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02:56查看AI文稿AI文稿跟大家聊聊刚刚考完的南京盐城二零一届高三一模数学试卷。这套卷子我给他的评价是八个字，结构严谨，创新有度。他既没有偏，难怪到让孩子们怀疑人生，也没有，简单到说失去了模考的价值和意义。 所以这套卷子是把新高考的命题方向拿捏的很到位，是一套高质量的模考卷。这套卷子在难度的设计上，从送分到拉锯到选拔，三段坡度非常的清晰。 选择题的前六题，像集合向量、双曲线、求追比这些全是教材的核心考点。对于基础扎实的孩子来说，稳稳的拿到这四十分是关键。 真正的区分度是从第七题、第八题开始的，特别是第八题的导数横乘力问题，难而不怪，靠分析参数范围就能及不考偏门的技巧，不同水平的孩子都能在这套卷子中找到自身的节奏。 其次，这套卷子知识覆盖全面，主干突出，特别是解析几何的三道圆锥曲线、双曲线、椭圆抛物线，它全考了，没有落下一个，还有概率统计。第十五题用了昼夜温差与发芽素这个真实的情景考回归分析， 给数据、给公式，是一道真正有芥末味道的应用题。这是在提醒我们，死记硬背公式的时代已经过去了，你得学会分析数据分析。 第三，多选择题的设计非常的巧妙，比如第十题，他把对数、三角绝对值、三个函数揉在了一起，四个选项分别考定义域、奇偶性、单调性、零点个数。一道题检测出四种能力，精确的区分出了那些半名词、水晃荡的同学。 第四，创新题很有水平，不搞偏题怪题，考的是知识的迁移能力。比如说第七题，把平面几何的旋转和对称串联起来，让你最终变换后的位置。 这道题在任何的教科书上你都找不到原题，必须真正理解变化的本质，你才能做对。第十四题，用二进制展开定义新函数，再结合概率匀近 情境狠心，但用的全是课内的工具，所以复习不能死记套路，你得理解概念的本质，学会迁移。第五，解答题的设置非常的人性化。第一题考回归分析，十三分门槛很低，人人有话说。 第一题几何导出题的第一问都是基础题型，中等生稳稳的拿分。所以现在复习的导向明确，回归基础，重视通信通法，别再总去钻牛角尖。 最后我们再来看一下压轴的第十九题，他是以单位员上的地推点列为专题，三问层层递进，既有几何的敏感，又有代数的深度，体现了命题团队对于课标精神和学情的精准把握。 所以总的来说，这套卷子是一套高质量的模拟卷，基础题上保护了中等生的信心，在中高档题上用知识教会和新情境拉开了区分度。 所以我建议各位同学不要总盯着分数，而是要把它当成一次体检。通过这套卷子，看看自己在基础题上是否足够稳稳，在新情境题上足够灵活吗？在解答题的规范性上是否足够严谨？
03:55查看AI文稿AI文稿这道题目是南京盐城一模的第十一题，这道题目出的还是很有意思的，他说啊， a 是 等于二，根号二 sign a， 那 么这个我们是不是就可以得到 a 比上一个 sign a 就 等于二，根号二，那么 a 比 sign c 不 就等于二 r 吗？所以 r 就 等于根号二，也就这个三角形的外接原半径是等于根号二的。 他又告诉我们面积是等于二，那么面积的话，我们这里有 sign a 了，所以肯定用二分之一个 bc sign a， 二分之一个 bc sign a 等于二，我们就可以得到 sign a 就等于四。比上一个 bc， 那 么我们带回去就可以得到 a 就 等于二，根号二乘以一个 bc 分 之四，那么 d 问，我们就可以得到了 abc 就 等于八倍的一个根号二，所以 a 选项是正确的， 那么 b 选项 b 选项，我们就可以开始借助这个圆去解决问题了。我们把这个圆一画好，他说啊，这个 a 方加 b 方要大于等于 c 方，那也就是说 c 他 是不是应该是小于等于九十度的？也就是说他认为里面的角不可能超过九十度，那能不能超过九十度呢？我们先看一下，九十度的时候， 九十度我们画一个直角三角形，你要知道这个三角形它的面积还要是二呢，对不对？它的这个半径是根号二，那你面积最大的时候，如果是二的话，它就有机会是二了。如果面积最大的时候还不会是二，那就没有二了，那么面积最大肯定是这样形成一个等腰三角形的时候，所以此时我们发现它的面积就等于二。 如果说你想要是钝角三角形，那你必然就要把这个线往前挪，那往前挪的话，你面积最大的时候，是不是显然就没有二了？因为这时候你的底也变小了，你的高也变小了，所以我们会发现他就没有办法会形成一个钝角三角形，所以 b 选项就是正确的，那么 c 选项， c 选项我们依然还是可以借助这个圆去解决问题。 我们把圆一画，他说当 a 最小的时候，他满足这样的一个关系，你要知道我们的边不可能非常小，如果非常小，你这个三角形他就没有办法形成，面积等于二了，所以他肯定是有一种比较临界的一种情况，就是他小到正好能够形成二的时候，最大的时候， 对不对啊？所以说这种情况下，我们可以写一下，这是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 我们把这个三角形画出来，在圆形找到好，我们要计算这个面积，我们可以延长它，那么这个是二分之一， a， 这个数就是 a， 那 么我们又知道这里是根号二，我们可以记这个为 m， 那 么在这里的话，我们就可以写式子， o， m 就 等于根号二 cosine c， 它 cosine a， 好， 然后这个 b m 就 等于根号二倍，它的一个 sine a， 所以我们就可以得到它的面积就等于底层高，高的话就等于根号二，加上一个根号二 cosine a， 然后底我们就直接乘以半个底就可以了，根号二 cosine a， 所以 就等于二，那么这边把它处理一下，就可以得到 sin a， 加上一个 sin a， cosine a 等于一，所以 c 选项也是正确的， 那么 d 选项我们其实也是可以利用这个圆去处理的。好，这边我擦掉了。 好，当然做到这里你就已经可以结束了吗？因为不可能出现四选，但是我们可以可以稍微看一下这个 d 选它为什么会出错？好，他说当 a 等于 b 的 时候，也就是一个等腰三角形，那你画出来的图是不是实际上跟你刚才 c 画出来是差不多的？好，那么这边是 a， 这边是 b， 这边是 c， 好， ok， 圆心 o 点好，也就是说相同的道理我们是不是应该也能得到啊？你刚才的那个式子就是 c 了， c 加上一个 c c， cosine c 等于一， 那么在这里他要我们证的是这个东西，我们知道角 a 是 不是就应该是等于九十度减去一个二分之一个角 c 啊？角 b 是 不是也是等于九十度减去一个二分之一个角 c， 那 么也就是说， 呃，我们这里用诱导公式变形之后，我们就可以得到 sine a 加上一个 sine b， 它实际上就等于两倍的一个 cosine 二分之一个 c。 好， 所以 cosine 二分之一个 c， 所以 这东西就等于根号二倍的 cosine c， 也就我们要证的是这个，而后面这东西它是不是可以变形成二倍的根号二？ sin 二分之一个 c， cosine 二分之一个 c， 那 么这时候我们把它约掉，把它约掉，也就说我们要证明这个式子等价于在证明啊， sine 二分之一 c 就 等于二分之根号二，也就要证明角 c 是 等于九十度的，那么有的同学把角 c 等于九十度往这个式子里面一带，发现，嗯，就是对的，所以他就把 do 也选了，但实际不是这样的，就这个式子大家可以自己去研究一下。它的解应该是有两个的， 那么其中九十度是一个解，还有一个解是一个锐角，所以我们 a 等于 b 的 时候不一定能推到它，一定会是九十度，它还会有一种另外一种情况也有可能是锐角，所以 d 选项它就不对了。
85扬州董老师数学
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01:06查看AI文稿AI文稿我老王来讲南京盐城一模的圆锥曲线大题。第一问，这里直接使用抛物线定义即可求出 p 和 t。 第二问，第一小问，我直接设得和 b 坐标。翻译，三角形 p a b 重心在 y 等于负四，除以三上算出 y one 加 y two， 由此可直接求出 a b 斜率。 第二问，第二小问，我考虑设 a b 方程连力消元使用维达定律，由此可以用单表示点 q 而和 t 坐标，进而用单表示 t 而方程 接下来 t 可以 这样整理，由此可以直接看出 t 所过定点 w 坐标。 把 p h 垂直 t o h 定点 w 在 t o 上，进而向量 p h 与 w h 垂直 h 在 以 p w 为直径的定圆上。
56小实写高中数学
