六年级三单元思维导图几何图形

六年级数学下册数学必备公式！知透就是最强黑马。负数重点，正负数表相反。一零式分界右正左负，正数大于负数百分数重点，折扣乘数比税率利率计算选最省钱方案。 圆柱与圆锥重点，圆柱体积 v 等于 pi， 二 h 圆锥体积是它的三十一比例重点，外向积等于内向积会判正反比例。用比例值解析 数与代数。重点数的计算方程。几何比例掌握预算率与比例关系。图形与几何重点，平面立体图形公式会确定位置和图形运动。统计与概率重点，会看统计图算平均数分清确定不确定事件。

形，三角形的特征，还认识了轴对称图形。五年级学习了多边形的面积的计算，研究了长方体、正方体的表面积和体积。 六年级，最后我们认识了圆，研究了圆柱和圆锥。 是啊，在不知不觉之间，我们竟然学习了这么多的几何知识，它们就像一颗颗散落的珍珠。 今天这节复习课呢，我们就要将这些珍珠串起来，就像我们平时把数学知识点串起来一样，你们能做到吗？能，非常棒。好，那这节课我们主要是对图形的认识进行整理和复习。 首先我们一起看一看图形是怎么构成的呢？请大家仔细看。这里有一个什么呀？点一个点， 点动成线，线构成了面，面有维成了。 是的，其实我们对图形的认识也是按照点线面体的顺序进行的。那今天我们的整理和复习也按照这样的顺序来进行，可以吗？可以，好的，非常好。 在课前，翁老师已经给大家布置了一项自主复习的任务，截止到现在，我已经收到了全班同学提交的 导学单。请看每一个同学的导学单，翁老师都认真的读过了，同学们做的非常的认真。好的， 那我们就开始进入今天的复习吧。好，我们知道点构成了线，那谁来说一说在小学阶段我们学习了哪些线？ 嗯，举手，真积极。好，请你说，我们学习了直线、射线和线段。好的，这些线，它们分别有什么特点，又有什么联系和区别呢？ 好，请你来。直线和射线都是线段上的一部分。嗯，呃，再再想一下是谁是谁的一部分，别着急。 好，谁来帮帮他。好，请坐，你来。呃，应该是射线和线段是直线的一部分。哦，他说的其实就是这三种线的联系，对吧？那谁来说一下这三种线各有什么特点？ 好，请你来。线段有，有两个端点他不能延长，射线有一个端点可以延长，直线没有端点可以无限延长，向两端无限延长。大家同意他的说法吗？同 意，非常完整，请坐。其实我们在课前已经在导学单上对这部分知识进行了整理。那我们用的是什么样的方式进行整理的？ 表格，表格，对不对？嗯，这个表格是一种非常简单非常好的整理方法，那么在接下来的复习课中，我们就可以用这种方法进行整理和复习。好， 同一平面内两条直线又有怎样的位置关系？谁来说一下？ 好，请你说。平行或相交。哦，平行或相交，那老师在这个上面看到了一个互相垂直，这又是一种怎样的关系呢？谁来补充一下？好，请你说。 互相垂直是是相交的一个比较特殊的一个 情况。情况。嗯，他怎么特殊了？他的四个角的度数都是九十度。嗯，也就是两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直。好的，那我们知道有一个点 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。哎，那小学阶段我们又认识了哪些角？你能不能按照从小到大的顺序给我们说一说？好，请你来。 我们学习了锐角，直角和钝角。哦，还有补充的吗？锐角，直角，钝角。好，请你来补充。 还有平角和周角，同意吗？好的，很完整了。这是我们在课前导学单上也整理过的知识。 嗯，我现在把他这个投屏上去的这个同学，他的这个作图啊，我们老师非常欣赏，他很规范，用到了铅笔和直尺作图，向这位同学学习。好， 看来啊，对于线和角这一部分的知识，同学们掌握的还是非常不错的。那么翁老师这里呢，有一套针对性的练习，我们先来看一下， 一共有五道题。好，我现在将它推送到大家的电子书包里面，请同学们完成。完成了以后迅速的提交好。准备好了吗？好的， 试一下。嗯，我看到已经有同学全部都完成并提交了。好，我们稍微的等一下， 看一下作答的情况。 在所有同学里面，我们发现八号同学提高提交的速度是最迅速的，八号同学，请举一下手试一下，老师你真厉害。好， 嗯，在这这个绿颜色呢，表示正确的，红颜色表示错误了。那我们来看一看这个第三题吧， 整体的正确率还是非常高的。经过一个点可以画多少条直线？谁来说一说你是怎么做的？你是怎么想的？好，请你说。嗯，经过一个点可以画五， 嗯，经过一个点可以画无数条直线，因为因为一个点他他这边可以可以经过无数条直线，划过去的话，他是，他是没有，他是可以完成他的这个题目的要求的哦，好的，请坐，大家同意他的意见吗？ 同意。好，我们来看一下这个正确答案，确实是无数条。好，这个题如果做错，同学，请你下一次注意。好，那么通过刚才这个练习啊， 我们可以看出，同学们正确率还是非常的高的。看来对于这个线和角的知识大家已经掌握的非常好了，那我们就赶紧进入下一个板块的学习，好吗？ 好，那我们知道点和线是构成图形的基本元素。那想一想，在我们小学阶段，我们一共学过哪几类图形？ 好，请你说， 我们学过平面图形和立体图形，也就是一共几大类？两大类，两大类。好的，平面图形和立体图形。 今天这节课呢，我们主要是对平面图形的相关知识进行复习和整理。好，那我们小学阶段又认识了哪些平面图形啊？好，来，请你说说。 我们学习了三角形，正方形、长方形、梯形、平行四边形和圆，还有扇形。