2026钦州一模数学函数

现在讲解一下这个二零二六年生意，我们的第十八题的第二大问的第一小问，那么这里属于零点问题求参数的范围，那我们能用参变分离，尽可能用参变分离会更加简单，当然也可以像答案一样直接去讨论这个函数的图像。 那么这个视频我讲解的是更为简单的一种方法，参变分离。好，首先令 f x 等于零，那么就可以得出来。参变分离之后可以得出来是 a 等于根号 x 加一分之四加零 x， 那 么令它等于 g x， 接下来当然是分离，之后就得出一个结论， y 等于 a 与 y 等于 g x 存在两个零点。 好，那接下来我们当然就是做出 g x 的 图像，那么做出 g x 图像，那肯定是先搞定导函数的图像，然后再由导函数的图像去推出原函数 g x 的 图像。 好，所以我们就先对这个 g x 进行求导，我们可以发现这个 g 撇一是等于零的，也就说我们知道它存在一个零点。我们刚刚讲过，你主要是要确定这个 g x 的 单调性， 还有零点情况，如果你能确定这两点，基本上 g x 图像就可以出来，然后再去退出 g x 图像就可以了。 好，那么这个零点我们已经猜出来一个了，但是这个 g x 这个核心函数，这一部分核心函数是分子，因为分母一定是正的，这一部分它的单调性并不确定， 所以这个时候怎么办，就需要二阶导，那么就令核心函数分子 h x 等于这个分子，那接下来我们主要是搞定 h x 图像，就可以知道 h x 的 正负，从而就可以判断 g p x 正负。好，那现在同样的进行求导，那可以得出 x 是 等于 e 的 负三次， 好，那我们算一下这个 he 的 负三次，看一下它的这个正负情况，我们可以算出 he 的 负三次是等于二加 e 的 负三次，也就是大于零的。好，另外这个 h p x 我 们可以看出来 h p x 这一个函数图像，它应该是单减的，对不对？就它的零点是知道的，因为它的单调性也是知道的，是单减的，所以我们可以确定下来这个 h p h x 它的单调性情况，也就说 x 属于零到 e 的 负三次， h p x 是 大于零的， h x 单增好，单减。另外这个极大值点， e 的 负三次又是正的， 在这里是 e 的 负三次。好，那在这里另外它还有一个零点一。好，那我们这个图像到底怎么画？ 有可能有可能是这样子，也有可能是这样子，对不对？好，所以我们是不是还需要 在靠近零的这边要判断一下正负，那么当 x 趋向于零的时候，我们判断一下 h x， 可以 发现它一定是正的，因为 x 趋向于零的时候， long x 是 趋向于负无穷的， 或者你也可以不这样判断，你可以取一些特殊值，比如你 x 可以 取 e 的 负五次，是吧？ e 的 负五次，或者 e 的 负六次一样的，你可以这样子去判断，也是可以的取这些特殊值，反正这些值就这些，你取的这些值它是靠近于零的就可以了，因为 e 的 负五次是接近于零， e 的 负六次也接近于零。好，那通过这些我们就可以大致的做出 h x 的 草图，大致就是这个样子， 这就是 h x 的 草图。好，接下来所以我们就可以得出 x 属于零，到一 h x 是 大于零的， 那么也就意味着 g p x 大 于零，所以 g x 是 单增的，同样 x 属于一到众无穷。好，那也就说我们就得出了 g x 的 单调性。 好，那现在我们就要做出，就差最后一步了，做出 g x 的 槽图，而且我们知道它在 e 这里会达到这个极大值， 也就 g 一， 我们可以把 g 一 算一下， g 一 带到 g x 解析式中算一下，就 g a 解析式，你可以算一下，得到这个 g 一 是等于二倍根号二的，也就这个点是一二倍根号二， 那么 g x 它在这个一的左侧是单增的，在一的右侧是单减的。好，那它这个图像也是一样的，它有可能是这样子先增后减，也有可能是这样子 先增后减，也有可能是这样子，对不对？都有可能。所以我们必须在就靠近零的这一端，看一下它的正负和靠近正无穷大这一端，判断一下，正负可以，用极限也可以。像刚才我说你取特殊值也是可以的，比如 x 大 于一的时候， g x 很 明显一定会怎么样，一定是正的。好，另外我们在这个一的左侧也就靠近零这边也取一个特殊值， 那比如这个 g e 的 负五次，毫无疑问是小于零的。所以这个时候我们就知道 g x 的 草图应该怎么去做，它的图像应该是这样子的， 没画好好倒回，也就这样的图像。所以最后开始题目的要求，它是 y 等于 a 与 g x 存在两个零点，而现在我们这里做的就是 g x 的 图像，那所以 a 应该是介于零到二分之根号二倍根号二， 所以最后 a 就 属于零到二倍根号二就可以了，这就是最后 a 的 范围，所以这样子做下来就非常清晰，也不存在讨论， 也就说按照我们往常平时训练的一些方法和套路去解决就可以了。那注意一下，我们在做函数图像的时候，一定要注意一下两侧需要卡一下函数值的正负，才能更为准确的做出函数的图像， 可以用极限去处理，也可以用极限作为思路。如果你要靠近零这边，那就可以取一个，比如像 e 的 负一次， e 的 负五次， 这样一个比较接近零的数啊。如果是无穷大这边，无穷大这边你要看一下无穷大这边的正负，那你也可以取一个比较大的数，那么这道题因为它涉及到这个零，那你这个 x 比如可以取更大一些，比如取 e 的 十次， e 的 五次，这些去处理都是可以的。好，这是一个在卡 区间两侧的极限值的正负的时候，如何去取这些特殊值，就这样一个思路。 另外整道题涉及的一个基本的训练点，就是我们平时训练的，你在用导数去做题的时候，一定要抓住核心，比如像这道题，你需要搞明白 gps 图像， 然后由 gps 图像再去推出 gps 图像，那 gps 搞不懂的时候，那你就要用什么用它的二阶导 再去搞定，也就先搞定二阶导的函数图像，再来搞定一阶导，再来搞定原函数的图像。好，那么这一道题的讲解就到此结束。

hi， 各位好，好久没有露脸了，这一次应同学要求，我们来讲一下这一次四月份刚结束桂林市的异模。 这套题出来是非常不错的啊。第一题，对联法相同的选 a 啊。第二题， 出现虚部变实部，他也会有个负一，选 b 好。 第三题，方向相反，勾线的问题，以后是二和这个数情况下，说是第三线，第三线不可能是有相公的，所以这个也开始。于是看看这个要比这个简单，大家来做，负一以二负二，相反选其答案。 对于第四题，等比数列当中产生有强项的，肯定要考虑的是 q 等于一的情况， q u 或等于一，那三十样的加起来就满足因子肯定会有一的一的模式是 q， 这个没有，这个没有，比如说他和他 检验他就可以了啊。第一个，四分之一好，乘以负二，负二再乘以负二得一，加起来最后也满足四分之三，则选 d， 答案好。第五题，他就是要一个明白函数，叫飘带函数，只要你记得飘带函数非常快就出来了， 这是以这复以，显然由他可以推出他由他推不出来。选 a 答案。第六题啊，还是比较幼稚的题目，我只需要用初中的知识去搞定他啊。两边四五，第三边肯定大于两边之差，小两边 之和，然后七二点多，大过时，大过时，大过时。准备答案。像这类题目啊，做多了那是手感问题啊，比如说倒时相加法，哎，再写一次 好，等于多少问题，这一次是两个加乘的两倍好，内部加乘，加乘是等于的，因此这个地方你可以去设计一减到 x 这个结尾弄起来就得负的 x 减二分之一，括号的三次方，再加上 o， 所以 说加乘等于一，有 二零二五组。最后选项选 d。 答案好。第八题，第八题也非常简单，不清楚同学是否看到这一些，它都是 没有公共部分的数据区间。那对于这个来说，我只需要从里面找出一个特殊的例子，检验归属于哪一个就可以了。好，对这个来说，零点三， 零点六，那我自然取 p， p 等于二分之一，那大 x 等于二十二，自然也是 offing。 因此对于这个来说，加起来它就是等于负的秫秆两倍的，或者说两倍，负的又是 offing， 则等于 锐角负号。这次方数负就等于 y 二 y 二，给出信息为零点六九，则 c 答案耶。

我们来看一下第二三题吧，首先第一问，它是一个求解一式，求解一式的话，我们就把这个 a 点带入这个一次函数，再把这个所得的完整的这个 a 点啊，带入反比例就可以了，所以这个函数的话，它应该是 y 等于 x 分 之八。 好，继续啊，把这个求完完之后，我们来看一下第二问， ahc， 它是一个定的一个三角形，也就是以 a c 为直角， a c 为斜边的一个直角三角形。然后在这个 y 轴上讲一个比较简单的一个方法，就是求 k 法， 我们分成三步吧，第一步设点啊，三步法解决这个问题。第一步设点啊，就是 h 的 话，因为它是在这个嗯， y 轴上嘛，所以我们可以设它为零到 m， 那 a 的 话已知我们把它写出来， c 的 话就是负四到负二。好，第一步结束。然后第二步呢，表示 k 值好，表示 k 值的话，可以等于啊 y 向量比上 x 相减这个公式， k 值的话，我们只需要表示两个质点的哈，如果它没有明确我们哪个是质点的话，我们需要三个都表示，因为要涉及到分类讨论嘛，所以在这里的话，就表示 k a h 就 行了， 以及 k a 四 k h c 啊 啊，这样表示完了之后，第三步啊，一两个直线互相垂直的话，它应该会有一个结论，就是 k 相乘得负一，所以因为角 h 是 就是 a h c 为直角，所以啊， k a h 乘 k h c 等于负一啊， 所以解得 m 等于正负二根五，又因为这个 m 等于二根五和负二根五啊， 因为它不明确，告诉我们它在正半轴上啊，所以这个是要舍去的啊，那我们就能知道 h 的 坐标的话，它应该是一个 就是零到二跟五啊，这个三这三步法啊，是总结解决这个直角三角形，当然他不是说能解决所有的直角三角形啊，只能解决什么类型的一个直角三角形，就是没有要求。什么叫有要求？就是比如说啊，他的这个 直角边告诉我们直角边要求是二比跟三，这样的一个直角三角形他是解决不了的，因为他在直角三角形的基础上又添了一个要求 啊，所以除了这种，他只告诉我们啊，他是一个制药三行的话，你就可以用这样的一个新字法来去做，还是比较简单，而且具有通解的一个办法哈， 就是能解决大部分的一个制药三行。第一步啊，设点，把这个啊未知的点设出来，把已知点描述出来。第二步呢，表示 k 值，表示只要别人的 k 值， 如果你不知道哪条位置角边啊，你就去把它三个边的 k 都表示出来。第三个就是 哪个位置角，你就让哪个两个直角边相乘的负一去解方程就行，所以函数的题，你把它用方程的一个思想去解决是非常简单的。好，这个结束，然后我们把这个 h 点不能写出来了， h 的 话就是一个 零的二根五啊，它让我们去求这个 b a h 的 一个面积， b a h 的 话，它的啊其中一个边，那 b h 是 这样的一个竖线嘛，所以我们以它为底啊，那这个为高， a 的 横坐标为高哈， b h 为底， a 到 a 到半轴的这个距离为高，我们去求解就行了，这个三角形就等于二分之一啊，六减二跟五再乘以一个四就可以了哈， 所以他是十二减四根，把这个长，把这个面积给他求出来啊，就可以了啊。第二个的话，你需要掌握这个积累下来这样算行的三步法啊。我们来看一下第三个，第三个他其实 他是一个角平分线的一个问题啊，当然有些同学也可以用角度问题的一个方法来做，就稍微有点麻烦。我们来看一下这个题有没有结，基于这个题给我们的这个便利条件，而我们能做的一个比较好做的方法， a h 的 话，它是平分角 b a c 的 啊，所以它是一个角平分线，这里有个 h 是 一个直角啊，我们回忆一下角平分线的一个常做的一个辅助线嘛，基本上就两个思维，一个是做垂线，嗯，第二个就是遇平行找等腰，对吧？这两个思维啊，那因为呢，因为这里 h 有 一个 垂直，所以呢，我基于我对角平分线的一个啊，这个辅助线的一个回顾哈， 啊，我做了一个一样的一个三角形，所以我标它为得嘛。 好，那因为它两个全等嘛，得 h a 和这个 c h a， 它是一个全等的，所以啊，得 a 就 等于 a c， 它应该是一个等长三型哈。 好，你想一下哈，它是一个等腰三角形，那如果我要用等腰三角形的一个四位把得求出来了之后，已知得，已知 c， 那 h 是 不是就是得 c 的 一个终点呀，就很好做了，所以我现在的目标就是求得 c， 那 我既然有了一个 这样的一个式子，找到等量关系，得 a 等于 a c， 所以 我就可以去想什么呢？想等腰三角形的一个解法呀。 