02:47查看AI文稿AI文稿这道题目是南京盐城一模的十八题，这道圆锥曲线放在十八题实在是有点太过于放水了。它的第二问的第一小问，我们用这个直线，然后跟它连立，然后利用这个重心的一个坐标公式就可以求出来了。那么第二问也是非常的简单。 第二问呢，也是非常的简单。第二问他说什么呢啊，就是过 b a 延长线，他与 x 轴交于这个 q 点，然后呢啊，这个连接 p q 啊，到他中点，这个 r 点，这个 t 点是 ab 的 一个中点，然后呢他过 p 点去做这个 tr 的 一个垂线，垂足为 h， 他 问我们 h 是 不是实际上是在一个定圆上运动的？ 那你都已经做出直角了呀，那这就是定角啊，那定角就差一个定角对定弦，所以我们只要证明到你这个 r t 这条线他是过某个定点的，比如说他过这样的一个点，过某个定点的，那么我们不就可以得到这根弦就是定弦吗？定角对定弦，这个圆不就出来了吗？ 所以现在的问题的关键并不是找他的圆，而是要去求证 r t 过定点，那么我们就把 r t 这条直线写出来呗。好，我们来开始。 刚才第一小问，我们已经求出来 m 是 等于负二的了，所以这条 a b 这条直线就应该是 x 等于负二， y 加上一个 t， 所以 我们也可以得到 y 一 加上一个 y 二就等于负八， 所以我们就可以得到这个 t 点的一个纵坐标，应该是等于负四，那么横坐标我们可以把它带进去，就可以得到它是八，加上一个 t， 同时我们可以得到 q 点的坐标， q 点就是 y 等于零，那么我们就进一步去得到这个 r 点的坐标， r 点是中点，所以它就等于二，加上一个二分之一 t， 逗号二。 好，那么这两个点我们去把这个直线给它写出来，我们用点斜式去写这个 r t 直线，所以它就应该是 y 等于 负四减二，那就是负六，然后底下就是六，加上一个二分之一个 t， 然后这边是 x 减八减 t， 然后再减去一个四，两边同时乘以六加二分之一 t， 那 就可以得到六加二分之一 t。 个 y 就 等于， 然后负六 x， 然后再加上四十八，再加上一个六 t， 再减去一个二十四，再减去一个二 t， 然后我们把它稍微整理一下啊， t 归 t 啊，把它写成零等于。那么哪些有 t 呢？这里有 t， 这里有 t， 所以 这是四，包括这里也有 t， 四减二分之五啊，一个 t。 好，其他的也写一遍啊，负六 x， 然后这里还有个二十四，然后还有一个减六 y， 所以 你要过定点，那就跟 t 没有关系，是只要能成立，所以这项要等于零，所以我们可以解到 y 等于八，那么这项也要等于零，所以我们可以解到 x 就 等于负四 啊，所以我们就可以得到它过的定点就是负四，逗号八，那问题就结束了呀，那你 h 点肯定是在以这个 p 点，还有这个定点，我们记它为 m 点，以 pm 为直径啊，这样这样的一个圆上面运动的 这个题目，它现在出在这种规模这么大的一个模拟题里面，我感觉意义就不大了，因为它实在是一条太老套的题目了，它对于高考的复习没有太强的指导意义。
61扬州董老师数学
01:54查看AI文稿AI文稿江苏各地区三月份的模考全部结束了，单论数学，南京盐城的出题试卷质量最高，简直一比一复刻高考，这真有点像高考命题老师亲自下场出题， 前面的基础题非常友好，让你做的很顺心。单选前七题纯送分题，第八题有这种区分度， 大部分会在这道题上栽跟头。虽说单选择题也就这一道难题多，选择题也是出的先抑后难。第九题，复述送分题第十题，常规题一般都能做对，第十一题解三角形，想要全对确实有点难，但是锁定前面两个选项还是比较轻松的。 填空十二十三题都不难，但是第十四题的概率问题，难度直接拉满，这是为二幺幺以上的孩子进行准备的解答题。第十五题先行回归跟苏西常镇的一模状了，题型 细心的去算，拿十三分不难。如果你需要我们这次三月份的各地级市的模考试卷的真题以及解析， 那么我来发给你第十六题呢？立体几何，纯送分题，第十题不难，中规中矩，上面的三道几答题也是我们中等学生必须要拿到手的。 最后两题才是区分高分学霸与普通学生的核心题，难度大很正常。高考也是如此，目标是二幺幺以上的同学，一定要去挑战一下。 总体而言，这套试卷非常像二五年的高考卷，对于中等学生来说非常友好。基础题呢，占比比较大，中等题比较少，难题集中在最后。 总套试卷在一百三十分上的孩子，绝对是九八五的苗子。对于我们江苏的学生来说，一定要去刷一刷我们其他城市的这次的模考卷，因为这次的模考试卷的质量是非常不错的，要比市面上所谓的押题卷要有含金量，如果你有需要，我来分享给你。
34金榜题名小诸葛
03:57查看AI文稿AI文稿数师生下午没课，严于律己，限时练一份卷子，就做刚考的南京一模，在第六题就稍稍卡住了，但其实就是懒，想看看能不能一眼看出来，或者有什么减变方法，结果还是老老实实列出等式算出 a。 一 到榆林，其实到这就结束了，上下只含一个未知量地可以约掉，结果我没看出来，又浪费了一两分钟。十六分钟做完单选，其实还在可以接受的范围内，但是第八题我发现一开始想错了，又折回去重弄了一下， 第十题出的很好，十一题我服了，梦回二十五年高考难度大的三角题目，搞来搞去就是不会做，算了，先放一边吧。一开始还想蒙个地的，一想到去年的 abc 治好无数毒狗，还是选了个 a 先走了。 太久没现实做题目了，十三题差点还想连立，还好很快找到了几何关系。填空最后一题在我高三的时候都是一分钟没出思路就直接放掉，省 出来时间做后面的题目，收益往往不止五分，因为可能哼哧哼哧花了七八分钟，最后做出来了。填空最后一题，得了这五分，就导致做最后两大题难题少了七八分钟就对你做题的心态，尤其是做圆锥曲线影响极大， 很可能就因为时间不够没有耐心算，导致三十四分什么也没弄出来，得五分和好好弄，除去十八十九第一问，剩下的二十八分我还是拎得清的，况且填空最后一题还有可能做不出来，完全浪费了时间。 这道导数题我又是出现了，计算错误，不等号，方向没有改变，是后面作解己在发呆的时候看出来了，看到我开始做解体的时候，还剩五十来分钟，也就是 我有充分的时间思考和计算，前面的跳过给我这里做了铺垫，当然我这里是错误示范。为什么 说是错误示范呢？因为我虽然花了很多时间，最后想出来了做法，但我第二问中间的一个坐标直接就写错了，导致最后虽然步骤可以写下来，引圆自然不是答案的那个圆，我还以为自己算出来了， 此处开始发呆，到我写出来答案花了十分钟，如果我这里没出现粗心错误，应该是用前面的五分换了这里的七分。 这个引援套路在高三一轮复习的时候就做过，题目整理过，甚至这里还直接告诉你了他就在一个圆上，而不是别的问法。还是因为是大学生刷高中的题目数量太少太少了，导致一时间没想起来正确的做法。 可以看到我即使花了半个小时做十八题，因为前面省下的时间，我仍然可以从容的做十九题，并且这个十九题有时间我相信大家都可以做。前两问还剩六分钟，我不可能再看第三问了，就检查一下前面，发现例题几何还算错了三角形面积，忘记 我十四题有了思路，但也没有时间做了。就这样整张南京一模一样写完，开始找答案，批改 圆锥曲线，很可惜的丢了第三问的分数， 连这个功笔我的符号都写反了，真是毫无计算能力。 可以看到在我这个策略下换了一点分数，但在我明确只有十一十四还有十九个三不会的情况 下和细节真的非常重要，考试的时候时间的把握也很关键，而我因为才毕业掉，所以和大家一起写的卷子给出的建议也是很接近高中生思路的，希望能给即将高考的你有一些帮助。
747逝去的琳琅
03:00查看AI文稿AI文稿整体的话我说实话就是，呃，给你的感觉应该是怎么样的？就是说分数会虚高，就比如说你正常的模拟题的话，你能考一百一，这个试卷你应该能考一百二十五左右了，所以说，哎，就挺简单的啊。 好，那我们来看一下这个南京盐城的一模啊。呃，整体试卷分析一下啊，就是大概呢，就是我觉得解答题很一般啊，他的解答题区分度不高。然后呢，就是 就是选择填空的话，其实还好，因为有些题目还是出的挺好的， 然后解答题就很一般。这个，那我们一个一个来啊，比如说像我们看到这些前面这些选择题，我说实话就很简单啊，前七个是没有难度的。第八题的话 我感觉好像以前没有没有怎么见过，但是他出的确实挺好的，因为我没有见过，然后我第一遍写的时候还没写出来，然后先跳过了，就是你大概你做这个题的时候你做了，嗯，看了三十秒之后，就你扫完这个题干的话，你觉得没有思路，你就可以直接跳过啊， 然后多选择题的话，这个第十一题，我说实话我看到这种东西我挺懵逼的啊，所以我选了 a 就 跑了。 然后这个第十四题的话，我感觉就是放到这其实不是很好啊，因为有的同学如果你做过那种二进制的话，我觉得你做这个题两分钟就能搞定啊， 挺快的。然后解答题的话就特别简单，你看这个题，哎，送分题，这个题差不多也是个送分题， 这个第十七题的话也是个送分题。第十八题是二零二零年的山东卷吧。呃，我说实话，你现在做到这的话，这个题应该也是个送分题，第十九题的话， 呃，他就是第一问，第二问，反正都不难。你像证明这种书列的话，什么等比书列，对吧？你都有固定套路的，所以说这两个这两问的话都不难。然后第三问的话你不要了又怎么样呢？ 对不对？所以你看一百一十分左右的学生的话，他这些题，呃，就是解答题的话，除了第三问写不出来，其他的都能写出来，所以说解答题的区分度不高。然后呢？ 我觉得你在你在这种像单选择题，这，然后，然后像第十一题的话就完全抄的是，就是模仿的二零二五年的那个新高考一卷吗？就出个 感觉挺难的题啊。反正我没看啊，就是我写到最后我也没时间了，这个题我都没写完，因为我的最后一个题的话写到这基本上，呃，时间就到了。呃，我这个题目没有写，所以我写了一个小时五十分钟啊。
