冀教版六年级数学正比例教学设计

六年级今天我们来学这比例拓展。一，观察表格，完成填空。第一题，表中的什么和什么是相关联的量？路程随着什么的变化和变化？我们来看表， 表中有路程和时间这两种量，并且你看，随着时间增加， 路程也增加，所以表中的路程和时间，它是两种相关联的量， 路程会随着时间的变化而变化。第二题，路程与时间两种量中相对应的两个数的比值是几？ 那我们看路程比时间，七比一，十四比二，二十一比三，二十八比四， 三十五比五，七比一等于七，十四比二等于七，二十一比三等于七，二十八比四等于七，三十五比五等于七。那你会发现相对应的两个数， 他们的比值都是七，那这个比值实际上是什么呢？ 路程除以时间，那就是速度，所以这个比值实际上是速度。第三题，因为什么一定，所以路程和时间成什么比例关系？那么看， 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。那如果说这两种量中相对应的两个数， 它的比值要是一定的话，那这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系 就叫做正比例关系。所以因为比值一定，所以路程和时间成正比例关系。

同学们，时光在流逝，风起云涌，阴晴圆缺， 城市在面前，万事万物都处于千变万化之中。人也是这样。 这是一个孩子刚出生时的样子，三岁，六岁，九岁，慢慢长大。从数学的角度看，你能找到变化的量吗？ 听你来，他的身高一直在增长，是的，身高是一个变化的量，还有吗？ 你来，女生，她的年龄也在增长，是的，年龄也是一个变化的量。数学中我们就把这样变化的量叫做变量，我们一起来看。九岁前，年龄在不断 增长，也随着在增加，我们就说 神猫随着年龄的变化而变化。是啊，这组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先说给你的同桌听一听。 ok， 走。好了好了，你来。 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看。高度在不断变化，增加体积呢？ 眼泪多少？如果高度减少，体积也减少，高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度，体积，你来， 高度增，没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米，体积就随着增加 立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五， 一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现。首先我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值。是啊，体积与高度的比值十五是不变的。今天这节课我们就一起来研究变量之间的数量关系。 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 零点五厘米，一点五厘米， 二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这儿的阶梯就越来越 有，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多。哦，是的，还要窄，还要多想象一下，如果间隔无限细分下去，会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了，是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看稻果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬你们越来越会想象了，你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样同向变化的。 变化中我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的？高与体积的比，是的，体积和高度的比值是不变的，我们就说体积与高度是成 正比例，正比的量，它们的关系就是成正比例关系。今天这节课咱们就一起来认识正比，回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？ 首先，然后，最后你会说了吗？ 你来， 首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化。之后我们得出了结论，体积与高度是成正比的量，成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。 首先我们要先找到一组变量啊变量，然后通过算一算，发现它们的比值是 变的。最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系。加油，我们也很熟悉了，这会不会成？

在上课之前呢，我们先一起来看一段小视频，拍摄的是汤老师的上班日常，请同学们用数学的眼光去找一找视频中的小亮点， 上班呢，打卡成功！ 先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化。好，你来说。 老师上班的路程一直在变化，总共是走了一千五百米， 你观察的很仔细。还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？好，你来说。潘老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意好不好？像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量，那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说的真好，请坐，还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少，很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关联的量，像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说， 说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好，那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。 说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试 速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百，第三组就是九分之一千五，把他们约分完之后，也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对路程之间的一致， 那么它们之间的比值就表示速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相对速度，五百 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 汤老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格，谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的，米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，谁来试一试？ 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？听清楚了，好，下面请同学们开始。 哈哈， i i 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们怎么发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃， 然后这，然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于，然后单价就是三天，我们是一定的。 然后我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价，它值三点五，呃，比值也还是一定的。 这是第二个同学，这里他也是用他的那个总价除以它的数量， 呃，这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价，也还是它的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价，一直也还是一定的。 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来也就是总价除以单价。