绘制长方体和正方体不同类型展开图

下课起立，老师你好，同学们好，请坐哪节课？我们来回忆一下正方形展开图一共有几种？有几种呢？我们说它有四种类型，但是一共是几种呢？一共是十一。那我们一起来回忆一下来，第一种是什么？是什么类型的？ 第一种是一四一型的好，一四一也就是上面一个好，中间这四个是怎么样的？中间是四个，然后头尾各一个，所以哪一些是固定的？中间这四个是固定的， 它固定是四个，对不对？那上下各一个。哎，我第一个可以放这里。好，下面这个可以怎么放呢？啊？第一种放这里可不可以？好一种 放这里，两肘、三肘、四肘。好，接下来再继续变来这个继续动，这个继续动的话啊，如果这个如果放这边的话，我们会发现其实跟刚刚的这个是一模一样的，把它转过来，所以我们接，所以我们从这边开始来这边就是第几种了。第五种，第六种 还有没有来？如果是这边的话，又跟刚刚什么是一样的？这边第一个，这边是不是一样的？所以它一共就是这六种。所以关于一四一一共有几种呢？共六种， 也就是这中间四个是固定的，然后上面一个，下面一个是任意的，明白吗？这种情况有六种好。第二种是什么类型的？二三一型的二三一，哪一些是固定的？ 好？二，首先二二这么放，二是这么放，二是这么放，对三怎么放呢？啊？要怎样？要错开一个错位，错开一个来，一二三， 这个是二三，还有个什么一一在最底下来一，我可以放在这里，也可以放在这里，也可以放在这里，所以跟我仅有的 关于二三一，这里面的二跟三是固定的，一在下面可以任何一个水有几种？三种水几种情况够三种好。第三种是什么型的？三三好，可以，三三型 好，三三型。三三型有几种呢？好，一二 三，这个是个三对。那第二个三应该怎么办呢？要怎么样？错位一个好，一二三有点像爬楼梯一样，对不对？三三型的，这里面这两个三他都是固定的， 都是固定的好。最后一种是什么型的？二二二型的，二型的也就是每行几个？两个，每行两个，而且这两个每一行都要怎么样？错位一个， 所以我们会发现这两种他都是有点像什么形式？阶梯形的，对不对？是楼梯形的，而且他们只有一种，他们都是怎么样固定的？ 所以对于他来说几种啊？共一种，对他来说也是共一种。 共一种好，这是展开图四种，能不能背诵起来？可以，那我们之前说我们既然能够展开，我们要给他怎么样还原？怎么还原？来这个怎么还原，这个怎么还原，我们可以先看，先看哪里？我们可以先看这四啊，你要以谁？这四个我可以给他怎么样？哎，看 这两个是不是看黑板是这样立起来。好，这个可以，这个一立起来的话，这个是不是立起来是这样子？对，然后上面盖上，下面的圆盖是不是盖上了呀？是不是正方底？好，那这个能不能还原？怎么还原呢？一般情况下还原我们要拿，拿一个作为作为底座的，后面这个 他拿一些他相邻的正方底最多的。这个有两个，是不是有两个呀？对，都可以任何选一个，他其实还原的方式有很多，第一个立起来，这边怎么样？ 立是立起来。好，这个掰下来，这个盖过去，哎，又变成了一个正方体。好，那这个呢？一样的哎，这个接触最多的是不是？好，我们就给他这样。好，这个给他立起来好，看，空间想象能力了啊， 这个运动的话，这三个啊，这个直接这样掰过来，对吧？好，这个掰过来的时候，这个是不是一起过来的？是不是一起过来的啊？就是再怎么样往下往下，哎，变成了一个正方体。好，这个呢？ 随便找一个都没有。好，对，随便找一个来，那我们就找这个吧，一般找中间这个啊。好，首先把这三个给他，怎么样？立起来，这两个给他，哎，对立起来是一起立的。好，然后这个给他掰下来，这个掰下去，然后再上去他又变成一个立正方体。正方体里面会出现，找对面 绝对是相对的面。对，面，对，相对的面会怎样？相对的面怎么样？因为它会隔一隔。相对的面会出现什么特点？隔一隔，或者是可以理解为不相邻， 他们是不相邻的。你想想，如果，如果这两片相邻，任何两片相邻的会成为对面吗？不会相邻，他们就建在一起了呀。你说他们有没有成为对面的？不可能是不可能呀，所以怎样不相邻？ 相对的面肯定是不相连的。那我们来看这个简单，哪一些？哪一些是相对的面？我们用一二三来标这里面，如果以这个图来说，哪一些是相对？如果这个是一的话， 那哪个也是一跳一格，哎，这个也是什么？一，这两个是相对的面，对不对？我们可以验证一下来，看立起来，这两个是不是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是也是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是相对的面，那是哪一些呢？ 比如说这个，这个是协议的话，还应该哪一个也是一，他也会是一吗？不会，他会是一，我们来感受一下。来，我们来，我们叠起来，把这个弄下去，哎，会发现他们也是相邻的，是吧？应该是这个是这个。好，这也是一，我们来感受一下。为什么呢？你看， 哎，这都掰过来，是吧？弄过来，弄下去，哎，是不是相对的？没错了啊？ 反正两个不是，肯定就是这个，对不对？那剩下这两个是不是，呃，不相邻？很明显这两个是二跟二，那剩下就是这两个三跟三。好，这个呢？这种阶梯型的，这个是一的话，那这个就是多少一，那这个是二的话，这个就是二，那剩下这两个就是三，好，这个呢？这个是一的话，那应该也是一， 中间的，中间，中间的这一个，对吧？因为跟他不可能相邻，跟他不可能相邻就跟他了，对吧？啊？这是一，那这两个是什么啊？那这两个是三好，所以这个是我们找相邻的。那为了让同学们更更清楚的看出那个展开图，老师找了一个网页，我们来感受一下。来，我们来感受一下。来，折叠 好，展开再看一下。好，来第二个来下一个折叠感受一下。好，下一个再往右移一个啊，折 叠展开好，最后一个，这个在第四个了啊？折叠， 对，因为其实一次一起练习都一样，对不对？好，那接下来我们看就几秒了，四三二一体验一下， 体验一下可以再体验。我们可以一起体验。啊。好，现在我们来看这个来折叠展开，有没有用心去感受？ 他看过了，是吧？哪一个是没看其他的吧？啊？现在看二三一的，二三一的他这个折叠方式跟我们那个不一样。对，好 好，现在是这还有一个二三一的。 好，现在看三三型的来，这个怎么折叠？好？最后一个二二型的，二二型的 他这个纸。好，那这是我们上一节课学习的正方题的展开图。

