初一下册数学几何题模板铅笔

同学们如果说想要练习同类型的题型，可以在评论区回复六六六，我会把相关的题型发送给大家。山西大同初一下半学期的期中和期末考试当中，压轴题一定会考的铅笔模型，今天呢，我用一个视频带你把它讲清楚。首先我们先来看一下什么叫做铅笔模型，如 图所示，我们可以看到这里呢，有两条直线，分别呢叫做 ab 和 cd， 他 们两个呢是平行的关系，那么在这两条平行线之间呢，夹了一个凸出来的角，那么它整体呢，长得类似于一根铅笔，所以说呢，我们管它叫做铅笔模型。 关于铅笔模型呢，我们需要掌握两方面内容，第一方面呢就是它的结论，另一方面呢就是铅笔模型，我们该如何去进行证明？首先呢，我们先来看一下它的结论，在这幅图当中，我们 ab 和 cd 平行的，那么我们就能够得到一个结论，就是角 b 加上角 d， 再加上角 e， 最终呢等于三百六十度，这个结论呢，同学们一定要记清楚。接下来我们来看一下这个结论我们该如何去进行证明。首先呢，我们先过点 e 做一条辅助线，叫做 p q， 让 p q 和 ab 平行， 因为呢， ab 和 c d 是 平行的，所以说 ab， p q， c d 这三条线都是平行的关系。接下来我们来看一下，因为 ab 和 p q 平行，所以说我们的角 b 加上我们的角一，最后呢一定等于一百八十度，理由呢就是两只线平行，同旁内角互补， 因为 p q 呢和 c d 平行，所以说呢，我们这里的角二加上角 d 呢也一定等于一百八十度啊，那么接下来呢，我们把角 b， 角 d 以及角一角二把它们加起来，那么就是两个一百八十度相加，最后等于三百六十度啊， 因为角一加角二呢等于角 e， 所以 说呢，我就推出来了角 b 加上角 d 再加角 e， 结果呢，就等于三百六十度，接下来我们一起来看一下过程如何书写啊。首先呢，我们先说明一下，过点 e 呢，做 p q 平行于 ab， 这里大家一定要注意，我们做的辅助线 p q， 它只能和 ab 或者和 cd 其中一条线段平行， 千万不能让 p q 同时平行于 a b 和 c d 啊，那么这样的辅助线做法呢，描述呢是错误的啊，那么他们三个平行是怎么得到的呢？我们可以看一下啊，因为呢， a b 和 p q 平行， a b 呢也和 c d 平行，根据平行公里，我们才能够推出来这三条线段分别平行啊。接下来呢，因为平行，所以得到了同旁内角互补， 因为平行，所以同旁内角互补啊，最后呢，我们把它加起来啊，那么角一加角二呢，就是我们的角一啊，所以说呢，最后我们就得到了角 b 加上角 e 再加角 d 呢，总共等于三百六十度，这就是我们所谓的铅笔模型，接下来呢，我们一起来看一下铅笔模型的变形啊，那么假如呢，我们有一根铅笔，现在呢，这根铅笔掉到了地上，他的笔尖呢，摔断了啊，那么现在呢，笔尖呢，就变成了秃的啊，那么这个时候呢，就会多产生了一个角啊，那么在这幅图当中，我们的结论是什么呢？我们一起来看它的结论呢，就是角 b 加上角 e， 加上角 f， 再加上角 d， 最后呢等于五百四十度。好，那么我们来看一下这个如何去进行证明。同样的，我们也是先做两条辅助线，首先呢过点 e 做 p， q 和 ab 平行，然后呢过点 f 做 m， n 和 ab 平行，因为平行公里我们可以得到 ab， p， q， m， n 以及 cd 这四条线段呢，全部都是平行的关系啊。那么接下来呢，我们继续用到平行线的性质啊，我们可以得到角 b 加上这里的角一，它呢等于一百八十度啊，那么这个角二呢，加上这个角三也等于一百八十度啊，接下来我们的角四加上角 d 呢，最后也等于一百八十度， 这样的话呢角 b 加角一，加角二，加角三加角四，最后呢再加角 d 加起来呢，总共等于五百四十度啊，那么一二三四这四个角相加呢，实际上就是我们之前图中的角 e 和角 f， 所以 说呢，我们就推出了题目当中的这个结论，这就是我们铅笔模型的变形啊， 那么通过铅笔模型以及它的变形呢，我们要总结一下它的结论，我们该如何去进行记忆。刚才呢，我们是有三个角相加，最后结果呢等于三百六，现在呢有四个角相加，那么最后结果呢等于五百四啊，那么由此呢，我们可以推出，如果呢角一加上角二，一直呢加到了角 n， 那么我们就可以得到最终他等于多少度呢？等于 n 减去一乘以一百八十度啊，那么这里的 n 呢，代表的是角的个数，就是我们总共有几个角，像我们刚才有三个角相加，那么就是角一加角二加角三，他等于谁呢？等于三减一乘以一百八，三减一等于二，二乘一百八等于三百六十度。 那么在这幅图当中，我们总共有四个角啊，角 b， 角 e、 角 f 以及角 d， 那 么这四个角相加的话呢，那就是用四减去一等于三三，再乘以一百八，最后的结果呢就是五百四十度，这就是它的结论啊，大家呢关于结论的话呢，一定要记住这个公式啊， 那么接下来呢，我们来看一下，在实际的考试当中，这些内容我们是如何考察的。首先来看一下第一道题啊，第一道题呢，他说了，呃， b、 a 呢和地面 a、 e 呢是平行的啊，那也就说他们两个是平行的关系， 这里呢是垂直的。若角 b、 c、 d 等于一百五十度啊， b、 c、 d 也就是这个角等于一百五十度。那么现在问我们 a、 b、 c 啊，也就是我们图中蓝色的这个角等于多少度，那么它我们该如何去进行计算呢？我们来看一下。首先呢，我们在这幅图当中呢，大家呢一定要找到我们的铅笔模型，那么这幅图当中的铅笔模型呢，就是我用蓝色的笔 标记出来的图形啊，那么在这个图形当中呢，我们总共有三个角啊，这个角呢叫做角一，这个呢叫做角二，这个呢叫做角三，那么有三个角相加呢，那么应该就是三减去一再乘以一百八，最后呢应该等于三百六十度啊， 那也就是说角一加角二加角三等于三百六十度，那么其中呢角一题目告诉我等于一百五十度，角三呢等于九十度啊，那么现在我们要去求角二啊，那么我们只需要用三百六 减去一百五，然后呢再减去九十啊，那么最终呢等于一百二十度啊，所以说这道题呢，我们最终的答案呢，选择的应该是二 b 选项，接下来我们再来看一下第二道题，第二道题呢，首先他说了直线 a 和直线 b 是 平行的关系，也就说这两条直线平行，然后告诉了我们角一等于一百一十度啊，然后呢角二等于一百四十度， 然后现在问我们角三的度数啊，注意，角三呢，在这里啊，那么在这幅图当中呢，它也是有一个非常标准的铅笔模型啊，那么铅笔模型呢，就是我在途中用蓝色的笔画出来的这个图形， 那么在这个图形当中呢，我们来看一下，角一加上角二，加上这里的这个角，我们管它呢叫做角四 啊，那么角一等于一百一，角二等于一百四啊，那么角四呢，最后结果一定等于一百一十度啊， 那么角四等于一百一了，那么我们角三和角四它们是什么关系呢？这两个角呢叫做零补角，那么它们相加等于一百八啊，那么角三呢，应该等于一百八十，减去一百一十度，最后呢等于七十度 啊，所以说这道题的最终答案呢，应该选择的是二 b。 以上内容呢，就是关于铅笔模型的讲解，同学们如果说想要练习同类型的题型，可以在评论区回复六六六，我会把相关的题型发送给大家。