我们说啊，等于它的那个， 呃，除，除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，已知还是一定的。掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习，单上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你爸爸听清楚了没有。好，你来说 这里的三点五表示他的单价同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元，用正比例解决问题。首先我们来复习两道题，下面相关联的两个量，成比例吗？成什么比例关系？ 第一题，单价一定，总价和数量。首先想总价和数量它是两个相关联的量，单价一定，思考怎么求单价？对，总价除以数量等于单价， 当单价一定的时候，那也就是总价与数量的比值一定，两个相关联的量比值一定，那我们就判断这两个量成正比例关系，所以总价和数量成正比例关系。第二题， 速度一定，路程和时间路程和时间是两个相关联的量，速度一定，那怎么求速度呢？ 对，路程除以时间等于速度，当速度一定的时候，那也就是路程和时间的比值一定， 两个相关联的量比值一定，那么这样的两个量就成正比例关系，所以路程和时间成正比例关系。判断两个量是不是成正比例关系，我们只需要看这两个相关联的量的比值是否一定。 看来呀，正比例关系在我们生活中应用非常的广泛。孩子们，那今天呢，我们就学习用正比例来解决生活中的实际问题来看。例五，张阿姨家上个月用了八吨水，水费四十元， 李奶奶家上个月用了十吨水，李奶奶家上个月的水费是多少？首先我们把这些信息用表格来整理，特别的清晰来看，张阿姨家用的水量是八吨，水费四十元。 李奶奶家呢，用了水量十吨水费。不知道那孩子们，这道题该怎么解决呢？ 用我们以前的方法能不能解答？请你按下暂停键，在练习本上试一试吧！一起来分析。张阿姨家用了八吨水，水费四十元，那么四十元除以八吨，能不能求出一吨水的水费，也就是水的单价， 那李奶奶家水的单价是不变的。李奶奶家用的十吨水，单价乘十，是不是李奶奶家的水费，所以四十除以八等于五元，这求的是水的单价。 李奶奶家用的十吨，一吨五元，那十吨呢？对，就是十个五元，这就是李奶奶家用的水费 五十元。在这个题里边，水的单价不变，所以我们先求出水的单价，再根据水的单价求出李奶奶家用的水费。那除了这种方法，还有别的方法吗？孩子们思考一下，能不能用比例来解答呢？大家思考这样的几个问题， 题目中哪两种量是相关联的量，哪种量是不变的量？第二，他们成什么比例关系？ 根据比例关系列出比例。四、试着结比例好了，孩子们用比例来试一试吧！来一起分析一下，题目中哪两种量是相关联的量呢？ 对，一个是水量，一个是水费，两种相关联的量，哪种量是不变的量？水费除以水量，求的是水的单价，那也就是 单价是不变的量。我们知道水费除以水量等于水的单价，那么水的单价是一定的，所以水费和水量成什么关系？对，正比例关系。 那么我们能不能以单价为等量列出比例呢？根据信息，我们知道，张阿姨家的水分除以张阿姨家的水量，就是张阿姨家水的单价。李奶奶家的水分除以李奶奶家的水量，是不是也等于单价？ 那好，以单价为等量，可以列出比例。可是李奶奶家的水费不知道怎么办呢？对，我们可以解 设，李奶奶家上个月的水费是 x 元，所以我们就可以列出比例，四十比八等于 x 比十。接下来我们解比例。 怎么样结比例呢？对，根据比例的基本性质，两内向的积等于两外向的积，所以八 x 等于十乘四十， 两边同时除以八， x 等于十乘四十除以八。为什么我要写成这种分数的形式，孩子们这样便于约分，所以通过约分 x 等于五十，以单价为等量，列出了比例。 除了这种方法，还有别的方法吗？水的单价不变，那李奶奶家用的水量是张阿姨家的几倍，李奶奶家的水费就是张阿姨家的几倍， 所以我们还可以列出这样的比例，十比八等于 x 比四十， 水量的比就等于水费的比。因为单价不变，仍然根据比例的基本性质进行结比例，那八 x 就 等于十乘四十， x 等于十乘四十除以八， 约分 x 等于五十。看来呀，在四个量中，只要告诉其中的三个量，我们就可以用解比例的方法求出另一个量。我们的解答是否正确呢？接下来要进行检验。先看张阿姨家 水分除以水量是不是水的单价，水的单价就是五元。那再看李奶奶家水分五十除以水量十，水的单价也是五元。 单价相等，证明列比例解答是正确的。最后写出答案。答，李奶奶家上个月的水费是五十元。好了，孩子们，我们用以前所学的算术法和现在比例方法都解决了这个问题， 那这两种方法他们有什么不同或者相同点呢？那我们先看第一种方法，算术法，算术法是必须求出这个不变量的具体值是多少才能解决， 再看我们的比例解决方法，以单价为等量，根据数量关系式表示出不变的量 都可以。看来呀，用比例解答，虽然写个解设有点麻烦，但是只要找到左右相对应的量，那么这样的比例 都是正确的。掌握了用比例解决问题的方法来看一道便是练习，王大爷家上个月的水费是六十元，他家上个月用了多少吨水？我们仍然整理信息，王大爷家的水费六十元，他家用的水的吨数。 不知道你能用比例的方法来解决这个问题吗？快在练习本上试一试。我相信呐，这道题一定难不住大家。我们解社，王大爷家上个月用了 x 吨水，根据单价不变，四十除以八表示张阿姨家水的单价， 六十除以 x 表示王大爷家的水的单价，单价为等量，列出比例，然后解比例，求出 x 等于十二。答，王大爷家上个月用了十二吨水。 好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们学习了用正比例的知识解决问题步骤是怎么样的？来一起总结。第一步，首先根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例关系， 接着找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。第三解，比例。最后别忘了检验，写出答案。孩子们，今天这节课你学的怎么样呢？

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习正比例，我们来观察这个表格，并回答下面三个问题。文具店有一种彩带 销售的数量与总价的关系，如下表，第一行代表销售的数量，第二行代表总价。先看第一题， 表中有哪两种量，这个比较明显，有数量和总价这两种量。 第二小题，总价是怎样随着数量的变化而变化的？如果从左往右看，数量越来越大，那对应的总价也越来越大。如果从右往左看呢？ 数量越来越小，对应的总价也越来越小。像这样一总量随着另一总量的变化而变化， 这样的两种量称为两种相关联的量。那在这里，数量和总价就是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化。第三小题， 相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？让我们求每一列总价与数量的比和比值。 我们先看第一列，数量是一，总价是三点五，那总价与数量的比就是三点五，比一，比值是三点五。 第二列，数量是二，总价是七，总价与数量的比是七比二，比值也是三点五。第三列是十点五，比三比值是三点五。 第四列，第五列比值都是三点五。那后面呢，你自己可以计算一下。那这里的比值表示什么意思呢？我们是用总价除以数量 得到的比值。那总价除以数量等于什么？等于单价，也就是这种彩带的单价，彩带的单价都是三点五元。那我们来看一下什么叫做成正比例的量，什么叫做正比例关系。两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。首先是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 然后要满足它们的比值一定，这两种量才叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。那像这个表格， 数量与总价是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。满足这个条件，那他们的比值一定吗？ 我们用总价除以数量，得到的是单价，我们发现彩带的单价都是一定的，那就可以说总价和数量是成正比例的量，总价和数量成正比例关系。因为满足这里的条件， 所以在判断正比例关系时，首先要确定它们是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 其次要确定它们的比值是一定的，如果比值一定，它们才成正比例关系。这个关系我们可以用字母来表示，字母 y 和 x 表示两种相关联的量， 用 k 表示它们的比值，比值是一定的，所以正比例关系就可以用这个式子来表示。 y 比 x 等于 k， y 和 x 是 两种相关联的量， 它们的比值是一定的，所以 y 和 x 就 成正比例关系。我们来看一道练习题，判断下面各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 我们先把正比例关系的式子写出来， y 比 x 等于 k， 比值是一定的， y 和 x 成正比例关系。那我们来看第一小题，如果汽车行驶速度一定，路程与时间，让我们判断路程与时间是否成正比例关系。 首先，它们是两种相关联的量吗？