求天体质量的公式

今天我的学生哭着跟我说这道题很难，我乍一看，确实这个题答题过程挺复杂的，有很多知识点容易混淆，所以在给他解答之前，我写了这么长的一个 主次稿，就是我自己把这个题先自己认认真真的理了一遍，做了一遍我再给他解答，因为这个学生他技术比较差。好，现在我们就一起帮他解答。 好的，现在我们一起来看一下这个题目的真身。一个卫星在某一个行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。 假设航天员在这个表面上用弹簧测力计去测一个质量为 m 的 物体的重力静止时候呢，弹簧测力计示数为 f， 由这个引力场量为 g， 求这一颗行星的质量。我们来换一页开始解答这个题。好，首先在这里我们要明白第一个知识点，就是如果一个卫星就是一个， 如果有个卫星在这个地球或者说在其它行星附近做匀速圆周运动，那么它是不需要呃支持力的，因此重力和万有引力以及象形力三者是相等的一个关系。我们现在可以设 行星的质量为 大 m， 卫星的质量为 小 m 啊，我们现在是在行星附近做匀速圆周运动，所以行星的这个半径也就是我卫星做匀速圆周运动的半径，因此设半径为 r， 那 么由这一个公式就可得，万有引力 等于这一个象限力，我们把式子整理一下，就得到 g m 的 平方，除以 r 就 等于 b 的 平方。好，所以我们会看到这个行星它的质量除了跟速度有关之外，还跟这个半径有关。半径题目没有告知，所以接下来我们的目标呢，就是要去求半径， 因此我们还要知道一个知识点，二，就是一个黄金代换式。黄金代换式就是一个在我们行星上啊，在行星表面的这个物体会随着这个行星自转一起做匀速圆周运动。 那这个时候呢？由于，哎，这个 f 项是远远小于物体的重力的，因此这个项心力啊，这里的项心力指的是，果然跟着 这个行星一起做匀速圆周运动的项心力可以忽略不计，所以就有 g 等于 f one， 故在行星表面的这个物体 m g 等于 g， m 小 m 除以 r 的 平方好，我们把这个 m 约掉了，就得到这个黄金代换式。 g 等于 好，这个是解析的关键来的，因为在这里我们就可以找到 g 和 r 的 关系了，对不对？好，所以求 r， 我 们又转换目标去求这一个行星的重力加速度，不同的星球重力加速度是不一样的啊，所以我们又倒回去题目去看一下，题干给了我们什么有用的信息。 说，这个在行星测一个物体的重力，它的重力呢？等于 f 等于这个弹簧测力计的势数，因此 m g 就 等于 f， 得 g 就 等于 f 除以 m。 哈，我们把这一个式子呢？带进去，带进哪一个式子呢？啊？我们设这个式子为一式，这个设为二式。哎，我们把它带为二式，就可以得 g， m 除以 r 的 平方啊，这个小 g 就 用这个 f 除以 m 来代替的，就等于 m 比上小，就等于 f 比上小 m 好， 这是三式，因为由一式我们知道的 g m 除以 r 等于 v 的 平方 好，那么我们现在呢，就把 r 整理一下哈，把这个 r 整理一下得 r 等于什么呢？ r 等于 g m 除以 v 的 平方好。带入三式，带入第三个式子，我们就可以得到 g m 除以，这里是平方啊。 g m 除以 v 的 平方好。再一个平方等于 f 除以 m 好。 这是我们要求的关键了，我们再把它们进行化减，化减呢，我们就可以得到 v 的 平方除以 g m 等于 f 除以 m 好。 再化简就可以得出我们要求的这个物体的质量就等于 m， v 的 平方除以 g f。 答案就选 b 了。

如何计算太阳质量？太阳质量大约是二乘以十的三十次方千克，也就是两千亿亿一吨。这么大的数怎么来的？难道是一块块掰下来称的？当然不是， 科学家用的方法叫轨道称重法，原理公式很简单，学过天体运动的高中生应该都知道，把行星轨道当成圆，由万有引力提供向心力。而向心力公式指的是用行星线速度和运转周期表示的。 简单推导一下，可以得出中心天体质量有这两种表达。然后找一个绕着太阳转的行星，测出行星的轨道半径 r 和周期 t， 直接代入公式，就能算出太阳的质量 m 了。以地球为例，地球到太阳的平均距离约为一点五亿千米，也就是一点五乘以十的十一次方米。 而地球的公转周期我们都知道是一年约为三点一五乘以十的七次方秒。结合引力常数 g， 代入公式可以得出太阳质量约为二乘以十的三十次方千克。这就是工具人测算法，你转你的，我算我的。那如果是没有行星或者卫星的天体，该怎么测算质量呢？ 比如早期发现的冥王星，那就等，等到有探测器飞过，测出它的引力对探测器轨道的扰动反推质量。 这就好比你看不见风，但看树叶飘动就知道风有多大。第二个问题，天体密度该怎么算？刚才的方法算出质量 m， 再知道天体半径二密度 real 就 等于质量 m 除以球的体积三分之四 pi 二的立方。 最骚的是，如果卫星是近地卫星，轨道半径就等于中心天体自身半径密度公式可以简化成 real， 等于三 pi 除以 g t 的 平方。 也就是说，只要测出近地卫星的周期， t 密度可以直接算出来，连半径都不用知道。除此，高考题目最爱考黄金代换。 g m 等于 g l 平方。 g 是 天体表面重力加速度， r 是 星球半径， 这公式超级好用，知道星球表面的 g 和 r 就 能算 m， 而重力加速度 g 它还不爱直接告诉你，往往会给你安排一个该死的历学实验，让你测出来 g， 大家一定要灵活应变！

