新乡一模数学十五题评分标准

来我们看一下新鲜一摸这个填空压轴题。如图，在三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于八倍的根号二， cd 是 边， ab 的 垂直平分线 m 是 ac 上一点，且 am 等于二。 作 d， n 垂直 dm 交 bc 于点 n， 若点 p 是 直线 m， d 上一点，且 d p 等于二分之一 m， d， 则三角形 pnb 的 面积是多少？ 在解这个题之前，我们先简单的分析一下这里边这几个条件。 cd 是 边 ab 的 垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，咱可以得 ac 等于 bc。 三角形 abc 是 等腰直角三角形 d 边 ab 等于八倍的根号二，咱可以得这个腰长 ac 跟 bc 的 长都是八，这是大三角形的条件， 里边有个 dm 垂直 d， n 有 这个 dm 垂直 d， n， 咱可以正三角形 a， m， d 全等于三角形 c， n， d 这两个三角形是角，边角全等啊。四十五度角，下面是九十度，减去 m， c， m， d， c， 呃，边是 a， d 等于 cd， 这两个三角形全等 a， m 等于 c， n 等于二，咱可以得这个 b， n， 它是六，也就是这个三角形 p， n， b 的 一边咱知道。 然后这个题 d 是 ab 的 中点，如果咱过点 d 做 d， f， d， g 垂直于这两边的话，这个 d， f， c， g， 它是实际上是个正方形， 正方形的边长是四，也就这个 f， c 的 长是四，下面剩这个 a， f， 它也是四。第一种情况，当这个点 p 在 md 上的时候，因为 p 是 md 的 中点 m， 因为这个 d p 等于二分之一倍的 md 啊， p 是 中点，我过点 p 向 a f 做垂线做 p， h 垂直于垂直于 a， f， 这时因为 am 等于二， m f 也等于二，那这个 h f 它就等于一，因为 p 是 终点啊，这儿， 所以呢，这时 f h 是 一，那我们就求作 h c h c 就是 五，其实这个 h c 也就是 p b n 这个三角形 b n 边上的高， 这条边上的高有底有高了，所以这个三角的面积咱就可以求出来了啊。这个三角的面积是五，这个六乘以这个五除以二，就是十五。那另一种情况，另一种情况，当这个点 p 在 m d 的 延长线上的时候，在这种情况下，咱也求一下这个点 p 撇到 b n 的 长就行。那这时呢，咱过点 p 撇也做 ac 的 垂线，做 ac 的 垂线。因为这个 dp 撇和这个 dp 是 相等的，所以这边这个 h f 和 fi 是 相等的啊。咱可以得这个 fi 等于 c i， 那 就等于三，所以这个三角的面积就是九好。

啊，大家好，今天呢我们分享一下这个今年新乡一模啊，这道题啊，也算是他们几个学校联考的，我们看一下这个实物题啊，这个题的话，呃，相信大家也看到很多老师的做法，那我们也分享一个做法，我们这个做法用的是一个割补法的一个做法啊，就是 啊，就是我们求应用部分面积最常用的一种方法，这个方法呢也是挺简单的，就是计算的话，大家的计算跟得上的话也是很快的啊，我们看一下这道题， 这个 a c b 是 个九十度啊，然后呢这个地方告诉我们 c d 是 ab 的 垂直平分线啊，那垂直平分线的话，我们知道这两个这个等腰再加这个直角的话，就是一个等腰直角三角形了吗？啊，这个图其实在串的话我们比较常见， 然后这个 am 十二，然后呢这个 ab 是 八倍根号二，也就是这是四倍根号二了啊，那这也是四倍根号二， 那我们知道这两个三角形，它其实是一个全等的三角形，对吧？它其实是一个全等三角形啊，正法的话很简单，我们就不正了啊，也就是这个地方呢，它也是个二，那这个地方呢就是一个六，对吧？那这个地方也是个六嘛，这个八倍根号二，一比一比根号二的话，这个等腰的边长就是八了，对不对？ 然后呢他说这个也就是图上给我们这些点啊，他都是一个定点，然后呢说这个点屁呢，他是直线 m d 上，而且 d p 等于二分之一。 m d 其实在这的分类讨论特别特别简单啊，这个分类讨论是特别简单的，就是 d p 等于二分之一 m d 的 话，因为你这个在这条线上吗？所以你这个 d p 是 有两种情况的，他可以在这，他是不是也可以在这啊？ 就是两种情况， d 的 左边和 d 的 右边嘛，所以这两种情况都是比较好找的。然后主要是计算，比如说第一种情况，如果说这个点 p 在 这个位置的时候，对吧？如果这个点 p 在 这个位置的时候，让我们去求这个 pnb 的 面积， 对吧？让我们去求这个面积，我们好的老师的思路呢，就是这个三角形呢，有一个边六，他已经是底了，然后呢只要我去求高就可以了，那我们换个思路，就是这个题，我看到这的话，我优先想到是一个割补法，比如说 这个面积跟下边这个绿色的面积，他俩补一下的话，是不是就补成了这个四边形的面积？那这个四边形的面积我从中间再重新分割一下，是不是就变成左右的面积了？你会发现剩下的三个面积都是比较好求的啊，都是比较好求的，我们可以去求一下。 首先就是这个六啊，这个 p、 b、 n、 d 这个三角形，它这个高了，它这个高比较好求，就是右边这个等腰直角三角形嘛？等腰直角三角形斜边上高了，所以这个高了的话，它就是一个四，对吧？就是一个四，在这我就算了，先不擦掉吧，这个是个四，如果画线太多的话，大家可能看不清楚了， 就是这个面积，我们可以先求出来 s 三角形 b、 n、 d 的 面积，它是一个二分之一乘以六，再乘以四 是十二，对吧？然后的话就是剩下的这个几个面积啊？剩下几个面积的话，你会发现这是底，那我需要求这个高， 对吧？我需要求这个高，这个三角形的话，这个底和高呢，都需要求，那这还是比较简单的，因为这有一个二，这有一个四倍根号二，这还有个四十五度角嘛，两边一角，这也算是一个小模型吧。那这个时候我们是可以把这个三角形的所有边长都求出来的，所以呢，我们是可以把这个三角形的所有边呢，也是根号二， 那这个边呢，就是三倍根号二。那根据勾定里，我们可以求出这个 md， 它是等于二倍根号五的， 那所以这个 pd 啊，这个 pd 是 不是就是一半了呀？它就是根号五，它就是根号五。而这个 d n 啊，这个 d n， 那 我们知道根据全等的话，这个 d n 是 等于 md 的 啊， d n 是 等于 md 的， 也就是等于二倍根号五，所以这个面积我们是不是也可以表示出来了，也就是 p d n 的 面积啊，这个 p d n 的 面积，它就等于二分之一的根号五，乘以二倍的根号五， 所以呢就是个五啊。然后呢还差一个面积，就是这个 p b d 的 面积，那这个面积的话，我们知道这个底是四倍根号要求高，那因为这个点 p 是 m d 的 中点，所以这个地方是个中微线嘛，所以这个这个高也简单，是吧？所以呢，这个 p d b 这个面积呢，就等于二分之一乘以四倍根号二，再乘以它的高，这个高的话，是等于这个根号二的一半了，也就是二分之根号二， 所以呢这个二二得四和四约掉了，二二得二，根号二，乘根号得二，所以呢我们就求出来是不是这几个面积来求这个面积之后呢，我们就可以去求这个题啊，我们就可以去求这个题的答案了，也就是我们要求的这个面积， 对吧？他要求的面积等于左边这个面积加右边这个面积啊，左边这个面积加右边这个面积就是 p d n 加上 b d n 就是 十二加五，然后呢再减去下边这个面积二， 是不是就可以了？所以这个答案呢，就是十五了，对吧？那还有另外一种情况，另外一种情况其实也用到的是这三个面积啊，我们只不过这个时候呢，需要把图给它画一下，那这个时候呢，我给它画到一个图里啊，就是当 p d 在 这个位置的时候，也就是此时呢点 p 是 在这个位置， 那此时这个 p m b 就是 这个了啊，就这个了， 它所在的三角形呢？我们所在的四边形呢，我们还用的是这个四边形的割补法，就是 p n b， 它是右边的，所以呢等于 这个左边加上左边就是整个的面积了，我们再重新分割一下，就是上边加下边减左边上面的这个面积是十二，对吧？加上下面这个面积，你会发现底还是四倍根号二这个高啊，下面这个三角形的高，就是这个高， 就是这个高，其实跟这个高是一样的啊，因为这俩三角形是全等吗？因为这俩边是相等的，所以是全等的，其实还是这个面积啊，跟这个面积的大小是一样的，也就是十二加二，然后呢就是上加下，再减去左左，就是 p、 d、 n 的 面积，就是五， 对吧？所以呢这个十四减五就是九，所以这个题的答案呢，就是十五和九了，就是十五和九，这个题用各补法其实也挺简单的啊，也挺简单的，大家可以看一下我这个做法啊， 可以看一下我这个做法，就是我把这里边求出来之后，你会发现这两个不同的方法，它用出来的这三个面积其实都是一样的，只不过加和减不一样啊，也是割补法，最后用的加减是不一样的，这是这个食物体。 然后我们来看一下这个二十三题，这个二十三题呢，也是初二阶段，我们课本上经常会做到一个题，只不过我们那个时候做这个题的时候，我们这个，我们这个题是把这个补成了标准的正方形，把补成了标准的正方形， 所以这个题呢，在别的卷纸上也考过啊，类似的，主要我们讲一下第三问啊，前两问的话会相对来说是比较简单的，第一问的话，我们就挣一个 这个全等啊，这个全等，只不过这个题告诉我们的是这个啊，一线三垂直也是可以的啊，因为这是一个旋转九十度吗？所以这个题用一线三垂直也也简单，就是除了这个题上给我们这个方法，我们可以用一线三垂直在这做垂直也是可以的啊，所以这个 a q e 呢，它其实就是一百三十五度， 因为你这坐相等了 b q 等于 b e 嘛，所以再加这个直角等腰直角，这是四十五呢，这就是一百三十五，对吧？那这就是一个一百三十五，那第二个题呢？让你找出与 d、 c、 f 相等的角啊，你可以用第一题的方法，我这还截取相等 来正全等是不就可以了呀？截取相等来正全等，你截取这两段相等，根据正方形的边上相等，我们可以得到这两个边相等，对吧？再加上旋转的这两个边相等， 还可以正出来这个角是等于这个角的啊？用同角的与角相等吗？角一加这个角九十，这个角加这个角是九十，用边角边正全等啊，正全等之后呢，我们就可以 正出来它的角的关系了，也就是正出来这个角等于这个角是等于一百三十五的，一百三十五再减九十，所以这就是四十五。一百八减去一百三十五，这也是四十五，所以呢，我们就得出来这两个角相等了。当然了，这个题我们也可以用一线三垂直啊，一线三垂直那个 顶层原创膜考了最后一道题，好像跟这个题是一样的考法，一样的考法。这个题我们用一线三垂直也挺简单的，就是 a、 e 等于这个，对吧？然后呢，我做一线三垂直，我就可以挣出来谁呢？我就可以挣出来这个边， b、 e 是 等于这个边的，然后呢，还有一个边呢，就是这个边 a、 b 这个边，它是等于这个边的，对吧？它是等于这个边的，而我们知道这个 bc 呢，它是跟 ab 相等的，所以两个等线弹减去之后呢，我们同样可以得到 b、 e 是 等于这个边的，所以这俩边相等呢，我们就可以求出这是四十五， 求出这是四十五。九十度一减，这也是四十五，所以这个方法也是可以的。那我们主要是讲一下第三问，讲一下第三问， 他说过点 f 做 f g 平行 a e 是 吧？交 c d 于点 g， 若 c e 等于二啊， c e 等于二，跟刚才那个十五题那个考法是一样的， c 在 这，那 c e 等于二，它可以在左边等于二，也可以在右边等于二嘛？然后呢，让你求这个 a g 的 长， 那这个呢，也有很多老师去讲，就是讲用什么方法，用间隙法啊，用这个用平面直角坐标系去做的，那也有画图直接去正的啊。我们来这个题讲一下，这个题怎么样做是比较简单的，只不过我们是倒推出来的啊， 所以这个题啊，如果是在考试的考场上，如果说你做图做的够精确的话，其实可以快速求出两个答案的。我来给大家看一下我做这个图， 然后大家来看一下我做这个图。首先呢，就是我们这个体的啊，这个体的两种情况，就是当点 e 在 这的时候，对吧？我们做这个 f， 找到这个 f 点，那我们知道点 f 是 永远在这个角平面线上的吗？对吧？ 做出来这个点 f 之后呢，我们再做 f g 平行 a e 啊，做 f g 平行 a e， 这个时候呢，交这个点与点 g， 如果你做图标准的话，其实你肉眼看这个图形很像一个 正方形，包括第二种情况也是一样，就是我画红色的线的这种情况啊，就是当 a e 在 这个位置的时候，对吧？这是一个一线三垂直过点 e 去做它的平行线，其实就是做垂直了吗？交这个点与点，然后再连接，你会发现这个也很像一个正方形。那这个题呢，如果你考试 时间有限的情况下，你做图比较准确，哎，你一看它是两个正方形，所以我这个题啊，我去求这个， 我去求这个 a g， 对 吧？我就可以求正方形的其他边长了，比如说我就可以求这个边长，我就可以这个边长，求这俩边长呢？直接就可以口算，对吧？当 c e 是 二的时候，那我们知道这个长度是个八，这是个六六八十。第一个答案直接出来了，当这边 c e 是 二的时候，那六减二，这是四， 所以四和六勾股定律，我们求着这是二倍根二十三，所以 a g 的 两个答案立马就出来了，对吧？但是做完题之后呢，我们就要去 深挖一下这个题，为什么这个平行做出来之后，这两个图形就正好是正方形呢？那我们去来研究一下这个题啊，别的老师也有去正这个正方形的方法，大家来看我怎么去正这个正方形的，也就是说这个点记 这个地方做垂直之后，这个点记他为什么一定就是个正方形？大家看一下我这个正法啊，我这个正法是这么去正的， 那我们来深究一下这个题，就是这么去深究的，怎么去深究呢？其实呢，我们知道这是一个等腰直角，这是一个九十度，对吧？然后呢我们第一问正出来这个地方， 我们第一问正出来这个地方，它是一个四十五度角，再加上这条线呢，它其实也是个四十五度角，这个地方你会发现也是个九十。两个九十的话，我们知道圆里边直径所对的圆周角是不是九十啊？ 或者说同股所在的圆珠角相等，这个地方就可以得到一个共圆，也就是 a、 e、 c、 f， 它们是共圆的， 它们都在以 a、 f 为直径的圆上，对吧？它们都在以 a、 f 为直径的圆上。那我做出来这个共圆之后，我们把这个圆做出来之后，这个圆 它跟 c、 d， 这是不是有个交点啊？它跟这有个交点，对吧？那此时这个点呢？我去连接 a 和连接 f， 那他为什么就一定这个地方是个垂直了呢？也就这个底，这个点为啥就一定是 g 呢？那么简单去证明一下就可以了，公务员去证就可以了。大家看我标这个这个地方呢，这个角一，它是一个四十五度角，根据同股所对，那这个角二，它也是一个四十五度角。 而这个角三呢，他本身是这个 a、 e、 f 的 这个等腰直角三角形的这个底角他也是个四十五，所以他一定是九十度啊，他一定是九十度， 它一定是九十度，那就符合我们这个体的条件了呀。那就是 g、 f 是 不是平行 a、 e 的 呀？所以这一定是九十度的话，那这个点记，这个这个圆跟这个线的交点，它一定就是点记了，对吧？那你连接一下此时呢，这个正正方形是不是就特别简单了呀？ 特别简单了，因为这是这是一个等腰直角嘛，那你这个地方它是不是也是等于这个角等于四十五度的啊？这个也是个四十五度嘛，相当于上面这也是个等腰直角，所以此时呢，这个 a、 e、 f、 g， 它一定是一个正方形， 所以呢我们就得到这样一个信息，就是这个点 e， 你 不管在哪动，此时你这个图形，这个圆做出来之后，这个点一定是点 g， 那 这个图形一定是个正方形啊，所以我们这个体呢，就可以快速去求出这个 a g 的 两个长度了啊，就是我这写的，对吧？ a e、 c、 f， 它是永远是共圆的，只不过这个圆的大小在变啊，永远是共圆的 啊，那这个时候呢，这个圆跟这个 c、 d 的 交点，它正好就是点击了啊，为啥呢？我们刚才上面已经正过了，那这个时候呢，这个四边形 a， e、 f、 g 一定是一个正方形，所以呢，我们要求 a g 呢，我们就可以求 a e， 求 a e 呢，其实就是两个勾定力是不就搞定了呀？一个是这个六八十的一个勾定力， 然后呢一个就是这个勾定，两个勾定力我们就搞定了，对吧？两个勾定力就搞定了，所以这个题啊，就是 学有余力的话，我们可以去研究一下这个共圆或者引圆的一个情况。做这个题是很简单的，也就是在这个题里边，你这个 e 随便去动，然后呢你你把它这个做出来，这个 a、 e、 f 还有这个圆跟 c、 d 的 焦点，它一定是点积这个方，这个四边形一定是个正方形 啊，它是个正方形呢，这个题就简单了啊，这个简单了，当然这是我们考试完去深究的，在考场上你把它画出来，看着很像的话，你就去做啊，就去做，那这个题的两个答案呢，也是很容易就出来了啊，那么今天的分享呢？