哦，学习了这么多， 大家同意吗？同意，好的，我们在课前已经在导学单上用思维导图的方法将这些平面图形进行了分类，并且我们还在电子书包中提交了，还互相是不是互相点评了呀， 互相的点了赞。那到底哪一位同学他的人气最高呢？我们来看一看， 这是大家的这个思维导图的提交情况。好，我们来看一下哪一位同学人气最高？ 哪一位？十五号，十五号同学坐在哪里？好，来，请你起立，我们来点开一下，看一看十五号同学的思维导图是怎样的。 好，这是这位同学整理的思维导图下面。嗯，吴老师，想请你到我们这个黑板上来。嗯，首先对着自己的思维导图，然后将这些平面图形分一分，再说一说自己是怎么想的，可以吗？好，请 我把这些平面图形分为了三大类，分别是四边形的一类， 三角形为一类，圆形和扇形为一类，我是按他们的边来分的类。哦，好，请三位。哎呀，看来这个同学他不仅是分的很好，得到了大部分同学的认可，而且呢，他表达也很清晰。好的，我们把它整理一下， 我们现在已经将平面图形分成了这样的三类，并且课前呀，每一位同学都在导学单上对这 几类图形进行了深入的整理。那么接下来老师给大家发布一项小组任务， 每个小组选择合适的方法对这三类图形中其中的一类进行系统整理，明白了吗？好，现在开始， 你们想选什么？行，好好，行，讨论一下， 说一下怎么分工。想一想，两条边的长度是相等，这两条两条边的长度是相同的，两条边的长度 是相同的，你是圆形是吧？好，待会指示哦。好， 好的，他的两组对边平行于相等，而且对角相等，他一把平行于。 你们是哪个哪个形状？你们是准备整理哪一种形状？ 四边形还是什么形？继续吧， 我待会是他在服务我们，用 ppt 的 程序来做，帮我直接撑一点。 对啊，准备好了，一二三，开始一下。 说，对了，你整你完了， 你们已经准备好了是吧？ 都整理完了，看来你们的课程准备真的是非常的充分啊。好，那接下来的这一块时间，翁老师想教给你们。 嗯，我也来当一回学生，请你们来当小老师，我也坐在下面听一听好不好？好好，那刚才哪些小组整理的是有关三角形的知识，哪个小组愿意汇报？好，来，请你们来吧。 师，我们小组想利用白板上的绘画工具来展示我们的汇报成果。嗯，很好，欢迎。 有点慢， 你们现在是要打开白板？好的好的。嗯，好，不着急， 我们小组梳理的是有关三角形的知识， 三角形是由三个顶点三条边围成的封闭图形。下面我们来看看三角形角的特点，像这样三个角都是锐角三角形，叫做锐 角三角形。 像这样一个角是钝角三角形，叫做钝角形，钝角三角形。 所以按照三角形角的特点，我们可以分为三类，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 我们来看看三角形边的性质， 这是一个任意三角形，它的三条边都不相等， 这是一个等腰三角形，它的两条对边相等，两个底角相等，两条边相等，对吧？ 这是一个等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是六十度， 所以按照三角形边的特点，我们可以把它分为两大类， 任意三角形与等腰三角形。等腰三角形中又有一又有一类特殊的三角形等边三角形， 它也叫正三角形。老师老师，我，我想打断一下可以吗？不好意思，请问一下这个这个这个小的圆是应该被包含在了这个大圆的里面还是画到它的外面来？ 呃，这个圆是，呃包含在等腰三角形的类边里面的里面的。哦，好的，谢谢，谢谢。三角形还具有稳定性，生活中人们常常会利用三角形不易变形的特性，例如篮球架、桥梁建设方面等。 下面还有哪些同学想补充一下？梁启宇， 我想补充一下。我们还知道三角形的底和高，我们可以任意取三角形的一条边作为它的底，那么从这条边，从它对边的一个顶点上做下一条垂线段做的，它的高三角形有三个底和三条高。你说的非常好，谢谢。还有谁吗？ 张文寻，我想补充一下三角形的对称轴，三角形有普通三角形，普通三角形有没有对称轴，还有等腰三角形，等腰三角形有一条对称轴，还有等边三角形，等边三角形有三条对称轴。 你的补充非常有价值，谢谢。我们的汇报结束。好，谢谢你们，非常感谢 刚才这个小组，他们用的是学科工具，然后画维恩图的方法对三角形的相关知识进行了整理。维恩图也是一种非常好的进行整理的方法。好，那还有哪些小组选的是有关四边形的知识进行整理的？ 哦，有这几个小组。好，那我想请你们小组来汇报。 老师，我们想通过思维导图的方法来进行梳理。好的，请 这个需要吗？好， 我们这个小组来研究四边形，我们是通过表格和文图的方式来进行梳理的。 四边形分为平行四边形、长方形、正方形和梯形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 平行四边形的对边平行且相等，对角度数相等，内角和为三百六十度，它没有对称轴。 长方形的对边分别相等且平行，四角都是九十度，内角和是三百六十度。有两条对称轴。 正方形四条边都相等，四角均为九十度，内角和为三百六十度，它是轴对称图形，有四条对称轴。 梯形只有一组，对边平行，它的内角和是三百六十度。梯形分为三类，一般梯形、直角梯形和等腰梯形。 直角梯形有两个直角，它没有对称轴。等腰梯形有两条腰相等，它有一条对称轴。 我们的汇报完毕，有哪些同学可以补充一下？ 呃，圣子贤，平行四边形中有一种特殊的平行四边形，它叫菱形，菱形的对角线就是它的对称轴，它有两条对称轴。谢谢你的补充， 我们的汇报完毕，谢谢大家！