天体公式的问题其实并不是毫无头绪的， 其实我们可以通过三个方向来去解决天体公式的问题，我们来看一下在天体中，那么我们只学习了一个公式，就是万有引力公式。由开普勒第一定律我们知道一切天体运行的轨迹均是椭圆，在高中阶段我们可以将椭圆近似看成是圆周运动。是什么力使天体做圆周运动的呢？ 万有引力出现了在天上飞的稳定轨道的星体，万有引力用来提供星体做圆周运动所需的向心力，这个时候方向一出现了，天上飞的在稳定轨道上运动的万有引利用来提供向心力。得到这样一组式子，这是方向一，那么我们来看方向二， 方向二，地面上的地表附近忽略自转的时候，万有引力用来提供重力， f one 等于大 g 等于 m 小 g。 由该公式我们可以推出黄金代换式， g 大 r， 方等于大 g 大 m， 其中的大 r 为地球的半径。 那么方向二中有一个条件叫忽略自转，其实有些题目中呢是不忽略自转的，那不忽略自转的题目我们该怎么样去做？方向三，出现 方向三，地面上的地表附近考虑自转的时候，万有引力用来提供重力和自转所需的向心力，那这个时候 f 一 等于大 g 加上 f 项。除了三个方向以外呢，在天体中还会有一些个公式，我们是常用的球的体积公式和密度公式。 那么现在我给出了三个方向，方向一，天上飞的稳定轨道时，方向二，地面上的地表附近忽略自转时还有方向三，地表附近考虑自转时的情况，思路应该怎么样去建立？我们来看一下 应用一，当所需推导的公式中有限速度、角速度、周期，频率以及转数等的时候呢？直接上方向一，然后进行推导就可以了。二、当所需推导的公式中有小计的时候，直接上方向二，然后推导 三，当给出的小计，但是特别提出要考虑自传的时候，直接上方向三，那当然了，有些时候结论中既有方向一的量，又有方向二的量，这时候我们就两个方向一起用就可以了。 好多同学说我用开普勒第三定律可不可以，那当然可以了，那下面我们来推导一下开普勒第三定律好了。开普勒第三定律 a 的 立方比 t 方等于 k， 其中 a 是 轨道的半长轴呢，也可以当做圆周运动的轨道半径。 那么看一下这里面有周期，有周期用什么用方向一，所以我们直接用方向一进行去推导，给出该式子，我们直接能够得到 a 的 立方比 t 方等于 g， 大 m 比上四派方，这里面大 m， 我 用红色的字体表示，为什么？因为开普勒第三定律不是任何时候都能用的，而是说它必须要针对的是同一个中心天体才行。 那么我们可不可以由开普勒第三定律来继续深入的去再研究一下我所讲的方向一，方向二以及方向三的应用呢？我们看两道例题，这两个例题呢，是从选择题当中摘录下来的两个选项，我们来看一下第一题我们如何去解，题干中给出了地球的半径，重力加速度，让我们求周期， 有半径，有周期，我们可以用开普勒第三定律来进行第一步的推导。那有同学会问了，那么方向一，方向二，方向三也没有用到呀？ 好，我们的开普勒第三定律实际上不就是根据方向一推导出来的吗？不想用开普勒第三定律，可以直接用方向一进行推导也没有问题。那我们来看一下第一题，由开普勒第三定律可以知道 t 的 式子是这样的，那么我们继续向下面看， 这里边 a 指的是轨道的半长轴，也就是说卫星绕地球做圆周运动的轨道半径。这里由于题干中并没有给出外有引力场量大 g 以及地球的质量大 m， 所以呢，我们可以用黄金代换式将大 g 大 m 给代换掉，得到最终的结果， t 等于这些啊，跟上面的式子对上了。所以呢，判断第一个是正确的。我们再来看第二个，已知地球的半径 r， 外有引力常量 g 以及距离地表高度 h 处卫星的周期 t 则地球的密度 让我们求地球的密度，那么密度是由地球的质量引出的。那我们来看一下解法，还是由开普勒第三定律。我们先求出地球的质量，然后呢，将 r 等于 m 比 v 以及 v 等于三分之四 pi， r 的 立方带入上市中， 可得 r 三分之四 pi， r 的 立方等于四 pi 方， a 的 立方比记梯方。那么继续代入 r 等于三 pi 括号 r 加大 h 的 立方比记梯方乘以 r 的 立方。很显然，我得到的密度公式和题干中的密度公式是不一样的，所以第二个判断是错误的。

今天给大家说一下我们天体运动的解析思路，这个天体运动呢，其实很简单的，这个方法呢叫做三维法。什么叫做三维法？大家能够知道我们这有一个中心天体，用大 m 来表示它的质量，然后还有轨道半径圈有个环绕天体，环绕天体的 向心加速度，线速度角，速度周期以及该点的重力加速度，这是我们在天体这一章所要面临的一些解析的问题。 解析无非是有几种，第一种他会让我们去求中心天体的质量，那第二种呢？让我们去求环绕天体的运动测量，还有可能是让我们去求轨道半径，但是别管怎么样，大家能够发现啊，中心天体的质量， 轨道半径以及我的运动范围这三个呢，在我们的一个公式里边，是能够完美的把它们结合在一起，这个公式就是我们的万有引力，这个物体的万有引力提供它的相吸力，万有引力提供相吸力。我们怎么用这样的一个方法去解决这个题？我们看啊， 三个量，一个是 m， 一个是 r， 一个是运动范围，这三个量之间呢？我们如果能够知道两个量，那第三个量指定是唾手可得。 所以这一类题，他在出题的过程中一定是要么告诉我们中心线的质量，轨道半径，要我们去求运动差量。