北师大六下数学第三单元画图技巧

百分之百会考，百分之百会错的题，那么错误点在哪里？就是不进行单位换算。来给大家讲解圆柱和圆锥最难的一个知识点，也是非常重要的一个知识点，叫做切割问题。 切割问题呢是我们期中考试啊，期末考试，小升初百分之百会考，但是呢，百分之百会做错的一道题。我们以小学学霸冲 a 卷上的一道填空题为例，我们来看说把一根长一点二米的圆柱形，刚才呢截成了三段以后， 表面积比原来的表面积呢增加了三点六平方分米。那么我的问题是，这根圆柱钢材原来的体积是多少立方分米啊？首先你在说什么？说一个圆柱形的钢材，贾老师就给你出示一个圆柱形的钢材， 他告诉我这一根刚才的长呢是一点二米。由于呢，我的这个圆柱体呢是横着放着的，所以我的这个圆柱体他就会有一个长，长是多少呢？长是一点二米。 解这道题之前呢，首先我们要找到解这道题的关键句，那解这道题的关键句在哪里呢？有两个关键句，第一个关键句是什么？将这个圆柱体给他分成了几段？分成了三段。 二个关键句是我把这个圆柱体给它分成三段之后，我的表面积比原来增加了三点六平方分米。那贾老师的问题来了，第一个问题，我把这个圆柱体给它切成三段以后，我的表面积增加了几个面。 第二个问题，这几个面的面积有什么关系？第三个问题就是这几个面的面积之合，最后就等于三点六，那么我能不能求出一个面的面积之合，最后就等于三点六，那么贾老师给你们出示一个动画， 通过观察动画，你就可以清晰明了地明白第二句解析的关键句它说的是什么意思。来， 好，同学们，动画贾老师就演示到这个地方，接下来贾老师带着同学们，我们来一起来分析一下啊。当我们将一个圆柱体给他分为一段、两段、三段分为三段的时候，我们呢总共切了一刀， 两刀，总共切了两刀，对吧？我们切完第一刀之后，我们发现增加出来了几个表面积，两个，哪两个就是天蓝色的这两个， 这两个面跟我们的原来圆柱的这个底面有什么关系呢？这个增加出来的表面积跟我们原来的这个底面是不是完全相等？一刀下去，切割出来的这两个面也完全相等。 好，接下来我们又在这切了一刀，那切完之后呢，这两个切面也是完全相等的，那这一个切面和我们的这一个底面什么关系呢？也是完全相等的，因此呢，我们就能够得到我们切割出来的这个切面。 一刀下去，我们增加的这两个表面呢，说白了就是增加了我们原来圆柱的两个底面。 这一刀下去呢，增加的这两个表面呢，也是我们原来圆柱的底面。因此呢，我们切一刀呢，就增加了两个底面 啊，那我们的底面的面积应该怎么算呢？应该用 pi r 的 平方，我们增加了两个，那平方再给他乘个二，就代表增加了两个的表面积。 好，接下来如果我们切两刀呢，就说明增加了几个，增加了四个我们的底面积，那一个底面积是 pi r 的 平方，那四个呢？那就成色，那就四 pi r 的 平方。 现在我们知道这个知识点了之后，我们返回到原体里面，那通过观察我们的动画呢，我们就能够完全理解我们的表面积比原来圆柱的表面积增加的这三点六平方分米到底是什么？ 我们一刀下去增加了两个底面啊，我们两刀下去增加了四个底面，所以说我们表面积比原来增加的这三点六平方分米，其实说白了就是四个原来的圆柱的什么底面，也就说四个我们的底面的面积 就等于三点六平方分米，那我的第一个问题就可以解决了，一个底面的面积是多少？是不是应该用三点六去除一个四等于多少呢？等于零点九平方分米， 我们是不是就能够算出一个底面的面积了？好了，那我们这一个底面的面积是不是算出来了，对吧？我们最终要求的是这根圆柱的体积，那我们底面积知道了，我们的公式是什么呢？ v 就 等于底面减去成高 底面积，知道了，我们是不是只要找到我们的高是多少，那这道题不就迎刃而解了吗？接下来我们最重要的一步呢，就是找圆柱的高，此时此刻呢，我们的圆柱呢是水平摆放好了，同学们不要眨眼睛， 那现在贾老师由我们的水平摆放给它变成了竖直摆放，那我们水平摆放的时候，它的长等于多少呢？它的长等于一点二米，那我们竖直摆放的时候，它的长就变成了我们的圆柱的高，非常棒， 所以我们圆柱的高就变成了一点二米。在这里很多孩子就非常的激动。贾老师，我会了啊，底面积我们算出来等于零点九高呢，我已经找到了是一点二，所以呢，我算出来等于一点零八立方分米好了，咔，一点零八立方分米往上一写，高兴坏了， 觉得自己从考场上蹦蹦跳跳，就蹦蹦跳跳，就从考场走出来了，非常非常之自信。但是呢，贾老师告诉你，同学们做错了，为什么？因为你没有进行单位换算，所以这道题的出错率最高的点就是在我们的单位换算上。因此呢，这道题我们重新来做， 单位不一样，所以要进行什么单位换算？我们到底把我们的米换成分米呢？还是把分米换成米呢？我们就看他最后求的，他最后求的是立方分米，是不是跟分米有关？所以呢，我们就要将我们的一点二米给它化成十二分米 啊，我们把米化成分米，最后我们就不需要再去换算单位了。所以零点九乘的应该高是多少？十二分米，最后算出来等于十点八立方分米才是我们正确的答案。因此呢，我们最后这个空就填十点八立方分米。同学们，这道题你们学会了没？

