五四制鲁教版初中六下数学公式

同学们好，这节课我们来讲一元一次方程应用的第四课时来看，第一题， 将一堆糖果分为幼儿园的小朋友，如果每人两颗，那么就多八颗，如果每人三颗，那么就少十二颗，设糖果有 x 颗。好，这道题我们知道了，糖果的总数啊，这是总数， 然后根据总数来列方程，如果每人分两颗，那么多了八颗是总数率，多八颗，那就是八 x 减八。 我们把这些糖果区分给小朋友，每人两颗，那么就得出的是小朋友的人数。那 如果每人三颗的话，少十二颗就是总数里他加上十二颗，然后把这一些去给小朋友分掉，每人三颗， 来看看选择哪一个。哎，我们选择 a 选项啊。 第一题的话，等量关系是小朋友的人数不变啊。 第二题，看看啊，从哪里看呢？从这里看啊！诗句中后两句的意思是， 如果一间客房住七人，那么六人无房可住。如果一间客房住八人，那么就空出一间房， 设该店有 x 个房间，可以列方程是哪一个？嗯，有很多同学啊，一遇到这样的题，他就蒙。首先第一步的话，你一定要找到题中的等量关系， 有的老师他会习惯性的去说，数量关系其实都是一样的。 我们从小学四年级开始啊，四年级、五年级、六年级、七年级做的题跟你们现在做的是一样的，你看，你们现在是列的是一元一次方程对不对？左边等于右边？好， 嗯，小朋友总数，我，我再反过来说一下啊，小朋友总数不变，那你可以设小朋友总数就为 y 了，你糖果是 x， x 减八除以二，他是不是小朋友的总数，对不对？好， x 加上十二除以三，他也是小朋友的总数，这就是二元一次方程。也要说，你们七年级下学期 学的一元二元一次方程内容和你们现在学的一元一次方程内容是一模一样的，没有任何的变化啊，只不过就是把一个等式你去给他拆开了。 有的同学在七年级这等量关系还不写呢，你不写你依然不会啊。好了，嗯，我们继续来看第二题啊， 他一定会给你两个条件的，对不对？因为你的等式，你左边和右边你表示的量是一样的，只是表示的方法不一样。你要从两个条件去找到你的代数式啊。 一个房间住七人，那么有六个人没有房可以住。 现在我室友房间是 x 间，每间出七人，那不就是七 x 吗？对不对？没有没有房可住的，是有六个人，你加上六个人，这不就是人的总数吗？ 总人数啊。好，来看第二个条件句，如果一间客房你住八个人，那么就空出一个房间来。你房间一共是 x 间， 有一间没使，你不就是 x 减一吗，对不对？这是你现在使用的房间数量，然后你再乘以八，它不也是表示的是总人数吗？ 选什么呀？选 d 选项啊。好，来看一下第三题。某校教师举行茶话会，若每桌坐十人，则空出一张桌子。若每桌坐八人，还有四人不能就坐 该校，准备桌子数为 x。 哎，你看这道题和前两道题还是一样的啊。 我们现在知道桌子的总数 v x， 每桌坐十人的话，有一张桌子空出来来， 当你发现空出一辆车，空出一张桌子，或者是空出一个客房，空出一条船，你要用桌子的总数去减去一，有的时候会比如说，哎，我空出两间房，或者是空出两条船， 你一定在这里去给他写上啊。 x 减一，每桌坐十人，那我还有这么多桌子， 那就是十减十乘以 x 减一，对不对啊？好，这个条件就就完了。如果说每个桌坐八个人，还有四个人不能坐，也不说你所有的桌子都已经坐满了， 你还有四个人站着呢。好，你加在一起，这不就是总人数吗？对不对？哎， 总人数不变。好，来看第三题，我们选择哪一个呀？哎，选择 c 选项。 好，如果说要继续听到同学的话，来找老师啊。找老师， 咱们就是初中数学的六到几年九年级的课本和同步练习册主题主页来精讲啊，想听的同学来找老师啊。

六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。

第二题，这个题同学们你一定要重视起来，因为我们比较过去年的同步列册和今年同步列册，这个题是今年同步列册上刚加的一个题，去年是没有的，所以他既然新加了，他必然是想要考你 啊。因此我们可以理解为这个题他基本就是今年期中或期末的必考题型啊。不行，我们拭目以待，所以这个题一定要重视起来，我们来看一下。

下面就请大家和我一起踏上寒假的提分之旅，今天咱们来学习鲁教版五四至六下的第五张基本平面图形的第一节，线段射线直线。 这节课的学习目标呢，主要有三个，第一个在现实情景中理解线段射线直线的概念，以及他们的区别与联系，也是咱们本节课的重点。第二个会用不同的方法表示线段射线直线， 这个是咱们本节课的难点。第三个是了解两点，确定一条直线这个几何事实，并会用这个几何事实解释生活中的一些常见数学现象。 好，大家请看下面三张图，第一张，绷紧的琴弦，第二张，手电筒射出的光线，第三张，向两方无限延伸的笔直的切轨。 那么大家想象一下，他们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？例如第一个，绷紧的琴弦，琴弦的两端是不是固定在琴的端部啊？然后中间是一条 b 值的什么 线段？哎，对，绷紧的琴弦是线段，手电筒射出的光线是射线， 向两边无限延伸的笔直的铁轨是直线。那么线段射线、直线这三个简单的几何图形呢，在咱们小学当中已经有所涉猎，下面咱们 一起来探究线段射线直线的概念以及表示方法。 那么问题来了，线段射线直线是如何定义的呢？ 像刚才咱们看到的绷紧的琴弦以及咱们教室当中黑板的边缘，都可以近视的看着线段，线段有两个端点，这是线段的定义，下面咱们来看射线， 有了线段的定义以后，咱们根据线段的定义可以延伸出来射线，将线段向一个方向 无限延长，就形成了射线，请大家注意啊，将线段向一个方向， 这指的是一个方向，不是两个方向哈，也不是三个方向。将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，例如手电筒、探照灯所射出的光线就可以近视的看出射线， 射线呢，有一个端点，大家可以想象到，手电筒和探照灯光源所在的位置就是端点。 如果将线段向两个方向无限延长，就形成了直线。哎，这个地方是向两个方向无限延长，就形成了直线，因为它是向两个方向无限延长，所以直线呢，没有端点。 那么大家看到线段、射线、直线这三个的定义以后，是不是感觉即像是又有区别呢？那么大家首先来看啊， 线段，它与直线的联系是什么？那是不是可以看成直线上的两点，以及这两点之间的部分就是线段呢？哎，是的，你非常聪明。 那么射线呢，是不是可以看成直线上的一点和它一旁的部分构成的几何图形啊？哎，是的， 课后呢，请同学们思考一下，生活中还有哪些物体可以近似的看着线段射线、直线呢？ 那么咱们来看第二个问题，咱们第一个问题知道了线段、射线、直线的定义，那么咱们在数学当中如何来表示线段射线直线呢？首先来看线段的表示， 咱们可以用线段的两个端点字母来表示，比如右图可以表示为线段 a b 或者线段 b a， 哎，另外呢，还可以用一个小写字母来表示，比如线段 a， 这就是线段的表示方法。 下面再来看射线的表示，可以用端点和射线上另外一个点来表示， 比如射线 o m， 其中 o 是 端点， m 是 另外一个点，那么 o m 的 方向就代表了射线的方向点， o 呢，表示是射线的端点。大家请注意，射线必须有端点，有方向，这两者缺一不可。 如果两条射线他端点相同，如果他们射线的方向呢，也是同一个方向，那么这两条射线呢，指的就是同一条射线。否则，如果说是端点或者是方向，这两个当中只要有一个不同，那么就不是同一条射线。 端点呢，必须写在前面。直线的表示， 咱们可以用直线上任意两点来表示。直线，例如直线 ef 或者直线 fe， 大家可以看到 ef 也好， fe 也好，是没有先后顺序的，也就是说是没有方向的。这一点呢，和线段一样，比如线段 ab， 也可以说成线段 b a， 他 们两个没有先后顺序，也就是没有方向。 在这里呢，只有射线是有方向的，必须端点写在前。另外呢，直线还可以用一个小写字母来表示，比如直线 l。 好， 那么大家来看一下问题三，如图所示，射线 o m 与射线 o n 表示同一条射线吗？ 射线 m n 与射线 n m 呢？首先咱们来看射线 o m 与射线 o n。 