度几度？一百二，那我三块给它拼在一起多少度？ 三百六会怎么样？哦，所以，所以能不能用六这六边形去？那七边形能不能编，编起来啊？肯定不行是吧？啊，所以呢？ 所以他就这这几种，你看这样子围成什么呀？这个四面，然后用三角形，我们就可以围成这钻石形状的，这叫什么？这个八面是八个面，正的八面，还有正方形，正十二面的正二十面啊，没有了， 五边形，四边形，三角形，是吧？啊，这是 第二个的话，我们刚才如果旁边是水面的呢？那水面的往往是可以由一个平面图形旋转出来的，所以我们把这一种图形就叫做什么体啊？叫做旋转体， 由一个平面图形绕着一条边旋转得到的图形就叫做旋转体。旋转体 啊，那圆锥呢？圆锥，圆锥可以由什么？什么？三菱直角三角形，是不是然后呢？ 绕着谁直角边，我们给他旋转一下，那是不是这样子的？ 所以他的旁边是曲面，以下是一个圆面，所以这个就叫圆锥。那能不能说绕着一条边旋转出来，如果绕着斜边旋转出来是啥啊？ 那这斜边旋转出来是什么？几个圆锥？两个圆锥，那这种结体我们就叫做组合体啊，有两个圆锥组合起来的嘛？啊，组合起来了，那不就，那就不叫圆锥，是吧？ 所以由他旋转出来的。好，那我们把这条直线就叫做他的走，就叫他走。那我们刚才的纸杯啊，这个足球、篮球啊，这些都是这样子旋转出来的。 好，那接下来我们来看一下这个多面体里面， 那我们最熟悉的就是助追台，助追台，那首先我们来认识一下助，人助， 那我一讲助，大家想到啥东西来，人助是吧？人助，那么这个食物呢？ 就是到寺庙里面，再看到旁边有很多柱子是吧？宫殿里面是不是有很多柱是圆的？那有的稍微的美观他也不一定是圆的。柱也有是什么弯的是吧？比如说右边形呢？右边形啊，柱，所以什么是柱呢？你们 柱给你的感觉应该什么样子的叫柱呢啊？一根一根的是不是？那，那可以是几人的 啊？很多时候是四人的是吧？呃，美观一点，我们可以做成什么啊？六人的这种是吧？但是给你感觉的柱都是什么啊？都是只从你的在那边是吧？不歪一点呢？角度要歪一点，柱来斜一点柱是不也是柱啊？ 所以住我们该怎么来定义呢？住的话都是顶天，然后怎么样立地这种感觉是不是？所以住的话我们就要这样来定义了。 怎么来定义住呢？那就是有两个面要互相怎么样平行？互相平行，那旁边的各个面呢？都是六人柱的形状，那旁边都是什么？都是四边形，是不是都四边形， 并写到相邻的两条公共边，相邻的两个公边是互相平行的啊？相邻的两条公边互相平行，所以三个条件 有两个面要互相平行，那第二个条件都是旁边的都是四边形， 第三个四边形的公共边是互相平行的。那我们把这一种几何体就叫做能柱，就叫做能柱，比如这，这就叫做什么，哎，六能柱，对吧？那能柱怎么来？ 怎么来？命名呢？那我们就叫做楞住，然后是上下笔写到那边来，你上里下里下里上里都可以，那就楞住， a、 b、 c、 d、 e、 f 中间用 啊，这个横线横一下啊，然后呢？ a 撇、 b 撇、 c 撇， a 撇、 f 撇，楞住这啊，楞住这 啊，那这两个面，我们就把它叫做什么啊？叫做底，上底、下底吧。什么叫底？两个互相的平面就叫做底面，所以有两个底 在那旁边的这些，旁边的这些面呢？我们就把它叫做什么面，哎，旁边的这些图形我们就叫做车面。然后呢线车面的公共时间，那就叫做，哎， 公共时间，我们就叫做撤人，撤人，撤人，那撤人是不是也叫啊？是不是人只要公共时间就叫人啊？所以撤人也是人的一种啊？撤人。 那还有呢？车轮的公共点就叫做什么呀？这个人的公共点我们就叫做啊，叫做顶点啊，车面跟底面的公共顶点，我们就叫做顶点啊，这是名称上面我们要认知， 那能住哈有什么特点？他的特点就是这里面应该是什么关系的， 哎，里面是什么关系的？那长得是不是一模一样的？所以他的底是全等的，且互相。 那车面是什么图形啊？哎，车轮又互相平行，然后上下底这边也互相平，所以车面都是什么形？平行是平行，车面都是平行是平行， 那么他们呢？他既然是平四位，所以侧棱是什么关系？平行且相等，侧棱平行且相等啊，这是棱柱的特点啊。底跟侧面还有这样的性质 分类，按照底的多边形来分，那就分成三棱柱、四棱柱、五棱柱，几边形就是几棱柱。 再来，那刚才大家看到第一个是没有歪掉的，是吧？没歪掉的就叫什么轮住，直轮住，什么叫没歪掉？侧轮跟里面怎么样？垂直，那不垂直就叫什么轮住， 斜的轮住啊，所以轮住分成直的轮住，斜的轮住。有个这样的分类，那 还有呢？是正能住，这个正是两个正，一底是什么？底是正的，多边形底是正的，那还有个正呢？ 你歪掉叫不叫正能住？这第二个正的话就是车轮怎么样？车轮要跟底面垂直， 这顶是正多边形的直棱柱，我们把它叫做正棱柱。当然还有一种人寿是很特殊，叫做平行六面顶。那么六面顶几个面？六个面长什么样子会六个面啊？ 啊？是长这样子的，里面是平行四边形的四棱柱，我们经常叫做平行六面， 那人们那这是平行四边形，所以这个平行六面的我们也可以这样认识，你看把平行四面整个面怎么样？