六年级下册数学课本鲁科版垂直定义

今天我们讲切圆锥，将一个圆锥沿高垂直切开，表面积增加到七十二平方米。 我们知道将圆锥沿高垂直切开，切一刀一定会有两个切面，这两个切面是什么形状？是等腰三角形。 这个等腰三角形和圆锥有怎样的关系呢？它的一条边，它的底边就是我们圆锥的底面直径， 从顶点往下到圆心就是它的高， 它说表面积增加了七十二，那七十二就是这两个等腰三角形 的面积之和。那我们是不是就可以求出一个三角形？但是我们这道题目说什么它的切面是等腰 直角三角形，嗯，这是我们遇到了一个新问题，这个三角形是等腰三角形，但是不是等腰直角三角形也是这个样子，这里是九十度，这两个角是多少度？四十五度，这样的圆锥， 他切开以后就增加这样的两个等腰直角三角形。现在我们知道这两个面是多少？七十二，所以他两相交等于七十二，那一个三角形的面积呢？ 就等于七十二除以二，结果等于三十六平方厘米，这个三角形三十六，这个三角形也三十六。我们要求的是圆锥的体积，圆锥的体积等于三分之一 s h， 也等于三分之一派二平方 h。 所以 从公式中我们知道要求圆锥的体积，必须知道底面积和高，也必须知道半径和高。那么这个三角形的面积， 它跟半径和高有怎样的关系呢？我们知道一条边是底面直径，一条边是高，怎样通过三十六找到直径和高呢？我们先来分析这个特殊的三角形， 他是等腰直角三角形，等腰直角三角形，这个角是四十五度，这个角四十五度，这个角九十度。现在你把这个直角三角形的高， 我们这样做一条高下来，那么就将这个直角三角形分成了两个等腰直角三角形来。这一条边是圆锥的底面半径，这一条边是圆锥的高， 这里四十五度，这里九十度，那这里也是四十五度，那说明这两条边 怎样？是这个等腰直角三角形的高，说明他俩相等，所以这个半径等于高，那直径又等于两条半径。我们知道三角形的面积是 底层高除以二，你的底面直径就等于三角形的底，所以这个三角形的面积就是直径层高 除以二，直径等于两条半径，那么你这个三十六就等于两条半径是直径层高半径再 除以二，那你发现什么？二给二抵消了。那么这个三十六是不是就等于半径的平方？谁的平方等于三十六、六六三十六，所以我们就得到半径 等于六，半径等于六，那现在他的高也等于六，那圆锥的体积可以求了吧？三分之一乘六的平方，乘高，乘三点一四，再乘高 六，那结果约分以后等于七十二倍，那就等于二百二十六点零八立方厘米， 所以这个圆锥的体积是二百二十六点零八立方厘米。这道题的关键是什么？是这个等腰直角三角形。 在这个等腰直角三角形，如果我们从这个直角顶点做高，做垂线，就会得到 半径与高相等，所以我们通过这一点求出半径，求出高，就可以求出圆锥的体积。

今天我们分享六年级下册百分数中有关税率的问题，在这节课中一共有三个定义，一个是硬纳税额，什么叫做硬纳税额？就是硬缴纳的税款，叫做硬纳税额。 第二个就是税率，我们知道税率，它就是一个百分率，它指的是应纳税额占各种收入中应纳税部分的比例，叫做税率。那么第三个我们应该理解的就是应纳税的部分，它是什么含义？那就是 我们的各种收入中有一部分要向国家出税，所以我们把这部分叫做应纳税部分。 那么我们看第一小题，小明的妈妈今年三月份的工资，应纳税部分五千元，说明啊，小明妈妈的工资比五千元多，应纳税额一百五十元，那么税率是多少元？第一个就是应纳税部分 是五千元，这五千元要向国家出税，那么他这五千元应该向国家缴纳的税款一百五十元，这是其中给我们的两个信息。那么这个题求的是税率是多少？我们知道税率就等于硬拿数额 占各种收入中硬拿税部分的比例，所以这个税率就等于硬拿税的部分再乘以百分之百，所以这个税率他就等于 一百五十，是应纳税额比上工资这一个收入中应纳税部分是五千元，我再乘以百分之百， 最后我们算出这个税率就等于百分之三，百分之三，这是第一个问题。