刚才老师讲到了，两条射线是不是同一条射线，必须满足两个条件，一，他们的端点 是不是同一个端点，或者是不是重合，首先 o m 和 o n， 他 们的端点都是 o， 然后是不是同一个方向呢？那么射线 o m 是 这个方向，那么射线 o a 呢？也是沿这个方向，所以呢，是同一个方向，而且是同一个端点，所以射线 o m 和射线 o n 表示一条射线， 那么射线 m n 与射线 a m 呢？首先，射线 m n 是 端点是 m， 而射线 a m 的 端点呢，是 n， 他 们两个的端点都不同，所以啊， 射线 m n 和射线 a m 表示的不是同条射线。下面咱们一起来做两道题，巩固刚才咱们所学的知识点。 第一题，下列图形中表示射线 ab 的是。首先呢，大家来看 a， a 表示的是固定的两个端点和它中间的部分，所以这是线段，所以 a 不是 b 呢？ 一个固定的端点 a， 然后向 b 的 方向延伸，所以指的是射线 ab， 所以 啊， b 是 正确的。那么 c 表示的是什么呢？端点是 b 向 a 的 方向这个延伸，它表示的是射线 b a 而不是 ab， 那 么 d 呢，是两个端点 ab 向两个方向无限延伸，所以它表示的是直线 ab， 所以正确的结果是 b。 第二题，如图所示，下列说法正确的是 a。 直线 a b 和直线 c、 d 是 不同的直线。大家来看啊， 直线 a b 和直线 c d 是 不是同一条直线？如何来判断呢？首先来看，直线是可以向两个方向无限延伸的，那么咱们把直线 a b 向两个方向无限延伸， 向左侧无限延伸，然后向右侧无限延伸，那么直线 ab 无限延伸以后，是不是就会碰到了 c 点和 d 点，如果继续延伸上去，就会超过 d 点，所以呢， c 点和 d 点也在直线 ab 上，所以直线 ab 和直线 cd 是 同一条直线，也就是说， 直线的表示方法可以用直线上任意两点来表示，那么直线 ab 也好，直线 bc 也好，直线 cd 也好，在这道题中指的都是同一条直线，所以 a 的 说法是不正确的。 再来看 b， 射线 a b 和射线 b a 是 同一条射线。这个老师刚刚讲过了，射线 a b 的 端点是 a， 射线 b a 的 端点是 b， 两个都不是同一个端点，所以啊，是错误的。 线段 a b 和线段 b a 是 同一条线段，哎，这个是正确的。对于线段来讲，端点的两个字母没有先后顺序，所以啊， c 是 正确的。所以呢，该题的答案是 c。 那 么咱们一起来归纳一下线段射线与直线的区别以及联系。首先呢， 线段是不是有两个固定的端点呢？哎，一个 a， 一个 b， 它有两个端点，那是否可以延伸呢？大家注意啊，线段是不可延伸的，既不可向 a 的 左侧延伸，也不可可以向 b 的 右侧延伸。 那么线段是否可以度量呢？度量的意思就是指线段的长度是否可以计算测量。那么线段 a b 的 两个端点是固定的，那么咱们拿指尺量一下，自然可以量出它的长度，所以线段 a b 也是可以度量的。 那么它的表示方法可以用线段 a b 或线段 b a， 以及用一个小写字母线段 a， 这三种方法都可以表示。 这个地方大家注意的是， ab 两点没有先后顺序，即可以说线段 ab， 也可以说线段 b a。 如果在作图的时候，咱们一般说线段 ab， 怎么来作图呢？它的几何语言是连接 ab， 连接 ab， 大家注意啊！ 好，咱们再来看射线，射线 a b， 它的端点个数呢？只有 a 一个，所以它是有一个端点，因为向 b 的 方向是无限延伸的，所以它只有 a 这一个端点， 是否可以延伸？刚才说到了可以向 b 的 方向无限延伸，哎！可以向 b 的 右侧无限延伸， 因为它可以无限延伸，所以它的长度是不可测量，也不可计算的，所以它是不可以度量的，大家一定要注意啊！射线，它的长度是不可以度量的。表示方法，可以用射线 ab。 大家注意， ab 两点有先后顺序，因为端点必须在前，另外一个点在后。测。 作图的时候，一般描述为以 a 为端点做射线 ab， 这里指的 a 是 端点，然后 b 是 另外一个点，那么就可以描述为以 a 为单点做射线 ab。 下面来看直线，直线因为可以向两个方向无限延伸，所以直线呢，是没有端点的，因为它可以在 a 的 左侧无限延伸，也可以在 b 的 右侧无限延伸，所以它是两端，是没有端点的， 因为它可以向两个方向无限延伸，所以它的长度也是不可计算，不可测量的，因为它的长度是无限的嘛。就像射线一样，虽然射线是向一个方向无限延伸，但是它的长度仍然是不可计算，不可测量。 表示方法，可以用两个大写字母，直线 a， b 或者直线 b， a 来表示，就是直线上的任意两个大写字母都可以表示直线，也可以用小写字母直线 a 来表示。 ab 两点呢，和线段一样，是没有先后顺序的。过 ab 两点 做直线，哎，这就是在做直线时候，他的作图描述的几何语言，大家注意一下，对于这张表来讲，大家要记住啊，非常重要，因为他是第一章节咱们做题的基础，有了这张表，大家理解 并记住并会应用，才能会做下面的一些经常见到的题目。好，咱们一起来看一下， 咱们来试一试这道题啊。如图，已知平面上三点， a、 b、 c 让来画线段 a、 b 画直线 bc， 画色线 c a。 大家思考一下怎么来画呢？首先 大家来看画线段 a、 b 是 不是就直接连接 ab 就 可以了，即不要向左侧延伸，也不要向右侧延伸，只能连接 ab， 这个时候就是线段 ab。 那 么画直线 bc 呢？ 那就是过点 b 和点 c 做直线，向两个方向无限延伸，即向左下侧延伸， 也向右上方无限延伸，一定要越过这两个点，哎，这才是直线 bc， 一定要越过啊！ b 要往上延伸， c 要往下延伸，一定要越过这两点，这才是直线 bc。 那 么大家来看一下射线 c a 呢？ 那就是以 c 为端点画射线 ca， 这时候大家一定要注意， c 是 端点，所以啊， c 点是不能往下延伸的， ca 是 另外一个点，因为它是射线，所以要在 a 点的左上方无限延伸，哎，这时候就表示的是射线 ca， 所以 在做线段直线射线，一定要理解他们的定义和区别， 谁有端点，谁没有端点，谁有几个端点，哎，这是最主要的。来看第四题，第四问啊，如何由线段 ab 得到色线 ab 和直线 ab 呢？ 有了线段 a、 b 以后，根据射线的定义，是不是向 a、 b 的 方向延伸就可以了呀？将线段 a、 b 向 b 方向延伸，是不是就能得到射线 a b 呀？哎， 那如何由线段 a b 得到直线 a b 呢？是不是将线段 a b 向两个方向无限延伸，就可以得到直线 a b 呀？ 哎，咱们来画一画啊，射线 ab 是 不是就是在这朝 b 的 方向延伸，这时候这条线就可以描述为射线 ab， 如果是想把它变成直线的话，那么左侧也需要继续延伸，这个时候就变成了直线 ab。 题目当中又问，直线 a b 与直线 b c 有 几个公共点啊？那大家来看， a、 b 与 b c 有 几个公共点啊？是不是仅有 b 这一个公共点啊？所以啊，只有一个公共点 b。 下面咱们一起来讨论一个问题啊，当直线 a 上有 n 个点时，可得到多少条射线，多少条线段？咱们先来解决第一个问题，比较简单，大家来看图啊，当直线 a 上有一个点时， 那么可以得到几条射线啊？大家知道啊，对一个点来说，他至于能有几条射线在直线上，是不是在以 a 点为例，是不是可以向 左侧一条，向右侧一条，这是不是两条射线啊？所以啊，一个点对应的就是两条射线， a 点也好， o 点也好，他们对应的是不是都是 两条射线啊？也就说，在直线上的每一个点，他们都各自对应两条射线，这两条射线 互不重合。为什么呢？因为他们每一个点都是对应的射线的端点，端点不同就是不同的射线，所以直线上的每一个点都对应两条射线。那么大家根据这条规律，是不是就可以得到，当直线上有一个点时， 是不是就能得到两条射线呀？哎，对，因为每一个点对应两条射线嘛，那么两个点时，自然就乘以二是四条，三个点是乘以二六条，四个点时乘以二八条，五个点时乘以二十条，同理，六个点时十二条。 哎，这就是射线的规律。那么当直线上有一个点时，可以得到几条线段呢？如果直线上仅有一个点，那大家可以想象啊，因为咱们线段的定义是有两个固定的端点，所以啊，他只有一个点时啊，他应该是零条线段。 