圆锥曲线立体几何苏北二模

圆锥曲线外接圆问题，你是想着超刚的曲线系方程，还是像彪达那样硬生生的找重垂线？求圆心和半径？ 告诉你们这些都 out 了，外接圆问题用同解方程是最好的。接下去叶老师就一 v 一 教一下各位，我有个非常好的方法，圆 e 的 方程是不是 x 方加上 y 减二的平方等于二方？有没有问题？ 哦，设那个对，没错吧？因为它这个 o o e 也是等于二，对不对？没错吧？对呀，那这个时候我就问你，这条 a b 它是不是同时经过圆和双曲线？这条 a b 就是 同时经过圆和双曲线，所以它们连立之后的尾答是不是一样的？ a b 和那个圆连力和那个和圆连力和双曲线连力是？答是不是要一样？就他们会同时经过一个终点，对不对？没有错吧？啊？写一下呗，写一下呗，这个不懂吧。这个同解方程这个之前也发过，这个时候会出现个同解方程，你 a b 方程是不是现在有了？能不能理解？ 好的，那你现在就是相当于你 a b 跟圆圈的 x 方，你可以写的很简单，外方减去二 r y 对 不对？直接等于零。这个时候的话， ab 方程是 x 等于 m y 加 t， 对 不对？你把它直接带进去，很很顺的嘛。那就是变成 m y 加 t 的 平方， 再加上一个外方，对不对？没问题？好的，那这样就变成了 m 方加一的外方，对不对？没问题。好的，那这样就变成了 m 方加一的外方，对不对？ 二 mt 减二 r y 没错吧？啊，理解啊。对对对，再加一个 t 方等于零，对不对？有没有问题啊？对吧，说吧，那你现在得到这个方程以后， 我是不是他们的就是那根是一样，他们的两根是一样，对不对？能不能懂？对，那就是外 a 加外 b 吧， 正常是等于二 r 减去二 m t 对 不对？没问题啊。对对，外 a 乘外 b 是 不是会等于 t 方除以 m 方加一，有没有问题 啊？然后你再把这个圆拿去跟双曲线连立，不跟，这个叫什么？直线跟双曲线连立，是不是？ x 方减外方等于二，有没有问题？对对对，那你这样子带进去就变成 m 方减一的，先写吧。负方外方加 t 方对不对？加二 m t y 没错吧？ 减外方减二正好等于零，有没有问题啊？有没有问题？没有没有没有。那你这样就变成了 m 方减一的外方加上二 m t 外对不对？加 t 方减二有没有问题啊？没有没有没有， 大家好，那 y a y b 也是方程了两个对不对？然后分别让他俩相等，用伟大定律勾肩梁。对对对，没错，那就是 y a 加上 y b 等于多少？等于负二 mt 比去 m 方减一对不对？ a 乘 y b 是 不是等于 t 方减二除以 m 方减一，有没有问题 啊？对，然后分别相等。对，分别相等记。对，那，那这样你可以把你你其实不需要二的条件了，你用这两个会更简洁一点。能不能理解 m 和 t 的 关系出来？对，那就是 t 方， t 方比 m 方加一等于 t 方减二，对不对？必须 m 方有没有问题？ 那你这样子之后还是可以得到 t 方等于 m 方加 m 方， t 方减 t 方等于 m 方。没错没错，肯定的，不用说口算还是不够快能得到这个关系有没有问题？我这样讲 t 方等于 t 方等于 m 方加一是吗？对啊，你这会算吧？对啊，对对对对对对对对对对对，好，那 ok 了吧，这样子最后是不是有点到线的距离？是 d 等于根号加 这个 m 方加一，对吧？对， m 方加一，然后把那个那个 o o 是 零，零就是 t， t 比刚才加 m 方加一。就。那不就是刚才加等于那个是你就等于刚才加 m 方加一吗？ ok 了， 会放吧。完了， d 的 d 的 r 完了就正啊。对对，你说这个水平很高哦，有没有问题啊？ ok ok ok， 晚上这个是最难挣下。

这道题目如果你用常规做法去做的话，你的计算量可能会比较大，但是也能算得出来。像这道题目的话，它的标准答案就是用常规做法在做的，但是其实也是可以有技巧性一点去做，它的计算量就会减少非常多。 我们来看一下这道题目，它说 a 点， b 点长轴短点，然后呢， m 点是在 p q 这个线段上面的一个动点，这个 p q 是 y 等于一， 也就是说 m 点的横坐标不定，重坐标是负一。呃，重坐标是一，然后呢，它连接 a， m 交椭圆于 d 点，连接 b， m 交椭圆于 e 点，然后连接 a， e 连接 b， d 交于 n 点。它要我们证明 m、 n 是 垂直于 ab 的， 所谓证明 m、 n 是 垂直于 ab 的， 是不是就应该是去证 m、 n 的 横坐标是一样的？ 这道题目他硬着做，你应该怎么去做？你想我是不是可以设 m 点的坐标？我设出 m 点的坐标，是不是就可以有 am 这条直线？有 am 这条直线是不是可以跟椭圆连力？跟椭圆连力是不是可以得到 d 点的坐标？因为 d 点是可以用尾答去做，因为你其中的 a 点和坐标已经有了，对不对？那么你就可以得到 d 点坐标。同样道理，你可以得到 e 点坐标，然后你再去写 b， d， 再去写 a、 e， 那 你再去连力， 你肯定能求出来，只是计算量稍微大一点的方法呢？ 你们来看这里 a 点和 b 点是不是椭圆上面中心对称的点？