求税率，也就是百分数中的百分数问题，那就是求一个数是另一个数的百分之几的问题。那么我们看第二小题，小明的妈妈今年三月份应纳税额一百五十元， 哎，这是第一个信息，硬拿的数额是一百五十元，税率百分之三，那么他求的是小明的妈妈三月份的工资硬拿税部分是多少元。 那么我们知道在税率中，硬拿税比上硬拿税部分乘以百分之百，那么这个问题求的是硬拿税部分。那么根据第一个公式，我们知道硬拿税的部分，他就等于硬拿税除以税率， 所以它就是量率对应。那么这个题的量就是应纳税一百五十元，那么它对应的分率就是税率百分之三。 所以拿住数量除以它对应的分率就等于这里面的单位一应纳税部分是多少元，所以等于一百五十除以百分之三，所以它最终就等于五千元。 那么这个问题他巧的就是量率对应，巧的，这里面的单位一拿出应纳税额除以他对应的分率税率。那么我们再看第三小题，小明的妈妈今年三月份应纳税部分是五千元， 这是第一个信息，应纳税部分。第二个税率是百分之三，求的是应纳税额是多少元，那么我们看看税率，这个应纳税额他就等于应纳税部分乘以税率，所以那么应纳税额就等于应纳税部分乘以税率，所以他就等于 应纳税部分是五千乘以税率乘以百分之三，他就等于一百五十元。那么这个题他就是我们百分数中求一个数的百分之几是多少，我们拿出一个数乘以百分之几， 这是税率中有关的基本的易混易错的题型，建议孩子们收藏起来直接试一试。

在两条直线的位置关系当中呢，有一个特殊的位置，就是在相交之后啊，再乘一个特殊的角度，你看这里啊， 也就是说当两条直线相交，且他们的夹角是九十度的时候，我们就把这种特殊的相交叫做什么呢？叫做垂直，那这个焦点叫垂足。 同样的，对于一个垂直，我们有一个数学的简洁符号来表示，垂直的这个文字，也就是竖横，正常写的时候就这样竖，然后呢再来一个垂直的横，这就是一个垂直符号了，体现的就是 ab 垂直于 cd。 好了，那讲完了垂直的定义，我们说他是由九十度的夹角得出来的这样的一种垂直的位置关系，那么垂直的时候又有什么样的性质呢？ 其实就是反过来，当 ab 垂直 c、 d 的 时候，那么他们的夹角一定是九十度，这就是性质。关于定义和性质，你理解了吗？

今天我们来讲一下六下圆锥的竖切问题。圆锥的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切， 那我们可以看到切出来这个切面的形状是什么呢？是不是一个三角形，而且是等腰三角形，因为它们母线长是相等的，那我们切一次是不是就有两个切面，所以也就是两个等腰三角形？ 那这三角形的底是我们什么圆锥底面这个圆的什么直径高呢？就是我们圆锥的高， 直径和高。那我们接下来看一下具体题目。将一个圆锥形高点沿着高切成两块，所以也就是什么它是竖切的，而且是沿着高来切 表面积比原来增加了四十二平方厘米，测得圆锥形高点的高是七厘米，原来这个圆锥形高点的体积是多少立方厘米？我们还要知道什么圆锥的体积公式是什么呢？ v 等于什么？三分之一， pi 尔的平方还有 h， 那 我们看一下这个公式里我们需要知道什么呢？是不是需要知道半径和高？那这时候高是不是已经告诉我们了， 所以相当于我们只需要求什么半径？那这半径圆锥底面这个半径是不是我们需要知道什么直径？ 直径怎么求呢？是不是从我们表面积增加的这部分入手？表面积增加的部分就是两个切面的面积，也就是两个等腰三角形。那我们先除以二，除以二就得到什么一个三角形，也就是一个三角形的面积，那我们再利用三角形的面积， 三角形的面积是什么？底乘高除以二，也就是二分之一 a h， 那 么反过来知道面积也知道高，那我们求底是不是很好求是什么？利用三角形的面积。 