如果当直线上有两个点时，那么可以得到几个线段呀？哎，咱们的定义也是线段有两个断点，所以当直线上有两个点时，比如 a 和 o， 是 不是可以得到一条线段啊？大家来看上图， 如果当直线上有三个点时，比如 a、 o、 b， 那 么已经有了线段 a、 o， 是 不是还可以有线段 o、 b 和线段 ab 啊？大家请看这两个绿色的。 刚才已经有了一条红色的，再加上这两个绿色的，是不是有三条线段啊？这三条线段是不是也可以表示成一个红色的，加上两个绿色的呀？哎，咱们继续往下看，当直线上有四个点时，比如这时候再把 c 点加进来， 那么大家可以看一下，是不是就多了蓝色的这些线段呀？ 与三个点相比时，就多了三条蓝色的线段，线段 oc、 线段 bc 和线段 ac。 刚才有了三条了，那么又多了三条蓝色的，是不是一共有六条啊？ 哎，六条是不是也可以按颜色来表示成一条红色的，两条绿色的，然后 三条蓝色的，对，所以是六条。如果当直线上有五个点时，怎么着像这样一直数下去，大家会觉得非常繁琐，是吧？根据咱们学的 上学期当中的整式规律来探索的话，咱们来探索一下他们具体是不是有什么样的规律来表现呢？大家来看啊，当直线上有三个点时，他有三条线段是一加二，哎，加到二是不是比三少一啊？当直线上 有四个点时，那么他有一加二加三条线段，哎，三是不是又比四少一啊？那么同理，咱们是不是就可以啊 推得。当直线上有五个点时，那么是不是可以应该写成一加二加三加四，哎，这么多条线段呢？ 一加二加三加四就是十条线段。同理，当直线 a 上有六个点时，那么应该有一加二加三加四加五，共十五条线段。 通过上面六个小问，那么大家是不是可以总结一下，如果当直线上有 n 个点时，那么是不是可以得到二 n 条射线啊？哎，对，因为每一个点对应的都是两条射线， 如果直线上有 n 个点，那么它能对应多少条线段呢？根据上面的规律，是不是可以对应一加二加三，一直加到 n 减一啊？是不是这个规律大家看一下，三个点的时候是一加二， 四个点的时候是一加二加三，五个点的时候是一加二加四，六个点的时候是一加二加三加四加五。大家请看最后一位是不是都是比点的个数少一啊？ 哎，四个点加到三，五个点加到四，六个点加到五，那么 n 个点是不是应该加到 n 减一啊？所以可以得到一加二加三，一直加到 n 减一条线段。至于这个 算式求出来结果是多少，这可以用倒数向加法求和，老师在这里就不享受了，结果就是二分之 n 倍的 n 减一条线段， 这个结果大家一定要记住，在后来的题目中会经常遇到这个结果，当直线上有 n 个点时，那么会产生二分之 n 倍的 n 减一条线段。 如果大家想具体了解倒数相加法求和是如何进行的，大家可以看我前面的视频。

六下有多难，已经不是多做题就能解决的了。接上一期啊，很多家长说，不就是方程吧，多练练就好，还真没那么简单。六下呢，对比六上难度啊，是断崖式的上涨，每一章都在提新要求。比如说啊， 呃，咱们先学的元一次方程，解决实际问题，他不再是套题型，而是把文字要翻译成数学语言，形成工程，利润分配啊。配套问题，逻辑链异常啊，孩子直接看不懂 啊，列不出来，这不是粗心，是代数建模能力还没建立啊。嗯，第二呢，几何正式入门了，基本平面图形和相交线与平行线这两个章节，开始要求步步要有句规范书写，还有简单的推理，以前靠看图就能做，现在呢，你得要会想会说，还会写逻辑。 第三部分，整式的乘除，从整式的加减升级到整式的乘除密预算公式的运用，符号项数结构复杂度直接翻倍，信心已经不够了，必须理解本质。 第四，变量之间的关系，初步函数思想从静态数到动态变化，很多孩子第一次接触完全不适应。总结一下啊，六上呢，靠认真就能高分，六下靠认真已经不够了，必须靠思维，靠方法，靠逻辑。 这就是为什么很多孩子上册还名列前茅，下册直接名次划破，而且一旦掉下去，越往后越难追给方案。现在怎么做才能避免分数断崖？

同学们好，这节课我们来讲一元一次方程的应用。第五课时来看第一题，甲乙两人百米赛跑， 甲的速度是六点五米每秒，乙的速度是八米每秒，乙从起点出发，甲在乙的前面十五米处。同学们，你想着你现在只要是列方程解应用题，它一定要找到每一道题的等量关系式， 你只有找到了等量关系式，你才能列方程解应用题，知道了吗？什么叫等量关系？你有一个等号，你左边所表示的量，你是等于右边表示的量的， 这样的话，你才能导找到未知数和已知数的位置在哪里啊？好，这道题它是一个典型追及的问题， 老师一再强调啊，你这个列方程解应用题一定要写等量关键式，不然的话，你到七年级你还要再补这个东西。七年级还有二元一次方程，连题都是一样的，就是列两个方程，你们现在是列一个方程啊？好， 乙他是从起点出发，甲在哪啊？甲在他前面十五米的地方，这里是十五米，然后乙追上甲需要多长时间？好比如说在这里追上了， 那你说乙所走的路程和甲所走的路程，他俩的这个时间 t 是 不是相等的呀？ 对不对啊？好，等量关系，这不就找到了吗？是不是啊，十五米加上 t 走的路程等于已走的路程，已走的路程用速度 v 乘以时间等于十五米加上甲的速度乘以时间。说白了啊，乙要是追上甲，要在相同的时间内比甲多跑十五米来把题中的已知条件带进去啊。 乙的速度是八 t 加上等于十五米加上六点五 t。 好， 你把这个时间解出来，不就是他所需要的时间了吗？算算等于多少？ 一点五 t 等于十五十五，除以一点五就等于十秒。选择 c 选项啊 来看第二题， a、 b 两站相距两百八十四千米，假车从 a 站以四十八千米每小时的速度开往 b 站，一小时之后，乙车从 b 站以七十千米的速度开往乙站。设，乙车开出 x 小 时之后，两车相遇， 可列方程来看一看啊。这道题，甲是从 a 站出发的，速度是四十八，它 一个小时之后啊，这个乙车才走，说白了，这个甲它应该是先走了一个小时，对不对？好，那么我甲车的话，它的时间应该是 x 加上一， 那么它的路程呢？它的路程的话就在乘以速度哈。然后来看乙车，乙车的速度是七十，它行驶了 x 小 时， 路程的话就是七十 x， 求相遇，相遇的问题就是七十 x 加上四十八，乘以 x 加一，等于两百四十八呗。好，我们选择 c 选项。 第三题，小明骑车从家到学校骑行的速度是四百米每分钟。有一天上学的时候，小明晚出发三分钟， 想要和原来的时间一样，那么速度需要提高到五百米每分钟。那么设，小明原来从家到学校骑 x 分 钟，然后列方程啊， 原来的话，它是需要骑 x 分 钟，然后它是四百米每分钟，那么它从家到学校， 它的路程是不变的，对不对？哎，路程那就是四百乘以 x， 这是它的路程，但是你要想着我现在呢， 现在我的速度是五百，然后时间是比原来晚三分钟，那就是 x 减去三，对不对？路程是不变的，只是速度和时间发生了变化。好，四百等于五百，乘以 x 减三， 选择 b 选项啊，来看第四题，甲乙两人在四百米环形跑道上练习中长跑，来这里啊，请同学们注意一下，现在是一个环形的跑道了啊， 我来画一下啊，甲每分钟是跑三百米，乙每分钟跑是两百六十米，来，两个人是同地同时同时起跑啊，比如说，在这里是一个起跑线， x 分 钟之后第一次相遇也有说，呃，甲跑得快对不对？哎，甲跑得快，甲是在前面跑，然后乙呢？乙跑得慢，它这是在后边。 第一次相遇，它是快的人比慢的人多跑了一圈啊。跑了一圈，也有说我这个路程 差，我就等于这个跑道的周长，因为他俩得是什么？他俩得在在某一地点，他俩相遇了，对不对？你相遇，比如说我在这里相遇了吧， 跑得快的，他都已经跑完一整圈了，然后又相遇的好，那么路程差，他就是应该等于跑道的周长。 嗯，假的，路程是三百 x， 对 吧？按速度乘以时间嘛，减去两百六十 x， 我 等于跑到的周长，它是四百四十 x 等于 四百，那你说 x 应该是等于多少呀？是不十分钟啊？哎， a 来看第五题啊，甲乙两地相距 x 千米，一列货车，原来从甲地到乙地需要用二十个小时，开通高速铁路之后，车速平均每小时比原来快了一百千米， 因此从甲地到乙地只需要十二个小时。然后练方程可以得到什么？ 嗯，老师刚才画的，这是一个条件句，我们可以根据条件句找到等量关系吧，对不对？哎。