我们分享一道把圆锥进行切割的高频错题，我们一起看题。把一个圆锥沿住高切开，得到两个半圆锥，表面积增加了三十六平方厘米。一只圆锥的高是九厘米，那么圆锥的体积是多少？ 我们知道圆锥的体积公式就是底面积乘以高，现在高是一只的，那么我们得求出圆锥的底面积。 要想求圆锥的底面积，我们得知道圆锥的底面直径或者是半径，那么这个题突破口在哪？我们观察图形，把圆锥沿住高切开， 得到的是两个半圆锥，这时候表面积增加了三十六平方厘米，这是这个题的突破口。表面积增加了，增加的是哪的面积？我们通过观察图形，我们发现表面积增加的就是这两个切面， 那么这两个切面是什么形状？我们观察上图，这两个切面是等腰三角形，切面是两个等腰三角形， 那么每个等腰三角形的底就是圆锥的底面直径，那么每个三角形的高就是圆锥的高，所以增加的三十六平方厘米就是这两个等腰三角形的面积和。 那么我们第一步我们先拿着三十六除以二，我就得到了一个三角形的面积，它就等于三十六除以二等于十八平方厘米， 那么一个三角形的面积是十八平方厘米，那么这个十八是怎样来的？我们知道三角形的面积，它就等于它的底 a 乘以它的高 h 再除以二，所以三角形的面积就是二分之一 a h， 那在这个题中面积是十八平方厘米，我们是一致的，那么我们还知道这个三角形的高就是圆锥的高，那么这个条件是角也是一致的，所以我们能挑出这个三角形的底 a， 它就等于面积的二倍除以高，所以它就等于十八乘以二，再除以九，我们算出三角形的底就等于四厘米， 那么这个三角形的底是谁？我们知道，通过观察上头，我们发现这个三角形的底就是这个圆锥的底面直径 d， 所以 我们得到圆锥的底面直径是四厘米，那么圆锥的高 h 就是 九厘米。 那么现在这个题就转化成一只直径 d， 四厘米和高九厘米求圆锥的体积，那么圆锥的体积 v 就 等于三分之一 派二的平方 h， 它就等于三分之一派乘以四除以二。火柱的平方乘以九，那么它就等于三分之一派乘以四乘以九，最后就等于十二派， 那就是三十七点六八立方厘米。这个题有两个突破口，第一个突破口我们得知道增加的面积就是两个切面的面积之合， 那么这两个切面是等腰三角形，完全一样的等腰三角形，这是第一个突破口。第二个突破口，我们还得知道，这个三角形的底就是圆锥的底面直径三角形的高就是圆锥的高，这是第二个突破口。第三个，这个题还有一个易错点， 就是已知面积和高求底的时候一定是面积的二倍除以高，才得到这个三角形的底。把这个题收藏起来，让孩子们做一做，听一听，关注我，每天分享小升初考试的重难！

错误率非常非常高。圆柱和圆锥呢，其中必考的五道判断题，我们一起来看。第一道题说体积相等的两个圆锥，他们一定是等底等高的，这道题是错的， 为什么错？贾老师来给你讲，你既然说体积相等的两个圆锥呗，那我给你出示公式。贾老师说，不管是做判断题还是做选择题，只要是相同的量，我给他通通相掉好了，三分之一啊，第一个圆锥有，第二个圆锥也有， 因此我把它消掉，现在就只剩下底面积和什么了，高了。好，贾老师给你举个例子，如果第一个圆锥，它的体积就等于二，底面积我给你给个几，我给你给个三， 高呢？我给你给一个四，所以我就能够求出我的体积吧。好了，第二个圆锥，贾老师，底面积呢？给你给个四，高呢？我给你给个三。那请问它们的体积出来相等吗？相等呀， 三分之一，相同的量，贾老师已经去掉了啊，大家都有，我就不看了。第一个圆锥，底面积给你给三，高呢，给你给四。第二个圆锥呢，底面积给你给四，高呢给你给三。那你告诉贾老师，他是等底等高吗？ 底面积三，底面积四，高四高三是等底等高吗？不是。但是呢，他们两个的体积仍然是相等的呀，所以这道题是错的。我们看第二道题， 体积单位比面积单位大。这个类型的题，我们从三年级开始做，一上来之后，你就给他说是错的，因为单位不同，无法比较。 因此呢，这种类型的题一出来，你就记住贾老师的八个字，单位不同，无法比较。为什么？单位不同？体积单位是体积单位，面积单位是面积单位。第三道题，表面积相等的两个圆柱，体积不一定相等。这句话是对的。 很多认为这道题是错的，因为我们的圆柱，它的表面结分为几部分，分为两部分，它不是一部分组成的，它是分为两部分，一部分是我们的侧面结，一部分是我们的底面结，所以它有两部分组成。因此呢，当它的表面相等的时候，它的体积不一定相等呀。因为 侧面结和底面结可能性太多了，所以它的体积不一定相等。第四道题，一个圆锥的底面结扩大了原来的四倍。第四道题，一个圆锥的底面结扩大到原来的四倍。 这个题期中考试，期末考试一定会考，他可能会考填空题，会考判断题，还会考选择题，能够让你坐对不失分的唯一的办法呢，就是摆公式。既然是圆锥，又跟什么有关？又跟体积有关，所以我就摆公式。微锥，他的公式就是三分之一，底面积乘高。 好了，他说底面积扩大了原来的几倍，四倍高呢？不变。