南京盐城二模2026数学三角函数

这是二零二六届苏北七市二模考前模拟试卷三数学试题。第一题考察集合交集运算，检验对描述法集合与列句法集合元素特征的识别能力。第二题考察复述共鳄与运算，检验复平面对称性、 共恶负数概念及负数除法的计算能力。第三题考察平面向量垂直与魔长，检验向量垂直的坐标条件及向量魔长公式的应用。第四题考察二项分布数字特征，检验二项分布期望访查的计算及约束下的最值求解能力。 第五题考察抛物线焦点坐标，检验抛物线一般是与顶点式的转化及焦点性质的应用。第六题考察函数图像识别，检验函数奇偶性、定义域特殊点及单条性的综合辨析能力。第七题考察三棱锥外接球表面积，检验线面垂直性质、 外界球半径计算及球表面几何式的应用。第八题考察简谐运动，检验正弦函数周期性、对称性，即未与已知相关的时间计算能力。第九题考察正向等比数列，检验等比数列通向前安向合 连按相机及对数数列的综合分析能力。第十题考察函数单条性与不等式，检验导数工具在比较函数值、对数值及指数是大小中的应用。第十一题考察比赛概率与场数，检验独立事件概率计算及分类讨论思想在实际问题中的应用。 第十二题考察偶函数构造，检验对集合兼函数奇偶性定义的理解应用到能力。第十三题考察椭圆与向量内切圆，检验椭圆几何性质、向量运算及三角形内切圆面积的计算。第十四题考察数列新定义与递推， 检验对序数列的理解。递推数列单条性分析求和技巧。第十五题考察解三角形检验正弦定力、 余弦定律及面积公式在边角互化于几何计算中的应用。第十六题考察统计与概率检验、独立性检验相关系数计算及相关性判断的数据分析能力。第十七题考察立体几何，检验线面垂直证明及二面角的求解。 空间向量或几何法的综合应用。第十八题考察双曲线与解析。几何检验双曲线方程、直线与双曲线位置关系及面积相关的计算推理。第十九题考察导数与函数综合检验函数最值单条性，即导数在不等式证明中的综合应用。

我们来分析一下刚刚考完的苏北七市的二模数学试卷，整体难度中等偏上。首先单选的前六题啊，送分题，集合复数、平面向量函数、单调性、三角求值等等都是基础题， 没有陷阱，一定要全部拿下啊！第七题，本质是几何最值，不能死代公式，要用竖形结合的思路去解题。第八题，典型的三角最值，有点难度，要学会用辅助角公式，直接化成单一的三角函数，就能很快的锁定最值 多选。第九题不难。第十题啊，直接取特殊值来代入，就能够快速的排除错误的选项。第十一题，抽象函数，只要能够找到特殊点或者特殊函数就能够了解。这次填空题整体不难，前两题不能出错啊。第十四题，要用几何转化， 别想复杂了，基础方法足够用了。第十五题，第一问要能够化解三角函数，第二问结合正弦定律和余弦定律，基础扎实的同学直接拿满十三分，没有难度。 第十六题，常规导出题不难，按求导，然后找临界点，然后分类讨论的步骤去写，基本能拿满分。第十七题，概率题，主要考察逻辑推理能力，需要考生能够理清事件之间的关系，难度中等。 第十八题，这题有点难度啊，命题，几何加圆锥曲线的考法，考法非常新颖，后面的两问不好拿分。第十九题，竖列加概率的压轴题，细心的你们应该会发现啊，二零二四年新高考一卷二的第十九题，也是竖列加概率。第一问很简单，每局排列 送分题，不应该出错。这里大家注意下啊，不要一看是最后一道压轴题，直接放弃，往往最后一题的第一问是不难的，第二问考逻辑推理， 第三问就是树立和概率的结合。这两问完全就是区分学霸和中等生的两问。基础差的孩子直接放弃，重心还是得放在基础题部分。各位家长把关注点好，二模分数出来之后，来了解孩子这次考试大概在全省的水平，以及大概能读到哪些学校的哪些专业。

我们来分析一下刚刚考完的苏北七式的二模数学试卷，整体难度中等偏上。首先单选的前六题啊，送分题，集合复数、平面向量函数、单调性、三角求值等等都是基础题， 没有陷阱，一定要全部拿下啊！第七题，本质是几何最值，不能死代公式，要用数形结合的思路去解析。第八题，典型的三角最值，有点难度，要学会用辅助角公式，直接化成单一的三角函数，就能很快的锁定最值 多选。第九题不难。第十题啊，直接取特殊值来代入，就能够快速的排除错误的选项。第十一题，抽象函数，只要能够找到特殊点或者特殊函数就能够了解。这次的填空题整体不难，前两题不能出错啊。第十四题，要用几何转化，别想复杂了，基础方法足够用了。 第十五题，第一问要能够化解三角函数，第二问结合真弦定律和余弦定律，基础扎实，同学直接拿满十三分，没有难度。第十六题，常规导数题不难，按求导，然后找零件点，然后分类讨论的步骤去写，基本能拿满分。 第十七题，概率题，主要考察逻辑推理能力，需要考生能够理清事件之间的关系，难度中等。第十八题，这题有点难度啊，立体几何加圆锥曲线的考法，考法非常新颖，后面的两问不好拿分。 第十九题，速列加概率的压轴题，细心的你们应该会发现啊，二零二四年新高考一卷的第十九题，也是速列加概率。第一问很简单，每局排列送分题，不应该出错。这里大家注意一下啊，不要一看是最后一道压轴题，直接放弃，往往最后一题的第一问是不难的， 第二问考逻辑推理，第三问就是书列和概率的结合。这两问完全就是区分学霸和中等生的两问。基础差的孩子直接放弃，重心还是得放在基础题部分好。各位家长把关注点好。二模分数出来之后，来我直播间了解孩子这次考试大概在全省的水平，以及大概能读到哪些学校的哪些专业。