作为椭圆上面中心对称的点，大家能想到什么？这个第三定义，第三定义里面告诉我们，那么我们这里的 k、 d a 乘以个 k d、 b 就 等于多少一方减一，包括这个 k e a 乘以个 k e、 b 是 不是应该也是等于一方减一，对不对？好，那么如果你能知道这个东西，它就很很容易做这道题目了，但是你要知道，就这个东西，它是用什么方法证明的？ 第三定义是用什么方法证明的？同学们，点差，也就是说你要用之前，你一定是证明的，你不证明，你死路一条，你必须要证明 好，你可以这么证明，设 d 点的坐标为 x 一， 逗号 y， 那 么 d 点满足这个椭圆方程，所以我们可以得到四分之 x 一 的平方，加上一个三分之 y 的 平方等于一。好，再来，我们再把 a 点或者 b 点坐标带进去，我们就可以得到四分之四的平方的四分之四，四分之二的平方就四分之四，加上一个三分之零是等于一的。然后做叉叉完了，我们就可以得到四分之 x 一 减二的一个平方。 x 一 减二乘以 x 一 加二啊，然后再加上一个三分之 y 的 一个平方等于零。然后你在两边同时除以 x 一 减二， x 一 加二，你就可以得到四分之一，就加上一个三分之 kda 乘以个 kdb 就 等于零，那么你就可以得到 kda 乘以 kdb 就 等于负的四分之三。这就是一方减一啊。 好， ok， 考试时候证明，然后证完了之后你就再写，同理可得， k e a 乘以 k e b 等于一方减一，就等于负四分之三嘛，你先证一下，证完了之后来我们怎么去写？我们可以假设 m 点的坐标为 t， 逗号一，然后我们就可以写到 k d a， k d a 就 等于一比上一个 t 加二，对吧？我们有 k、 d a， 我 们就会有 k d b， k d b 跟它相乘，等于负的四分之三，所以就应该是负的四分之三倍的一个 t 加二。 好，继续再来，我们也有 k e b， k e b 不 就是 km b 吗？对吧？所以就是一比上一个 t 减二，所以我们就可以得到 k e a 就 等于负的 四分之三倍的一个 t 减二。好，然后我们可以去写这个 d b 这条直线了呀。 d b 这条直线我们用点差法写，就是 y 等于负的四分之三， t 加二，然后又过二零这个点 x 减二。 同样道理，我们去写这个 a e 这条直线， y 等于负的四分之三， t 减二，括号 x 加二。 那么你把这两条线一连立，不就是你的 n 点坐标吗？你连立消 y， 哎，你不光能消掉 y， 你 也能消掉三，你也能消掉负号，对吧？所以我们就可以得到 t 加二， x 减二啊，这个四也能消掉，然后就等于 t 减二， x 加二。 好，那就把它括号去掉，然后去解一解嘛。从这里你知道他最后 x 解出来是多少，你知道吗？你要垂直，你 x 解出来应该等于什么 t， 对 啊，是不是 t 嘛？你把 t 带进去对不对嘛？对的吧，所以你后面就稍微简简单一下，直接解出来 x 等于 t 就 解出来，对不对？所以你看我才写多少嘛？ 所以大家一定要去用二级结论，二级结论在大题目里面可以用的一些常规的一些做法，还是要用的啊，要用的，不然你计算量实在是太大了，只要你能反应过来就行。大家只要在椭圆或者双曲线里面遇到中心对称的点，你就应该要想它的第三定义，它不一定非要是长轴端点，它只要是中心对称的点都会有第三定义的，一定要往这上面去想。 好，所以我们就可以解到 n 点的坐标，横坐标为 t， 然后我们要求它的重坐标，我们是不是只要把它再带回任意一条直线就可以了？所以比如说我们就带回这条直线，我们就可以得到它应该是等于负的四分之三 t 平方减四是吧？啊，就就这个东西好 n 点的坐标就有了，好 m 点的坐标是 t， 逗号一好， ok， 结束 来，我们再来看他的第二问，第二问的第二小问，他说让我们判断在 y 轴上是否存在定点 t 可以 使得 n t 加 n m 为定值。好的问，我们这上面是否存在一个定点 t 可以 使得 n m 加上一个 n t 等于定值。 大家去想一下，你们能不能理解这个不是说 n 点到两个定点之间的距离为定值啊？何为定值？你这个 n m 是 不是实际上是 n 点到 y 等于一这条直线上的距离？ 那么也就是说我这里 n t 加上一个 n m 为定值，这个是什么呢？是点到直 线的距离，因为你是垂直吗？你 n m 垂直于 y 等于一吗？对不对？好，这个是什么呢？这个是点到点啊， 来点到直线，点到点，你会想到什么吗？抛物线，但是抛物线的定义是不是应该是一个动点到定点和定直线的距离相等，这个东西是不是才是抛物线？但是我这里并不是相等，我是什么？ 我是距离，何为定值？但这个问题我们实际上已经讲过了，我上次讲这个问题应该在两份试卷里面讲过，一份试卷是葛君出的那个信心跃升卷 有涉及到这个问题，还有一份试卷是，嗯，好像是丹阳中学的一个。这个一抹卷也是涉及到这个问题，他这里到定点的距离和到直线的距离何为定值？ 他也会是一个抛物线的。为什么？比如说这定值我不知道，我假设一下吧，假设假设，我是假设的，假设这个定值是五，那我可以怎么办？