鲁教版六年级下册几何平行线证明题

皓月当空，爱的人手捧星。

六下有多难，已经不是多做题就能解决的了。接上一期啊，很多家长说，不就是方程吧，多练练就好，还真没那么简单。六下呢，对比六上难度啊，是断崖式的上涨，每一章都在提新要求。比如说啊， 呃，咱们先学的元一次方程，解决实际问题，他不再是套题型，而是把文字要翻译成数学语言，形成工程，利润分配啊。配套问题，逻辑链异常啊，孩子直接看不懂 啊，列不出来，这不是粗心，是代数建模能力还没建立啊。嗯，第二呢，几何正式入门了，基本平面图形和相交线与平行线这两个章节，开始要求步步要有句规范书写，还有简单的推理，以前靠看图就能做，现在呢，你得要会想会说，还会写逻辑。 第三部分，整式的乘除，从整式的加减升级到整式的乘除密预算公式的运用，符号项数结构复杂度直接翻倍，信心已经不够了，必须理解本质。 第四，变量之间的关系，初步函数思想从静态数到动态变化，很多孩子第一次接触完全不适应。总结一下啊，六上呢，靠认真就能高分，六下靠认真已经不够了，必须靠思维，靠方法，靠逻辑。 这就是为什么很多孩子上册还名列前茅，下册直接名次划破，而且一旦掉下去，越往后越难追给方案。现在怎么做才能避免分数断崖？

同学们大家好，我们这节课继续往下学习平行线，我看一下上节课我们学习的内容，两条直线平，两条平行的直线被第三条直线所截， 被第三条直线所截，那么就会得到同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补，这是我们上节课所学的，我们把它简单的记成，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，这是我们上节课学习的， 那我们继续看一下这些。当我们知道两直线平行，我们会得到一些 关于角的信息，这样我们可以直接在题目中去使用它。我们要知道这属于 平行线的性质啊，这是平行线的性质。比如说给你两条直线平行，告诉你这个角是六十度，让你求这个角是多少度，你会告诉他两直线平行，同位角相等，所以这个也是六十度，这是平行线的性质。 那有些同学说，老师呀，如果我知道这个角是六十度，这个角是六十度，我能不能看判断这两个是平行的， 当然是可以的哈。我们同一角相等，我们可以得到两直线平行，我们内错角相等，可以得到两直线平行，我们同旁内角互补，可以得到两直线平行，那这又叫做什么呢？这叫做判定平行线的判定。好，我们一起 把这一块好好的去整理一下哈。当我们由角的关系得到了两直线平行的结论是这个红色的，这叫做什么呀？平行线的判定 主要是证明两条直线平行啊，说明两条直线平行。好，那如果我们现在知道了两直线平行，我们得到了角的关系 相等呀，互补呀，这叫做什么性质？这叫做平行线的性质。主要用于什么呀？求角啊，主要用于求角， 求角。好，我们看一下下面，在这里有 ab 两条直线被直线 c 截所截，当角一等于角二的时候，你能结合图形来说明 a 平行于 b 吗？ 好， a 和 b 相等，这叫什么呀？内错角相等，内错角相等，可以证明平行，这是什么呀？平行线的判定啊。好，第二个角二加角三等于一百八十，角二加角三是同旁内角互补， 同旁内角互补，两直线平行，这也叫做判定啊？ 如果角一等于角二，角一等于角二，好判断两哪两条直线平行。角一和角二是内错角，判断出来 b f 等于 c， e 是 不是？那如果角二等于角 m， 这两个角相等， 如果角二等于角 m 是 同位角，说明 am 平行于 b， f 说如果角二加角三等于一百八十度，说明这两个角是同旁，内角是互补的，那么平行的就是 a c 和 m d， 这就是通过角的关系得到的平行。 在图中， ab 平行于 cd， 如果角一等于角二，那么 e、 f 与 ab 平行吗？好，看一下在三角，在这个图形当中， ab 平行于 cd 的 话，我们能得到什么信息啊？ 我们得到角一就等于角三，我们延长一下等于角三，是不是因为这两个是内错角，对不对？从平行可以证明出来。角一等于角三，这叫什么呀？平行线的性质 好，又因为题目告诉我们角一等于角二，所以角二和角三是相等，角二和角三是相等的，这是什么呀？同位角，同位角相等，那么 e、 f 就 和 ab 平行，这叫做平行线的判定。 看一下，因为角一等于角二，根据内错角相等，两直线平行，所以， 所以 e f 平行于 c d 又因为 a b 平行于 c d 啊，它和老师用的用的方法不一样，它用的一个平行于同一条直线的两直线也平行，是平行，具有传递性。那这个更好，同学们整理两种方法都掌握哈。

