初一下册数学冀教版第二章基础题

将军一马求坠子，堪称初一下册考试当中的绝对拉分神器，很多同学看到这例题都无从下手，是因为你没有通透，将军一马的核心本质就是通过做轴对称去转移我们的边来，同学们，今天徐老师带你用一道月考真题， 彻底通透我们将军一马的两动一定模型。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样说的，首先呢，告诉 b， a d 这个角呢，等于一百三十度，然后呢， m 点和 n 点啊，是两个边上的两个 动点，好题目，求的是什么呢？当这个三角形 a， m， n 啊，再加上角 a n m 这两个角之和应该等于多少？ 徐老师已经把初中阶段将军驿马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题，优中选优，讲练结合，整理成了将军驿马专题电子白，需要的家长我发领一份 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊。首先呢，这道题告诉 m 点和 n 点呢，为两个动点，对吧？哎，这个点是动点啊，这个点呢也是动点，好很明显， a 点呢是一个 定点。那么这道题呢，最后求的是这三个点所围成的三角形的周长最小的时候啊，这两个角度之合应该等于多少是吧？这道题呢，是非常明显的一道相距一码的两动一定模型， 那么对于两动一定模型，它的核心思想呢，就是要把这三个边呢转移成这样的首尾顺次连接的折线段是和最小，对吧？最后一步，两点之间线段最短，就可以找到我们的最小值。那问题的关键是 如何去转移呢？来，其实非常简单，就是过定点向定直线做对称点。来，这里的定点是 a 点，就一个点好，定直线呢？ m 点在定直线 bc 上运动啊，一条。好。第二个呢， 动点 n 点在定直线 c， d 上运动，所以呢，有两条定直线，所以这道题我们什么应该过这个定点向这两条定直线 bc 和 cd 做两次对称点，没问题吧？好，来，我们一起来做一下哈。啊，第一个，哎，我先过 a 点向我们的 bc 边 做对称来，这个点是我们的细点。好，第二个，我再过 a 点向 cd 边也做 对称，这个就是我们的细点，对吧？好，所以第一步好，总结一下，先做对称点。那么做对称点的目的呢？就是为了第二步 and 就 可以转移边， 哎，我们说要把它转移成首尾顺次连接的，对吧？ a 和 p 关于 b， c 对 称，那么这个时候呢，我的 am 边就转移成了 pm， 对 吧？好。第二个，同样我的 a 和 t 关于 cd 对 称，那我的 a， n 呢？就转移成了 nt。 来，同学们再来观察，本来我是要求中间这三条线段之和的最小值啊，转移之后，你看它等于它， 他等于他就变成了这样的首尾顺次连接的折线段之和最小。哎，我们的目的呢，就已经达到了，对吧？好，那最后一步，我们说两点之间线段最短，所以，好，我们第三步 就是什么去给它连接啊？连接来连接首尾的两个定点， p 点和 t 点连接 pt 之后来它们什么当 pmnt 四点共线，就由我们的最小值来。这个点呢，就是我们的 m 点啊，我们称为 m 一， 这个交点呢，是我们 n 点，我们称为 n 一， 所以呢，我们最短路径就找到了哈。哎，所以应该什么从 a 点到 m 一， 再从 m 一 到我们的 n 一， 哎，再从 n 一 呢？回到 a 点，哎，这个三角形它的周长就应该是最小，那么所以这个时候呢，我们这两个动点就给它确定了啊，在这两个地方，好，这两个角度，我们再找一下，一个是 amn 这个角，对吧？一个是 a n m， 一个是这个角，那这两个角度之合该怎么算呢？来，回到我们的已知条件题目当中，只告诉我们一个角度关系，就是 b a d 等于一百三十度，来，它等于一百三， 对吧？