小武哥还在写语文真卷，这是他今天写的数学课外的题， 最近一直在学习几何模型，对于初学者来说问题还是比较多的，经常会有步骤不清晰、因果关系不成立或者跳步骤的情况， 学校老师也一直在加强巩固练习，周末再找一些题加强训练。

初中数学有两大重难点，一个呢是平面几何，另一个呢则是函数。而七年级下册呢，在学了平行线以及全等三角形这两张之后，我们平面几何的这个题型呢，就瞬间难度会变得很高，根本没有给我们孩子足够的这个过渡的时间。 一些学生呢，通常在七年级下册学的全等三角形之后，经常会面临一种崩溃的状态，就是觉得辅助线自己怎么都找不出来，而且这种题感觉非常无厘头，无从下手。那如何让我们孩子赢在起跑线上，每一步都踩对点呢？这里作为在职老师的山羊老师呢，给大家一个建议哈， 大家可以带着孩子在书店去买一本关于数学模型的，就是我们数学模型几何模型的一些书，根据自己孩子进行自我自己的喜好进行自我选择，我在这里不推荐任何书哈，大家自己去选一本，就可以提前去学习一些重要的模型。去学习这些重要的模型有什么结论？一个是结论啊， 另一个是这些重要的模型的辅助线是怎么画的， 去拓宽一下思路，只有见得多了，看的多了，哎，考场的时候，我们见到相同的这个数学模型的时候，才能做到临危不乱，心中有数。好，那今天呢，山羊老师带大家来看一下我们平行线这一章节的重点的四个数学模型，那分别是我上面图上面所画的这个， 一个呢是猪蹄模型，它长得像个猪蹄一样，大家看是不是猪蹄模型，一个呢是铅笔头模型，一个呢是大脚模型， 看这个名称啊，都非常的通俗，还有一个呢是骨折模型，像骨头折断了一样。骨折模型，那这几个模型是怎么来的呢？我先给大家来说一下来源，我们今天的重点不是给大家带着去证明哈，因为这里的证明并不是很复杂， 我给大家做一条辅助线的做法，大家就应该陆陆续续都能证明出来。但是今天我想讲的这个重点东西呢，就在于这四个模型是怎么来的。首先这四个模型实际上是来自于两条平行线，比如说我在这里画两条平行线， 它分别是 l 一 和 l 二，那有一个动点，我们把它叫做 p， 这个动点的这个位置是不确定的， 那由这两条平行线右侧的端点和这个动点所连接在一起的。这个复合的这个图形所构造的模型就是我们上面的各个模型。什么意思呢？举个例子，比如说这里的动点 p， 我 把它叫做 p 一， 它在我们 l 一 和 l 二内内部之间，那我们给它连线连在一起， 你看它是不是就是我们的猪蹄模型啊？大家往上翻看，是不是就是我们的猪蹄模型？同样的，那我们的 l 一 和 l 二变化， l 一 和 l 二不变，那这个动点 p 调整位置的话，它又会变成其他的模型。 当我们的这个 p 跑到 l 一 和 l 二的右侧去，那我们再连接在一起，大家可以看 它是不是就是我们的铅笔头模型啊，对吧？此外呢，那我们的这个大角模型和骨折模型也是一样的，我们继续画平行线， 我先告诉大家这个模型的来源哈，让大家不要觉得这么突然之间无厘头的来了这么多数学模型，大家先清楚它是怎么来的，其实学生记起来会更加的清晰。这里我们再产生一个新的动点，比如说它叫 p 三，好，我们把这里连在一起， 看，这里是不是产生了一个像大脚一样的模型，这个大脚呢？他是这样一个人平躺着这个脚这个样子的啊，这是鞋带，大家看起来形象不形象啊？不要竖着去想，要横着想，想着这个人是平躺在这的。那还有最后一个就是我们的骨折模型，我们的骨折模型和我们的大脚模型其实也是动点位置不一样， 我们这里的动点 p 四呢，要更偏左一点，好，这里把端点连在一起。 好，这里产生的模型就是我们的骨折模型。那我们的结论和我们这里的这个模型之间有什么样的一个关系呢？这个模型到底是在研究什么样的关系呢？这个模型先告诉大家，它是研究角度之间的数量关系， 角度之间的数量关系，什么角和什么角呢？比如说我来标几个啊？首先我把这里的线都给它标上字母名称，方便我去称呼它。 它所研究的角是哪几个角之间的呢？首先是三个角之间的关系，这三个角在这四个模型里面都是通用的，它指的是这个平行线右侧的这个端点和我们的动点 p 连接在一起所构造的这样的一个角，这是第一个角，另外一条平行线和我们的动点 p 一 所产生的这样的一个角，一个是角一，一个是角二，以及 这两条平行线右侧的端点啊，然后和我们 p 所构成的这里的角三。所以其实再来说一遍，他所找的三个角是哪三个角呢？是平行线一侧的这个端点和我们的这个 p 之间所互相产生的这三个角。那以我们的铅笔头模型来说的话，他这里的角还是依旧是，比如说我们上面的这个 是我们上面这个平行线以和 p 二之间所产生的这个角，也就是我这里标角一， 角二和角三之间的关系。此外呢，这个大角模型他依旧是一样的，是我们的平行线作为这个角的一个边，然后呢这个线的另一侧的端点和我们这个洞点 p 三所构造的角，比如说这里这是角一，以及这里是角二和这里的角三之间的关系。最后一个骨折模型，大家自己来看一下，实际上也是这里的这个线 和我们这里这个洞点，哎，我们这个平行线作为这个角的一个边，然后呢这个线的一侧的这个端点和我们这个洞点连接在一起所构成的这样的角， 这是角一，这个是角二和角三。好，所以我给大家呢，这个解释方式呢，是先告诉大家我们这四个模型的来源，再告诉大家这四个模型是研究哪三个角之间的关系，大家再来重述一遍，复习一下。 实际上是源自于我们的那个每个平行线右侧端点和我们中间动点所构建在一起的这三个角之间的关系。那这三个角之间的数量关系到底是什么样子的呢？我告诉大家结论哈，除了这个铅笔头模型之外， 铅笔头模型的话，它是什么呢？我们做一条辅助线，我拿红线做一条辅助线。好，我们可以看到这里的 角一加角三的上半部分，因为是平行的关系嘛，所以呢，它加在一起是一百八十度，角三的下半部分加角二是一百八十度，所以它的数量关系是角一 加角三加角二等于两个一百八十度，也就三百六十度。铅笔头模型可以单独去记其他几个模型的话，按照老师给大家说的方法，就是其他的三个模型，就是我们的这个猪蹄模型、大脚模型以及骨折模型，他都是两个小脚加在一起等于那个大脚 两小等于一大。来我们看一下我们这里的这个猪蹄模型，大家可以看到是不是角一，角二要小一点，角三要大一点，所以其实就两小加起来等于一大，角一加角二等于角三，这个就是结论。 此外呢，关于大角模型的话，我们可以看到是不是这个角一要大一点，那所以是角二加角三等于角一， 还有一个骨折模型，大家可以看一下谁大一点啊？所以角二就等于角一加角三。好， 如何来证明呢？确实也会遇到很多的证明题，这里呢证明的这个方法非常的多，辅助线的方法也非常多，但是我教大家一种通用性的这种辅助线的做法，就是类似于我在证明这个铅笔头模型一样，大家统一去过这里的洞点，做一条和 ab 平行的这个平行线，比如说这样一条辅助线拉通哈， 比如说还是过动点啊，做一条拉通的与其中的 ab 平行的这个辅助线，包括这里过 p 四做一条平行的这个辅助线，大家去借助内错角、同位角、同旁内角这样的数量关系，都是陆陆续续可以证明出来这样角的结论的。我这里就不带着大家去证明了，因为这里的证明并不是很复杂， 这里的主要目的是带着大家去归类一下这四个模型之间的相互联系，他是怎么产生的，他之间的角有什么样的一个帮助我们记忆的一个方法，所以再啊就是再说一下啊，铅笔头模型单独记角一加角二，角三等于三百六十度，剩下的三个模型都是两个小角加在一起等于那个大角。 好，大家也可以把我这里这个图截一下，这个图也是最终的这个结论和我说的这个结论是一模一样的。好，谢谢大家。这里是山羊老师，有需要证明的或者搞不清楚的，大家可以在评论区留言再来咨询我，如果有需要的话，我给大家再出两期视频，谢谢大家。