好好，我们来学习一下平线的一个性质啊，这个第一部分呢，就是我们经常说的三线八角啊，你比如说一二这个标准啊，三四五六 七八，哎，两条直线被第三条直线所截，所形成的这八个角当中一共有八个角，八个基础角。这个如果呢， ab 本 ab 和 cd 本身是平行线，就是简单来说就是 ab 啊，平行于 cd， 这是一个已知条件啊，简单来说就是一个已知条件。这个那么有什么结论呢？哎，这个两直线平行，则同位角相等，是不是角一等于角二？哎，就是简单来说，就是因为 ab 平行于 cd， 所以 啊，角一等于角二， 就这么简单，就是两直线平行，则同位角相等啊，那么两直线平行则是不是还有内错角相等啊？这是同位角相等，它的原因是 这是一个平行的一个共有性质。同理，如果 ab 平行于 cd， 那 么因为所以啊，那么角七等于角二，那么角七等于角二的话，像这样的话叫做，如果两直线平行，则内错角 内错角相等啊，这是第二条性质。第三条性质呢，就是因为两直线平行， 因为 ab 平行于 cd， 则同旁内角是互补的，那么角二加上角三等于一百八十度， ok 啊，两直线平行，则同旁 内角是互补的啊，好，那么这是第一部分两平行的性质。第二个呢，就是我说明一个事情， 呃，平行公里是什么东西呢？就是我们一般情况下认为啊，过直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线是平行的，过直线外一点啊，那么因为这一条这个公里的这样一个存在呢，它有一个定律， 就是公里的推论，它就是一个定律啊，这个定律是什么呢？就是这个，如果说两条直线分别平行于第三条直线，那么这两条直线就分别平行，它既是一条判定， 又是一条平行线的传递性质，所以说它的性质实际上是有三条加上一条隐藏的啊，平行线的传递性 啊，就是如果就是因为 a 平行于 b， 同时 b 平行于 c， 所以 啊， a 平行于 c， 就是 它具有一定的传递性质 啊。呃，这个也不用区分的那么明显啊，这个功理和定理， ok， 呃，咱们找一个这样的一个小练习，稍微一稍微一练习一下啊， 有了学会了这个性质之后，咱们稍微练习一小下，已知两条直线是平行线 abcd， 对吧？啊？已知，已知啊， a、 b 啊，它是平行于 c、 d 的， 然后这个角呢，是四十五度，这个角是三十度，问，中间的这个角啊，角 e 是 多少度？咱们怎么去处理呢？啊？这一张的内容就是过拐点做平行啊，做个平行线， 做平行线，那么的内错角是相等的，对吧？内错角相等就是四十五度，然后内错角相等就是三十度， 所以我们使用两次内错角相等角，亦就是七十五度。好一个简单的小练习， ok， 这是我们平行线的一个性质啊。讲完了，我们下期再见。

一句口诀带你搞定平行线！这里的压轴大题就这道题出现在咱们开学后的第一次月考图，咱们很多同学都是全军覆没的呀， 做不来俯卧撑，或者是会做俯卧撑，但不会倒脚，别慌，今天龚老师就用一个口诀带你彻底搞定这类题型，同时我还要讲一个技巧，让你秒出答案，秒杀五班同学。 那有关于平行线和拐点模型这里呢？孟老师已经把我们近三年的易错题型全部给大家整理出来了，所以一定要先耐心的跟孟老师听完内容，再对应的把这套资料打印出来，咱们逐个题型攻破和练习，考场上再去找，直接拿满分。好，那下面我们来看一下啊，如图， a、 b 和 d、 f 是 平行的，直接让我们求角， c 是 多少度？那在这里呢，孟老师要讲两种方法，我们先来讲通法，讲完通法我们再讲超越大法。 首先通法是什么？就是看到这种拐点，我们要过拐点做平行线，那你来观察，有 d 和有 c， 所以 我要过点 d 做平行线，过点 c 再做一条平行线，那现在呢，就是 a 力和 l 一 和 l 二和 e、 f 都是平行的。平行完以后，我们要开始倒角，倒什么角呢？老师要倒我们已知的角， 根据已知的角去找它的内错角呀，同位角呀，同旁的角呀，依次去找，比如说我们来看一下这里的一百度。好，我们优先找什么？优先找相等的啊？比如说这每克和角要求角 c， 所以 我们就普遍的往这里靠，比如说这个角 d、 o、 c 吧，它就等于一百 度，然后我们看还有感应度，知道吗？七十度，依次也是往上去倒七十度，先找它的同位角也可以，内错角也可以都行，比如说在这这个角就是七十。 好，那这个时候呢，陆老师会发现，在三角形 d m d m c 中，我的这个角是八十五度，那这个角是七十度，所以我就可以求出这里的角 d c m， 也就是一百 八十度减七十度，减八十五度等于二十五度。 