好，大家好，我们来看一下这道题，那这道题作为一道填空题，大家可以用特殊指法， 那根据这个题目的意思，那写出关于 y 等于 f， x 关于 e， 零对称的 find 等于一个值，那我们首先可以取零，这个点我们可以知道，当 x 等于零时， 这个 f 一 是等于负的三倍的，所以当 x 等于二时，这个 f 二它要等于三倍， 所以我们将它代入，我们可以得到。嗯， f 二的话，也就是二减一是一 三，三分之 pi 加 pi 要等于三 pi， 所以很明显这两个值用什么相加等于派，所以我们可以看到三分子派加反是等于加上反是等于派的， 所以我们可以求出 five 是 等于三分之 five 的， 那作为选择题，而作为填空题，这样做是非常好的一种解法，感谢大家的收听。

两分钟学会三角函数我们一个范围问题，已知函数 f x 在 区间一到二上没有零点，那么由这个条件可知，区间长度二减一，它是不超过半个周期，所以可列不等式，二分之 t 大 于等于一， 所以 t 大 于等于二。而由周期公式可知， t 等于二， pi 除以 omega 的 绝对值， omega 大 于零，因此我们可以拿到二 pi 除以 omega 大 于等于二，解出 omega 小 于等于 pi， 由体感条件可知，又同时大于零， 我们把这个函数给它分解成内函数和外函数。内函数 t 等于 omega， x 减四分之派，外函数是 y 等于二倍的三 t， 那 么 x 属于一到二。因为 t 是 关于 x 的 一个递增的函数，内函数是增函数，所以我们对应找到 t 的 范围是 omega 减四，四分之派之间。 所以这个问题其实就转化成了 f x 在 区间一到二上没有零点，等价于 y 函数 y 等于二倍的 sine t 在 omega 减四分之派到二， omega 减四分之派，这个开区间之内没有零点好。接下来画 y 等于二倍的 sine t 的 函数图像， 那么由 omega 大 于零小于等于派，找这个区间的左端点 omega 减四分之派的范围，它是大于负的四分之派小于等于四分之三派。也因此， t 所在的这个区间左端点它所处的位置是负派到派之间。 那这样的话，这个开区间要没有零点，只有两种情况，第一种情况它处在零到派之间。第二种情况是处在负派到零之间，所以我们可以列两个不等式， 二， omega 减四分之派小于等于派的同时，左端点 omega 减四分之派大于等于零，这是在零到派这个区间。第二种情况 只需要控制右端点二 omega 减四分之派小于等于零即可。最后解出来 omega 的 范围是零到八分之派左开右 b 并上四分之派到八分之五派 b 区间。

好，大家好，我们来看一下二零二六江苏苏北七十二调这道题， 那这道题考察了一个三角函数知识，首先它给了一个叫锐角 f 倍它，那首先那我们可以求天井的，也可以求 cosine， 那 这道题我们首选的是求天井的，因为它已知的 cosine， 我们直接换一个直角三角形标上一个角是 f， 那 cosine 是 等于零边除以斜边， 所以我们可以求出它的对边。那一百减二是九十八，就是九十八的话是四十九乘以二， 也就是七倍根号二，所以我们可以求出这个天井的 i f 是 等于七的，那我们可以先求天井的 i f 加倍特， 那天井的 i f 加倍特，我们用一下公式展开，等于天井的 i f 加上天井的倍特，除以一减天井的 i f 乘以天井的倍特， 那我们分子分母同乘以三，那就是二十一加四，那三减二十八，所以等于负一，所以很明显这个 if 加 beta 是 等于四分之三 pi 的， 所以此题的正确答案选 d。 感谢大家的收听！

苏北七十二模想要冲刺一百二、一百三的同学千万不能错过，几道压轴各具特色。单选第八题，考察最小角定米线，线角大于线面角放在正方体中，研究会更加直观。多选第十一、新定义分段函数形似高斯函数，有创新性，需根据题意一步一步分析 填空。第十四题较为中道，利用几何关系求离心率。再来看第十八题，令人眼前一亮。考察椭圆锥，将解析几何与立体几何结合，不仅考法新颖，第三问的计算量也极其恐怖， 推荐二卷地区的同学来练手。近期各大模考对例题几何的考察难度也逐渐加大，二六届考生需格外注意。最后第十九题，树立新定义难度较大，但就二五年来看， 创新度过高的新定义不是新高考命题趋势。一卷地区有兴趣的同学可以尝试一下。总结，整体难度较大，但十分值得一做。这套试卷绝对是锻炼思维和计算的不二之选。