好，等腰三角形的话，我们也可以去三步法哈，第一步，设点 啊，第二步，表示，呃，边的一个长度啊， 这里要用到哪一个公式啊？用到这个，呃，长度公式就是两点之间距离公式，两点之间距离公式的话，它应该是根号下。 好，第三步的话，你就让幺幺的平方啊，因为他带根号嘛，所以我为了处理掉这个根号，那就幺的平方等于幺的平方 啊，也就是得 a 方等于 a c 方啊，这样的话我们就解方程来去做就行了，我们来去实施一下这个这个东西哈。好，第一步的话，因为它是在这个 ab 直线解集式上哈，所以它是这个 y 等于负 x 加六上的一个点，那我就可以设它为 a 动负一加六。好，第二步，表示边长，表示边长的话，因为我一会要用得 a 和 ac， 所以 我表示得 a 和 ac 就 可以了， 得 a 的 话，我把它套进去啊，就是这，这是得，然后得 a 的 话，我把它先掐掉 ac， 我 通过去这样的一个计算公式哈， a 已知，在 a 已知， c 已知的一个情况下啊，那 c 你 还可以去连立这个解析式去求哈， c 已知的一个情况下，我能算出来，套用这个公式，我能算出来它是四根五 啊。下一步，第三步，我就可以直接列方程了哈，因为它是平方嘛，所以这里就是 a 减四的平方，再加上一个负 a 加六 加二的平方，等于四根五的平方，然后这里千万，这一步千万别忘了平方啊，有些同学算完四根五就忘那了，这个，这个你就解不出来了啊，我求解出来， a 应该是等于 四加二跟十，嗯，想一下，所以这个应该是要舍去的哈。第二个要舍一下啊，那我们就知道这个 d 的 坐标为多少呢？ d 的 坐标为这个四减二跟十的二加二跟十。 好，所以这样的话，因为 h 是 c 的 中点，中点公式我们可以回顾一下啊，就是 x 一 加 x 二除以二，都 y 一 加 y 二除以二 啊，所以因为 c 知道的，知道我们套用这个公式，我们就可以算出来 h 点的坐标了 啊。嗯，基于这个角平分线而出发的一个反应就是构造这个垂直全等 啊，然后去求这个，利用这个等腰三角形的一个解法去求的这个 d 点，然后在 d c 已知的情况下去求它的终点 h 就 可以了啊。整个 这个第二问，第三问用的这些公式。嗯，同学们在回忆一下，因为其实挺频繁的使用的，但是有些孩子的话，现在还没有把它背下来哈，有哪个公式呢？第一个是求 k 公式啊，求 k 公式。第二个是长度公式， 也就两点之间距离吗？第三个的话就是我们的这个，你看第三个就钟点公式啊，啊，这三个公式属于基础的一个公式，快赶紧把它背下来吧。

嗨嗨嗨，大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下啊，二零二六啊，高考我们双题一摸，也就是危机摸，就帮你们排查一些危机的一道啊，解析大题。 哎，这道大题呢，我觉得出的挺好的啊，首先第一问就稍微有一点点心啊，我相信呢，同学们应该没问题，主要是第二问，他看第二问这题是不是太乱套了？嗯，给了几条直线，给了多少个点啊， 这时候咋办呢？哎，你知道我的导数吐实的第一句话也是时刻看透有何要？其实你在高考考场上，不管是多陌生的题，你看透有什么要什么， 你比如说咱们倒着看啊，咱们看要什么，是不是看直线 l 二过定点啊，这个直线 l 二是过 m 和点 t 的 一个点啊，那么你知道一条直线过定点，你可以把它写成，比如 y 等于 k， x 加 n 吧， 那你知道要么可以直接求出来 n 等于几，比如说 n 等于二，那它就过零。逗号二，这是初二的知识。要么最后得到 n 和 k 的 一个关联方程，比如说 n 就 等于 k， 那 么这个方程就变成了 y 等于 k， x 加 k， 你 是不是就知道它过 负一零了？所以就是说这道题还没做呢，我们不管条件多复杂，我们就知道， 哎，反正最后我们只要把 l 设出来以后，得到一个 k 和 n 的 一个方程，要么直接求出来 n， 要么求出来 n 和 k 的 一个关联式， 是吧，那就来呗。啊，其实没啥啊， ok， 第一问呢，各位，你们可以简单看一看啊，因为这个椭圆的啊，这样一个面积，就是当点 i 在 这的时候，是不是啊，也就是二分之一乘以二， c 再乘以 b 的 时候 啊，也就是 b 乘以 c 啊，它的面积是四，然后呢，包括它的 f 一 f 二的距离最大的差，哎，就是这个点，到这的时候，这个减这个也就是二， c 就 等于四， c 等于二，很简单就出来了啊，来，咱们看第二问，第二问呢，首先 各位啊，来个往上挪一挪，也就是说我们哎，可以先把 l 二的直线射出来，刚才说了 y 等于 k x 加 n， 我 们就虽然这个条件比较多，咱们一点点的用， 各位啊，咱们一点点用，把这条件都用上，化点化点，答案就出来了啊，但是中间啊，待会会有点困难，我慢慢给你剖析剖析啊。首先呢，各位， 咱们先看一看，然后呢啊，直线 l 二，也就是说和椭圆的焦点是 mt， 咱们可以设 mx 一 y 一 t 是 x 二 y 二，是吧，然后标准的解答形式，然后呢得到解答，包括判别式也要说一下， 然后到这以后呢，各位啊，咱们把前三分算达到了，然后接下来我们就要想办法哎，得到 k 和 n 的 一个关联式， 然后呢，这个时候大家看一看，我们有哪些限制条件呢？是吧？比如说 这里边有个关键 b t n 三点共线，那么咱们就有义务去表示点 n， 对 不对？咱们就得表示点 n 啊，然后表示点 n 的 话呢，哎，各位请看啊，咱们这里边哎，我把这个这个这个图给你们剪下来啊，带着你们一块看啊， 好，咱们一直看着这个图啊，那么大家看一看， 首先 m p， 它首先都在 l e 上啊，大家还记得 l e 的 方程吗？是二分之根号二 x 加 m 啊，然后呢，所以 m 和 p 都在这个上边，所以带进去用上条件，我不管直这个条件，这里边直线有多少有多乱，反正既然点在直线上，就带入呗。 另外呢，因为 p 是 m n 的 中点，各位，所以二倍的 x p 减去 x m 是 不是等于 x x n 啊？二倍的 y p 减去 y m 是 不是等于 y n 呢？哎，所以咱们这样的话呢，把点 n x 横坐标，纵坐标就表示出来了，对不对？好到这有同学可能就迷茫了 啊，这里边我们会发现里边有 k 是 吧，然后呢，还有 m， 还有 n， 乱七八糟啊。对，那么这个时候啊，你看这里边 k 是 吧？ n， 然后 m， 那这个时候我们应该怎么办呢？各位，记住一点，只要你迷茫了，你马上确认，就是说你想干什么，你要什么，你到底要什么？时刻明确有何用 啊？时刻看透有何用啊？各位，然后呢，那么咱们就知道，咱们是要求 k 和 n 的， 所以咱们只需要把 m 给削了。 各位啊，咱们只需要把 m 给消了。哎，你比如说，因为这个点 m 在 l 一 上，同时呢，点 m 还在 l 二上，咱们都会发现，哎， y 等于 y， 所以 这个式子等于这个式子，这样的话， m 就 等于它了 啊，虽然看上去有点长，但是抄就行呗啊，每个字母都挺好抄的，这样的话，我们就把 m 等于这个代入到 y n 里边，把 m 啊，等于，哎，这个带到 y n 里边以后，就变成这个式子了。好，那么最后一步我们就是什么呢？我们就是因为 b t n 三点共线啊， b， t， n 三点共线，然后呢，我们就是，哎，列出来一个最基本的这样一个斜率 是吧？ k b t 等于 k b n 啊，那么这个时候我们就可以接下来整理这个式子就行了，当然这里边呢，这道题锻炼大家的抄写啊，耐心专注的抄写，其实你只要自己不着急，你会发现每个字母都挺好抄的，每个数字都挺好抄的 啊，然后呢，你就抄写，然后整理到一定程度，大家看 x 一 乘以 x， x 一 加 x， 整理成尾答形式了，然后我们就代入尾答， 然后呢，就得到这样一个很长的式子，各位，因为我们这次模拟考试叫微几何，就是想摸摸你的性子，想提高一下你解析的计算的韧性，你看啊，那么这种情况下，我们这么长的式子，你要有耐心的抄，整理完以后，各位，我们呢这道题出的还特别的恶心， 就是你会发现这里边有 n， 有 k， 对 不对？一个二元二次方程，这个时候你可以把 n 当成主元，然后用 k 去表示 n， 然后这样的话呢，因为这个方程咋解啊， 有的时候不好看，这分解因式就可以应用求根公式，先求来判别式，然后用求根公式，然后得出来。哎，这个这个时候有一个很重要的点，你能不能想到前提确认 啊？你要能够写到这来这么麻烦，你还能想到前提确认是吧？因为人家说了 m 和 t 均异于 ab， 也就是说直线 l 二根本不过 a 也不过 b 啊。那么如果你这时候还能想着前提确认，各位，我们这次微积分就是想帮你排除各种危机 啊，那么你会发现，这样的话，等它的时候我们还要想一想，看看是不是过点 b， 所以 这样不行，然后呢， n 等于负四， k 的 时候，它就是 y 等于 k 倍的 x 减四，直线过定点四的号零。各位啊， 那么这道题是不是危机重重啊？第一个看上去这个题直线好多好乱，这个危机老谢是怎么帮你排除的呀？ 不纠结于这个题目有多乱，而就看他不就过定点吗？直线过定点是吧，主要有两种情况，一种是常数项是吧，定值求出来，要么就是他俩之间有关联性 啊。然后呢，我们，哎，设餐啊，设出来现餐以后该往下坐，该往下坐，然后呢，中间又一个危机，这里边有仨字母，各位，我们这个危机啊，这次危机帮你排除，万一有好多个参数，你知道怎么办吗？永远知道， 始终看透啊，就是有何要你要什么，你要得到 k 和 n 的 m 是 个第三者，把它给删了，然后再用 这样一个简单的啊，就是这个三点弓箭，然后我们就化简化，简化简，然后这个式子虽然这么长，但是老谢说那句话了，抄起来并不难呀， 之所以觉得长长是一个纯粹的主观啊，你如果相对于更长的，你还觉得它短呢，所以一定要让自己 突破那种心魔啊。然后呢，到这以后再帮你排除一个危机，如果二元二次方程很麻烦怎么办啊？有的时候就别那死抠分解一式了，你可能看五分钟都抠不出来，你不如直接判别是两分钟搞定了 啊。最后一个危机就是咱们顶级高手才能做到的，写了那么长的式子了， 下边还有两道题，可能导数跟新一还在后面呢，你这时候还能想着再回到题目中看一看有没有什么前提的限制，发现 mt 都异于 ab， 你 然后排除一种情况，你拿满分，你告诉我你厉害不厉害？ 好啦，各位要想在高考前排除各种危机，可以来双题找老谢。

几何快、代数稳、新定义，还能提智商？ hello， 各位同学们大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲的是我们初三下双提临模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，我们给大家精心设计了一下他的易错点啊，我相信是不是有同学掉坑了，对吧？哎，这里向我是想提醒大家的是什么呢？这道题呢，从整体来看，他的问法上还都是比较常规的，对吧？非常符合咱们今年中考的一个命题趋势以及命题考点。 其次就是我们在里面添加了两处的易错点，也是想给同学们提醒是吧？如果今年中考带中并不是很难啊，很常规，那他一定会给你挖坑，否则他 凭啥叫压轴题对不对？压轴题就是要么有点难度，要么有点易错，是不是？哎，所以这道题我们就想给大家提醒啊，函数题他相比几何而言，思路上可能没有那么难啊，只要大家做好基本的画图，哎，基本的列式子就都能搞定 啊，但是重要的是你能不能 get 到这里面的易错点啊。好，那肖老师来大家挖一挖， ok， 来，首先他说的是 在平面坐标系中，抛物线的对称轴是 x 等于 t 啊，肖老师反复告诉大家，如果你想做函数题不丢分，你一定要做到双控态。什么意思？就是我读到每一个条件啊，我读到每个条件，我都要去画图加 挖柿子，对不对？你既要从图像上去掌控，你也要从柿子上去掌控啊，每个条件咱们都双控。 那肖老师看一下这个抛物线，他说 a 小 于零啊，开口是向下的对吧？这是从图像上去掌控，开口向下，然后他说对称轴是 t 啊，对称轴是 t， 肖老师标上了， ok， 然后我这就是从图条件上去掌控，对不对？那我还能从柿子上啊？ 从式子上，它说对称轴是 t， 那 我不就能得到一个对称轴是负的二 a 分 之 b 吗？也就是能得到一个关于 t 和 a 的 一个关系式， 对不对？那你说 a 小 于零？各位同学，他俩既然是一个关系式，那你 a 的 范围知道，那 t 的 范围知不知道？咱俩是一根绳绳的蚂蚱呀，对不对？同学们， a 的 范围都知道了， t 的 范围还远吗？ a 的 范围都知道了， 那就可以通过关联，那可以求出 t 的 范围啊，更何况同学们这道题他让你求的就是 t 的 范围，所以我猜很多人第一问就是掉价了，对不对？第一问其实挺简单的，但是你们没做对，那为什么呢？因为你们没有注意到这种参数之间的这种关联性 啊，有这个呢，也是肖老师给大家讲的，除了注意参数间的关联性，另外就是前提确认对不对？这个 t 他 有没有前提 t 没有，但 a 有， 对不对？但是 a 和 t 有 关联，所以 t 也有，是不是？哎，所以这就是肖老师给大家讲的五确认当中我们的前提确认，哎，是吧？好， 那所以这道题根据那我这个式子啊，同学们，像这种类型的式子呢？肖老师一般给他起名叫倒三角形的分式，那他是一个倒三角结构，咱们可以做一个分拆，哎，给他分拆成，他除他就得 二，对不对？然后他除他就得 a 分 之一，然后注意前面这个符号，所以就得这个了，那你会很明显的发现，因为 a 是 负的，对吧？因为 a 是 负的，所以这个人就是大于零的啊，小于零的，对不对？这一坨小于零，那这一坨就大于零， 那这坨大于零，它加二呢？是不是大于负二，对吧？所以我们就发现了，原来这个式子它是大于负二的，这就是这个题一个超级无敌重要啊，并且需要同学们去挖出来的一个前提条件 啊。好，然后接着下面题就不拿了，应该到你们的舒适区了，是吧？点 a 负二到外一，我不知道标哪啊，但是其实我知道点 a 是 负二到外，因为咱们的对称轴是大于负二的， 咱们的对称轴是大于负二的，是不是？所以其实我也知道啊，因为这个人大于负二，所以咱们的负二到外一肯定标在轴左， 对吧？然后这个人是 t 加四， t 加四，因为对称轴是 t， 所以 t 加四肯定标在轴右， 对吧？ t 加四肯定标在轴右， ok， 然后他说两个不重合，不重合，其实这里也有一个前提条件啊，不重合，那就说明 t 加四 不等于负二，是吧？也就是 t 不 等于负六，哎，这里也有一个前提啊，且抛物线与 y 轴交于点 c 啊，点 c 零到三，是不是？若 y 一 大于 y 二啊，那就是让 这个点比这个点高呗，对吧？那怎么能让它比它高呢？那说白了就是这个负二啊，我可以把这个人对称过去，是不是？这个的对称点应该是 t 减四啊，你想让 y 一 比 y 二高，那说白了就是这个负二，它得在 t 减四和 t 加四之间，它就能比这个人高了是不是？那肖老师就列一个负二在 t 减四和 t 加四这两个点之间，哎，在 这个点和这个点之间，那就能解出 t 的 范围，再结合我们的前提条件， t 还得大于负二，所以最终答案就是负二到二 啊。好，这就是这道题的第一问啊。第一问，主要就是它这个 t 有 一个隐藏的前提条件，所以希望大家一定要做函数题的时候注意两个点，一个就是同参之间的关联性啊，因为 a 和 t 是 有关联的，所以有了 a 的 范围，那就有 t 的 范围了 啊。其次就是这个也是一个前提确认啊，求替，那我就要看替还有没有隐藏的限制，对吧？挖出前提。好，这是这个题的第一问。嗯， 好，再来跟肖老师看一下这个题的第二问啊。第二问，同学们，估计一看这条件有有一点小蒙，是不是，哎，这问法什么东西啊，什么角加角得九十啊？同学们， 你说说，他给我这种条件，说白了让你干嘛呢？同学们，这条件看起来确实烦，一个函数题怎么给我干个几何条件呀，对不对？真讨厌！ 哎，同学们，你放心，再复杂的几何条件，你也得给我倒成函数条件，我不可能在一个函数题里玩玩这个几何游戏吧，对不对？我不可能在那搞造全等吧，是不是？所以他给你一个角度的关系，说白了就是让你去干嘛？倒角呗， 对不对？你就倒倒角，倒倒角一定能发现一些函数上的一些关系，对不对？比如说相等的边呀，相等的角啊，哎，这样咱们就可以列式子了。好，那咱们看看，一会看看这个题怎么倒啊。 好，先看条件啊，同学们，他说若外一等于外二哦， ok， 现在外一等于外二了，所以这两个点是对称的了，对不对？那他俩对称，那相加除以二就应该得对称轴 啊。他俩，他俩是对称的，所以相加除以二就能得对称轴，所以这样的话，我们就能算出他的对称轴，应该是啊，二，对吧。哎，他俩的对称轴应该是他的对称轴，应该是二，我们就能算出这个 a 的 值了啊，我们就能算出这个 a 的 值了啊。这个对称轴就是他俩相加除以二得 t， 嗯，二分之 t 加四减二等于 t， 我 们能算出啊， t 等于二， t 等于二，那就是负的二 a 分 之 b， 这个式子等于二，就能算出 a 了。所以这个抛物线它是一个确定的抛物线 啊。好，画完确定抛物线，它说 p 为抛物线上一个 bc 之间的一个动点啊，注意前提确认啊。 p 是 这个哎， p 是 这个抛物线 b c 之间的一个动点，是不是？这里注意前提确认，说明这个 p 在 b c 之间动 啊。也就是说这个 m 的 范围应该在零和六，对吧？这个与 s 轴交界，你可以算一下六啊，所以这里也都属于前提条件啊，每个条件都要去挖限制 啊。点 p 的 横坐标在零和六之间，然后他说过点 p 做一条竖线，然后交直线 bc 于 q， 然后交这个人于这个，哎，交距线，然后连接 c p， ok， 连接 c p 来开始标图，同学们 跟着肖老师开始标起来角 c p q 啊，肖老师设这个角是点加角 a b c 啊，它现在点加叉得九十，对吧？那接着倒啊，各位同学， 这个点加这个叉是九十，那我很明显能发现什么呢？我很明显能发现这个角貌似也是点，是不是，对吧？因为点加叉是九十吗？这个三角形也是个直角三角形呀。 好，那坐到这之后呢，还是没发现什么几何体继续标这个角是点，那这个角就也是点啊，因为平行嘛，对不对？这个角也是点，那根据对顶角，这个角也是点，哎，好像发现一些东西了， 对吧？通过这个条件，目前肖老师发现了这俩角都相等，所以 cp 等于 c q， 发现了吗？ cp 等于 c q 发现一个等腰。有同学说，老师啊，这个等腰有什么好用的呀？ 斜着确实不好用啊，你记住，在坐标系当中。同学们，在坐标系当中，斜着的线确实不好玩 啊，我不喜欢斜线。什么是好玩的？横平竖直是最好玩的，对不对？我喜欢的是横平竖直的线，所以我要努力的去构造一些横平竖直的线出来，哎，所以我可以怎么着？ 因为我知道等腰三角形有三线合一的性质，是不是因为等腰三角形的三线合一，所以我可以构造一个横平竖直的线，我可以在这给他 哎，给他嘎一刀， 对吧？哎，在这嘎一刀， 你就会发现啊，这就是一个等腰三角形三线合一了。那如果肖老师啊，如果肖老师设这个点的字母为 e 的 话，啊，那你们很明显发现 这两条边就应该是相等的，是吧？ p e 就 应该等于咱们的 q e， 是 吧？三线合一嘛。接下来呢，只要你把握住了，横平竖直最好算。做出了这个 e 之后，你接下来就是一个纯纯玩坐标的环节了， 对吧？你就从这线上去搞搞坐标，搞出一个等式，你不就能把 m 解出来，那点 p 的 坐标不就搞定了吗？是吧？因为点 p 的 横坐标就是 m m 带到这个解一日就能算出纵坐标，所以其实求 i 写出点 p 的 坐标，说白了就是让你求 m 的 值， 对吧？所以你就需要一个 m 的 等式，所以一定是基于这里的边的关系去得到一个等式。那咱们就搞一搞呗，比如说像这个 p f 的 长是不是很好算呀？ p f 的 长就是把 m， 对 吧？这根线不是 m 吗？带到抛物线解析式就算出来了啊， p f 的 长就是它， 对吧？然后这个 q f 的 长是不是也很好算呀？就是把 m 带到直线解析式就算出 q f 了，对吧？然后我们又知道这个长度应该是三，是吧？咱们又知道这个长度是三， 所以这个 pe 和这个 q e 也很好算，就是用三减 q f 就 行，是不是？哎，那咱们把这 pe 和 q e 也算出来，就是三减 q f， 哎，就得到一个这个，那就每轱辘你都有了，你就列个等式呗，这等式你怎么列都行，对吧？比如说肖老师列的呢，就是说我让他用这个三啊，用这轱辘三， 然后呢？加上这轱辘二分之一 m， 然后等于整个，哎，我就这么列的啊，你怎么列都行啊，我就用的是三，加上那个二分之一啊，三 加上二分之一 m， 然后就等于这整个的啊，等于整个的 p f， 然后你就可以解了，这式子也超级无敌好解啊，解出来两个答案，一个是 m 得零，一个是 m 得二。那个零肯定是不行的啊，因为 m 如果得零的话，它这个时候的点 p 啊，就跑这来了， 对不对？哎，这个时候 c p 就 c p 就 跑这儿来了啊，你都没法形成一个 c p q 这个角了，其实对吧，啊，那就不对啊， ok， 所以 零是不行的，那只能是 m 得二啊， m 出来了，那这个题点 p 的 坐标就出来了。 好，小结一下这个第二问啊，圈一啊圈一，各位同学，这一个条件乍一看真有点吓人对不对？还给我整一个什么角加什么角，得九十。但是我告诉大家，在函数题当中，凡是跟你这种角的关系，你就倒， 肯定就让你倒角的，你就倒，倒，倒肯定能倒出一些边的关系啊，倒出一些边的关系之后，我们基于横平竖直最好玩，那我们基于这个等腰三角形，对不对？咱们做了个三线合一是吧？哎，做了个三线合一，给它弄成横着的，然后就开始玩坐标就可以了。 好，这是圈一。来，再给肖老师看一下这个圈二。嗯，好，圈二呢，这个问题呢，同学们应该还是蛮熟悉的，是不是就是咱们最近非常的流行的这种待几综合的类型啊，也是画图 好，他说将直线 l 向右平，直线 l 就是 随便一根竖线啊，是吧？就跟他说了啊，直线 l 是 在 bc 之间的一根竖线，所以这里还是有那个前提确认 啊，就是 m 必须得在零到六之间啊，因为它在 b c 之间动，也就是说这根线 啊，肖老师，画长一点，用一个粗栏啊，它只能在零到六之间动啊，它只能动到这，从这开始。咚咚咚咚咚咚咚咚咚，只能动到这啊。然后呢，它又说，把它向右平移，三个格啊，它俩之间差三个格。 ok， 这个人是 m， 这个人就是 m 加三，是不是来肖老师标上啊？一个人是 m， 一个人是 m 加三，那他俩就是从这开始这样子去，咚咚咚咚咚咚咚咚咚，最多咚到这，是吧分别啊，肖老师，随便先画一种分别，交 抛物线直线于 m 和 n 啊， ok， 刚才呢，是交于的是 p q 是 吧？刚才这个是 p q 啊，一定要看准了这个字母。同学们，有的时候他就喜欢在这跟你玩点字母游戏，是吧，一定要看准了这个是交抛物线于 m 啊，交这个人于 n， 好，然后他说，当四边形 p q n， m 的 面积啊， p q n m， ok， 就是 这个图形啊，这个图形的面积。 好，这个图形的面积。他说呢，随着 s 随着 m 的 增大而增大的时候，求它的曲值范围。 ok， 那 既然你跟我玩面积，那我就先搞这个图形呗。 那有同学可能会纠结，老师，这个图形一定长这样吗？有没有可能会有多种情况呢？那你怎么能知道它到底有几种？同学们，你怎么能知道到底有几种情况？ 那就是一招全面、细致、有序动啊，你只要动，你就能知道。 所以这道题我们就动起来看啊，就把这两根线动起来，我们会发现，他俩从这开始动， 那都是长成这样，是不是？嘚嘚嘚，你看，都是长成这样的一个梯形，是不是都是现在的这样一个梯形？梯形，梯形，梯形，梯形，都是这样的一个梯形啊，都是这样的梯形，直到他跨过这，哎，好像稍微有点改变了，对不对？哎， 到就这个，因为感觉拧了一下，对不对？哎，等会咱们可以画一下啊，这是第二种，那后面咚咚咚咚，那就都长这样。所以这个题通过效应有系统会发现，就两种，要么长成这样，要么过了这就拧一下，对不对？所以这个题就两种情况，要么就长成这样，要么到过了这之后拧一下， 后面就都长一样了，是不是？所以你看，只要你有序动，你根本不担心这个题漏。情况好，那咱们就先做这个第一种，好吧，同学们，哎，咱们就先做这个第一种啊，那肖老师把我这个丑图挪到挪，挪走啊，我把那个美丽的图像挪过来，哎， 我把这个美丽的图像挪一挪啊，这个图好，就是这样的一个梯形，对吗？家人们，哎，就是这样一个梯形，那咱们就先写这种情况啊，注意，只要分类讨论了，一定要先写前提条件。同学们啊，一定要先写前提条件， 所以咱们先列前提啊，就是当这个啊， m 和 m 加三这两根线都没越过，这的时候，对不对？都在零到六之间是吧？当 m 和 m 加三都在零到六之间，那这个时候咱们解得 m 的 范围， 哎，然后这个时候呢，因为这是个梯形，那梯形的话，咱们怎么表示面积呢？就应该是上底 加下底乘以高啊，这个高你们能看出来它就是三，看见了吧，这个高就是三啊，上底加下底乘高除以二啊。那首先咱们得先算算，上底 就是咱们的 m n， 是 吧？