昆区三校联考几何图形

各位周华生大家好，我们将会通过模型速通这个系列快速梳理中考中所有模型，每天十分钟助力冲刺中考高分的你。今天带大家梳理的是第三讲几何图形初步。几何图形初步这个板块主要包含，例，对图形展开图重合点问题。线段与角的技术问题。正方体积体的表面积问题、对顶角和邻补角的对数问题。 模型一，立体图形展开图重合点问题。正题一句话，快速的秒掉，叫做马走日走两次。我们看一眼，由立体图形的展开图可知，图中日字两个不相邻顶点，是立体图形相对的顶点。什么意思啊？这个马走日， a 点和 b 点是两个不相邻的顶点，你在立体图形中呢？它可以落在这两个位置相对的顶点。如果马走日走两次呢，叫做同一个顶点。在两个日子不相邻的顶点必定重合， a 走到 b， b 走到 c， 那 么在这道题里面， a 走到 b， b 绕回 c， 所以 a 和 c 是 重合的，所以马走日走两次就可以重合。我们看一眼，来一道例题，如图所示，是某正方体的展开图， 在顶点处标有数字，把它折成正方体时，与十三重合的数字是十三。马走日走两次，第一次 马走日走到六，第二次往左走，他将走到一。如果马走日往右走，他将走到九。所以马走日走两次，整体是不是顺妙啊？我们看一眼模型二，叫做线段与角的技术问题。 一条线段上有若干个点，求线段的条数。两种解法。第一种媒举法，一条、两条、三条、 四条、五条、六条、七条、八条、九条、十条枚举法，如果想快速做出来这道题公式，找到线段端点的个数， 一二三四五五个端点，用公式直接就可以求出来。五乘以五减一，除以二，直接就是二分之 n 乘 n 减一的公式，快速的秒掉。同样道理，如果是射线这种问题呢？一个顶点出现 n 条射线，一二三四，也可以用枚举法， 一二三四五六六个角，用公式法呢数出来射线的数量，一条，两条，三条四条，直接套公式，二分之 n 乘 n 减一，四乘以四减一，除以二，快速秒掉，对吧？ 下面来两道练习题，同学们小试牛刀一分，在评论区留下你的答案。模型三，叫做正方体，堆积体的表面积，表面积，这种题三步就可以把它快速做出来。第一步叫做找出正方体的三式图，主式图，左式图，俯视图，找到三式图之后，找到各图形的面积， 面积求出来之后求和乘以二倍，快速的秒掉。我们来到例题试一下，比如这道题，十九个棱长为 a 的 正方题，如图所示进行摆放，那么这个几何体的表面积，我们三步直接做出来。第一步， 主式图，找到它的面积，一二三四五六七八九十十个 a 平方。左式图， 第一层一个，第二层两个，第三层两个，第四层三个八 a 平方俯视图直接击做这个九 a 平方，所以把它们求和乘以二快速秒掉，所以三步把这个题就做出来了，是不是很快来一道练习题，同学们评论区留下解答 模型四，对顶角与邻补角的对数问题。这种题也有步骤，两步做出来，第一步，看看有几个叉子，如果叉子数量出来了，乘以二就是我们对顶角的数量，如果乘以四就是我们邻补角的。那么这种题 如果是图形一呢？非常简单，直接一眼蹬出来了，直接就是一个叉子乘以二，两对图形二呢，费点劲可以蹬出来，对吧？三个叉子乘以二可以做出来，但图形三蹬眼就有点费劲了。我们可以套公式，有几个叉子呢？ n 个线段，两两相交，出现二分之 n 乘 n 减一个叉子，是不是特别相似啊？我们上面那模型背过，老师在这里给大家整合一下。无论是线段 还是射线，或者是两两相交数叉子，它的公式都是统一的，二分之 n 乘 n 减一来到立体。二零二六年呢？二零二六条线段或者是直线都行，相交于一点，相交于一点，也跟两两相交是一个意思，对不对？它其可以形成多少对对顶角啊， 直接 n 条线段或者 n 条直线，二零二六乘以二零二六，减去一除以二，就是 n 个叉子，叉子数点乘以二，就是对顶角的对数，所以快速的秒掉对不对？非常非常快啊！来两套练习题，同学们练习一下，评论区留下解答。 最后我就把几何模型，初步几个重要的模型放在题上，供大家参考。二零二的中考，我们稳扎稳打，下期见！

分区三校联考的成绩出来了啊，好多家长又开始焦虑了，孩子特别是数学没考好，这次凡是在八十以上就属于高分段了。对，基本上在三十五，二十九分，科三就剩一百多的一个排名。吴 老师，你觉得这次数学主要难在哪？其实这次数学吧，主要是难在这个是谁？第几题呢？第八题，你看第八题，还有这个是谁呢？十二题， 再就是十六题和十八题。那比较耗时长啊，大多数学生是什么呢？平时没有现实训练的习惯，他没有那个时间观念，有的题可能是会做，但是消耗的时间比较长。对，所以最主要是这次考试考不好的原因是什么？时间安排不合理。然后有的呢，就是选择题呢，他做到了大题小题大做，就说 选择填空用的时间过长了啊，选择填空的时候一一直做到，这个是谁？第十三题，十四题啊，十四题，也就是说第一页的题呢？你，你最常用四十五分钟的时间，必须做完才能保证，第二页的题，你才能， 才能保证都看了，就能都做了，才有时间分配啊。这一半的时间已经有点过长了，如果要是说想拿高分九十分以上，你第一页的题呢？你最最长的话，三十五分钟的时间啊，也就是这个，所以一定要有这个限时训练的这个。

家人们，这两天包头市的一模时间已定，四月二十号我们会迎来全市的包头一模。那我手里的已经有考完的卷，因为咱们现在内蒙古是省考， 所以我建议家人们要参考各个地区的考试，那手里我有昆区三项领考的卷，以及鄂尔多斯刚考完的适应性考试的卷。 那呼市定的是四月十五号，我会陆续的给大家收集这些整体的卷，因为每一个地区都在猜测内蒙古今年的一个方向，关于我们中考生学以及考试方向，大家有任何问题都可以在评论区扣一。

哈喽，同学们好，每天一道数学题，中考高考没问题，咱们今天来看这个高考大题。第二种题型主要立体几何，这种题的话也基本上是可以得满分的一个高考数学大题之一哈。然后的话，它分成了这个几何法 和这个向量法，有坐标，坐标坐标，然后的话如果能看出来，用几何法相对来说证明是比较简单一点的，如果看不出来的话，用坐标去计算 是相对来说就是计算量会大一些，但是他对这个立体几何的空间感要求不是特别高，然后所以这一个用这个间隙坐标， 间隙坐标的话，应该是能够很好的弥补这个空间立体感的这一块的缺陷啊。好的，来看一下题吧。来看二零二五年全国一卷高考难题，如图所示，四棱锥， 然后 p a， b， c、 d， 然后 p a 是 垂直于平面 a、 b， c、 d 的， p a 是 垂直于平面 a、 b、 c、 d 的， 然后 b、 c 平行于 a、 d 的， 然后 a、 b 垂直于 a、 d。 好 的，已知条件，这把图给了啊。平行，然后 p a 垂直于平面，然后 a、 b 垂直于 a、 d， 然后第一位，来看一下第一位，第一位是正平面 p a， b， p a、 b， 这平面 是垂直于平面 p a、 d 的， 垂直于平面 p a、 d 啊，就是这一个左面，垂直于这一个后面啊，这背面。好的，来看下这两个面的关系，然后已知的话，这个 p a 是 垂直于平面 a、 b、 c、 d 的， 所以的话垂直于平面就垂直于平面那个任意直线，所以这个 pa 是 垂直于 a、 b， pa 也是垂直于 a、 d 的 啊，这个是直接可以得出来的，然后它垂直于 pa， 垂直于任意啊，垂直 b， c 也垂直 c， d， 然后如果和这个面相关呢？这个 pa 垂直于 a、 b。 好 的，然后的话又又有这一个本身已知 a、 b 垂直于 a、 d 的 p a 垂直于 ab， 然后 ab 垂直于 ad， 说明什么？什么叫 ab 垂直于 pa 垂直于 ad 啊？就够了啊。然后的话，又因为 垂直于两条相交直线，所以垂直于面，所以这个 ab 啊，又因为这个 a， p a 和这一个 ad 相交在 a 点，相交于 a 点， 所以这个 a、 b 垂直于两条相交直线，它就垂直于面 p d。 然后又因为 a、 b 是 这一个 p a、 b 上的直线，有一条面上的直线垂直于这个平面，那么这两个面互相垂直，直接就这样，所以平面 p d， p a， b 垂直于平面 p d。 好 的，这一个就考察的这一个立体几何里边的这个关系，对吧？立体几何里边的一个线面关系， 他没有给长度的话，是没有办法进行间隙坐标求计算的，所以只能用几何法来证明。好的，咱已经第一位已经证明他是垂直的了，那第二位的话，这个给数了。 p a 等于 ab 等于根二，标一下，根二根二，然后 ab 等于一加根三， bc 等于二， bc 等于二。 p b， c、 d 在 同一个球面上， p， b、 c、 d 四个点在同一个球面上，色球心为 o， 然后第一问，第二题的第一问证明 o 在 平面 a， b， c， d 上， o 在 平面 a， b， c， d 上啊，这肯定需要计算了，对吧？以 a 为圆点， ab 为 x 轴，然后这个 ad 为 y 轴， ap 为 z 轴间隙， 然后的话，这个求圆 o 在 a、 b、 c、 d 上，它肯定就是求圆 o 的 坐标， 求圆 o 的 坐标上，那我要求圆 o 的 坐标的话，这个圆 o 具备什么特点？然后它们在球面上，那么这个球心 o 的 话，肯定是 到 p 点的长度，等于到 b 点的长度，等于到 c 点的长度，等于到 地点程度，对吧？这是一定的。然后这个就是球心所具备的到球面上任意一点都相等，那肯定就是用这个等式了， 然后可以设出球心来。那有一个问题的话，它到这个 bc 和 cd 的 距离相等，特别是它到 bc 的 距离相等，实际上是可以减减算一点的。为什么？因为 b 和 c 这条线这个线段比较特殊，它是平行于外周的， 所以的话，它的垂线到 b 和到 c 点的距离的话，肯定在这个垂直平面上， 在这个垂直平面上啊，在它中垂线这个垂直平面上，所以的话，那这一个可以设，就简单一点，可以设为 x 度 o 点坐标为 e 度 c， 那 它一定在这个平面上，对吧？在这个垂直平面上啊，这个 b c 的 垂直平面上， 好的，可以算一下了，就是这一个的话，这个一得来的话，就是 o b 等 o c， o b 等 o c 的 话，能得出来这个 y 坐标的话，是能得出来，然后再利用其他的来算一下， 然后来写一下坐标，然后这时候这个 a 的 话，肯定是零到零到零圆点嘛，然后这个 b 点坐标的话，是根二到零到零， 然后 c 点 c 点可以不用了，因为已经用了这个 o b 的 o c， 然后这个 d 点 d 点坐标的话，是零豆一加根三豆零， p 点坐标，零豆，零豆根二。 好的，先利用这一个做简单的向量，应该等于啊， o p 向量应该等于负 x 度负一度 n 二减 z， 二减 z， 然后这个 o b， 下面是 n 二减 x 到负一到负 z， 然后还有这个 o b， o b， o d， o d 相等，应该等于负 x 度，根三度负 z。 好 的来 o b 等 o d， 根二减 x 的 平方加负一的平方加负， z 的 平方等于 x 的 平方加根三的平方加负 z 的 平方减没了，就 x 被算，然后二减二，根二， x 加 x 方加一等于 x 方加三，约掉 x 方， 三没了二倍的根二， x 等于零， x 等于零。 那同样的道理可以表示一下。这一个咱用完了啥？用完了 o b 等 o c 了，用完了 o b 等 o d 了，就差这个 o p 的 关系是吧？ o p， o p 和 根二减 z， 根二减 z， 根 o p 的 o d 可以 用 a， o p 等 o d。 我 算一下合照来 o p 等 o d 可以 得到什么？ x 平方加上负一的平方加上 a， 二减 z 的 平方等于负， x 平方 加三加 z 的 平方，能够得到的是， x 方干掉 一，加上二减二倍的根二， z 加 z 方等于三加 z 方， z 方干掉三，干掉孩子。二倍的根二， z 等于零，所以 z 等于零 求出来 x 求出来了， z 求出了 y， y 也是，对吧？ y 是 e， 然后就是用这一个相等关系。相等关系，这主要这个 o b 等 o c 的 话它比较好用，射出来了之后的话，呃，就不用建方阵图了，然后剪完之后就是一个关于 x 或关于 g 的 过程就比较好。这一个能看出来 o b 等 o c 的 话就比较好用啊，还是应用圆心到圆上的距离相等。好的，那这个 o 点坐标的话是求出来的，就是零到一到零， 因为这个 z 等零，所以 o 点在平面儿配比 c d 上算完了。第二问，计算量比较大一点， 就射出圆心来，然后到四个点的距离相等，好的，然后来看一下下一位 这个直线 a c 到与直线 o c 的 夹角啊，垂向量 a c 的 话，之前的时候咱已经把这几个点求出来了，对吧？ o 点第一位求出来的是零，豆一豆零，然后的话这个 c 点 c 点 c 点 c 二，根二，根二一加根三， c 点坐标的话是 根二到二到零，然后这个 p 点坐标 零逗零逗，根二直接写就可以了。那这一个叉位两个的直线夹角应该就是向上夹角的平方对向下加角余弦的平方， a c 乘 p o 比上 a c 的 膜乘 p o 的 膜向量有可能是负的，但是直线加角的余弦只能是正，就这个问题加，别忘了取正就可以了。嗯，好的，直接算就行，然后还是要单独求一下，对吧？然后这个 a c 向量， 那就是根二到二到零，因为 a 是 零到零嘛，然后这个 p o 向量 p o 零斗去减勾负一斗减二，好的，直接可以乘了 负二，因为这全是零了。 x 乘 x 加 y 乘 y 加 z 乘 z， 然后比上 a c 的 长度， a c 的 毛印号下 它的平方加它的平方加它的平方，然后就是根二的平方加上二的平方根六，然后这一个 p o 的 长度零的平方加负一的平方加根二的平方，等于， 你看根二乘啊，根六，根六乘根三等于三倍的 三分之二取正。好的给大家分析一下， 第一位的话，正平面垂直的话，它其实用到的是线面关系，对吧？线面关系，然后的话垂直于平面，就垂直于平面里的两条直线 pa， 然后用利用了这个 pa 垂直于平面，所以 pa 就 垂直于 b a， 然后这个 ab 的 话又垂直于这个 ab， 所以 ab 是 垂直于相交直线，所以 ab 是 垂直于面的， 然后这个 p a b 的 话是属于这一个 p a b 的， 所以的话两个面垂直啊，可以直接导出来两个面垂直，它利利用的就是这个线面关系啊，线面关系， 几何线 d t 几何的线面关系，然后像后边的第二根的话，正常情况下都要用这一个大体的计算，对吧？做坐标，所以这个几何关系加这个间隙，间隙计算 是用来解立体几何的一个比较重要的方法，这是一个咱能够得到满分的一个大体，希望对大家有所帮助。祝大家中考各科成绩再见！