沿着同一个方向平移， 得到了这个几何底，就叫做平移六面底，可以用平移的角度去定义它啊，这是特殊的棱柱 啊。首先它的结构特点我们按照侧棱来分，那就是斜的棱柱跟什么啊？直的棱柱，斜的棱柱跟直的棱柱。那斜的四棱柱里面有一种很特殊的，就叫做平行六面体。 那直人柱，这两个里面谁是叫做直人柱？直人柱里面有一种很特殊的，就叫做什么能柱啊？直人柱里面有很特殊的，就叫做正的能柱，对吧？里面是正多边形，正的能柱，那直的是能柱呢？ 直的四棱柱，里面再特殊一些是什么样的啊？长方体是不是？你若是矩形，那是不是长方体的？长方体直的能做，那长方体再特殊一些。什么啊？还是正方对不对？ 那长方形是不是平行六面体啊？能住，只要是平行，四边都是。那你看我长方形底下矩形，矩形是平行四边形，所以这些是平行六面体啊。平行六面体啊，看见没，来辨析一下概念。 有两个面平行，其他跟面都是四边形。几何体叫人柱，一个板栗。哎， 有两个面互相平行，其他面都是四边形，一定是能做吗？可能是什么梯形吗？旁边是梯形，是不是四边形？ 所以这边的话可能是人。什么呀？可能是人台啊，所以这判断应该是来 b 选项， 如果我是人柱，有没有这性质？ 哎。哎，那干嘛不这么简洁来这来定义啊。 有两个面平行，其他面都是平行四边形，围起来他不是人台啊，为什么他不是人台啊？ 哎，我给你放在这里了，看到没？两个面是平行，其他其他维他的面是不是平行四边形？ 这是轮胎啊，这是柱吗？不是，关掉了，这是主问题的。所以为什么要这样子定义哈，这样定义的原因就在哪里？在这里，这是一个典型的法令， 因为我是平行四边形，且写它怎么样。我是四边形，写公共的都要平行，你看你这条会跟这条平行吗？就不会了吧。所以都要平行。这句话就把这种形状给它怎么样排除掉了。 所以不能简单说啊，他是平行四边，底下旁边也是平行四边，那是不对的啊，所以这个是什么典型的错误啊？记记起来是典型错误来。 c 选项有两个车面是矩形的，他是直角柱， 反字对不对？哎，反字对不对？直角柱旁边是矩形吗？ 他们是有两个矩形，就是只能做对吗？来想象一下反面，哎，我长短体是不是只能做的一种？哦，我旁边四个面都有呢， 我能不能构造一个不是只能做的，哎。推一下是不是斜的， 那我使力的这两个车面是不是还是保持着什么什么形状？矩形，但是前后两个面平行的吧。所以有没有两个矩形？有，有两个矩形，侧面有两个矩形，但是不是得住 啊，所以这就不对了。 b 选项，有两个相邻的车面都垂直于地面是吗？ 啊，相邻的两个面如果是底面，那这条棱跟底面什么关系？ 那就会垂直的吧，所以是不是能住？所以啊，面不是有两个面的矩形就好了，应该要两个层面来，相邻的是矩形就行了。相邻的是矩形，那这条棱就跟底面怎么样垂直它就只能住了， 所以概念的辨析哈。 再来看一下哪一些是人肉，这是在幼儿园干过的活，是不是分类一下。 那最好认的是哪一个？三啊，三长方你肯定是忍住了，还有没有五啊， 那四是什么柱不是人的，是圆的是吧，所以我们从整体上面赶是只要是呃曲面的，我们就会先去掉先吗？ 那剩下来的七是什么？哎，七是追六是台啊，可能是台来这呢。这是台，这肯定不是什么啊， 肯定不是柱吧。哎，你怎么判断是不是柱啊？我们先应该要看底是不是有没有底，还有没有底？没有，所以他肯定不是什么没有两个面平行的 啊，这个叫除闷啊。除闷。 哎，那这个是呢，那我们先看有没有两个面平行的？有哪里有？左右是不是 其他的面都是平？四边都是四边形吗？是。然后公共直线平行吗？ 会平行，所以是不是？是，所以这个也是柱，因此我们要看一个斜里是不柱。先要找什么平行的面是吧？先找底面 再来看旁边啊，旁边应该是四边形，且公共直线都不相平行，也就旁边应该是一个平行四边形啊，所以答案应该是一三五。一三五概念。 那为什么要能变形？这样，那你变形完以后，你比如我要你求这个体型，你应该怎么写啊？ 你知道他的助理的那几级底面积层高，你如果弄不出来，那你怎么修？这几级你就没法修了，是吧？所以这是基本功。下面说法不正确的是谁呢？ 哦，就这几种特殊的四棱柱是吧？直四棱柱是长的啊，直的，直的要加什么才是长的底？抵押是什么？ 抵押是什么东西啊？抵押举行，那直四棱柱底一定要举行呢？ 正方形是平行问题，平行问题可以从变化角度来讲就是一个平行四边移过去就是了，是吧？那我正方形是平行四边形，所以它是个平行问题。 来长方形也是平行问题，对吧？因为 底下是矩形，矩形是平行四边形，所以平行过去是不是就是平行的底？平行六面顶是四棱柱 啊？平行是六面顶是四棱柱，对不对啊？有两个面平行，然后旁边这边是不是四棱柱？这个也是什么啊？这也是对的， 所以人住的概念比另一面的概念来。第三，下面说法正确的是谁啊？ 这些元素。哎？面都是四边形吗？那我们就没三人住这概念了是不是？这，这一定是 车面，一定是平行四边对不对？但是反之车面都是平行线，一定能围成围成轮柱。