哎，肖老师在这上的算的上底，那就是用它减它啊，把 m 加三带到抛物线解析式，把 m 加三带到直线解析式，做叉，哎，就能得到这个数字，是吧？对，这个数，这个数， 然后下底就是咱们的 p q 啊，那就是把 p 带到 m 带到抛物线解析式，把 q 带到直线解析式啊，就能算出咱们的下底， 那咱们就可以直接玩式子啦，上底加下底乘高除以二是吧？把上底嘚往里一带，把下底嘚往里一带，然后高是三啊，然后把这个式子整理一下， 整理一下，哎，得到一个这个式子，那这个式子你要想找他什么时候最大家人们，那这个式子是一个开口向 下的抛物线，是不是他的对称轴是二分之三啊？那注意范围啊，人家就研究咱们这个情况，就研究零到三，那他在零到三的时候，什么时候能一直在增大呢？ 什么时候你在增大呢？那肯定就是嘚嘚嘚嘚，零到二分之三，是不是做一个取等确认啊？二分之三是可以取等的。嗯， 这就是第一种情况是吧？哎，好，再来看咱们的第二种。就刚才向老师说那拧麻花了，他转过，他过了啊，当他们这个 m n 过了六之后，他就拧了一下，你很明显发现拧了一下，对不对？ 有同学可能会感觉啊，拧了一下怎么了？拧了一下，这图形也没变呀，还是上你家下底乘高除以二啊。 是的，你不仔细看，他确实没变，但是你仔细看一下，因为他那个抛物线和直线发生了一个反转，所以 m 和 n 的 这个位置发生了反转，所以这个时候他的四边形是什么？四边形 是 p q m n 啊，就已经不是 p q m 了啊，是 p q m n 了啊，各位同学，是 p q m n 了啊，我告诉大家，所以这个时候也要注意哦，这个情况就是算都不用算，直接宣布他不合体了，肖老师出的善不善良啊，根本就不用你算了啊，有同学可能会说，这么阴哎，确实啊， 这个呢，首先，他不是一个什么阴间的考点啊，他虽然在函数题当中讲实话考的不是非常多，但是他是新定义问题的常客啊，所以这个就提醒大家这个考点。其次，肖老师也想提醒大家对字母的严谨性 啊，我是希望通过这么阴的一个设计，让大家能够感受到精读的重要性啊，因为说实话，如果今年中考考的并不难，那咱们怎么能跟别人拉开差距？ 那不就是因为咱们比别人看的更仔细吗？对不对？咱们比别人讨论的更全，咱们别人看的更仔细更精读，是不是那咱们就能跟别人拉开差距？ 所以，凡是做到这道题的同学，肖老师希望通过这个题提醒你，今年中考做题啊，一定要有火眼金睛啊，每个字每个条件都要当成珍宝仔细去看啊，你一定能拉开跟别人的优势。

大家好，我们用这个视频讲解一下二零二六年深一模的第十八题的最后疑问。上一个视频我们已经知道这个 a 的 范围有两个零点，是 a 的 范围，是属于零到二倍根号二， 那当然最后疑问要用到这个。好，现在我们来分析一下最后疑问，它要证的是 f x， 那相当于是要得出来的就是 f x， 它肯定会小于等于 f x 的 最大值，所以我们只需要得出 f x 最大值，小于题目给的二除以根号 a 方加一减一。 当然了，这个东西我还可以用这个分母有理化看一下，它化简之后应该是根号 a 方加一加一除以 a 方。 好，所以我们就知道我要正的就是 f x 的 这个最大值小于一个关于 a 的 一个这样的式子。 好，这就是我们大致的思路。那现在我们我们第一步要干嘛？当然就是通过导数去求 f x 最大值，我们先把第一件活给干了。好，那现在我们就来求一下，求 f x 的 最大值。好，那当然毫无疑问我们先啊求导了。 好，求导我就不细求了，我直接求完导之后，并且通分得到。这个好，三、零 f 配 x 等于零，那么就得出二倍根号 x 零加一等于 a 倍 x 零。好，这个式子可以帮助我们去求出极值点 x 零。 还有一个，其实它是可以进行什么消元的，你消谁呢？这里消 x 零也可以，消 a 也可以，是不是你消谁都可以，反正一个等式可以消掉一个字母，所以它这里还有一个消元的功能。好，那现在我们把这个零点求出来， x 零 等于，我们知道这个 x 零肯定大于零吗？只能取什么这个正的，就减号这里它就是负的，所以我们只能取正的，这个才是大于零的。那我们就发现这个东西和题目给的这个，刚才我们有理划一下，发现是一样的， 也就意味着什么？意味着其实这一个整体，题目给的这个整体就是 x 零。好，那我们就猜一下。哎，那相当于，那这里你不是要占的是这个 f x 的 最大值吗？那我们猜一下，肯定就是 f x 零， 这里呢就是 x 零，是不是？哎，所以其实我们接下来第二个思路应该是要找到什么 f x 零，就是把原来的这个不等式转化成 f x 零小于 x 零。好，估计第二步就要看这个事。好，我们第一步现在还没干完，再回到第一步，先求 f x 最大值。好，你要求 f x 最大值，要确定这个导函数的这个草图。 好，那现在我们来画这个导函数的槽图，也就画这个 f x 它的槽图，我们只需要看这个核心函数，也就分子这一部分，因为分母它肯定是正的。 好，那你现在看到这里，我们画它的槽图，这里有一个零点，确定它这个正负，把 x 取零的时候， 可以带入到这个分子里面去，发现它是正的。好，所以它在临到中求的草图可能就是这样子，是不是？好，所以我们这个草图画出来，这就是 fpx 的 草图。好，所以我们就可以写一下它这个单调性。好，那由此可知 f x 的 最大值就是谁了，就是 f x 零，是不是？那现在我们把它带入，那就把 x 零带到 f x 的 解析式里面去，也就是 long x 零减去 a 倍根号 x 零加一再加四。 那刚才我们有分析第二步应该要证什么呢？证明 f x 零小于 x 零，这种就毫无疑问，你要去构造什么？ f x 零减 x 零小于零， 也就再把这里构造成一个新的函数，比如 p x， 是 不是大概就是这样一个思路？好，那也就是我们最后这里应该是构造成 f x 零减 x 零，也就是你构造一个什么关于 x 零的函数，所以你刚才这里面是带了一个 a， 对 不对？有一个 a， 那怎么办？你现在这里是要小于 x 零，像我们要正的是什么？要正的就是这个 f x 零等于零， x 零减 a 倍根号 x 零加一加四小于 x 零， 我们要证的就是这样一个不等式。好，那毫无疑问这个不等式我们得怎么样？说得去构造一个函数，也就构造一个什么函数呢？相当于是 f x 零减 x 零小于零，你可以把这里构造成一个 p x 这样一个函数。 好，但是你在构造这个函数之前，这里边不是带 a 吗？这个里面是带 a 的， 是不是？你要把它构造成关于关于 x 零的函数，是不是得去消 a 才能办到这个事情？ 那开始我们这个式子可以把 a 消掉，是吧？这里就可以消 a， 所以 我们就知道第三个活就要干什么？你要去消 a。 好， 消完 a 之后呢？第四个你再去构造函数， 构造好函数之后，再去证这个 p x 零是小于零的，总共就干这四个活就可以了。好，那现在我们干第三个活是什么？消 a， 那 就把 a 消掉，消 a 用哪个？用这个式子消 a， 好， 那现在我们把这个 a 给消掉，被认为 a 是 等于二倍根号 x 零加一比上 x 零， 那说消 a 了，我们说消谁，谁就放左，这句话很朴实，但是很有用，你消谁，谁就放左。先消 a， 利用这个式子，你就把 a 单独放左。好，现在要怎么样？把这个式子去代替上面这个式子里边的 a？ 好， 那现在咱们带进去。所以我们要正的不等式，就是这样子， x 零，好，把 a 消掉， 再加四减 x 零小于零，再稍稍化减一下。好，那现在我们就消掉 a 了，那接下来就要构造一个函数，开始我们分析的要构造一个 p x 函数，那现在应该也知道怎么去构造了，那现在就是令 p x 等于 long x 加二减去 x， 分 之二减去 x。 那 么要正的是什么呢？要正的就是这个 p x 小 于零。好，那当然你得知道这个自变量 x 的 范围，是不是？你得知道它这个单调性和还有这个自变量的范围， 那么这个 x 零它的范围是多少？从哪里找呢？还是这个 x 零不就在这里吗？ x 零就是这个东西，是不是？ 而 a 的 范围我们数知道是零到二倍根号二，好，现在我们打个草稿， x 零是等于二，除以根号 a 方加一减一，而 a 又属于零到二倍根号二， 所以发现 a 越大，可以发现这个 a 取二倍根号二最大的时候，这个 x 零就会最小， a 越小，这个 x 零就会越大，是不是？好，那现在我们把二倍根号二 往这个里边一带，可以发现，可以得出来这个 x 零是大于一的，你把二倍根号二往里面一带就可以了。好，其中 x 零等于二，除以根号 a 方加一减一。只大于一的。 好，里边可以标一下 a 属于零到二倍根号二。好，这样子就说清楚了。所以我构造这个函数的定义域，就写个 x 大 于一就好。接下来我们要求的是什么呀？我们要正的是什么？是 p x 小 于零。 别忘了啊，我们要正的是，我这里标注一下，这里不是过程，你要正的是 p x 小 于零，也就说你要得出 p x 什么最大值，小于零就行了。所以接下来又是把导数再转一遍，求 p x 最大值。好，那我们先求导， 求导之后得出来 p x 导函数是这么多，自己可以停下来算一下。好，因为这个 x 是 大于一的，所以来个加一是正的。那所以它的核心函数其实就是 x 减二。还有这个符号，你可以在草稿纸上画一个槽图， 相当于这样子了，这是一，这是二，这就是 p x 到函数的槽图。那我们可以发现 x 属于一到二时， p x 大 于零， p x 等于零， p x 小 于零， p x 减。好，从而我们就可以得出 p x 的 最大值，其实就是 p 二。 好，现在我们到这里面去得出， p 二为二减一，一就是幂一，很明显这是小于零的。好，所以最后你再说一下， 所以原不等式 f x 小 于二，除以根号 a 方加一减一是成立的。好，就搞定了。所以这道题咱们要做出来，其实基本功的要求还是比较高的。基本功的要求包括这个导数的计算， 导函数的作图，圆函数的作图，以及对于复杂的这种零点的问题啊，里面会涉及到一个什么交圆， 在后面还需要有一个什么构造函数，对不对？得构造了一个函数，再用我们基本的解决导数的套路问题去解决就可以了。那里边涉及到刚才特意提到了几个，比如这个消元的问题，谁你要消谁，谁就是放左。 另外还有个问题，容易忽略到 x 零的范围，因为你最后要证什么 p x 是 小于零的，所以你必须要知道这个函数的定义域。 好，那么这道题的讲解就到此结束。假如看不懂的可以多看几遍，因为中间会有一些计算，我是省略的，你可以停下来，先自己把它算出来，再接着看。

接下来我们一起来看一下二六年四月份市中一模的第十四题，这道题和历程历下考的以同一个类型好，通过读题我们知道哈， o a 是 一号飞机无人机， bc 呢，是二号无人机， 相交于点 p， a， b 垂直于外轴，它其实就想告诉我们， a b 与 x 轴平行， a b 的 纵坐标是一样的， a 的 横坐标是二十五。问，在第几秒的时候，一号和二号无人机在同一个高度， 在同一个高度就指的是它的纵坐标一样，那一定就是在焦点的时候，对不对？ 所以我们需要求 p 的 坐标，那要求 p 的 坐标就要去求这两个解析式，而其中 y 二我们知道了，就差 y 一 了， 差 y 一 就需要 a 的 坐标，而 a 的 横坐标呢，我们知道是二十五，纵坐标和 b 是 一样的，而解析式 y 二呢，是这个，所以 b 的 纵坐标就是零到一百五啊，所以纵坐标是一百五，那么 a 它也是一百五了， 对吧？所以 o a 的 解析式就可以算了，是 y 除以 x 是 k， 哈，所以是 y 等于六 x， 然后连立就可以了，就出来了哈。六 x 等于负四 x 加上一百五，所以 x 等于十五，所以这个题比较简单哈。