四月十五号十六号护士初三的孩子就要进行一模考试了，那考前还想练练题的家长朋友们，洪老师这里有包头昆区三校联考的一模试卷，想要提前做一做，多练一练的联系洪老师。

好，大家好，各位老师好，本节课呢，我们借助以几何板来去构造轨迹啊，做一个椭圆。上节课呢，我们呃做的曲线呢是抛物线，这节课呢，我们来去绘一次椭圆。 本节课呢啊，我们给大家讲解两种形式，好，我们先把这个标题打出来啊，利用 轨迹构造椭圆，那么构造椭圆，我们要利用椭圆的几何定义，就是平面内到两个不重合的啊，定点的距离之合呢，这个定值 我们讲的是平面啊，以我们的几何画板主要来去绘制平面图形，平面内 到两定点定点的距离，那距离之合等于等于定值。 好，也就是我们要在平面内找到这样一个点到两个定点的距离之合呢，是一个定值 啊，我们先构建两个点，这两个点呢，我们要是最好要是水平方向的，我们可以啊，这样可以呢，就是这一条水平方向的线段，就是这两个 定点一定点二。 嗯，然后呢，我们以这个点为圆心，来去做一个圆啊，做一个圆， 好，这两个定点的距离我们小一点， 我们这个圆呢先放在这里，最后呢我们来去探求一下这个圆的半径的大小与这个椭圆之间的关系。 然后呢我们在啊这个上面呢，再做一条线段 啊，这一个点呢就是一个洞点， 再把这两点连接好，接下来呢我们要选中这条线段构造它的终点， 然后呢再选中这条线段构造垂线，哎，这样以来呢，就是垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离是相等的，所以这一个啊，这两边， 这一边和这一边是相等，那么我们来看这一个动点，这个动点到这两点的距离之和，其实它就等于半径。 主动点在哪里？主动点在这里，我们把这个线呢改成细线， 改善虚线，这是主动点，这个点呢就是我们在平面内找到的这个点，所以选中这两点构造轨迹。哎，让这个就是一个椭圆， 让我们现行改成实线，好，这就是椭圆的基本绘制方式， 那么下一节课我们就在这个基础之上呢。嗯，和抛物线缓慢绘制来去做一个对比，怎样能去让 这个椭圆也逐步的绘制出，而不是一次性的构造出来啊？这个我们在下一节课为大家讲解。