数师生下午没课，严于律己，限时练一份卷子，就做刚考的南京一模，在第六题就稍稍卡住了，但其实就是懒，想看看能不能一眼看出来，或者有什么减变方法，结果还是老老实实列出等式算出 a。 一 到榆林，其实到这就结束了，上下只含一个未知量地可以约掉，结果我没看出来，又浪费了一两分钟。十六分钟做完单选，其实还在可以接受的范围内，但是第八题我发现一开始想错了，又折回去重弄了一下， 第十题出的很好，十一题我服了，梦回二十五年高考难度大的三角题目，搞来搞去就是不会做，算了，先放一边吧。一开始还想蒙个地的，一想到去年的 abc 治好无数毒狗，还是选了个 a 先走了。 太久没现实做题目了，十三题差点还想连立，还好很快找到了几何关系。填空最后一题在我高三的时候都是一分钟没出思路就直接放掉，省 出来时间做后面的题目，收益往往不止五分，因为可能哼哧哼哧花了七八分钟，最后做出来了。填空最后一题，得了这五分，就导致做最后两大题难题少了七八分钟就对你做题的心态，尤其是做圆锥曲线影响极大， 很可能就因为时间不够没有耐心算，导致三十四分什么也没弄出来，得五分和好好弄，除去十八十九第一问，剩下的二十八分我还是拎得清的，况且填空最后一题还有可能做不出来，完全浪费了时间。 这道导数题我又是出现了，计算错误，不等号，方向没有改变，是后面作解己在发呆的时候看出来了，看到我开始做解体的时候，还剩五十来分钟，也就是 我有充分的时间思考和计算，前面的跳过给我这里做了铺垫，当然我这里是错误示范。为什么 说是错误示范呢？因为我虽然花了很多时间，最后想出来了做法，但我第二问中间的一个坐标直接就写错了，导致最后虽然步骤可以写下来，引圆自然不是答案的那个圆，我还以为自己算出来了， 此处开始发呆，到我写出来答案花了十分钟，如果我这里没出现粗心错误，应该是用前面的五分换了这里的七分。 这个引援套路在高三一轮复习的时候就做过，题目整理过，甚至这里还直接告诉你了他就在一个圆上，而不是别的问法。还是因为是大学生刷高中的题目数量太少太少了，导致一时间没想起来正确的做法。 可以看到我即使花了半个小时做十八题，因为前面省下的时间，我仍然可以从容的做十九题，并且这个十九题有时间我相信大家都可以做。前两问还剩六分钟，我不可能再看第三问了，就检查一下前面，发现例题几何还算错了三角形面积，忘记 我十四题有了思路，但也没有时间做了。就这样整张南京一模一样写完，开始找答案，批改 圆锥曲线，很可惜的丢了第三问的分数， 连这个功笔我的符号都写反了，真是毫无计算能力。 可以看到在我这个策略下换了一点分数，但在我明确只有十一十四还有十九个三不会的情况 下和细节真的非常重要，考试的时候时间的把握也很关键，而我因为才毕业掉，所以和大家一起写的卷子给出的建议也是很接近高中生思路的，希望能给即将高考的你有一些帮助。