二零二六年的泉州市的中考第一次模拟考试的数学的试卷的一个分析，就是看看我们一般号称是中考风向标的 中考的一模考试会考些哪些内容，今年的中考侧重点又在哪里？我们先看一下原件，二零二六年的中考数学还是三大题型，选择题四道题十二分，解答题七道题七十二分。有难题， 那更多的是简单的题目，按照我们广西中考的一个出题的原则，基础题占到百分之七十，中档题呢，百分之二十， 难题呢，按照百分之十来区分 a 加的比例，我们来看下选择题。选择题这份易蒙的考试会偏简单，也符合了今年的出题的一个标准，就是让更多的人考及格。 选择题十二道题呢，基本都出在初一和初二，其中七年级的四道题，八年级的六道题，九年级的两道题都属于比较简单的，包括最后一道选择压轴题 也是一个送分题。填空题里面前面三道题也是个送分题，也就说你能够把课本的例题做出来，那前面的这十五道题都是能够做出来的。 十六道填空的压轴题呢，可以区分一下。 a 加出来了三分不多，但是一百一十和一百零七这个差别就出来了啊。所以难点在第十六道题菱形的性质和节点问题的一个内容，因为节点它是课本上面 不怎么讲的一个内容，菱形也讲的比较简单，这道题考察的我们同学的一个几何的综合运用和知识迁移的能力。解答题前面部分相当简单，十七题的两道计算题呢，基本属于送分题了。十九道题，这个统计的题目，只要把公式背出来，基本都能够拿下了。这十分 解答题里面的第二十道题呢，是一个我们练过好多次的这个二元式方程解决实际问题的一个内容啊，你练过这种题，你就不怕做不出。第二十一道题呢，是一个圆的综合题，考察我们对圆内的各个定律，辅助线公式的应用。 这道题呢，不是很难。压轴题二十二呢，是个平面直角坐标式里面的一个几何的压轴题啊，难括了到平移，从叠面积分段函数这一块的一个综合，就说包括了函数，包括了图像的变换，那属于一个综合。 就这种题呢，最怕的是同学们看到那种阅读的很长的材料题就害怕了，其实这道题耐点心，十二分，去拿一个八分是很轻松的。 最后一道呢，是个新定义的一个几何综合题，这道题是有点难度啊，出的也非常好。 新定义的题目考察了同学们的一个应变的一个能力，你看新定义题目，要求同学们在短短的几分钟内读完题，学一个新的概念，并且马上用出来。这就是我们教育改革里面的最重要的三个核心，就是发现问题、提出问题和解决问题的能力。 这类题呢，有些省份会占到两道题，但是我们广西还是只有一道这样的题目，所以对考生还是比较友好的。那这道题如果沉不下心去把这个新的知识整理归纳出来， 那你是很难做的出这道题的。好的，那这个试卷分析的详细的内容我已经整理出来放在我们的中考群里面了，还有继续去刷展就可以了，初一初二的同学也可以参考一下，特别是初二的同学。

南海区初三数学一模，最后三个大题全部被我猜中了！二四年的中考新题型，二五年中考的压轴题，黄金比例作图，在猜题这一块我就没输过。南海区一模难不难？更何况一模比谁更接近中考的难度呢？ 知道你们很着急了，整理好了拿去吧。先看选择题，一到九呢，都很经典的，没什么难题。第九题，还是二一届的长城区期末考真题的改编呀。第十题，新定义运算也不难。填空题呢，十一到十四都是送分的， 十五题，把无限循环小数改为分数的形式。哎，这个难呀，把初一的基础内容改成难题，就有点二五年中考二十二题勾股定律那个感觉了。基础解答题，十六题是个常规计算，十七题呢，先选条件，再做证明题。这个上周我们刚讲过。二五年中考的新题型啊。 第十八题，也是常规的应用题，这三题二十一分都不难。第十九题，条件型尺规做一半吧喂， 面积比一比二，但相似比是一比根号二呀，所以要先用 a o 做等腰直角三角形，得到一比根号二的比值，你再做弧易错题啊。二十题，统计与概率。第三题呢，根据数据写出排名，跟二四年的广东省中考很像，难度不大。但是呢，估计八十分左右同学会很犹豫的。 好了，从二十一题开始，这是你们的难题了。但是呢，估计八十分左右的同学会很犹豫的。好了，从二十一题，在反比例函数这里，弯道开车一模一样吧。 二十二题，几何折叠一个四边形，再拿线段乘比例，没少做吧。最后一题，二十三题，函数新定义问题，不动点函数一模一样啊，从一次函数考到反比例函数再到二次函数，我给学生做的那个还多了一个小问呢。 好了，论猜题呢，我是从来没输过。越早遇见就越幸运了。各位同学们，等你们好消息啦！整理好了，要的来拿吧。

来吧，第一题，噔，集合它噔，所以它俩相交等于二捏，好像对了哈。嗯，不错。第二题，若 a 大 于 b， c 属于 r， 那 么它俩相乘呢？哎，不一定啊，万一 c 是 零呢，对不对？这不就废废了吗？所以不对啊。 嗯，函数 y 等于 sin， x 是 奇函数，对了， sin x 就是 奇函数啊。第四题，三的多少次幂等于九，哎，三的二次幂等于九，所以它等于二。嗯，三的多次幂等于一三零次幂等于，所以它等于零。二加零等于二啊，不能等于三，错了，非常棒。 第五题，点 a 在 直线上。哎呦我天呀，那你把它带进去，看是不是把 x， y 带进去。 y 是 二啊，一减二得四加四能等零吗？不能等零啊，等于一啊，所以不在它上面。 剩余派等于零。哎，这个看对不对啊，很多孩子都不知道剩余派等于多少了啊。对啦，非常棒啊，剩余派就是加呗加呗。对了啊，非常棒。 第八题，还求平均数啊，平均数自己求啊，嘎嘎嘎，加一块啊，除以一二三四五六除以六，结束了啊， 但是你也可以巧妙的算啊，你看看看。嗯，它中间值大概是九十五，然后， 嗯，补补一补啊，他要去掉个三，他要去掉个一看看。是不是啊，你们自己算啊，这种没啥技术含量啊，就无非就是算一算而已啊，九十六是吧啊，答案应该九十六啊，所以不对啊，来穴位上难度点了啊， 他要大于等于零对不对？所以 x 要大于等于一啊，他要大三减 x 要大于零，所以 x 要小于三，所以选 a 啊，大于等于一小于三啊， 三的不能带那个啥啊，非常棒啊，你们可以啊。嗯，说明定义会了啊。来看第十题选哪过该圆的圆心坐标。第十题选哪个 圆心坐标圆心什么呀。坐标是负二分之 d 都负二分之一，记住，都是负的啊。所以 d 是 负二把负二一带负一带呀，是一了对不对？ e 没有 e。 错了错了错了我错了我错了我看错了，不是你们错了，是我错了。负二分之一等我负二分之 e 啊。 d 是 零没有 x 啊，你看你看，这是零了啊，前面是零啊， 然后 e 是 负二啊，一月一啊，零度一啊。选 c 啊。是我错了啊，不是你们错了， d 是 x 前面系数啊，来 x 方加 y 方加 dx 加 y 加 f 等于零啊。 d 是 x 前面系数， e 是 y 前面系数啊，刚才看叉劈了。刚才你看这是 y 是 吧。 x 没有没有就是零啊， d 就 零了啊，所以 d 是 零， e 是 负二，对不对啊？ e 是 负二， f 是 负三，对不对？已知 f 等于四分之五派， e 四分之五派不就是派 加四分之派吗啊，那不就很明显的第三，这，这是零，这是二分之派，这是派派再加四分之派，再往前走，这不很明显，这是四分之五派。第三项线啊第三项线啊，好，十二题， come on baby， 十二题 竖列是等比，竖列了看清题等比了。公比等于啥啊？一乖乖，公比 q 就 等于什么 a 四，哎，不能这样不能这样啊不能这样啊。哎，我们的什么 a 公式是 a， n 等于个 a 一 乘以个 q 的。 什么 n 减一啊，所以 a 四就等于 a 一 乘以个 q 的 四减一四 n 是 四了吧。四减一三啊， a 一 是一就不用管它了啊。所以八等于个 q 的 三次方，所以 q 应该等于二啊， 非二莫属。二 b very good！ 十三题，已知球的半径是三三，那那球的体积呢？ v 球这个公式你得记住啊， v 球等于三分之四 pi r 立方，所以等于三分之四 pi 乘以三的立方二十七啊， 再约一个，三九二十七，四九三十六啊，所以四 d very good！ s 球球的表面积是四派 r 平方，平方平方，一个是立方，一个平方。记住啊，不要记混了，把这个公式赶紧截图啊， come on baby 啊， 好，十四题填空题，求值问题，直接带啊，但是需要注意啊，这里面会出难题的啊，如果只有 x 的， 那就直接带，如果不是只有 x， 可不敢直接带啊，详情请看老师的大招啊。 这只有 x， 那 就直接带啊。二减一一的平方还是一？一加三等于四，结束第十五题， 点 m 点 n， 终点坐标呀，终点坐标永远是二分之 x， 一 加 x， 二逗，二分之 y， 一 加 y， 二啊，结束了啊， 所以他加他零，零除以二还是零？嗯，他加他四四除以二是二，零逗二啊，终点坐标啊，终点坐标是这俩货坐标的，这不是 x 一 x 加 x 二倍除以二， y 加 y 除以二。是加法，不是减法啊。来斜率，十六题会了，把它移过来，斜率 y 等于个 k x 加 b， 斜率就是二啊。那好， 事件以对立事件。什么叫对立事件和独立事件？对立事件就。哎，他俩就跟扔个硬币啊，要么正面朝上，要么反面朝上，就这两种啊，所以他俩对立事件对不对啊？没有第三种情况啊，所以他俩，而且他俩相加是横等于一的啊，所以那啊，二零点八啊。 咦，还有个解不等式主啊，解不等数主，简单啊，前面这个 x x 一 三符号加在三上说，所以它其实就是 x， 什么加一 l 要这样要这样分啊，乘一个 x 减三啊， 小于零，然后他的一个根是谁啊？负一一个根三啊，小于取中间啊，所以负一到三。好，这是第一个解完了， x 减二大于零，也就 x 大 于二啊，二在这啊， 再大于二， ok， 不 等式主一定要取交集啊，取什么叫交集啊，双杠杠部分就交集啊，所以它的解集就是什么呀，二斗三啊，用小括号括起来就行了啊， very good！ 来十九题讲个小大题啊，来看啊， 等差数列 a 二有了 a 六 a 八相加等于十四，那通向通向，我们就知道什么 a 一 和等差了吗？ a 一 和 d 就 行了吗？对不对啊？ 那列两个式子就行了， a 二就是 a 一 加 d， 对 不对？他是等于二了。 a 六 a 六是 a 一 加几 d 啊，加五 d 来了，老弟啊， a 八是 a 一 加几 d 七 d 来了，七 d 啊，有葫芦娃的来了，等于十四，对不对啊？所以就相当于 a 一 加 d 等于二，这个边是二倍的 a 一 加 十二 d 等于十四啊，约个分啊，约个分啊，都约个六啊，都约个二啊，齐了啊。也就是啊， a 一 加六 d 是 等于七 d 啊，这边是 a 一 加 d 等于多少了，能懂了吧，你可以啊， 二是减一式，一减 a a 抵消了啊，有五 d 等于五， d 就 等于一，对不对？ d 等于一了，那 a 一 也等于一了，对不对啊？好， a 一 等于 d 等于一了，那不就通项公式 a n 就 等于什么 a 一 加什么 n 减一 d 嘛，对不对？ d 就是 一了啊，所以第一问啊， a n 就 等于 a 一 是一，对不对 d 也是一啊，所以一加 n 减一，哎，一一抵消， a 就 等于 n 了。能不理解 第一题就这么简单了啊。好，第二题有点难啊。第二题他先设 b， n 等于 a， a n 是 n 了，所以它 b n 就 等于 n 加二分之一的 a， n 次幂就是 n 次幂了，哎，求他的前 n 向和。哎，这个方法叫什么呀？这个方法叫分组求和啊。 什么叫分组求和啊？就是一个等差数列啊，加一个等比数列啊，就是各回各家，各找各妈，各求各啊，各求各的啊，各求各就是分组求和，就是一个依次函数和一个关于 n 的 指数函数，这就是等比数列了啊， 那他的求和就是谁啊？ n 能能 n 是 不是就是一加二加三？噔噔噔噔噔， 加到 n 对 不对？那他的和呢？二分之一的一次米加二分之一的二次米加，一般都是前三后二，我们写成前三，二分之一，二分之一三次米加，噔噔噔噔噔，加二分之一的 n 次米。哎，大题嘛，要给人家写个过程啊。 好，那他就是个等比数列了啊，不是等比数列，等差数列了啊，所以就是二分之 n 倍的首项一加尾项 n 啊，结束了啊， 那它等比数列前 n 项和公式。一减 q 分 之什么 a 一 a 一 就是它啊， a 一 了，乘一个什么一减 q 的 n 次方啊，那 q 是 谁？ q 就是 二分之一了啊，我们把二分之一带进去啊，二分之一带进去就行了啊。 一减二分之一还是二分之一啊？二分之一跟二分之一约掉了，对不对啊？所以它就等于二分之 n 加 n 方，把这里面 n 乘进来，再加上什么一减 二分之一的 n 次幂啊。写成叉也行啊。就就就。哎，不想换就写了。写成叉就对了啊，不用换了。所以 s n 就 等于它能懂了吧。 s n 就 等于它了啊。