主播主播，上期例题几何习题课我已经看完了，现在特别担心自己的解析书写不规范，能不能专门出一期视频重点讲一下这个呀？没问题，同学，这期视频就从证明题到二面角求解，手把手带你把解析过程写的规范又工整 好。同学们，今天我们开启立体几何题型部分的第二期讲解，那么上一期视频呢？我们主要是针对第一问这些证明问题啊，以及第二问的这个二面角涉及到的一些思路要怎么去想出来。那这一期视频呢，我们就针对立体几何的过程书写规范问题啊，再进行一个强调， 看，我们每一题都进行了一个详细的书写过程啊，每一题都是。好，我们直接看这个第三题啊， 看一下他让我们证明什么，他说证明 a、 d 平行于这个面 p、 b、 c。 好， 我们先找一下 a、 d 在 这里面， p、 b、 c 在 这里。好，你要证明这两这个线和这个面平行的话，那我们看一下第一点的第一个思路，应该是想这个 a、 d 能不能平行于这个 bc 吧，因为它们看起来好像是平行的嘛。 那具体能不能我们再看一下题目有给我们什么条件好？第一个， pa 垂直于底面， a、 b、 c、 d。 好， pa 垂直于这里面的 a、 b、 c、 d。 也就是说这个 pa 会垂直于这这里面的任意一条边吧。 再来，好，给了我们一二三四四条边的数据，那给数据你就要把它标到图里面去啊，不然你是记不住的，标到图里面去，像我这样四条边都标出来了。再看第一问，他说 a、 d 垂直于 p b。 好， 我们刚刚得到了一个什么条件？这一条边垂直于这个底面吧， 现在我们又有了 a d， 它垂直于 p b 啊，那同学们想到什么？是不是要把尽量把两个条件联合联联系起来啊？你看我 pa 垂直于这个底面，是不就可以得到 pa 它垂直于 ad， 对 不对？因为 ad 属于这个面内吧？好，我们得到 pa 垂直于 ad 后，又因为 ad 会垂直于 p b， 那 不就可以得到 ad， 它垂直于左边这个平面了吗？ 好，得到 a d 垂直左边这个平面，你看，又因为 ab 在 这个平面内，那我们就可以得到 a、 d 会垂直于这条边，那有什么用呢？我们观察一下，刚刚得到了这三条有数据的边呢？你看一下这个数据的特点， 一根号三二。那么对这些数据敏感的同学呢，其实可以一眼就会发现他这是一个勾股定律吧，一的平方加根号三的平方会等于二的平方吧，那不就说明这是一个直角三角形吗？ 那我们就可以得到 bc 也垂直这条边，而刚刚得到了 ad 垂直这条边，那不就够，那不就可以得到 ad 会平行于 bc 吗？ 好，我们看一下这个过程怎么写。先来线面平行，然后线在面内，所以得到线线平行。好，第一步啊，先 pa 垂垂直于这条线 ad， 然后又因为这个题目给的啊， p b 垂直于 ad 的。 好，我们把这个写出来之后，你再来看一下这两个条件联系起来，你要先说明这两条边他们是有，是，他们是交叉的啊，那就可以说 pa 交 a 交 p b 于点 p， pa 交 p b 于点 p， 再来这两条线都属于这个面 p a b， 然后你就可以得到所以 ad 它会垂直于这个面 p a b。 好。再来，又因为 ab 啊，它是属于左边这个平面的啊，它包含于，那我们在这里就读作且 ab 包含于这个面 p a b， 那 你就可以得到 a、 d 是 垂直于 ab 的 了。然后再把这三条边的数据写一下，然后勾股定律，那你就可以得到这是个九十度，也就是说垂直，也就是说垂直啊， 好的，看我用红色方框圈起来的这两条是帮助我们解析的关键啊， a、 d 垂直于 ab， bc 也垂直于 ab， 那 不就可以得到 a、 d 会平行于 bc 吗？好，接下来我们再由线线平行来正到线面平行，大家看一下，你得说明 bc 是 属于这个面 pbc 的， 并且 a、 d 它不包含于这个面 pbc。 看懂了吗？看懂了吗？ 这里要说明出来啊，要强调出来一个，一个面在这个面内一啊，一条线在这个面内，然后另一条线不在这个面内，那我们读作就读作 a， d 不 包含于面， p b， c， b， c 包含于面 p b， c， 然后就可以了啊，大家再看一下这个，第一问好，然后我们看下第二问。第二问的话，首先是间隙问题啊， 间隙问题，然后对我，我在后台经常会看到有的同学会说，老师，这个间隙我总是找不到垂直，怎么办？或者说他这个图形不规则，怎么办？在这里啊，你看这个图形好像也不是那么规则吧，但是你会发现你，哎，你总能找出两条， 你总能够找出两条垂直的直线，什么意思呢？我们间隙是不是要建成建出一个两两垂直，两两垂直的 x、 y、 z 轴啊， 对不对？你三条线必须两两垂直吗？但是如果有的图形他不那么规则，你可能找没办法直接找出来，但是你一定能够找出来两条是垂直的，能听懂吗？然后你再做出另外一条，另外一条你就直接强调说做出一条线垂直于这个平面，那就可以了。 好，具体我们看一下过程怎么写的啊？那这里先来。题目已经告诉你 a、 d 垂直于 d、 c 了，所以你就以这两条边为 x 轴和 y 轴，然后建立一个，建立一下，然后再看直角。怎么说？ 我们有过点 d， 你 看过这个坐标原点过点 d， 做直角所在直线垂直于这个面 abcd， 那 前面我们说 da 垂直于 dc 嘛，那你就可以强调以做 d， a、 dc 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，然后再来过点 d， 做轴所在直线垂直于这个面 a、 b、 c、 d， 那 你这样子的话，不就把这个空间直角坐标线给它表示出来了吗？ 好，然后我们再看这个问题要怎么正？问题是怎么问啊？他先告诉我们这个二面角的正弦值，让我们求 a、 d， 你 求谁，你就在这里假设谁嘛，因为你这个 a、 d， 它也没有说在哪条线之内嘛，那你就直接就是 a、 d 这条线，你假设它为 t， 夹上一条 t 之后，我们看下这个二面角是什么样的？ a， 然后 c p。 好， 那就是 a， c p 这个半平面以及 c p， d 这个半平面， c p， d， 好 在这里这是一个，然后这又是一个吧。 好，同学们看一下啊， a、 c、 p 和 c p d。 行，然后把这两个半平面找出来之后呢？你怎么去解析这个 a d 呢？你要想啊，你一定是要翻译条件，你要把这个二面角的正弦值为这个形式给它表示出来。怎么表示啊？我们是不是说了二面角，二面角，你是怎么样去求二面角的？ 假如说一个面 r 法，一个面贝塔是不有，你另其中，呃，求出其中一个面的法向量为 m， 另一个法向量为 n， 然后你可以算出这两个法向量所乘的夹角，它是等于一个 m 向量乘以 n 向量，然后除以它们的摩的乘积， 对吧？你算出来之后，这一个角度啊，它就是这个二面角的余弦值，当然是绝对值啊，余弦，二面角的余弦值的绝对值。行，然后你这么算出来之后，你这里是正弦值吧，你怎么把余弦值换为正弦值呢？那就是 sine theta， 它又等于一个根号下的 e 减 cosine 方嘛， 对不对？那这个是三角函数的知识。好，那么我们讲到这里的目的就是为了告诉你，你要先把这个条件给它拆出来翻译出来。好，怎么翻译呢？ 先把这这四个点，这四个点的坐标里头有吧？好看，我们假设 a， d 为 t， 之后以 d 为圆点，那这个 d 就是 零零零。好， a 呢？ a 在 x 轴上吧。好，这里没标出来啊，我写一下 x， y， z 行，那 a 点坐标是不是有了 t 零零，然后 p 点坐标呢？ p 点坐标，你看我这个 pa， 它是垂直于底面的啊，所以它的 y， 它的它在 y 轴上的坐标应该是为零的，而 x 轴坐标肯定就是跟 a 点的坐标是一样的，因为它在这个 a 点的正上方嘛。 好， t 零二，因为高度是二嘛。好，剩下这个 c 点坐标呢？你就自己再看啊，这个垂直，这个也垂直，然后它的 y， 它的 y 值上这一条距离应该是，我们看一下 应该是什么好，这个垂直嘛，你这个是二，那就四，那就平方嘛，二的平方减掉 a d 的 平方，再开根号嘛。好， y 值出来了，然后它既然这个 c 点在 y 轴上，你 x 轴和 z 轴上的距离都是为零的嘛， 所以就是零这个字在零好，四个点做八都有了。按照这个形式，我们把它所需要的向量写出来，首先我们看一下，你这个向量是一定要有的啊， cp， 然后 cp 向量写出来 再来，然后啊，当然你不写也可以啊，你也可以写 a， c 啊， a p， 然后再来 c， d 啊， p d， 能懂吗？就是把这两个面给它写出来，把这两个，把这两个面所涉及到的向量给它写出来。那我刚刚为什么说 c p 一定要写呢？ 因为如果你写了 cp 啊，你看你左边这个面是不是再写一个 ac 就 好了呀？然后你右边这个面是不是也可以用一下 cp， 然后写一个 cd 或者 pd 都行啊？那这是这样子写会比较方，方便一点， 但你不按照这种方便的方法写也行啊，无所谓的，你只要写的能写出来就行。好，看，我们这里选用了 ac 向量、 ap 向量。好的，这是这是不是 a c p 这个平面的向量呀？然后再来 p d 向量， c， d 向量。好，这个就是 c p d 平面的向量了。好，我们看四条向量都写出来之后再来，你假设面 p a， c 和 p c， d 的 法向量分别为 m 好， n 写着标写完之后再来发限量，是不是会？都说了发限量是会垂直于这个面吧，对不对？那，那不就会有 p a， c 里面的两条边 a， c 和 ap 乘这个发限量等于零。好， p c， d 里面的两条边乘这个法向量等于零。好，现在你写出这个形式之后，再来把坐标带进去，把坐标带进去，这个坐标带进去之后得到这一个，这一个坐标带进去后得到这一个。好，我们右边是同理的啊，同理的。然后再来，你写到这一步怎么办？ 写到这一步的时候，我们要令负值了啊，负值了，在这里负谁呢？你看这个形式是负 t x 加上这一串吗？那你不就可以令 x 它等于这一串吗？ x 等于这个的话，你的 y 不 就可以直接等于个 t 了吗？对不对？相加等于零吗？好， roger 他 一定是等于零的。行，这个是左边的负值，那右边呢？右边你再观察一下， 要复制啊，你这一串这么长，你肯定另把这个 b 给他负为零嘛，这样比较方便一点。那再看一下 b 负为零之后，啊，不是 b 啊，不是 b 负为 b 为零，不是我们负的啊，他一定为零了啊，你看他一定为零了，只有零乘以这个数才会等于零嘛。再来看上面这个，这个我们怎么复制呢？ 负 t， a 减掉二 c 等于零，那你就找 a 跟 c 之间的关系吗？对不对？如果我们令这个 c 等于 t 的 话，那很明显你这个 a 是 不是为负二就好了呀？ 大家看一下，令 c 等于 t 的 话， a 为负二就好了，为 a 为负二的话，它左边就会变成负 t 乘负二，也就是二 t 嘛，那就变成二 t 减二 t 了，等于零，是不是没问题？ 好，这个赋值不是乱赋的啊，你要根据这个算式的特点来赋值。行，然后我们得到两个坐标之后，再来 按照刚刚说的，你把这个二面角的给他写出来，但是我们这里得到的是余弦值啊，而题目给我们的值是正弦值，怎么办呢？你把这个正弦值给他画成余弦值就好了呀， 对不对？你开个根号一减掉正弦值的平方嘛，那不就是余弦值。那你这样子来，你看，我们通过翻译条件得到了这一个带 t 的 式子，你不就一定能写出 t 等于几吗？而我们 a d 不 就是 t 吗？ 好，我们第一问讲到这里啊，同学们不懂的话，再多看一看，暂停一下，再看看这个步骤，然后我们准备讲第二问， 第四题。好，第四题我们准备讲第二问什么问， ef 会垂直于 p d 吗？ e f 垂不垂直于这个 pd 啊？那我们这样子看，应该也是很明显的，你 e f 想要垂直这条线，如果说我 e f 垂直于这个线所在的这个平面内啊，所在的这个平面，那不就可以了吗？ 那看，如果想证明 e f 垂直于这个平面的话，你应该是要证明 e f 垂直于这个以及 e f 垂直于这个吧。好，这一切都是在你拿到题之后在脑海里过的一遍思路啊，你猜一下这个 是，你猜一下这个解析过程是不是这样子的，然后你再带着这个假设，你再带着这个假设去看一下问题，去看一下条件，看下条件能不能帮你证明这些假设。好，我们来看， 首先他告诉我们啊，又是给了一堆数据啊，那同样的同学们，有这些数据的话，你给他标上去啊，这个和这个以及这些数据，我们看给出 ab 等于八。好， ab 等于八， f 又是终点吧， f 是 终点，所以这是四，这是四。再来 cd 等于三，好，直接写 a d 等于五倍根号三，并且 a e 等于五分之二的 a d 啊，你这个是五分五倍根号三，然后你 a e 不 就是两份吗？两倍根号三吗？所以 e d 它就是三倍根号三吗？好，每一条边都标出来之后，哦，还有个 p c 啊，好，每一条边都标出来之后，我们看一下有什么用？ 看一下这个图形，我们这个 p e f 和 af 是 什么关系啊？ p e f 是 不是由 af 它沿着 ef 这条边给它翻折上去的呀？对不对？那你看它题目是有说的啊，是有说的，给它翻上去的，很好。那么再来， 你既然是这样翻上去的，我们想要证明这个线垂直于这条边就好了呀， 同学们看一下能不能听懂。在我们第二题也是一样的啊，前面的第二题有讲过这个思路，因为如果说你这个 e f 垂直于这条边呢？是不是就有 e f 垂直这条边， 对不对？而你这个 p e 它又是由 a e 给它沿着这个 e f 翻折上去的呀？所以你只要 e f 垂直这条边，你 e f 一定也会垂直于这个 p e 啊。好，那两条相交直线垂直就出来了， 所以我们现在看一下能不能证明一下 e f 垂直于这一个线啊？好，我们给出那么多条边，然后看一下能不能去证明什么？ 这个角度我们是不是也知道角 b a d 是 等于三十度的吧？ b a d 等于三十度。你看在这个三角形里面，有两边有一角，那是不是可以得出这条边？那得出这条边后有什么用呢？ 我们得到这条边后，你不就可以发现这个三角形，它是一个直角三角形吗？对不对？用一下勾股定你嘛，一比二，比根号三嘛，对不对？很明显的，这是一个直角。好，这个是直角，不就可以得到 e f 会垂直于这条边了吗？ 那这一道题就出来了，我们看一下具体过程怎么写啊？来，在三角形 a f 这三角形中，你写由于先定你得，然后我们代公式。 那这个计算过程你可以不用写出来啊，因为比较多，然后得到一个等于四的时候， e f 的 平方等于四，那 e f 就 会等于二了。好，再来下一步勾股定律，然后说明出 e f 是 垂直于 a e 的， e f 垂直于 a e 再来。 所以你看你我这个 e f 垂 a e 是 不是可以得到 e f 会垂直于 pe 啊？因为这个 pe 是 它翻上去的嘛。好，有这一步， a e 就 会得到 pe。 再来 a e 交这个 pe 会等于点 e， 也就是强调一下这两个点啊，这两条线它们是相交的，有一个交点。好， 两条线线垂直，两线相交，然后两线都属于这个平面，那你就可以得到 e f， 它会垂直于这个平面，又因为 p d 它在这个面内，所以 e f 就 会垂直于 p d。 好， 很清晰的思路啊，这思路很清晰的， 同学们看一下。然后我们准备讲一下第二问啊，没听懂的可以先暂停一下，看一下过程，好看。第二问，让我们求出这个面 p c d 与 p b f。 我 们找一下 p c d 与 e b f 啊，它二面角正弦值其实是哪个面不太重要啊，因为你其实都可以根据这个给出的字母，然后求出坐标，再表示出向量，再利用我们的那个公式嘛，直接把它算出来。那这一题麻烦的是什么呢？你要先想办法把这个间隙的条件说出来 看啊，我在这里是给你直接建好了，那你要怎么说呢？那我们这里间隙怎么样才能够建出 x y z 轴啊？你是不是必须要表示出来它们三个轴两两垂直，对吧？两两垂直？好，我们刚才通过第一位已经得到了你 e f 是 垂直于这个平面的，所以我们先得到 e f 会垂直于这个， e f 也会垂直于这个吧。好，那我们现在还需要什么？是不还需要这个和这个垂直就可以得到他们三条线两两垂直了呀？所以我们这一题的思路就是看一下能不能证明出来 p e 垂直于 e d 啊？ p e 垂直于 e d， 它怎么证明 p e 垂直于 e d 的 话，这两条线对不对？那我们就观察一下 能不能够证明出 p e 它垂直于这个 e d 所在的平面。所在的平面，那至于为什么我在这里连接了 c e 啊？因为你要想，我第一问有没有用到这个 pc， 没有吧，对不对？所以你怎么样把这个 pc 给它连立起来呢？连立起来呢？你看我 p c p e， 那 这里不就可以连接起来得到一个 c e 吗？好，如果连接起来之后，我们这里初期都是在尝试啊，都是在尝试。那联系起来之后，我们看一下 这个 c、 e， 我 们是不是可以求啊？对不对？如果 c、 e 能求出来的话，我这个三角形三条边就都有了，那我就可以看一下这个勾股定律，这个是不垂直的，那 c、 e 怎么求呢？ 哎，我们这里是直角啊，对不对？题目给出来了， a、 d、 c 是 直角，而这一条边和这条边都有了呀，那直角三角形里有两条边了，它的平方加它的平方，再开根号，我们不就可以得到 e、 c 吗？ 好，所以我们算出来得到这个 ec 啊，在这里啊，你看，我们得到这个 ec 之后，它是等于一个六的， ec 等于六，那 ec 等于六，我们再观察一下 这条边，我们知道的这条边 p e， 它也是等于二倍根号三的，因为 a、 e 是 二倍根号三吗？它翻折上去，好，三条边都有了，一个是二倍根号三，一个是四倍根号三，一个是六，那你不就可以发现它们也构成了一个勾股定律吗？ 对不对？那我们又可以把勾股定律给它强调一下，那我们现在就得到了 p e 会垂直于 e、 c。 又由第一问，我们得到了 p e 是 垂直于这个 e、 f 的， 那 p e 不 就垂直于这个底面了吗？而 e、 d 也属于这个，也包含于这个平面内，那就可以得到 p e， 它是垂直于 e、 d 的。 好，那我们现在就可以得到了 x、 y 解轴，他们所在的直线都是两两垂直的，然后下一步就按照套路，再像上一题一样啊，按照套路再把它写出来就行了。好，我们把这个证明思路也给他讲一下， 连接 c e， 好， 你看把这个九十度， c、 d 等于三，给他说一下，还有 e、 d， 那 你把这个九十度，然后两条边的长度说出来的目的是为了得到你这个 e、 c 的 长度啊， e c 长度啊，也就是知道这条边和这条边还有九十度嘛。好，得到 e、 c 长度，得到之后呢？再来，你把 pe 是 多长， pe 是 多长，也表示出来， pe 和 bc 的 长度表示出来，那就可以直接得到勾股定离了。好，那我们就是 pe 会垂直 e， c， 好 在这里是线线垂直，推出线面垂直看 pe 垂直 e， c， pe 又要垂直 ef， 我 们 e、 c 又交 ef 于点 e， 这里是说明两条线垂直，然后 这一条线它垂直，两条线是相交，直线表示出来，并且这两条相交直线构成了一个平面，是面 a， b， c， d。 好， 然后你要证明出来的 pe， 你 就可以证明出来 pe 会垂直于这个面 a、 b， c、 d， 又因为线在面内，那你不就可以得到 pe 是 垂直于这个 e、 d 的 吗？ 然后就说，所以他们三条线是两两垂直的，然后下一步就是以这个 e f 为 x 轴， 然后 e、 d 为 y 轴， e p 为 z 轴，建立这个空间直角坐标系，然后哭哭哭哭哭的把这个坐标写出来，向量表示出来，那二面角也就出来了。好吧，所以这个这个后面因为前面写过了，我这里就不多，不过多追数了， 我们看下一题啊，第五题好看，第五题，第五题，我们看一下它第一位，让我们证明 p、 b、 m 会平行于这个面 c， d， e， b， m 平行面 c， d， e 的 话，那很明显啊，你看这里这个图形也比较规则嘛，那如果我们能证明出来 b、 m 平行于这个 c、 d 就 可以了呀， 对不对？那你要证明 bm 平行于 c、 d， 那 题目做的多的同学就会发现，你看这很明显四条边长得很像平行四边形嘛。那如果你能够证明这两条边平行且相等的话， 那它就是平行四边形了，那 bm 就 会平行于 c、 d 了。好，所以我们先拿这一题的思路看一下能不能证明出来这两 条边平行且相等。好，观察一下题目的条件吧。 嗯，等腰梯形啊，这两个边相等，这两个边也相等。好，再下一步啊。 ef 平行于 a、 d 在 哪里？ ef 平行于 a、 d 好， bc 平行于 a、 d， 这一点平行于 a、 d。 哎，那不就得到一个平行了吗，对不对？好，我们平行有了再看相等怎么办？ b、 c 在 这里， bc 啊， bc 它等于二。好， bc 等于二，再来 a、 d 又等于四，这一条又等于四，这个是二，这个是。是。如果我的 m 为终点，那是不是就可以得到 bc 等于 md 啊？ 好，我们看 m 刚好就是终点啊，对不对？那我们答案就出来了，这个这两条线，它们平行且相等，所以这是个平行四面形，所以这个就平行这个，这个就会平行于这个面。好，看一下过程。 第一问过程，先把这个边边的长度都表示出来啊，因为 a、 d 等于四， b、 c 等于二， m 又是 a、 d 的 中点，所以我们就可以得到两个边是相等的。好，又因为 b、 c 平行于 a、 d， 而我们就可以强调出来这个四边形，它是平行四边形， 所以就可以得到 b、 m 它是平行于 c、 d 的。 好，再来 c d 包含于这个面， c d e b m， 你 看不在这个面 c d e 内，那不就可以得到？呃，两线平行啊，然后一条线在面内，另一条线不在面内，就可以得到。这个线是平行于这个面的。 好，第一位没问题吧？我们再看第二位啊，又是让你求二面角，那我们想办法见系就行了。这题看怎么见啊？ 嗯，怎么建呢？你要留意一下他这个等腰梯形啊。等腰梯形，等腰梯形，那是有什么用？这个是不是等于这个呀？对不对？而我们这个 m 是 中点啊，你看他 e f 是 不等于二， e f 等于二， m 是 中点，所以 m d 也等于二。那不就会有这条边这两条边它们平行且相等吗？所以这也是个平行四边形， 所以这条边这两条边他们就相等，这两条边相等，而我这条边又跟这条边相等，不就可以得到这个边，这两条边他也相等吗？所以这个等腰三角形，那我们直接利用一下三线合一就好了。 这个取个中点为 o， 那 你连接 o f， 你 这个 o f， 他 一定是垂直于这个底面底边 am 的 啊， 因为三线合一嘛，好，垂直之后再来，你看下面这个，下面这里是不是也同理啊？这个等腰三角形，这俩又相等，所以这个不就会等于这个吗？ a b 和 b m 也是等腰的，那同样的，我们连接 o b 嘛，所以就可以得到 o b 也是垂直于这个底边 o d 的。 行，那我们不就有了这个三角形啊，不是这三角形啊，这三角边两两垂直嘛，对不对？好，两两垂直就可以建立空间直角坐标系了。那我们看下过程怎么写？ 取 a d 中点为 o， 连接 o b， o f， o b o f。 行，你现在是把这个轴线给它画出来，然后你去证明它就可以得到。所以 o f 啊，由先由 t 的 啊，这个边 a f 是 等于 d e， 然后又等于 f m 的， 然后这一问呢，其实你是可以直接得到的，因为你想要证明这个平四面形吗？我们第一问已经证过了，对不对？第一问已经证过了，所以你在这边可以不用过多赘数，可以不用过多赘数，你就直接得到这个三条边相等于根号十，然后所以 o f 就 会垂垂这个边的。 你下面同理嘛，下面放在下面这个四面形里面同理。那又因为这三条边形都相等，所以重要的是这两条边相等，所以 o b 也会垂直于 a d 嘛。 好，然后你再把这个 o b， o f 的 长都给它表示出来，表示出来的目的在哪里？目的在哪？在哪里呢？你刚刚是证明了它垂直于它， 和它垂直于它吧？你还没有证明它和它是垂直的吧？所以你看，你再正一下它和它垂直就可以了。那 o b 有 了， o f 也有了， b f 的 长度我们是不知道的， o b 杠上三呢，所以它的长度和它的长度各自平方，会等于它的平方，你就可以得到 o b 和 o f 也是垂直的，那么就可以直接间隙了。以 o b 为 x 轴， o d 为 y 轴，然后 o f 为 z 轴，建立空间直角坐标系。行，你写到这一步， 看啊，你要又要求这个二面角，那我们刚刚是写的形式，是说求这个 f b 和 fm 吧， b e 和 m e 吧。那我们这里就换一种减变的方法，我们把这个 b m 求出来 看，把 b m 求出来，在这里 b m 把它表示出来之后，你下一步是不是只要左边这个平面，你只要再得到一个 m f 就 可以了？右边这个平面你是不是只要再得到一个 m e 就 可以了，对吧？好，我们这里多写了一点啊，看这个好像多写了个 m。 好， 这样就可以了。 行，三个坐标都表示出来之后，再来设法限量，其中一个是 m， 另一个是 n， 然后两条边乘这个 m 都等于零， n 乘这个都等于零，然后把这个带式的去计算啊，这中间还少了一步啊。你把这个过程带进去计算，然后假设 二面角 f b m e 为 c， t 为 c， t 形，就可以得到 cosine c t 是 等于这个值的。好，算出来之后你要求正弦值吗？ cosine c t 就 等于这一个啊，过程都写的很详细了啊，只是计算没给你表示出来而已。 好，同学们，再看下这个第五题啊，然后不会的可以暂停一下，再看看过程，我准备讲第六题了。 好，我们看第六题。第六题，你看这个图形，哇，太漂亮了，是不是你在考场上拿到这样一个图形，你应该笑的嘴都合不拢了。那方方正正，哎，方方正正的对不对？哎，咋回事啊？ 啊，不能太得意啊，你得意忘形了，这个平板他都不听话，那考试还是要冷静一点啊。好看，这个方方正正的正是能做底面是正，底面是这个 正四变形，也就是这个正方形啊，然后侧能很明显也是垂直于底面的，这个正四能柱行，然后他有什么特点呢？你是不可以直接间系的呀，对不对？你尤提一得 它，它和它两两垂直嘛。所以以 c 为坐标原点， cd 为 x 轴， cb 为 y 轴， cce 为 z 轴，建立空间直角。坐标系建立之后呢？为什么我们要这么建立啊？你观察一下它要求什么？ b 二 c 二这条边， a 二 d 二这条边，那我建立作坐标系了，你看这一题，而且它写坐标很容易啊，对不对？你把这两个向量写出来之后，如果说一个向量 是另一个向量的那么大倍，那我们不就可以说明这两个向量是共向量吗？同时他们也是平行向量呀，对不对？ 好，我们就把它写出来啊，写出来，你发现他这道题出的刚好是相等的啊，相等的，相等的话，那就直接直接说明他们向量是平行的啊，不是直接说明这两条线是平行的就可以了啊。 那这个坐标是很好写的啊，同学们不要害怕啊，你看，每一条都给你写出来了，我们这里给你标出来吧。 a a 二，这个是一， b b 二好， b b 二是二，我这里标出来了，然后 d d 二也是二，再来 c c 二是三， c c 二是三，然后这一整条啊，这下面这个边长是二，然后这个高啊，这个侧能，侧能，它是四，那你看，你不是每一个点的坐标都可以写出来吗？ 好啊，然后我们看一下这个第二问，哎，又来了，又来了，告诉你前，有的是让你求二面角，有的是把二面角告诉你，让你求边，怎么办？ 无所谓啊，他告诉你这个角度，你就把这个条件翻译出来嘛，对不对？你按照我们正常求二面角的逻辑，把这个列式列出来之后，然后等于 q 三的一百五十度。 好看，什么意思啊？大家同学们看一下。什么意思？那我们求 b 二 p 对 不对？这里这里没必要，这里不用先假设这一个为 t 啊，你直接假设这一整条为 t， 为什么呢？因为你看你假设这一整条为 t 之后，如果说你这个 t 算出来比二大，那不就是在他的上方吗？你要算 b 二 p， 你 再拿 t 减二不就可以了吗？那二减 t 就 可以得到 b 二 p 了吗？ 好，我们假设这一整条为 a 啊，我我我，为什么假设这一整条为 a？ 是 为了方便你后面写坐标啊。写坐标，你看这一条长度是 a， 你 如果写 p 点坐标是比较好。写 好这条长度是 a 的 话，然后把 p 点坐标写出来， a 二 c 二写出来， d 二写出来，这些坐标都写出来之后，再来把向量表示出来。看这里我又偷懒了，只写出来 a 二 c 二的向量，对不对？我这么写的话，我两个面都可以用这个向量呀。 好，左边我就写一个，左边写一个 pc 二啊， pc 二，右边我再写一个 a 二 d 二。好，你看这个面向量是完全都是数字，这一个面向量，因为它带 p 了嘛， p 点坐标是我们设出来的，而你带 p 之后，我们这个坐标就会带 a 啊。带 a 无所谓啊，你要带 a 才能够解题，然后再把这个向量的法向量求出来，这个面的向量法向量求出来之后，然后翻译这个条件，翻译这个条件 q 三 c， 它等于什么？ 等于 q 三，以一百五十度的绝对值啊。好，然后写出来之后，按照这个形式向量的坐标 相乘魔长的乘积得出来等于二分之根号三。你再化简就可以了呀。只是看起来比较吓人啊。你再化简就可以得到 a 等于一或者 a 等于三了啊。我这里设的 b 二 p 是 等于 a， 二不是等于 t。 好， a 等于后， a 等于三。那不就说 a 等于三的话，说明它的上方吗？那 p 点坐标为 为这个，这个不写这个不写这个你们自己在看啊。自己在看，我这强调这个高高就删了。然后另一个呢？就是这个这个，然后这个应该是一。好喽，你把 p 的 两个点坐标写出来之后就可以得到。所以 b 二 p 他 肯定是等于一的吗？对不对？ 因为你三减二等于三减二等于一嘛，二减一也等于一嘛。好，这一题我们也就过了。那我们今天就讲到这里，同学们有疑问的话再发到群里，再发到群问我就行。