这个视频张老师和孩子们分享五下数学第三张，长方体和正方体这个章节当中，正方体展开图的核心知识点和典型题目。首先我们来总结一下正方体展开图的四种类型，一共有十一种情况。第一种类型就是一四一型，一共六种， 他的样子就是这样的，中间是四个正方形，连成一排，上下两边各有一个正方形，可以这样来理解，就像一根长条，中间四个是主体，上下各补一个面，不管不在中间四个的哪个位置，只要不重叠，不在同一侧，都能折成正方体。 第二种就是二三一形，一共是三种，中间三个面，一二隔阂见。也就是说中间三个正方形连成一排，一边有二个正方形，另一边有一个正方形， 可以这样来理解，中间三个是核心，一边叠着两个，另一边是单独的一个。在这里张老师告诉孩子们一个巧记的办法，找相对面的时候， c 字型两段的两个面是相对的，这个规律在二三一型里特别的好用。 第三种是二二二型，就一种情况，中间两个面，楼梯天天见，两个正方形为一组，就像楼梯一样，一共三组， 就像走台阶，每组两个错开排列，这种结构都能折成正方体。我们可以巧记这一字头两段的面是相对面，这个规律在这里同样的适用。 第四种是三三形，也是一种情况，他的样子是这样的，三个正方形连成一排，再接着三个正方形连成一排，两组错开，可以这样来理解，没有中间的长排，就是两组，三个的面连在一起，这是最后一种能折成正方体的结构。 在这里孩子们要注意，在展开图当中，相对的面不相邻，也就是相对的面没有公共的边和公共的顶点。第二个方面，我们再来说一下用排除法判断不能折成正方体的情况。 除了刚才讲的四种类型是一种情况，还有一些图形是绝对不能折成正方体的，一眼就能排除。第一种情况就是一排超过四个正方形的，比如一行有五个，六个正方形肯定折不成。第二种情况就是四个正方形是一排，另外两个在同一侧， 中间四个一排，剩下的两个都在这一排的上边或者下边，这种也折不成。第三种情况就是出现田字形，四个正方形拼成一个田字，因为正方体每个顶点只能连三个面，田字中间的顶点会连四个面，就重叠了，所以折不成。 接下来我们就看三道典型的题目来看。第一题如下图是一个正方体的展开图，与一号相对的是几号，与六号相对的是几号。 首先观察这个展开图，判断它属于哪种类型，属于二三一型，可以找相对面。第一种方法，我们可以同一行或同一列里隔一个面的两个面是相对面。 第二种方法就是乘 z 字形两端的两个面是相对面，先找一号的相对面，一号和五号正好是 z 字形的两端，所以一号相对的是五号。 再找六号的相对面，六号和三号在同一行中间隔了四号这个面，所以六号相对的是三号。来看第二题，判断这个图形能否围成一个正方体。 看图形的结构，上面有四个正方形连成一排，剩下的两个正方形都在这一排的下边，也就是同侧。根据刚才总结的排除的方法，四个正方形连成一排，另外二个在这一排的同侧，这种情况不能围成正方体。 再来看第三题，下图给出了一个正方展开，图中的五个面要在一至五中添加一个面，组成一个正方展开图应该选哪一个面？ 我们先看已有的五个面，中间有四个正方形连成一排，左边上下各有一个面，这是一四一型的基础结构。一四一型的要求是中间四个面，一排上下两边各补一个面，不能重叠，也不能在同侧， 可以观察一至五的位置，一、二三的位置补上去会和已有的面重叠或者破坏结构。四的位置在中间四个的右上角，补上去之后，上下两边的面会在同侧，也不行， 五的位置在中间四个的正下方，补上去之后，正好符合一四一型中间四个，上下各一个的结构，能顺利的折成正方体。所以这道题应该选五。