好，今天呢，我们来评讲一下我们刚刚考过的一模考试的一个数学试卷，嗯，那本视频呢，主要是从单选和多选择题啊，给大家去讲解 啊。首先呢，我们来看啊，看第一个题，第一个题呢就是一个集合问题，但是这个题呢，实际上是一个易错问题，是一个易错问题啊，通过这些题呢，我们去给大家复习这些相应的知识点 啊。那首先呢，我们看其集合 a， 集合 a， 它 x 属于 n， 那 么这里面第一个易错点就是这个 n 啊，同学们做的时间长了，他就忘记了， n 呢是自然数，它包含零啊，包含零一二三四这些正整数。那所以我们在解这个不等式的时候，一定要注意一下，就是它是含零的，那我们首先呢对这个式进行一个因式分解，进行一个因式分解， 然后我们看这里面配啊，十字相乘法的话是一负一，然后一三，因此呢它一式分解以后呢，写成这样的一个形式，然后我们画的是啊，这个二函数，相应的二函数，那对应的方程的根呢，是负一和三，然后开口朝下。 那因此我们解集大于零的话，对于集合 a 来说啊，它这个地方就是 x 大 于负一，然后小于三，那么因为呢 x 它又得是什么呢？自然数，所以对于集合 a 来说，它等价于零一和二。 好，这是集合 a 中的注意事项，就是 n， 可能时间长了容易忽略零。第二个是对数型函数的一个解不等式， 那么我们看就是你在解对数函数对数不等式的时候，一定要注意，真数怎么样呢？是大于零的，这也是一个第二个易错点。 那么这个呢，我们可以转化成是以二为底 x 小 于二呢，它可以转化成是以二为底四的对数，那因此这个对数不等式的话，它的解集就是小于等于四。同时咱们不要忽略了零 啊，因此集合 b 呢，他看成是一个 s 集合的话，他应该是零到四啊，零到四，左开右闭，那对应的话，我们再去求交集啊，最后再去求交集的话，他就很好求了。那最后的交集应该是什么呢？应该是一个整数 啊，同时呢，他不包含零，所以应该是一和二，那么正确答案选的是 c， 我们在做这个，呃，第一题集合问题的时候一定要注意，比如说第一种啊，易错的是分式形啊，分母不能为啊，为零啊。第二个呢，是对数形啊，对数形，我们强调的是啊，真数大于零。 第三个呢，你要区分是 z 整数级啊，自然数级和啊正整数 n 星啊。第四个呢，你要分清楚是求的是交集并集还是补集还是补集啊。第五个呢，你要注意清楚，是求的是元素个数啊， 是元素个数还是子集个数啊，还是真子集个数啊，这是第五个。那么第六个呢，我们强调的是什么呢？强调的就是啊， 呃，强调这是子集，那我能想到的易错点啊，就这些。还有一个很重要的就是你的竖线前面是元素还是点啊？这些都是我们在做集合中问题所容易出现的，所容易出现的易错点。 好，接下来我们看一下第二个题。第二个题呢，是他考察的是百分位数，他考察的是百分位数啊，这个百分位数我们应该怎么做呢啊？ 我们通过观察，其实在题干已知信息中啊，他是从小到大已经给大家排过了。那我们的百分位数在做题的过程中啊，第一个一定是从小到大 啊去排列，从小到大去排列，然后第三个，第三个是屁分位数。第二个是啊，就是屁分位数，应该怎么求？我们先数一数，题干信息中有几个数字，我们 n 乘以屁，如果是一个整数 啊，如果是一个整数，比如说啊，比如说它等于 k 了啊，整数，那我们就取，我们就取 ak d k 的 数和 d k 加一个数的 平均数。好。第二个，如果 n p， 它为什么呢？它为小数，它为小数部分啊，也就比如说我们取的是大概是七点五，对不对？那我就取下一个 a 八 数作为这个 p 分 为数的一个求值。那因此我们看一下，对上面数字来说，我们从小观察到他是从确实是从小到大排的，那这一步我们就可以不用去处理了，那么我们依次标上一二 三四五六七八啊，我们按照刚才老师教给大家的这个百分位数的求法，我们来去实施，然后我发现 n 是 几， n 是 八，然后他又求的是百分之七十分位数，那么 n p， 也就是啊，八去乘以零点七五 啊，相当于八乘以四分之三啊，八乘以四分之三，那它应该是一个六，那我们发现呢，它是一个整数了，那因此此时的话，我就取第六个数和第七个数的平均数啊， n p 为整数，就取这个整数和下一个整数的平均数。如果是一个小数，那我就取比它大一，比它大的一个最小的整数就可以了。所以我们就选取第六个和第七个的平均数，也就是二二三，然后加上二五二，然后除以二， 算出来的话，应该是啊，四七五除以二，那最后是二三七点五啊，二三七点五 啊，这个地方他应该是二三七点五，你看这个是标错了啊，这个是标错了， 好，是标错了，答案应该选的是啊，二三七点五。好，这是第二个题，那我们在一楼复习的，在在这个二楼复习阶段，就是我们如何做到查漏补缺啊？如何做到啊？查漏补缺，那就是说我们啊， 我们如何有效的去复习？就是我们看到一个题，我们错的时候，我们一定要去啊，去了解，去啊，反复的去复习啊，去复习我们的这个知识盲区啊，知识盲区，那下次出到别的你也会啊，比如说我们下次出到了小数点，那你也是 会求这个百分位数的，这种问题是不容不允许丢分的啊。然后我们看第三题，那么第三题呢？实际上他考察的是比较复杂的这个问题啊，那我如何去下手？首先我们看到这个周期派，还有他的一个指令哈， 啊，我们去用排除法去做一下，那首先我们看一下，就是说它的这个，呃，既然它的周期是派，我们去验证一下，那周期是派的话，我是不是横有 f x， 它就等于 f x 加派 啊？那我去验证验证，如果它是 x 加派的话，它是 x 加派的话，那么与原来的啊，与原来的这个函数究竟是否是相等的关系啊？那么口算 x 加派对不对？好，这里面呢，实际上就是大家 还有还有个注意细节，就是说在做题的时候，其实他后面是一个乘法啊，是口三 x 乘以后面这个框里面的绝对值函数，然后去乘以括号啊，那就是三 x 加派， 然后再减去啊，三 x 加派，那实际上呢啊，他这个题放在第三题的位置啊，很容易吓到同学们啊，那我觉得他第一个知识点呢，应该是考察大家的，是 啊，诱导公式的一个应用，诱导公式的应用，那比如说我 f s 加派啊， f s 加派，它等于什么呢？它等于这个是负口三 x 对 不对？然后我去乘啊，中括号里面是负的 三 x， 那 绝对值里面对它是没有影响的啊，绝对值里面对它是没有影响的，那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面是没有影响的。那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面，其实是负的，但是有加了一个绝对值 啊，所以最后的 f x 啊，它加个 pi， 它加 pi 应该等于什么呢？应该这个有符号， 这里面也有符号，所以负负为正了，就是口三 x， 它乘以啊，三 x 怎么样？加上三 x 的 啊，绝对值啊，这是这样的一个函数，那我们很明显发现啊，就是这个函数，它其实跟原来的这个负负号是不对的，所以说它的周期不会派，那因此我们在 cd 之间去选 啊， cd 之间去选，也就说它的周期一定是二派，那我们每个函数它周期啊，这个口三 x， 它的周期是二派啊，绝对值是派，那综合完以后，它周期就是二派啊， 我们也可以去验证啊，这是啊，第一层面去通过周期去算。第二是值域，那在算值域的时候，我们就不得不去考虑绝对值函数的这个， 呃，如何去拆分啊？它的本质呢？就是一个绝对值的一个拆分，我们知道 x 的 绝对值，那分两种情况，它大于等于零的时候，就是它的本身， 如果它小于零的话，就是它的相反数。那因此对于 sin x 来说，我们先画出啊 sin x 的 整体的一个图像啊，整体的图像，那么整体的图像它是这样的一个趋势啊，它这样的一个趋势，这边是 pi， 这边是二 pi， 那 因此对于 sin x 的 绝对值来说啊，我，我整体来去啊去处理啊，这部分。 好，我们来看一下，那他就分两部分啊，第一个是啊，当 x 我 就先研究一个周期就行了，因为我的周期是二派啊，大于等于零，然后小于等于派的时候， 它的这个三是不是等于它本身，所以减完以后是一个零。如果是大于派啊，大于派，然后小于等于二派的时候，那它会多少呢？它是一个负值，所以我们看它实际上就是三 x 呀，然后加上，因为你提个符号，负负为正，加上三 x， 那他所以就是一个二倍的三 x。 好， 那么接下来呢，我们来看一下，就这个地方呢啊，这个地方，我写到这个步骤以后呢，就是我对这个括号里面呢进行一个处理。 那接下来呢，我再结合口三 x， 所以 原来的函数，整体来说他也是一个分段函数，那么零乘任何数是零，所以在啊零到派上啊，他这个是零，然后呃，在派到二派上，他是一个这样的一个 呃，这样的一个二倍的三 x， 所以 二倍的三 x， 原来 s 相乘的话，实际上就是二倍的三 x 乘以口三 x， 那 么这里面的它的范围呢？就是派到几？派到二派啊？ 派到二派，那么这个地方呢？我们啊，刚才呢，我们是考察了诱导公式啊，考察了诱导公式， 然后这个呢，又考察了绝对值函数，同时又考察了一个背角公式，所以它的啊，综合性是比较强的啊，综合性比较强的，从前面题已经开始啊，这个考察大家知识点是比较多的，那这个的话，我直接就换成是三 e 二 x sin x， 那 么整个来说，我们去画出 sin 二 x 图像， sin x 图像，那么 sin 二 x 图像，它的周期呢？是派啊，它的周期是派，然后这个是派，对不对？ 这个是呃，相当于是呃周期呢？为什么是派呢？是二派，除以它的系数是 二，所以周期是派，我们先画出呀，三 e 二 x， 它的完整的图像啊，完整的图像啊，大概是这样的一个趋势，对不对？然后我们再去 啊，再去描述这个是二派了，对不对？好，现在呢，我们去综合的去看一看啊，原来我们这个本期中所想要的零到派，我们现在去看综合了零到派上啊，它是零，所以我们整合完以后的 f s 函数，零到派上是零， 然后呢，派到二派是三 e 二 x， 那 么三 x 的 图像是这样去画的啊，是这样去画的， 所以说整个来说呢，我们最后的啊，这个这个值域呢，应该属于什么呢？应该属于负一到一啊，所以本题的答案选的是 c 啊，本题的答案选的是 c 啊，我们看到这种复杂的问题，一定要从题干去下手啊，不要害怕， 那我们第一层呢，我们再复盘下，第一层呢，我们通过周期去筛选啊，那如果派是周期呢？是不是横有 f x 跟 f x 加派相等，那发现它不等啊，发现它不等，那这样的话，我们的周期肯定就是二派了， 肯定就是二派了。然后接下来呢，我们去求它的值域，我们在求值域的时候可以分两段啊，可以分两段，就是我们先研究三 x 减去它的绝对值 啊，我们该如何去处理，那去绝对值就考虑三 x 什么时候为正啊，零到派上是正的，减完以后是零，然后派到二派呢，它是负的，负负为正，所以是二倍的三 x， 那 这个时候呢，我们不能单独的看二倍三 x 的的之余和口算的之余，我们要联合在一起，是吧？啊，获得了，在这个函数呢，他在派到二派上啊，实际上是一个这样的一个图像，是一个三，是个三二 x 图像啊，所以说呢，我们的最大值是一，最小值是负，一好就获得了。 那么在领导派上呢，他的这个值实际上是恒为零的啊，好，这是我们考察的知识点，诱导公式呀，去绝对值呀，书型结合呀啊，这些思想得用上。 好，接下来呢，我们看下第四题，那么第四题呢，是考察的是向量啊，什么是投影？什么是投影？向量？我们先呢啊，对知识进行一个复习，比如说投影是什么意思呢啊？比如说这是啊， b 向量啊，这是 a 向量， 那么投影啊，我们先解释投影该怎么求，然后什么是投影，什么是投影向量啊？概念不能模糊是吧？我们 a 向量在 b 向量的投影，实际上就是影子嘛，对不对？影子的大小只是说在向量中呢，它有正向投影呢，它是有正有负有零的。 好，那么如何来求这个投影啊？其实就是投影呢，就是 a 的 模哈，乘以口塞 c 塔，但是直接去求，那如何来间接求呢？我们是 a 向量，点去 b 向量，然后除以 b 向量的模。哎，这是投影的概念。 第二个呢是投影像量啊，投影像量，我们注意啊，我们注意，投影像量呢，就是我们刚才这个投影啊，它是一个数啊，它是一个数，它有正有负有零啊，正投影负，投影零， 那么投影像量呢？它最终呢是一个向量的形式呈现的啊，那就是这个向量就是它的投影向量。我们刚才算啊， a 向量乘以口算 c 塔，实际上算投影的数量， 投影的大小，投影的正负，对不对？然后我们再乘以 b 方向上的单位向量，就获得了 a 在 b 方向上的投影向量， 也就是说前面是一个数值，后面是一个单位向量，组合成相乘以后就是投影向量，那么进而我们得到一个公式啊，我们把这个放过来，就是 a 向量啊，点成 b 向量， 去除以 b 的 模，然后再乘以 b 方向上的单位向量，组成了投影向量。 好，我们在理解清楚呀，理解清楚这些啊，相关量以后呢，我们再去解决问题。那我现在我的目标是非常清晰明了的 啊，我的目标呢，就是求 a 向量在 b 向的投影向量，我就拿 a 向量点成 b 向量，除以 b 的 模， 然后再乘以 b 方向上的单位向量。那么这里面呢，我们要解决的是，我们要解决的是 a 与 b 的 数量级，从哪里解决？就从这个式子， 我们知道向量的啊，模方就是向量方，对不对？所以我们把这个 a 向量减 b 向量啊，向量方就是魔方，它就等于五， 通过这个式子，我们能够获取啊，能够获取出什么呢？ a 与 b 的 向量的数量级啊， 好，这是解决问题的关键切入点啊，切入点第一步好，那么因此我们看 a 模是一，然后减去二倍的向量， a 点成向量 b 加上 b 的 模， b 模呢，我们知道啊，它的运算呢，就是根号下 x 方加 y 方，就是根号二，那所以这个地方就是一个五 啊，进而得到 a 向量啊，点乘 b 向量，它等于几呢？它等于负一啊，所以我们的目标带过来啊，我们的目标带过来就可以是负一， b 向量的模呢，是根号二，然后这里面 b 的 模式，这是根号二， 那么 b 向量这里面呢，你就用点乘坐标来表示啊，它其实就是一个负二分之一的 b 向量。那如果说题目中是啊，以 b 向量的形式来展现，我这个答案就对的，但是呢，它已坐标，所以我再把 b 向量的坐标带进去，那就得到负二分之一， 负二分之一，所以本题的答案选的是 a 啊，这个相对来说是比较简单的，就是我们在做题的时候呢啊，要搞清楚，要搞清楚啊，它是一个数，它是可正可负可为零 啊。第二个是投影向量，投影向量最后一定是以向量的形式来展现啊，它可以是啊， b 向量前面加一个 lm 的 数字，对不对？也可以是一个点乘坐标。好，这是考察的是基本量。 好，那么接下来呢，我们来看一下第五题，其实这个，呃，这个一模考试的题呢，相对来说 难度还是还是比较大的，就每个题呢，他考察的点是比较多的，然后知识也是非常零碎的，就是任何考察考察你任何知识点，你必须得是非常熟练才能解决问题。那么这个就是你看到题啊，你就要知道出题人他想考察的是什么， 他想考察的是二项式定律啊，二项式定律，通过二项式定律来找余数来找余数的问题。好，我们知道啊，他说今天呢，是三月十九号，是星期四，问，再过这么多天是星期几， 那我们知道他的，呃，这个我们知道一周是七天，所以以期为一个他的周期 啊，那我就看，比如说啊，我看七的余数，比如说我是这个我，我假如说再过，再过十天，对不对？都究竟是星期几，那我十呢？是不是七加三啊？我一个周期过去以后余了三，那我就往后再数啊，五 啊，六日，那就是星期天。是这样的，所以我们实际上就是他的核心问题啊，他的核心问题就是找二的八十次方这个数呀，啊，他除以七以后的余数啊，我们就是找余数的。 好，那么我们知道二的二的一次方，二的二次方，二的三次方，二的四次方中，这个二的三次方是比较特殊的，它是八，那么八跟七是比较接近的，所以我就想办法凑出一个八， 那这里面呢，我们知道二的三次方才是八啊，是不行的，对不对？他凑不出来一个三，不能整除，那我们就在想啊，八十，我除以三以后会是等，会是多少呢？我们看二三得六，然后是二十 啊，三六一十八，然后余个二，对不对？所以我们是啊，八十呢，它可以等于什么呢？等于三乘以二十六，再加个减，再加个二， 哎，是不是这样的，那这样的话，我就能凑，凑出三，三呢？凑出八呀，八是七加一，因为我自始至终呢，想要找的是七的除七以后的余数，那因此我们啊，二的八十次方啊， 它等于什么？它等于二的啊，三乘以二十六，再加上二，那因此就换成是四去乘以二的三次方的二十六次方，哎，那就是变成四乘以 八，八的话，就是七加一的二十六次方。那么我们本题呢，主要想拆解的二项式是它，想拆解二项式它，我们这里面也要复习一下二项式的定律，是不是二项式的展开式呀？ 啊的 n 次方，那么首项呢？是 c n 零啊，看清楚，是 a 的 n 次方，加上 c n 一 a 的 n 减一， b 的 一次方 啊，一直加加到通项 d r 加一项，它是多少？它是 c n r， 然后 a 的 n 减二， b 的 二次方，一直加加最后一项是 c n n， 然后 b 的 n 次方啊，二项式的展开式，二项式的展开式，它是按照 好，他是按照什么呢？ a 的 升密排列， a 的 降密排列， b 的 升密排列。那因此呢，我们看一下啊，对于这个，呃，先看研究七加一的二十六次方来说啊，他应该是 c 二十六 零，然后是七的多少次方啊？二十六次方，然后再加上 c 二十六一，然后七的二十五次方啊，一直加加到啊， c 二十五， c 二十六，二十五次方呢，就是七，再加上 c 二十六的 二十六次方是一，那因此就是对于这个七加一的二十六次方的运算呀，我们这个地方啊，他其实啊，被七除以后呀，被七除以后，余的是一， 但是整个来说他的余数不是一，他前面还有一个四，对不对？还有一个四啊，还有一个四 啊，所以说啊，所以说啊，他的最后二的八十次方啊，他除完七以后啊，余的数应该是几啊？余数应该 是啊，因为前面都能被七整除，所以余的是四，余的是四。好，余的是四。那我再往后数四天，星期五，星期六，星期天，然后就到第四天是星期一，所以本期答案选的是 a 啊，本题答案选的是 a。 好，那么在这里面呢，大家要注意一个问题，是什么样的问题呢？就是我们看到这个题我就知道他考察的是二项式定律，利用二项式定律求余数的问题，求余数的问题，但是呢，他并不是说直接就可以去拆分了 啊，因为我们是按星期周期是七，所以肯定是在二项式定律的这个展开式中，肯定是有七的，肯定是有七的，那我们这里面的二怎么样才能换成七？那么离七近的是八 啊，这个地方的话就是说八十啊，它的转化啊，八十，它的转化是三乘二十六，再加几啊，再加个二， 哎，这个也是有问题的，这个转化可能大同学会陷入迷区啊，会陷入迷区，或者有的同学我看到这个题，我说二的三次方啊，八跟七接近嘛，然后是三分之八十啊，那这样的话它是展不开的，它是展不开的 啊，它得换成二的三次方，然后是二十六，是吧？二十六，然后再加几啊， 再再加个这个三分之几啊，三分之啊，三分之二。哎，这个地方是需要大家注意的啊，也是一个难点和呃就是不好突破啊，所以大家做做做的过程中肯定是很难受的，这这个这个过程，所以他更多的是考察大家的思维能力啊。 好，接下来我们看一下这个第六题，其实第六题呢，相对来说是比较简单的，就是我们看那么多啊，我们看了这个这么多，就是说它这个地方啊，它这个地方就是啊， 这个天顶距 c 塔的正切值。哎，这个关系我们要我们要看清楚啊，这关系一旦弄清楚的话，我们就好算了啊，比如说他说的这个实际上就是一个呃，实际的模型，就是这是 c 塔对不对？ sat 呢？是等于 l 影长嘛？你假如说太阳光啊，从这直射下去，那么这个是啊，这个是它的影子对不对？然后这个是实际上的一个高，那这样的话，我们看 tan 的 sat 啊，它就等于这个 l 除以高了， 一旦你这个这个数学模型构建好了以后，你再去解决问题就好了。你看他说第一次的话啊，他的这个是 r 法对不对？这个隐藏啊和表高的是二倍，那所以我认为呢，他想给大家传达信息，就是他的 r 法，他就是二， 然后呢，他又已知到贪镜塔 r 法减去贝塔等于二分之一，然后去求贪镜塔贝塔的值，那这个模型一一旦转化的话，他就很好处理。我认为突破口就是在于这个关系，你把这个关系用直角三角形 啊去给他构建成以后实践考察。问题就是两角和一差的正切值，那么贝塔角啊，贝塔角，我们已知的是贪镜塔 r 法，还有就是 啊，这个 r 法减贝塔，那么贝塔角该怎么去求呢？就是 r 法减去 r 法减贝塔啊，原来的数据你就不要拆了。那所以啊，贪心他贝塔，我们的目标啊，就是贪心他这两个角的正切值的这个差值，对不对 啊？直接就是相当于是啊给值求值了，对吧？ 好，这是一个数学文化的一个应用啊，数学文化的应用 啊，他的这个数学文化实际上就是转化成我们的正切的定义了啊，正切的定义你去啊，给他画出这个直角三角形，问题就很好解决了，然后再用两脚叉的正切就可以解决。那这里面呢，是不允许出现啊，不允许出现公式的一个误用的啊 啊，正切值他们的差除以一加上啊， tan 它 r 法和 tan 它 r 法减倍它啊，所以算出来以后应该是一个二减二分之一，然后除以一加上一加上几一加一啊，所以就是四分之三 分数三，所以答案选的是啊，答案选的是 b， 答案选的 b。 这个其实呢，相对前面那几个题来说还是比较容易的啊，就是考察了一个正切的这个和以查和查公式。

