长春二模数学答题技巧

长春二模数学到底难不难？是不是高考的风向标？今天这条视频看完，你就知道接下来怎么做了。长春这次的二模数学，难度与机遇并存，完全就是高考前最真实的一次模拟，整体难度比一模略有提升，但思路非常清晰，极具参考价值。具体来看， 基础题特别仁慈，选择题、填空题大多都是基础题型，中档题也很常规，只要你基础扎实，心态够稳，这部分稳稳拿分。真正拉开差距的，其实就是第十四题、第十八题、第十九题。这些压轴题的位置， 考的是综合能力和逻辑思维，不是死记硬背的刷题套路。大家要记住，二模难度最接近高考，他不 是为了为难你，而是帮你找到最真实的水平。给大家一个建议，别只盯着分数，重点看这三件事，基础分丢没丢？压轴题卡在哪？考场心态稳不稳？抓准二模信号，最后阶段少走弯路，高效提分。

哈喽，宝宝们，让我们来看今天刚考的长春市二模的第十八道题，你看，让咱们去求第一个，让咱们去求这一的方程，对吧？他说这个最小距离是他最小的距离是谁？就是二分之这个 p， 所以 p 它就等于二分之一，那 p 是 二分之一的话，那很明显我们知道它的方程应该就是 x 方等于 y。 第二道题呢，我就把这个图给它画好了，他说线段，这个就说它的中点在直线上，我们会发现 y x 与直线的交点是零零和一，所以如果中点在这条直线上，那么意味着中点的坐标，我们把它设为 m， 好 吧，把它设为 x 零和 y 零，因为中点在这块，所以我们知道 x 零，它必须大于零，小于一， 这样子，那我们来看一下，它是说 a b 两点在这上面没说过过焦点，对吧？然后那因为这个中点我们知道了之后，我们就知道 k a b， 它是等于 x 零比上 p， 所以 k a b 就 等于是二 x 零，那又因为它过了横过点它，所以我们 a b 的 方程是不是就可以直接把它设成是 y， 减去这个 y， 但 y 和 x 零相等呢？所以减 x 零，它就等于二 x 零括号 x 减 x 零，对吧？然后他让咱们去找一条三角形的这个 p a b， 那 我找三角形 p a b 的 话，都可以找个比高的，对不对？所以我们先来找这个 a b 的 长度， a b 的 长度它可以写成就是 a b 的 这个斜率。我们先用 k 二一加 k 方，再乘根号下 x 一 加 x 二括号的平方减去 x 一 加 x， 二括号的平方， 再减去四倍的 x 一 乘 x 二，它等于二 x 零括号的平方，再减去四倍的 x 一 乘 x 三，那 x x 三是谁呢？我们继续来计算一下。 由于 x 一 乘 x 二，我们是根据两个这个 a 和 b， 它经作差的一个情况啊，然后在这一块是 a 点和 b 点哈， x 一 的平方，它等于 y 一， x 二的平方呢，又等于 y 二，所以我们就能够知道 x 一 加 x 二，这样平方就等于 y 一 加 y 一， 对吧，那它谁呢？它变成 x 一 加 x 二括号的平方减去二倍的 x x 二，那这边就是 y 一 加 y。 好 了，那这个就是二 x 零对， 平方减去二倍 x 一 x， 那 这边就是二 y 零， y 零，又是二 x 零，是这样的，对不对？所以我们就知道了， x 一 乘 x 二，要等于二 x 零的平方减去 x 零， ok， 那 我们这块就可以把它变成了整体，这是四 x 零的平方，再减去 八 x 零的平方，再加上四 x 零，所以我们把这个四 x 零提出来，这一块呢就变成了是一减去二 x 零，那这是找 a b 的， 对吧？ b p， 我 们找 p 点到这条直线呢，距离 p 点，我们已经知道它是一个二分之一和一对不对，所以把它往回 对，然后就变成了是二 x 零，括号二分之一减 x 零，然后再减去一，再加上 x 零，完之后呢，加个绝对值，再比上变号下一加 k 方，那上面呢？一个整体，我们来看一下，把这个代号之后就变成了是，我们通过化简呢，就可以把这个地方用上代号之后呢，对它的正负判断呢，变成是二 x 零的平方，减去二 x 零，然后他在， 然后他再加上一个一啊，然后再比上呢？下面是根号下一加上 k 方，对吧？我们再来看这个三角形 s 三角形呢，它是等于二分之一乘上 ab 的， 然后再乘上这个 d p， 那 我们就会发现在这块一加上 k 方与这个地方呢？一加 k 方，它是正好消掉了，是不是这样呢？整体就变成，就说它是等于二分之一，然后乘上这一大块，对不对？根号下，然后 再乘上这现在上面这个整体就是二 x 零的平方，减去二 x 零，加上一个一，是这样的，那这个地方我们同样可以提取的，变成二，就把它消完了，就变成根号下这个是 x 零括号，一减去二 x 零，然后这块呢就是二 x 零括号啊，我们还想去整体吧减去二倍的这个 x 零，加上一个一，先这样，那现在就说我们要求出谁呢？是不是？我们要去求出，就说他现在所对应的值是多少，对不对？ 然后呢我们再把这块一个整理之后，对不对？另一个整体，然后我们为某个函数，之后呢，我们去对这个函数进行求解就可以了啊，我们找他这个最大值和最小值，但这个过程呢，大家能看得出它计算量也是蛮大的，而且比较复杂是不是？那我们会有什么样更好的方法能把它求出来呢？期待大家的评论呦。