贾老师又给你讲过，碰着这种类型的题呢，把相同的给他消掉， 所以呢，相同的三分之一大家都有啊，消掉你的高呢，又是不变的，所以我把高也消掉。消掉以后呢，现在只剩下底面积，是不是说明我们圆锥的体积只跟底面积有关了？好了，我们的底面积扩大了几倍呢？四倍，那我们的体积呢，也同样扩大四倍。所以这道题是啊，对的， 正方体、长方体、圆柱和圆锥的体积都等于底面积乘高，正方体底面积乘高，长方体底面积乘高，圆柱呢？底面积乘高，但是圆锥不是呀， 为什么？因为他还有一个三分之一啊。同学们，他不光是底面积乘高，他前面还有一个谁？还有一个三分之一？这道题错误率非常非常高，很多人就把圆锥给忘掉了，他就觉得圆锥也是底面积乘高，但是你别忘了，圆锥前面还有一个三分之一呢，所以这道题一定一定是错的。

全国中小学生 亲爱的同学们，大家好，我是江老师，今天很高兴和大家同上一堂课。 今天我们将要学习第三单元图形的运动，在这个单元中，我们将重点学习旋转这种运动方式。 其实关于旋转，在三年级下学期我们就已经接触过了。再次看到旋转这个课题，你能提出哪些想要进一步探讨的问题呢？ 图形的旋转定义、性质要素是什么？图形在旋转时要注意一下什么呢？旋转和第一单元学的平面图形旋转成立体图形有什么联系？ 立体图形能旋转吗？学习旋转有什么意义吗？ 真是善于思考的同学们！本单元我们只研究平面图形在同一平面内绕着某一个点的旋转现象， 还会探求什么是旋转？旋转的要素有哪些，以及旋转的注意事项， 所以和我们第一单元学习的旋转是不同的。当然，对于更复杂的立体图形的旋转同样也不涉及。 所以对于问题三和问题四，以后我们将会继续学习。 学贵有疑，问题能促使我们进行更加深入的思考和探讨，但是学习也不能一蹴而就，需要我们一步一个脚印地逐步向前， 这是我们本单元的学习内容。在图形的旋转一，我们将要学习线段的旋转，紧接着我们会过渡到稍微复杂一些的平面图形的旋转。 旋完旋转后，我们就可以运用平移、旋转、轴对称这三种运动方式来看图形的运动了。 最后我们会通过欣赏一些美丽的图案，以及在方格纸上设计出一些简单的图案来感受图形世界的神奇。现在就让我们开启图形运动的学习之旅吧！ 图形的旋转一， 请你做好以下的学具准备，除了常规准备以外，你还要准备一个特殊的学具方格纸。 钟表相信大家一定都不陌生，它是我们生活中非常常见的计时工具。同学们，那钟表的时针是在做什么运动啊？ 你说对了，时针是在做旋转运动，现在就请你认真观察钟表的时针、分针、秒针是怎样旋转的。 我发现时针、分针、秒针都在绕着中心点旋转，时针旋绕时所围绕的那个中心点，我们可以称为是旋转中心。 我还发现，虽然时针旋转的速度有快有慢，但它们都是朝同一个方向旋转的。同学们，现在请伸出你的手指和老师一起来比划一下吧！ 时针旋转的方向我们称为是顺时针方向，与时针旋转方向相反，我们则称为是逆时针方向。 分针和时针的转速不一样，秒针旋转一周，分针旋转一周，时针旋转一大格。 咦，同学们，刚才这位同学的回答，他所谓的时针旋转一大格是什么意思呀？ 哦，就是时针旋转了三十度，那分针旋转一圈是什么意思呢？ 你说对了，就是分针旋转了三百六十度。那其实这位同学想告诉我们的就是，时针、分针、秒针在相同的时间内，它们的旋转角度不一样。 其实啊，旋转中心、旋转方向、旋转角度正是我们要研究旋转的三要素，在描述图形运动时，这三要素可缺一不可啊。 其实呢，旋转现象在我们生活中非常的常见，比如停车场横杆的抬起和放下就是旋转的过程。 现在让我们一起看一看横杆的抬起和放下是怎样旋转的。你能用旋转三要素描述横杆的旋转过程吗？ 横杆抬起来的过程可以描述成，横杆绕中心点，逆时针旋转了九十度。 横杆抬起，小汽车通过了横杆放下。横杆放下来的过程可以描述成横杆绕中心点，顺时针旋转了九十度。 亲爱的同学们，你学会了吗？现在，请你拿起你手中的一支笔， 以笔尖为旋转中心来模拟横杆的旋转过程，并用旋转三要素来向你的家人说一说横杆是怎样旋转的？ 横杆抬起来，横杆绕着中心点逆时针旋转九十度。小汽车通过了 横杆放下来，横杆绕着中心点顺时针旋转九十度。你描述对了吗？ 同学们，刚才在我们描述的过程中，请你再认真观察横杆绕着中心点旋转，什么变了？什么没有发生变化呀？ 横杆在旋转的过程中没有发生变化，变的是横杆的位置。 的确，横杆在旋转的过程中，横杆的位置发生了变化，但是旋转中心点的位置不变，横杆本身也没有发生变化。 现在咱们既然已经学习了这么多和旋转相关的知识，下面让咱们画一画旋转后的线段吧。 不过同学们别着急，画画之前，请你先在头脑中想一想，线段旋转后的位置会是在哪里呢？ 想不出来也没关系，请你再次拿起你手中的笔，模拟线段的旋转，让你的笔转一转，看一看线段旋转后会在哪里。 这时你在方格纸上再画出旋转后的线段，同时再与你的家人说一说线段是如何旋转的， 我们一起看一看同学们是怎样画的吧！咦，老师有个疑问， 看到这四位同学的作品，他们明明画的都是线段 a、 b 旋转九十度后的图形呀，可是他们为什么画的不一样呢？