12金陵数学小黄
02:18查看AI文稿AI文稿南京盐城联考一直以来也是创新程度高、难度大、击穿量大，打击学生新鲜效果明显而著称。那这一次南京盐城一模数学试卷不出意外就是题目质量极高，王老师认为难度和苏北七十二模联考相当。不得不说，整张试卷贴合并延续去年高考试卷的风格，非常适合高三学生检验。一轮复习成果，定位二轮冲刺方向， 先做单选题，前五题非常容易纯送分考察集合补集向量垂直充分必要条件，双曲线基本静止。圆锥与球的问题都是一轮复习的核心技术知识点，记录扎实就能轻松得分。第六题考察等差速列前鞍下合的性质，这种计算和逻辑推理，那与临摹考试相比，本次四题区分度加大。 单元格的第七题将平面结合变换串联成复合变换链，这不是任何一本教辅原理能覆盖，必须真正理解变换的本质。第八题是单元格的小要轴，考察函数的存在性与横层面问题，具有一定区分度。很多学生会在这题上说明， 第十一题多选择题出的真的很棒，可以和二零二五年新高考的第十一题比肩，注意借助正弦定力找到边的关系，融合了三角运顺和减三角形的变形技巧，灵活性还是比较大的。第十四题为创新型压轴填空题，难度与区分度拉满，大部分学生可以选择放弃。 式题，情境新颖，符号、语言表述本质上是二阶式的问题，可采取规大方法解答。式题创新的另一个体现是解答题。第十八题考察圆锥曲线，以抛物线为答题。第一问和第二小问的第一问不难，后面呢，可以战略性放弃。 第十九题为本卷的压轴题，考察圆与数列的交汇，数列题重回压轴题的位置。第一问求距离坐标基础常规。第二小问证明等比数列需要利用坐标运算推导数列关系的递推关系这种逻辑推理。 第三小问是拉开分叉考察。尖子生的压轴题需要结合面对公式推导等式，思维深度和运算量均比较大。 总的来说，本次数学试题一定程度上代表了对今年新高考的解读和理解，对于中等生来讲比较友好，试题基础占比高，中等题灵活，压轴题部分区分度极强。尖子生们重点看第八题、第十四题、第十九题的第三问，如果你能够全部拿下，那就直接能拉开和其他高次的差距。 接下来第二轮复习，既要查漏补缺，又要重视解题训练，侧重提升数学运算、逻辑推理等数学素养，形成分析问题、解决问题的能力。模考作为高考的预言，命题导向的变化是我们学习备考的方向。
32南京得骥高复基地
02:18查看AI文稿AI文稿南京盐城这次一模数学这个出题质量高到爆表，有点像高考命题组亲自下场出的模拟卷，前面的技术题很友好，让你呢放松警惕。后面几道题啊，冷不丁的给你一道，整体风格呢， 跟苏西常镇啊一模差不多，比苏北二模呢要温和一些。这张卷子呢，做起来节奏很舒服，大部分同学呢，能很快的进入到考试状态。 难度呢不算高，平均分呢，估计在九十分左右。那先来说下单选，前六题呢，纯送分题，公式呢，直接套就可以。第五题呢，外接求体积，六题等差数列，计算量呢，稍微大一点，但是呢，不影响拿分。第七题呢，别被新定义吓到，认真读完题，你就会发现，这是一个三角运算，没有什么难度，给学生的要求呢，就是前七题都要稳稳拿下那。 但是呢，第八题啊，划分普遍函数呢，跟命题结合，这题呢，真正的是有区分度的，大部分同学啊，都会在这栽跟头，所以呢，单选也就这一道难题，这次呢，分数会很高，多选择题呢，出的也很克制。第九题，复述送分题，第十题，单调性极有性加零点常规题，都高三到这个时候了，这种题都要练吐了。 第十一题呢，就是解三角形，想全对确实呢，有点难，但是至少能锁定两个选项，选呢，拿十分以上呢，不是问题。填空题，第十二题，意面直线锁成角，平移或转化都能做。第十三题呢，离心率找到屁点坐标就能做出来，这 两题呢，绝对不该丢分。但是第十四题啊，概率区分度呢，就拉满了，这道题是真的难，可以战略性的放弃，填空的拿十分比较轻松，想全对啊，就很难了。解答题呢，我重点说一下第十五题，谢谢回归，跟 苏七长征一模，扬州一模撞题型了，那细心算的话，拿下十三分是不难的。第十六题呢，立体几何纯粹是四爱送分。第 十七题呢，导数考切线和极值点，常规的不能再常规了。这三道题啊，都是中等生的核心问题，一道都不应该丢分。第十八题呢，抛物线，第一问跟第二问呢，不难，关键你得知道重心的坐标意义，知道就能做，其他的你不强求，不出来就拉倒。那十九题呢，又是新定义， 前两位呢，读懂题就能做，第三位呢，非常非常难，我也劝你别强求。总的来说呢，南京盐城这张卷子非常像高考卷，对中等生呢，比较友好，基础题占比比较大，中档题呢，比较少。 难题呢，集中在最后。学霸们的重点看第八题、第十四题和第十九题的第三问。这三道题呢，是整张试卷真正拉开差距的地方，如果能全拿下，那一百三十分以上是没有问题的。如果你家孩子考完 又说这张卷子难，那你是真的要注意了。这张卷子呢，整体偏基础，觉得难，说明他一轮复习什么也没干。趁现在呢，还有点时间赶紧去查了补缺。高考呢，能冲到一百零五分就算胜利。
02:35查看AI文稿AI文稿南京盐城的一模数学，这个出题质量高到爆表，这有点像高考命题组亲自下场出的模拟卷，前面的基础题很友好，让你放松警惕。后面几道题冷不丁给你一道。整体风格跟苏西长的一模差不多，比 苏北二模要温和。这套卷子做起来节奏很舒服，大部分同学能够很快的进入到考试状态中。 整体难度呢，不算高，平均分我估计在九十分左右。先说单选题，前六题纯送分公式直接套，第五题外接球体积，第六题等差数列，计算量稍微大一点，但不影响拿分。第七题别被新定义吓到， 认真读完题目你就会发现就是个三角运算，没啥难度。我给我学生的要求是啊，前七题要稳稳拿下， 但是第八题画风普遍，函数和命题结合，这题是真正的有区分度，大部分同学会在这栽跟头， 所以单选择题也就这一道难题，这次的分数会很高，多选题出的也很克制。第九题复数送分的，第十题，单调性极偶性加零点常规题。都高三这个时候了，这种题要练吐了。第十一题解三角形，想要全对确实有点难，但至少能够锁定两个选项，多拿十分以上不是问题。 填空题，第十二题意面直线所成角平移或转化都能做。第十三题离心率找到屁点坐标就出来了，这两题绝对不应该丢分，但第十四题概率区分度拉满，这道题真难，可以战略性的放弃填空，拿十分比较轻松。全对很难 解答题呢。我要重点说一下，第十五题陷入回归，跟苏西长治一模扬州一模撞题型了，细心的去算，拿十三分不难。 第十六题，例题几何，纯粹在送分。第十七题，导数考切线和极值点，常规的不能再常规了。这三道题是中等生的核心，正题一道都不能丢。第十八题，抛物线，第一问和第二小问的第一问不难，关键是你得知道重心的坐标意义，知道就能做，其他的你不要强求，做不出来拉倒。第十九题又是新定义， 前两问读懂题就能做，第三问非常难，我也劝你不要强求。总的来说，南京盐城这套卷子非常像高考卷，对于中等生来讲比较友好，基础题占比比较大，中等较少难题集中在最后。 学霸们重点看第八题、第十四题和第十九题的第三问，这三题是整张卷子真正拉开差距的地方，如果你能够全都拿下，一百三十分往上没有问题。 如果你家孩子说考完这套卷子特别难，那你是真的要注意了，这套卷子整体偏基础，觉得难，说明他一轮复习啥也没干，趁现在还有点时间，赶紧查缺补漏，高考能够冲到一百零五分就算是胜利了。
460南京汤老师全托集训
01:30查看AI文稿AI文稿这道题目是南京盐城一模的第八题，这道题目还是比较简单的，它说对于啊，对于这个函数啊，若存在 x 零小于二，可以使得 x 属于 x， 零到二都有 f， x 小 于零，我们 k 的 一个取值范围，那么在这里二实际上是一个很特殊的一个点，所以我们可以尝试先求一下 f 二， f 二就等于四减去一个二 k， 再加上一个 k 再减二，再乘以一的平方，再加上一个 k 减二乘一个一的平方，那么它前面可以化解一下，就等于二减 k 乘一个一的平方，再加上一个 k 减二乘一的平方，所以它算出来是等于零的，它很特殊，那么它既然等于零的话，我们可以画一下图， 好，你在二的时候是等于零的，如果这个函数他是这样穿下来的，那么我们是不是肯定就不可能能找到 x 零可以使得他在 x 零到二处是横负的，也就是说我们对于他这个函数的要求，他是不是应该在这里是穿上来的这样的一个过程，对吧？这时候你肯定能找到这样的一个 x 零的， 所以也就是说我们要求它 f 一 撇二应该要大于零，我们可以对它求一个导， f 一 撇 x 就 等于 x 的 平方减 k， x 加 k 减二加二， x 减 k， 一 的 x 次方。好，然后我们把二带进去，在带之前我们可以先把它这里处理一下， 所以我们就可以得到一撇二就等于四减二， k 再减二，再加四乘以一的平方，它要大于零，也就是说我们需要六减二， k 大 于零， k 应该要小于三。
54扬州董老师数学