嗯，非常棒，好，请回位。好，翁老师来吧。 好，我感觉刚才这个这个小组的汇报特别的完整， 那么他们又是使用的什么呢？他们使用了表格和文图是吧？呃，是结合了这两种整理方法， 那么这种多种整理方法的结合可以让我们对知识点整理的更加的细致，更加的完整。好，那关于圆形的知识又是哪些小组进行整理的呀？刚才 好，哪个小组愿意汇报，都想来。好，请你们来。我我，我想先采访一下， 你们想用什么方式给大家汇报啊？我们小组在课前预习的时候提交了一份 ppt， 我 们想用这种方式来汇报我们的学习成果。哦，你们那个 ppt 我 看了，做的非常的精美，好，请吧，需要这个吗？好的， 我主要汇报的是圆的概念，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小。早在战国时期，墨子就为圆下了一个定义，圆一中同长也。 我主要汇报的是圆的半径和直径， 如图，连接圆心和圆上任意一点的距离叫半径，一般用字母 r 表示，半径的长度就是圆规两角之间的距离，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示， 两倍半径的长度就等于一个直径的长度。在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 我主要汇报的是圆周率，古人发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母派表示， 它是一个无限不循环小数。世界上第一个把圆周率精确到七位小数的数学家，是我国的祖冲之，在实际应用中常常取它的近似值 pi 约等于三点一四。 我主要汇报的是圆的对称轴，我们把圆沿着任意一条直径对折，两边可以完全中和，说明圆是轴对称图形。 这就是我们小组的实验成果。直径所在的直线就是圆的对称轴，也有无数条对称轴。我们的汇报完毕，哪些同学还想要补充一下的？张一泽，你来 呃，我来汇报一下我们。我们在六年级还学过扇形，扇形是圆的一部分，圆心角的角度取决于了扇形的大小。你的补充非常有价值，课后我们会把它做进我们的 ppt 的。 我们的汇报完毕，谢谢大家。哎，老师，老师，我想提问 可以吗？可以，我想问问这个圆形和其他的这些平面图形之间有什么不同啊？ 圆形是由一条曲线围成的封闭图形，他没有角。但是其他的图形都是由。呃，几个线段围成的封闭图形，他们有角。哦，大家同意他们的说法吗？同意，好，谢谢你们好，谢谢大家！谢谢大家好，请站位好， 感谢刚才这三个组的同学的精彩汇报，通过我们大家的共同努力，现在啊，我们已经对平面图形的知识进行了非常全面的归纳和整理， 那么接下来呢，翁老师这里还给大家准备了一套平时我们在练习中出现的易错题，请大家先把题看一看啊，一共有五道题，哎呀，同学们都迫不及待的拿出了电子书，包好，现在准备答题。 嗯，有些同学的动作非常的快。好的，现在好像大部分同学都已经完成了任务，我们来看一看。 嗯，正确率相当的高。看一下这个第二题吧，有一个同学答错了，圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一。谁来说一说，你是怎么判断，是怎么想？ 好，来，请你说，这道题是正确的，因为圆的圆心角是三百六十度，这个扇形的圆心角是九十度。扇形圆心角的大小取决于这个扇形的大小， 决定了扇形的大小，用九十度除以三百六十度，可以得出四分之一，所以这个圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一，大家同意吗？同意，好，我们来看一下正确的答案 是正确的，非常好，而且解答的很清晰。这个题有两个同学做错了，看一下，任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形，这句话正确吗？好，谁来说一说你是怎么想的？ 好，请你说一下。我认为这一题是错误的。嗯，因为就算他等底等高，如果一个是直角梯形，一个是一般梯形，他们也不能拼成一个平行四边形。那是怎样的 两个梯形才能拼成一个平行四边形呢？两个完全一样的，完全一样或者完全相同的，同意吗？同意，非常棒，请坐。 看一下解析。任何两个完全相同的梯形都能拼成一个平行四边形。好， 这些题啊，都是平时我们作业中的易错题，那通过我们今天的整理和复习，我们明显的感受到正确率提高了。看来啊，同学们对于这个平面图形的知识已经掌握的相当好了。好的，好，请大家先作证。 我们刚才是对平面图形的知识进行了整理，那么现在大家看这里平面图形和立体图形之间到底有怎样的关系呢？好，有同学已经有想法了，我们先看一段小视频 感受一下。 嗯， 好，你这个同学，你刚才有想说的是吗？好，你来说一下，你觉得他们之间有什么样的关系？ 就是立体图形是由许多平面图形围成的，围成的是它们构成的，对不对？好，请坐。其实通过刚才的对比和演示，我们发现平面图形经过平移、叠加或者是 旋转都可以构成一个立体图形。关于立体图形的知识，我们会在后面的复习课中对它进行整理。好，刚才同学们一直都在动脑筋，下面我们来动动手吧。好，请看 谁来读一读这个题目的要求。好，请这个女同学你来读一读。 做两个一样的平行四边形纸片，把它们重合在一起，将上面的平行四边形绕它的一个顶点旋转一百八十度，再通过平移使它与下面的平行四边形重合。 