二零二六小白欧分类卷中平面几何的经典图形，我们一起来挑战一下。在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 d 的 中点， a、 e 与 b、 c 交于点， f 正方形 a、 b、 c、 d 的 面积是十二，则三角形 c、 e、 f 也就是阴影部分的面积是多少？ 我们来看一下，通过已知条件以及图上能得到什么信息呢？在这里面我们看到了 e 是 b、 d 的 中点，因为 e 为 b、 d 中点，所以在这里面有两条边是相等的，分别是 b、 e 等于 e、 d。 那 既然是相等的，我们回过头来再看 a、 b、 e 这个三角形和 b、 c、 e 这个三角形，它们两个有什么关系？ 同底等高，由题可得，三角形 a、 b、 e 的 面积就等于三角形 b、 e、 c 的 面积。 再看这部分， b、 e、 f 这个三角形，对于 a、 b、 e 来说，它有，对于 b、 c、 e 来说，它也有它们两个公共的部分。由此又可以推出 s 三角形 a、 b、 f 的 面积就等于 s 三角形 c、 f、 e 的 面积。我们可以把这个三角形的面积转化到 a、 b、 e 中去，求它的面积。 接下来我们要在这里面借助一条辅助线，我们在 a、 b 上找其终点，即为 h， 连接 h、 f。 当然这个辅助线我们要交代一下，我们可以写在最上面。因为 h 为 ab 的 中点，所以 a、 h 的 长度就等于 b、 h 的 长度由共边定律可得， a、 h、 f 就等于 s 三角形 b、 h、 f， 它们的面积是相等的。又因为 b、 c 是 正方形的对角线，那既然是对角线，那么 b、 h、 f 和 b、 f、 e 这两个三角形就是对称图形， 所以它们的面积也相等。这时我们会发现，在整个三角形 a、 b、 e 中，它被均分为了三等份。三角形 a、 b、 e 的 面积，它就等于整个正方形面积的四分之一，就等于十二乘上四分之一等于三， 那么又被均分为了三等份，那一份就是三，除以三等于一。 其中阴影部分 c、 f、 e， 也就是三角形 a、 f、 b， 它的面积就是其中的两份，所以阴影部分 c、 e、 f 的 面积就等于一乘二，等于二。

