苏教版八下几何模型结合题目可打印

我们来到巅峰训练期，我们看一下这个巅峰训练期的第一题啊，如图，一动点 p 呢，是从菱形 a、 b、 c、 d 的 一个点 a 出发，沿着 ab 到 bc 匀速运动，运动到点 c 的 时候停止呢，是点 p 运动的路程哎，他运动路程 为 x， 那 么 o p 的 长度为 y， 其实他考的是双图像的一个分析吧。好，我们从图像中可以看到，随着他运动路程的变大， o p 的 长度在慢慢慢慢减小。为什么减小？同学们想想哦， o p， o p 是 不是到这到这是垂线段的时候最小？哦，垂线段最小是不是这个位置啊？ 这个点是垂线段吗？但这个点代表了几？不知道，继续继续哦，慢慢的又变大，变大，变大到哪里？变的？到 o b 的 时候，到了 o b， 这个点是不是又开始减小啊？好，我们看一下变大到这个点，这个点是最高点，是不是就是 o b 啊？ 是不是中间中间图中的一个最高点 o b 啊？为什么？因为他过了 o b 之后，这个 o p 的 长度又会开始减小吧，所以这个点代表的是 o b， 也就是说，当他运动的路程达到这个位置的时候，也就是说他 o p 的 长度是最大的，此时 p 和 b 重叠，那么这就意味着 o b 的 长度 是二。你只要分析出这个，而刚开始其值其值点，我们 p 是 在 a 点的，所以 o a 的 长度是四吧。哦，很快就知道它的边长是几，边长是二根号五。通过勾股定律 那题目又说了哦，运动到 bc， bc 的 总点 p 在 这里，根据我们菱形的四条边都相等，它的每条边都是二根号五吧， 所以根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半嘛，因为是菱形，对角线相互垂直，所以这是个直角，所以从而就有 o p， 此时 o p 的 长度等于二分之一 b c， 所以 正确答案应该是选 c 选项。 这种类型的双图像问题最主要的就是你要看到从第二幅图中能够看出第一幅图在每一个转弯的拐点，它代表的几何意义是什么。比如说，你要能够懂这个起始点代表什么，起始点说明 p 在 a 点，此时 o p 的 长度是四的话，意味着就是 o a 等于四，那么这个拐弯的点这个地方达到一个哦，慢慢慢慢下降，然后又上升，哎，上升过后又开始下降哦，这个距离 o p 的 长度是慢慢慢慢先减小，减小到这 垂线段的时候是最小，慢慢慢慢又增大，增大到 b 哦，慢慢又开始减小，减小到垂线段最小，所以这个 b 又是另外一个拐点。你只要读懂这个意思，那这个题目基本上就能解决。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形加做对称点技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心 技巧七，构造手拉手全等技巧八，平移线段可分享！

同学们好，上一期视频夏老师给大家留了一道天一试卷填空压轴题，不少同学都做出来了，还提到了刮豆模型。刮豆模型确实是动点问题里的必考题型，今天夏老师就用一分钟时间给大家讲透刮豆模型到底是什么，还不清楚的同学一定要听好了。 刮豆模型简单概括来说就是两点一加角，两点指的是东点，一加角指的是固定角。比如说 a、 p、 q， 这里的 p 和 q 都是动点，这 q 会随着 p 点的运动而运动，那我们就把 p 叫做主动点 q 叫做被动点，这里的角 a 是 一个固定角，不变，那当点 p 运动到这个位置的时候，点 q 大 概运动到这个位置。 那如何确定点 p 和点 q 的 运动轨迹？我们说如果点 p 的 运动轨迹是一条直线，那么点 q 的 运动轨迹也是一条直线。 因为刮豆模型的由来就是种瓜得瓜，种豆得豆，所以 p 点是怎么运动的，那 q 点也是相对应的，怎么运动？那接下来我们就通过一道例题来实践一下。 已知在这个矩形当中， a b 等于五， bc 等于五倍的根号。三点 p 是 b c 上的一个动点三角形， p， a q 是 等边三角形，求 d q 的 最小值。点的运动轨迹是一条直线， 那么 q 是 随着点 p 的 运动而运动的，因此我们把 p 叫做主动点， q 叫做被动点，那肯定是先要把 q 的 运动轨迹求出来的。 那怎么去求 q 的 运动轨迹？我们可以使 p 点的位置特殊化，可以让它和点 b、 点 c 重合，那么找到两个位置对应的，我们就可以得到两个 q 点的位置， 通过两点确定一条直线，我们就可以得到 q 的 运动轨迹，那我们想要让这个等边三角形画的更准确一些，要求同学们对数字有一定的敏感程度。这边提到了两条边五和五倍根号三， 那也就是一比根号三的关系。我们在一个特殊三角形，也就是三六九直角三角形中，我们会有三边比，是一比根号三比二。因此当我们去连接这个矩形的对角线的时候，那这里就出现了三六九直角三角形 abc 以及 adc。 那么这个角 b， a、 c 是 不是就是六十度啊？因此我们画的点 q， 它确切的位置应该是在 b、 d 和 a、 c 的 交点处， 这个位置就是点 q， 那 我们找到了第一个位置，那第二个位置呢？就是当 p 点和点 c 重合的时候，因为这个角 a、 c、 d 也是六十度，因此这个三角形我们画出来它应该正好是在 c、 d 的 延长线上， 并且我们知道 a、 d， c 是 九十度，那通过三线合一，我们可以知道 d 是 c d 的 中点啊，连接 a、 q 二，那得到了一个大的等边三角形 a、 q 二 c， 那 么我们把 q 一 和 q 二的轨迹连接起来， 就是这样的一条直线，要求 d q 的 最小值，那点到一条线上的最小值，很明显就是过点 b 做 q 一 q 二的垂线，垂线段最短，那我们就找到了这个 q 点的位置 d q 我 们怎么去求它的长度呢？我们 d 是 q 二 c 的 中点，由于这边我们做的是垂线，通过三线合一，我们知道这里也是垂直的，因此 d q 是 三角形 q 二 q e c 的 中位线，因此 d q 就 等于二分之一， c q 一 等于二点五。这个就是一道刮动模型的典型应用，同学们听懂了吗？

这道题太难了，八下几何填空的最后一个压轴题，咱们很多同学都做不出答案，那像这种题目，他其实考察的就是我们菱形特殊图形的性质， 为什么你做不出来，一定是在其中有哪一步断层了，而在我们菱形证明的过程当中，全等三角形是一定 逃不开干系的。所以如果这种题目你卡壳了，一定是我们之前的全等轴对称有漏洞，抓紧时间去补啊！ 那有关于我们这一学期的四边形，结合着上一学期的全等出的这些综合题目，老师已经把常见的这十三大类题型都总结好了。 家长们，如果咱们的孩子经常做这种题，都没有思路，找不到入手的关键点，大题做不出辅助线，一定要打印出来，逐个题型，带孩子查漏补缺。尤其是上一学期，这我那个几何模型还有问题的， 一定要回去啊，系统的来进行学习，否则你往后学到圆，学到相似，学到初三，你的几何题没法做， 下面咱们就来一起看看这道题。菱形 a、 b、 c、 d 当中告诉你角 a 等于六十度， e 和 f 分 别在边上，而且告诉你 a、 e 这条边等于二，那 b、 f 这条边也等于二。 现在告诉你 d、 e、 f 的 周长为三倍，根号六，让你求 a、 d 的 长。由于这道题啊，有什么菱形 菱形四条边都相等，两条对角线互相平分，那我们知道啊，菱形的对角线咱们连上和这六十度肯定有关系，因为这是六十度菱形，对应四边都相等，所以这里形成的是一个什么， 是不是一个等边三角形啊，对不对？我往这一连，你会发现这是个等边三角形，这三条绿色的边都是相等的，对不对？ 而这一条小黄和一条小黄还是相等的，所以咱们就可以得到这里有一组全等三角形，这个三角形和这里的这个三角形，它俩是全等的。为什么呀？来绿的等于绿的，黄的等于黄的，而且这个角又都是六十度啊，对不对？ 两个三角形全等，就可以得到对应边相等，那我们这就有 d e， 这条边是不是和这里的 d f 这条边相等啊？合着这个是一个等腰三角形。 再继续看，由我们第一步，两个黄色的三角形全等，咱们是不是有两个黄色的三角形对应角相等，小点等于小点。 而由于我们菱形有一个角是六十度，必然这是一个等边，所以这里小点和小叉是六十度。 等量代换一下，这里小点和小叉就是六十度，所以这还不是一个普通的等腰，它是一个什么？等腰当中的黄金贵族等边三角形， 所以由它的周长是三倍，根号六，咱们就知道它的每一条边不都是多少啊，根号六吗？对不对？好了，现在想要求啥？ a d 的 长，不就是求菱形的边长吗？那怎么求 a d 啊？ 你看这有一个特殊角，可以用六十度，看见了没？那有六十度的角，咱们不妨就利用上这个六十度的角。我在这啊，做一个垂线 e h 垂直于 a d， 那这不就是一个三六九三角形吗？由三十度角所对的直角边是斜边的一半，这是二，那这不就是一吗？ 所以下面咱只需要求出 h d 的 长度，就可以求出 a d 的 长度， h d 的 长度怎么求啊？看这又是一个直角三角形，这条边是根号六， 这条边的长度是根号三，因为三六九三角形三边比是一比，根号三比二嘛，对不对？所以这是根号六，这是根号三，这条边的长度也能求出来。勾股定律，根号下根号六的平方减根号三的平方也就是根号三了， 所以最终求出来 a d 的 长度不就是一加根号三吗？所以这道题比较综合啊，凡是我们的几何模型，之前全等这还会有卡壳，会出现问题的，抓紧时间家长们可以带着孩子去学一下我之前的几何模型辅助线的专项，对孩子整个思维会有一个质的提升。