这种情况下，我们直接用外有引力去连力对应的向心力的公式，比如说我们想求向心加速度，那外有引力等于向心加速度，我们就能够求出 白点的下压数是多少。我们再看再举一个例子，如果我们知道的质量，知道了轨道半径，让我们去求它的周期。同样的道理，万有引力等于向心力，这里边我们只需要取向心力宽周期的数值就可以，我们往里边一带，我们就能够导出周期的公式。 除了我们要求运动测量之外，这一块的体重我们还有一类，就是我们知道运动测量，知道轨道半径去求大 m， 那 知道运动测量轨道半径去求大 m。 其实同样的思路，大家可以看一下，右侧的式子和左侧的式子完全是一个式子，只不过是我们的已知和未知发生了变化。 而对于左侧的势子，我们是知道了向心力外有引力，然后去求中心体的质量。所以啊，大家去看啊，别管是你求中心体的质量，还是求我们的运动材料，或者说这个题，让我们去求轨道半径， 你只要能够记住这三个维度，他们连立在一起可以解未知量就可以。其实这个问题就转化成我们在初中学学的我们知二求一的问题， 所以大家把这个图记得住，把这些运动参量记得住，然后按照这个三维法把这个记得住。就是当你一读到题的时候，如果你发现了它有运动参量，有轨道弯曲，那你在脑海里边，你要知道我这个是可以去中心你的质量， 那或者说我们读题，我发现有中心的质量，有轨道半径，那在脑海里边，你就要知道我是可以求环绕天体的运动参量。同样，如果你知道运动参量，知道质量，你在脑海里边，你也一定要知道我们是可以求 环绕天体，他的轨道半径是多少？你能够把这个思路掌握住，那么所有天体的计算器对你来讲其实都是小菜一碟，没有什么问题。我是崔老师，感谢大家观看，如果大家有疑问可以。

本节课一口气梳理完必修二，物理天体章节的所有必考公式，结合点力代练，帮你拿下月考期中期末天体必考的这十五分对应的电子资料，总结好了，下载打印。首先是开普勒运动的行星定律，那这里关键是第三定律，涉及到了计算 所有行星轨道的半长轴的三次方，那注意，半长轴呢？是这条 与它的公转周期的二次方的比值都相等。如果说用 a 来代表这个椭圆轨道的半长轴，用 t 代表公转周期，我们可以得出 a 的 三次方，再比上 t 的 平方，它是一个定值，我们用 k 来表示。 太阳系里面所有行星都相同的这个长量，来看一下怎么去用到计算题里面。 这里是我们所发现的一颗回星，如图所是，已知该回星的近日点接近火星的轨道，也就是这里他的远日点接近木星的轨道，也就是这里 火星、木星的公转轨道半径分别是地球公转轨道半径的 p 倍和 q 倍。那这个彗星的运动周期是多少？首先来看这个彗星，他的运动轨迹是这样的，那这个椭圆形，他的半长轴是不是就是 这一块？我们用 a 来表示，那这个 a 怎么表示呢？他应该是 木星的轨道半径，再加上火星的轨道半径再除以二，也就是说 a， 它就等于 p r 加 q r 再除以二，这里的 r 是 地球的公转轨道半径，那再结合所有行星，它轨道的半长轴的三次方，再比上周期的平方是一个定值，是 k。 我 们要研究的这颗彗星，它和地球一样，都是绕 太阳去公转的，所以说对于地球来说，我们可以得出地球的半长轴的三次方，也就是 r 的 三次方，再比上地球的公转周期的平方，他也是 k， 那 他俩呢，是相等的， 这里地球呢，他的公转周期是一年，所以说我们可以直接用 e 去给他替代。可得 t 会的平方 应该等于 a 的 三次方，再比上二的三次方，也就是这一块的三次方。比上二的三次方来代入 p， r 加 q， r 再比上二的三次方，再除以二的三次方， 那这一块经过运算可以得出 p 加 q， 再比上二 这一块的二分之三次方。具体的数学运算我们就不多说了，这里关键是教大家怎么去用公式，所以只能选择 c 选项。 再来看外力引力定律，自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的 连线，引力的大小 f 与这两个物体质量的乘积 m 一 m 二成正比，与这两个物体间的距离 r 的 平方成反比，那也就是说 f， 它就等于记在乘以 m 一 m 二的乘积，再比上 r 的 平方， 其中大 g 呢，是万有引力常量，它的值是这个。好了看，假如说我们有两个可以被视为质点的物体，它俩之间的距离是二，它们的质量分别是 m 一 和 m 二，那它俩之间的万有引力呢？就是这个。 那再来看我们呢，现在是有两个小球，小球的质量分别是 m 一 和 m 二。你要想用这个式子，我们这里的 r 两物体之间的距离对应的应该是两者的球心距，那这里呢，这个 卫星它被送到预定的轨道了，它离地面的高度是 h， 我 们来画一下，这里是地球，那卫星呢？它是在这个位置，这一块是 h， 那 它的运动轨道呢？是这一条卫星质量为小 m， 地球质量为 m d， 地球半径是大 r 以内，常量是大 g， 那 地球和 卫星之间的万有引力大小是多少？好呢，首先需要清楚，我们这个卫星呢，它的大小和地球相比呢，是可以忽略不计的， 但是地球它本身对于卫星来说是比较大的，那所以我们在找两物体之间距离的时候呢，应该是需要找到地球的球心，那这里呢，是地球的半径大 r， 我 们的这一块也就是 h， 再加上大 r， 它对应的才是两物体之间的距离小 r， 这一点不要搞错。