七下数学，拉开距离的就是几何题，因为初一下册数学百分之五十都是几何题。推荐这套初中数学几何计算专项训练， 七年级所有的几何内容都包含了完全同步课本。这套书最大的亮点就是每章节都是先带孩子学习核心理论知识要点，再学典型真题，掌握解析技巧，扫码还有老师一对一的视频详细讲解，孩子自己就能跟着学。 最后再去做基础练习、提升练习以及拓展练习，循序渐进式拔高孩子的几何专项解题能力。每天十五分钟练透一个几何支点，几何能力过了关，孩子数学也就稳步提升，也为初中几何打下坚实的基础，赶紧帮孩子安排上吧！

以下五大几何板块，西夏月考常考压轴题，期中期末考也会继续考察，建议想要冲高冲满的同学重点学习，都把相关的一个拓展压轴题都整理到了这份西夏月考的压轴题练习里面，有需要可以七四九。 第一，平行线的五大拐点几何模型，这里强调除了会考单个模型之外，还会有模型的拓展延伸，以及多个模型一起综合考察。比如铅笔模型，这里会细分为单个铅笔模型和多个铅笔模型。 再比如猪蹄模型，这里会细分成多个拐点的猪蹄模型和双猪蹄模型等。第二，几何模型加整体思想求角，这里会细分为单个未知数和双个未知数两种题型。 第三，几何模型加方程思想求角，这里也会细分成单个未知数和双个未知数的两种。解析的一个思路， 很多同学会搞混乱，整体思想求角和方程思想求角其实核心的区别是在于，整体思想求角是不存在等量关系的，而方程思想求角主要是根据等量关系去列方程和解方程。第四是动线段和平形线综合。第五，动角和平形线综合， 这里会细分为和动射线相关的以及和动角相关的。那以上内容我都整理到了这份七项数学的月考压轴专项练习里面，并有配套答案，建议基础扎实，想要冲高冲满同学可以考前重点练习，如果没有学过相关内容，可以借助我的拓展视频来系统捕漏。

七年级下册数学如果你能让孩子每天练习一页几何计算题，他的数学一定会给你惊喜。推荐给孩子准备这本初中数学几何计算，一百七下数学，一半的内容都是跟几何相关的。搞定了几何数学也就不难了。他与新教材完全同步，预习完相交线与平行线 就同步练习一页，预习完平面直角坐标系就同步练习一页。最大的亮点是每章节都有知识点的梳理， 接着再跟着往年真题学习答题技巧，遇到不懂的还可以看名师讲解，最后再去做练习，从基础练习到提升练习，打扎实计算基础。每天十五分钟，循序渐进的练习，孩子的数学学习就能轻松上阵。

七下开始数学拉开差距的就是几何题，家长一定要给孩子准备学而思这本三分钟了解初中几何模型大全，他汇总了初中三年所有的几何模型。结论，像三年二十九考的八字模型，你就记住 a、 c 与 b、 d 相交于点 o 连接 a、 b、 c、 d 得到角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 还有猪蹄模型，你就记住 a、 b 平行于 c、 d。 点 o 是 平行线间的内凹拐点，得到角 b、 o、 c 等于角 b 加角 c。 考试遇到相似模型，直接套用模型。结论，做题又快又准，每个模型不仅有模型图式，还有公式速记，就连模型怎么判定都讲的清清楚楚，还精选了典型例题进行剖析，不会的可以看视频讲解，学完再去做后面的真题练习，学练结合，初一到初三都能用，赶紧让孩子学起来吧！

我见过最笨的父母呢，就是七年级，都最后三个月了，还没给孩子呢！准备这本模型图，了解初中几何！七年级下学期呢，一定要每天晚上掌握一个几何模型的阶梯练习，到期中考试啊，很可能冲进班级前三， 你永远考不过一个每天掌握一个几何模型的孩子，因为七年级的数学成绩呢，百分之四十是由几何决定的。 吃透这本模型图，了解初中几何呢，考试啊，想拿低分都难！梳理把初一的八个模型，初二的三十三个模型，初三的十九个模型呢，都整理好了，像常考的将军一马模型、 手拉手模型、 a 字模型图、不规模型，每个模型的条件、结论是什么证明的方法呢？都拆解的非常详细啊！再结合典型真题，从找模型到用模型，让孩子呢掌握解题思路，吃透答题技巧。技术差呢，也没关系啊，扫码呢，就能看视频讲解，从理论到方法， 层层递进，几何基础呢，打的太牢了。配套的呢，还有一本专项练习，学一个模型呢，就做一页真题训练，学练结合，彻底掌握几何模型的解析技巧。驾校初中生的啊，抓紧准备一套吧！