呃，我们就是用原来的时，我看看啊，原来的时间减去现在的时间， 哎，时间去了速度啊，我用原来的速度减去现在的速度就等于什么速度差，对不对啊？好 来，原来的车速是多少？想一想啊，原来的车速是 x 除以二十，这是速度啊，现在的速度呢？是 x 除以十二， 因为我现在只需要十二个小时啊，哎，他俩一相减就等于一百，我用原来的速度减去现在的速度就等于一百，这是他们的等量关系。 第六小题，燕燕和君君从 a、 d 沿相同路线骑行去 b、 d， 已知燕燕的速度是君君的一点二倍， 君君先骑行两千米，燕燕才从 a、 d 出发。那燕燕出发半个小时之后，恰好追上君君，则君君每小时应该骑行是多少？ 这道题是，其实和第一道题是一样的，对不对啊？嗯，燕燕追上君君的时候，两人行驶的路程是相等的啊，路程是相等，我们列一下方程， 首先，我们设均均每个小时为 x 吧。好吧，啊，均均为 x， 那 么艳艳的话，不就是一点二 x 吗？哎，对，老师刚才把这个条件句已经画出来了啊，好，一点二 x 得乘以零点五吧， 对不对？哎，因为它是先出发多少半个小时啊， 它是等于二，加上零点五 x， 你 看它俩时间是相等的啊，它俩时间所用的时间是相等的。 好了，看看等于多少呀？解方程，这是零点六， x 等于二，加上零点五 x， 零点六减零点五 x 等于二二除以零点一的话， x 就 等于二十。 来看第七题啊，小康同学在做月作业的时候，不小心将墨水打翻，使一道数学题只能看到太原两地相距 两百七十千米，假车的速度是八十，以车的速度五十八千米每小时。然后没有问题，请你将这道作业题补充完成，并列出方程解答。好，那么我们就给个问题吧，这道题我们答案是不为一的啊，我就举一个例子吧。 嗯，加一，两辆汽车 同时出发， 相向而行， 两车几小时相遇，可以吧？哎，可以是相遇问题啊，也可以是追击问题。 我们设两车 x 小 时相遇， 根据提议 可以得到，嗯，甲车的路程是八十乘以 x， 乙车的路程是五十八乘以 x 等于两百七十六。然后我们解这个方程啊， x 等于二，然后写好答案。 第八题，甲乙两地相距三百六十千米，两辆汽车同时从两地相向开出，两个小时相遇， 客车与货车的速度比是五比四，客车每小时行多少千米？来这道题啊， 我们设，只要是有速度比了啊，这个就很好设，设，客车每小时 行五 x 千米，货车 每小时行四 x 千米，它俩是两个小时相遇的啊，所以是二乘以括号，五， x 加上四， x 等于路程三百六十。 嗯，五加上四等于九十八， x 等于三百六十，那么 x 的 话是等于，嗯，二十。 好，他让求的是客车是多少，客车是五 x， 五乘以二十等于一百。 好，写好答案来看第九题。小明从家里骑自行车到学校，在同一时间出发，每小时骑行十五千米，可早到十分钟， 每小时骑行十二千米，就会迟到五分钟。他家到学校的路程是多少千米？假设他家到学校的路程是 x 千米，然后根据题来列方程。好，我们分析一下这道题啊， 我们的总路程是多少呀？ 路程为 x 千米，对吧？啊，好，当它速度是十五千米每小时的时候， 时间的话，那就是 x 除以十五，对不对？这个时候我用这个时间去加上十分钟，这就是学校标准的时间。标准到校时间 这个五分钟我们得把它转化成小时啊，这个十分钟我们得把它转化成小时啊。转换单位， 转换单位的话是由小单位转化成大单位，应该是除以进率十除以六十啊，好，加上十除以六十，这是我到校的标准时间。当速度 是十二的时候，我应该是用路程 x 除以十二这个时间，然后呢？我， 嗯，迟到了，我们还是要把这个迟到的这个五分钟去转化成小时啊。五除以六十，用这个 x 减十二，减去这个六十分之五，它也是标准时间到校的标准时间。 好，我这个等量关系不就出来了吗？来看一看第九题，你选择哪一个呀？哎，我们选择 a 选项啊。 第十题，修一条排水渠，假对需要十天，乙对需要十五天。现有两对合修， 中途以对应用。设剩余的任务由甲对单独修，又修了五天才完成。在这个过程中，甲乙两对合修了多少天？ 我们来分析一下这道题啊，如果说甲单独做的话，他的工作效率是多少？甲的工作效率是不是十分之一，对吧？我们把这一条水渠去给他看，做一个单位一啊， 然后乙对呢？乙对的工作效率是单位一除以十五， 然后他俩现在是合修十分之一加上十五分之一，对不对？哎，乘以什么呀？工作效率乘以工作时间等于工作总量，然后你剩下的工作由谁来修？剩下的工作， 哎，看看啊，有假对来修啊，假对是十分之一， 假对的工作效率是十分之一，然后他用了五天的时间 等于工作总量。好，方程我们列出来了，接下来我们解方程就可以了啊。方程，嗯，需要通分， 十分之一，十五分之一，三十分之五，这是六分之一啊，六分之一加二分之一，六分之一 x 加上二分之一等于一， x 等于三。选择 b 选项啊， 来看十一题，一列火车长是四百八十米，速度是六十千米每小时。好，这是米啊，需要换算成单位啊。四点零点四八千米， 有一辆车速为八十千米每小时的小汽车，要超越正常行驶的火车，由火车尾追至火车头，需要几分重， 因为这个小汽车啊，它是，嗯，从火车尾到火车头，它是同向超车的啊，所以说它俩相对的速度，两车之差。想着啊， v 相对的速度， 它是等于八十减六十的，这是会出现一个速度差啊，二十千米每小时， 那么你超车行驶的路程，小汽车，你超车行驶的路程，它是尾，这里是火车头，对吧？你要从这里开始走，你只要是你追上它了， 它是一个火车的长度啊，我们就是用火车的长度去除以速度， 就等于时间零点零二四小时，然后我把它去换算成分钟啊，它乘以六十就等于一点四四分钟。 好，这道题啊，请同学们注意一下，你首先要求出它俩相对的速度，说白了就是速度差啊，路程除以速度差 就等于这个时间。 第十二题，一架飞机的储油量最多能够维持它在空中飞行四点六小时， 飞机出航时是顺风飞行的，它在无风的时候速度是五百七十五千米每小时，风速是二十五千米每小时，然后这架飞机最多飞出多少千米就必须返航。 嗯，我们顺风的速度是多少？顺风是不是五百七十五加上二十五，对不对？哎，这里是六百 千米每小时，那逆风呢？五百七十五减去二十五等于五百五十千米每小时，对吧？啊，好，它是因为往返的总飞行时间是四点六小时，对不对？啊？好，那我们可以是 最多飞出 x 千米就必须得返航啊。好， x 除以六百，加上 x 除以五百五十等于四点六，然后我们去解这个方程啊，解方程 x 等于一千三百二十，然后写好答来，把书翻过来看。第十三题， 甲、乙两车分别从相距三百六十千米的 a、 b 两地出发，甲车的速度为六十五千米每小时，乙车的速度为五十五千米每小时。两车同时出发，相向而行， 求经过多少小时后，两车相距它是六十千米来，同学们，这道题熟不熟悉啊？我们从四年级就开始学，对不对啊？ 来看一下啊。看，这是四年级下册，四年级下册这个题型是一样的啊。 这是相距八十八百八十千米，然后两车的速度。问，几个小时之后，哎，相距八十千米这道题他给的是什么？先画图分析题，然后再列方程检查。他分为两种情况。 分为两种情况，哪两种情况？第一种情况是两车还没有相遇，对不对？第二种情况呢，是两车相遇之后，他俩会继续前行，是不是一模一样的？这是我们四年级下册啊， 老师从四年级就开始说，四年级、五年级、六年级、七年级，这四个年级你所有遇到的题型都是一样的，但是解答方法是不一样的， 能理解吗？我们四年级的话是刚刚开始学，对不对？哎，分两种情况，等到五年级的时候啊，他不会让你再画图了，也不会让你就是把这个情况分开，需要你自己来画，自己来写。然后到六年级我们干什么呢？ 是列一元一次方程，记住了，是列一元一次方程，然后等到七年级的时候，我们是列二元一次方程啊，来回归一下这道题啊，首先它是第一种情况， 它是怎么样啊？两车还没有相遇， 两车没有相遇，然后呢？相距六十千米， 好，如果说我们要画图的话，是甲车，乙车，这是甲走到这了啊，然后呢？乙走到这，中间相遇啊，相距六十千米，对不对？哎！ 解，设 x 小 时后 相距六十千米。老师为什么要画这幅图啊？这幅图就是你的等量关系啊，好，假，车所行驶的速度是六十五 x 加上哎，中间的六十，再加上五十五 x 等于 三百六十，对不对？好，解，方程 x 等于二点五，好，这是第一种情况。