好，那现在呢，就可以代公式了， f 是 等于这一块，我们来代入，那 f 呢，它就等于既再乘以 m， 乘以 m d， 再比上 h 加 r 的 平方， 所以这里只能选择 d 选项。那这道题呢，很有可能你把这个 h 直接当成两者之间的距离 r 带入这里的话呢，就搞错了。好，再来看一下 乘量地球质量的必考公式，我们常用的方法呢，有两种，第一种呢是代换法， 也就是说我们不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或者附近的物体， m 外有引力，近似于重力来乘凉，它的质量。好，来看一下，这里是地球，那地球表面呢？有一个物体， 物体质量是小 m， 地球质量是大 m， 对 于这个物体来说呢，它所受到的重力 mg 就 近似等于 它与地球之间的万有引力。那再根据 f one， 它就等于 g 大 m 小 m 比上 r 方，我们就可以得出这个 mg 呢，它就 等于 f one， 它就等于 g 大 m， 小 m， 再比上地球半径的平方， 那根据这个我们是可以把 m m 约掉，然后得出大 g 大 m 就 等于小 g， 再乘以 r 的 平方。我们用这个就可以得出地球它本身的质量了。我们还可以用环绕法来求它的质量，比如说像这里 卫星环绕地球的运动，可以视为圆周运动好，这里呢是卫星，它绕地球去运动，那这个卫星它所需要的向心力应该是由地球对卫星的万有引力去提供的，所以我们可以得出 f 项，它就等于 f one。 那 我们在计算万有引力的时候呢，用的是这个式子。 f 一 是等于大 g 大 m， 小 m 比上 r 方。我们在计算项心列的时候呢，有好几个公式， f 项，它可以等于 mv 方，比 r 又等于 m omega 方， r 又等于 m 四拍方，比 t 方乘上 r 好。 那所以根据万有引力 和象形列的大小相等，我们可以得出这一串是相等的。那在这一串里面呢，我们可以把所有的小 m 全都给他约掉，约掉完之后呢，经过计算可得这个大 m， 它可以等于这一串，可以等于 微方二，再比上大 g 又可以等于 omega 方二的三次方，比上大 g 提方好。那这里呢，我们也可以求出 地球的质量，但需要注意的是，在这个式子里面呢，我们一开始就把所有的小 m 全都约掉了，也就说我们不能够求出环绕天体的质量，我们只能求出中心天体的质量。大 m， 这里呢，是计算地球的质量。那如果说我们去计算太阳或者是中心天体的质量呢？其实本质上也是一样的，我们只需要把刚刚这个模型里面的地球换成中心天体，把这里的 地球上的物体和这里的卫星来换成中心天体上的物体，以及围绕中心天体运转的 行星，把这些完全带入之后呢，我们可以得到你计算太阳或者中心天体质量呢，有两种方法。第一就是利用代换法，也就是说天体 它的表面呢有一个物体，这个物体它所受的重力近似等于天体与物体之间的万有引力，我们就可以得到 mg 就 等于 大 g 大 m， 小 m 比上 r 的 平方，根据这个就可以转换出小 g 大 的平方，就等于大 g 大 m， 这个呢就是我们的黄金代换，可以用来求中心天体或者说太阳，它的质量 可以推出 m 就 等于小 g 大 的平分，再比上大 g 好。 第二种呢是环绕法，那其实呢还是同一个模型，只不过现在呢我们的中心天体呢，它是太阳或者其他的中心天体，那外面呢是它的行星或者是卫星，那我们就可以得到 这个行星或卫星它所受到的万有引力，来提供让它做圆周运动的向心力，也就是 f 项等于 f one， 那 万有引力呢？是这个向心力呢？可以用这三个来表示，我们就可以得出这几个式子都是相等的，进而就可以得出中心天体的质量， 他可以用这几个式子来表示。好呢，这一页的结论呢和第一页是完全一样的，我们可以把两者对比着记好，再来看一下计算的时候怎么去做，我们用黄金代换来计算天体的质量。好，直接把黄金代换的式子给他写出来，小 g， 大 平方等于大 g 的 m。 登上某半径为 r 的 球形位置，天体在该天体表面将以质量为小 m 的 小球以初速度为零，竖直上抛，上升的最大高度是 h， 引力常量是大 g。 那 在求天体质量的时候呢，我们来看，我们是在天体的表面去扔一个物体，那这里的话呢，就相当于我们这里再用代换法 的时候，不考虑该天体自转的影响，利用天体表面或附近的物体的重力，近似等于万有引力，我们可得重力 mg 就 等于万有引力，即大 m， 小 m 比上 大的平方，这个大呢是天体的半径。好，这里我们把 m m 削掉，把这个二方换过来，就可以得到这个黄金代换了。好，在用的时候呢，这个天体的质量，大 m 就 应该等于小 g， 比上二的平方，再比上大 g。 我 们再来看怎么去求天体表面的加速度。好，我们把这个物体竖直上抛， 它上升到的最大的高度是 h， 那 我们可以得出 v t 方减 v 零方等于二 a x。 好， 在我从最低点上到最高点的时候呢，这个过程中我的末速度是零，初速度呢是 v 零。由于重力加速度呢，应该是方向数值向下，你这里是数值往上抛，所以说这里的重力加速度应该是负 g。 好， 再乘以上升的高度为 h， 可得小 g 应该是等于， 所以这里 ab 两个选项里面呢， b 要排除只能选择 a。 那 再来看一下，我们刚得出大 m 是 等于这个，现在我们得到小 g 了，把小 g 带进去，它就是 v 零方，比上二 h 乘以二的平方，再比上大 g， 也就是 v 零方二的平方，再比上二 h 大 g， 所以 c d 两个选项里面可得只能选择 c。 