张宇1000题一元微分学几何应用
再看这个第十题啊，给出 f x 分 段函数，那基本上是要考哪里呀？是要考这个分段点它的一些性质。那 a 选项不连续， b 连续不可导， c 可导导函数不连续， d 可导导函数连续。 这种题呢，这个不要从最弱的那个概念入手，就是连续不连续啊，应该直接奔啥？直接奔可导不可导去研究，因为一旦可导了，那肯定是连续了，对不对啊？那我们怎么知道可导不可导？用导出定义，先写零点的诱导数，那就是 f x 的 减 f， 零除以 x， x 的 取零。正 这个时候呢， f x 用哪一个？那关键是要用清楚哪一段是吧？ f x 应该是用大于零的那一段，就是第一段，就是这个三次方乘三 e f 零，那在哪里啊？是不是在零这个点？那不刚好就是零嘛。看第二段就是零了。好了，这样一约分变成平方乘三 e， 那么这个平方乘三一的极限是怎么算？大家看平方在零点是不是叫无穷小，对吧？三一，你别管三一几，三一肯定是有界，正负一之间嘛。所以前面是无穷小，后面是有界，二者相乘呢，肯定是零啊，这是我们的重要性质之无穷小乘有界。别忘 好了，右导算完了再去算什么？如法炮制算它的这个零点的左导啊，那就是 f x 减 f， 零除以 x， x 呢，从零的左边跑过来，那这个时候呢，是关键是要弄清楚这个 f x 用哪一段， 这个 f x 呢，是不要用比零小的，这一段就是第二段 x 的 方了。所以呢， f x 用 x 的 方， f 零还是零除以 x 一 约分即减是零。 那这样的话呢，右导左导都是零，立即回答他干嘛？他是有导数的导数存在啊。所以这个题呢，在零点一定是可导的， 而且导数都算好了，就是这样，就是这个零，那你在零点可导立即推，你在零点必干嘛？那显然，那你在零点必然是连续的，因为可导必连续。那这样的话呢，就既解决了连不连续，又解决了可导不可导，这样比较方便。但是呢，还没有解决这个题， 因为这样的话呢， a 肯定不对了， b 肯定不对了，那 c 可导， d 可导，这都是对的，到底是选 c 还是选 d？ 得再看啥？看逗号后面导函数连不连续，看导函数连不连续， 那么导函数连不连续，这要看什么？要看导函数的极限，所以得干嘛先求出导函数？那你看零这个点的导跟小于零的导来吧。那如果是比零大这个导，那怎么求？ 那比零大的倒是不直接拿这个分段函数第一段来去求，就是这个乘法啊，按照乘法公式，前倒后不动，前不动后求倒，求出这个倒数了， 那再来，如果是比零小，他的导又该怎么求？那大家知道，你比零小的话，这个导拿分段函数第二段 x 的 方求到二 x， 至此就解决了这个分段函数所有点的导，是吧？比零大的导，比零小的导，以及零点本身的导。求完导之后，那看连不连续？ 看连不连续，要看啥？要看极限啊，要看什么呢？要看导函数它的极限，它的什么极限比零大，右极限比零小，左极限是不看两个。先看右极限，导函数的右极限是拿这个比零大的这一段就是这个三倍的减，后面这个极限， 那这个极限怎么算？用四得一算，把它拆开，那减号前来一次极限计算，减号后来一次极限计算，这两个极限都好算，怎么算？这不是无穷小乘上三一有界，这不是无穷小乘上口三有界。所以这个结果大家一算，肯定是几，肯定是零 啊，因为他们都是无穷小，是不是？乘上有界？好了，导函数的右极限算好了，再算什么？是不是再算这个导函数 f 一 排的左极限，拿哪一段？拿比零小的这一段， 那就是谁二 x， 那 显然二 x 这个结果一算是几啊？那这个结果一算显得等于零吗？那这样的话呢，就算好了，这个导函数的极限右极限有，左极限有，都是零，而且呢，它的导数导数值也是几， 导数值也是零，对不对啊？你看导函数的右极限，导函数的左极限，导函数自己算过的都是零，那这样三者相等，那就说明什么？说明被定义，那就说明我们这个导函数它就干嘛了？ 说明这个导函数他在零点就连续了，故，那证明完毕。所以导函数下结论在零点是干嘛的？他在零点是连续的。 所以这个题啊，那就把这个自己连不连续，自己有导没导，以及导函数连不连续全考进来了。特别是什么呀？特别是这个，呃，导函数 f 一 撇连不连续比较糟糕，得干嘛？得？先求出导函数 在干嘛？在分析导函数的极限，右极限，极限，左极限，跟他自己的值作比较。如果像今天三者相等，那就连续，如果三者不全等，那就不连续，就这个意思。好，这是一个比较啰嗦的讨论题。再往下看，第十一题 说 f x 具有一节连续导数，给出 f x 的是 f 乘以零，这个是是 f 在 零点可导这个事的什么条件？ 这个题呢，他研究的是 f 可导不可导，所以呢，我们答案上就是盯着 f 用导数定义做，其实呢，没有必要这样做。大家这样来看，你这个 f 是 怎么构造的？是 f 乘中括号，你想想，我把这个 f 乘进去，我把这个 f 乘进去， 你如果用分配率乘进去，你会发现这个 f 是 f， 然后呢，再加上 f 乘绝对值，那这有什么好处呢？哎，好处就出现了哪里呢？我们已经知道啥了？ 这个题目第一句话是不是已经说了，否是干嘛？否已经可倒了？大家想，那第一项已经可倒了，那所以整个 f 有 倒没倒？整个 f 什么时候有倒没倒，取决于什么？取决于第二项， 因为四德运算嘛，是吧？可倒加可倒就可倒了，可倒加不可倒就是不可倒了， 所以 f 可导不可导，完完全全被谁所决定，被加号后面这一项所决定。所以这样的话呢，你的原题是研究 f 的 导数问题，我就转化成什么这个后边这一块的导数问题。这样的话呢，做起来简洁， 大家得学会啊，一种转化思想对不对啊？要想做这个件事，可以把这件事转化成另外一件事，可能另外一件事要比原先这件事做起来简洁，就这个意思 好了，所以就把研究 f 的 问题转成这个加号后，就是 f 成绝对值。那怎么研究呢？来，这样把这个 f 成绝对值，大笔一挥，写成什么呀？给它写成这个小 g， 那 么就把这个相乘嘛，相乘写成小 g， 那研究小 g 有 倒没倒，研究小 g 什么时候有倒没倒。那怎么研究？用定义来写小 g 的 导出定义， g x 的 减 g x x 的 区域零，那 g x 的 就是这个乘法，这个乘法，那 g 零是几啊？那 g 零肯定是零了， 这 g 零就不用说了，因为他有捞一嘛，捞一一肯定是零了嘛，所以这个 g 零，那这点就是零了。好了，那这样写好之后呢？来分析这个极限。怎么分析？等价吗？捞一一加 x 等价于什么？ x 的 绝对值找超。那么带有绝对值要分啥？分左右？那你想，如果是什么右极限 来给他取零正零正绝对是脱掉约分剩个分，分的极限就是分零。为什么？因为分是可导，因为分是连续也，所以呢，分的极限就是分的值，这个是没有问题的。那如果是零左呢？零左的话，绝对是脱掉填符号那天格符号，那不就是负的分零了吗？ 所以这样的话呢，导导数，导数极限就算好了，那结果就是，呃，右导数右极限是反零，左导数左极限是负的反零。那显然要想导数存在，只有啥时候是不只有这两个相等， 这两个相等极限才存在，导数才存在，是不是这意思？那这两个要想相等，只有一种情况，那非零要想跟负非零相等，当界紧当，什么时候非零等于零？所以我们写一句话，只有什么时候是不只有非零等于零，这个话要想清楚，只有当界紧当充分必要， 只有非零等于零，是不才有极限存在，才有导数存在，是不才有这个？这个十一题成立，对不对啊？ 所以呢？做完了。所以他说 f 零等于零是可导的啥条件？那仅有只有这种话是啥？是充分必要是吧？只有 f 零等于零才有导出存在。 所以呢，这是什么条件？这是充分必要。那不做完了吗？所以这个题呢，应该是选择 a 选项啊，叫充分且必要做完了。 好，这是关于这个讨论充分必要的问题啊。看第十二题，给出 f x 已经在 x 零点可导了，又给出 x n 是 三也加上平方分之一，求这个大大的极限， 像这种已经可导求极限。我们在前面第一道题就说过要对这个极限横等变形，是吧？比如等价，比如展开啊，比如这个，呃，加减乘除，把它凑成什么呀？凑成这个点的导数啊，可能是他的多少倍。 这个题呢，首先把这个 x n 处理一下啊，这个 x n 呢，是三 e 加上平方分之一。我们知道加减法一个有利的手段就是干什么呀？就是做它的展开，所以我们可以把这个三 e 的 地方先用它的展开处理一下。那就是三 e x 吗？就是 x 减六分之一， x 三怎么后面无穷无尽不再展了？ 那么再加上这个后面的平方分之一，这样展好之后，你发现，呃，除了第一项，后面所剩下的都干嘛？次方是不是都超过第一项了 是吧？你看，这是三子方，这后面更高子方，这是二子方，所以可以干什么呢？可以把第一项留下来。后面的这所有项都是什么呀？都是第一项的啊，这个高子方高结无穷小，那这样的话呢，你看就写成什么了？是不是写成只有第一项 n 分 之一，后面都是 n 分 之一的？什么呀？高结无穷小，那这样的话呢？我们知道， 呃，就相当于说这个 x n， 他的泰勒展开手相是 n 分 之一，我们知道泰勒展开手相是谁，就说明跟谁等价，这是由泰勒到等价的一个逻辑。第一章我们就研究过，那既然手相是 n 分 之一，就说明跟谁跟 n 分 之一是等价的。 好了，这就研究好 x n 了，然后呢，开始分析这个极限，那么这个大大的极限怎么处理呢？那第一步容易想到，因为这个分母中有个这样，他有一个叫三 e n 分 之一的这一项，这一项显然可以干什么？做等价，那等价成什么？等价成这个 n 分 之一，等价好了之后，再怎么处理这个新极限 啊？怎么处理呢？那这有个关键的步骤，这个题，包括下一个题，都是这样做，把这个新极限，这有俩 f， 是 吧？ f 大 肚子是不在 f 大 肚子， 那要把这个新极限，这有两个 f， 把它拆开，那拆开做那减号前 f 除分母，减号后 f 再除分母，拆成俩，这是个关键的步骤。为什么能拆呢？ 为什么敢拆呢？因为它已经可导了。记住， f 已经可导的题，在做的过程中啊，基本上放心把极限 拆开做，拆成两个相加，拆成两个相减，往往是这样做。为什么？因为第一个极浅往往能够变成导数，可能是几倍啊，不管几倍吧，二倍，三倍，二分之一倍，那导数已经存在了，所以第一个极浅存在， 第二个极限往往也能变成倒数，往往是多个几倍吗？别管几倍、二倍、三倍啊，总之他是存在的。所以这样的话呢，我们就把上面这个极限给他写成什么，写成下面这个极限，就是这样给他从上就是把上面这个极限 啊，给他写成什么，写成下面这个极限拆开了。因为前面这个极限，包括后面这个极限，待会经过横等变形都能变成倒数的倍数，都是干嘛存在的？ 那怎么变呢？来，把前面这个极限给它减个谁？你看 x 零加 n 分 之一，再减个 x 零，是不是再除 n 分 之一就好了？所以第一个极限给它减一个什么去 f x 零， 那同样第二个极限呢？大家看这是不 f x 零加德塔最好再减个 f x 零，是不？第二个极限也给它减个 f x 零，那老师能这样减吗？人家也没说为零啊， 那不需要说为零，你想一想，这个地方多了一个 f x 零，这个地方呢？又给他补了一个 f x 零，那这样是不是你是负的 f x 零，这是负负取正，正的 f x 零。那你看，你补一个负的，你又添一个正的，这是横等变形啊，对不对啊？ 你你你，你相当于说减一个又加一个，你减一个加一个，那不是横等变形吗？当然是对的了。好了，这样的话呢，前面这个就成啥了？成了这个点的导数，但是后面这个地方还没有成导数。为什么呢？因为后面这个地方，大家仔细看它的增量是谁？它这个上面是负的 x n， 看出来没有？ 你这下面不是负的 x n 呀，你得上下长得一样，像第一个 n 分 之一， n 分 之一上下长得一样才叫导数定义。 你第二个上下长得不一样，不叫导数定义怎么办？变成上下长得一样来，第一个成功了就是谁啊？导数第二个没成功，上面是负 x n 最好，下面也是啥负 x n。 哎，这个太好了，这样的话是不上下就长得一样了，就能变成导数了，但你多个负 x n， 你 得干嘛？再乘个负 x n 是不？乘一个除一个横的变形，然后 n 分 之一找抄，这样的话呢，这个负 x n 就 相当于我们说的德他 x， 那 这样的话再往下走啊，前面这个导数已经出来了，后面这个地方上下长的一样叫德他 x， 那 这样就变成什么了？说变成我们说的这个导数定义的样子了， 那但多个谁呢？是不多个负 x n 除 n 分 之一，这个除法极限是几？回到我们的第一行，我们刚才就有说过了， x n 自己经过展开，经过化解，是不是就是 n 分 之一等价， 但首尾是等价的 x n 跟 n 分 之一等价。所以呢？那这个地方的谁呀？ x n 除 n 分 之一，二者等价相除为一，无非填个符号， 看到没有？所以这这个地方刚才已经埋下伏笔了，他俩是等价的，那他俩等价，他俩相处不是一吗？一前面添个符号，那这个点不就是负一了吗？看到没有，所以呢？导数照抄，所以导数照抄，所以等价相除是一填符号就是负一，一合并就是二倍的导数。 所以这个题啊，也是一个小小的综合，综合到处理 x n 的 能力，它来展开综合处理这个极限的能力，把它拆开四舍一算啊，把它凑倒数，抓好这个谁折腾 x 就 这个事 好，再往下。那下一个呢？啊？这个，呃，当然，这个题呢，还有个细节啊，这个十二题呢，不能这样做啊，不能对原极限直接使用什么？ 不能对原极限使用洛必达法则？这是初学者容易犯的一个错误，说老师他并不像我们这样做，有人直接把原题目上下求导，上下求导洛必达做，做的答案是一样的，但这过程没有分啊。为什么没有分？ 因为这道题他只说 f 在 这个点可导，如果你直接洛必达法则求导，求导洛必达要求在哪里可导？你回去翻翻基础三，只讲洛必达法则。洛必达法则是要啥？是要的， f 在 这个点的去心领域可导， 而题目给的是这个点可导，这显然不是一回事。你这个点可导跟去心领域可导这显然不是一个概念，对不对啊 你，你只给这个点可导，你咋做？应该像我们这样做，凑导出定义做。那如果是给去心领域可导，那你可以考虑啥洛必达法则了，所以要切记，洛必达法则要的是去心领域可导。这个呢，很多初学者没有注意这个事， 回去翻洛必达法则，他的要求要求零比零，无穷比无穷要求去心领域可导啊。是这样要求求导后的极限存在或者无穷大有三个要求，其中那个要求二就是我这个去心领域可导。你这个题只是这个点可导 啊。这个点可导跟区间任意可导不是一回事，所以不能落笔打这种题。好，那么再往下，你看下一个题也是这样，他也是给啥给这个点可导，所以下一个题也是干什么？你下一个题呢？你肯定也是不能落笔打法则，如果你落笔打法则，你做出来是错的，只是这个点可导， 怎么能落笔答嘞？又不是去心零一可导对不对呀？那，那怎么做？跟上一个题一样，用导出定义做啊？来，这是奇函数，我们知道你奇函数 f 零就等于零了，然后怎么办呢？嗯，奇函数这个就用到了奇函数直接推 f， 零等于零，然后怎么处理这个极限？跟刚才一样，把这个极限拆开做， 这不减号前来一次，减号后来一次。那你看减号前是谁？第一个 f 除以 x， 然后是五倍的 f 除以 x， 这个要学会把它拆开做，那就是把左边这一个极限啊， 这个用四的运算把它拆成什么？拆成这两个为什么能拆？因为已经干什么了？因为这个题目跟上个题说过了，已经可倒了。 这种已经可导的题目，那可以放心大胆的把极限写成两个，因为这两个极限通过待会的加工都能变成导数，无非变成多少倍，可能前面这个能变成二倍，三倍，后面这个能变成，是吧？五倍，八倍，总之能变成多少倍就行了。 所以我们认为这两个极限都是干嘛的？这两个极限待会一定都是存在的啊，都是跟导数有关。好了，来，我们试试变一变。第一个极限怎么变？能变成多少导数？哪个点的导数是不是零这个点？所以第一个极限这样变啊， 给他这样写，写着零加 t x 的 减零，是不是再除以 t x， 因为上下得长的一样吗？忘了吗？上下长的一样才叫什么？才叫导出定义吗？所以上面是 t x， 下面也得写什么，也得写这个 t x， 但是呢，你如果写个 t x， 原来只是 x， 你 得多乘个 t， 这里面 t x t x 相当于折腾 x， 后面这个节点更好变，减个 f 零除以 x 就 行了。为什么能减？因为 f 零等于零吗？ 好了，那这样的话呢，那前面这个极限通过横的变形啊，后面这个极限通过横的变形，这都变成啥了？都变成了零点的导数了。来看看第一个是多少？那第一个就是导数乘个梯倍， 第二个就多少，导数乘个五倍，所以导数乘梯倍，导数乘五倍，一合并就是导数乘梯减五倍，做完了，这不就导数定义吗？所以最终就最终成啥了？最终就成了这个导数的样子，无非是多少倍。 好了，作为填空题啊，这个题就做完了。但是这样做有一个小小的弊端，不太严谨。哪里不太严谨呢？大家看 你第二行到第三行，你做了一个事，什么事呢？是不是把这个 t x t x 当增量了？或者说呢，你把 t 干什么放到分母上了？大家都知道 t 放分母上， t 是 干嘛的？不能为零的 说。不能为零啊，你分母不能为零啊？ x 区域零， x 不是 零，这个是没有问题，但这 t 呢？ t 是 啥？这题目也没说 t 是 啥，那把 t 当啥？当一个实数看，当一个常数看 是吧？ t 完全有可能是零这个数，但是 t 也有可能是非零这个数。那如今你这样做，你就是建立在什么时候？你这样做的同学就是建立在这个 t 干什么？是不建立在这个 t， 他 不是这个什么？他不是零这个常数。 所以呢，屏幕上这个做法只是解决了啊，哪些 t 非零的那些 t， 比如提取一，提取二，提取负一，提取负二，那些 t 都能这样去做啊，放到分母上去做， 唯独解决不了谁解决不了提取零的那种情况，因为提取零不能做分母呀。所以呢，为了严谨，我们再干嘛再去单独做个谁？ 单独做个提取零，就这样来去做好，单独去做。提取零的时候，那你想，如果提取零的时候，这个极限就是咱们这个十三题，这个极限成了什么？那提取零第一项就是啥了？第一项就是 f 零了， f 零是零吗？这 不是 f 零是零吗？所以这个时候呢，来，那提取零原极限，那就这就是 f 零了，而 f 零刚才说过了， f 零这一项就没有了，那就直接是零了，那就原极限就成了啥？就成了负五倍的 f x 比上 x 了， 那这个呢？负五倍好做了，负五倍怎么办？把负五提走， f x， 补个 f 零除以 x， 那 这又成啥了？成了倒数。那这个时候呢？是多少？这个时候答案是负五倍的倒数了，不再是什么？不再是 t 减五倍了， 刚才是 t 减五乘倒数，现在是负五乘倒数。所以这个答案呢，应该写两种情况，只是巧了，这两种情况能合并。那你看啊，上面这个答案叫 t 减五乘倒数， t 是 分零的，大家想，如果这个 t 取零刚好是谁？ 你看这个答，就看这个答案啊，那提取零不刚好负五乘倒数吗？所以表面上看，这个答案应该写两种情况， t 不 取零的时候写这个答案，那么如果提取到零的时候，是不写负五倍的这个导数，这个答案 好像是两种情况，但是呢，这两种情况可以统一乘 t 减五乘上导数。你想想， t 不 取零，是 t 减五乘倒数， t 如果取到零，那这不刚好是负五乘倒数了吗？ 所以，看似是两种情况，实则能干嘛？实则能合并成一种情况，就是合并成谁啊，就合并成这个所谓的这个，这个 t 减五倍就行了，对不对啊？ 你 t 不 取零，写 t 减五，你 t 取到零，零减五，那不刚好是这个负五吗？那是完全一样啊，所以就是合并了啊，就是这样一个写法。 好，这是十三题啊，跟十二题道理是一样，要拆开，要学会凑导数。只是这个题呢，要分两种情况，只是最初呢，又把这两种情况合并到一起了，是这个意思啊。 好，再往下看。第十四题给出 f x 是 max， 这是什么分段函数啊？这个表面上是，表面上不是分段函数啊，其实是分段函数。要把这个逗号前二 x 跟逗号后 x 的 方是不分出大小，谁大取谁。 那我怎么知道这两个人谁大谁小？令这两个人相等，来令逗号前跟逗号后相等，在零到四内找到分界点二， x 再跟 x 的 方相等，那在零到四的分界点是谁？分界点不就是这个 x 的 取到谁，是不是 x 的 取到这个二啊， 所以以二为分段来开始。那这样， f x 由这个麦克斯这两个量找一个特殊值，比如 x 的 取一， 你小于二吗？ x 取一就行， x 取一，逗号前是二，那逗号后是一，是不逗号前大，那二到四之间，那取谁谁大是不？ x 取三看，那如果 x 取三，这是六，这是九，是不后面大，那不这意思吗？所以呢，以二为分界 啊，小于二谁大？二， x 的 大，大于二谁大？ x 的 方大。那就写好分段函数了好了。给出分段函数，然后干什么呢？他说这个分段函数在 a 点导出，不存在 问 a 是 谁。那你想想，分段函数要想出问题，比如不连续，比如不可倒是吧，比如不可微，那要想出问题，这个一般在哪出问题？是不？一般就在这个特殊点上，分段点上出问题。所以盲猜这个 a 点应该是哪个点？就是二这个点，那肯定是这样， 分段函数要想出不连续，出不可导，出不可微，往往就是出在哪，出在这个特殊点上，分段点上。所以盲猜就是二做完了， 但是你给验证一下啊，来验证一下，验证一下，的确是二。这个点二的左导数，那就被导出定义， f x 减 f， 二除以 x 减二。呃， x 从二的左边过来，那你看这个时候 f x 用哪一段？ 这个 f x， 那 它有两段嘛？要用是不小于二的这一段，就是二 x 嘛。所以来 f x 用二 x f 二，那就是你看 x 的 取到二，二，二的平方是四嘛？然后除以 x 的 减二，这一月份刚好是二， 所以左导是二，那右导呢？再被那就是右极限了。那这个 f x 应该用哪一个？是不应该用超过二的这个，那就是用这个 x 方这一段了，那用 x 方，那 f 二还是四除以 x 减二，这个一约分，那你看上面做因子分解，这一约分，那不就是四了吗？ 所以这样的话呢，呃，左导是二，右导是四，不相等，说明啥？