二次根式比大小八种方法AI解答一下

各位有些知识啊，课本上不讲，但是非常的好用啊，不相信，我们来看看这道题，说比大小，根号二零二七减根号二零二六和这个根号二零二六和二零二五相减，谁大谁小？那同学说，二零二七比二零二六大那么一奶奶啊，他是不是大一零啊， 对不对？他也比他大一奶奶也是大一零，那到底谁更大呢？那有个同学说，蒙啊，可不敢乱蒙啊，数学非常严谨的。那怎么证明谁大谁小呢？各位注意了啊，很重要知识点，两个根是相减的， 他的导数肯定是根式相加这个道二零二七啊，这个道理能不能想明白啊？他的导数颠倒是非的导啊，他的导数肯定是他俩相加， 你说神奇不神奇？二零二七加根号二零二六，那么根式相减的他的导数就是啊，根式相减这么神奇吗？为什么？我们来分析一下啊， 他想减的话，他的导数变成这个样子，分，分母有理化，上面是不是乘上根号二零二七加根号二零二六， 下面是不是也得乘上啊？根号二零二七，哒哒哒哒哒，加根号啊，哒哒哒，那不是平方差公式吗？他减他不就啊，变成一了呀，对不对？所以说他的导数就是他俩相加，那他的导数呢？那毫无疑问也是他俩相加呀。 啊，倒数相加可不是这个，那也就说这边大呀，这边大，但是他的倒数是不是就小了呀？啊，这个道理能不能明白？不相信你验证一下啊， 他相加他的倒数，你看他如果倒一下的话，分母有理化，上面是不是变成他俩相减了呀？ 什么变成相减了，下面又变成一了呀，所以说这个技巧必须得学会啊，最后给大家推荐一套书啊，这套书呢叫初中数学压轴题，里边有几何的有函数的啊，都是中考常见的题型啊，难度比较大，但是会的方法也很简单，所以说平常这些方法一定要多练啊各位。

好，同学们，我们今天来看这道比较二次根式大小的题目，很多同学一看到这样子的题目呢，总会第一反应启动硬算法，结果我们来算算看， 根号五大概是二点几，加上二之后呢，它会变成四点几， 然后这个根号时期，我们知道他比根号十六要大，也就是他也是四点几，而你发现四点几和四点几你比不了了。所以呢，硬算法这一招在这道题里面 不能用，那有没有其他的方法呢？当然是有的，今天李老师教你两种方法，一种代数，一种看你喜欢哪一种代数法 好，那既然直接比，咱们比不了，咱们给它稍微变形一下，总比得了了吧？你看这里有根号，我们怎么样就能把根号消掉呀？ 哎，同学们，我相信你们已经想起了完全平方公式，对不对？我们比不了本质，把它两边平方一下再来比，总可以了吧？哎，咱们说干就干，我们给它完全平方， 根号五加二，完全变成了五，加上四倍，根号五，再加上四， 然后根号十七完全平完之后变成了十七。啊，变成十七，好，我们接着往下写，五和四呢，可以变成九加四倍根号五，而这个十七呢，咱们把它写成九加八。 好，接下来是不是很好比较了呀？左右都有九，咱把这个九舍去行不行？把它反正要比较大小，把它都约掉。那么你看这个四倍根号和这个八谁大谁小啊？ 我们把它写到根号里面，就一目了然了，把这个四写进去，那四变成平方，变成根号十六，对吧？根号十六和这个五十六乘以五，等于根号八十， 然后这个八是多少呀？你看八的平方八八六十四啊，所以这个呢，其实它是根号六十四，对不对？好，那比到这里是不是一目了然了呀？ 根号八十，根号六十肯定是它大呀，哎，所以这里填的是大于号，搞定好，别划走啊，你看进度条还有一个方法呢。 第二个方法叫做几何法，我们来看怎么操作呢？首先大家一看到根号啊，就想起什么呀？是不是想起勾股定律啊？你想想看，根号五可以写成什么呢？ 他是不是可以想象成一个图形是这样子的啊？一个直角三角形啊，这样子，一个直角边，我们把它写成一，是不是？然后这个直角边把它写成二，然后呢，这个根号五是不是就是这个斜边的长度呀？各位， 一的平方加二的平方，对吧？就是等于第三条边斜边的平方嘛，所以这条边其实他就是根号五，对吧？那这个二呢？我们可不可以把它接到这里来啊？ 可以把它接到后面来啊，接到这段二啊，对不对？那根号十七又是多少呀？根号十七，你想想看，他是不是等于一加十六，然后去开方啊，对不对？再去开方，所以呢，这是一，那这一段刚好就是什么？是不是刚好就是四啊？所以呢，这个根号十七其实是谁？ 其实就是这一条，这条斜边其实就是根号十七。好，画了这个图之后呢，你再来看这道题，变成了什么呢？根号五加二是谁啊？是变成了这条边，对不对？这条边加上这条边 去比这个根号十七，也是比谁呢？是比上这一条边，对不对？所以这是不是一个三角形，两边之合一定大于什么 第三边？所以这里用几何法我们也能得到一样的结论，也就是根号五加二大于根号十七。所以这道题一共有两个方法，一个是代数法，一个是几何法。你更喜欢哪种方法呢？欢迎在评论区里面告诉老师。