s， 先乘二，再除以高，就知道什么底了。所以我们利用三角形的面积来求出什么直径，直径知道，那半径就自然然知道，再求最后的体积。那我们来算一算，先算底面直径， 底面直径我们是什么表面积增加的部分？四十二，先除以二，算出什么？一个切面，也就是一个等腰三角形，再利用三角形的面积，我们要干嘛？乘二除以高， 这样算出来是什么？也就是底面直径二十一，四十二，除以二是二十一，二十一，乘二，再除以七，所以是四十二，除以七是等于六，单位呢是厘米， 底面直径。知道了，那我们底面半径呢？底面半径是不是就是什么六除以二 是等于三厘米的，那这样的话，我们说这个圆锥的体积是不是就很好求了？ 是按照公式来是什么？三分之一， pi 乘什么半径的平方是三的平方，再乘一下高是七三七，二十一，所以是二十一， pi 单位呢？立方厘米。 所以对于圆锥的竖切问题，我们要知道切面首先是肯定什么等腰三角形的，那切一次是有两个等腰三角形的，这个三角形的底是什么？ 底面圆的直径高呢？就是什么圆锥的高，以及三角形的面积和什么。我们圆锥体积公式不能漏掉，一定要记清楚。那今天的知识你学会了吗？关注栗子老师，让孩子轻松学习！

我们的生活当中处处有数学，数学体现在生活的方方面面，让我们用数学的眼光来观察世界，发掘数学元素，发现数学之美。 我们在前面已经学习了空间当中直线和平面的位置关系。接下来我们观看一段视频，在这段视频当中你能抽象出来直线和平面的哪些位置关系？ 我们以这两张图片为例，你能抽象出直线与平面的哪些位置关系？我们请一位同学上来在这两张图片当中画出直线还有对应的平面， 留意 你画了哪些位置问题。嗯，这个的直线和这个平面是垂直的，这个直线和平面是相交的，还有没有别的位置问题？ 还有这条直线和这个平面是平行的，那我们在画这个平面的时候，如果看一下这个平行关系的话，好不好看出来， 我们需要把这个平面怎么画起来更好一些，是不往下画一些更好一些， 也就是在这张图片当中，我们可以看出直线和平面的平行关系，这种关系在前面我们已经学习过，还可以看出刚才这位同学说有直线和平面垂直，其实这是直线和平面相交的一种特殊情况。 除了这张照片，第二张照片当中我们还可以看出直线和平面相交其实还有另外一种形式，哪种形式？ 斜角，也就是我们直线和平面相交有两种形式，一种是直线和平面垂直相交，还有一种是直线和平面斜交。今天我们就来学习直线和平面垂直这一个特殊的位置。东西 类比平行关系的学习，我们本节课有两个任务，任务一，明确直线和平面垂直的定义，任蛙探索直线和平面垂直的判定定律， 直线和平面垂直的性质定律，还有直线和平面斜交，这将是我们下一阶段的任务。 我们先看任务一，刚刚我们已经感受到了直线和平面垂直的形象，其实在我们的日常生活当中，有许多直线和平面垂直的例子， 比如在这张照片当中，这是我们教学楼前的一张照片，我们如果把旗杆看成一条直线，而把地面看成一个平面，那在这里旗杆和地面是什么样的位置？垂直？ 咱同学们还能举出直线和平面垂直的例子吗？哪位同学可以举一下？ 范成玉，那个树和那个地面也是垂直的关系。哎呦，我们把树看成直线和地面也是垂直的，还有没有条？那个楼楼和那个地面也是垂直，哪个楼？哦，这个楼楼的那个啊，那条棱的话和地面也是垂直的关系。 嗯，好，请坐。有这些例子是不是都给我们以直线和平面垂直的形象？那到底什么叫直线和平面垂直呢？我们就以旗杆和地面垂直为例来探究一下。我们来思考这样一个问题， 在阳光下直立于地面的旗杆与他在地面上的影子有何位置关系？ 旗杆和他的影子垂直，那么如果随着时间的变化，地面上的影子是不是也会发生变化？那影子在发生变化当中与旗杆始终保持垂直吗？ 始终保持，始终保持垂直。我们通过一个动画来演示一下旗杆和他的地面的这种垂直关系。 