展开图，博士，我最近练了个新技能，三秒做成礼物盒， 是不是很炫酷？其实啊，这里可有个小诀窍，你看，这个礼物盒是个正方体的，没折叠时，礼物盒的几个面展开，躺在这里，这个图咱就叫它正方体的展开图。 如果将展开图折叠起来呢，它就又可以变回正方体。那你试试将这个图形折叠，能不能围成正方体呢？ 是不是怎么叠也叠不出来正方体啊？ 那是因为正方体有六个面，刚好是三对相对面，而这个图形找不出三对相对面。 也就是说，一个图要想折叠后围成正方体，就得在这个图上找出三对相对面。怎么找呢？ 你看，刚才这个图中，咱们已经标好了相对面，拿出来看时发现了吗？相对的两个面总是在一条路两边，咱们换一个正方体，剪开后是这样， 它们相对的面呢，也是在一条路两边，不过路变长了。咱换一个正方题，剪开后是这样，它们相对的面呢，还是在一条路两边，路又变长了？ 所以呀，只要是相对的面，总是在一条路两边，不过路可长可短。那在这个图中，这个正方形相对的面是哪个正方形呢？ 咱们看，在一条路两边，咱去路对面找，那就是它啦。知道了这个秘密，那下面哪个图不能折叠为成正方体呢？ 第一个图，咱们利用一条路的方法，很容易找出全部相对的面， 可以围成正方体。同样的，第二个图也能找出三组相对面。 但是第三个图有两个正方形，没有相对面，所以不能围成正方体。 其实正方体的展开图有很多，比如这些咱们叫它一四一，这些叫它二三一，还有两个特殊的叫做三三和二二二，共有十一个，你可以折叠试试看哦。 今天咱们认识了正方体的展开图，它有三对相对面，并且相对的面面积相同。一个图要想围成正方体，就得有三组相对面， 而相对的面在一条长度可以变化的路的两边。怎么样，你学会了吗？

正方的展开图一共有十一种形状，那么又分为四种类型，分别是哪四种？来看，第一个一四一组合，一四一，也就是说一共分成三行，那么第一行一个，第二行四个，第三行一个，同样都是一四一，一四一， 下面也是一四一，一四一。我们再来观察一四一组合里面它的规律是什么，能够帮助你快速的记忆。来看第一个放在第一格的上方，下面的就可以随意的来移动了，下面有一个、两个、三个、四个，一直移动到第四个格，对不对？ 好，这是前四种。再看我的第一行的一个格放到第二个格的上方呢？ 那么这个格我不能从第一个开始了，我要从第一个开始就和它是一样的类型了，那我就从第二个格开始移动到第三个格，第四个格可以不可以？ 那我移动到第三个格是我如果说移动到第四个格，它就变成和这个图形是一样的，又重复了，所以我只能摆到第二个格和第三个格的下方就可以了，共有六种图形。再看第二种二三一组合的 二三一，也就是两个、三个一个、两个、三个一个，也就是说一共还是有三行，第一行两个，第二行三个，第三行一个，那第一行和第二行是固定的，第三行的第一个我可以摆一个，可以摆在第二个的下方，也可以摆在第三个的下方，所以说它有三种图形， 那第三种就是二二二组合，也就有三行，每一行都有两个，因为他的图形不能出现田字形，也不能出现凹字形，所以说我每一个都需要往后错一格，看出来没有？ 我不能出现田字形，所以每一个都向后错一格，就相当于是走楼梯一样的感觉，所以也是二二二组合， 最后一个就三三行，也就说有两行，每一行都有三个，因为不能出现填字型，所以说我往后错几个，错两个格，所以这地方就空出来了，就没有填字型了，听明白了吗？所以正方形的展开图，这十一种图形你记住了吗？