咱们先来看看大家都是分别是怎么画的吧。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 逆时针旋转九十度。我是这样画的，以点 a 为旋转中心，笔尖与 a 重合，点 a 不 动用笔的位置代替。线段逆时针旋转九十度。 应该旋转到了这里，旋转后，线段长度没有发生变化，所以线段的长度还是三个格子 再画出来就可以了。 这位同学用笔代替了线段，帮助我们进行旋转，我很欣赏你的做法，还有不同的做法吗？咱们接着看。 我画的是线段 a、 b 绕点 a， 顺时针旋转九十度。 我是利用圆规画出来的线段 a、 b 绕着 a 点，顺时针旋转九十度，中心点为 a 点，我让圆规间放在 a 点上，按顺时针方向旋转，转到这里就可以了， 将它标记一下， 连线就完成了。 哦，原来圆规还能帮助我们画出旋转后的线段呢，你真是一个善于思考的同学，为你竖起赞美的大拇指，还有不同的想法吗？ 我画的线段 a、 b 绕点 b， 逆时针旋转九十度。我就直接利用旋转三要素来画的图。先找到旋转中心点 b， 再看旋转方向和旋转角度为逆时针旋转九十度， 那线段 a、 b 旋转后的位置就应该在这里，长度为三个格子。我画的是线段 a、 b 绕点 b， 顺时针旋转九十度。我和刚才那两位同学的想法都不一样， 画之前先在头脑中想一下线段 a、 b 绕着点 b， 顺时针旋转九十度后的位置，想好了，这时再画出来就没问题了。 嗯，真是善于思考的同学们，想出了这么多种不同的方法来画出线段 a、 b 旋转后的图形。现在再请你观察这四幅图，它们有什么相同点和不同点吗？ 对比第一幅图和第二幅图，我发现他们的旋转中心相同，都十 a 点，旋转角度都是九十度。但是由于旋转的方向不同，第一幅图是逆时针旋转九十度，第二幅图是顺时针旋转九十度， 所以导致了旋转之后的线段 a、 b 位置不同。哦，原来中心点相同，角度相同，但是旋转的方向不一样，线段旋转后的位置也是不相同的。 我的想法和他们不一样，我是对比着第二幅图和第四幅图来看，他们的旋转方向相同，都是顺时针方向，旋转角度都是九十度， 但是旋转的中心点不同，第二幅图的中心点是 a 点，第四幅图的中心点是 b 点，所以他们旋转之后的线段位置不同。 哦，原来通过这位同学的回答，我们还能知道，旋转的角度相同，方向也相同，但是旋转的中心点不同，线段旋转后的位置还是不一样。 看来这旋转三要素可真重要呀！有一点，发生了变化，都会导致我们画出旋转后的线段的位置是不一样的。 同学们，那现在再请你大胆地想象一下，如果我的旋转中心点位置到这里了，你还能想象出现断 a、 b 旋转九十度后的样子吗？ 如果中心点到这里呢？中心点再变到这里，你还能在脑海中想象一下线段 a、 b 旋转后会到哪里吗？ 感兴趣的同学们，你可以课下去探究一下。当我们的旋转中心点不断变化，我们能够画出无数条线段 a、 b 旋转九十度后的位置。 同学们，通过今天这节课的学习，你有哪些收获呢？你能尝试着总结一下如何画线段的旋转吗？ 我们知道了旋转的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度。 我还知道图形旋转后形状大小都不会改变，旋转中心点位置也不变，只是线段的位置发生了变化。画图时看准题目要求绕哪个点，什么方向旋转九十度， 还要注意画完的线段长度不变。最后一定要对着题目检查一下。嗯，真是一个善于总结的同学们。以后同学们在学习每课知识，也都可以做一个思维导图，来帮助我们梳理本节课的知识内容。

六年级今天我们来学圆锥的认识一填空题第一题如图，是一个圆锥，它的高是几厘米？底面半径是几厘米，底面周长是几厘米？底面积是多少平方厘米？ 圆锥的高我们知道是从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高。从图中我们发现这一段长度是十三厘米，所以它的高就是十三厘米， 底面半径是几厘米。圆锥，它的底面是一个圆，圆锥的底面直径是六厘米，那底面半径我们就可以用直径除以二求出来，是三厘米，底面半径就是三厘米， 底面周长是几厘米。圆锥的底面周长也就是圆的周长。 圆锥的底面是一个圆，那么它的周长我们就用三点四从直径求出来，等于十八点八四，那底面周长就是十八点八四。 底面积我们用三点四从半径的平方，那就三个平方求出来，等于二十八点二六， 那底面积就是二十八点二六。第二题，在直角三角形 abc 中， ab 等于四厘米， bc 等于三厘米。如果以一条直角边所在直线为轴，旋转一周可以得到一个什么形， 那我们知道绕一个直角三角形的一条直角边旋转，那么就可以得到一个圆锥，那所以可以得到一个圆锥， 它的底面周长可能是几厘米，也可能是几厘米。 这里呢，我们要注意，例如说我们以 a、 b 这条直角边所在直线为轴，那么 a、 b 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 就是圆锥的底面半径，所以圆锥的底面半径可能是三厘米，那这里他的底面周长，我们就用二拍二来求，那就是二乘三点一四乘半径三，求出来是十八点八四， 所以它的底面周长可能是十八点八四厘米，那也可能是几厘米呢？当我们以 b、 c 这条直角边为轴旋转的时候，那么 b、 c 这条直角边就是圆锥的高，而另一条直角边 ab 就是 圆锥的底面半径也可能是四厘米。当底面半径是四厘米的时候， 他的底面周长我们就用二乘三点一、四乘四进行计算，求出来是二十五点一二，所以也可能是二十五点一二厘米。