35:39查看AI文稿AI文稿好，同学们，好啊，剩余时间我们来把剩下三道计算题讲一下，整体难度呢？嗯，不是很大， 那么对应的模型呢？其实在基础模型上的演变很少，主要就是针对于题目的一个条件判断好。首先第十四题，第十四题是一个呃，电磁感应 好，两根足够长的光滑导轨固定在水平面上，匀强磁场啊。然后左侧开关，它是一个什么呢？先给电容器充电，之后呢？呃，又放电的一个过程，对不对？那么充电的过程我们可以写啊，第一个， 呃，冲击板上电，他说什么呢？还要判断什么呢？还要判断这个，呃，放电的之后要使这个杆向右弹射，所以他受到安培力向右， 对不对？那么根据左力右电啊，我们可以伸出左手来判断一下电流是这样的，所以上几板就得是正的，可以吧。然后结合我们电路器的公式， q 就 应该等于 c u 零，可不可以啊？ c u 零结束了第一问，那么第二问啊，然后带的是正点， 接着就是一个呃，放电式单泵电容器，对不对？而且他说的是个开始运动时的呃加速度大小 a， 那 就太简单了， 刚开始啊，刚开始放电，那么 i 等于什么呢？ i 应该等于 u 零除以一个 r， 是 不是啊？那么安培力等于 m a， 所以 bil， 那 a 就 等于这个考的太简单了啊，那么我稍微说一下，末状态是什么呢？ 能不能知道末状态是什么呀？末状态，棒的末状态应该是匀速的 啊，棒的末状态应该是匀速直线。那大家可以去推一下啊，末状态的时候相当于什么呢？相当于电容器 啊，电容器是一个上正下负， 那么这个棒呢，它运动起来也是这么一个运动状态，也是一个产生的一个上正下负的这么一个电源，但是呢，它们产生的感应电容，是啊，一个是引起顺时针电流，一个是引起逆时针电流，所以末状态的时候啊，这个 v 就是 微末啊， b l v 微末。那么嗯， dyu 啊，对于电容器来说， dyu 是 不是就应该是 u 零减 blv， 对 不对？那么 dyu 呢？ dyu 是 不是应该等于 c 乘个 dyu 就 等于 c 乘个 dyu 零减 blv 好了，那么对棒来说，应该是 bil 乘个 d， 是 不是就应该等于 mv 啊，减零啊，其中 i t 等于 q， 所以 bil 等于 q 等于 mv， 则 b l c u 零减 blv 等于 mv， 可以吧啊，然后我们稍微写一下，在上面写是 b l c u 零应该等于 b 方 l 方 c 加个 m 的 v， 所以 最后的 v 应该等于 b l c u 零， b 方 l 方 c 加个 m。 这个要有概念，就是单棒放电时啊， 这个电容器它的末端呢，这个泵是匀速的，并且这个电容器放电的是放不干净的啊，最后几百还会有一个电池差，电池差就等于最后的这个最终的泵产生的感应电容式，当两端感应电容式平衡的是相等的时候啊，电路中没有电流啊，这属于这个泵属于一个稳态。 好，这是第十四题，还是比较基础的。然后我稍微扩展了一下第十五题，第十五题，呃，这个，这个形状啊，这个形状最早最早应该是在常州一模啊，去年常州一模，我找一下， 这是二零四，二零二四到二零二五常州一模的卷子，然后呢，他的最后一题就长这个样， 当然这个题目第三问就难度比较大了，有兴趣的同学可以截图看一下。并且我之前呢也讲过一次类似的，也是讲试卷的时候讲到过的类似于常州一模的卷子。 但是所有的这种单槽啊，槽加这个滑块在鞋面上滑动的过程中，这个物体要数这个长洲一模啊，二五年的长洲一模，这次应该是最难的， 大家可以看下。这应该是属于母题了，然后我们这次，嗯，就不去扩展了啊，因为这个题目要讲好来看这道题。固定的鞋面上有一个带挡板的木板啊，质量为一千克， 这边是一千克光滑小滑块啊，放到距挡板距离是三分之一 l 处，三分之一米处， 嗯，这是三分之一米。 ok， 同时禁止释放已知木板与斜面间的动摩擦因素。 mu 等于八分之三啊，它是小于 tina 的 zeta 的， 对不对？小于天的 c 塔的啊，所以他会一开始就往下滑，滑块与滑板，滑块与挡板发生弹性碰撞，整个过程中未脱离木板。弹性碰撞可以释放瞬间滑块的加速度。 a， 那 这个地方就不说了，由于光滑，所以就是计算了 c 塔 第二个，嗯，第二个的话我们要去写什么呢？是不是要对这个木板进行分析啊？对木板来说， 它受几个力呢？刚刚有的人说快了啊，木板还是不动的，来，我们证明一下，木板为什么不动啊？ 好的，嗯，那么在鞋面上啊，木板受几个力呢啊？木板受重力 m g 压力 m g cosine theta 还有一个摩擦力 支持力，然后呢？哎， mg cosine theta 加上 mg cosine theta 乘个 mu， 那又等于这个什么了？又等于 mg 三 i c 塔了，刚好等于，所以木板静止， 木板静止并且满足什么呢？并且满足，且我们还要知道啊，这个东西就是且木板向下运动时，向下运动时， 这个应该满足什么呢？应该满足，呃，动量守恒吧。那我看一下 这边受到沿斜面向下的力是 mg 萨尔塞塔啊，往下滑动的时候啊，应该不是啊，那就没有这句话，长轴异模是有这句话的啊。弹幕版，那我们就不说啊， 好，那么静止的时候也很好求了对不对？第一次碰撞后，那么是不是要写啊？对于物块来说，碰撞前 v 应该等于根号下二 a l 两米每秒对不对？然后弹性碰撞， 大家去写那个式子啊，就是 m v 零等于 m v 一 加 v 二，然后呢，二分之一 m v 零方等于二分之一 m v 一 方加上二分之一大 m v 二方啊，非常经典动状镜的弹力碰撞 大 m， 然后呢，这就是速度交换吧，对不对？ 但是我把公式写一下，大家可以稍微记一下。 好，所以第一次碰到过程中滑块所受合力的冲量 是不是就应该等于呃，第二 v i 等于第二 p 等于 m 乘个第二 v 等于二扭秒，对不对？他要说方向的话，向上，眼线面向上，但是他没说，他只说大小。好，前两问比较基础，看第三问， 从释放到第三次系统碰碰撞，系统产生的总热量 q 好， 这个过程里面我们要看到什么呢？我们要看的是这个碰撞过程是循环的还是说呃，等比的，或者说等差的 对不对？那我们可以画一下第一个 碰撞之后。 第一次碰后。 第一次碰后什么呢？第一次碰后板呢？ a 板等于零，所以板做匀速，直线板做匀值，速度等于两米秒二十方秒， 物块呢？做匀加啊，加速度继续等于 g 三 c 塔等于六， 对不对？那么要追击的话，就是要追击什么呢？就是两个人位于刚相又相同的时候，所以 v 零乘个 t 等于二分之一， a t 方 就是三 t 三 t 等于三分之二， t 等于三分之二秒再次相遇， 那此时 那 v 五等于多少呢？ v 五应该是等于 a 乘和 t 等于多少。你自己加下标啊。我就算了，我加吧， t 一 啊， t 一 等于这个四米每秒，对不对？ v 板呢？等于两米每秒， 好，那么呃，弹性碰撞，我们这地方是动撞动了对不对？但是也比较简单，速度交换就可以了。弹性碰撞，速度交换， 这就已经是第二次碰撞了，对不对？也就是说第一次碰撞到第二次碰撞经过了几秒呢？经过了三分之二秒好之后之后是什么呢？之后板是这个 v 零一撇， v 零一撇 t 二等于这个两米啊，那就是 v 零 t 加二分之一 a 二 t 二方可以吧？啊，那么解得出来了， t 等于三分之二还是 t 等于三分之二秒，所以此时 v 五等于多少呢？哎， v 五就等于 v 零加上 a t 二了，等于多少呢？呃，八米每秒， 然后呢？ v 五，这是 v 板， 就是四米为秒，三分之二秒，三分之二秒。好了，那么这个热量是哪里来的？热量是不是板与斜面摩擦来的，对不对？好，所以就可以写了。所以 q 就应该等于 mu 二 mg cosine c 塔乘个什么呢？乘个 v 零 t 一 加个 v。 嗯， v 应该是 v 零一撇 t 二等于八分之三乘个二 mg cosine c 塔 二 m 积是多少？二十乘 cosine sine 五分之四 乘，括号里面应该是，呃，二乘三分之三分之四加上 四乘三分之二，三分之十二等于四 四十六六六乘四等于二十四角就可以了啊，它是一个循环 啊，其实不算循环吧，但是每一次 d r t 啊，碰撞间隔 d r t 相同， 有兴趣的可以看一下。呃，这个常州期末啊，它的碰撞时间间隔也是相同的，但是比比这个要难多了啊，比这个要难一点， 他的碰撞时间间隔也是三分之二秒，但是难度比他大啊，那我们这地方就不扩展了。这是第十五题。好，第十六题，第十六题是一个叠加场啊，也是整份试卷区分度最大的一道题。 好，我们先读题啊，首先是，嗯，空间值表坐标系啊，然后有个数值向下磁感强度为 b 的 云强磁场和周期性变化的云强电场。电场变化周期二拍 m 比上 qb 啊，这是是不是就是磁场周期啊，对不对？转一圈呢，大家有这个敏感度啊， 电场强度一零，大小和方向可调那么一个质量啊，原沿 x 轴正方向以 v 零射出好，重力加时为计。大家注意到，题目读完之后有非常重要的特点，就是什么呢？是不是需要考虑重力呢？ 对不对啊？考虑重力好，他说零到零点五 t 内小球做匀速圆周运动，请问电场强度一连大小和方向，那么有东西要做的球是不是受重力， 对不对？那是不是意味着我的电场强度要和重力去平衡，我才能做匀速圆周运动对不对啊？做匀速圆周运动也就意味着什么呢？ eq 啊，等于 mg 可以吧，所以 e 零等于 mg 除以 q 方向数值向上，因为它是带正电的。