同学们好，欢迎来到广东二零二六届高三一模数学的单选择题解析课。今天我们先从第一到第八题入手， 这部分是整卷的基础，开篇难度梯度清晰，是大家必须稳住分数的核心板块。 整选难度与考点布局分析这八道选择题整体难度呈阶梯式上升。基础题一到五题侧重考察集合二项式定律、负数抛物线、数据统计等核心概念，属于送分题，目标是全对，不丢分。 中档题六八题涉及平面向量最直、曲线方程化简与距离最直， 需要更强的几何直观和函数转化能力，是拉开分数差距的关键。第一题，集合相等考点，集合相等的元素互异性与一一对应思路，两个集合相等意味着元素完全相同， 因此 a 等于负，二， b 等于二。直接计算 a 加 b 的 结果是零。技巧，抓住集合元素无序且互易的本质，快速匹配对应元素即可。第二题，二项式展开系数考点，二项式定律通向公式 思路，分别计算一减 x 得四次方和一减 x 得五次方中 x 平方向的系数，再相加组合数 c 四取二，加上组合数 c 五取二， 结果是六加十等于十。六记小牢记，二项式通项公式直接代入求对一项系数。 第三题，负数三角形式运算考点，负数三角形式乘法魔长性质思路，利用三角横等变换，将负数相乘转化为角度相加负数 c 等于 cosine 七十五度加十五度加 i 乘 seven 七十五度加十五度，也就是 cosine 九十度加 i 乘 sine 九十度化简后等于 i 魔长 g 的 绝对值是一，计算负数三角形是乘法，遵循魔长相乘，角度相加计算更高效。第四题，抛物线与正三角形 考点抛物线几何性质，正三角形边长计算思路，设正三角形顶点为根号三乘 t， t 代入抛物线方程， y 平方等于根号三乘 x 得到 t 平方等于三吨解得 t 等于三，边长为二乘 t 等于。六、 技巧，利用抛物线对称性设点，结合正三角形角度关系简化计算。第五题，数据变换后的方差计算考点方差的限性变换性质思路，原数据方差为二，新数据包含原数据和二乘 x i 减一， 根据方差公式计算得新方差为五。技巧，借助方差变换规律，变量 a 乘 x 加 b 的 方差等于 a 平方乘 x 的 方差， 结合加权平均计算即可。第六题，平面向量数量积最值考点向量数量积几何最值 思路，将向量 ab 点成像量 a、 c 转化为向量 ab 的 模长成像量 a、 c 的 模长乘夹角于弦，通过几何构图找到最大值为十五、技巧，结合九宫格节点坐标， 每举相邻点计算，避免复杂代数运算。第八题，曲线方程与距离最直考点指数方程化简，点到原点距离最直。思路，将曲线方程化简为 y 等于 x 平方减三， 设点为 x 零 x 零平方减三，距离平方为 x 零平方加 x 零平方减三的平方配方得最小值为四分之十一，开发后为二分之根号。十一、 技巧，先化简曲线方程，再转化为二次函数求最值。结尾语，好了，今天这部分题目就给大家讲解到这里，如果同学们有任何疑问都可以发在评论区，我会一一为大家解答。

好，同学们，好，那今天呢，我们给大家分享到一道三角函数中众宇轩定理一个求值问题啊， 那这一题呢，我们选自这个前段时间刚考的苏西长镇高三的一个异模题。 好，那我们来看这个题他该怎么做啊？啊？在三角形 abc 中， abc 三个边对小小 b， 小 c， 那 现在 b 加上二 a 口算 c 等于零，让我们求解，这个贪婪的 b 的 一个最大值是多少？ 好，那他该怎么做呢？ b 加上二 a 口三 c， 它等于零。那首先第一步啊，那很多同学这个这个第一步容易想到，对吧？我们先根据正弦定理，把边画成角度值，那就是三 b 加上二倍的 三 a 口三 c， 它等于零。好，下一步，那我们来看它该怎么进行，这里大家可以发现啊，嗯，有 a， 有 b， 有 c， 这个角是不是也忒多了，对吧？ 那现在的话，你能不能减少一下角呢？那当然没有问题，那这里你不妨对三按 b 啊，它进行一个变化，因为你来看三按 a， 三按 c， 你 如如果这里把这个 a 或 c 换掉的话啊，这里是不是两个呈在一起，黏黏糊糊的，对吧？你要展开的话， 那是不是比较麻烦啊？那这个三 b 它是自己单独待在一起的，那不妨我们对它进行一个这里的划角，那三 b 我 们是不是可以写成三 a 加 c？ 好， 我们换成就是它了啊，那如果说对这里不太熟悉，同学呢，我们可以给大家推导一下啊。嗯，这里的三 b 为什么等于三 a 加 c 呢？其实很简单，三 b 的 话，同学们就是等于三多少？那三角形内角和是一百八十度，所以说三 b 可以 写成派减去 a 加 c， 那 这里的话，根据诱导公式，它又等于多少？三 a 加 c， 好，那所以说这个三 b 就 等于三 a 加 c， 我 们证明出来了，那当然我们也可以给大家证明一下， q 三 b 口三 b 的 话，那是不是这得等于 q 三 a 派减去 a 加 c， 那 就，那就等于多少？根据导公式，它是不是等于负的 q 三 a 加 c， 好，那当然，同学呢，贪婪的 b， 那 我们也可以给它解决出来贪婪的 b， 同学们，那不用再去这样画了吧，那贪婪的 b 等于多少？是不是三 b 比上口三 b 就 等于贪婪的 b， 所以 说它们相除应该多少？应该是负的贪婪特 a 加 c， 好， 所以说我们都给大家推完了啊，那现在我们接着来啊，呃，我们再进行给它展开，那展开之后应该是赛扣扣赛的形式吧。 好，加上二倍的三 a 扣三 c 等于零，那现在大家可以发现，是不是可以化简一下，这里应该是三倍的三 a 扣三 a c 加上扣三 a， 三 a c 等于零。 好，下一步我们给它移下象吧。啊，那三倍的三 a q 三 a 就 等于负的 q 三 a 三 a， 这里呢？不妨把这 q 三 a 啊给它除过来， 把这里的三 a 呢给它除过去。除完之后，我们知道，也就是三倍的 tangent a 就 等于负的三 a， 对 吧？啊，但是符号呢？啊，三 a 啊， 应该是，应该是负的贪婪 c， 对 吧？那符号呢？当然我们也可以给到左边那负三倍的贪婪 a 就 等于贪婪 c 了。 好，现在我们画到这了，那让我们求解什么呢？啊，让我们求解贪婪的 b 的 值是多少？那贪婪的 b， 同学们，刚才我们这里不已经推完了吗？贪婪的 b 就 等于负的贪婪的 a 加 c 啊，根据 tangent 一个合角公式，咱们知道应该是 tangent a 加 tangent c， 比上一减去 tangent a 乘贪婪特 c 好， 负号，当然你可以把这个负号啊给到分母啊，那你给出了，给到之后，那我们继续给他化简一下，最后结果就是这个，对吧？ 最后结果就是它了，那现在我们根据这个关系啊，它是 c， 等于负三倍，它的 a 我 们代入啊，代入数字之后，那原式原式我们最后进行化减，那应该是 tangent a 减去三倍的 tangent a 底下应该是 tangent a， 对 吧？乘以贪婪 c 是 负三倍的，那就是负三倍的贪婪 a 的 方了，然后再减去一个一， 上面我们看有多少，上面的话应该是负二倍的贪婪 a， 那 当然这个分母我们提一个符号出来，提个符号出来给分子，上面呢？就二倍的贪婪 a 比上这里的三倍的贪占的 a 的 方加上一个一， 好，我们最后化简完就是这个结果，对吧？那下一步我们再来看一下啊。嗯，那下一步该怎么求呢？这里同学们不妨分子分母我们同除以贪占的 a 啊，因为这里这个 a 应该是大于零，小于派对吧， 他不可能为零的。所以说分子分母同除同除贪婪的 a， 那 最后化点完就是二倍的 三倍的贪婪特 a 加上这里贪婪特 a 分 之 一。好，到这里之后，同学们求他的一个最大值，我们想到用什么，想到是不是用这里的基本不等式，那如果说你用基本不等式，那你要确保什么？你要确保这里的贪着呢？ a 啊， 他是不是大于零呢？那你要确保贪着 a 大 于零，那就说明什么？应该就说明是不是 a 应该是大于零，小于二分之派啊？他不是应该这样，那我们来看他， 你可能吗？他是不是大于零呢？他这 a 是 不是大于零？来思考一下，看前面怎么去判定。这里我们刚才已经化点完了啊，贪婪的 b 啊，你就看这个贪婪的 b 等于多少？ 贪婪的 b 等于这个东西。那如果说 a 啊，如果说这 a 这个角，如果说他不是一个锐角，他怎么样？他大于二分之派小于派， 他是一个钝角的话，那你看这个还能成立吗？如果他是一个钝角啊，他是一个钝角，那他那 a 此刻小于零，对吧？那这里呢？整个 右边那个式子应该怎么样？应该是一个负值，那说明他认的 b， 他 认 b 是 一个负值的话，那说明 b 怎么样？那你说明这个 b 这个角也是怎么样？大于这里的二分之派小于派了，这能行吗？朋友们，这个能行吗？ 那如果说 a 角是个钝角， b 角也是个钝角，那你在三角形中，那还能构成这三角形吗？还能构成三角形吗？是不是绝对不可能？那这个时候同学嘛，那经过我们简单的分析之后，你发现啊，最后结果怎么样？这个 a 啊，它绝对大于零，小于二分之，它是一个锐角，那是一个锐角的话，那我们 即可得到贪婪的 a 是 大于零，那这个时候同学们用基本不等式来用起来，那所以说用基本不等式，那分母的话应该是大于等于，那你取一个倒数，应该之后小于等于，小于等于多少呢？应该是二倍的啊，应该是二，比上底下我们用基本不等式啊，应该是 二倍的根号下三，可以贪婪的 a 再乘以 他，对吧？好，我们化简一下，那这里二二约掉了，所以说最终答案多少应该根三分之一，那就是三分之根三，三分根三 啊，地方不够了，我在这里写啊，那当前仅当什么成立？当前仅当贪阵 a 等于这里的贪阵 a 分 之一，是不是等号成立？等号成立， 那这个时候我们就算完了吗？同学们，那贪婪他 b， 最后他应该等于多少？他应该等于三分之根三喽。那如果说他那三分之根三，那你说这 b 只能等于多少？这个 b 是 不是只能等于多少 啊？这个没有让我们求这里的 b 是 多少，对吧？啊，让我们求它最大值就行了啊，那这里我们就不用再求 b 了啊，那贪婪的 b， 那最大值多少等于三分之根三？答案选择二 b 选项啊，所以说这个题最终答案选择二 b。 好， 今天呢，那今天呢，我们就给同学们分享到这里啊，同学们，再见。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六白银一模函数压轴题。二十七题，已知抛物线与 x 轴交于点 a， 点 b 与 y 轴交于点 c， 其中 a、 c 的 坐标是知道的。第一问，求解析式。直接写 y 等于 x， 方减二， x 减三， 所以呢， b 点的坐标也很好，求让 y 为零，那么 b 就是 三等号零， a 点是负一，零， c 点是零，负三也写上，是吧，也写上好。第二问，点 e 是 第四项线抛物线上的点， 让你连接 a、 c， b， e， a、 e 还有 c、 b， 连完之后，左边的三角形 a、 c、 f 面积当做 s 一， 右边的三角形 b， e、 f 面积当做 s 二。现在告诉你 s 二减 s 一 等于一， 这个面积条件 s 一 和 s 二。你当然直接算的，是很难算的，它是两个都是不规则的。 但是如果你把它俩中间夹着的这个 a、 b、 f 这个三角形一部分的啊， 给它加上的话，那其实就变成了 a、 e、 b 减去 a、 c、 b 这两个大的以 ab 为底的三角形，面积差是一了。所以这个条件我们这样去转换一下就好做题了啊。 我们第二个先去设一点坐标，横坐标就当 e， 纵坐标是 e， 方减二， e 减三，接下来呢， 好，接着写， s 二减 s 一， 也就是 s 三角形 b， e， f 减去 s 三角形 a， c、 f 等于一， 所以它呢，加上公共的部分 s 三角形 b， e、 f 加上 s 三角形 a、 b、 f， 再减去 s 三角形 a、 c、 f 加上 s 三角形 a、 b、 f 应该也是一 g 就是 s 三角形 a、 b、 e 减去 s 三角形 abc 等于一，是吧？那这两个三角形我就能写了，它都是以 e 为以 ab 为底啊，所以左右边三角形是二分之一， ab 乘以 e 的 纵坐标高，就是啊，这个 e 的 绝对值再减去二分之一， ab 乘以 y c 的 绝对值等于一。接下来代入数字， a b 的 长用右减左应该是四，所以二分之一乘以四应该是二二倍的 y e 的 绝对值 减去这边是 ab 是 四，然后 y c 是 三，所以三四十二乘二分之一是六等于一，也就是这里的 y e 的 绝对值等于多少？应该是二分之七。又因为 e 在 第四象限，是吧？ 所以 y e 呢，只能等于负的二分之七。 ok， 那 我们就要减 x 了，也就是说，一方减二， e 减三等于负二分之七。把负二分之七到左边变成正的二分之七，那负三就是负的二分之六， 所以这里就是一方减二 e。 呃，减应该是加啊，对，加二分之一等于零。 我们现在直接求根，公式上， e 就 等于二分之负二的相反数是二加减根号下 b 的 平方是四，是吧？减四 a c， 那 就是减去个呃，四，乘以二分之一是减二，是不是？那么也就是说 e 就 会等于 呃，这个二分之二呢？就是一百一加减二分之根号二。又因为他在第四象限啊，我们，所以我们的一点的坐标，横坐标只能是什么？只能是正的，对吧？只能是正的，不能是负的。 