我们是不是可以在上面画一个 y 等于六这样的一条线？ 那么你想此时我们知道这段加这段是等于五的，那么你 n m 加这段是不是应该也是等于五的，对不对？所以我们是不是就变到了 n 点到 y 等于六的距离和 n 点到 t 的 距离是不是应该是相等的？我问他是不是就是一个抛物线吗？ 你们听懂是什么意思了吧？我是不是讲过这个模型的，所以你会发现你模拟卷刷多了之后，你会发现题都是改改题，改改改改去的，这是非常清晰的。你想这个老师他为什么会出这道题？ 你自己看看。我就问你啊，你 n 点坐标已经求出来了，你这 n 点是不是在这个抛物线上运动？是还是不是？是的，为什么？它满足的关系是应该是 y 等于负四分之三， x 的 平方加三， 对吧？这是不是抛物线？这是不是二函数嘛？是不是抛物线吧？所以你是不是这个抛物线是明确可知的？那你这个抛物线是明确可知的情况下啊，你就可以知道它这个题目它是怎么编的了。 那么至于真的去做的时候，我们就别这么做了，因为我虽然知道他这个题目是这么设计的，但是如果我这样去做的话，我的文字描述会非常的长，而且很容易得不到分数，所以我们就正儿八经去做就行了。什么正儿八经，就直接这样硬着做就行了。来 nt 是 吧？来 nt 的 长度 t 点坐标我知道吗？这个定点坐标我是不知道，那怎么办？ 假设呗，我们能不能假设它为零？逗号 m， 零逗号 m。 好， 所以 nt 的 长度我们就可以表示了呀，就表示为 t 的 平方加上一个 负四分之三 t 平方加三，再减 m 的 平方再开根，这就是 n t 的 平方加上一个 n m， n m 的 距离，是不是直接拿 n 点的坐标减去 t 点坐标就可以了？中坐标将减，所以这里就是 好把这里擦一下啊，所以它就是负的四分之三 t 的 一个平方，然后再加上一个三，再减去一个一，就是加上一个二，然后定值我知道是多少吗？我又不知道，我不知道这个定值怎么办？ 你能不能设这个定值为零啊？好， ok， 也就是说这个式子是不是对于任意的 t， 他 是不是都应该是横成立的？然后我解出这个 m， 那 你说我接下来应该怎么办吧？我接下来是不是就应该把这个式子整理整理整理整理，到最后换成多少多少 t 方加上多少多少 t 加上多少多少常数等于零，然后这样是不是等于零？这样是不是等于零？这样是不是等于零？ 这样的话是不是才会不管 t 怎么取，它这个式子都是很成立的？听懂了没有？好，来我们就去实操考试，写一步给一部分，你写到这一步也会给这一步的分数，所以千万不要空，你哪怕觉得这式子我来不及了，我化简不了了，那你也把式子抄上去给分。 好，我们来开始。这式子没什么好想的，肯定是一项平方好，一项平方我们就可以得到 t 平方加上一个。这东西要不别平方了吧。我感觉等会是不可能会形成平方差，可以操作一下。是不是啊？别把它展开。 负四分之三 t 平方加上一个三，减去一个 m 的 平方。好，另外这东西全部移过去，移过去就变成四分之三 t 平方，再加上一个，再减去一个二， 再加上一个 a 括号的一个平方。好，稍微稍微有一点技巧性，把这东西移过去跟它直接形成平方差，所以就可以得到 t 平方，就等于这两个数加起来，这两个数加起来就是一减去一个 m， 再加上一个 a， 这两个数做差就变成二分之三 t 平方。负二减负 m 加 m 加 m。 哎呦，还是怪难算的嘛。怪难算我也没办法，怪难算也得算，怪难算。他是不是可以写成 t 方？其实后面这个数字也没有必要全部拆散喽，因为他这个东西是不是实际上可以写成二分之三减去一个二分之三 m， 加上一个二分之三 a， 然后 t 平方，然后再加上一个 一减 m 加 n， 乘以个负五加 n 加 m， 我 是不是可以写成这个样子？因为我应该要把 t 方归类，所以这东西就变成二分之一减去一个二分之三 m 加上一个二分之三 n， 然后 t 平方加上一个一，减 m 加上一个 n， 负五加上一个 n， 加上一个 m， 就成这样子了。所以我只需要这一项等于零，这一项等于零就可以了，然后我去把它解一下。哎，那后面他实际上是一个乘积的形式，乘积的形式只要有任意一项等于零是不就可以了？那我看一下哦，能不能解的出来哦？前面这东西等于零，我们可以推到什么？ 我们是不是可以推到 m 减去一个？呃，可以推到 m 减去一个 m 是 不是等于三分之一可以推到这样的一个式子？好，那么后面这个东西等于零，我会发现这项是不是必然不等于零啊？是不是啊？因为你前面不是已经有它了吗？所以是不是只能它等于零？它等于零，我们就可以得到 m 加 m 加 m 就 等于五。我要求的是谁啊？ 我要求的是 t 点的坐标，我要求 m 就 加起来二， m 就 等于三分之十六，所以 m 就 等于三分之八。答案就是这个结束。