观察两个平行四边形的各条边与各个角，你有什么发现？声音真好听，读得非常好，大家现在明确了这个题的提议了吗？ 好，那现在请以两个人为一个小组，先坐一坐，再说一说你有什么发现？准备好了没有？好的，开始。 先摆在上面摆好，先重合。先摆在上面摆好，先重合。注意看一下顺序，按照那个步骤可以摆在桌上，你和他一起做 试验一下。先重合，按照顺序按照顺序试一下，然后再想想，再互相说一下。 就是他这个脚，脚一和脚三，这两个是相同的，而而红色的脚 怎么样，你们发现了吗？我们发现了，对不对？好，所有的脚 怎么样，我们发现了吗？我们发现了，对不对？我们发现了，对不对？ 好，已经发现了这个里面的规律了吗？那谁愿意来说一说？ 好，请后面那个男生，嗯，我发现他把上那个，把其中一个平行四边形旋转，叫一个顶点旋转一百八十度，再重合后发现他们两个图形，嗯，完全重合，而且他们的脚那个都是一样的。 好的，这是他们的发现。有没有哪个同学想补充一下？好，请你来。对边相等，对角也相等，什么形状啊？ 平行四边形，平行四边形的对边相等，对角也相等，大家同意吗？同意。 好，那我们刚才通过旋转和平移再次的验证了，平行四边形，对边相等，对角也相等。好，老师，这里有一个小动画，我们一起来感受一下这个过程， 而且刚才那个同学用到的一个词特别好，完全重合。我们以后还会认识更多的平面图形，我们可以把这样的方法运用到这些图形中，去，发现它们的特征。 好，同学们，我们知道我们的数学知识啊，其实都是来自于生活的对不对？那么他也会运用到生活中去。下面我们去一起去看一个生活中的数学问题， 这有一个储蓄罐，想一想如何判断一枚圆形硬币是否能放进下面的储蓄罐中？请结合今天复习的知识说一说。注意，储蓄罐的开口是一个长三厘米，宽零点四厘米的长方形。 好，有想法了吗？哎，好，你先说。呃，我们要先求出这这枚硬币的。呃， 他直径如果直径大小于存钱罐的长，那么就可以放进去，等于也可以放进去，但是很困难。 呃，而且还要求他的厚度，如果厚度也是小于这个长方形的宽度的话，他是完全可以放进去的。嗯，一定要小于吗？呃，等于，很难小于或等于，对吧？好的，请坐。大家同意他的意见吗？好，那还有没有哪个同意？用自己的话来说一下，怎么样判断？ 好，请你来。就是当这个圆形硬币的直径小于等于这个长方形，这个长方形小于或等于。好，接着说， 当这个圆形硬币的直径小于或等于这个长方形开口的长圆形硬币的厚度小于或等于这个长方形开口的宽的时候，他是能放进去的。嗯，同意吗？同意，非常清晰，表扬他很好 看。来呀，我们这个解决实际问题的能力也增强了。好，同学们，现在今天的课上到这里，现在请大家回顾一下，通过今天这节课你有什么收获？ 好，你来说。通过这一节课的复习，我更深的了解了他们之间的关系。哦，非常好，还有补充的没有。 好，那个男生，你说一下。通过这一节课说，我知道了，油点可以组成线，油线可以组成面，然而油面可以组成体。哦，其实我们刚才复习的时候也是按照这种顺序复习的，对不对？也就是说我们复习的时候可以找到一种顺序来进行复习。很棒，还有吗？好，你来说一下。 我知道了，我们可以用图表、文图、思维导图等方式来整理我们所学过的知识。嗯，也就是我们在进行知识的整理的时候，可以选择不同的方法进行有效的整理，很棒，还有吗？ 好，那个中间那个男生，你说一说。嗯，通过这节课，我了解了直线射线线段的它们的关系以及它们的区别。 好的，看来同学们的收获还真不少。好，那么今天通过我们大家的努力，现在已经将平面图形的知识整理的非常的全面了。

一共倒了三次，呃，一共倒了三次，然后在圆锥里装满水或者是沙子，倒到圆柱里，也就是倒水和倒沙子都行，是不？那最后倒了三次之后，正好是是圆柱满了，装满了，所以我们推出了 圆锥圆等底等高的，圆锥的体积是等底等高，圆柱体积的三分之一。你说话真严谨，他反复的强调，一定是等底等高的时候，圆柱的体积是圆锥体积的 三分之一，圆柱是圆锥的三倍三倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。所以那当我们知道圆柱的体积是底面积乘高的时候，那么圆锥的体积就得底面积乘高 乘三分之一。哎，对，还得乘三分之一，因为他的等底等高情况下，他的体积是圆柱的 三分之一，是不是？这也是我们在计算的时候应该注意的地方。好了，那么大家啊，刚才你们把这个圆柱和呃圆柱、圆锥以及长方体、正方体他们体积的推导过程又回忆了一遍，现在我们看一下 圆啊，长方体，借助他推出了正方正方的体积，又推出了 圆柱的体积，然后借助圆柱，我们又推出了圆锥的体积，圆锥的体积。所以说知识之间是有联系的是不？那我们看看还有什么联系呢？想一想这些立体图形，它的大小跟什么有关系？长方体跟什么有关系？ 里面一个高长宽高，它的体积跟长宽高有关系，非常好，正方形长冷长冷长扩大，它的体积就扩大。那圆柱呢？ 直径是高，直径跟直径有有关系？还有高有关系是不？那除了直径，你想想直径越大，半径越大，他的什么就越大就对了。所以说跟底底面半径、直径还有底底面积都有关系是不？还有高，那光底面积扩大， 然后高不变的话， 如果底面积扩大二倍，那它的体积扩大几倍？高不变，底面积扩大二倍，体积扩大二倍，二倍扩大四倍呢？如果底面积扩大四倍呢？扩大四倍。那反过来想想，如果底面积不变， 高扩大二倍，体积怎么变化？扩大二倍也是扩大二倍，对不对？好，那我们再想想。