但是这两个值呢？一加减根号二分之根号二，其都是正值，是吧？所以这里有两个啊，横坐标一加二分之根号二，逗号负二分之七，或者是横坐标一减二分之根号二，逗号二，负的二分之七。 ok， 这样我们做完了， 我们看第三问，第三问说如图二，设点 p x 一 y， 然后 q x 二， y 是 抛物线下 bc 下方的两个动点，并且 x 二 x 一 还有关系 过 p 做 p， 呃， pm 平行于 y 轴，然后呢，又过了 q， 做的是 q n 垂直于 bc， 现在问的是 pm 加根号二 q n 的 最大值。你要求这个根号二的 q n， 你 就要看一看它和什么线有关系啊？ 因为这个 b 和 c， 它的坐标都是多少？都是这个三零和零负三，所以呢，这里填有个四十五度，然后你的 q n 又是和它垂直的，所以我们先要找到根号二倍的 q n 在 哪里。 那很显然这里都是四十五度的话，我只需要，哎竖着做一个外周的平行线啊。然后呢，这个紫色的三角形其实也是一个等值，是吧？他也是等值的话，那么我们这个交点就当做 什么点？当做 p p 点， p q 当做 s s 点吧， s 点，好吧， s 点这个点的 长度也就是 s q 的 长度，那么就是 q n 的 根号二倍。所以最终你只需要求什么呢？你只需要求哎，这里的 s q 加上 mp 这两条线段的最值就行了。我们现在就写一下既然这些都和我们的直线，这条直线的解析式是吧？呃，我在这里写一下直线解析式啊。 第三问，那么直线解析式就是 y 等于 x 减三，所以我们可以把 m 和 s 的 这两个点的横坐标都和 p q 一 样，对吧？因为它都是平行 y 轴的， 那么所以这个时候 m 的 横坐标就是 x， 一 纵坐标就是 x 一 减三。然后呢，这个 s 点的横坐标就是和 q 点的一样， x 二纵坐标呢，是 x 二减三。那也就是说这个我们的 m n m p 的 长度加上根号二倍的 n q 就 等于 m p 的 长度加上 s q 的 长度，是吧？啊，这中间你需要正一下，你需要正一下，它是这个直角 等于幺，是吧？等于幺三角形啊。那所以呢，我们现在就接着写喽，因为你 m 的 和 s 的 点写了，你还需要把什么把， 把这个 p 和 q 的 点也写一下啊。那么我们写上面吧， p 点的坐标横坐标 x 一 纵坐标就是什么？就是 x 一 方减二， x 一 减三，那么 q 点它的横坐标是 x 二方减二， x 二减三。 那么所以刚才要求的这个 m p 加 s q 的 话，就等于，呃，就等于这个它要求是 pm， 我 们写 pm 吧， pm 加上 s q 就是 上减下 m 的 横， m 的 纵减去 p 的 纵加上 s 的 纵 减去这个 q 的 总，是吧，应该是减，刚才说错了，所以这里就是 y p m 应该是 y m 啊， y m 减去 y p 加上， 这是 y s 减去 y q， 是 吧？这里加个括号，所以我们就写 y m 是 什么呢？ y m 其实就是这的 x 一 减三呀，再减去 y p， y p 呢，是 x 一 方减二， x 一 减三，所以它就是减去 x 一 方加上二， x 一 加三， 再加上 y s y x 呢，就是 x 二方变成加二， x 二再加三，是吧？ ok， 那 这一串呢，我们还需要进行整理，为什么？因为 x 二还等于 x 一 加一啊，这里挺费事的啊。那我们就接着整理，把所有的 x 二换成 x 一 加一，也就是这里的。呃，前面其实应该可以，已经整到一起了，是负 x 一 方加三， x 一 加三减三没有了，后面呢，这个 x 二变成 x 一 加一再减三啊，然后再减去 x 一 加一的平方，再加上两倍的 x 一 加一 再加三，是吧？好，那这里的加三和减三其实也没有了，接着算，因为这个完全平方展开时候，有个负 x 方和前面的负 x 方加一起，负二 x 一 方， 那这个完全平方展开之后，中间会有个负二 x， 但后面只有一个正二 x， 所以呢，它没有了，是吧？那么前面是三 x 一， 后面再加一个 x 一， 应该是加上四 x 一， 这里还剩一个一，这边呢，完全展开之后应该是负一，所以也没有了，最后这里多了一个。什么是加二是吧？ 这是一个二次函数，所以当 x 一 等于负二， a 分 之 b， 也就是等于负的二， a 就是 负四分之四等于一时，整个的 pm 加上 s q， 取的是最大值。 最大值等于多少呢？把它带进去啊，一就是负二，负二加二没了，那就是四，对吧？结束关注我，考试再提十分。

各位朋友们，大家好，很开心又和大家见面了啊，那这个视频我们带着大家来看一看佛山一模的第十六个题目啊，这个空间几何这个题目，这个题目其实真的非常有意思的一个题目啊，你要是不注意的话，第一眼看上去还真不一定做的对啊， 但实际上如果你注意到他的特点，他也不难。我们来看一下，他说如图三棱柱 a， b、 c 到 a， e， b， c， e， 他 说他这个三棱柱里面有个特征，你要注意这个句话啊， b， b、 c、 c， 哎，你看啊， b， 啊，这个 b， c、 c， 就 这个面，它是垂直于哪个的呢？垂直于底面，哎，就是下面这个面啊， a， c， c， a 这个面啊，垂直这个面的， 然后它就没了。接下来它给了你一些信息，哎，这些关键信息我们可以标注一下啊，首先你看，它说 b、 c 等于二， b， c 等于二，它的长度那么等于 ac， ac 也等于二，我们给它标注一下啊，标注完了之后，它说等于两倍的 c c 一， 两倍的 c c 一， c， c 一 等于一，那就你把这个标注好，你就知道怎么做了啊。它说，角 b， c， c 一， b， c， c， e， 就 我标这个角等于一百二十度，哎，你看有这个东西啊，有这个东西。然后他说 m 呢，又为 a、 c 的 终点。你把题目读完，读完之后，接下来我们来看 d， e、 y 啊， 他教你证明这个 b、 e、 c， 它是平行平面 a， e， b， m 的， 你看啊， a， e， b， m， 就是 这个面，它和这个面是平行的哪个呢？ b， e、 c， 它是平行这个面的，那 你想啊，你要正线面平行，实际上你就是只要找到这条线，平行这个面里面的一条线就行了啊，那怎么找？一开始我找了一下，真的不好找啊，后面我突然发现一个特征，各位各位朋友们，你思考一下啊，三楞柱有什么特征？它的侧面是平行四边形啊，所以你看啊， 我把这里给它连接起来，我把这个 a、 b、 e 给它连接起来，连接起来，我让这个 a、 b、 e 和这个 b a 的 交点为 o， 哎，各位朋友，我就让它为 o 啊，好，为 o。 那 你这个时候不就知道 o 就是 ab 的 中点吗？对不对？然后我再连哪个呢？你看我把这个 o 和这个连接起来，和哪个呢？ m o 和 m 连接起来，你就会发现 m 也是 a 四的中点，那 o m 和 b c 不 就是平行的吗？哈，你看 d 问就解决掉了啊，所以我们直接来写，来写啊，证明， 证明啊。好，首先我们来做一个辅助线，就是连接。连接谁呢？连接 a m 一 啊，写好一点啊，连接 a m 一， 交谁呢？交这个 a b， a e， b 于 o， 然后接下来再干什么呢？再连接 o m， 连接 o m， 然后就可以开始写了。怎么写呢？来，各位朋友，因为，哎，这个 a b c 杠 a e b e c e 是 三楞柱 三楞柱啊，所以这个平面啊，所以这个四边形啊，不是平面啊，这里是，所以这个四边形 a， b， b e， a， e 为平行 四边形，那它既然是平四边形，所以它的对角线的交点 o m 啊，所以这个 m o 啊，它是对角线 a、 b、 e 的 终点的终点， 你看，同时这个 o 是 不是在 b 和 a 上，对不对？所以我们这个 o m， 它是属于面 a m b 的 嘛，对不对？好 u， 因为，哎，什么东西呢？ m 是 a c 的 中点， a c 的 中点，所以，哎，你看，我就会得到 b e c， 它是平行于 o m 的， 那接下来就是把平行的过程写一遍就完了啊，我就直接写了啊，我把这里缩小一点，直接写， 直接写啊，直接写，那么我为了写的比较舒畅啊，就看起来比较清晰，我给大家再抄一遍啊，这个就是 b e c 平行于 o m。 首先接下来 o m 包含于平面， 那哪个平面呢？就是它要的这个 a e b m 那 接下来是 b e c 不 包含于平面， a e b m。 哎，所以我就会得到什么东西呢，所以我就可以证明啊， b e c， 它是平行于平面， a e b m。 你 看这个，第一问就搞定了啊，第一问，这个分还是比较好拿，对吧啊，当然了，有的时候你没看出来这个题，你比较紧张，你可以过一会再回来做，因为它这个题吧，有的时候没看出来也不太好做啊，你看出来就很好做，没看出来就不好做。我们再来看第二问， 第二问啊，他说要教你证明平面 a e b m a e b m 垂直于平面， a c c e a e 哎，你看做这个啊，其实就是要叫你证明多少 a e b m 垂直于底面，那其实这个题啊，我觉得第二问比第一问好做，为什么？因为猜都能猜到，你想一想啊， 你现在要在 a e b m 里面啊，你要在这个玩意里面去找到一条线，垂直下面，那不好找了， 但是根据我们上面的感觉，你看它有个平面说，哎，这个平面 b c c e b e 垂直下面这个面，我在这里找一条，其实从图上看，我们大概都猜到这个 b、 c、 e 可能是垂直下面的，对吧？那还有一个，你看一百二十度没用了， 那我使用一下这些关系，看一看能不能找的出来，如果能找出来不就好办了吗？那你看啊，这个 b、 e、 c 啊，这里啊，这个时候我们要站垂直，所以我们站不了，但是我们知道这个 b、 c、 c、 e 等于一百二十度，就意味着这个角等于六十度，各位朋友，哪个角呢？大家看一下， 你看这个角不就六十度吗？那为什么他是六十度平行四边形啊，对不对？六十度，六十度，你这个长度是等于一的好，那么我们这边这个是等于二的，对不对？那你这里有一个六十度，我不就可以把这边求出来了吗？那这边怎么求呢？余弦定力啊， 对不对？一线定律，我们求一下，看看他对不对啊？那好，我们这里有一个一，这边有一个，我们现在你不能说垂直啊，我现在还不知道垂不垂直啊，我要求啊，那我们算一下 b、 e、 c 的 平方，我们来一线算一下，看对不对啊？ 那就是 b、 e、 c 的 平方会等于这个一加二的四减掉扩大六十度就是二二分之一，那么就是这个一乘二二， 所以这里等于多少呢？就是，呃，四加一五减二，三等于三等于三，哎，那你看你根号三，根号三就是一二，根号三肯定垂直，哎，所以你看猜测，对，猜测对了，这个题不就搞定了吗？为什么？各位朋友，因为你都能挣出来这个 bc， b、 c、 c、 e， 这个是个直角，不就搞定了，对不对？他肯定垂直于底面，接下来 o m 肯跟他拼音，肯定垂直于底面，那就完了，所以我们来标准化的写一下，写一下，我们来写一下， diy， diy， 来换个颜色，写，换个黑色吧。来写一下啊，那怎么去写呢？我们先来证明垂直啊，先来证明垂直，你看啊，这个因为角 b， c、 c、 e 等于一百二十度，哎，且什么东西呢？这个 b c、 c e， b e 为平行四边形为平行四边形，好，所以这个角啊， c c， e b 一 等于六十度，那接下来我们使用余弦定律啊，因为 bc 等于 bc 的 啊，哎，所以我们可以再写一下啊，所以这个 b 的 b 一 b b 一 c 一 等于，这个 bc 等于二， 等于 bc 等于二。这题目里面点的，对吧？那接下来我们就直接使用雨田地里了啊，那 b， e、 c 我 们接下来就是 b， e、 c 的 平方等于多少呢？雨田地里二得四的平方加上一的平方，减掉二乘以一，乘以二，乘以 cosine 六十度，那这个等于什么呢？ 五减掉这个括号，六十度，二分之一乘二没了，然后其实就是二，所以最后等于三等于三。那你看啊，接下来我们就有什么东西呢，我们就会得到啊，所以我们会得到一个东西啊，这个 b， e、 c 的 平方加上这个 c， c、 e 的 平方，加上 c， c， e 的 平方，它会等于什么呢？等于我们的斜边 b e， b e， c， e 的 平方等于四嘛？三加一等于四嘛，所以这个角，哎，你看，现在才能正出垂直来。 b e， c， c e 等于九十度，所以角 b e， c， c e 等于九十度， 哎，所以什么东西呢？