说明导数的确不存在，那就哪个点？二这个点，所以二这个点的导数是不存在的，那二这个点的导数不存在，所以要找的就是找的就是二这个点。 好了，这是这个题，这个题呢，现在来看比较简单，实际上这个题可以编的复杂一点。怎么复杂呢？这样， 他原题目直接给了 f x， 是 这两个量取老大麦克斯。实际上呢，不需要这么直接给，你这样直接给 降低难度了，可以委婉一点啊，就是可以档次更高一点。这样来处我写了一个注， f x 是 不，题目给的是这两个量取麦克斯。那你这样给，大家都知道，就是这两个谁大取谁， 但是呢，可以把它编难一点。怎么给呢？如下形式给出，用极限。我这样说，我说 f x 是 啥？是 n 取无穷大二 x 的 n 次方跟 x 方的 n 次方开根号取极限。 哎，什么时候零到四， x 零到四吗？大家要知道，这个极限算出来就是谁，这个极限算出来就是这个二 x 跟 x 方这俩人的麦克斯。 这是一回事，只不过这样出就难了。老师，为啥呀？为啥这个极限就是这个麦克斯？为啥？为啥？别忘了三个字，我们在是吧这个基础三之讲啊，树立极限加逼准则就证明过这个结论。 什么结论？ a 取无穷大 a 一 的 n 字方， a 二的 n 字方， am 的 n 字方，开根号算极限等于啥？等于这些 a a a 里面的麦克斯想起来没有，对不对啊？这不就是相当于 a 一 吗？ a 一， 这不就是 a 二吗？ a 二等于啥？等于麦克斯， a 一 a 二等于麦克斯，这两个量这样出档次就高了， 这样出的话，考生得知道这个结论啊，得到这个麦克斯，而不是命题，老师直接给这个麦克斯 听到没有，所以可以把难度加大。这题啊，好，这是这个题目，那么最后再看第十五题，那你看第十五题，就是这种题，他怎么给？他并没有直接说 f 是 谁谁谁谁，而是干嘛用极限给，就像我这个刚才是不用极限给， 编一个巧妙的极限，你把这个极限算出来，就得到这个 f 了啊，你看这个十五题就是这样。 好，他说呢，这个 n 曲无穷大的，这个极限叫 f， 那 第一步，先把这个极限算出来，得到这个 f， 然后再分析 f 的 连续，再分析 f 的 可导。这个是个综合题。这个题啊， 那我怎么去算这个极限？这是对谁算？对 n 算，对 n 算 x 的 当啥？当常数，随便一个常数是吧？那这怎么算呢？大家看，这又考察了， 我们知道 n 取无穷大是正无穷大啊，这个咱们在以前就说过啊， n 取无穷，专指是正无穷大，这个没有负的啊， n 没有负的，那你想 n 是 正无穷， n 自己是正无穷，正无穷乘上 x 的 减一， x 的 减一是个数， x 的 减一是个数。什么数可以是正数，可以是负数，是不可以是零这个数。所以要想到什么了，又想到异得正无穷，则方是正无穷，异得负无穷，则方是零，就喜欢考这个东西。 所以呢，怎么讨论呢？这样讨论好来，如果 x 的 减一，这个数是大于零的，是正数，就是 x 的 超过一了，如果 x 的 超过一的话，大家思考一下，此时上面这个 e 啊跟下面这个 e， 那 就成啥了？这就成 e 的 什么什么什么次方了？缕缕， n 是 啥？刚才说了啊， n 自己是正无穷， n 是 正无穷。 x 的 减一，如果是正的啊，正无穷成正的，那不还是正无穷吗？ 正无穷，那不还是正无穷吗？这个时候这俩 e 是 不都变成 e 的 正无穷了？都干嘛？都很大很大。那你想你俩很大很大，那 a 跟 b 有 用吗？没有用，那五呢？没有用，抓大头这个时候，所以这个时候等于啥？就等于这个很大很大的去 做分子，这个很大很大的去做分子。此乃我们以前说的什么抓大头，就相当于这个五就没有用了。这个 a， 这都没有用了， 这不老大说了算吗？这俩绿的很大很大很大，这些红的微不足道，不要两个老大相处算极限， x 的 方，就这意思。 好，再来，那么再大家再看，如果这个 x 的 减一就是零呢？那就 x 的 取到一了， x 的 取到一的话，大家想这个极限是谁啊？ x 的 取一， x 的 取一， x 的 取一， x 的 取一。往里带刚好是谁？你看， x 的 取一啊， x 的 取一。这啥？这点就是零次方，零次方不是一吗？ 一 x 的 取一，这是 ab 照抄。呃，五照抄零次方，那不是一吗？那不六分之一加一加 b 吗？这个更简单。好，这是 x 的 取到一的时候再来，那如果 x 的 减一小于零，就是 x 的 小于一呢？如果 x 的 小于的话，大家琢磨上面这个 e 啊，跟下面这个 e， 这分别达到几了？这个时候， 这个时候方向就变了，那你想 a 还是啥？正无穷啊，正无穷乘上一个负的，这就变成负无穷了。负无穷是啥？这是零，那 a 是 正无穷乘上一个负的，这就是负无穷了，负无穷就是零了， 所以这个时候这俩 e 就 干嘛了？都趋于零了。那你想这个 e 趋于零，那整个分子呢？就是啥？就是 a x 加 b， 那整个分母呢？就是五了，所以这个时候呢，极限就出来了，怎么出来呢？上面这个 e 趋于零，然后加上常数 ax 加 b 五，照抄这个 e 趋于零，那就这样来写了。那答案就是是吧， ax 的 加 b， 再除个五，就这个结果了。 这样的话呢，就把我们的 f x 它的三段表达式就写出来了，我们这个答案上压根没有这个过程。 我们这个答案解析上是不是直接就给出这三段？啥理由也没说是吧？你像这个答案解析上直接第一步给出 f x， 这三段哪来的？呃，大家看的很蒙圈， 实际上是这样分类讨论下来的，是吧？如果是易得正无穷啊，就是正无穷抓大头，如果是是吧，易得富无穷就是零，那就这样就把它算出来了。 所以这样的话呢，就找清楚了这个三个不同的段啊，大于一等于一，小于一好，找好之后把它罗列出来。哎，终于获得什么了？是不？获得了 f x 屏幕上他的庐山真面貌，这不三段吗？是吧？小于一等于一，大于一。 好了，有了这三段表达式，再往下讨论， a 跟 b 对 他的影响。什么影响？连续的影响？什么影响？可导的影响？先看连续不连续。 那么连续不连续要看啥？要看左极限一左右极限一右跟啥？跟一的值。 f 一 这三个如果相等，那就连续。这三个如果不全等，那就不连续呗。所以来，先看连续不连续了， 来吧。那这个左极限是几？一左一左看第一转就是五分之 a 加 b， a 加 b 啊。呃，一点的值是几一？这个点一一一右是谁啊？看一右，就看这个 x 方，那不是一了吗？一这个点的值就是六分之一加一加 b。 所以呢，左极限右极限跟一的值，这三者相等， 这三个要想相等，解方程只能是什么时候？只能是 a 加 b 等于五的时候，那出来了。所以只有 a 加 b 取到五，才能保证三者相等。既然保证什么？保证这个 f 在 一点是连续的 啊？好了，那这样，一旦一点连续了，大家想分段点连续了，那他就干嘛了？他就处处连续了，因为小于一必然连续，大于一必然连续，一这个点本身又连续，那这样不就全连续了吗？所以你看啊，这个时候我在一点连续 而一之外就是小于一。大于一，天生干嘛？天生连续是吧？分段函数吗？分段点只要连续， 那其他点小于分段点大于分段点必然连续。你看小于一指，谁是长函数？长函数水平线连续， 大一指，谁是抛物线？抛物线连续是吧？所以小于一的时候是长函数连续，大于一是二次函数，抛物线连续，那等于一的时候， 这个时候呢？他又连续了，那这样的话呢？上下位一合并，这说明什么？说明他就处处连续了啊。所以来此时得到什么？此时我们就得到这个 f 是 处处连续这四个大字。当然，这个四个大字的获得是在什么时候，是在 a 加 b 取到五， a 加 b 取到五，能保证这个 f 在 每个点任何点都连续，就是处处连续，这就解决了连续的问题啊。好，再来。 那么解决连续，再解决什么？再解决啥时候他能处处可导？那要想处处可导，也只需要关注啥？一这个点可导， 因为小于一是长函数处处可导，大于一是二次函数抛物线，处处可导，所以只要能让一这个点有导数可导，就跟屏幕上类似，就能处处可导了，是吧？那这怎么研究呢？大家要知道 这个可导。我们知道啊，可导一定是干嘛的？可导一定是连续的，所以呢，不连续肯定干什么？不连续肯定不可导，这是个逆否命题。于是，哎，我们得到一个事，只需要在什么时候做可导不可导， 可导必连续。反过来，不连续肯定不可导。所以呢，我们只用做 a 加 b 等于五的时候，就是啥时候，就是这个连续的时候， a 加 b 等于五，会使得连续，你只有连续了，才有可能可导，那因为如果 a 加 b 不 等于五，你就不连续，那一旦不连续，就直接不可导，就没有必要再做了。 所以呢，只用在 a 加 b 等于五，也就是只用在什么时候？ a 这个 f 在 一点连续，只用，只用做 a 加 b 等于五， f 连续的时候，只有这个时候才有可能是不 f 在 一点可导， 那 a 加 b 不 等于五，你不连续，那直接就不可倒，不用做，那 a 加 b 等于五，你就连续，你才有机会，可倒是这个意思，所以接下来要在 a 加 b 等于五的时候做，他可倒不可倒 好，那 a 加 b 等于五，它到底可导还是不可导呢？那怎么办？用导数定义作再做什么？做一的左导数，那就是 f x 的 减 f 一 除以 x 的 减一， x 从一的左边来，那这个 f x 的 用谁看？这个 f x 子，这是一左的 f x 啊。那一左来回来看一左是哪一 段？这个五分之 a x 加 b， 这是二次函数，是吧？这是斜直线，这是抛物线啊。 好了，那所以一左拿什么啊？拿第一段就是这个一次函数，然后 f 一， 那刚才说过了，就是六分之一加 a 加 b 除以 x 减一算极限，那么这个极限怎么算？注意，千万注意。这个极限是在什么时候算，是在 a 加 b 等于五的时候，是在这个时候算 啊，千万别忘。是的， a 加 b 等于五，我问你， a 加 b 等于五，那你看上面达到几，达到零了，下面也是零了，你看 a 加 b 等于，你看 x， 取下一吧。这是谁啊？这是 a 加 b， a 加 b 达到五，五除五，这是一。 a 加 b 达到五，五加一是六，六除六，一一减一刚好是零， 所以 a 加 b 等于五，使得这个极限是零比零，那零比零落笔打法子，一落就是五分之 a 做完了。所以这样解决什么了？解决我们的左倒 左导，经过导出定义啊，经过洛必达法则，那刚好就是这个啊。五分之 a 好 了，再去做什么？做它的右导，右导就这一的右极限，这个 f i 给他换了，拿什么什么？拿大一的那个二字函数抛物线 f 一 没有变，还是这个结果， 那这个极限也是什么类型？也是零比零，为什么？因为 a 加 b 等于五，那五加一是六，六除六是一，那 x 那 一减一是零啊，所以也是零比零，那零比零也干什么？洛必达法则，那大家一落，结果是几啊？结果这将是一个二啊，那结果是二。 好了，那这样的话呢，就做好什么了？ a 加 b 等于五的时候，用导数定义洛必达法则，用导数定义洛必达法则，分别得到五分之 a 和二。那你想什么时候才有导数？那个时候一 a 加 b 等于五，这大前提二左导右导得相等，就是五分之 a 得等于二， 所以只有这个时候才会有导数，仅当这个时候。这是什么时候？解方程？那就是 a 取谁？ a 取十，那 b 呢？ b 取负五，只有这种时候，导数才存在一，这个点导数存在。那你想一这个点导数存在，而其他点呢？导数本来就存在 小于一大于一天生存在，因为一个是一次函数，一个是二次函数，对不对啊？那一这个点有倒，那小一大一有倒，那就干嘛了？那这个时候呢，就导致它处处有倒数了，这是什么时候？就是这个时候， a 取十， b 取负五，这个时候会引发倒数，处处存在。做完了。 所以这就是一个讨论什么时候连续啊，讨论什么时候可导，跟 a、 b 的 关系， a、 b 的 关系就是这样，只有 a 加 b 等于五才连续，否则不连续。那只有 a 取十， b 取负，五才可导，否则不可导。那就做完了。 所以这个题啊，是一个比较综合的讨论题，涉及到极限计算啊，找 f 涉及到连续的考察，涉及到可导的考察，是吧？涉及到这些方方面面。细节处理好十五题。
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10:08查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，计算不定积分，先瞄一眼是吧，用我们的火眼金睛啊，瞄一下，带根号了。那么首先就有一个方法了吧，根式代换是不是？ 这个咱们做过一两个题之后应该有这样的想法了啊，是不是有了啊，那有没有别的一个想法呢？有没有别的想法？ 看到了指数函数，反三角函数，两类函数啊，两类函数的话，我们就可以凑为分，分布积分啊， 这是常见的套路啊，两类函数的时候要想到啊，分布积分，你对凑谁谁呢？肯定是凑指数函数啊，你这个啊，它，你这怎么凑啊，是不是？好，那我们两个方法啊，讲一下，根式代换就是令这个根号就等于一个 t 是 吧， 我们解一下， x 等于多少呢？两边平方一下减一，挪过来，两边取对数，那就是零一加 t 的 平方了吧，取对数了吗？好，继续点。 x 呢，就等于 零一这块求导啊，先是外层求导，零一求导，再是内层求导。好，第一题，我们看这里面有个 e 的 二 x 次方， e 的 二 x， 那 就它乘一个二，是吧？ low in 这块乘一个二，那这个二是不是可以挪上去啊？ 好， e 的 low in， 那 就等于这这一块的一个值啊， e 加上 t 的 平方得平方，所以啊，这个 i 的 话我们记为 i 啊。 e 的 二 x 方不是已经写过来了吗？写出来了就是它，后面就是 arg， 它的 t， d， x 在 这儿呢， 二 t 除以一加 t 的 平方， d t。 好， 继续了，继续的话观察一下啊，他跟他是不是可以消掉一个，消掉一个啊？这个阿克他念的 t 先写到这，消掉一个之后还剩一个一加 t 的 平方，还有一个二 t d t。 那既然这有 t 的 平方，我得有二 t 抵 t， 我 肯定想到凑一分呀，是不是二 t 抵 t 就 凑成 t 的 平方了？我再凑一个一，可以吧？这样的话，你会发现可以再用一次凑一分。你用了两次啊， 好，这是一加 t 的 平方， d t 的 平方加个一没问题吧？好，那这个时候我们把一加 t 的 平方看成一个整体，是不是又可以凑合一份了？哎，凑了两次哦，也就是 u d u， 我 们把 t 方看成 t 方，加一看成 u 的 话，它就等于 d， 哎，二分之一 u 的 平方是吧？好，把二分之一 u 的 平方是吧？好，把二分之一写前面了，这就是 r， 它的 t d。 二分之一已经写完了啊，还剩的就是这个 u 的 平方了，就这样写吧。好吧，就不写括号了，再写点荣誉啊，我觉得。那我写到这边了，写到这里 继续。你既然测完微分了，那你接下来就是分布积分是吧？分布积分，这是一套流程呀。好，把系数直接带上啊。这是相当于 u v 是 吧？减去一个 v d u， 这是 v d u。 对， 它求一分一除以一加 t 的 平方呀。 d t 是 吧？好，二分之一，这都抄下来啊， 这也没什么意思，减去二分之一，这个跟这个正好又消掉一个，还剩一个 t 方加一吗？ 是不是 d t。 这这密函数积分简单呀，再写一步吧，二分之一，阿克他念 t， t 方加 e 平方。考试的时候，你看你这个卷面啊，空不多的话，有一些， 比如这一步就可以省省了，直接到达。这可以的啊，我们平时给大家讲详细一点， t 的 平方里面还说有 t 的 不定积分，是吧？ t 的 三次方除以三呀，然后在前面再乘一个二分之一的话，这就是一个六分之一了，是吧？ t 的 三次方，好，再减去二分之一，乘一个一一的不定积分是一个 t 啊， 是吧？好，再把 t 带回来，带回来就等于啊，根号下的 t 就 写成 e x 方减一开方， 还有啊，乘以 t 方加一再平方， t 方呢，就是它，再加个一 就是它了，再平方一下，那就是 e 的， 它的平方不就 e 的 二 x 方吗？减去六分之一 t 的 三次方， t， t 是 它再三次方，那就这样写是吧？ e x 次方减 e 二分之三次方，减去二分之一 t 减一，好，就这样了啊，加个 c 行了，好，这个就是第一个方法。第二方法，分布积分。就是说两类函数出现的时候啊，有两类吗？是吧？两种类别，两类函数出现的时候就是凑为分， 接下来就是，哎，分布积分以流程嘛，测完微分通常都要跟这一样，对吧？分布积分了，好，我们把二可看见的留在这里， 把 e 的 二 x 次方点 x 放到一起，那就是 e 的 二 x 次方，这个求微分的话会多一个二出来，所以前面补一个二分之一啊，好，凑完了，接下来就是分布积分。 嗯，先是它俩一乘，再减去，把系数带上啊，好，对它进行求微分就求导啊，求导的话 ar 参进的，求导的话就像外层求导，在内层求导一层一层的啊，从外到内， 阿根廷球道是一加 x 平方分之一， x 平方就是这一块的一个平方，这块平方就是 e x 四方，减一加一减一就没有了是吧，这里就这样啊，削一下 好再接。接下来是这这一块是吧？这块求导了。负还是求导啊？是写到这里了啊。二倍的根号，先是根号下求导是吧？根号下求导不这个吗？在根号下里边求导是 e 的 x 方。 搞清楚啊。好， dx 我 们换个笔啊，不然看不清了。好，二分之一 arc tangent， 这就直接抄一下。 嗯，这个 d， 这个应该是没有问题吧。好，这个是， 这个是 e 的 二 x 次方是吧。这个是 e 的 x 次方。 e 的 x 次方跟 e 的 x 次方，这也消掉了，是不是还剩他啊。还剩一个是 e 的 二 x 次方除以底下的 这有一个二分之一，前面有二分之一，这个系数是四分负四分之一啊。啊，还剩的不就是这一部分了吗？就只有他两个了，系数已经写过来了，看一下他熟悉不。 休息吧。哎，做过题，你得有这个想法。稍等啊，我往上面啊看一下，哎，往上面挪一下，不然看不清了。是不是，是不是这个第二题啊。这就是第二题，我们讲的法二法三，这不是一的二 x 次方除以根号下， 哎，这个 ex 方减一嘛，是吧，求他的不定积分到这个时候的时候，到这个时候我们可以用两个方法减一加项。减项嘛，减一项加一项好，这一套是吧，或者呢？是凑为分啊，这个时候还可以凑啊，他先 哎，凑到后面再给他补一个减一，好继续去凑。凑两次是不是凑完之后分布积分得到结果，哎， 那结果他的结果是不一样，对不对？但没有关系，我们说了啊，不定积分结果本来也是不唯一的吗？好，假设我们就看他的话啊，看他的话， 这个我们就如果就用这个减一项加一项的话，这里是吧，减一个，加一个我就不写了吧，这块的结果就是我们黑色的这一块直接超过来了，好，还是用这个蓝色的吧， 等于二分之一阿克他念的根号下， e x 方减一一的， x 方减去四分之一乘以这块是吧？四分之一跟三分之二一乘又是二六分之一了啊，六分之一 e x 方减一二分之三四方，好，我们是再减去四分之一乘以它，那减去二分之一是吧？ 因为这里有一个啊，负四分之一跟这个二一乘后面加个 c， 你 看这个结果啊，跟这个结果是不是一样的呀？ 好像一模一样，就是一模一样的。那如果我们这里啊，用这个凑两次微分的方法的话， 好，抽完之后好分布积分，这个结果他本来跟这个结果就是不一样的，是吧？我们挪到这个题肯定也就是跟我们这两个结果都不一样了，不一样也没有关系，如果你实在放心不下的时候，你就把你求的结果再去求个倒 求过道之后看一下是不是等于他对不对，但有时候可能是没有这个时间求的，所以你过程中认真一点，认真一点好不好？好，这个题就讲到这了。