汽车在行驶，那么行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化，所以它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。路程与时间的比值，也就是路程除以时间，求比值，用除法，路程除以时间等于速度， 而题上说行驶的速度是一定的，所以路程和时间成正比例关系。再看第二小题，一个人的身高与他的年龄， 这是两种相关联的量吗？一般情况下，人的身高会随着他年龄的增长而增长，但是到了一定年龄后，他的身高就不再增长了，所以不是正比例关系。 第三，宽一定，长方形的周长和长。首先判断是不是两种相关联的量。先想一下长方形的周长公式，长方形的周长等于长，加宽的和乘二 跟长有关系，所以周长会随着长的变化而变化，它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。这里提到了宽一定，那根据周长和长，怎么得到宽呢？ 我们可以用周长，先除以二，再减去长就等于宽。长方形的周长除以二， 减去长等于宽。宽是一定的，这是比之一定吗？比之一定，我们用的是除法，而这里是减法，属于差一定，所以不成正比例关系。 再看第四题，圆锥的高一定。圆锥的体积与底面积，它们是两种相关联的量吗？先想一下圆锥的体积公式，圆锥的体积等于三分之一，乘底面积再乘高， 所以体积和底面积是两种相关联的量体机会随着底面积的变化而变化， 再看它们的比值是否一定。圆锥的体积除以底面积，看得到的是什么？体积除以底面积等于三分之一， h 等于三分之一乘高。而题上告诉我们，高一定 高一定，它再乘三分之一也是一定的，属于比值一定乘正比例关系。 第五题， x 和 y 是 两种相关联的量，并且 y 等于八， x 问 y 和 x 是 否成正比例关系？首先它们是两种相关联的量，再看一下比值是否一定。我们由这个式子可以得到， y 除以 x 等于八， 比值是一定的，所以成正比例关系。我们接着来看正比例关系的图像。例题中的数据还可以用图像表示，根据图像回答下面的问题，第一，从图像中发现了什么？我们先观察这个图像， 先看横轴和纵轴分别表示什么，横轴表示数量，纵轴表示总价。 再看这些点，这个点表示数量是一米，总价是三点五元，说明横轴这一格表示一米，纵轴这一格表示三点五元。那这个点写成数对，就是一三点五，这个点数量是两米，总价是七元。二 七，这个点总价是三米，数量是七，再加三点五十点五元。三 十点五，也就是他把表中的数量与总价都用竖对来表示，然后秒点连线，形成了这个正比例关系的图像。我们从这个图像中也能看到两种量，数量和总价，而且是相关联的量， 数量变化总价也跟着变化，而且它们的比值是相等的，总价与数量的比值是单价，这种图像就是正比例关系的图像，有什么特点呢？首先经过零零这个点，然后它是一条直的， 后面会继续再延长，所以是一条射线。所以正比例关系的图像是从零零这个点出发的一条射线。 我们接着来看第二题，把这两个竖对所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？我们先看十三十五这个点，横轴是十， 纵轴是三十五，相交于这个点。再看十二、四十二这个点，横轴是十二，纵轴是四十二，相交于这个点，我们跟这个图像连接起来再延长，发现它们是在同一条射线上。我们来看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 我们先看九米彩带对应的总价，九米是数量。我们先在横轴上找到九米的位置这里，然后纵向找到图像上的点，再看他在纵轴上对应的数是多少。这一格是三点五， 那他对应的数应该用二十八加三点五，等于三十一点五元，实际上这个数对就是九， 三十一点五，数量是九米，对应的总价是三十一点五元。再看总价四十九元对应的数量是多少米，找到总价四十九元的位置。然后横向找到图像上的点， 再看对应横轴上的数字，十四米，所以这个点用竖对表示，就是十四四米，对应的总价是四十九元， 所以四十九元能买十四米的彩带。再看第四题，小明买的彩带，米数是小粒的两倍，他花的钱是小粒的几倍，彩带的单价是一定的，那我们在图像中任意找两个数对，比如 四十四，还有十二、四十二，对比一下他们的数量与总价，看有什么样的关系。数量一个是四米，一个是十二米，我们求出他们的数量比， 数量比是四比十二，化简之后是一比三，对应的总价一个是十四元，一个是四十二元，再求出他们的总价比 十四比四十二，化简之后还是一比三，我们发现他们的数量比和总价比是相等的，所以小明买的数量是小利的二倍，那他的总价也应该是小利的二倍， 那在这里我们就要记住成正比例关系的两种量，它们的比是相等的，这在行程问题中用的比较多。我们知道路程除以速度等于时间，如果时间一定，那么路程和速度就成正比例关系，这个时候路程比就等于速度比。 还有一种是速度一定，路程和时间成正比例关系，那路程比就等于时间比，这用到的就是这里的知识点。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

是什么？我觉得黄老师会考虑路程量，选校的时。呃，选校的时间 好，也就是路程，速度和时间。那他们之间的数量关系是什么？速度等于路程，除以时间。除了关注这一个数量关系以外，刚刚有个同学提到了黄老师会比较关注和油价有关的， 那就是涉及到的数量关系是金钱。总价，总价，总价和单价数量。对了，那就是单价数量不占，单价等于 总价除以数量，单价等于总价除以数量。好，这是黄老师一次加油的一个视频，那请你仔细看一看这个视频，请问你看到了哪两个量的什么变化趋势？ 好？谁来回答一下？ 哪两个料的什么变化趋势？请你来油量和金龙。好，我们在上面看到了油量和金龙。那你还发现了什么？不变的量没有 三价。哎，很好，在我们的加油视频当中，有一个料始终是没有发生变化的。三价三价没有发生变化， 那变化趋势是什么呢？油量和金鹅它在变化。变化趋势是什么？好，杨明熙， 从低到高，从低到高。我没听太明白，谁能把这一个变化趋势说的让我能听得更明白更细致一些？ 油价上升还是谁上升？油量 谁在上升？金额金额在上升，金额上升是因为谁上升了？流量？对，好，请坐。那这里就是当我们的油量越来越上升的时候，金额就会越来越高。那所以这两个量是哪两个量呢？ 数量是什么数量？来两个量，总价数量和总价，也就是这个具体视力当中的油量和心和。 那这两个量是不是单独来发生变化的？不是不是，不是，是因为有， 我们要 x 变化，才会有肌肉力量的变化，所以我们在表示变化趋势的时候，我们要表述的更加的完整， 也就是随着一个量增加，另一个量也会增加。哎，那除了这样的变化趋势，那我们的实际生活当中还会有其他的变化趋势吗？ 想一想，这里是随着一个量的增加，另一个量增加，还有没有其他变化趋势？ 好，你来买文具，嗯，高速变化趋势，随着 市场，你买一支钢笔的话三块五，买两支钢笔的话就是七块，所以越来越高，那也是随着数量的数量，数量的增加，金额也增加。 好，相同的变化趋势，我们暂时先不讨论还有没有其他的变化趋势。 油墨和铅笔，嗯，但你刚用笔买了一支笔，嗯，你用过笔，假如那支笔也是铅笔， 你这个千米十厘米用多少厘米？他剩下的量就跟你比啊，那就是随着一个量的增加，另一个量反而在减少。哎，那我们刚刚发现了两种变化趋势，一个是随着一个量的增加，另一个量在增加。刚刚 各位同学提到了，随着一个量的增加，反而另一个量在减少，那还有没有其他的呢？那我们就从下面的几个具体情境当中，我们来找一找，发现一下。 请拿出你的学习单，读清楚我们的学习要求，先独立思考三分钟，然后小组合作四分钟，完成学习单的分类要求开始， 请自己把握时间。 老师， 你们在写变化趋势的时候，黄老师刚刚提醒大家了，要表示完整，那就是一个谁在增加，另一个量也在怎么样？ 但是其实这个就是一个亮晶晶，那么一个亮晶晶的小姐姐， 我发现难点都在第二上面，那我给大家一个小提示，这个 r 是 一个什么工具呀？收藏，谁的收藏工具？我的东西。好，那它应该属于哪一类呢？仔细想一想，继续 好吃。好， 你讲一下， 看这里树上的是边角，角角角有一个吗？有，对啊，那这个是什么？ a 是 什么？ a 是 什么？ 这是正方形，边长边长角， c 代表的是周长，等于边长乘四。好，再想一下 啊，现在这个时间大家可以讨论一下，有同学已经出来了，但有同学可能还没有想法，听听别人怎么说的。犀利， 我发现了，有好几个同学已经能够第一次， 嗯， 就是， 哎呀 啊，抓紧时间啊 啊， 经过讨论以后，有些女的同学， 有些同学已经分类越来越准确了啊。好，时间到来，我们先停下来， 先来看一下这个同学的 好，首先谁来具体的说一说，你觉得哪一个是最容易的，最容易去判断的？七和三是几和几？七和七四，三和七五。好，来，我们先来看一下三， 他的变化趋势是什么？一个一个三和，一个两两两两， 一个数量一二三四五六一个数量在这增加面积的长度在减少，也就是总长度。铅笔总长度一定的时候，你用的长度越来越 多，那剩余的长度就越来越少。好，和他一个量在增加，另一个量在减少，和他相同变换形式的七个三三和七七七七。听到你们的呼声说七，我们来看一下 这是什么东西？一定唯一在成都，唯一在成都，四十，什么东西不变？四十八，四十八是他们的什么结果？一，一个乘法三十里面的积不变的时候，一个因素 增加，一个因素减少，一个因素增加，另一个因素在减少。所以三和七是一类，他写的是随着一个量的增加，另一个量就在减少。正不正确？正确，还有没有和他同一类的？ 和这一个变化是是统一的，还有没有？没有？