各位，考试经常出现这种题啊，好多同学喜欢什么？靠感觉，靠蒙，可不敢乱蒙啊，数学非常严谨的，我们来看一下，说 a 等于一减根号二， b 等于根号六减二倍根号二， c 等于二减根号六，则 abc 的 大小关系是什么？各位，我之前都说过啊， 这个根号二，根号六，还有什么根号五，根号七，这些十年内的根号必须得记住啊，不然的话你就说考试经常考的啊。根号二等于多少？根号二是一点四一四啊，必须得知道啊，根号三呢？根号三是一点七三二啊，这个也必须知道啊，还有什么根号五，根号五等于多少啊？ 二点二三六，这个必须得知道啊，还有什么根号六，根号六等于多少啊？二点四四九，还有什么根号七，根号七也得知道啊，二点六四六 啊，十以内的啊，这些必须得知道啊，各位，所以说这个题不就好做了吗？你看一减根号二等于多少？根号二是一点四一四，那不就负的是负的啊，零点 四一四呀，大约等于负的零点四一四，你看他，他是多少？根号六是二点四四九，两倍根号二呢，两倍根号二是多少？二点八二八， 对不对？二点八二八，然后根号六，你看二点四四九，减他也是负的，负的话得上面减，下面二点四四九啊， 然后得的是负的啊，注意了啊，他他，他等于多少啊？九一一七，这一一七三啊，零点三七九，大约等于负的零点三七九， 对不对？他是多少？二减根号六，根号六是二点四四九，那不就负的零点四四九吗？啊，谁大谁小，各位，谁最大？ 负的话这是负数啊，负数的话谁小谁大？他小他是最大， b 是 最大，然后呢？谁谁其次呢？其次是不是 a 啊？ 啊？最小的是不是他呀？是不是 c 啊？ c 啊，看起来他大，其实他小，他是负数啊各位。所以说平常啊，这这几个数必须得知道呀各位。

二字根式的比较大小，是七八年级期中考试月考必考的一类高频易错题，你能做对吗？这里老师将常考的几大题型给大家做了总结，一起来看 被开方数比较法，哎，这个方法就是很简单，顾名思义，我们就是把这个数带到根号里面，那么二二得四，所以第一个数是根号下四乘二 等于根号八和根号七去比较大小，根号八大于根号七。来接下来第二个方法，平方法，左边来整体平方，右边整体平方，我们去比较平方后的数大小。好，左边十七，右边三三得九乘二等于十八， 十七和十八比较大小，很多同学就直接写小于号了，这里我们要注意啊，来看一下它的底数都是负的，所以这应该是个大于号。 接着继续来看估算法，想用估算法解题，你必须先掌握一些数据来，根号二约等于一点四一四，这个约等于符号，我们也可以写成等号，上面加一个点啊来根号三约等于一点七三二， 根号五约等于二点二三六。老师就先写这三组三组数，我们就直接来估算根号二，一点四一四减一，那它就约等于零点四一四，二分之一是零点五， 零点四一四和零点五比较大小。好了，直接出了这三种方法，适用于比较简单的数。接着我们继续来看稍微复杂一点的数，我们要如何比较来做差法来，我们就用左边式子减，右边式子 根七减根六好是正的，根二减一也是正的，所以左边减右边大于零，好，左边大。再来看倒数法，倒数法是我们在考试的时候，一般考难题就是考一个倒数法来三减根七，那它的倒数就是 三减根七分之一来化减一下等于二分之三加根七，根五减根三的倒数，根五减根三分之一，化减等于二分之 根五加根三。来比较一下呗。三比根号五大，根号七比根号三大，它们的分母是一样的，所以我们就得到了哦，这个数比较大，这个数比较小， 我们得的是它的倒数吧，一个数的倒数越大，那这个数就越小，所以我们就得到了啊。好，接着再来看最后一个是分母有理化，分母有理化呀，我们就是利用的是平方差公式来根三减根二，那么我们来整理就是根三减根二乘 根三加根二分之，根三加根二好，化简一下就等于根三加根二。 同样的，我们利用分母有理化平方差公式，根二减一乘根二加一分之，根二加一等于根二加一。化简完了来比较大小吧， 根三比根二大，根二比一大。好嘞，所以左边大于右边。这里呢，老师给大家讲一个斜修方法，我们可以更快的比较出来使出的大小。根号一，它等于一， 根号二约等于一点四一四，根号三约等于一点七三二，根号四等于二， 根号五约等于二点二三六。你发现了什么？来，我们算一下，他们俩的差零点四一四，他俩的差零点三一八，他们两个的差零点二六八，他们两个的差零点二三六。哎， 我们发现了这个数越往后算，越相邻的两个五里数的差就越小，这也就是说明他越大，他的差就越小， 越小差就越大，我们就可以总结成五里数越大越密集，五里数越小越疏离。我们根据我们总结的规律，一起来做一下比较复杂的大小比较来三等于的是跟九，跟九减，跟七 好，和根五减根三来比较一下根五减根三，它数比较小，所以它的差是不是就比较大呀？所以我们就直接可以填小于号。在这里我们要注意的啊，这两个数做差，他们差之间差的这个五里数都是一样，九减七等于二，五减三等于二。来再比较一下根三减根二和根二减根一， 根二减根一，这个是比较较小的五位数，所以它的差值就比较大，大分之一这里小分之一，哎，直接就出来了，我们用这个方法就可以很快的去比较出来大小，你学会了吗？

那么今天我们就用一个视频带大家把二次根式这个章节里面所有的考点给大家讲一遍，视频干货比较多，内容比较长，大家一定要耐心看完，把这个章节全部都疏通掉。如果大家需要二次根式考点通关这十一个考点的这个电子版的题目呢， 可以在评论区回复二次根式，我免费的分享给大家。好，我们废话不多说，来看第一个考点，那就是二次根式的概念，那什么叫做二次根式呢？他必须得满足两个条件， 第一个他得有根号吧，你说如果连这个根号都没有的话，那怎么能算二次根式呢？注意啊，二次根式他是这样的一个根号，如果说是一个三次根号的话呢，这也是不对的，所以这些细节一定要注意一下。 好，第一个满足他的有根号，第二个呢啊，如果根式里面肯定会有一个数或有个四字嘛，那么首先这个时候根号里面这个被开方数啊，或者说这个四字他一定要大于等于零， 因为你知道，如果说来一个根号负四，你说这个东西可以算出来吗？算不了啊，他没有意义啊，对不对？因为没有一个数的平方是等于负四的， 所以必须要满足里面这个东西啊，大于等于零，也就是二次根式要满足两大条件，有根号。第二根号下面的这个东西得大于等于零。 