这个题竟然是代数题型的几何伪装数！在八下考试，甚至中考考场里无数学生啊，对着这个式子猛算代数，却不知题目就是把几何密码藏在了式子里，只要一旦识破数形结合加勾股定律的思维，就能直接秒杀这道题。 别着急啊老师，今天一条视频带你彻底学透数形结合的代数应用，学会后不管期中、期末还是中考，都能轻松秒杀！一起来看题 说，已知 x 加 y 加 z 和等于六，让我们求根号下 x 方加一，加根号下 y 方加九，加根号下 z 方加十六，和的最小值是多少？已知条件非常简单， x、 y、 z 三个字母和是等于六的。 接着要求的这个式子呀，它的特点就非常明确了，大家来看，根号下 x 方加一，那一呢，我可以看成是一的平方， 第二个根号下外方加九，那个九显然是完全平方数三的平方。第三个这方加十六，那十六呢？自然我们想到是四的平方，换句话说呀，根号里边通通都是什么呀？平方和的形式对不对？那么在我们初中阶段， 出现根号下 a 方加 b 方的形式往往都在哪儿啊？勾股定律对吧？哎，在直角三角形中，如果两只角边小 a 小 b， 那 么斜边小 c 就 可以用 根号下 a 方加 b 方进行计算，这是我们大名鼎鼎的勾股定力。并且呢，出现这样的式子，往往都是竖形结合去构造这样的直角三角形，勾股定力帮助我们解析。好，我们一起来学习一下本题如何快速利用勾股定力完成竖形结合的 构造来解决这道代数题啊，那么第一个呢，我们要配凑的两直角边，一个长度是 x， 一个的长度是一，那我就画一个直角三角形， 这条直角边长度为一，另一条直角边 x， 那 么斜边长根号下 x 方加一。 好，接下来我们再来看第二个两直角边，一个长度是 y， 另外的一个长度是这个三， 那么我要如何去画图呢？所以关键是啊，很多同学他能够看出来，这道题目确实要用数形结合，确实要用勾股了，但是他不会去画图。那么老师来教大家，已知条件给的是啥？你看啊， x， y， z 三者之合，所以在图形上，我们如何把这三个边长，把它相加求和呢？所以 图形上要想把它三加起来，我们往往是把它画在一条直线上，对吧？如果它歪七扭八的，它就没办法知道哪条边是六了，能理解吧？ 所以说啊，我在画第二个直角三角形的时候，延长这条直角边，这个长度就是我的 y， 就是 我的 y。 好， 那接下来我再画这样一个直角三角形往下画。老师，你为啥往下画，不往上画呢？大家来讲啊，最后我们要求的是什么？ 斜边加斜边加斜边，大家都讲过这个将军印马是吧？做轴对称，如果往上画，是不是还得对称下来？我得让 斜边想方的好像连到一起，对吧？在一条直线啊，或者是折线上。好了，那么我们往下画直角三角形，这条直角边长度是三，斜边就是外方加九。 好，那关键问题来了，老师，第三个直角三角形 z， 另一条直角边是这个四，这时候我该怎么画？同样的， 老师说了，这个 z 啊，我要延长跟 x y 在 同一条直线上，这条边长度为 z， 那 这时候我比如说我再往下画，往上肯定是连不上了那个斜边，但是往下画呢？你看我这画直角边三角形， 哎，我怎样画直角三角形啊，都没有办法跟前面两条斜边连到一起。所以这里有一个小小的技巧啊，连不上的时候，我们可以先去做一个矩形， 你看我先构造这样一个矩形，利用矩形对边长度相等，把这个 z 转移到这样一个位置，此时大家再去构造这直角三角形，是不是就容易连多了？你看是不是我这时候再把它画下来， 你看这条直角边长度是四，这条直角边长度是 z， 所以 这个斜边就是 z 方，加上十六再开方 没有问题啊，所以这里边有一个构造矩形的小小技巧，这时候大家再来跟我观察已知条件， x y z 之盒转化成了三边之盒，并且连成了一条直线上，那么这条红色线段的长就是这个六。让我们求的是这三个斜边啊，斜边、 斜边和斜边和的最小值是多少？经典的化折为值问题， 当这些点通通共线的时候，也就是说我这三条斜边长成绿色线段的样子，此时取到和的最小值好了，那么最后一步我们只需要完成计算即可。同样去构造上方的 矩形，这个六就是这个六，这个一就是这个一，对不对？在大大的直角三角形中，勾股定律求斜边，所以这个斜边是根号下六方加上这一三四，也就是八六方加八方勾股 number， 直接口算六八十， 斜边长度为十，也就是这三条斜边和的最小值。所以这道小题回过头来看，发现这样经典的根号下平方和的样式，想到勾股定律， 大直角三角形，利用竖形结合，把这些代数的式子转化成一些线段长，通过求三条线段长度和的最小值来完成这样一个代数式的最小值计算，你学会了吗？

八下平行四边形一定是我们本学期要突破的一个重难点，因为这里面不仅图形多，而且涉及到模型和变形也特别多。 光拿正方形来说，他涉及到模型和辅助线就有九大类，那今天我们就把正方形这种特别特殊的四边形再拿出来来看一看与他结合的角平分线模型和截长不断辅助线的做法。 那有关于正方形、平行四边形、菱形、矩形这一张结的特殊图形，老师都已经给大家把常见的这些易错题做了一个总结。 如果啊，咱们孩子做几何综合的大题，还经常没有思路，做不出辅助线，一定要分题型，咱们来进行练习，把它刷透了纠错好，我们再做这种题绝对是没有问题的，下面一起看看。这道题 说四边形是正方形， m 是 bc 上一点， e 是 c， d 边上的中点有中点，必然有这两段相等啊。先标上条件，上图， 接下来 a e 平分，那这是角平分线，让你求证， a m 等于 a， d 加 mc 怎么正啊？哦，在这里看到 a 加 b 等于 c 形式的式子。 上学期我在我的几何模型专项里特意给大家做的这个模型的专项叫做截长不断。凡是看到 a 加 b 等于 c 形式的式子，立马想到这道题的解法就是截长不断，谁是长啊， 这肯定是长啊，它俩是短呢。于是我们想到辅助线的思路就是在长上哎，我截这么一咕噜，让它和其中的一个短的相等，然后再去连接看没看见。这是我做题的第一个思路，在长的上面截一咕噜和短的相等。 接下来我只需要正另外这一咕噜短的和这个 m c 是 相等的就可以了，看没看见，所以在这我再去连接 m e， 那这个时候就可以通过哎，正这两个三角形全等，进而得到最终的答案了。来，这是我的第一个思路，叫做截长补短，具体的正法已经在我上一学期很多课程视频当中都讲过了，这里不赘述了，咱们今天要讲思路的连通性好不好？ 这道题还有第二个思考的方式在哪？在这个角平分线上来涉及到角平分线，咱们上一学期学过什么叫做角平分线的四大名辅，还记得吗？ 有角平分线，有角平分线，一点向角的两边做的一个垂直，那下一步你的思想是干嘛呀？ 对了，由角平分线入手做啥？做双垂直对不对？是不是？哎，叫做双垂直，所以由这个思考我们就可以做出。哎，那我过点 e， 我 这可以做个垂直，我做 e f 垂直于 a c， 那 我们做完垂直以后，你可以发现，哎，是不是这两边三角形有点关系啊？干嘛全等啊？为什么全等啊？你可以发现 a a s 就 可以正 这两个三角形全等，那这一边和这一边的长度是不是就转化过来了？那还是又回到这里了，我要想证 am 等于这一段加 m c， 就 再证他俩相等就行了， 还是给他连上啊，连上之后，我们再通过证这两个三角形全等，是不是就可以得到最终的答案了？所以你看啊，同一道题，同一个解析思路，我们是不是可以从两种路径上去解析呀？ 哎，一种这样从 a 到 b， 哎，一种走这个从 a 到 b， 就 跟我们选上路、中路和下路走一样， 最后殊途同归对不对？所以这两种方式做辅助线的做法和证明的过程略有差异，我把详细的解析过程发在咱们群里了，大家做完了之后可以去找我去对答案，一定要把这种多个方法多个维度思考的能力培养孩子建立起来。

江苏八年级的学生八下四边形中正方形的半角结构是大家务必要非常熟练的掌握，请看这道题，选自小题巅峰，在正方形 a、 b， c、 d 中边长为二， e 点和 f 点在运动过程中保持角 e， a、 f 永远是四十五度， 然后给我们四个结论，请你判断正确是哪一个。这是一道非常典型的绊脚题，这道题的通法是， 由于这个角为四十五度，角一加角二也是四十五。那么处理的时候，为了使一和二在一起，利用这四十五的条件，我们选择把三角形 a、 d， f 旋转九十度，使得 a d 与 ab 重合，那么 af 就 到这个位置，由于 af 它是九十度， 然后我们转到这个位置的时候， abh 这个值呢，这个角也是九十，所以你转过来，它是在同一条直线上的，延长它交与 h 点，这两三角形就是前后相等。那么我们来分析。第一步， 角一转过来之后和角三相等，所以我们发现角二加角三等于角 h a e 是 等于四十五度的， h a e 四十五度，角 e f 四十五度，在旋转前后， a e 啊，是公共边， 我们的 af 呢，它是等于 a h 的， 所以这样一来呢，我们能够得到三角形，我这个顺序写的不太好啊，但是呢，它的逻辑是这样， a h、 e 全等于三角形， a f e， 方法呢，是边角边。 那么如此一来，我们就得到这个 a h e 就 等于 afe 等于 afd， 因为 a h d 啊， a h d 等于角 afe， 它是等于角 afd 的， 这个角等于这个角，它让它转过来相等，所以 d 的是对的。 第三步，我们发现这个 ef， 大家看 ef 的 边长，根据全等是有 h e 相等的， 但是这个 h e 呢，有两部分，一个是 h b， 一个是 b g， h b 又等于 df， 所以 它等于 h b 加上 b e， h b 本身等于 df 啊，所以加上 b e， 所以呢，这个二也是对的。 第三个问题就是三角形 ecf 的 周长有二可值， b e 加 d f 就 等于 e f， 这样一来，三角形 ecf 的 这个周长呢，是永远等于边长的二倍，其实这是一个结论，大家要务必掌握的，所以长度为四，这是对的啊。 第三步说 aef 的 面积啊，它的二倍是等于正方形的，我们不妨利用这个面积为 s 一， a b e 为 s 一， 令它为 s 二，这个为 s 三， 大家根据这个全懂。这个 s 三和这个 a h b 跟 a d f 都是一样的，所以 s 二的面积是由 s 三加上 s 一 构成的。那么这样一来， aef 的 二倍就是两倍， s 二， 它其实就是 s 一 加上 s 二加 s 三而已。一加二加三，大家发现它比正方形面积还少一部分啊，所以它要小于正方形的面积，也就是说这个四呢，它是错的啊，本题选 c。