好，我要求这两个角度之合，那你很明显，这两个角正好在三角形 a m n 当中，哎，我要求这两个内角，我只要把这个小角求出来了， 用一百八三角形内角和一百八吗？减去这个小角，剩下就是这两个内角之合，对吧？来，他怎么求呢？对吧？再观察 这个小角，正好又在这个大角的内部，哎，我知道这个大角等于一百三，我只要把旁边的两个小角来，一个设为 r， 一个设为我们的贝塔，哎，我只要把这两个小角之合求出来， 用一百三减去这两个小角之和，剩下的就是我们的中间角，对吧？好，所以关键是求阿尔法加贝塔应该等于多少 来，如何求什么？哎，目前这两个位置是肯定求不了的哈，那么这道题的难点之处就是要倒角，哎，什么叫倒角呢？需要把这两个角进行一个转移，怎么转移来，我们做了轴对称啊，就有对应边和对应角是相等的，你看 a 和 p 是对称的，对吧？所以阿尔法呢？我们可以转移到这个角，没问题吧？好，然后呢？ a 和 t 也是对称的，所以这个角贝塔呢？可以转移到这个角。 ok， 好， 我要求这两个角之和， 现在就变成求这两个角之和来，再观察他们这两个角正好在三角形 a， p， t 当中，三角形内角和等于一百八，那这两个角呢？正好是两个内角，对吧？我只要减去 这个大角，剩下的就是这两个角，哎，大角题目告诉我们等于一百三十度，所以呢，内角和等于一百八，一百八减去一百三， 就等于这是五十度，是不是五十度？哎，来，他两个角是和为五十，所以这两个角是不是出来了来，所以角 m a n e 就 等于一百三， 再减去五十度就等于是八十度啊，所以这个角出来了，它为八十度，那剩下这两个角， 哎，一样的，在这个三角形当中，内角和一百八减去这个小角，所以，哎，角 a， m e， n e 再加上角，我们的 a n e m e， 哎，就等于内角和一百八，减去上面这个小角，剩下就等于一百度，对吧？所以这两个角是和应该等于一 百度。哎，这道典型的将军一马求坠子，你听懂了吗？来，关注徐老师，数学满分，不迷路！

将军一马模型求最值，一定是我们出一下考频最高但得分极低的一类填空压轴题，很多同学看到这例题都无从下手，正确率 不到百分之五。他的难点之处有两个，第一个不会构造线段，第二个很多同学不会通过倒角去找我们角度的关系来，同学们，今天徐老师带你用一道经典的月考真题，彻底通透将军一马的两定移动模型。好吧，来，我们一起来分析下这道题。 题目是这样说的，他说角 a、 o、 b 呢，这个角是等于四十度的好，那 n 点和 m 点呢？分别是两个边的动点啊，他是动点，他呢也是动点好，这里的 p 点呢，是一个 定点。当这三个点所围成的三角形的周长有最小的时候，来，让你去求我们的角度，这个时候最小的时候， m、 p， n 啊，这个角应该 多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题，优中选优，讲练结合，整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，首先呢，这道题告诉我们 n 点和 m 点呢，这两个点呢，是动点好， p 点呢，是一个定点对吧？好！题目最有求的是，当这三个点所围成的三角形的周长有最小的时候啊，求我们叫 m、 p、 n 应该等于多少？那么这道题呢，是一道非常典型的将军一马的两动一地模型，那么这个模型的核心思想呢，就是要把我们这三条线段呢转移成这样的， 首尾相连的三条折线段之和最小。要根据两点之间线段最短呢，找到我们的最小值， 如何去转移呢？其实方法呢，也特别简单，就一句话叫做过定点向定直线做对称点。来，这里的定点是我们的屁点啊，定直线呢，是 o b 和我们的 o a， 对 吧？那所以呢，有两条定直线，我们应该过这个定点。屁呢，做两次轴对称进行转移。来，我们一起来做一下啊，这第一个先过屁点向我们的 o b 做一条轴对称。