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展期。如图是一个衰奶瓶，它的瓶身呈圆柱形，不包括瓶颈，底面直径是六厘米。当瓶子正放时，瓶子内衰奶高为十厘米， 瓶子倒放时，空余部分高为两厘米。酸奶瓶的容积是多少毫升？酸奶瓶的厚度忽略不计。首先我们看这是一个酸奶瓶， 它的瓶身是圆柱形，那就说明这一部分它是圆柱，那所以酸奶的体积，我们可以直接求 那些要求酸奶瓶的容积。酸奶瓶的容积包含两部分，一部分是有酸奶的部分，一部分是没有酸奶的部分。那你看空余部分呢？它是不规则图形，所以没法直接计算。 当瓶子倒放时，那酸奶的体积它是没有发生变化的啊，也就是这两部分体积是一样的， 那矿余部分的体积呢？它其实也是一样的倒置过来，所以我们要求酸奶瓶的容积，我们就可以用酸奶的 体积加上矿余部分高为两厘米的圆柱的体积， 那把这两个圆柱的体积合起来，那就是摔奶瓶的容积。好，现在我们知道的是底面直径六厘米，那半径我们就可以求六除以二等于三厘米，半径是三厘米，那圆柱的 底面积我们就可以计算。用三点一四，从半径的平方圆柱的底面积求出来，那圆柱的体积，我们就可以用底面积乘高，那高是十厘米， 再加上这个圆柱，它的底面积和这个底面积是一样的，那也是三点一四乘三的平方，它的高是二，那就再乘二。 三点一四乘三的平方表示的是圆柱的底面积，那底面积相同，我们可以把底面积提出， 再乘十加二的和会等于三点四，乘三的平方等于二十八点二六乘十二，求出来会等于三百三十九点一二立方厘米。 这里求出来是体积单位，那题目要求的是容积单位，那我们知道 一立方厘米等于一毫升，那三百三十九点一二立方厘米就等于三百三十九点一二毫升。答，酸奶瓶的容积是三百三十九点一二毫升。

我们分享一道运用舍数的方法来突破考试的重难点。看第一题，一个圆锥和一个圆柱体积相等，他们底面半径的比是三比二，圆锥的高是十二分米，那么圆柱的高是多少分米？ 我们看题中的第一个条件，圆锥和圆柱的体积相等。那么根据这句话我们可以写出，圆锥的体积就等于圆柱的体积。 第二个，它们的半径比是三比二，那么我们有它们的半径，我们可以得出圆锥的半径比上圆柱的半径 就等于三比二。那么由这个条件有他们的半径比是三比二，我们可以得出圆锥的底面积 和圆柱的底面积的比，那就是半径比的平方，那就是三的平方比上二的平方就等于九比四。 这时候我们可以把圆锥的底面积看作四份的量。把圆柱的底面积看，把圆锥的底面积看作九份的量。把圆柱的底面积看作四份的量。接着我们看题中的第一个条件，圆锥的体积等于圆柱的体积。我们知道圆锥的体积，那就是三分之一， 圆锥的底面积乘以圆锥的高，它就等于圆柱的底面积乘以圆柱的高。 然后我们根据条件，我们看圆锥的底面积，我们看作九份的量，那么三分之一就乘以九，那么圆锥的高。题上告诉你十二分米，那么我们乘以十二， 他就等于圆柱的底面积。我们看作四分的量就等于四乘以圆柱的高，那么我们进而得到三十六，就等于四倍的圆柱的高， 进而得到圆柱的高就等于九分米。这是第一小题，那么我们看第二小题，一个圆锥和一个圆柱体积相等，我们还是圆锥的体积 等于圆柱的体积，这是第一个条件，第二个条件，他们高的比是三比二，那么那就是圆锥的高。比上圆柱的高， 它就等于三比二。我们就可以把圆锥的高看作三份的量，把圆柱的高看作两份的量，那么根据圆锥的体积等于圆柱的体积这个条件，圆锥的体积，它就等于三分之一。 圆锥的底面积乘以圆锥的高，它就等于圆柱的底面积乘以圆柱的高， 那么三分之一乘以圆锥的底面积是十二平方分米，那么我们乘以十二。圆锥的高，我们看作了三分的量，那么我们乘以三等于圆柱的底面积 乘以圆柱的高，我们看左两份的量乘以二，那么我们进而得到十二，就等于二倍的圆柱的底面积，我们进而得到圆柱的底面积就等于六分米。 这是这这两道题，这两道题是孩子们经常考试的重难点，也是孩子们的易错点。把这两道题收藏起来，让孩子们试一试，关注我，每天分享小升初考试的重难点！