ok， 那 这个小角呀，我们是二十五度。 好，我要求的是角 c， 就 求这个角，那我们来看，上面还有一个一百度，一百度的角是不和，这个刚好是 同旁内角互补的关系，所以我们的 m c o 它就等于一百八十度减一百也就是八十度，那我们的角 c 就是 八十 度，答案就是五十五度。这是过拐的和平行线，因为你倒的角面过孩子， 做起来有点 pose 啊。那接下来我教你一个超越的，来看我们这有几个拐点，两个拐点，孟老师讲过几何 o c 两个拐点就是我们的这个小模型，这个就是我们的这个小模型。首先呢，它拐点的出处是两个，其次呢，它的平行线方向这样选法，一个是朝左，一个是朝右，然后我们的结论就是朝左的角度之合 等于朝右的角度之合。大家可以来孟老师的直播间听孟老师进行详细的讲解。那在这里呢，是两个隔界，所以我就知道你是哦背型膜前我就可以把你构造出来，我们构造呢，我们可以 变成这个红色的，那么朝左的角度就是这里的八十度和八十五度，朝右的就是这里的角塞和这个角角是一百一十度，那么我们的前论就是 八十度加八十五度等于角 c 加一百一十度，那么角 c 就 等于一百六十五度减去一百一十度，所以答案还是五十五度一样的。好了，学员们、观众老师，我们每天一个提问技巧，拜拜。

你害怕复杂的题目吗？如果是呀，那就来试试这招。欢迎收看老胡讲数学这个视频呢。我们来聊一聊关于三线八角里边画了好多线的情况。 三线八角呢，说的是平行线，平行线呢，一定是跟谁有关？平行线一定是跟两条平行线和截线有关。所以只要超过三条线的情况，我们产生了一个拐点，必平行，那么就是在超过的线的那个拐弯的地方加一条平行线。 其实呀，无论什么样的题目，再怎么复杂，他的这个做法呢，还都是啊，大道书通规，你得把所有的知识点以及条件给它标里面去。 所以复杂的题目怎么搞事情？标一个标字，把所有的信息标在里面就 ok 啦。比如说这个题咱们也不暂停了，已知 a， b， c， d 平行最外侧这两条线平行状态， d， e 呢？平分 abc， 所以 那这个角平分线所带来的两个相等的角，你要不要点一点？ 哎，你点了吧，我点了 d、 e， 平分了另外一个。那你要不要再点一点？我不点了，为啥？因为上面已经用过点了，我再换个符号，叉号嘛， 然后再来一个怎么办？我换个圈呗，然后 b， a、 d 等于七十找一找 b， a、 d 搁这，这小地方太小了，写外面。 所以啊，问题我还没看呢，他把所有的提问已知条件我先给写里边，我再去看问题不就行了吗？然后呢，在看问题之前，你拿到的已知条件 需要再得一些结论，别着急往后写，先把结论往里边堆。什么样的意思呢？那这两个角平行，带来两个角度相等，但是没有数据，写不了，这由于其实和这个平行线是否因为平行的原因，他产生了内测。角 七十有两个角，第一个同房内角一百一，第二个内错角七十，哎，正好这个七十站在了这个角平面的两侧，所以两边分别得是三十五喽。 你看，两个三十五就标上了，然后还有什么能标的？不转圈看了一圈，好像没有了。这个其实在平行线的作用下，就提供了一个内错和同方内角没了，没了，那就看下一步问题呗，求 edc 啊，就完了。你看，在看问题之前或者是大题啊，先标，把所有的已知条件标进去，已知条件标完之后，肯定会得到这个条件自己带来的结论，因为所以就出来了，所以你先把这个写完，再去做下一步。 那就到第二问喽。第二问过一点，又做了 e f 平行于 ab 这根线跟上面平行，那你说平行线的传递性你可没忘，所以三条直线都平行喽。哎，三条直线一旦平行，后面咱就不读了，咱就光看这三条平行线，你说这里边出现的内错角，同旁内角是不是很多， 对吧？都写到这份上了，咱三十五给它写上去呗。所以啊，两直线平行内错角相等， 这样一看，哎，这还有一个等腰三角形呢。俩 d 角都是三十五，然后仅有这些数据做不了题，所以看下一个已知条件， b c d b c d。 是 啊，四十标在这。 哦，这是一个四十度，这是一个四十度，在平行线的作用下，你说他要不要写哪错角呢？很明显，他就得写哪错角就到了 b 这个位置，所以这两个点分别就是二十度喽， 角平分线是求 b、 e、 d 的 度数。行了，不管问题，他们前面给的两个已知条件，第一个已知条件 你弄出来一个内错角，第二个已知条件又得到一个内错角，还有被平分的两个角。那么接下来他问的这个一点的角度又是平行线一点，不就由上下两部分组成吗？那下面是不是再来一个内错角，二十五、十五度就出现了？ 所以你看，我们对于这个题的思考时间啊，并没有很长，基本上呢，就是在标标完了，再把已知条件得来的结论再标 三，标两，不标五，标六，不标七，标八，不标，标来标去，最后的结论自然就出现了。 所以啊，别看大题文字多，实际上要点也就那么回事，标已知条件得已知条件的结论， 在配合着已知条件的结论啊，去解决它里面的问题。好，感谢收看，有什么问题啊，欢迎下方留言，咱们下个视频见。