好，你看，这个是我们的呃， q 点啊， p 和 q 关于我的 o b 是 对称的，那同样再过 p 点呢？关于我们的 o a 呢，也做一次轴对称来，这是我们的 s 点。好，第一步做了轴对称之后，第二步我们就可以转一边了，因为 p 和 q 是 关于 o b 是 对称的，对吧？来，所以呢，我们的 n p 这个边呢，就转移到了 n q 啊，这两个边是相等的，对吧？好，同样我们下面这个边 m p 呢， 就转移到我们的 ms 啊，这两个边也是对称相等的，你看没有。好，本来我们是要求中间这三条 线段之合的最小，好，转移之后呢，就变成了这样的，首尾相连的三条折线段之合，求最小，对吧？是吧？来，什么时候它们三个之合有最小呢？哎，应该是当我们的 q、 n、 m、 s 四点 贡献有最小值，对吧？那什么时候的贡献呢？我们说两点之间线段最短来，所以最后一步呢，我们直接去连接首尾这两个定点就可以了，对吧？好，那么你看 q n m s 四点贡献，那所以这个时候呢，我们的 n 点在这啊，就是我们的 n 一，好，这个小点呢，就是我们的 m 点，哎，我们设为 m 一， 对吧？哎，我们就把 n 点和 m 点找到了，那么接下来我们的路径就出来了，从细点先到 n 一， 再从 n 一 到我们的 m 一， 好，再也从 m 一 呢，回到我们的系列，对吧？好，这个三角形的周长就一定是我们的最小值，那么还没有完哈，题目求是，这个时候呢，最小的时候，我们的角 m p n 来， m p n 这个角应该 等于多少？来，我们再回到题目当中的已知条件，题目告诉我们的角度就只有一个，就是我们角 a o b 等于四十度，来，这个角等于四十度，好，我最后求的是这个角，那肯定跟这个唯一的角 是有关系的，对吧？来，首先呢，我们要求这个角，我们应该先把这个大角给它求出来，因为这个小角呢，是包含在这个大角内部的，对吧？来吧，这个大角呢，就是我们的角 q ps， 来，角， q ps， 我 们该怎么去算呢？好吧，来，能不能一眼算出来，很简单哈。哎，首先这两是对称的，所以这个是垂直的，对吧？ p 和 s 也是对称的，所以这个角呢，也是九十度，你看，正好在这个 四边形当中，哎，我们这两个角是互补的，都等于九十度，对吧？那么四边形内角和等于三百六，所以这个角跟这个大角呢，正好也是互补的，对吧？来，所以呢，我们的角 q p s 就 等于一百八十度， 来，减去我们的四十度，应该等于一百四十度，对吧？好，这个大角就出来了，接下来我们只用把这两个小角设为 阿尔法，这个角呢，设为贝塔，对吧？哎，这个大角已经知道了，为一百四，再减去这两个小角之合，剩下的就是我们中间的这个角，好来，怎么去求呢？最后一步哈，我们只要把阿尔法加贝塔这两个角之合算出来是不就可以了？来吧，怎么去算呢？ 哎，这里呢，用的我们舍而不求思想啊，这两个角我们不用分别算出来，哎，我们只用算这两个角是和，那如何去转移角呢？大家看一下， p 和 q， 因为是对称的，所以这个角呢，我们可以把它转到 这个地方，对吧？哎，它们是对称相等的啊。第二个 p 和 s 呢，也是对称的，那所以贝塔这个角呢，同样我们可以转到这个地方来。看吧，你看，转移之后，我们就把这两个角转到这个地方来了 啊，现在呢，这两个角正好是这个大三角形的两个小角，我要求这两个小角 之合，哎，我只要知道这个大角用一百八，因为三角形内角和等于一百八，一百八减去这个大角就是这两个小角之合，对吧？这个大角你看，正好我们第一步就已经算出来了，等于一百四啊，所以 r 加贝塔就等于内角和一百八， 减去大角一百四就等于四十度。 ok， 好 的吧，来，这两个角是合，是不是出来了？所以，哎，我们的角 m p、 n 就 等于大角，减去两个小角是合来等于一百四，减去四十度就等于一 百度。所以这道题的最终答案就应该等于一百度啊。知道，典型的将军一马的两动一地模型，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