刷到这条视频的初中生别划走，你是不是还在？一碰到平行线的折叠拐角题就发蒙？是不是同班同学做平行线题比你更快？这五大模型，学会直接拿捏百分之八十的平行线几何证明题。 这五大模型分别是铅笔模型、猪蹄模型、牛角模型、骨折模型、锯齿模型。 在课程开始之前，先给大家介绍一本非常好的教辅资料，就是这本名校课堂，就我们这节课讲的平行线的拐点模型，在这本书里都有。新学期开学七年级下册的数学难度增加，要想脱颖而出，我推荐初一就开始做这种名校培优的专题训练，它有三大亮点， 第一，一线名师题目精讲三百七十八节视频课，并且都是一题一码，配套详细解析步骤与思路，点拨复杂，知识点拆解的清晰易懂。 第二，每个专题严格遵循方法指导，例题精讲，变式训练，举一反三的逻辑，先帮孩子归纳做题模型，再通过典型例题掌握核心方法，最后用辨析题巩固拓展， 真正实现做一道题或一类题，彻底摆脱盲目刷题。第三，书中专门统计易错题，帮孩子快速找出薄弱点， 同时配套单元综合练语。期中期末迎考专题覆盖二十四个培优专题，五十六个常考类型，从基础到压轴题全面覆盖，考前复盘效率翻倍。我们先来看第一个模型，铅笔模型已知 a 加角 b 加角 c 等于三百六十度。 我们做几何证明题最重要的一点思想就是要学会做辅助线。遇到这种铅笔模型的时候，我们做辅助线就是过点 c 做直线， cd 平行于 a e 做 cd 平行 a e， 因为我们的 a e 平行 b、 f， 对 不对？所以我们就可以得到这三条线是互相平行的。 这三条线既然互相平行，我们知道平行线有一个定律，两直线平行同旁内角互补，那么角 a 加上这个角一，是不是就等于一百八十度？ 同样的道理，我们的角二加上角 b 是 不是也等于一百八十度？ 那么角 a 加角一加上角二加角 b 是 不是就等于一百八十度？加上一百八十度等于三百六十度？角 a 加上角一加上角二加上角 b 等于一百八十度。加上一百八十度等于三百六十度， 对不对？那角一加角二是不是就是我们的角 c？ 是 不是证明出来了？角 a 加角 b 加角 c 等于三百六十度。这是我们的铅笔模型。我们再来看第二个猪蹄模型，什么叫做猪蹄模型？就是类似于这样子的一个平行线的一个模型。 来看一道例题，如图，角 b、 c、 d 等于七十度，这个角等于七十度 ab 平行 d e。 角 r 法与角贝塔满足什么关系？ 我们遇到猪蹄模型的时候，跟铅笔模型一样，都是过中间的这个折点去做一条平行线。同样的方法，过点 c 做一条平行线， cd 平行 ab 作 cd 平行 ab。 既然 cd 平行 ab， 题目又告诉我们 ab 平行 d e， 那 么我们就可以得到三条线是不是互相平行啊？ 那我们就能得到角 r 法和这个角一是不是相等的关系？两直线平行，内错角相等对不对？ 所以就有角 r 法等于角一，那同样的方法，我们是不是就能得到角贝塔也等于角二啊？这是角一，这是角二，角贝塔等于角二。 又因为角 b、 c、 d 等于七十度， b、 c、 d 是 谁？是不是就是角一加角二？所以角阿尔法加上角贝塔是不是就等于角一加角二等于角 b、 c、 d 等于七十度呀？ 找到阿尔法和贝塔的关系了吗？角阿尔法加角贝塔等于七十度，这就是我们的猪蹄模型。 我们再来看下一个模型，叫做牛角模型，类似于牛的一只角，我们看这种类型的题，我们怎样去求？已知 a、 e 平行 b、 f。 求证角 a 等于角。 已知 a、 e 平行 b、 f 这两条线是平行线。求证角 a 加角 c 等于角 b。 同样的方法，我们仍然过这个拐点做一条平行线 c、 d 做 c、 d 平行 a、 e， 那 么我们就可以得到 c、 d 平行 a、 e 也平行于 b、 f， 对 不对？ 现在要求的是角 a 加角 c 等于角 b， 因为我们已经做了一条辅助线，所以我们现在的角 c 是 不是就是这个角一啊？我们把这个角标做角二， 那根据平行线的定律，我们 a、 e 是 平行 c、 d 的， 所以角 a 加上这个大角是不是等于一百八十度？所以角 a 加上角一，加上角二等于一百八十度，对不对？这是我们的两直线平行同旁内角互补， 然后通过 b、 f 和 c、 d 平行，我们就能得到角 b 加上角二也等于一百八十度，是不是？我们根据这个式子，是不是可以就得到角 b 等于一百八十度减去角二啊？我们 我们根据上面这个式子，是不是也可以得到角 a 加上角 e 也等于一百八十度减去角二啊， 这里一百八十度减去角二，这里也是一百八十度减去角二。所以角 a 加角一是不是和角 b 相等？连接这两个式子是不是就能得到角 b 是 等于角 a 加上角一的呀？这个角一是不是就是题目中原来所说的角 c 啊？这道题是不是证明出来了？ 来，我们再看平行线的第四个模型，骨折模型已知 a、 b 平行 cd， 角 c 等于七十度哦，这里等于七十度，角 f 等于三十度哦，这里等于三十度，则角 a 的 度数是多少？ 那既然我们是放在平行线里去找的模型，那我们就用平行线的性质去做 ab 平行 c、 d。 题目又告诉我们角 c 等于七十度，那么根据我们的平行线 定律，是不是得到这个角也是七十度啊？是不是它的同位角？是不是角 c 的 同位角？那这个角等于七十度，这个角是不是等于一百一十度啊？ 平角嘛，一百八十度，那这个角等于三十度，这个角等于一百一十度。角 a 是 不是等于一百八十度减去这两个角的和啊？那我们写一下，因为 ab 平行 cd， 所以 角 f、 e、 b 就是 这个角，是不是等于角 c 等于七十度啊？同位角相等，是不是同位角， 所以角 a、 e、 f 是 不是就等于平角一百八十度减去角 f、 e、 b 啊？ 等于一百八十度减去七十度等于一百一十度，所以角 a 是 不是就等于三角形内角和一百八十度减去角 f 减去角 a、 e、 f 对 不对？等于一百八十度，减去三十度， 减去一百一十度等于四十度，是不是求出来了？这就是我们的骨折模型。我们再来看最后一个锯齿模型， 已知 ab 平行 cd， 这两条线互相平行，角 a、 b、 f， 这个角等于角 d， c、 e 等于这个角。求证角 b f， e 等于角 f e c b f e 是 这个角等于 f e、 c 等于这个角，其实就是求角 e 等于角 f。 我 们根据前面学过的铅笔模型和猪蹄模型类似去想这道题是不是可能需要从点 f 做一条平行线，从点 e 做一条平行线呢？ 我们去做两条平行线，过点 f 做一条平行线， f、 m 平行于 a， b 也平行于 c， d 过点 e 做一条平行线， e、 n 平行于 ab， 平行于 cd。 所以 现在就有四条平行线， ab 平行 f、 m 平行 ne 平行于 cd， 对 不对？既然是互相平行，就有这个角，是不是？角 c 是 不是等于这个角一啊？ 就能得到角 c 是 等于角一的？同样的方法，我们得到角 b 是 等于这里的角二的，角 b 等于角二，而且这里有一个角三是等于角四的，是不是 角三等于角四？你看题目上让我们找的这两个角相等，其实就是要我们证明角二加上角四等于角一加上角三，对不对？ 那现在我们已经找到了角三是等角四的，我只要证明角二和角一是相等的，这两个相加是不是就是相等的？ 看看角一和角二相等吗？角一等于角 c， 角二等于角 b。 题目不是告诉我们角 b 和角 c 是 相等的吗？ 那因为角 b 等于角 c， 所以 角一是不是等于角二？角一等于角二，角三等于角四， 所以是不是就能得到角二加角四等于角一加角三，从而就能证明角 b、 f、 e 是 等于角 f、 e、 c 的， 对不对？平行线的五大模型你掌握了吗？