那 本题呢，本质上也很简单，你关键是要会用这个黄金代换，以及要能够先算出这个物体它作数值上抛所对应的 天体表面的加速度大小。再来看一下 ro 等于 m 在 b 上 v， 你 要想求密度，我们需要先找到这个天体的质量，那计算天体质量的时候呢？我们之前已经得出了两种方式，也就是这里的黄金代换和这里的用环绕法求天体质量。 那我们用代换法，也就是说用天体表面重力加速度可以得出这个黄金代换的公式，进而得出我们这个 天体的质量。大 m 应该等于小 g r 的 平方，再比上大 g 好， 得出这个质量之后，再结合 u 等于大 m 再比上 v， 那 体积 v 呢？又等于三分之四 pi r 的 三次方，我们就可以得到这样一个式子，也就是 u， 它就等于 小 g， 大 r 的 平方再比上大 g， 然后再除以三分之四 pi r 的 三方。这个式子我们稍加整理就可以得出，应该是等于三小 g， 再比上四 pi r。 答， 其中这里的小 g 呢，是天体表面的重力加速度，而这个大 r 指的是天体的半径。好，再来看一下。第二种方法，就是用卫星环绕法 或者天体环绕法。我们利用绕某天体做圆周运动的卫星的轨道半径是小 r， 周期为 t， 天体的半径为大 r， 我 们可以先用这里的内容求出天体的质量，它可以等于这几个式子，再结合 ro 等于 m， 再比上 v 可得， ro 呢，就应该等于这些内容， 比如这里的 r， v 的 平方比上大 g， 再除以体积， v 体积呢，是三分之四 pi r 的 三次方，它又可以等于 r 的 三次方。我们一个平方比上大 g， 再除以球体的体积三分之四 pi r 的 三次方， 它还可以等于四派方。 r 的 三次方比上 g t 方，再除以三分之四派 r 的 三次方，我们最终可以得出这几个式子都可以用来算天体的密度。那这里需要注意的是什么呢？ 我们有小 r 和大 r， 这个大 r 呢，是天体它的半径，而这个小 r 是 绕天体做圆周运动的卫星的轨道半径，它俩的区别是什么呢？那么以这幅图为例，我们天体它的半径呢，是 这一条蓝色部分，而轨道半径呢，应该是 中心天体再到卫星的距离红色这一节，再加上中心天体的半径，也就是说大 r 加上小 h 之合才等于小 r， 千万不要认为小 r 等于大 r 哦。 好，现在我们来看一下，那这道题呢，就是用外圆法，也就是环绕法算中心天体的质量和密度，那在 算的时候呢，需要注意，这里是北斗导航卫星在距离地球表面高度为 h 的 轨道上做匀速圆周运动的角速度告诉我们的地球半径，告诉我们的引力场量为 g， 忽略地球的自转。好，那这里呢，它是地球， 我们呢是有一颗卫星，它在距离地球高度为 h 的 地方做匀速圆周运动， 那这里呢，是地球自身的半径，所以我们可以得到我们的轨道半径呢，应该是选二等于大二，再加上一句，这个千万不能错，在求质量的时候， 我们用环绕法是有这几个式子都可以去算质量。题中给我们的是角速度，那包含角速度的是大 m， 它就等于二的三次方，我们一个平方再比上大 g， 也就是这个式子，一定要注意，我们的小 r， 它指的是轨道半径，可不是中心天体的半径，所以说这里小 r 应该用大加 h 来代入它的三次方，再乘以 omega 的 平方，再比上大 g， 所以 c 选项是没问题的。好，再来看一下 d 选项平均密度，那在求密度的时候呢，我们是有这几个式子，同样本题给出的是角速度 omega， 那 和 omega 相关的应该是这个 u 等于三 omega 方， 小 r 的 三次方，再比上四派大 g 大 的三次方。好在这个式子里面需要注意小 r， 它是轨道半径，所以说我们需要给它代入，它就等于三 omega 的 平方，再乘以大加 h 的 三次方，再比上四派大 g 大 的三次方。那对比之后发现这里 d 选项是有问题的。由于我们这里呢 只考虑密度质量计算，那 ab 两个选项我们就不多说了，宝子们可以自己算一下。再来看一下必考的第六个公式，三个宇宙速度。我们的第一宇宙速度呢，是七点九千米每秒，注意是千米每秒，不是千米每小时。 这个速度是物体它在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度，也是 最大的近地绕行速度，最大的环绕速度，为什么这么说？好，假如说这里它是地面，我们 要去发射卫星的话，这个卫星的发射速度只要小于七点九千米每秒，它就会掉下来，就没办法环绕地球进行运转。好，也就是说如果我们的速度在零到七点九之间的话，我们最终 会落地。好，再来看一下我们的第二宇宙，速度呢，是十一点二千每秒，这个速度是指在地面上发射，使之能够脱离地球的引力，永远离开地球所必须要到达的最小的发射速度。脱离速度 好，我们刚刚所说的你要大于七点九，是说大于等于七点九，我们才能把它发射出去，让它绕地球进行走。但是你一旦这个速度过大，它大于十一点二了，你就脱离地球了，就不能够去绕地球去走了。 所以一旦我们的发射速度是在七点九再到十一点二之间，那这个物体呢，它是可以绕地球去转动的。好，再来看一下 我们的第三宇宙，速度是十六点七千米每秒，也就是说在地面上发射，使之最后能够脱离太阳的引力，飞到 挣脱太阳的引力，太阳系之外所需要的最小逃到太阳系以外的发射 速度，那这个呢也是逃逸速度。好，这里的话呢是说这里它是太阳系，我们这里呢是地球， 如果说你的速度小于七点九，你就没办法去绕地球去飞行，你会最终落到地面上，那假如说你大于等于七点九了，你就可以绕地球去走，那如果说你 已经超过十一点二了，你就没办法绕地球了，你就脱离地球，但这个时候你是还在太阳系之内的， 也就是说如果说我们的速度是在十一点二到十六点七之间的话呢，就已经完全脱离地球了，你可以成为太阳的一颗小行星，但假如说你比十六点七还要大，你就会脱离太阳了。那宝子们还有哪些想听的内容可以来评论区告诉。