好，那么我看到了，他说一、二、四五是以内，那我们具体下来看一看。一， 先来这里说一说。好，你来觉得一个量在增加，另一个量也在增加，哪一个量在增加？数量在增加，总价也在增加。哎，数量在增加，总价也在增加。好，那我们来看看。二，二，谁想清楚了？ 因为我发现二是错误率最高的。好预备。二是正方形，二是正方形的周长公式，而那个周，而那个周长如果扩大两倍，那他的那个四 a 也会跟着扩大两倍，也就是谁增加会引起谁增加。正方形的周长必然会引起 他的边长的增加。好，周长增加，边长也会增加，那我们一般是说边长增加， 通常也会增加。好，刚刚对二有疑问的同学，现在还有问题没有？没有对，好，他只是和我们这个表格的表示方法是不一样，不一样，他的变化趋势其实是一样的。好，再来看四， 怎么来？说。好，小明的年龄增加，黄老师的年龄也会增加。哎，小明的年龄在增加，黄老师的年龄也在增加，增加的幅度是怎么样的？ 你增加一岁，那黄老师也会增加一岁。记住这个小秘密啊，如果我们需要讨论到他来，再来看。五， 这个是不是随着一个量增加，另一个量也在增加？没错，是的，是还是不是是看这个人。是的，增加。从六岁到十二岁，他表格上的身高也在增加，一百一十六厘米到一百四十二厘米。 一百四十二厘米。好，也就是在小明六到十二岁的过程当中，随着他的 年龄增加，他的身高也在增加，那所以一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加。六嘞， 没有，没有规律哎，这是一只股票的价格图，它随着时间的变化，它有上有下，所以它的变化趋势是不是固定的？不是。好，所以 you 这位同学把它分成了三面。同不同意？同意，半分钟的时间，你的学习单上有问题的同学可以修改一下。 好，做专区的同学，我们那里已经修改好了。那我们继续头脑风暴一下。刚刚我们是通过 变化趋势将七个情境图分成了三类，那我们拿出来了四个图，这四个图都是哪一个变化趋势里面的？ 一个量增加，另一个量增加，另一个量也在增加，他们都是随着一个量增加，另一个量也在增加的四幅图。那你能根据他们的变化规律再进行分类吗？ 先思考，开始思考。好的同学举手告诉我。 小智同学已经想好了。那没想好的王老师给你一个小提醒，我可以把它分成有规律和没规律。哎，对了，有规律和没有规律，没 有规律的一二四，一二四。那你就是说一二四是有规律， 然后剩下的五。好，那我们首先先来看啊，单独的没有规律的这一个五怎么说？ 好，请您的增加他的，他的身高是飘忽不定的，有时候 听明白意思吗？听明白，我们的身高的增长，他是有快有慢，而且就是六到十二岁的身高，估计， 那可能到了二十岁的时候，我的身高还会不会变化？不会，不会，他就会一个趋于一个稳定的一个状态了。好，所以他的变化就是没有规律，那意思就是说一二四都有规律喽，一的规律是什么？一个 好减零，一，这个数量再增加一这个价，这个价格也在也会增加三厘米。 听懂意思的同学举手。好，那就还有很多同学没听明白？好，他的电话规律开展 数量每增加几一，单价呢？单价呢？加三点五，三点五，也就是数量每多一的情况下，它的总价就会增加三点五，三点五元。 这个三点五元是什么东西？他的单架，那也就是在这一个变化的当中，什么东西？单架？单架，对了，他有一个面的量，也就是单架面。好， 那这个思路给大家开放了啊，今天来说说啊，他的变化呢？就是，嗯， 不管它变成五 a、 六 a， 哎，能不能把它变成五 a 或者六 a？ 不 能，你不能改变这一个，因为它只有四个。对，不能改变这一个。四，它不变的量，所以就等于三辆 a， 就是 a， 我 们刚刚说了，这是一个正方形的周长，对，他是正方形的周长， a 是 什么？边长？ a 是 他的边长， 一条边的边长，他在变化当中，周长和他有什么关系？他的变化。 听明白意思的同学举手。好，手放下，这个老师听明白多一些，也就是无论边长 怎么变，周长怎么样也会变。变周什么变啊？也会变，变怎么变 啊？我们特别喜欢那一个图表比较清晰，对不对？好，那我们就把它变成一个减一的怎么样？ 当我的周长是一的时候，周长是四四。怎么来的一个四？当我的周长是二的时候，变成二十二的时候，变成八四八四了吧？ 想明白没有？你就是边长，我无论怎么变，周长都是边长的四倍，四倍。来，再说一遍，怎么变的？ 无论边长多少，然后周长都是边长的，都是边长的四倍，那所以哪一个是没有发生变化？ 四四，这个四是什么东西？四条边，四条边，也就是中长和边长的 倍数学倍数。哎，倍数关系，也就是中长和边长的哎。你刚刚学到的 这是什么？ a 和 c 一个数，与商商也可以叫做可以。对了，是它的笔直不变。好， 这是单脚不变，这是周朝宇边上的笔直券，请问他是什么不变？你们刚刚说了他有肖子璇应该最记得，因为皇上只给了你一个小琴琴在前面。 好，姚丽熙比你快。就是小明的年龄增加与王老师，那我和小明的什么东西不变？年龄差不？非常好。听明白意思，同学举手。 好，放下，也就是黄老师始终比小明要大二二十岁，黄老师永远要比小明要大二十岁。好，那也就是说我们刚刚在研究了这么多以后，发现 有规律和没规律，我们是要看什么东西不变的量，看有没有不变的量，有没有不变的量。 八，那刚刚我们有规律的有一二四四，还能不能再分类呢？不确定。那我们尝试一下， 请你根据它们规律的不同，再进行细化的分类。 又给大家一个提示，刚刚说他是什么不变，等价等于什么？等 价等于总价等于总价等于总价。除以数量除以数量。 二是什么不变？二笔直，一条笔直，四不变，四不变。谁和谁的笔直？ 中中长和边长的笔直不变，边长的笔直不变。他是什么不变？年龄年差年龄差，那就是黄老师的年龄年龄意见，小学的年龄 等于二十。我已经提示不够多了，请问他的规律不同，为什么不变？不变？不变？ 他说笔直不变和哈哈哈变，那所以 谁和谁是一类？一和二和二类，那所以一和二是一类，剩下的四是一类，四是一类。 好，请坐，那我们经过分类了以后发现，哎，首先我们研究了变化趋势，刚刚我们拿出来的一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加，那变化规律里面我们会发现， 一和二都是一直变，四是差别。那我们分完了，这一和二就是我们今天要重点研究的一个内容。 像这样两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化。而且无论这两个量怎么样变化，他们的 一直变变总是一定的，那我们就称为这两个量成正比。好，一起读一遍。像这样两个行， 像这样两个相连的，一个样，一个样变化，另一个样也随之变化。 但不管这两个量怎样变化，它们的比值总是一定的。我们就说这两个量成正比。好， 那像总价和数量的比值，周长和边长的比值还有没有更多？其他的比值 有没有？好，你一下子想，具体的例子可能想不出，那肯定是有，有的。那所以我们可以 统一的把它表述为 y 除以 s 等于 k， 其中 k 是 怎么样一定变， k 就是 那一个月亮，也就是它是一定的，一 定了。好，这就是我们今天要研究的正比例的比例。那请你现在来再来说一说，用自己的话说一说，为什么一和二他们相关的能量它是呈正比例关系的。谁来说一？ 好，那我随意点一个十二好吗？好，来，你来一具体数，一数它为什么成这比例，谁和谁我只要一增加，然后你交一等于是一比三等于 一比三等于你，就是数量在，然后谁和谁的比值不变， 数量和总价的数量和总价的比值不变，数量和总价的比值都是多少？ 一比三等于零五，然后呢？二比二，比 七，他都是三点五分之一。那我们按照数学习惯来说，我们会把它干嘛呀？反过来， 总价比数量等于单价。 好，请坐它符合正比例乘正比例的两个量的条件。第一个，它的变化趋势是随着数量的增加，总价也在增加。

判断两个变量是成正比例关系还是成反比例关系，我们要从以下三步进行，第一，我们先看这两个变量是不是相关联的量， 如果这两个变量是相关联的量，我们要写出这两个变量之间的关系式，那就是写出他们的关系式， 然后我们根据关系式进行判定，如果他们的关系式是比值一定， 我们就判定他们成的是正比例关系。如果他们的关系式是基一定，我们就判定他们成的是反比例关系。 那么我们看下面的题，第一题，圆的周长与它的直径成的什么比例？我们知道圆的周长是随入直径的增加而增加，减小而减小，所以它们复合第一个条件，它们是相关联的量， 那么第二个它们的关系是圆的周长 c 比上它的直径 d， 我 们知道就等于圆周率派，圆周率派是一个固定的值，所以它们是比值一定，所以这个题乘的是正比例关系。 这是第一小题。那么第二小题，圆柱的侧面积一定，圆柱的底面周长和高成了什么比例？我们知道，当侧面积一定的时候，底面周长 越大，那么高反而越小。底面周长越小，那么高反而越大，所以它们是复合。第一个，它们是相关联的量， 那么它们之间的关系表达是圆柱的底面周长 c 乘以它的高 h 就 等于圆柱的侧面积。 题上告诉我们，侧面积一定，所以是 g 一定，那么它们乘的就是反比例关系。 那么第三小题， y 等于五分之一乘以 x， 那 么 x 和 y 成了什么？什么比例？那么我们看我们有这个尺子，我们知道 x 越大， y 越大， x 越小， y 越小。很显然 y 和 x 是 相关联的量， 那么根据 y 等于五分之一 x， 我 们能得出 y 除以 x， 它就等于五分之一，那就是比值以定。哎，它就是比值以定， 比值它是一个定制，定值是五分之一，所以这个题乘的是正比例。 