长春高滩二模的这道题目，我认为这道题出的并不好，有歧义，大家跟我一块看下题目啊。景区在景在春节期间推出 ab 两种套餐， 某游客第一次选择 ab 套餐两种时，分别的概率有五分之三、五分之二。若游客第一次选择 a 套餐，第二次选择 a 套餐的概率那就变为二分之一了。 若该游客选择第一次选择是 b 套餐，则第二次选择 a 套餐，概率是五分之三，则下列说法正确的是，好，那咱们先把这些数字，哎，我能代表的是个啥？把它给写一下啊，这些数字分别咱们得用符号把它给表达出来吗？好， 那我假设 a 二，他是什么呢？他是第二次啊，这个顾客选了 a 套餐，第二次选择 a 套餐啊，然后 b 二呢？那当然是 第二次选择了 b 套餐啊，这个咱们就不再细写了，那咱们来看一下它上面每一个概率。他说第一次选的时候， a 和 b 套套餐啊，分别五分之三、五分之二，所以说 p a 一， 它就等于一个五分之三吧， p b 一 呢，那他就等于一个五分之二吧，没有任何问题啊。后面他又说第一次选择 a 套餐，第二次选择 a 套餐的概率为二分之一，那也就是 p a 二。第二次选择 a 套餐吗？然后杠 a 一 啊，他应该等于个二分之一。后面 p 这个第一次选择了 b 套餐啊，第二次选择 a 套餐 ok， a 二杠 b 一， 它等于个五分之三，好，那这个是咱们能够知道的这些概率啊。 ok， 那 由此咱们可以推知啊，如果说我第一次选择的是 a 套餐，那我第二次选择 b 套餐 好，他的概率是多少？他也是二分之一，因为这两个相加起来要等于一的。后面屁，如果说我第一次选择 b 套餐，那第二次我还选择 b 套餐， ok， 他 应该是五分之二，这些是咱们知道的已知条件啊。来看一下 a 选项， 他说求这个该优课第一次选择的是 b 套餐，第二次也选择 b 套餐的概率啊，所以 a 选项上来就很多人错了 a 选项。很多人会理解成第一次选择了 b 套餐，那就是在 b 一 的条件下， b 二的一个概率是多少？如果说你认为是他，那直接就能出来，你看五分之二直接就是对的。但是你仔细体会一下这句话的意思啊，是第一次选择 b 塔滩，第二次也选择 b 塔滩的概率， 第一次选择 b 塔滩，第二次也选择 b 塔滩，概率，他所代表的概率应该是他 p b 一 b 二， 你得把它给想清楚才可以啊，你只有想象成这样子才可以。因为如果说你认为 a 选项也对的话，那 abc 就 全对了。所以我才说这道题出的有歧义啊，他就等于什么呢？他就等于个 p， 在 b 一 的条件下选择 b 二的这么一个条件啊，然后再乘一个 p b 一， 你把他给算出来就可以了，他应该是二十五分之四啊。所以说 a 选项不对来看 b 选项，他说该游客第一次选择 b 套餐的概率比第二次选择 a 套餐的概率小，那咱们分别把它算出来。第一次选择 b 套餐 好，那他就应该是已知了啊。五分之二，那 p， 咱们要算的是第二次选择 a 套餐是 p a 二，这么这么一个概率啊，那 p a 二他应该等于什么呢？他跟第一次相关的啊，有可能第一次选择 a 套餐，第二次还选择 a 套餐，也有可能第一次选择 b 套餐， 第二次选择 a 套餐，这两种都是有可能的，因此他就等于咱们把它使用条件概率给它写一下啊，就是 a 二杠 a 一， 再乘一个 a 一 了， 然后再加上个 p a 二杠 b 一 啊，再乘一个 b 一 了，好，再值进去啊。二分之一，然后 a 一 五分之三，然后再加上后面啊 b 一 a 二五分之三，然后再乘以个 b 一 五分之二， 好，他应该是十分之三，再加上个二十五分之六，所以说他应该等于啊，五十分之三，再加上个二十七 啊，五十分之二十七，那五十分之二十七，他跟五分之二十是一个什么关系？五十分之二十七跟五十分之二十 做比较，所以说他是大于五十分之二十的，那自然五十分之二十他就等于个 p b 一 啊。因此咱们能够知道啊，这个 b 选项啊，他说第一次选择 b 套餐的概率比第二次选择 a 套餐的概率要小，那肯定是对的 啊， a 这个 b 选项对了，来看 c 选项，他如果该游客第二次选择 a 套餐，则他第一次选择 a 套餐的概率啊，好，那意思就是这样一个东西啊， 第二次选择 a 套餐的条件下，第一次也选择 a 套餐的这么一个概率，他他应该等于个 p a 一 a 二，再比上个 p a 二了， 这就是条件概率的一个应用啊，你看你能不能把它熟练应用，它就等于 p a 一 a 二，我把它转化一下啊，把条件给它转化一下，它就等于 p a 二，杠 a 一， 然后再乘一个 a 一， 好，再比上个 p a 二， 然后剩余的事情就是代值进去啊。呃， a 二杠 a 一， 它是二分之一啊，前面这，这里啊，这些数啊。 ok， 我 标注一下啊，就它啊，然后再乘以个 p a 一， 就上面这个喽啊，五分之三， 然后再比上个 p a 二， p a 二，咱们算了啊，在这里五十分之二十七， 因此你把它计算一下就可以了。它应该是十分之三，再比上个五十分之二十七，因此一约分啊，这是五，上面也约分九分之五。 ok， 没有任何问题， c 选项对了， 最后来看 d 选项，你看，实际上它就是一个不停计算的事啊，你只要是能够记住公式，难吗？你看对不对？并不难呢。他说，嗯，该优课第二次选择 b 套答案的一个概率。是啊， ok， 那 也就是我要算的是 p a 一 杠 b 二，咱们要算是他，那因为咱们知道的条件都是这样的，你看到没，就是杠后面那个数字更小。所以说咱们要把它给转化一下啊，他就应该等于 p a 一， b 二啊，然后再比上个 p b 二啊，而 a 一 b 二，我再给他转化，他就等于 p b 二，杠 a 一， 然后再乘一个 p a 一。 写不开了啊，我再转一下，再乘一个 p a 一 啊，然后再比上个 p b 二。好， 那咱们只需要把分子和分母给它分别算出来就可以了。上面 a 一 杠 b 二啊，啊， a， 把 b 二杠 a 一， b 二，杠 a 一， 这里二分之一，然后乘以个 a 一， 五分之三啊，分子是都知道的，关键点是咱们要算一下 p b 二， ok 吧？那 p b 二它是什么？ p b 二它有两种可能性，第一次选择 a 啊，第二次选择 b， 加上第一次选择 b， 然后第二次还选择 b 啊，所以它就等于 p b 二杠 a 一 啊，乘一个 p a 一， 然后再加上个 p b 二杠 b 一， 再乘一个 p b 一 啊， 他就等于带进去啊。 b 二杠 a 一， b 二杠 a 一。 这里啊，二分之一， a 一， 五分之三啊，二分之一乘以个五分之三，然后再加上个 b 二杠 b 一， 五分之二，然后 b 一， 五分之二啊， 再加上个五分之二，乘以个五分之二，所以说他就等于十分之三，加上二十五分之四啊， 加上二十五分之四，他就应该等于一个五十分之十五，再加个八二十三。 所以最终咱们要算那个 p a 一 杠 b 二啊，他就等于上面这个分子。这里啊，咱们老早就说了啊，他可他是可以直接代值的，那就是 这个值再乘以这个值啊，二分之一乘一个五分之三，二分之一乘一个五分之三，然后再比上个五十分之二十三啊，然后你把它约分一下，你就发现它刚好就是二十三分之 十五，所以说一撇上也是对的。你看，这就是这道题啊，把数学题目出成阅读理解类的题目，我认为不好啊，对，就这样。

四月二十七号初三的这个二模呢，我觉得有几个事需要跟大家说一下，特殊强调一下。首先第一个就是这个试卷的全面性上啊，一模考察的不全，试卷也不够标准，因为啥呢？因为有的学校都没讲完课，二模就不一样了，二模就是中考的标准卷，就是全面性上，但我就是家长非常关心的，你说说老师能不能难？ 我可以非常确定的跟大家说，二模的难度一定是要高于一模的，这个毋庸置疑，但是会特别难，你也不用老焦虑了，稍高于一模，而且整个二模的难度基本上就跟今年中考的难度会持平，不是二模考察难度，基本上中考就渣难度， 这两个是你们非常关心的点。除此之外，我还需要特殊强调一个事，一定要真实，一定要考出真实水平，千万不要提前搞什么小动作。 我不知道你们知不知道一模考前有很多小孩都这个题都做过了，大家能明白我啥意思吗？如果你搞小动作，你考不出孩子真是水平。你对后边一个半月的这查缺补漏和他的这个报考啊，没有任何参考价值， 所以你千万不要瞎整，知道吧？而且本身啊，市里边开会说今年的这个模拟就会减少，比每年少，市里面出的题你再不重视，那不完了吗？明白吗？ 再有就是考前复习这块，其实我觉得不光不管是什么试二模，还是我们最后的中考，其实如果你之前准备的够全面，够充分，没有问题了， 你想大家都准备多长时间了？没有问题，所以你不要慌，试二模的前后呢？我们这边会帮助大家整理点什么针对性的练习了资料了，如果说你没有方向的，你可以关注关注，有经历带孩子做一做，练一练，这样的话也能减少你的焦虑，你就看评论区进粉丝群就行。

这套数学卷呢，给我的整体的感受就是四个字，中规中矩。刚刚结束的二零二六年长春市二模的数学情况， 就是他没有什么太多的突破和创新，和一模的情况差不多啊，偏简单吧，或者说基础题偏多。如果说以前的高考卷基础中等难度的比例是三比五比二，那么这两套卷呢，给我的感觉就是五比三比二的一个比例了。 但是我们也可以通过这两套卷子预估一下这个高考数学的一个情况，就是很有可能高考数学现在啊，偏基础化，偏简单化，就是可以让同学们尽可能的就是 得不到特别低的本，只要你努力学，那九十到一百应该是问题不大的，但是如果再往上，尤其是一百三以上啊，如果说你想得到高分，那就看个人的能力了，因为最后一道题现在已经是越来越，怎么说呢，有点偏新定义吧，有点，但是也是我们学过的知识点去解决这个东西， 那肯定不是说这是一些传统的一些知识点，比如说导数的这个引零点啊，极点偏移这些东西，或者圆锥曲线的一些定点定直的东西，这些东西可能都不会出现在最后一道题了。 当然了，这道卷子我们也可以发现，十八十九回归了导数和圆锥曲线这个两个传统的压轴题。之前炒的比较热的立体几何，这次考试并没有放在最后两道题身上，放在了倒数第三题。 那么至于高考的时候历时几时会不会放在最后一道题呢？我们还要等五月份的三模情况出来之后再说啊。再说下这套卷的分数， 如果你的目标是二幺幺大学的话，那这套卷子你至少得到一百一十分以上了。就现在这个阶段一百一十分以上，你再努努力啊，装二幺。而如果你的目标是九八五， 那就是得在一百二以上，如果是 c 九之类的高校，那这套卷我觉得你得在一百三左右了。