新乡的家人们一摸数学，分数也出来了啊！是不是感觉基础题白丢分，压轴题没思路，越复习越迷茫？别慌，这张卷子就是中考前最精准的查漏清单，吃透它，最后三个月提分超高效！ 首先我们来说这个试卷的整体，本次一摸数学满分一百二十分，时长一百分钟，也是完全对标咱河南中考题型的难度是按照基础六成，中档二点五成，压轴一点五成分布，无偏题、怪题，重点考基础扎实度和知识综合运用能力。 题型考点上的选择填空前半部分全是基础分题，覆盖实数运算、 科学、计数法、概率几何基础等核心考点。失误呢，全部也都是粗心或者概念不熟。填空最后一题选择压轴，侧重几何，综合稍有难度 解答题里统计几何，证明基础计算是必拿分数。反比例函数圆的综合属于中档题。最后两道函数与动态几何压轴是拉分的关键，靠逻辑推理和计算功底 集合。答题情况呢，给大家总结几个常见的失分点，第一呢，就是基础计算粗心，第二，审题漏关键条件。第三， 综合题没思路。第四，答题步骤不规范，丢分呢，大多不是不会，而是细节和方法没到位。最后给大家划重点备考方向哈！第一，回归课本，把基础知识点、公式记牢，守住基础题分数。 第二呢，整理错题，专攻审题和计算漏洞，改掉粗心的毛病。第三，专项突破中档题， 适量练加轴题，总结答题思路。第四就是规范答题步骤，避免误误的失分。一摸考察不可怕，暴露的问题都是提分点，抓住接下来的复习时间， 针对性反反复考，数学一定能逆袭提分，加油！