圆锥，圆锥它的体积大小变化跟什么有关系？ 跟平面跟平面有关系，还跟什么有关系？高高越高，他的体积变化就越大，是不非常好啊。 最后我们再想这个问题，圆柱，圆锥和我们学过的什么平面图形有关系？圆，想想怎样做？我们知道他和之前学过平面图形有关系， 你来说，呃，圆柱可以由长长方体，不是长方形旋转而成，圆锥可以慢点说，长方形旋转而成是不？那我简单写应该是转。 圆柱是什么转成的？可以是长方形或者一个长方形，沿哪个边转？沿 长或者是宽，都能转出一个圆圈。好，他跟长方形有关系，还跟什么有关系？正方形？正方形。例如呢？呃，比如说一个圆， 一个长，一个正方形沿着它的边长旋转可以得到一个圆柱。嗯，正方形也能转出圆柱来。嗯，他说的，大家在脑海里想象也跟正方形有关系。除了这个图形，其他的也可以说一说。还跟什么有关系？转，那这个图形是谁转出来的？ 谁转出来的？三角形？什么样的三角形？直角，它是由直角三角形沿着直角边旋转出来的。好了，除了转，还有没有别的思路？ 这是什么切？切，怎么切？他能是什么样的？你说把一个，把一个圆柱沿着他的底面直径和高切开，嗯， 切完之后，切完之后会得到一个长方形，这个竖着切，我们把它露出来的面叫抛面，对吧？那竖抛面露出来的形状是长方形，也可能是正方形。竖着切，那横着切呢？ 这叫横着切，就叫洁面了，对不？横，洁面是个什么形？圆形，他是圆形，对不？那他切呢？ 三角，三角横着切，他的抛面是三角切，横着切呢？圆。所以我们可以顺着他的思路啊。除了切转，还有没有别的思路？想想， 想一想，我们研究圆柱的时候好像做过这个实验是不？这叫什么呀？卷，对，顺着老师的输入，然后你们想到了卷，那可以是什么型？卷出来，卷出来的 长方形，长方形或正方形的情况下，是正方形，能卷出圆柱，对不对？嗯，横着卷也行，竖着也行，那无论怎样卷，它的 侧面的不变不变，大小都一样的，对不对？非常棒，看来啊，同学们不仅对本节课特征表面的体积有了深入的了解，而且大家通过你们的思考，不同的方法，我们找到了图形、立体图形和之前平面图形之间的联系，有没有信心 我们解决一些问题？有，有，声音不够响亮，有，我不给时间啊。迅速读题，迅速作图。判断手势告诉我，第一个对长方体，最多有两个正方形， 全对圆柱的侧面展开，不是正方形就是长方形。高点举 好，说明一下，为什么不是正方形？就是圆，那个长方形侧面展开还可以是，你说还可以是平行四边形对不对？斜着切它展开就是平行四边形。第三个长方形的三条棱就是它的长宽高 对还是错？长方体的三。呃，三条棱拿出来三条棱肯定是长宽高吗？有可能是都是长。对，因为它四条棱都是相等好。最后一个圆柱的体积是圆锥的体积的三倍 好全是认为是错的，有没有认为对的？没有，非常棒。那说明压力对不对？那个女生 因为圆柱和圆锥等你等高的时候圆柱的体积才是圆锥的体积的三倍，他抓住了关键词大家一起说什么等你等高，只有是等你等高的时候才能是三倍。关系好，一起看。 认真思考我会填。第一个做一个长方体铁皮罐头盒要求需要多少？铁皮是求它的侧面的表面的表面的表面的 罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是侧面面积，非常棒。下一个做一个圆柱型通风管要用多少？铁皮是求它的侧面通风管一定是通风通风的。对，只能求侧面。 非常好啊，大家反应真快。下一个一个圆柱型水池占地多少平方米是求圆柱的几面积，求水池占多大的空间就是求它的几面积。 求这个水池能装多少水。如意，看来你们对知识掌握的非常的透彻了深思熟虑我会选这个可要谨慎了啊，里面有陷阱。第一个正方体能长三厘米的话如果能长扩大二倍那他的体积扩大几倍？二倍，二倍 棱长扩大二倍指是一长棱扩大吗？那是应该扩大体积，应该扩大平方倍，立方倍，立方倍几的立方啊，谁来回答一下这个问题，到底应该选几？ 有点快了是不？呃，你来说应该选第四个答案，八， 因为扩大几倍，因为这个是棱长，再加上是问他的体积扩大几倍，应该是二的立方倍，所以应该是八倍，同意不？同意？同意，体积扩大的是棱长的立方倍，所以二的立方是八。 答对了啊，第二个，把一段长三米的长方体木料平均结成两段，想一想啊，两段表面积增加八平方厘米，那么原来这段木料的体积是多少立方厘米？注意单位 选几呢？可以动笔算一算也行，口算算不出来，动笔也可以 给大家一点时间啊。先想想，说说你的思路行不来？那男孩切开之后，切开之后会呈现出两个正方形，嗯，是增加了两个正方形的面。增加了两个正方形的面，嗯，这边一增加两个面，是增加了八平方厘米。 呃，用八除以二等于四，就求出增加一个面的面积，这个面就是长方形的。呃，底面积，再用底面积乘以，因为三米用。因为要求立方厘米化成三十厘米， 然后再用三百厘米，然后再用四乘以三百，等于一千两百。那这道题刚才我说有陷阱，那陷阱是哪？哪个地方呢？ 等于换算，对三米一定要换算成厘米，对三百之后再去乘。那刚才老师纠正一下，因为我一直拿着这个长方体呢，但不是所有的长方体对面都是正方形的，也就说他只是增加了两个量，对不？我们知道八 八平方厘米是两个面，那一个就是一个面，肯定就是四四了，对吧？好了，看看他答的对不对，对不对？对，而且说的非常清楚啊。好，第三题，一个圆锥的体积，如果是 n 立方厘米的话，那和他等底等高的圆柱的体积是， 圆柱的体积是？那个女孩应该选择三三 n， 因为圆和因为圆锥的体积是他等底等高的圆柱的体积的三分之一，反之， 他的和他等底等高的圆柱体的体积应该是和他等底等高的圆锥体的体积的三倍，所以应该选择三三 n， 对 不？