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58:47查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，这是求在一个点处的一个权微分，我们知道权微分呢，是等于偏微分的核， 所以本质上就是去求两个偏导，是吧，好，求，哎，一个点处偏导的值，你看一个点处偏导的值吗？这是我们的哎，目标是不是？好，那通常有两个想法， 那推荐啊，是先带后求，你对 x 求偏倒这个 y 啊，你就可以先带进去，跟 y 没关系嘛，是吧，把 y 看成常数啊，带进去好，这个 哎，是先求后代，先求后代的话啊，你就是要一直带上，你对 x 边呢，一直带上这个弯，有时候眼花缭乱，会容易出错，所以对于啊，一个点处求偏导值的话，建议先带后求，对于一些题目也是比较简单的啊。好，当然了，我们也都讲一下，你自己体会一下。 好，先代后求后求，我们先看对 x 求偏的，是吧，我们先把这个 y 带到啊，这个函数里面是吧？ arg tangent 就是 y 是 pi 嘛，所以就是 pi， x 加上 cosine， x 加上一个 pi。 好， 这里边都有 x 了，看着很顺眼呀，是吧，因为我们一元函数学得好呀。 好，这就是求导了，一般函数求导都会吧，对 x 求导，这先是外层求导，再是内层求导，恋式法则是吧，好， ar 弹性求导的话，我们知道是一加上好这一块，这个平方分之一是吧，好，拍 x 加上 cosine， x 加拍 好它的平方分之一。好，接下来是它，它求导也很简单吧，直接就是拍写一个括号吧，加上 cos 求导的话是负的吧。 c x 加拍，这里面再求一下啊，再对 x 求导，那就是个一也不写了啊，好， 这就，哎，求完了，我们再把这个 x 等于零一带就行了啊，你看 x 等于零一带。 好，我们直接草稿上写了啊，一加上，这是，这里边是零加上，我们知道靠信拍的话，是不是负一啊？负一啊， 这是一个负一，这整个这里边就是一个负一平方。一下不就是一吗？一加一就是二，二分之一是吧，二分之一乘以看到后面啊，拍减去，这是零，那就是信拍，信拍是零啊，所以它结果就是二分之拍啊。 好，那我们接下来是求一下啊，这个 z 对 y 的 偏导在这个点处的值。也是啊，我们先带就是带谁呀？把 x 等于零带到函数里面是吧， x 等于零的时候，这个是 y 等于拍的时候，这是 x 等于 零，这就是零了吧。这 x 等于零，这个里边就剩的啊，是一个 cosy 了，是不是 cosine y 还是过一下啊，看得更清晰。好，我们是对 y 求偏导，那也是啊，负函数求导嘛，一加上 cosine y 的 一个平方，再。哎，这个是分之一是吧，再对它求导是负的。 c 沿 y 好把点，这个时候带一下。哎，我们现在是带 y 是 吧，等于拍一带，哎，我们知道 c， 你 拍零了呀，是吧，直接就是零了啊，所以这个结果我们就求出来了吧，这块是二分之拍，这块是个零，所以就是二分之拍 d， x 完事了是不是？好，接下来我们哎也做一下先求后带，先把两个偏导求出来，再去带，这个点 好，我们先对 x 求偏的好吧，好，那就是把 y 看成长数呗。好，一加上这个里边是吧？ x， y 加上 cosine， x 加 y 好， 平方。 对于这个题啊，它没有这两个方法，基本上这个没有省多少力气啊。第一个方法没省多少力气，但对于其他的很多题目啊，先代后求，它会省很多力气的， 好，在这里面是吧，对 x 求偏导嘛，那就是把 y 看成长数啊，这不就是一个 y 吗，减去了啊， cosine 求导是负的 c 对 这里面的对 x 求导就是个一，不写了吧。好，咱们再哎对 y 求下偏导，一加上是吧，先外层求导，这个分母的都是一样的了啊， cosine 外层都是 arc tangent 的 嘛。 内存这里面啊，对 y 求变到 x 看成长数好好，同样啊， cosine 求导是负 c， 里面对 y 求导是个一了，是吧，这个时候我们就是把点带进来零拍啊，是吧，因为这里面有 x 有 y， 所以 你带的是一个点了啊， 我们这上面呢，只是带一个这个 x， 或者是带一个 y 的 一个值，是吧？零拍，我们求一下啊， x 等于零的时候， y 等于拍，拍减去这个是 c， 这是零，加上拍 c 拍就是零，所以上面就是一个拍， 是吧，底下好， x 等于零了，这里边跟刚刚我们算一样是吧，负一的平方一，一加一等于二，好，就是它了嘛。再看这里， x 等于零了，这个 y 等于拍，是吧， c 拍等于零，所以这是零了，一样的，对不对？还是啊二分之拍 d x 好，还是建议啊，先带后求，在这个题你可能体会不到啊，因为它计算量基本一致啊，体会不到它的一个好处哎，其他题目我们会体会到的好不好。好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f u 是 可导的哎，我们把这块就可以看成 u 是 吧，给它看成一个中间变量嘛，变量代换一下 好，是可导的。那么求啊，他加他，你看一下关键点。哎，是求 z 对 x， z 对 y 偏导是吧，好，这是抽象的负函数求偏导的问题。这应该是没什么。没有什么问题。我觉得啊，好， z 对 x 求偏导啊，我们这个怎么写都行啊，它是一个意思是吧，好， 先是 y 形求导，就是 f 求导，对不对？好，我们就不加这个尾巴了。好吧， f 求导在里面，里面呢，对 x 求偏导，那就把 y 看成常数，对 x 求导就盯住这里嘛。好， cosine 求导是负 sin 还有一个符号，所以就是 sin 了， 是吧，这就结束了。好，再看一下 z 呢，对 y 求偏导。哎，这是我们要的目标啊， 这样写也行，好，写仍然啊，这是不是漏了？漏了啊，这个还有再加上这个 y 嘛，对 x 求偏的 y 看成常数啊，好，继续。 对 y 求偏的还是啊，先是外层的 f 求完的之后再看里里层是吧，内层对 y 求偏的好，那就是负的 c y 是 吧，负的 c y 还有一部分啊，对 y 求偏的 x 看成常数，这两个求完了啊，这个乘一下加一下不就行了。好，我们看一下 e 比上 c x 乘以 c 对 x 求偏的，我们看啊， e 除以 c x， 把上面求的啊拿过来呗。 哎，拿过来，这就没有什么技术含量，你别算错啊，认真一点， c c 是 不是消掉了，还剩一个 f 了，撇啊，再加上 y 比上一个 c x 好， 再把它算一下啊， e 比上 c， y 好， 乘以 z 对 y 求偏的， 求的刚刚是负的啊，别忘了再加一个 x， 它跟它。哎，乘一下 sin， sin 消掉了，负的啊， f 一 撇，再加上 x 比上 sin y 是 不是接下来是把它们两个加到一起啊，走， 那我们要求的我记记为 i 了啊，加到一起它俩就消掉了，不就剩它俩了吗？好， y 比上 c x 加上 x 比上 c y， 这就是结果， 最后抄可别抄错了啊，求偏导嘛，是吧，这个都会的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，跟上题一样的啊，是抽象的负函数求偏导的问题啊。好，这里我们看到了秘制函数型号， 那么建议啊，给他指数化。秘制函数指数化，因为变成指数函数的话，你求导，哎，不容易出错是吧，或者啊，要么你把这公式记熟练， a x 方求导是 a x 方乘以 a。 那 有同学他 总是记不住的话，那你就给它改成，哎，密值函数。好，它求导，你会啊，先把它抄下来，再对指数部分求导。捞以 a 是 吧，再把它回带回来，好，这不容易出错啊，看你的记忆力了好吧。 嗯，还是建议给它改成指数函数的一个型号，可以吧。好，那这个时候我们看 z 的 话，是 f f 啊，这个 y f， 它的话就变成了 y f 改成指数函数啊， 一切都是为了啊，减少出错的可能嘛，减少出错率啊，好，求偏导。先看对 x 的 一个偏导，那就把 y 看成长数是吧， y 看成长数，往这一放，看它了，先外层求导，再，哎，内层求导是吧，一层一层的啊，对，它求导的话，指数函数超过来， 哎，负函数求导呀，好，在内层是吧，哎，从外到内，对于它来说的话，对 x 求导，那 y 方就是长数了，哎，老远 x 求导就是 x 分 之一是吧，我们可以化简一下啊，那就是 y 的 三次方， 比上一个 x， 还有 f 一 撇，还有它，它现在你可以还原回来，是吧。 x y 的 平方 好就行了啊，看有没有什么问题。没有，在 z 呢，对 y 的 一个偏导。看好这有 y 啊，是吧， y 现在是变量啊，那就用乘法求导公式，左导右不导，加上左不导，右导，左导右不导，左导是个一啊，右不导 哎，右不倒写个 f， 一 会再写括号的啊，加上左不倒右右倒，先是外层，再是内层，内层的话先把指数超过来，再是头上的对 y 求导，那么龙眼 x 就是 常数 y 方，求导。二二 y 啊，二 y 是 吧，这个求完了，我们可以哎，整理一下吧，这个二 y 跟 y 的 话，就是二 y 的 平方，待会再写也行啊，我们直接 去算这个结果了啊。二 x 乘以它乘以它，我们的 x 是 不是可以消掉啊，还剩一个二好 y 的 三次方直接化简了啊，这时候啊，我们就把这里边的东西给带上了啊，因为要出结果了，你不要这样写啊，这样写就是不太完整。 好 x， y 的 平方，这是第一部分吧，再加上好 y 乘以 z， 对 y 求偏导啊， y 跟它相乘， y 跟它相乘，好吧，都乘进去啊。好， y 乘以 f， f 把这里边东西带上啊，好， 再加上 y 跟它乘，那就是 y 平方。还有这个 y y 的 一个三次方了是吧，还有个二带上还有一个 f 一 撇啊，他的话我们再给他回带一下啊，这个再写一遍吧啊，就是二 y 的 平方是吧。 f 一 撇， lonely x 给它回带回去 x y 的 平方了啊， x， y 的 平方是吧？还有一个 lonely x， 看写完了没有啊？写完了好，是不是可以化解一下呢？它跟它看一下， 二 y 三方，有 f 一 撇， f 一 撇，还是给它都带上啊，带上这个里边的东西， lonely x 是不是它都有这一部分啊，对不对？它这里啊，除了 lonely x， 这它俩是长的一样吧，所以可以再化简一下，把它提出来吧。二 y 的 一个三次方， f 一 撇 x， y 的 一个平方提出来，那你就是前面就是一个一了，加上后面，这就是多了一个 lonely x 嘛。哎，能整理就整理一下啊，还有这一部分超过来 f y f 啊， 好，这就行了啊，这就是答案呢，你也不能够再简化了是吧？哎，包括啊，你这里，你不想进行指出话的话也行，你看，你不想指出话的话， z 对 x 求偏的，我们看一下啊， 那 y 同样是一个常数是吧？是个常数好，看，它先外层求导在内层，内层，我们说了， y 现在是个常数，你可以给它理解为一个五吧。 x 五次方，怎么求导呀？是不是五下来，然后 x 的 y 的 一个平方减一啊，哎，对不对？五减一四次方吗？这个意思 看一下，跟这里一样吧。说，这是 x 负一次方吗？这是 y 的 平方， y 三次方，好，一样的啊，再看一下， z 对 y 求偏倒，对 y 求偏倒。好，也是两部分啊，看两部分，用乘法求导公式，左倒右不倒， 加上左不倒右倒，先是外层是吧，再是内层，内层的话， x y 的 一个平方， y 是 变量， x 就是 常数了，你给它看成这里的 a， 是 不是就用这个公式了？好，它就等于 a x 四方，那就是 x 的 y 的 一个平方，再乘以零 a a 的 题里面就是 x 嘛， 你注意负函数求导还要对它求导呢，来一个二 y 是 吧，就是这个时候你就容易出错了，我们看一下跟这里是不是一样的 f 加上二 y 的 一个平方是吧。 f 一 撇 lo x 它一样的啊，哎，你看你的习惯了好吧，哎，建议指给它指数化，不容易出错的啊。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，二元函数是由方程确定的，这是引函数的问题了吧。引函数啊求导的问题。好，我们知道啊，关于这一块，希望同学们啊掌握两个方法就够了啊。好，要么用公式法，要么是等式两边同时求导，他们啊，各有 优优点啊，公式法的话就是变量之间什么关系就忽略他们的关系，就不存在函数关系。 好，那等式两边同时求导要注意函数关系。哎，就这一点啊，但是我们要是求二阶导，你函数求二阶导的话，建议的就是等式两边同时求导就行了，你想想嘛，你 用公式法的话，一阶导就是分式结构了，你二阶导分式结构求导很烦人的呀，是不是这样的题，其实更建议的就是等式两边同时求导就行了。那当然了啊。嗯，对于啊，这个 求一阶导的话也可以采用啊第三个方法啊，等上边同时求微分。那有些题目求微分啊，很多同学他比较困难，所以我们就哎采用两个通用的方法就足以应对考研了啊。有些题目求微分比较简单，有些题目他是有点难，你求不好就求错了，你就别求了呗，是吧。 好，那我们看一下啊，建，首先建议的啊，就是等式两边同时求导，你注意 c 是 关于 x， c 是 关于 y 的 函数就行了。好吧，好，那我们也都练习一下平式啊，把公式法当然也会练习一下。好，这是等式两边 同时同时对 x 求导，求偏导。 注意啊，函数关系，先看它这边有 x， z 里边也有 x 啊，是吧， z 是 关于 x， y 的 函数啊，所以看这两部分啊，用乘法求导公式了，左边求导是个一，右边不求导，加上左边不求导，右边求导。 好， z 对 x 求偏导，你用这样个表示形式，或者这个表示形式是一样的啊。好，再加上左边。哎，这个已经求完了是吧，哎，该这个了啊，加上二倍的 好， y， 那 这个时候就看成长数了是不是？哎， y 跟 x 没什么关系啊。好，这里 lone， z 先是外层求导， lone 求导，然后内层 z 对 x 求偏导，是吧，再减去看这里 arc tangent。 先外层求导啊， e 加上这块的平方啊， 分之一在内层。好，这里边对谁对 x 求导是个零了。好， 我们要求的就是 z 对 x 啊，偏倒在这一点的值，在这一点的值，我们是不是得把 z 也得确定出来呀，好，哎，看到这样的题，你先把这个 z 给确定出来也可以的啊，我们看 x 等于零， y 等于二的时候啊， 这等于零，这是一，是吧，所以就剩一个 z， 再加上好， y 是 等于二，是不是？这就是四倍的平方， z， h 等于零，二个贪心，零是零了啊，等于一。像这样的啊，等式确定这个变量的话是很好确定的，直接就是瞄眼瞄一眼啊，基本上零呀，一呀二呀就能瞄出来了啊，不用去过于担心 alone 的， 我们肯定先想到一是吧。 alone 一 是等于零的，哎，刚好一加零是等于一的， 不用去管有没有别的 z 呢。好，我们考研考的都是单值函数啊， 哎，对于一元函数的话，好一个 x， 哎，对应一个 y， 引函数这边啊，这个 二元函数的话，那就一个 x， 一个 y 对 应一个 z， 所以 你找到一个 z 就 到此为止，就够做题的了啊，你不要再去想啊， z 有 没有可能取别的值，没有可能，就你找到这个值就是唯一的，哎，就这样就行了啊， 好，我们把这点是吧。 x 等于零， y 等于二，还有什么？ z 等于一，带入上面的式子就行了。带入一式，这就一式， 我们可以得啊， z 对 x 偏导在这一点的一个值，是吧，得求一下啊，我们在这写了啊， z 是 个一，加上零加一， z 对 x 求偏导，加上 y 等于二，二得四，一除以一， z 对 x 求偏导，减去 y 是 一个二，一加上零，好，就这是一个二， 对吧。盯住这个一式啊，四加一五倍的，这是负，二加一是负一，一这边就是个一，所以就求出来了，是吧，就是五分之一啊， 所以等式两边同时求导。你就注意啊，有这个函数关系啊， z 关于 x y 的 函数就行了，好用，公式法呢，它也有好处，但它也有坏处，就是感觉有点啰嗦繁琐些。这个过程啊，你可以尝试着看一看。好吧，我平时练一下公式法。 你公式法是不是你得把这个大 f f， x 就 大 f。 行啊，令 大 f 呢，是等于啊，这个它减去个一，你注意不要把这个一漏了啊。 x 加一， z 加上二， y 零， z 减去 ark 它的 x， y 减去一，是吧，好，这公式法，哎，这都记住它啊，好，这是 z 对 求偏导也好啊，求这个全导也好，嗯，都是这样的公式是吧？负的大 f 对 x 求偏导，大 f 对 z 求偏导，我们看这大 f 吗？对 x 求偏导，那其他的啊， y 啊， z 啊，全部看成长数，它们三者之间没有任何关系啊，这样去理解 好，你看，我们对 x 求偏导的话，这 z 就是 常数嘛，是吧？哎，其实就剩这块就是 x 乘以 z 嘛，对 x 求偏呢，就是一个 z， 对 吧，这是 z 常数。不管了啊，再看这里， 这，这都没有 x 是 吧？这块是有 x 的 啊，那就是减去 x， 这里求求导的话，是一加 x 方， y 方分之一，这里面对 x 求导，那就是一个 y， 是 吧？哎， 好， f 对 z 求导，对 z 求导，就找带 z 的， 那就这块和这块有是吧，哎，这对 z 求导啊，这都是常数了啊，超过来 好结束了这一部分，这里呢，对 z 求导，这个二 y 呢？哎，就是常数了，好，龙引。 z 求导，不就是 z 分 之一吗，是吧。这个时候把 我们的 x 等于零， y 等于二， z 等于一，是吧，带到这个式子里面就行了啊。我们求一下，负的 c 是 个一吧，减去 y 是 一个二，一加上零，零加一加上二乘一个二啊，这是个一了，我们看负的一减去二吧，一加上二得四，是吧，好，上面就是一个负一，前面有个符号，符号消掉了五分之一， 对不对？显得有点啰嗦，但还好，是吧，他就不用去管啊，这个函数关系什么的啊，对不对？ x 求导，你就找 x 就 行了，其他的啊，全部看成常数对 z 求导。哎，其他的看成常数找 z 就 行了。好，都希望啊，哎， 知道这两块的一个解题方法都要掌握啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是求二阶偏导了，那就求呗，是吧，把一阶偏导求完，再去求二阶偏导就行了。好，这就牵涉到什么呀，变现积分函数求导了，是不是积分变量是 t？ 你 先整理一下它啊，把这个跟 t 无关的啊，给它移出来啊， 是吧，该移的移出来整，把格式整清楚了，形式写清楚了再去求导是吧？ x 减 y， 这就是第一部分是吧？乘以 e 的 t 次方递梯第二部分减去好，零 x 减 y， t e 的 t 次方递梯。 把格式整理清楚，整理明白了，我们就可以去求导了。先看 e 阶偏导对 x， e 阶偏导看两部分吧。哎，乘法求导公式，左边求导，左边对 x 求导是个一，右边不求导， 加上左边不求档，右边求档，求档好，把 t 换成上限，乘以上限的档，上限。对啊，求档是个一。好，再看一下后面啊，把 t 换成 x 减 y， 这个比较简单，是吧？ 上线的档是个一，不用写了啊，这是不是可以整理一下，你看他跟他长得一模一样，一加一减没有了啊， x 减 y， e 的 t 字旁 d t， 我们要的是二阶偏导呀，再来一次，在他的基础上对 x 求偏导也非常简单，是吧，不就他吗？好，这个求完了啊，我们继续啊，看一下对 y 的 一阶偏导，盯住这里了吧。 对 y 的 话，同样看成两部分，第一部分对 y 求导，第二部分不求，加上第一部分不动，第二部分对 y 求导。好，这里要注意啊，上线对 y 求导，是一个负一，好，减，去后边把 t 换成上限， 就注意它前面啊，有个符号是吧？对，整个对 y 求导会有一个负一啊，就注意这一点，整理一下吧， 这前面倒不能消啊，零，哎， x 减去 y， e 的 t， 脂肪 d， t 看下后边可不可以啊。 这有个符号，符号乘过来就是 y 减去 x， 是 吧？ e 的 x 减 y， 这有一个符号 是吧，这有一个负号，那就是正号，正号啊， x 减 y， e 的 x 减 y。 好， 它跟它刚好是互为相反数的，是不是？我们把 e 的 x 减 y 提出来，那它跟它相加，不就是等于零吗？所以这块也消掉了啊，这块消掉了，就就这样了。 好， f 对 y 求二阶偏导。求一下呗，也简单吧，负的 e 的 x 减 y， 再乘一个负一。 好，负，负得正了是吧，这是他，这个是他，那他俩是不是长得一样啊，你看一下，一样的，那加到一起不就是两倍的 e 的 x 减 y 吗？ 是不是，哎，还是变函数求导这一块啊，你得先把这这个这块给整理清楚了。一定要整理清楚啊。 好，或者你可以把 x 减 y， 哎，当成一个 u 当成一个 u， 好， 我们先是哎对 u 求导，再 u 对 x 求导也行，但其实也没必要是吧，我们直接这样求就行的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，给了偏导是吧，哎，让我们求对 y 偏导，当 y 等于 c， x 的 值好，偏导出现，他考察的是偏积分呀。 哎，我们先对 x 偏积分，把 f， x， y 求出来是吧，再对 y 求偏导。好，是这样的一个过程啊，这里就相当于给了一个出式条件了，是吧？ y 等于 c x， 好， 先看这里。好，对 x 偏积分，是吧？ 对 x 偏积分好，这就是 f x y 好， 一对 x 积分，那就是 x， 是 吧？也就说谁求导是一，谁求导是他。好，那就是二倍的 c x 再加上一个，这里就是关键啊。 哎，这应该是加一个 f y 对 x 偏积分，后面要加一个 y 的 一个函数，对 y 偏积分，要加一个 x 函数，这个，哎，注意就行了啊。好， 我们是不是要把这个 f y 给定出来呀？好，这就是给了出式条件呀，是吧？这就是给的出式条件，用上呀， 把 y 等于 cx， 是 吧？带到这个表达式里面我们就知道了。好，也就这个 y 等于 cx 的 时候，这是 cx， 是 吧？ 这是二，哎，这是 x 加上二倍的 cx， 哎，加上好，这个 y， 我 们用 cx 代替。 现在我们的 f x， y 是 不是长这个样啊？而 y 等于 c x 的 时候，本身它应该是等于 x 加 c x 的， 那你们都是 f x c x， 所以 你们肯定要相等呀。 好，我们这个时候可以哎，你就对照着把这个 five c x 可以 解出来，是吧？它跟它相等的话，也就是 five c x 就 等于等于谁呢？这一块减去这一块呗，是吧？ c x 啊，减去二倍的就是负的 c x， x 跟 x 消掉了，是吧？ 其实我们就得到的是什么呀？分 y， 我 们是令 y 的 c x 对 不对？分 y 其实就等于负 y， 这个能看出来吧？哎，我们就能求出来这个时候啊， f x y 的 表达式了。二元函数表达式啊， x 加二 c x 分 y 就是 一个负 y， 是 吧？哎，好，我们 对 y 求偏导吧，对 y 求偏导啊，对 y 求偏导，你这跟 y 没关系是吧？快看 y 就 行了啊，把 x 看成常数，就是个负一， 对不对？好，我二元函数对 y 求偏导，得的是负一，我无论把 y 等于谁带进去，它都是一个常数，是吧？是一个定值，所以就是负一，你带谁都无所谓的啊，都是确定的啊，所以就是个负一，考到了偏积分，哎，注意这一点 好处，条件一带，把这个 f y 解出来，好，再去求偏导。那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f x y 具有二阶连续偏导，这句话出来的时候，我们立刻就能能得出来啊，它跟它相等，也就是说我们求二阶混合偏导，跟这个顺序是无关的。好，它有什么样的一个好处呢？ 对于一些题目，比如说啊，他给出来这个型号的话，好，他先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，那他就可以写成 先对 y 求偏的，再对 x 求偏的，因为是相等的嘛，是吧，就等于一。