高中物理必修二，万有引力公示三，下面呢来介绍一下万有引力公示三节，也就是天体的质量和密度，我们该怎么来计算他呢？以地球为例，我想知道地球的质量该怎么办呢 啊，我们在前两节介绍了很多公式，接下来给大家回顾一下。第一节呢，我们来介绍一个中心天体，以地球为例啊，然后呢有一个卫星绕着他转， 那么这个卫星的限速度，角速度以及他的周期的攻势是什么呢？啊？他的环绕速度 v 等于根号下大 g， 大 m 除以环绕半径 啊，半径要跟速度一一对应，那么在这里边的大 m 就是中心天体的质量，如果大，这当然都是以质量，如果我知道环绕半径，如果我知道环绕速度，那么我们是不是就知道中心天体的质量了？那么同样，如果公式里含有大 m， 那是不是这个大 m 质量 我们就可以求出来，当其他位置量已知的情况下，对不对？那么好角速度呢？我们一个等于根号下大 g， 大 m 除以环绕半径的三次方 环绕一千所需要的时间周期 t 等于二派根号下二的立方比上大 g 大 m， 这里面都有大 m， 如果以其他的量都知道的话，那是不是大 m 就可以求出来？那么好，在第二节当中，我给大家介绍了 黄金贷款公司，也就是万有引力是可以近四等于重力的，他在表面所受到的重力的， 那么在这种情况下我们就得出来了，我们需要背的第四个公式对不对啊？小 m 约掉大 g， 大 m 可以等于小 gr 的平方，也就是我要想知道中心天体的质量，我要把它一个物体呢，在这个星球上，他的重力加速度和他在这 位置到达这个星球啊，球星的什么距离，那如果他俩知道，那是不是就相当于大 m 就可以求出来啊？这是公式，我们就能知道天体的质量，所以要在特定的情况下，咱要选取特定的公式，一定要审清楚提干当中给我们的乙质量是什么，我们再用合适的公式去解决它。 那么接着就要介绍一下，那如何来求啊？一个中心天体的密度呢？以地球为例，我想知道地球的密度怎么办呢？其实呢，密度的公式， 肉等于什么啊？这个星球的质量除以这个星球的什么体积，这不是速度，是体积，那体积等于什么呢？球的体积三分之四派 r 的立方， 所以我要想知道肉，也就是我需要知道这一个整体的任何一个位置量对不对，那至 我们可以通过上面的方法求出来，那么 r 呢？也需要特定的方法来求，所以说在这里面呢，要想求密度，我们会发现啊，这里有 r， 有 r 的立方，哎，我们在这个公式里面的 t 里面是不是也有 r 和 r 的立方和大 m， 那么好，他们之间是不是可以联系到一起呢？当然可以，所以说老师让你们记得下一个，也就是第五个公式，他来了，哎，我们想求地球的周期啊，如果我知道一个星球，一个卫星啊，绕着地球转好不好？绕着地球转， 那么绕着地图转，如果我知道他的周期的话，那么我明白了啊，这个周期他等于二派根号下什么呢？哎， r 的立方大，这地球的质量，然后呢，我再让他跟这个原始的密度公式进行连力， 我们就得到了一个新的公式，这个公式呢，也是来求星球密度的公式，也就是肉等于 三派小 r 的地方，大 g t 的平方。 r 的地方。同学们，小 r 是什么？我在这里应该说说的严谨一点。在这里面啊，一个卫星 a 绕着地球转，他的周期是二派根号下什么呢？这个 卫星的环绕半径我设为小 r 的地方，大 g 大 m。 那同学们看激光笔，那这个大二是什么？这个大二是地球，也就是中心天体的半径，明白吗？因为我要求他的体积三分之四派他的半径的地方， 所以同学们，这个耳和这个耳是不一样的，上面这个小耳是某一个卫星环绕这个中心天体的环绕半径，这个大耳呢， 是这个星球自身的半径， ok， 明白吗？所以在这里需要说一下，二是什么呢？啊？一个卫星他的周期是 t， 那么他的环绕半径呢？是小二，那大二是什么呢？是这个星球的半径。 那有一个特殊的卫星叫做禁地卫星，禁地卫星虽然他离开地面，但是吧，他距离地面的距离是远小于地球半径的，所以我们近四于近四。什么？他的环绕半径就是地球半径，所以如果是近地卫星， 那么这个小二就近四等于大二，那么他的肉就等于什么呢？三派比上大 gt 的平方。 所以说，同学们要想用老师的这个公式给大家框一下，就这个公式，要记住，前提是什么？我得知道什么呀？啊，我得知道一个卫星绕着地球转的周期，如果提干没给怎么办？咱可以这么 么想，咱先求周期啊，提干当中给了我很多未知量，不了，给了我很多已知量，那么通过这个已知量，我能不能求出这个卫星绕着地球转的周期？如果能，我求出来，求出来以后再带到这里，千万要记住这个小二是这个卫星的环绕半径，这就是密度公式， 听清楚了吗？大家一定要背下来啊，同学们，来前三个一定要背下来，然后呢，黄金带放公式，还有就是密度公式。下一节呢，我们还会介绍新的公式，双星系统。