第十一题，那这道题呢，考察了全概率和贝耶斯啊，简单说下提议啊，春节呢，有两种游玩套餐，那么游客呢，可以选择两种游玩套餐的概率，分别是五分之三和五分之二， 然后呢，第一次选择 a 套餐，则第二次选择 a 套餐的概率是二分之一。如果第一次选择 b 套餐，第二次选择 a 套餐的概率就为五分之三，下来是完正确的事，那我们要把这个事件写清楚啊，我们可以简单设定一下，设定一下就是 a 一 表示第一次选 a 套餐， a 一 是第一次选 b 套餐， b 是 第二次选 b 套餐。好，这样规划好之后呢，我们开始写他这个已知条件啊，他说 啊，单独选 a、 b 套餐，概率分别是五分之三，那就是 p a 一 就应该等于五分之三啊，然后呢， p a， p b 一 啊，那这里面就是五分之二。 好，第一次他说游客第一次选 a 套餐，第二次选择 a 套餐的概率是二分之一啊，那就是条件概率啊，第一次选 a 套餐，第二次还选 a 套餐的概率是二分之一啊，然后他说第一次选 b 套餐，第二次选 a 套餐的概率是五分之三啊， 好，那由这两个我们还可以推出什么呢？就是说在选就是第一次选 a 套餐，第二次选 b 套餐的概率也应该是二分之一啊，那这里边呢，这个呢，就是第一次选 b 套餐，第二次这样，第二次还选 b 套餐的概率应该是五分之二啊，这么一个逻辑。 好，那现在呢，我们可以计算选项了，看看 a 选项怎么说该游客第一次选 b 套餐，第二次也选 b 套餐的概率啊，这是什么意思呢？就是第一次选 b 套餐，第二次也选 b 套餐，它是这么个意思啊， 那么可以这么去算啊， p b 一 乘以，在第一次选 b 套餐的条件下，第二次选 b 套餐啊，那这个呢？ p b 一 是五分之二，乘以这个这个呢，就是也是五分之二，那就是二十五分之四。 所以呢， a 选项是不正确的，看 b 选项，他说第一次选 b 套餐的概率比第二次选 a 套餐的概率小，我们可以计算一下，他这个第一次选 b 套餐的概率是五分之二， 那这里面他说第第二次选 a 套餐包含什么样的结果啊？ p a 二啊，那可能是第一次选 a 套餐啊，我们这么写， 可能是第一次选 a 套餐，乘以在第一次选 a 套餐的条件下，第二次还选 a 套餐啊，或者第一次呢？选 b 套餐，乘以在第一次选 b 套餐的条件下，第二次选 a 套餐。 好，这样的话呢，我们可以按照这个直接往里代数就可以了，找 p a e 啊，五分之三， 然后呢， a 二 a a 二杠一是二分之一，加上 p b 呢，这个是五分之二，然后这个 a 二杠，这个 a 二杠 b 啊，找 a 二杠 b 也是，这是五分之三。 那我们算一下，这个结果应该是十分之六加上二十五分之六啊，十分之三加二十分之六，这个就等于五十分之 这个十五加上十二，五十分之二十七啊，那，那也就是说这个东西跟这个东西相比啊，这是五十分之二十，那肯定小于它，所以说二 b 是 正确的。 c 选项，他说该游客第二次选 a 套餐，这第一次选 a 套餐的概率啊，这明显是被夜市啊，直播所映啊，就是说选择 a 套餐啊，是由第一次选 a 套餐导致的结果的概率有多大啊？这个也好弄，我们写 p a r 啊 啊， p 二呢，其实就是我们刚才算的这个过程，但是我们刚才算的这个过程，那 c 选项我们就不需要再算了，他说第一次选 a 套餐的概率，那我们前面这个就是表示这个第一次选 a 套餐的概率啊， 所以说我们直接就可以这样去写了，就是说这就属于在第二次选 a 套餐的情况下，第一次选 a 套餐的概率啊，那直接就是 pa 二分之 pa 一 a 二， 而这个 p a 一 a 二的概率就是前面的这个应该是十分之三，比如说第一组啊，十分之三，然后比上这个 p r 就是 五十分之二十七， 那就等于十分之三乘以二十七分之五十，那就等于九分之五啊，那这个结果是正确的啊。 然后看四 d 选项，若该有个第二次选 b 套餐，第一次选 a 套餐的概率，那这个也是直观所见啊。那我们可以算一下，就是说第二次选 b 套餐包含哪些种结果啊？那你可能 第一次选 a 套餐，然后，然后在第一次选 a 套餐的条件下，第二次选 b 套餐啊，或者呢，第一次选 b 套餐乘以在第一次选 b 套餐的条件下，第二次选 b 套餐啊，好，我们再把这个概率带进去啊。撇一是五分之三 乘以这个是 b 二 b 二 a 应该是二分之一啊，加上 p b e 是 五分之二乘以这个 b 二 b e 是 也是五分之二， 那这个呢？就是直接通过分啊，五十分之这个十五加上四二乘八加八，应该等于五十分之二十三，然后呢，他这个算的是什么呢？ 呃，在第一次取 a 套餐的概率就是这个东西啊，那么写全了，就是这个 a 一 b 二啊，就这个东西，在第二次取 b 套餐的情况下，第一次取 a 套餐，这个是 p b 二分之 p a 一 b 二啊， 那这个概率呢？这个实际上就是这个东西啊，那就是第一组这个，那就应该是十分之三，比上五十分之二十三化解一下，十分之三乘以二十三分之五十， 二十三分之五十，那这个等于多少呢？二十三分之十五啊，所以呢，四 d 也是正确的，那这里面选 b、 c、 d 啊，好，这是选概率。

长春二模怎么能考好？这视频不但是用于数学学科，对所有的学科都管用，老规矩啊，如果觉得有用的话，点赞、收藏加关注， 练孩子们，如果一直来，你都认真学习了，那这几天呢？我考之前，长春二模考之前你做好三点，第一， 认真睡觉，只有睡好觉之后，充分休息之后，你脑子才才清晰嘛，对吧？你考了个问题才够思路明确，是要用脑子，不是用手，不是考体力，当然也有体力，主要靠脑力啊，你说脑子充分休息好，你这时候才能考好嘛。第二，就别生病， 这几天可能容易感冒，听吗？扣扣扣，治咳嗽，而且发烧，你在考场上，考场上睡两，你在考场只要是坐两个小时你都费劲，对吧？你再用脑子答题，你肯定答不好的。三就是吃点可口的，爱吃的什么爱吃，吃点什么， 但你不能说你爱吃铁锅烤大鹅，你去说四五十公里去吃顿这个东西，多少显得有点没正事啊。第二类孩子就是一直以来你都不太认真学习，一直以来都没有认真，那这能怎么办呢？去庙里上柱香吧。求文曲星、好记星、北斗星这些神灵的保佑。 你要明白啊，你一直以来你都没有认真呢，现在不要太高嘛，你不要觉得，哎呀，我没有学习，但我还要考特别好，不可能。

膜的第十八题啊，那这道题就比较常规了，这里边呢，他说 x 方等于二 p y 这么一个抛物线上的一个点， q 到焦点距离最小距离是四分之一啊，那这很显然是二分之 p 的 四分之一啊，这， 这个由 t 啊，二分之 p 等于四分之一，这个 p 呢，等于二分之一，那这个方程就变成 x 方等于 y， 第一问就解完了，这是第一问，主要看第二问。他说 ab 呢，是抛物线上 ab 的 中点，又在这个 y 的 x 上点， p 是 二分之一，求三角形 p a b 面积的最大值。这里呢，我们画一个草图。 好，大概是这样一个形式啊，然后呢，这个 ab 呢？在这顶上，我们再画一条 y 的 x 一 条线。 好，他说 ab 的 中点在这条线上，那么标一个 ab 啊，然后 p 点呢？是二分之一啊，它应该是在抛物线外啊， 二分之一，然后连接这个 p a b 啊，求这个面积的最大值。呃，那这里边呢，这个 ab 会跟这个抛物线交点，这个交点呢，是中点啊，这是 y 的 x， 这是 y 的 x 方啊， 那我们设这个焦点为 d 吧，给它的恒动恒动坐标都设为 m， 然后呢，这个 ab 直线都用这个 m 进行表示啊， 好，那我们就设 b 点，坐标是 m， m 为 ab 的 中点，然后呢， a 点坐标 x 一 y 一 b 点坐标 x 二 y 二， 我们先表示一下这个斜率 k 啊，那这里先找下关系，就是说二分之 x 一 加 x 二，应该是等于 m 的 啊， 等于 m， 然后也等于二分之 y 一 加 y 二，然后呢，我们给它同时乘个二 x 一 加 x 二，应该等于 m 等于 y 一 加 y 二，就是 x 一 方加 x 二方啊，好， 那这个斜率 k a b 应该是等于什么呢？ y 一 啊， y 一 减 y 二，比上 x 一 减 x 二啊，那给它带进去啊， x 一 方减 x 二方，比上 x 一 减 x 二，用一个平方差就剩下 x 一 加 x 二了，所以这个斜率它就是二 m。 这样的话呢，我们可以把 ab 的 方程写出来，那就是 y 减 m 等于二 m 倍的 x 减 m。 好， 我们把它整理一下，那就是 y 等于二 m， x 减去二 m 方加， 然后让这个直线跟抛物线连立，然后呢，写 ab 的 这个斜长公式啊，就是 y 等于二 m， x 减二 m 方加，跟 y 等于 x 方连立啊，这个连立之后呢，应该是 s 方减二 m， x 减加上二 m 方减二等于零。哎，这是减 m 减 m 啊，等于零。重新写一下。 好，那这个 x 一 加 x 二等于二 m， x 一 乘 x 二等于二 m 方减 m， 那 ab 的 这个长度就应该等于根号下一加 k 方乘上根号下这个 x， 我 就直接写了。四 m 方 减去四倍的二 m 方减 m， 那 就等于根号下一加四 m 方。嗯，乘以根号下，这是四 m 减去四 m 方啊，这么一个形式。 那这个弦长表示完之后，我们再表示一下，这个 p 点到一 b 的 距离啊，就能表示面积了。 d p 啊，那就应该等于是 把这个二分之一带到这个直线里去啊。嗯，用 m 减去二 m 方加 m， 然后呢？再比上。 哎，不是我把一带进去，把一带进去，这个有一个减一啊，根号下一加四 m 方。 ok， 那 这个三角形的面积啊， p a b 就 应该等于二分之一 ab 乘一个 d p 啊， 那就是二分之一根号下一加四 m 乘一个，根号下四 m 减四 m 方 乘以根号下一加四， m 方乘一个。把这个化简一下，应该是二 m 减二 m 方减一啊。 好，化简一下这个和这个可以消啊，这里面能提出个四来和前面二分之一消了，那就根号下四减。呃，不是，根号下 m 减方， m 减 m 方乘一个，就是二 m， 把二提出来减 m 方。 好，这时候你就看的非常明确，可以把这个 m 减 m 方看成一个整体啊。那前面有根号，我们可以直接令 t 等于根号下 m 减 m 方啊。那这个二次函数是有界的，它应该是属于什么呢？属于零到二分之一啊，这个能看出来吧。 所以说这个三角形 p a b 啊，就可以表示成这个 t 乘一个二 t 方减一这么一个形式，这个 t 属于零的二分之一，这个二 t 方 应该是不超过一的，所以说我们给它写成是 t 乘以一减去二 t 方啊，把这个绝对值去了，应该是 t 减二 t 的 三次方。 好，这是一个三次函数，我们要求一下它的这个最大值啊，那就是求个导 s 对 t 求导，应该是等于一减去六 t 方啊，那这里边呢，我们直接令它等于零就可以了，这个 t 呢，就应该等于根号六分之一啊， 所以呢，这个 s 的 最大值啊，就肯定是在根号六分之一处取啊，那就是带入里面去啊。 带入哪个里？带入这个里简单，根号六分之一乘以一减去六分之二啊，那就是三分之一三分之二啊，六分之。根号六乘一个三分之二， 那就应该等于九分之根号六啊，所以说最大的应该是九分之根号六啊，那这道题呢？基本上就解完了啊，这是整个这道题的思路啊。好。