好，我们有了基本知识之后，我们学习一下平行线的一个判定，就是，哎，两条线放这两条线，它放在这，这一条线是 b， 我 怎么能说明这两条线它是平行线呢？ 就是哦，我说这两条线它没有焦点，我怎么能说明它没有焦点呢？或者是说这个怎么去判定它呢啊？首先有一个判定方法叫做平行定律，就是如果， 如果有第三条直线 c， 如果 a 呢？是平行于 c 的， a 平行于 c， 说明啊， a 和 c 是 不可能有交点的，对吧？平行线，那么同时呢， b 也平行于 c， b 也平行于 c， 那 么我们就可以说 a 平行于 b， 也就是说平行于第三条边的平行于第三条直线的两条，两条直线是相互平行的，这叫我们的这个平行定律是可以直接直接使用的。 呃，这一条也可以称作平行线的传递性质啊，就是如果 a 等于 b， a 等于 c， b 等于 b， a 等于 c， a 就 等于 b， 它是相互传递的。好，这是我们第一个。第二个呢，是三线八角啊，这个这样的一个概念，什么意思啊？ 两条直线被第三条直线所截，我把这个上面这个干容易产生干扰的，我给它擦掉它。两条直线被第三条直线所截，这个时候呢，会形成了八个比较基础的角，角度一二三四 五六七八啊，一二三四五六七八。那么，呃，形如一五这样位置的角呢？我们把它称作同位角，一五位置的角叫做同位角，就是形如 角一角五这样的，我们把它称之为同位角啊，形如二六形，形如二五这样的关系的角叫同旁内角， 形如角二角五，这叫同旁内角， 就是他在平行线的内侧，同时在结线呢，这条线是结线啊，的同一侧。同理啊，三和八也是同旁内角，形如 形如角三角五这样的关系的角呢，叫内错角 啊，内错角，它是形成一个 z 字，在内部同时被错位了，被截线，错位，分开啊，形容这样的角叫内错角。同理啊，这个角二和角八也是内错角啊，形容这样的， 这里边这个同位角有几对？有四对啊，同位角，记住有四对。同旁内角是两对，二五和三八两对。这一个内错角是有两对，是二八，三五也有两对，这叫三线八角。 那我我除了这个，用这个刚才这个平行定律，说明两条直线是平行的，还有什么办法呢？哎，就要用到刚才咱们这个同位角，同旁内角 就是这个如果啊，这是一个定律啊，就是如果这个同位角相等，同位角是相等的，就是同位角相等， 则两直线平行。如果这是 a， 这是 b， 则 a 平行于 b。 同一角相等，怎么写呢？比如，如果角一等于角五啊，写成我们的数学就是，呃，如角一等于角五，则 a 平行于 b， 咱们把这个擦掉，它同内角相等，则平行。就这么写。同理的啊，这个内错角相等，内错角 相等，那么两只线也平行。内错角，就是刚才咱们形容啊，角三角五这样关系的角啊，同旁内角互补。 同旁内角如果是互补的，那么两直线也是平行的啊，则两直线平行。也就是说，简单来说，如果角二加上角五等于一百八十度，那么 a 也是平行于 b 的 啊，这叫同旁内角互补，这样直线平行， ok？ 呃，咱们找一个这样的一个题目，稍微练习一下哈。稍微练习一下？ 稍等。我擦一下，我在这个地方写一下， 是不是不找题目练习，大家应该也能明白吧？啊？我不找题目练习，大家也能明白啊。这个我举个简单的例子啊。我稍微一举个简单的例子啊， 证明两条直线平行，你比如说这个角如果是七十五度，这个角是四十五度，这个角是三十度，我随便编的啊，这几个角度，哎，如果这三个角是这样，那这两条线平行吗？标个字母 a、 b、 c、 d、 e， 它平行吗？它是平行的方法呢？就是这个时候会用到一个非常重要的信息叫辅助线，就是我们过拐点过平行啊， 过拐点过平行，做谁的平行线呢？做 a、 b 的 平行线啊，做一个平行线，这一个，这个时候呢，两条直线平行的话，这个角是四十五度啊，我们稍微用了一下平行线的这样一个性质啊，那么这是三十度， 这一个，呃，这是七十五度的话，这个角就是三十度，为什么？因为这个角是七十五减四十五，等于三十啊，这样的话三十啊，等于三十，所以说这两条直线平行， 这两条直线平行啊，这两条直线平行，而这两条直线是平行的，所以说这两条直线平行啊，稍微进行了一个说明啊， 这个不说明，这个例子还能懂，我相信大家是很聪明的啊。 ok， 这个内容的话是平行线的一个判定基础。 ok， 我 们到这里，下期再见。