一句话带你看清七下技巧版课本重难点，这是七下的大纲，总的来说呢，包括四个计算，六大公式，一个变换，一个关系，一个图形和一条线。 代数层面呢，四大计算是核心，这四个计算分别包括了二元一次方程组、整式乘法、因式分解和不等式。 对于二元一次方程组呢，部分学校是在上学期的学习末是已经学过了，这块有两方面的要求，第一个在计算加减消元，代入消元呀，要快要准。那么另外一个呢，对于应用题关系，等量关系的寻找上也要做到足够熟练。 所以对于这个二元一次方程组，一方面练应用题，对于七上的期中呢，会有一道关于二元一次方程组的一个应用大题， 分值还挺高的。好，这是对于二元次方的组。接下来是整式乘法，整式乘法就包括咱们说的六大公式密的运算和完全平方平方差。 关于这个整式乘法，一方面就是正向应用，我们要做到快准，那么同时逆向的应用也要灵活，尤其是关于两大公式的应用里头，完全平方他在考试当中会有一类题型叫知二推二啊，这类题型是属于期中期末，如果一旦学到了，就一定是必考的题型， 所以我们也需要去做一些重点的练习。好，那么接下来呢，就是英式分解，英式分解呢，就是起起到一个承上起下的作用。咱们学完了整式乘法之后， 紧接着就是英式分解，他俩是互为逆运算，其实英式分解他就是整式乘法的一个逆向的应用。英式分解在学校的校考当中呢，其实考的不算难，属于是基础计算，但是他会对接下来的学习会起到关键期的作用，他会对八上的分式 和九年级的一元二次方程的计算会很关键。有的同学说分式不太行，其实不是分式不行， 是英式分解不行，导致你的通分约分这块也快不起来。所以在英式分解这个地方呢，我们要做大量的练习，把它的方法学到位了。好，接下来就是不等式，其实不等式的学习和二元一次方程组的学习，咱们要去对比学习， 他俩仅仅是关系上的不一样而已，方程表示的是等量关系，而不等式表示的是不等关系。所以我们对于不等式的一个掌握和方程一样。第一个是计算，我们要设去掌握一元一次不等式的计算和一元一次不等式组， 那么同时第二个我们要学会去在应用题当中去找到不等关系。所以家长们应该知道，对于这块内容，我们需要重点训练什么。在期下的期末呢，会有道大题会去考，方程组和不等式的综合难度不小，分值也不少，哈哈， ok， 这是咱们的代数核心四大计算，接下来呢就来到一大变幻， 一大变换就是咱们的平移。初中三大几何变换，分别是平移旋转和对称旋转，咱们七上学过了，同学们可以感受一下，七上旋转怎么考，七下的平移就怎么考，它一般会跟这个几何里头的平行线和三角形结合在一起，考上咱们动态压轴哈。 接下来一个关系，一个关系就指的是咱们的一个平行线了，因为平行是指的两支线的一个位置关系嘛，平行线这个地方，我们需要熟知的是一些倒角模型啊，比如说常见的铅笔、猪蹄，这些都是拐点模型，需要同学们去做大量的练习。接下来就是一个图形，一个图形就指的是三角形， 三角形是咱们初中接触到的第一个特殊图形，在这块我们需要去通过三角形的内角和外角 去导角啊，建立起来一定的导角思维。平行线是咱们七下的第二章，而三角形是倒数第二章，所以平行线他一般会作为期中考试的一个压轴考点啊，动态压轴， 而三角形呢，它会作为期末考试的一个动态压轴考点，是这两个几何的一个位置。接下来还有一条线叫角分线，其实三角形当中呢，我们要学的是中线、高线角分线，但是为什么单独把角分线拎出来说呢？因为角分线很重要，它会贯穿咱们整个初中三年的倒角，尤其是涉及到多角分线，咱们要去干什么呢？ 设圆，设圆导角，如果是平行，就根据平行的性质去列方程，如果是三角形就找到三角形去列方程这块非常的重要，那么同样这个角分线和这个平移也是一样，它会去融合在平行和三角形当中， 作为咱们的一个效考几何压轴的一个题型来出现。整体来说呢，就是关于技巧版课本期下的一个重难点。