开始行动第一题，少年们加油！少年的书桌上没有虚度的光阴，十年磨一剑，那些看似不起波澜的，日复一日，终会让你看到坚持的意义。 第一题，它是一个动角问题，那么动角问题我们会优先想到啊，在这里舍个时间替我去列方程。那么对于这个小题目，我们没有必要小题大做啊，未必，列方程 直接开干直接算也是没有任何问题的。来，我们看所求三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d e 平行的时间是多少秒？ 分三种情况去讨论啊，因为三角形它有三条边。第一种情况是 a c 平行于 b e 啊，平行于 d e。 那 么我们来看一下 初使的时候 a c 和 d e 啊，它的夹角是三十度， d e 不 动， a c 逆时针 旋转，什么时候 a c 与 d e 平行呢啊，你们发现它旋转的时候夹角越来越小，平行的时候它们的夹角是零， 所以在这里啊，路程是一个三十度啊， a c 旋转的路程是一个三十度，速度呢是十五，时间三十除以十五等于二。 那么第二种情况就是 ab 平行于 d e， ok， 我 们来看一下此时此刻它们的夹角，我可以认为是一个三十度， ok， 是 个三十度，那么 d e 它不动， ac 呢？动，什么时候 d e 和 ab 啊？ d e 和 ab 平行， 我们研究的时候啊，这里这样画，现在夹角三十度啊，夹角三十度， ab 呢，它是 逆时针在转，所以你会发现他们的夹角越来越大，是不是夹角是越来越大的啊，从三十度慢慢增加，什么时候会平行呢？就是 当他们的夹角三十度，四十度，五十度，一直到一百度，一百五十度，一百七十度，一百七十九度，一百八十度时候，他们两个就会平行了，夹角是一百八十度。 ok 啊，或者说我们可以认为啊，他转了多少度呢？转了一百五十度，所以路程是一百五，速度是十五，时间就是一个十。 当然这个地方写的不太准确，直至平行时，他们的夹角其实是没有夹角的。是不是我们可以写转了一百五十度， 转了一百五十度啊？ ok， 然后直接在这里来个一百五除以十五就可以了。 那么第三种情况就是 d e 平行于 bc， 现在他们的夹角是多少？ 它们的夹角是六十度， d e 不 动啊，谁动呢？ bc 动， bc 运动啊，逆时针动。那么 bc 要再转个一百二十度，你想一下，是不是它们就会平行啊？所以 bc 要转一个路程一百二十度，速度是十五，时间就是一个八，所以有三种情况。

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o 是 三角形， a、 b、 c 内部一点 o， b 呢？二分之七， pr 分 别是 o 关于 ab 的 对称点和 o 关于 bc 的 对称点。 第一问，请指出，当角 a、 b、 c 的 度数是多少的时候，会使得 pr 的 长度等于七？我们来看啊， pr， p 呢，是对称点， i 也是对称点，那么 pr 跟七有关系？ pr 等于七，也就是二分之七的两倍，所以这个时候我就连接 p b 连接。 br 啊，那么三角形 p b r 中呢？我们很明显的发现啊，这个 p r 它肯定是小于两边之和，小于 p b 加 b r， 这没有问题吧？ ok， p r 是 小于 p b 加 b r， 再写一下， 小于 p b 加 b 二，然后呢， p b 就是 o b b 二也是 o b， 所以 它算的是小于二分之七加二分之七小于七的没有问题吧？但他问他什么时候等于七等于七， 那不就是 p b r 三点共线的时候吗？对吧？是不是就这个这种情况三点共线了，那 p b 就是 二分之七了， b r 呢，也是二分之七，是不是？那这个时候 p r 等于 p b 加 b r， 二分之七加二分之七等于七，没有问题吧？那么此时此刻，他问角 abc 的 度数，我们来看啊，我在这里，我舍这个是 x， 那 么根据轴对称，这里是 x 度，我舍这里是 y， 那 么轴对称，这里是 y。 二 x 加二， y 就是 一百八十度。 角 abc 呢，是 x 加 y， 自然就是一个九十度啊。那第二个就更简单啊，当角 abc 不是 九十度的时候，那么角 p b r 它就不是一百八。此时此刻， p b r 就 会构成三角形，三角形中两边 之合一定是大于 p p r 的， 是不是？所以 p r 一定是小于两边之合啊，那就小于七了。嗯。

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工大附中最新的月考压轴题，上周刚考过的平行线与转角结合的，我们一起来看一下。先读题，两条互相平行的观测轨道， e f 和 m n 标记平行。 有一个望远镜在 a 处，从 a f 发出射线，旋转旋转到 ap 啊，顺时针转速度为三，那立马用三 t 表示 f ap， b q 呢？从 b n 出发，逆时针转速度为五，立马标记五 t。 还告诉我们， f、 a、 b 是 六十度，两直线平行，内错角相等，同旁内角互五。 当 ap 转至与 a e 重合， ap 从 af 出发，转到 a e， 那 转到这么个角就是一个平角， 此时两个镜两条射线就同时停止转动，转了一百八十度，速度为三，立马算出六十秒啊，整个旋转过程是六十秒啊！来看第一题， t 等于二十二秒的时候， b a、 p 是 多少三 t 啊？我们知道角 f a、 p 是 旋转角，是三 t， t 是 二十二，就等于六十度啊，六十六度， 那我们的 f、 a、 n 在 这里来表示是六十度。当 a p 转到六十六的时候， p 就是 在 a、 b 的 左侧，整个大的是六十六旋转角，那剩下的 b、 a、 p 就是 六十六减六十了。 b a、 p 是 六十度， 我们的角，他问 abq， abq， 他 就跟 nbq 有 关角 nbq 是 旋转角，是五 t， 五乘二十二是一百一十度，整个大的是一百二十度，他转了一百一十度，这是 q 问 a b q， 那 不就是大的一百二，减小的一百一就是十度吗？这两个比较简单啊，相信同学们做起来都没什么压力，关键是第二问， 第二问，我们已经已经习惯了，就知道要分类讨论了吧。我们先看一下题吧，在某一时刻， abq 等于三倍的 bap， 哎，那就是第一问中的两个角吧。我们知道这两个角跟旋转角有关，表示 abq， 表示 bap。 我们观察一下， p 在 a b 左侧，这个旋转角是三 t， b， a p 就是 六十减三 t 了，大的是六十嘛。如果 a p 在 这个 b a 的 左侧， 大的变成了，哎，我们在这画吧，这个是六十，大的是三 t， 那 b， a p 变成三 t 减六十了，所以表示角 啊。方法，这个表示角的结果不一样， a p 在 a b 的 左右侧和左侧不一样，那我们只知道这个角是六十度，六十除以三是二十。二十秒的时候， p 在 a b 上，那二十秒就是分界线， 这个是一百二十度。 q 与 ab 重合同里，在 ab 左侧，在 ab 右侧表示 ab q， 它的这个表示情况也不一样，那算一下，一百二除以五等于二十四秒。刚才也算过，整个旋转过程是不是一个六十秒呀？ 来，那我们就第一种情况， t 大 于零，小于啊，等于二十秒的时候，我们来画个图算一下，此时 a p 没有越过 ab， b q 呢， 也没有越过 ab， 那 我在这画吧，六十和一百二啊，我们记住就不画了，不太清楚来， p 在 这个位置， q 呢，也没有越过， 从始到终三 t， 从始到终五 t， 此时的 b， a p 就是 六十减三 t， 此时的 a、 b， q 就是 整个是一百二，一百二减五 t。 题目说了， a， b p 等于三倍的 b， a p 直接写等量关系， a， b q 是 一百二减五 t 等于三倍的 b a p， b， a p 是 六十减三 t。 好 解一下， 一百二减五 t 等于一百八减九 t 减九 t 移过来加九 t， 这是负五 t， 一 加是四 t， 一 百二移过去一百八减一百二，是一个六十 t 就 等于十五秒。好的，第一个题目结束，来，我把图一擦，继续来， 当我们的时间。 t 啊，大于二十秒，小于，哎，二十四秒，也就是说 p 越过了 ab， 但是 q 呢？还没有越过 ab。 好 的，小小的是六十度大，大的是三 t 旋转角， 那咱们的 b a p 就是 三 t 减六十，这个旋转角是五 t， 大 的是一百二十度小小的就是一百二减五 t 了， 它说的是 ab， q 等于三倍的 b a p， ab q 是 一百二十减五 t 等于三倍的 b a p， b a p 变成三 t 减六十了啊，大小的关系变了，表示角的方式，这个多项式也变了，那整个式子就不一样了。九 t 减一百八， 九 t 移过去负五 t 减九 t， 负十四 t 一 百二，移过来减一百二，一百负一百八减一百二，负三百 t 就 等于啊，同时除以负负得正十四分之三百，约分除以二七七分之一百五十七分之一百五十，是，简单算一下， 就是二七一百四啊，是二十多，二十四间，二十四之间，可以要来擦掉。 再有一个时间。第三种情况， t 是 大于等于二十四了，也就是说 a p 过来了， b q 也过来了， ab 的 左边来了吧？那小于等于它，咱们刚算过了， 是一个啊，六十秒，大于二十四，小于六十秒， 都到左边来了，来，这个是六十度，没问题，这个是三 t， 那 小小的 b a p 还是三 t 减六十，此时 q 过来了，那这么大角， 从 b n 到 b q， 这个大的是五 t， 里边这个一百二是固定的，剩下的就是五 t 减一百二了。那此时的五 t 减一百二是我们的 a， b q 等于三倍的 bap， 三倍的 bap 是 三 t 减六十，算一下，五 t 减一百二等于九 t 减一百八，九 t 移过去，五 t 减九 t 负四 t 一百二移过来加一百二是负六十 t 还等于十五秒。但是我们发现明显不满足二十四和六十秒啊之间的这个范围吧，那它就需要给它 舍掉了。也就是说，在这种情况下， ap 在 ab 右侧， b q 也在 ab 右侧，不可能实现 ab， q 是 三倍的 b a p， 所以我们最终就是 t 等于十五秒或其分之一百五十秒时啊，满足提议 我们来总结一下啊，做这种题的三个步骤，第一题，一擦。第一步，旋转。不管是平行线与旋转，还是简单的旋转，我们都用 t 先去表示 旋转角，毕竟 t 就 跟旋转角有关嘛。最后又求 t。 第二个，再用角之间的关系去用 t 表示相关角， 这里面 a b q， b a p 就是 相关角。第三个，根据题目给的等量关系，我们列等式，列含有 t 的 等式，其实就是列方程嘛，用方程法解决问题。