好，那我们来看这道题目啊，满足两个条件的，第一个有根号，里面是五分之一没问题。第二个有根号，但是里面是个负数，哎，不行。 第三个有根号，里面是一个 x 平方加四，那你说 x 平方加二，它是不是一个正数呢？很面试的吧，因为平方一定大于零嘛，所以第三个正确。 第四个有根号里面是一个四，没问题。第五个有根号里面是一个负三分之一的平方，负三分之一平方肯定也是大于零的嘛，对吧？所以也没问题。 好，第四个我们再往换啊。第六个，这里是根号一减 a 有 根号，那里面这个一减 a 是 正是负呢？好像不知道，不清楚，他没说，那就是有可能是正，有可能是负，所以说这是不确定的啊，他也是错误的。 第七个根号下面 a 的 平方减二， a 加一。好，那这个东西有根号里面这个是指是正还是负呢？ 我们会发现里面这个东西是我们在八上学到的一个完全平方式，它可以写成根号下面 a 减一的平方，那么这样来看的话呢，平方具有非复性也是没问题的，所以第一道题的二次根式应该有第一个、第三个、 第四个，还有第五以及第七个，所以这就是必考的一道选择题二次根式的概念。 好，接下来我们继续往后看，我们看第二个二次根式的意义，那么刚刚我们就强调过了，对吧？如果说要是一个二次根式，那么里面那个被开放的数是不一定要大于零， 所以说我们看到了这种含有根号的式子，一定要满足被开放数大于等于零，这样才可以。 当然在我们初中阶段，尤其是在现有的阶段，哪些是我们要满足有意义的式子呢？那么首先第一个在小学我们学过了，那么有分母的情况下面，对吧？比如说这是一个 x 分 之 y 吧，在这种情况下面，作为一个分母或者说分式的时候，你下面的分母 x 肯定是不能等于零的， 所以这个是我们常见的关于有意义的两个式子，当然还有一个这个比较少见，我们也给大家补充一下， 那什么东西呢？那就是零次方，这也是在八上学到的 a 的 零次方，那么对于这个式子，我们应该知道零的零次方是没有意义的，所以这里的 a 呢，是不能等于零的。 那么你看，在整个初中阶段，我们学到了有意义的，最常见的就只有这三个，看到这三个里面，我们就应该要满足它有意义才可以。 好，我们看这道题目，若代数式有一求实数 x 的 取值范围。首先第一个，我们看到上面有根号吧，所以根号下面的 x 减一一定要大于等于零， 同时呢，它的这里面有一个分母，也是一个分式的形式，所以的话，我们还得满足分母的 x 减三是不能等于零的， 所以这样的话呢，我们来解出来，上面解的 x 大 于等于一，下面解的 x 不 能等于三，所以此时 x 取得范围应该是 x 大 于等于一，且 x 不 能等于三，所以这就是二次根式的意义。好，我们继续来看第三题，二次根式的双重非复式。 那么二次根式是什么样的一个双重非复性呢？啊？我们来看一下啊。首先对一个根号 a 而言，它的第一重非复性，那就是我们知道刚刚根式得有意义，那么它里面的被开方数 a 就 一定要大于等于零，所以这是它的第一个非复性。 第二个非负根呢？我们就从概念出发，根号 a， 如果说我们要把它从文字序数来描述的话，它代表什么含义啊？它代表是 a 的 算数平方根，所以根号 a 的 话呢，是 a 的 算数 平方根，那我们知道一个数的平方根有两个，这两个或相反数，一个正，一个负，对不对？那么算数平方根就是指那里面那个非负的那一个， 所以说我们这个地方的根号 a， 你 算出来的结果也应该是大于等于零的，他就跟绝对值很像，因为我们知道任何一个数的绝对值，他算出来也是大于等于零的，看到没有，所以他跟他比较类似，这就是我们二次根式的双重非复性。 好，我们来看这道题目，若 a 和 b 为实数，且 b 等于这个东西，让我们求 a 加 b 的 值。 好，那么首先你会发现这个东西呢，其实就是一个方程问题了，但是这个方程呢，他有两个未知数，当你面对有两个未知数，但只有一个方程的时候，你需要把这两个未知数解出来的话，那就说明这个方程一定具有特殊性， 那么它的特性是什么呢？我们发现它里面还有根号，对吧？那么这个根号，我们首先第一个根号得有意义，对不对？所以说第一个根号里面的 a 的 平方减四肯定是大于等于零的，同时呢，另外一个根式里面的四减 a 的 平方也应该是大于等于零的。 好，那我们把不等式呢稍微做一个化简，我们会发现 a 的 平方就是大于等于四的，下面 a 的 平方呢，就是小于等于四的，那你说 a 的 平方既要大于等于四，又要小于等于四，这足以说明此时 a 的 平方是不是就只能等于四了呀？ 看到没有？好，那么 a 的 平方等于四的话呢？那 a 不 就应该等于正负二吗？那这个题目是不是应该有两个答案呢？好，注意了，这一个式子呢，也是一个关于一个分式的形，它有分母，看到没有？那就是满足分母这个条件，要不能等于零呐？ 这不是，所以说 a 呢，是不能够等于负二的，那么这样的话，我们就得到最终的 a， 它就只能取二， 是不是？那么在 h 二的情况下面，我们就可以来把 b 算一下了，那么 h 二的时候，这里是零加零，除以下面这个，那肯定就是零了，对不对？然后再加上一个尾巴七，所以 b 就 等于七，那么此时我们要求的根号下面的 a 加上 b， 实际上就等于根号下面的二加七九，那么根号九就等于三，所以在这里我们利用到了根式有意义的这一个非复性。 好，接着我们继续再来看下一道题目，好吧，这道题我们来看一下，他说若根号下面的 x 减 y 加上 y 方减四， y 加四等于零，让我们求 x 加 y 的 值。 