有，通过这个动画，在阳光的照射下，我们可以感知到旗杆与他在地面上的影子是不是始终保持垂直的。我们，那么地面上的这些影子有没有什么样的共同点？ 对呀，都在地面，还有呢，相当于一个点，也就是我们就知道了，当旗杆与地面垂直的情况下， 旗杆处于他所在的平面内的经过点 b 的 直线是不是都是垂直的关系？那么接下来我们思考这样一个问题，旗杆所在的直线如果与地面上不破点 b 的 直线又有什么东西关系呢？ 垂直，垂直，为什么呢？过 b 做平行的，我们请一位同学来说一下，一个说一下。嗯，过点 b 做 b 撇、 c 撇的平行线，然后因为旗杆与 b 撇、 c 撇是垂直的，所以旗杆与 b、 c 也 垂直。因为旗杆和那个 b、 c 垂直，所以旗杆与 b 撇、 c 撇垂直。嗯，好，请坐。 也就我们可以做 b 撇、 c 撇的是个平行线，因为我们已经知道了，旗杆于地面上所有经过点 b 的 直线都是垂直的，那么也就得到和 b 撇、 c 撇也就垂直了。 那么通过这两个问题，我们就知道，当旗杆与地面垂直的情况下，旗杆就与地面上任意一条直线都垂直，我们又得到了直线和平面垂直的定义。 来，请同学们把你的课本翻到一百四十九， 找到直线和平面垂直的定义，并做出标记， 如果直线 l 和平面 r 法内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 r 法互相垂直。 在这个定义当中，一定要注意，是和平面内的任意一条直线都垂直，并非是特定的某一条， 请同学们根据定义画出对应的图形语言，还有符号语言。

小朋友们好，红妈说数学，今天我们来说说六年级下册数学的关于比例，今天来学比例的意义和基本性质，每天十分钟带你学好学校里一周的内容，在你们小窗处里是很实用的哦。 那首先我们接下来看一下在学比例之前的时候，首先问大家一下我们的比怎么样？还有印象吗？表示， 比如说我们以前的笔是写成这个样子的，那么两个数的笔是表示两个数相处，那你知道三比五应该对应的是什么吗？是三除以五，所以呢，这个等于零点六，或者等于五分之三这个位置叫什么？他叫做笔直。 那既然我们现在讲到这个笔了，那我们就应该学到一个什么笔的化简，比如说老师的零点三比上五，他等于什么呢？ 他等于的是比的前项和后项，这个叫前项，在前面叫前项， 这个呢在后面呢叫做后项，那么他的化简等于三比上五十，前项和后项同时乘，或者除以同一个数，零除外，比值不变，这个叫做比的基本性质。 那好了，那既然我们现在说的这些了，我们接下来就说一下，我们今天想说的是一个叫做比例，那么什么叫做比例呢？ 比例指的是两个比相等的式子，我们来对应一下，比例表示的是两个比相等的式子，也就是说举个例子，比如说我们的三比五， 那么我们都知道三比五呢？如果前项和后项都乘上一个二，我们是二三得六，六比十，那也就是说三比上五的比值等于六比上十的比值。所以比例的定义 表示两个笔相等的式子。好了，这是表示两个笔相等，还有一个是式子相等的式子叫做比例。那么我们接下来又看了，那如果这样的时候，我们看一下下面的这个， 我们现在的来看一下这个哈前面的这个，既然我们涉及到笔值了，我们是不是一定要知道一个笔的化简对不对？所以呢我们刚才有在说笔的化简， 你看零点九比上一点五，这在咱们小升初复习还有我们的六年级新课讲授的时候，有很多小朋友已经把笔画简给忘了，所以我们这里呢他的前序课程要先把它给复习一下， 应该是前后都乘十，所以是九比十五，然后我们再进行约分，那么这里呢是除以三三三得九三五十五，所以等于三比五，这是我们这个求比值，那我们接下来再往下看一下， 我们下面的这是我们的前面的一个比值，大家可以自己来练习一下，求比值，来，我们再往下看， 既然我们现在哈刚才已经知道了，给大家说过了关于比例的一个定义，那我们现在看看下面关于这个大国旗，小国旗，你们是不是看我们大国旗和小国旗长宽的比是不是一样的， 也就是说比值。