每天练一题，今天有个初一的小朋友来问我这一道题，那我们大家一起来看一下题目。已知条件， l 一 平行 l 二，做题习惯好，先把条件给它圈起来，然后我们再来看问题说，若角一等于一百五十度，角二等于四十五度，然后求角三，哦，那么角一是一百五十度的话，我们可以推出它的这个 菱角，对不对？相邻的角，这个角跟它是什么关系？互补，那它就等于假设我们这个角四的话，角四就等于三十度，对吧？然后再来角二等于四十五度，求角三，那么如果熟悉这个题型的话，他可能一下子就可以算出来了几度，哎，七十五度对吧？那我们把这个模型给它处理出来给大家看， 就是在一一条两条平行线中出现的一只一个蹄子，一个猪蹄子。好，来看一下， 也就是说在平行线里面，本来我们一条线是这样子，两条直线被第三条线所截，那么这一条截线关了的话，就出现一个什么拐点，拐点这一个角拐点会中间会有一个角，那么这个角跟上面跟下面两个角有什么样的关系呢？角一，角二，角三，哦，那探求他们的关系，我们只需要在这里做一条跟他们 l 一 跟 l 二平行的一条平行线哦， l 三跟他们平行，那我们就可以把角三拆成两个角，假设这个是角四，这个是角五，那么四跟一就会相等，五跟二就会相等，所以我们可以得出角三等于角一加角二，那么前提是什么呢？ l 一 平行 l 二，对吧？然后加中间有个拐点，假设的这一个是 p， 所以 因为要平行他，那我们做辅助线做 l 三平行 l 一， 那也就是他们三个都会相互平行好过点，你也可以写详细一点，过点 p 做这个 l 三平行 l， 平行 l 一， 所以我们就可以得出这个结论。那么同理我们来看一下怎么来写呢？第一个因为 角一等于一百五十度，所以角四就会等于一百八，扣掉一百五就是三十度，对吧？然后接下来我们就因为这是在几何证明题里面，我们不可以直接用那个结论，要去整哈，这个是 l 四，好，接下来就过点 p 做 l 一 的平行线， l 四好使得 l 一 平行 l 二平行 l 四。所以这时候我们就可以得出，假设这个是五，这个是六，那角四或者角五等于角四等于三十度，然后角二 等于角六等于四十五度。好，那这边没有说，我们就把它补充上去，角二等于四十五度，包括 l 一 平行 l 二，好补充，然后我们就可以得出，所以角三等于 三十度，再加上四十五度等于七十五度。 ok， 第一道题解决，那么第二道题是很常见的，我们在做几何证明的时候，它经常是第一小题给你数字，我们可以直接带进去，对不对？那第二小题的话，它就给字母了，把字母当做数字直接带进去，我们也可以解决第二种类型，第二种题哈，来第二题的话，同样还是 过那个点做它的平行线，对不对？然后现在一变成了 alpha， 那 四就等于一百八，扣掉 alpha， 对 吧？好，那现在要求的是角 a p c 加上角 b p d， 也就这个角跟这个角，那么这两个角跟角三有什么关系呢？哎，加上角三之后，他们会是一个平角一百八十度，所以我可以先求谁？哎，角三对不对？就做角三，扣掉一百八，扣掉角三，不就得到这两个角的和吗？那我们同样的由一得，因为你第一题已经做辅助线了，第二题就没有必要再做了，对不对？然后由一得 l 四，平行 l 一， 平行 l 二，好，又因为角一等于阿法，角二等于贝塔，对吧？所以角四就会等于一百八十度扣掉阿法，然后这时候的角六就会等于角二等于贝塔。 ok， 那 接下来的话， 我们把这两个角带进去，所以角 a p c 加上角 b p d 就 会等于一百八十度扣掉角三，那这时候的角三等于角角五加角六，对不对？角五又跟角四相等，所以它会等于 一百八十度扣掉角五，再扣掉角六啊，那就等于一百八十度扣掉括号，一百八十度扣掉阿尔法，再扣掉贝塔，所以它就等于 你去括号的时候要注意什么。哎，编号啊，一百八十度减去一百八十度，再加上负的正吗？加上 alpha， 所以 结果是 alpha 减去 beta。 ok， 那 这一道题解答的过程就是这个样子的，那么这边我们要记住这个模型，猪蹄模型好，这两个小角等于中间这个大角，或者也可以叫燕尾模型，因为它像燕子的尾巴，对不对？ ok， 这道题就讲到这里。