第一问啊，算是这个题目入门了。第二问，他说若电场强度 e 等于 b v 零， 并沿 y 轴正方向。好。看到这个表达式，大家有没有想到过一个东西，就是速度选择器 应该有这敏感度吧，对不对？但凡知道这个叠加场的科技前沿的一些东西，速度选择器或原件，这个，呃，质谱仪，霍旋加速器都要应该耳聪耳聪能详。还有四六 t 发电机，这个是速度选择器的这个表达式， 然后接下来我们看一下它的，嗯，叫什么？方向判断的对不对啊？因为沿 y 方向，沿 y 方向意味着什么呢？意味着你的力是朝这里的，对不对？那我判断一下啊。好，我的轮子是朝上了。 q v 零 b 可以 了。 对图丙中定性啊，定性话术，那我做的不就是一个类平抛吗？对不对？类平抛一下， 类平抛，然后一个周期结束了，这个零到零点五 t， 做的这个类平抛后面的零到 t， 零点五 t 到 t 呢？我是不是又要稍微 画一下了？零到零点五 t， 我 应该是过水平位的中点去切一下， 能画稍微标准一点就画稍微标准一点切一下啊，大概是这个东西到到这里对不对？这边是零点五 t 的 时间 可以吧。 嗯，他有没有说这个对的呀，做的不就是一个平抛吗？不是类平抛，是平抛。然后他想说的是什么呀？ x o y 这我哪看一下啊。嗯， x o y 零到零点五 t 是 有这个哦，我画的好像是我画出问题来了，我画的是竖直方向的，对吧？ 我画的是 x o z 平面的，应该画 x o y 平面的。嗯，这个还是要稍微写一下啊。我画的是我把它移移过来吧， 把这个画成 x o z 平面啊，把它画一下 好，这个是 x， 这个是 z， 那 么这道零点五 t， 那 么后半段的话有问题的啊。后半段先别说，前半段做的是一个平抛， 前半段是一个平抛。 好，零点五 t 到 t， 呃，电场没了，那我就得转圈了，对不对？零点五 t 到 t， 电场没了，得转圈，那么从 x o y 平面上来看的话，零点五 t 接着电场没了，它会转圈，转圈的话应该转的是一个逆时针的圈， 转半圈好， ok， 就是 这样。 嗯，好， 然后我们先把这个图画好，然后再做一些处理。第二个，第一个就是肯定要先写磁场了。 b r r 等于 m， v 比上 q b t 等于二排 m 比上 q b 好， 这是 这个东西好。嗯，要拆开说了，零到零点五 t 对 不对？ 这个路灯自力和电场力平衡，我在这个在 x o y 平面内， 平面内做平抛 可以吧？平抛，那么，嗯，这个 x 就 应该等于 v 零乘个二分之一的 t 等于。呃， pi m 比上 q b 乘个 v 零，所以这边很多标是有的。 pi m 比上 q b 乘个 v 零可以的。那么这平抛要的距离不知道要不要啊？好像是没有用的。 y o z 平面的最大距离 y o z。 没事，一会再看这个东西。 呃，这是零到零点五 t， 零点五到零点五 t 到 t 是 不是？呃， eq 消失了， e d q 等于零，电场没了。所以我要做什么呢？在 x o y 平面平面内做匀速圆周， 对不对？接着呢，接着这个做匀速圆周在 x o z 平面内， 或者说不能说在 x o z 平面内了。你已经说了， x o y 平面就应该是在在 z 方向上，应该是继续自由落体吧，对不对？应该是继续自由落体，因为它本来前面一段平抛在 z 方向就是自由落体。 好，那么 r 等于啥呢？ r 就 应该等于，因为它做做这个在 x 方向上的速度是 v 零没有变啊，所以 r 不 能是 v 和应该是 v 零， b 上 q b 可以吧？行，那么这个有，他说是 dm 离 y o 的 平面最大，就是这点。对，所以 dm 等于 x 加上 r， 那就是等于 x 加上，等于什么呢？等于 e 加派括号 m v 零啊，比上 q b， 这是第二问啊，所以，呃， z 方向的运动不需要考虑啊，有点多虑了。 第三问到这边的话，难度其实也还可以啊，不抽象。 第三问，我们来看一下，他说若电场强度 e 零等于二分之一， b 为零方向沿外轴正方向求二 t 时粒子的位置坐标。那么有了这个啊，有了第二问的这铺垫啊，你就知道第三问应该用什么做了。 是不是？是不是应该是配速啊？对不对？配速法？ 配数法。首先呢，我们能够知道什么呢？大家一定要会偷。什么意思？一定要会偷分我沿这个 z 方向的 零到二 t 内啊，我这个 z 方向老老实实兢兢业业，是不是一直在自由落体啊，对不对？第三问啊，零到二 t z 方向啊，它一直就是二分之一 g 二 t 方，这个可不可以啊， 对不对？就应该是，呃，二 g t 方等于二 g t 是 t 方 t 方 t 方 t 方是多少？四派方 m 方 q 方 b 方等于 八派方 m 方 g q 方 b 方。这个一分所有人啊，都得拿到，对不对？然后接下来我们再去拆后面这个东西，后面这东西它配数的时候还得分开来去配。第一个又是零到零点五 t， 对 不对？咱稍微拆一下啊，这个题目也挺有意思的， 能听配速法的就往下听一听，有好处，然后如果听不了的话，咱拿个基础分，咱就撤呗。零到零点，零到零点，零到零点五 t 对 不对？我开始在 x o y 去配了啊， y x 对 不对？咱给的是什么？咱给的是 v 零 v 零，然后这边有个 eq， 那 eq 等于二分之一 b 位了。你又你又知道了什么呢？力不够呗，对不对？力不够，所以我需要配出一个速度来，配的速度是多少呢？这边就是这个是应该是多少？应该是呃，二分之一的 q v b， 因为 eq 等于二分之一 b 不 够的，所以这是我配出来的，那我为了产生这样的一个力， 我配的速度朝哪配的速度能不能意思到是朝左的？我配出来啊， 就是二分之一为零，能不能意思到这这个部分两个？这个紫罗兰色的部分，它是这个或者说艳红部分，它是配出来的速度和力，对不对？因为我不能只加一个 速度啊，这样相当于对他的合合运动会造成影响，所以我得配出来另外一个二分之一为零，对不对？好，在这样的一种情况下，说什么呢？零到零点五天内啊，看我说的啊，以 二分之一为零，向左匀值加上什么呢？以 二分之一 v 零加 v 零加什么？ v 零加磁场里面原来有的 v 零，对不对？这地方这两个人产生的论论之力孤独无依，我们还是要稍微给他研究一下的，对不对好。 哎，等会。呃，好像配出问题来了，好像配反了。让我想想啊， 好像是配反了，出问题了。 不好意思，我们这地方配反了，我得重新开始配 好这个基本运动情况。我们画出来之后啊，它受到一个 eq， 对 吧？这个一零 q 我， 我把它变成我们认识的力 二分之一 q 为零 b， 对 不对？也就是说它受零到零点五 t 内受到一个沿外轴正方向的横力，那么我就要配出速度来，把力给它抵消掉。我配出来的力是朝哪呢？ 我配出来的力是朝上的二分之一 q 为零啊， v 撇 b 对 不对？为了配出这个东西来，我是不是根据左手定则啊？左力右垫， 磁场是进去的，我是不是得配出这么一个速度是多少？二分之一为零对不对啊？因为配出了一个二分之一为零，所以我得不能只加这一个二分之一为零，我还得反向加一个二分之一为零， 可以吧？这就是配速法的基本逻辑。配的部分是哪里？一共是这三个。这三个部分怎么去理解？第一个，我想要配出一个速度来，它产生的洛伦兹力呢？和 除了论之力以外，原来这个磁场，原来这个复合场里面，叠加场里面，除了论之力以外，这个横力去抵消掉。为了配出这么一个向上的力，有一个向右的分速度，对不对？但是对于粒子的运动状态又不能影响，所以我得把这个速度给它向左也配出一个来。接下来 就是这个运动，就可以看成什么呢？以这个这个颜色的二分之一为零，向右 匀值，这是一个运动，这是一个分运动，加什么呢？以 v 零减二分之一 v 零的速度做匀速圆周 可以吗？转多少转不安全，转多少转？零点五个周期吧。所以， 所以零到零点五 t 啊，这个直线匀速的应该是多少呢？应该是二分之一为零，乘个零点五 t pi m 比上 q b， 然后，嗯，匀速圆周运动， r 等于多少呢？ r 等于二分之一 m v 零比上 q b。 因为速度是二分之一为零吗？距离是多少？这个距离是，呃， x 匀，这应该是 y y 圆周应该是二倍的二一撇等于 m v 零比上 q b。 所以 说经过了零到零点五个周期，我去哪了呢？我给大家画一下，相当于我去到了这个地方， 一边向右做 匀速直线，这一边呢，向上转了半圈啊，我们把它画一下，向上转了半圈，转半圈大概是这个样子， 转半圈啊， 大概是到这 这个点的坐标，这个点坐标是多少呢？应该是，嗯， x 和 y， 那 就是 x 等于 派 m v 零比上二 q b y 等于负的啊，负的，因为它在 y 轴的负半轴。 m v 零比上 q b 好，嗯，好，这是零到零点五 t 的 啊，零点五 t 的 时候在这个点，那么下面是零点五 t 到 t 电场没了，零点五 t 到 t 电场等于零，也就是说没有电场力了。那我们看他的末状态是什么呢？他的末状态是什么呢？是你转了半圈之后，你做匀速圆周运动的速度二分之一为零。我用红色笔写吧， 因为红色笔还是跟以前一样啊，跟这个前面我们标志颜色一样，转半圈二分之一为零，到这里向右的这个紫紫色的这个二分之一为零呢，是一直向右的，所以在这一点啊，它有个非常重要的特点，就是核速度 等于零，所以零到零点五 t 在 这个 x o y 平面内， 它是静止的，那这个比较难。想好了，接着呢，一 t 到一点五 t 有 没有发现？呃，电场重复了吧，一点五 t 和一点五 t 到两 t 均为 循环。好，我们把这个循环画一下啊， 烤一下到这行，这个是一点五 t 所在的位置 啊，一点五 t 所在的位置，然后一点五 t 到二 t 是 一个静止的啊，所以我最后就可以写了啊，所以最终 x 等于多少呢？ x 等于两倍的 x 匀就等于 mv 零比上 q b。 呃， y 是 负的，等于负的，四倍的 r 一 撇啊，等于这个四倍的 r 一 撇等于二。 mv 零比上 q b 啊。 z 轴是我们刚早早就求出来的， q 方 b 方八派方 m 方 g。 第二题由第二题到第三题的这个过渡呢，给了同学们思考时间， 这道题目的第三问还是比较好的。嗯，好，是这样，这是这道题目啊，大家可以借助这道题目了解一下基本的配送。好，谢谢大家。