数学拉分的王者待几综合题读题，这道题目给你一个抛物线解析式都给到你了，抛物线上有一个点， p 坐标也给你了。跟你说啊，有一条直线解析式是这个样子的，含 k 的 与抛物线产生的交点呢，是 ab 两点坐标不知道，但是呢，它们和 p 点形成的这个三角形面积是三十五，让你根据以上的信息去把 k 给求出来， 大家思考一下啊，这里的切入点肯定是我们的面积，面积怎么求呢？在一个平面坐标系当中，要么知道三点坐标用公式法或者直接割补， 要么就是我们的万能千锤法了。对这道题目来说， a、 b 两点的坐标我都不知道，所以很可能是往千锤法方向进行思考，再结合这里的未知数，只有一个 k 值，所以这道题的难度其实根本不算难啊。搞定这道题，再把村村帮你整理好的中考满分冲刺必刷题，刷一遍 这类代际综合题就再也不是事了。回到题目吧，我们刚刚分析了这道题目，详解面积很可能是从铅垂法入手的，那我们就来复习一下这里的铅垂法到底是怎么算面积的。 铅垂法精髓在于水平宽乘上铅垂高，对于这么一个三角形来说，水平宽选中 a、 b 两点，用它们的横坐标做叉，就是我的水平宽了。而这边呢，铅垂高其实就是要过屁点往这里铅垂的，或者叫竖直的做这么一条直线， 它与 a、 b 产生的这个焦点 q p、 q 的 长度其实就是铅垂钩。这道题目好做就好做，在 k 点的坐标是给到你的，那 q 点的坐标你能不能求呢？当然可以， q 点在我们的直线之上，所以我只需要把这里的横坐标 x 等于四带入直线，纵坐标直接就出了，来，尝试一下吧。将 x 等于四带入直线当中， 这样带有什么好处呢？因为我带的是一个四啊，所以这里四 k 减四， k k 直接消没了，得到一个具体的数字，也就是说， q 点的坐标相当于是给到 你的横为四来，纵为负三，那 p q 的 长度是不是也有了？所以这边得到 p q 为二减负三得五，在这个式子当中，面积我有， p q 我 也有，唯一不知道的是 x x a 减 x b 的 值，这个时候我得到三十五等于二分之一，它们俩的差乘上这里的五， 所以这个水平宽其实我也是知道的。那我怎么来利用 x a 减 x b 去求出这里的 k 值呢？永远不要忘记我的最终目的啊。就有的同学遇到这种题，就喜欢直接把 x 给求出来，能求吗？可以，这里 ab 两点的解析式，你有了对应的 抛物线解析式，你也有两个函数求焦点，怎么做呀？连立解方程，你的解嘛？所以我只需要把这里 k x 减四， k 减三， 让它和负的四分之一 x 方加六连力求解，解出来的 x 一个就是我 a 的 坐标，一个就是 b 的 坐标了。但说实话，这么解我个人是不想解的，这有个什么 k 呀，含着 k 去解方程，头都要秃了。所以这道题目我们可以怎么办呢？来，挪过来，先把这个方程我给简单的整理一下啊，注意，它是一个关于 s 的 方程，关于 s 的 方程我就按照 s 的 二次项，这边一次项也就是 k 位的 s， 还有不含 s 的 常数项，也就是它 以及把负六拉过来的它，综合一下，负的四 k 减九嘛，按照这样的三项去进行排列，那整个方程应该是非常规整的了。 而我想要知道的是解方程出来的两个根 x a 和 x b 分 别是多少吗？不是的，我只想知道它们的差是多少，它们的差我不好求它们的什么，很好求 和很好求，基也很好求。用什么来求？回答定理啊，回答定理告诉我，两根之合等于负的 a 分 之 b， 那 对这道题来说，那就是负的四 k， 两根之积呢，等于 a 分 之 c， 所以 这边带进来负的十六 k 减三十六，那我为什么要求它们呢？回到你的目标，你想要利用的是它来求出最后的减 a 减 b， 做的是叉。如果你对完全平方公式比较熟悉的话， x a 减 x b， x a 加 x b， x a 乘 x b， 还有最后一个元素， x a 方加 x b 方，这四个元素当中，任意知道两个都可以把其他两个给求出来，所以现在我相当于是知道了它们俩去求最后一个 它。你可以直接把这个式子平方，它与 x a 加 x b 的 平方之间是差四倍的 x a 乘 x b 的。 而这里所有的元素我通通都知道，左边是它的平方，也就是十四的平方 一百九十六，而右边呢，这边得到十六 k 方，这边负负得正，相当于加上四倍的十六 k 加三十六。 一个方程解一个未知数 k 还不好解吗？最后的答案就交给你们喽！这道题目其实难点在于千锤法与我们伟大定律的综合运用，如果你对任意一个定律都不够熟悉的话，想要解这道题你是非常非常难算的啊！在考试的过程当中，选用适当的方法去减轻我们计算量， 也是一种非常重要的考试能力，现在积累起来还不算太晚哦。重塑哪？加强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

准备开始上课啦，欢迎你们！请大家调试好自己的设备，调整好自己的状态，调节好自己的心情，如果都已经调好了，请帮我双击六六六，前三个六为帅师打 call， 后三个六让我们为自己，为明天，为高考，为未来加油！谢谢，谢谢大家，爱你们！ 下面正式开始今天的课程啊，不管今天周几，每天都是周帅！亲爱的同学和家长朋友，大家好，欢迎回到高头高中回到帅师的数学课，现在正在看到是二零二八高考数学季，二零二六开年啊！ 期末冲刺特训营的直播现场，我是爱你们，你们爱的帅师，欢迎大家！那么呢，今天已经是我们这个给大家专门开设的特训特训营的收官之战了啊，依然是有帅师来带领大家步步封神啊！那今天我们要讲的依然是干货，今天的干货的主题呢，叫做在高一上学习数学的另外一个重要的体系， 以三角函数为基础的各种各样的计算和性质的变化。在上节课如果大家还有印象，我们更多讲的其实是一些考试规律和解析技巧。如果用一个字母来描述帅师以及帅师和你的状态，课程你会用？你会用哪个字母呢？ 很好，特别好。 s 都会打 s 啊， s 有 好多词呢，那看 system 是 吧？ skills， 帅师数学 score， success， super。 当然 s 在 今天代表什么呢？ s 在 今天代表的是 science。 我 们以正弦函数或者叫正弦型函数为例来给大家讲另外一个东西，上节课我们更多讲的是考试规律，方法技巧。那 这节课呢，我们更多要讲的是你看似一些杂乱无章分布在各处的细节，如何通过一些重要的总结，变成一个属于你自己的完整的知识和方法体系，这点非常重要。所以今天我们的副标题叫做知识体系构建的方法依然是 最帅最厉害啊，也最能把你爱的帅师来带你学好数学啊！我们之前讲过这样一个重要的路线图啊，此刻我们正处在啊从高一上到高一下的重要转折时期，但我相信这个时候对于所有同学的家长来说，你们更加关注的一定是期末考试的问题。 期末考试考好了，我们才能更好的说，未来期末考试考好了，我们才能欢欢喜喜的过大年。是这样子的吗？如果是，请打一。所以最近这段时间，帅师以及我们的顾问老师二藏老师带着同学们做的最多的事情也是把期末考考试搞好。