刚才那个歪掉了，是不是？这个很厉害？那轮子车面不全的，不全相等， 车轮都是平行四边的，肯定是相等的，对不对？各条轮胎都相等的，轮柱一定是正方形的， 怎么取法呢？就把帐篷里的来怎么样？推一把歪掉就行了吧。 啊？那第二个追有没有？你想追，那就感觉有哪个感觉？尖尖的？尖尖的，是不是要追来第一个图形？你就想到什么追，你就想到什么来。金字塔，金字塔路追你的节奏。 那这个金字塔是什么东西围起来的？旁边都是什么三角形？然后上面是不是有一个顶点底下呢？ 底下是不是也是一个三角形？所以我们这个就叫做正的三人追，正的三人追，那个一般的追，你应该怎么定义呢？有四人追， 首先剩下一个底，底是一个什么图形啊？底是一个什么图形？多边形是吧？ 对吧？可以是三角形，可以是四边形，也可以是五边形，然后旁边都是什么？都是三角形。这三角形有什么特点 才会有进阶的感觉？共顶点，所以这里有一个面是多边形， 其他各个面都是有公共顶点的三角形，那我们就把它叫做能追，能追这个多边形，我们就把它叫做它的底， 然后呢旁边这三角形我们就叫做侧面，侧面的公共直线就叫做侧能， 那刚才那个公共的顶点就叫做能追的顶点，能追的顶点，那我们记错什么？记错能追啊， 轮锥，然后顶点 a、 b、 c、 d 是 比啊，顶点啊，一旦 a、 b、 c、 d 啊， a、 b、 c、 d， 我 们就叫做轮锥。 那它的特点的话，只有一个面是多边形，其他都是什么三角形？都是三角形，然后剩下的公共顶点就叫做它的顶点。 要分类一下，如果底是三角形呢，那我们就把它叫做三棱锥。底下四边形，我们就叫做四棱锥，四棱锥 特别呢？三棱锥几个面为起来了，所以叫做什么？四面？四面。那如果底面是正的多边形呢？我们能不能叫做正棱锥？ 不能，两个字底是正的多边形，第二个字没有歪掉，没有偏掉，是吧？你怎么体现没有偏掉？ 顶点在里面，摄影在哪里？里面在摄影就是他的什么中心啊，所以不歪啊，不歪。什么叫做不歪啊？ 就是仅仅在里面摄影师他什么。这种人追，我们叫做正人追，正人追特别的有一种很特殊的正人追，多特殊， 所有的人都相等的这种正人追。你看我正人追可以高一点，可以矮一点，是不是都叫正人追啊？那有一种是所有的人才都相等这种正人追，我们就给他一个名称，叫什么正的四面，正的四面 啊，所以正四面里是特殊的正三人追。那么那我们来观察一下，三人追，四人追，五人追，六人追 啊，底呢，对吗？这个三人追跟他们区别在哪里？ 四轮锥底只能四边形是吧？五轮锥是五边形，那这个呢？底谁做底啊？都可以啊，都可以，只有他可以这样子是吧？其他行不行？ 所以我们要认识轮锥，先认识底啊，可见三轮锥的处理上面，我们可以从不同的角度去观察这个三轮锥嘛。 我可以以 b、 c、 d 做底，我也可以 a、 b、 c 做底，对不对？那我的体积用三个底面积乘高，那就计算方式就不一样了，是吧？ 所以从不同的角度过来，可能得到了一个计算结果的这个房价程度就不一样了啊。所以三人追特殊对他说任何一个面都可以作为 c 底面，其他人追行不行？不行，其他的多边形作为底面。 好，各位来看下第四题，把这个三棱柱，把这个底下这个角给它切掉，剩下来部分是啥？ 把棱柱去掉一个。哎，那我们要观察一下围成围成的图形，是不是旁边都是三角形，还有一个是几边形，所以你应该谁做底？ 四边形是不是做底？所以得到的这个结论叫做四人追，四人追， 那对吧，那如果我这边再砍一刀呢？再把这鞋面部分给扔掉呢？中间叫什么？把这个 a e， a b e， c e 去掉，也就 a a e b e c e 去掉 啊，这一切是不是他这个三轮锥？那这三个三轮锥体积有什么关系？因为底是不一样的，底是平，随便可以切一刀啊，是底是一样的高，要不要啊？所以这三个的体积是不一样的， 因此这个人椎的体积是整个人柱体积的三分之一，所以人椎的这个体积是人柱的三分之一的人椎的体积，那就三分之一的人椎体的体面呈高 啊，所以我们经常用科普的办法来研究这个几何形，也就是整体切成局部去研究它。第三，人台， 那什么是人台呢？什么图形是人台？ 要台上是不是上下是两个面？旁边是什么图形？梯形是吧？上旁边是不是都梯形？ 那这样来定义轮胎会不对呢？啊？这有问题的，等一下我们再讲。轮胎要这样来定义的，我们是用锥来定一台， 把一个轮锥用平行底面的一面去切，然后在底面跟洁面之间的部分，我们就把它叫做轮胎啊，就叫做轮胎。 那轮胎的概念，轮胎的概念，这里下面的这一部分我们就叫做上底面，上底，然后这边是下底，旁边是他的侧面，侧面的通过直线就叫车轮啊，这是车轮。 然后如果你用文字来打字母来表示，那就人台上底下都给它标出来，人台， a、 b、 c、 d， a 撇， b 撇， c 撇、 d 撇，但是那么那有的时候我这样子， 你看我这书可以把延长成这样子的，那这是轮胎吗？哎，如果这图形啊，旁边给大家，然后是这个胶在这里，这胶在这里，那这个是轮胎吗？