你看我们国旗的长呢是五米，宽是三分之十米，这个地方的国旗呢是长二点四米，宽是一点六米。这里的国旗呢长是六十厘米，宽是四十厘米。我们现在每一个的比值五比上三分之十 五，比上三分之十和六十比四十。那么这里我们又涉及到一个知识点，第一个就是我们前面说的一个比的一个化简。第二个就是我们如果写成比必须是单位相同， 也就是说比的前项是六十厘米，比的后项是四十厘米，我们必须是单位相同的四十厘米，这个才可以才可以组成比例的。哈。来，我们接下来再来往下看，这是我们刚才那个比的化解， 大家已经看到了，当我们写成这两种形式的时候，他都叫做比例这种形式的时候，写成上面这种形式的时候，我们就有一个是比例的一个基本性质。我们先给大家透露一下比例的基本性质， 基本性质说的是什么？就是我们这个里边，既然我们刚才引入一个叫做比例的一个概念，那么我们就知道比的时候呢，有前向和后向，前向和后向，在比例里边不叫前向和后向，而叫内向和外向，这里边的这两个叫做比例的 内向，比例内向，这外面这两个叫做比例外向。所以呢，那我们有一个比例的基本性质就什么，你从这里可以看得到 一点六乘六十，它等于二点四乘上四十，所以我们叫做内向之积等于外向之积，内向之积等于外向之积，简称内积等于外积。 如果写成下面这种形式，我们叫做交叉相乘积相等，交叉相乘积相等。 今天老师给你们分享的是我们比例这新课里面的第一节课，也就是说第一个你们要掌握比例的定义，第二个要掌握比的化简，第三个要掌握比例的基本性质。怎么样？关注我，每天分享你们课内知识。好了，小朋友们再见。

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。

七年级下册数学我们今天讲第二个知识点，垂线和垂线段。很多同学来学这点知识点的时候呢，分不清他俩有啥区别，什么是垂线，什么是垂线段？ 一个视频教会你，垂线的话，他是直线的话，他是无限延伸的能量吗？没有长度没办法度量垂线段呢？线段是有长度的对不对？他是可以度量的，这是两个最本质的区别。 那么看一下什么叫做垂线，两条直线相交，有一个角为九十度，那看两条直线，直线 a 和直线 b 相交，有一个角九十度， 那么这两条直线就是互相垂直的，所以说当我们去做几何体做证明的时候，那么如何证明他俩是垂直关系呢？找到一个角为九十度就可以， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其中他们的焦点叫做垂足。 那么看垂线的话有什么性质啊？在同一平面内过一点，注意，有且只有说明这句话啊，他是唯一性，就一个，没有别的。 有一条直线与已知直线垂直，所以说像这样的话，相当于在同一平面内过一点，只能画一条直线与已知直线垂直，画不出第二条来。 那么看垂线段，垂线段是可度量的，那我们看这个图，那么通过点 p 是 不是做这 pm 垂直于谁呀？ l， 那 么 pm 的 长度就是点 p 到直线 l 的 距离。告诉一个简单方法，看到距离你就想什么呀，垂线段就行。做题的时候啊，看到距离想垂线段，那么它的性质什么呢？垂线段是最短的，那我们看一下 pm 是 不是为 p 到 l 的 距离啊？是不是它这是 最短的，看 pm 一、 pm 三、 pm 二都没有它短，那么这是垂线和垂线断的距离，把它去学明白，那么大哥老师在这个寒假会有寒假的免费学习，想跟的话直接关注就可以。