嘻嘻，小课堂又开讲了，大家都应该学到平行线了吧，其实这个就是一种几何的初步，他其实没有那么难，但是也有难的地方，就我就拿了两个最经典的也是比较难的地方给大家说一下。 第一个其实就是这样的铅笔头模型，就是无论你有什么样的拐点或者有几个拐点，你都是在这做一条辅助线，记得要用虚线，要不扣分， 都做一个这个，然后你会发现你要么把它延长，它也延长的话内错角相等， 嗯，要么你就是他他一百八，他他一百八，也就是说我们就会出现平行线中最常见的三线八角内错角相等， 同旁内角互补补，对不对？对，所以我们要构造出来这样一个内错角和同旁内角的问题。那么这些呢，在几何模型当中都是有各种各样的，我们画的是比较简单的啊。对，希望大家能够 尽量的把所有的模型都背下来，这样的话呢，我们做题的时候就非常有思路，否则你永远做不出来。对，下一个呢，下一个就是这种翻折的，就是这个地方给他折上去。嗯嗯， 就是我们一定要记得无论你怎么折，折几次，那么他这个角和这个角永远是相等的，也就是说翻折的部分啊，翻折的部分，他的这个角角的度数一定是相等的，并且这个地方，哎也等于这个地方，嗯， 这个呢，他也等于这个，大家还没学呢啊，那块就这两个三角形属于全等了。对，或者说对称轴部分的话，也就是说以中间的那条折痕为轴对称了， 对不对啊？如果要是说全等的话，角角角可全等不了，那因为有一条边吗？对，这个地方是一条边，边也是一样的啊，等于它那就角边角。所以说 我们最重要的是现在学到的问题。主要是你在偏折的折折横折的部分啊，一定是这个角是相等的，相等的主要就是角相等，那如果多折几次呢？如果多折几次还是那个道理，它角还是相等的，但是要需要计算了。如果折叠以后重合了呢？ 和解以后比如说这面，比如这面啊，这个角折过来，然后折到这了，跟这个角有重合跟这个角有重合。嗯，那怎么办这样， 嗯，这样可太难了，太难了是不是？对呀，哎，不难，模型上都有，你没做到，你还不会，但是我们现在啊，一般考试不会考的这么难，但是你要想成为一名学习上的高手，这样的题你也得会， 但是如果这样呢，就是给他这样过来，你之前考试的时候应该有我说的那种难的吧。啊，没有你这样的 他，他有这样的，你看啊，如果给他这么折，这个角和这个角是一样的，就是这么折过来以后他变成这样的，就和这个边重合的是有的，这个边重合的话，那要记得他俩一定是九十度 啊，他俩一定是九十度，因为这个角等于这个角，这个角等于这个角平分了一二分之的一百八，那就是九十度。嗯，没有我说的那种重合的，没有你那样的，那样的太奇怪了。那样的我做过啊，我做过，你没做过，证明你还欠练啊。完事我们做一个这样的题，如果大家有兴趣的话呢，我们会在之后啊，大家可以留言， 我们可以在之后做一做那种有重复的有重叠的折痕的题，多做点这样题，哈哈，开发智力是不是？对。嗯，我是习习，如果想继续听平行线的内容的话，我们下期继续。

嗨，同学们大家好，今天给同学们来分享了一个平行线中的拐点问题，常见的三个模型。 第一个模型， m 模型，这个 m 模型我们平常也叫它猪蹄模型，除了猪蹄模型之外，还有猪脚模型都可以，那它最大的特点就是把 m 进行倒置来看一下，必须是 a、 b 和 c， d 是 平行的，那么 角一、角二和角三，它们的特点我一个平行线就能给它搞定。来看这里，我们假设这个点是 e 点吧，做 e h 平行 ab， 因为 ab 和 cd 是 平行的，那么 eh 和 ab 平行，那么 e h 也和 c、 d 平行，它们三个都平行，这里应用到的是平行于同一条直线的两直线平行，相互平行。既然平行，我把这个角二擦掉，这个角角一，那么 ab 和 e h 平行，那么这个地方也是角一，它俩是相等的，那么这是角三。 e h 和 c d 平行，这个也是角三，所以角一 加角三就等于角一加角三。所以只要是看到 m 这个模型的时候，是猪皮模型的时候，你他的两个小角等于中间的大角， 可我们可以减数为内错角之和，当然他有还有一个终极形态，那终极形态我因为时间关系，我就给朋友们画几个草图看看就行，方法是一样的，你看， 假设这是角 a， 这是角 b， 这是角 c， 这是角 d， 这是角 e， 这是角 f， 这是角 g。 