好，今天我们来讲一下刚刚新疆市一波考试过的这次数学试卷上面的第十五题。首先我们来看一下题，已知三角形 a、 b、 c 角 a、 c、 b 是 一个九十度， 那么它就是一个直角三角形，它又告诉你 c、 d 是 ab 的 垂直平分线，那么就可以得到 c、 a 等于 c、 b， 从而间接的告诉出来，它告诉你它是一个等腰直角三角形，所以这个 a、 c 等于 b， c 同样角 a 等于角 b 等于四十五度啊。又告诉你过点 d 做一个 d， m 垂直于 d、 n， 这是一个九度角啊，这是一个九度角。那根据这几个条件我们可以得到，我们可以得到这个三角形和这个三角形 全等全等。理由，因为它是垂直于弦，所以点 d 是 一个中点，那么 c、 d 就是 斜边上的中线，所以 c、 d 等于 ab 等于 db， 这是一个条件，它俩相等。 第二个条件的话，就是这个角 a 等于四十五度，同样根据三线合一，那么 c、 d 也是一个什么呀？角平分线它也是一个四十五度，然后再加上这里 角一和角二它也相等。它的证明过程是因为三线合一， c、 d 不 仅是角平分线，中线还是什么呀？比边上的高，所以角一加上这个角三就等于九十度。 那么有已知角二加角三也是等于九度，所以角一等于角二。那么根据这三个条件，我们可以证明这两个三角形全等全等以后，所以变成什么呀？ md 就 等于 d n。 好， md 等于 d n， 它现在又告诉你什么嘞？ am 的 长是个二， ab 的 长是个八倍根号二， 那么根据这种可以利用三角形等腰直角三角形的三成关系，以及它的一些性质。我们可以知道 a、 d 的 长是个四倍根号二 啊，四倍根二 a， c 的 长是个八，所以 c、 m 是 等于六。根据全等 c， n， b， n， 他的长我们都可以求出来，我们都可以求出来，他要告诉你有一个动点 p， 这个动点 p 在 哪呢？这个动点 p 在 直线 m d 上，这你要注意一个字眼啊，直线 啊，告诉你直线。所以这个时候你要进行一个分类讨论，那么这个点 p 到底是在这个 m d 的 上方，就是在这个线段 m d 上，还是在这个线段 m d 外？这属于分类讨论的两个思路。第一种， 当点 p 在 m d 中间时，你就说他在这个位置上 啊，猜猜这个位置并且什么呢？并且还满足 d p 等于二分之一的 d， m， d， p 等于二分之一 d m， 也就说它是什么呢？它是一个终点，它是一个终点， 这个时候它让你求什么呢？它让你求三角，它让你求三角形 p、 n、 b 的 面积是多少？ 好让你求一个三角形面积。那么根据这个三角形我们可以看出来，这个三角形它是一个不规则的三角形，它的 每条边格，每条边长高都不是我们所常见的这种横平竖直的这种，所以要么我们把它分割一下，要么我们把它用整体来减去部分来求。所以这个的时候，在这的话我们可以用谁啊？我们可以用一个四边形， 好，我们可以用。那这个我们在求三角形 p n， b 的 时候， p n， b 的 时候，我们可以用什么呀？我们可以用这个 s、 c， a 形 p、 d、 b、 n 减去这个三角形， 减去三角形 p、 d、 e， 我 们可以用这个来求这两个三角形来求。 那么所以我们要先求什么呀？我们要先求这个四边形 d、 d、 n 的 面积啊，先求四边形 d、 d、 n 的 面积。那在求这个四边形 d、 d、 n 的 时候，它也是一个什么呀？它也是一个不规则的四边形，所以我们需要分割一下。分割成什么？分割成一个三角形 啊？分割成一个三角形 n、 d 啊，和一个三角形分别啊，和一个三角形分别 啊。那么知道这个关系以后，接下来我们需要把它的个边给它圆出来。那首先我们可以求这个 n、 d、 b， 因为这个三角形它的这一条底边我们知道是个四倍根号二，那么只要求高， 在求高的时候，我们可以过点 n 向下做一个垂线，往下面做一个垂线，这是什么？这是一个四十五度角，所以这个三角形做的这个三角形 n 标一个字母，我们可以标一个 h 啊，这个 n、 h、 b 是 一个等腰直角三角形，我们在算等腰直角三角形的时候，我们不再用什么，我们不再用这个固定点啊，我们用它的三边关系，三边正比是一比一，比根号二，知道根号二是六，所以它一份就是个六，除以根号二三倍根号二，那么 b、 h 也是一个三零根号二，总长是个四零根号二，所以 d、 h 就是 一个根号二啊， d、 h 也是根，就是根号二，那么跟这是一个九十度，知道这做了一个垂线，这有个九十度，这里也有个九十度，所以我们通常还需要将这一侧 做一个垂线，这个什么？这就是咱们通常所用的一线三垂直，全等啊，一线三垂直全。因为 dm 和 dna 相等，这是我们刚开始的时候分析出来的，所以它是一线一线三垂直全等啊，一线三垂直全等。 那么根据这个我们可以知道什么？我们可以知道 mg 是 个根号二， mg 是 个根号二，然后点 p 是 个终点。通常情况下，在做终点的时候，我们可以怎么样遇到这个终点？我们可以过点 p 再向下做一个垂直，为什么这样做垂直啊？因为这做出来垂直以后，这两条线就是什么呀？平行关系，这是个终点一平行，所以下面对应的这个 啊，所以下面就有这个 g， 它也是个终点。那么在这个三角形 d、 m、 g 中，这个 p、 g 就是 个中位线，所以 p g 就是 它的一半 啊，就是一个二分之根号二，这是二分之根号二。好，所以这个三角形 n、 d、 b 的 面积。而三角形 n、 b、 d 的 面积等于什么呢？就等于二分之一乘以个三倍根号二，再乘以个四倍根号二， 好，这是它的面积。那么接下来我们需要求什么呀？我们需要求三角形 p、 m、 d 的 面积。走 啊， p n、 d， 求三角形 p n、 d 的 面积，这个三角形 p n、 d。 如果咱们去直接求的话，也可以，也可以，不过我们可以这样去求，我们连接一下， 我们连接一下。 n、 m、 d 是 个什么呀？等腰直角三角形，这个是个什么呀？这是终点，所以这个是什么呀？中线， 中线三角形，中线将三角形分成面积相等两部分，所以这个三角形 n、 p、 d， 它的面积就等于这个大的等腰直角三角形 m、 n、 d 的 面积一半，所以我们求它就行了。那怎么求等腰角形？在这个直角三角形当中，我们可以 利用勾股定，或者我们也可以有三者关系，这是个一比三，所以他斜边比，是吧？一三根号十，他这样的根号十分，那一分根号二，根号十分的话，根号二乘以根号十啊，是根号二十。化解这个二位 根号五啊，他就是二倍根号五，那么他是他的一半啊，就是这个面积等于什么？这个面积等于二分之一，乘以二倍根号五 的平方，再乘一个二分之一。前面这个是什么呀？前面这个算出来的是这个三角形 f、 n、 d 的 面积乘以二，后面这个二分之一，因为这个 n、 p、 d 是 n、 m、 d 的 一半啊，所以说后面还需要再乘一个二分之一，它等于相加 啊。最后减，减的话需要减一下，需要减这个三角形 p、 d、 b 的 面积啊，减它的面积， 减去它的面积，它的面积怎么算？它的底边？我们可以以 d、 d 为底边，然后高就是高，就是我们刚刚做的 d、 d， 高就是 d、 d， 所以 减去二分之一，乘一个二分之根号二，再乘一个四根号二。 好，我们来简单算一下，这个是它的平方二十二十乘以四分之一，这个五加上 三零二乘四零二二四二四乘二十一十二，再减去一个二 啊，就等于十五啊，就等于十五，这是第一种思路啊，这是第一种思路啊，这是一种思路。这个图它的面积是个十五，那么第二种图第二种点 b 在 哪？第二种点 b 在 这个 啊，在这个位置上点 p， 在 这个位置上 点 p， 在 这个位置上点 p 在 这个位置上，这个时候我们可以怎么样？这个时候我们还是可以过点 p 向 啊，过点 p 向，点 p 做垂线，做垂线以后这个还是它的面，怎么算它的面积？我们还是以这样，我们还是以这个四边形啊，还是以四边形 n、 d， p、 b。 我 还是用 s 三角形 n， d， p、 b 的 面积减去这个 s 三角形 n， d， p 的 面积啊， s 三角形 n， d， p 的 面积。那么根据延长我们就知道这是什么关系啊？这是个垂直关系啊，这是个垂直关系。而且 d， p 还是等于什么呀？还是等于二分之 d， m。 所以 这个三角形和这个三角形其实是什么呀？其实是一个全等的关系，其实是一个全等关系。所以我们在第一个算出来的时候，什么呀？第一个算出来这个 ndp， 它的面积和这个面积相等啊，它的面积相等，它的面积是个五啊，它的面积是个五， 然后那么这个四边形的面积怎么算？这个四边形的面积？我们可以让他用谁啊？用这个三角形 n， d， b 加上 s 三角形 d， p， b 啊，然后再减去一个 s 三角形 n， d， p 啊，让被两个三角形 b， 它就行了，那么还是 p p， d， d， 我 们需要算一下，那么这个三角形 n、 d， d， 我 们刚刚算出来了啊， m， d 算出来它的面积是个十二，它的面积是个十二 p， d， d， 还是 你往这做一个垂线，这是个直线，对吧？它和它之比是个一比二，所以它和它之比还是个什么呀？一比二在这的话，这个 p、 h 的 长， 这个他的这个高，他这个高还是多少了？还是个二分之根号二，他里边多少？他里边是个四根号二，所以他的定义就是这个 s 三角形 p、 d、 b 就是 二分之一乘一个二分之根号二， 再乘一个四根号二，其实就是二了。这个二 加上十二，再减去，等于这个二加十二减去个五，等于九，等于九，所以这个所以这个三角形 n、 d、 b 的 面积就等于十五或者是一个九。这两个答案。

你好老师，最近这不是一模刚考完吗？很多家长问了我很多问题，这边想请教请教你啊，他们这次这个一模到底难不难呢？ 一模的话你说有难度吧？有，但是他是比较适中。也是，这次教做一模的话，是完全契合咱中考的命题趋势的，这个难度的话就是适中， 如果要说的话，就比中考难的一点二倍或者一点三倍这个程度，嗯，就可能你说，哎，中考有的人考一百一，那这次可能就接近一百零几左右是这个样子，有这个分差在啊，你就说你像这种，他们不会出的时候有偏题啊，怪题啊，都是 对标的，是现在我们的，比如说像考纲按照标准的课标来走的，这个是 ok 的， 都是偏基础，然后出题的话灵活性会非常强。比如说像填空题，第十一题的话就开放性的写一个满足题答案就可以。 那他如果从这个试卷的一些题型难度上面，小孩们一般都容易在哪上面失分呢啊？如果说程度，比如说，哎，基础打的比较牢的，你像选填题的第一题到第九题是 ok 的， 没有任何问题。第十题这次设置的难度不大，但是它是易错题，可能审题不仔细的话，它容易丢分。 如果说填空题的话，讲第十一题到第十五题，十一题到第十三题，这都是正常的给分的送分题，其实我特别同学会担心，就十二题那个带单位是吧？那我们也问了几个老师了，人家说如果不带单位的话也不扣分，就这种会出现这种细节性的差别，然后如果能拉开差距的话，就第十四题和第十五题， 如果是大体的话，十六题到二十一题都是常规题型啊，是完全可以拿满分的。如果是分的话，就是个别同学在平常练习的时候，大体的过程细节上会扣分，比如说可能推理的时候证明逻辑不清晰，或者说有些数字抄抄写和书写的一些不规范，在上面扣分，最后能拉开学生成绩的。就像你只要想突破一百一以上，那想拉开成绩就是二十二题和二十三题， 就二十二题和二十三题，二十二题是函数压轴题，二十三题就是我们的几何压轴例探究。要想达到一百一十五分以上，就全控的第十五题，二十三题的第三问，二十二题的第三问，就这九分题，你要全拿住了，那就是接近一百一十五，一百一十七了，要是拿不住的话，那就一百一，就一百零三到一百一之间，就这个分数段， 那家人们就现在比较焦虑，就是一模之后，他们到底该怎么办，怎么去做这个题分呢？那能不能根据说，哎，不同分数段的孩子，他应该在哪方面做出来这方面的这个，呃，知味性的努力跟提升呢？哦，这个还确实比较关键，尤其是家长一定要提醒孩子，就马上这几天都要出分了，就一定要把答题卡拿到手， 这个很关键，因为这个像去医院看病一样，你去拍个片，医生要看到那个片子才能具体的对症下药。所以说家长一定要提醒孩子，回学校成绩出来第一时间先把各科的对应的答题卡拿到手， 答题卡如果上上面没有具体的扣分系数的话，可以找学校要就每个小题的分系数，这个都会有，如果没有的话，找专业的老师把你答题卡对，标着就是标准答案进行对改，然后看扣分细节，在什么地方 找到你的缺失的知识模块或者知识点之后，那接下来就可以针对性的复习。你比如说接下来说一下几个不同的分数段啊，如果说你现在这次一模考了一百一十分以上， 那么你看一下你压轴题或者说哪些十分的点，就十五分和你的压轴题的分数是哪一块选准，那么接下来跟着学校的复习针对性的 突破就可以了。拼好速度，然后最后留给亚洲级一些更多的时间，比如说有些学生就是时间不够用二十二题和二十三题的第三问，因为时间问题不可能做到分情况讨论更全面。那这种呢？那你就要平时把前面小题速度提上来，拼速度准确度，然后和最后大题预留出来更多的时间，至少一道题里留二十分钟，那就是四十分钟两大题， 这是对于一百一十分以上的，那如果说你知道我平常现在一模出来了，我就是九十五分到一百零五分之间，就这个分数段，那这个分数段的话，你需要做的就是结合着这次一模，结合着之前一模前你备考的试教错题，集中起来，看一下你的题错题都是哪一个知识点的，然后找到你的薄弱点，抓紧时间专项的一对一补习， 因为已经时间不多了，不到两个月了，有一个一个半月的时间，那这个时间最宝贵，把这个知识模块抓起来，然后突击，这样的话你就可以把你的分数段往上跃升，如果说你现在这个分数段就是还是在及格线边缘八十多分八十分以下的，那么压轴题直接放弃，不要管他， 把，就像我说的，大体里边的十六题到二十一题这些基础题型的能拿分的全部拿下，不扣一分。然后选填题里边选择题的前九道题全对，填空题的前三道题就十四十五，我不做，把这些全部扣掉，九十五分稳稳拿到手。 这是复习的一个阶段，就一定要知道自己在什么分数段，我们先突破这一关，然后再继续。那好的，感谢王老师的一个干货分享。如果有同学想要说做这个考后的一个分析诊断的话，也可以带着自己的卷子和答题卡来到我们校区，或者找老师关注我，学习不迷路，下期再见。