这道题目是苏北七市的一个填空压轴十四题，说实话，这个十四题其实是有点简单了，它是我近期做过的所有的填空压轴里面最简单的一道题目了。它说双曲线右焦点为 f 点， a 点是它右支上面一个点，并且 a 点，关于圆点，好，我们画一些，画一个 a 点啊， a 点，关于圆点对称的一个点， 我们记他为 d 点，然后呢？关于 x 轴对称的点，我们记他为 e 点，他说 ef 是 平行于 a d 的， ok， 平行。他又告诉我们 a f e 是 等于一百二十度的。好，既然这个角度等于一百二十度，我们可以很明显得到这个角度就应该是等于六十，这也是六十，而平行内错角相等，也就说这个角度也是六十。所以我们在这里非常容易可以得到三角形 a、 o、 f， 它实际上是一个等边三角形， 那么一旦等边之后，我们就可以得到 a 点的坐标，它实际上就是二分之一个 c， 二分之根号三个 c。 那 么在这里大家肯定是可以考虑把 a 点直接带到双曲线里面啊，然后去得到一个 abc 的 关系的。但是这样做起来会比较麻烦啊，我们点在双曲线上，不一定非是要点带到双曲线里面能成立，也可以让它符合双曲线的定义。 所以在这里我们可以让 a f， 我 们记它左焦点为 f 一 撇， a f 一 撇，减去一个 a， f 等于二 a， 我 们可以尝试列这个式子，所以我们就可以得到二分之三 c 的 平方，加上一个二分之根号三 c 的 平方开根减去一个 二分之 c 的 平方，加上二分之根号三 c 的 平方等于二 a， 我 们把它前面计算一下，这里算出来应该是等于四分之九加三，就等于四分之一十二 c， 所以 这里算下来是等于根号三 c， 后面算下来是 c 就 等于二 a， 所以 我们就可以得到 e 就 等于根号三减一分之二就等于根号三加一。

新高考以来最简单的圆锥曲线，恐怕就是这道二零二五年新高考二卷的圆锥曲线了。基础的前长公式加距离公式，简单的计算量，单一的思路，你能秒掉它吗？

各位同学好，今天给大家带来的是长的萨尔摩的圆锥曲线压轴题，很简单，大概三分钟就能搞定，每天五分钟，简单又轻松。我是你们的任子苏老师好，那我们开始读题。 f 为焦点， o 为圆点， m 二， m 到焦点的距离为二，注意看，这是二，所以焦点和 m 点是在同一水平线上。第一问，求 c 的 标准方程，那么 f 点我们就可以设它，为什么呢？ 零对不对？那由标点的定义可以知 m 等于什么？二分之 p， 再把 m 点坐标代入 c 方程得到四等于二， p 乘以二分之 p， 那 么 p 就 等于二， m 就 等于一。好，焦点坐标我们就知道了，这里是一 m 点坐标也知道了是二一。好，我们来看第二问。第一小问，我们来分析 b p 垂直于 x 轴， 那么我们自然就要令 l a b 为 y 等于 k， x 加 b， 显然这个 k 是 存在的好， a 等于 x 一 y 一 b 为 x 二 y 年底之后可以得到这个一元二次方程要干嘛？因为有焦点，所以我们必须看一下德塔，哪怕用不到，但是这一步是一定要写的，有步骤，分的好。我们有伟大定律可以知， x 一 加 x 二等于四 k， x 一 乘 x 二等于负四 b， 那 么 o v 直线的斜率就等于 y 一 除 x 一， 又因为它在抛物线上后就变成四分之 x 一， 那么我们的直线 o a 就 会写成 y 等于四分之 x 一 乘 x 并 y 等于负一。 什么准线，我们就可以得到 x 一 分之四，负的等于 x p， 那 么 p 点的坐标我们就能写出来了， 负的 x 一 分之四减一，又因为 b p 垂直于 x 轴，所以他们的横坐标相同， x 一 乘 x 二等于负四。好，结合这里的一，那我们就可以得到负四。 b 等于负四，所以 b 就 等于一， 所以 lab 就 为 y 等于 k， x 加一过定点零一 很简单。我们来看第二小问，你如果不能看出这个东西来，就会比较复杂，但是你如果能看出来就很简单。 怎么样这两个三角形，它们有相同的同底对不对？都有 ab 这一条底同底边，那么勾点和 m 点，如果要这两个三角形面积相同，虽然画的不怎么样，那我们只需要什么？ 只需要他们的高就是 m 点到 q 点到底边， ab 上的高相同就行了。 q 点的话， 根据题意就是零负一，那么我们就很容易的写出这两个距离的关于 k 的 表达式，连计算都不用， k 就 等于正负一，那所以 lab 就 为 y 等于 x 加一， y 等于负 x 加怎么说？各位大概九十分以下，一百一十分以下的同学，再拿掉概率三角形、立体几何这几个板块之后，圆锥曲线是很值得花时间动一动的，因为圆锥曲线他的思路很清晰，加油！

这个题跟往常不同的，这个 a 点和 b 点啊，他是跟这么两条直线的交点啊，咱们看到条件以后啊，再说一遍啊。从看到了他给的那个直线方程，我们是从切线被带入的方程判断出了 m 点还是切点，但现在并没有寓意证明 椭圆方程好，解一下就解出来了。现在如果说哈，他给的这个问题当中， o a m 面积， o b m 面面积的比例与 o a o b 的 比例成一定关系的话，他说是比的大小。 我想到了一个非常特殊的关系，就是别管他是不是因为往往考试要考哪个特殊关系，他说比较大小。我做一个假设，如果 o m 是 角平分线，还记得性质， 那么 o a 比上 o b 将等于 am 比上 b， m 就是 o， 什么来着就是 o， 什么来着就是 o 点，像这三人做的高，是吧？啊，可以， 那就是他俩的比，对吧。静止。