那么第第四小题二比 x 等于 y， 那 我观察，当 x 增大的时候， y 反而减小，当 x 减小的时候， y 反而增大，所以 y 和 x 是 相关联的量， 那么我们有二比 x 等于 y， 我 们能得出 x 乘以 y， 它就等于二，那么二是一个定值。所以这个题 x 和 y 是 乘积一定， 那么乘积一定，我们就判断它乘它是反比例。把这个题啊收藏起来，让孩子们听一听，再做一。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例关系图像 这节课的内容。一看题目我们就知道与图像有关。我们先来看一个表格，这个表格是数量和总价之间的关系，那这个关系可以用图像来表示出来吗？ 我们来看这个图，它的纵坐标标的是总价，横坐标标的是数量。我们画图的时候，要先把各个位置的点给找出来 来看，当数量是一的时候，总价是三点五，我们在横坐标上找到一的位置，在交叉的地方标上一个点， 以此类推，找到数量是二、三、四五、六、七、八的对应点在哪里。找到点之后，我们把这几个点连接， 这样就把图像给画出来了。接着我们来看几个问题，第一个问题，从图中你发现了什么呢？这上面所有的点都在同一条，对，上面所有的点都在同一条射线上。 再来看第二个问题，把数对十三十五和十二四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？ 我们先把这两个点给标出来，标完之后连接再延长，我们发现这两个点也在这一条射线上。 好了，正比例关系图像我们已经画出来了，就是这么简单，正比例关系图像就是一条从零零出发的无限延长的射线。 再来看第三题，不计算，根据图像判断，如果满九米彩带总价是多少？ 四十九元能买多少米彩带呢？从途中我们在横坐标找出数量是九米的时候，对应的价格是对三十一点五元，所以如果买九米彩带，总价是三十一点五元， 再从纵坐标找出四十九元，对应的数量是十四米，所以四十九元能买到十四米的彩带。再来看第四问， 小明买的彩带的米数是小丽的两倍，他花的钱是小丽的几倍呢？ 在这里我们要知道的是，彩带的单价是一定的，并且彩带的总价和数量成正比例关系，总价随着数量的增加而增加，当数量翻了两倍，总价也翻了两倍。 所以，若小明买的彩带的数量是小丽的两倍，那么他花的钱应该也是小丽的两倍。 好了，我们来观察一下这个正比例关系图像，你发现他特别像我们之前学过的什么呢？ 对，特别像我们之前学过的折线统计图。那正比例关系图像是折线统计图吗？正比例关系图像描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的， 即射线上的点有无数个，而折线统计图描述的是一些离散的数据， 所以正比例图像不是折线统计图。简单来说，正比例的图像不是一节一节的折线，而是一条直直的穿过零点的斜线，而折线统计图是一节一节的折线， 所以他们两个是不同的。好啦，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

哈喽，同学们，今天我们一起开启奇妙的数学之旅，探索藏在生活里的正比例和反比例奥秘。走，我们先去文具店看看买铅笔里的数学小规律， 买一支铅笔花两元，买两支铅笔就花四元，是不是很有趣？买三支就要花六元了，你发现了吗？铅笔数量越多，花的钱就越多。乐乐又拿二十元买笔记本，五元一本的话能买四本哦。 四元一本能买五本，两元一本能买十本。笔记本越便宜，买的数量就越多。你看，这两种变化可不一样，一个一起变多，一个一个变少，一个变多。 那这两种不同的变化关系到底是什么呢？我们先来看一个小实验揭秘。第一种变化关系， 往底面积不变的杯子里倒水，水位越高，水的体积就越大。再来看分巧克力十二块巧克力分给不同小组会有什么变化？每组人数变多，分的组数就变少了，巧克力总数可一直是十二块哦。 你看生活里的数量变化，要么同增同减，要么一增一减。这两种有趣的变化就是我们今天要重点学习的正比例和反比例。那正比例和反比例到底有什么特点呢？跟着老师一起去探索吧！

认识正比例， 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，三只青蛙三张嘴。八戒， 从这首儿歌中你发现了什么？我发现随着青蛙数量变化，嘴巴、眼睛和腿的数量也都在变化，简单说，这些都是变量。 不错，那他们之间有什么规律吗？规律二，师兄，我们可以通过列表格探求他们之间的规律。你看， 嘴巴数量是随着青蛙数量增加而增加的，并且嘴巴数量总是与青蛙数量是相等的，也就是说，嘴巴数量是青蛙数量的一倍。是的， 他们之间存在倍数关系。换句话说，嘴巴数量与青蛙数量的比值是一， 哈哈，眼睛数量是青蛙数量的两倍，笔直是二。同样的，腿的数量与青蛙数量的笔直是四。哈哈，哦，师傅，我还发现，不论青蛙的数量如何变化，这个笔直都是不变的。 没错，像这样，眼睛数量与青蛙数量是两个量，青蛙数量变化，眼睛数量也随着变化，并且笔直。一定， 我们就说眼睛数量与青蛙数量成正比例哦，正比例，是的，正比例是用来描述两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，也可以说成正比例关系。生活中成正比例关系的量有很多，你们能举出例子吗？ 如果一碗面两文钱，那么总钱数和吃面的碗数成正比例关系哦，我们平均每天行进的速度是四十千米，行进的路程和行进天数也是成正比例关系。 哈哈，你们都很善于动脑筋，师傅师傅，我还知道圆的面积与半径也成正比例关系。嗯，悟空、沙僧，你们两个帮八戒分析一下他说的对吗？ 同学们，请你们也思考一下，圆的面积与半径是不是正比例关系。

这道题每年必考。客车从甲地行驶到乙地需要六小时，火车每小时行驶三十六千米。现在客或两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，相遇时客车与货车所行路程的比是五比三，甲乙两地相距多少千米？ 这道题的破题思路就是找到比例关系。因为两车是相遇运动，所以从出发到相遇，两车所用的时间是相等的，也就是时间一定，那路程和速度就成正比，也就是两车的路程比等于速度比。 已知客车与货车的路程比五比三，那客车与货车的速度比就也是五比三。已知货车的速度是每小时三十六千米，那客车的速度就是三十六，除以三乘以五等于六十千米。每小时。 已知客车从甲地行驶到乙地需要六小时，那甲乙两地的距离就是乙的速度六十乘，时间，六小时等于三百六十千米。

拍摄的是汤老师的上班日常，请同学们用数学的眼光去找一找视频中的小亮点， 上班呢？打卡成功！ 先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化。好，你来说。 老师上班的路程一直在变化，总共是走了一千五百米， 你观察的很仔细，还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。康老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意好不好？像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量，那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试，比如说汤老师上班的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。 说的真好，请坐，还有吗？好，你再来说一说汤老师喝的那杯牛奶，汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间变的相关联的量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好，那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试， 等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对路程之间的一致， 那么它们之间的比值就表示速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相当于五百， 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 汤老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的，米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，谁来试一试？ 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始， 哈哈 哈哈， i let's go！ 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放到上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是，首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃， 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于，然后单价就是三天，我们是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价除以三加五，呃，比值也还是一定的。 