有些题目啊，好，我们一般来说出现偏导了，那他可能考察就是求偏积分嘛，是不是？好，如果你直接，哎，对于他来说，去求偏积分，是不是先对 y 求偏积分呀？ 好，那你会发现啊，他没有先对 x 求偏积分好，求计算更简变。那所以这个地方就是先给大家提个醒，后续啊，会做的类似的一个题目。 对于这个题目的话啊，你先对 y 偏几分，先对 x 偏几分，计算量没有等，没有大的一个区别，基本上是一样的。但很多题目啊，很多题目我们后续会见到，你先对它和对它就是不一样啊，就是不一样，计算量。好，得知道这一点啊。 好，当你对他积分，哎，感觉费事的时候，你就想到啊，先给他积分，这个题没什么影响啊。好，这是偏导啊，两个先对他，对他偏导，等于一两个出题条件求，哎，在这个点的函数值，你是不得把这个函数求出来呀，再把点带进去，好，那就是考偏积分的是吧？考偏积分的啊， 你知道考点是什么，那我们就哎按照题目给的啊，哎，这个先对 y 求偏积分，再对 x 求偏积分。好吧，你待会我们也可以试一下，先对它，后对它有什么？有没有什么计算量的影响啊？我们先对 先对谁？哎， y 偏积分是吧，对 y 偏积分得的是不是对 x 的 一个偏导呀？对 y 偏积分，那就是 y 再加上 x 的 函数是吧？ x 的 函数啊，好， 不要忘了不要忘了啊，这个时候，哎，没有关于一阶偏导的输入条件是吧？没有，没有的话，那我们就继续偏积分，继续偏积分就会出现函数了吗？表达式了吗？才可以啊，带出条件是不是好，再对 x 偏积分，那记两次啊，偏两次积分，好，哎， 再对 x 偏移积分，那不就是得 f x y 了吗，是吧，好，对， x 偏移积分， y 看成常数，那就是 x y 是 吧，再加上，好，这是一个关于 x 的 函数呀，你对 x 偏移积分的话，你是不是得这样写了，哎，就是不定积分写成不定积分的形式喽， 好，再加上，哎，对 s 边积分加上一个 f y 啊，对不对？好，我们要去带啊，这出条件了，所以同学们要把这一块哎给它写成一个函数的形式，总之我积分完之后肯定是关于 x 的 函数，是吧，你写成啊，比如说 g， 你可以写成 h 吧，是吧？ h x， 总之是关于 x 的 函数嘛。好，这写成这个型号是为了干嘛？为了去带出的条件好去书写对吧？好，去书写以及去。呃， 根据两个出条件啊，去把这一部分表达式啊，给他求一求。如果你写成这个型号的话，不太好表示出来啊，你带这些点的时候不太好写这个形式不容易啊，出结果知道这一点就行了啊。好，我们就把这两个哎带一下啊。 好，零 y 是 吧， x 等于零一代嘛？ x 等于零一代都没有了是吧，这就变成了 h 零，你看这写着多舒服。好，就是否 y， 如果你不写成 h x 的 话，你看你写成啥了啊，你写的是零，加上好 g， 你看你这就不好书写。你说我把 x 等于零带过来，这表达式我也不知道，对吧？这记出来表达式我不知道，我这个 x 等于零怎么带呢？你没法书写了啊，记住这点好，那 f 还有一个出式条件是吧？这个写完了没有啊？出式条件写完了啊。 好，这是等于多少呀？题目说的啊，是等于 c y 的 啊。嗯，这个出条件呢，是把 y 等于零一代，那这就是零了。好， y 等于零一代，是不是？这是 f 零了，那么这是等于多少？等于 c x， 我 们的目标是把 f x y 的 表达式求出来，是不是要把这个 h x 和 f y 求出来呀？那你肯定就是用这两个出式条件 看能不能搞出来嘛。好，这一块儿的话，是不是否 y 可以？ 哎，出来啊，我们想要否 y 啊，否 y 就 等于这个 sin sin y 减去一个 h 零吧。对啊，好，再看，我们想要 h x 就等于 c x 减去三零，是吧？好，这两个表达式有了啊，所以 f x y 是 不是可以基本上写出来它的一个表达式了？ h x 在 这呢，好，超过来三 y 呢，在这呢， 好，有同学说，嗯，还没解出来，对，没解出来，你看你表达式里面有否零，有 h 零，请问它们是等于谁呢？好，这个时候是不是我们还想要一个出式条件呀？哎，怎么怎么 怎么找出式条件呢？好，你这个 y， 这个 x 是 不是你完全可以负为零呀？哎， f 零零是非常特殊的一个出式条件，你得能够找出来啊。出式条件啊，这里其实还隐藏一个， 就是 f 零零，把 y 等于零一带不就零吗？把 x 等于零一带是不是零零啊？这隐藏一个你得能揪出来啊，哎，这个可以，你可以记一记隐藏的除条件，揪出来它是有用的啊，你现在 f x y 不 等它吗？它又过零零点，对吧？ 又，因为 f 零零等于零，所以我们看一下能得到什么信息。零一代，零一代是不是只剩的是负的，负的，负的 h 零的，这些都是等于零的呀？好，结果等于多少呀？等于 零啊，是吧，等于零，好，也就说这一块跟这一块是不是已经求出来了，哎，就是零，所以这个时候我们，哎，真正就真正的把 f x y 的 表达式求出来了，是吧？就是 x y 加 c x 加 c y， 因为你们两个啊，是等于零了，根据 f 零零得出来的啊。好，我们把，哎，二分之二，二分之一带就行了，是吧？我们算一下啊，所以 f 二分之二，二分之二等于多少呢？ 嗯，二分之拍的就是四分之拍的一个平方， c 二分之拍就是一个一， c 二分之拍是个一，再加上一个二，对吧？这就是我们的一个结果了啊，这是二加上 四分之八的平方。同样啊，我们也简单的去写一下。哎，就是一开始提到的啊，提到的有些题目，他就是先对 x 篇积分，再对 y 篇积分，计算量就会小很多。这个题没有体现，但我们也可以做一做。好吧，我们可以在这里写 先对 x 偏积分，你会发现啊，步骤是一样的了，对 x 偏积分是不是？是，得的是对 y 的 一个偏导呀，对 x 偏积分，那这就是 x， 再加上一个 a 反 y， 可以 吧，再对 你肯定要继续偏几分呀。好，对， y 偏几分？好，这就得 f x y 了，对 y 偏几分是吧？哎，你看，这步骤基本是一致的啊，再加上一个 x 的 一个函数， 是吧？同理啊，这一块给它写成一个函数的形式，不然不好去带啊，出示条件书写上你很难搞出来啊。好，这就是关于 y 的 一个函数，那我们就写成 h y， 对 吧。 这这边的话，就还是 g x 嘛，初数条件一代吗？一样了啊， f 零 y 零一代是吧，就是 h y g 零 i 等于零一代吗？它是等于 c y 的 好， 这个 x 零 y 等于零一代，那就是 h 零。哎， g x 就 等于 c x 同样。好，我们把这个 h y 是 吧， g x 表示出来，再根据 f 零零等于零。好，也是啊，把这块求出来，就是这个啊，负两个，两个负的是不是等于零？这就不写了啊，后面就是一样的操作了啊，这个题没有没有体现出来啊，他的一个优点，后续我们在其他题目再去说，好吧， 哎，两次偏积分好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，这是让求 f 对 x 的 偏导，我们是不是得把 f x y 求出来呀？表达是求出来，你再去求偏导呀。 好，这里会发现啊，这是 x 加 y， 哎，这个位置是吧，这个位置呢，是 y 分 之 x 这样的题目啊，你记住它做题流程流程就行了。哎，就是先变量带换， 变量代换就一个位置，你另乘 u 一个位置，另乘 v 好， v 好， 就是 x 比 y， 那 么就解出来 x 等于多少 u 多少 v 的 一个形式啊， y 也是一样的， x， y 都解成啊，关于 u v 的 一个函数表达式的情况。 好，接下来呢，我们就可以啊，把 f u v 求出来了。 f u v 其实就是 f x y， 我 们把这个 u 换成 x， v 换成 y 好， 这表达式就求出来了，那么再去求偏导。就这样的一个做题的流程啊， 我们去解一下啊，你看这个 u 等于 x 加 y 分 之 x， 那 x 是 不是就是等于 y 乘以 v 呀，你这个得慢慢解啊。好，这个 x 的 话，我们现在就是等于 y 乘一个 v， 对 不对？这个带过来了啊，他俩是连立吗？ x 等于 y， y 乘以 v 再加上一个 y， y 是 不是可以提出来呀，就是 v 加一呀，所以我们可以看一下啊，这个东西， 它现在就是等于 u 的， 我们现在 y 是 不是可以解出来了？ y 就 等于 u 除以 v 加一，这个慢慢解啊，不要着急。哎， y 啊， u 除以一个 v 加一， x 和 y 都表示成关于 u v 的 函数哦，注意它的一个做题流程啊。 好，那 x 等于多少？ x， 它不就等于 y 乘以 v 吗？这不就是 y 吗？再乘一个 v 啊，再乘一个 v 啊，是吧，这就表示完了啊，表示完之后我们把 f、 u v 去求一下。怎么去求呢？好，你看啊， 我们是令的，它是等于 u， 是 吧？这块啊，等于 v， 也就是 f u v 呢，它就等于 这里边的 x 和 y， 现在我们就可以用关于，哎，关于 u 和 v 表达式，是吧？带过来了呀，这个能看出来吧。 x 现在不是等于它吗？好，就是 u v 比上一个 v 加一 的平方呀，减去 x 跟 y 一 乘，它俩一乘嘛，那就是 u 的 一个平方， v 是 吧， v 加一的平方，再加上 y 的 平方。好， u 的 一个平方除以 v 加一的平方。好，这里的一个平方我也可以这样写，两个 分别写开啊，因为它都是分开的嘛，这便于我们去化减，对不对？好， v 加一的一个平方，我们看分子啊， u 方 v 方减去 u 方 v， 是 吧，再加上 u 方， 这个有没有漏掉啥呢？没有，对吧，那就这样了，这个 u 方可以提出来，对呗，然后 v 方减 v 加上一个一，是这样的吧。 u 方，然后 v 方减 v 加上一个一， 这还能化解什么了吗？好像不能，不能了啊，那 f u v 就 求出来了， f u v 求出来，不就是 f x y 求出来了吗？对不对？你得能够理清楚啊， 现在我们的把 u 和 v 换成 f， 这里边 x 和 y 的 形式就跟上面就没有关系了，不要再去盯上面。你不是说 x 跟 u v 是 这样的关系吗？不是了啊，现在就是，哎，表达是已经出来了，我们只是把字母换一下，跟上面没关系的啊。搞清楚，那就是 x 平方。 好， y 一个平方减去一个 y 加一，是吧？除以这个 y 加一括号一个平方，再去对 x 求偏的就行了， 好，嗯，求了啊，对 x 求偏的，把 y 看成长数是吧？把 y 看成长数，这就是长数了。我就。哎，往这一放，行吧，你就是长数了啊，这分之一也是长数，只只需要看分子对 x 求导就行了，这也是长数啊， 对吧，这都是长数。那其实这儿吗， x 方对 x 求导不就是二 x 吗？这就完事了，这就是我们的最终的一个结果。 好，填上去就行了，我就不写了啊，注意它的做题的一个流程。会了吧，把它拎成 u， 把你拎成 v， 好， 把 x y 解为关于 u v 的 一个函数。好，这就往里面带，往里面带。哎， f u v 求出来了，那我们就是只是把字母换一下是吧？就 像我们一元函数里面，把 f t 求出来之后，我把 t 换成 x， 这个 x 跟前面的这个 x 就 没什么关系，不要去往前面的这个 x 就 行了，是吧？好，这个题目就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x y 等于它，这有绝对值，牵涉到去绝对值的问题了啊。好，求的是 f 对 x 的 一个偏导， 那如果题目给你的是它，哎，你会求 f x 对 x 偏导吗？会，我觉得都会， 是吧。好，当 x 大 于零去绝对值的问题，是吧？ x 大 于零的时候，直接去那表达式就是它， x 等于零的时候就等于零， x 小 于零的时候，绝对值去掉，添个符号，那就是它。 好，对， f x 就是 分段函数是吧？分段函数求导的话，它就是它不能求偏导了，就是求导，是吧？ 求导的话，那就是非分段点处，哎，我们直接用这个公式法去求，是吧？分段点处用导数的定义，这咱们一元函数，哎，分段函数求导这里都 做过很多题了，那二元函数也是一样的，根据他这个型号加绝对值了，那么他就可以写成分段函数的形式，那么在分段点处用导数的定义，非分段点处，哎，用导数求导公式，是吧？用求导公式求导就行了。好，我们知道啊，他的 方向就行了呗。哎，我们的目标你得清楚，是对 x 求偏的。那其实 y 我 不不是很关注你，对吧？哎，我不是很关注你啊，所以我们把 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零， 哎，以 x 大 于零，小于零等于零啊，去进行分段就行了。对 x 求偏的，你注意我们的啊，关键的点在哪里？好 看一下那表达式是不是？哎，写成分段的呀，就是 x 大 于零的时候， y 我 根本就不管你。 x 大 于零的话，先啊，先这样，你先再写一步，写成 好这个 x 绝对值，根号下 y 的 一个绝对值，可以吧？这样去想，因为我们并不关注 y， 你 爱大于零和 x 小 于零， x 等于零的问题。 好， l 大 于零，这里其实我们已经知道，它就是根号 x 嘛，是吧？根号 x 好， 后面就是根号 这个 y 的 一个绝对值，对不对？你也可以给它挪到一起，就 x， y 的 一个绝对值， y 的 话，就是说你 从负无穷到正无穷都是可以取的呀，是不是根据啊？首先根据这个题目的话， x 跟 y 本身 x 就是 可以取负无穷到正无穷的， 对不对？ y 呢，也是负无穷的，正无穷都是可以取的，对吧？因为它在绝对值里面嘛，所以全平面上的点它们都是可以取的。 因为我们的关注点是 x， 所以 就分 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零。注意关键点啊，不需要再去把 y 大 于零，小于零等于零再去写一遍了。不需要啊，好， x 等于零的时候，同样 y 还是这个样子就行了。 x 等于零，那很显然整个 f x y 就 等于零了是吧？ x 小 于零的话， y 你 就哎，把你的定义域写过来就行了。 好，这里，这就是根号下，就是我们这里说的是负的 x， 是 吧，根号下 y 的 一个绝对值， 这时候我们就类比一元的分段函数求导的一个公式去求一下。哎， 分段点处呢？用导数的定义是吧，我们先看啊， x 大 于零， x 小 于零的时候是吧，这就是非分段点的意思，只是这里啊，二元函数，它其实就是区域的问题了啊。好，直接用导数的求导公式是吧，求导公式就行了。 f 对 x 求偏导。嗯， 那 y 看成长数不就完事了是吧。好，根号 x 对 x 求偏导。哎，不就是你吗？这也可以稍微整理一下吧。对呗，都有根号，合到一起呗， 这是 y 的 绝对值，那 x 也可以给他合进去是吧，为了这个形式看着更舒服一些，你不想合也行。好吧，这个 x 完全可以进去啊，给他写到一起。好，这个就是这种情况了啊，当 x 小 于零的时候也是啊，用求导公式就行了， 看它呀。嗯，根号下这个 y 的 绝对值也是看着长数往这一放。好，这里呢，对 x 求导，先是它这里，再对 x 求导，是一个负一吧，也可以整理一下这个形式。二分之一是吧？ 符号啊，写前面根号下它都有根号，我们也可以挪到一起，是吧，也可以这样去写啊， 对呗，哎，这样去写的话，上面就是 y 的 绝对值，下面是 x 绝对值， x 绝对值开出来就是负 x 嘛，以 x 小 于零也可以这样写啊。好，当然你怎么写都行啊， 对吧，你怎么写这里？不不不，给他绝对值啊，给他俩放在一起也行啊。好，接下来就是 x 等于零。好，这个时候需要给大家强调一下啊，他跟一元函数分段点处，要用导数的定义了，对不对 导数的定义，这样情况呢？这两种情况就是用求导公式，哎，这要分成两种了啊，两种情况， x 等于零，还有一个 y 到底等不等于零的问题，依然函数不涉及，是吧？那这里就是 y 不 等于零， 因为你 y 等于零和 y 不 等于零，有时候啊，它的结果啊，这这两种结果的。所以你就记住这样的一个流程，就是分 x 等于零，有又分出来 y 等于零和 y 不 等于零。好，用倒数的定义就行了。 我们看这个情况， f 对 x 求偏导，在 x 等于零的时候，是吧，这个导数的一个值嘛，你就类比一元函数，在零对点求导数定义的话，是不是我们一元函数是 f， x 减去 f， 零除以 x 减零。求极限呀？ 好，现在的话，哎，只是 y 等于零了，你把 y 拿过来而已，是吧？只是拿过来而已。好，你这跟一元函数啊，几乎没什么区别，把 y 看成长数就行了啊，看一下这个极限啊， 这是 x x y 等于零， y 等于零的话，很显然表达式就是等于零了，是吧？这就是确切的一个零啊，减去 f 零，零，那也是等于零啊，底下是区域零，咱们在一元函数那边就说过了，上面是确切的零是吧？就它真真切切的啊，是个零呀， 货真价实的零，这是去零，你不是货真价实的零，你是去零啊，一个确定的零除以去零是吧？去零零零零零一啊之类的，反正你不是零，那零除以一个啊，不是不是零的，一个数乘一个不是零的数，它都是零呀，对不对？这个啊，记住啊，等于零，我还是用紫色的笔啊， 提醒一下大家。好，这种情况就完了，那我们再看这种情况，哎，一样的是吧，用导数定力啊，好， 只是说这个位置给它换成 y 了， y 不 等于零是吧，直接用这个范范的一个字母来表示就行了。好， 就是一个 y 嘛，写成 y 了啊，怨函数学清楚了，这块也是很简单吧， f x y， 因为 x 是 去零的， y 不 等于零，直接就 f x y 表达式往这一挪就行了。表达式我们说了，就是它 乘一个它，你就现在看这个红色的就行了，是吧？减去 f 零 y， 当 x 等于零的时候， f x y 是 等于零的啊，这就等于零除以一个 x。 电脑卡了一下啊，我们继续， 对于这个极限的话，它是不存在的，我们看啊，这个 x 去零，你把 y 这个啊挪到前面就行了。 x 去零，根号下 x 的 绝对值比上一个 x 好，上面你会发现啊，这是相当于 x， 你 不用管绝对值的问题的话，这是二分之一次方，这是 x 一 次方。 好， x 区域零的时候，它属于高阶了呀，对不对？下面区域零的速度更快吧。你这一次方呀，肯定大于二分之一次方呀， 你去零的速度更快，所以这个极限就无穷大了，对不对？我们不用去看 s 区零正零负的问题，其实你要想看的话，我们就是 s 区零正，你看看一下，它就是无穷了啊，对不对？ s 区零正的时候，这是不是就是绝对值？去掉就是一个 x， 就是 根号， x 就是 x 的 二分之一次方， 对呗，然后这是 x 一 次方，所以这就是一个无穷大了。那 x 趋零负你就不用去看了是吧？去一次这个极限都不存在了，更更说更别说趋于啊两侧了。好，而且这个时候你看 y 是 不等于零的嘛。对呗，你也是不等于零的，所以这个极限肯定就是无穷就不存在的。 极简不存在。好，那也就是我们这里说的啊， x 等于零的时候，你要分两种情况，你看这种情况就存在，这种情况不存在。我们最后啊，来总结一下啊，是个大题啊。好， f 对 x 求偏导 分段函数是吧？当 x 哎，大于零 y 的 话，就是在它定义内就行了，是不是二分之一根号下好， y 比上一个 x， 那 当 x 小 于零的时候，这样 这个 y 的 话得用个别的笔了，不然看不清晰了。是不是红色的吧。 y 负无穷正无穷好，再改回来， 这多少呀？二分负，二分之一根号下 y b x 绝对值。当 x 等于零， y 也等于零的时候，是不是等于零呀？ 好，这种情况其实你写不写都行，毕竟它都不存在，是吧，你写个不存在，写不写都可以啊，想写的就写一下。 x 是 等于零， y 是 不等于零吗？也直接不存在。 好像这样的题的一个关键点就是你模仿一元函数，那你能看出来，带绝对值的可以写成分段函数，对 x 求偏的 y， 不 用去关注是吧？把 x 大 于零，小于零等于零，哎，关注到位，分成三段。 好在是，哎，大于零小于零的时候求到公式去求，等于零的时候用倒数的定义，这个时候再分出来一种情况，哎，就这么简单，是吧，记住做题流程就行了。好，这个题目就讲到这了。好，我们看这个题，设 q x y 等于它好， y 大 于零， x 没有要求，是吧？那就 x 是 属于 r 的 呗。 好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的权微分，这个 p 啊，可以取。哎，哪一个选项呢？好，我们知道啊，一个二元函数， 它的权微分是怎么写的呀？是不是对 f 就 二元函数对 x 偏导 d， x 加上 f 对 y 的 偏导 d y 啊？我们设这个二元函数，就是 f x， y 的 话，它是这个二元函数的权微分。那你看对应一下呗。 好， d x 加上 q， d， y。 首先这个题啊，在这个 q， x， y 呢，好，它是 有要求的， x 呢？属于 r， y 呢？大于零，对不对？那么这个 p 啊，也得是这样的一个要求，为什么呢？你看一下啊，这个 p 和 q 是 怎么来的呀？ 是不是就是 f， 哎，对 x 的 偏导， f 对 y 的 个偏导呀？是不是你这两个位置就是 f 对 x 求偏导， f 对 y 求偏导呀？那你这个位置啊，虽然它它们两个也都是二元函数，你这个 x 和 y， 那 那取值肯定是跟这里的 x y 是 一样的嘛，是不是你是从根上过来的嘛？ 好，那我们现在知道，哎，你的一个啊， x 和 y 的 一个取值是它了，那其实就是对应的，你的 x， y 的 一个取值就是这个，那 p 也是一样的，对不对？你们啊，这个 取值范围都得是一样的，是吧？那既然一样的话，你看一下啊，选项啊，选项，这个 p， 这个 d 就 可以排除了。 d 的 话， 一定要求 x 不 等于零啊， x 如果等于零的话，那就没有意义了，是不是？