来，我们来认识一下手拉手，手拉手指的是针对于两个等腰三角形， 这两个等腰三角形呢，它们有共同的顶点 a， 并且它们的顶角的度数呢，是相同的啊，顶角度数是相同的， 那么这两个等腰三角形，它们就会其中一个呢，就会绕着这个顶点 a 去旋转，同学们可以看到啊，这样是旋转的， 那么它们的顶角的度数相同，所以呢，它们的顶角是可以重合的，你看到这个位置就重合了啊，重合了， 那么重合之后啊，你会发现，我们把左边的 b 和 d 就 叫做左手，右边的 c 和 e 就 叫做右手啊，叫右手。 那么这个时候，我们的左手与左手之间的，你看，小三角形 a、 d、 e 的 左手与大三角形 a、 b、 c 的 左手呢，他们左手和左手之间呢？哎，会牵起来，是不是会牵起来，那么右手和右手之间呢，也会牵起来， 所以呢，就好像是手拉着手，是吧？左手拉左手，右手呢拉右手，于是它的名字手拉手就是这么来的， 知道吧？好，那么现在呢，我开始对这个小三角形的位置呢，进行一个改变，当然，因为他们是共同的顶点，所以我无论怎么改变，其实就相当于这个小三角形啊，他绕着这个顶点 a 在 转动， 是吧？但是呢，刚开始左手拉左手，右手拉右手，我稍微转动一点点之后，你会发现，哎，左手和左手分开了，右手和右手也分开了， 其实呢，他们是不能分开的啊，他们的感情是很好的，于是我们左手和左手一定要始终拉在一起啊，始终拉在一起 好，那么右手和右手呢，也始终的拉在一起啊，始终拉在一起，这样的话，我这个三角形无论怎么去转动， 这个左手与左手都会拉在一起，右手与右手呢，也都会拉在一起，我们把这两条虚线叫做拉手线 啊，拉手线我们给它起个名字啊，就是我们的 b、 d 和这个 c、 e 叫做拉手线。 那么在手拉手中啊，这个拉手线非常的关键啊，非常关键，因为它的结论是什么呢？就是我们的两条拉手线与顶点 a 所围成的三角形全等，也就在这里面，就是所谓的 b、 a、 d 和 c、 a、 e 全等 啊，这个呢是非常关键的，这就是我们手拉手的第一个结论啊，当然手拉手不止这一个结论，但是这个结论呢，是首先呈现出来的结论，就是你作为对手拉手的学习，你第一步就得知道这个结论， 而且无论什么时候你都得分清楚，这个结论，就是说我们的 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，那么这个三角形怎么来的呢？还是要找拉手线，就是 b 和 d 是 拉手线，拉手线与这个顶点 a 所形成的三角形 啊，所形成的三角形，这样更鲜明一点，拉手线 c、 e 与顶点 a 所围成的三角形，那么这两个三角形呢，就就会全等啊，就会全等，那么我在变化过程中，它始终是保持全等的 好，同学们可以看一下，就算是这种状态下，我们的拉手线 b、 d 和 a 为成的三角形 a、 b、 d 与我们 c、 e 与顶点 a 为成的三角形 a、 c、 e， 它也是全等的， 就是这就是我们手拉手的一个重要结论啊，就算是这种情况，你看我们的拉手线与顶点为成的三角形，依然是全等的， 哪怕就是换过来，也改变不了他全等啊，也改变不了他全等。好吧，你看这样还是全等啊，我们给它回到最初状态， 这就是我们手拉手的一个几何结构模型，那么我们刚学习手拉手的时候，一定要对这个结论非常的熟悉啊，后面呢还会有两个推导出来的结论，那个呢，也是蛮重要的，等一下老师再给大家去讲。好，那么现在呢，我给大家去证明一下，为什么 这个结论是成立的。好吧，就现在老师给大家证明一下，这两个三角形它为什么是全等的呢？看好这个证明过程非常重要啊， 证明一下，首先我们知道，因为它是等腰三角形，两个等腰三角形，我们的 a b 是 等于 a c 的，是吧？ a d 这个边是等于 a e 这个边的 啊，等于 a e 的， 就你无论怎么去转动它，这两组边都是相等的，因为它本身是个等腰三角形嘛， 是不是？那要这样的话，我们根据全等三角形的证明，已经知道两组对应边相等了，那么接下来我们可以找它的夹角相等，或者是第三组对应边相等，因为这地方告诉了我，它的顶角度数相同，也就是角 b a、 c 等于我们的 d a、 e， 所以我们就会得到，你看 b a、 c， 我 们可以怎么表示呢？角 b a、 c， 它就等于这个圈加上这个叉啊，我在这简写一下，是不是而角 d a、 e 呢，它也等于这个圈加上这个叉， 因为中间这个叉是公共的，所以这两个圈呢，它就相等了，因为中间这个是公共的，是吧？那么写过程怎么写呢？就这样写啊，来证明一下过程，写一下啊，证明。 因为三角形 abc， 三角形 a、 d、 e 均为等腰三角形， 所以 ab 等于 a， c， a、 d 等于 a、 e 啊，因为角 b、 a、 c 等于角 d， a、 e， 所以 我们这个角就是 b a、 d 了。角 b， a、 d 加上角 d a、 c， 也就中间这个 d， a、 c 啊，等于角 d， a、 c 加上我们的角 c、 a、 e。 同学们看到两个 d， a、 c， 所以 我们的角 b、 a、 d， 它不就等于角 c、 a、 e 吗？ 是不是？那这样条件成熟了，在三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 中，你看我们可以用边角边就可以了。 ab 等于 a、 c， 角 b， a、 d 等于角 c， a、 e， a、 d 等于 a、 e。 好， 那这样的话，所以三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e。 边角边啊，这过程就先给大家证明来了，同学们听懂了吗？这就是我们手拉手的由来啊， 手拉手的由来，以及他这个第一个全等三角形的证明。那么很多同学在学习的时候，他有两大难点啊，第一大难点就是如果他没有给你两条拉手线，很多同学不知道该怎么去寻找这个拉手线，其实呢，你在脑海中有一个想象，就是你把这个三角形给他回归到最初状态， 最初的状态我们就能看出哪两个点是左手拉左手，哪两个点是右手拉右手了啊，这个方法呢，非常的好用，好吧，就当你分不清哪些是拉手线的时候，你就把它回到最初状态 啊，这样的话，我们就知道这两个点，记住这两个点，然后你再看这两个点中间的连线是哪一个，哪一个他就是拉手线。那么一旦确定了拉手线之后，我们就看拉手线与顶点，哎，向那向顶点跑围成的三角形是什么？ 然后这两个三角形就全等了啊。那么如果题目中没有给你拿手线，那么就找到两个手，两只相同的手，然后呢，你做辅助线把它给连上也是可以的。好吧，这是第一个难点啊。第二个难点呢，就是我们同学们在证明的时候，像这个过程他可能不太会证明， 其实第一个条件就是等幺三角形，这是先天的啊，但是有些同学会容易遗忘他。第二个呢，就是他的根据顶角相同，然后呢公共角来解决问题啊，来解决问题，那么这个呢是相加，如果我把这个弄到里面去 啊，那会形成什么呢？还是一样的公共角。那我给大家写一下，你看这个圈等于这个圈，这个中间是公共角，是吧？所以呢，你还是会得到这个角等于这个角， 然后这个边等于这个边，这个边等于这个边，依然会得到 a， b， d 和 a、 c， e 全等 啊，和 ace 全等，就算是在重叠的时候，我们也不害怕，好吧，也不害怕，就是说当我这两个三角形分开之后，我依然可以证明拉手线与顶点所围成的两个三角形全等。 那么三角形如果在里面的时候呢，那就用刚刚的方法是吧？在外面的时候呢，那也有外面的方法啊，都可以。所以这个地方呢，我就讲到这里了，我们对手拉手的认识呢，就认识到这里啊，这是最基本的一个认识，同学们， 嗯，等一下呢，我们再去深刻的去认识一下他，好吧，那么证明过程呢，老师给大家简单的整理了一下啊，大家可以看一下，反正呢，就是这样去证明的。好吧，刚刚呢，老师已经讲的够详细的了啊， 那么除了这个，还有一些常考的基础结论啊，这地方呢，包括了三个结论，这三个结论呢，我们都得知道啊，都得知道，如图，已知 a， c 等于 bc 等于 bc 等幺三角形， dc 等于 ec 还是等腰三角形，看到没有？这地方存在着两个等腰三角形，看到了吧，两个等腰三角形，并且它们的顶角 a、 c、 b， a、 c、 b 啊，和顶角 d、 c、 e、 a 相等啊，顶角又相等，你看，这完全符合我们手拉手的几何结构是不是？同学们看一下，是不是符合 啊，是完全符合我们手拉手的几何结构的，就是两个等腰三角形，然后它们的顶角相等啊，顶角相等。那么这个时候，同学们， 我们绕着一个顶点去转，你看这个图形是不是绕着一个顶点去转，是吧？那有些同学说，老师，我分不清拉手线怎么办？来，分不清拉手线好办，我们就把它还原，就是顶点给它重合， 同学们，来看，好，现在我们把顶点给它重合了，看出来没有，那么顶点重合之后，你会发现 b 和 d、 a 和 e 分 别是两条数，于是呢，我就记住了哦，那 b 和 d 是 拉手线， a 和 e 是 拉手线，那我在旋转的过程中，我始终保持着 a 和 e 相连， b 和 d 相连， 始终保持着 a 和 e 相连，和 b 和 d 相连，懂吗？始终保持啊，当然这个是多余的啊，我先把它去掉，为了不干扰我们啊，先给它去掉，哎。呃，不太好去啊，这个给它去掉啊， 来，始终保持着，这样的，是不是啊？同学们可以看一下，始终是这样的啊，所以说你想要去判断拉手线，我们就把顶点给它重合， 重合之后你看看谁和谁是拉在一起的，谁和谁是拉在一起的，然后呢，我们在转的过程中你始终知道，哦，原来他们两个点是始终连在一起的，我们再回到最初状态 是吧？连在一起，连在一起。那么根据刚刚的第一个结论，那么这里面就会存在着什么呢？我们的两条拉手线 b、 d 和 c 为成的三角形 啊，来，我给大家画一下啊， b、 d、 c 啊，为成的三角形在这是吧，与我们的拉手线 a、 e 和顶点 c 为成的三角形， 你看这两个三角形就全等了啊，全等了啊，无论你怎么移动它都是全等的。 好吧，那么这两个三角形的全等证明啊，证明，我刚刚已经给大家证明过了啊，在这里呢，我就不再详细的去写了，简单的给大家说明一下，好吧，因为可能同学可能对手拉手还是空白啊，你看这两个顶角相等，中间这个是不是公共角， 这样的话我们就会知道这个角它是等于这个角的好一组对应角相等，根据等腰三角形性质，这个边等于这个边，这个边是绿色三角形的一条边，这个边边是红色三角形的一条边， 那么另外一条边呢？就这个边等于这个边，你看边角边啊，边角边就证明全等了是不是？所以这个全等呢？我们刚刚就已经讲过了啊， 那么看第二个结论啊，他说角 a f b a f b 等于角 a c b， 这个结论是什么呢？就是第三组对应边的加角等于顶角啊，就这个加角啊，等于 顶角，这个加角叫做第三组对应边的加角。 第三组对应边指的哪个？就是我们的两条拉手线，说白了这个第三组对应边就是两条拉手线，是吧？ 两条拉手线相交的其中一个夹角，因为它相交之后不是有两个夹角吗？一个是这个，一个是这个是吧？那么其中一个夹角一定是等于这个顶角，这个顶角指的是什么呢？就是指的这两个啊，就是原来那个等腰三角形的顶角。 这个证明过程也是非常简单啊，我们一般用做八字形来证明就可以了，八字形证明怎么怎么去看啊？同学们， 来我给大家讲一下啊。这个首先呢，我们得找到其中一条拉手线与一条边的交点，那么现在呢，我们想要证明这个角等于顶角，是吧？那么我们就看这个拉手线，他与这个边是不是有个交点，是吧？看到交点了吗？我来给他标记出来， 在这是不是啊？比如这个点是 m 点啊，这个拉手线呢，与边有一个交点，那么就以这个焦点，我们来构造一个八字形，把这个顶点，把这个顶角和这个夹角给它包含在里面，所以八字形在哪里？在这里，同学们， 看到没有？这个八字型在这里啊，在这里啊，为了让它看的显眼一点，我用颜色给它区分一下，好吧，来就是这个八字型啊，在这里 a e、 m 啊 b 来这两个八字形，看到没有啊？八字形，那么这个八字形就是证明我们两条拉手线的夹角等于顶角的一个关键一步，你看这个和这个是对顶角， 这个角和这个角相等，为什么？因为刚刚已经证明出全等了，全等会带来这两个角相等，是吧，所以根据三角形内角和一百八十度，那么这个 加角不就等于顶角吗？是不出来了，所以这个呢，是利用八字型来证明的啊，同学们呢，学完之后一定要非常的熟悉啊，非常熟悉，你不能仅仅只是听懂了啊，一定要自己会把它给描述出来 啊。这个呢，就是八字型的全等啊，不能全等八字型来证明这两个角的相等啊，这两个角相等， 好，这就是第二个结论啊，叫做两条拉手线的夹角等于顶角，好，同学们能理解吗？那我就把这个去掉了，好吧， 来第三组啊，第三个第三组对应边的交点啊，还是说拉手线的交点啊，还是拉手线的交点与顶点的连线，也就是与 c 的 连线，也就是 f 和 c 之间的连线 啊， f 和 c 之间的连线会平分第三组对应边构成的夹角来，在这儿说白了啊，给大家讲一下来，呃，就是说我们 两条拉手线的交点啊，就是 f 点与顶点的连线会平分两条拉手线所构成的夹角啊，就是平分这个角， 就这两个角相等啊，同学们，这个就是我们的第第三个衍生结论啊，第三个衍生结论就是我们两条拉手线的焦点与顶点的连线会平分， 会平分这两这个角，也就是这两个角相等，那么这个怎么去证明呢？这个证明过程啊，很多同学可能不知道啊，他利用到了我们直角三角形全等的证明， 呃，而且这个结论还不是说这种特定情况，是任何情况下这三个结论都是成立的啊，同学们，就是我无论怎么旋转，这三个结论都是成立的，知道吧？啊，都是成立的。 有些人可能会想到说，哎，我能不能证明这两个全等，就是说，嗯，这个三角形是吧，我们描述一下，有些人可能怀疑产生了错觉啊，他说，我能不能证明这一个三角形 与这一个三角形全等，是吧？然后呢，证明这两个角相等不就可以了吗？其实呢，你这个方向就错了啊，你会看一下，我在拼的过程中，他这两个角不是说时时刻刻都全等的，看到没有，来，这个时候他俩全等吗？不全等啊，所以说这种证明方法就是不对的， 知道吧，不能往这个方向去看。所以这时候我证明的方法什么呢？还是利用到我们的第一个基础结论来证明，就是说 b c d 和 a e a c e 它两个全等，哎，这个来做文章，那么全等的话，同学们看一下啊， 我如果做个勾，你可能就明白了， 来，我往两条拉手线做高，记住啊，我是往两条拉手线做高啊， 来，这个和这个啊， 这时候呢，我这个过这个顶点 c 啊，向两条拉手线做两条高 啊，九十度的角，我想大家看的更明白，我们这样啊，这样，这样看的更清楚，我们往两条拉手线做高的话，那么这时候你会发现什么？ 比如说这个点啊，是 m， 这个点是 n， 因为三角形它是全等的， b， c， d 和 a， c， e 全等，说明我们的三角形 b， c， e 啊， b c d 啊， b， c， d 和这个 a， c， e， 它的面积也相等，是吧？因为它全等嘛，啊，因为它全等，它既然全等，那面积肯定也是相等的， 是不是面积相等，它的底也相等，这个地方的 b， d 啊，它也等于 a， e 啊，就是说这两条底也是相等的， 那么这样就会带来它的两条底边上的高也相等，所以这个 c m 它就等于 c n， 同学们， c m 等于 c n 看到没有，这个很关键啊，那么之前呢，我们讲过平行线的性质， 我们说在一条角平分线上到两边的距离相等，是吧，或者说，呃，在一条射线上到两边的距离相等，那么这条射线一定就是角平分线，所以呢，我们通过角平分线的性质是可以证明出来的，但是说没学过角平分线性质也没关系， 这两个相等中间有公共边，两个直角三角形一组，直角边对应相等，斜边对应相等，那么我们根据 h l 就 可以证明出三角形 c， m， f 全等于三角形 c， n， f 啊，这个呢，叫 h l， 这个同学们要会的 好，那么既然全等了，全等了，我们这个角不就相等了吗？所以 cf 就 平分角 b， f， e 就 出来了， 同学们可以感受一下。