二零二六年新乡中考一万八千七百人，全市前两千三百名能进一中，附中全市前三千六百名能进二中。平外铁一中 前七千五百名可以进入公办高中。今年中考满分七百三十分，语文、数学、英语各一百二十分，道法、物理各七十分，化学、历史各五十。 体育一百分。总分的百分之九十三能上附中。总分的百分之九十二能上一中。总分的百分之六十五能上公办高中。总分的百分之五十能上民办高中。三月三十一号到四月一号全是开始，一定要摸考。 私信我，你的分数我帮你计算。全是排名填报诊断。我是张笑，关注我，读懂新乡教育，做明白家长！

哇，这次考试怎么那么难，我们来说一说一模，他是上初三以来啊，第一次全真模拟中考。每年一模的考试时间呀，都是在大约下学期三到四月份的时候，你会觉得呀，哇，这次考试怎么那么难， 难就对了，因为一模的考试难度呀，是故意被调高的，目的啊，是警示你，把你从混沌迷惑的状态中啊给拉回来，让你暴露你知识体系的漏洞， 让你意识到你答题的漏习。所以这次考试啊，不要看绝对的分数，要看咱们年级的排名，因为答相同难度的卷子呀，大家的分数普遍被压的很低，这个时候排名啊，更能说明问题。那一模之后该怎么办呢？ 我们要趁这个时间呀，制定一份六十天的黄金计划，把这六十天分成三二十天的等分，每二十天攻克一个你的博主板块， 不要焦虑，时间绝对来得及。最后送大家一句话，大多数人中考的分数呀，都要比模拟考试要高，因为啊，你每天都在进步，每一天呢，都在成长，二零二六年的考生啊，加油！

新乡中考一模难度分析，新乡家长和考生必看。二零二六新乡中考一模整体中等偏基础，比正式中考稍难一点。 基础中档难题约等于六比三比一。数学最拉分，计算量大，压轴题考几何动态加二次函数，基础中档题必须拿满。语文中等 阅读有深度，作文记套话默写和模板题是提分关键。英语，中等 阅读篇幅长，重逻辑，背单词加泛文，书写工整很加分。物理中等实验题多细节易丢分，抓核心模型不扣难题。化学偏易 重基础规范，别栽在方程式配平和答题话术上。道法历史 材料常考概括分点答题，背核心考点就行。一模分数普遍比中考低二十到四十分，现在查漏补缺最划算，二轮冲二模提分空间超大。

咱们齐台河中考一模时间已经确定，四月八号，四月九号，那么我们同学在我们一模考试当中，数学要注意哪些问题？ 第一个问题要注意的是我们答题顺序，我们很多同学在答题的过程中都会从前到后答，这样是不可以的，因为在选择题，填空题他都会有难题，那么这样的话会浪费很多的时间。因为中考的数学大多数人都是答不完题的， 所以说我们一定要确定好答题顺序。数学答题顺序是这样的，选择题一至七，先答填空题十一到十七，然后是二十一题，二十二题，二十三题，第一问二十四题，二十七题， 这是我们要优先答的顺序。我们第二轮在答的是第八题、二十三题，第二问二十五题， 然后我们才可以去再做十八题、十九题，二十题、二十八题的一二问，这样的答题顺序能保证我们的孩子把基础的分可以完全拿到。那么我们的难题，你比如说选择题的九十题一定要最后答， 因为九十题选择题有蒙的概率，所以说我们最后呃答题是要答我们最难的，那这样的话能保证我们的孩子把我们的基本的会的题都拿到分。关注老于，跟老于一起搞定二零二六年龙东地区中考。

今天我们来一起学习 光阳外国语异模，大家好，很高兴与大家见面啊，接着我们近期的分享，今天我们简单分享一个啊，郑州市啊金水区外国语的一个异模试卷啊 的押注题啊，有需要这个试卷的朋友可以私信我，我把这个试卷分享大家啊，好，这个题的话，我仍然只分享两个题啊，第十五题，还有第二十三题啊，第十五题的话，大家觉得非常好，是一个 材料分析啊，给了我们一个材料，然后让我们利用这个方法去去求一个对的问题啊，但这个题他其实属于一个费马点的问题啊。好，我把这个题的话啊，呃，整理成了一个什么呢？试卷里面压轴题啊，基本上就是十五题，二十三题啊，个别的第十题也会进行这个梳理啊。 那么今天我们将分享的是什么呢？是这个费马点的问题啊，好，我们直接找到啊，好，这个题啊， 今日学外国语，风言外国语啊，应该是同一个学校吧。好，话不多说，直接看这期啊，这材料如图一啊，移至正方形 a b c d 中啊， m 地标线 b d 上一点，将 abm 绕至点 b， 旋转六十度到达一个三角形啊， 哎，大家能看出来吧，当旋转六十度的话，就出现了两个等边三角形啊，哎，这是一个等边， 这是一个阅读阅读材料啊，第二个等边，那就是这个，还有这个啊，这是等边啊， 他说，然后让我们求 am 加 bm 加 mc， am 加 bm 加 mc 这个数就可以转化成什么呢？转化成因为 am 这个边啊，就等于这个边对不对？ 而 m m b 啊，就可以等成这个边的话，就等于这个边啊，还有 m c 是 保持不变啊，所以说要求 am 加 b m c， 那 就转换成了 f g 啊，加什么呢？ f g 再加上 g m 啊，再加 m c， 所以 说你会发现这是一段折线，折线两个端点啊，是 f 还有 c， 所以 说 这三个线段合着最小值，那就是直接两点之间线段最短，这是一个约束材料。好，根据我约束材料让我们来找什么呢？找球下面这一问啊，那么这就是非常著名的费马点问题，又称之为将军巡营问题啊， 感兴趣的可以听一下我的一期二十五万搞定动点动点及和一个对的问题啊，里面有非常详细的一个讲解啊。好，如图二，在边长为二的一个正方形 abc 中有两个任意的点 p q 啊， p q， 这时候让我们求什么呢？ ap 加 bp。 好， 当我们设计了 ap 加 bp 的 话，我们可以想办法像刚一样来做，把这个三角形旋转六十度啊， 好，将将三角形 a p p 旋转九十度，那么这个数出现了两个等边三角形，这是一个等边，第二个等边，我也来画一下啊，那就是什么呢？还有这一个带到这个位置吧。好吧， 好，这也是一个等边啊，两个等边三角形，那么这俩三角形旋转完之后，手拉手的话，这个数 a p 是 不是就可以完成了这一段长度啊，这一段长对不对？ a p 就 等于这一段啊， 比如这个点是 m 吧。嗯，好，他除了说让我们求 ap 加 bp， 这个时候 ap 加 bp 就 转化成了什么呢？比如这个点是一个 p 一 p 一 吧，好吧，那就是 mp 一 啊，再加上 bp， 这个时候是等于啊 pp， 好，他说再加上 p q， 这边又出现一个 d q， 再加 c q， 那 这怎么办呢？我仍然去旋转啊，仍然旋转六十度可以吧？仍然旋转六十度啊，将这个等于是六十度，这时候出现了，又出现一个等边啊，又出现两个等边，这个等边还有一个等边啊， 好，这个等变，就这个点是一个 q 一 q 一， 那这个时候的话，我们就会把什么呢？就会把这个 p q 当然保持不变啊，加 p q， 然后呢？ 在屁股保持不变，然后这边呢？是这边的话是个什么呢？这边是 d q， 再加 c q， d q q 等于谁呢？那么 d q 是 不是就等于啊？这个线段就等于这个线段啊？这就大家可以理解，把手拉手啊，这样三角形全等，对不对？就这个点是个 n 啊，那么 d q 就 转换成了 啊， n q 一 啊， n q 一， 而这个时候 c q 呢？ c q 的 话是不是可以完成 q q 一， 大家看一下啊，那是不是最后我求的就是中间这几个，这几个线段之合呢？这一个线段我加速一下啊，加速一下 这个线段，再加这一段，再加这一段，然后我再加这一段，再加这一段，对不对？哎，这是五个线段的和啊，所以说五个线段的和，最后我们就取决于最小值的话，就取决于这个点和这个点啊，所以说我们只需要求 m n 之间的距离就可以了。 这个题的正方形变成是一个二，这个变成是个二，那这时候我们直接就是连接 m 和 n 是 不就可以了呢？那这时候出现了一个什么呢？出现了一个这段就是一，这段就是根号三啊，这中间是个二，这段当然也是一个根号三，对不对？这就答案就是一个二加二倍根三啊， 其实这就是一个飞马点的思想啊，旋转的运动转化思想。好，这是这个题啊，接下来我们看下这个，这个什么呢？这个试卷当中的一个最后一题啊， 最后期他这个试卷的排版应该不是很呃，就是不是很好啊，这个图可能是这个试卷后后期整理的时候啊，你看图有点大啊，好，不过没有关系啊，最后期当然也是比较经典的一个手拉手问题啊，好，入图一，在正方形 a、 b、 c、 d 中， a b 等于四啊，在 a、 d 上取一点，一是 a e 等于三啊，然后做出来两个正方形啊， 好，一个变成是四，一个变成是根号三。好，我们第一问，让我们求 b e 和 c f 啊， e 所加的一个锐角，让我们看一下啊， 手拉手，手拉手对不对？ b e 和 c f 啊，这个时候大家能够快速的去找到，因为这个边对不对？与这个边， 这是不是就等于这个三，等于这个三角形？这个腰还有什么呢？还有一个斜边对不对？另外一个是 a e， 还有什么呢？ a f 啊，比较简单啊，这是非常熟悉的，那么腰与腰构成三角形就是 b e 所的一个三角形啊， 第二，斜边和斜边构成三角形，就是这个啊，所以说这俩三角形就是一个旋转放松啊，旋转放松，所以说这两个线段比的话，就等于这两个三角形的相似，比啊，相似比红啊，红腰比红，斜边是一比二， 对不对？蓝油比蓝这边也是，那么这个绿边啊， b 比 cf 也是一笔根，但是我们考试的话一定要写什么呢？哎， f 的 根二啊，根二比二对不对？好，并且这两个绿线的夹角也是四十五度，怎么就证明这两？这两个绿线夹角中，我们当然我们可以把它延长过来啊，延长过来，延长过来，怎么就证明它是四十五度呢？我们观察一下， 其实呢，它就是一个八字模型嘛，对不对？因为这个角是不是等于上面这个角，再加上对零角相等，那这个角是四十五度啊，那这个角是不是也是四十五度呢？哎，非常简单啊，当然第二问啊，无论旋转成什么情况，当然都是成立的啊，都是成立的，对不对？我就不再证明了啊，直接看第三问， 当点 e 啊，到直线 a b 的 距离是根号二的时候，让我们解写 c f 的 长要求 cf， 那 我们可以转化成根据第一问的结论，我们可以求啊， b e， 对 不对？ 求 b 啊，求，求什么呢？ b e 啊，求 b e， 因为因为什么呢？ c f 就 等于根号尾的 b e 啊，好， b e， 我 们观察一下，当 e 的 a b 的 距离 a b 是 一个固定的线，这个时候我们首先确定 e 的 轨迹是一个以 a 为圆心啊，因为这个边长是四，这个边是根号三啊， 那就是以 a 为圆心，刚好三为半径的一个圆啊，那我们可以拿出去的圆规啊，把这个圆画出来啊，好，它就是这么一个圆啊，它在这么一个圆上面运动啊，好，先画出这个圆啊， 好，这就是点 e 的 归结啊，这点 e 的 归结，然后他说 e 的 a b 的 距离， a b 是 一个固定的线，那么是哪个线上的距离是根号二呢？我们可以先画出这条线，对不对？比如说这个线啊， 比如这个距离是一道的距离是根号二，那意味着此时 e 要么在这边这个点的位置，我们先看这边啊， e 的 这个位置对不对？我们直接找 e 的 位置就可以啊， e 的 这个边， e 的 这个边就是一个根号三啊，而这个我们把它反向延长过来啊，那么这个距离就是一个根号二 这个数，那么这一段呢？这一段是不是就变成了，因为这一段根三，这一段是个根二，那这一段就是一。 好，此时我们就求什么呢？求 b e 的 长就可以了，我们观察一下 b e 怎么求呢？是不可以把它放到直角三角形求啊，这段是个四啊，所以就是五， 还有根二，对不对？五的平方再加根号二或者是平方，最后再开根号，开完根号之后，我们需要再乘个根号二就可以了，所以第一个答案就是，这是一个根啊，这是二十七，二十七的话就是三倍根三啊，三倍根三乘个根二，那就是三倍的根号六，这是第一个答案啊， 好，这个答案是在这边啊，在这边这个点的位置对不对？我们刚已经画出来啊，一，在这个点，那这个时候这一段仍然是根号三啊，这个距离是一个根号二，根号二，根号三啊，那这一段距离就是一个一啊，这个时候一，就在这个位置一，二啊，这个时候我们求此时一个 b 的 长啊，仍然把它放在这条线段四减一，这一段就是一个三啊， 三，三根二，所以说三个平方再加上根号二或者平方。好，九加啊，九加二十一，对不对？再乘根二，所以答案就是一个段呢，答案就是根号二十二 啊。有可能有的同学会有疑问啊，那老师那在上面会不会也也有两种情况呢？哎，非常好，上面有两种情况，其实呢，其实答案是一样的啊，因为 b 一 的长，结果是一样的，因为这个一对称对称上去，对不对？我们刚学的下面这一段对称上去，我们刚学的是这一段，答案对称上去啊， 是一样的啊，只要 b 的 长啊，不变的话，那么 c f 的 长始终就是它的根号位啊。好，这是这个试卷啊啊，有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享大家，包括说我整理这个压轴题，分了会编，当然压轴题分了会编，分了会编的话，有最新试卷，我都会对对这个试卷当中的压轴题进行梳理和整理啊，进行分解整理啊。 好，呃，这个时间我们就分享这么多啊，如果说觉得我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注点点心下载观看我们下个视频，不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