第十一题，哎呀，这个题考得超级好，超级好，它把我们的十字架模型和什么和将军印马模型结合到了一起。好，我们来一起看一下这个题目吧！在边长为六的一个正方形 a、 b、 c， d 中 e、 f 呢，分别是我们边上的动点，并且满足 a、 e 是 等于 b、 f 哦，这两条边相等。 当你发现这两条边相等的时候，你有没有瞬间反体验到这两个三角形什么关系啊？一定是全等的。为啥呢？因为 a、 e 等于 b、 f， 它的边长 a， d 又等于 ab， 再加上大家都有一个直角 o 了， 边角边，这两个三角形必然全等。那全等之后有什么用呢？感受一下，我们其实刚才已经挣了好几个，像这个第四题里面是不是挣全等？挣全等他必然有相等是吧？挣到全等必然有什么？垂直等等等等，是不是？那这个题目中你看看一下。 哎，正方形中特别要小心的这个十字架模型，这个全等之后，角一必然等于角二，而根据题目，角一加角三等于九十度吧，这是正方形的一个角，是直角，而角又等于角三，所以角二加角三是不是也是九十度啊？从而都能得到这是个直角啊，原来他是个直角啊，直角啊！ 好，题目，又告诉我们， m 是 什么？是 d f 的 中点， m 是 d f 的 中点。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能看得懂吗？好，紧接着下面又出现一个点 点， g 是 边， ab 上一点哦， g 是 ab 边上的一点， g 既然是 ab 边上一点，并且告诉我们， ag 等于两倍的 bg， ag 等于两倍的 bg， 哎呀，你告诉我 g 是 动点还是定点？ 哎呀，太明显了，它一定是一个定点，为什么？因为它的边长是六，已经明确的告诉我们了，这只整个是六，这一条，这个是六，这个还有三两倍，它不就二，不就四吗？所以 g 它这个固定的点，它根本就不动，那么这个地方唯一的动点就是谁呀？就是我们的 f 点嘛， 对不对？当然 f 点随着 f 点的运动，这个 m 也会运动的，这个 o 也会运动，但是不重要啊，你看最后求什么？求 o m 加二分之一 f g o f g， 嗯，我们知道 o m 是 等于它的一半。好，所以此时此刻我能不能把二分之一提取出来，所以看的是题目。首先不管三七二十一，把二分之一提取出来， 提取出来之后就会出现两倍的 o m 加上 f g 吧。而两倍的 o m 是 谁？要根据我们刚刚所学的直角三角形边中线等于斜边的一半，所以两倍的 o m， 那 不就等于 df 吗？所以这题目就变成了二分之一的谁？ df 加上 f g， 哎呀， d f 加 f g， 这不是将军一马吗？ d f 加 f g 点和 g 点都是固定点， f 点是在 b c 上的一个动点。哦，那么在 b c 上找一个点 f， 使得 f g 加 d f 最小。哎呀，这谁不会， 太简单，太简单了是不是？这个是二标一下，好，那么这个时候将军一马的问题怎么处理的呢？哎，这就是我们所说的一个叫叫小哦何小易吧。何小易这个讲过很多遍的一个底层逻辑了， 和小异的核心点在异，这个异字什么意思呢？就是求两条线段和的最小值叫和小，那么核心点就是把这两条线段变成动点轨迹的异侧哦，你看 这个点 f 是 在这场运动，所以 bc 是 这条动点 f 的 轨迹，要把这个 d f 和 c g f 目前在这条动点轨迹。动点 f 点是不是在 bc 上运动，所以 bc 就是 动点的轨迹 噢，动点的运动轨迹在上面运动好，此时这两条线段却是动点轨迹的同侧，我现在要把它变成 e 侧，核心点就这个 e， 怎么变成 e 呢？做对称呀，当然你可以做 g 点的对称 g 撇点，你也可以做 d 点的做对称，叫 d 撇点，这个就看你自己的心情了。杨老师一般喜欢省点笔油，省点笔墨，喜欢做短的那个 啊，我就省点笔墨，是吧，我这个笔能多写几次呢？好，那这时候我把它做一个点击关于 b 点的一个对称点，给他找到，叫 g 撇点， 可以吧？那么一旦我做出这个 g 撇点之后啊，这是个 g 撇点，那我们此时通过观察，我们很快就发现了， 无论你 f 在 哪里，我们的 g f 是 不是永远等于 g 撇 f 啊？所以这题目瞬间就变成了，求什么？求二分之一， d f 加上 f g 撇， 同学们，你感受一下， d f 加 f g 撇什么时候最小？这谁不会？太简单了，什么时候最小？三点共线的时候最小呀，对不对？所以这时候我相信你们都很轻松很自信的能写出来啊。最小值就这，是不是那么对称，这个是二，这个也是二吧， 能看懂吗？这是二，这是二吧。正方形的边长是六哦，这个是六，对不对？所以这是个六，这是个几 啊？这个边长也六，加个二是八，所以很快 d g 的 d g 撇就是十吧，所以正确答案这个东西就大于等于二分之一的谁呢？二分之一 d g 撇，而 d g 撇是几啊？是十，所以就等于写下来十的一半是五，所以它的最小值选什么？选 boy， 看得懂吗？好，最后我们来总结一下这个题目。首先我们在正方形当中，当你看到这种哎相等的边出现的时候，在正方形出现这种相互看着像垂直的样子，你就可以去验证了它到底垂不垂直。就是要第一步要小心我们题目中的 十字架，正方形中的十字架，正方形中的十字架，就是你看到这个图的时候，你要有一个条件反射，不管它垂不垂直，你都要去验证这件事情。 第二件事情要求和的最小值，你的核心思想就是把它转化为动点轨迹的预测，是吧？这个是我们最重要的，当然这就是我们，其实就是我们解决将军一马问题的一个核心思想吗？如果这个核心思想你弄得明明白白，这个题目就很轻松拿捏。

八下数学最难的二十一到几何最直，全部吃透，逆袭班级前三，八下几何最直二十一题思路一，一个洞点求两条线段的和作为一个对称点。 思路二，两个洞点求几条线段的和做两个对称点。 思路三，两个洞点求两条线段的和做一个对称点。结合垂线段最短。 思路五，两个洞点求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短。 思路七，胡不归问题转化为将军云马问题完整版分享。