你写成这个样子，要求的就是 x 不 等于零，这是潜台词吗？而我们说了这 x 必须属于 r， 是 吧，这三个选项啊，可以作为备选吗？你这个 d 首先就排除了。好，接下来我们去看一下 abc， 怎么去选呢？ 怎么去选？你像啊，这个偏导出现，哎，权威分出现，你要想到这个什么呀，偏基分啊，它的一个考点啊， 我们现在知道的是 q 嘛， q 是 谁呀？ q 是 f 对 y 的 偏导呀，是吧，就等于这个 q 啊，等于 x 比上 y 的 平方，那我们是对 y 求偏导，那我们对 y 呢，就偏积分呗， 常见的套路是吧，偏积分的话，我们就可以得到 f x， y 等于多少呀？它好对 y 进行积分， 我们说对 y 积分，这个 x 看成一个常数嘛，是吧？等于 x， 谁求导等于它呀，那不就是负的 y 分 之一嘛，所以是负的 y 分 之 x。 注意啊，对 y 偏积分后面要加一个 x 的 函数，是吧？ 好，接下来怎么样啊？怎么样，那不就是 f 对 x 求偏导了吗？因为我们知道 f 对 x 求偏导，就是这里的一个 p 吗？好，这里求一下啊，求一下导，对 x 求导， y 看成长数哦，那就是它加上它对 x 求偏导啊，好，就是我们说的 p 吗？是不是 你看 p x y 里面得含有一个负 y 分 之一哦，那只有它有，你看 abc 里面只有它有，是吧？这两个就错了嘛，选 b 就 可以了，是吧。哎，这个定义域啊，你得是保持一致的嘛，对不对？你这个位置和这个位置都是由 f 求来的嘛，求倒过来的， 所以 p q f 啊，你这个 x 和 y 这个取值都是一样的啊，那这是数一数二数三啊，这个通用的一个解法。对于这个题的话，数一的同学啊，我们也可以从 平面曲线积分与路径无关哎，这一块啊，去做题。好， p q 呢，在单联通区域里面具有一阶连续偏导的话，好，曲线。我们知道啊，曲线积分呢，与路径是无关的 好，冲要条件就是在这个单联通区域内处处有它俩相等。而我们知道啊，曲线积分与路径无关的话，你也可以说成 好，在单联通区域内存在二元函数 u x y， 使得这个式子成立。其实就是这个题的一个意思嘛，对不对？好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的全微分，表示的就是啊，曲线积分与路径无关。好，它的一个冲要条件就是在单联通区域内啊，好，它俩是相等的， 它俩相等的。我们去看一下啊， p 对 y 求偏的就得等于 q， 对 x 求偏的 q 呢？对 x 求偏的 y 看成常数嘛，那就等于 y 的 平方分之一。这块是不是 好，我们现在就知道了啊， p 对 y 求偏导得等于它，那 p 得等于谁啊？两边对 y 偏积分嘛，对不对？对 y 积分，那就是负 y 分 之一嘛。对 y 积分要加一个 x 函数，所以我们可以看出来 p 得是这个样子的，对不对？得含有一个负 y 分 之一嘛？这个没有，这个也没有，那就是看它两个了， 它两个的一个区别是什么呀？还是我们刚刚说到这个定域问题？那从从这一个曲线基本与路径无关的话，怎么去理解这个定域呢？就是单连通这三个字，你得理解啊， 这是 x 轴， y 轴的话，你看啊，这个 q 的 话，要求 y 大 于零就行了。 y 大 于零，那就 x 是 任取的吗？是吧？ x 任取， 你看这个区域是不是这一块啊？那你这一个 p 的 话啊，你看，如果你选 d 选项的话，我们得去 去掉这个 y 轴上的一个点，对不对？你 y 轴上的点就去掉，必须得去掉才满足这个 d 选项的啊，这些就没有了，你看就不满足单联通区域了。 单联通区域是什么呢？我们韧化一个封闭的一个小圈的话，得是这个样子的，你不能够啊，刨除，刨除某些点的啊，不能有洞，对，不能有洞啊？ 你看你如果选 d 选项的话，你就有洞了，你随便圈一个圈，你看你不能够包含这个红色的点吗？是不是你就这种情况了？你有洞了啊，就不是单连同区域了，对不对？你 b 选项就没有这个要求， x 随便取吧，所以这就是单连同区域了，是吧？把这个啊 这个啊再补上吧，你看不要刨除这一块啊，这些，哎，就是单连同区，你怎么画圈都是这种情况嘛，是吧？这就是单连同区域啊。好， 这是数一啊，数一的这个同学学到这块知识点。那对于数二数三的同学啊，你用我们的这个通法就够了啊。好，那这个题就讲到这了。
119考研数学千羽
06:40查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，先瞄一眼观察一下，分母是二次多项式，分子是一次多项式，这个型号的积分呢，同学们记住，他的做题方法就是分子去凑分母的一个微分，那么既然是去凑分母的微分的话，也就说我顶后边要写的是分母， 所以我分母就去求导，是不是分子就往分母上进行去靠拢啊？往分母的导数这块去靠拢是不是？好，这个你直接看，可能有些不太理解，我们操作一下你就知道了啊。好，这是 x 平方减 x 加一， 因为我想去凑分母的微分，我肯定就是要对分母求导，我待会是要把，哎， 我想把分母要写到微分后边的，是吧？就是求它的一个微分嘛，凑它的微分，分子去凑分分的微分。好，我就对它求导嘛，求导的话就是二 x 减去个一是不是？而这里的分子是四 x 减三，跟它有什么关系呢？哎，我乘一个二，你发现 我乘一个二之后不就是四 x 减二吗？非常相似了，是吧？往这个上面进靠拢啊，相似的话，那我就给它改成四 x 减二，好，再减去一 dx， 可以 吧？这样的话，我给它写成两部分往这写啊，第一部分的话，那就是四 x 减二除以 x 的 平方减 x 加一 dx， 第二部分就是一比上 x 平方减 x 加一 dx。 好， 这块儿， 现在啊，再看一下这这句话，分子去凑分母的微分。现在是不是哎，这一块就可以凑成分母的微分量，但呢，他不是分母直接求微分，他是这个求完微分的一个两倍，对不对？所以我就配一个二就行了。 懂这句话了，是不是分子哎，去凑成分母的微分，往他这个求导的结果上面进行去靠拢呀，是吧？你看他求完之后是二 x 减一，再乘以二就四 x 减二吗？这是他吗？对，凑完的一个结果是吧？好， 这第一部分结束了啊。第二部分对于第二部分的一个处理的话，好，他是一个二次方式，就是一元二次函数吗？好，他要么就是分解音式，音式分解啊，要么呢就是好配方，就两个方法啊， 啊，一般就这两个方法，什么时候分解音式？哎，我们看一下 delta， delta 如果大一点就可以分解音式， delta 小 一点那就可以放，是不是你这个小一点的话，你怎么分解音式？对，分不了呀。 好，这一看 delta 的 话，它是等于 b 方减去四 a c 很 显然小于零，是吧？小于零我们就配方了啊，好，就选的是这个了，有时候就是 delta 大 于零，你就得知道得分音式啊，好配方，这个中学学到了应该也没问题。 x 减去二分之一平方，这样的话，是， 哎，这个型号是吧，人家是加一啊，你才加个四分之三。四分之三是不是二分之根三的平方呀？是的， 好，那这个先到这继续了，我们现在就可以把这块看成一个整体，是吧？ t 分 之一的原函数是不是零？ t 的 绝对值啊，这就是 t 的 绝对值，而我们知道啊，它的大小小于零，它就是整个的， 整个的一百二十次函数，它是大一点的，所以绝对值可以去掉啊，是吧？好，零等于减去后面 这手哪个型号呢？是不是这个型号呢？这个咱们哎做过多次啊， x 方加 a 方，这个型号好直接。 a 分 之一，阿克丹尼 a 分 之 x， a 就是 二分之，根三分之一就是倒数啊，倒数就是根三分之二了吧。 好，在 ar 看见的 a 分 之一乘一个 x， a 分 之一还是我们的啊。根三分之二再乘一个 x 是 吧。好啊，这个括一下吧。好，这是零到一，我们算一下啊， 先是上限带入一，一代的话一减一等于零啊。 one 一 是零了，减去下限，一代零零一。 one 一 也是零是吧。整个这块是零了啊。 好，接下来我们去看这这一块是不是看这一块啊。好，上线。一代的话，一代阿克贪婪的这里没有问题吧，一代的话 感觉有点问题，是不是哦，这个 x 啊，这里的 x 跟这里的 x 不 一样，这是 x 减二分之一。认真一点啊， 我没有认真，同学们不能向我学习是吧。应该是根三分之二倍的，这里是 x， 减二分之一才是公式里边的 x 对 应。好啊，好，零到一及时发现错误。一代的话 二可贪心的好，根三分之二乘以一减二分之一就是二分之一，这就是一个一是吧，那等于多少呢？贪心多少等于根三分之一啊，贪心三十度是不是三十度就是六分开啊，这很常见的啊，这个中学学的是吧。 这个三十度，六十度，四十五度啊。 c 值靠近贪念，值得记手链了。跟三分之一嘛。三分之三呀，三十度就是六分拍啊，六分拍减去下限，一代的话，阿克贪念的零，一代 零减二分之一就是负，二分之一乘以二就是负一是吧。它跟它差一个符号嘛。那这里就差一个符号是吧。 arg tangent 的 函数， arg tangent 的 x， 它是一个奇函数啊，是吧？ arg tangent 不是 这样画的啊， arg tangent 的。 对哦，它是一个奇函数，所以它差一个符号。那这里结果就是差一个符号啊，所以是负六分之拍减去负六分之拍啊，这里就是一个加，加了啊，六分之拍。 好，这个零就不说了吧，这里是一个六分之二拍，你六分之三拍就二分之 六分之二拍是三分之一拍啊，前面是一个二，比上一个根三前面还有个负号。好，负的二拍，三倍的根三，上下都乘一个根三吧，一般来说根三在上面啊，这个 咱们根三都在上面的啊，一般来说化解分母是不带根号的啊，九分之负二倍的根三拍负的啊，九分之二倍的根三拍 好，这就行了啊，这个题他就是这样的一个做题的一个方法，同学们得知道做到往后的话，哎，拆出来的一部分，那么就是常见的配方或者是分解因子。好，这个题就讲到这了。
29考研数学千羽
46:04查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，曲线与 x 轴在零到正无穷上所围成图形的面积，这考察啊，定积分的几何意义。我们可以简单的啊，画一下这个图，好，这个 y 的 话， 这个分母一元二次函数，我们可以看出来得寸小于零，也就是说分母是大于零的，对不对？整个的 y 就是 大于零的， 整个 y 都是大于零的，当 x 取零的时候， y 取五分之一，随着 x 的 一个增大的话，它趋向无穷的话，无穷分之一是趋向零的，所以以 x 轴为渐近线是吧，总之它大于零嘛，那么零到正无穷上 好，这个图形的面积与 x 轴围成曲线与 x 轴围成的面积，是不是就是直接零到正无穷？对，这个函数 y 积分就行了，不就考察定积分的几何意义吗？对不对？好，这个 i 就 等于零到正无穷。对， y 表达式啊，写过来， x 平方加四 x 加个五 d x 积分就行了呀。这个积分的话我们已经说了，都是小于零，你要想着去配方了是吧，对吧？ x 加二的平方 再再加个一吧。对 d， 我 们是不是给凑一个 x 加二啊，这不就是 a 方， a 方加 x 方分之一，这个乘法的考察啊，它不就是 arc 摊进的 a 分 之 x a 这个题就是一 x， 就 这里的是 x 加二，这公式都没有忘吧？好，没有忘啊， 正无穷带过来就是取极限啊， arc tangent 正无穷是不是二分之 pi 啊？这个 arc tangent 的 图像得非常熟悉。好，零一代的话， arc tangent 二，这个咱们就不知道这个结果是多少是吧？就是它的角度多少不知道，那算了，直接就写这个就行啊，把它写过来。 arc tangent 的 二 r 乘以 x 的 图像，不用再复习了吧。好，有这样说，再复习一下可以啊，对，应该都会了。是不是这样的一个图案， 这是二分之拍，这个是负二分之拍，对不对？ ar 乘以 x 啊，两个间径线 x 去正无穷，它是以二分之拍为间径线的。 x 等于以 y 啊，以 y 等于负二分之拍为间径线。两根间径线啊， 是吧。好，那这个题呢，就讲到这儿了，好，我们看这个题，这跟第一题没什么区别是不是？哎，曲线 在这个区间上啊，与 x 轴为成的面积，那不也是考察定积分的几何意义吗？我们可以看出来，这个 y 呢，在这个区间上也是跟第一题一样是大于零的呀。 这边一到这肯定是大于零的，这个 long 一 到 long e 的 一个平方，它确实也是大于零的，是不是所以整个 y 就是 大于零的啊？ y 大 于零，这图你心里就已经清楚了啊，我根本就不需要关注啊，你到底是 单增啊，单减呀，怎么型号的无所谓，是不是，我只知道的，哎，我进行一到一的平方上，对 y 求定积分，就求出来这个面积就行了，是吧，你增减性，其实我不用去关注，反正你是大于零的吗？对，大于零就之间一到一上积分就行了。好， 一到一的平方啊，龙眼 x 比上一个根号下 x dx 对 不对？这个我们说了啊，看到根号下 x 分 之一 dx， 立刻要想到，哎，凑微分是吧，凑成二倍的 d 根号 x， 这个多多次了，你得敏感一点啊。龙眼 x 凑完微分立刻就分布积分是吧？龙眼 x 根号 x 减去一个二倍的一到一的平方，根号 x， 龙眼 x 求到 x 分 之一啊。 d x， 这又没什么说的吧，很简单了啊，上线带一下龙眼 e 的 平方不就是一个二吗？ e 的 平方开方就是一个 e， 一代的话，到一是零了啊，减零写一下吧，还减去两倍的好，一到一的平方，这是 x， 根号 x， 这不就变成根号 x 分 之一吗，是吧？ 点 x 它原函数我们也说了，对，立刻想立刻看到是吧？是二倍的根号 x 吗？它是四 e 减去二乘以两倍的一个平方， 四 e 减去四好看，这块就行了。 e 的 平方开方吗？ e 开方还是它四？ e 减去四 e 再加个四，对不对？所以就是一个四了 好，这没什么难的，对不对？还是考察啊，定积分的几何意义啊，表示的是这块的面积。好，我们看这个题啊，啊，抛物线就它呗， 哎，把 y 等于哎，就是这一根线，抛物线把这根线呢，与 x 轴所围成的 b 区域分成了两个部分，哎，正好分成这部分和这一部分嘛。 好，就是比较这两部分的面积的大小，还是考察定积分的几何意义。我们把 s a 算一下，把 s b 算一下，是吧？ s a 怎么算呢？这根线好看一下，减去这根线， 对吧？你看这个焦点啊，我们可以给它算出来。这焦点算出来之后，我们就是在零到这个，是吧，这个位置啊，这个数之间进行定积分就行了，因为上面这根线啊， 哎，积分出来的面积是它下面这根线积出来的面积是它，两根线一剪，这不就是 s a 的 面积吗，对不对？ 把它算完之后呢，再把 s b 的 面积算一下 s b 的 话，你这个方式就有两种了啊，要么是算一算它来，再去把这块算一下，两部分加到一起，或者呢，我们看你会发现啊，它整个， 哎，这个抛物线在零到 b 上积分是比较好积的是吧？ s a 你 算出来之后，哎，用整个的面积减去你刚刚算的 s b 的 面积，算出来也行。对，整体的思想啊，同学们也是要有的，有时候用整体的思想， 我会简化一些计算量的啊，那我们先把 s a 算了吧， s a 算的话，肯定要把这个焦点对应的这个横坐标求出来的啊，这是抛物线， 还有这根线不是两个曲线啊，交点就连立方程呗，解一下啊。好，这个，擦，搁这写吧，就是根二减一， x 平方就得等于 x， b 减 x。 解一下啊，这是根二减一， x 方减去这个等号吧，先 x b 减去 x 平方，是吧，这 x 平方跟这边可以合一下，根二减一，这个合过来就是加一了嘛，所以它只剩的是根二， x 平方等于 x 乘以 b， x 要么等于零，对吧？等于零，很显然满足啊，或者你给它移过来也行啊，减去它等于零， x 提出来根二， x 减去 b 等于零， x 等于零，或者 x 等于这里嘛， b 除以根二啊， 是吧？两个交点啊，这个是零这个点，还有就是这个点是 b 除以个根二。好，这就是我们想要的这个点的横坐标。 我们现在把 s a 求一下，是不是就是零到根二分之 b 这个区间上，这个红色的线减去这个黑色的线积分就行了啊。红色的线就是 x， b 减 x 减去黑色的线， 根二减一 x 平方，好，积分一下，这就认真算，没什么技术含量了。 把背记函数我们整理一下， b x 减去， x 方减去后面是根二 x 方加上 x 方，是吧？这 x 方前面的系数，这负一正一没有了，负根二 x 方，这是 b x 啊，就它 写一下负根二 x 方加上 b x d x 原函数是什么呀？很简单呀，三次方除一个三，负根二写一下，这个可以一个一个的算，或者你把原函数求完，整个带上下线都行了。 x 平方除一个二， b 是 零到根二 分之 b， 是 吧，你们算一下啊。嗯，这个有个符号，我的符号的话，一般来说我们作用于上下限啊，根二分之 b 到零 不容易出错嘛。根据个人习惯啊，上限一代是个零，减去下限一代，他的一个三次方，那就是 b 的 三次方，那是二倍的一个根二了，根二根二消掉了，就是负的六分之 b 的 三次方， 再加上后面啊二分之 b 乘以上限的上限一代啊，平方的话就是二，下限一代是零了，所以这就是四分之 b 的 三次方。 通过分呀，得负十二分之二 b 的 三次方加上十二分之三 b 的 三次方，十二分之一 b 的 三次方，是吧？好，就这样了啊，接下来我们去求一下 s b s b 的 话，我们可以有两个方法，是吧？用还是先推荐啊？就是用整体的一个思想，用整体思想好，求完之后我们再用啊， 这个 s a 加上 s b， 再减去一个 s a， 这个很显然啊，这个整体一起算啊，直接就是红色的线抛物线在零到 b 上积分，这不需要分成两半。那你就 就快一点嘛，速度更快一点。 x b 减 x dx 就 行了呀，是吧？这里面就是 x dx 啊，减去 x 平方， dx， 这是 x 的 一个平方除以二，这是一个 b 减去三分之一 x 的 一个三次方。你分开算或者是整个一起算啊，都行的。 b 一 代的话是二分之 b 的 三次方，减去三分之 b 的 三次方，零一代是零呀，六分之 b 的 三次方是吧？好，这是六分之 b 的 三次方，减去 s a 已经知道了，十二分之一 b 的 三次方， 十二分之二减去十二分之一，十二分之一 b 的 三次方。 s a 跟 s b 看一下一模一样是吧？选 b 就 行了。 对，用眼睛看好像看着是不一样的，是吧？所以你不能用眼睛看图吗？你就仅供参考。你用眼睛看感觉 b 好 像大一点，是吧？那不行了，没有，没有依据，或者 你整体这个思想你没有掌握是吧？那你还要把题做一做吗？平时我们可以也做一做啊。 s b 怎么做两部分呀是不是？那你 经过这个题的一个训练，后期再减到类似的，你就知道。哎，不要在 s b 分 成两部分了啊，你没有这样快。对，做题的目的就是啊，学习一些方法。好，我们分成两部分，第一部分，那是这个黑色的线是 是零的啊，根二 b 黑色的线进积分，黑色的线就是根二减一。好， x 平方，对吧？再加上啊，这块红色的线了啊，是根二分之 b 到 b 红色的线 积分是吧。算一下啊，根二减一是个常数，提出来 x 平方，元函数三次方除以三零，根二分之 b 加上根二。哎呀 sorry 啊，这是还是按 b x 减去 x 平方吗？ 直接写过来了，对， b x 减 x 方，对圆来说就在这呢。直接抄过来了啊，二分之 b x 的 一个平方减三分之 x 的 三次方，这个时候上压线跟刚刚那列就不一样了啊。 第一部分的话，我们把系数提出来吧，三分之根二减一 x 三次方就是 b 的 三次方除以根二的三次方。二倍的根二呀，加上这边上限带入二分之 b 的 三次方， 三分之 b 的 三次方减去下限带入 x 平方，这就是，这是三次方是吧，合并一下，二二得四， 减去三分之一倍的 x 的 三次方，它也要三次方呀。二倍的根二就是六倍的根二， 你看这就慢多了啊，算一下啊，都是都是 b 的 三次方。我们直接整理系数就行了啊。前面是六倍的根二分之根二减一，加上第二部分六分之一系数啊，系数就行了， 减去四分之一，加上六倍的根二分之一。对光看系数啊，通分吧。十二倍的根二分之分母乘一个二分子乘一个二。 这里分母乘以二倍的根二分子乘以二倍的根二分母乘以三倍的根二分子乘以三倍的根二分子乘一个二分子乘一个二。 等会二倍的根二，四倍的根二减去三倍的根二，还有一倍的根二减二加二没有了，所以分子就是一个根二，分母也有一个根二，这根二根二消掉了十二分之一，还有个 b 的 三次方，是吧，跟这算的也是一样的啊， 太慢了啊，是吧，太慢就比别人啊，浪费一些时间 好不好，学一学啊，整体的思想好还是定积分的几何意义的考察。这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，过点 p， 这就这个 p 的 点了，我们这个曲线是 y 等于 c x， 所以 p 这个点的坐标就是 p c n p 啊， 好，做过这个点，做曲线的一个切线啊，这就是啊，这个点出的这个曲线的一个切线啊，设该曲线呢，与切线以及 y 轴，哎，曲线 和切线与 y 轴为成的图形的面角 s 一， 这个红色的就是 s 一 啊，曲线呢，与 x 等于 p 以及 x 轴所围成的面积是 s 二，哎，就这一块是 s 二是吧？蓝色的。 那么让我们求的是 s 二是吧？都，都是啊， s 二比上 s 一 加 s 二，当 p 区领证的时候的极限，我们先把 这两块面积求一下就行了。还是考察定积分的几何意义是吧。先把 s 二求一下吧， s 二的话，那很显然就是零到 p 这个区间上。对，这个 c x 是 不是 c x 积分就行了。 s 一 加 s 二呢？ s 一 加 s 二，你可以有两个渠道，你要么把 s 一 算一下， s 二也算完了，加到一起，要么还是根据啊定积分的几何意义。 