昨天咱们东三省这三省四校啊，那个二模考完了，考完了给各位带回来的信是什么呢？ 现在这个选拔，对于数学的选拔，他分层分的，很明显就是一百一到一百三，你通过努力是可以得到的，但是上到一百三以上 这个东西，不是说通过努力得到的，是需要你舍掉很多东西的。嗯，数学能上到一百三十五是什么样的两种呢？第一种， 我从小对数学感兴趣，并且有天赋的这种人。第二种，我把其他科撇掉了，我就学数学的这种人。 那当然，我不建议各位去做这种第二种人啊，我建议各位做第一种人，所以从现在开始，数学告诉我们的是，你数学要去做有兴趣并且喜欢数学，而且愿意去为之努力的人，那么这样的人是从小去培养的。 那么说到这啊，你就得想去减负这个事。减负咋减呢？哎，减少上课时间，减少作业。那你说孩子还能对数学有兴趣吗？ 你出的题大家都一样，大家会的，我也会，我会，大家也会，然后极个别大家都不会，你说谁还有兴趣了， 对不对？所以说对于减压减负的这种事情啊，你们拼的都是课外的时间，所以建议各位啊，在课外时间多学习学习这个数学思维啊，关注老王，老王带你学习更多题目技巧。

长春二模后想提分还应不应该死磕难题？我要不要告诉他真相？最后五六十天越刷难题分越低？很多人到现在还在拼努力熬时间，但我只说一句，二模后提分不拼努力只拼性价比，不刷难题只抓必拿分。 想要多提分只看这两类题，第一类会做却总错丢分丢在步骤或者计算上的，第二类半会不会有思路但总卡壳的题？记住，放弃死磕压轴难题，死磕前两类题才是你最后两个月的关键。照做高考至少多拿三十分。

ok 啊，我们话不多说，直接开整啊。我们来先看第一题，平面向量是负一，二向量 b 是 s， 负二向量垂直向量 b 啊，则 s 值是多少？这个题呢，首先来说，因为向量垂直向量 b， 所以 我们知道向量乘以向量 b， 它应该等于零， 那么也就是负一到二乘上这个 s 到负二应该等于零，那也就是负 s 减四等于零，也就是 s 等于负四了，所以说这道题选择 a 好。第二个我们来看，所以 u 等于整数，整数呢，是 z， 对 吧？然后接下来， s 属于整数， s 加二乘 s 减一等于零，那我们大于取两边，小于取中间，所以 s 应该大于等于一或 s 小 于负二， 那么找的是 c u a， 所以 找的是它的补集，那补集就是 i 小 于一大于负二， i 小 于大于负二的整数有负一和零，所以说应该选择的是。这里边特别注意啊，它应该显示集合的形式，所以说应该是选择的是得，而不是 a 啊，一定要特别注意，大家一定要仔细。 好。第三个我们来看，二加减三， y 等于零为渐近线， y 等于双曲线经过三倍根号二勾二，该双曲线的方程是多少？首先这个题啊，我们可以看一下这个二 s 加减三， y 等于零， 那么这个 y 啊，应该等于正负，什么？三分之二倍的 x， 对 吧？所以说，根据焦点的 a 轴，或者焦点的 y 轴上，或者是 b 分 之 a 等于三分之二， 那具体是哪一个呢？我们来说，对于双极方程来说，不管是焦点 a 轴还是焦点 y 轴，那他肯定都是 a 方和 b 方的关系，对不对？ 所以说呢，在这块呢，他的这个 a 和 b 的 关系呢？那你肯定是最喜欢的是焦点的 a 轴，所以你可以假设一下焦点的 a 轴， 那如果焦点 a 轴的话，他这个底下是不是应该是九和四的关系？所以说他九和四或者四和九，那不是 a 就是 b， 对 不对？所以这道题肯定不是 c 也不是的， 那接下来我们来说应该是 a 还是 b 呢？那其实你就可以把这个选，把这个三倍根号二到二带到 b 里边。为啥带 b 里边不带 a 里边？因为你喜欢谁，你肯定喜欢焦点的 a 轴的，对不对？所以你可以先带到 b 里边看看，带 b 里边，如果成立就选 b， 不 带带里边，不成立就选 a， 当然你也可以先在 a 里边，如果不成立就选 b 呗，对不对？那好了，我先把这个把这个他三倍根号二的二带到 b 里边，那就是九分之十二减去四分之四啊，那这样的话呢，九分之十八啊，数错了，等于二减一，刚好等于一，所以选 b 做好了 啊。第四个我们来看等差竖列，嗯，前项和是 s n， s 五等于三十五，那这个形式 s 五就等于五倍的 a 一 加 a 五除以二，对吧？我为什么用这个？因为这个 首项加末项乘以项除以二的这个操作呢？它可以用上等差中项，那么 a 一 加 a 五呢？显然是二倍的 a 三，对吧？所以就五乘上二倍的 a 三，再除以二，就等于了五倍的 a 三，五倍的 a 三等于三十五啊，所以说 a 三，那自然就等于七了。 那接下来 s 十呢？同理， s 十等于什么？等于二分之十乘上 a 一 加 a 十，然后呢，它等于一二零，对吧？所以说它它约剩十二，那把二乘过去， a 一 加十应该等于二十四， 那题中给了一个 a 三等于七，那 a 三加 a 八，就和 a 一 加十相等，对吧？那它就应该等于二十四，所以 a 八呢，就应该等于十七， a 八等于十七了。让你求的是什么？让你求的是 a 八，对吧？那么这道题选 c 就 完了。 好，接下来看第五个说 a i 加一的六次密展开式中， s 方的系数是六十， a 等于二，是 a 等于二的什么条件？那这里边我们说所有的二项式定理题，它一定要写这个 t r 加一，对吧？那写 t k 加一也行， t k 加一吧，它等于 c 六， k 乘以 a s 的 六减 k 四密， 再乘上一的 k 次幂，那不写了。然后接下来养成一个好习惯，我们经常把这个常数和这个 x 给它分离出来。 接下来我要找的是这个 s 方的系数，所以说这 r 呢，它就应该或者 k， k 就 应该等于四 s 方嘛，对吧？ k 等于四，所以就是 c 六四乘以 a 的 平方， c 六四乘以 a 的 平方，乘以 s 平方，那他的这个系数是六十，所以说就是 c 六四乘以 a 方，他应该等于六十。 c 六四就是 c 六二。 c 六二等于多少呢？等于六乘五除以一乘二等于十五，对吧？ 所以就十五倍的 a 方等于四， a 方等于六十， a 方等于四， a 等于正负二。好，那接下来，所以说啊，前面这个东西就是 a 等于正负二， 是 a 等于正负二，是 a 等于二的什么条件？那这里边呢，我们说小能推大，大不能推小，对吧？所以说它的范围小一点，那么就是必要不充分后能推前前，不能推后必要不充分选择 b。