好，我们看一下这个题。有一个圆柱形的水桶，把一段底面半径为三厘米的圆柱形刚才垂直沉入水中，完全浸没气，没有怎么样溢出来，就是相当于他给它全部沉进去时候，水没怎么样没有溢出来， 那水面上升了十厘米，那我们知道上升这一部分就是我们这个刚才的体积，对不对？那你看再把它竖着拉出水面六厘米，此时水面下降了多少？四厘米。问这个刚才的体积是多少？那我们来看一下， 他说了原第一次是全部给他放进去的话，手面是上升了十厘米，那我们知道不管是求正方体也好，求长方体也好，他都是一样的，对不对？那放进去的话，他上升这一部分就是你放进去这个物体的什么体积，那我们就知道你放进去的这个物体上升了十厘米， 那我们如果知道它的底面积就很简单，对不对？那用底面积乘以高，那我就知道这个钢材的什么了，体积对不对？那现在这里我没有这个水桶的什么底面积，我要先知道水桶的底面积，我才能求什么体积。那没有的话，我们先来看从哪里下手，从这里 再把它竖着拉出水面六厘米，那相当于就是原来你全部给它浸在这里面的话，它是水没有溢出来。现在你把这个钢材怎么样？ 拉出来了六厘米以后对不对？它的水下降了多少？四厘米对不对？那我们说了下降这一部分就是我拉出水面这一部分的什么体积，那我就可以先把什么拉出水面这部分的体积算出来，最后我们再来算什么水桶的什么底面积，那我们来看一下漏出部分，它是多少 高，是不是六？那它的底面积怎么算？ i r 的 平方乘 h 对 不对？那我们就是谁三点一四乘三的平方乘六，因为它半径是几三，那我们这算出来它就应该是多少？ 一百六十九点五六，单位带什么立方厘米？好，现在我算出来的就是我们刚刚说的是怎么样露出水面这一部分，对不对？那这一部分就和我们水桶里面下降四厘米的体积是怎么样的一样的？那我们就要用谁， 我们要算什么？水桶的什么底面积，对不对？水桶的底面积就要用什么，一百六十九点五六，除以谁四，用 体积除以什么高，就等于什么底面积，那么算出来是多少？四十二点三九，单位占上 平方米，这要占什么平方米？因为这求的是什么水桶的什么底面积，对不对？好，我现在是不是有水桶的底面积了？也有，我把这个刚才放进去的时候，它是全部浸没在水里面，它上升了多少？ 十厘米，对不对？我现在就可以求出刚才的什么了，体积对不对？那就是多少，我说了是底面积乘谁高，对不对？我们的高是十厘米啊，那算出来就是四百二十三点九，带没带上立方厘米。

我们来看第三问，如图二，在题二的条件下，如果把一个底面半径为二分之三厘米的圆柱形铁块垂直放入圆柱形铁桶中，当他的一个底 在水中与圆柱形铁桶的底面完全接触时，则铁块高出水面上的部分与水面下的部分的高度比为一比四，求放入铁块后，水面上升了多少厘米？此时的铁块高出水面多少厘米？ 看原先水面高度是这么高，我们从 t， 我 们从 t 二可以求出圆柱形水桶的深度是六厘米。呃，水水中深度是六厘米，水深度六厘米，那它升高的部分，我们把它看做 x， 也就是说减设 放入铁块后，水面上升了 x 厘米，上升了 x， 那 我们就要找出等量关系，那上升这 x 在 外边上升，这这一段体积代表什么呢？ 我们看我们把这圆柱分成两部分，一个是水上部分，一个是水下部分。因为放入了水下部，因为放入了这么这么多的圆柱，所以它才上升了 x 厘米，那我们要知道， 这一段的体积就等于水下圆柱的体积。我再说一遍，这一段的体积 也就是一部分，一部分水加一部分圆柱体积，这一段的体积加就等于水下圆柱的体积，那我们就可以约出等量关系了。 我们从题一可以求出这个圆柱形铁桶的底面积是九帕平方厘米，就是 是九派平方厘米，我它的高是 x， 九派 x 就 可以九派 x 就 可以求出这一段的体积，那我们看它，它等于什么呢？它等于这个圆柱底面半径为二分之三厘米，二分之三 的平方。 pi， 这是这个圆柱的底面，底面积再乘上高 x 加六，就是这个水下圆柱的体积。