眼看出贝特角是三四五三角形，贝特角等于五十三度，读出 f 角是八十二度， f 加贝特等于一百三十五度，五秒五分到手，快来试试五博士尺子吧！

当你第一道三角函数大题不会做的时候，你大概就能理解二零二二年新高考同学们的心情了。原以为苏西长镇一模已经是难度天花板了，没想到苏北七十二模直接把桌子掀了。

这是什么公式？同角、三角函数基本关系式。这是什么公式？两角和差公式。这是什么公式？二倍角公式。这是什么公式？ 这是什么定律？正弦定律。这是什么定律？ 于弦定力，这是什么公式？三角形面积公式。

哈喽，大家好，我们来看一道三角函数的大体。第一问证明 a 方加 b 方等于二 c 方，然后他给了我们一个条件是扩散以二 a 加上扩散以二 b 等于两倍的扩散以二 c， 那 这里我们肯定是要用到二倍角公式，对吧？那扩散以二 a， 它是不是就等于 一减去两倍的 sine a 方，那 cosine 二 b 是 不是就是一减去两倍的 sine b 方，对不对？好，那 cosine 二 c 是 不是就等于二乘以一减去两倍的 sine c 方， 那我们给它整理一下，这里有个一，一，这里有个二乘一，那就有个二。所以说我们整理一下之后，就可以得到 两倍的 sine a 方，再加上两倍的 sine b 方，是不是就等于四倍的 sine c 方？ 那这里我们同时约掉个二，再用一下正弦定例，那我们是不是就可以得到 a 方加 b 方等于二 c 方。好，那第一位就证明出来了。再来看第二位，若 b 比上 c 等于 sine a 比上一个根号三，那我们求角 a 的 值， 那我们这里先想一下，我们是不是可以用下正弦定零，那 cosine 啊，不是用下余弦定零，那 cosine a， 它是不是就等于 b 方加 c 方，再减去一个 a 方，再除以个二 b c。 好， 我们第一问已经证明出了 a 方加 b 方等于二 c 方，我们第一问的条件可以放在第二位来用，对不对？因为这个结论我们已经证出来了，所以说我们就可以得到 a 方，是不是就等于两倍的 c 方减去一个 b 方，所以我们就有 cosine a， 它是不是就等于 把里面的 a 方替换掉，那就是两倍的 b 方，再减去 c 方除以个二 b c， 好， 那给他整理一下，二 b 方除以二 b c， 那 就是 c 分 之 b， 再减去 c 方，除以二 b c， 那 就是二分之一，再乘以 b 分 之 c。 好， 那 b 分 之 c 是 什么？是三 a 除以个根号三，那 b 分 之 c 是 c 分 之 b 是 三 a 除以根号三，那 b 分 之 c， 是 不是根号三除以个三 a， 那 我们给他替换掉它，是不是就等于 sign a 除以个根号三，再减去二分之一？根号三，除以个 sign a。 好， 那么给它合一起给它整理一下，那它是不是就等于 两倍？根号三 sign a， 然后分子上是 两倍的 sine a 方，再减去一个三，对不对？好，它是不是就等于一个 cosine a？ 那 我们把这个乘到左边去， 那就是两倍根号三乘以 sine a， 再乘以 cosine a， 是 不是就等于两倍的 sine a 方，再减去一个三， 那二三 a， 三 a 是 不是就等于一个三 a， 所以 左边就是根号三倍的三 a， 那 两倍的三 a 方是不是就等于 一减去 cosine 二 a， 对 不对？所以说那右边就是 负二，再减去一个 cosine 二 a， 那 么把 cosine 二 a 移到左边去，那就是再用一下辅助角公式，那就是二乘以 sine 二 a， 再加上一个 六分之派，他是不是就等于一个负二？所以三引二 a 加上六分之派，他是等于一个负一的？好，我们现在来看一下 a 的 范围，因为在一个三角形中，他 a 是 不是属于零到派？那二 a 加六分之派，他是不是就属于六分之派？ 到二派加六分之派，那就是六分之十三派，对不对？那要让三以二 a 加六分之派等于一个负一，所以二 a 加六分之派，它是不是就只能等于一个二分之三派？ 那也就意味着二 a 它是不是只能等于一个三分之四派？所以说我们可以得到 a， 它就等于一个三分之二派。好，那这道题就结束了。