首先必须得是 d h 平行 g q 吧， a h d 和 g q 是 平行的，那你只要看到这个模型，我就直接大胆的下定论，角 a 加角 b， 加角 c 等于角 d， 加角 e 加角 f 加角 g。 其实看了这其实就是复杂的 m 形，多个 m 形连续的，我们还是用平行线 给它解决。我们先画第一根平行线来让它和 h d 平行，再画第二根平行线，还和 h d 平行，再画第三条平行线，还和 h d 平行，再画第四条平行线，还和 h d 平行， 那最后一个也和他平行。这样的话给朋友展示一下。假设这个角是角一，那么他俩平行，这个角一定也是角一相等，那假设这个角是角二，和他的内错角相等的也是角二。 把他这个角叫做角三，那和他立错角的一定也是角三，那这个角是角四，和他立错角的也是角四，这个角是角五，和他立错角的也是角五，那这个角是角六，和他立错角的也是角六。那你左右看，左边，角一角二、角三、角四、角五、 角五、角六，是不是？那右侧呢？角一、角二、角三、角四、角五、角六。那我为什么要用数字相同的呢？就是让你更直观的看到什么角是相等的？哪几个内错角是相同的？数字相同的代表内错角相等。那你看看 两边都是角一，一直加到角六，那你说角 a、 加角 b、 加角 c， 是 不是等于角 d、 加角 e、 加角 f、 加角 g， 是 不是？把这个结论给写一下？角 a、 加角 b、 加角 c， 等于角 d、 加角 e、 加角 f、 加角 g， 这样就结束了。这是 m 模型，那第二个模型我要讲的是铅笔模型或者子弹头模型都可以，那铅笔模型最明显的特征是凸出一块来，这个铅笔模型也是必须 ab 和 cd 是 平行的，那 ab 和 cd 平行，你看一下，我再做这里做一个弧形，假设是 e， 那 e、 h 平行 ab， 那 e、 h 和 cd 也是平行，他们三个都是平行的， 那么你看这，这是角一，这是角二，这是角三，这是角四，那么平行线 h、 e 一 滑之后，角一和角二等于一百八十度，角三与角四是一组，同旁的角也是一百八十度，那么原先的角 b 加角 e 加角 d， 就 等于角一、加角二、加角三、加角四，等于三百六十度，看到了吗？ 那么这是一个拐点，那如果我来画两个拐点，我们就能画两条辅助线，那两条辅助线，这是一组同胞内角，这是一组同胞内角，这是一组同胞内角，那他就有三组同胞内角，那他们这三个，这一、二、三、四四个角合就是五百四了， 因为每多一组同旁内角，它就是增大一百八十度，是不是？那如果是五个拐点的，那我们就能画五条平行线，就出来六组同旁内角，那六乘一百八十度，就是他们那几个角的之合， 是不是？也就说铅笔模型，它就是间接告诉我们利用同旁内角之合去做题，是不是？所以铅笔模型还是很简单的。最后一个模型， 它是翅尖模型，我其实我是喜欢叫它鸡翅模型，那有的地方是叫它犀牛模型、除臭模型、鹰嘴模型，无所谓，它的特点，你只要记住就行了。我们来看一下它的特点，翅和鸡的翅子一样，那你看看朋友们这种鸡翅模型，写一个鸡翅 它的特点是什么来看。只要看到赤尖，你就画平行线，这是 ab， 这是 cd。 你 看画好平行线之后，我们发现 这个角的内错角，把它叫做角一，那么它的内错角，这个就是角一，那么角 b 的 内错角是这个，把它叫做角二，它叫做角二，那么赤尖这个角是不就是内错角，你看 大的减小的，那这个我们把它做的角三，它就是角一减角二。这个吃浆模型其实和 m 模型他们是反面， m 模型的话是内错角之合，而鸡翅模型是内错角之差，这个是不折叠的，有的时候还会烤折叠的鸡翅模型，看一下 折叠的那种，我们画一下，看一下，这个也是 a、 b 和 c、 d 平行，求尺寸。刚才因为支架它没电了，所以我们继续讲一下折叠的 翅尖模型，那折叠的翅尖模型我们也会在它的翅尖这个地方画好辅助线，那这个角的内错角就是这个大点的，这个小的内错角就是这个小点的，那么翅尖这个位置的角还是大角，减小角 也是求它两根叉，这个角一和角二，那角这个角三的话，就是角一减，角二等于角三就结束了，当然这个翅尖模型有的时候就是角一减角二等于角三就结束了，当然这个翅尖模型有的时候还会考察一种，那就是这样的去考察形式， 这样就好了，你是在翅尖画好辅助线，往往这个角的内错角是这个，那他的内错角不是他内错，我们延长他就行，找错他的临补角，这个角的同位角是这个，那么翅尖就是 大角，减去另外一个角的补角，就是求出尺尖的位置的角，这样能看出来就是这几个模型。把这几个平行中的拐点问题搞明白，在做题的时候对你来说非常有帮助，那么我会还会出一期关于这种题型的讲解。好，我们下期再见。