s 一 加 s 二，不就是整个这个 绿色的面积吗？它其实是一个曲，是梯形啊，对吧？它是规则的图形，规则的图形，我们就可以用出等数学的方法，出等数学方法求面积，求梯形的面积，用公式非常快呀， 对不对？哎，比如说三角形，三角形的面积公式，梯形，梯形的面积公式，它就会比我们把 s 一 s 二算完再加到一起速度快。好吧，还是一个整体的思想啊， 我们两个方法也都写一下啊，就是再复习一下定积分这一块儿啊，几和一，先把 s 二算了吧。对， s 二一定是避免不了的啊， s 二就是零到 p 区间上，对 sin 是 吧， sin x sin x 积分就行了，原函数就是负的。 cosine 零到 p 是 吧，我就不喜欢啊，这个负号在前面，所以我给它改成 p 到零， 看你喜不喜欢。 cosin 零的话是一吧。好， cosin p 结束了啊，我们呢算这个 s 一 加 s 二，直接用啊，梯形的一个面积就行了。面积公式啊， 是不是上底这个这上底加上下底乘以高再除以二呀，而这个上底怎么算这下底？很显然我们知道啊，这个上底 下底呢，就这个这个高度啊， c p 啊，乘以高，高的话就是这个长度， p 除以一个二是吧，先去把上底去算一下，上底想算的话，是不得把这个切线方程求出来，切线方程求出来，在 y 轴上的个拮据，哎，就是我们想要的这个上底了呀， 可以吧把切线方程算一下啊，我们看过 p 点的切线方程， 点斜式算呀，是吧，咱们都会啊，点斜式这一点的啊，切线斜率是等于多少呢？这一点的切线斜率就等于 y 对 x 进行求导，把 x 等于 p 带入，是吧， y 对 x 求导，那就 cosine 呀， cosine x 把 p 一 带，就是这一曲线在这一点切线的一个斜率了。好，根据点斜式就把线方程斜过来了，那就是 y 减去一个点，我们就取了这个点啊， y 减去 c 一 p 等于 k 位的 x 减去 p， 是 吧？点斜式啊，其实你写成这个样就行了，我们现在主要就是把切线在 y 轴上的拮据求一下。我们直接就另。这就不需要怎么整理啊，我们另 x 等于零，可以得。哎，他在 拐角是拮据啊。对， x 等于零的话，零减 p， 负 p 了啊。负 p cosine p， 这个 cp 移过来是吧。所以就等于 cp 减去一个 p 乘以 cosine p， 这就是上底啊，上底就出来了。写过来， cp 减去一个 p， cosine p 好，加上一个，下底乘一个高除以二。这里可以合并一下吧。 c n p， c n p 不 就是二倍的 c n p 吗？ 减去一个 p 乘以 cosin p 是 吧。整个乘一个 p， 乘一个二 p 也没有必要再乘进去啊，就这样就行了。我们去求一下奇限啊。 p 去领证的时候 s 二 s 二是一，减 cosin p 是吧？除以除一个，他不就是乘以他的倒数吗？把二拿过来啊，把二拿过来。好，这个是二就分分母啊，现在放放到分子上了，分子就放到分母上啊。减去个 p 乘以 cos cosine p， 再乘一个 p， 这里写个 i 吧，二就放在这儿， p 去领证。一减二分 p 求极限。这块肯定可以用一下等价五乘小的替换呀，是吧。底下有一个 p， 二 c p 减 p 乘以 cosp， p 跟 p 消掉一个啊，二分之一跟二也消掉了，分子还剩一个 p 啊。 分母的话是二倍的 c p 减去 p 乘以 cosin p 消了啊。 p 零比零吧。零比零你落笔答就行了啊。是不是 p 去零个整，这落一下是个一了，底下落一下 cosin p 减去 p 求倒 cosin 不 求倒 p， 不 求倒 cosin， 求倒。是负的 c 啊，负的 c 好，这个可以去掉吧。括号去掉啊，减它加上它这个二倍的，减一倍的不还剩一倍的吗？ 写一下啊， p 去零正一还剩一倍呢。就是 cosin p 啊，加上 p 乘以 c n p， p 去零的时候极限已经可以求了是吧。这是一个连续函数 p 去零正的时候啊。连续函数对极限就等于啊对点的函数值了。把 p 等于零一带就行了啊。 cosine cosine 零是个一是吧。等于零啊，这就等于一对吧。没问题啊，选 d 就 行了。那我们也看一下啊，不用梯形的面积求的话， 把 s 一 我们算一下。好吧，这是不太建议用这个方法了，只是平时我们可以再练习一下啊。训练一下定积分吧，是吧。定积分这一块啊，计算能力 s 一 的话， s 一 要想算的话，你看好这里。擦掉了 是这根线是吧。减去这根线好，再零到 p 去减上积分。 零到 p 啊，上面这根线就是我们的这个奇异方程呀，对不对。奇异方程我们得写下 y 等于多少啊。 y 等于它加上一个 c n p 对 不对？也就是 c n p 加上。靠，我就不写那么多了啊，那边就不写了。 cosin p 乘一个 x 减去一个 p 乘以 cosin p 减去下面这个方程就是 c x 嘛。好， d x 这都是数吧，是不是这个数的话积分比较好记啊。这一分跟这一分可以合到一起。 c n p 减去一个 p 乘以 cos n p 一个数，这积分的话就上限减下限就行了。乘一个 p 嘛，再看一下这里和这里原函数一求啊。 cosine p 是 一个系数啊。 x 的 原函数是 x 平方除以个二，上下限一带，后边 c x， 原函数是 cosine x。 听个符号负负得正了啊。好，把上下限一带， p 乘以 c 以 p 减去 p 的 平方 cosine p， 加上二分之一 乘以 cosine p， 这个上限一代是 p 的 平方，下限一代是零，再加上 cosine p 减去 cosine 零是一， 这可以整理一下是吧？都是 p 的 平方乘以 cosine p 吗？这是负一，这是二分之一，所以是负二分之一啊。 负二分之一 p 的 平方 cosin p， 再加上前面有个 p 乘以 c n p， 后面加 cosin p 减一。好，这个时候我们把 s 一 s 二加到一起啊， s 二的话就是一减， cosin p 跟这里就消掉了，是吧，所以加到一起就只剩这里了， 加上 p 乘以 c p， 看跟上面算的结果一不一样呀。好，我们把第一块二给二消掉之后，是不是 p 乘以 c p， 第二部分就是负二分之一 p 的 平方 cos p， 对 吧？是对的啊，你看这就满多了啊，直接就用梯形的面积算啊，快一点。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，求的是平面无界区域 d 的 面积。我们去啊，看一下这个区域 d 啊，长什么样子。 这 y 的 绝对值。哎，你可以分大于等于零，小于零吧。大于零大于等于零的时候，绝对是直接去掉啊。一加 x 方乘一个 y 小 于等于一，也就是 y 小 于等于一，除以一加 x 方， 我们先把 y 等于一加 x 方的一个图像画出来呗。好，这是一个偶函数吧， 对不对？当 x 增大的时候啊，这个 y 的 话啊，是在减小的，但它始终始终啊是大于零的，对不对？在 x 轴上方啊，当 x 往无穷去的时候，无穷分之一的极限是取零的嘛，以 x 轴作为间隙线，所以这个图是很好画的吧。 好，先画右侧吧。当 x 取零的时候， y 是 取一的啊，始终在 x 轴上方。好，减函数是吧？ x 增大哎， y 是 变变小的啊，减函数大致画一下，以 x 轴作为渐近线嘛。好，偶，函数左边对称过来就行了啊，这个不是很对称的啊，大概吧。啊， 好吧，对称一下。好，我们看一下。是 y 要小于等于它，那就是这根线的一个下方嘛，是不是下方 就是啊，去第一还有第二，有 y 小 于零，其实就是在对称过来嘛，对不对？你要看不清楚的话，你再去写一遍， y 小 于零的话，去绝对值就是负的一个 y 小 于等于一，对不对？ 你这个负号的话啊，我们可以这样写，大一等于负一，对不对？那 y 的 话，大一等于负一。除一个一加 x 方，你看这个图像跟这个图像不就是差一个符号吗？差一个符号不就这个图像给它翻过来吗，对不对？给它再画一下吧。啊，这个 对不对？你这个画的不太对称啊。 好吧，这边是 这边。哎，这块啊，这块的面积跟这块面积是一样的，因为图像长得是一模一样的，只是一个在 x 轴下方，一个在 x 轴上方而已，所以我们求一个面积再乘一个二不就行了嘛，求这一块的一个面积乘以二就行了。 好，所以 s 就 等于二倍的这面积。怎么求呢？积分嘛，对不对？负无穷到正无穷。对哎，它积分嘛，这个函数图像不是一加 x 方分之一吗？ d x 这会积吧，好，二，这是 arc tangent。 x 好， 负无穷，正无穷 反常积分。那就是求极限就行了呀，阿克泰尼正无穷极限二分之拍都会吧。阿克泰尼负无穷极限负二分之拍减去负二分之拍啊， 好，这不就是拍吗？你是二拍或者这个地方啊。看到了负无穷到正无穷，我们确定这个反常积分他就是收敛的，因为填空题我们说反常积分一定是收敛的啊，收敛的话这个就可以看成对称区间啊，可以用写成 啊，两倍的零到正无穷，是不是？奇，函数的话，在对称区间上积分等于零，偶函数在对称区间上积分的话，写成两倍的吗？ 哎，这样都很好做啊，四倍的 ark 乘以 x 好， 零到正无穷好，四乘以二分之一拍也是二拍，对不对？注意啊， 反常积分出现这个负乘到正无穷的时候，你想要用这个对剩区间上啊，这个积分那个性质的话，必须要求这个反常积分是收敛的，这就可以看成对剩区间，如果你都不知道这个反常积分是否收敛， 那你就不能够把啊这一块啊看成对称曲线哦，好，这一点注意啊，好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，考察的是选举体体积的计算，对于选举体积这一块啊的考察的话，我们呢是让大家记住啊，二重积分法去求选举体积这一块，在这点视频给大家讲的很详细啊，其实你只需要记这一块就够用了啊，考研就够用了， 就是无脑的去按照这三个流程，对吧，三个步骤去做就行了。那对于一些简单的题，哎，这个直接套公式，这两个公式其实用二乘七分法也是可以哎，给他推出来的是不是？但这两个公式其实很好记嘛，所以对于简单的题，你说对，就像这个题啊， 图形就这么简单，你绕 s 轴直接对公式是吧，你绕 y 轴直接就这个公式。有一些比较复杂的啊，图形比较复杂的，就直接二乘七分法，无脑去做就行了。 好，有的人说还没学到二重积分，那十四张会学到是吧，你可以放一放啊，到十四张，学完二重积分你再回来去。哎，看看啊，这把这一张啊，选举体积，比如二重积分法去做一做好不好？你做好标志啊，在你的本子上记下来，哪些题需要去哎，再做一次是吧，再做一做啊。 好，我们看这个题，它就属于这种简单的题啊，图形非常简单啊，看一下， y 等于 c 乘 x 嘛，零到一是吧，取零的时候就是零，取一的时候，它也是零取二分之一的时候啊， c 二分之一了是吧，这样的图啊。好，这个就是 y， 它 与 x 轴围成的区域，不是 d 吗？这就属于比较简单的题，直接套公式就行了。好， 二拍 a 到 b 就 零到一嘛。好， x 乘以 y， y 是 谁呢？是 c 拍 x 对 吧？ d x， 如果这两个你都不想记，那其实你记这一个就够用了，通过啊，这三三个步骤也会得出来这两个公式的啊。好，那二拍， 这个时候我们会发现是密函数和三角函数相乘，你可以采用分布积分，那我们说了采用表格法是吧，更快一些啊，还是希望同学们学一学啊。密函数求导。 对， c， 这个是三角函数，求积分，积分的话，那就是负的派 分之一 cosine pax， 你 看你求到是不是你，对吧？好，继续，这里还是积分，积分的话是负的，拍的一个平方 sin pax， 你 看求到是不是它？是的啊，交叉相乘，正负相减，这就是圆函数。找到了啊，是不是就是负的 拍分之一 x， cosine 拍 x 好， 你可以啊，两部分就是分成两部分算，也可以写到一起，再去带上二线夫妇，得正了，正的 拍的平方分之 c 拍 x 是 吧。哎，好，零到一， 我们看二拍上线一带的话，是一往这边一带负的拍分之一一靠近拍的话，是不是负一啊，这个符号就消掉了啊。好，加上 这是拍的平方 c 啊，这是一的话信拍，信拍是零了，不写了啊。上线带入就是拍分之一减去下线带入零，一带零啊，零一带零，是不是？所以这结果很好，求吧，直接用二拍除以拍就是一个二就结束了。 好，哎，简单的题就直接套公式啊，那如果你这两个公式都不想记，那其实只需要记这这一个方法就够用了是不是？那我们再复习一下啊，这个二乘积分的方法，求旋转体体积，它就解决了啊，所有问题了， 无脑作是吧。按照三步，第一步找到旋转区域啊，我们的旋转区域 d 不 就是这个阴影部分吗？好，内取一点 x， y， 我 取一点啊， 好，磁点到旋转轴的一个距离。旋转轴不是 y 轴吗？这距离是不是又 x 呀？这个 r 就是 x， 这里就是 x 了。好，计算这样的一个二乘积分就行了啊。 v 就 等于二拍 好，这是 x， 对 吧。哎，计算二乘积分哦，这应该是 d c 个嘛。好，这二乘积分的话啊，我们这个方法就比较多了，是吧？算这一个，我们的积分区域是 d 啊， 然后去计算二乘积分，别记函数 x， 你 这时候可以用 x 型的积分方法，也可以用 y 型的积分方法，很显然把去化成 x 形域比较简单，是吧？哎，这样上下线很好定 化成 y 区， y 区的话啊，还要写反三样函数，那不要给自己找麻烦，是吧？好，化成 x 形域啊， x 的 变化是不是零到一啊？好， d x y 的 个变化好，线内画条线，先积后积，先积写下线， y 等于零，后积写上限， y 等于 sin 拍 x， 算，这就是个一了，因为背记函数就是个 x。 嗯，我们看啊，这个时候就是二拍，这个可以先算一下吧，算一下不就是因为它的背记函数是一嘛，一算这个上限减下限， sin 拍 x， 对 不对？零到一 x， sin x d x， 你 看，现在又到达了我们这个公式了，对，直接带公式的这个结果。 直接带的这个公式是不是就是就是这个型号的？所以说后面就一样了呀，你不想记这两个的话，就直接记这一个就行了，但还是记一下吧，是吧，简单的直接就记下来了啊，这两个非常好记的。对。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 的 表达式里面，你会发现有一个变现积分函数啊， 好，小， f x 在 零到一曲线上的平均值，平均值的话，我们把公式一背记住了，记住之后看要求的是啥了。不就是一个积分吗，是吧。 ab 减 a 分 之一，一减零分之一就是一个一，这系数不写了吧。好，那剩下的就是零到一啊， f x d x 其实不就是，是吧，考察一个定积分吗？只不过我们的背机函数啊，他里边还有积分。想到我们上一张给大家说的，哎，看到积分里面还有一个积分，还有变现积分，是吧，考虑两种方法呀。所以说啊，这个题的话，咱们已经见过他的一个做题的模型了吧， 只是又综合了第十张的一个平均值的一个啊，考点，哎，就这些嘛，来来回回的考，你得能够啊，总结出来一些题的套路了好不好。那我们先看发音 分布积分吧，哎，写过来 f x 就是 x 一 到 x 一 的题方出一个 t d t 是 吧，好， d x 嘛，这块啊，这不是 f x 表达式吗？你可以啊，扩一下 或者不扩扩一下吧，因为这里边还有个积分吗？是吧。好，我们说分不积分，你先凑一分呀，能凑的先去凑，如果这个地方啊，你不把这个表达式写过来的话，你会 很麻烦的，可能求不出来了。就是我们还按照这样的一个做题流程的话啊，不把 x 表达式写过来的话，你看一下啊，我们在这写一下零到一 x， 哎， f x 就是直接分布积分是吧？直接分布积分的话啊，我们看这是 x f x 嘛，零到一减去个零到一 d f x， 对 对， x f x 求微分嘛，是吧？求导，你看，对于这边的话，求导就直接求了，而对于这个 f x 求导的话，它有它是两部分是吧，可以用乘法求导公式嘛。你这里边啊，你就会又出现这个积分了呀， x 左边求导，右边不求导是吧，你又出现了一个积分，很费事的，你把问题复杂化了，加上 x 不 求导，后边求导是吧？后边这个求导的话就简单了。 这个，这块求导吗？是吧？好，你这变复杂了，你就别这样了，我们这个时候你得稍微灵活一点嘛。我们直接就把 f x 的是吧，转化为它，塞完之后你发现这，对吧，这背接函数里边有一个 x， 我 们先去凑微分， 再去分布积分，不要直接分布积分啊，哎，不同的题目你就稍微灵活一些好，这个是里边啊，零到一一 t 的 一个平方除以 t d t 这个先扩一下 x， d x 就 凑成 d x 平方，要补一个二分之一。 现在我们分布积分啊，二分之一 x 方好，一到 x e t 的 平方除以 t， d t 好， 上弦一带是吧？减去一些两部分就把二分之一都要带上了，要么你就把二分之一提到最前面，不要忘了啊。 好，二分之零到一 x 的 一个平方，对它求微分。哎，这个时候就像求导就很简单了是吧。 e x 方出一个 x 好， d x 也就相当于这个形式了吗？是吧，求导比较简单啊，没有那个烦人的 x 了。好，算一下啊， 上线一一代的话，你看这一块啊，肯定就是零了嘛，上下线一样的零啊，下线一代也是零，所以这整个啊，积分就是个零了。不管了，减去二分之一倍的好，零到一 x 方，削一个 x， 还剩一个 x 是 吧？ e x 方 d x 这个时候再去凑一下微分呀，你就还多一个二分之一，就四分之一了啊。 dx 方把 x 方看成一个整体啊，看这个 t 是 吧， e 的 t 四方的原函数就是 e 的 t 四方， e 的 x 平方嘛，零到一一代我不喜欢零到一，我就写一到零，是吧？四分之一 e 的 零四方， e 的 一次方不就是这个结果吗？四分之一倍的一减去个一就行了啊。好，再看一下二乘积分法，没学到的啊，先标一下，过几天回来再做啊。二乘积分法 好用，二重积分法的话要注意，我们说两点，它要考察到交换积分次序，直接积，直接先去积它，后积它是积不出来的。要要交换交换积分次序的时候之在积分之前我们要把 区域给它还原出来，是吧？积分区域还原出来要注意一点，要把这个积分的下限啊，全部改成小的，上限改成大的，从小到大积分，不然区域画不出来，无法积分呀，是吧？二等积分本来就要求啊，等下限要小于上限的。 好，我们先把这块写一下，零到一 f x， 那 就是 x， 零到一，一的 t 的 一平方除以 t d t 再。嗯， d x d x 写，这个时候我们二重积分了吗？就这样写就行了是吧？好，我们为了啊，看着更方便一点。那就把 t 呢，都改成这个。我怎么总写成零到一呢，是吧？应该是一到 x 呀， 一到 x 呀，是吧？好，我把 t 换成 y 呀，这个啊看着舒服一点。我们画区域不就是 x y 吗？用哪个字母无所谓吧，只是看着更舒服啊，你画不画都行。 好，我们要把这个啊上下线啊，改成从小到大，这个是没有问题的。好，这里呢， 它的下限是个一，而上限我们已经说了， x 是 零到一之间呀，是不是你这个啊，零到一之间你怎么跑到上面了呢？你没有一大呀，对不对？所以你应该在下限啊，下限要是变成小的啊，咱们积分区才能画出来，这个记下来就行了， 零到一 x dx， 所以 你添个符号，把上下线调一下。好，这一步改完之后，我们就可以啊，去画这个积分的区域了，然后交换积分次序去积分就行了。 x y， 我 们看 x 的 一个变化，零到一 是吧？ y 呢，是小于大于 x 的， y 等于 x， 可以 先画一下，这就是 y 等于 x， 这是 y 等于一。 y 要小于一，还要大于 x， 是 不是这个就是我们的积分区域啊，对吧？我们这个时候要交换积分次序了，你看先对 y 能记出来吗？这是记不出来的是吧？你说它圆函数是谁不知道。所以我们先对 x， 后对 y， 就 把积分区域画成 y 形于的 y 的 一个变化的话，好，这个符号别忘了啊，是不是零到一啊？ y 的 变化， x 的 变化呢？ x 变化，这有个 x 就 平行于 x 轴。画一根线好定向上下线的方法啊， 先积写下线， x 等于零吧，看 x 等于多少吗？这根呢，是 x 等于 y， 是 不是 就是 x 等于 y 与这根线的一个交点啊？这个是 x 等于零与这根线的一个交点。是不是 x 等于多少吗？看一下 x 等于多少， x 等于多少。顶，上下线好，把 y 的 写到一起， x 的 写到一起，对吧？这积分 很简单了啊， x 这里一积的话，二分之一 x 平方，不是原函数吗？零到 y 不是 二分之一 y 的 平方吗？是吧？二分之一 y 的 平方，积完就往这一写啊， 我就直接往这一写了，因为它比较简单了啊，擦掉好负的二分之一 y 方，除以 y， 还剩一个 y 吧。 y 啊，还有个 e， y 的 一个平方， d y 是 不是再去凑一个微分呀？很显然的了啊， 一 y 的 一个平方底 y 的 一个平方，你错位分，要补一个二分之一，这就变成四分之一了。好的，圆函数也很简单呀，直接就是一的 y 的 平方，零到一，我写成一到零，把符号去掉。好，四分之一倍的一的零次方，一的一次方， 是吧？一样的啊，哎，对，训练一下各种方法。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是相关变化率的问题啊，数一数二同学需要掌握的。数三的同学呢，可看可不看啊，他这个题也归到数三的练习题里面了，可看可不看。数一数二同学重点听一下啊，也很简单嘛，这样的题好， 曲线 l 呢，是 y 等于 e 的 负 x 方，要求 x 大 于等于零。本来他这样的 x 大 于等于零，那就这样了，是吧。画一下图啊，这样的题可以画下图，这就是曲线 l， p 呢，是 l 上的动点啊， p 在 l 上进行动。 v 是 什么什么什么啊？