所以很清楚了啊。最后一个等底等高的圆柱和圆锥的体积相差十六立方米， 相差十六平方米，这个圆柱的体积是多少立方？求的是圆柱啊，差十六 来男孩，呃，我觉得应该选四二十四，因为差十六是用三减去一是两份，用两份十六除以二，求出一份的量是八。 呃，要是求圆锥，那他的体积就是八，一份八，那圆柱是就是三乘以八等于二十四三倍，对不对？同意不同意，非常好啊， 来这道题，你能推想一下下面的立体图形的体积可以怎样算吗？有了刚才的基础，大家想一想，圆柱啊，正方体，长方体都可以用底面积乘以高，那我们想一想可以怎样来求呢？ 那么这堂课马上就要结束了，我想我们的学习是无止境的，对不对？那么除了我们要研究的这些立体图形之外，你是不是还去继续想探索其他立体图形怎样算呢？对不对？除了体积，可能还想研究它的什么呀？ 它们有什么特征，对不对？想一想，你还想看出什么立体图形？你还知道什么立体图形吗？ 除了长方与正方形，还有什么？还有球体？对，还有球体，可能还有很多，就像刚才这道题一样，那他们的体积究竟怎样算呢？ 我想留到以后我们自己去研究，行不行？不行？嗯，回家去思考一下，记住我们之前的这个研究的方法好了。嗯，最后我想问问大家，这节课你们有没有什么收获呀？有，有谁能简单的说一说。 你来说。呃，通过这节课，我更加深入的了解了立体图形的特征，表面积和体积。嗯，还有没有？还有其他的吗？除了知识上的，情感上，有没有？ 你们觉得在数学的学习过程中有意思吗？有，是不是？我们不仅研究的是他们自己的特征，还研究了他们之间的联系，以及和我们曾经学过的那些平面图形的联系。 看来啊，大家是一个研究型的学生，所以我相信大家，你们今后如果照着这个方法思路去走。

六年级下册作文要写五百字，难度飙升，孩子对着题目无从下笔，家长想辅导又没思路，这个学期赶紧准备这本阳光同学同步作文。每一单元都精选了五到六篇优秀范文。以家乡的风俗为例，首先明确写作要求， 然后梳理写作思路，讲解习作方法。然后积累素材，标题好词、好开头好结尾，到整篇范文都可以拿来借鉴， 帮孩子充实作文内容。还有习作模板和小练笔，让孩子实践练习，有学有练，才能掌握扎实。新学期让孩子读一读，练一练，期中考试写作文轻松拿捏。

数学启蒙动画六年级立体几何最短路线问题这有一个飘在空中的长方体， 这四条棱长是二，其他棱长都是一。一只蚂蚁要从左上角的 a 点出发，沿着长方体的表面去右下角 b 点取食物。那蚂蚁最短的爬行路线有几条呢？ 嗯，立体图形比较复杂，不太容易直接看出来。那咱们不妨先看个简单的， 在这个长方形里，要想从 a 走到 b， 那 当然就得根据两点之间线段最短，直接连接这两点，然后走这条对角线就行。那如果把它折成这样，然后放在地面上， 还让这个蚂蚁从 a 点爬到 b 点的话，那要想找到这回的最短路线，你只要把这个纸片展开回原来的长方形不就得了？ 这个平面展开图上的线路跟刚才没有任何区别，显然在平面上找最短路线是非常容易的。那该怎么在这个立体图形上找到所谓的平面呢？嘿嘿，对了， 就是像刚才这样利用平面展开图就行。你看，如果从上面出发，那跟上面相连的就有后面和右面 分别展开原来的 b 点就对应到了展开图里的 b 一 和 b 二，那相应的线路就是这条。还有这条。 而如果从左面出发，展开相邻的后面和下面原来的 b 点，就对应到了展开图里的 b 三和 b 四，那相应的路线就是这两条。 从前面出发的话，展开相邻的下面和右面原来的点 b 就 对应到了展开图里的 b 五和 b 六，那相应的线路就是这两条。 要想求出这些对角线的长度，就得轮到勾股定律出马了，分别计算一下，就是一方加三方，二方加二方，一方加三方、二方加二方、三方加一方和一方加三方。 因此，这六条对角线的平方就分别是十、八、十、八、十和十，其中有两条是八，小于另外四条的十，那最短路线就是这两条了。 ok， 总结一下，要想在立体图形的表面上画出两点之间的最短路线，就得利用平面展开图，把蚂蚁经过的面展开，再展开，图里连出最短路线。 而长方体的展开图会有好几种，所以要想确定最短路线，你必须把它们都算出来比较一下才行。现在问题来了，如果告诉你这个长方体中有四条棱长为一，剩下都是三， 那一只小蚂蚁从 a 点沿着 b 点的最短路线有几条？

谁来回答一下？好，扫个牌，长方形，长方形，正方形，平行四边形，平行四边形，梯形，梯形， 三角形，三角形，圆形，好，圆形，请坐。那么看到这些平面图形，我们首先想到的是什么呢？ 谁来举手回答。好，陈新田，他的面积和周长啊，首先想到的是他的面积和周长，请坐。那什么是图形的周长呢？ 好有序，图形的周长就是围绕图形边上绕上，围绕封闭图形绕上一圈的周长啊，封闭图形一周的长度，一周的长度，请坐。 这些封闭图形我们都把它围成什么颜色？红色，红色部分就是这些封闭图形的周长。周长，封闭图形一周的长度就是周长。那什么是面积呢？ 啊？刘德阳，封闭图形的大小啊，封闭图形的大小。好，请坐。还有补充的吗？ 比如说，我们这个桌面好有序，封闭图形平面的大小，封闭图形平面的大小。好，请坐，我们这个桌面叫什么？ 平面，物体的平面，表面，物体的表面是吧？物体的表面或封闭图形的大小叫做面积，物体的表面好，看一下，这些封闭图形呢，我们都把它 绿色部分就是他们的面积。