所以衡量事故轮胎的标准是什么？ 就是他还原回去会不会是什么？ 所以判断是不是台，你要还原回去是不是追，或者说我要研究轮胎，我的方法是什么？ 把这个局部补成什么整体，所以他的研究的方法就是去补底啊，补底。所以是不是轮胎呢？轮胎有什么性质呢？晒到底是什么关系的？ 长的数，一模一样的值，大小怎么样不同，就这两个叫做什么来着？相似，所以刚才的特点，上下底面是互相平行写相似的多边形， 其次旁边都是什么梯形，第三侧人要有什么征信延长以后要交一一点，也就是可以把它还原为，所以他才叫做台，否则就不是台的。 那跟前面一样的，如果是三轮车割出来的就叫三轮台，四轮车割出来的就叫做四轮台 啊。大家们，那刚才这些概念我们讲的很多，大家要能找出他们之间关系哈。多面体，长方体，能助，能追，能抬，只能助四面体，平行六面体。给他找一下他们之间的关系。 哪个级的追的多面女？他们都是多面女是吧，都没有当拳击。然后呢 啊，再给他归成助。追什么呀？ 啊？那追的是不是能追？还有没有别的地方是追，没有了追，还有一个是什么台，自己是不是也归类？所以多面李是柱追台，然后剩下来都是什么？ 都是柱，是不是来啊？四面李。四面李是什么？四面李是追 是那些特殊人啊，他是几人追，三人追，所以剩下来的再把这些去找关系是吧？那这些里边谁最特殊啊？全方你就最特殊， 全方你是最特殊，全方你是，然后谁是最一般的人？就应该最大的时候你应该是什么是吧？ 那值人数跟频率的比呢？你们，哎，公共的就是谁啊？是不是长方里现在关系是不可以写出来了 啊？所以他们之间的关系我们可以用文献图来看啊，就这样直观了 啊。再来就这几个，几个几，我们如何用集合来表示呢？ 所有的正式人数构成了这个几何，所有的长方形构成的几何 谁去再说？所以答案应该，哎。 应该是哪两个啊？ cd 是 吧？ cd 区别就在谁啊？ m 跟 a 这两个什么关系？ 正是能住，什么叫正是能住？底是正呢？还有什么正没有歪掉正对吧？这底是正方形的什么值得人住是不是？ 那什么底呢？是不值得住，但是底呢？矩形就行了是不是？那我正能住底，底必须是什么正方形， 所以谁就不能说，哎。所以应该写的是哪个单哎就写的是 d 啊，写的是 d 啊，所以正的四人数是常温里的一种是吧。 哎，那这个是人数是这么低吗？啊不是啊，因为这个高可以。什么高可以跟里面一样一样长吗？啊，所以所以他不是， 他判断一个几何底是不是人柱啊，关键要看底，先看底，底看完看旁边都应该是平行边形。 第三这个侧轮啊，两个相邻的两个平行四边形啊，两个四边形公共边应该都要互相平行啊，不但视频，视频应该公共边都是一样的啊。 来，朋友们，让我们继续来判断一下下列说法不正确的是谁？ a 对 吗？因为他旁边都是什么平行四边形是吧。嗯，四轮锥几个零点？五个来五个零点啊，五个零点四轮锥， 三轮胎轮胎算一下底肯定是的吧，相似的没问题，有些人的三轮胎都相的 什么轮胎就行了，这轮胎是不是就行了？所以啊，这个台柱针啊，这个能顶点 来进行。那立体形，立体图形研究的方法是什么呢？ 正三人座，人侧人长是 a， 里面的边长是 b， 一 只蚂蚁要从 a 出发到 a 一， 路线是到这边最短的路程是， 所以立体写的里面啊，空间问题，我们接下来降维，哦，也就是说降维是吧？把三维变成几维啊，那就要把空间问题转化为， 那就要拿一把剪刀来把它给剪开，然后把这一些都放在同一个平面底下来研究，是吧？ 那请问 a m m a n a 是 折线，折线什么时候会最短呢？ 折线要最短，就把它给拉直的时候最短了，拉直的时候最短了， 那现在这个以 a a 撇多长？哎，三 b 车轮选这条边长 a， 因此最短的长度是 来根号九 a 方啊，九 b 方在谁对吧？ a 方啊， a 方在九 b 方是不是在最短呢？所以研究方法的话，我们就把空间的问题转换成什么啊？平面 空间问题不好研究，我们就转化成平面的问题来研究啊，就是。 好，那我们今天的任务就讲完了，那昨天我们还有这个题目啊，第一位，我们是匀称的是吧？ 来，现在第二位， a、 d 的 长度是二， b c 是 二根号三， c d 也是二根号三，这是二根号七，这里来了一个六十度， 那这个面积的话是什么呢？啊？如果要求面积呢？ 那么我们昨天是不是已经证明了这四条边跟什么里面的两个对角线是不是有这关系？那现在我四条边知道了， 如果四条边知道了，那什么就可以求出来了，两条对角线极数知道了。那请问对角线的极跟这个这个四边的面积有什么关系 啊？我这面积是不是可以用对角线来表示？二分之一的反二分之一，什么 a、 c 乘 b、 d 再乘以它的什么值高高是它什么值？我们这是减值，所以我这四条边知道所以急，知道不知道急叫我求出来带下来搞定了没？ 第二，如果 a、 b、 d 跟 b、 c、 d 面积相等，求证他们取 面积相等，同样 这两个面相，这两个伞有什么关系啊？那面具相对，所以高，如果相的伞伞 啊，高如果相等，所以啊， o 是 a c 的 啊， o 是 不是 a c 的 终点啊？好，那我们接下来是不是再来去看？所以啊，面积相等，我们要看到它是它的终点啊。