第二种情况呢，两车相遇后， 相距六十千米。好，这是甲，这是乙， 比如说我们在这里相遇了，但是我的甲还是要继续前行，我的乙也是要继续前行，这个时候乙车在这里，甲车在这里，他俩相距一个六十，是不是相当于多走了一个六十啊？ 设 x 小 时后相距六十千米。假车所。呃，行走的路程应该是 六十五 x， 然后加上五十五 x， 因为我们多走了一个六十嘛，我要用三百六十去加上六十。好，这个时候我们解方程 x 等于三点五， 对不对？哎，好，这个时候写好答啊。答二点五小时或者是三点五小时后相距 六十千米。来看十四题啊。 六年级一班学上去与学校相距十点五千米的生态园郊游，他们同时出发，班长骑自行车，其他同学不行。班长的速度比大部队的速度的三倍慢两千米每小时， 班长先到达，升退员之后立即返回，在途中遇到大部队，这时他们出发是，嗯，据他们出发已经过了一点五小时。求班长与大部队的速度。 好，这道题啊，他还是一道典型的行程的问题啊。 好，这道形成的问题。嗯，他先有追击对不对？然后又有相遇。你想一想，我们先画图分析一下。像这种形成的问题是画图 分析等量关系式 看啊。嗯，班长和部队他俩是同时出发的， 从这里出发，而且是同时，对不对？谁快呀？那肯定是班长快对不对？哎，这是班长，然后这是部队啊，部队走得慢， 然后班长他已经到达目的地了，他还得再往回走，对不对？哎，他再往回走。首先班长他已经是走完全程了， 然后他回去的时候在这里他与大部队相遇。说白了啊，大部队和班长他俩的总路程是两个全程，看见了吗？是两个全程啊， 班长走的路程是一个全程，加上这一段，大部队在相遇的时候只是走了这一段。好，我们已经找到他们的等量关系了啊，找已知条件， 总路程是不是十点五千米，这是总路程，他们什么时候相遇的？ 是一点五小时对不对？哎，因为就是班长他回来的时候在途中遇到的大部队就是在这里，我遇到了，这时候据他们出发的时候已经是过了一点五小时了。哈，大部队的速度是多少？ 题中有吗？没有，来，我们先设它 v x 铅笔每小时啊，好，那你说班长的速度呢？想一想，班长速度 也没有，但是我们可以根据已知条件找到班长，他是比大部队速度的三倍还慢两千米。我设的大部队是 v x 三 x 减二， 我们的图形也有了，所有的已知和未知条件也有了。好， 我是路程和它等于两个全程，对不对？哎，相遇问题，它永远都是路程和等于路程， 速度乘以时间啊，速度就是两个两个不同的量啊，它的速度和乘以时间，相遇的时间就等于全程。来吧， 我们分析完了啊，解射射的是谁啊？射大部队的速度啊， v x 千米每小时，则班长他是三 x 减二千米每小时。根据提一得，你看，根据提一得这四个字， 它是我们上面完完全全分析的一个过程哈， 大部队的路程是一点五乘以 x， 班长所走的路程是时间啊，乘以它的速度 三 x 减二，然后等于两个全程，十点五乘以二。好，这不就列出来了吗？对不对啊？然后 x 等于多少呀？ 捷德， x 等于四，班长的速度 三 x 减二等于三乘四减二等于十，对吧？哎，这是班长的速度，这是大部队的速度。然后写好答， 来看课堂延伸，阅读下列史料，并解决相应的问题。好，你不要想着课堂延伸它就很难。不是的啊，它这样的课堂延伸只是就是增加你的这个知识量和阅读量， 听懂了吗？就是说这个题型啊，看题型，然后我们不用看上面了，看下边吧，从一文这里开始看啊。马跑，跑得快的马每天走两百四十里，跑得慢的马每天走一百五十里， 慢马先走十二天，快马几天可以追上慢马这里啊？注意一里，他是等于五百米，请你列方程来解答。又追上，是不是追急问题啊，对不对？哎，追急问题， 先来分析一下这道题啊，分析，慢马先走十二天，所以他走的天数总路程是多少？想一想啊，慢马 他是先走十二天，对不对啊？ 那么当快马追上他的时候，他的总天数是多少？ 追集问题，其实你还得是画图来表示啊，慢马先走的是十二天啊，这里十二天， 然后在这里相遇。 这个慢马它走十二天的时候，它这个快马是不是从这里走啊？对，这里走这里的话，我设为的是 x 天，它快马在走的时候，其实慢马也在走，对不对？哎，这里的话 就是快马走的 x 天，所以慢马在他俩相遇的时候，所总的总天数应该是 x 加上十二天， 可以理解吗？同学们啊，这是慢吗？我再讲一遍啊。嗯，如果说你学的快的同学你也懂的同学，好，那这一段的话，你可以跳过去了。如果说你追急问题不是很理解的，或者是你列对了，你不知道这个底层逻辑是怎么来的，你可以听一下啊。 我再讲一下，慢马先走十二天，在这里的时候，快马他是从起点开始走，他从起点一直到相遇的时候，他用 x 天， 但是慢马他也是在走的，那这一段用的时间，他和快马用的时间是一样的啊，好，那么慢马总时间就是十二加 x 天， 慢马每天是走一百五十里，那么它的总路程我写到这里啊， 那不就是速度一百五十乘以天数 x 加二，这是它所总走的总路程啊。来看快马， 快马每天走两百四，它一共是走了 x 天，路程 就是两百四十 x， 好， 这是它的总路程啊，千米，这里是千米啊，哎，不对啊，老是不能用千米，因为这里给的是那个里啊，单位不能搞错了， 来吧，那么我们根据题列方程，这就是根据题的过程啊，减 设快马 x 添可以追上慢马，根据提一得， 它俩总的走路程是相等的啊，所以这是我们的等量关系，就是快马两百四十 x 加是等于二， 它俩路程是一样的。嗯，十二乘以一百五十加上 一百五十 x。 好， 接下来解方程啊，两百四十 x 减去一百五十 x 等于十二乘以一百五十，那么 x 的 话就等于二十记号答案，二十天之后可以追上慢马。

给大家讲解的是这个六年级下册同步脚的第二课时中的重点题。先，脚的肚量里边的话，不是指比较脚大小，就是脚可以进行加减计算，还有脚的终点的一个性质。脚的加减计算里边，咱们先看呃 立一的图。立一的图 a 的 图里边有很多个角，是不是有角？ a o b。 角 b o c。 有 c o d， 还有 a o c b o d， 还有最大这个角 a o d 这么多个角，角之间的话可以进行一些度量加减。首先看加减的语言是我们必须要掌握的，因为角的加减的语言在我们集合证明题是作为一个 固定的书写格式的。先看这个二、 a o c 图中 a o c 中间有个射线 o b， 它明显是吧？ o b 把 a o c 分 成了两个角，一个是 a o b， 一个是 b o c， 是 吧？所以 a o c， 它是等于 a o b 加 b o c 的。 嗯，然后剩剩下的一个 b o d 呢？同样的道理， b o d 中间有个射线 o c， 它把 b o d 分 成了 b o c 和 c o d， 所以 b o d， 它是等于 b o c 加 c o d 的。 就是如果一个角的中间有两个角相加，得到 a o d， 它是等于 b o d， 它是等于 b o c 加 c o d 的。 就是如果一边有两个射线， 大部分孩子想的是 a o d 里边有两个射线分成了三个小角，所以 a、 o d， 它是可以等于这三个角相加 a o b 加 b o c 加 c o d 的。 可以，但是我们在证明题里边的话，尽量的是用两个角相加得到一个新角。为什么呢？ 我要是求 a o d 的 话，你是不得先求出 a o d， 求出 b o c， 求出 c o d 求三个条件才能得到 a o d 是 吧？但是我如果通过两个角相加，我是不是只求两个角就可以了？这样的话更简洁一点，那我们如果两个角相加得到 a、 o d 可以 的，是谁啊？ 看较大的角， a、 o c 加上 c o d， 或者是其中两个角组合在一起的是 b o d 加上 o b 是 吧？ a o c 加 c o d， 或者是 a o b 加 b o d 都可以。 那角度相减呢？相减什么时候用角度相减就是这个角中间没有任何的一个设限，只有是单独的一个角，比如说角 b o c b o c 中间没有任何一个设限，所以它不可能通过角相加得到，只能通过角相减得到。相减得到需要注意。呃， 被减的这个角要比 b o c 大， 是不是比 b o c 大， 所以要包含，在图中看的话，是要包含 b、 o c 的， 那包含 b、 o c 的 角比 b o c 大 一点的角， 这个 a、 o c 可以， 是不是还有往下往下长一点，大一点， b o d 也可以，是不是？