八下数学备考必刷三十道勾股定律与几何辅助线压轴题吃透稳上班级前三！ 完整版零三七打包下载打印！

最短路径问题怎么解决？碰到几何中的特殊角怎么做辅助线？一长串带根号的带竖式求最直，怎么用竖形结合？一眼破题八下。第一次月考想拿高分，根本不在于死磕压轴大题，而在于你 能否看透这几个中档题的必考陷阱。这期视频多吃透一道你的卷面就能多拿五分，在评论区打出一定高分。准备好你的草稿纸，我们直接开讲。先来看我们的第一个题型，关于最简二次根式的一个定义， 那我们先来复习一下呗，什么叫最减二次根式呢？对吧？大家还记得我们的概念或者说定义吗？我们来给大家总结一下哈，最减二次根式呢，必须要满足两个条件对不对？我们来复习一下。首先，被开方数你必须要不含有分母。 其次呢，你的被开方数不能含有开的进的因素或者因素。那我们依次来看一下呗。首先，第一个负根号七，这个数很明显 呃，他已经开不进了呀，对不对？根号期已经是最减了呀，所以很明显第一个正确。再来看第二个根号下九分之一，这个时候他能不能继续化减呢？很明显可以的呀，因为三分之一的平方不就是九分之一吗？所以他可以继续化减，第二个他就不是最减的了哈。再来看第三个 根号下二十七，那这个能不能继续化解呢？咱们来想一下，二十七他是不是可以写成三乘九呢？那不就是根号三，再乘个根号九，根号九不就是三吗？所以他答案不就是三倍的根号三吗？所以他可以继续化解，那他就不是最减二次根式哈，这个不对， 再往下看，再看第四个根号下零点二，这个也是我们得给他化减一下。零点二其实是分数呀，对不对？他可以写成分数的形式吗？他就是五分之一啊，那这个根号下五分之一是最减的形式吗？很明显不是的呀，他被开方数不能含有分母，所以第四个也不对，然后再往下看，根号下 x 方加一， 那这个对不对呢？大家来看一下，在这个里面 x 方加一很明显不能再化减了呀，所以很明显他也是最减的哈，那么对应的我们就是二 b 选项了呗，最减二次根式只有两个哈，这个题型呢，一般在考试里面是必考的，所以说大家一定要搞清楚。 然后我们再往下看，再来看我们第二个题型，关于勾股定律的几何 e。 像这个图呢，也是非常常考的，比如说他告诉我们，在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形， 所有三角形呢，都是直角三角形。如果正方形 abc 的 面积依次是五、九、六，让我们去求正方形 d 的 面积，那我们来想一下哈，正方形 abc 的 面积依次是五、九、六的话，那么这个正方形 a 的 边长就是根号五了呗， 因为正方形的面积很简单吗？对吧？你设边长为 a， 那 它的面积不就是 a 乘吗？对吧，那不就是 a 方吗？所以说你要求边长的话，那不就是 a 方，怎么变成 a 呢？那不就是开个根号吗？对不对？这个很好理解吧，所以说同样的道理，那么正方形 b 的 面积是九，所以说对应的它边长就是三了呗，因为三乘三等于九吗？同样的道理，这个正方形 c， 它的边长就是根号六了，然后我们现在要求正方形 d 的 面积， 说白了咱们就是要求一下边长吗？边长有了面积不就有了吗？对不对？所以说问题转换成了求边长， 那么边长的话，咱们这个时候肯定要利用勾股定律吗？因为你看他很明显是在一个直角三角形里面呀，咱们肯定要利用勾股定律来求解呀。那我们来表示一下各边长度，因为 c 的 边长是根号六，所以我们其实求出第一条边了，第一条边是根号六，那么另外一条直角边，这个直角边的长度是多少呢？ 咱们来看一下呗。因为 e 也是一个正方形，所以它是不是就等于对边呢？对边的长度我们是可以通过勾股定律来求解出来的，因为你看这一段是等于根号五，然后这一段呢，是等于三的，就是这个正方形 b 的 边长嘛，所以说这个斜边的长度的话，就是根号下 三的平方，再加上根号五的平方嘛，对不对？也就是根号下九加五，也就是根号十四嘛，所以我们就求解出来了，那对应的这个边长呢，是根号十四，所以说我现在要求这个 d 的 边长的话，那不就是根号下， 你看根号六的平方就是六，根号十四的平方呢，就是十，呃，就是十四，所以就是根号下二十了嘛，也就是二倍的根号五了呗， 因为二十可以写成四乘五吗？对不对？然后四十二的平方，所以说就是二倍的根号五，这个是我们化简出来最终的一个结果，那要求它面积的话，那不就是二倍的根号五，再乘个二倍的根号五吗？对不对？所以说答案是什么，那不就是直接就是四乘五就等于二十吗？所以答案选什么就是我们的 c 选项了呗， 这是咱们标准的一个解析思路哈。当然了，如果说这道题是一道选择题的话，其实你根本没有必要这么完整的就就可以了呀， 因为你想想这个是根号二十对不对？它的面积不就是根号二十再乘根号二十吗？那不就是二十吗？对吧？所以说其实你没有必要去化解，然后再继续去求哈。如果说是大题的话，你肯定要晚上的去写吗？但是选择题的话，咱们能求出答案就可以了。这就是我们的第二题，关于勾股定律的几何意义， 这道题大家自己来看一下，看一下能不能跟上，然后我们继续往下看，再来看我们的第三题，这道题呢，是一个最短路径问题，在我们考试里面也是非常常考，非常高频，非常重要的一个考点哈。 我们来读题来给大家看一下，他告诉我们如图透明的圆柱形容器，然后容器的厚度忽略不计嘛，他说他的高是七厘米，那我们来标一下哈，首先我们知道他的高是七厘米嘛，然后底面周长是三十厘米，在容器内壁，注意是内壁哈，内壁离容器底部二厘米的点壁处， 那就是这一部分，你看这段是长度是二吗？对吧？他说 b 点处有一个泛力，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，注意现在是在外壁哈，也就是你的米粒是在内壁，但是蚂蚁是在外壁，这个容易看混哈，大家一定要注意，这是一个易错点， 那我们知道蚂蚁是在外壁以后，并且它是离容器上沿三厘米的点 a 处，那你看这段它长度是三，对不对？ 那么问我们这个蚂蚁要吃到饭粒需要爬行的最短路径的长是多少？那你想蚂蚁他肯定得先从外壁翻到内壁，然后再爬到这个壁点吗？对吧？那他的最短路径怎么去解决呢？ 其实他的解析思路也是非常固定的呀，对于最短路径问题，咱们的解析思路不就是你看把这个容器给他展开吗？对不对？我们直接展开这个，对呢？就是，呃，这个就是他对的一个解析思路哈。 那这里我们展开的话，大家来想，假如说我从我从这一块切一刀，然后我给他展开，那么问题在于他展开图长什么样子呢？大家能不能画出他这个展开图？这里的话，即使有些同学容易出错，他会怎么去画呢？就是直接把这个圆柱全部展开，然后呢？他说，哎，那 a 点就是在这里啊， 这样去想的话，对不对呢？就是他把这个圆柱全部展开，你看就直接从这里，呃，你看切一刀，然后把这个直接全部展开，然后就长这样子， a 点在这里，这样去画的话，对不对呢？大家可以在弹幕里打一下，这样去画对不对？ 其实很明显他是不对的，因为你这样展开以后，你一定要注意一个点哈，你看这个 b 是 在这边的， a 是 在这边的，你要全部展开以后，那这个 a 的 话，他应该是在这呀，对不对？ 大家来思考一下，你看你，你如果说实在想不清楚的话，你可以自己卷一个圆柱，然后你在上面标两个点，然后你自己展开，你就能想清楚了， 因为他俩你看很明显，他俩又不是重合的吗？对不对？ a 点如果说和 b 点重合，比如说 a 点在这里的话，那么展开以后你才会在这里哈，这两个才是一一对应的，大家能理解吗？这个就考察咱们的一个想象能力了哈，大家一定要自己去想一下， 所以说这道题咱们如果说想去解决的话，一定要想清楚你是怎么去进行展开，千万不要划错了哈，这道题还是非常容易出错的。所以说其实咱们现在如果说想研究从 a 点到 b 点的话，其实你展一半就行了，就是你展开一半就行了， 那如果说完整的要给大家讲一下的话，我们还是全部给它展开哈，其实展开一半就行了，但是为了给大家讲的完整一点吧，我们就全部给它展开， 你看展开完以后，咱们得到了一个矩形，对不对？然后我们再画 a 点的时候， a 点呢？他应该是在这个矩形，你看我在正中间，这里来一条线，呃，我们在这里正中间来一条线，对不对？画的这个矩形有点歪歪斜斜的了，我们重新来给大家画一下哈，你看横着来一条线， 下面这里也横着来一条，然后这里竖着再来一条，大概画了一个矩形嘛，对不对？然后正中间来了一道，然后 a 点是在这里， a 点距离上方呢是三， b 点距离下方呢是二，你看我们大致画出来了，对不对？ 然后这里有一个易错点哈，就是它的最短路径呢，肯定不是说我直接把 a 和 b 连接起来，因为你要注意一个点，就是咱们的这个蚂蚁是在外臂，但是这个米粒是在内臂啊，对不对？所以说你这个蚂蚁你得先翻过去嘛，对吧？那这个时候怎么翻呢？ 又有同学可能出错了，有些同学可能会说，哎，那我要上去的话，肯定是，那我肯定是直着上去，就是你看在这个图里面的话，就是这样，你看我直接直着上去，我直接垂直上去爬到最顶端，那我这样肯定是， 呃，肯定是，我这个距离肯定是最短的嘛，然后我这一段距离是最短的话，然后我从这个，你看我从这个顶端到 b 点的话，那我直接连接起来呗， 这就是这两段的一个和呀，有些同学可能会这么想，这么想的话，对不对呢？大家来思考一下，就是他把两段分别拆开了，求一下第一段的最小，再求一下第二段的最小，那这样对不对呢？大家也可以在弹幕里打一下，这样对不对？ 其实很明显也是不对的，因为你现在要求的是他在外臂走的路程，加上他在内臂走的路程和的最小， 那不，那他不一定说，哎，你两个分别取最小，那最终的结果就一定最小了，他不一定是这样的哈。而且我们大家之前你学过将军以马模型，对不对？其实在这道题目里面，你看哈，他肯定是先爬到 顶端，然后从顶端，再从再从内壁，你看再从内壁再爬到 b 点吗？对吧？现在问题就在于他如果说想爬上顶端的话，那他顶端要爬到哪个点呢？对不对？也就是那对应到这个展开图的话，那就是这个，比如说这个是 p 点的话， 那么这个屁点他应该走到哪里呢？大家来思考一下。你看这个屁点就是他顶端的要走到的一个点，你看从 a 点先走到，呃，先走到屁点，就是先走到这个圆柱的上端，然后再从上端翻到内壁嘛，然后再从屁点走到 b 点。现在问题来了， 那他说白了不就是 ab 是 两个定点，屁是一个动点，那这不就是两定一动问题吗？而且还要去求线段和的最小，大家能不能想到他考察的是哪一个模型？大家可以在评论区打一下哈， 很明显这不就是咱们之前学过的将军驿马模型吗？对吧？