b c 二、物理万有引力计算、天体质量计算、天体密度计算必考的六到十二分，本节可帮你一口气拿下公式分析加模型推导加点力代刷全包含计算题，闭眼拿分，对应电子资料全在这里了，一一一下载打印。 首先，我们自然界中任何两个物体都会相互吸引，并且引力是沿着它俩之间连线的方向， 引力大小呢，与物体的质量 m 一 和 m 二它俩的乘积成正比，与两者之间距离 r 的 平方成反比，也就说 f one 就 等于大 g m 一 m 二再比上 r 的 平方，其中这个大 g 呢，是引力常量，它是个定值六点六七乘以十的负十一次方牛 平方米每千克的平方。那两者他们互相给对方的引力是一对相互作用力，也就是说应该是大小相等，方向相反的。 那这个公式什么时候能用呢？它是适用于质点之间的相互作用。当研究对象是两个质量分布均匀的球体的话，那 此时的小 r 就是 两球之间球心的距离。那如果说是一个质量分布均匀的球体和另一个质点他俩之间的万有引力的话呢？我们这个 r 就是 质点再到球心之间的距离。 再来看星体表面上的重力加速度，如果不考虑地球自转的话，这个物体的重力 m g 其实就等于地球对它的吸引，也就是 g 大 m 小 m 再比上 r 的 平方，这个 r 呢，就是我们物体再到地球球心的距离，那由此可以得出小 g 是 等于这个好。那如果说是地球上空 距地心 r 等于这里的地球半径大 r 再加上小 h 的 距离的话，它的重力 m g 一 小撇就等于大 g， 大 m 小 m 再比上大加 小 h 之和的平方，由此可得，小 g 一 撇应该是等于这个。来看这里二十四年江苏的模拟预测体 潮汐主要是受月球对海水的引力而形成，导致地球自转持续减速，同时月球也会逐渐远离地球。已知地月球心分别是 o 和 o 撇 a b 是 地球上两个海区，多年之后， 那这里海区 a 和 b 呢？他俩都是随地球一起去转动的，所以说他俩的角速应该是相等的。最 a 选项直接排除好。那在地球赤道上的物体有什么特点呢？在赤道上的话，他所受到的重力 mg 和向心力 f n， 它俩是在同一条直线上，那物体它被地球吸引，所对应的万有引力大 g 大 m 小 m， 再比上 r 的 平方，就应该等于重力，再加上向心力 m omega 方，再乘上 r， 再结合 omega， 它等于 r pi 再比上 t。 这里告诉我们，地球自转持续减速，就意味着我们的 周期 t 会变长，就意味着 omega 在 减小。好，它减小的话，要想使这个等式成立，我们需要让这个 mg 更大才行。怎么才能让它更大呢？就是增大 重力加速度小 g， 所以 地球赤道上的重力加速度会增大，这个是没问题的。好，月球绕地球做圆周运动的，加速度会增大，那我们设地球的质量是大 m， 月球的质量是小 m 月，它俩之间的球心距是小 r， 可以 得出 我们月球和地球之间的万有引力应该是大 g 大 m 小 m 月，再比上 r 的 平方。那再来看一下，对于月球来说，是这个万有引力来提供了它绕地球转动的向心力，所以说这个 就等于 m 月再乘以 a， 好， m 月 m 月可以约掉。那由于 月球它会远离地球，就意味着这个 r 越来越大，那就导致 a 越来越小，所以说这里的加速度应该是减小，那地球的同步卫星距离地面的高度会减小。假设地球的同步卫星 在这里，它的质量呢是 cm 铜，那它距离 地面的高度是小 h， 那 地球的半径是大 r， 我 们可以得到这个同步卫星再到地心的距离是大 r 再加上小 h， 那 地球给这个同步卫星的光引力应该是大 g 大 m 小 m 同，再比上大 r 加上 h 的 平方，那这个呢，就 等于我们这个同步卫星它绕地球转动的向心力，向心力我们可以用这个式子来表示，就是 m 再乘以四派方比梯方，再乘上大加小 h， 好， 这里的小 m 呢，可以约掉。 那这一项我们可以给它放到左边，放到左边的话呢，左边这里就变成了大加小 h 的 三次方。 好可得 t 的 平方应该是等于四派方，在除以这块，那除以它相当于乘以它的导数，也就是乘以大 g 大 m 分 之大加小 h 的 三次方， 所以 t 的 话呢，应该是等于右边这块去开根号，它开根号的话，我们可以把这个给它移出来，也就等于二 pi， 在 乘以根号下，大加小 h 的 三次方，比上大 g 的 m， 已知地球自转持续减速，就意味着地球它转动的周期应该是增大，那周期增大的话，右边这个式子里面我们对应的 大加大 h， 它的三次方应该增大，才能够使左边整体去增大，那这里的话呢，大是固定的，所以说我们只能让 h 去增大，所以说这里的高度应该是增大才对。那这道题本质上也不难，只要你能够列出这个 这个和这个式子，就可以轻松解除了。那这道题呢，同样还是用我们的万以内公式把咱们自己做一下，然后去 资料里面对答案，再来看一下天体质量和密度计算好，我们有两种核心方法，第一种呢，就是自力更生的版本，也就是说利用天体表面的重力加速度小计和天体的半径大 r， 那 假如某物体它在我们天体的表面的话，那物体距离球心应该是大 r， 我们设天体的质量是大 m， 物体的质量是小 m， 物体它在天体表面随天体一起去转动，那所以这个天体给物体的 外力应该是大 g 大 m 小 m 再比小 r 的 平方，而这个呢又等于物体的重力，也就是 m 再乘以小 g， 那 可以把小 m 小 m 约掉，我们就可以得出天体的质量是这个好，我们再结合 这个天体，它是一个球体，那既然是球体，它的体积 v 就 应该等于三分之四 pi r 的 三次方，所以可得天体的密度，如果应该是等于大 m， 再比上 这一块，那可得它的密度应该是这样的好，我们在求质量的时候呢，得到了这个式子，那这样的话呢，我们可以给它转换一下大 m， 大 g 就 等于小 g 大 的平方，这个也就是我们所说的黄金代换，在我们的计算题里面是 非常常用的，一定要掌握，那这里需要注意的是什么呢？