我们来解方程，九 pi x 等于 四分之九 pi 乘上 x 加六，九 pi 等于四分之九 pi x 加上二分之二十七 pi， 九 pi， x 等于四分之九 pi， x 加上二分之二十七 pi， 那 九 pi x 减去四分之九 pi， x 就 等于二分之二十七 pi 等于 又又四分之三 pi， x 就 等于二分之二十七 pi。 等式左右两边同时乘或除以一个相同的数，等式仍然成立，那左右两边完了，都除以一个 pi， 就 变成了六分之 六幺四分之三 x 等于二十二分之二十七帕，六幺四分之三等于四分之二十七，四分之二十七 x 等于二分之二十七。解得 x 等于二，所以水面上升了两厘米。 放入铁块后，水面上升了两厘米，此时铁块高处水面多少厘米？水面上升了两厘米。那水下圆柱的体积是多少呢？这个圆柱底面积为四分之九帕，四分之九帕乘上二加六， 等于十八派一方厘米，所以水下圆柱的体积是十八派一方厘米。我们把它看成两个圆柱，一个是水上圆柱，一个是水下圆柱。水上与水下部分高的比为一比四，那水上圆柱与水下圆柱的半径是相等的。在半径相等的情况下， 高度比等于体积比，高度比为一比四，那体积比也是一比四。想要求出水上圆柱的体积，就可以用十八，就可以用十八 pi 去除以四， 再除以这个圆柱的底面积，也就是四分之九 pi。 我 们来算一下，等于两厘米， 所以此时铁块高出水面两厘米，上升了两厘米，铁块高出水面两厘米，这道题我们就解出来了，感谢你看到这里，让我们每天一起打卡学数学。

同学们，今天我们要认识一位新朋友，圆锥，生活里藏着好多它，你发现了吗？一个直角三角形，转一转就变成了圆锥。它有一个圆圆的底面，平整又光滑。它还有一个弯弯的曲面，从底到顶 最顶端的这个点，我们叫它顶点。从顶点到圆心的垂直距离就是圆锥的高 顶点到圆周任意一点的线段叫做母线。侧面展开是一个漂亮的扇形，圆锥的表面积就是底面积加侧面积。圆锥和圆柱是好朋友，他们关系很特别，三次就能倒满，体积是它的三分之一， 记住公式，体积等于三分之一，底面积乘高。生活处处有圆锥，数学就在我们身边，准备好了吗？让我们一起探索圆锥的奥秘！

六下拓展题第二道题，这道题也非常有趣，我们先读一下原题。在一个高为八厘米，容积为五十毫升的圆柱形容器 a 当中，我们装满了水，如图， 现在把十六厘米高的圆柱形 b 垂直的放入到这个 a 当中，使 b 的 底面与 a 的 底面接触，其他就是怎么样重合在这一部分， 那么这时一部分的水就被怎么样呢？从容器当中溢出，当我们把 b 全部拿出之后，会发现 a 中的水面的高度降为了六厘米，现在就根据这个我们要去求出圆柱 b 的 体积，那么我们就知道必须得明确的 让 a 和 b 产生某产生某种联系，那哪几种联系呢？首先你看，当它完全浸没，它并没有完全浸没在这，因为什么呢？ b 的 容器的高度是要远远高于 a 的， 那么 b 容器是十六厘米，而 a 容器呢是八厘米，那么 b 容器的高度是它的两倍， 当他完全拿出以后呢，你会发现整个水面会下降的是两厘米，因为原来是八，现在是六，所以下降了两厘米。那么我们要想到这个空白部分的体积跟刚才 b 进入到这个 a 当中，使水面跟他平行的这个体积是不是一样多，所以我们要把这一部分体积求出来，只要求出这个空白部分的体积即可。 那么空白部分的体积是不是通过 a 容器来求？因为 a 容器的容积是正好五十粒五十毫升，我们把它换算成五十平方米，而 a 容器的高度呢是八，那么我们通过 v 等于 s h 就 能知道 a 容器的底面就是六点二五平方米，因为高度比是一比二，这个我们一会再说啊，它会有很大的用处。那么在想空白部分的体积是多少呢？ 因为你拿走了，使它的水面下下降，那么这个时候它俩的体积是相等的，那我只需要根据它的高度和底面积就可以把空白部分的体积求出来，因此直接用六点二五乘以的是二，等于十二点五立方。 为什么刚才老说这个二分之一很重要呢？你看他的高度是不是正好是一半，那一半的体积是十二点五，那么我们直接用十二点五去除以二分之一，是不就能算出整个的 b 的 体积就是二十五平方米，这道题学会了吗？