这是第二个同学，这里他也是用，他也是用了它的那个总价除以它的数量 呃，这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价的，也还是它的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价，一直也还是一定的 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来，也就是总价除以单价等于数啊，等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，已知还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习，单上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你爸爸听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度，一个是他们的比值是一定的，就是三分之五百。 第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五，同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一组量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系。 所以在这里我们就说路程和时间是成 正比例关系，路程和时间是一组乘正比例的量，同样的，下面我们可以怎么说？ 价和数量是乘正比例的量，他们俩是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起起读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想你是怎么理解它的？ no， no， no， no， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说。 圈的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？ 好，谁来帮他补充一下什么样的关系，他们就是正比例关系呢？好，你来。是是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量他们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你贴的关键词？ 好，你来说一声，我签了两个字，一个是呈正比例的量，还有一个是正比例的因子， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们的关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值，一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的 很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件。下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， 啊啊 啊啊， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题，谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为正方形的边长增加，它的周长也会跟着增加，也就是说它们俩，嗯，有关联，对，是一直相关联的。然后呢？ 没有了，是吗？那他们两相关联就一定成正比例吗？好，你在摇头，你来说，并且呢，还需要，呃，比值，一定，他这个人的比值是四， 很好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？ 边长乘四，那么周长比边长就等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为他这里说正方形的面积和边长是正比例关系，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长，所以边长就等于面积， 所以当呃，边长增加的时候，他的面积也是会增加的，同意吗？同意，首先他非常值得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有一个默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好，还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想的，先设了一个数字啊，面积等于边长的平方，呃，也就是边长乘边长。呃，首先我设边长为一，那么它的 呃面积设为一，就是一乘一，呃，然而，如果它的边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说？好，你再来说一说。 就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃，面积和边长和面积等于边长和边长都有，边长是在变化，所以它们的比值是不一定的。 很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长？也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好，第三题谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案。 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们，他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 s， 也可以是 y 等于 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手， 都很不错。好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定满。满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是他，也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能几家是满意的，或者是比较满意的。不可能两个都是加， 加也会加也不会是。呃，同时加一样的，谁能说的再清楚一点？好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意 和比较满意的人是不会变的。哦，我们刚刚做的调查就是，人数是固定的，对吗？对， 还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用数对来表示位置，如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的点都找对了吗？对，完成的非常漂亮，而且还标出了数对掌声送给他。 好，我们再来看看这一位同学 他的作品，他把这八个点怎么样连起来了，也就是说他猜想正比例的图像会是一条这样的直线，直线，斜线对吧？好，我们再看看这一位同学的 怎么样？这两幅有什么不一样的地方？ 他连到了零零这个点对吗？好，但是这两位同学他们都会认为正比例的图像是这样的斜线是不是？那我们先来验证一下，看看他们的猜想对不对？ 书上面呢，是给了我们八组数据，数据还不够多，所以我们画出来的都是点，对吗？那么我们让数据再多一些，看看会是怎么样的呢？ 发现了什么？现在已经变成斜线了吗？还没有吧，但是点怎么样？ 越来越多，并且还越来越密。哎，我喜欢这位同学的回答，但是他图像还是点，那么我们让数据再多一点点，看看 怎么样啊？哎，点越来越多，然后这些点就聚成了一条线，线就聚成了一条这样的斜线，就证明刚刚那两位同学的猜想是正确的。好，那他们两个 疑问就停留在了这个零零这一点到底连还是不连呢？那么我们就请同学来说一说。

今天我们来看这道题，甲乙两数互为倒数，那么它们成什么比例？我们先来看第一问，甲乙两数互为倒数，那么它们两个，它们两个数之间是倒数的关系，那么它们的乘积就必须为一， 那么乘积为一，那么乘积也就是一定的乘积一定，也就是乘反比例。我们再来看第二问，甲数的五分之四等于乙数，则甲数和乙数成什么比例？ 甲数的五分之四得可以化为乘号，那么就是甲乘以五分之四 等于乙，那么这两等号两边我们都除以一个甲，那么也就等于五分之四等于甲分之乙，那么这个式子比值一定， 所以说它们两个处之间成正比例。记得点赞关注哦！

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。