不同角度四棱锥结构素描安排往左倒的时候，我们看不到底面的时候，就要观察他的边缘线和水平线倾斜的角度，确定出他的边缘线和两条两这两个点的宽度，就可以画出这个四棱锥。那当我们看到底的时候， 他的边缘线去怎么确定呢？拿水平线观察这个角度的大小，或者找到中轴线，定出一二三四这四个点，根据我们竖着的垂直的线来定出每个点的位置，也可以画出这个四棱锥。还有一个角度就是向右倾斜，方法和向左是一样的，接下来我们画一下。第一步我们确定出四棱锥倾斜的方向， 底部的边缘线清洁的方向，我们可以拿水平线当做参照物，用上面的边缘线清洁的方向，我们可以拿它宽度，这个点到这个点的距离也是四棱锥整体的宽度。中间开始分面，用一条边来把前面的一个三角形分成两个三角形， 确定出它的高度，我们会得到一个等腰三角形，这是它的中轴线，它的底面应该怎么确定呢？我们观察离我们最近的这条线是这样的，倾斜的角度，在这条边上确定出整体的高度，我们把倾斜的角度画出来，得到了这两个点，根据这个点当做参照物，我们把上面的点确定出来，连接 这两个点，也可以观察出这个点。这条边所倾斜的方向有反复的对比，那这条边平行过来要向回收，上面的边平行下来向上收， 这样我们很容易把四棱锥画出来，用中碳画出虚实变化光源从这侧来光，那么这条线就是明暗交接线，我们要把它画的重一些，用软碳画出投影光源。从这方向来光，这条边在桌面上会形成一个影子，有一个倾斜的方向，这条边也会在桌面上形成一个影子，把它标注一下。 当四棱锥向右倒倾斜的时候，我们还是把两边的边缘线确定出来，这条边通过水平线来确定它倾斜的角度，水平线观察这个角度，根据这条边我们画出四棱锥的宽度分面，前面上面的面大一些，那底面的面就会小一些。 在这条在这三条边上，我们来定点上面的来确定出这条边，这条边所倾斜的方向，我们看是往外倾斜一点的， 这样倾斜一点点上面的边呢，我们也可以通过这个点和这个点，还有前面的上面的这个点的距离来确定出它倾斜的方向，可以通过边的角度哎确定出来。这条边向远处平行向下收，这条边向下平行向上收，同样用中碳画出虚实变化，因为这个四棱锥我们看不到底部，所以我离我们近处的线要画重一点， 不同角度。四棱锥我们已经画完了，大家可以多多的练习，在评论区交作业，再见吧！

需这样一拉，就能轻松理解立体几何，每天玩一玩，还能轻松培养空间思维。你看，圆柱体展开是两个圆形和一个长方形，正方体有六个面，十二条棱。这本立体几何机关书，把小学要学的所有立体几何知识都做成了有趣的小机关。孩子动手拉一拉，复杂的数学问题，瞬间就明白。 四棱锥有四个三角形和一个四边形组成，孩子能更直观的理解几何的底层薄利，几何知识掌握的也更牢固。这些看似枯燥难懂的立体几何，可都是小学数学的高频考点，给孩子备一套，让他把数学思维轻松玩进脑子里， 这样一拉，就能轻松理解立体几何，每天玩一玩，还能轻松培养空间思维。你看，圆柱体展开是两个圆形和一个长方形，正方体有六个面，十二条棱。这本立体几何机关书，把小学要学的所有立体几何知识都做成了有趣的小机关。孩子动手拉一拉，复杂的数学问题瞬间就明白。 四棱锥有四个三角形和一个四边形组成，孩子能更直观的理解几何的底层逻辑，几何知识掌握的也更牢固。这些看似枯燥难懂的。

来，我们一块看一看啊，这一节还是稍微简单一点的，它就是告诉你一些公式，认识一些常见的一些图形啊，多面体，旋转体，我们来看一下。 这个比较简单，就不说了啊，这你都会做这个题，哎，什么叫做面？这都会。棱还有顶点，这都知道啊，就不说了。 正四面体，听说过吧？嗯，正八面体，八个面啊，正多多面，多面体。 什么叫做旋转面？旋转体，然后呢？这条直线叫轴绕着一条直线，一个平面绕着一个线转一转啊。嗯，可以过吧，这都可以看成一部分旋转得到的有过吧？嗯，非常简单啊， 看一下这体，这叫棱柱。什么叫棱柱啊？有两个面互相平行，其余各面都是四边形，然后这叫棱柱，看一下课本上应该有这个定义。 嗯，棱柱有两个面互相互相平行，还相等面还能相等 互相平行，然后呢？区一个面都是什么呀？正方形。瞎说，哪有正方形，正方形区一个面都是四边形，这不都是四边形吗？正四边，四边形。欢迎赵三，可以过吗？嗯，然后嘞， 相邻的四边形的公共边都互相平行，也就是这个是互相平行的。相邻两个四边形中的公共边都互相平行，可以过吗？可以，知道什么叫楞柱吗？嗯，什么叫楞柱啊？这种就叫楞柱。嗯， 我们平时学过的正方体，长方体都叫楞柱底，上下两个面叫它底， ok 吗？侧面，这个都叫侧面 侧棱，竖直竖直的棱叫做侧棱顶点。嗯，看一下它有什么特点啊？底面互相平行，全等，没问题吧？嗯，然后侧面都是平行四边形，然后呢？棱柱的侧棱平行且相等简单吧。