每天练一题，今天有个初一的小朋友来问我这一道题，那我们大家一起来看一下题目。已知条件， l 一 平行 l 二，做题习惯好，先把条件给它圈起来，然后我们再来看问题说，若角一等于一百五十度，角二等于四十五度，然后求角三，哦，那么角一是一百五十度的话，我们可以推出它的这个 菱角，对不对？相邻的角，这个角跟它是什么关系？互补，那它就等于假设我们这个角四的话，角四就等于三十度，对吧？然后再来角二等于四十五度，求角三，那么如果熟悉这个题型的话，他可能一下子就可以算出来了几度，哎，七十五度对吧？那我们把这个模型给它处理出来给大家看， 就是在一一条两条平行线中出现的一只一个蹄子，一个猪蹄子。好，来看一下， 也就是说在平行线里面，本来我们一条线是这样子，两条直线被第三条线所截，那么这一条截线关了的话，就出现一个什么拐点，拐点这一个角拐点会中间会有一个角，那么这个角跟上面跟下面两个角有什么样的关系呢？角一，角二，角三，哦，那探求他们的关系，我们只需要在这里做一条跟他们 l 一 跟 l 二平行的一条平行线哦， l 三跟他们平行，那我们就可以把角三拆成两个角，假设这个是角四，这个是角五，那么四跟一就会相等，五跟二就会相等，所以我们可以得出角三等于角一加角二，那么前提是什么呢？ l 一 平行 l 二，对吧？然后加中间有个拐点，假设的这一个是 p， 所以 因为要平行他，那我们做辅助线做 l 三平行 l 一， 那也就是他们三个都会相互平行好过点，你也可以写详细一点，过点 p 做这个 l 三平行 l， 平行 l 一， 所以我们就可以得出这个结论。那么同理我们来看一下怎么来写呢？第一个因为 角一等于一百五十度，所以角四就会等于一百八，扣掉一百五就是三十度，对吧？然后接下来我们就因为这是在几何证明题里面，我们不可以直接用那个结论，要去整哈，这个是 l 四，好，接下来就过点 p 做 l 一 的平行线， l 四好使得 l 一 平行 l 二平行 l 四。所以这时候我们就可以得出，假设这个是五，这个是六，那角四或者角五等于角四等于三十度，然后角二 等于角六等于四十五度。好，那这边没有说，我们就把它补充上去，角二等于四十五度，包括 l 一 平行 l 二，好补充，然后我们就可以得出，所以角三等于 三十度，再加上四十五度等于七十五度。 ok， 第一道题解决，那么第二道题是很常见的，我们在做几何证明的时候，它经常是第一小题给你数字，我们可以直接带进去，对不对？那第二小题的话，它就给字母了，把字母当做数字直接带进去，我们也可以解决第二种类型，第二种题哈，来第二题的话，同样还是 过那个点做它的平行线，对不对？然后现在一变成了 alpha， 那 四就等于一百八，扣掉 alpha， 对 吧？好，那现在要求的是角 a p c 加上角 b p d， 也就这个角跟这个角，那么这两个角跟角三有什么关系呢？哎，加上角三之后，他们会是一个平角一百八十度，所以我可以先求谁？哎，角三对不对？就做角三，扣掉一百八，扣掉角三，不就得到这两个角的和吗？那我们同样的由一得，因为你第一题已经做辅助线了，第二题就没有必要再做了，对不对？然后由一得 l 四，平行 l 一， 平行 l 二，好，又因为角一等于阿法，角二等于贝塔，对吧？所以角四就会等于一百八十度扣掉阿法，然后这时候的角六就会等于角二等于贝塔。 ok， 那 接下来的话， 我们把这两个角带进去，所以角 a p c 加上角 b p d 就 会等于一百八十度扣掉角三，那这时候的角三等于角角五加角六，对不对？角五又跟角四相等，所以它会等于 一百八十度扣掉角五，再扣掉角六啊，那就等于一百八十度扣掉括号，一百八十度扣掉阿尔法，再扣掉贝塔，所以它就等于 你去括号的时候要注意什么。哎，编号啊，一百八十度减去一百八十度，再加上负的正吗？加上 alpha， 所以 结果是 alpha 减去 beta。 ok， 那 这一道题解答的过程就是这个样子的，那么这边我们要记住这个模型，猪蹄模型好，这两个小角等于中间这个大角，或者也可以叫燕尾模型，因为它像燕子的尾巴，对不对？ ok， 这道题就讲到这里。