好，同学们，好，我们又见面了，那我们今天要分享的是一道七年级的一道压轴题， 那么今天在这个视频里面，老师将讲解这道题的第一问和第二问。那么首先我们来读题审题，如图一，那么点 g， 点 e 是 直接 ab 上的两点，那么 g 点在 e 的 左侧， 扩点 g 的 直线 g， p， 这条直线和扩点 e 的 直线 e， p 相交于点 p， 同时直线 p e 交直线 c， d 于点 h， 点 e 在 线段 p h 上，那也就是三点共线，还要满足啊， 而且还告诉我们，其中还告诉我们角 p、 g、 b 加上角 p 等于角 p h、 d， 我 们把这三个角画出来， p、 g、 b， 那 是这个 角，角 p、 h、 d， 那 当然是这个角， 这个三个角的关系，满足这个数量关系，那是证明 a、 b 平行 c、 d， 那 我们在前面我们讲过，像这种题要证 a、 b 平行 c、 d 这条直线平行。那接下来我们来找拐点，我们之前讲过这个模型，这是我们点心的平行线的模型，那么不在平行线上的点，我们叫做拐点， 我们基本方法就是过拐点做平行线。好了，接下来我们来分析这几个点，总共这道题里面一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个、八个，总会有八个点， 那么只有点 p 是 在这个平行线外的，所以这道里面唯一的拐点就是点 p， 所以 我们来过点 p 做什么呢？做 a、 b 的 平行线。 好啦，我们强调一下，像这种题型啊，我们把这种题型叫做前仰后翻角图形，那么这种题型我们做平行线的时候要构造内错角，那过拐点做平行线， 构造内错角。同学们做下笔记，构造内错角， 因为这是典型的，我们看到这个模型就知道这个是前仰后翻的模型。那么我们构造内错角就很简单了，我们只需要过点 p 往左边做就行了，就得到内错角， 好，那就减。第一问，那么过点 p 作 p， 取个字母 a， b， c， d， m， 用了 m 吗？啊，又用，用了 m， 这里有 m， 所以 我们换个别的字母啊，换个别的字母 a， b， c， d， e， f， g， h。 好， i m， 那 做 p i 平行 ab， 由此我们就得到的内错角，那跟这个已知条件，那内错角，那，所以这个角就等于角 p g， b， 由此得到角 i p g， 它就等于角 p g， b 这个， 那，那么已知条件。我们来看一看已知条件，那，因为这个，所以我们要换，那，因为角 p g， b， 加上角 p 等于角 p h， d， 那 因为我们这里这，现在角 p 这里增加了一条线，所以我们不能写角 p， 所以 我们写一写，加上角 g， p e， g， p e， 它等于角 p h， d， 所以等量代换，所以得到角 i p g， 那 这两个角相等，我们换掉，加上角 g p e， 它就等于角 p h， d 呀。 哎， i p g， 加上角 g p e， 那 这个角加这个角，不就是角 i p b 吗？ i p e 吗？即 角 i p h， 它等于角 p h， d 呀。 好了，那么这两个角，这一个角和这一个角，我们发现是这条直线 ab 和直线 pi 被这条直线 p h 所截得到的内错角，那么由内错角相等，所以我们得到两直线平行，由此得到，所以得到 pi， 它就平行于 c， d， 这里是平行线的第二个判定。内错角相等，两直线平行，由此我们又根据 pi 又平行 ab， pi 又平行 c d， 由此我们得到 ab 平行 c d， 这是平行线的传递性，也就是我们平行公里的推刃，那第一位我们就挣出来了。

咱们今天来讲一个七年级下册的必考题，不管你是月考还是期中还是期末，都会考到一个题型，就是补充证明过程啊。我们一起来看题，它如图，已知角一等于角二，角三等于角四，角五等于角 a， 让我们去证明 b e 平行于 c f。 那 么在做这个，不管是做这种补充过 程的题，还是自己去做一个证明题的时候，你都要有这个意识，他让你证明这两个直线平行，我们只有三个途径，第一个要么就是同位角相等，要么就是内错角相等，要么就是同旁内角互补。 让我们一起来看一下他的过程，他说因为角三等于角四，理由是已知。来，同学们记住所有题目中给我们的条件，我们在写理由的时候全都写已知就可以了。然后因为角三等于角四，所以 a e 平行于谁？他这个图有点乱，我找不到哪个线是哪个线，老师教我们的小技巧， 我们把他说的这两个角的边给他描起来，哎，这样就非常清晰了，我就知道这是一个字母 z， 那 就是两个内错角了，对不对？