好，同学们，今天我们来看一道初一下册期中期末必考的题型，我们平行线的综合大题，那做这种题的话，我们说辅助线是我们的难点，但是我们目前为止遇到的辅助线最常用的一个 方法就是过拐点去做它的平行线。比如说我们来看一下第一题，他说如图一 ab 平行于 cd， 这两条直线是平行的角， b、 e、 p 这个角他说等于二十五度 角， p f、 d 等于三十度，也就是这个角等于三十度。要我们去求 e、 p、 f 的 度数， 那相信熟悉模型的同学的话，应该很容易能够看出来，这是一个我们之前有说过的猪蹄模型，猪蹄模型的话，它的结论是我们的 e、 p、 f 这个角应该等于 p e、 b， e p 加上 p f、 d， 所以 说这里的度数的话就应该是二十五度，加上三十度等于五十五度。 第一道题非常简单，但是如果不熟悉模型的同学，我们来看一下应该怎么去处理这一道题。我们说辅助线最常用的方法是过拐点做平行线，那这里的拐点的话就应该是我们的 p 点。 来我们看一下过 b 点去做 p、 n 平行于 a、 b 的 话，那相应的我们的 b、 e、 p 和 e、 p、 n 这两个角是互为内错角的，所以说应该相等。这个角是二十五度，那这个角也应该是二十五度。 a、 b 跟 c、 d 平行， p n 跟 ab 平行，那通过平行的传递性，我们知道 p、 n 跟 c、 d 也是具有平行关系的，所以说我们的 p、 f、 d 跟我们的 f、 p、 n 这两个角是相等的，那这里是三十度，这里也应该是三十度，所以说大家会发现我们的 e p f 这个角还是等于二十五度加三十度。 这是第一道题。好，接着我们来看一下第二题。第二题他说如图， a b 平行于 cd， a， b 跟 cd 平行点 p 在 直线 ab 上方，角 a， e p 大 于角 c f p 探求角 b e p b e p 这个角， 角 p f d， p f d 这个角和我们的角 e p f e p f 这个角这三个角的数量关系。 那我们刚刚做的第一道题，我们说辅助线的画法是不是很简单，过拐点做平行线，那这里的拐点还是我们的 p 点，所以说我们也可以去过 p 点画平行线。那相应的，如果我们让 p n 跟 ab 平行的话， p n 跟我们的 cd 也是具有平行关系的。 大家观察一下，我们要找的是这三个角的关系，根据直线平行的话，我们可以把这个角转化到 这里来，这个角转化到这里来，那图中这三个角的数学关系是不是很明显？我们的 n p e 加上 e p f 应该是跟 npf 相等的。所以说做这道题转化回来过后，就应该是 p e b 加上 e p f 等于 p f d， 这是我们这三个角的数量关系。那来看一下过程怎么去写 解。第二小问，刚刚我们得到的结论是，角 p e b 加上角 e， p f 等于角 p f d。 首先证明过程啊理，理由如下， 既然做了辅助线，那我们就得先去描述辅助线。辅助线是过点 p 做 p n 平行于 ab， 那 p n 跟 ab 平行的话，得到的是我们平行， ab 得到的是我们的角 n p e 跟我们的角 p e b 是 内错角相等的。接着因为 ab 平行于 cd， a b 跟我们的 p n 也平行，所以说我们说平行于同一条直线的两直线相互平行，那 cd 跟我们的 p n 也是具有平行关系的。 这两条直线平行的话，我们得到的是 p f d 这个角跟 n p f 这个角相等，那就是角 n p f 等于角 p f d。 好， 现在转化角已经完成了，我们根据图上知道角 n p e 加上角 e p f 的， 所以说来看一下啊，角度之间的转换。 npf 是 不是就是 p f d 刚刚证明到的，所以说 npf 就是 我们刚刚证明到的角 p f d 等于 np e n p e 刚刚证明到的，是跟我们的角 p e、 b 相等。还有一个角是 e p f 就是 我们要找的关系的角加上角 e p f。 大家看一下，这样的话，我们这三个角之间的数量关系是不是就找到了？ 那接下来我们来看一下第三问，第三问，他说如图三， a b 平行于 c d。 大家会发现这三个题他们是不是都有说 a、 b 跟 c、 d 相平，相互平行，那接着点 p 在 直线 a b 上方角 a e p 的 角平分线， 这里出现了一个角平分线。我们说遇到角平分线这种的话，我们一般情况下就可以利用这种特殊的角去设未知数，这里既然是角平分线，那我们可以让他们 都为 x， 那 还有一个角平分线 d f p d f p 是 这个角，说明这两个角也是相等的，那我们可以用另一个字母去表示， 假设他们都是 y， 他 说他们两个的角平分线相交于点 g g 点。在这里 请直接写出角 e p g 和 e g f， 也就是这个角和这个角它们两个角的数量关系。大家观察一下这道题， g 点和 p 点它们两个都是拐点对不对？所以说我们辅助线的话，这里跟刚刚还是一样的，过 p 点和 g 点把我们的平行线做出来，那假如这边是 g， 这里是 l k， 也就是过 p 点做 p g 平行于 ab， 过 g 点做 l k 平行于 ab。 那 大家看看啊，我们 g p 跟 ab 平行的话，可以得到这个角和这个角应该是相等的，那这个角是不是应该是由一百八十度减去这里的二 x， 所以 说我们这一个角应该就是一百八减去二 x。 接着要表示这个角的话，我们应该是根据刚才第二题的经验，我们是由这个大的角去减去这个小的角， 这个大的角的话，由 p g 平行于 cd， 会发现跟我们这个角应该是又互为内错角的，所以说这个大的角应该是二 y， 那 我们的 角 e p f 的 话，就可以表示成二 y， 减去一百八十度，减二 x。 化简一下这个式子，那就是二倍的 x 加 y 的 和减去 一百八十度，这是我们上面 e p f 这个角，接着还有一个角我们的 egf， 大家观察一下 egf 这个角是不是出现在我们这个平角上，如果说我们能把这个角和这个角分别给表示出来的话，那相应的这个角我们就可以用一百八去减去这两个角了。 根据我们的 cd 跟 ab 平行，那可以得到 l k 跟 cd 也是相互平行的，所以说这个角的话跟这个角是 同位角，那这里是 y 的 话，这里也应该是 y， 相应的这边也是一样的，这个角跟这个角也是同位角，那这里是 x 的 话，这边应该是 x 了，那我们的 e、 g、 f， 我 们说可以用 一百八十度减去 x， 再减去 y， 所以 说就应该是一百八十度减去，那观察一下啊，我们这里是 x 加 y 的 和，如果说我们要去找它们两个的数量关系的话，那就必须把它们表示成同一个式子， 比如说这里是 x 加 y， 那 我下面也得去找到 x 加 y， 会发现提一个符号出来，就变成了 x 加 y， 那 怎么去表示这两个角的数量关系呢？虽然我都能用 x 加 y 给他们表示出来，我们可以先把 x 加 y 用一个角表示出来，比如说我表示下面这个角 x 加 y， 就 应该等于一百八十度减去角 egf， 那相应的我可不可以把这个 x 加 y 带到这里面去，就可以得到我们的角 e、 p、 f 应该是等于二倍的 x 加 y， 那 就是二倍的哦，一百八十度减去角 egf， 接着再减去一百八十度，化解一下这个式子，那就是这里三百六减一百八，还剩一百八，这里二倍的负的二倍的角 egf。 所以说这两个角的数量关系是不是就能够找到了？那大家也可以把我们这个角挪到这边去，那就变成了角 e、 p、 f 加上二倍的角 e、 g、 f 等于一百八十度。这就是我们第三问，直接去写出我们这两个角之间的位置关系。那我们一起来看一下我们刚刚讲的这三个题啊， 他们大会发现都有一个一样的大前提，有一组直线平行。我们说遇到这种题的话，首先去观察一下我们的图像是怎么样的， 这里 p 点，这里 p 点，这里 p 点和 g 点大会发发现他们都是这样凸出来的，那这种点的话我们称为拐点。 遇到这种点的话，我们通常的方法就是去把平行线相应的画出来，再去观察里面的一些角度关系，那就是我们做这种平行线的综合大题的一个技巧。