新乡市初三一摸的英语卷子我已经做完了，难度怎么样呢？大家好，我是王老师，那我手上现在拿的这份卷子啊，就是昨天下午此时此刻孩子们正在考场上作答的我们新乡市初三一摸的英语真题卷子。 我用了差不多二十三分钟，把这套卷子除了听力和作文没写啊，其他题目都做了一遍，最后对完答案，很遗憾啊，第语篇的第六十五题写错了， 那这套卷子如果让我来打个分，我觉得整体的难度啊，是中等偏上的，跟我们近五年的河南中考的难题的难度系数差不多，从零到十，我会给这套卷子的难度打七分到七点五分。 如果让我给同学们一个月后的二模一些建议的话，那么只有一个就是大家好好的练阅读吧，因为我拿到这套卷子之后，我最大的感受就是文章又又又变长了， 现在已经成了一个趋势，中考的文章越来越贴近高考文章的风格啊，文章很长，而且呢，有些阅读难度也是偏大的，比如我相信这套卷子的 阅读理解的 c 片和 d 片，一定给考场上的孩子们造成一些困扰，包括作文题目，也是出乎了我的意料，我觉得基础不扎实的孩子，在考场上看到这样的作文题目的时候，应该是一脸蒙圈的状态的。 最后再跟大家说一说为什么阅读重要，我们要反复的练阅读啊，因为阅读是最好的载体，能让我们去扩大词汇量，熟悉学过的单词，学习新的单词， 同时还能让我们去熟悉我们所学的语法知识，能够让我们的阅读速度变得更快，准确率变得更高，只有这样，我们才能为后面的作文留出更多的时间去打草稿，去腾写。 那接下来的视频呢？我会逐一分析我们一摸真题试卷里的每道题型，以及给大家一些学习的建议。虽然一摸刚刚结束，但是二摸 is just around the corner。 大家加油吧！

好，接下来我们来讲一下这两天刚考试过的新乡一模试卷上面的第二十三题。首先我们来简单的聊一下，了解一下题目。 已知， a b 等于 b， c 等于六角 b 是 一个九十度的角，在射线 b c 上有一点 e， 它是可以随意运动的，记住，射线 b c 啊，射线 b c， 一 看到射线 b c 的 话，所以后面你在做题的时候一定要想到它可以需要进行分类讨论，要么在线段 b c 上，要么在线段 b c 外，这是你在审题中需要考虑的一个问题。再一个就是 连接 a e， 将线段 a e 绕着点 e 旋转，九十度得到 e f 有 旋转，所以这两条线相等 啊，因为让你求这个角 a q e 等于多少啊？角 a q e， 我 们来找到这个角 a q e， 那 么它这还有一个提示，提示什么呢？提示就是在这个线段 a b 上截取点 q 是 什么呀？是 b q 等于， 这是他一个提示点，那么在他既然刚开始就提示了你这个做辅助线方法，那么你不妨在接下来第二问，第三问里边，你可以尝试着将他这种提示做辅助线方法给他应用到底，也算是给你一个做题思路。 好，那么根据这个我们可以知道，角 b 是 个九十度， b q 又等于 b e， 所以 它是什么呀？等腰直角三角形，那么这个角就是一个四十五度，然后它是个平角，所以这个角就等于一百八十度，减去四十五度就等于一百三十五度。 好，这是第一问，第二问分为两个小问，圈一和圈圈。在圈一的这个问题里，他让你找谁了？他让你找这个 dcf， 这个角 与它相等的角是哪个，并且让你证明。好，那找这个角相等的话，那么我们接下来继续分析这个图，在这个图当中有九十度，这也有个九十度，两个九十度了，它与旋转相等，所以我们通常做的什么呀？ 做垂直，又是构造什么呀？又是构造一线三垂全等或者相似，在这有相等边的话呢，就是全等，全等以后，所以三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 f、 g 全等啊，三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 f、 g 全等，那么就可以到什么？那就可以得到 e、 g 等于 ab 等于六，那么 f、 g 就 等于谁来就等于 b、 e， 同样这个辅助线的做法还等于谁呢？还等于 d、 q， 这是我们通过全等以及而又可以得到，那么知道它是相等了，它等于它啊，它又和它相等， 那么我们知道它俩是相等的吧，所以我们可以得到谁啊？所以我们可以得到 eg 等于 bc， eg 等于 bc， eg 等于 bc 了。 ec 是 个公共边，所以 b、 e 就 等于 c、 g， 那 么也就说 这四条边啊，这四条边，这四条边都是一个相等关系，所以这就得到什么呀？两个等腰直角，三角形，所以这个角也是一个 四十五度，那它又是多少呀？四十五度，所以与角 d、 c、 f 相等，角就是角 f、 c、 m 啊，就是这个角与它相等。 好，这个就是他的第一问啊，这个是他的第一问，第二问，他说当这个 a、 d、 f 这三点贡献的时候啊，这三点贡献的时候，让你求 c、 d 的 长是多少啊？长，求 c、 d 的 长是多少，而且还告诉你什么呀？告诉你 be 的 长是 m， be 的 长是 m， 用 m 来表示 c、 d， 那 么这种情况，我们不妨把这个图给它画出来，连接 c、 d， 好，连起来，你这儿连起来的话，这是一个四边形。遇到四边形常用的辅助线方法是什么呀？延长相交于点。构造什么呀？构造 三角形啊？构造三角形。那么在这个三角形里面，我们知道这垂直了，它和它平行，这也是一个什么呀？垂直关系，它也是一个垂直关系。所以 这两条线是什么呀？平行关系，比如说 f g 平行与 d c， 同样，它还平行于谁呀？ 平行于 ab， 他 他他都平行。我们在九年级刚学相似的时候，有一个定律，只要是一个三角形，或者说简单的总结什么就是有平行就有相似。所以在这我们可以找到谁呀？我们可以找到 s 三角形 h， f g 相似于 s 三角形 h a、 b。 还找到什么？还找到 s 三角形 h， f、 g 相似于三角形 h dc。 找到这样两组的两个三角形相似。好，我们不妨就用这两组相似，利用对应边成比例来列 这个式子。那在这个三角形里边，这个 h 的 长不知道， h 的 长不知道？我们不妨设为 x， 然后对应边乘比例，它的长我们通过第一轮就是刚刚第一位。我们那个证明过程，我们知道它的长是 m， 它的长也是 m d， c 的 长度是六减 m。 那 么在这个三角形里边啊，这个三角形里边，在这个相似里边，它对应的什么？它对应的就是 f g 比上 ab 就 等于 h g 比上 h b。 我 们 用数字表示出来是什么？用数字表示出来就是 m 比上六就等于 h， d 是 x， 我 们设出来了，然后比上一个六，加上一个 m， bc 长是六，这个长是 m， 这还有个 x， 所以 总长就是六，加 m 加 x 啊，就是它。那我们把这个数字解出来 x 就 等于。 我们可以用什么呀？交叉相乘六点 m 分 之六 m 加上 m 的 平方啊，得到它，这是 x 的 值， x 出来了，也就是说 g h 出来了，那么这个时候我们在这个三角形 f g h 和 d c h 这两个三角形相似里边，我们可以得到什么？ 要是它里边我们可以得到 f g 比上一个 dc 等于 gh， 比上一个 ch， 也就是 m 比上 cd 等于 x， 比上 m 加 x， 算出来 cd 啊，算出来 cd， cd 等于什么呢 啊？ c d 等于 m 加六分之十二 m， 但这个过程你需要把这个 x 带进去算，这个计算过程量太大啊，计算过程量太大，中间可能不太好算，所以算的时候需要细心一点，认真一点 啊，这个是他的啊，这个是他的。第二问，第二问，然后第三小问他，让你求，求什么呢？让你求这个 点 f 做一条平行线，距 c d 交于点 g， 求 a g 的 长是多少啊？求 a g 的 长是多少。所以我们可以先画一下图， 刚刚咱们在讲，刚刚咱们在讲的时候说这个点 e 是 在射线 b c 上运动的，从而通过 a e 旋转得到这个 f， 所以 我们在这分类讨论的时候，同样还是分第一种情况，当点 e 在 b c 中间的时候啊，也就是说在这个位置，而且它还告诉你什么，它还告诉你 c e 的 长是个二 连接 c e， 将 c e 旋转九十度，得到点 f， 然后过点 f 做一条平行于 a e 的 直线， 交 c d 于点 g， 连接 a g 到连接 a 几，那么根据平行我们可以知道这垂直，这也是一个垂直啊，这也是个垂直好，还是根据什么呀？根据咱们刚刚前两问做的那些结论，那些证明，其实有些条件 你是不用求的啊，有些条件你是不用求的。那这个是二啊，这个是二，这个总长是多少？这个总长是一个六，这总长也是六，所以它的长度是四啊，它的长是四，根据这个三角形和这个三角形全等，可以得到 f h 吧， f h 它的长也是一个四，那 e h 和 ab 相等，这是二了，所以 c h 也是个四。那我们在这道题再计算的时候，用几何法去算的时候，相对来说难度会比较大一点，我们采用什么呀？采用函数， 或者说我们建立坐标系来求，相对来说会比较简单一点。那如何去解析？那么我们可以什么呀？我们可以以点 c 为圆心，以 a， 以 b c 所在的直线为 x 轴，以 cd 所在的直线为 y 轴。 既然是这样一个平面直角坐标系啊，那么根据这个解析，我们以及一些数据，我们可以知道， e 点坐标是个负二，逗号零， f 点坐标是多少？ f 点坐标是个四逗号四 啊，四多少四？那么要想求 a g 的 长，我们只需要把 a 点坐标求出来， g 点坐标求出来，然后用两点间的距离公式，或者我们直接构造直角三角形都行。目前就是求 a g， a 点坐标一边有了六，六在，这是在负半轴上的，所以是个 负六多少六？负六多少六，那么在这怎么求？这是一个垂直关系，我们可以用点小技巧，两条直线互相垂直的时候， 它能等价。什么？就是它们的 k， 两条直线表达式的 k 相乘等于负一啊，两条直线 k 相等于负一，所以我们可以先求 ef 的 表达式， 求 e f 表达式，那么求 e f 表达式带进去。负二， k 加 b 等于零，四 k 加 b 等于零，求出来啊，它两相减 啊，这是个四，求出来 k 等于一个六分之四，也是个三分之二， b 等于多少？可以不用管啊，这个你可以不用求，因为这个 b 用不上。那么我们来求什么呀？我们来求 g f， 那 g f 这个直线 g f， 它首先经过就是点 f 坐标了，那么还有什么呀？通过它们的 k 相乘等于负一的话，我们知道 e f 的 k， 它是等于三分之二的，所以这个 g f 的 这个 k 等于什么呀？它俩相乘等于负一，就等于负的 二分之三啊，等于负二分之三，所以这个 g f 在 求的时候，直接就是把四次带入，就什么呀？就是一个 负二分之三乘以四加 b 等于四，从而求出来这个 b 啊，从而求出来这个 b 二次的这俩约一下，负六负六， b 等于十啊， b 等于十，也就是说 g f， 它的表达式就是 y 等于负的二分之三， x 加十， 这个 g 在 哪啊？这个 g 是 在 y 轴上嘞，你让 s 等于零，所以 g 点坐标就是零，都耗时，然后或点 a， 想它做垂线， 这是个矩形，六六总长。 g 点坐标是零十，那么这个点， 这个点和这一条边它也相等，所以这下面也是个六，这个长就是个四，那么就是勾定点 a g 就 等于什么呢？ a g 就 等于根号下三十六，加上一个十六，就等于个三十六，十六、五十二，二百二十三，这是第一种情况，这是第一种情况， 那么同样第二种情况就到哪了？第二种情况就是当这个 e 在 哪呢？这个 e 在 这个 c 点的右侧的时候，已经出去，已经出去这个线段 b、 c 外面了啊，已经出去外面了。这个图我们可以简单地 画一下。好，我用不同颜色的区分一下。 c 在 这， e 在 这，然后 e 在 这。连接 a， e 好， 连接 a， e 好， f 在 这。我们还是做一个平行 啊，作一个平行。 f 记在这啊，记在这。那么还是跟前面步骤一样，构造 一线三垂直，这还是一个什么呀？ a、 b， e 和 e、 f、 h 全等，全等以后，只不过现在告诉你 c， e 等于二了。 c 在 这个位置上啊， c 在 位置上， b， c 的 长是六，所以这个总长就是八。八的话，我知道它和它相等，所以 e h 就是 六， f h 等于 b 等于八。现在这个 f 点的坐标， 我们还是以这样，我们还是以点 c 为圆点建的这个平面坐标系，所以 h 的 横坐标就是二加六是个八，所以 f 点坐标 有八个号八。那么一点坐标现在多少呀？现在是个二个号零，好，跟前面那个步骤一样，所以我们还是 k 一 乘以 k 二等于负一，所以我们求 k 一 啊，求 k 一。 那么求 k 一 的时候，这一块的话，再给你教补充一个小技巧， k 一 就等于他们的纵坐标相减， 比上他的横轴表示点，但是前面的一致啊，他要在前都得在前，他要在后都得在后，所以就等于 六分之八，等于三分之四，所以这个 k 二就等于他的负导数，就等于负负四分之三。那么我们再来求 f g 啊，我们可以设一般式， y 等于 k， x 加 b， 把这个 k 和它带进去就是 八，等于负四分之三， k 负四分三乘以八加 b 啊，它两个一约负六，负六移过去 好， b 等于十四。所以 f g 的 表达是 y 等于负四分之三， x 加上十四，好， b 等于十四。那么同样这个点 g 还是在 y 轴上来的，让 x 等于零，所以计算坐标就是零动后十四。 那么继续连接 a g 以后，再向外角上做个垂线，构造直角三角形，这个长和这个长相等是六，它和它也是个六， 这个总长是个十四，所以上面这种就是八，我们可以再标个字母吧， 比较近就是 ab 等于 dc， 那 么在这个直角上行一个六，这条边是八，所以它就是十，那么这个题答案就是二倍根号十三或者是十这两种情况。