同样道理，这里面还是一个方程，它有两个未知数，所以我们要想把 x 和 y 算出来，就说明这个方程一定有特殊性，那么特殊性在哪里呢？哎，我们发现这里呢，有一个根号 x 减 y， 对 吧？有个根号有点特殊吧。第二个我们看后面这一半啊， y 的 平方减四， y 加四这个东西你有没有一点熟悉？它是不是非常明显就是一个完全平方四呀？ 所以说在这个地方，我们可以先把后面这个式子啊，给它写成一个完全平方的形式。 好，拿到它以后，我想你你也应该比较熟悉了，一个根号加一个平方，它等于零，两个东西相加等于零，那么正常来说他们就应该是互为相反数的，而我们知道的是什么呢？哎，这个根号 x 减 y 啊，它算出来的结果呢，是大于零的， 而且这个 y 减二的平方，它也具有非负性，也是大于零的，所以两个大于等于零的数相加，它等于零，那就说明什么？那就说明这个地方的根号 x 减 y 必须等于零， 对吧？同时呢，这个 y 减二的平方呢，它也应该等于零，那么这样的话，我们发现 y 它不就等于二了吗？那 x 不 也就等于二了吗？ 对不对？所以说 x 加 y 就 应该等于四，那么在这里我们所用到的是根式计算结果，算数平方根具有非复性，对吧？所以这就是两道题考察到了两种不同的非复性。 好，接下来我们再来看一下第四个考点。二是根式的化简。什么叫化简呢？ 就是我们在很多时候呢，会拴住一些像这样的东西，他不能够直接开方开出来，那我像这样写写在我的答案里面，他正确吗？啊？他很多时候是不正确的，也就是我们要把它进行化简，化解到什么样的程度才可以呢？或者我们怎么样去判断他能不能化解呢？ 我们只需要满足三个最常用的东西就可以了，第一个对吧？那就是我们这个根号里面呐，根号里面对吧？根号内他要不含平方的因子 啊，就是根号里面不能含有平方的因式。这句话啥意思呢？举个例子吧，根号下面一个八，那你会发现我可以把八呢拆成两个数相乘，哪两个数相乘呢啊？四乘以二， 对吧？那你会发现这个四呢，其实就是一个什么，就是一个平方的因式或者平方的数， 你想想这个四是不是等于二的平方的，对吧？所以说此式的这个四是可以开方开出来的，所以只要是可以化解为含有平方的式子，那么他就一定可以继续化解， 看到没有，直到它里面不能够再写成含有平方的音式。所以这就是第一个我们得满足的是这个根号里面不含平方的音式。好，第二个条件呢，就是什么东西呢？根号下面不能有什么，就你的结果里面啊，根号内不含 分数啊，不能有分数。比如说我们举个例子吧，根号下面的这个二分之三， 那你会发现根号里面是不是有个分数啊？那这个分数的话呢，我们是需要把它化减的，那怎样化减才可以呢？我们等会来讲好不好？当然还格类型啊，比如根号下面的这个一点八， 那这算不算呢？你看一点八是个小数吧，这个小数我们也可以把它换成个分数啊，它可以写成五分之九啊，所以说这也可要怎么样也要继续的给他化解才行，所以这样的设置都不能够说是最简单的，我们遇到了这种要继续化解，我们遇到了这种，这种也要继续化解。 好第三个呢，就是什么呢？反过来的，那就是分母，它不含 根号，所以要满足这三个要求。好第三个的话，什么叫分母不含有根号呢？比如说根号二分之三， 你看看这个式子里面是不是分母里面含有根号，分母里面含有根号，那么这种情况也要化解。那么怎么化解？我们接下来给大家进行一一的讲解。比如说第一个根号下面的四十八，那你说四十八能化解吗？有发现四十八呀？我们可以把它写成多少 啊？写成一个什么样的设置呢？写成十六乘以三，那你会发现十六呢，就是一个四的平方，所以它是可以继续的开放，开出去的，也等于四倍的根号三， 所以这就是我们的关于啊，第一个类型含有平方的因子的该怎么办好？第二个根号下面是一个什么？是一个分数吧？那这个分数我怎么解决？那不允许有分数啊？ 不允许有分数的本质就是不能有分母，对不对？那怎么办呢？我就可以考虑这个地方最麻烦的就是这个分母二， 所以我只需要把这个分母二开出来就可以了，我就希望能够把二变成一个平方数，所以呢我们把分子分母同时给他乘以一个二， 看到没有？那么这样的话呢，我们下面这个地方开方啊，就是根号十，下面是根号四，所以他就等于二分之根号十。 好，这时候你看根号下面是不是就没有分数了？根号下面是不是只有一个整数十？那这个整数十还可以继续化解吗？他可以拆成两个数相乘，那里面还有平方吗？没有，所以他就得到了最简单的形式。 好，这第二个，第三个同样道理，对吧？它是一个什么？它是一个代分数，那我们首先第一个呢，把它化成假分数，也就是八分之九， 看到没有？好，同样方法，我们把分子分母呢给它同时乘以一个八，对吧？这样的话呢，我们就可以把这个分母的六十四开放出来，等于八， 那上面这个地方就是一个根号下面的七十二。好，我们再想想，根号下面是个七十二吧，七十二能够化解吗？啊？我们可以把七十二写成一个平方数，三十六来乘以一个二，所以说这个三十六呢，还可以继续的开方，开出来 八分之六倍的根号二，再化解等于四分之三倍的根号二，所以这样的话呢，我们的结果就写出来了，所以还是有那么一点点复杂的，对不对？所以这是第三个。 我们再来看第四个根号下面的四点五。好，它是一个小数，那小数呢？我先可以把它换成分数，那就根号下面的二分之九， 对不对？好。然后呢，分子分母同时乘以二，二乘以二，九乘以二，那他就等于二分之根号下面的这个地方，看九乘二现成的吧。