那如果用 a o c a o c 减， a o c 减去，谁能把中间的这个 b o c 剩下是不把这个上面这个 a、 o b 减掉， 对吧？还可以呢。 b o c 比 b o c 大 一点的向下 b o d， b o d 稍微大一点，那 b、 o d 剪哪个角才能得到这个阴影的？ b o c 是 不是把下面这个 c、 o d 剪掉 啊？所以角度相减咱们需要注意，被减的角要包含我要得到求出来的这个角啊，这是角的相加或相减的语言。还有角平分线，角平分线咱们说了是角内部有一个射线引出来，把这个大角分成了相等的两个小角平分线。角平分线，如果已知已知 oc 是 角， a o b 的 角平分线，你能得到哪些性质啊？根据角平分线的性质，是不是这两个小角相等，也就 a o c 等于 b o c 能够得到 a o c 等于 b o c， 那 这两个小角是不是大角的一半？如果我已知 a o b， 那 a、 o c 是 不是等于三十和三十？ b o c 也是三十， 它们都等于大角的一半。什么时候用这个语言呢？就是我已知角平分线，已知被平分的这个大小，求其中的一个小角就可以用它是一半的关系。 什么是还有呢？如果我知道 a o c 是 四十度，知道 o c 是 角平分线，求 a o b 呢？那两个四十是不是八十度？这个也是角平分线的性质，但是它什么时候用是已知平分，已知其中的一个小角，求大角要用二倍的关系，大角是小角的二倍的关系啊。这个语言咱们知道怎么用，什么时候用，并不是 知道角平分线就把所有的这个性质抄上。并不是啊，来看看啊。例题，例二是一个重点的题型，例二例二大部分同学会不看，但是例二这个题的话，咱们需要记一下，他用到了一个等量代换的思想和整体的思想来看，点 o 是 直线 ab 上的点，直线 ab， 咱们可以知道直线上方是一百八十度， 直线上方是一百八十度， o c 是 它上面的一个线，是不是现在是不是被分成了直线？这个平角被分成了 a o c 和 b o c， 对 吧？ a o c 和 b o c。 首先 om 平分的是这个 a o c， 它体里面标了个角二，角二是不是给 o c 的 一半 n 平分， b o c 体里标了角一，角一是不是 b o c 的 一半？ 然后让你知道角二和角一的关系是二倍的关系。求角一。求角一的话，这里边看角平分线的语言，我用的是不是角二等于 aoc 的 一半和角一等于 boc 的 一半，并没有说，并把它全写出来，没有写 a o m 等于角二等于二分之 a、 o c。 是 不是我用到哪个我就写哪个就行了啊？ 角二我用角二，角二是大角的一半，角一是这个 b、 o c 的 一半，然后 a o c 加 b o c 不是 平角一百八吗？你先求角一加角二。为什么求角一加角二是角二和 a、 o c 有 关系，角一和 a、 o c 有 关系啊，对不对？然后 a o c 加 b o c 是 一百二，那角二是 a、 o c 的 一半，角 b， 角一是 b o c 的 一半，它俩相加是不是等于一百八的一半？也就是换成 把它换成二分之一 b o c 加二分之 a o c。 然后用了一个乘法分配律，是把二分之一 b、 o c 加 o c 一 百八的一半是九十，但是这个九十，你现在求的是角二加角一。怎么求角一呢？还有一个关系，角二等于二倍，角一，角二，因为角二等于二倍，角一， 角一加角二的话，就可以换成角一加二倍，角一等于九十，也就是三倍角一等于九十，角一是三十度。是不是这里边有一个角平分线的语言，语言性质的表达，角平分线的语言，平角一百八。还有一个整体思想等量代换。嗯，整体思想等量代换。什么是等量代换？相等量可以相互替换呀，你比如说角二等于角一，二等于二倍角一用 角一加，角二等于九十度的话，那把这个二倍角一用它相等的量替换，是不是等量代换啊？五题和六题五题五题， 如图，来填一下角度之间的夹角关系。这个前面基本上都没问题， a o c。 看 a o c 内部是不是有个射线，就可以通过这两个角相加得到啊？两个角相加得也就是 a o c 等于谁加谁啊？ a o c a o c。 是 不等于把 ob ob 分 成了两个射线，一个是 c o b， 一个是 a o b， 所以 a o c 等于角 c o b 加角 a o b c o b 加角 a o b。 然后那通过哪个两个角相减得到？相减要想得到的还是 a o c。 那 咱们说了，要想相减得到的 a o c， 被减的这个角要比 a o c 大， 且包含 a o c， 那 只能是 a o d 比 a o c 要大，是吧？所以前面这个角肯定确定了是 a o d， 那 这个最大的这个角要想得到剩下的是 a o c， 那 是不是把这个 c o d 不是 阴影的部分剪掉，所以剪的是 c o d？ 再看 a o b a o b 这个角通过哪两个角相减得到还是相减的话，我就想相减得到 a o b， 最起码比 a o b 大， 包含 a o b。 哎，刚才这个 a o c 就 很合适。 a o c a o c。 这个角是不是比 a o c 大？ 所以可以用 a o c 减。 a o c 减谁啊？只剩下下边这个角，所以只减上面这个角，减的是 b o c， 上面这个角是 b o c， 然后呢，还可以通过哪两个角相减得到？那谁还比 a o b 大， 且包含 a o b， 那 最大的这个角 阴影放到一起是不是 a o d？ 那 用 a o d 减 a o d 减谁？ a o d 最大的角减谁？只剩下这个下面 a o d 啊，是不是把上面的角都减掉？减的是 b o d， 也是下面这个勾角 c o d 上上面这个叉角，它俩相等，还能得到哪两个角相等？它们俩不挨着呀，它们俩中间隔了一个，谁隔了一个 b o c， 那 你想想，它俩相等，如果两个相等的量再加上同一个角度，相等吗？相等，所以它们都加谁都加上中间空白的 c o d， 也就是角 a o b。 不是 等于角 c o d 吗？然后我让角 a o b 加上这个角 b o c， 也让这个 c o d 加上 b o c， 这是不是等式的量？再加上同一个量，结果肯定是相等的，那结果是谁？看图， a o b 加 b o c a o b 加 b o c， 是 不是角 a o c 得到的是 a o c 等于 b o c 呢？写的是 b o d， 所以 得到的是 a o c 等于 b o d， a o c 等于 b o。 然后我想看一下，下面一问，反过来，反过来，如果知道 a o c 等于 b o d， 则等 得到哪个角，它不跟第三问，它是反的吗？第三问是，知道 a o b 等于 c o d， 是 不是得到 a o c 等于 b o d 啊？那 a o c 又等于 b o d 了，是不是也能得到 a o c 等于 c o d 啊？为什么？看图， a o c 是 哪个角？ a o c a o c 是 这个。哎，这个角 a o c b o d 呢？ b o d 是 这个角哎，我发现它俩会重合了一部分，这是叠角的问题，两个相等的角重合了一部分，它们如果都把中间的这个重合角 b、 o、 c 减掉，剩下的是不是也是相等的，是吧？啊？叠角的问题，如果两个相等的角重合，都减掉重合角，剩下的角都是相等。 咱们再看第七题，第七题的话是一个，呃，那个计算计算题，呃，角度计算题。首先我要把已知条件都标上，然后把我尽量能推到的条件也都标上。标上的目的来理思路，求最终的角度看 a、 o、 b 等于一百二 o a、 o、 b 之间的角度，标上一百二 o、 d， 平分的是 a、 o、 b， 就是 平分这个一百二的角， b、 o、 d 这边是六十， a、 o、 d 这边也是六十，是吧？ oc 又平分 a、 o、 d， a、 o、 d 不是 六十吗？平分这个六十度的角，那都是三十度。三十度把我推倒的填上，填上之后求 b、 o、 c， 你 就一眼就能看出来 b、 o、 c 是 不等于这个六十度加三十度是九十度，是吧？那我这个标的目的是理思路，思路有了，那怎么样用语言表示出来呢？ 