今天我们通过竖形结合的方法来培养孩子的空间想象能力。来我们一起看题，一个正方题，密封盒的棱长是六厘米，它的表面积是多少平方厘米？在盒子内放入一个最大的圆柱，有一个关键词于最大 圆柱的侧面积是多少平方厘米？如果放入一个最大的圆锥还是关键词，那么圆锥的体积是多少立方厘米？我们根据题意观察图形，这个正方体棱长是六厘米， 那么让我们求的是这个正方体的表面积。我们知道正方体的表面积 s 正，它就等于棱长乘以棱长乘以六，我们用 a 表示正方体的棱长，那么正方体的表面积公式就是六倍的 a 的 平方， 那现在正方体的棱长是六厘米，他就等于六乘以六，算出一个面的面积，因为是六个面，我们再乘以六，所以他就等于二百一十六平方厘米， 这是第一位，那么我们看第二位，在核内放入一个最大的圆柱，哎，一个关键词最大，那么我们观察图形，要想在正方体内放入一个最大的圆柱，那么首先这个圆柱的高 h， 他 就得和正方体的棱长一样高，所以他的高应该等于六厘米，那么还要 这一个圆柱的底面积还要最大，那这时候正方体的上下表面，哎呀，正方体的上下底面是一个正方形，要想在正方形内作一个最大的圆，他就是我们上学期的外方内圆。 在正方形里做一个最大的圆，我们知道外方内圆中这个圆的直径就等于这个正方形的边长，那么在正方正方体中，那么这个圆的直径就等于这个正方的棱长，所以 当这个圆的直径 b 等于正方体的棱长六厘米的时候，那么这两个圆柱，这两个圆的面积最大，所以这时候这个圆柱是最大的， 那就是圆柱的底面直径 d 和圆柱的高 h 都等于正方体的棱长，这时候它就是一个最大的圆柱。 所以我们通过观察图形，通过理解题义，我们得出这个圆柱的高 h 六厘米，底面直径 d 是 六厘米，所以它求的是圆柱的侧面积 s 侧， 它就等于 pi d h， 它就等于 pi 乘以六，再乘以高六就等于三十六 pi。 最后就是一百一十三点零四平方厘米， 这是第二个空，那就是一百一十三点零四平方厘米，那么第一个空就是二百一十六平方厘米，这是第二小题，那么第三小题还是在这个正方体中放入一个最大的圆珠圆锥。关键词，最大的圆锥。我们观察图形，我们发现， 要想这个圆锥最大，那么这个圆锥的高，哎，这个圆锥的高一定要等于 这个正方体的棱长，那么圆锥的底面直径一定是正方体的棱长， 所以我们观察图形，这个最大的圆锥，这时候他的高 h 一定等于正方的棱长六厘米，那么他这个底面的圆也是外方内圆中最大的圆，这时候底面直径 d 也一定等于这个正方体的棱长六厘米。 所以当在正方体内放入一个最大的圆锥，那么这个圆锥的底面直径和高也都要等于这个正方的棱长，所以我们得出它的高是六厘米，它的底面直径是六厘米，所以这个圆锥的体积 v， 它就等于三分之一 派二的平方 h， 它就等于三分之一派乘以六除以二括住的平方再乘以高六，它最后就等于三分之一派乘以九乘以六，最后就等于五十六点五二立方厘米。 所以这个空我们填的就是五十六点五二立方厘米，这是一个重点的题型，他就是利用数形结合的方法来发展孩子们的空间观念，所以把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

今天我们分享一道课本上的附加题，这道题很多孩子都做错了，我们一起看题。曹操的爸爸用铁皮做了一个圆柱形的储物桶，他的上底一面留了一个直径是二十厘米的圆形口，做这个储物桶至少要用铁皮多少平方厘米？ 我们观察图形，这个储物桶是一个上底面留有圆形口的圆柱体，那要想求这个储物桶，至少要用铁皮多少平方厘米，就是求这个圆柱的表面积。 那么这个圆柱的表面积有三个面构成，上底面是一个圆环，下底面是一个直径四十厘米的圆形，那么还有圆柱的侧面积， 所以我们先求圆柱的上底面这个圆环。在求圆环的时候，我们先找着小圆的半径，那就是二十除以二等于十厘米， 那么大圆的半径大 r， 它就等于直径四十除以二等于二十厘米， 那么圆环的面积 s 环，它就等于 pi 乘以括号大 r 的 平方减去小 r 的 平方括住，它就等于 pi 乘以括号二十的平方减十的平方，它最后就等于三百 pi 平方厘米，这是上底面这个圆环，那么下底面它是一个直径四十厘米的圆 s 底，它就等于派大 r 的 平方就等于派。乘以二十的平方，它最后就等于四百派平方厘米， 这是上下底面，那么它还有一个侧面 s 侧，它就等于底面周长乘以高，那么底面周长就等于派 d h， 所以 它就等于派乘以直径四十，再乘以高五十，它就等于两千派 平方厘米，这是这个圆柱的侧面积。那么我们求它至少需要贴皮多少，就是求它的表面积， s 表就等于上底面 s 环， 加上下底面 s 底，再加上它的侧面 s 侧，所以它就等于三百派加四百派，再加上两千派， 它最后就等于两千七百拍，两千七百拍，最后就等于八千四百七十八平方厘米。 这是这个题，这个题的突破口就在于上底面是一个圆环，我们一定要求圆环的面积。把这个题收藏起来，让孩子们试一试。关注我，每天分享小升初考试的重难点！