微信是所有的九年级家长刷到我算你赶上了。这是今天上午刚考过的九年级一模的数学试题， 我带六年的毕业班，这算是近几年一模里边较为简单的一套，但是考点非常全面。七科的电子版试卷的话，大家准备好了，需要给孩子打印练习的家长可以关注一下，然后加入咱们的粉丝群， 群里边的话每周会不定期的分享二零二六年河南各地市最新的模拟试卷。今天的话我们一个视频给大家讲一下这套灰线一模卷里边的两道压轴题啊，一个第十五题，一个第二十三题，前面的话，第四题比较简单，咱就不说了。首先我们来看这个第十五题里边 河南中考的话它的特征，第十五题包括第二十三题的最后疑问是吧？这两个点的话，主要考察学生哪两个能力，首先要知道 一个是竖形结合，再一个是分类讨论，就是学生他能够把这个，因为我们知道这个题这两个题位的话，一般情况答案都有两种情况，他知道要分类讨论，但怎么分类讨论？他需要能把图形顺利的画出来，然后在此基础上去分类讨论。 我们看第十五题里边 a、 b、 c 直角三角形，然后 a、 b 是 八倍根号二，告诉我们这个整个底边是一个八倍根号二，然后 c、 d 是 它的一个垂直平分线。好， 那由此的话，其实我们可以很容易分析出来，这个 a、 c、 b 的 话，它是个等腰直角三角形，然后整个线段长度的话，我们简单标注一下， 底边八倍根二的话，腰长我们可以分出来是一个八，然后这垂直平分的话，我们可以得到 a、 d 的 话，这应该是一个四倍的根二，包括 d， b 也是四倍根二， c， d 也是一样的啊。好，然后点 m 指边 a， c 边上一个点，告诉我们 am 是 一个二，所以 cm 就是 一个六了，然后做一个 d， n 垂直于这个 dm。 到这以后的话，熟悉咱们函数中考压轴题同学的话要注意，要知道这个题目里边，此时的话，这个四边形 c， m， d， n 在 这里边的话，存在一个简单的几何模型，叫对角互补 模型，我们在这不详细讲，我们只简单说一下。在这的话，我们很容易知道，这个 a， m 跟 c、 n 的 话，它们两个应该是相等的，我们可以简单来证明一下，这两个三角形全等，它们两个所在三角形全等啊， 这个三角形 a， m， d 跟它三角形 c， n， d 里边我们简单来正一下啊， 因为这个 a、 d， 所以 它是等于这个 c、 d 的， 然后再加上这里边的角度的话， a 这个位置，这个点角是四十五度，然后 c 这个位置这个点角也是个四十五度，同时的话， 这个圈角跟中间这个 x 是 互余的，然后这个圈角跟 x 也是互余的，所以两个圈角也相等，所以两个这样的话很容易可以得到 a， s， a 的 话，它两个全等得到 am 等于 c， n 等于一个二。好，有了这个以后的话，下边开始中间来分析说点 p 在 直线 m， d 上面遇到直线的话，在十五题、二十三题里边遇到直线的话，一把圈起来，直线就说明我们要去分类讨论了， 它满足 d p 等于二分之一 m d 怎么来分类呢？ d p 要等于二分之一的 m d， 那 一种情况的话，就是点 p 在 点 p， 在 这个 m d 上面换个颜色啊。 第一种情况，点 p 在 这儿，我们标个 p 一， 这种情况的话就是点 p 在 md 的 延长线上边，我们标个 p 二，这时候 d p 仍然等于二分之 md。 好， 两种情况我们大概知道了，然后咱来分析这个数据，它要求是这个三角形 p n b 的 面积。那我们先以第一种情况为例来分析啊，连接这个 p n， 然后再连接这个 p b。 好， 连完以后的话，我们来分析啊，这个 d p 等于二分之 m d 的 话，其实当这个 p 在 m d 上的话，反映出来 p 点的位置的话，它是一个中点，所以我们要联系起来看中考里边中点它常考的几个考点， 几种考几种解法吧。中点的话，第一种解法我们可以考虑去备长中线来解。第二种的话，我们可以用三线合一来解，我简单写一个三合一啊，一个是备长中线，第三个的话是中位线。 第四个的话是在直角三角形里边斜边上中线，它等于斜边的一半，这是中点的话常见的四种解例思路。那在这的话， p 上的中点的话，我们可以联系到什么呢？连接 p n 以后的话，这个图画出来以后的话，大概也能看出来这个好像是垂直的，那我们考虑来正一下怎么来？正 因为 p 是 m d 终点了，如果 n 这的话，它也是终点的话，我们可以出现 p n 跟 a c 平行，那怎么去到终点呢？在这的话，我们取 c b 中点是点 g， 比如说 那 c g 长的话，整个 c b 是 一个八， c g 是 个四，那么 c n 等于 n g 都是一个二，所以说 c n 比 n g 是 一比一， mp 比上 pd 也是一比一，那这样的话， p n 跟这个 am 的 话就应该是平行的，平行分线成比例吗？我现在逆用一下啊。 好，那这时候我们就可以看到这个三角形 pnb 的 话，第一种情况里边，这个三角形 pnb， 它刚好是一个直角三角形， n b 长的话简单， n b 长的话是全长八，减去一个二是一个六。好，我们以它为底边六有了，然后再来求 p n 长度， p n 长度该怎么求呢？我们可以借助刚才这儿 这个颜色吧，死亡芭比粉的啊，这个位置的话，这个 p d n， 这它是一个直角，我们可以考虑解这个 p d n 这个三角形。那怎么来解它呢？咱们知道 p d 长，知道 d n 长就行了，而 p d 和 d n 的 话，它俩其实 d n 我 们权当里边可以到 d n 是 等于 dm 的， 所以 p d 是 等于二分之一的 p d， 它等于二分之一的 d n。 那 经常做压轴题同学的话，知道我们在解直角三角形，常见的一类特殊三角形，是吧？像它的话 p d n 就是 两三边之比的话，一比二，比根号五，所以咱们只要解出来其中段就可以，那解谁呢？我们从这个位置啊， a a d m 这来解这个 p d 来试一下啊。 哎，因为这个角 a 四十五度嘛，我们考虑往这做一个垂线构造一个等腰直角三角形，所以可以知道这个是根号二，这一段也是一个根号二，两个直角的都根号二啊，然后 a d 是 四倍根号二，所以说这一段右边这一段的话，就应该是一个三倍的根号二， 三倍的根号二，它三倍根号二，那么这个我们往这这个还位置还得标一个点啊，标个点 q 吧啊， m q 标 d 比 d q 的 话是一个一比三，那么可以解出来 m d 的 长啊，其实一比三比根号十了， m d 的 话，整个解出来 to 点 m d 可以 解出来是个二倍的根号五啊，从而我们得到这个 d n 的 话也是一个二倍的根号五，那么这个 p d 的 话就是一个根号五，从而得到这个 p n 长的话，一比二比根号五， p n 是 一个五啊，所以说 p n 呢？是一个五，那此时的话我们就可以解这个三角形 s 的 话，此时等于一个二分之六乘五， 结果算出来是一个十五，这是第一种情况，然后我们来解第二种情况，第二种情况我们把这边擦一下啊，图擦一下， 这种情况里边的话，我们先把这个点 p 的 位置给它画出来。我刚才分析过，点 p 的 话，在 m d 的 延长线上面往下走， 比如说这个位置吧，这是我们 p r 的， 然后我们还连接 p n， 连接 b n， 连完以后的话，这个里边同样还是一个六啊， p r 标的像 r 一 样，查一下啊， 我们把这三角形拿出来， p b n 里边是个六了，现在就差一个高了，是吧？所以我们过点 p 的 话，往这边做个垂线， 做个垂线以后，垂足的话，我们给它标一个点 h 吧，标个点 h， 那 标完以后的话，我们考虑来分析这个 p h 的 长怎么来解 p h 的 长度啊？ 在这的话，刚才的话点 p 在 m d m d 之间出现了一个终点，是吧？哎，一比一或者一比二的关系，那它外边时候，这时候 d p 比上 m d 的 话是一个一比二，哎，并且的话这个 p h 其实 p h 跟这个 ac 它俩又是平行的，所以在这的话用荧光笔来标一下啊，点的位置，咱给它标个， 嗯，不要点记啊，不要点记吧。行，这里边整个这个绿色两个三角形的话，它们俩是一个八字相似，是吧？相似比是一比二，那么 am 是 二的话，我们可以得到这个 p g 的 话，它应该是一个 e 的， p g 是 一，同时的话， 我们还来这取一下这个 c b 的 终点啊。取完 c b 终点以后的话，我们可以得到这个终点的位置，咱再标个字母标个 q 吧。 c n 是 二， n q 是 二，然后 因为 d p 比上 m d 是 一比二，我们可以得到这个 q h 比上这个 c q 的 话也是一比二，所以 q h 的 话其实也是个二，那么这个剩下 h b 的 话也是一个二，所以这的话 n q h 是 它的一个三等分，四等分点相当于。是啊，所以整体下来以后的话，我们可以得到这个， 咱知道 h b 是 二的话，那就可以知道 h 这个 h g 啊，这个字母我也分不清了啊，不要太多了。 h g 呢，也是一个二，比如这个这个小直角、小等腰直角三角形，它是个等腰直角的啊，那它它的腰长是一个二，好啊，有点乱啊，那么它是二的话，我们来看 这个 g h 也是一个二，下边这 p g 的 话是一个一，我们来分析出来，根据这个八字相似嘛，所以整个我们可以得到，在这种情况下的话，我们的这个高 p h， 它应该等于个 p g 加上 g h 等于一，加二是等于个三的。好，那有了这个以后的话，我们来算第二种情况里边的话，它的 s 就 等于二分之三乘以六，结果的话算出来是一个九。 好了，这是我们的第十五题啊，先讲完啊，后边稍微有点磕绊啊，大家不理解的话，可以中间暂停收藏，再多听几次，然后我们来清一下屏，咱们来讲第二十三题啊，二十三题的话，也是一个非常非常典型的常考的一个压轴题啊，一线三，一线三垂直模型算在这里边 大家赞成自己读题啊，我们看下第一问，第一问里边它在这个四边形里边，整个题目读完以后的话，这个四边形我们可以知道信息是 ab 长是一个六，然后 bc 长的话，它也是一个六， 同时 a e f， 这是个等腰直角，呃，是一个，呃，这是个直角，同时 a e 是 等于这个 e f 的 长度的啊。其实一出现这个以后的话，这很明显的一线三垂直的一个结构，我们就容易想到了啊。 咱们题目里面的话，他告诉我们第一问里边他结了个 b q 等于 b e， b q 等于 b e， 就 在这勾到一个等腰直角，要我们求 a q e， 要求这个角 a q e 度数，那下面等腰直角的话，这个小角就是一个圈角，就四十五度了，所以很容易得到它是一百三十五度，这第一问两分纯送的啊。 然后我们解第二问，第二问里边圈一分了，两问啊，圈一里边，在图二里边找一下这个 dcf 跟它相等的角是多少度啊？ 这个第一问他其实问的比较浅显啊，明确一个点，咱们河南中考二十三题里边重点的话，考察大家的类比思想，你要解第二问，第一问哪怕再简单，他也是最重要的，因为这个题第一问里面它包含了我们后边核心的解析的一些思路和考点。 我们解 a q e 一 百三十五度，咱用到了什么？用到了等腰是吧？它勾得了等腰直角吧。同时的话，我们来看这个 be 等于 b q， 以后的话，我们在整个这个 ab 和 bc 里边，因为 ab 等于 bc 的 嘛，那它俩相等的话，我们就可以得到这两个色吧， 这两个紫色的三角是相等的，那所以说我们可以知道这三角形 a q e， 这个三角形 a q e 与我们的三角形 e c f， 它们两个里边的话， a q 等于 e c a e 又等于这个 e f。 同时的话，我们来看这个叉角吧， 这个叉角跟左边这个这个角，这个紫色的圆圈，它俩的话，因为中间 a e f 九十度，这个叉和圈是互余的。在三角形 a b e 这个直角三角形吧，这个圈跟那个跟那个叉吧，它俩也是互余的， 字母符号标的有点有点拉啊，所以我们得到这个 c e f， 它是等于这个角 q a e 的， 那这两个这样的话，很容易知道它两个是全等的啊，全等的话在我们用的是 s a s。 全等以后的话，咱就可以得到这个 e、 c、 f 的 话，因为第一为什么考到角了嘛？那么 e、 c、 f 它是等于 角 a q e， 它也等于一百三十五度，那一百三十五里边去掉这个 e、 c、 d 的 九十度，剩下的话这个角就是一个四十五度了，那它是四十五度的话，跟它相同的角下边这也是一个四十五度，因为整个两个是互余的嘛，所以这个圈一里边的话，结果比较简单，跟它相同角的话就是角 mcf， 他 们两个是相等的这个圈一里边。然后我们看第二本，第二本这个考法的话，跟二零二四年，包括二零二三年和中考真题里边考察的比较类似啊，就是给了一个线段，然后完了以后让我们用 m 来 呃，来表示这个要求这个线段啊。好，那我们结合图二来分析一下啊，他说这个 bbe 是 一个 m， b e 是 个 m， 那 ec 的 话，因为咱要用到这个全等和全等嘛。这里边我们在图案里边也构造一个啊，构造取个点 q 啊，然后 b q 还是等于这个 b、 e 的， 它俩相等，然后同时连接这个 q、 e 图案呢？跟刚才一样，还是有这两个三角形是全等的啊， 把它写出来啊，三角形 a、 q、 e， 它是全等于三角形， 三角形 a、 q、 e， 它是全等于三角形 e、 c、 f 的， 它们两个还是全等。