好，今天呢，我们就来整理复习平面图形的周长与面积， 那么哪个同学说一说周长与面积有什么区别和联系吗？ 来，王大川，你要说周长主要是指什么？嗯，指这个图形的长度。围绕一只封闭图形的一周的长度。一周的长度它是用什么单位？ 嗯，用长度单位啊，用长度单位计量。好，那么面积呢？面积是物体表面的物体表面的封闭图形的大小啊，那用什么单位计量？ 嗯，面积单位啊，有面积单位计量好，请坐。那么周长与面积的区别是？计量单位不同还有什么不同吗？ 您说一说。举手。好，刘轩，计算的方式不同啊，计算的方式不同好，请坐 平。周长与面积的计算方式不同，计算的公式呢？不一样是吧，现在呢，请同学们拿出学习单整理复习平面图形的周长和面积的计算公式，用时呢是两分钟。 把自己会的公式写出来啊，把自己会的公式写出来， 快点再来 啊。啊， 好，时间到。刚才同学们自主整理的时候非常认真，我抽取了两位同学的整理的结果， 下面我们来看好谁来点评一下，看他每一个都整理对了没。 好，刘旭，你要说 他的，他的平行四边形的周长计算公式，计算公式应该不是这样写的啊，平行四边形的周长公式整理错了是吧？对，应该怎么呢？嗯，有没有学？不学了，没有学过，但是我们会算吗？ 不会算，不会算。好，请坐。有没有人会算平行四边形的周长的？有没有 它的周长这条边和底，这条边和底几条边之合呀？ 四条平行四边形的周长是它四条边之合。虽然我们没学公式，但是我们会算啊，要会算好， 在这里呢，他这一个呢是错的，不能说底加高啊，周长不是底加高好，那么这些公式都对了没有？ 看一下有没有好，那么三角形和梯形我们学了没有？没学他的周长公式，但是会不会算？ 会，会还是不会？会，应该会吧，三角形就是什么呀？三条边 之河，梯形呢？四条边之河，学会推理，从平行四边形的四条边之河要推导出三角形的周长。 好，那么，嗯，长方形，正方形和圆形，我们选了它的计算公式，这是周长面积，看一下都还有什么呀？对了，好，那么这个同学呢，我们看一下这个同学， 这个同学他都写对了没有？叫人来说，高丽琴来看一下， 写对了啊，都写对了，好，请坐 好，我们又回到这里，老师来把他们都整理出来了，请同学们对照一下，看你写对了没有？对照一下你们写的， 如果写错了就跟正过来啊。 好， 这些平行平面图形的面积计算公式和周长计算公式我们都整理出来了，当时呢，我们在整理的过程当中，我们发现周长的 计算呢，要相对容易一些，就是围成这个图形的 各边之合，是吧，那面积的计算呢？稍微要复杂一些，现在我们一起来讨论回忆一下各个图形的面积计算公式的推导过程。 小组讨论，一起来读小组讨论预备读，小组讨论六个平面图形面积公式的推导过程， 根据面积公式的推导过程，梳理他们之间的关系。好，小组讨论， 好，问一下啊，这些图形的面积计算公式怎么推 导 出来的？ 好，你们说一个 女士们，先生们， 基本方式完全相同的三角形就可以变成一个四边形，所以三角形的三角形就等于四边形，三角形的四边形， 三角形的非常的，然后呢，这个花呢，是有二十二，十二十二，然后， 好，时间到，我们一起来看一下。 好，刚才来同学们讨论的很认真，那么一起和组 啊，哪个同学来说一说你会哪个图形的面积公式推导。 你会就举手啊。刘大雅我会长方形的面积公式推导啊。长方形的面积公式是怎么推导出来的。用数格子的方式推导出来的啊。用数格子的方式 好数什么数一共有多少格数一个有多少格就有多少快还有不 我们可以更加紧密的话就可以先数它下面底下那一层的格数然后再数它旁它旁边的那个格数然后相乘起来就等于它的面积啊这排数是吧 一排有多少个数然后相乘呢。这个排一排的个数就相当于它的 长个函数就相当于它的乖所以长方形的面积计算公式是长乘乖用字母表示 s 等于 ab。 好 坐下来 还有谁来啊三个板。平行四边形是由长方形推倒出来的啊怎么推倒呢。 因为平行四边形那个角它可以移到那个缺的地方啊。平行四边形左边这个三角形沿着高剪下一个三角形是吧。嗯然后平移到 右边就拼接成了一个什么长方形也就是说平行四边形的面积计算公式是由长方形推倒出来的。好请坐。 还有谁好陈新田三角形是由平行四边形推倒过来的啊怎么推倒的呢。两个三角形等于一个平行四边形两个三角形 随便两个三角形都相等。两个大小相同的三角是大小相同。同大小相等就可以了吗。完全相同完全相同的两个三角形。 好形状完全相同的两个三角形的底也就是平行四边形的 平行四边形的底他的高呢。平行四边形的高。那为什么要除以二呀？ 因为他的腰本身就有两个，有两个三角形拼成的，是吧？所以要求一个三角形的面积就是平行四边形的面积要除以二。好，坐下来， 好，写出来。你看我和梯形的面积啊，你和梯形的面积公式的推导，两个完全一样的梯形可以组成一个平行四边形啊，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 平行四边形，这个时候他的底就是谁，他的底加上他的下底，加上上底就等于平行四边形的啊。梯形，一个梯形的 上底加上另一个梯形的。什么呀？下底就等于他两个梯形的下底相加就等于他平行四边形的什么呀？底，所以呢，是上底加下底乘以高，还要什么呀？除以二，除以二，因为是一个的， 两个才能拼成，拼成一个平行四边形。梯形呢，只让它一半。好，请做 好。还有啊，刘秀圆圆形可以用长方形来推演过来啊，怎么推的呢？呃，把圆形分成很多个一样的三角形，然后拼接在一起，就 就像一个长方形一样，好，把圆形切分成很多个细小的三角形的形状，是吧，然后拼接成一个近似长方形的，那么长方形的长就相当于 圆的。