好吧，好，这就是我们手拉手的三条重要结论啊，同学们，呃，同学们听完之后呢，可以在这里呢我们进行稍许的回顾啊，回顾一下这个三条重要结论啊，三条重要结论， 每一条结论它是怎么证明的啊？一定要做得非常清楚。嗯，首先第一个基本结论就是 b、 c、 d 和 a、 c、 e 全等，这个呢是两条拉手线啊，那么一定要会判断拉手线。 第二个呢， a、 f、 b， 也就是两条拉手线，它的焦点呃，夹角，其中一个夹角，一定是等于我们这个等幺三角形的顶角，证明的方法呢，八字形情况的时候还有另外一些方法， 但是你得知道这个结论啊。第三个结论呢，是比较有难度的啊，就是我们的两条拉手线的焦点与这个顶点的连线，它会平分我们两条拉手线的夹角其中一个夹角。 那么这个证明方式呢，要做垂直啊，向两边做垂直，利用了这个全等三角形，它的面积相等，底边也相等，所以呢，我们就证明出它的高相等， 然后再根据直角三角形全等的判断方法 h、 l 来证明这两个三角形全等。好吧，所以这个呢，就是我们三条基础结论，同学们，我们就这样跳过去了，好吧， 那么手拉手他的重要程度不仅仅是这三个基础结论，还有他的衍生结论也是非常重要的，我们把衍生结论叫做垂美四边形结论啊，相信有些同学呢，应该听说过啊，这个词，其实这个词就是我们手拉手几何形衍生而来的， 那么这个时候呢，我们的手拉手呢，它比较特殊，特殊在哪里呢？就是我们的两个等腰三角形啊，它不仅仅是等腰三角形了，还必须是什么等腰直角三角形 啊，必须是等腰直角三角形，那么如果我们两个等腰直角三角形构成了手拉手的模型，那么我们就会把它分开之后，就会得到一个四边形， 这时候呢，我们不交叉的情况下啊，就会得到一个四边形啊，四边形， 那么这个时候首先要搞清楚啊，它是等腰直角三角形，直角三角形，那么在这里呢，就得不到四边形了，好吧，只有离开了之后才能得到四边形啊，最后最好是这样的比较正规的四边形啊，两条对角线呢在里面的， 那么这个时候的拉手线是什么呢？同学们可以看好，我们把顶角给它重合， 菱角重合之后，我们发现 b 点和 f 点是手拉手的， a 点和 e 点是手拉手的，是吧？啊，所以呢，我们在接下来去观察的时候，永远要记得盯着 b f 和 a e 去看， 好吧啊，盯着 b f 和 a e 去看，那么这时候我们的 b f o 和 a e o 它就是全等的，当然这里面呢，我们不想用这个结论了，因为之前的三个结论我们已经证明完了，所以这时候呢，我们证明的是眼神结论啊， 也就是说，当这两个等腰三角形都是等腰直角三角形的时候，那么我们的两条拉手线就成了这个四边形的两条对角线，我们连接 b e 啊，连接 af 就成了对角线啊，看是不是四边形啊，能看出来吧，来给大家标记出来来。这个四边形，那么我们的两条拉手线 a e 和 b f， 它就成了对角线啊，对角线，对角线的焦点呢为 g 点， 此时我们把这一个就叫做垂美四边形，所以说白了，什么叫做垂美四边形，就是对角线互相垂直的四边形， 对角线互相垂直，那么这时候就可以构造成一个两个等腰直角三角形所形成的手拉手问题，所以这反向利用同学们也得会， 那么它的结论是什么呢？它的结论就是，我们 ab 的 平方，这个边的平方加上 e、 f 的 平方，就是对边的平方之和等于 a、 f 的 平方加上 b、 e 的 平方，这就是垂面四边形的结论，记住了吗？ a、 b 的 平方加上我们 e、 f 的 平方，等于我们 a、 f 的 平方加上我们 b、 e 的 平方 啊，除以四边形。 好，那么这个怎么去证明呢？来，这时候就利用到我们刚刚学过的手拉手问题了，同学们听好老师讲啊，听好了， 这两条拉手线的焦点加角，它一定等于顶角啊，因为顶角是九十度，所以呢，这个角它一定就是九十度，怎么来的呢？呃，给大家系统的讲一下吧！ 我们知道 b、 f 是 拉手线是吧，所以它与顶点 o 所形成的三角形 一定全等于拉手线。 a、 e 与顶点 o 所形成的三角形，就这两个三角形一定是全等的，全等了之后，我们就会得到 这个角等于这个角，而这两个角是对顶角，所以在八字形中 看好我们以这个极点为顶点 来这个八字形啊，这两个八字形中，我们就会得到这两条拉手线的焦点等于顶角，你看是不是就是刚刚的结论啊？刚刚的结论是不是啊？顶角，那这样，既然我们已经证明出它这个是 顶角了啊？呃，是直角了，那么接下来我给大家去证明一下垂美四边形的结论，就是利用这个直角啊，来证明， 因为这四个是直角，它就构成了四个直角三角形， 你看是不是直角三角形？ e、 g、 f 是 不是直角三角形？你看两个直角三角形，这边还有两个呢？ b、 g、 e， 那么这样我们就可以对它进行勾股定律的运用了。来看好， ab 的 平方 就等于 b、 g 的 平方加上 a、 g 的 平方， e、 f 的 平方就等于我们 g、 e 的 平方加上 g、 f 的 平方。 好，那这样我们的 a、 b 的 平方加上 e、 f 的 平方就等于 b、 g 的 平方加上 a、 g 的 平方加上 g、 e 的 平方，再加上我们 g、 f 的 平方。看到没有？ 好，那么再仔细观察， g、 e 的 平方加上 g、 b 的 平方，我把它俩放在一起， b、 g 的 平方加上 g、 e 的 平方放在一起， a、 g 的 平方加上 g、 f 的 平方放在一起。发现了什么没有？ b、 g 的 平方加上 g、 e 的 平方是不是等于 b、 e 的 平方？ a、 g 的 平方加上 g、 f 的 平方是不是等于 af 的 平方？证明完了 啊，这就是垂美四边形的结论，它的由来，同学们，呃，在很多填空题中，我们是可以直接拿来用的啊，直接拿来用的，比如说知道这三边的长，让我们求第四条边的长，那是可以直接用的啊，但是不是所有的四边形都可以用的啊，只有满足垂美四边形才可以， 其实他的整个的原理基础理论还是我们手拉手的模型的一个结论，是不是？所以说以后呢，我们学了手拉手模型之后呢，我们以后遇到类似的几何结构啊，就给我们提供了辅助线的思维啊，甚至说解析思维。 那么关于这个证明过程的老师呢，也给大家整理出来了，大家可以看一下啊，自己在这边看一下，跟刚刚老师讲的是一样的啊，从刚开始开始证明， 嗯，他证明的方法并不是八字型啊， a， 我 看看啊， a h o， 哦，也是八字型，好吧，八字型证明 在这里啊，我就不再多讲了啊。同学们，那么关于我们手拉手问题和这个他的衍生三条结论和他的衍生结论，我们就全部讲完了，等于呢就对他进行了一个清楚的认识啊，如果这时候呢，你对他认识度记忆还比较深刻，那么我们接着呢来讲一道例题 啊，当然这个演示节呢，除了这一个之外呢，还有一个，还有一个就比较简单了啊，我给大家讲一下，就是我们的 a o f 这个面积与 b o e 的 面积相等， a o f 和 b o e 啊，这两个三角形的面积相等，这个面积相等的话，怎么证明出来的啊？我们看上个图 啊，就是 a o f 和这个 b o e， 是 不是要利用到我们开始所讲的知识点，是不是同学们可以感受，为什么说这两个三角形它的面积是一样的呢？ 难道我们，呃这个平方加这个平方，它就跟我们第一个角的有关系吗？是吧，可以考虑一下啊，我们当堂来进行考虑吧。 那么这两个三角形我给大家标记一下啊， 来，你会发现这两个三角形形状是不一样的，所以通过全等证明那是不可能的是不是？何况这个点还能够转动是不是？所以说你没法通过这两个三角形它全等去证明它们的面积相等， 但是你发现在不管在如何转动，这两个三角形有一个是不变的来，眼尖同学，看出来没有？我无论我怎么去转动他这个小直角三角形， 这两个三角形它有一个边都不动，就是这个边和这个边是不是？而且这两个边长度还是一样的啊，长度还是一样的，所以我可以大胆的把它们设为底，那就是说我这两个三角形它的底是一样的， 那么既然底是一样的，想要证明面积相等，那肯定就得做高了啊，肯定就得做高了，是吧？我们 f 点呢，也可以做高，但这时候呢，我们要延长一下 来找到关键的点啊，这个高在这 好，那么把这个给它拿走，有有点碍眼啊， 我们数学啊，讲究的就是一个精细啊， 来，我们做一个高跟，这个呢，我们也来做一个高啊， 垂直符号标上。那么做了高之后啊，我假设这个呢，就是 同学们如果能够证明出这两条高相等就好办了。怎么证明 啊？怎么证明这两条高是相等的呢？ 看有些同学可能已经想到了， 是吧， 他们两个如果能全等就好了，那不就相等了吗？啊，我把这个本来的颜色给它去掉， 这两个三角形如果全等的话，那高是不是就相等了？高相等，底又相等，那不就证明完了吗？所以现在我们看能不能证明他们两个全等 证明一下看看。首先天然条件，一个角两个角，两个直角相等，其次这个边和这个边是等腰直角三角形的两条边，所以它们两个也相等，是吧？再其次呢， 这么多直角，太好倒角了，这旁边也是直角，这是延长，所以这个加这个是不是九十度，是吧？这本身这顶角也是直角，这个加这个九十度，你看这两个相等，所以角角边证明完了是不？证明完了， 那么他们两个全等之后，不就 em 等于 fn， 那 不就解决了吗？等底等高啊，这两个三角形等底等高呀， 所以面积是不是就相等了？所以这个大家对这个结论二的也得把它记住啊，它也是非常巧妙的一个。呃，构造辅助线的一个问题啊，构造全等三角形。好，那么关于这个结论，我们就讲到这里啊，给大家总结出来了，就这样 啊，大家可以看一下啊，就是利用了这个等，这这个啊，底相等高相等啊，就可以了。 好，那么我们来看一道课堂练习啊，呃，就这一道练习题，那么这道练习题呢，一共给了七个小问，呃，就等于是这七个小问都很简单啊，就等于是把今天的课给大家复习一下啊，复习一下来跟着老师节奏啊，在直角，在直线 a c 的 同一侧啊，这个直线是 a c 啊， 直线 a c 同一侧做三角形 a b d 和三角形 b c e， 并且三角形 a b d 和 b c e 都是等边三角形，那么它是不是满足我们的手拉手呢？来，我们看手拉手，第一，共同的顶点， 第二，顶角度数相同，它们的顶角都是多少度啊？同学们都是多少度？都是，是吧？六十度，等边三角形嘛，都是六十度，所以顶角的度数相同 啊，顶角度数相同，又都是等腰三角形，所以虽然说它是直线 a、 c， 但是我们可以想象成它是绕着转转成的直线 a、 c， 是吧，我们可以把它想象成这样啊，好，那么这时候呢，寻找什么？寻找两只手来，我们把在脑海中给它复原， 发现 c、 d 是 一条手拉手线， a、 e 是 一条拉手线，所以我们再给它复原回去，我们就盯着 c e， 啊， c， d 和 a e， 发现拉手线已经给我们了，我们给它瞄标出来 啊，拉手线是不是给我们了？好，那么现在基本已经判定它满足我们手拉手，并且呢，拉手线出来了啊，连接 a、 e， c、 d， 二者交为 h。 点 好，我们看第一个小题，求证三角形 a， b， e 和三角形 d， b、 c 全等，同学们，这个是不是就是本节课的复习啊？求证，这个三角形 与我们的这个三角形全等来好证明吗？同学们 啊，是比较好证明的是吧，复习一下啊，这个边等于这个边，这个边等于这个边，是吧， 这两个角相等，中间是公共角，所以这个角等于这个角啊，边角边就可以了。所以第一题就搞定了啊，非常简单啊，第一题就搞定了，搞定之后点第二小题， a e 证明 a e 等于 d c， 那 么既然全等了，那不就， 既然都全等了，那不就对应边相等吗？是不是啊，两条拉手线呢？是相等的啊。第三证明 dha 是 六十度， 就证明这个两条拉手线的夹角等于顶角，那么这时候是不是借助于我们的八字形来证明啊，是不是八字形啊， 这节课讲了好几遍了啊，同学们听完一定啊，要特别熟悉。好吧，这两个八字型 啊，八字型来证明全等啊，证明不是证明相等来，这个角等于这个角，怎么证明呢？对，顶角相等，因为全等所带来的这两个角相等，是吧？第一个，全等带来的这两个角相等，所以呢，这个角就等于这个角，因为内角和一百八十度嘛， 啊，所以第三个也搞定了，第一个，第二个，第三个都搞定了，好吧，第四，三角形 a g b 全等于 d f b a g b d f b。 我 们来看看 a g d f b d f b 在 这 a g b 啊，换个颜色鲜艳点的绿色和这个橘色啊，全等，我们看。怎么证明？绿色，橘色，全等怎么证明 来，首先呢，我们根据第一个结论，我们已经知道了这个等于这个，是吧，这两个是相等的， 然后呢？然后怎么证明？难道这个边等于这个边？这两个是什么？等边？三角形的两条边是吧？这个角别忘了是六十度， 这个角也是六十度，他是一条直线，所以中间这个角是不是也是六十度啊，所以这条直线上，那么这个两个六十度，两个角相等，对应边相等，那就角边角结束了，所以第四个角呢，我们也完成任务了，是不是 啊，大家尽量听的时候呢，专注一点啊，这几个很重要。第四个阶段是不是也完成任务了？你看，六十，六十，六十嘛，所以这个可能有些同学想不到啊，在做的时候呢，想不到，好，我们看，继续往下看啊。嗯，很快就搞定四个了。第五个， e g b， 给它去掉。 e g b 啊， e g b 啊， e g b。 在 这，这个三角形啊，与我们的 c f b c f b。 好， 来看一下，来，这两个三角形全等，是不是感觉跟刚刚的证明方式有点像 啊？刚刚的证明方式有点像啊，来，这个边等于这个边，是吧？等边三角形，这个角等于这个角六十度，六十度，你看角边角啊，那么这两个角相等的还是因为第一个结论啊。这个第一个结论，你记住，它是手拉手的最基本结论，它可以导出后面的很多的条件。好吧，所以这个第五题搞定了啊，搞定了， 好吧，搞定了啊，那继续看第六个。第六个呢是连接 g f。 好， 我把 g f 给它连起来 啊，证明 g f 平行于 a c。 那 么想要证明平行，那肯定就是根据我们的内错角同旁内角什么的，是吧？那我们看看，这有个六十度 啊，这个呢，也是六十度，那么刚刚不是已经证明了这个 e g b 和这个 c f b 全等吗？于是我们就能得到什么 g b 等于 f b 啊， 是吧？所以 g b 和 f b 相等，顶角是六十度，所以它是个等边三角形， 那么等边三角形的话，那这个角它也是六十度，那这个是六十度，这个是六十度，你看是吧，是不是就搞定了？内错角相等，两直线平行，所以这个呢，也搞定了，所以你看它是一环扣一环的啊，同学们，这道题还是，虽然说难度不大啊，但是可以起到很好的复习效果啊。 我们看最后一个结论啊，连接 h b， 好 把这个给它去掉啊。连接我们的 h b， 证明 h b 平分 ahc， 那 不就是我们的手拉手的第三个结论嘛，是吧？在这里我就不再做什么那个麻烦了啊，就直接做垂直， 是不是直接做垂直啊，垂直啊，垂直，这是 m， 这是 n， 所以 b m 垂直于这个， b n 垂直于这个，那么这两个直角就构成了直角三角形，所以呢，我们就会根据斜边相等 这两个相等，那么这两个相等还记得怎么证明的吗？我们是不是通过全等三角形面积相等，从而得到了他们的高相等，因为底边也相等，是不是所以高相等啊，所以 b m 就 等于 b n 啊，这样的话，根据 h l 就 能够证明出我们的 b m h 和 b n h 全等 h l， 那 这样的话就相等了，这两个角相等，那不就平分了吗？是不是 这就是我们整体的一个经过啊，老师呢，讲的还算是比较详细了，那么本节课的基本上内容就结束了，给大家总结了啊，这是一二三题，大家可以看一下，好吧，啊，可以看一下，就是第一题，第二第三题，是怎么证明的啊？可以暂停看一下啊，这是四五六啊， 等边三角形还是什么内错角相等，是吧，来证明平行啊，这是我们的第七个啊，就是做垂直 啊，做垂直，然后呢，根据面积法来证明啊，来证明。 好，那么本节课手拉手的认识我们就讲到这里，下一节课呢，我们还会通过几道典型例题，更加深入的了解一下手拉手的内容和知识。好，这节课我们就讲这里，谢谢大家。