十一种正方体展开图和五十四种长方体展开图是小学和初中需要掌握的重点、难点，通过卡纸展开演示更易理解掌握空间概念。彩色硬纸板材质可反复折叠使用。 同步三年级上册教材，通过卡纸折叠展开，可轻松理解长方体和正方体的表面积，轻松应对课后细题。 同步初中教材，初中老师要求熟练掌握正方体的十一种展开图，通过卡纸演示，轻松掌握正方体和长方体的展开样式，做题更轻。

打印 a 四大小的模板，用稍硬的卡纸作品效果更好。底板折叠裁剪打孔沿实线裁剪，模板沿虚线折叠 在底板的一个正方形框里面抹胶粘贴剪贴画粘贴在固定的方形上面，粘贴一个贴画，其他格子的贴画，这样粘贴， 这样能更加直观的学习展开图的相对面的知识点。正方题有十一种展开图，在打印封面和封底安装活页环扣正方题展开操作。书做好了，收入了十一种展开图，还收入了三种展开图的典型错例， 对错例现几何知识，轻松吃透，快动手做一本吧！

五六年级数学是不是卡壳了？孩子正方题展开图总错，表面积算不对，就是空间想象不上。这套十一种正方题加五十四种长方题展开图，教具亲手折一折，抽象变直观，孩 子秒懂立体几何，做题再也不猛，加厚印卡纸，还送笔和胶带给娃安排上数学直接提分。

长方体的展开图。 妈妈的生日快到了，我要给他准备一个小礼物。嘿嘿，咱们用一个漂亮的包装盒包起来，自己动手制作，给妈妈一个惊喜。嗯，那漂亮的包装盒是怎样制作的呢？ 哎，我们可以把以前买的长方体纸盒拆开来，看看他们个个面的结构。嗯， 把一个长方体纸盒严冷剪开，得到长方体纸盒的平面展开图，更方便我们的观察研究如何制作包装盒。现在我们用我准备好的长方体纸盒标注好前面、上面、右面，按不同的方式展开。说说你们的想法。 嗯，我们可以用剪刀将长方体纸盒沿棱剪开，不能剪散。 把边上重叠的部分剪去。别着急，先看看我的。像这样由长方体展开后得到的平面图形，就叫做长方体的展开图。现在知道了吗？ 像这样的是一四一型，其实一四一型还有好多 啊，这么多啊。是的，一四一型总共有二十七种，这只是其中的一部分情况。 你们观察这几种长方体展开图，看看长方体中相对的面有怎样的规律。我知道长方展开图与之前研究过的正方展开图有相同之处，相对的面完全 隔开，也就是相对的面一定不相邻。 是的，我们也要试一试。快看，这个是我剪开的，我的跟爸爸的好像有点区别。 还真是，你是怎么剪的呢？我是沿上面这三条棱把上面打开，接下来剪竖着的这条棱和底下的这条棱展开。 小虎的这个是二三一型，其实二三一型也还有很多种，总共十八种。我的跟你们的都不一样， 我是先剪上面这三条棱，把上面打开，接下来剪竖着的这条棱和底下的这条棱展开，再剪后面竖着的这条棱展开，最后剪底下的这条棱展开。 小鹿的这个是二二二型，二二二型总共有三种， 除了这三种长方体的展开图，还有三三型。 这长方体的展开图真是多呀。是的，我来考考你们，谁能把这个展开图折叠成长方形，并说出长方体的长宽高分别是几厘米。 我知道，围成的长方体后，它的长宽高分别是八厘米、五厘米和二厘米。 厉害啊，那我再考考你们下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体，想象一下你是怎样围的？ 这个我知道，一号二号可以实现长方体折叠， 三号、四号图形为什么不能围成长方体？相对的面不能相邻，所以三号不能。 相对的面形状和大小不符合折叠要求，四号也不能。 是的，那现在你们可以设计一个漂亮的纸盒包装了吧？嗯，咱们赶紧弄，等妈妈生日，给他一个大大的惊喜，哈哈哈。