感觉读着不通顺的时候，你掐头去尾看一下。好吧， v 呢，是体积啊，是旋转体体积，接下来再去读中间的定语。好，这样分析题目啊， 我们就知道了啊，它是一个体积，是旋转体，体积是 l 上面从点 a 到 p 点的一段弧，绕的 x 轴旋转一周一周所得的旋转体体积。 a 呢，是零一这个点，就这个点。对，零一这个点好，到 p 点的一段弧，这段弧嘛， 绕 x 轴旋转一周， a 绕 x 轴旋转一周。好， 哎，这个图你你不想画，其实这个旋转体的形形式就是旋转体啊，它长什么样，你不想画也没事是吧，哎，就像一个喇叭一样啊。 好，我们只要你会算旋转体体积就行了，对不对？这个时候比较简单的图很简单吧，是吧？绕 s 轴直接这个旋转体体积的话，比较属于这一类型的啊，比较简单是不是？哎，有一些难的，你就二重积分法就行了啊。 好，这个 v 的 话，我们现在就可以先算一下是不是好， a 到 b， 我 们是啊，你看 a 是 这个，你看 x 的 一个变化啊， a 点的一个横坐标是零， 这个 p 点的横坐标呢，我们 p 点就记为 x y 啊，所以啊，这个 p 点的横坐标是 x， 所以 是我们是零到 x， 是 吧。哎，这个区间上啊，积分拍 y， 这个平方 d x， 你 注意啊，这已经有个 x 了，所以我们这个时候这个变量可以选择 t， 哎，区分一下变量啊，好， y 这个平方就是它这个平方，我们区分变量啊，负负 x， 本来是负 x 啊，平方是负的二 x 方，现在给他写成负二 t， 区分一下变量。 好吧，这个时候你可以把它记出来，也可以不用记。这有时候啊，我们做你，你比如这个题啊，他做这个变化率的题，因为接下来要求导，你心里清楚，要求导，那这个时候他这个变现基本函数，其实求导是很快的，你干嘛还要把它记出来啊？对，这样的题你可以留个心眼，不用记， 不用记出来啊，放在这就行了。好，你记出来之后还得求导图啥呢，我们继续读啊。 p 运动导这个点的时候， 沿着轴正向的一个速度为一，哎，沿着轴正向速度，我们知道啊，速度的话，不就是哎为一对时间的导数吗？是吧？这是一个啊，定值，记下来，行了，写下来。好，接下来让我们求的是微对时间的变化率，此时啊，微对时间的变化率 不就是 v 对 时间求导吗？而我们通过这里可以看出来啊， v 是 关于 x 的 一个函数，对吧？它记出来肯定是关于 x 函数， 而 x 是 关于 t 的 函数，是吧？ v 是 关于 x 的 函数， x 关于 t 的 函数，所以 v 是 关于 t 的 一个函数， v 就 可以对 t 求导，是吧？这里有一个中间变量啊， 对，我们 v 对 t 求导，不就是 v 先对 x 求导， x 对 t 求导，是这回事吧，就相当于符合函数嘛。对，符合函数求导嘛，先外层厚内层嘛。 好， v 对 x 求导，你看，这不就变极限函数求导不就行了嘛。啊，拍 e 的 负二， x 完事了， x 的 t 求导不就是一个一嘛，是吧？这个时候我们啊看一下， x 是 等于一的，是吧？往这里面一带就行了。 拍乘以 e 的 负二次方，这就行了。拍往可以往往后边写一下，或者 e 的 负二次方，你可以写成 e 的 平方分之一拍，也可以往上面写，这个形式你怎么写都行的啊，就就是它嘛，现在的结果就是它，是吧，好，哎，注意这一点啊，可以省点力气。好吧，好，这个题就讲到这了。
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06:15查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，先瞄一眼啊，瞄一眼法，瞄一眼，发现有根号可能要想到，哎，根式代换是吧，哎，直接就是令梯等于根号下的 x， 这是一个想法呀，咱们前面做过好几个了，好几个题了，有没有别的想法呢？ 有啊，有的，看一下根号 x， 它在分母的时候，它在分母的时候，分子相当一个一了吗？是吧？不看别的啊，根号 x 分 之一 d x， 哎，出现的时候要记得凑微分啊，要记得凑微分，看到它你就敏感一点。前面也做过类似的题了啊，哎，敏感一点去凑个微分，我们， 哎，写一下凑尾根好，还有没有别的方法呢？咱们先把啊思路写一下，之后再写过程。 这个根式代换，我们是令 t， 哎，直接就等于根号三 x 了。那 我们看到啊，这个型号的话， arc tangent 啊， arc c 啊，就是反三角函数出现的时候，又有根号的时候可以，哎，想到根式代换，直接换完它全部换完就是 t， 直接就等于 arc tangent 的 根号 x， 有 这个想法，我们平时做题，嗯，这个都积累一下呗，是吧，好，那我们一个个看啊， x 呢，就等于 t 的 平方吧， d x 呢，就是二 t d t 是吧，好，换元要三换，先是积分上限，看一下 x 取零的时候， t 取零， x 取一， t 取一，第一换第二换背极函数 arc tangent t 了，除以这个是根号 x 就是 t， 一 加上 x 就是 t 的 平方了呀，是吧，这第二换了，第三换就是积分变量，哎，把 d x 换成 d t 了啊。 嗯，二 t d t 是 吧？好，我们该约分的约一约啊，这个 t t 不 管了吧，不管的话底下有 t 方加一，哎，它上面不是相当还有个一吗？它在分母上是吧，立刻就凑为分了呀，是不是这个凑为分凑成阿克贪念 对不对？看到他，哎，立刻想到凑为分，好二就写前面了啊，零到一，阿克贪念的 t 好 d d 什么呀？ d r 乘以的 x 是 吧，哎，好，这个时候把它看成一个整体，看成一个整体 u 啊， u 的 u， 这还有个二是吧，二倍的 u 的 u， 这刚好啊，这个就像直接求圆函数了，也不用凑了啊，圆函数就是 u 的 一个平方嘛， 对不对？它求根函数 u 的 平方除以二，二又消掉了，就是 u 的 平方呀， u 就是 这里的 ark tangent x 好， 平方一下是吧，或者这样写都行啊。 那零和一是按先代一下嘛？一代的话 tangent 多少等于一啊？ tangent 四分之 pi 呀，那平方呢，是吧，再减去零，一代零呀，所以就是十六分之 pi 的 平方吧。好， 凑一分，看到根号 x 在 分母的时候想到它了是吧，想到它了。 零到一，好，这个是 ark 贪念的根号 x， 先放在这里，底下有一个一，加上 x， 这个根号 x 分 之一，跟底 x 就 凑成了底。根号 x， 你 注意还有一个二是吧，二的话我就补到前面了啊。 好，这个时候观察一下根号 x 跟 x 关系。什么呀？平方的关系啊，这个 o 是 不是可以写成根号 x 平方呀，我们就把根号 x 现在看成一个整体，好，又可以凑一分了，是不？不就是还是这个形式吗？好，这个是来来回回的啊，凑一分，这个本，这个本式啊， 这个技技能是吧，得好好的啊，学会了二倍的，看到谁你应该想到谁要敏感一点，是吧？好，凑到后边啊，这整个这一块一凑就是第二个 考点的 x， 这个题就是根号 x 了，现在是不是这个扩一下。好，那这个时候我们就把好这个画横线的看成一个 u， 是 不是跟这里是不是一样啊？对，看成一个 u 指，这是一个 t， 这是根号 x， 没有关系啊，都给它看成整个就是个 u。 好， 它的原函数就是这个 u 的 一个平方呀 u 啊，可考点的根号 x， 这就是 u 嘛，平方一下是不是零到一。 好，我们看一下把，上限一代，哎，就是四分之派平方十六分之派的平方下限一代是个零，对吧？一样的啊。好，再看一下法三，好直接啊，我令它是一个 t， 那 我们把 x 等于多少 t 解一下吧。先是根号 x 是 等于 tan 的 t， 这没问题吧。好， 二个 tan， 根号 x 等于 t， tan 根号 x， tan， 不 对，不对啊，是这个根号 x 就是 等于 tan 的 t 啊，这个关系搞清楚啊。好，那 x 的 话是等于什么呀？ tan 的 t 的 平方 d x 呢？ 二倍的 tan 的 t， 然后 tan 的 t 在 求的是吧？括号是求到啊， sin 的 t 的 平方 d t。 好， 这个 i 我 们看一下啊， 换元要三换，第一，换 x 等于零的时候 t 等于零， x 等于一的时候， tan 多少等于 tan 的 四分之 pi 呀，所以 t 就 等于四分之 pi 啊。再看一下第二，换被积函数，这整个我们说了已经换成 t 了，写一下 分母根号 x 现在就是 tan 的 t， 一 加 x 呢，一加上 x 是 tan 的 t 的 一个平方。好， 这是第二环，第三环就是积分变量 d x 给它换成 d t。 二 tanne 的 t second t 的 一个平方 d t 看一下啊，约分呀，该约的都约完了。你看 tanne 的 tanne 的 这个，它刚好就是 second t 的 平方，看到没？ 哎，三个 t 的 平方收了，还剩一个二 t 啊。二 t 的 不定积分不就是 t 的 平方吗？好，零四分之八是不是这一这一代还是四分之八的平方都行的啊？好，那这个题梳理一下就讲到这了。
33考研数学千羽
07:45查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，数一同学啊，要掌握的欧拉方程，欧拉方程的知识点就这么点，同学们，课下啊，要去 写一写，推导推导啊，推导完之后直接记下来，你看啊， x 平方， y 撇撇看到的时候，你看，课下你推导完，你直接记住了吗？等于 y 撇撇，减去 y 一 撇对 t 的 一节倒吗？ x， y 一 撇出现的时候，好，他就等于 y 对 t 的 一节倒，你要记住啊。 还有，哎，我们说你这个有两种情况， x 要么大于零是吧，要么小于零。哎，有，有些同学说，有没有可能啊，这个两种情况你都得讨论一下呢，你去看一下出式条件啊， 有没有给你像这个题，出式条件给你了，你看 x 等于一的时候， y 怎么样？ y 一 撇怎么样？ x 等于这个 x 等于一，是不是大于零的？大于零我们默认的，哎，整个 x 就是 大于零的，求得的 y 等于多少多少 x， 这个 x 我 们默认就是大于零的。 好，咱们在这一张的第一个题就给大家说过了，是不是有些人说我就，我就认为它还有 x 小 圆的时候，你自己看一看啊，你自己可以写一写，这种情况是要排除的。好，你假如说你，你认为 x 还有小圆的时候，我拎， x 不是 等于负的 e 的 t 次方吗？那负 x 负 x 是 不是就等于 e 的 t 方？两边取对数，这个取对数是不是 t 啊，左边也是取对数。 好，你最终啊，你是不是要去用一下这个出条件， x 等于一啊，你要，你要用这个出条件，对不对？ x 等于一，你看啊，后面咱们步骤就不写了，你 x 一 等于一的话，这一块就会出现一个负一了， long 负一是没有意义的 对不对？忘恩负义是没有意义的啊，所以说就把它排除了，就没有这种情况，也就是啊，就这种情况是吧。看到给出式条件的微分方程的题啊，给的这个 s 大 于零，那就默认啊，整个的 s 就 大于零的 微分方程。这一张的话，就是咱们在第一题就给大家去说过了啊，处条件给的，哎，这个一大于零，默认我们认为 x 就 大于零的啊，好，给的处条件小于零，默认 x 就 小于零，是不是不要去纠结那么多啊，好，我们去写一下啊，这个题目 咱们已经清楚了吧，哎， x 也大于零的对不对？ x 大 于零，我们多提了一个步骤，是不是再去写一下啊，好，令， x 等于 e 的 梯次方嘛，两边取对数， t 呢，就等于零 x。 好， 这个推导过程我就不搁这啰嗦了啊，同学们，如果你还不太清楚这个过程，你这写的非常详细啊，再去写一写，画一画，比划比划就记住了啊， 好， x 平方， y 撇撇，我就直接出结果了啊，就是它等于 y 对 t 的 二阶导，减去 y 对 t 的 一阶导。好 x， y 一 撇呢，就等于我们刚说的 y 对 t 的 一阶导，它做的边上再画啊，所以啊，好，把它斜过来， 那就是 y 对 t 的 二阶，减去 y 对 t 的 一阶导，加上三倍的 y 对 t 的 一阶导，加上三 y 等于零，是吧？好，再画点一下，加二倍的，加上三 y 等于零， 二结长系数。其次，微分方程，我们，哎，把特征方程写出来，特征根解出来，看哪一种情况是吧。把通解写出来啊，输入条件一带就行了。特征方程 r 方加二， r 加三等于零是吧，你会发现它的的是不是小于零的。 b 的 一个平方 减去四 a， c 四减去十二负八，是不是小于零啊？那其实它就是公二负根这种情况嘛。好，我们去把特人根啊解一下啊， 就用求根公式呗。二 a 分 之，负 b 正负根号下就这个 d 特是不是？你取这个正的嘛，取这个正的，然后面加一个 a 都会解嘛。根号八的话就是二倍的根二嘛。 啊，都出一个二啊。负一正负根二 a 好， 也就是阿尔法等于谁啊？阿尔法就是这个位置的啊。负一是不是柏特好就是这个位置根二啊， 我们是不是可以把通解公式拿过来是吧。好， e 的 阿尔法 t 次方啊。 c 一 cosine b t 好把 t 再换回来啊。负 t 我 们需要用到啊。那就负的龙眼 x 啊，取取指数，两边都取指数，那就是 e 的 负的龙眼 x 这里啊，上去是不是就是 x 分 之一啊，所以这块就是 x 分 之一啊，直接换了啊。 t 呢？ t 是 龙眼 x 啊， t 是 龙眼 x， 这个可以打个括号吧。龙眼 x 啊， 好，出示条件带一下就行了啊。 x 等于一的时候， y 等于零， x 等于零，零一是零哦。 q 三零是一，一乘以 c 一 就是一个 c 一 三零对不对？这三零是零啊，这乘一个 c 二还是零好，这是一，一除以一是一，等于 y 是 零， c 一 解出来了，是不是等于零啊？ c 一 就是等于零，那接下来 c 二呢？ c 二你先别着急，我们 c 一 等于零之后，这个就滑掉了吧。你把 y 再写一下啊，那就是 c 二 sin 根二零 x 比上一个 x 嘛。好，这个时候你求导，然后再带出条件，就式子少了，求导就方便一些了啊。好，求导，这也都会啊， 除法求导公式吗？分子去求导。好，先是外层求导，是 cosine 吧， 接下来内层求导。那这块求导吗？那就是 x 分 之一，注意，还有一个，这个根二，这分子求导乘以分母不求导，减去分子不求导。 分母求导是一个一是吧？分母啊，这就是 x 平方，我们这个时候呢，直接代出条件就行了，也没有必要给他化解是吧？ x 等于一的时候， y 一 撇是根二啊， x 等于一， 好，我们说 x 等于一，这就已经消掉了啊。零一是一个零， q 三零呢，是一嘛，所以是一个 c 二，还有乘一个根二是吧？根二乘一个 c 二减去，这是一零一是零啊，整个这就是零了啊。 好，底下呢是一个一，这，这次零不写了啊，出个一也不用去写了，等于 y 一 撇，这个时候是根二，所以 c 二，那不就是等于一的吗？好，就解出来了啊。所以这个 y 呢，就等于一，那不就解出来了啊。 sine 根二零 x 比上一个 x， 是不是写这里啊？比上一个 x 没有这种情况对不对？你看啊，你认为有这种情况的话，好，你就这样，哎，这个 t 呢，就变成了 lone f 的 一个 x， 对 不对？你这里面啊，这 t 就 会出现 lone f 的 一个 x， lone f 的 一个 x。 前面这个我就不说了啊，你要带数字条件，你 e 带到这里有意义吗？ lone f 一 没什么意义是不是？所以啊， 就是，还是刚刚说的那句话啊，我们微分方程，微分方程这一章的话啊，你这个这个 y 的 一个取值，哎，可能大于零，可能小于零，你看给了出出条件啊，哎，给的是 这个一，这一点的函数值是等于零的。好，给这个出出条件，我们默认求得的啊，这个曲线就是啊，大于零的这一段的一个曲线，小于零部分你也不用去考虑对不对。你看这个题就是活生生的例子啊，梳理总结一下欧拉方程这一块啊，就这点知识，记住它。好，这个题就讲到这了。
36:26查看AI文稿AI文稿好，我们看这个题啊，选择题，体积的考察，我们说这块简单的题的话，直接套公式，这两个公式很好记啊，记一下可以的，稍微复杂一点，你搞不清楚的时候啊，就用二种积分法就行了。好，我们看一下这个题，你图你可以画一下啊，简单的描一下。 这个 x 平方和它都是正的呀，对不对？哎，都是正的，那我们的曲线就在 x 轴上方，其实已经明确了，它就属于简单的题。对，你也可以画下图啊，当 x 取零的时候是取零，当 x 无穷区域无穷的时候啊， 去无穷的时候，这是 y 吗？是吧？他是去零的，因为他去无穷的速度比较快嘛，所以极限为零啊。那大概图像就这个样子的是吧。哎，其实也不关键，我管你长啥样呢，反正你在 x 轴上方，他就直接用这个公式就行了。比较简单的图嘛，是不是好公式一套啊。 这是零到正无穷吗？是吧？拍 y 的 一个平方， y 的 平方，这里平方一下啊，我们还是写一下吧， 零到正无穷，拍 y 的 平方 x 次方 e 的 负二 x 次方 d x， 这个时候怎么处理呢？好，看到零到正无穷，这里面有密函数，指数函数区间是零到正无穷，你一定要敏感一点，想到伽马函数，伽马函数就是零到正无穷，密函数只会是函数，这种形式是不是必须要想到啊？必须想到，而且这里要求记得很熟练。 好，你，你真的没有想到，我真的是想了很多次了，希望你记住啊，假设真的还是没有想到，或者公式忘了，对这些 记记记的想不起来的时候啊，那你可以采用咱们的表达法是吧，但是四次方就比较复杂了，所以还是干嘛函数啊，建议记下来。干嘛函数也凑它形式吧，是吧，这是负 x 次方负的啊，一个变量是吧？负的一个变量。那我就令二 x 得等于个 t 吧，是吧。令 二 x 等于个 t， x 呢，就等于二分之一倍的 t， d x 呢？二分之一倍的 d t。 好， 我们看一下啊， 换元要三换嘛。当 x 取零的时候， t 呢？取零是吧，当 x 取正无穷的时候， t 也是正无穷 x 的 一个四次方， x 现在就是它了，是吧。四次方二得四十六了啊，对，四次方好，接下来是一的负的，哎，就是 t 了， d x 呢，就是二分之一倍的 d t 是 吧。把系数提一提啊，三十二分之 pi 零到正无穷 t 的 四次方， e 的 负梯次方。现在已经凑成干巴巴函数的形式了吧，是不是？哎，我们现在其实写的这种形式，这种形式的话直接就等于 n 的 结成，看到没，这个 n 是 不是取的四呀，哎，四的结成呀，好算一下啊， 四的结成四三二一是吧，这底下是一个三十二，还有个拍二四得八，这里需要一个四四分之三拍吗？ 是吧，你这多快呢，干嘛还是要求必须记住啊，没记住的你赶紧出去记一会再过来。好吧，记住了再过来。那好，我们也说一下啊，退路是吧，实在没招的时候你就退路了。退路就是用表格法或者凑微分。那凑微分这还有符号啊，更容易出错，所以还是用表格法。 这实在想不到方法，想不到这个啊，哎，怎么写的这个忘掉的时候就用它 x 的 一个四次方，这求导有好几次啊，四 x 三次方，十二 x 平方二十四 x 二十四，再零是吧。写着写就不想写了，不想写了，你想写吗？ 写吧，这 e 的， 你看这求积分也是会有填负号啊。填负号，我们求一次就要填一个负二分之一是吧，还是啊，不管错位分还是表格法，这里有符号就容易出错，填个负二分之一，填一个负二分之一 是吧。不写了，我不写了，写着写着头疼啊。所以说还是要求啊，掌握看把函数得了啊，四分之三排好，你不头疼，你写一下。好吧。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 好 绕 x 轴哎，旋转一周所得的全面积。这个啊，就老生常谈了吧，应该都不陌生了把。这个图呢，你可以简单画一下，你心里有个谱，它是不是属于我们这个简单题这一类的是吧。 好，怎么画呢？求个倒呗，有同学都把这个图都记住了，也没有必要记啊。求一下倒，画一下 x， 求倒 no， 不 求倒 x， 不 求倒 no， 求倒是吧，我们令倒还说等于零的话，可以解一个注点， 注点，哎，等于零的就是负一是吧，那就是一分之一啊， 对不对？这一的话是不是可以写成零一啊？这个符号上去好，注点是为一的啊。那我们看大于一分之一的时候， 大于一分之一就是它，是它大于零嘛，解出来的导函数就是大于零的嘛，对不对？函数就是单增的， x 小 于一分之一呢，我们讨论的是 a 是 零到二之间啊。 好，导函数就小于零了，对吧。单减，先减后增，这个点是一个极小值点，也可以去求一下啊。极小值是正的，是负的一分之一乘以零一分之一不就等于负的一分之一吗？是个负的是吧？这里啊，是一个极小值点， 先减后增，咱们是零到二啊，这个区间。好，这个是零。哎，不对啊，是一分之一是吧？这是二后增。这个点对应的函数值呢？是小于零的嘛？先减后增， 二对应的是多少啊？二乘以零，二是正的了，是吧？正的了啊，应该这样了，先减后增嘛， 减的话，我们看 x 趋于零的时候是不是求极限啊，这这我们让大家多次啊，必须掌握了一个知识点，是吧？求极限吗？哎，那趋于零的啊， 这图就大概这个样子嘛，所以它就属于简单类型的，对吧？图非常简单，就直接到带公式了，属于这这一型号了。好，那我们直接带啊，它就等于零到二，拍 y 的 一个平方 d x 是 吧？拍啊，零到二 y 的 平方 x 方零 x dx。 这个时候积分看一下，有有有几种想法呢？至少两种吧，两类函数想到凑为分，分布积分是吧？两种，两类，两类别的函数嘛，把它凑到后边， 或者看到了密函数，对数函数，对数函数是可以往指数函数上面进行靠拢的变让代换一下， 而密函数跟指数函数相乘，或者密函数跟三角函数相乘是可以采用表格法的。这块有个思想，同学们可以记下来，因为做题嘛，最主要的就是一些想法是想不到的，当你没想到的时候，你就记下来，我学到这个题，有收有收获，对吧？ 