用语言表示出来，那你就看。我刚才是第一步是因为 a、 o、 c， 因为平分求的这两个六十度，求用的是角平分线一半的关系，是吧？然后又因为平分，我求的上面的三十度，下面的三十度没有用，我就不用写，也是用的是角平分线一半的关系，然后求最终的这个 b、 o、 c 用的是角度相加，角度相加，所以这个过程看怎么写啊？求角度要先写角， 然后首先是因为角 a、 o、 b 等于一百二十度且平分，两个条件放到一起并列写，且且 o d 平分， 角 a、 o、 b， 那 我用的是一半的关系啊，所以用的是不是这边的六十度和这边的六十度都用到了？都用到了就都要得到 b、 o d 和这边的 a、 o、 d 是 相等的，用的是大角的一半，也就 a、 o、 b 的 一半的关系，它们是不等于六十度啊？六十度是吧？等于六十度了，然后呢？六十是不是又平分？平分，平分，平分，超呀？平分看我刚才平分的条件，都是一致，条件都是超就行，因为 o c 平分， 平分谁啊？角谁？ a、 o d 是 不是抄完了之后，然后我用的是三十，是用 c、 o d 这个三十， c、 o、 d 这个一半的关系，谁的一半，平分的那个角的一半。你看我全程都不用看图，所有的几何，如果思路有了，语言知道怎么表示了，就像抄答案一样简单，然后它不就等于三十了吗？ 是不是？所以咱们最终要求的角 b、 o、 c 不是 角度相加吗？但是不要写六十加三十，咱们所有的几何证明过程都要用角度之间的关系，要写六十度的那个角 b、 o、 d 加上三十度的那个角 d、 o c， 写九十度就可以了，是吧？这是咱们的最精简、最准确的一个。里面我们要学的是九题啊，十二页题要讲的比较多一点啊，十二页咱们先看， 先看十二页的九题，十二页的九题和咱们前面的 b 二，它是属于同一个题，所以你可以旁边写个 b 二，它和 b 二是一样的题啊，为什么说和它和 b 二是一样的题？先看条件， a、 o b 等于一百二，标上从 o a 到 o b 这个角大小一百二。 o d 平分的是 b o c b， o c 平分，平分得到哪两个角相等？然后 b o d 和 c o d 这画一个小勾或者其他的符号都可以代表它俩相等，但这个平分线的关系有了。 o e 平分， a o c o e 平分， a o c 平分， a o c a o c 两边呢？这个角是不是相等的？所以画两个叉角和其他的符号，圆圈啊，弧线都行，代表是这两个角相等的。求 e o d 这里边只有一个百二，我一百二的关系，能得到这两个小角和这两个小差角吗？都能得不到，都得不到，是不是？所以这里边就跟刚才的那个梯梯不一样，梯梯的话是能够推断的角度比较多，来通过求最后的角度，但是这个推断角度很少，怎么求这个 e o e o d 呢？只要从 e o d 这个问题出发 看， e o d 这个角是不是通过 e o c 加 c o d 就是 一个勾角加一个叉角组成的。勾角是多少度不知道，但是勾角肯定是 b o c 的 一半 是吧？叉角同样道理是多少不知道，但是叉角肯定是 a o c 的 一半，所以一勾加一叉的话，是 b o c 的 一半加上 a o c 的 一半，那一半加一半是不等于和的一半，也就是 a o b 的 一半。哎， a o b。 知道呀，一百二前面是不是把那个 a o b 是 个平行平角一百八是一样的呀，是不是？所以跟前面的思路过程是一样的，是先因为平分得一半的关系啊， 平分两个都可以写啊。 o d 平分角 b o c o e 平分角 a o c， 所以 得到的是 c o d 这一半我没有用 b o d c o d 是 等于谁的一半，它平分的 b o c 就是 b o c 的 一半，下面这个用的是上面那个叉角 c o e 平分的是 a o c 的 一半，是不是啊？又因为嗯？角 b o c 加角 a o c 是 等于谁的？ b o c 加角 a o b 是 不等于 a o b a o b 不是 一百二吗？ b o c 加 a o c 就是 一百 b o c 加 a o c 是 一百二。所以这个勾角加这个叉角是不是等于一百二的一半？勾角是谁？ c o d 加角 c o e。 先不用直接写一百二的一半啊。等量替换的原则， c o d 可以 把它替换成二分之一 b o c c o e 把它替换成二分之一 a o c 啊，再用乘法分配类的逆用括号角 b o c 加角 a o c 角 a o c 前面不是有了吗？对吧？所以等于二分之一。乘以八 等于六十度啊，六十度是谁啊？ c o d 加 c o e。 图中 c o e 加 c o e 是 不是等于 d o e 啊？所以角 d o e 等于六十度。这是一个完整的一个过程，跟前面基本上的话只有替换了。这个一百二和七题还是要记啊。 然后再看这个十题，直接看第二问，第二问是求 b o d 的 角度， b o d 的 角度。求角度的题。先把已知条件都标上，然后寻找思路再写过程啊。嗯，第一个过程是 a o c 等于五十度， a o c 是 五十度，标上了 o a 到 o c 的 角度是五十 o d 平分的这个 a o c o d 平分这个五十度的角，那是二十五，你推导出来的都标上 二十五，然后，呃， d o e 是 九十 d， o e 是 九十九十，可以标一个直角符号，那这个直角现在里边九十度，角是也是两个角，一个是二十五，那另一个是不是也能求九十减二十五、六十五度，六十五度啊？让你求的是 b o d， b o d， b o d。 这时候有的同学得想啦， b o d 得求 b o e， 把 b o e 求出来，加六十五加二十五，是不是啊？麻烦吧？很麻烦，你还得求 b o d， 求 b o d 的 话，你看看里边有没有直线，直线 ab， 直线 ab 的 上方是不是一百八，一百八？ b o d 是 比较大的，就是次于那个平角一百八的角 b o d， 再加上旁边的二十五就是一百八。那这个 b o d 不 就等于一百八减掉这个二十五吗？是不很简单，所以只需要求二十五就行。求二十五的过程是不因为孔分和五十度，所以超上它呀？超上它，因为角 a o c 等于五十度，且 o d 平分角 a o c。 我 用的是哪边的二十五？是下面这个 a o d， a o d 是 不是用的是一半 a o c 的 一半，五十的一半二十五？所以咱们求 b o d 的 时候，不是说了用平角一百八减去 a o d 就 可以，所以是一百八减去二十五是一百五十五度。 嗯，这是第二问，第三问是让你通过证明是否 o e 平分 b o c。 哎，这个是跟前面求角度的不一样，求角度的不一样，证明是否是角平分线。可以怎么证明？ o e 是 否平分角？ b o c o e 是 否是角平分线？平是否平分 b o c。 那 我就看他是不是把 b、 o c 分 成两个相等的角呀，就是 c、 o e 是 否等于 b o e 的 问题。 c o e 现在已经知道了，是六十五度是吧？那 b o e b o e 怎么求？ b o e 也很简单呀，你看你上一问，这个第一问不是求出 b o d 是 一百五十五吗？然后其中 d、 o e 是 九十，是不是等于一百五十五减九十， 六十五也是六十五，所以它是角平分线。像这种，先问你回问题，是否是角平分线呢？先要回答，回答问题再写理由如下，先回答，再写理由如下，这是固定的格式啊， 留下先就是咱们的总体思路，是不是要求这个 c、 o e 是 六十五，再求 b o e 是 六十五，是吧？ c o e 是 六十五，是怎么求的？是不是因为这个是二十五，这个是九十一减，减得到的六十五，所以先要求这个二十五再写，因为九十一减是吧？二十五也很好说呀，是不是还是前面一样？是不是前面是 a o c 是 五十，那个五十平分，但是我用的是 c o d 了啊 啊？因为 a、 o c 是 五十度，且 o d 平分角 a、 o c 全程都不用看图，所以求哪个角度时候看一下。求 c o d 等于二分之一，谁也不用看 a o c 这个五十的一半就是 a、 o c 不是 五十吗？二十五度，它是二十五度，又因为这个角 d、 o e 是 九十度的角，减那个二十五度角，所以抄前面的呀。