将军一马求坠子一定是我们初一下册考平最高但得分极低的一类填空压轴题，很多同学看到这例题都无从下手，正确率不到百分之五。他的难点之处呢，有两个，第一个，很多同学不会通过做轴对称去构造我们的 辅助线啊。第二个难点之处呢，很多同学不会导边和导角，得到我们的边和角的关系来，同学们，今天徐老师带你们一道月考真题，彻底通透将军印满里面的两栋一定模型。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样做的，他告诉我们 a、 c、 b 哈，第一个，这个角呢，是等于 九十度好，第二个， a、 d 为角平分线，所以呢，这个角一和角二是相等的好。接下来 a、 c 边等于三， bc 等于四， ab 边斜边等于五，那 p 点和 q 点呢？分别为两个 动点好，题目最后求的是 pc 再加 p q， 这两个边之合的最小值应该 等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题，优中选优，讲练结合，整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这个题啊。那么这道题呢，主要考察了我们将军一马里面的两动一定模型。来，同学们，我们先来简单回顾下这个模型的构造方法 和技巧。好吧，来看第二个图，那么这个模型呢，是这样描述的，他说 b 点是直线 l 一 上的一个动点， c 点呢，是直线 l 二上的一个动点啊， a 点呢，是一个定点来，所以呢，这里面 b 和 c 有 两个动点，有 a 点呢，一个定点。好，最后呢，题目求的是 a b 加 b、 c 这两个边之合有最小值的时候，来，我们这两个动点 b 和 c 应该在什么地方？那什么，我们先观察一下哈，这里的 a、 b 和 b c 有 什么样的位置特点，那么这两个线段都在我们直线 l e 的 是不是下巴？哎，所以呢，我们说这两条线段应该是同侧线段，我们初中阶段只要遇到求同侧线段之合的，注意下是来方法其实特别固定啊，就是把同侧 通过轴对称，把它转化为我们的异侧线段啊，如何转换呢？过定点向定直线做对称点啊，进行一个转移来，这个定点是 a 点啊，定直线是我们的 l 一， 对吧，所以呢，我应该过 a 点向 l 一 来做对称点来说，这个点是我们的 细点啊， a 和 p 关于 l 一 是对称的，来，接下来，那我 a b 这个边，我们就可以把它转移成我们的 p b， 对 吧？这两个边是相等的，你看转移之后呢，一个边在上方，一个边在下方，这不就异侧线段了吗？对吧？好，接下来我要求这两个异侧首尾相连的折线段之和最小。那很简单，你看到 p、 b、 c 三点共线是不是最小了？ 那是什么时候能共线呢？这个模型最难的一步，哎，最容易出错的一步就是最后一步。好吧，大家思考一下， p 点应该是一个 定点啊，因为 a 是 定点对称以后呢， p 点肯定也是定点， c 点呢，是个动点，那什么时候有最小呢？来，哎，要让 pbc 三点共线，它有最小值来，所以最后这个模型呢，就转移成这样的一个定点到一条定直线最小了，因为你看 p 点， 这是定点。好，这个 c 点呢，在定直线 l 二上运动，对吧？那就变成了一个定点到一条定直线最小。那什么最小呢？应该是做垂线段，应该是最短的来，所以最后一步啊，要让 p、 b、 c 三点空线，我应该过定点 p 向定直线 l 二做 垂线啊，来，做垂线，看到垂足点就是我们的 c 点啊，这个点就是我们的 b 点，没问题吧？