六年级今天我们来学圆柱的表面积思维题。如图，将两个底面直径是四厘米，高是六厘米的圆柱， 分别沿底面直径和平行于底面两个方向切割成相同的两部分，他们的表面积分别增加了多少平方厘米？那解决这类切割问题，我们关键就要明确， 切割后呢，他的切面其实就是变化的面，像这样切一次就增加两个切面。 第一幅图，他是沿着底面直径切割的，那也就是沿着底面直径这样切割出来， 切割成相同的两个半圆柱。那这样切割下来，那么他的切面呢，就是两个长方形， 那所以表面积增加的部分就是这两个长方形的面积。 这个长方形，它的长就是圆柱的高六厘米，它的宽就是底面直径四厘米，那它的面积就用长乘宽计算。 两个切面，那就再乘啊，九出来等于四十八平方厘米。那现在第二种按照这样的方法来切，也就是平行于底面 这个方向呢？切割成啊，就按照这样的方向切，那切割出来的是相同的两个小圆柱。 那你看这样切割出来的话，他的切面呢，就是两个圆，所以表面积增加的部分就是这两个圆的面积。圆，他的底面直径就是四厘米， 知道底面直径可以求半径四除以二等于二厘米，那半径知道可以求圆的面积。我们用三点四从半径的平方求出来，是一个圆的面积，它增加的部分是两个圆，那就再乘二， 这里求出来等于二十五点一二平方厘米。所以沿着底面直径切割时，表面积增加了四十八平方厘米， 平行于底面，切割时表面积增加了二十五点一二平方厘米。

今天我们分享一组利用一项思维突破考试的重难点，看第一题，一个圆柱的体积是一百四十一点三立方分米，高是五分米，这个圆柱的底面半径是多少分米？那么我们看第一个条件， 圆柱的体积是一百四十一点三立方分米。我们知道圆柱的体积公式 v， 它就等于底面积乘以高。 现在体积是一个已知的量，高也是一个已知的量，那么我们有 v 等于 s h 这个公式，我们可以找出这个题中它的底面积 s， 它就等于 v 除以 h， 那么题中告诉我们，圆柱的体积是一百四十一点三，那么 v 就 等于一百四十一点三，那么 h 就 等于五。所以拿出一百四十一点三除以五，就得出它的底面积是二十八点二六平方分米。 那么有了底面积，我们看这个题中的问题，求的是底面半径是多少。我们知道底面积 s， 它就等于 pi r 的 平方，那么由这个公式我们能找出，哎，我们知道 s 是 我们所求的二十八点二六， pi 是 一个溢值量，那么我们由 s 等于 pi r 的 平方，能推出 r 的 平方就等于 s 除以 pi， 那么 s 是 二十八点二六，除以 pi 三点一四，我们进而得出 r 的 平方就等于九，那么九就等于三乘以三，所以我们进而得出圆的半径 r 就 等于三分米。 这是第一小题一项，也就说我们运用一项的思维，有 v 等于 s， h， 进而推出 s 等于 v 除以 h 有 s 等于 pi r 的 平方，我们一向推出 r 的 平方等于 s 除以 pi。 那 么再看第二小题，一个圆柱的体积是二百五十一点二立方厘米，圆柱的底面半径是四厘米，那么这个圆柱的高是多少厘米？那么根据题，我们知道圆柱的体积 v， 它就等于底面积乘以高，那么 v 是 个 e 质量，那么它求的是高 a， 问高有多少？那么要想求高，我们通过它的一项公式 h， 它就等于 v 除以它的底面积 s， 那么体积是个 e 质量，那么底面积我们不知道，那么怎样求底面积？题中告诉我们第二个条件，圆柱的底面半径是四厘米，那么有底面半径，我们进而求出它的底面积。那么根据 s 等于 pi r 的 平方， 它就等于 pi 乘以四的平方十六， pi， 它就等于五十点二四平方厘米。 底面积有，那么在这个地方体积是一只的二百五十一点二，那么底面积是我们所求的五十点二四，所以我们进而求出圆柱的高 h， 它就等于五厘米。 这个题它的突破口就在于有体积和底面积求高的时候，那么它的一项公式 h 等于 v 除以 s， 然后我们进而求出底面积，从而求出这个题的高是多少。 这是我们运用一性的思维来求题中的未知量。把这两道题收藏起来，让孩子们试一试。

今天我分享一道常考易错的有关圆柱测面积的问题，我们一起看题。如图，一根高是底面直径三倍的圆木，截去一分米后，测面积减少了六点二八平方分米，这根圆木现在的测面积是多少？ 那么我们通过读题，我们观察这个图形，这一根原木原来的高度，这是原来的高度，那么这是截去的一分米，那么这是现在的高度。 截取一分米后，我们知道截取一分米后，它的上下底面没有发生改变，因为原来这个圆柱是由两个底面一个侧面构成，截取一分米后，现在它还是两个底面，但是它减少的面积就是这一个。截取着一分米这个圆柱的侧面积， 那么这个突破口就是减少的六点二八平方分米。我们知道圆柱的侧面积就是底面周长乘以高，它就等于六点二八， 那么现在高是以分米，那么我们能求出截取这个以分米，这个圆柱的底面周长 c， 它就等于侧面积。除以它的高就等于六点二八。除以一，它就等于六点二八分米。 这个圆柱的底面周长是六点二八分米，那么再看其中的第一个条件，高是底面直径的三倍，那么要想求高，我们首先要求出这个圆柱底面圆的直径，那现在有底面周长，我们知道底面周长 c， 它就等于派 d， 那么我们现在求 d， 它就等于 c， 除以 pi， 那 么就等于六点二八。