如果说 o m 是 角平分线，这两个角相等，那么 o a 比上 o b 就 等于 am 比上 b m， 记得吧，拿正弦另理，可以证明，拿面积也可以说明啊，那怎么怎么着，你这两个角相等 四，然后他俩相乘，等于他俩相乘。你这啊，不是等于哈，他俩相乘，跟他俩相乘分别是两个面积吧，这两个面积比，这有一个公共的 o m 是 不是就是 o a 比上 o b 啊，对吧？所以这个大小关系，它肯定是跟这个角，这两个角分别的正弦值相关的， 看出来了吗？啊，这个角咱们为了简单，咱也别拿三个字母写了，我把这个角设为 alpha， 把这个角设为 beta， 现在咱还不好直接拿那个方程来说是切线是吧？如果说真要是把这个步骤写出来，我也给你们说一下，就是假设你有时间，你还怕减分，你就想说明一下，这条直线与椭圆切于 m 点， m 点坐标是 x 零外零， 对吧？咱们只是知道打，你们去年学这个东西，咱就说把它半带入以后就是切线，光让你记住了，是不是？从来没有是吧？其实连了以后就出来，连了以后单是等于零啊，你记住，单是等于零，等价的是相切 对吧？啊，来， m 点，在这所在直线，你不用管， a 点和 b 点相带， 直线给你了。呃，这是题目上给的， x 零 x 加二外零， y 减四等于零，把它与椭圆连立， y 方二， x 零方加四， y 零方减十六， y 零 y 加十六减四， x 零的平方等于零。因为我们做圆锥形好多，你们还赶紧连力写完伟大拉倒了。你不就在写这玩意， 这玩意你往后做动做不动，反正写好多遍了是吧。这不你不用验算了哈，这是真的，来去算单儿它验证它是切线就可以了。 d 它等于。哎呀，这是 a 是 吧？这是 b， 这是 c 啊。 b 方减 c， c 十六外零的平方。嗯，也行。 哎，对，你这样。嗯嗯，消了二，数字简单了是吧？消了二以后咱就一念当中把二消掉吧，哈哈哈哈，行不行？那这个地方除个这也除二，这也除二是八是吧？ 八外零的平方减去四倍的它俩都除去了一个二是吧？这是 x 零的平方加二外零方 乘以。哦，我写的是减号是吧？我这样吧，减 c， 加上我把它倒过来写行不行？二 x 零方减八，先把它打开，然后重新去 八。先放外边啊，省点时间吧。 x 零的平方最终可以提出来，里边剩一个 x， 零方加二， y 零方减四等于零， 我怎么写出来它等于零的？我这个等于零应该是个结论哈，现在我化点出它来了，这东西等于什么？我就问你，这东西等于什么， 对吧？ m 点是不是在椭圆上，是不是它一定等于零，所以这个数字等于零，对吧？这么小啊，刚才我说的有点过度了，那 其实我们是验证了单二的零，所以 ab 是 切线，这是验证过程，有时间就把它写上，如果实在没时间，直接说它是切线，扣二分就扣二分， 知道什么意思是吧？哎，你去验证就可以了啊，再说了，所有的验证啊，你实在没时间，你写的这个单写出一圈来一只它等于零，你管他去了，他看不懂让自己看去哈。乐队老师最烦这个， 哈哈，是不是？那现在咱们考虑这个图形，咱们刚才根据啊，我们脑子里的角平面的性质啊，知道它俩的比例跟面比例相关啊， s 一 s 二就在这，这是 s 一， 这是，这是 s 二。现在我们要把目标放在研究这两个角上 啊，如何研究这两个角？ m 点 x 零 y 当已知量，带着 a 点已知 o a， 是 不是很明确？ a 点不是已知啊， a 点可以写出来，直线不是有了吗？对吧？写 a 点和 b 点坐标 不能那么用啊，这么多二级结论，咱也没说那条了，你畅想出来的都不见得是对的啊。哈，来，咱们看啊，如果说我利用这条直线跟这两条水平线相交，写出来了 a 点和 b 点坐标的话，下一步我需要干什么才能找到这两个角的表达关系？ 就是我分别要不要把 f 和 theta 某一种三角函数值表达出来？这里最好用的是什么？快说俩字，斜率。 o m 和 o a 夹角是阿尔法，那么它们两个斜率斜率是什么？是不是两个倾斜角啊？ 这个。哎，话多了，这个是 o m 倾斜角 啊，对不对？对，这个是 o a 倾斜角啊，斜的一个是 k 一 k o a， 这个是 k o m， 这还一个 k o b， 哎， k o a 是 这个角的正确，跟二分有啥关系？ 这两个角的叉跟 alpha 互补，你看看啊，这个角减去这个角不这一块吗？这一块不跟 alpha 角是补角吗？对对对， 搞正确的和差公式扯啥犊子呢。 tangent alpha 等于 k o a 减 k o m， 比上一加 k o a k o m。 你 仔细看看这公式啊， 我写的是差角公式还是和角公式？ x 角公式是吧？啊？ k o a 这个角正切值对不对？这个 x 角呢？就这个小的减这个大的对吧？啊？小的减这个大的是谁啊？ 你反过来看，大的减小的是不是 x 呀？小的减大呢？负的它对吧？负的它的正切正好是正的，阿尔法的正切，正切互补的两个角正切值相反， 是不是？所以三角学不好？这玩意真没法做啊。来， tangent beat 来看看吧。 beat 看 kob 和 k o m 一样啊，这回不是 o m 在 上面， o b 在 下边吗？