所以说其实我们对应的解析思路应该是我们要呃要做对称，比如说我们把 a 点对称上去，你看我得到一个 a 撇，然后我的解析思路应该是我直接把 a 撇和 b 点连接起来吗？对吧？ 因为两点之间线段最短，所以说你会发现我们要求的这个线段和的最小，它其实交于的是这个点，这个点才是我们想要的那个 p 点， 就是他在外臂的时候，你看他是先斜着跑到上臂的某个点，然后呢再从这个 p 点走到 b 点，这样的时候 a p 加上 p， b 的 值才是最小的。所以说不是说大家简单的去想 a， 我 让他第一段最小，哎，然后我再让他第二段最小，不是这样的哈，咱们还是要给他，你看加到一块，然后我们一起来求哈核心利用的是咱们的将军仪马模型，那这个时候我们思路已经很清晰了，那我们就来进行求 a 撇 b 的 长度呢？ 那咱们就直接构造直角三角形来进行勾股定律嘛，你看在这个直角三角形里面，这段是多少呢？大家来想，他说底面周长是三十厘米，那就是展开以后，那这个长度是三十嘛？然后我现在这个 a 点所在的这条线呢，它很明显是这个矩形的一半嘛，所以说这段就是十五了， 那对应的这段呢？这段比如说这个点是 m 点的话，那么 a 撇 m 呢？我们现在知道上面对称过去以后，这个是三嘛，对吧？然后他说这个高为七，然后这段是二，那就说明这段就是七减二，那就是五了呗，对吧？然后五加三就是八呀， 所以说它其实是呃根号下十五的平方再加上八的平方嘛，对不对？大家可以来计算一下， 十五的平方呢，是二百二十五，这些数大家可以记一下哈，你看二百二十五再加上八的平方呢，是六十四吗？对不对？那我们加起来呢？你看哈，五加四等于九，六加二十八，那最终就是二百八十九了呗，二百八十九是谁的平方呢？对不对？我们要开根号下二百八十九， 这个大家可以自己去试一下哈，它很明显十七的平方是等于二百八十九的，所以答案选什么，很明显就是我们的 c 选项了呗，对不对？你看这道题我们是不是就做出来了，大家看一下，看一下自己能不能看明白这道题呢？ 而这道题你看它真正的价值，其实根本不是说我能不能算出这个最终的答案。十七厘米，这个不重要，重要的是什么？重要的是老师现在给你在讲的他背后对应的一个底层的解析思路。首先第一点，最短路径问题，他要通过展开， 我们要转成平面图来进行求解。其次，你要知道将军以马模型就是对于这种两定一动线段和的最小，我们要用将军以马模型，对不对？咱们要学的是这个底层的这个解析思路，底层的这个方法论。 所以说，呃，那基于这一点，为什么很多同学咱们平时一上课听得懂，但是你一道做题拿笔就蒙了呢？为什么你错过的题反反复复错，你稍微换个包装你就不会做了呢？其实根本原因不在于你刷题刷的太少，也不是因为你脑子笨，而是你永远停留在就题解题的一个浅层， 你总是在纠结这道题我有没有做对，你没有建立起举一反三的类似这些解析思路的一个模型库。解析思路库。所以说，如果说你现在成绩死活卡在瓶颈期，你靠自己怎么都突破不了的话，那么你不要再低效的死磕了，你可以直接通过这里加我， 把你最近刚考完的一张卷子以及你的成绩发过来，我直接帮你做一次最深度的试卷分析，揪出你思维上的致命漏洞，带着你的问题，你直接来找我。 ok， 那 我们继续再来看下一个特别容易踩坑的一个题型了哈，大家再来看下面这道题 题型四，它涉及到的是一个碰到特殊角，我们如何去做辅助线？大家来读一下这道题，它告诉我们如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 是 一百三十五度， 其实一百三十五度就是一个特殊的角了呀，对不对？除了三十度、四十五度以及六十度，一百三十五也是一个很特殊的角，大家需要去记住，因为一百三十五度，它对应的它不就是四十五度吗？ 对不对？你直接找他的补角，那他补角不就是四十五度吗？所以说碰到一百三十五度，咱们常见的我们的一个解析思路是什么？你看是不是每道题老师都会给你总结对应的一个解析思路呢？这个才是你应该去学的一个模型库，思路库哈。 那么对应的他的解析思路就是，我去，呃，做延长线，给大家来总结一下，就是我去做延长线，我来构造 它的一个补角。比如说在这道题目里面，很明显我读题读到这里的时候，我的辅助线应该直接做出来，就是我直接延长 b a， 你 看我延长 b a 以后，我是不是就得到一个四十五度的角了呢？对吧？ 然后我得到四十五度，四十五度的角，我是为了什么？我们学了勾股定律了呀，那肯定是利用啊，肯定是为了构造直角三角形呗，对吧？所以说我们构造出这个补角以后，咱们要继续再往下，再往下去构造， 怎么构造呢？我就是要去做垂直，我要去构造直角三角形，大家能理解这个整体的一个解析思路吗？所以说我现在应该过 c 点，你看我应该往这里做一条垂线， 甚至这道题我们还不知道它是求什么，但是我凭借脑子里的直觉，我凭借我之前学过的一些解析思路，你就能快速把这道题，你把它的辅助线来做出来，那对应的这个点是什么？那咱们假设这个点是 m 点吧，对吧？那现在它给我们的一些值，我们继续往下读题哈，它告诉我们 ab 是 七倍的根号二， ac 呢？它是十七，然后让我们去求 bc 的 值是多少？那我们现在你看，这里已经有直角三角形了呀，那我来求一下 am 和 mc 呗。那这个很好去求呀， 因为它是一个等腰直角三角形嘛。 amc 是 一个四十五度的等腰直角三角形，所以 am 的 长度和 mc 的 长度的话，很简单呀。因为等腰直角三角形的三边之比是一比一比根号二了吗？对不对？ 所以说我们现在分别来求一下哈，我们分别来求一下 mb 的 长度以及 mc 的 长度哈， 因为我们求出两个直角边的话，就能放到这个大直角三角形 mbc 里面来求 bc 的 长度了。我们先来求 mb， 它不就是七倍的根号二，再加上个什么呢？二分之十七倍的根号二吗？对吧？那就是二分之十四，再加上十七倍的根号二，那就是二分之三十一倍的根号二吗？ 对不对？我们是不是可以快速表示出来？ mc 的 话，根号二分之十七，那不就是二分之十七倍的根号二吗？两个直角边都有了，我们直接来求斜边呗，对不对？这个时候要求的话，其实你可以先把他们的公共部分拎出来，也就是他们其实都是有二分之根号二的呀，对不对？ 你就把这两个部分全部拎出来呗，这个斜边肯定也是含有二分之根号二的呀，你直接求一下他前面这一部分是啥不就行了吗？那这块这个大家能听懂的话，你就直接这么去做，你听不懂的话你就直接勾股定律，你看根号下这个的平方加上这个的平方，你直接去算也是可以的哈， 那我现在就是分别依次给他们给他们放大，或者说依次给他们缩小，就是等比例的放大或缩小吗？对吧？因为他们都含有二分之根号二吗？对吧？ 那我就全部都提出来，全部都不加上这一块，也完全没有，也完全没有问题哈。那对应的两个直角边呢？那不就是一个是三十一，一个是十七了吗？那不就是根号下三十一的平方再加上十七的平方吗？对吧？大家可以动笔自己去算一下哈，他最终算出来的结果呢？是幺二五零。 幺二五零这个数看起来就挺好挺好去算的嘛，对吧？那我们就来给他开一下根号呗，那我们就先把这个幺二五零我们来给他除一除哈，我们先除个五来试一下嘛，除个五的话二五一十， 然后五五二十五，所以说他其实是五乘个二百五嘛，那不就是二十五乘五再乘十嘛，对吧？然后这个十的话又可以写成二乘五，所以他其实就是我们的一个 写到左边哈，二十五乘个五乘五就是二十五吗？然后再乘个二，那不就是根号下二十五的平方再乘二吗？所以不就是二十五倍的根号二吗？对吧？我们现在求解出来了，然后我们现在求出的这个结果呢，他没有带我们的这个二分之根号二，对不对？所以说我们再乘个 二分之根号二，你看我们最终乘出来以后呢，这个二和两个根号二消掉了，所以就是二十五。所以这道题的答案选什么？很明显就是我们的四 d 选项呗，我们是不是就快速做出来了，对吧？这是我们这道题对的一个解析思路哈。 ok， 我 们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于二次根式有意义的条件，他问我们如果要使这个代数是有意义，那么 x 应该满足什么？那他其实说白了，考察的不就是二次根式吗？对吧？然后这道题呢，他有一个易错点，就是他不仅考察了二次根式有意义的条件， 他还考察了分式有意义的条件呀，对不对？你看这是一个分式呀，所以说我们还要限制上分式， 它什么时候有意义呢？那就是分母不为零呀，也就是 x 减一不等于零嘛，对吧？二次根是什么时候有意义呢？我们要让根号下的那一坨东西大于等于零嘛，对吧？也就是 x 加二大于等于零。我们来化解一下上面这个得到的呢，就是 x 不 等于一。 下面这个化简出来呢，就是 x 大 于等于负二，所以最终的结果应该是 x 大 于等于负二，并且 x 不 等于一，对不对？这是我们第五题哈，它是一个比较简单的一道题，但是呢，容易出错。分式这块呢，千万别忘了哈，这是我们这道题，然后再往下看，再来看我们第六题， 第六题呢，是一道二次根式的化简求值，它在填空题啊，还有我们的大题的前几道题啊，都经常容易去出哈。我们来拿这道题举个例子来看一下， 它告诉我们，已知 a 加 b 等于负十一， a 乘 b 等于五，问我们这个式子的值是多少？那大家来想一下，那我肯定要在这个式子里面尽量去凑出来 a 加 b， 或者说 a 乘 b 嘛，对不对？那这个时候怎么办呢？大家来思考一下，我如何进行化简呢？ 那我总不可能这两个式子连累去求一下 a 的 值，求一下 b 的 值吧，虽然说逻辑上也可以，但是你计算量也太大了吧，肯定不能这样做。 所以说咱们的核心的解析思路还是在这个式子里面，我们去凑出 a 加 b， 或者说 a 乘 b 嘛，对吧？尽量往已知上面去凑，那这个时候大家来看一下哈，在这个根式下面，这里有一个 b， 这里有一个 b， 一个 b 是 在根室外的，一个 b 在 根室内的，那我能不能在根室内出现一个 b 的 平方分之几呢？对吧？ 因为如果说你这里是 b 的 平方的话，那它就可以拎出来了呀，那不就直接消掉了吗？对不对？所以说我们肯定想尽可能的去凑，那我们来给大家凑一下哈，那不就是 b 乘个根号下，你看分母这里，我再乘个 b 的 话，那就是 b 的 平方分之 a 乘 b 了吗？ 然后再加上 a 乘根号下什么呢？这里也是同样的道理啊，我在分母这里尽可能去凑一个 a 的 平方，那就是乘了个 a 呗，所以分子也乘个 a， 那 不就是 a 乘 b 了吗？所以说当你凑到这里的时候，你发现 a， 这个时候我凑出 a 乘 b 了，那这个时候其实看起来好像凑的挺对的，对吧？