啊？九开个三出来，二放里面， 所以答案就是二分之三倍的根号，所以根式的化解是非常非常重要的，如果说这个地方你出问题了，那你最后所得到的答案都会有问题，好不好？ 好，第六个含有字母的这种化解，其实也是一样的道理嘛，对吧？比如这里我们来看一下，把它这个数字部分和字母分呢，用同样的方法进行拆解， 别说八的话呢，可以塞成一个四，乘以个二，我就拿一个四出来，对吧？拿个平方数出来，那 a 的 三次方呢？我可以拿出一个 a 的 平方， b 的 四的方呢？那就把 b 的 四方都拿出来，因为这些都是一个平方数或者一个平方的因式，可以把它提取出来，然后再来乘一个二 a， 好， 继续四开出来是二 a 的 平方，出来是 ab 的 四的方，出来是 b 的 平方，所以根号里面就只剩下二 a 了嘛，对不对？所以最解结果为二 ab 的 平方乘以根号下面的二 a， 这样就是它的最简单的结果。 好，我们来看最后一个一样的道理吧，这个地方我们看到没有根号下面是不是一个分数，那我就可以先把分母解决一下，把分子和分母呢同时给它乘以一个五 x， 对不对？三乘以五 x。 好， 那这样的话呢，下面这个地方开出来其实就是五 x， 那 上面根号里面呢，就变成了十五 x 了， 那你看十五能不能写成一个平方数的这个因式的乘积，不行吧，所以就已经最简单了，那么最后答案就是五 x 分 之根号下面的十五 x。 好，这就是我们的第四个考点。二是根式的化简，一定要注意这三个基本的要求，把这三个搞明白了，那么包括化简的这个技巧搞清楚了，那么这个内容算是彻底的拿下了。好，我们接着来看一下考点五分母的有理化。 好，那你看看，像这两种情况里面，其实就是我们刚刚说的那个第三种情况，那就是我们的根号下面确实都是一个整的数字，但是呢， 但是对于整个市而言，你会发现在那个更高的维度来看，那么这个地方的根号五，它出现在了分母的位置， 同理在这个式中也是让他这个分式的形式，那么分母的位置也出现了根号，所以像这种情况下面我们也是需要进行化简的。那么到底怎么化简呢？你想想就是只需要把分母中的这个根号给它去掉就可以了。 所以第一个里面分母是根号五，跟刚刚也是类似的，我们把分子和分母都乘以一个根号五，这样的话我们这个地方不就舒服了吗？ 对不对？那你现在会发现根号五乘以根号五，其实就是五嘛，对不对？根号三乘以根号五呢，就是根号十五，所以说第一个题目我们就化简完了五分之根号十五。 好，那第二个怎么办呢？还可以这样操作吗？如果这在这里我分子分母同时乘以根号十五的话，你会发现这个根号确实去掉了，但是我这个地方的三也要乘以根号十五，那就出现了一个新的根号没有去掉了， 对不对？所以此事怎么办呢？我们遇到了这种根号的一个加减预算的时候，我们如果想把它的根号去掉，我们就要借助八上的一个公式，叫做平方差公式 啊，利用这个公式我们是可以把它化解掉了。那么怎么样去构造平方差呢？因为分母是一个根号十五减三，我只需要乘以一个根号十五加三的话，就可以构造一个平方差了， 那么此时的分子呢，也要同时乘以根号十五加上三。好，接下来我们来继续看，那此时的话呢，这个地方根号十五的平方就是十五， 减去三的平方也就是九，对吧？那上面还剩呢两倍的根号十五加上一个三， 到这里来，你就会发现分母里面是不是就不含有根号了，对不对？好，那我们十五减九等于六，六和二约一下，所以等于三分之，根号十五加上三，所以这就是它的最终的结果啊，所以这个我们也称为 分母有理化，他也是属于我们上一个考点中的这第三个情况，分母不能含有根号，如果含有根号，我们是需要继续化减的。好，这就是我们的考点五，接下来我们看考点六， 那就是最减二字根式，那么刚刚我们已经讲了根号的化减对不对？只要是满足这三个情况的，就不能再化减了啊？所以说什么叫最减二字根式， 那就是我们刚刚化简完的那个结果，就是最简的呀，那就是不能够再去化简。比如说我们看第一个根号七十二，根号下面是一个七十二，七十二是不是可以写成一个平方数，三十六乘以二的， 它是不是可以继续化简？所以它就不能叫最简二次根四。好，第二个根号下面是一个小数，小数就是一个分数，我们说了根号下面是不能是分数了，那得化简才行，所以它也不是最简的。 第三个啊，下面有分数啊，也不是最减的。第四个有根号，但根号下面是一个 x， x 能化解吗？不能，所以第四个就是最减的。 好，第五个，我们看这个东西呢，啊，一看好像不太行，但是呢，我们发现里面呢，其实可以用八上的一次分解也给它化解一下，提取个 a 出来， a 的 平方加上六， a 加上九。好，提取完以后你会发现，哦，原来里面这个东西还藏着一个完全平方呀，看到没有，那就说明里面是含有一个什么平方的音似的，它是可以开方化简出来的，所以它也不是最简的。 好，第六个，一样的，我们看看这个地方，二， x 方减 y 方，二肯定是不能开的， x 方减 y 方呢？它好像不能够整体开吧，是不是只有一个完全平方才能开出去，所以它也不能化解啊？第六个，最减的， 第七个，根号下面的三十二 n， 那 你看三十二这个数字是不是可以写成十六乘以二， 所以这个十六是不是开出来的，对吧？所以它也不是最简的，所以所谓的最简就是我们刚刚所说的三个类型，你只要是把这三个类型的式子全部化简到最简单的结果，那就是我们所需要的最简二次根式。 所以这个题目中我们应该选择的是四，还有六，其他的全部都不对，对吧？