13:45查看AI文稿AI文稿每天一道好题，为高考加油！大家好，今天我讲解一下这个南京盐城高三一门的第十八题， 嗯，这是一个圆锥曲线解答题，难度不大，我们来分析一下。首先第一问呢，根据题中条件求抛物线方程，这个我就不求了，这是 y 方等于嗯，四 x， 这个 p 点坐标呢，它是四四点， 我直接讲解这个。第二小问我如何分析这样的题目， ab 两点在抛物线上，我们先把图大致的画一下， 有一个抛物线外方等于四 x， 开口朝右， p 点呢，是抛物线上一点，比如说在这 ab 两点在抛物线上，并且 ab 的 重心在外等于负四分之三上，我们就随意画一个吧。啊，这就是 a 点，这就是 b 点。 然后呢，重心在这个直线上，重心有什么用呢？首先重心，你应该想到重心的坐标公式，三分之 x， 一 加 x， 二加 x 三，三分之 y 一 加 y， 二加 y 三，那就是三角形 abc 的 重心 啊。这个里面呢，我就不再多说了。好了，我们继续往下分析。第一问，证明直线 ab 的 斜率为定值，这个直线 ab 的 斜率，首先我们肯定是要分析分析一下，这个斜率怎么表达呢？ 首先呢，还有这个几何条件，重心在直线上，怎么分析呢？ p 点肯定是十四点了，我们不妨就把这个 a 点和 b 点设成 x 一 y 一 吧， b 点呢，设成 x 二 y， 根据重心的公式，那么第一小问我们就可以知道，这个三分之 x 一 加 x 二加四， 他就应该呃重心的横坐标，没给我们直接找重心重坐标吧，那就是三分之 y 一 加 y， 二加四，他就应该等于负的三分之四，这就是已知条件， 那么跟 ab 的 斜率有什么关系？那么这个东西啊，你就得上手去试探一下。当然呢，你做过这样的题的话，这个题也很简单， 怎么个方法呢？这实际上是个结论，你看啊， ab 的 斜率，我们肯定就用 ab 两点坐标来表达， y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二， 你这样表达完了，下边是不是要化减呢？你化减怎么化呢？你既有 y 又有 x， 你 是不是没法化呀？而这个抛物线这个点又在抛物线上啊，在这上，那是不是可以用抛物线方程来代换呢？ 代换的话，你说你是削 y 呢？还是削 x， 那 肯定是削 x， 因为你 y 接出来是带根号的，而 x 接出来是四分之 y 一 放，显然好处理。所以这样的话，斜率表达完以后，下边肯定要变形，这个变形就用抛物，用这个抛物线的方程， x 一 是四分之 y 一 方， x 二是四分之 y 二方，你看这两个相减，这个式子怎么化解呢？你下边这个一通分的话，是四分之一倍的， y 一 方减 y 二方，而这个 y 一 方减 y 二方，是不是一个平方差呀？ 和上面这个 y 一 减 y 二能消掉一个，所以这个一消的话，那不就变成了什么呢？变成了四分之 y 一 加 y 二，所以这个就等于 y 一 加 y 二分之四 啊，这就是斜率，这个实际上是一个结论。好了，有了这个公式，你看我们已知条件，是不是能解出这个 y 一 加 y 二了呀？把三消掉，那么 y 一 加 y 二，他应该等于负八， 所以这个斜率就等于多少呢？负八分之四，也就是负二分之一。好了，我们这个第一问就解决了，实际上这个东西就是见招拆招。当然你要知道这个结论的话，这个题就更不用说了，很快就解决了。 好了，我们重点分析这个第三项问，直线 ab 与 x 轴交于点 q， 我 们这又来个点 q， 然后 ab 的 中点是 t， 比如说这个点是 t 点，线段 p q， 中点是二，我们再把线段 p q 连上， 这个它的中点是二，比方说二点就在这过， p 点向 t 二做垂线，向 t 二做垂线，这个线越来越多，我把这个用换个词吧，用 p 点向 t 二做垂线，垂足是 h， 嗯，再出来个向量，垂足是 h， 让我们证明点 h 在 定圆上运动。这个东西啊，分析起来就麻烦多了，有 p q， 有 r， 还有 t 点的。 但是你要是这个东西在考场上不会做，就说明你经验少。但凡我们做过二零二零年新高考一卷，也就是山东卷那个题，原亚洲题第二十二题你要做过的话，这个题你肯定有思路。 你想想，做了这么多的垂线，你做个垂线，证明这个垂足在一个圆上，你联想到什么？ 联想到什么？联想到直线，说明这个直线二 t 过定点，那么这个定点要有的话， p 点也是个定点，你这时候这个垂足，嗯，说明什么？说明这个 p 点就是这个 h 点，不就是这个以这个定点和 p 点 我所在的线为直径的圆上的一点吗？就是直径所对的圆周角。所以这个题呢，他的实际背景就是二零二零年新高考一卷那个山东卷的压轴题第二十二题。 好了，这个题我们刚才已经分析了，所以这个数学呀，实际上有些东西是需要经验的，大量的刷题对你启发思路是很有帮助的。好了，我们明白这个思路了，下边要找什么呢？就是证明 r t 过定点 生命， r t 固定点怎么分析呢？这个怎么分析？这里边啊，实际上你想一想他那个 r t 跟什么有关？ t 是 ab 的 重点， ab 的 斜率又给了第一问，不可能没用啊，他没用的话呢？他孤立起来，那为啥做个第一问，第二问呢？ 那么 ab 的 斜率有的话，那直线 ab 的 方程我们就可以设出来，它直线肯定有个字母，对吧？那么直线斜率有的话，设出直线方程来，那是不是能找到 q 点？ q 点有的话，然后直线跟抛物线连立，是不是能找着 a t 的 坐标 啊？啊？ ab 的 终点坐标，然后这个直线与 x 轴交点，要有 p q 的 终点是不是也有，你就可以把这个 r t 给表达出来，这个 r t 的 点表达出来，直线不就有了吗？直线有，那我们就可以表达这个，嗯，这个 直线的这个定点。好了，我们来下边光说不行，来写一下吧。第二小问，首先这个直线 ab 的 方程，我就可以设设直线 ab 的 方程， 直线 ab 的 方程是什么呢？这个斜率是负二分之一，所以就是 y 等于负二分之一倍的 x 加 m， 我 就设斜解式吧。 那么这个直线斜率有了，我们下边要想求这个 q 点，能不能求？显然 q 点坐标它是与 x 的 交点呢？让 y 的 零，所以 x 的 商 x 等于二 m， 所以 q 点就是二 m 零。 q 点坐标有了，首先还得找 t 点，是吧？ t 点是这个中点，这个 t 点坐标怎么求呢？ t 点实际上，嗯，就是二分之 x 一 加 x 二，外分之外，外一加外二，我就可以把这个值，呃，抛物线跟它连立吧。 y 等于负二分之一 x 加 m 啊，实际上这个中点的，你看啊，我不用这个连立就行了，因为我们刚才已经找到这个 y 一 加 y 二了，等于负八， 对不对？这个 y 一 加 y 二等于负八的话，说明啥？ y 一 加 y 二做负八的话，那这个 t 点的横纵坐标就是二分之 y 一 加 y 二， 对不对？所以这个节这个点的纵坐标就是负四，你纵坐标有了，你再代入这个 y 等于负二分之一 x 加 m， 那 你是不是就能求横坐标？那我们看一下， 纵坐标是负四，那么截横坐标我们算一下吧，这个是负四，等于负二分之一 x 加 m， 所以 这个二分之一 x 把四负四移过去，就等于四加 m， 所以 这个横坐标 x t， 它就等于二倍的四加 m， 对吧？那么这个 t 点的横坐标纵坐标也有了，所以这个 t 点我先表达出来，那就是二倍的四加 m， 然后呢？嗯，纵坐标是哪的啊？纵坐标是负四，这 t 点坐标就有了， t 点坐标有了，下面我们再去表达这个二点坐标啊，这时候我们就会发现，这个 t 点坐标就与直线的这个纵截距有关。 q 点坐标怎么表达啊？ q 点坐标已经有了，我们再表达这个 p q 终点，那么下面求 p q 终点 t p q 的 终点 t， 那 就是二分之 x 一 加 x 二，对不对？那这个就是多少呢？就是 m 加二， 二分之百一加百二，那这就是二啊，这是 r 点啊。 pick 乘以二，那 r 点坐标有了 r t 的 直线方程，我们看看能不能表达了。