一样的模式， k o m 减 k o b， 一 加上 k o m k o b， 看见了吗？你把这两行写出来，这又一分得了 对吧？写完这个了，咱需要什么？ a 点和 b 点坐标吧，要不然 o m o b 什么玩意？嗯， 你怎么玩？你不得两点写斜率啊？ o 多好啊，就是某这 amb 三点的纵坐标比横坐标的事啊，对不对？ a 点和 b 点坐标通过直线，他给的那条直线啊，就这条与这两条直线的交点。这两条直线也挺好的。这条直线是什么？ y 等于 二，这个是 y 等于负二，很确定对吧？所以这两个点我直接给你写出来，省时间了啊。 a 点四减四， y 零比 x 啊，直线代入，这个挺简单的啊，一点不难，直线你就是你让这条直线 y 等于二就行了， 明白什么意思吧？你转化 x 零就是那个东西，很简单，那等于二，这不四 y 了吗？ 对不对啊？你别认为这有多难啊，这地方不难，就是我们知道了要怎么办了才去写这个坐标，这是思想方向。来 b 点呢，是四加四百零比上 x 零。逗号，负二就这么点事， 最后一步往里带这个， 哎，你说 k o k o a k o a 直接 a 点那个位置纵，它比上它二， x 零比上四点四 y 是 不是你？哎呀妈呀，难吗？这玩意跟 o m y 比 x 零 是吧？下边儿一加上来它俩相乘，坐那，看着他们进来当中坐在那先坐一会儿啊。一加上它两个相乘它两个就这两个东西相乘啊。 s 零数可以约一，二外零二也约掉吧。外零比上二减二，外零 是它吧。好，来，这个式子用一分钟，马上化简一下， 谁出来了。结果，嗯，缩小点啊，图已经用完了。 哎呦，来，分子分母上下，把这个式子直接看成这是一下边是二减二外零啊，分子分母上下同时乘以二减二外零和 x 零，这个约掉二减二外零变成 x 零的平方， 是不是？减去这个 x 零，约掉二减二外零乘外零，是不是？ 是他吧？来，下边，前面这个比较麻烦，是个 x 零，二减二 y， 对 吧？加上 x 零 y， 来把括号再去掉 x 零的平方，我把这一项写前面啊，加上二 y 零，方减二 是他吧？二百零。下边这个呢？二零啊，加二百零减二百零，哈，减二百零。下面这个 去括号二 x 零 y 减啊几，这是减是吧？加二 x 零加 x 零 y。 你 注意刚才咱所有的写这个正切值，他们两个用没用？ m 在 椭圆上 没有吧？你不用的话，那不就缺个条件了，用上它就行了，来继续化解，对了，是 x 零分枝，我把这部分擦了。啊，你把它已经写下来了，是不是？是 化简到感觉到比较麻烦的时候，你想想啊，有什么条件？硬性的条件咱们没有干啥？它在椭圆上你没有用啊， x 零分之二，是吧？好了，我现在直接告诉你啊，这个式子你化简完它也是 x 零分之二， 所以二等于被它这个题已经做完了，你知道吧？ 啊？而这个 s 一 比 s 二，用正弦面积去写 s， 一 是 o a 乘 o 乘 o m， 塞阿尔法，嗯， s， 二是 o m o b 塞阿尔法。 om 约掉 塞贝特，塞阿尔法等于塞贝特约掉，所以它就等于 o a b 上 o b， 中间过程是吧？啊， 看清楚了吧？重点过程在绿色的这两行。

二零二六高三数学每日一题第三十天哈三中二模 t 十九圆锥曲线同学们好，今天呢，为大家推荐的是二零二六年的呃，哈三中的二模的压轴题第十九题，这道题呢，也是出的是圆锥曲线的问题。 嗯，首先呢，我们来看一下这道题，他说这个双曲线，他的离心率呢，等于二，焦距为四。第一个让你求双曲线的标准方程，那这个比较容易啊。嗯，根据已知条件呢，我们知道这个 e 呢，是等于 a 分 之 c 的， 它是等于二，之后焦距是二， c 等于四，所以说能够求出 a 的 值 啊，先求 c 的 值， c 的 值应该等于二， c 的 值等于二的话， a 的 值就应该等于一，从而 b 的 值呢，在双曲线当中， b 方应该等 c 方减一方，所以说 b 呢，应该是等于啊，四减去一，应该等于根号三的 啊，根号三，所以能够求出双曲线 啊，标准方程就是 x 的 平方减去三分之 y 方是等于一的。那第一问呢，我们就求出来了 啊。之后呢，我们再看一下第二问，第二问，它说已知 p 呢，是双曲线 c 右值上位于 x 轴上方的点啊，画一个图像吗？还是辅助大家理解一下？画的可能稍微丑一点， 嗯，在这里画吧。 啊，这是 x 轴，这是 y 轴啊，双曲线，嗯，随便画两条双曲线，嗯，完了之后呢，他说这个这个双曲线 a 是 等一的。 呃， p 呢，是双曲线右之上位于这个上方的一点直线 l 是 x 的 二分之一，二分之一呢，应该是这个，因为 a 的 长度是等于一啊，所以它应该是取其一半，这条线是 y 的 x 的 二分之一， 这也是它是 l， l 是 x 的 二分之一。呃，直线 l 呢？和 x 轴和这 x 轴这点交于 n 点，然后这点是 n 点，嗯， n 点。 第一个设双曲线 c 的 左右顶点分别为 a 一 和二，那这个是 a 一 左右顶点，这个是 a 二， pa 一 也是这条直线 pa 一 和这个 l 和这条直线呢？交于 d 点 pa 二这条线 pa 二和这个 l 呢？是交于 e 点。 而且告诉你 d e 的 长度等于三等于三，让你求 p 点的坐标，那求 p 点的坐标呢？