好，第九题已知 n 是 正整数，根号二十八， n 是 整数，求 n 的 最小值，这个东西怎么做呢？ 他说根号二十八， n 是 整数，他怎么会是个整数呢？那说明这个根号开方是不是给它开出来了？ 比如说，哎，根号十六这个东西，他是不是整数啊？他是的，因为他开出来等于四啊，那四就是整数嘛。那这就说明什么呢？这就说明里面这个东西啊，应该是一个平方数，对不对？就平方数的话就可以直接开出来嘛。那你说这里根号二十八，要是一个平方数，那 n 取多少呢？ 好像有很多呀，比如说我 n 就 取二十八，那就是很明显得到一个二十八的平方吗？开的就二十八呀。但是呢，他说我要让 n 啊，是一个最小的， 那你说我取二十八是不是最小的呢？那你会发现，其实啊，这二十八还可以化解，他可以继续的开放，开的更小，因为二十八我们可以写成一个平方数四来乘以七 n， 看到没有？那这个时候的四呢？开出去就等于二了呀，里面就剩下了一个七 n 嘛， 对不对？那你说这个时候七不能再化解了吗？那你说要让他是一个平方数，这个 n 这不只能取七了， 你再比七取小一点，没有办法变成平方数呀。所以说遇到这种题目，我们第一步是先把它化简，成为一个最简的二次根式， 知道吧？画成最简单的这本书，然后的话呢，你要让它开出来，那说明里面这个东西呢，就是一个最小的平方数了，对吧？所以七 n 里面 n 最小，取到七就可以满足它开放，可以开出来。

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册专题中专题六，分子由利化。在前面的课程中，我们学习到了分母由利化指的是说 如果在一个式子中，分母中含有二次根式，那我们就可以借助平方差公式将分母的二次根式给化解掉，也就是转为最简二次根式。 那同样分子有理化与分母有理化类似，将代数式中的分子和分母同时呈上分子有理化音式，从而消去分子中的根式，那这种变形叫做分子有理化。需要大家注意的是我们分子有理化，比如说大家来看一下第一个这种练习， 这里提到的是说根号七减去根号六，等于发现是不是同时乘上根号七加根号六，那为了保证这个式子的大小不发生改变，所以我们接下来是不是又除以根号七加根号六， 那么最终就得到了是根号七加根号六分之一。在后面这个式子中需要大家注意，他并不是一个最简二次根式，那为什么我们要给他转化成这样的形式呢？其实是非为了方便我们进行比较大小， 以根号七减根号六和根号六减根号五为例，我们发现他俩都可以将他进行分子由理化，得到的分别是他 和他。那在这两个式子中，我们观察可以发现，此时分子相同，两个分数比较大小的时候比较分母，分母越大，他是不是越小，所以我们就可以对他俩进行比较大小， 那因此我们是不是就转而得到了他俩之间的大小关系？所以在这里面出现的第一道题目中，比较他和他的大小，我们就可以借助分子有利化 那根号十五减去根号十四，就等于根号十五减去根号十四，那在乘上根号十五加上根号十四，不要忘记乘的过程中，我们接下来还要进行除以根号十五加根号十四， 那大家此时发现分子是不是平方差公式就等于根号十五的平方，也就是十五减十四，那再除以根号十五加上根号十四，那最终就转化成分母是根号十五加根号十四，而分子是一， 对吧。接着根号十四减根号十三，那我们是不是就可以写成根号十四减根号十三乘上根号十四加上根号十三，不要忘记我们还要再除以根号十四加上根号十三，那观察此时分子是 分母是根号十四加上根号十三，而此时分子是不是一。接下来要想去比较他俩之间大小，实际上是比较他和他的大小，那么观察这两个分数，我们可以发现此时分子相同，因此 分母越大是不是就说明他越小，对吧？那我们就可以得到根号十五减去根号十四，他是不是应该 小于我们的根号十四减去根号十三，这也是我们在进行分子有理化的目的，能接受吧。接着我们再来看一下第二种类型的题目，叫做求某一个代数式的最值，大家首先观察一下它的做法， 那么由这个代数式中我们发现存在有两个二次根式，分别是根号 x 加二和根号 x 减二， 那这个代数式有意义，就意味着这两个二次根式有意义，所以根据二次根式被开方数是一个非负数，我们是不可以得到。 x 加二大于等于零， x 减二大于等于零，那解得 x 大 于等于负二和 x 大 于等于二， 再根据同大取大，所以我们是不可以得到。这里自变量 x 的 取值范围就是大于等于二， 那接着我们再看我们如果将它进行分母有理化，是不可以得到这样一个式子。在这个式子中，我们观察分子是四不改变，而分母是不是根号下 x 加二，加上根号下 x 减二， 因此分子不变。分母越大，他是不是越小？所以当分母越小的时候，我们的 y 才有最大值，明白了吧？因此那在这道题目中，我们就可以发现，同样 由二次根式所具有的非负性可知，我们的 x 加一要大于等于零，因此解的我们的 x 是 不要大于等于一。 接着那 y 等于根号下 x 加一，减去根号下 x 减一，再加三，那前两个式子我们可以对它进行分子有理化， 再乘上我们的式子是减法，所以接下来为了保证这个代数式不发生变化，我们还同时要除以它最后的加三。不要忘记那在观察此时的分子 平方差公式，那我们得到的是 x 加一，减去 x 减一的差，因此我们得到的分子就是二，那就等于二除以根号下 x 加一，减去根号加上 x 减一，这里和哈再加三， 那因为此时我们发现这个时候我们的分子是二是固定的，我们就可以发现，当我们分母它最小的时候，我们此时它是不才有最大值， 那故我们最大值的时候是不就是我们的 x 取最小值， x 的 取值范围是大于等于一，所以 x 最小的时候是一，因此我们得到就是二除以根号下 一加一，加上根号下一减一，再加三，那么得到的是根号二加三，我们就可以得到 y 的 最大值的，能接受吧？