我们把左边这个式子列出来之后呢，第一时间就把小 m 就 消掉了，所以可得这种方法，我们没办法去算 物体的质量，只能去得出天体的质量好。再来看第二种方法，就是借助外圆，也就是说我们可以测出卫星它绕天体做匀速 圆周运动的半径小 r 和周期 t 好， 那这样的话呢，这个卫星它到天体中心的距离就应该是天体的半径，再加上它的高度，也就是大 r 加上小 h， 两者之合就等于 轨道半径。那所以它所受到的这个天体给它的万有引力应该是大 g 大 m 再比上 r 的 平方。一定要注意这个小 r 它是等于大 r 加上 h， 而不是直接等于 r 好， 那这个呢，又等于它 所受到的象限力，那这个象限力我们可以用 m 乘以四派方比 t 方，再乘上二来进行计算，这里还是先把小 m 约掉，最后可以得出大 m 应该是等于这个式子好。这里计算的时候呢，我们由于又是第一时间把小 m 约掉了，所以说我们还是只能计算出 天体的质量，你不能计算出卫星的质量。假如像星历，我们不用这个式子表示，我们用 m v 方比上 r 或者是 m， 我 们一个方 r 或者是 m a 来表示的话，我们就可以推导出大 m 应该是等于 v 方，在 乘上 r 再比上大记，它还可以等于 omega r 的 三次方再比上大记，还可以等于 a r 的 平方再比上大记。 这里呢，宝子们需要自行再推导一下，好找到天体的质量之后再求密度。很简单，你只需要用它的质量再除以体积就可以得出这个密度应该是等于三派二的三次方，再比上 g t 方大的三次方。注意，小 r 呢，是 轨道半径，也就是这里的大，再加上 h 这个大 r 才是天体的半径。 那假如说卫星它绕天体表面去运行，我们就可以认为轨道半径小二就等于天体的半径大二，那此时天体的密度可以怎么算呢？原本是这个式子， 但是当小二和大二相等的时候，我们就可以把上下的二的三次方给它约掉，就可以得出密度应该是等于三派比上 g t 方。这样的话，我们只需要测出卫星绕天体表面运行的周期 t， 就 可以估测出中心天体的密度了。好，来看这里 二四年山西朔州的模拟预测体。如果宇航员在月球表面附近高 h 处以出速度 v 零水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位置大小是 l， 已知月球半径是大，引力场量是大计。以下说法正确的事。 好，你这里的话呢，是在月球表面去平抛，那所以我们平抛的这个小球，他所受到的重力加速度应该是记月，那平抛运动又可以给它分解为水平方向上的匀值 和数值方向上的自由落体。根据水平位移为 l， 我 们可得我们运动的时间 t 就 应该是 l， 在 比上 水平初速度 v 零，再根据你做这个落体所对应的下落高度 h 就 应该等于二分之一积 梯方，那对应的就是二分之一积月再乘以梯方。好，所以我们可以得出，积月就应该等于二 h， 再比上梯方，我们再把 t 代入，就可以得出，应该是等于二 h v 零方再比上 l 的 平方， 所以这里 a 选项是没问题的。那这里的话呢，我们只需要用平抛运动的知识点就可以解除了。好，再来看月球的质量是多少，这里我们计算质量和密度的时候呢，有两种方法，一种就是 有物体，他直接在天体表面，我们用重力加速度法去求。另一种呢，就是我们有一个环绕卫星，利用这个卫星的 半径和周期来求，但是本题中呢，我们没有微型，所以只能用这个重力加速度法，可以直接带入大 m 和 ro 的 值。我们天体质量的表达式是这个， 这里大 r 是 月球的半径。好，我们现在呢，可以把小 g 给他带进去，小 g 是 等于这一块，把它带进去之后，可得应该是等于二 h 二的平方 v 零的平方再比上大 g l 的 平方， 所以这里 b 选项呢，也是没问题的。好，那密度是这一块，这里的话呢，我们也可以把小 g 带入，小 g 是 这个值，所以可得 ro 应该是等于 三 h v 零方再比上二派大 g 大 l 的 平方再乘上 r， 所以 这里 c 选项呢，也是没问题的。 好，在找 d 选项的第一宇宙速度的时候呢，我们需要清楚，它是卫星绕月球表面做匀速圆周运动的速度，那此时应该是 f 一 等于 f 向，也就说 y 引力来提供向心力，那就是大 g m 月再乘以小 m， 再比上 r 的 平方，就等于 m v 方再比上。答案由此可以解出， v 就 等于根号下大记 m 月再比上 r， 那 m 月呢？我们已经找到的是这个，把它带入就可以得出， v 应该等于 v 零比上 l， 再乘以根号下二 h r。 具体计算过程我们就不多说了，所以说这里 d 选项是有问题的，要排除。那宝子们在计算中心天体的质量密度的时候呢？我们首先需要确定这里用的是重力加速度法还是环绕法， 然后再去带对应的公式就可以了。那这道题和这道题呢，也是同理，宝子们用刚的技巧自己做一下，然后去对。