那接下来往下去做的时候，就有一个易错点了，就是咱们再继续往下化简的时候，那你看 这个，呃，它是什么呢？我们来给大家写的详细一点哈，那不就是根号下 b 方分之一再乘个 a b 吗？对不对？其实也可以写成，你看也直接写成再乘个根号下， 再乘个根号下 a 乘 b 吗？那问题就在于他求我们的算数平方根以后求出来的值是多少呢？如果说你直接写上个 b 分 之一的话，对不对呢？大家可以大家可以在我们弹幕里打一下，我能不能直接化成 b 分 之一呢？ 肯定是不行的，因为你一定要记住哈，咱们这里之前给大家就讲过了，比如说我们现在已知根号下 a 的 平方的话，那么它是等于啥呢？ 它是等于，如果我们的 a 是 大于等于零的，那么它其实是可以直接等于 a 的， 但如果说 a 是 小于零的话，那你它其实是等于负 a 的， 大家能理解吗？ 这是我们二次根是非负性的一个应用，所以说你会发现其实这里都是有很多很多的易错点的， 咱们给大家讲的每道题都是经典的易错题哈，所以说在这道题目里面，大家来想一下，那我是不是得判断一下这个 b 方这里的 b 它的正负呢？对吧？那怎么去判断呢？又涉及到一个解析思路，如何去判断呢？对吧？ 那其实就是借助他的和以及他的积来判断了呗，这个解析思路大家都可以去记一下哈。现在我们知道他的和是负数，乘积是正数，乘积是正数，说明他们是同号的，对不对？那同号的话，要么同正，要么同负呀，因为他俩加起来都是负数，所以说明他们一定是同负的， 大家能理解吗？就是我先从乘积判断，再从加减判断，这个是大家需要去记的一个解析思路哈，所以我们就知道了，那 b 就是 一个负数，所以说这里呢，它应该是等于负 b 分 之一的，也就是 b 乘负 b 分 之一， 然后呢，再乘个根号，下 a 乘 b， 对 吧？然后右边的话，同样的道理， a 乘什么呢？ a 应该乘的是负 a 分 之一，因为 a 也是一个复数，所以后边呢，再乘一个根号，下 a 乘 b。 那 我们来化解一下呗，那不就是负的根号 ab， 再减去根号 ab 吗？那不就是负二倍的根号 ab 吗？ 对，就是负二倍的根号，下五了呗。所以答案答案是什么？那就是负二倍的根号五吗？大家看一下自己能不能跟上。所以说这道题呢，他看起来看似简单，但是他的解析思路呢，还是有一点点需要大家去记，需要你去理解的哈。 ok， 这就是我们的第六题了，然后我们继续往下看，再来看我们最后一道题， 这道题呢，他一般会放在选择或者填空的最后一两道，大家来看一下这个代数式，他要去求最小值，那这个时候怎么去求呢？大家来思考一下。其实很多同学看到这个的时候会完全没有思路，那我们来给大家总结一下哈， 其实看到这个的时候，你就去找它有什么特点，有什么规律，比如说你会发现这个十六它是不是四的平方呢？对吧？所以说你看第一个式子，它是不是写成了根号下一个东西的平方，再加上一个东西的平方的一个形式了呢？对吧？那你在想 你现在学过的这些知识点里面，什么时候会出现根号下一个东西的平方，再加另外一个东西的平方呢？那不就是勾股定律吗？你想想 是不是我们有一个勾股定律叫做 c 等于根号下 a 方加 b 方呢？那你现在这个东西，你看你这个式子像不像勾股定律呢？对吧？那不就是一个直角边是 x 加二，另外一个直角边是四， 然后我现在要求斜边的长度吗？对不对？我们来画一个直角三角形，你看一个 x 加二，一个是四，现在要求这个斜边的长度，比如说我把这个设成 a 的 话，其实它要求的不就是 a 加上另外一个东西的 最小值嘛，对吧？那右边这个我同样的道理呗，既然你左边用勾股定律了，那我右边是不是也要用勾股定律呢？大家来思考一下， x 方减八 x 加二十五，我怎么去凑成一个东西的平方，再加另外一个东西的平方呢？那这里 x 方加八 x， 很 明显我们可以去凑完全平方公式呀，对吧？那我们来凑一下 x 方减，呃，减八 x 的 话，后面如果要加的话，那加上什么呢？大家来思考一下。 那你看这里是八呀，八是什么呢？它是二 a b 嘛，对不对？ a 方加 b 方再加二 a b x， 所以 八的话，它其实是二乘了个 a a， 这里是一嘛，然后又乘了个 b 嘛，对不对？所以二乘一再乘 b 是 等于八的，那 b 很 明显就是四了呗， 所以我们就知道它应该是加了一个四的平方，大家能理解吗？这个如何去凑的话，你就按照我们的完全平方公式完全对比着去凑就行了。就是加了一个四的平方嘛，对吧？或者说，呃，你就你刚才，如果不是， 呃，不适应老师刚才用的那个方法的话，你就去记你们老师给你教的那个口诀，加上什么呢？加上一次项系数一半的平方，那你看 这个是八，对不对？他的一半的话，那不就是八除二不就是四了吗？那不就是加上加上四的平方吗？对不对？所以说你也可以去记一个口诀，就是把他的二次项这里画成一以后，我们加上一次项系数一半的平方哈，也就是加上四的平方，那这个时候他是加了个十六嘛， 那它最终应该加二十五嘛？那还差几了呢？还差一个九呀，对不对？所以再加个九，于是它就变成了 x 减四括起来的平方，再加九，九是三的平方呀，对不对？所以它其实就是根号下 x 减四括起来的平方，再加上三的平方，那你想哈，一个边是 x 减四，另外一个边是三，那对应的斜边，那对应的斜边，你看，不就是我要求的这个斜边的长度吗？那我说斜边是 b 的 话，那不就是，那这一坨不就变成 b 了吗？所以说这道题最终要求的是什么？ 它要求的不就是 a 加 b 的 一个最小值吗？对不对？你看我们用竖形结合的思路，是不是立马给它变简单了？但是现在问题来了， 哎，那我如何把这两个三角形结合到一块呢？对吧？你如果说是孤零零的两个三角形的话，也我也没有办法去求解呀。那这个时候你就去找一下这两个三角形之间有什么关系， 我们怎么做可以把这个 x 消掉，大家一定要注意哈。现在为什么这个题不确定呢？就是因为带了一个 x 呀，所以说我尽可能的要让这两个三角形里面的 x， 它们之间的关系是确定的，大家来思考一下， 这里我们直接来给大家讲思路哈，因为对于这个数形结合的问题，勾股定律和数形结合的问题，他常考的思路其实就是这种，我们直接告诉你方法，然后你记住下次考试大概率你就能搞定哈。这个时候你来看，我们现在先把这个，我们现在先把这个式子给大家写出来哈，它就是 根号下 x 加二扩大的平方，加十六，再加上根号下 x 减四，扩大的平方，再加上三的平方嘛，然后十六的话，我们这里给大家写成四的平方，对不对？现在的话，这两个三角形的直角边，我们主要来研究 x 加二和 x 减四，你发现他俩的话，如果直接做加法的话， 好像还是带 x 的， 但是如果做减法的话就能消掉了呀，对不对？那既然能做减法的话，可以消掉，呃，那我能不能试着给它改编一下呢？比如说这个 x 减四，我能不能写成四减 x 呢？ 因为如果我写成四减 x 的 话，那它俩可以不用做减法，我可以直接做加法呀，对不对？很明显是可以改编的呀，因为你是平方嘛，对吧？所以你里面怎么写都都没有关系，你是 x 减四还是四减 x， 都可以。所以说我们现在把它写成这个形式，你看我转，我转换成这个形式以后， 它的这个直角边是 x 加二，这个里面的某一条直角边是四减 x， 然后我发现 x 加二，再加上四减 x， 大家来加一下，它是不是等于六的呢？ 对不对？所以说我们现在可以构造一条长度为六的一个线段，你看，比如说这个线段长度为六的话， 它一条直角边是 x 加二，另外一个是四减 x， 那 对应的，那你就这么随便去取呗。比如说这个是 x 加二，这个是四减 x， 反正你想要的那个点就是在这个线段上任取，对不对？然后左边是一个，右边是一个，比如说左边是 x 加二，右边是四减 x， 很明显是没有问题的呀，对不对？就是一个动点，在这个线段线段上面不断的去动嘛，对吧？然后左边这个呢，它是 x 加二和四， 它是两条直角边分别对应的是这个嘛？那我们你看，我们随便画一个，比如说这个是四嘛，对吧？然后，呃，这块是四减 x 和三，那我们这样来画 我，我们这里一定要注意哈，咱们要尽量给他们画到上下两侧，为啥呢？因为为了和咱们的将军一把模型结合到一块哈，所以说这个时候我们把图画出来以后，大家来看，其实思路已经很清晰了，这个是四，这个是三，对不对？我们要求这段，比如说这个是 a， 这个是 b， 这个是 c 的 话，我们要求的其实就是 ab 加 bc 的 一个最小值吗？你看求线段和的最小，而 b 点在哪里呢？ b 点可以在这个上面随便去动呀，对不对？反正左边代表的是 x 加，而右边代表的就是四减 x 了呗，你这个点可以任意去动呀，那我现在要求最小值的话，那两点之间线段最短呀。所以说我直接你看， 我们就直接把这些全部删掉，然后我们直接把咱们这个 c 点还有 a 点连接起来，不就行了吗？对吧？ 然后跟这个线段的交线呢？就是咱们的 b 点，我们现在要求的最小值其实就是 a c 的 长度呗。那 a c 的 长度的话，咱们直接构造直角三角形，你来看下面这一段，那对应的就是六了呗，对吧？ 因为上面这一段，你看上面这一段，它长度不就是六吗？然后我们知道这段是三，这段是十四，那三加四就是七了呗。一个七一个六，要求我们的长度的话，那就是根号下 呃，六的平方，再加上七的平方了呗，那就是三十六，再加上四十九，那三十六加四十九的话，你看这个是十五，那这个是八，那就是根号下八十五了呗。你看 是不是就求解出我们最终的一个结果了？这就是第七道题最终对应的一个解析思路哈，所以说你像这个新思路的话，大家之前没有学过的，一定要把这个思路好好的记清楚，这样的话，其实你现在跟着老师学过了，那么你后面再去做题的话， 大概率你自己就能想到这个思路了，说白了就是只要有人教你，你后面做题，大概率你就能用上哈。 ok， 那 以上就是咱们这次月考必考的几个核心题型了，但是老师说实话，你光会做这几道题，顶多只能让你多考几分哈。咱们初中数学真正的分水岭，拼的根本不是你刷了多少道题， 而是你底层的一个学习逻辑。很多人不知道，我以前数学也是不及格的一个底子，我之所以能一路逆袭到多次满分，其实靠的是一段极度理性的数学抢分系统，因为题海战术救不了低分，但对的方法可以， 老师我把我自己从不及格到满分的所有底层的学习方法以及避坑指南，全部整理成了一节内部逆袭方法课。大家想彻底打通数学思维的你，想快速提高个三四十分的，你可以通过这里加我， 这节课我免费发给你，花半个小时看完就能立刻停止你的低效无效努力。 ok， 那 以上就是我们这节课的全部内容了，大家千万别忘了三连加关注，后续老师会继续给大家分享我们中考的一些必考题型以及高频踩坑点。