嗯，这上面都有啊， 看一下这个 平安健康可以把答案打到公屏中啊，看会不会 四 d 是 吗？嗯，哎，值四楞柱是它只能是四楞柱。 什么叫值四楞柱？不正确的值四楞柱是长方体， 什么叫直四棱柱知道吗？来看一下啊。直四棱柱的侧棱是垂直于底面的啊，当底面不是矩形的时候，它就不是长方体。什么叫做直直四棱柱？看还可以是这样的啊，比方说一高一低这样的 ok 吗？ 听明白了吗？比方说你看这是一个四棱柱是不是？嗯，而且是直直四棱柱的意思就是侧棱要垂直底面。嗯，我要这么一切，稍微切去一部分， 他也是一个棱柱，这也切一部分，知道了吗？嗯，但是他就不是长方体了，对不对？他也属于属于棱柱，然后平行六面体。平行六面体知道什么叫什么叫平行六面体吗？就是他六个面。六个面都干嘛？ 都是互相平行的 ok 吗？那他肯定是四条棱对吧，对不对？他有六个面，是不是得有什么呀？侧棱都是四条 ok 吗？嗯，就这个啊，这样。直四棱柱不一定是长方体， 写上直四棱柱不一定是长方体， 可以过吗？嗯 嗯，稳准狠快点，有问题吗？没有，没有过了啊。 确定是三 c 是 吗？嗯，错误的是啊， 到底写什么？你还三 c 有 问题吗？看一下 棱柱的侧面都是平行四边形，这句话是对的啊。棱柱能举个例子吗？棱柱的侧面不是平行四边形，你想着什么了？想着矩形了？ 对啊，矩形也是平行四边形，那三乘以你有什么疑问？底面是正多边形的，一定是正棱柱。正棱柱的意思来看课本上的定义。什么叫正棱柱？ 你课本上有这个定义吗？正龙柱。 来正龙柱的定义啊。说一下正龙柱要求什么呀？上下两个底面都得是正左边形。嗯，而且还得要求什么呀？ 他的侧棱是垂直于底面的，知道了吗？写上底面是多边形的直楞柱，知道什么叫直楞柱吗？就是他不歪直楞柱的意思就是要求侧棱垂直于底面，这叫直楞柱， ok 吗？ 再说一下正棱柱的定义，底面是正多边形的支棱柱，支棱柱就包括要求了他侧棱垂直于底面，听明白了吗？他不能歪 哦。可以过吗？可以。斜楞柱的侧面可能是矩形，有可能吗？也有可能啊，对吧？比方说这样的 给他稍微的歪一下，他也可能是矩形啊。嗯 o 不 ok。 他 俩其他的侧面可能是矩形的啊，可以过吧。嗯，就这个 看一下。这叫三棱柱，四棱柱，五棱柱没问题。嗯，就根据它上面有几个边是几边形来判断它是几棱柱。嗯。什么叫支棱柱啊？ 知道什么叫直棱柱了吗？垂直对侧棱，垂直。侧棱垂直 ok 吗？什么叫斜？它就是不垂直。正不棱柱要求什么意思啊？第一个正得是正多边形。嗯，还有一个要求得垂直得垂直， ok 吗？平行六边体，知道什么叫平行六边体吗？六个面， 然后呢？相互是平行的叫平行六边体。嗯。可以过吗？而且是平行四边形啊。 底面是平行四边形的四棱柱，也叫平行四六边体，看一下有这个吗？平行六边体。没有的话记一下平行六边体的概念。底面是平行四边形的四棱柱。底面是四边形的，底面是平行四边形的四棱柱。 底面是平行的四棱柱叫平行六面体可以过吗？嗯， 就是六个面都平行啊，而且上下底面都是平角形。好，棱柱分为两类，一类是侧棱不垂直，一个叫垂直的， ok 吗？垂直的叫智能柱，简单吧。嗯，然后呢？底面是平行四边形，这就叫做平行四边形。 底面是正 n 边形的叫做正 n 棱柱， ok 吗？嗯，注意，直棱柱也可以是平行的问题，比方说常见的这个也叫平行的问题，它也符合它的定义。嗯，对吧，六个面互相平行啊，都是平，对吧？嗯，平行四边形，底面是矩形， 那就变成长方体，各棱长都相等，就变成正方体。 咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜咕噜小哥哥。 哎呦， a b。 嗯，你看你的空间立体能力就不行，哈哈。有两个面平行，其余各面都是平行四边形的。一个几个棱柱。棱柱的定义是什么呀？棱柱的定义是什么？ 看你的课本上棱柱的定义，有两个面互相平行，其余个面都得是四边形，并且相邻两个公共边他都互相平行，并且侧棱互相平行，只要是四边形就行。侧面得是四边形， ok 吧？嗯，其余各面都是四边形，然后你选的是二 b 是 不是？嗯，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体较楞住， 他要求的是那啥，只要是四边形。对，然后呢？这个题再看看，选这个， 这种题就是选一个最佳的，知道了吧。看四 d， 这个错到哪了？你能举个反例吗？有两个侧面垂直 与底面的楞柱，你看这个，这个是不是一个直角柱，对吧？嗯，然后呢？它这个面跟这个面是不是都垂直？嗯，我这么的切它一下子的切它一下， 切他一下，他还是直的吗？嗯，看一下他错到哪了。 有两个相邻侧面垂直于地面的棱柱，角直棱柱，这样你选正确的啊？这个是正确的， ok 吧，有问题吧？ 看看。首先二 b 是 四边形就可以，对吧？嗯，有两个相邻侧面垂直，两个侧面垂直， 对吧？两个相邻侧面，左边你得垂直吧。