数学是我国人民所擅长的学科，在十六岁之前，你可以不会为积分，但你不能不会三角函数。在高中数学的整体体系中，三角函数图像变化是实现函数图形灵活变形的核心工具，同时它也是理解波动、振动、信号变化等现象的必备方法。掌握它，你就能 在面对各种正弦型函数图像时，让你不必每次都在纸上逐一描画，只需要通过几个关键参数的调整，就能快速把握图像的形状和位置。接下来我将带你逐步搞定它。欢迎来到抖音高考百日百课！ 什么是三角函数图像？其实核心就是一句话，任何形如 y 等于艾、塞因欧米加、艾克斯加俯、 i 加 b 的 函数图像都可以由最基本的正弦函数 y 等于塞因艾克斯的图像通过振幅变化、周期变化、左右平移和上 下平移得到。就像你可以通过调整音量大小、说话快慢、开始时刻以及声音精准高低来改变一段音频一样。三角函数的图像也可以通过这四种基本操作随意变形。接下来我们来看看它的具体规则。设基本函数 y 等于赛因艾克斯，我们要得到 y 等于 i， 赛因欧米加艾克斯加负 i 加 b 的 图像则需要进行以下操作，一、小微变化小微变换决定了图像在水平方向上的起始位置。对于函数 y 等于赛因欧米加，艾克斯加负二，很多同学会误以为平移量就是负二，这是不对的，因为艾克斯前面还有系数欧米伽，它会拉伸平移的效果。正确的做法是先把欧米伽提取出来写成这样，这时括号里艾克斯加欧米伽 分之负二中的欧米伽分之负二才是真正的平移量，遵循左加右减的原则。就比如图中的三条函数，图像从绿色到蓝色依次向右平移。二、周期变换，也就是将得到的图像上所有点的横坐标 变为原来的欧米伽分之一倍。欧米伽大于一时，图像压缩周期变小。零小于欧米伽小于一时，图像 拉伸周期变大。比如图中的三个三角函数，图像中绿色的欧米伽最小，它的图像周期也最大。三、阵幅变化，也就是将图像上所有点的纵坐标变为原来的 i 倍，当 i 到绝对值大于一时，阵幅增大，当 i 到绝对值小于一时，阵幅减小。如图，我们 就可以清晰的看到正负变化。四、垂直平移，将图像整体向上或向下平移一个单位，也就是符合上加下减。简单来说，这四 条规则就是告诉你如何把最基础的 y 等于三一、凯克斯的图像通过四种不同的方式拉扯成任何你想要的形状。那在了解这些后，我们看看如何具体应用的吧。以这道题为例，首先我们先将函数写成标准形式，确定各参数函数为， y 等于二三 二分之三，艾克斯减六分之 pi 加三分之二。对照 y 等于艾塞因欧米伽，艾克斯加负， pi 加 b， 可得出这个。这个变换过程有多种顺序，我们重点说其中两个。如果先平移的话，需要先将 y 等于三因艾克斯的图像先有平移六分之 pi 的 单位，得到 y 等于三因， 艾克斯减六分之八。再是周期变化，将横坐标原来原来的欧米伽分之一等于三分之二，也就是压缩到原来的三分之二，从而得到这个。如果是先伸缩呢？也就是先把横坐标压缩到原来的三分之二，得到 y 等于塞因二分之三艾克斯，再接着向右平移欧米伽分之伏 i， 就 得到了这个。这两种 顺序的变换得到的结果是一样的。在这个基础上，接着做正负变化，将纵坐标变为原来的 i 等于二倍，得到这个。最后 好做垂直平移，将图像向上平移，必等于三分之二个单位，得到最终函数，轻松算出结果。怎么样，你学会了吗？正经的知识又增加了，我是带你成长的派毛，大家可以去抖音精选追更我的高考百日百科。