全等以后的话， b e 是 m， 那 b q 也是一个 m q e 的 话就是根号二 m， 所以 我们这个 c、 f 的 话也是一个根号二 m 啊。 ec 这的话 bc 是 个六嘛， ec 就是 个六减 m 了，这是目前我们已知的数据啊，他要求是 dc 的 长度，让我们来求这个 dc 长，那怎么他说是当 adf 三点共线的时候，那我们先把 adf 给它连起来啊， 这图画的比较接近的啊，它们三点共线共线以后的话，我们要解 dc 这边得到了一个三角形 dcf， 并且的话这个 dcf 的 话联系这个第二圈一里边提问，这个角四十五度肯定是我们要用到的， 那在这里边我们已知了 c 点这个角四十五度，也已知了 c f 这条边，我们想要去解这个三角形的话，要解 dc 长吗？我们考虑肯定要做垂线勾到直角三角形了，因为一般 十五 t 二三 t 里边最后的位位置的话，都是考察我们解直角三角形的能力的，需要我们自己去勾到直角三角形啊，那在这怎么勾到呢？这个四十五角不能破坏，这个边不能破坏，所以我们只能考虑说我们过点 f 的 话，向 c d 去做一条垂线，垂足的话，我们给它标一个点 h 吧， 标完以后的话，这个等腰直角三角形的话，哎，它的腰长刚好二 m 就 可以得到 c h 是 m， 同时的话这个 f h 也是一个 m， 那 此时我们要解 c d 的 话，这个 c d 长的话，它就等于我们的 c h， 哎，不对， c e 啊，加它没法，没法直接解啊。 好，那此时我们在这里边咱要解这个 c d 的 长度的话，我们看我们做完垂直以后的话，下边这个 c h f， 它是一个等腰直角三角形的，腰长是根号二 m， 对 吧？底边长根号二 m 的 话，腰长就是都是 m 了，我们就差这个 d h 长了，那 d h 长怎么来解呢？因为这个图形 点一是动点嘛，点一在来回动，之所以能出现这种情况，是因为它三点共线了，所以我们解析的核心的话，肯定是让动点定下来的条件，比如说以静来制动 体会这个点啊，利用它来解，那它三点共线以后有什么结论呢？它这三点共线以后的话，我看这做完以后，做完垂直以后的话，那么这个叉角跟我们 a 点的位置这个叉角的话，它们两个是同一角，就相等了。所以在这的话，我们如果过点 d， 因为咱们去考虑构造相似啊，勾脚地往这边做个垂线的话，垂足，我们标一个 p 吧，标一个 p 点啊，那么这里边就可以得到这个三角形 a p d， 它是相似于 a p d 啊，相似于这个三角形 d， h、 f 的， 它们两个是相似的，那从而这里边的话，我们可以把 c、 d 长啊，下边这个 c d p b 的 话，相当于是个矩形啊，这是个矩形啊，我们可以把这个 c、 d 的 长度给它设成一个 x， 就是 我们要解这个线段长啊， 把它设成 x， 那 左边这的话也是一个 x， 从而就可以得到 a p 长的话，应该是一个六减 x 啊， 而我们 d h 长的话， cd 是 x， 下巴是 m， 那 么这个 d h 的 话就是一个 x 减去 m， 哎，这时候我们就可以利用它来相似来列比式了。列比式的话，我们的 ap 比上 d h 等于 pd， 比上这个 h f， ap 长带进来是一个六减 x， 然后 d h 是 x 减 m， 等于我们的 p d 是 六， p d 跟那个 b c 相等，是个六啊，比上 h f h f 的 话是一个 m， 哎，好，我们得到这个式子，得到这个式子以后的话，我们可以解开，把它解展开，把它解一下，交叉相等就行了啊，最终结果的话，我们解开以后就可以得到，这个过程我省略不解了，大家自己算一下啊。 得到这个 c d 长的话，它是等于一个十二 m 比上六加 m 的， 这是我们第二个 c d。 长的话，它是等于一个 c d。 长的话，它是等于一个 c d。 长的话，它是等于一个 c d。 长的话，它是等于一个 c d。 长的话，它是等于一个 c d。 长的话，它是第二个 c d， 这个 c d 长的话，它是等于一个 c d。 重点体会这个已经自动就是三点弧线以后可以给我们提供什么？再一个就是我们这个四十五度角，这去做垂线 f h， 这个点勾到直角三角形来解这个 c d 所爱三角形 c d f。 这 好，我们清下屏，咱们来讲第三问啊。第三问里边说过，点 f 做 f g 平行于 a e， 交 c d 于点 g， 连接 a g。 那 我们在这的话，把图大概先画出来画一下啊，说 f g 是 平行于 a e 的， 大概就是这样吧，跟 a e 平行好，然后与 c d 的 话交于点 g， 这个是点 g， 再连接我们的 a g 图画的还是不太准啊，同甘其弱，这个考完中考第十五二三里边最主要考察大家是树形结合和分类讨论， 所以说你图一定要画的精准，图画的越准确的话就越能够， 其实你解决这个效率啊，你画完图以后的话，这时候容易能联想到这个 a e f， 因为 a e 是 等于这个 e f 的， 这个 e 的是一个直角，它是直角了，然后做完平行以后的话，那么 e f g 的 也是一个直角。画完图以后，大概你在画的时候应该就能想到，如果自己操作的话，会联想到这个 a e f g， 它会不会是个正方形的，因为长的很像嘛，我们考虑怎么来正的，现在正方形它已经有一组邻边相等了吧，已经有一组邻边相等的话，只要咱考虑 它又有又有直角又有邻边相等，我们只要考虑这面是个平行四边形就行了，是吧，或这面是个矩形都行啊，那这里面怎么来证呢？我们还来解直角三角形啊，他说 c 长等于二的时候啊，注意这啊，这个 好，因为点 e， 这刚开始这点 e 在 射线，这我们注意要画起来啊，跟前面十五题一样啊，射线还有这个直线，它都是一个分类讨论的标志啊，这个第三分里边分类讨论就是因为这个射线 b c 这个点啊， c e 等于二的话，点 e 可能 点 e 的 话，它可能在 c 点左边左侧，也可能在 c 点右侧啊。我们先以这个图为例来分析第一种情况啊，一会备用图里边我们来分析第二个，它是个二，那么 b e 的 话就是一个六啊， b 六减二， b e 的 一个是一个四啊， 我就借这个图来分析了啊，这是个四，然后 a b 的 话是一个六，那这样的话出现了一个 a b e 这个三角形，它的三边是二比三吧，二比三我们可以得到 a e 的 长， a e 长的话是一个二倍的根号十三，这个可以自己固定算一下啊， 虽然以后我们考虑来证它是一个正方形的时候的话，因为它有呃，有离边相等，还有直角了。我们如果能证明这个 g、 f 跟这个 a、 e 它俩平行相等的话，就会知道这是个平行四边形的嘛，因为一路对边平行相等，平行四边形了，然后有直角是矩形，有 这个离边相等是菱形嘛，所以就是正方形了。有，我们解这个 g、 f 的 长，那怎么解 g f 的 长呢？ b 一 是四， b q 也是个四，那么 q e 的 话是一个四倍的根号。二，所以说这个 cf 的 话也是一个四倍的根号。二，对，我们不解，这个 cf 层不解，它来解 c 啊， 因为这个位置我们第一问题把它分析过嘛，这里边存在一个线三垂直是吧？ a e、 f 这儿这个 a、 b， e 跟右边这个 e、 c， 我 们来标个字母啊，标点 g 啊，点 g， 这个 e、 c、 g， 它们两个是相相相似的两个三角形啊，来标一下啊， 荧光笔啊， a、 b、 e 跟这个 e、 c、 g 它是相似的啊。咱们十五二三里边当出现一组相似的时候，后边后边大概也会出现这个这个相似量的话，它三边关系是一个二比三，四比六，二比三比，刚好十三啊，那 后边肯定会出现其他大量的二比三比刚好十三的啊。我们现在要解这个 f、 g 的 长度嘛，其实你容易看出来 这个 f、 f、 g， 哎，这个点的话 c、 d， 这我看字母标的不对是吧？不能标 g 啊啊，我们标个点 m 吧，哎，点 m 也有了，尴尬， 这个位置我们标个 h 吧，标个 h 啊，这个 f h g， 它跟这这三个涂红色，它们三个都是相似的啊，都是相似的话，三边关系就都是二比三，比二十三了，那就好办多了啊，我们来解这个 e c h 吧。解 e c h e c h 里边的话 啊， e c h e c 是 一个二的话，那么我们可以得到这个 e h 的 长， e c 比上 e h 它俩长的话，应该是一个三比，根号是三的，然后容易解出来这个 e h 的 长度啊， e h 应该是一个三分之二倍的根号是三， 要到这的话，可能感觉不太像啊，主要是因为这个图里边，你看我没有重新做图啊，这个点一的位置在这肯定是不合适的，这个 c e 不是 个二啊，所以你看这个数据肯定感觉不太那么恰当啊。 e h 是 二倍，三分之二倍。杠十三以后的话，我们就可以得到这个 df 的 长了，退出 df， df 的 话，它应该等于 e f， 减去这个 e h 等于一个二倍的根号是三，减去一个三分之二倍的根号是三，最后是一个三分之四倍的根号是三， 就是它，它是一个三分之四倍的根号十三。好，那它俩的比的话是一个二比三，二比三，那二比三的话，竟然可以解出来这个 g f 的 话，它的长度就是一个二倍的根号十三。那由此的话，我们就可以得到这块的话， 这个 g f 它是平行且相等于 a e 的， 那就可以推出来整个这个四边形的话， a e f g 的 话，它是一个平行四边形，是吧？平行四边形里边加上直角的话，可以推出来是一个矩形，矩形的话，再加上一个邻边相等的话， 最终推出来它是一个正方形啊。好，那正方形的话，咱要求 a g 的 长，那就 a g 就 等于这个边长 a e 了，所以第一种情况的话，这个 a g 就是 二倍的，根号是三，这是第一个结果啊，然后我们来分析第二个啊，我们用在备用图里边，咱们画第二个啊， 完 e 在 这个位置的话， c e 等于二，连接 a e， 然后做它的垂线，这个是点 f 吧， 然后跟它相等，交叉于点 g 来连接 a g 啊，图就这样了啊，其实画出来以后的话，这个图大概率它这个位置，它 a e、 f g 的 话，大概就还是个正方形，是吧？如果你考场指定考试情况下的话，学生如果没有时间去分析的话，你就直接算数据就行了。这个 a b 是 一个六，整个 b e 的 话，六加二是一个八六八十，是吧？那就直接写答案行了。刚才 a g 长的话，第一个是二倍的，根号是三，那现在就是一个十了， 那现在我们来分析一下为什么啊？还其实还是证明一下它是这个正方形就可以了啊。那我们类比这里边，类比这里边的话，这的话是刚才咱们解的时候是解这三个三角形啊，这个三角形，这个三角形跟我们的 这个三角形它们三个相似，是吧？那在这的话，同样的我们来看这个 a b e 这个三角形，哎，它三边的话三四五关系，那我们来找来找这个 g f 它所在的直角三角形，比如我们需要去延长这个 f e 了，延长 f e 跟这个 g d 这条直线吧，交点的话，我们还标一个点，还标一个点，标点什么了？忘了啊，标个点 随便吧，点 p 吧，标点 c 啊，那它三边的话也是一个三四五，三四五的话，在这里边我们去解出来一条边吧，咱们去解一个，解一个的话，比如我们来解这个点吧，这个点标一个 h 吧， 整个这个 c e h， 它三边关系的话，也是一个三比四比五的啊，因为它们形状都是相似的啊， c e 长，我们知道是一个二，换个颜色， 这个 c e 长是个二，那么这个我们就可以得到。 哎， c e 长是个二，对， c e 长是个二，那我们可以得到 h e 长， a b 长，它俩四比五嘛，就是一个二分之五， h e 是 二分之五， h e 是 二分之五的话，我们再来解这个 p e p， 因为 h e p 三边也是一个三比四比五的啊，我们来解 p e 二分之五的话， h e 比上 e p， 它俩三比四的关系啊，可以说是一个三分之十可以解出来啊， 二分之五乘以四，三分之四，没错吧，三分之四啊，来 p e 三分之十，然后这个 e f 的 话， e f 是 等于 h e 的 嘛， e f 是 一个十，所以整体的话我们可以到这里边 p f 的 话，它等于 p e 加 e f 是 一个三分之十，再加上个十，结果的话是一个三分之四十啊，好，那 p f 三分之四十的话，我们再解这个三角形 p f g， 它也是三四五嘛， p f 跟它比的话应该是四比三，所以 g f 的 话就是个三分之三十，又是一个十了，从而又一次到了这个 g f 跟 a e 是 平行线的，从而挣出来的是个正方形，所以说 a g 三的话就是一个十，最后结果的话，一个二倍根号三，一个根号三一个十，没了啊？ 好，这是我们这个信箱，一摸里边，比如说灰线一摸里边，十五题二十三题，一个视频讲解啊，大家不理解的话可以在自己收藏以后反复多看几遍啊，或者私信我也可以，拜拜。

心想的老师们大家好啊，心想高三一摸成绩现在已经出来了，还不知道成绩的同学们一定要抓紧时间去查一下啊！本次模拟考试的分数线现在也已经划定出来了，物理组是三百七十七分，历史组是四百一十六点五分， 特空线物理组的话是四百八十四点五，历史组呢是五百一十六点五。大家可以根据自己的分数线来推断自己往年的分数和位次，用来判断自己能上的学校层次， 不会换算的可以把你的分打在评论区，徐老师可以帮你换算一下。另外，不管你是低分段想走单招，还是中分段想提分，现在都要开始规划了， 那想具体了解的朋友们呢，也可以私信我。最后别忘了给徐老师点个关注，把视频分享给你身边有需要的朋友。