那既然他说两个内错角相等，那找到直线就是 a e 平行于 b c， 理由呢？ 这个时候有同学又纠结了，我到底是先写两只线平行内错角相等，还是先写内错角相等两只线平行？再有个小技巧，看他让你写理由的，上一个他先说的角相等再平行，那我们写理由的时候也跟他一样，先写角相等，最后写两只线平行。那这个是因为内错角相等，我们的理由就是内错角相等 两直线平行啊。然后我们继续往下看，然后他说，所以，为什么？所以啊，是因为两直线平行了，所以角 e、 d、 c 等于角五，对不对？因为这个直线和这个直线平行，所以这两个角相等。那我同理，我也把它这两条线给它描出来， 所以我们就得到了。哎，又得到了一个字母 z， 对 不对？字母 z 就是 那错角了，但是我们这次还是那错角吗？还是那错角相等。两直线相等了，那我们就要写，我们也要先写两直线平行 内错角相等，然后因为我们继续往下看，因为角五等于角 a， 这也是题目给的条件，所以我们的理由也是已知角五等于角 a， 所以 角 e、 d、 c 呢？和谁相等啊？你看 e、 d、 c 等于角五，角 a 也等于角五，那么他们两个是不是也相等啊？所以就得到了角 e、 d、 c 等于角 a。 理由呢？你看他们两个是不是两个相同的角可以互相替换？那我们理由这种情况下，理由就是等量代换，就两个相等的量可以互相替换，就这个意思， 所以通过这两个角相等，所以 dc 平行于 ab。 为什么呀？哎，我们还是把这两个角给它描一下，发现这这一个倒着的字母 f， 那 倒着字母 f 就是 同位角吧，那就是同位角相等，两直线平行。 嗯，然后通过这个同位角相等，我又知道两直线平行了，所以角五，这个角五加角 abc 加这个角，它等于一百八十度。理由是什么？哎，因为他俩平行，所以同胞的角互补，那我们知道角 a、 b、 c 又是由角二和角三组成的，对不对？ 所以我这理由也可以写角五加角二加角三等于一百八十度。又因为题目中说了角一等于角二，题目中给了，那就是已知呗。所以你看角一和角二相等，我是不是可以把角二替换成角一，也就是角五加角一加角三等于一百八十度。那角一加角五，它又等于什么呀？等于角 bcf 对 不对？ 所以我就可以写成角 b c f 加角三等于一百八十度。这块的理由，同样是两个角相互替换，就是等量代换，然后 这个角加这个角等于一百八了。所以 b e 看把两个角瞄一下，是不是就看出来了？ b e 平行于 c f 啊，理由是什么？先是同旁内角互补，所以两直线平行，那么同学们可以一会试着再做一遍。

这是一个你看完就想让我删掉视频，毕竟没有人想把我们提分的秘籍拿出来分享。想要搞定我们七下的平行线问题，只要你认真去还我们七下自学提前就能锁定到九十加，你学不学？那今天呢，我们老师就用两步法来带着大家轻松搞定 我们这种平行线的证明问题。如果咱们孩子证明过程还经常写不清楚扣分，那家长一定要把我整理的平行线判定易错。真题三十题 打印出来，监督着孩子把这一块刷透，学会好。下面让我们来看一下这道题目，他说已知角一加角二等于一百八十度，角三等于角 b。 好， 然后让我们去求证这两个角相等。首先第一步，你要会利用我们其中给的角度的已知关系去推导我们两条直线的 平行线的关系，我们来看一下啊，你看九一加九二是一百八十度，那很显然我知道九一加九四是一百八呀，所以说九一加九二就等于九一加九四都是一百八，我就可以推导出哦。角二等于角四， 那大家再来看角二和角四，什么角呀？内错角，那内错角相等，两直线平行的， ok， 平行完以后大家不要摆在这就完事了哈，待会在图中标注出来，然后我们来找一找还能不能等其他的角位， ok， 我 们继续再看啊。后面又紧接着给了个角三等于角 b， 哎，有角三有角 b， 看我突破已经正出来的两条直线平行，我是不是可以得出来，角三其实就等于角 a、 d、 e 就 等于角 b， 所以 说通过平行我们又可以推 角三等于角 a、 d、 e 就 等于角 b， 而角 b 和角 a、 d、 e 相等，它俩是同位角相等，所以两直线平行，又可以推出 b， e 和 bc 是 平行的。 ok， 那 么最后呢，让我们证明的是， a、 e、 d 等于角 a、 c、 b， 然后等于啊，等于 两直线平行，同位角相等，所以说通过平行，我们就可以直接推出角 a、 e、 d 等于角 a、 c、 b。 好 了同学们，那以上那就是我们今天的内容，关注孟老师每天一个满分技巧，拜拜！