来，三省四市一模啊，这个沈阳市二模，这把这个十五到十七啊，这个视频更一下啊，大体 第一题，竖列啊，纯纯白给是吧？给你这个 a n 加一与 a n 的 一个叠代关系啊，而且它都提示你了，是 a n 减一啊，是构造的形式， 对吧？那假如说，哎，把这个题算成点难度啊，我不告诉你，那我让你直接求 a n 图像公式，哎，那咋求啊，对吧？那我们就得自己去构造了，对吧？啊，你可以叫构造，你也可以叫这个待定系数法啊，都行， 对吧？那么既然这个式子它这个 a n 加一与 a n 呢，有三倍的关系，那就说明它不是 a n 本身是一个公比为三等比数列，对吧？因为它后边还有个减二，所以说肯定得是 a n 加点啥， 那加啥了呢？那你就得看后边，它现在余出来的是负二，那就说明它肯定加长数了，对吧？那所以说，我们在构造这个数列的时候啊，我们就可以说，哎呦我的妈 啊，我们就可以说啊，设对吧啊，这个 a n 加 k 这个数列啊，我不知道这个 k 得几，我先设出来，对吧？ a n 加 k 这个数列，是啊， q 等于三的等比数列， 那既然呐，这个竖列是一个 q 等于三等比竖列，那就一定有后一项，也就是说 a n 加一加 k 等于三倍的前一项， a n 加 k 啊，一定有， 对吧？然后化简啊，化简成跟这个上式啊，这个式子长的一样的式子，就等于啊，三倍的 a n 啊，然后加三 k 再减 k 啊，加二 k， 那 么对应项一定得等于负二，对吧？则 二 k 啊，等于负二，所以说 k 等于负一啊，那 k 等于负一啊，原来因此，怎么呢？ a n 减一，这么个竖列是首项 啊，注意首项，那么首项得是 a 一 减二， a 一 得几？ a 一 得二，对吧？二减一得一啊，那首项为一啊，公比为三的等比竖列啊。所以说第一问就结束了， 当然了，其实不用不至于这么麻烦，对吧？因为人都告诉你构造的是减一了啊，咱只不过拓展了一下， ok， 然后第二问啊，让你求 b n 的 前项和 b n 等于啥？等于 a n 加 n， 那 就把 a n 先求出来呗，对吧？ 那么 a n 减一，这个数列首项是一，对吧？公比为三，三的 n 减一次密，所以说呀， a n 就 应该等于三的 n 减一次密，再加一， 对吧。那么 b n 等于啥呀？ b n 它等于 a n 加 n 呢，它就应该等于啊，三的 n 减一次幂，再加上 n 加一，这很明显呐，这不等比和等差嘛，对不对？所以说它的 s n 啊，那不就是分组求和嘛。哎，就该把等比的写一起，三的零次幂，第一项 三的一次密，对吧？一直加加到三的 n 减一啊，再加上这个等差数的第一项啊，这是二加三啊，一直加加到 n 加一，对吧。 所以说就应该等于啊，分别求和，那一减 q 分 之首项乘以一减 q 的 多少次幂啊？从零到 n 减一，一共 n 次，再加上，这是等差速列啊。首项加末项乘以项数除以二 啊，你看，一减三，这也都是二，是吧？哎，一减三变成负二，然后负号呢？给这个让他反过来是吧，让他调过来写，那就应该是三的 n 次密，对吧？再加上这后边是 n 方加三 n， 是 吧？ n 方加三 n， 然后还有个减一啊， 就得这个啊，没有任何悬念啊，这十五题，十六题啊，这是考察的非常非常简单，这十五十六的简直就像白给一样， 是吧？单次分类的标准准确率啊，得分 x 啊，服从正态分布，九十，这就是 miu， 对 吧？三就是十一个码啊，求正态。正常状况下啊，该这个 ai 单次分类的准确率得分大于九十九分的概率， 这不是三十一个么之外了吗？对不啊？来来来，算一下呗，是吧，那么咱们先写一下啊，第一问啊，这个 x 啊，它是服从正态分布 啊，九十到三的平方，那么其中啊，妙呢，就是等于九十的，然后十一个么呢，就应该等于三，是不是？那么这个九十九啊，就应该等于妙加上三十一个么，对吧？等于九十九， 所以说我们要找谁啊，对吧？要找这个，对吧？要找这个，所以说他说呀， p 妙减三十一个码啊， x 啊，在妙加三十一个码之间，这个的概率它是等于零点九九七三呢，也就是说 这个九十减九啊，九十减九，那就八十一呗，是吧？ 小等于 x 啊，小等于，这是九十加九啊，九十九的概率就应该是零点九九七三，他让我算大于九十九的，对吧？画个图，现在，现在呢，就属于这样式的，对吧？这块呢是九十， 这呢是九，这块是九十九啊，这是九十，对吧？这是八十一，那他现在我知道这块的面积是零点九九七三，我要算这块的面积，那这块面积等于啥呀？一，减去中间这块，然后再除以二，因为这两边是对称的，对不对？所以说 p x 大 于九十九的概率就应该等于二分之一减去啊。 p 啊， x 在 八十一到九十九之间的概率，这等于一减去零点九九，去三除以二，那就是零点零零二七，那就是零点零零一三五呗，就等他是不？这第一问啊，然后咱们再看这个第二问。第二问啥呀？某天呐， 有个程序员啊，发现这两次的结果准确率全都大于九十九分， 这不中彩票了吗？对吧？你一次就是千分之一，然后呢，你连续两次都大于。测试人员根据这两次测验结果判断，现在这个 ai 这个出现问题了，需要立即停机，然后呢，重新进行这个算法排查， 这合理不？那可简直太合理了，对吧？这都赶上彩票了，那你说能不彩，能不合理吗？如果这要是合理的话，你就买彩票去吧，你肯定中一等奖啊，是不是？兄弟们啊？所以说第二问合不合理，那简直太合理了，对不对？为啥呀？那说点话是吧？怎么说呀？因为 是吧，这有点像这个写作文了，是吧？因，因为连续两次啊， 出现啊，得分大于九十九分的概率， 这个一定得写点话啊，你要不写的话就不太好啊，为零点零零一三五的平方，不用算了。这个啊，然后你就说此概率对吧？为 极小事件对吧？极小可能事件，或者说极小概率事件啊，都行 弱，对吧？啊？或者怎么说呢？啊？几乎啊，不可能在设备正常运转的情况下发生，对吧？几乎不可能在正常 运行的情况下，这个话一定得会说，是吧？哎，发生因此， 对吧？你可以说，就把这句话抄下来，是吧？暂停研发更新啊，点点点点啊，把这个写上是合理的， 对吧？哎，这话得写出来哈，要不然你说咋给你分啊？就我这题，是吧？太过分了，简单的啊，然后咱们看这个第十七题， 他说一个三棱柱啊，所有棱长全是二啊，然后他只不过他斜不楞登，是吧？就斜不点啊。然后呢？ a、 e、 a、 b 啊，这个角啊，这是六十度 啊。然后他问你，这个 a、 b 垂直于 a、 e、 c， 你这很明显吧，是吧？连一个线，你就非常看的非常清楚了，你把这个 a、 e、 b 连上，对吧？那你会发现这是一个三正，这是一个正三角形，对吧？这是一个正三角形， 这底下呢，也是一个正三角形，对吧？哎，底面也是个正三角形，然后它也是个正三角形，相当于这两个正三角形啊，以 a、 e、 b 为公共边，他们的角度是不？不，那个是这个，这个 啊，不定的，对吧？就是，也就是说这个 a、 e 啊，它可以往下趴趴点，它也可以往这边走立一点，是吧？以这个边就相当于两个折折指，对吧？以 a、 b 为这个折痕，对吧？这两个三角形再搁那来回 摆动，对吧？绕着这个 a、 b 来回动，是吧？然后呢？就是，也就是说 a、 e、 c 的 长度，现在不确定啊，不就这意思嘛，对吧？然后它让你证明的是啥呢？就是 a、 e、 c 的 长度，现在不确定嘛，对吧？然后它让你证明的是啥呢？就是 a、 b 垂直于 a、 e、 c， 那太好正了，对吧？你这是六十度，这底下也是个正三角形，底下也是六十度，对吧？那你想证明这两条线啊，一面直线垂直，你肯定把一条一条线归到一个平面里头吧，那很明显，你把这个 a、 e、 c 归到这平面里就完了呗， 因为这都是正三角形，你不做终点，你是不是白瞎了，对不对？说这题找个终点做一下啊，这是点的，对吧？你再连接 c 的， 这全是垂直的，因此，对吧？ ab 肯定垂直于 a 一， 那个 a 一 的也垂直于 c 的， 那不就垂直于这平面吗？ 对吧？那垂直于这平面 a、 b 不 垂直于 a、 e、 c 了吗？啊，这非常简单啊，第一问，那咱们写呗，是吧？