像这种探求题，他一定是根据前面的几问去做题来看这个题，这是一个关于三角函数的探求题啊，研究探求题 啊，也可以说是一个算找规律吧。那我们看第一问，我们知道探出六十度等于根号三，三十度等于三分之根号三， 所以 tanthan 阿尔法等，让你发现结论就根据这个嘛。 tanthan 阿尔法等于二乘以 tanthan 二分之一阿尔法吗？如果是二乘以二分之一， tanthan 阿尔法应该是 三分之二根号三吧，所以肯定不等于啊，这很简单，第一问很简单。第二问呢，也是你看如图，给你一个图，跟你说角 c 等于九十度， a、 c 等于四，那很明显 ab 是 五嘛， 让你求它的二分之一角 a、 b、 c 的 值，哎，然后他知道你不会做吗？然后告诉你了研究思路，你看，构造一个二分之一角 a、 b、 c 的 角三角形，于是这么做，这么做，做出来这个啊，也就是说他做的是 b、 d 等于 ab， 所以呢，他就构造出来了一个角，这个角，你看角 d 是 等于角 b、 a、 d 的， 所以它们两个都相等，也等于二分之一角 a、 b、 c， 是 不是因为这是外角嘛，对吧？啊，它俩相等，所以我们这里可以求出二分之一角，它的角二分之一 a、 b、 c 不 就是 八、九九分之三，不就是三分之一吗？是不是因为？嗯，它构造的二分之一角 a、 b、 c， 这我就不多讲了啊。第二问也很简单，但是呢，第三问有可能就不会了。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 锐角，你看这里难点，第一个难点，它有图吗？它没有图。第二问，它简单在哪？它是有图的。 第三问，还告诉你，角 a 是 锐角，没有直角，三角形更是，哎，也不是直角，根本就没有三角 a、 b、 c， 所以 这里你得怎么样啊？你得自己画一个三角形，那画的时候就有问题了，那这个三角形 a、 b、 c 是 钝角啊？还是直角的还是锐角的三角形啊？ 这里我们也不知道，来继续往后看看还有没有什么提示啊？ tan 呢？ a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a、 ab 等于二根号十三，求三角形 a、 b、 c 的 面积。这里啊，首先就有个问题，我们在画三角形的时候，我们先得确定它是一个什么样的三角形，那这里怎么确定呢？ 来，其实咱们学过贪婪的 a 等于三分之一，而贪婪的三十度等于三分之零。三，我们知道正切值， 在一个角角二法大于零小于九十度时，这个角的正确正切值是随着这个角的增大。这个正切值怎么样的？是增大的， 具体我就不不讲为什么增大了，但是呢，嗯，结论是这样的啊，这个我上课时候讲过，你们老师应该也讲过啊， 当阿尔法越大，摊着它就越大。所以说，你看，三十度的正切值是比这个角 a 的 正切值要大的。所以这个角 a 肯定是怎么样， 小于三十度，是不是？那角 b 呢？角 b 就 小于六十度吧， 是不是？所以这个三角形我们初步一定确定好了，这一定是一个什么三角形？钝角三角形嘛，你看他告诉你他这三角形肯定是有原因的。来，钝角三角形，我们知道了，画一个钝角三角形， 这是角 a， 这是角 c， 他说贪婪的 a 等于三分之一，贪婪的 a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a， a， b 是 二根号十三。 那这里就有问题了，他告诉你，贪婪的 a 有 什么用呢？没有直角三角形啊，所以我们第一步得干什么？得自己去构造直角三角形，那我们还得把这个角 a 的 正确使用上呢，所以我们这里只能从 c 做出一些， 从 c 做垂线，做出 c d 来了，但是有什么用呢？那这个时候我们就要想一想第二个条件，角 b 等于两倍的角 a， 这个条件 是干什么用的？你看，在前面的第一问里，他让你探讨了角阿尔法和二分之一阿尔法的正切值的关系，然后又在第二问，你看这个第二问很关键，他给你构造了一个哎，他这里给你构造了一个二分之一角 abc， 那你说有没有可能这个角 a 也是通过这个方法构造出来的？这里我们一定是要能想到这个这个问题啊，像这种探求题，他一定是根据前面的嗯，几问去做题 啊，应该是差不多，所以我们要试着也要试着去构造一下这样的三角形。为什么？因为这个角 b 等于两倍的角 a 吗？你看这里这个角不就是等于两倍的这个角吗？ 所以这里我们会想到我，我们能不能在 a b 上找一个点 e， 让 c e 等于 a e， 哎，我找这个 c e 等于 a e 有 什么好处呢？你看，如果 c e 等于 a e 同时同时角 a， 是 不是等于二分之一角 b 啊？那角 a 还等于角 a c e 对不对？而角 c e b 是 不是也等于两倍的角 a 啊，是不是这个角也等于两倍的角 a， 所以 c、 e 是 等于 c b 的， 这是一个等幺三角形， 那这里相等的边这么多，那我们 ab 又知道，我们这里不就是让我们求 cd 吗？那我们求 cd， 求谁射谁把 cd 射给 x 呗。 c、 d 是 x 吧？第一个啊，这里告诉我们角 a 的 正切值是三分之一，所以 a、 d 就是 三 x 吧。 cd 是 x， ad 就是 三 x， 那 ad 是 三 x， 而 ab 是 二根号十三。这个二根号十三是怎么组成的？是由 a e 加 e， d 加 b， d 组成的吧， 对不对？它等于二根号十三。这里我们能不能运用一下这个勾固定里 这个三角形 c， d， e 啊？能不能把用 x 分 别表示出 c， e 和 d e 来，那这个题不就做出来了，是吧？那这里肯定是现在这个 c e 不 太好表示， d， e 也不太表示，我们只能去借助一下这个 二根号十三了，所以我写出来了 a、 b 的 这个式子呢，你看 b， d 和 d e 不 就是，它俩是一样的，是不是应该是二 b， d 加 d， e 等于二根号十三， 而这个 d， e 也就是 b d 啊，而这个 b、 d 又等于啥呢？ b、 d 是 不是等于 d， e 等于三 x 减 a， e 啊， 是不是？那我不就可以把这个 b、 d 带进去了吗？就是六 x 减二， a， e 加 a， e 等于多少？ 六 x 减二，根号十三，所以 d 一 我们就也表示出来了。 d 一 不是等于三 x 减一吗？也就是三 x 减六， x 加二，根号十三，等于二根号十三减三 x。 你看 d， e， c， e 和 d e， c， d 和 c e， 也就是 a e。 哈，我们都用含有 x 的 式表示出来了，那不就可以用勾股定律了吗？也就是 x 方加 d 是 二根号十三减三， x 的 平方就等于六 x 减二根号十三的平方，然后花点把 x 解出来，面积是不是就可以解出来了啊？这个题难点在哪？就在于 d e 和 a e 这里不太好，表示很多同学他不会用这个二根号十三。好，那这个二根号十三怎么用呢？我们只能是去用另一个式子去慢慢给它进行推导。嗯，没有什么特别的技巧。然后这种题啊，像这样的探求题，你只能是多做多积累 啊，也没有什么很好的方法去把这种题做出来。就是你做的多了，有感觉了，慢慢的你就自信了，这种题你就能。嗯，比较轻松的在考试中面对。