这道题呢，我们在算的时候呢，因为 p 点不知道啊，所以说我得先设 p 点坐标，在这边写 p 点坐标呢，设为是 x 零 y 零，那一定是要用到 d e， 把 d 点坐标和 e 点坐标求出来之后， d e 的 长度就知道了。用的长度等于三来求出 p 点的坐标。那 p 点的坐标我设为是 x 零 y 零。 呃， pa 的 直线 pa 直线 pa 呢？因为它是经过 pa 一 吧，它经过 a 一 点，所以说我可以设 pa 一 啊，它是经过这个是负一零， 所以说 y 减零等于 k， k 的 话，应该是 y 零比上 x 零加一倍的 x 加一，这是 pa p a 一 呢，因为这个这条直线 x 是 等于二分之一的，那么当 x 等于二分之一的时候， 能够求出地点，我就用 y d 吧来表示地点的纵坐标。把 x 代成二分之一啊，二分之一加一等二分之三，所以等于二分之三倍的 y 零比上 x 零加一啊，这是 d 点坐标。之后呢，再看这个直线 p a 二， 方法是一样啊，但是它是经过这个右顶点，是经过一零的，所以它应该是 y 等于 y 零比上 x 零减一倍的 x 减一啊，那么当这个 x 等于二分之一时， 能够求出一点的纵坐标等于负二分之一倍的啊， y 零再比上 x 零减一啊，所以说 d e 的 长度你就知道了，在这写啊，所以 d e d e 的 长度，因为它都是在这个 x 等于二分之一上啊，所以说 d e 的 长度呢，应该就是 y d 再减去 y e， 嗯， y d 减去 y e 的 话，应该就是它减去它呗，就是能够列出方程啊， y d 是 二分之三倍的 y 零比上 x 零加一，再减去减，减加，就加上二分之一倍的 y 零比上 x 零减一，它应该等于三，这是一个方程，另外一个方程，这个 p 点的坐标是不是 p 点是不是在这个啊？竖曲线上啊，所以说 x 零的平方 减去三分之 y 零的平方是等于一的，呃，那我从而呢，我们就可以其实能够求出来求出 x 零 y 零了。这个求解的过程当中呢，稍微有一点点麻烦。 嗯，这里边的啊，先说这个，嗯， y 零吧，通过它呢，你可以求出 y 零的平方减一的 完。上面这个式子呢，上面这个式子呢，你可以对它进行化简，上面这个式子，它化简完之后是这个式子，就是你给他通分数完之后是二 y 零 倍的 x 零再减去 y 零等于三倍的括号 x 零的平方减一。嗯，所以说，这里边的，呃， y 零，你看你这个 y 零，这个 y 零 就可以用根号三倍的根号下 x 零的平方减一来代替代入到这个式当中。下边式代入上面这个式当中， 那算完之后呢，应该就是两边再平方，算完之后就是三倍的 x 零的平方减一， 再乘以二倍的 x 零减一的平方等于九倍的括号 x 零的平方减一的平方啊，那你会发现都有 x 零平方减一，所以掉一个，那算出这个结果就是二， x 零 减一的平方就等于三倍的括号 x 零的平方减一，那对的净整理完之后是 x 零的平方减四倍的 x 零加四等于零。 所以说能够算出 x 零是等于二的， x 零等于二带入到这个式当中，把 x 零等于二带入之后， y 零算出应该等于三啊。所以现在这个 p 点的坐标就求出来是二三，哎，是二三。 那，呃，第一个小问，第二题的第一个小问我们就解决了。之后我们再来看一下第二个小问。第二小问呢，它说设双曲线 c， 它的右焦点为 f 啊，设这个右交点，这是 f 点。呃，之后呢，他说点 p， 关于 x 轴对称点，这个 p 点，关于 x 轴的对称点是 q 点。 呃， q n n 是 在这块，他说 q n 这条直线与双曲线的右值交于 m 点，这点是 m 啊，当这个 p f， 因为 p 点是动的呀，当这个 p f， 当这个 p f 啊， p f 在 这吧大概， 当这个 p f， 它呢的倾斜角，这个倾斜角是三分之 pi 到十二分主 pi 的 时候，问你三角形 p m n p m n 这个三角形它的面积的取值范围是什么？嗯，那我首先呢，我画了几个图，尝试之后呢，我可能这个 m 点和这 f 点有点像在一条直线上，那我检验一下它是否在一条直线上，其实这道题事实上也是在一条直线上的， 所以说，首先你要确定这个 p f m 这三点的关系。嗯，方法是呢，首先呢，我得把这个 q n 设出来， q n， 因为它是经过这二分之一零的， n 点是二分之一零，所以说我就设成 x 等于 t y 加上二分之一，这是 q n， 嗯，因为这个这里面的这个 m 和 q 啊， m 和 q 呢，它应该是是它跟它的交点，所以说我需要把这个 x 等于 t y 加二分之一和这个双曲线，双曲线是 x 的 平方，减三分之 y 方 啊，等于一连力。因为我要求一下这 m 和 q 嘛，它们的之和之差，以及确定 f m 和那个 f q 之间的关系嘛， 它整理完之后呢，是三 t 方，减一倍的 y 方，再加上三 t， y 减四分之九等于零， 是它。嗯，它整理完之后呢，那么 y m 加上 y q 等负的一分之 b 负三 t 啊，再比上三梯方减一啊， y m 乘以 y q 应该等于负的九，比上四倍的括号三梯方减一。