请问角一是多少度？角一是多少度？九 九十度吗？不对。

请注意，本视频共计三十二分钟，主要讲解的是高中数学立体几何之平面的基本性质与推论的解析分析。自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频。 哈喽，大家好，之前的视频介绍了关于平面的三大公里，它们是学好立体几何的逻辑基础，要学好立体几何，还要掌握另一大基础，符号语言。 啥叫符号语言呢？翻译成人话，表示几何元素和几何关系的数学符号，比如这个符号表示平行，这个表示垂直。 在初中就知道使用符号表达起来更精准，更简单。像这样一道题目，用符号写是这样的， 如果只用文字呢？就是这样的，木有对比就木有伤害。如果不想以后活在被文字支配的恐惧中，那就来愉快的学习立体几何中的符号语言吧。 先说最基本的几何元素，点、线、面这三的符号都学过了，列在这里不啰嗦了。那用什么符号表示他们的关系呢？ 比如点 a 在 平面阿尔法上如何表示呢？要发明新的符号吗？还真不是，懒惰的数学家们是这么解决这个问题的。所有的图形都是由点组成的，所以把点看成元素， 那具体的图形，比如线和面就是点的集合，那点和面的关系就是元素和集合的关系。要用属于和不属于点 a 在 平面阿尔法上用符号表示，就是 a， 属于阿尔法。 点 a 在 平面阿尔法外就是 a， 不 属于阿尔法。够简单吧，来考考你，点 ab 都在直线 l 上，怎么用符号表示呢？ 相信大家都选了 ab 选项大概是火星符号吧，咱们不管它。 那如果要表示直线和平面的关系，那就要看成是集合和集合之间的关系，就得用包含余和不包含余。比如直线 l 在 平面阿尔法上可以写成 l， 包含于阿尔法。 除此之外，这种奇和化的符号还可以表示更复杂的图形关系。比如直线 l 和直线 m 交于点 a 就是 l， 交 m 等于 a。 注意，严格来讲，两个集合的交集还是一个集合，因此这里应该写成 l 加 m 等于集合 a。 不 过在例题集合中，咱们规定一个点组成的集合可以不写大括号，所以这么写就可以了。 除了这些例子，点线面之间还有其他的关系都列在这里，只要把它们分别当成元素和集合，再按照集合的关系表示，就不会出问题了。内容比较多，共有两部分，你自己看一下吧。 掌握了这些，那立体几何中的符号语言就达到了初级水平。想要到高级水平，还需要掌握用符号语言表示公理和定力。 怎么表示呢？和初中差不多，只要分清楚条件和结论，并把所有的元素和关系都用符号表示出来，不要遗漏就可以了。那现在就来试试用符号语言表达刚刚学过的三大功力吧。 这条公里怎么用符号表示呢？首先，这里涉及到了四个元素，两点一直线一平面。先将它们符号化，点 a， 点 b， 直线 l， 平面阿尔法。 然后分清楚条件和结论。这个不难，前半句是条件，后半句就是结论。 下面就是重点了，把每一部分出现的所有关系逐个翻译。先看条件，一条直线上的两点， 这意味着点 a， 点 b， 在 l 上用符号表示，阿尔法内用符号表示 a 属于阿尔法， b 属于阿尔法， 这样一来就完整的表示出了条件。再看看结论，直线在平面内，也就是 l 在 阿尔法内，怎么用符号表示呢？ 选 b 不要忘了，直线和平面都要视为集合，所以用包含余。这样条件和结论都表示完了，加上因为所以就是这条公里的符号化表示了。 下面你自己来试一下这条公里它怎么用符号表示呢？左边有提示，想清楚就可以继续了。 出现了四个元素，两个平面表示成平面，阿尔法平面贝塔，一个点用点 a 表示，还有一条直线就用 l 吧。 下面先看条件不重合的平面，平面不重合，这也是一个几何关系，不过这个关系已经表示出来了，阿尔法贝塔是不同的字母，没有特别交代的话，当然就表示不同的平面。 继续有一个公共点 a， 也就是点 a 同时在两个平面上，这个就是 a， 属于阿尔法交贝塔。 这里有一个经典的错误，就是表示成阿尔法加贝塔等于 a， 为啥他是错的呢？因为我们并不知道阿尔法加贝塔中是不是只含有 a， 所以 不能用等号。 再看结论，两个平面有且只有一条过该点的公共直线。这句话呢，表达了两个几何关系。第一，两个平面相交，得到一条直线，阿尔法交贝塔等于 l。 另外这条直线 l 经过点 a， a 属于 l， 完整地表示出来，加上因为，所以就是这样啦。 好了，两条公里介绍完毕，相信肯定有小伙伴迫不及待的想知道，那还有一条公里呢？比较可惜这条公里不太适合用纯符号话表示， 这里面出现了四个元素，三个点和一个面。可能会有同学觉得那还有一条直线呢？注意这里的不在一条直线上，描述的是三个点的位置关系，它并不是这个公里中出现的研究对象。 三个点分别是 abc， 平面是阿尔法，这个公里可以表示成这个样子， 三点不共线和有且只有一个平面都用了文字，因为并没有合适的符号表示这些关系，所以符号虽然好用，但也不必强求，该用文字时就用文字 好了。这个视频介绍了立体几何中的符号语言，要点呢就两个，一是把点看为元素，其他图形看为集合。二是表示具体结论时，要找到所有的几何元素和几何关系逐个表示。 在以后大家每学习一个立体几何的结论时，都要试着将它符号化，这样能检验你是不是真的理解了这个结论。好了，这个视频就到这拜拜。 之前的视频我们介绍了研究立体几何的基本想法，就是将元素也就是点和直线放到一个一个的平面上研究，并且由此衍生出来了三大公里以及公里二的三条推论。 那在具体的问题中，哪些点和线是在同一个平面上呢？这个视频我们就来看一下怎么应用这些公理和推论来证明点和直线在同一个平面上 来看。第一题读题，这有一条直线 l， abc 是 直线 l 上的三个点，点， p 呢是直线 l、 y 一 点，然后分别连接 pa、 pbpc。 要证明的是这三条直线共面， 相信不少同学都有着跟狗蛋一样的想法，但是数学是严谨的，不经过证明的结论怎么能放心用呢？其实啊，你之所以不太会证，主要是因为你不懂证明 p a、 p b、 p c 这三条直线共面这句话到底有什么意思？ 来，瞪大耳朵仔细听好。证明三条直线共面，就要先找到一个平面，然后证明这三条直线都在这个平面上。 不过呢，题目中只有点和线，并没有平面，看来得先确定出一个平面来。想想看，哪些结论能够确定平面呢？ 就是公里二和它的三条推论嘛，它们四个就是专门用来确定平面的，那根据条件看看能用上哪一条吧。 在这个图里，既能找到不攻线的三点，也能找到一条直线与直线外的一点， 还能找到相交的两条直线，所以这三条随便用哪一个都能确定平面，那就用这个好了。一条直线与直线外的一点，比如直线 l 和点 p， 他 俩就能确定一个平面，就将这个平面叫做平面阿尔法吧。 接下来为了辅助思考，咱们在旁边画一个平面，就表示 alpha， 现在直线 l 和点 p 就 在这个平面上，把它们也都画上去。 接下来就要证明 p a、 p b、 p c 这三条线都在平面 alpha 上，那要怎么证呢？想想看什么结论能证明直线在平面上？ 不就是公里一吗？如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内。这条公里就是用来确定直线是否在平面内的。选 a 的 同学可得好好复习一下三大公里及其推论了。 拿 pa 来说，要证明它在平面 alpha 上，就要在 pa 上找到两个点，证明它们在平面 alpha 上。 那就盯着图中的 p、 a 这两个点来看看吧， p 点已经在 alpha 上了，那 a 呢？它在直线 l 上，对吧？而直线 l 在 平面 alpha 上，所以 l 上的所有点都在 alpha 上，当然也包括点 a。 在 下面的图上标一下， 现在 pa 这两个点就都在平面 alpha 上了，那么根据公里一，直线 pa 就 在平面 alpha 上。同样的道理， bc 都是直线 l 上的点，那它们也都在平面 alpha 内。 结合已经在平面上的点 p， 我 们就能证明 p b 和 pc 也在平面 alpha 上，所以 pa、 p b、 pc 这三条直线共面标准过程在这你可以暂停来看一看。 回顾一下解析过程。想要证明几个点或者直线公面，主要有两个步骤，首先要通过已知的元素找到这个平面。具体来说，就是通过已知条件中的部分元素，利用公里二和三个推论确定出一个平面， 然后再将目标点或者直线放到这个平面上。具体方法就是以确定的平面上的元素为基础。如果一条直线在平面上，那么它上面的所有点也在这个平面上。 如果有两个点在平面上，那么经过这两个点的直线也在平面上。思路有了，那用同样的方法来看看接下来这道题吧。 读题已知直线 a 和 b 互相平行，直线 c 与他俩分别交于 ab 两点，要证明的是 abc 这三条直线共面。 那按照前面的思路，想要证明共面，首先要用部分已知的元素确定一个平面，然后证明目标直线都能放到这个平面上。 根据公里二的推论，任意两条相交或者平行的直线都可以确定一个平面，所以这三条直线中任取两个都能确定一个平面。那就先拿 a 和 b 这两组平行直线试试吧，他俩确定出一个平面，二方 还是在旁边。先把 alpha 画出来，那 a 与 b 就 都在 alpha 上。接下来只要证明 c 也在 alpha 上，就能证明 abc 共面了。这个很简单，直线 c 上有两个已知点 ab 对 吧？因为直线 ab 在 alpha 上，那点 a、 点 b 当然也在 alpha 上。 现在直线 c 上的点 a、 点 b 都在 alpha 内了，那 c 自然也在 alpha 内。证明完 b， 来看一下标准过程。 做完题，咱们来说一下解这类题的一个坑。可能有的同学会想到用 a、 c 这两条直线来确定平面，这样也不是不可以做，不过这样一来，直线 b 上就只能找到一个点在这个平面上了，没法直接把直线 b 放到这个平面上。 正确的做法是用 ab 再确定一个平面，然后证明这两个平面是同一个平面。不过这样做就太麻烦了，而且最终你还是会用到 ab 这两条平行直线来确定平面。 所以在这种直线比较多的题目中，如果条件中有平行直线，那么优先使用平行线来确定平面会更好一点。 好了，题目都做完了，相信大家对如何证明线共面已经有感觉了。总的来说，思路就是先通过某些元素确定出平面， 然后把目标元素放到这个平面上。在确定平面时，如果条件中有平行这个条件，要优先用它。好了，这个视频就到这了，拜拜。 之前的视频我们介绍了意面直线所成的角，在具体的图形中，可以通过平移做出意面直线所成角。 有了角，自然就解锁了一个进阶任务，求出来这个角。那这个视频我们就通过两道题看看如何求出意面直线所成的角。 这有一个折棱柱，每条棱长都是一里面呢，是一个菱形角， a、 b、 c 是 六十度。让我们求 a、 a 一 与 b、 e、 d 所成角大小。 这第一步当然是要把它们俩平行到一起，先把所成角给做出来，毕竟只有找到具体的角才能算大小嘛。 观察后发现， a、 a 一 这条棱显然比 b、 e、 d 好 平移，把它平移到 b、 b 一， 或者平移到 d、 d 一 都可以， 那就平移到 b、 b 一 吧。 b、 b 一 和 b、 e、 d 的 夹角就是角 b、 b、 e、 d， 它看起来像个锐角，那应该就是 a、 e、 a 和 b、 e、 d 的 缩成角了。 不过我们说过，在立体几何里，光靠眼看是不太靠谱的，所以还是要严格的计算一下，万一算出来这是个钝角，那答案就应该是它的补角了。 那该怎么求角 b、 b、 e、 d 呢？注意了，计算空间中的元素始终要抓住一个重要想法，把它放到平面里研究。那这个角可以放在哪个平面里研究呢？ 只要我们连接 b、 d 角， b、 b、 e、 d 就 变成了三角形 b、 e、 b、 d 的 一个内角，那先在旁边画出来三角形 b、 e、 b、 d。 下面通过解三角形就可以求出它的度数了。 来看这个三角形已知的只有 b、 b、 e 等于一，那除此之外，这个三角形里还有哪些边角可以通过已知条件求出来呢？ 答案选 c， 它们俩都能求。首先，由于 b、 b 一 是直棱，住了侧棱，所以它与 b、 d 垂直角比， b、 d 就是 九十度。 其次， b、 d 是 底面菱形的一条对角线，而且已知角 a、 b、 c 等于六十度，那 b、 d 也可以求出来了。身经百战的小伙伴已经直接报出了答案根号。三、 不太熟的话也没关系，只要把这个菱形也画出来，再过点 a 做条垂线，同样可以很快的算出来， 那把这两条信息也标在三角形里。现在这个三角形我们再熟悉不过了，角 b、 b、 d 就 等于六十度，因为它是个锐角，所以 a、 a 一 和 b、 d 一 所成的角就是六十度数算好了，最后，我们来看看标准的解析过程吧。 写过程时需要注意这两个细节，第一，通过平移找两直线夹角的这个操作，在标准过程里要写成两直线平行。 第二，在找到角 b、 b、 d 时，由于暂时无法确定它是锐角、直角还是钝角，所以为了严谨，需要先声明两条直线的左乘角是角 b、 b、 d 或者是它的补角。 回顾一下这道题，在立体图形里，不论是想求出边长还是角的大小，最重要的想法都是要把元素放到一个平面里进行研究。 比如在找到角 b、 b、 e、 d 后，我们通过连接 b、 d 补出了三角形 b、 b、 e、 d 把球空间中的角转化成了平面上的。解三角形问题， 而想求 b、 d 的 长度，同样要把它所在的平面 a、 b、 c、 d 给找出来，在平面中完成计算。如果你的空间想象能力稍弱，那就要多动动笔，在旁边画出这些拆出来的平面图形，利用它们帮自己找到图形中的关系。 不过话说回来，刚才这道题里，我们补出来的三角形 b、 e、 b、 d 恰好是一个直角三角形，所以计算都特别简单。而如果补出来的是一个奇形怪状的三角形，那我该怎么办呢？比如我们来看第二题 读题，这次的题目给的是一个立方体 e、 f 分 别是这两条龙的中点，把它们分别和 b 一、 c 这两个顶点相连，要求的是这两条直线所成角的余弦。 这回第一步的找角就交给你吧，它们俩应该怎么平行到一起呢？ 不难找吧，只要把 b、 e、 e 往右推就可以了。当 e、 c 重合的时候， b、 e 也就顺势挪到了 b e、 c、 e 的 终点。只要取 b e、 c e 的 终点 g， 那 c g 就 平行于 b e， 那 b e 与 c f 的 左乘角就是角 f、 c g 或者它的补角。想求角 f、 c g 跟上一题一样，连接 f g， 把它放进三角形 c、 f g 里，它看起来好像就不是直角三角形了，那还能求出角 f、 c、 g 吗？ 当然可以了，别忘了，咱们可是学过正弦定力和余弦定力这两大武器的，可以在任意一个三角形里进行边角转化。仔细观察这个三角形，它的三条边分别在立方体的三个面里，长度都能直接表示出来， 而已知三边求内角，这不就进入余弦定律的射程了吗？思路想清楚了，那就动手计算吧。先看 c g 这条边，把平面 b、 c、 c 一 b 一 单拿出来， g 是 b 一 c 一 的中点，假设立方体的棱长是二 a， 那 c g 的 长度就是 a。 根据勾股定律， c g 就 等于根号五 a， c f 和 f g 这两条边也是一样的，只要单独画出来这两个平片长度，就能轻松地计算出来。动手算一下， c f 是 根号五 a， f g 是 根号二 a， 三个数都有了。最后一步就是套余弦定理了，你自己来算一下 cosine 角 f、 c g 的 值吧。 答案选 b。 只要规规矩矩的写出余弦定律的计算式，大家应该都不会算错。 这里角 f、 c、 g 的 余弦值为正，这就说明它是锐角，那它就是这两条直线的所成角。因此要求的答案就是五分之四。完整的解题过程放在这里，你自己来看看吧。 题目都做完了，总结时间到，这个视频学习了如何算出两条一面直线的所成角。思路很简单，先通过平移找角，然后通过构造三角形，把角放到平面里边。求 常用的计算方法就是先算出来边长，然后再用余弦定理解三角形。想要计算空间中的长度和角度，关键的想法还是要把它们放到相应的平面里研究。 在一开始我们可以把用到的平面都单独画出来，等熟练之后就可以省掉这一步了。 哎，狗蛋同学可别高兴的太早。在大多数求一面直线加角的题目里，难点并不在于怎么计算角，而在于如何构造出两直线的加角。很多时候，我们没法像今天这两道题一样，一眼就能看出平移的方法， 那这种情况下该怎么办呢？下个视频告诉你吧，拜拜。 大家好，欢迎回来。上个视频说了，计算意面直线所成角，关键就在通过平移找到所成角，然后把角放进相应的三角形中。求解。 不过在不少复杂的图形里，平移可不是一件简单的事，如何找到合适的平移才是这类题最大的难点。那这个视频咱们就通过一道题来研究一下如何平移直线。 读题，在立方体里， e 是 b、 c 这条边的中点，要求的是 a、 c、 d、 e 这两条线所成角的余弦。那首先要干的还是平移，得先把它俩的所成角给做出来。那你想想该怎么平移呢？ 是不是感觉想把他俩挪到一起去，怎么操作都不太顺？这么挪或者这么挪，这稍微一挪就跑外头去了，完全想象不出来图形长什么样，这可怎么办呢？ 要解决这个问题，就要升级一下对平移的理解了。看这个图，直线在空间中不论朝哪个方向平移，划过的轨迹都是平面的一部分吧。 也就是说，只要平移直线一定是在一个平面里进行的。再重复一遍，平移直线一定是在平面中进行的。你之所以不知道该如何平移，是因为没有找到用于平移直线的那个平面， 因此我们可以盯住直线所在的某个平面，让直线在这个平面里移动。那如何操作呢？我们以 d、 e 为例来演示一下。 首先来找 d、 e 所在的平面，最明显的就是底面 a、 b、 c、 d 了，在这个平面里， d、 e 可以 朝任意方向平移，到底该平移到哪呢？ 咱别忘了平移的目的，与 a、 e、 c 相交形成角， a、 e、 c 与平面交于点 c， 那 就把直线往 c 点平移呗。说准确点，就是过点 c 做一条与 d e 平行的直线， 虽然这条直线没有落在正方体内部，但只要把底面往这边延展开，就能找到 c f 和 a d 延长线的焦点 f 了。那角 a、 e、 c、 f 或者它的补角就是两条直线所成的角，只要盯着它来计算就可以了。 回头看看找角的过程。直线在空间中平移，本质是沿着某个平面进行平移，所以只要盯紧直线所在的平面，就可以找到合适的平移了。 相信不少空间想象能力爆表的同学已经开启了和小锤一样的吐槽模式了。不过啊，先别着急吐槽，这种借助平面来找平移的方法，最大的便利就是当图形变得复杂，空间想象能力受阻时，也能帮我们找到目标。 比如说我们一般不会选择平移 aec 来找夹角吧，毕竟这条线的位置最为诡异。但是借助平面进行平移，哪怕是挪动 aec， 我 们也能轻松找到它与 d、 e 所成的角， 不信跟着我一起看看吧。按照刚才的思路，首先要选一个 aec 所在的平面， 虽然图里没有现成的，不过可以自己手动构造一下，比如连接 a、 e、 b 就 可以找到 a、 e、 b、 c 这个平面。那现在你能不能在这个平面里平移 a、 e、 c， 找到它与 d e 之间所成的角呢？ 还是和刚才样，先找 d e 与平面的交点，也就是 e， 然后过 e 在 平面里做 a、 e、 c 的 平行线，与 a、 e、 b 交于点 g 那 角 d、 e、 g 就是 锁成角或者锁成角的补角。你看，如果不借助平面的话，光盯着这张图，很难想象做 e、 g 这条平行线吧。 除此之外啊，如果连接 ac 找到平面， a、 e、 c a 还可以过这个焦点，这样做一条平行线，找到第三个满足要求的角。 所以我们只要记住这样一套流程，先找平面后平移，就再也不用担心找一面之线所成的角了。 做完平移，找到角，下面就可以任选一个来计算这个角的余弦了。上个视频讲过，要找到角所在的三角形，先算出三边长，然后用余弦定理计算。 提前说一句，像这种棱长没有给定的题目，可以任意设一个方便计算的数，毕竟单位长度可以随意规定嘛。因为这里出现了终点，那干脆就把棱长设为二吧。 先用第一张图来算，要计算 cos 角 a、 e、 c、 f， 就 要先算 c、 f， a， e f， a e、 c 这三条边长。虽然 f 点的位置暂时不确定，但不用着急，我们画出平面图就可以算了。 cf， 在 底面的这个三角形里， c、 d 是 二， c e， d， f 是 个平行四边形，所以 d、 f 等于 c， e 等于一，那根据勾股定律， c、 f 就 等于根号五。 再看 a、 e、 f， 它在侧面上，这两条边的长度分别是二和三，那它的长度就是根号十三。 最后看 a、 e、 c 这条体对角线，只要把 a、 c 一 连，就能利用这个直角三角形算出它的长度是二倍。根号三 边长都算好了，老老实实带进公式里。最后算出角， a、 e、 c、 f 的 余弦值等于十五分之根号十五，结果大于零，说明这是一个锐角，那它就是答案了。 如果选择另外两幅图，一样可以计算出结果，方法都一样，先计算三角形的三边，然后代入于心定里。 想要正确计算出三角形的三边，重点在于确定点的位置。比如第二幅图里 g 是 a、 e、 b 的 中点，而第三幅图里通过底面这两三角形相似，我们可以得到 m 是 a、 c 的 三等分点。 直接原因这里的计算细节就不多说了，大家自己看看吧。 总结一下，求意面直线所成角，关键是通过平移找到所成角。 今天教给大家一个好用的平移方法，先找到平移的直线所在的平面，然后找到另一条直线与平面的交点，最后把直线沿着平面平移过去即可。 具体操作时，可选的平面一般不止一个，刚开始可以多练几种不同的方法，等练熟以后就在考试中找到计算量最少的一种就可以了。这个视频就到这里了，拜拜。

请问角 c 是 多少度？角 c 是 多度？角 c 是 七十度，对不对？不对。

有很多人觉得这个图形距离的计算找不到什么思路，但是通过我的讲解，大家能够发现，只要我们去找这个三角形，然后记住它的边长比例关系，记住乘除关系，那这个所有图形的距离计算是不是都是一样的？ 我们继续讲第二个核心三角形，等腰直角三角形，它的边长比例关系是一比一，比根号二。我们考试中包括等腰直角三角形的图形共有这四种，首先第一个就是他自己，然后我们看这个三角形他给的条件，首先该三角形是等腰直角三角形， 也就是他是四十五度的直角三角形，一到二是五十米，这个是五十米。然后首先一到二跟一到三比例关系是一比一，对不对？所以首先一到三是五十米，这个很简单，然后二到三， 二到三的计算，前面我们说过，如果大家没有数学基础的话，我们就记住那句口诀，比例关系为一的这条边给出时我们用乘，现在我们知道一到二等于五十米，一到二也就是比例关系为一的这条边，我们知道用乘对不对？所以二到三就是五十乘以根号二米。 然后是第二个图形梯形，我们先看他给的条件，一到四是四十米，二到三是一百米， 然后角二等于四十五度，首先这个梯形中没有三角形，对不对？所以我们第一步一定是先画辅助线，先去找我们的一个核心三角形，现在是不是就找出来一个三角形，然后这个是九十度，这个是四十五度，那他是不是就是四十五度的一个直角三角形， 然后现在一到四是四十米，那这个边是不是就是四十米？所以这个边长是不是就一百减四十，也就是六十米？这是一个等腰直角三角形，那他的边上比例关系是不是一比一比根号二，这个边是六十米，那所以这条边 是不是也是六十米？那我们现在一到二的一个计算，现在是不是比例关系为一的这条边我们知道是六十米，比例关系为一的这条边知道的时候我们用乘，所以一到二是不是就是六十乘以根号二米， 那现在三到四是不是跟这条边是一样的是六十米，然后一到二是六十乘以根号二，那这个梯形各个航线的一个距离我们是不是也计算清楚了？ 然后现在我们看第三个图形猪蹄形，首先我们先看他给的条件，一到二是五十米，这个是五十米， 二到三是六十米，这个是六十米，然后角四为直角，也就是这个是直角，这个图形中是不是也没有三角形？所以我们第一步先画辅助线找三角形，现在是不是就找出来这个三角形，然后三到四跟四到五这两条边是相等的，也就是这个三角形是一个等腰直角三角形， 这个是四十五度。然后现在我们知道一到二是五十米，那三到五这条边是不是也是五十米？我们一个四十五度的直角三角形，它的边长比例关系是一比一，比根号二，对不对？那现在是不是就是根号这条边的距离，我们知道是五十米， 根号这条边的距离知道的时候我们用除，那所以三到四，也就是边长比例为一的这条边是不是就是五十，除以根号二米， 然后等于四到五，二到三是六十米，一到五是六十米，那这个猪蹄形的所有长度我们是不是也计算出来了？然后现在我们来看最后一个图形蝴蝶形，首先他给的条件是一二四三为正方形，然后一到二是六十米， 这个一二四三为正方形，他是什么样的一个意思？首先我们把二四连接起来，然后一三连接起来，这个一二四三是一个正方形，我现在来画一个正方形，然后一二四三，我们把这个对角线连接起来， 那这个正方形是不是就是由四个完全相同的等腰直角三角形所拼起来的？因为这一个直角是四十五度，他被一到四这条线平分，那每一个角是不是都是四十五度？每一个角都是四十五度， 那所以我们现在建立的这条辅助线，这个角是不是四十五度？这个角是四十五度。我们看这个三角形， 这是不是一个大的等腰直角三角形，它的边长比例关系是一比一，比根号二，一到二是六十米，也就是比例关系为一的这条边，我们知道是六十米比例关系为一的这条边给出时我们用乘，那所以在这个三角形当中， 一到四是不是就是等于六十乘以根号二米，那所以对于这个蝴蝶形，一到二等于三到四等于六十米，二到三等于一到四等于六十乘以根号二米，那这个蝴蝶形的距离我们是不是也计算出来了？