九十度的角， d o e 二十五度的那个角 c o d 等于六十五度，它求完了之后，是不是还要求那个 boe？ boe 怎么求的？咱们 boe 是 不是用的是一百这个第一问，第一问的这个一百五十五减那个九十，是吧？那个一百五十五的话就不用再写一遍了，因为第二呃，第二问，第二问写，呃已经证明了，就写由二得 得到的是那个角， b、 o、 d 是 一百五十五度，就是第二问的结论，你结论相当于你第三问的条件啊。 所以咱们的这个 b、 o、 e 是 不是等于这个最大的这个钝角一百五十五度角？ b、 o、 d 减去那个九十度角减九十度的，超那个 d、 o、 e 就 行了，超上了，全程都不用看图。有了思路，基本上都不用看图，它是六十五度，它是六十五度了，所以你得到的是不是这两个六十五度的角相等 这个 c、 o、 e 等于 b、 o e 的 问题？六十五度的角，所以这个是，所以 c、 o e 等于角 b、 o c， 这是它的完整的一个过程啊。 然后咱们还要看一下十一题，十一题是一个角度证明题啊，同样的，它也是求角度，是吧？求角度，先把已知条件都标上，但这里边有个比的问题啊，比的问题，咱们一块看比的问题啊，有直线 a、 b 了吗？直线 a、 b 就 别忘了，直线 a、 b 上方是一百八啊，直线 a、 b 上方是一百八。标上 a、 o、 e， 这个角， 比上 e、 o、 d， e、 o d 比上这个角，是这两个角是一比三的关系。 b、 o、 d 的 角平分线， b、 o、 d 的 角平分线啊， o e 平分 b、 o、 d 呢？这两个角相等，是不是 e、 o d 等于七十五度角七十五，这个叉角是七十五，这个勾角和叉角什么关系啊？是一比三的关系，所以它是它的三分之一，七十五的三分之一 二十五，二十五求出它是二十五，然后让你求的是 a、 o e、 a o e。 求了二十五， b o、 c、 b o c、 b o c 怎么求？因为它这是角平分线，这两个圆圈角是不是相等的？ b、 o、 c 就是 这个被平分的这个 b、 o、 d 的 一半，所以先求 b o d， 再求 b o c， b o d。 怎么求？还是那个平角，别忘了，平角现在减掉这个已知的二十五，减掉已知的这个七十五，剩下的是不是这个 b、 o、 d 是 吧？所以先求二十五，再求 b o d， b o d， 再求 c o d， 是 不是？那这个二十五是不跟因为它三比一的关系，它是七十五，所以先写什么呀？因为先写减啊，求角度，先写减， 因为比一比三的关系，超就行了。已知的啊，七十五度，超上角 a、 o e 比上角 e、 o、 d 等于一比三，切 角 e、 o、 d 等于七十度，所以角 a、 o、 e 等于三分之一，角 e、 o、 d 等于二十五度，它不是一比三的关系吗？它就是它的三分之一啊，二十五度啊，它是二十五度，这个求完了是吧？咱们说的求 b、 o、 c 的 时候，先求 b o、 d 是 吧？嗯，求 b o d， 怎么求？求的？ b o、 d 是不是等于一百八减二十五，减七十五啊？平角一百八直接写啊。 b o。 那 个二十五不能写二十五了，写写二十五的角度，写七十五度角度 e、 o d 的 角度，然后再写一个等于一百八，减二十五度，减七十五，二十五加七十五，不是一百吗？是吧？就相当于减一百度，它是八十度，它是八十度。又因为 o、 c 平分这个角， b o d 平分这个八十度的角，所以它让你求的是 b o c b o c b o c 只用下边这个 b o c 肯定是 b o d 的 一半， 四十度，四十度。然后十二问十二题，十二题的这个过程啊，比较重要，有图，没有图的题就注意，没有图怎么标，怎么找关系是不是？那为什么没有图呢？说明这个情况不是唯一的，就是考察我们初中的一个分类讨论的思想。 为什么要分利讨论呢？什么样的情况不统一呢？先看需要我们自己画图。先看条件， aob 和 boc， aob 和 boc 的 角度，一个是 r 法，一个是 b， 它 o m 和 o n 平分这两个角九 m o n 是 吧？啊？ r 大 于 b 它啊。先说我如果随意画一个角 aob， aob 等于 r 法的话，那 boc ob 的 位置确定了， oc 的 位置能确定吗？ 是不是啊？所以这个情况不能确定。情况就是不是唯一的，要分类讨论，那 o c 是 不是可以在 o b 的 下方，也可以在 o b 的 上方，是不是啊？也就是角 a o b 的 内部和角 a o b 的 外部，所以它两种情况。第一种情况先要讨论的话，先要写情况，把情况说明白。圈一，当角，当 o c 在 角 a o b 内部时， 在它的内部画一个角 o c， 这个是 a， 它是吧？然后再把角平分线画出来， o m 平分的是 a o b o m 平分的是 a o b o n 平分的是 b o c o n 平分 b o c。 啊，那这个角度怎么用？含含有阿尔法和狮子的表示 m o n 看 m o n m o n 中间没有任何线，所以 m o n 肯定通过角相减得到，用谁减谁呢？用包含 m o c 的 大一点的这个角 m o b 减去 b o n 是 吧？那 m o b 是 等于谁的一半？因为 om 平分的是 a o b， 所以 m o b 是 a o b 的 一半，就相当于 a o b 的 一半。 o n 平分的是 b o c 呀，所以它是 b o c 的 一半， a o b 的 一半减 b o c 的 一半，这和前面那个 b r 和气体是一样的吧？又是整体思想的吧，咱们先写着啊， 因为是不是也是因为先平分一半的关系，是吧？朝上平分哪些角？ 因为 a o b 叫 b o c， 然后我用的是 b o m 这一半， b o m 是 谁的一半？ a o b 的 一半 a o b。 还有那边的 b o n b o n 是 不等于 b o c 的 一半是吧？又因为 m o n， 咱们的 m o n 是 通过角相减得到的呀？是不是角 b o m 这个角减去角 b o n 这个角 b o m。 还是用等量变换，是谁啊？二分之一的角 aob， b o n 等量变换成二分之一角 boc， 所以 用乘法分配率就是二分之一角 boc， aob 减 boc， aob 减 boc。 等量变换完需要看图了。 a o b alpha 呀， boc 贝特呀，是不是就是二分之一的 alpha 减贝特是吧？ alpha 减贝特的一半啊？那还有一种情况，咱们说的第一种情况是 o c 在 内部是吧？还有一种情况是 o c 在 外部。要画图先画啊， a o b 这个是 r， 在 外部的话，有个 o c 啊，这个是 b， 它是吧？这个，嗯， o m 平分的是这个 r， 这个角 m o n 平分的是 啊， b o c 这个角方，那 m o n 那 中间有一个 o b 这个线呀？ m o n 是 不是它加它是吧？ m o b 加 b o n m o b 不是 r 的 一半吗？ r 的 一半 r 分 之一倍它，所以 m o n 最终是 r 一 半 r 加倍它。它前面的话思路是一样的，还是用这一半一半一半加倍它它前面。是 啊，肯定先写那个平分的关系， o m o n 平分角 a o b 和角 b o c， 所以 用的是 b o m 二分之一 a o b b o n 呢？二分之一 b o c 呃，然后咱们又因为 m o n 角 m o n 是 不等于这两个角相加 b o m 加 b o n 就 等量代换， b o n 换成二分之一 a o b b o n 换成二分之一 b o c。 哎， ab 不是 alpha， b o c 不是 beta， 所以 它最终等于二分之一 alpha 加 beta。 前面那个是二分之一 alpha 减 beta。 分 类讨论的题啊，分类讨论的题还要最终打到一起，它不是两种情况嘛？两种情况都分别讨论完了，还要综合答。综上所述， 把答案标上角 m o n 是 等于二分之一 alpha 减 beta， 或者是二分之一 alpha 加 beta， 对 吧？