嗯，然后比方说这个也垂直，对吧？嗯，那你就可以推出它的对面是不是也是它们平行嘛？对不对？左右两个面是不是得平行？嗯，然后前后是不是也平行， 对不对？所以说就说明这都嗯，都推直了，对过吗？嗯，其他的选项有问题吗？ 那万一就四 d 选项，万一上下两面不平行，你看他棱柱都规定是棱柱了啊，棱柱的对面是互相平行啊，上下 ok 了吗？上下是全等的，知道了吗？左跟右也是， ok 吗？是平行的啊，这面都是平行的，注意这个就是因为它看下这个， 这都是皮毛啊。考试一般他不会考，你就平时做练习的时候会那啥一下，知道了吧，考试他都基本上不考这个啊，太简单， 快点，一二三四 三四。嗯，看他的定义啊，符合定义就行。选一个最佳的啊。 嗯，先看第一个是吧？ 第一个是不是不是？第一个不是龙珠啊？他不是，你给他倒过来不就行了吗？立起来那是二零吗？ 你给他立起来不就是了吗？一是二不是，然后三呢？三是四，四也是棱柱，这是圆柱。嗯，那就不是第五个。第五个是是第六个不是， 第七个也不是，是吧，那你看像什么？大点声一三五 a 难吗？啊，这个六六跟二是我们后边要学的棱台是不是它是台啊？台体就跟那个圆台一样， ok 吗？嗯， 问题。嗯，棱柱的侧面矩形， 棱柱的侧面一定是。谁说是矩形啊？棱柱的侧面一定是矩形啊。哦，平行 有问题吗？棱柱的侧棱不全相等，这个肯定是错的吧。 嗯，对吧，棱柱的定义侧面都是平行四边形。写上棱柱的侧面都是平行四边形。啊， 这还有问题吗？嗯，都没问题啊。这个，嗯，没有问题，就是最大的问题啊。注意这个，你看一下棱柱的侧面是不是都是平行四边形？ 嗯，可以，过吧，你看这几个面是不是，对吧？过了啊。嗯， 锥体。什么叫锥体？锥体得有尖，知道了吗？而且呢，侧面都是三角形， 读出这样的概念，看着啊，有一个面是什么？有一个面是什么呀？ 多边形，有一个面是多边形，你看它的底面是多边形。嗯，多边形可以是三角形，四边形，五边形都行。嗯，然后呢？间接填三角形。对， 知道什么叫锥体了吗？锥子扎人吗？得，一说锥就要有那个啥啊，要有尖，然后呢，这个叫侧面。很简单啊，侧面就是三角形， 看这个问题吧。嗯，这个都叫侧棱。这个侧面还是四边形吧，就不是了啊。嗯， 读一下它特点，只有一个，底面是多边形，侧面是三角形，左侧面且只有一个， 够了啊。嗯，正三棱锥什么意思？正三棱锥都镜面都是三对边的。嗯，正三棱锥就是各个棱长都相等。嗯，棱长跟什么呀？底面边长相等 ok 吗？嗯，也叫正四面体。写 还有吗？没有的话补充一下。正三楞锥他就是正四面体啊。正三楞锥等于正四面体正三楞锥等于正四面体， 正三楞锥等于正四面体。嗯，然后呢？他是各个边都相等啊。各棱长都相等。各棱长都相等。 跟边上跟底面的边上也是相同的，没问题吧？嗯， 看一下，这是正四棱锥。什么叫正棱锥？首先正棱锥的意思啊。然后呢，第一个要求的条件，底面得是正度边线， 这样上面这个顶点投影照。什么叫投影吗？顶点跟这样一拿一束光一照，刚好照到这个中心，也就是顶点与地面中心的连线要垂直于这个地面。没问题。垂直于地面啊，圈起来他的定义看有吧。 没有，补充一下。正楞锥冒号，正楞锥冒号。圈一是什么？正三角形，底面是正多边形。 正楞锥啊，圈一，底面是正多边形。圈二呢？顶点与地面中心干嘛？顶点与地面中心的连线 垂直于地面。顶点与地面中心的连线垂直于地面 可以过吧？嗯，看一下，三棱锥不一定垂直啊， ok 吗？这就普通的这些简单吧。嗯， 刚才已经说了什么叫正龙队，你看一下他们有什么不同啊？啥不一样？地面图形不一样。地面图形是不是？嗯， 相当于任意一个都可以当做地面简单吧。嗯， 就能出。简单吗？嗯， 三个出选三个台选这个三个台 看一下。姐你得给你得画画图，画一下图，自己画。画图快点看。会画三棱柱吗？三棱柱不会画啊。嗯，画一画， 然后呢？选这个，标上字母，然后呢？结结谁？ c e， 然后呢？ ab 结了，这个还剩谁？ c a b c 嗯， c a b c， 把 c a b c 画出来， c b 咋结？就连一下这个，把 c e 跟 b 连一下。 那，然后能抽象出来那个图啊？能抽象出来不？嗯，不好抽象，不好抽象。来来来， 首先 c a b c， 看到 a b c 了吗？嗯， a b c 就是 它的底面，我说清楚了吗？嗯，它是不是截的这个呀？嗯，能看我画的这个吗？嗯，这部分都没了，还剩谁？ c 片 b 片 a 片 b， 是 不是，对吧？嗯，选这个， 选这个，看一下 四棱锥。为什么叫四棱锥？底面是三个，然后呢？ 你看人家画的这个剩余部分， c 一， 你截的是 c 一 abc 是 不是截了个这个啊？哦，然后呢？哦哦， 知道了。嗯，你又知道什么了？然后你剩下的是是这个了吧，可以把它看成一个底面吧，有问题吗？这个题就是把谁看成了个底面啊。 八、 a b 什么呀？ a 一 a b b 一 a 一 a b， 看到了 b 一 a 一 这个面，对吧？