八、下数学最难的十五个几何模型全部掌握，稳拿班级前三！一、平行线加角平分线。三、斜边上的中线模型。七、中点四边形模型。八、十字架模型。 十五记长模型最短路径问题完整版分享！

答题一下册一共就两大难点，一个是旋转，还有一个是平行四边形。那关于平移旋转这一类题呢，是很多同学的拦路虎，同学们只要一看到这种动态的旋转的东西， 就被吓得不行。那其实这一类题呢，你只要看透了他的旋转的本质，会构造这个旋转情况下的这个图形的话， 你是可以直接秒杀出来这种难题里面的第二问和第三问的，能帮你轻松拿分。接下来呢，老师就以这道题为例，给同学们讲清楚它旋转的本质到底是什么，我们该如何去构图呢？那关于这一类题，老师也给大家整理了历年的一些考试真题， 如果咱们孩子做这类题，经常最后两问得不到分，一定要把它打印出来，结合着老师上课所讲课的方法啊，直接去秒杀这一类的大题啊。来看一下这道题，他给了一个定义，给了个等补四边形。什么是等补四边形呢个邻边相等，并且呢有一组对角互补的凸四边形，我们就给它称之为是 等补四边形。这个概念我们读完了之后，脑子里有个印象，等会儿在题目里面，我们就可以直接去用这组等补四边形来看第三问啊。第三问呢，就是三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形， 在 b、 c 上任意取一个点 d， 然后连接 a、 d， 把三角形 a、 b、 d 绕着点 a 逆时针旋转六十度，然后让 a、 b 和 a、 c 重合。根据题目上给的条件，根据等补四边形的定义，判断一下 a、 d、 c、 e 是 否是一个等补四边形。 这是一个什么？是不是一个三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 e 应该是全等的， 所以这个地方它不仅仅是旋转，是不也可以理解成我们七年你所学过的叫什么？是不是旋转型的全能，手拉手型的全能是不一个意思，对不对？好，那那 a、 d、 c、 e 是 不是一个等幅四边形？观察里面的条件够不够就行了？邻边相等，有没有邻边相等？ 三角形都全等了，那里面 a、 d 和 a、 e 的 这个边的长度是不自然而然是全等相等的。好，那有没有对角互补？也有，因为因为全等，所以里面的 a、 d、 b 和这个 a、 d、 c 这两个角度相等，而这边又是一个邻补角， 它两个互补，那也就意味着里面的 a、 e、 c 这个角度和 a、 d、 c 这两个角度是不是直接就是互补？它俩是不是称之为对角？所以对角互补直接就出结果，这个地方它是一个等补四边形，所以第一问其实相对来说比较好，拿出来直接通过旋转来看来看这个图形就可以了。来第二次问，他说 在这个等补四边形 a、 b、 c、 d 当中告诉我们了 a、 b、 c、 d 是 一个等补四边形，还知道 ab 等于 bc， 一个边相等边形，还知道这个角度和这个角度，这两个角度它都是九十度。问我们四边形 a、 b、 c、 d 面积等于八，让我们求求 b、 d 的 长， b、 d 怎么求？ b、 d 在 这上， b、 d 怎么来求呢？ b、 d 如何来求？给了四边形的面积，这个四边形可以理解成里面是不是有两个直角三角形？ 给了两个直角三角形，我们也不知道其中任何一个边的长度，那如何去解决这个问题？所以这个题第二小问，如果我们没有思路，一定要考虑考虑这个题， 从前往后刚才我们做了一些什么事，其实也可以理解成这类题，他也可以理解成是一个类比探究的题。第一问里面我们在做什么？我们在通过旋转是不是正了一组四边形，是一个等补四边形？第二问是告诉我们他是一个等补四边形，那我们其实由着第一问的 思路，第一问他不是白给我们的，不是随意给我们出了一个题，就是为了给后面的第二问和第三问做铺垫用的。这里面有一个旋转型的全等，那这个图里面我们是不是也可以根据这个等补四边形倒着去推倒着去构造这样一组旋转型的全等？可以的， 旋转型的全等其实也就相当于我们刚才是不是在第一问里面说了是不是相当于一个手拉手，那手拉手的基本模型是什么？ 共顶点、双等腰，夹角相等，那所以我就在第二个图里面去找手拉手形的基本基本特征，共顶点，双等腰有没有共顶点？这个里面共的这个顶点你一定能看得出来，一定是谁，一定是 d， 这个点 一定是 b 这个点，那双等腰里面已经给了 b， a 等于 bc 一 组等腰已经有了，我接下来是不是只需要再构造第二组就 ok 了？而让我们求的是 b d 的 长，而 b d 刚好就在这，所以我们的第二组我在构造的时候，就可以直接去 以 b 这个点为为为共顶点的那个顶点，画出来一个和 b、 d 一 样长的一个线段，并且夹角相等， a、 b、 c 的 角度一定也是九十，好让它在这 不是往这个方向给他构造，在这边构造一个九十度，让他和谁和 b、 d 这个线段是不是让他俩一样长就行了？而这个题我一旦构造出来之后，你会发现一个问题，里面这个 b、 a、 d 这个三角形和下面这个 b， 比如说这边是 e 吧、 e 吧和 b、 e、 c 这个三角形，这两个三角形一定是什么关系？一定是一组全等的三全等的这个三角形一定是一组全等三角形。因为九十度九十度，所以这个角和这个角相等，这个地方是否构造出来的啊？构造出来这组全等有什么用？构造出来这组全等之后，我们就会发现一个问题，这个角度 它和下面这个钝角，也就是这个 bce 这个角度，它俩一定是相等的。而刚才去原始图形 a、 b、 c、 d 当中，对角互补角 a、 b、 c 和 a、 d、 c 它们两个九十度是互补的，那剩余的两个角度也是互补的，这个角度和这个 b、 c、 d 它们两个是这个叉角和这个点角，它俩是不是也是互补的？那它们两个互补也就意味着旁边这个 bce 这个角度和 bcd 互补。其实在这个问里面我们就挣出来了一个东西是什么？是这个 dce， 这三个点应该是处于一个共线的关系，我只要构造出来这样一一个 bce 这个线段，那么我就能推出来 dce 是 共线的，求出来它是共线有啥用呢？ 那我就能发现，把这个三角形跟这个三角形，我是不可以把它俩替换一下，那 a、 b、 c 这个 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积，你会发现一旦换到这两个三角形之后，它其实就相当于是里面三角形 b、 e、 d 的 这个面积。而 b、 e、 d 这个三角形是一个什么图形？ 他是一个等腰直角三角形，我构造出来的等腰直角三角形，所以我就可以直接去根据他的面积是八，是不求出来直角边的长度，直角边的长度应该等于他是几 b、 d 的 长，在这一种情况下是不直接求出来，结果是不就等于四？ 所以你看其实他还是一道类比探究。我们要根据第一问的这个图，第一问的这个思路用在第二门里面，只不过第二门我是干什么，我是不是倒着去用，倒着去推的 这个过程很重要。来看第三小问，他说在四边形 a、 b、 c、 d 当中，这个题还是给了 a、 b 等于 b、 c、 a、 b 等于 b、 c 知道 b、 d 等于四，知道角， a 加这个角 c 等于一百八十度。 让我们求 a、 b、 c、 d 的 面积的最大值是什么？咱先不说最大值，先说求 a、 b、 c、 d 的 面积，你就会发现这个题里面的第二问和第三问是不是也是非常类似的关系？无非是第二问给了面积，让你去求 b、 d， 第三问给了 b、 d， 是 不是让你去求面积的？ 那所以第三问构造图形的时候，在第二问的基础上，我们是不是更容易构造？怎么构造？这个地方是构造了一个这样子的双等腰，那在这边我是不同样的思路，也构造一个双等腰，所以这个地方我 还是要过 b 点再构造一个和 b、 d 一 样长的一个线段，但是注意啊，我构造的时候，因为我要保证夹角相等，所以那个角度是一定要和 a、 b、 c 这个角度是相等的，所以同学们在画的时候一定要注意尽量的把它画的相等一点，比如说在这边这个是 e、 b、 e 和 b、 d 一 样长，其实通过第二问这个地方，我们就可以直接划发生，那把 c、 d 这个线是不是往反向给它延长一下，延长一下之后，它一定和这个 e 点，它们三个点也是共线的关系，我们给他推就行了， 我们先把图形给它画出来推就行，很好推的。怎么推？你看角 a 和这个角 b、 c、 d 它俩是一个互补的关系，而我构造出来了 b、 d 等于 b、 e 的 话，这个边等于这个边，而且还保证夹角相等，那就意味着这两个小角也相等，所以里面全等三角形是不是出来了？ 全等三角形出来了，那也就意味着里面角 a 这个角，它应该和角 b、 c、 e 这两个角度是不应该是相等的， 这个角度和这个角度它俩是相等的。而题目上告诉我们了，角 a 和角 b、 c、 d 相加等于一百八，那也就意味着角 b、 c、 e 和角 b、 c、 d 相加也是一百八。好，直接 d、 c、 e 贡献好它们两个贡献让我们求的是四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 那在这个图形里面，其实就可以转换成是哪个图形的面积是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？三角形 b、 d、 e 的 面积，那 b、 d、 e 在 这个三角形里面，红色的三角形里面，我们现在已知 b、 d 的 长度是四，也知道 b、 e 的 长度是四， 什么情况下最大？那我们接下来就是考虑最大值的这个问题了，什么情况下最大？ b d 的 长度是固定的，位置也是固定的，什么时候最大，是不是就看 b e 所处在处的位置上对不对？那 b、 e 在 什么时候的时候会是一个最大值呢？长度还固定，只能是垂直，也就是 b e 大 概是在这个位置上的时候， 第一大家处在这个位置是垂直的时候才是最大值，所以这个题的最大值直接就出来了啊，四四二分之一，结果是个八，所以这个题最终结果还是个八。

初中数学想在两个小时内拿下一百二十分的题，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要现场想，思路破解，很难做完。给孩子准备这本模型。了解初中几何包含了初中三年所有几何模型，像手拉手模型、将军印马模型、 胡不归模型等，每个模型的结论和条件，辅助线怎么画，证明过程都讲解的清清楚楚。还有典型真题， 从找模型到解析中怎么用这个模型，教孩子一步步完成解析扫码，还有视频讲解，学完再做练习，学练结合才能更好掌握。学会了这些，大体有思路，小题套模型就能轻松答题。家有初中生的抓紧准备一本吧！

嗯，初二几何手拉几何模型哈，较严手拉手啊，手拉手是我们八上经常练的考的一个模型啊，我们八下又重新学一遍。为什么呢？因为我们加入了这个四边形啊，就是出现在这种呃，简单一点的共顶点的四边形，比如说正方形、菱形的这种简单的手拉手哈 啊，包括我们出现在这个共顶点等腰直角三角形当总手拉手，然后，嗯，能构成，利用，能构成一个直角三角形，利用这个勾股定理解哈，这个也能做。然后呢，你看我们这个现在这个手拉手啊， 比如说这是第四道题啊，第四道题就是需要你旋转啊，勾一个等边，旋转勾等边啊，然后呢，还给了你一个角的度数，然后让你求另一个边， 这个度数也好，这个变长也好，这个位置咱整不了，必须通过旋转啊，构成灯边啊，然后，然后正好能能能什么呢？能做一个直角三角形去解 这个就是它的这种空间想象能力是非常的强，然后就非常的难，就是说这个这个难掌握，那么怎么办呢？怎么能能掌握呢？就我这一道题哈，就是我给你整三种方法，你看这么一种，第二种， 第三种就是我给你三种转法，都给你看，你看着这三种转法之后你就有感觉了啊，就是说我知道这个到底是该怎么着转了啊，你就整一种转法的时候你根本就理解不了，那为什么这么整三种全三种方法全给你啊，应该也就这三种方法 你就明白了啊，原来这三种方法都是有一些共性的啊，继续吧，这后面还有更难的。手拉手，还有更难的。