这是一款专门为五年级下册设计的长方体正方体教具。你看，长方体由六个面组成，且对立面相同， 而正方体的六个面全部相同。借助教具，我们可以得出正方体或长方体的六个面之合就是它们的表面积。它是这种焊接烤漆的金属框架， 观察得出它们有十二条棱，六个面，八个顶点组成，搭配软磁片可以吸附在铁框和摆板上，使用很方便。 关键它的六个面可以分开由孩子自己拼摆。正方体的十一种展开图和长方体的五十四种展开图。赠送一卷胶带，保证展开图反复使用，扫描包装二维码还可以看视频哦！ 这是一款专门为五年级下册设计的长方。

教会你五年级下册数学正方体的展开图，正方体有哪些展开图呢？正方体一共有十一种展开图，老师把这十一种正方体展开图分成四种类型，方便大家记忆。 第一种类型叫做一四一型正方体展开图，什么意思？就是把正方体展开图分成三层， 第一层都是一个小正方形，第二层有四个小正方形，第三层有一个小正方形，大家看一二三四五六这六个正方展开图，都叫做一四一型正方展开图。第二种叫做二三一型正方展开图， 我们把正方体展开图也是分成三层，第一层有两个小正方形，第二层有三个小正方形，第三层有一个小正方形，所以我们叫做二三一型展开图。那二三一型展开图一共有一二三这三个展开图， 大家也一定要牢记。第三种类型的正方展开图，我们叫做二二二型正方展开图， 我们也把正方展开图分成三层，第一层有两个小正方形，第二层有两个小正方形，第三层也有两个小正方形，所以我们叫做二二二型正方展开图。 好。第四种正方展开图，我们叫做三三型正方展开图分成两层，每一层有三个小正方形，所以我们叫做三三型正方展开图。 这十一种正方题展开图，大家一定要按照类型，然后记下来，方便大家做题啊。大家看黑板， 我们观察发现这十一种正方题展开图，老师都涂了颜色，有蓝色，有粉色，中间还有空白，为什么这样呢？老师告诉大家， 相同部分的颜色，他们是相对的面，你比如说一四一型，这两个蓝色是相对的面，这两个红色是相对的面，这两个空白是相对的面。 你再比如二三一型，两个粉色是相对的面，两个空白是相对的面，两个蓝色是相对的面。 你再比如二二二型，两个粉色是相对的面，两个蓝色是相对的面，两个空白是相对的面。第四种三三型也是一样的， 我们还经常考相对的面，那怎么找相对的面？大家记住一句话，叫做跳一跳找对面。 什么意思？你比如说一四一九，蓝色和蓝色，他俩中间隔了一个粉色跳过来，是不是他俩就是对面？跳一跳找对面，粉色和粉色中间隔了一个空白， 我跳过空白找粉色，那么他俩就是相对的面，空白和空白中间隔了一个粉色，我空白跳到空白这里叫跳一跳找对面， 那其他的图形也一样，你比如说二三一型，粉色和粉色，我粉色跳到这里来，是不是就跳一跳找到了对面？蓝色跳到对面来，也是找到了对面空白跳到空白这里来，也就找到了对面， 这就叫做跳一跳找对面。这句话适用于这四种类型的任何一种正方题展开图。另外大家注意，正方题的展开图当中，不可能出现填字格，也不可能出现凹字。 好，大家注意，在正方题的展开图当中，不可能出现填字型，也不可能出现凹字型， 如果出现，那他就不是正确的正方题展开图。好，同学们，关于这十一种类型的正方题展开图，你分四种类型去记，方便大家记忆，对你做题非常有帮助，你学会了吗？记得给孙老师点赞加关注。

这个视频我们来看一下关于我们的五夏春季的同步拓展里头的一个关于长方体正方体展开图的问题， 那关于这个题呢，要想做出来必须有两个支点，那第一步我们必须先通过老师之前讲过的方法，把这个正方体的六个面都找到，分别是哪些数据？那第二个考点考察的是老师讲过的，对于一个正方体 展开图的十一种类型，如何找对面的方法？如果这两个字典清楚了，那这个题的答案大家应该就会了，是吗？

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