工大附中最新的月考压轴题，上周刚考过的平行线与转角结合的，我们一起来看一下。先读题，两条互相平行的观测轨道， e f 和 m n 标记平行， 有一个望远镜在 a 处，从 a f 发出射线，旋转旋转到 ap 啊，顺时针转速度为三，那立马用三 t 表示 f ap， b q 呢？从 b n 出发，逆时针转速度为五，立马标记五 t。 还告诉我们， f a、 b 是 六十度，两直线平行，内错角相等，同旁内角互 当 ap 转至与 a e 重合， ap 从 af 出发，转到 a e， 那 转到这么个角就是一个平角， 此时两个镜两条射线就同时停止转动，转了一百八十度，速度为三，立马算出六十秒啊，整个旋转过程是六十秒啊！来看第一题， t 等于二十二秒的时候， b a、 p 是 多少三 t 啊？我们知道角 f a p 是 旋转角，是三 t， t 是 二十二，就等于六十度啊，六十六度， 那我们的 f、 a、 n 在 这里来表示是六十度。当 a p 转到六十六的时候， p 就是 在 a b 的 左侧，整个大的是六十六旋转角，那剩下的 b a、 p 就是 六十六减六十了。 b a、 p 是 六十度， 我们的角他问 abq， abq， 他 就跟 nbq 有 关。角 nbq 是 旋转角，是五 t， 五乘二十二是一百一十度，整个大的是一百二十度，他转了一百一十度，这是 q 问 a b q， 那 不就是大的一百二，减小的一百一就是十度吗？这两个比较简单啊，相信同学们做起来都没什么压力，关键是第二问， 第二问，我们已经已经习惯了，就知道要分类讨论了吧。我们先看一下题吧，在某一时刻， abq 等于三倍的 bap， 哎，那就是第一问中的两个角吧。我们知道这两个角跟旋转角有关，表示 abq， 表示 bap。 我们观察一下， p 在 a b 左侧，这个旋转角是三 t， b， a p 就是 六十减三 t 了，大的是六十嘛。如果 a p 在 这个 b a 的 左侧， 大的变成了，哎，我们在这画吧，这个是六十，大的是三 t， 那 b， a p 变成三 t 减六十了，所以表示角 啊。方法，这个表示角的结果不一样， a p 在 a b 的 左右侧和左侧不一样，那我们只知道这个角是六十度，六十除以三是二十。二十秒的时候， p 在 a b 上，那二十秒就是分界线， 这个是一百二十度。 q 与 ab 重合同里，在 ab 左侧，在 ab 右侧表示 ab q， 它的这个表示情况也不一样，那算一下，一百二除以五等于二十四秒。刚才也算过，整个旋转过程是不是一个六十秒呀？ 来，那我们就第一种情况， t 大 于零，小于啊，等于二十秒的时候，我们来画个图算一下，此时 a p 没有越过 ab， b q 呢， 也没有越过 ab， 那 我在这画吧，六十和一百二啊，我们记住就不画了，不太清楚来， p 在 这个位置， q 呢，也没有越过， 从始到终三 t， 从始到终五 t， 此时的 b， a p 就是 六十减三 t， 此时的 a， b q 就是 整个是一百二，一百二减五 t。 题目说了， a， b p 等于三倍的 b， a p 直接写等量关系， a， b q 是 一百二减五 t 等于三倍的 b a p， b， a p 是 六十减三 t。 好 解一下， 一百二减五 t 等于一百八减九 t 减九 t 移过来加九 t， 这是负五 t， 一 加是四 t， 一 百二移过去一百八减一百二，是一个六十 t 就 等于十五秒。好的，第一个题目结束，来，我把图一擦，继续来， 当我们的时间。 t 啊，大于二十秒，小于，哎，二十四秒。也就是说 p 越过了 ab， 但是 q 呢？还没有越过 ab。 好 的，小小的是六十度大，大的是三 t 旋转角， 那咱们的 b a p 就是 三 t 减六十，这个旋转角是五 t， 大 的是一百二十度小小的就是一百二减五 t 了， 它说的是 ab， q 等于三倍的 b a p， ab q 是 一百二十减五 t 等于三倍的 b a p， b a p 变成三 t 减六十了啊，大小的关系变了，表示角的方式，这个多项式也变了，那整个式子就不一样了，九 t 减一百八， 九 t 移过去负五 t 减九 t， 负十四 t 一 百二，移过来减一百二，一百负一百八减一百二，负三百 t 就 等于啊，同时除以负负得正十四分之三百，约分除以二七七分之一百五十七分之一百五十是。简单算一下， 就是二七一百四啊，是二十多，二十四间，二十四之间可以要来擦掉。 再有一个时间。第三种情况， t 是 大于等于二十四了，也就是说 a p 过来了， b q 也过来了， ab 的 左边来了吧？那小于等于它，咱们刚算过了， 是一个啊，六十秒，大于二十四，小于六十秒， 都到左边来了。来，这个是六十度，没问题，这个是三 t， 那 小小的 b a p 还是三 t 减六十，此时 q 过来了，那这么大角， 从 b n 到 b q， 这个大的是五 t， 里边这个一百二是固定的，剩下的就是五 t 减一百二了。那此时的五 t 减一百二是我们的 a b， q 等于三倍的 bap， 三倍的 bap 是 三 t 减六十，算一下，五 t 减一百二等于九 t 减一百八，九 t 移过去，五 t 减九 t 负四 t 一百二移过来加一百二是负六十 t 还等于十五秒。但是我们发现明显不满足二十四和六十秒啊之间的这个范围吧，那它就需要给它 舍掉了。也就是说，在这种情况下， ap 在 ab 右侧， b q 也在 ab 右侧，不可能实现 ab， q 是 三倍的 b a p， 所以我们最终就是 t 等于十五秒或其分之一百五十秒时啊，满足提议 我们来总结一下啊，做这种题的三个步骤，第一题，一擦。第一步，旋转。不管是平行线与旋转还是简单的旋转，我们都用 t 先去表示 旋转角，毕竟 t 就 跟旋转角有关嘛。最后又求 t。 第二个，再用角之间的关系去用 t 表示相关角， 这里面 a b， q， b， a， p 就是 相关角。第三个，根据题目给的等量关系，我们列等式，列含有 t 的 等式，其实就是列方程嘛，用方程法解决问题。

初一必会五大角度模型，猪蹄模型、铅笔模型、牛角模型、骨折模型、双拐点模型。初二 必备三大最直模型，将军印马模型，将军六马模型，将军造桥模型。初三瓜豆和阿士圆模型，你会了吗？