请问角一是多少度？角一是多少度？ 两百八十度，对不对？不对？不对。

各位中考生大家好，我们将会通过速通系列这个板块，快速梳理中考中所有模型，每天十分钟，助力重塑中考高分的你。今天带大家梳理的是第四讲平行线相关模型。平行线相关模型包含了我们常说的猪蹄模型、铅笔头模型和鹰嘴模型。模型一，猪蹄模型 猪蹄模型啊，就是形似猪蹄的模型，就叫猪蹄模型了。两条平行线之间有左右相交的角，求其角度，它有什么结论啊？就是左侧和右侧相等。嗯？怎么做出来的呢？过拐点做平行线，一下就可以秒掉。我们看一道例题，已知 ab 平行于 cd 点 m， 这个拐点在平行线之间 求角 c 的 度数，是不是可以快速得到左侧的等于右侧之合，所以直接做出来，六十减二十五，快速得到答案。来一道终极变式，在评论区留下你的答案。 模型二，铅笔头模型，非常形象对不对？非常形象，叫做在两条平行线之间有朝向同一方向的角，形似铅笔头。那么它有什么样的结论呢？叫做角度之合， 等于角的数量减一乘以一百八十度。来一道例题啊， a e 平行于 b， c 角， c 加角， d 加角 e 的 度数怎么做呀？是不是铅笔头模型出来了，叫做角的个数三个减去一乘以一百八十度，快速的把表格做出来， 来一道初级便是评论区留下你的答案。最后一个模型，鹰嘴模型，稍微有一点难的模型，我们看一下。这道题叫做拐点不在平行线里面，而在外面，所以它有四种情况，分别就是第一种情况， 第二种情况，第三种情况，第四种情况， 这样子鹰嘴有什么样的算法？就是大减小，其实就是 d 点和 b 点之间差， d 点和 b 点之差， d 点和 b 点之差， d 点和 b 点之差。大减小就可以快速的把鹰嘴算出来了。那么来一道例题，我们小声牛刀一下，已知 ab 平行于 cd 角 a 七十度，角 c 四十度，是不是标准的鹰嘴啊？我们看一眼啊，平行线外面有一个拐点， 那么这个拐点就应该等于大减小，所以直接七十减四十，快速的秒掉是不是？但是呢，这种题啊，其实有两种变式，还是稍微有一点点难度的，在这里呢，老师给大家列出来了一个中级变式，一个高级变式，我们把中级变式稍微讲一下，已知 ab 平行于 d e， 一个角七十度，一个角一百四十度，求 b c、 d 这个角是不是鹰嘴呢？我们看一眼， 这才叫硬嘴，叫做入口和出口在同一方向。而这道题是一道非常经典的坑点题，叫做入口和出口不在同一方向，所以标准的坑题对不对？在评论区留下你两道题答案。 最后我就把平行线相关模型中最重要的几道公式放在题上，跟大家一参考。二零二六中考，我们稳扎稳打，下期见！

hello， 同学们，大家好，这节课给大家说一下平面向量的两个方法的应用啊，大家现在基本上在做的时候去理解平面向量的关系，那我们平面向量本身存在两种方法，一种是我们用基底去表示 肌底去表示我们这个类型，一种是用我们间隙找到我们的什么坐标啊？间隙找到我们的坐标，所以说我们在这的话，两个话都说一下，再作为肌底前面的关系需要什么？我们说肌底的话，你需要的关系主要有， 已知是不是两个不共限向量，两个不共限向量它们的什么大小 和夹角都是能够找到的，是不是才选择作为基地？好，所以说我们现在就来看一下题目关系啊两个方法。 第一个我们在做的时候知道这一是个直角题型，那说明 a 所在位置和搭所在位置的角度是知道的。然后从长度关系可以看，我们在做的时候 a b 长度为六， a 搭和 c 搭长度是都是三，而一点 f 点， f 点是三等分点，那说明它靠近下面一份嘛，你上面几分是两份，而一点所在位置是 c 搭边上的动点， 那 c 叉边上动点的话，那说明 e 点反在 c 叉上在哪个位置我知道不？不知道，那么不知道首先的问题是啥呢？我们要去找 e a 和 e f， 那 如果我们采用第一个方式肌底的方式来作为表示的话，我们需要怎样去理解？ 这就是同学们在做的所以第一个我们的表示方式，肌底的这个方法， 那基底的这个方法在作为表示的时候，我们需要什么样子呢？需要已知的是不是两个相等的长度和它们的夹角关系，那从这我们可以选哪些？ 摆明的长度只有 c 搭 a ab 吗？三三六是不是？那能形成的夹角是不是九十度？所以说我们选择一个，好吧，我们选择一个，那我们来看一下啊， 如果用图来标，我们换个颜色标一下啊。如果我们选择我们的大 c 向量与大 a 向量，那它的夹角知道了九十度，是不是那长度我们还是标一下啊，上面是三，这边也是三啊， 下面是六来三等零点。好，这样标示完之后来我们现在看一下，我直接来啊，时间问题。所以说我们用 g t 法表示的话，我们需要 e a 向量，那 e a 向量在作为表示正好是什么？是不是 e d 和大 a？ 但是一点本身在 c 大 的哪个位置知道不？不知道，不知道我们就要干嘛？所以说有一个重点问题，我们就需要把它设出来，比如设我们的 e 大 向量是我们 c 大 向量的那么大倍， 那就是我们设了一个啊，我们设了一个，那现在在做的时候就可以了，那 e 大 向量就可以写成那么大倍 c 大， 加上我们的是大 a， 那我们刚刚说了，我想用大 c 和大 a 表示嘛，那就变成富兰达大 c 方向换过来啊，所以加上大 a。 好， 这是我们的 e a 向量，那我们再表示我们的 e f 向量， 那 e f 向量。从图来看，我们选择，比如说如果选择 e c， 先选一条路啊， e c 加上 c f， 那 e c 需要变成，那 e c 是 答 c 有 多少倍？首先要想 e c 是 答 c 有 多少倍，可以这样去换吗？我们把 e c 看成谁？ e c 是 不是正好是我们的答 c 减答一 是不是这样关系？而刚刚我们也设了一搭是那么大背， c 搭，那搭一是不是也是那么大背是不搭 c？ 所以 说这一个问号相当于就是多少把它提出来，搭 c 提出来是不是就是一减那么大？ 那所以这个你清楚啊？一减那么大个大 c， 那 后面 c f 的 话，我们知道是不是就是三分之二个 c b 三等分点，三分之二个 c b？ 好， 所以说我们把它表示出来之后来现在 c b 需要换吗？因为你要往基底去找，是大 c 和大 a 去找，所以说作为变换形式就开始， 那就是一减那么大个大 c， 那 后面三分之二我们要往那儿找的话，那从 c 到 b 是 不是可以从 c 到哒哒到 a， a 到 b？ 想图 c 哒哒 a ab， 那 大家自己在做的时候绕过来啊？所以说我们只需要 c 大 和 a 嘛，那 ab 是 不是就是两个大 c？ 那 两个大 c 和一个 c 大 合起来是不就是一个大 c？ 是不是？所以想清楚啊？想清楚关系，那这样在做的时候我们就可以换了， 那变成一减那么大个大 c 加上三分之二蓝色这两个先换了是不是就大 c， 然后后面再加上 是打 a， 所以 最终的结果它就出来了噻？那是多少？一减那么大个大 c， 后面三分之二个大 c， 是 不是就是三分之五个减去那么大个是大 c， 再加上三分之二个 是不是打 a？ 好， 这是我们在做的，那现在我们需要什么呢？我们需要算是两个相乘的取值范围，那现在我们把刚刚算的这两个给它怎么样？是给它乘起来，所以说看左边，那我们要找的 e a 乘 e f， 那就变成负那么大个大 c 加上大 a 乘以，这是三分之五减那么大个大 c 再加上三分之二个大 a 啊，所以说两两相乘关系就把它乘出来了啊。大家看， 首先第一个你自己在做的时候，负那么大的大 c 和三分之五减那么大的大 c， 所以 合起来多少个啊？自己去算啊。所以说我们这个位置我直接写了， 这那么大平方减去三分之五，那么大个大 c 的 平方，然后后面两个再做一层呢？ 所以这两个乘起来是正好是三分之二个 是大 a 的 平方，然后呢？还有，那还有不要忘了还有啥呢？还有如果我们大 c 和 三分之二个大 a 乘起来，还需要看不？因为大 c 和大 a 在 我们选的基底是什么关系，是不是垂直，那垂直说明这两个乘起来等于零，那同样的大 a 和大 c 这两个乘起来是也是零，所以说后面还有加零嘛，好字不写了啊，字不写了，所以说这是我们在做的，那作文表示完成了之后的话，那下面的值就开始去算噻。大 c 的 长度平方里是有的，所以它长度是等于九， 所以这一个是等于九的，那我们在做的时候是不是九那么大平方减去，对吧？乘九是不是十五那么大？然后后面答 a 是 不是也是三平方，是不是也是九？所以说加上三分之二乘九六， 那这一个再作为换的时候，我们可以提你要找什么，是不是找范围，那找范围什么东西更好找？ 对配方法，所以我们将九提出来，那配出来东西，大家在这旁边算一下啊，那么大平方 多少？就在这写嘛，减去九分之十五，是不是就是三分之五那么大， 然后加六再作为配的时候的话，你要记住三分之五的话，提个二是不是六分之五，说配出来应该是三十六六分之五的平方，三十六分之二十五嘛，多了三十六分之五减去它是乘九， 所以现在大家知道配出来结果是那么大，减六分之五的平方，来，这算一下吧，这一约六的话是四分之二十四，减四分之五是不是减四分之一？ 所以说这是我们在做的这个，那当我们提出来之后，现在就来看了噻，看什么？刚刚我们设的，刚我们设那么大的范围，一哒是那么大个 c 哒，那说明本身在设的时候，这个那么大的范围应该是多少， 再想清楚是不是？所以说因为我们这个那么大的范围是在零到一之间，那现在我们就知道，那所以说我们这个那么大，减六分之五的这个平方的范围呢？那这个位置要注意啊， 不是说取零和取一代就行了。平方的嘛，那想想最小的应该是零，当零的时候多少那么大是等于六分之五，六分之五在不在在，所以说是不是从零开始的？ 那最大的在做的时候是多少？是不就是那么大等于零的时候，他这个是六分之五的平方，是不是就三十六分之二十五？ 所以说这个不要弄错了，那现在我们就知道最后我们要算这个呢？乘九倍是不是再减四分之一？所以说我们得到 九倍的这个拉姆达，减六分之五的平方，再减四分之一，范围是多少？先乘九嘛，零乘九还是九？再减四分之一是不是就负四分之一， 三十六分之二十五乘九，最大的是三十六分之二十五乘九，三十六分之二十五乘九是多少？是不是四分之二十五，四分之二十五，减四分之一，四分之二十四六。 所以说范围就出来，选择大选项，选择大选项。好，这就是我们自己在做的时候去考虑的这种肌底的方式 啊，这是第一个。然后我们再来看，在做的时候，如果我们需要空间向量，用哦平面向量的字啊，平面向量用向量的坐标法来作为表示的时候怎么做呢？老师我把字擦了啊，大家在做的时候可以截个图再慢慢看。 那向量在做的时候，首先第一个就是啥？就是我们一定要建立什么坐标，那坐标的话是一定要见细，刚刚说的那见细的话，那我们见细从哪位置去见呢？ 那一定要从 x 和 y 轴垂直的位置嘛，对吧？所以说我们在做的时候是哪位置随便啊，垂直的位置我们从 a 点和大点都可以啊，从 a 点嘛，大家好看一点啊，我稍微画的隔开一点，你好看啊， 求 y 轴 x。 那 这样子建的话， a 点坐标是知道的，是不是零斗零？ b 点坐标长度六嘛？是不是六斗零，大点坐标长度三是不是零斗三？ c 点坐标是不是三斗三？ f 点坐标，现在很清楚 f 点坐标多少，垂下来是三， f 占几分，前面是占两份，那说明这个长度二，这个长度一，那说明 f 点的 x 等于五 y 呢？同样的噻， 这是长度一，这是长度二，说 y 是 不是也在一啊？说五斗一，想到这问题啊，五斗一啊，说把这儿拆敲一下，那我们把点标出来， 五斗一，那一点坐标呢？那现在我们就把你好一点，坐标所表示的关系， x， 我 不知道，我打个 x 嘛 y， 但是我知道呢，是三， 说一点坐标，我敢喊命名为 x 到三。那现在我们从这可以看出一点，既然是上面的一个动点，说明这个 x 的 曲子范围是不应该在零到三，在线段上， 这是我们才做的。那现在进稀有了，你需要谁？那就看你需要 e a 向量和 ef 向量吗？它表示出来噻，我们就得到 e a 向量，对中点减起点，所以说负 x 负三，然后 e f 向量 f 能减 e 嘛？五都一，减 x 都三，所以说五减 x， 一 减三负二，这，这是我们表示好了的。那现在我们在做的时候，我们需要什么？是不是需要 e a 乘以 e f？ 所以 说我们在做的时候就要把这个东西列出来，把坐标反啊。第二种， 那 e a 乘以 e f 在 作为表示的时候，它应该是多少？那么就 x 乘 x， y 乘 y 嘛，是不相等关系，所以说负 x 乘以五减 x， 再加上是负三乘以负二，所以说我们把化简， 所以 x 平方减五， x 加六，那这个大家在做的时候配方法就好配了噻，是不是范围关系？所以这个是啥？是不是 x 多少？ x 平方减五， x 是 应该是二分之五，所以就应该加四分之二十五，原来加了多少？是加了六，那现在把这个四分之二十五给它怎么样减掉？ 是这样的关系，所以说我们再做一个给它逆过来。那我们先来看下这个是啥？ a x 减二分之五的平方加六，减四分之二十五吗？是不是减 是不是四分之一，所以表示的关系出来了啊？那现在同样的，因为刚刚我们说了，你这个 a x 的 曲值范围在线段上是不是就在零到三之间就选一了？ 零到三之间，那说明我们这一个 a k 是 减二分之五的平方， 取二分之五最小嘛？是零取零的时候最大，二分之五的平方是四分之二十五。那最后我们要找这个 a k 是 减二分之五的平方，在 加上减去我们的四分之一的话，那就应该是属于多少都减四分之一，是不是就负四分之一和六，所以说同样的选择大啊。这就是我们在做的两种计算方式， 就大家在做的时候把它理解清楚，考虑好，选择哪一个由自己考虑问题。我们说了坐标你肯定要有长度，所以有这些关系来表示，然后我们在做时候还有什么呢？ 肌底在做的时候是需要什么？是需要我们椅子长度和椅子关系夹角，到时候把它理解好，这我们就说到这啊，我们下期再见。

小朋友们好，今天和刘老师一起学习一个新的有趣的数学知识，长方形和正方形中的多边形，让我们一起走进图形的世界，探索他们的奥秘吧。这节内容我们将按照以下几个部分来学习， 首先我们会认识什么是多边形，接着重点学习长方形和正方形各自的特点，然后我们会看看生活中哪些物体是这些图形，最后一起回顾总结今天的知识点。在生活中经常看到许多图形，这些图形都是由线段围成的封闭图， 刚才的图形都是由一条条线段收尾相连为成的封闭图形。我们可以根据边的数量来给它们分类，有三条边的三角形、四条边的四边形，五条边的五边形等等。这些图形都有一个共同的名字，叫做多边形。 现在我们来重点认识长方形，请大家观察这个长方形，它有一二三四四条边，我们把较长的边叫做长，较短的边叫做宽。长方形的上下两条边长度相等，左右两条边长度也相等，我们称之为对边相等。 同时长形的一二三四四个角都是直角，接下来是正方形，大家看正方形也有四条边，而且它的四条边长度都相等，和长方形一样，正方形的四个角也都是直角。 我们学习的图形在生活中无处不在，比如足球上有正五边形，螺母是正六边形，这个蛋糕盒是正八边形。这些图形的每条边长度都相等，我们称之为正多边形。 找一找，你身边还有哪些物体是长方形、正方形或者其他多边形呢？现在我们一起来回顾一下今天学到的知识，我们认识了多边形， 重点学习了长方形和正方形的特点，还发现了生活中很多有趣的图形，希望大家都能掌握这些知识。今天的知识点就到这里，感谢同学们的认真听讲，下课。

请问中间角是多少度？中间角。中间角。这个，这个是三十度，三十度，不对。