所以当 p、 b、 c 三点共线，应该由我们的最小值，那么这个时候呢，最小值就等于我们的 p、 c、 e 等于这条垂线段的长度。 ok， 好 来，有了这个模型作铺垫之后来这个题就非常简单，好好，题目告诉我们，这里面的 q 点和 p 点是两个动点来， q 点在 a、 c 上动， p 点呢，在 a、 d 上动，对吧？好， c 点呢，是一个 定点。最后的题目求的是 pc 再加 p q， 这两个边之合的最小值应该等于多少来一样的，首先观察一下这两个线段都在定直线 a、 d 的 上方位置 是不是同侧，那么只要遇到同侧，我说立马通过做对称，把同侧转化为异侧，首尾相连的折线段。那么怎么转移呢？ 这道题呢，有一个关键的信息哈，就是 a、 d 是 我们的角平分线，来这里的角一和角二是相等的。如果题目当中有角平分线的话，同学们记清楚了啊，我们就不用再去过定点向定直线作对称点了，因为角平分线它有天然的 对称性，来，我可以根据角平分线，角一和角二相等，直接把 p q 这个边颜色 a d 给它翻折。因为角一和角二是相等的，所以翻折以后呢， q 点是一定落在我们的 a b 边上，比如说 t 点，那么这个时候呢，哎，我再连接 p t， 这两个边就一定是相等的，你看，没有通过翻折对称性把上面的边转移到下面。好，这个时候呢，哎，我们就是异侧线段 p c 再加上 p t 了，没问题吧？啊，这是我们的分析过程。好，下面我们再来 呃，书写一下格式，好吧，哎，我可以在 a b 上截取一个细点啊，怎么写？辅助线哈，是 a t 边等于我们的 a q 边，对吧？我只要让这两个边相等，哎，我就可以找到我们的 t 点。好，接下来我再去连接 pt， 那 么这个时候呢，哎，这两个边就是一定是相等的，对吧？好，这里面呢，有个易错点，同学们告诉我哈，翻折以后，我这个气点，它到底是一个动点还是一个定点呢？ 大家思考下来。这里的气点哈，一定是一个动点啊，为什么呢？哎，因为我们这里什么气是怎么来的？气点是因为 q 点关于 a d 对 称得到的，对吧？那 q 点呢，是一个主动点， q 点在 a c 上动，那所以呢， t 点是一个什么？从动点，那么他动，所以他也是要动的，所以呢， t 点也是一个动点，大家听清楚没有？哎，比如说 q 在 这， 那我们 t 在 这对称以后， q 在 这，我的 t 呢，就在这啊，所以呢， t 是 随着我们的 q 点的运动而运动的。好，所以呢，同学们，这里面的 t 点，哎，它应该是一个 动点，听懂了哈，好，所以最后呢，我们就变成求 p c 再加 pt 这两个边之合的最小值。那么什么时候最小呢？那 c p t 三点共线啊，应该有最小值来，容易错的是最后一步哈，什么时候能够共线呢？ 我们刚刚讲了啊，它是一个定点，最后的气点是一个动点，要让三点攻线，我们就变成了一个定点，到一条定直线最小，那就是垂线段最短了啊，因为气点在 a b 上动，对吧？哎，所以最后一步呢，我直接过定点 c， 哎，向我们的 定直线做一个垂足点，哎，就是我们的 t e 点啊，这个焦点呢，就是我们的 p e 点，对吧？三点共线，好，所以最后什么我们最小值呢？就变成求 c t e 应该等于多少来。怎么求 c t e 呢？回到我们的已知条件啊， b c 这个边等于四， a b 为五， a c 等于三，而且呢，它又是一个直角三角形，哎，相当于我求 c t e， 应该是斜边 a b 上的高，对吧？如何求高呢？来，四个字叫做等面积法啊，等面积法，你看这个直角三角形，我们的面积可以算出来啊， 三是底，四是高，对吧？好，这个呢，哎，我们求 c t 一， 又是 ab 边上的高，我们只要把面积求出来了，底也知道高，不就出来了吗？对吧？来，所以根据我们等面积法，这里的 a c 啊，乘以 b， c， d 乘以高，哎，等于 d 乘以高，对吧？等于 ab， 再乘以 c， t 一 好代值， a c 是 三， bc 是 四好， ab 呢，斜边是五，最后求的是 ct 一， 那所以最后一步 ct 一 就等于五分之十二，所以这道题最后答案应该等于五分之十二。这道将军一马的最值问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