好，接着我们根据这两部分，我们来看看剩下这两部分的题目，题目中告诉你的是比较 他三者之间的大小关系，那我们首先来看看我们的 x， x 等于根号六减二，那是不可以看作等于根号六减二，乘上根号六加二，再除以根号六加二，上面那是不就六减四？ 除以根号六加二，也就等于根号六加二分之二。再看 y 根号五减三，但是我可以写作根号五减三，对吧？再乘上根号五加三， 除以根号五加三，前面五的平方减去三的平方是九，再除以根号五加三，那我相信大家这里你一定能够得到，是不是就负四除以根号五加三，那不难发现，此时 你看这是不是一个大于零的数，这是不是一个小于零的数，那就意味着 y 一定小于 x， 那 接着我们还需要再去比较一下我们 z 的 大小，那 z 这里是不是等于根号三？ 那根号三跟 x 进行比较的时候，我们可以发现，我们是不是可以改它转化成同分母，那就给它写成根号三乘上根号六加二， 对吧？那么得到的是不是根号三乘根号六，那就是三倍的根号二再加上二倍的根号三，再除以根号六减二， 那么很明显我们可以得到三倍的根号二加上二倍的根号三，一定大于二。分母相同比较分子，分子越大，他是不是就越大？ 所以它大于根号六加二分之二，因此 z 大 于 x， x 又大于 y， 所以 这道题选择的是 b 选项，能接受吧？ 那最后第三题，这个我相信大家一定会做。我们根据上面所学的过程中，我们进行分母 分子有理化，所以对它同时乘上我们的根号下二零三一，加上二零三零，那我们 a 是 不转化成一除以根号下二零三一，加上根号下二零三零，能接受吧？那 b 是 不就是一除以 根号下二零三零，加上根号下二零二九。同样，那我们的 c 是 不是就等于一除以根号下二零二九，加上根号下二零二八。 再看此时 abc 分 子相同比较分母，分母越大，它越小，根号下它加上我们的二零三零，加上根号下二零二九， 那么也可以发现它是不大于根号下二零二九，加上我们根号下二零二八。同分子分母越大，它越小，所以 a 小 于 b 小 于 c， 那 么这道题选择的就是 a， 能接受吧。我们分子油理化这一部分总体来讲还算比较简单，它的常考题就这两种。需要大家注意的是一种是具有比较这种带二次根式的，这种的大小 一种，那就是我们这里求一个代数式之中的最值，希望大家能够理解。那么今天这节课就上到这里了，拜拜。

各位，根是比大小啊，有个非常好用的方法，必须得学会啊。我们来看一下，说比大小负一减根号十和负根号时期谁大谁小。各位，第一个方法啊，估算，什么叫估算？你看根号十是不是大概是多少？ 三点多呀，对不对？那负一减三点多，那是不是负的四点多呀？ 没问题吧？那根号十七呢？是不是也是四点多呀？也是负的四点多，那比不出来，这是估算，估不出来怎么办？各位，第二个方法，两边同时平方，各位比他们平方谁大谁小， 你看他的平方，不用说了，肯定是十七，对不对？那他的平方呢？一的平方加他的平方十， 再加上两倍的他乘他，那就是二倍，根号十对不对？比他俩谁大谁小？各位，这是不是十一加，这是三点多，对不对？十一加六点多，对不对啊？这个是不是六点多？那是不是十七点多呀？ 那肯定这边大呀。各位啊，这边大呀，但实手一拉，这是符号啊，他有符号，那符号谁大谁小呀？所以说啊，左边是不是有点小啊？各位做调整才呀，各位，方法得学会呀。

二次根式比较大小的方法也很多，但这里面你会发现，平方法、作差法都搞不定，我们只需要用到分子有理化就可以了。比方说，我们首先把它来进行分子有理化，那么也就是我们构造它的队友式好，根号七减去根号六， 我们乘以它的队友式是什么呢？也就是我们乘以根号七加上根号六。那么利用我们的平方差公式呢？你可以算一下，也就是它等于多少？两个数二者之和，两个数二者之差， 所以等于这两个数的平方差，就是根号七的平方减去根号六的平方。因此我们求差等于几，也就是等于七减六，我们求差等于一的，对吧？哦，它的结果是等于一，同样的，根号六减根号五，我们也进行分子有理化，根号六减去根号五， 我们乘以它的对偶式也是怎么样的？什么叫对偶式？就是乘以它可以令我们的平方差公式，对吧？那么等于多少呢？一样的道理喏，给出两个数，把二者相加，把二者相减，所以它等于二者的平方差，也是根号六的平方，减去根号五的平方， 很明显，等于多少？也就等于六减去五，我们求出来也等于一。你让我比较这两个数谁大谁小我不知道，但是呢，我会比较这两个数， 根号七加根号六，一定大于根号六加根号五，也就是我更大，你更小，对吧？但你要知道，你乘一个较大的数，结果是一，我乘一个较小的数，结果也是一，结果一样。所以我们知道，乘的数越大，这个数反而越小， 乘的数越小，这个数反而越大，因此呢，我们是小于的关系搞定，跟着亮亮无脑学习。