除以三点一四。我们求出这个直径 d， 它就等于二分米， 那么直径是二分米，那么高是底面直径的三倍，我们竟然能求出原来的高， 原来的 h， 它就等于二乘以三等于六分米，原来的高是六分米。截去了一分米后，我们进而能求出现在的高， 那就是六减一就等于五分米。现在的高有，它求的是现在的测面积是多少。那么现在的测面积 s 测就等于底面周长，六点二八 就等于 c， h 就 等于六点二八乘以现在的高度五，它就等于三十一点四平方分米。 这个题的突破口就在于，我们先有减少的侧面积，找着底面周长，有底面周长，我们进而求出底面圆的直径。 有底面圆的直径，我们进而又求出这个圆柱原来的高，用原来的高进而求出现在的高。然后就突破了这个题的难点，把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

六年级今天我们来学圆锥的体积拓展三填空题，一个圆锥的底面直径和高都是六厘米，这个圆锥的体积是多少？与它等底等高圆柱的体积是多少？那你看 等底等高的圆柱和圆锥，它们之间的体积呢？是成三倍关系， 所以这时候我们可以先求出圆柱的体积，等底等高说明底面直径和高都是相等的， 那底面直径知道底面积就可以求。我们用三点四乘半径的平方，六除以二的平方， 这个是底面积，那再从高高是六，那求出来就是圆柱的体积一百六十九点五四立方厘米， 那这个与它等底等高圆柱的体积就是一百六十九点五四立方厘米， 那这个圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，所以我们用一百六十九点五四乘三分之一求出圆锥的体积等于五十六点五二立方厘米， 所以这个圆锥的体积就是五十六点五二立方厘米。第二题，把一个体积为九十四点二立方厘米的圆柱形木料 削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？削去部分的体积是多少？ 要削成的是一个最大的圆锥，那说明这个最大的圆锥与这个圆柱呢，一定是等底等高的，那它的体积就是圆柱体积的三分之一，我们用九十四点二除以三进行计算 出来等于三十一点四立方厘米，那所以这个圆锥的体积就是三十一点四立方厘米。消去部分的体积是多少？消去部分的体积，我们可以用圆柱的体积九十四点二 减去圆锥的体积，那求出来等于六十二点八立方厘米。

今天我们分享一组利用对比的思想来探求圆柱和圆锥之间的关系。我们看第一小题，一个圆柱与一个圆锥底面积和体积分别相等，已知圆柱的高四分米，那么圆锥的高是多少？ 那么其中的第一个信息，圆柱与圆锥的底面积和体积分别相等，那么我们能得出 s 柱，圆柱的底面积就等于圆锥的底面积，那么圆柱的体积 它就等于圆锥的体积。我们知道圆柱的体积，那就是圆柱的底面积 乘以圆柱的高，那么圆锥的体积就等于三分之一，圆锥的底面积乘以圆锥的高。 然后我们看题中的信息，已知圆柱的高是四分米，那么我们就得出圆柱的底面积乘以四就等于三分之一，圆锥的底面积乘以圆锥的高。 其中第一个信息告诉我们，圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，那么根据等式的性质，等式的左右两边同时除以一个相同的量，同时除以它们的底面积，那么我们就得到圆锥的高， 它就等于四，除以三分之一，它就等于十二分米， 这时求出圆锥的高十二分米，那么由这个结论，圆锥的高是十二分米。我们看其中的信息，圆柱和圆锥底面积和体积分别相等， 那么这时候圆柱的高四分米，我们算出圆锥的高十二分米，那么我们从而能得出圆柱的高是圆锥高的 三分之一，那么圆锥的高就是圆柱高的三倍，我们从而得出这个重要的结论。那么再看第二小题，一个圆柱与圆锥的体积和高分别相等，那么那就是圆柱的体积 就等于圆锥的体积，那么圆柱的体积就等于圆柱的底面积乘以圆柱的高， 那么圆锥的体积就等于三分之一，圆锥的底面积乘以圆锥的高。 这时候我们知道圆锥的底面积是二十八点二六，所以我们把它代入，等于圆柱的底面积乘以圆柱的高就等于三分之一乘以二十八点二六乘以圆锥的高， 其中告诉我们他们的高相等，那么就是 h， h 柱和 h 锥他们是一个相同的量，那么我们同时根据等式的性质，等式的左右两边同时除以他们的高，那么我们就得出圆柱的底面积，它就等于九点四二 平方厘米。那么根据这个题我们得出的结论，圆柱的底面积是九点四二，那么圆锥的底面积二十八点二六，我们知道二十八点二六是九点四二的三倍，那么我们从而得出第二个结论， 圆柱与圆锥体积和高分别相等，那么圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍， 那么圆柱的底面积就是圆锥底面积的三分之一。这是两道通过利用对比的思维探讨圆柱和圆锥之间的关系，把这个题收藏起来，让孩子们试一试，然后探讨这个结论。