可以啊，有两点我就可以求直线 r t 的 斜率， 那么纵坐标之差，二减负四就是六，然后 m 加二减去这个二次得八加二， m 这个差呢？嗯， m 加二啊，负 m 减六，这就是 r t 的 斜率。 好了，我们再利用点斜式， y 减 y 零，我用哪个呢？比方说用了二点吧， y 减二就等于负的，这个就是 m 加六分之六倍的 x 减去 m 加二，减 m 减二， 对吧？好，我们下面整理一下这个直线方程。过什么定点呢？过什么定点呢？我们可以整理一下，直线要过定点很好处理啊。呃，我们先整理一下，把这个 m 加六乘过来，那就是 m 加六倍的， 嗯， y 减二，它就等于负六倍的 x 减去 m 减二。 要看直线过定点怎么处理呢？把由 m 的 向合并到一起，把由 m 的 向， 由 m 的 向，这有个 m 倍的 y 减二，这有个加六 m， 对 不对？哎，我们整理一下 m 倍的 y 减二，我一步步来啊，加六倍的 y 减二，一步到位，可能大伙看着费劲。这是负六 x 加六， m 加十二。 你把有 m 的 项放到一起，就是 m 倍的 y 减二，把负六移过来，就是 y 减八， 对不对？把其他的项再整理过来，这是六 y 减十二，把那个负六 x 移过来加六， x 减十二等于零，所以这里面再一整理，你看 m 倍的 y 减八加上，嗯， 这是六 x 加六， y 减二十四等于零，那么你令这个 y 减八等于零，六 x 加六， y 等于减二十四，再等于零，那不就能写出这个定点坐标吗？这个大家都应该没问题吧？ 嗯，我们这里面知道了，这个 y 是 八， y 得八的话，这个下边方程整理一下，消个六，就是 x 加 y 减四得零，你 y 要得八的话， x 不 就得负四吗？所以这个定点我们就有了， 对不对？比方记住 m 吧，这个直线过定点 m 就是 负四八啊，也就是这个这个二 t 这个直线它过一个定点就是负四八， 这个定点 m， 只有你想一想，这个直线 r t 过负四八这个点，然后过这个点转的一条直线，然后这个 p h 垂直于这条直线，你想想这个，我们再把这个 pm 的 连上，那这里边不就出现一个直角三角形吗？ 对不对？那就说明点 h 就 在以 pm 为直径的圆上，明白了吗？点 h 在 pm 为直径的圆上，那么我们就可以把这个原理方程给它表达出来 啊，负四 bar， 这个图当然画的不对了啊，画的误差有点大，那么我们肯定是能表达出这个圆呢。嗯，你看啊，我们下边就写吧，这个 p 点是四四点，这个中点 m 呢，是负四 bar 啊，那么以 p， 呃，怎么说呢啊，咱们就直接描述吧，用几何形式来表啥，那么就是说 p h 垂直于这个直线 t 二， p h 垂直呃，直线 t 二，那么就可以说点 h 呢，就在以呃在以 p m 为直径的圆上啊。 好了，这个题咱们就解释到这里，这个题呢难度不大，那当然就是说大家要了解这个二零二零年新高考一卷那个压轴题的话，这个题是很好解答的。
190高中数学邹老师
18:33查看AI文稿AI文稿欢迎来到巧姐数学， 昨天的南京盐城高三数学考的一模试卷总体难度不大，今天我以一个在考场上的考生的视角，和同学们一起做一下四道选填的压轴题。 这边同学们注意一下，很多人在考试完之后，对照参考答案去做这些题目，发现如此的简单， 但是在考场上有限的时间内，通过对题目条件进行转化选，选择最佳的公式和最佳的角度切入，做出来这道题还是有那么一点难度的。首先我们来看第八题，第八题呢，是一个函数导出问题， 存在 x 零小于二，对任意的 x 属于 x， 零到二都有 f x 小 于零。一般来说，我们遇到这种存在性和任意问题，我们都要转化成最值问题， 但这个地方，我发现它的右边界二是一个定值，那这个二呢，肯定是有一点猫腻的，所以我们直接把 f 二带进去， 把 x 从二代入，发现 f 二等于四减四倍的这个一平方是等于零的，那也就是说 f x 在 右边界这个点呢，刚好是等于零的。那我们试想一下，一个函数在一段区间上，要想小于零，横乘以 二的时候刚好是零，那也就是说，只需要 f x 在 x 零杠二上是一个单调递增的，那也就说导函数呢，是一个大于等于零的。 好，那我们说看一下选项，我之前说过，对于这种求参数的范围问题是最简单的，我们发现呢， a 和 d 选项呢，它可以取到零， b 和 c 是 取不到零的，所以我直接令 k 等于零 代入，检验一下 k 等于零代入发现 f x 此时等于 x 方减去二倍的 e 的 x 方 加上。后面那个我就不写了，因为后面的常数项跟它的单调性无关，所以此时求导 f 撇 x 等于 x 方加二， x 减二倍的 e 的 x 方。 求完导之后，观察一下， e 的 x 方是一个横正的一个指数函数。那前面这个二次函数呢？我们判断一下，在二的左边是不是存在一段横正的区间。 画一下这个二函数图像，我们是最熟悉的，对应轴是负一， x 等于二的时候呢，再进去发现它是一个正的， 所以呢，在二左边肯定是存在一段正的区间的。那也就是说这个原函数递增符合题，所以 k 等于零是可以的，所以排除这个 b 和 c。 然后接下来我们再观察 a 和 d 的 区别，我们发现这个 d 呢，它是可以取到四了，这个 a 是 取不到四，所以我们直接令 k 等于四，或者令 k， k 等于三都可以啊， 我直接令 k 等于四，发现此处 f x 是 等于 x 方减去四， x 加上两倍的 e 的 x 方 还是一样的，它仅求到 f p， x 等于 x 方减去四， x 加二加上二， x 减四倍的 e 的 x 方等于 x 方减去二， x 减二倍的 e 的 x 方。 我们发现呢，它在二左边的这一段图像呢，它是负的，它是有一段是负的，因为二代引去应该是四减四减二是个负的，所以在二左边呢，它是不可能有一段 横正的区间的。所以此时呢， k 等于四应该是舍去的。 那我们直接选 a 啊，直接选 a 这种题目呢，我们就要用最快的方法来把它做出来。好，我们紧接着来看第十题，第十题这个题目呢， 还是比较简单的，我们看到一个函数的表达式，我们的第一步呢，应该是判断这个函数有没有基友性、周期性、对称性，然后再去看它的单调性， 如果单调性看不出来的话，就对它进行求导，那显然这个函数是不能直接求导的，因为有绝对值，而且这是一个复合函数。我们发现呢， cosine x， 它是一个偶函数， 我们说一个复合函数，它内函数是偶函数的话，那么整个一定是偶函数，所以这一坨呢，就是偶函数。后面这个绝对值， x 也是一个偶函数，偶函数加上或减去一个函数，还是一个偶函数，所以说此时 b 肯定是对的。 a 选项因为 cosine x， 所以 真数要大于零，所以 a 也是对的，所以 ab 是 非常非常简单的。那 c 选项，它让我判断在零到分子派上是单调递增的，那我们此时直接写 cosine x， 在 这个零到分子派上 应该是很简的，我们可以把 cosine x 的 图像在旁边画一下， 画一个周期就够了。那这个时候呢，在零到分之二时递减，外面这个 loin t 呢？对数函数是递增的，我们说同增异减，所以呢，这个 loin 可算 x 应该是递减的， 因为 x 大 于零，所以我们直接去绝对值，所以后面的是负 x， 负 x 是 一个斜，对于负的一个直线，它也是递减，一个递减加上一个递减，它肯定还是递减，所以 c 是 不对的这个选项。他说这个函数呢，尤其仅有两个零点， 我们说一个函数如果是一个偶函数的话，那么它左右的零点一定是对称的，所以我只需要看 x 大 于零的时候是不是一个零点， 那我假设 d 是 对的，对这个 f x 加 pi 等于零呢？这个方程把它抄一下，看能不能化解一下。此时我只看 x 大 于零的部分，那就是 loin 可算 x 减去 x 加 pi 等于零， 那就是 loing 三 x 等于 x 减派。左边呢是一个函数，把它看成 f x， 右边可以把它看成 g x， 那 相当于这两个函数在零到无穷上呢？只有一个交点。 那我们直接画图像，首先我们画这个 loing 可三 x， 这个 long 可可算 x， 有 人说老师能不能直接求导？这个地方是不需要求导，因为我发现呢，它的这个类函数可算 x， 是 一个周期函数，那么整个这个函数一定也是一个周期为二 kpi 的 周期函数。所以我们只需要画零到二 pi 的 图像， 然后把它复制粘贴就可以了。我这边画一下零到 ipad 图像。在零到二分之派上是有定义的，二分之派到二分之三派呢，是没有定义的，二分之三派到二派上是有定义的。然后这个时候呢？ x 等于零的时候，此时这个 f 零是等于零的， 二分之一派代数是没有意义的，所以我们可以取个极限 x 等于二分之派负，这个负表示从左侧无限接近二分之派这个点，那此时呢？ cosine 二分之派负 optimus 指数零， optimus 应该是等于零正，那这个 loin 零正呢？应该是等于负无穷的。注意我这个地方的书写形式是一个极限符号，大家要懂啊，零正就表示一个大于零，但是无限接近零的一个无穷小量，所以此时左边呢，应该是这样子递减下去， 同底可得呢，在二分之三派到二派上，应该是这样递增上去，然后因为它是一个周期与二派的周期函数，所以后面的图像就这样子复制粘贴就可以了。 