双重二次根式的化简难倒了很多同学，你看黑板上的这道题呢，百分之八十的同学呢，在考试的时候都没有做出来，其实呢，这种题呢，他是有套路的，你只要掌握今天徐老师掌握的这种方法， 那么咱可以瞬间解决这样的题，都不是问题哈，那我们来看，呃，你看根号下一个式子，我们要化简，大家你想一想啊。呃，我们根号下五的平方是不是等于五？ 根号下十的平方你就等于十，那么根号下 a 的 平方等于谁呢？我们说等于 a 的 绝对值，是不是？哎，反正画点出来都是正的。 那么根据这样的一个原则，我们这里的七加四倍根号三，他一定要化成某一个数的平方，也就是你要能把它化成完全平方式，然后呢，我们再进行开方，就可以化解这样的双重二次根式了。 好，那么我们的完全平方式是什么样的一个构造呢？就是 a 的 平方加二乘 a 乘 b， 再加一个 b 的 平方，是吧？那你看你这个七加四倍根号三，很明显啊，你这个四倍根号三，要是这里边的 中间这一项二倍的 ab， 然后两边平方和合起来是七，那么既然我们知道这个系数肯定是二了，对不对？那你这个四倍根号三等于二乘谁乘谁呢？非常简单吧，这个是不是等于二乘二，再乘根号三呀？ 那你看，我们来对应一下，是不是 a 对 应这个二，那么 b 对 应这个根号三，我们就来试一试可不可以？如果他俩的平方和正好是七，那么你这样分解就是对的，那如果不是，你再尝试其他分解的方法，很明显啊， 二的平方，哎，这是四，对吧？根号三的平方，这是三，他们一相加正好等于七加四倍根号三， 是不是很完美啊？那么这道题不就解决了吗？所以你看啊，我们就可以把这个七加四倍根号三看成四加 二倍啊，四倍根号三，再加三，那四是二的平方，根号三是根号三的平方，那它就等于谁啊？等于二加根号三的平方， 是不是就给它解决了？然后你看根号下七加四倍根号三，那我们就可以画成根号下 二加根号三的平方啊，平方和开方他们互为逆运算，所以这个最终结果就等于二加根号三，这已经是最简形式了，所以化简完成，是吧？那么大家你看啊，以后再遇到这种题，是不是我们就想完全平方式 去化解这个，哎，配凑这个带根号的这一项，让它变成二 a b 的 形式，那然后 a 的 平方加 b 的 平方，等于前面这个常数，这种题就 ok 了。

双重根式的化简一定是八下数学的计算压轴板块，这类题书上没有，学校老师也不教，但考试一定会考，今天老师就用一道题，彻底通透双重二次根式的化简方法和技巧，学会后啊，考场遇到直接满分拿下来看题。 让我们化简这样一个式子，根号下七减三倍，根号五，加上根号下十七减十二倍根号二，显然 大根号里头都套着小根号，这就是咱说的双重二次根式。要化解这样的题目怎么办啊？方法，方法非常的简单，就是把大根号里边的这个式子进行完全平方的配凑。我们先来试一试， 比如第二个式子啊，我发现呢，这里头小根号前面的系数是减去十二，它是一个 偶数，是二的倍数，所以呢，这个十二倍的根号二，我就可以把它进行一个拆解了。首先我要配凑的是完全平方公式，所以这一项一定是咱们二 a b 中间项，二 a b 二 b， 首先我必须要拆出一个二来，这是完全平方公式中间项的关键。那么接下来拆几和几呢？有各种各样的方法了，我可以是二乘六，再乘上根号二，对不对呢？就取决于前面的这个数字了。 十七拆成两数和，那这两数我要的是谁呀？是 a 方加 b 方，对不对？ a 方加 b 啊，中间像二 a b， 这里是减号， 所以十七会拆成的是两个完全平方和，所以这里头呢，它就得是六和根号二的平方和六六三十六，再加上一个二，显然不等于十七，所以这样我会发现咱刚刚这种拆法拆错了，所以咱再换一个拆解的思路， 我还可以把它拆成的是什么呀？二乘三，再乘上二倍根号二，我们再来看这里三的平方和二倍根号二的平方分别等于九和 八，而九加八刚好等于十七，是不是成功凑出了这两个平方和？所以这样一个配凑方法，就是我们化简双重二次根式的关键。这样配完之后，大根号里边的式子其实就是谁呀？三减二倍根号二 的完全平方，这里的小 a 小 b 的 平方，小 b 的 平方二倍乘积项，注意前头是减号。 接着我们来看第一个大根号下面的式子，同样的思路，但是有一个小小的问题，这里头 减三倍根号二倍乘积项，这个二不见了怎么办？关键就在这，当二倍乘积项缺少这个二，也就他的系数不是偶数的时候，我们想方设法把它变成偶数。方法也非常简单，括号里面的这个整体，我把它 分子分母同时乘以二。老师，没有分母，没有分母，它的分母就是一，所以我把它变成二分之十四减六倍根号五，目的是把二倍乘积项的二给它写出来，你看没有？ 好了，那同样的思路了，这个六倍根号五，我们拆成二 a、 b 二乘三乘根号五试试看。三的平方根号五的平方分别等于的是九和五，而九加五刚好等于十四。 好了，那么这里的十四减六倍根五的完全平方。 双重二次根式的解析，关键就是把大根号里边的部分凑完全平方，如果这里头中间像没有二的时候啊，利用分子分母乘二这样的技巧，二给它 化简出来解冒号原式等于第一个大根号里边的式子就被我们整理成了二分之 三减根号五的完全平方，接着加上第二个大根号里边的这一个整体，就是三减二倍根号二的完全平方。 所以原式就等于根号二分之三减根五已经是大减小了，分子为正，加上三减二倍根号二，同样大减小，是保证结果为正的。接着第一个式子要进行分母有理化操作，分子分母同时乘上根号二， 它就等于二分之三倍根号二，减去根号十，再加上三减二倍根号二来。注意，这里是能够合并同类项的， 这一项和这一项合并之后，最后结果三减去二分之根号二， 再减去二分之根号十，就是这道化简题目的最终答案了。所以当出现双重二次根式的时候，千万不要怕， 如何来应对呢？想方设法的把大根号里边的整体化成一个完全平方形式，如果在二倍乘积项中缺少了这个系数二的时候，分子分母同时乘二进行配凑，你学会了吗？