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同学们，三分钟搞定火车陷阱题，我们来看一下，据说这个题啊，有叫托马斯的人开着他的小火车在一个铁路长一千二百米的啊，这个铁路上匀速通过， 火车从上桥到完全过桥用五十秒，整列火车完全在桥上，时间为三十秒，那么求火车的长度和速度。那么这类题我们最好的方式是找出 题目中的两个条件啊，告诉我们的两个条件，这个是条件一，那么这个是条件二。我们如果说把这两个条件给完全的在图上给翻译出来之后，那么这个题就迎刃而解了。 那么既然他让求火车的长度和速度，我们不妨设火车长度为 x 啊，这个这个米火车长度 为 x 啊，比如说为 x 面，那么这里哈，我们设完之后，我们根据第一个条件，火车从桥上到完全过桥用五十秒， 火车完全过桥和完全在桥上，这是两回事。同学们啊，我们来看一下，我们不妨先画一个铁路假设啊，我这里有个铁路 是这样，那么火车完全过桥我们就设啊。同学们，这里掌握一个方法，完全过桥什么意思啊？就是找两个临界点，一开始还没上桥的时候，假设我这个火车是这样的， 还没上桥的时候是这样的，我们先画两个临界状态 是这个，那么此时他用了五十秒，这个五十秒对应的长度是哪个长度？只要你图画对其中，这里老师教给大家一句口诀，叫头找头，尾找尾。比如说这个是火车头， 那么找对应的这个回头头，他出来的头啊，刚进入这个桥是这个头，以及完全出桥是这个头，头找头，尾找尾，那么他们之间的关系是不是这一段距离啊？就是从这一段 我们来看啊，是从这一段到这一段的整个路程长吧，对不对？是这样吧，它相对于这个桥来讲，是不是多了一个火车 x 米的一个长度啊？所以说总长度它就是多少一千二百 加 x 米吧，这个是它的长度除以怎么样？它的时间 啊？长度我们经过了这个路程除以时间是不是等于它的速度啊？火车速度别管怎么开，它是匀速通过，它已经是速度不变了，对不对？所以说我们来看这个数字就应该是一千二百 加 x， 我 除以五十，这是火车的速度吧。我们再来看这个整列火车完全在桥上， 时间为三十秒，我们再画一个啊，这个桥完全在桥上，我们同样画出临界状状态，完全在桥上，也就是说这个火车整体都开入了这个 啊，都进入了这个桥，以及到火车刚要出这个桥还没出的时候，这个是火车完全在桥上的两种临界状态吧，一定要明白哈，这两种临界状态一定要了解清楚，然后还是这样头找头，尾找尾，我们来看一下啊，假设头找头， 这个是头，对不对？那么这个也是火车头吧，所以说火车的怎么样？实际三十秒行走的路程是不是应该是这一段距离？这一段到这一段 是不是应该是这一个长度？我们来看，那么这个长度相对于火这个桥的长度是不是少了一个 x， 对不对？因为火车这里哈我们设的是 x， 长度是不是少了一块 x， 所以 说那么这里它是不是一千二百减去 x 就是 这一段的实际长度吧，那么此时火车所走的路程，它就应该等于 一千二百减 x 除以此时它所用的时间是不是三十，是不是正好等于它的速度， 那么速度横等于速度，我们求出来 x 是 不是就是它的一个长度呀？那么长度求出来了，我们求它的速度是不是只需要把 x 带进去， 算出任意一边就是火车的一个速度了？那么这类题啊，就是火车陷阱题，大家以后啊一定要通过图示法，通过头找头，尾找尾的这样一个方式合理的规避火车陷阱题，大家学会了吗？

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