嗯，所以向量 f m 表示一下 f m， 这是 f 点， f 点的坐标呢？应该是啊，二零，嗯， m 点的坐标呢，就是 m， 所以 说呢，它是 x m 减二。逗号 y m 啊，这是 f m 之后 f p 也能标出来 f p， 向量呢，应该是等于 x p 减二 y p， 呃，因为 p 点和 q 点是关于，呃，关于 x 轴对称的，所以说它俩横坐标相当于就是 s q 减二和负 y q 啊，用 q 点，因为 y m y q 是 知道的，那我怀疑呢，它是在同一条直线上，所以说检验一下这个这个 f m 和 p f p 是 否平行，那看内积是否等于外积呗。就是看一下这个 x m 减二， 再乘以乘以。嗯， y q 完了之后呢，再减去 y m， 再乘以 x p 减二，看它是否等于零。我算一下啊，算一下。那这里边呢，这个 x m 呢，就可以用 t y m 加上 t， y m 加上二分之一来代啊。完，再减去二，乘以 y q， 再减去 y m， 再乘以 x p 呢，是等于 t y p 减二啊，对它进行整理的。 那算完这个结果呢，它是等于二倍的 t 倍的 y m 乘以 y q， 再减去二分之三倍的 y m 加上 y q， 那你把它往起一带，它是等于零的。把这个伟大定律往进一带，它是等于零的。所以说这个向量 m f 和向量 f p 应该是平行的，那也就说这个点 p m f 这三点应该是贡献的。 这三点贡献呢，实际上我算这个 p 啊， p m n， 它的这个面积就好算了，就是用二分之一 n f 乘以啊 y p 减去 y q 的 绝对值的。 那这里边呢，我需要把这个 pm 设出来，那直线这个 pm， 它就因为它是经过这个 f 点呢，所以就好设了。 x 等于 m， y 加二 啊，把它俩连立，因为得需要呃，需要 y p 减 y q 的 绝对值，所以把 x 等于 m， y 加二，和 x 的 平方减三分之 y 方，等于它俩连立。 连立完之后呢，是三 m 的 平方减一倍的 y 方，加上十二倍的 m， y 加九等零。 那从而在用伟大定律 y p 加上 y m 等于负的十二 m 比上三 m 方减一之后， y p 乘以 y m 等于九，比上三 m 的 平方减一， 那这个三角形的面积就表出来了。三角形 p m 的 面积等于二分之一，是不是这个 n f 这段长度啊？ n f， 实际上 这个 n f 我 们能够算出来，它应该是等于二分之一的 n f， 然后看是不是等于二分之一啊， 一会再算一下啊， n f 再乘以 y p 减去 y m 的 绝对值，整理一下，等于二分之一乘以 n f 啊，这段是二分之一，整个是二，是二分之三 啊，再乘以，这个是不是用伟大定律啊？就是根号下， 它的平方负十二 m 比上三 m 方减一的平方，再减去四倍的它来相乘九比上三 m 方减一 啊，那画完减之后，这个结果等于二分之九倍的根号下 m 方加一，再比上一减去三 m 方。 那这里边呢，我就是令啊，在这块写吧， 这个令，这个令，这个 t 等于令 t 等于根号下 m 方加一，那这个 s 就 可以写成二分之九倍的， 再乘以 t 比上四减三， t 方，同时除以个上下，同时除以 t， 就 变成二分之九，再乘以一比上 t 分 之四，再减去三 t 了。 那这里边的 t 的 范围是什么呢？因为啊，这个 p n， 它的，它的倾斜角 c 是 属于啊三分之 pi 到十二分之五 pi 的。 所以说，实际上你在设这条直线的时候，这个 m 它是有范围的。嗯， m 是 属于。你看啊，嗯，这个 pm， 嗯， pm 和 p f 它不是同样一个倾斜角吗？所以说 pm 的 斜率呢，它应该是在弹性的三分之派到弹性的十二分之五派之间 啊。但是你设这个 m 呢，实际上是这个呃 m 分 之一的形式， k 分 之一的形式，所以说，我能够求出这个 m， 应该是取倒数的形式，那算出这个结果，原来是三根号三到呃根号三到一个值，现在就变成了二减根号三 根号三分之一就是三分之根号三啊，所以说这里边的 t 呢， t 是 等于 t， 是 等于 m 方，根号是 m 方加一的，所以说能够算出这个 t 的 范围 啊， t 的 范围应该是属于根号下 m 方加一吗？ t 的 范围是属于啊，根号六减一，根号六减根号二 啊，这个是左边是包括的啊，根号六减去根号二到三分之二倍根号三的啊，是这个范围，所以说你能够求出这个范围，它是属于属于八分之九倍的 啊，二倍根号二加上根号六到正无穷的啊，那这个呢，是最终的范围，有时候最后确定范围呢，实际上你是利用了一个，呃，这个函数， 这个是一个单调递减的函数，递递减分之一递增，单调递增的函数，你把这个啊最小值往进一带，把这个根号六减去，根号这小值往进一带，时间就能求出来了啊， 那这道题呢，整体来看呢，我觉得还是，嗯，出现在什么呢？就是计算量比较大，实际上这道题呢，第三个问的难，难点在于这个 f 点 在于这个就是 p， f， m 是 否在同一条直线上啊，如果在同一条直线上，其实这道题呢，我们就能够很好的把它求出来了啊， 那这道题呢，我们就讲到这里啊，同学们，明天再见。