刚才的研究，我们回顾以上的图形，那么时间与路程的变化规律与上表中哪个表更相似了？你们认为？好，你来，第八组的这个男生，你来与上面的第一个表格更相似。 好，你能说一说这两个表相似的地方吗？因为刚刚已经算出来了，他他们的周长除以变长所得的比值都是 四，他他们的比值是一定的。然后呢，下，下面他的路程除以时间就等于速度，他的速度就是九十，所以他比值一定。哦，原来他们的比值是一定的，一定的。好，好，请坐。 同学们，像刚才正方形的周长与边长，路程与时间一样，一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的比值一定，我们就说这两个量成正比例。其实啊，在数学上， 当两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，他们的关系就叫做正比例关系。 同学们，我们刚才研究了正比例的关系，现在请大家辨析一下，正方形的面积与边长成正比例吗？好，思考一下，谁来说一下你的观点。 嗯，好，这个女生，你来说一下，她的周长是一，面积是一，她面积是四，周长是二，她的面，她的 他的差是二。嗯，他的差。嗯，继续往后算，可以得出，他们的比值不一定，但是如果要组成正比例，他的要求是比值一定， 边长和面积的比值不一定，所以不是正比例。哦，好，请坐。刚才啊，这个同学很清晰的说了，他计算得到，原来啊，这里的比值不一定， 比值不一定，所以啊，他的也不成正比例。对，同学们，其实啊，虽然变化趋势一样， 但是不不一定会成正比例，要比值一定比值相同才能成正比例。刚才啊，我们呢，学习了 很多的正比例，那么同学们，请大家说一说生活中和学习中你还知道了哪些变化的量成正比例？请同学们在主类互相说一下。好，开始。 好，做一下。我每天练腹的个数二十个，随着时间的，随着时间我每天练腹的个数越来越多， 是九十块钱吧，然后我买了三。 老师啊，刚才啊，发现大家讨论特别的激烈，我也听到了他，大家很多的想法，现在谁来分享一下。呃，好，你来说一下第四组的 假设我每一个小时用一米的修改修正带，那么随着时间的增加我的修正带会越用越长。嗯， 用修正带用的米数除以时间，那么它们的比值一定也就是说 它们是成正比例关系的。嗯，好哎，但是你的修正带每个小时用的数量都一样吗？ 我说的是假设我每个小时我只用一米。哦，他，哦，原来老师听漏了，他每假设每个小时都只用一米。嗯，这样就可以了。好，请坐。还有谁来说一下还有谁，哎，你来说， 我买这支笔三元单价，一定买的数量越多总价越大，买的数量与总价成正比例。哦，这个同学真了不起，他看到了手中的笔就想到了， 但是他有个前提非常好，他就说他的单价是一样的，一定，也就说笔直，一定，嗯，真棒，还有谁 还有谁来说一下。好，你来第四组戴眼镜。这个男生一个游泳池要注水，假设他的每秒注 每分钟注水量是相同的，那么随着时间的变化，游泳池里面的水将也会随也会随着时间的变化而变化。而 用游泳池里面的水除以他的时间就可以得出他每分，他们的笔值是一定的，这个笔值又就也就是他每分钟的注水量，所以他们是成正比例的。哇，这个同学真了不起， 思路啊，特别的清晰，很清晰的讲述了游泳池的问题，怎样能成正比例，非常棒，并且他已经也说到了，要笔直，一定给个赞，给你请坐。 同学们啊，我们的学识真是很渊博，大家都说到了很多这里呢，老师有也有几个正比例，看 每天看书的页数一定看的总页数和天数也成正比例。看我们做操每行的人数一定的时候，做操的总人数和函数也成正比例。还有两个电交电费的时候，铺地砖的时候也有正比例。 其实啊，我们生活中和我们的数学中到处都有正比例。对，现在啊，老师有一个问题需要同学们帮忙解决，请看 学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高和竿影的长，如下表，请大家打开数学书，翻开四十二页练一练， 帮马老师解决。练一练的第一道题目开始写在书本的空白处。 好，同学们，停笔，我看到了，大家都基本上填完了。好，那么谁来说一说杆引的长与竹竿的高的变化关系？谁来说 好？第六组，这位男生，你来说，我发现竹竿的高增加竹竿，竹竿的那个影的长度也会随之增加。嗯，非常好，请坐！谁再来说一下？好，请你， 我发现竹竿的竿每增加一米，竿影的长就增加零点四米，嗯，他利用增加的数据说明了题目。好，很好，谁再来说一下？谁还有想法？好，请你。第五组这位女生， 竹竿增加一米就会，竿影就会增加零点四米，也就是说竿影竿影会随着竹竿的变化而变化，嗯，也非常棒，也是用数据说明哈。请做 竿影的长随着竹竿的高的变化而变化。看第二题写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？谁来说， 谁来说一下，我们来看看。你来。呃，因为那个杆影的长比杆影的高是一比零点四， 呃，第，第二，第二个，第二个是二比零点八，第三个是三比一点二，第四个是四比一点六，他们的比值都是一样的。嗯，好了， 同同学，我想问一下哈，我们来看有同学发现了问题了吗？ 好，你自己有没有发现的？有，哎，我们给个机会给这个同学，让他纠正一下，大家都很棒，都帮他了， 都帮忙，他找到了。好，我们来看他应该是反过来。是，哦，为什么要反过来？ 因为他第一个是干引的长比，他是干引，是干引的长比干竹竿的高，所以说应该是零点四比一，嗯， 等于一分之零，一分之零点四，嗯，零点四比，嗯，然后，然后第二个是零点八比二，第三个是一点二比三，他们的比值都是一样的，第四个是一点六比四，第五个是二点四比六， 第四，第五个是三点，不是，第六个是三点二比八，嗯，你来算出他的比值，他们的比值都是零点四。对，所以，呃，所以肝影的长 与竿竹竿的高是正比例，嗯，是正比例。对，还可以通过数据我们都看到，因为它的比值一定刚才的这个同学已经猜到了，原来他们是呈正比例。那么 你刚才就说成正比例，也就说他必须满足哪两个条件呢？必须一定变化趋势一日。嗯，对，非常棒，好，请坐看。来呀，同学们啊，正比例的知识掌握的非常好。 同学们，大家来看古斯拉科学家泰勒斯，他非常了不起，他利用正比例的知识把金字塔的高度啊都测量出来了，请看！ 今天我们给大家讲讲泰勒斯巧测金字塔的故事。有一天，法老突然想知道金字塔的高度，于是在全国发布法令，寻找最聪明的人， 如果用绳子量，但不能爬到塔顶。如果造和金字塔同高的梯子，但花费巨大。恰巧泰勒斯早年游历埃及，他应法老要求，竟然没有登上金字塔，就测出了金字塔的高。 原来泰勒斯是放根棍子在塔旁，钢棍的影子长度等于棍长，此时塔底到尖顶投影的距离就是金字塔高度。泰勒斯是利用什么数学知识呢？其实是图形的放大与缩小，是比例知识的简单运用。

上班呢，打卡成功！先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化？好，你来说。 在变化，总共 是你观察的很仔细，还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。康老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意，很好，像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量。那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说得真好，请坐。还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少，很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关联的量，像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间，让他上班的人的量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好。那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试。呃，就是路程除以时间就是等于速度，那就是三分之五百， 然后第二组的话就是六分之一千把它们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五，把它们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对时间等于数， 那么它们之间的比值就表示速度，速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相当于五百， 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 唐老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格，谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说。哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。 第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，先来试一试。 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说你发现了什么？ 听清楚要求了吗？听清楚。