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完稳进班级前三，可打印六年级下册数学圆柱与圆锥公式大全圆柱的侧面积圆柱的表面积圆柱的体积圆锥的体积 圆柱与圆锥易错题型，考点一，水平倒置问题考点二，求不规则物体的体积考点三，求不规则物体的高考点四，溢水问题考点五，圆锥的切面积问题以上均有电子版。

上册的时候，孩子们认识了比，六年级下册孩子们认识了比例，但是百分之九十的孩子没有理解他们的本质含义。今天我们利用对比的思维，帮助孩子们辨析他们之间的区别和联系。首先我们从定义上看， 比表示的是两个数相处，例如三比五，它表示的就是三除以五， 这是笔的定义。那么第二个我们从它们的构成上看，那么笔它是有三比五， 那么它是有笔的前向，笔的后向和笔直构成，那么笔号前面的向叫做笔的前向，那么笔号后面的向叫做笔的后向。我们用笔的前向除以笔的后向，所得的商叫做笔直。 我们知道比值是一个数，它可以是整数、 分数或者是小数，这是比的构成。那么在比中我们选了一个重要的性质，就是比的基本性质。 我们知道比的基本性质是比的前项后项同时乘或除以一个相同的数，零除外，比值不变。那么在这个基本性质中有两个重要的考点，第一个就是一个关键词同时， 第二个就是一个相同的数。那么还有一个易错点，一定同时乘或除以一个相同数的时候，一定这个数不能为零，所以一个重要的条件，零除外，这时候笔直不变。 那么我们利用笔的基本性质，可以把笔画成最简单的整数比，例如零点六比零点三，他不是一个最简的整数比。这时候我们根据笔的基本性质，笔的前向后向同时乘以十，就得到六比三， 那么六比三不是最简的整数比。我们继续化简笔的前向后向同时除以三，我们就得到二比一， 这是比的基本性质的应用。那么我们接下来看比例。那么什么是比例？我们知道表示两个比相等的尺子叫做比例，例如三比二 就等于六比四，哎，由这个定义，我们发现这个比例啊，是由两个比构成的，哎，这两个比要满足什么条件？很显然要满足比值相等， 那么构成一个比例，它的本质意义就是由两个比构成，那么这两个比他们的条件是比值相等。所以正因为比值相等，所以我们用等号连起来，它就构成了一个比例， 这是比例的定义。那么比例的构成，我们知道，在比例中，它是由四个数构成的，那么我们把构成比例的这四个数叫做比例的项，其中两端的两项三和四是两端的两项叫做比例的外项， 那么中间的两项二和六叫做比例的内向，这是比例的构成。那么比例也有一个重要的性质，那就是比例的基本性质。 那么比例的基本性质是在比例中，两外向的乘积等于两个内向的乘积，那么比例的基本性质有什么应用？我们利用比例的基本性质可以进行解比例。例如我们有这样一道题，三比 x 等于二比六， 这是一个比例。那么要想求 x， 我 们首先根据比例的基本性质，两内项的乘积是二乘以 x， 它就等于两外项的乘积三乘以六十八，那么这时候我们就能求得这个 x， 它就等于九， 这就是比例基本性质的应用。这是我们从定义构成和基本性质上区分比和比例的区别， 那么他们之间有什么联系？我们知道，我们根据比例的意义，我们知道一个比例是由两个比构成，例如一比二和五比十， 那么这两个比，它们的比值都是二分之一，所以我能用等号连起来，那么它就构成了一个比例，这是比和比例的联系。 这时啊，我们从定义构成和基本性质上区分了比和比例的区别，以及他们之间的联系。把他们收藏起来，让孩子们听一听。关注我，每天分享小升初考试的重难点。