哎，当然，你得先说，是吧，找这个 a、 b 中点，然后连接 a、 e、 d， 再连接 c、 d， 对 吧？然后我们能通过 啊， a、 b， 是 吧？垂直于 a、 e、 d， 然后呢？ ab 呢？也垂直于 c、 d， 然后共同能够证明 ab 啊，得垂直于面， 这是 a、 e、 c、 d， 那 么垂直于面 a、 e、 c、 d 了，那它就一定垂直于 a、 c、 a、 e、 c， 是 不啊？非常简单啊，这个第一问，然后看第二问， 第二问，他说若这个三棱柱啊，你看，告诉你这个三棱柱的体积了，目的是啥呀？不就是让告诉你高吗？对吧？不就是告诉你高吗？ 对吧？因为你现在就高不知道，要就高不知道。因为你这个这个三角形和这个三角形它们中间的夹角你不知道，那么告诉你体积了之后，这夹角就知道了。所以说，我们算一下它的高呗，对不对？算一下它的高啊，因此，这个三棱柱啊， v， 它应该等于啥呢？应该等于 s 啊，三角形 a、 b、 c， 对 吧？再乘以 h， 是 吗？ 是不是？那么 s 三角形 a、 b、 c 等于多少啊？这底面是一个边长为二的正三角形二分之一 a、 b 三 c 二分之一，二乘以二，乘以三六度，然后再乘以 h， 它应该等于几啊？他说体积是三吧，题里告诉我的，是不是？所以说我们算一下， 这约掉了，应该就是根号三， h 应该等于三，所以说 h 等于根号三，是吧？ h 等于根号三，而 a 一 得呢，它正好就等于根号三呢，因为这个 a 一， a 等于二，对吧？这个 a 得等于一二的平方减去一的平方， a 一 得就等于根号三，所以说这个 h 啊，正好等于 a 一 得，所以说我们就可以说啊，因此啊， a 一 得啊，既为 该这个三棱柱的高啊， 对不对？也就是说 a 一 的是垂直于底面的，不就这一个意思吗，对吧？ a 一 的啊，垂直于面 abc 啊，那这题就没有任何难度了，那接下来是不管求啥角了，你都不用看这个平面了啊，到底哪两个平面，那间隙就完了呗，对吧？很明显的点间隙啊，这没有什么好说的啊，得 b 这个方向，这是 x 轴，对吧？得 c 方向啊，这是 y 轴， 然后这个得方向，这是 z 轴啊，间隙，写点坐标就完事了，对吧？当然你得写间隙啊，你得把话说出来啊， 然后写点坐标呗。那你看这几个，这，这两个平面都有 a， e， c， 对 吧？都有 a， e， c 啊，所以说你在 a， e， c 这两个点写完，再写个 c， 再写个 b， 这完活完活了，是吧？ ok， 那 a 一 点的坐标，那 a 点坐标很明显啊，零零根号三是吧？零零 根号三，对吧？ c 点坐标肯定是零根号三，对吧？零都有，根号三都有零。我这两点写完之后，我们再写 c 一 点的坐标， 说 c 一 点的坐标，那他们说了，这 c 一 点不好写啊，那么 c 一 点它也不在这个 x、 y、 z 这个轴上，那我怎么写呢？哎，我们可以先找好写的，你看， 我们可以先写 a 点坐标吗？你说老师，为啥你要写 a 点坐标呢？因为你写完 a 点坐标了之后，你就可以看 a 点坐标相较于 a 一 点，它是如何变化的？那么 c 一 点的坐标相对于 c 一 点，它们的变化方式啊，变化的形式可能是一样的， 对不对？哎，所以说，我们先把这个 a 点坐标写出来，哎，用做参考的吧。那你看 a 点坐标多少啊？很明显，它等于负一 零零，也就是说啊，我从 a 点到 a 一 点，它横纵 x、 y、 z 这三轴，它这都是怎么变化的？哎，横坐标加一纵坐标不变啊， z 轴坐标加根号三，都是这么变的。所以说，你现在已经有 c 点坐标了， 那 c 点坐标呢？一样，对吧？横坐标得加一重坐标不变， c 轴坐标加根号三，一到根号三到根号三，那就这么简单，对吧？然后呢，接下来，现在 a、 c、 c 全写完了，现在就差个 b 一， 是吧，那写个 b 一， 但是 b 一 呢，它也是在外边，那怎么办呢？我先写 b 呗，对吧？一样嘛，对吧，先写个点 b 坐标，点 b 坐标，啥一零零啊，多好写。那么所以说，这个怎么加一变成二啊？重坐标不变， z 轴加根号三嘛，完活了 啊，所以说，这么写绝对准确啊，绝对准确，所以说这四个点就完全写完了，然后就反向量呗，对吧？反向，哎，不没到呢啊，先做这个向量，那么由于啊，这两个平面里边都有 a、 e、 c， 因此啊，我做这个 a、 e、 c 向量，相当于这两个平面里边都做出来一条了， 对吧？这样的话，我能少写一个向量，能少写点少算点啊，能赖就赖呗，对吧？所以说做这个 a e、 c 向量， a e、 c 乘以多少啊？零根号三，负根号三，对吧？然后呢，我们再做一个别的啊，比如说做一个 a e、 c 一， 是吧？哎， a e c 等于啥？一根号三零呗。然后这个是 a e b， 是 吧？ a 一 b 一 啊，那就应该是二零零了， ok， 因此他俩是一对，然后他俩呢，是一对，这不，这两个平面发量就完事了，是吧？那先算第一个啊，第一个平面发量， 那就是，呃，零根号三，负根号三，零根号三，负根号三，这是一根号三零，一根号三零。第一列，最后一列删掉， 然后交叉相乘，再相减，这是根，这是三。这第一个啊，第二个呢，就是 他俩算，对吧？负根号三，然后接下来是他俩算，这也是负根号三，对吧？因此都除一个负的三分之根号三啊，那因此不都除一个根号三啊？ 到负的根号三，所以说应该等于负根号三，都一，都一嘛，这就是 n 向量。然后下一个呢，是他俩，他俩做，是吧？他俩做的话，换个色，是吧？那就应该是零 零根号三啊，负根号三，零根号三，负根号三，二零零，二零零。最后一列，第一列删掉，他俩相乘再相减，零，他俩相乘再相减，这是二倍负的二倍根号三， 它俩相乘再相减，负二倍，根号三，都除以一个负二倍根号三，因此 m 向量应该等于零一一。然后因此啊，设一下这两个平面的夹角叫谁的啊？这个谁的角应该等于绝对值啊，这两个向量的夹角对不对？ 因此它应该等于啊，这个相乘呗。点乘上面点乘的话就剩一加一了，那就不用加绝对值了是不？底下的话是根号三的平方加一的平方加一的平方根号五， 然后呢，再比上根号二啊，再乘一个根号二，这是根号十分之二啊，十分之二倍，根号十，五分之根号十，完活了。这题计算量也非常非常小， 所以说，呃，整体来看，这张卷出的在到十七题之前啊，都是非常非常简单的，没有任何一道题值得卡的。 所以说，如果这道这张卷啊，对应到高考，就如果说这张卷你在高考当中，你想考一百二十分，那么你必须要求自己在这张卷啊，这个卷的情况，就这张卷的那个难度下，你必须得在。呃，怎么说？七十分钟吧，七十分钟差不多啊， 七十分钟之内，必须得把前十十七道题啊，都得做完，而且是不能有跳题的情况，而且是不能有一道题说，哎，这道题我做的有点不太确定到底是不是这么做呢，哎，不能有这种情况，如果能拿这种情况，那么高考一百二十分左右啊，应该是没有问题的 啊，所以说大家一定要看啊，不能说这道题我做会了啊，那做会了有很多种的嘛，有很多同学七零咔嚓脆啊，五六分钟，这一道题做完了，你呢？吭哧瘪肚，十五分钟，二十分钟才做完，做的半拉柯基的，甚至呢，算完之后算了好几遍， 哎，算一遍一对一个数，算一遍一个数，那你花了这个二十分钟啊，二十五分钟把道题做完了，那你跟人家五分钟做完的，对吧？那是一个档次的吗？那肯定不是啊，对吧？你像跑一百米似的，对吧？那世界纪录九秒多就跑完了，你说你跑了一分钟，你说一分钟能跑完吗？能跑完，那对吧？那完全完全不是一个概念 啊。所以说，如果说啊，同学们在做这种十五、十六、十七这种题，还有一个概念啊，所以说，如果说啊，同学们在做这种十五、十六、十七这种题，还有一会 啊，那就说明完全不合格啊，基础完全不合格就刷基础题啊，一定要把这个基础夯实起来 啊，是吧？你看这张卷，我整个十七题之前讲完，应该就是一个小时左右，是吧？哎，那么大家如果想在高考当中一百二十分啊，高考的时候一百二十分，那么这张卷你必须得在七十分钟之内把十七题之前都做完啊。 ok 啊，下个视频我们说十八十九。