看这个底面，嗯，这个，看这个顶点，是吧？嗯，这个题你得画大点啊，图要画大一点，听明白了吗？一般是按照这样的顺序， a b c 的 这样的顺序啊，逆时针，听懂了吗？不要把 a 写的太科里了啊，看不出来了。 然后什么叫楞台？什么叫楞台啊？在你的课文上写的。第一，什么意思？用一，我看你的空空什么？用一个什么呀？平行于平行，这样平行， 这个是平行于棱锥的平面，去截棱锥，本来它是一个棱锥，几棱锥，几棱锥，用一个平行于底面，这样平着一切，它能明白什么意思吗？平着一切了一下啊，这是。然后呢？我们能得到什么？ 棱台？哎，剩剩下的部分叫棱台，下面的部分知道了吧？嗯，对，棱台的形象分为上几面，下几面可以过吗？嗯， 抬头，这叫上底面，下面这个叫下底面啊。嗯，构成上了吧，是这样的吧。嗯，看一下这个 底面，上下两个底面是平行的啊。嗯，什么叫侧面？就是其一个面侧棱，这个叫棱，简单不？ o 不 ok。 嗯，总表示啊，棱台 a b c d a 撇 a 撇这边啊。嗯， 读一下棱台的特点，让底面不断平行，且相似的侧面就是平行。嗯，各侧的面积先交一点，没问题。嗯， 看一下，这是解的这个四棱台，这样一解变成四棱台。四棱柱 ok 吗？四棱柱一解的啊，五棱台，六棱台，简单吧？嗯，上下底面，这都不用说吧，侧面还有延长线对吧？ 延长线交一点，这个一定要知道啊，有的时候经常这样做题啊，给他往上延长一点，这是一种做题方法。 长方 t 图面题就不说了啊，兄弟，你看这个吧。 哎，你看看，首先谁的范围最大，知道吧，屁屁的范围是最大的，其次是 说话 q m n， 然后正方体的范围大还是长方体的范围大？说话长方体，长方体的范围大，所以说 这样对不对？嗯，那现在的目标就是正四棱柱放哪？正四棱柱放哪？正四棱柱， 正四龙柱放哪啊？嗯，正四龙柱一定是正方体吗？不一定。正四龙柱的范围大还是正方体的范围大呀？ 嗯，跟长方体比吧，那叫正四龙柱的范围大还是长方体的范围大。 正四棱柱。什么叫正四棱柱啊？什么叫正四棱柱？哦各棱柱要求它得是上下底面都得是正方形 ok 吗？都得是正方形是不是而且呢 侧棱垂直那你说吧。哦那就是它可能是正长方体是不是但是它只能是底面是正方形。 嗯对，所以呢所以就是 n 的 范围大有问题吗？没有，这个还用整理吗？不用了是吧。嗯注意这个啊， 读一遍这个龙柱的三个本质有两边不要平行， 前面就是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边等。嗯公共边也就侧等呗。互相平行啊缺一不可啊。咳咳， 写一个四题没问题是吧。嗯 see you now。 嗯 嗯，十四棱柱的侧棱垂直于底面，当底面不是矩形的时候就不是成问题。 有问题吗第一可能是什么呀？ p 四幺二零是不是可以过吗？可以，选一个最佳的就可以了啊。点击区分 一二三四要做比方 充分非必要 a 是 吗？没问题。嗯 快点做的又快又准啊。哼 秒了。为什么感觉 a 一 棱柱的侧棱长都相等你举个反例 这个棱是斜斜着的就不相等了吗？啊斜着的也是平行四边形啊斜着的它也是相等的啊。棱柱 棱柱的侧棱长都相等斜着的也是相等的。 翻棱柱的定义来并且相邻两边的四边形都。哦互相平行四边形的公共边都互相平行公共边都互相平行了，这就说明什么呀。嗯 ok 吗？ ok， 可以过吧嗯然后棱柱的那个侧棱侧面其实都是平行四边形。嗯是吧 有问题吗？没有见过的大部分都是平行四边形的可以过吧。嗯不是平行四边形的话它也是那个啥也是相等的啊。嗯，看这个 没问题吗？嗯，找反力这种啊。 a c e 三是吗？嗯， 有的棱台的侧棱长都相等，他万一棱锥式的侧棱长就把它切掉。什么意思？有的棱台的侧棱长都相等，像这样 哪个有问题？四 d 四 d 是 吧，有的棱台的侧棱长，棱台有的。嗯。哦，那就选四 d 对 吧。他没有说所有的吧嗯，没说所有的都相等啊。嗯， 二 b 错哪了？棱锥的侧棱长都相等错哪了？ 嗯，不一定，他要是歪着嘞是不是？嗯，这是那个底面，这样歪着嘞肯定就不相当。不一定。正楞锥改成正楞锥对不？嗯，对了就 ok 吗？ 看底面看侧楞啊，想反力，中间想反力。嗯， 蚂蚁爬的最短的路程。看这个会小学小学的题干嘛呀这是给它干嘛呀。就是拆开展开展开，两点之间先到最短够了吧。嗯， 这节课学的是多面体旋转体啊， 注意棱柱，棱台支棱柱。然后呢先说的是棱柱再说支棱柱。支棱柱的意思是什么呀？ 就是棱垂直，侧棱垂直于里面正棱柱的。对，再加一个正 n 边形，上下两个底面是正 n 边形，注意这个啊，棱 n 棱锥，然后再到正棱锥正四边 t 正龙锥的意思是什么？正龙锥地面是正多边形，而且然后呢一垂直是对吧。这俩点一连接是不是垂直于地面？正四面体的各个面都是正三角形，听懂了吗？灯台正龙台 o 不 ok 难吗？感觉找反力啊找反力 ok。 十二点零三零四了还学不啊。不学了，到这啊。对呀，到这吧，努努劲。