好，看一下这个第九题，这道题呢，咱们要开始讲十字架相关的了，但是说他是十字架呢，但是十字架体现的其实并不多，后面又隐身到哪了，有点翻折的这个意味在了啊，哎，所以他整个还是比较综合在里边 的是吧，甚至你看最后还让你求做了很多垂直，甚至让你求这个折痕啊，或者等等这些的长度啊，哎，所以还是蛮好非常综合的题目啊。首先来看一下前面的引入 十字架都有印象吧，哎，十字架开始隐身了。十字架的本质就类比我们刚在做这个半角模型的时候，永远是不是转，是不是永远都转过去，所以十字架他的标配也永远都是做全等就可以了。所以如果他很特殊在这的话，你是不是直接正他俩全等是不就可以了？ 那如果在半中间，你难道不能把这个三角形给他移到这去正全等吗？你能不能这样移一下是不是？所以你还是去做全等就行了， 听懂意思了吧。所以这两问还需要多说吗？不需要了吧，哎，所以第一个啊， a e 等于 b f， 然后呢，这个记忆是等于 b f 的， 非常简单啊。呃，十字架是我们扬州非常喜欢的一个考点呢，所以大家要重点关注一下啊，初三也很喜欢考的啊。好，那正式开始进入接下来的第一问 啊，正式来第一问了啊，如果将正方形纸片进行翻折，我们当时可是讲过，有点像那个中考第一周教完我们就讲过这道题了，翻折，你为什么不连它呢？你连完之后你不就有垂直，你的十字架不就构造出来了吗？ 看出来了吗？在正方形内部是不是有一个垂直的线？我的已经在这个三角形，那你是不是也得在直角三角形中，所以辅助线非常清晰，我们只要做一下垂直，所以这两个三角形他是不是全等了？ 那么全等来看一下他给的数据啊，边长是十二，这边十三，所以这一小段是不是五？根据全等，那这一段是不是等于五？ 听懂了没？是不是？好，所以这一小段等于五啊？好，那么第二问，在刚刚的情况下，如果，哎，我们还是做垂直啊，但是呢，有一个点变得更特殊了，点 e 变成了 b， c 的 终点， 你都变终点了，那我是不是也变终点了，是不是？咱俩是不是都是终点了，对吧？好，终点之后请你判断一下， dm 和 ad 呢？来回下来第一节课，我们的核心是不是就在讲终点的联想，是不是有三个联想，对不对？哎，有什么呢？是不是有非常中，就八字一全等，是不是有直角三角形变中线？是不是还有中位线？这个题一看， 肯定是没有中位线这一说了，是不是？那应该想什么呢？是没有中位线这一说了，是不是？那你没有想到这个点上吗？ 你有没有想到这个上面去啊，对不对？哎，有终点在这条边上，立马就想到，我为什么不做八字形全等呢？我说终点联想是不是就只有三个？就那三个，顺便还能用一下这个直角三角形斜边，这是数人南门街最爱的一个考点了， 八上开始就非常喜欢考这个直角斜边中线的问题，你可以回忆一下你们的期中考试，当时有个二十六题就考到这个东西了， 所以要大家关注下这个知道吧，直角三角形斜边中线，它就是等于斜边的一半，所以这三段长它都是相等的，所以把这个嗯八字形全等跟我们的这个直角三角斜中啊结合了一下啊，所以这道题 dm 的 就是等于 a d 的 啊， dm 是 等于 ad 的 啊，好，然后呢，第三问来看一下啊，在第二问的条件下做 a h 垂直 dm， 注意是在上一问的条件下呢啊，好，如果 a b 也就是边长等于三，请问 fn 的 长度等于多少？ 咱们来分析一下啊。想求这段长，我们先来构思一下这道题，那么他在这做了下垂直，大家且记住了啊，如果正方形的图很复杂，看似有的时候是让你求长度啊，实际上是要从角去切入的。 我不知道大家有没有关注过这个点，今天我初三也一直在讲这个问题啊，尤其在翻折等等这些的时候，有时候看似是不是要强求某一条边的长度，但这要求某一条边你是要借助一些角去等量转化，因为会有很多等腰啊，哎，或者将来我们学相似之后，会有很多相似啊，就可以转化出来了， 所以他请大家千万要记住了，看似球长度一定要留意角度，角和边结合起来去看啊。好，所以来先观察一下吧。好，既然会有很多十字架，所以这里 r 法，九十减 r 法嘛，我该标的，我现在不知道我需要哪个角，我能标的，我尽可能去标是不是？ 好，那标完之后，上一位这个结论得用一下，环环相扣，我们说做大体一定要最忌讳的就是每一位单独去拎出来了，一定是从上一位到下一位是有关系在的，懂了吧，你会发现 这两个长度是相等的来，所以九十减二法，九十减二法说出来了，我这里还有垂直同学们，所以这个角是不是九十减二法？ 哎，好像有一个，这个等腰好像有点感觉了，是不是有个等腰的感觉，是不是？其实我做这道题我可能更快速，因为我刚拿到这道题，我就觉得 这段想求他，我要想求长度，是不是得放勾股定力？记住一点了，再给大家说一个小结论，想求一个长度，在你们县级段来说，首选就是勾股定力，将来学完相似，第二，其次我们要相似，第三呢？所以你想求长度，大概率这道题就是勾股定力了。 我就想，哎，我要 x， 我 要放在这个三角形那边长，有的这个点还是中点，我就缺这一段和这段，我就一眼看，我感觉这段好像就跟他相等，我感觉这段就跟他相等的感觉，所以我一下就借出来这道题了， 连蒙带猜嘛，数学感觉，是不是？所以我的方向很明确，我就是想正他俩相等，所以我就开始表示角了，懂了吧？好，那么来看，哎，确实这段长度跟这段长度的三已经上来了， 那顺便我这个对顶角是不是也过来了，顺便我的内错角这个角是不是也过来九十减二法了？所以咱们这两段确实是相等的， 听懂了没？是不是？好，那这一段二分之三，这段三在这个大大的直角三角形中，二分之三加上 x 的 平方，加上三的平方，所以 x 就 解出来了啊， x 算出来等于四分之三 啊，四分之三啊，这是我们的第三个图思路，有没有听懂，所以下次记住，如果你从边这个单独的角度去切入，你不好切入的时候你能不能考虑下脚的问题，脚可能会给你很多启发的，知道吧，会有些边相等啊，等等啊这些的啊，所以大家要记住这个方向了啊， 你看我比如说我给大家看一下今年九年级，其实每周九年级上都有这种类似的啊，呃，有的题你看啊，随便拿一个题给大家看一下啊， 你比如说像这道题啊，我们虽然是在求一些这个边长，其实都要用到这些角了，看到标了很多角才能去切入的， 听懂了啊，哎，所以有的题看似是在求边，你要几个角你才能去找一些等量关系这些的，记住了啊，哎，所以这个点一定要留意啊，来看一下。接下来又问了啊，所以这个空大家填上四分之三啊，最后一问，其实出的最好的，但这个考点我们讲过几次了， 来看一下正方形好还是做了一下这个垂直给的条件是 a g 加 b g， 寒假时我可是重点强调，我还讲了个中考题给大家，我说当出现这个构造的时候，你千万不要这样去设未知数，我就怕大家这个设 x， 这个是七减 x， 我 不知道你们有没有这样去设， 你一定是不是设两个位数保留他知道这道题要干什么的吗？是吧，跟完全平方公。哎，对啊，还有印象的是不是我说一出这个构造，我说但凡设到九十度，因为直角正方形不是有九十度吗？他就很喜欢跟这个叫什么？跟完全平方公是作结合的，所以你不要设 x 七减 x， 你 就设 ab， 记住了啊。好，那这个 a b 设好之后，空白部分面积是十九，想求 a b， 那 是不是想求整个大的面积求出来开方是不就行了？那你看啊，大的面积这段长度是不是根号下 a 方加 b 方，所以整个四边形的面积是不是等于 a 方加 b 方， 这是不是等于总面积？是不是等于总的面积？是不是？好，然后它就等于什么呢？这个面积我能不能拆成阴影部分的面积来告诉我这两个阴影部分面积什么关系？ 对，是相等了，因为十字架刚才正过都挖掉这块是不就行了，对不对？好，所以先看阴影部分面积，每一个都是二分之 a， b 是 不是乘二就行了，所以这个是阴影部分的面积， 再加上空白的十九啊，空白是不是十九啊？对了，他说空白的是十九，所以你不就化解下这个式子， a 方加 b 方，然后等于 ab 加十九吗？ 然后已知的条件是不是 a 加 b 等于七啊？这两个式子你是不是很想把 a 方加 b 方求出来？所以这个式子是不是要保留 a 方加 b 方，那这个 a 乘 b 是 不是要被换掉？ 哎呀，想换也很好换啊，来，你看你给的是不是 a 加 b， 来， a 加 b 的 平方减去这个 a 方加 b 方，呃，减去 a 方加平方，再除以二是不就可以了？ 会凑吧，会不会凑？是不是？你肯定要把 ab 去掉，因为你最终保留的是要求 a 方加 b 方的，你要保留这个，你肯定要把其他的去掉嘛，是不是？好？然后这个式子里面唯一不知道的就是 a 方加 b 方了， 因为 a 加 b 是 知道的嘛，是不是？所以 a 方加 b 方把它当成一个整体去求解它，这么一求呢，等于二十九，所以这道题就是根号二十九就出来了， 因为 a 方加 b 方呢，它相当于是个整面积嘛，你要求边长的话是要开放一下的啊，所以这个答案就是根号二十九。这道题出的非常好， 非常好啊，就非常全面，对不对？上来先十下的模型，简单先给你描述一下。那你看，哎，那什么时候有这些？这四个相当于全是应用了。 那什么时候用的？哎，翻折是不是也会有垂直？所以翻折也会十字架，对不对啊？那十字架完了之后我还可以结什么呢？哎，我又借个有终点的时候，万一这个点很特殊的时候，万一在终点的位置呢？是不是？哎，我可以继续用， 对吧？啊，那当然我也可以继续求解这些的啊，如果发生一些，哎，再有一些做垂直，能不能去求解呢？我顺便还用了一下勾股定律，那勾股定律我还跟完全平方公式结合了，这个题出的非常好啊，非常好，对不对？