看一下长春按摩的第十九题啊，那这道题呢，对于题干的理解要求比较高。好，呃，我们先看一下这个题的题啊，这里面给定义了一个什么呢？平衡值的波动量 y 的 f x f x 满足这样一个关系， e 的 负 x 乘以 q 三 x， 其波动呈现出往复波动逐渐稳定的这么一个特征。然后定义函数 g x 是 属于 a 到中轴形，如果满足震荡性的话，震荡性什么意思呢？就是导函数在 a 到中轴上无限次的正负交替。第二，要满足衰减性， 就是对于任意的正实数 m 都存在一个 n， 使得 x 大 于 n 的 时候，这个 g x 的 绝对值啊，小于 m 则称 g x 为震荡衰减函数。这里面给出了震荡衰减函数的定义啊。 好，我们先看第一问，他说 f x 在 零到二 k 内所有极值点啊，求所有的极值点，并求这些极值点处波动量的增长率是否为零。波动量的增长率就是导函数值啊，导函数值的话，在极值点处必为零啊。好，我们先求这个极值点 解。那第一问呢，我们先把这个函数写上， f x 等于 e 的 负 x 乘以 cosine x， 然后这里边 x 属于零到二 pi， x 属于零到二 pi。 嗯，取个导， f x 的 导都应该等于负的 e 的 负 x 乘以 cosine x 加上 e 的 负 x 乘以负三 x。 好， 我们提出一个负的 e 的 负 x， 剩一个三 x 加 cosine， 再用辅助角把它合成一个名的三角函数，用负的根号二 e 的 负 x 乘以一个三 x 加四分之 pi。 所以 这个正负性取决于后边这一项。 那我们直接求增区间利用导函数大于零啊，那大于零的话，就先来这个后边这个口，三小于零啊，也就是既三 x 加四分之 pi 小于零，那我们解这个不等式呗，那就是 x 加四分之派，应该是大于这个小于零的部分是派到二派。派到二派啊，那就是得 这个 x 应该大于四分之三派，小于四分之七派，那这个范围就是增区间啊，就是，所以 x 属于这个四分之三派到四分之七派， 这个 f s 是 递增的啊，这增区间，那减区间呢？那我们直接写吧，就是零到四分之三派和四分之七派到二派， 这个是减区间。那我们画一个草图，就知道哪增哪减零，这个四分之三派，四分之七派二派， 它这个是增的，两边是减的。好，大概呢，是这么个形式啊，那么就知道在四四分之三派取极小值，四分之七派取极大值，这里面问的是极值点啊，所以 f x 的 极小值点 为这个四分之三派，极大值点 为四分之七派。然后呢，再说一下波动量增长速率啊，那就是 f 到四分之三派等于 f 到四分之七派都得零，他说不必证明啊。 好，我们看这个第二问，他说根据定义判断 f x 在 零到中轴上是否为震荡衰减函数，如果是给出证明啊，那这里边看看满不满足以上两个条件，一个是振动性，一个是衰竭性。我们先正这个振动性， 那也就是说 f x 倒啊，等于这个刚才已经求完了。负根号二倍的 e 的 负 x 乘以 x 加四分之 pi， 这个很明显，在 x 大 于零时，这个负根号二 e 的 负 x 肯定是小于零的，然后这个散阴 x 加四分之 pi 是 在负一和一之间波动的啊，所以说呢，它的函数值肯定是正负交替变化的，所以说这个满足， 嗯， f x 是 满足震荡性， 满足震荡性。好，我们再看是否满足衰减性，那就是看这个 是不是存在一个实数 n， 使得 x 大 于 n 的 时候，这 x 的 就是函数值是小于 n 的。 那我们看一下，这个可以逆向思维，就是说 f x 的 距离值应该等于什么呢？ e 的 负 x 乘以口算 x 的 距离值，那这里面 e 的 负 x 肯定是正的，给它弄出来啊， 然后呢，就相当于乘个 cos 距离值，那我们给它往大了放，那就是小于 e 的 负 x 小 于等于 e 的 负 x 啊， cos 距离值小于等于 e 啊， 那这里边呢，我就让它是小于 m 的 不就可以了吗？然后我解出 x 啊，解出这里的 x， 那 这个 x 的 话就是负 x 小 于浪 m， 这个我们可以在槽纸上进行 啊，那也就是说负 x 小 于 long m， 那 也就是 g 这个 x 要大于负的 long m， 所以 我们就找到这个 n 了，那我们让这个东西是 n 就 可以了，也就说我们取取什么呢？ n 等于负的 long m， 那就说当 x 大 于 n 大 于 n， 就是 大于负的绕 m 的 时候啊，那 x 大 于负绕 m， 不 就就相当于这个这个条件，这个条件不就得到上面这个条件吗？也就相当于是 f x 的 绝对值啊，小于 n 正好形成一个闭环啊，所以说满 f x 满足震荡性啊，满足这个衰减性，满足 衰减性，所以呢， f x 是 正当衰减函数。 哎， 好，那这是第二问就证出来了，好看。第三问，他说这个 h x 是 无最大值的，让你证明一下，那这里把 h x 表示出来。第三问， 他说这个东西是 f x 绝对值加上 f s 倒的绝对值啊，证明他无最大值啊，我们先把它带进去， e 的 负 x 乘以口三 x 绝对值，然后加上这是 e 的 负 x， 刚才我们求得的是三 x 加口三 x。 好，这么一个形式，嗯，这个前面有符号，这个加不加符号都无所谓了，因为有距离值嘛，我们把这个 e 的 负 x 给它提出来啊，那就变成什么了呢？ cosine， cosine x 的 距离值啊，加上这里边 cosine x 加 cosine x 的 距离值。 呃，这里面注意观察，后边是三角函数，前面是个递减的函数啊，三角函数呢，是周期性变化的，所以说他应该是有一个周期性规律啊，然后他说证明他无最大值，也就说他可能就是这个无限的趋近某个值啊。 嗯，这么一个意思。然后呢，我们再看啊，就是取不到最大值，那这里边的后边这个函数周期性变化的，我们可以利用周期性啊，就不需要讨论整个大于零的这个范围，这个 x 大 于零的，嗯 啊，这个很明显，你能看出后边这个函数的周期吧。啊，这个周期如果是二派，肯定是它周期，这里面派啊，实际上也是它一个周期啊，所以说我们考察这个 h x 加派， e 的 负的 x 加派， 然后呢，把这个 x 都换成 x 加派啊，它的绝对值括号加上散 x 加派，加上口散 x 加派。 好， e 的 负的 x， 这给它打开， 那后边这个诱导之后，它肯定还是 cos 距离值啊，那后边这个诱导之后，它俩都是负的，所以说呢，就还是三 x 加 cos， 然后再加距离值。 那注意观察这个部分， e 的 x， e 的 负 x 乘上后边这个东西，它就是 h x 啊，所以它是等于 e 的 负负派，肯定是小于一的，所以它是小于 h x 的。 这样的话呢，也就是说啊，每个 pad 单位长度都是小于 h x 的 啊，它是周期性递减的，所以说我们只需考虑这个零到 pad 的 情况就可以了。 x 属于零到 pad， h x 五最大值， 那这里呢，我们先把 h x 抄下来，应该等于 e 的 负 x， 然后呢，是 cosine x 的 绝对值加上三 x 加 cosine x 的 绝对值，那这里边呢，绝对值函数是不可导的，所以说呢，我们判断单调性要把这个绝对值去掉， 那去绝对值根据什么去去啊？那根据三角函数的正负啊，如果他都在，第一象限怎么样？第二象限怎么样，对不对？所以说 x 属于零到二分之派的时候， 那这里边呢，三角函数都是正的， e 的 负 x， 那 就是口三 x， 后边也正的就二倍的口三 x 加三 x。 哎，那我们给它取个导，看一下它的单调性什么样啊？ 好，前面的导乘以二倍的口三 x 加三 x 加上 e 的 负 x， 负二倍的三 x 加口三 x， 合并一下啊。 呃， e 的 负 x 提出来，这是负二口，加上一个就是负口塞 x， 然后这个是负塞，这是那是减三倍的塞 x， 那 这里边呢，口塞塞都是正的，前面都有符号，所以是整体来说是小于零的， 所以说在零到二分之 pi 上是单调递减的，我们再继续好讨论，再继续好讨论的话，这里需要知道塞和口的正负情况 啊。这里面一三向线角分线是这个正余弦的分水岭啊，上方的正弦大，下方的余弦大，那我们再做个二四线角分线，落在这个区域的正弦的绝对值是大于弦的绝对值的，所以呢，我们把这个角标出来啊， 那我们可以按照这个二分之派到四分之三派，正弦的绝对值是大于弦的绝对值的。那就说 x 这个大于二分之派小于等于四分之三派的时候， 这个 h x 就 变成了什么呢？ e 的 负 x， 这个 cos 绝对值肯定是负的了，负的 cos。 然后这里边呢，正弦绝对值大于弦的绝对值，那就是正弦是正的，弦是负的嘛，但是正弦的绝对值大，所以说这个加和之后也是正的， 那就加上 cos， 加上 cos 就 等于 e 的 负 x 乘一个 cos x 好，这个 h x 变成这个了，那我们再看一下它的导函数啊， h x 的 导应该等于 e 的 负的， e 的 负 x 乘以三 x 加上 e 的 负 x 乘以口三 x， 好， 把 e 的 负 x 提出来， 负的三 x 加上口三 x， ok， 那 这里边呢，正弦的局值大，但是前面有符号，所以说它是比它负的啊，所以说整体来说是小于零的，那这里就是二分之派到四分之三派也是递减的，就是前面零到四分之三派都是递减的。 然后我们再继续讨论，那就说当这个 x 大 于四分之三， pi 小 于 pi 时，这个 h x 的 表达是什么呢？ e 的 负 x， 那 这个呢？还是第二行角余弦是负的，负的 cosine x， 但是这时候在这个范围内，余弦的绝对值大于正弦的绝对值啊，所以说这个塞加口的这个绝对值啊，应该是负的了，所以说就是负的三 x 减口三 x， e 的 负 x， 然后呢，给它合并一下，负的三 x 减二倍的口三 x， 呃，再给它取个导 h x 的 导就应该等于负的 e 的 负 x 乘以负的三 x 减二倍的 cos 加上 e 的 负 x 乘以里边的导，就是负的 cos 加上二倍的 cos。 把 e 的 负 x 提出来啊，它这个符号呢，变成弄到里边都是正的了。 好，我们再合并一下，那就是三倍的三 x 加上口三 x。 好， 那这个的正负呢，我们再用辅助角，那就是根号十倍的 e 的 负 x 乘一个三 x 加 f 啊，这个 f 角是可以确定的，这里边 f 是 个锐角，这个弹进的 f 是 等于三分之一的啊， 那这里呢，对应的三 if 口三 if 也可以看出来啊，应该是一笔根号十，还有口三 if 应该是三笔根号十。 好，那我们直接求它的单调区间啊，我们令 a 是 导， x 大 于零，那也就是既散音 x 加 f 啊，要大于零，那这里呢，这个 x 加 f 啊，就得小于 pi 啊，大于零。 然后呢，但是这个左边可以不用写，因为 x 是 大于四分之三派的嘛，所以说这个 x 就 应该小于派减派，大于四分之三派啊， 那这个含这个范围呢，就是这个函数的增区间啊，那我们可以这样写， x 属于四分之三派到派，减派到派啊，单调递减。 嗯，那所以呢，就是说，通过以上可以分析出 x 属于这个零到四分之三派，这一段全是递减的，然后呢，四分之三派到派减，派是递增的， 然后呢，这个派减，派到派是递减的，划一下这个走势啊，这个就是说零四分之三派派减，派到派啊， 这个前面是递减的，然后递增，递减啊，这样的形式，所以说呢，他这个最大值有可能在派减派出去，有可能在零出去啊，那我们来求这两个地方的函数值就可以了， 那也就是说我们要求这个 h x 的 最大值啊，啊，不能说最大值，先求一个这个极值的极值啊，那 h x 的 派减派，那就应该等于把它带入 h x 里去啊。 h x 在 哪？在这，哎，在哪呢？在这在这里啊。嗯，那就是 e 的 负的派减法，然后负的三音派减法 减去二倍的 cosine 派减 f 好， 等于 e 的 负的派减 f。 这个诱导一下，应该是 sine sine， 前面有个符号就负的 sine sine， 然后加上这个诱导是负的，所以是加上二倍的口三也反，这个三也反，口三也反，是一致的给它带进去啊，一的负的拍减反，这个反是一只角，然后呢，这是负的根号十分之一，加上根号十分之六啊， 啊，给它占去，那就等于 e 的 负的 pi 减返乘一个根号十分之五啊，那这个东西呢，它是不是最大值？能不能取到它啊？ 那这里边呢，这个东西肯定是小一的，它是小于根号五，根号十分之五的。另外呢，我们要考虑什么呢？考虑个 h 零啊，这个 h 零等于多少呢？ h 零把它带入到这个最开始的这个表达式里去啊，这里 零到二分之 pi 的 时候啊，给它带到这里去， h 零带到这里去， 带到这里边。 e 的 零次幂是一啊，口在零是二，口在零是一，但乘二是二，然后散移零是零，所以说呢，它是二。 s 零是等于二的，但是这里面 x 是 取不到零的，所以说 x 趋向于零的时候， h 零是无限的趋近于二的。 那这里边呢，这个 h pi 减 f， 它是小于根号十分之五的，那也就是小于二的，所以说呢，这个二呢，这个值还取不到，所以它是没有最大值的啊，所以 h x 无最大值。 这样的话，这个题就讨论完了，这是整个这道题的思考方法。好。