同学们好，这节课给大家利用几分钟时间讲解一下三角函数的值域问题和对值问题啊，主要分为三种情况， 那我们来看一下哪三种呢？那第一种题型是涉及到正弦型函数，我们利用正弦型函数的性质去解决它的值域问题。 第二种是利用三角函数啊，是正弦和余弦的有界性来去求最值。那第三种情况呢？就是我们要把它转化为关于 sin x 或者说是 cosine x 的 一个二次函数形，然后去解决问题。那么我们看这三种情况对应的例题好，首先第一道， 那已知函数 f x 等于 sin x 减去 cos cos cos x 减六分之派的值域是什么？那我们看到这种形，那直接它就一定是正弦型函数，为什么？因为这里边我们可以利用到辅助角公式 啊，数角公式去解决这个问题。那这个 f x 等于什么呢？ f x 等于 sin x 减去括号，把 cosine 这个打开，那就应该是 cosine x 乘以 cosine 六分之派啊， cosine 六分派是二分之根号三，然后加上啊二分， cosine x 乘以 sin x 乘以多少呢？乘以 sin 六分之一， sin 六分之一是二分之一啊， ok， 所以 这样把括号打开等于什么呢？它就应该等于二分之一倍的 sin x 减去二分之根号三倍的 cosine x。 好 利用辅助角公式啊，这一步我们 要用的就是辅助角公式，那它应该等于什么呢？等于根号加它方，加它方啊，等于一，所以它是 sin x 减去 f， 那 这个 f 幺角公式的 f， 弹琴的 f 等于什么呢？等于 a 分 之 b， 也说等于负的根号三 a 分 之 b， 这是 a， 这是 b， 好， 等于负根号三，所以这块应该是减三分之派， 那所以这样的话，那这个函数我们就知道了，它是这样的一个正弦函数，那么它的值域就应该是从负一到一， ok， 这个就是利用正弦函数去解决问题。 ok， 我 们再看第二道问题，好求 y 等于三倍的三， x 加一，除以三 x 加二的值域，那么看到这种形式，对吧？我们可以做的叫什么？分离常数 啊，然后再利用函数的有界性啊，怎么分离？它是 y 等于 sine x 加二分至 sine x 加二，我要跟它原式一样，所以它一定是三倍的， 这样的话，上面是三倍的 sin x 加六，原来是加一，对不对，所以要减去一个五，所以它就等于什么呢？它就应该等于三减去 sin x 加二分之五，对吧？那什么叫利用函数的有界性？因为 sin x 它的范围是负一到一， 所以把它加二之后，那它整体的范围就是这个 sin x 加二啊。 sin x 加二，整体的范围就应该是一到三 啊，所以后面这一部分啊， sin x 加二分之五，那它的范围是什么？分母是一到三，所以最大值是五，除以一等于五，最小值是三分之五， 三分之五，所以它的这个范围就应该是三分之五到五，这是括号啊，然后用三减去它，对吧？所以整体的值域那三减去，呃，三分之五是三分之四， 对吧？三分之九减去三分之五，三分之四，三减五等于多少？等于啊？负二，所以它整体的值域是负二到三分之四啊，所以在这一步，其实我利用的是函数的有界性，那当然这个题还有一种办法，怎么办呢？啊？用 y 去表示 啊， sine x， 有 时候把它整理一下啊， sine x 等于什么？什么 y？ 因为 sine x 的 范围是负一到一，所以最终解一个关于 y 的 方程，它的范围是负一到一，把 y 解出来啊，一样的结果。 ok， 这是第二道例题，那么我们再看第三种例型，就是要利用二次函数形去解决问题。那二次函数在我们初中是经常要学到的，对吧？它是是一道 divide 方向的问题。 那么看这道题啊，函数 y 等于三，减去三 x 平方，减去四倍的 cosine x 的 最小值，我可以看到这样的一个形式，这是 cosine x， 这是三 x 方，对吧？那我们直接想到是二次函数形，对吧？然后那这里面我们直接设 啊，设什么呢？设这个 cosine x 等于 t， 那 t 的 范围就是负一到一，对吧？啊？设 cosine x 减 t， 那 么 cosine x 的 平方其实等于一减去 cosine x 的 平方，所以它应该等于一减去 t 方，所以原来的函数 y 就 应该变成了三减去，把三 x 平方换成一减 t 方，括号一减 t 方减去四 t 啊，把它整理一下，它应该等于什么？这是三减一，是二，对吧？这个负负得正，就是 t 方减 四， t 加二， ok， 那 这个是关于 t 的 一个二次函数，它是开口向上的对称轴， t 等于负的二一分之 b， 对 吧？负的二 a 分 之 b， 二乘以一分之负四等于二，对吧？对称轴是 t 等于二，而 t 的 范围是什么？ t 的 范围是从负一到一的， 所以我们大致画一个图像啊，在这大致画一啊，负一到一对称轴是二，所以这函数肯定是这样的，那肯定在一处取得最小值，在负一处取得最大值，那就是把 t 等于一带进去，应该是三减 三减四等于负一，也说它最小值就是负一。 ok， 你 学会了吗？下课。