好，下面请同学们开始 啊 i i 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们怎么发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价呃， 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于然后单价就是三千五，我们是一定的。 然后我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价值三千五哦，比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用他也是用了他的那个总价除以他的数量 呃，这里也是用他的总价除以他的数量也是三点五也还是他的单价 这个同学他还是一样的他也是用那个总价乘以数量和单价笔直也还是一定的 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来也就是总价除以单价等于说啊，等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，一直还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习班上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定的三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示它的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿，告诉老师，谁来说一说你们小组的发现。好，这位女生， 第一组的数据，他们的速度，也就是他们的比值是一定的，就是三分之五百。第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五， 同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关的内容，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一组量，在数学中，我们就把这样的关系称为正比例关系， 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量，同样的，下面我们可以怎么说？ 热量和数量是成正比例的量，它们俩是一组 成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。看到下面部分， 像这样，我们一起齐读一遍，像这样预备齐像这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍。这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ 谁来说一说，跟大家分享一下，你猜到哪些词你是怎么理解的？好，你来说。 生的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？嗯， 好，谁来帮他补充一下什么样的关系，他们就是正比例关系呢？好，你来。是是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你圈的关键词？ 好，你来说一说。我签了两个集，一个是成正比例的量，还有一个是正比例关系， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两个数的比值，一定，如果这两个数的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说。首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的，是 吧？很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足。理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件，下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， hahaha。 哈哈哈哈， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题谁来说一说你的判断？ 好，你来说， 为什么呢？因为正方形的边长增加，它的周长也会增加，也就是说它们俩，嗯，有关联。对，是有指向关联的人。然后呢？ 没有了，是吗？那他们两相关联就一定成正比例吗？好，你再摇头，你来说。并且呢，还需要，呃，比值一定，他这个人的比值是四。 很好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？ 边长乘四，那么周长比边长就等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说。我认为第二题也是对的，为什么呢？因为它这里说正方形的面积和边长是正比。一个是，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长小于边长就等于面积， 所以当呃，边长增加的时候，他的面积也是会增加的，同意吗？同意，首先他非常值得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有一个默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好，还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想的，先设了一个数字啊，面积等于边长的平方， 呃，也就是边长乘边长，呃，首先，我设边长为一，那么它的呃面积也是为一，就是一乘一。呃，然而，如果它边长是二， 呃，那么面积呢？是二乘二等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说？ 好，你再来说一说。就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃，面积和边长和面积等于边长和边长，会有边长是在变化，所以它们的比值是不 一定的。很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长，也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，它在变化，它不一定，所以它不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以它的成正比例吗？不符合。好，第三题，谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案。 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的， 所以要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们，他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的，符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的比值， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 x， y 除以 x， 也可以是 y 除以 x 等于 k， a。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手， 都很不错。好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成，不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定满。满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以满人数和比较满意的他是，呃，他也就是固定的，哪怕是人数不是一定会再加一点，那么的话，嗯，也有可能只加是满意的或者是比较满意的。不可能两个都是加， 加也不加也不会是，呃，同时加一样的，谁能说的再清楚一点？好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意和比较满意的人是不会变的。 满意的人数和比较满意的人数不会变吗？ 哦，我们刚刚做的调查就是人数是固定的，对吗？还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用数对来表示位置，如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的点都找对了吗？对，完成的非常漂亮，而且还标出了数对掌声送给他。 好，我们再来看看这一位同学 他的作品，他把这八个点怎么样连起来了，也就是说他猜想正比例的图像会是一条这样的直线斜线，对吧？好，我们再看看这一位同学的 怎么样？这两幅有什么不一样的地方？