第三阶段，九十分以上的孩子。这是另外一个阶段，如果你能考到九十分到一百二十分之间，这个阶段基本上中档题都比较扎实， 这就会出现你的选填压轴小题，还有你的导数，圆锥曲线的大题， 得分率极其的低。也就是说你这一个月主要狠抓的应该是这部分题型，把你的圆锥曲线和导数你找一个去主要空间， 你不要两个都说我原始曲线和导数我都要把它拿下，这个不现实。你这一个月只干一件事情，只要把原始曲线和导数里头有一个拿下就可以，这样的话你分数就可以往上提很多， 只要做这个就行了。那你做的题目什么呢？先以高考难度的这种卷子或者是高考真题为模板去做他的压轴题，再以模考卷子的这种选片压轴和最后压轴题作为模板去做。不在了十多年的高三数学二模考怎么精准提分，我最有经验，关注我带你家孩子高考数学，稳稳稳提分，少走弯路！

那这二十分从哪得来呢？三道选择题是五分，一道填空题五分，这就二十分，稳赚了。高三的家人们，大家好，对于高三二模数学的分数，直接能预判高考数学的大致分数区间，这个参考性还是比较强的。 所以说，对于现在各个不同分数段的同学，这一个月从四月份到五月份应该怎么做？今天我给大家去聊一聊，好吧！第一个，如果你的成绩低于七十分， 那就说明你现在的阶段的这个基础题漏洞满天飞，选择填空基础题丢分特别的多，包括基础大题丢分特别的多，那下来应该做的事情应该怎么去办事？你要回归到第一个回，不是回归课本，是回归到高考真卷。 然后呢，做选择填空的基础题，把它刷的很熟练，用这种基础题作为你的一个评判标准，然后呢，把你的知识漏洞全部找出来。那这个时候家长应该怎么做？这个时候学生的自信心是有损的， 有很大的损伤，家长应该这个时候辅助孩子，这个时候不应该责备孩子，应该是辅助孩子，应该帮助他一起帮孩子去解决问题，孩子才有方向， 你应该这么做，更不应该焦虑，因为这个时候你要给孩子定目标，咱们的数学成绩不再是一百一、一百二，一百三就是多少九十分，你第一阶段就是九十分，这个月到九十分，你就提二十分就行了，那这二十分从哪得来呢？三道选择题十五分，一道填空题五分，这就二十分了， 稳赚了。所以说孩子这个阶段只要能达到这个目标，已经有很大进步了，很抓基础题。而这个基础题我说了，用高考真题，历年高考真题不要动，模拟题也不要动，选择题最后一个，填空题最后一个，多选题最后一个，后边两道大题跟你没关系。这就是七十分以上一家的孩子应该做的事情。 如果知识点不会回归到课本，回归到各种课程去处理就行了，不要去贪多，不要碰难题。我等待了十多年的高三数学二模后，怎么精准提分，我最有经验。关注我，带你家孩子高考数学稳稳提分，少走弯路。

大家好，我是卓越，今天下午长春高三二模的数学刚考完，拿到题以后啊，我们发现这个题的难度呢，与二零二五年高考真题啊极度的相近，特别是选天的部分啊，大题呢，甚至比二零二五年的高考真题呢还要简单。 那么这样的一套题呢，我觉得给我们每个高三的同学呢，都是呃一种信心的一种提振吧啊，因为大家呢，结果呢，一定都是成绩会叫这个前面自己在学校的这种周测月考啊，要有提提升的啊。 那么说回来呢，我们要还是要看一看，如果单选或者多选出问题了啊，比如说我们这个多选第十题没有做出来，那我们在考完以后一定要找三角函数性质 啊，这部分的题呢，去针对性的去做一训练，看看知识上有没有一些问题，如果十一题没做出来，那是不是条件概率啊，概率这块有问题啊，就针对性的去呃补足自己的短板吧啊，就知基础知识方面。 那么对于大题来说呢，我觉得这次题呢比较简单啊，特别是这个前面三道大题，基本上是，嗯都是非常基础的啊，特别是这个前面三道大题，基本上呢就一定会要求步骤， 一定会，这个步骤呢卡的非常严啊，就是简单的这个情况下也不一定，或者是呃不容易啊，得到满分，这也是我们拿到 呃这个答题卡，批完试卷的答题卡，我们要去总结的，看一看我们的步骤是否，呃，哪些步骤出现了问题啊，哪些大体没有拿到满分， 那对于十八和十九十九题呢，确实他结合了导数，这个呢，在有时间的情况下呢，我觉得第一问和第二问也可以去尝试一下啊， 十八题呢，求一个面积的最值，也应该是一个中档题吧。整体来说呢，二模的难度呢，对我们每个高三同学呢，都是非常友好的，但是如果真的是哪块出问题了，那么我一定要回归基础啊，还有就是强化答题的步骤。