就是有这个题做的就有意义了啊，也就说我们见到，对吧，这个密函数，比如这个题和对数函数，那么想到啊，给它化为这个密函数， 乘以指数函数作变量代换令，当 x 等于 t， 你 看 x 两边同时取指数， x 就 等于 e 的 t 次方了，是吧？ x 这里就等于 e 的 t 次方，那平方呢？ 平 x 等于 e 的 t 次方啊，这就是这样的了。好这一块啊，龙眼， x 现在变成 t 了，是这样的变化啊，别搞错了， 总之我们把它另成一个 t， 就 会把它俩相乘，变成 m 函数跟指数函数相乘了，是吧，就可以用表格法了，这是一个思想啊，所以我们两个方法也都讲一下，你看你啊， 觉得哪一个更好呗。好反义就是凑一分，这个是必须要想到的是吧？两类函数出现的时候，能凑就凑啊， 拍是吧？零到二肯定是把 x 平方往后凑啊。 x 等于三次方，那你再补一个三分之一吧。 第一部分好， x 三次方零， x 的 平方零到二减去。你写两部分的话，别忘了系数啊，要么你就把系数整个放到前面。对啊， 注意啊，别错了，系数有时候会忘啊。好，零到二， x 三次方，对它求一分，求倒啊，二倍的零零再求倒是它好。第一部分 三分之二得四，二四得八吗？是吧？这个是等于二，这个平方下线一带啊，这就是求 x 去零正的极限了，是吧？无论你多小，你多大，只要他俩大于零，极限就等于零，减去三分之 pi， 还有一个二， 好，这里面是 x 的 平方，零 x 对 不对？仍然两类函数凑为分，分布积分三分之八排，零二的平方减去 三分之二排，乘以零到二零 x d x 三次方，补一个系数三分之一。好，这个认真计算就行了啊。减去九分之二排， 我们这时候可以啊，给他写个括号啊，这个减号出现的时候容易出错啊。 x 三次方 好， long x 是 吧？零到二减去零到二 x 三四方， d long x 就是 x 分 之一 d x 这个时候你可以再去去去，这个就不容易出错了是吧？减去它，它就是加了，加的话你注意啊，我们前面有一个整个的一个系数，不要忘了加过来， 你要写成几部分的话，就这样。好，三分之八拍 lonely 二的一个平方，减去九分之二，拍二得四，二四得八是吧？ lonely 零一带还是取极限等于零了九分之二 台是吧？ x 平三次方除以 x 就是 平方嘛，是吧。平方的原函数是三次方除以三，我直接写了吧。好吧， 三分之一可以跟这里写到一起，三九二十七嘛。所以三分之一不要看了啊。二得四，二四得八了啊， 二八一十六，对，就这样了啊。好，我们可以把拍提出来三分之八倍的烙印，二的一个平方减去九分之二倍的 龙二，是吧？加上二十七分之十六，看着不太像一个结果，但他其实就是对的，你相信自己是吧？大不了你有时间的话，你可以再用别的方法，比如我们法二再去求一个结果去验证，但一般来说没有时间啊， 就是我们想往表格法上面进行去靠拢，就要把零 x 进行变量代换，令它等一个 t x 就 等于 e 的 t 次方 d x 就 等于 e 的 t 次方 d t。 好， 我们看 上下线的一个变化啊，换言，要三换，当 x 取零，其实就取零正吗？取极限劳力零正是负无穷。劳力二就是 t 了啊。当 x 二的时候， t 取劳力二 x 的 平方， 是吧？劳力 x 是 t 了，那就是 t 的 平方了。好，接下来是 e t 乘以 d t 吗？是 d x， 这不就是 e 的 三 t 次方，这个时候就可以用表格法了，是吧？好，这是 t 的 平方。求导，求导求导， e 的 三 t 次方哟。积分一次多一个三分之一，再积分一次又多一个三分之一，是吧？看着很复杂的，很简单呀，交叉相乘，正负相减变函数就有了啊。 拍，这都有一个 e 的 三 t 次方，提后边得了啊。三分之一 t 的 平方看一下，减去九分之二 t 加上二十七分之二，是吧？上下 线一带，三分之一龙以二的一个平方减去九分之二龙以二加上一个二十七分之二， 对吧？还有一个啊， e 的 三 t 次方，三乘一个零二，三上去二的三次方八， e 的 零八就是八呀， 整个啊，再乘一个八，是吧？这是上限带入的结果。减去下限带入就是取极限吗？取极限啊，这里可以这样看好，这个是 m 函数，下面呢是指数函数，对吧？因为他去负无穷，我们可以把 e 的 三 t 次方给他写成除以 e 的 负三 t 次方 负无穷，再添个符号，就是正无穷，所以去正无穷，你也是去正无穷，对吧？抓大就不用看了，他去正无穷的速度更快，所以极限就等于零。下限带入的结果去极限等于零了，所以就前面这块结果乘一个八， 三分之八倍的 lonely。 二的一个平方是吧？减去九分之八倍的一个 lonely 二，加上二十七分之十六，整个再乘一个 pi 看一下，跟上面的结果写的一样不？ pi 写到哪都行啊，写到后边更好看一点吧，是吧， 三分之八倍的减去九分之，哎，减去九分之，这里是不是二八一十六啊，九分之十六倍的。 好，这个题呢，就讲到这了，梳理一下。好，我们看这个题啊， 来看一下主题考的什么呀，先让你体积，是不是我们说了哎，简单的套公式好，稍微复杂一点的，你就可以用二乘七分的方法，我们把这一个去 d 去画一下，好吧，看一下啊，这个去 d 是不是我们啊，所谓的简单的题的这一块可以套公式的呢，是不是简单题呢？好， y 等于 lonely x 对 吧？ x 等于一，这儿呢， x 等于 y 也等于好，这 y 等于它 y 乘的一个区间，你会发现就不像我们哎，说的啊，简单题的话一般就这样的，是吧，哎，或者我们建了 c， x 这样的一个区域，或者是在下方的， 对，或者是，哎，有上有下的，这都属于简单的，而你看这个区域，现在啊，就不属于这种型号的，是吧，这个简单型号的了。 那我们就二话不多说了，你公式就别套了，你套就错了是不是？你看你区域是这样的嘛，我们平时的是见的是哎，这样的呀，就看这根线，它与 x 轴是吧，围成这区域，绕 x 轴旋转，现在公式就不要再乱带了，它不属于简单的题了，已经 稍微一点点复杂了，直接就上步骤是吧，二乘积分好，我们看它是绕 s 轴，于 y 等于一是吧，你看它旋转轴，它还不是咱们的坐标轴呢。那更要采用二乘积分法了，不然你会哎，很很迷惑啊，有时候会把自己搞晕的， 直接无脑错。行吧，我们看一下 v 一， 它绕的 v 一 这个体积是 d 绕 x 轴旋转一周是吧？我们的第一步是怎么找到旋转区 d 已经找到了阴影部分的好，内，取一点 x， y 就 点。这样了啊，取一点 x， y， 它到旋转轴的一个距离记为 r 绕 x 轴，那距离就是一个 y， 是 吧，好，直接，公式写过来了， 二中积分还没学到是吧？有些同学我们已经说过了啊，你学二中积分再过来，所以 y d， c 干嘛就行了，对不对？哎，这个时候我们主要就是把二中积分算一下了啊，现在就考察二中积分了好，那区域 d 啊，在这呢， 这个焦点是不是得求一下呀。是 y 等于零 x， 当 y 取一的时候， x 是 取 e 的。 好，二乘积分的话，我们可以把去化成 x 型域或 y 型域都可以，是吧，都是比较简单的。那就 x 型域吧。 x 变化是，呃，一到一是吧， y 的 个变化呢？ 哎，平行，于是吧，这个字母就这个轴就是竖着这根线平行 y 轴呢？好，先交后交。我们可以啊，定下上下线，先交的是 y 等于零 x 啊，后交的是 y 等于一，对不对？好， y 往这一放，这就算就行了， 这考二零积分，二分积分得好好学一下。这个 y 的 原函数就是二分之一 y 的 一个平方是吧？二分之一 y 的 一个平方。好，这是下限，这是上限，这 d x 啊。 嗯，这个二分之一就出来吧，出来了，一到一上线一代的话，就是一个一减去下线一代就是 lone x 平方是吧？ d x 好， 这个积分很显然就是上线减下线就行了。我们写两部分得了啊， e 减去 e， 再减去拍背的一到一 low in x 的 平方， d x 很 显然分布积分一下就行了是吧？我单拎出来得了啊， 一到一，不然前面一直带个尾巴是吧，难受啊。拎出来了目积分 x low in x 的 一个平方一到一减去，看不清了，换个笔好，一到一 x， 对 它求微分，求导啊。先是平方求导二倍的 lonely x， 再是 lonely x， 求导是 x 分 之一，这个就消掉了啊，还剩一个二。 好，这里写不下了，就省一点点可以吧。好，回来第一部分是 e， lonely e 是 个一，对吧，下限一带是个零了，不管了，减去二倍的， 这继续分布积分是吧。 x 龙应 x， 一 到一减去一到一 x d 龙应 x， 这是一了。 d x 好， e 减去二倍的，这里面 e 乘以龙应 e 一 样的啊，是个 e 减去零了，这边是 e 减去一，是吧积分的结果，那减一加一， 这一减一是不是零了？这整个还剩一个一嘛，这就是一减二来一减二，这块就是一个一减二了啊。嗨， 一减一减去一个拍，一加二是这样的吧，拍提出来也就是一减一减去一个一加二，那减一加二一跟一减掉了是吧？减一加二就剩一个一了，所以就是一个拍啊， ppt 啊，卡顿了一下啊，我们继续。好，这个题出的不太好啊，就是我们把 v 一 算出来就可以看一下答案了。我们通常啊，比较大小的时候就算一个结果，你就可以去看一下这个选项了啊，要养成这样的习惯，可以先排除， 有时候它排除完了就提出的不太好。就是说你看 v 一 等于拍，这是拍是吧？拍拍拍， 对吧？拍大二分，二分拍对的，这拍小二分拍，不对吧？拍小二分拍，拍小于二，拍小于二分拍，这直接就排除完了呀。对，直接就选 a 了呀， 是吧，这样的话啊，一般来说不会啊，考研的时候不会说都排除完啊，一般排除两个，我们继续去看啊，还是要看的啊，不能你选完就不看了是吧，平时要看一下考试可以不看啊。 v 二的话， 你看他旋转轴，现在变成 y 等于一了， y 等于一，这时候我说了啊，就更要采用二乘七分法了，不然你会搞的啊。哎，有时候 整的很乱，心里很乱，是吧，他旋转出来到底是啥样的呀，还得想半天。不用想了，直接按照步骤就行了。我们在这个 区域内是吧，找一点啊， x， y 好， 他的坐标就是 x， y 好， 第二步就是他到旋转轴的距离，你说这个距离是多少？不就是这个一 是吧，这整个这个动作标，这个啊，这一段不是一个一吗？再减去他的一个这个点的动作标不是 y 吗？不就是这一段吗？不就是一减 y 吗，是吧？好，第三步，哎，二重积分一算就行了，就等于二拍 e 减去一个 y 是 吧，哎， d 是 一个码，算二乘积分就行了，算二乘积分，这时候同样啊，采用 x 形域， y 形域都行，是不是？好，我们比如说这 x 形域，我们已经算过一次了，我们这时候来复习一下，把去化成 y 形域， y 的 一个变化是不是零到一呀？ 零到一抵 y， x 变化呢？平行于 x 轴，哎，在区域内画一根线，是吧？这是 x 这左边啊，先交后交，左边是 x， 等于一，右边呢？看这里 x 等于多少呀？ y 等于等于 x， x 的 话就等于一的 y 四方，是吧？好，这是一的 y 四方，都复习一下吧。这是一减去一个 y 吗？好，这就是一个一了，这边先算一下，这很显然，上线减下线就行了。 好，零到一，一减去 y， 上线减去一个下线 d y， 这时候我们可以给它写成几部分，对吧？二拍提到最前面吧。好，第一部分，哎，这个 e 的 y 次方 它跟它乘，再看一下啊，它跟这个后边的一一乘的话就是一啊，是吧？一一的积分就是一个一了。好，再减去零到一 y 乘以一的 y 次方，再加上零到一 y， 是 吧？底 y 它们乘完之后是有四项了。四项啊，好，等于二拍第一部分， 第二部分，第三部分，第三部分。这个就是我们常常见他的一个 积分，是吧？常考到他九档，在九档或者同学都直接记下来了他的一个积分结果了，想记就记，不想记就我们采用表格法也很快，是吧？交叉相乘，正负相减， y 减 e， 括号 e 的 y 次方 好，再加上二分之一。 y 的 平方上压线零一就是一个二分之一，是不是好？二拍这里面 e 的 一次方减 e 的 零，次方案， 再减个一，再减去这里。上线一带一减一等于零吧。哎，上线是个零了啊，上线带入是个零，下线一带的话，零减一负一一的名词，方是一，下线是个负一零减去负一就是一个一了啊，这整个这是个一，再加上一个二分之一，这个啊，得慢慢算，别搞错了啊。 好，看一下，这就是一减去减一减，一减三，再加上一个二分之一，是吧？减去二分之六，加一减去二分之五嘛， 是吧。再乘一个二拍，你把二可以乘进去啊，乘进去这二一乘进去，再减个五。为什么乘进去啊？因为这里是个牌嘛，我们可以都给他写成牌，乘以多少便于去比较呀。 对，看一下选项啊，他说的 v 二是小于二分之拍的，看一下，他要想小于二分之拍，咱们这样去看啊，如果 a 对 的话，说这一部分就得小于二分之一的意思啊。把拍都去掉的话， 二二 e 的 话 e， 我 们说二点七多嘛，是吧。乘一个二就是五点四多，减去一个五零点四多，对吧？小于零点五，对的，所以 a 就 对啊。好，这个也没什么说的了啊，其他的当然都错了，已经排除了嘛。 这个对于啊，他这个题就不是我们平时说的比较简单的题了啊，认真算二重积分。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，求取 y 在 零到一区间上的一个平均值，哎，公式一带就行了，是吧，很简单啊，还是求积分的，这个平均值，它就等于 这个 b 减 a 分 之一是吧？零到一，哎，把 y 写过来啊，一减 x 放 d x， 这就是一个一了，不用管它了，我们这个积分看怎么算，带根号的， 哎，目前想到更是代换是吧。我们可以令 x 等于 c t d x 就 等于 cosin t d t x 取零的时候 t 取零， x 取一的时候 t 取二分子 pi 是 吧？ x 方，那就是 c t 的 一个平方，底下一减， c 方， cosin 方， cosine 方，开方是 cosine， 绝对值零到 m 拍是可以去掉，是吧？我们说啊，前两个型号的啊，这绝对值是可以都是可以直接去掉的啊。前面讲很详细， dx cosine t d t cosine cosine 消掉了啊，零的二分之一 pi t 的 一个平方 d t， 这是不是用一下华丽士公式就行了？点火公式是吧，二分之一乘以二分之 pi， 这不用再说了啊，你得给我记记准确了啊，四分之 pi 好， 同时记住，认真算好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，求平面区域 d。 好， 第一问啊，面积，第二问，这个区域 d 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积啊，常规的题目嘛，我们把区域 d 啊画一下， 好，看一下啊，我们知道这 y 是 大于等于零，也就是说在 x 轴上方嘛。 好， y 又小于它，小于它，有同学说这个不会画， y 等于它边界吗？等于啊，你看一下会不会画呢？不会画没有关系啊。 好，这是根号，这个是平方，我们的 x 呢，是根二到二之间，它是严格大于零的，对不对？哎，这是严格大于零的，你只需要知道这一点就够了呀， 你看，这是根二，这是一个二。好，我们的 y 呢，就是在 x 上方，我们取这一段嘛，因为取这一段，比如说这个样子的，你管他什么样子，就这样就行了，是不是无所谓的啊。好，求，这个区域 d， 它的一个面积的话，那不就是积分吗？是不是定积分呀？学生题的一个求学生题的体积的话，也是比较容易的，对吧？好，哎，直接计算就行了。 好， s d， 那 就是根二到二去减啥？我们这根线的表达是不就是 y 等于它吗？好， x 方减一除以 x 方 d x 是 吧。哎，这个积分怎么积呢？看到了根号下的啊，这个 x 方减去一个 a 方这个型号的话，哎，是不是三角换元呀？这三种型号出现得能够想到三角换元。 好，那我们令的是 x 等于 a。 这个题是取一吧， second t 啊， second s e c t 好 令， x 等于它啊，换元要三换。当 x 取根二的时候， 我们知道 c 根的 t 是 cosine t 分 之一嘛。是好，它取根二分之一的时候倒数不就根二了吗？ cosine 多少等于根二分之一啊。这四分之拍嘛。 好，当 x 取二的时候得取二了啊。那这个扣三等于二分之一不就行了吗？扣三多少等于二分之一是不是？ 嗯，三分之拍啊，对不对？扣三以六十度，三三以三十度吗？二分之一啊，三分拍。这个认真看一下就行了啊。 好，上面的话， c 的 t 方减去一个一，是不是它念的 t 方开方是它念的 t 的 一个绝对值哦，注意啊，我们 t 是 四分之八到三分之拍，它念的 t 是 正的，所以直接去绝对值啊，但这个思考的过程别忘了啊。好，除以 x 平方啊。 d x 呢？ sin 的 t 求导，是不是 sin 的 t 乘以 tan 的 t 啊，求导公式得记住啊。好，化简一下就行了啊。好，把这个划掉一个。那变成什么了呢？也比较容易哦。 tan 的 t 方底下是 tan 的 t， 这是 三角函数，你就画一画呗。是不是你画成我们熟悉的 sin 除以 cos 以 t 方底下的话， sin 的 t 分 之一就是 cos 以 t 嘛。 这个消掉了啊，就变成这个样子了啊，是不是好，上下先写一下啊。 sin 的 t 方比上 cos 以 t 嘛，底 t 哎，这会写了不？ 你这个平方用一减去 cosine t 方一代替是不是都含有 cosine t 方了呀，也是比较比较容易看出来的啊。一减去 cosine t 方比上 cosine t 给 t 好。 你拆成两部分不就完事了。第一部分 cosine t 分 之一是什么呀？ c 的 t 嘛。第二部分 第二部分是 q 三 e t 啊，那比较容易啦。好，它的积分我们让记公式了啊，是不是它呀。啊，好，这个就图画擦掉了，碍事。 把这个记住啊。必须记住， long sign 的 t 加上 sign 的 t 好 上下键啊。后面就是三 e t 嘛。积分是三 e t 啊， 好，算一下看一下啊。上线一带 second t 是 等于 cosine 七分之一的好， cosine 这是六十度，是 cosine 三十度二分之一倒数那就是一个二了啊。 tangent 的 六十度跟三吧。 这认真算啊，减去好嘞， c 的 t t 取四分之拍啊，取四分之拍，这是根二分之一倒数就是个根二，贪心的四分之拍是个一，写个小括号就行了，减去后面 好哎，小括号就行吧。三以六十度啊，三以六十度是扣三以三十度，二分之根三，减去三以四分之拍二分之根二。 没问题啊。好，再整理一下就行了呗。这 long 减 long， 你 可以再化简一下，你看可以化简成这个样子的。对， 你不想化其实也 ok 啊。好，尽量化一下吧。是不是 long 减 long 是 long， 它除以它好，我们一般来说分母上不出现根号嘛。那我再分子分母都乘一个它呗。 那这不是二减一就是个一了，底下是个一了，这就是它了呗。零二加上一个根三，根二减去个一好，减去，减去二分之 根三这是加上，这应该是加上了，这应该是减去。哈，减去好，注意啊，这加加减减的，别搞错了啊，就行了啊。这就第一问好，第二问第二问。换个笔吧，感觉看不清了都。好， 我们说啊，那个图的话啊，大概就是这个样子的，是不是根二到二，你知道他是在 a 轴上方就行了，这个区域绕 去地方绕 x 轴旋转一周，就是我们说的这个简单题，对不对？哎，这种简单题啊，像这种区域的，绕 x 轴旋转一周，直接带公式计算题的体积带公式就行了。好， v x 就 等于这个拍是根二到二 y 方是吧？ y 方啊， d x， 你 这个公式，这两个公式你也不想记的话，你直接是吧，用二乘积分的。呃，咱们的一个去旋转题的一个体积方法，你用这样的一个流程去算，算完之后还是这个公式， 是不是你去课下算一算都算过了啊，还是这两个公式，只不过说相对简单的题目的话，像这种图的，你绕 x 轴旋转，绕 y 轴旋转，你直接，哎，就就这两个公式，行了，你不想记就这样去做啊。好，这是一个万能的方法。 好，开始计算了啊， y 方就是我们说的啊，这个这个，这里面也没有出现 y， 你 就这个 y 方，你也别写 y 方了，你直接这个 x 方减一，这样吧，我们再写一步啊，根号 x 方这样的一个平方。好， d x 二，根二也是 x 方减一吧，底下是 x 四次方， d x， 好， 这也不难吧，看着根二二分成两部分呗，这不是 x 方分之一减去 x 四次方分之一，这就负四次方嘛。好， d x， 好， 这个积分的话啊，它积分 x 负三次方， 补一个系数，负三分之一，注意前面还有个符号，所以是正的，正的三分之一， x 负三四方，那就这样写呗。 x 三四方分之一，这样写。好上下键啊，根二二。 嗨，我们看啊，上线一代的话，负二分之一加上三乘以二的三次方是八吗？三八二十四啊，这第一部分啊，上线一代下线一代的话，负的根二分之一加上 根二的三次方。二倍的根二吗？二倍的根二，六倍的根二啊，六倍的一个根二。好，搁这算一下啊， 拍，先不管他了啊，二十四分之负十二加一负十一减去后面的啊。好，我们给它通个分，都乘一个六的话啊，第一部分啊，都乘一个六分子分母加个它这块就是一个负五了，是吧？可以通分了啊。 啊，减去负的，那就正的啊，正的啊，是不是？你这块的话也可以把根二挪上去，下面是一个十二。对，行了，然后整个成一个拍，或者你这是二十四，这也可以搞个二十四，合到一起成一个二，就是十吗？这个拍 行了，二十四分之十倍的根二减去十一拍就行。常规的一个题目，注意去画不出来的时候，你把关键的哎信息画出来，够做题就行了啊。好，那这个题就讲到这了。
16考研数学千羽