什么圆的直径长相当于周长的一半。宽呢？ 宽相当于半径啊，宽就相当于半径，所以它的它本来中间呢，省略了一部分啊，就说宽呢，就相当于它的 半径，然后呢，二分之 c 周长的一半乘以半径变形以后就得到判 r 的 平方。好，请坐 好，这么多的面积和周长公式能不能少记几个呀？能，能，怎样才能少记几个呢？ 记住长方面积的。为什么记住长方形的就行了，谁来说 好你的呀？因为其他图形都是由长方形推导而来的啊，其他这些图形都是由长方形直接或间接的推导出来的是吧？好，下面请同学们请坐啊，用小组活动 小组讨论。你能根据各个图形的推导过程拼摆出图形与图形之间的关系吗？六十 三分钟。好，你们来拼，注意在拼的过程当中。嗯，今天用箭头可以用箭头来表示啊，比拼的时候 用箭头 来啊。好， 首先首先 这样放还可以，然后呢你又知道了，圆形也是有长方形的，所以我问一下 说一说。 所以啊，只要记住长方形的位置就行了。请 你们听懂了吗？先说，这样 学习 就的，所以来，下面有请同学。好，我们从右往从左往右看你能发现什么？从左往右 咱们从从右往左看像一棵树吗？从右往左看发现了什么？ 来，来，你看一下，你看一下。从右往左看来从右往左看，这是新知识，我们每学习一个新的知识都是把新知识转化成是吧，好 想一想。从左往右看，从左往右看你发现了什么？从右往左看你发现了什么？右， 好，时间到下面。我刚才看到了，同学们呢，每一组都讨论的很认真。拼版的来， 你很仔细，那么哪个同学把你那一组拼板的情况到黑板上来拼一拼。好，嗯，抱歉您，你来 注意用箭头绘画吗？这里有笔。对，先把它摆起来。好，其他人认真看啊。 好，拼完了吗？好，你下去，现在你来跟他们跟同学们说一下，为什么这样拼呢？ 因为圆形、平行四边形和正方形都是长方形推倒而来的啊，圆形、平行四边形和正方形的面积计算公式都是由长方形推倒出来的。说完了吗？ 梯形和三角形的面积计算公式都是由平行四边形去搞来的啊。同学们，你们说他说的对吗？对，掌声鼓励，好，请坐 好，现在同学们拼了出来以后，请同学们思考一下。从左往右看，你发现了什么？ 从左往右看，你发现了什么？哪个同学来说， 大刘旭，从左往右看，我发现了这个图形拼起来就像一棵知识树一样，而长方形就像这个树的树根啊，从左往右看，你发现了 这个长方形就是这个知识树的树根，是吧？嗯，好，坐下来，还有不同的说法吗？ 好，我们来看一下。从左往右看，我们会发现长，我们根据长方形的面积计算公式推导出了圆平行四边形和正方形，这由正， 这由平行四边形呢推导出了梯形和三角形的面积计算公式。那么从右往左，我们又发现了什么呢？从右往左，你又发现了什么？ 好，小黑板，在学习新的图形的时候，它的面积公式 一般是由旧知识的面积公式推导出来的。好，坐下来说的很好啊，就是说我每学习一种新的图形的面积计算公式的时候，都是把它转化成 就是图形的面积计算公式来计算，是吧？好，就说这是一种转化的思想。那么今天呢，我们复习整理的时候，又用到了怎样的转化思想？ 这都是我们原来学过的，我们把原来学过的这些零散的知识整理成了一张知识，截个图是吧？ 通过这张知识结构图，我们懂得什么？ 这些图形之间的关系，图形之间的关系，每一个图形呢，与图形之间是有联系的，记住了，这张联系呢，我们就把这张这个图形的面积计算公式啊，形成了一个整体。 好，现在你们都学会了吗？学会了，为了检验你们是不是真的学会了，那么我们来做题了啊， 下面每一组中两个图形的周长相等吗？谁来说好？陈意涵， 这一组图形中，他们的周长不相等，面积相等。好，周长不相等，为什么？ 因为平行四边形的两条边是斜的，而正方，而长方形的两条边是直的啊，长方形这条宽是三角形的直角边，对吧？ 啊，平行四边形这条呢是三角形的斜边，斜边大于直角边，所以他们的周周周长不相等。刚才陈云海说他们面积相等，面积为什么相等？请坐，你们说，一起说。 因为对称四边形的面积是由长方形推倒而来的，推倒而来的是推倒而来的，还是因为他的长是平行四边形的平行底 宽就是平行四边形的高，所以它们的面积相等。好，从这里面积相等，周长不相等。好，我们可以得出第一个结论，就是 面积相等的图形呢？周长不一定相等。那么这两个图形谁来说？李琴， 这两个图形的周长相等，面积不相等，周长相等， 面积不相等。你说一说它们的周长由哪部分组成？它们的第一个是由一个正方形和一个半圆，嗯，正方形的三条边加一个半圆的弧，对吧？这里呢 是一个正方形减去一个半圆。一个正方形的三条边，它的面积是减去一个半圆，但是它的周长呢，还是正方形的三条边加上一个半圆的。五好，坐下来，也就是边的图形告诉我们， 周长相等，面积也不一定相等。相等。好，我们一起来读一下这句话啊，面积相等的图形，预备读。面积 相等的图形，周长不一定相等，周长相等的图形面积也不一定相等。 求下面预备读，求下面读题中阴影部分的面积。你至少需要几个条件？请同学们拿出学习单自己思考算一算， 转一下。啊 啊啊啊， 你要知道 好好 弄完了请举手啊！好，一二三四。 好，哪一组来说一说啊！你来说，至少需要一个条件至少需要一个条件，需要什么条件？正方，这个正方形的一个边长至少知道，要知道正方形的边长是吧？好，请坐，还有不同的 啊，李星梦，这个半圆的半径。

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