好，那么我们继续画 x 减派。 x 减派呢，是一个斜对一的一个直线，经过派对零和零的负派，找它在 x 和 y 轴上的两个截距， 然后我们连一下，发现呢，确实只有一个焦点，这个焦点的范围应该是在零到二分之半之中，所以右边只有一个焦点，那说明左边也有一个焦点，那说明这个 d 选项两个零点应该是没问题的，所以这道题选 a、 b、 d。 接下来我们来看十一题。十一题这道题目还是有那么一点难度的，首先呢，我们来看一下，它告诉我们 a、 b， n 等于二倍根号的三，那我们直接想到正弦定理，这个二倍的根号二应该就是三角形的二 r， 所以呢，同你这个 b 等于二倍根号二倍的三 a b， 然后这个 c 应该也等于二倍根号二倍的 find c。 然后还有个条件没有用，就是面积是二这个条件，那显然呢，面积公式我们随便套一个 s 三角形 a， b， c 应该是等于二分之一倍的两个边，然后乘上另外一个角的 find， 那 这个时候我们把这个 a b 呢，用 find a， find c， find a 和 find b 代入，就可以得到二分之一倍的 八，乘上 sign b， sign a， sign c， 等于这个二，那么就可以得到什么呢？可以得到这个 sign a， sign b， sign c， 三个角的 sign 值相乘是这个二分之一， 那 a 选项 a 选项，它告诉我们三个边的乘积呢，是八倍根号二，那显然再把它带回去吧。 abc 应该等于二倍根号二的三次方，然后乘上这个二分之一吧，那就等于八倍根号二，所以 a 呢，显然是对的。 b 选项 a 方加 b 方大于等于 c 方，那这个时候呢，我们说 a 方加 b 方大于等于 c 方，说明这个角 c 是 一个锐角，那我们假设这个 b 是 对的，应该可以两面是其次的，可以把它换成全是角的式子，就是三引方 a 加三引方 b 大 于等于三亿方 c。 我 们做多选题的时候，我们可以假设这个选项是对的，我们要对所有的选项保持怀疑，先假设他是对的，如果在他对的这个基础上得到一些违背提议的条件，那么他就是错的。 那我们说三 e 方 a 加三 e 方 b 大 于等于三 e 方 c， 这个式子是不是对的呢？我们看一下我们的条件，我们目前的条件就这一个是三 a 三 e b， 三 e c 等于二分之一。那显然呢，我们一个不等式中，又有 a， 又有 b， 又有 c， 这个变量有点多，那我们就把这个三 e 三 e b 呢全部换成 c， 那这个左边是平方和，我们自然想到应该是叫基本不等式，所以说左边这个东西呢，应该是大于等于两倍的 find a 乘上 find b 的， 然后两倍的 find a 乘 find b， 把这个二乘过来，应该是等于什么？它应该是等于 find c 分 之一的， 那我们就看一下这个 sin c 分 之一是不是大于等于 sin 方 c 呢？把 sin c 乘过来，不用编号，因为 sin c 肯定是大于零的。 那这个时候我们可以得到 sin c 的 三次方是小于等于一的，这个显然是对的，因为 sin 的 值应该是在零到一之间，所以它三次方小于等于显然是对的，所以 b 也是对的。 对于 c 选项，当 a 最小的时候，问我这样的一个式子，那这个式子一眼看过去呢？大家也不要急着把它解啊，把它 a 解出来，这个一看呢，它不其次，这个角 a 应该也是解不出来的。那我们看一下， a 最小， a b n 最小，就是三 a 最小。 那因为三 a 乘三 a， b 乘三 a， c 是 一个定值，那所以此时呢，相当于要求三 a b 和三 a c 最大。 那这个时候我们发现呢，我们已经没有条件可以用了，但是有一个三角形内角和等于 pi 的 这个条件一直没有用到。那这个地方两个 sin 相乘，我们说叫做积化合差公式 个计划，和差和和差画质，很多同学呢不会背，有时间还是要背一下，然后背诵的口诀我后后面会单独录一个视频，其实也是非常好背的。在去年的高考最后一道大题的第一问就用到了和差画质公式 好，那么集合和差公式这个地方，我们说 sin b 乘 sin c 应该等于二分之一倍的，是负二分之一倍的，然后括号 cosine b 加 c 减去 cosine b 减 c， 因为 b 加 c 等于派减 a。 根据约导公式，我们说 cosine b 加 c 应该等于负的 cosine a， 所以 把它展开之后，应该就是二分之一倍的 cosine a 加上二分之一倍的 cosine b 减 c， 我 们说我们要让这个东西呢，尽可能的大，那我们先不用管 a 啊，我们看后面的 cosine b 减 c 什么时候最大呢？应该是当 b 等于 c 的 时候，因为 cosine 零是等于一的，所以此时当 b 等于 c 的 时候呢，这个 cosine b 乘 cosine c 是 最大的。那我们说此时这个 cosine b 乘 cosine c， 应该是等于二分之一倍的 cosine a， 括号 cosine a 加一，然后因为 cosine b 乘 cosine 又等于什么呢？又等于二倍的 cosine a 分 之一， 所以就可以得到 sine a 乘上 cosine a 加一等于一，所以 c 也是对的。一个多选题最多选三个，所以 dog 肯定是错的。那我们也可以看一下这个 dog， 它说当 a 等于 b 的 时候，那也就是说此时这个 sine a 是 等于 sine b 的。 那我们带到这个二分之一这个式子里面，发现呢，相当于是 sine a 的 平方乘上 sine c 是 等于二分之一的。 那题目给我的这个 d 选项后面这个式子应该是两倍的 sign a 等于根号的 sign c， 显然这两个式子是没有等价关系的，所以 d 肯定是错的。 那么对于这个 c 选项，我再强调一点，同学们在做的时候呢，每一步为什么用到这个公式，一定要不断训练自己的这个条件反射速度，就是我们到了这一步之后呢，根据已有的条件，我们没有别的方法， 我们用一个我们熟悉的这个公式，把每一个条件都能用到，那这个呢，就是我们的最佳思路。好，紧接着我们看十四题，十四题这个题目呢，很多人在读完题目之后，我们发现呢， 这东西应该对应着咱们的二净置，那即便二净置大家忘了也没关系。我们把题目看懂，他说 ai 属于零到一， ai 是 从零到 k 的， 很多人对这种含 ai 的 式子非常害怕，那其实 ai 呢，就是一个从零到 k 的 一个变量，那这个 ai 它只能等于零或一， 以 omega n 等于 a， 零加到 a k， 它说从 x 小 于等于两千的正整数集合中，随机抽取一个数 n 和 omega n 小 于等于三的概率。那首先呢，它说随机抽取， 那我们的这个分母就是全概率事件组，应该是两千，因为小于等于两千的正整数一共是两千个嘛，那它的概率我们只需要算分子 好， omega n 小 于等于三，就相当于这 k 个数呢，加起来的和要小于等于三，而且这 k 个数呢，它只能是零或一，那这个时候我们就想到了，说明这 k 个数里面呢，最多就三个一或者两个是一，其他全是零，或者只有一个一。 好，那能不能全是零呢？不可以。如果全是零的话呢，那么这个 n 对 应的应该就是零，但是它题目要求的是正整数集合，所以不可以是零啊。 那就是说从 k 个数当中应该是 k 加一个数，对吧？从零数到 k 是 k 加一个数，从 k 加一个数当中呢，选择这个三个，令它为一， 也可以选两个，令它为一，也可以选一个，令它为一，一共这么多种选法。我们在排列组合当中说过， 如果说你有的牌就得乘 a， 如果你有的选就得乘 c， 那 我们这个 k 到底是多少呢？我们发现这个两千， 这两千呢，我们说二的十次方是等于一零二四的，这是一个常识，因为一零二四对应咱们手机内存，对吧？很多人都知道一零二四 g b 等于一 t b， 但这个时候我们说二的十一次方呢，是等于二零四八， 那么我们思考一下，我们发现这个 k 呢，只要等于十就可以了， 为什么 k 等于十就可以呢？因为如果 k 等于十的话，它相当于是 a 零乘二的零次方，一直加到这个 a 十乘上一零二四， 那么这数的和。如果说 a 零到 a 十全是一的话，它们加起来是比两千要大的，所以没有必要加到 后面再加一个二零四八这一项。所以这个题目其实 k 就是 十，我们把 k 等于十带回去，就是 c 十一三， c 十一二和 c 十一分别算一下， c 十一三是十一乘十乘九除以三乘二乘一 等于十五乘十一等于一百六十五。 c 十一二是十一乘十除以二乘一等于五十五。 c 十一就是十一，把它们全部加起来应该是两百三十一， 所以这个就是我们的答案。这个题目看似很难，其实就是考一个排列组合的一个小性质，那我们说呢，对于这种题目，字母比较多的，我们不要慌，看清楚它题目的要求。 那么整张试卷做下来，这四道选填压轴题其实都不是特别难，每道题目大概平均要用三到四分钟的时间。
57乔解数学