你这个 b、 e、 c， 它是垂直于 c c、 e 的， 然后 b， e、 c， 它是垂直于 c、 c， e 的， 哎，我们挣了这一大堆，就是证明它是个直角， 那真完，这个时候，接下来我们又可以利用我们垂直里面的一个证明结理论啊，就它上面这个，你看 a， e， b， m， 它是垂直平面下面这个底面的，而且里面有一条线，我们这个 a， e， b m 啊， a， 这个 b， c， c， e， 这个 b， e， 这个啊，你看各位朋友这个啊， b， b， e， c， e， c。 这个平面里面的一条线是垂直于它的交线的，所以它就会垂直于地面。那我们直接来写就好了。来写啊，怎么去写呢？就是，呃，我在这里写啊，因为 这就不写，因为了我们直接花括号，这样花括号写出来更清晰一点啊，花括号啊。 b， c， c 一 b 一 面 b， c， c 一 b 一， 它是垂直于面，就下面这个面啊， b， c， c a， c c a 一 a， c， c a， 然后接下来就是面 b， c， c 一 b 一 胶面 a， c， c， a， 它有交线的啊，这个交线是什么呢？就是 c c， 哎，这是 c c， 并且还有什么东西呢？ b， e， c， 你 看，垂直于 c， c， 我 们站出来了，而且 b， e， c， 它是包含于面。 b， c， c 一 b， 哎，所以我就可以得到什么东西呢？ b， e， c， 它是垂直于面，哪个面呢？我们下面这个面啊，就 a， c， c e a e a， c， c， a， 你 看，这样就完了啊，接下来又因为啊，我们这个 b， e， c， 它是平行于，我们在 d 问里面就证出来了，是不是平行于 o m， 平行于 o m 的 啊？ o m， 所以 o m 肯定是垂直于面这个 a， c， c， a， 那 接下来又 因为 o m， 它是包含于面，也就是它所需要占的这个面啊，你看 o m 是 包含哪个面的呢？ a b m 啊， a b m a e b m， 哎，所以面 a b m， 它就会垂直于面， a c c e a， 哎，你看，这样就写完了啊，我们把它稍微缩小一点点， 这样第二位就证明就证明完了啊，哎，还是好做的吧。好，我们接下来来看第三位 啊，第三问其实还蛮有意思的，我用红色来给大家做。第三问啊，为什么说第三问很有意思？因为你用几何法可以做啊，其实你用 代数法他能做啊，就是用你空间几何的坐标运算能做，但是我用几何法一样也能做。而且这个题我跟你讲，用几何法不难，他很好做啊，那你看啊，他的不难在哪里呢？ 来，我给大家去思考一下啊。我们在第二问里面证明这个东西，我把这个锁解开，给大家放大一下， 证明了一个东西。你看，我们证明了一个东西啊，来给大家看一下，你看这个面就是 bma 这个面，他是不是垂直于底面的？我们证明的这东西垂直于下面这个面的，那你来看他求什么？他题目里面要求的 其实呢就是哪个呢？ ab 这条直线和 a aebm 所成的正弦值，对吧？那么我们来看，你看 ab 这条直线是哪一条呢？ ab 不 就这一条吗？它和哪个线哪个 aeb？ 你 看就这个面所成的正弦值，那实际上就是相当于你要过 a 点找到一个东西，垂直这个面就行了。那这条线怎么去找呢？ 我们大胆的猜测。怎么去猜测？各位朋友，我就大胆的猜测，我从这里做一个垂直过来，你看，我从这里做一个垂直过来，假设这个是 n， 我 就大胆的猜测，这就是垂直了。为什么我可以这样操作？你看啊，他已经告诉你，题面里面说 caa 等于六十度啊，也就是说他实际上已经告诉你，这个 这个角等于六十度，这个角等于六十度。根据我们上面求的，你看它这个侧面啊，三，三人桌的侧面，它是个平行四边形嘛，所以这里是一一，那这里也是一了， 它是个等边三角形啊，等边三角形，对吧？那这个时候如果 n 是 a e m 的 中点，那我 a n 不 就垂直 a e m a n 垂直 a m， 那么又因为啊，我 a e m 这个面和 a e b m 这个面，它是垂直的 d m 正正出来的，对不对？所以我 a n 就 垂直 a e m b 这个面，那也就是说， 我只要知道 a n 的 长度，我再知道 b a 的 长度，我就接出来了。而 b a 的 长度等于什么？显然等于 b e a 一 嘛。那有的时候老师 b e a 一 怎么做？这不难，你看我把这里连起来， 连接起来之后，这个是二，这个是一，这里是一个六十度，这不就算出来了吗？对不对？用什么东西正，于弦定力，是不是？于弦定力，你看，就把它做出来了，做出来那我的角度就算出来了。哎，所以我们沿着这个思路来，我们来求解就好了。我们沿着这个思路来求解就行了。 沿着这个思路来写，还是给大家缩小到原位？我刚才放大是好解释啊，我现在缩小可能那个图看起来不清晰啊，但是你看着我去写就好了。 好，我们来写一下啊，我们来写下，沿着刚才的思路。那我们先干什么呢？我们先证明 a n 啊，它是垂直于我们的这个面的。好，我们来占，我们来占啊，我们说去 n 为 a e m 的 中点。好，接下来啊，因为角这个 m a a 等于六十度，且 这个 a m 等于 a a 等于一。哎，你看，这个知道的啊，因为 m 是 重点，所以 a m 等于二分之一， a c 嘛，等于几？ 所以这个 a n， 它是垂直于 a e m 了。那接下来又是刚才的逻辑。什么逻辑？你看啊，面 这个 a e m b， 它是垂直于面 a a e m。 有 的时候老师你没证，你 dm 里面证了它垂直于底面嘛， a a e c e c a a e c 不 就是 a a e m 嘛，对不对？而且你看啊，这个它垂直于这个面啊，这里写了个平平面， 那接下来面 a e m b 交面 a a e m， 它就会等于 a e m， 对 不对？等于 a e m。 那 你看啊，接下来我们又有了 a n， 它是垂直于 a e m， 然后 a n， 它是包含有面 a a m， 所以 a n， 它肯定是垂直于面 a m b。 哎，你看，就 a m b 啊，或者 a e b m， 按它题目里面的顺序写吧， a e b m。 那 我们有了这个垂直之后，接下来你看题目里面要求的既 这个啊，直线 ab 与平面 a b m 所成的角的平面角 的平面角为哪个呢？它有垂直了吗？所以就是 a b n， 你 看角 a b n， 对 吧？ a b n。 那 你现在 a n 的 长度我都知道了，我只要再知道 ab 不 就完了吗？因为它是个垂直的，它是个直角三角形啊，所以我再知道 ab 的 长度就行了。 好，接下来我们就要算 ab 的 长度，那 ab 的 长度，各位朋友们怎么去算？怎么去算啊？其实这个不难，你看啊，又，因为因为啊，这个 四边形 a， a、 e、 b， e， b 为平行四边形， 所以我就可以得到 a、 b， 它肯定是等于 a、 b 一 的，接下来我们求 a、 b 一 的长度就行了。那 a、 b 一 的长度怎么办呢？因为 b、 e、 c， 它是垂直下面的嘛，所以我只需要 求哪个求这个三角形，你看这里形成个勾股定律的三角形，对不对？所以我们接下来做啊，接下来来做，来求哪一个呢？把 a、 e、 c 求出来就行了啊， a， e、 c。 因为 b、 e、 c 是 垂直平面的，我们刚才就已经证明了 a、 e、 c。 那 接下来啊，又因为这个 a， a、 c、 e、 c 为平行四边形， 所以角 a、 c、 c 等于角 c， a， a 等于六十度。哎，你看啊，这个 a、 c 一 等于二。好，有了这个时候，我们就直接可以求 a、 e、 c 了啊，那接下来也就是 a、 e、 c 的 平方就会等于什么？余弦定律，余弦定律啊，那就等于 二的四，加上一减掉二乘以二，乘以一，乘以扩散引六十度。好，这个等于什么呢？ a、 e、 c 的 平方， a， c 的 平方，就等于这个四加一得五五括号乘六十五，减等于三。哎，你看，等于三，等于三，那这不就完了吗？等于三，又因为啊，又因为你看这个 b、 e、 c、 b、 e、 c 垂直于面，哪个面呢？最下面那个面啊，就是 a、 c、 c a 一 a， c c a 一 垂直这个面，且 哪个呢？ a， e、 c a， e、 c 包含于面 a， c、 c、 e a， 所以 我们就可以得到这个 b， e、 c、 b、 e、 c， 它是垂直于 a、 c， 那 接下来你看勾股定律就行了， a、 e、 b， 接下来就是 a、 e、 b 一的平方，哎，就会等于 b， c 的 平方加 a， c 的 平方等于多少呢？你看三加，我们刚才算了，是不是 a， b， c 也是三 等于六。各位朋友好，这个完成了之后我们再来看啊，那你这个 b， a 的 长度不就求出来了吗？哎，所以 b a 的 长度就等于根号六，那接下来你看啊，它的正弦值就就求出来了， 所以这个 a b 与面 a b 以平面 a e b m a b m 所乘角的正 弦值为为多少呢？ 根号，呃，六分之，我们算一下那个长度啊，哪个的长度啊？就是这个三角形，你看 a n， a， n 的 长度啊， a， n 的 长度，我们在上面再加一个吧，再加一个 a， n 的 长度， a， n 就 等于多少呢？等于一乘以三英六十度 啊，等于一乘以，我们看一下是不是三英六十度啊？啊，对啊，一乘三英六十度，三英六十度，二分之刚好三， 好，就等于二分之根号三，所以它就为什么呢？ a n 比上 b a， 实际上就等于二分之根号三，比上根号六就等于多少呢？ 两倍根号六分之根号三，那么我们同时除以根号三，就根号二，根号二乘二，四分之根号二。所以你看啊，我给它圈起来用个黑色，这个就是 最终的答案啊，就求出来了啊，这个就是几何法，直接就搞定了，我们就不用空间几何的坐标去做了啊。好，那么我觉得这个题还是出的蛮不错的啊。好，那这个视频就给大家说这么多，我们下个视频再给大家讲下面的题目，各位朋友们拜拜，下个视频再见啊。

大家好，我是陈老师，我们今天来讲一下刚出的这个市中区一模的第十题。第十题的话，它是讲了一个新定义与二次函数结合的问题啊，这个向量数的意思的话，就是分别把二次项系数、 二次项系数 a 啊，一次项系数 b 以及长数项，嗯，给它列出来，所以这个一负二三的话，它就对应我们的这个 abc。 好，我们来看一下第一问，第一问的话这个二字还是个系列数，它就是一个定义的直接运用啊，我们分别找一下那个 a、 b、 c 就 可以了。那个二次项系数的话，明显就是负三啊，正二以及负一，对吧？所以负三，二一负一，它说的是，呃，完全正确的。 我们来看一下第二个，拿到第二问的话，我们是不是应该先根据这个序列数去把这个二次函数对应的二次函数给它写出来，对吧？好，我们把它写一下，二次函数的话，应该是 y 等于 x 平方，加 m 加二，噢， x 再加二 m， 噢，那这个写出来之后呢？它让我们去求什么？它让我们去求与 x 轴的交点。问题，二次函数与 x 轴的交点我们应该去看的儿它 啊，也就是当它等于零的时候啊，它的解的个数，这是看的它的的的话等于 b 方解 c、 a、 c 啊，但是它大于零的时候是有两个 啊，得它等于零的时候是有一个交点，然后得它小于零的时候是无啊，所以我们看一下得它，它会有一个什么样的一个效果，得它的话，它是等于 m 加二的平方啊，减去八 m， 我 们给它拆开整理一下，因为现在的话看不出它的一个正负性哈，嗯，所以把它拆开之后，它是一个。 好，所以你看一下这里四 m 啊，这四 m 和这个负八 m 抵消，所以它就是 m 平方减四 m 加四啊，也就是说 m 减二的平方。好，那当我整理到这的时候，你们应该能够清晰的啊，了解到它是一个整体的一个平方，那么它就有两种可能性啊，一种是大于零。 什么时候大于零呢？就是当 m 不 等于二的时候，因为呃，一个这个呃除了零以外，任何数的平方都是大于零的。 还有一种可能性，就是当 m 等于二的时候，他应该是结果为零，嗯，所以的话，他应该是与 x 轴要么有两个焦点，要么有一个焦点，然后是有两种可能性的，那这个的话就稍微有点局限了，所以这个选项是错误的。继续往下看。 好，第三问的话，他说这个呃，依旧是给了我们一个二次函数，就是含餐的二次函数，我们先把这个二次函数给它列出来。 好，他说什么呢？就是 m 大 于零，也就是在提醒我们啊，这个函数开口是向上的，呃，也就是说当 y 一 等于负三 m 的 时候，嗯，这个小于它的这些 y 啊， 它们的这个 x 的 范围，所以我们先把这个嗯 y 给它代入一下，就是负三 m 代入，我们看求出来的这个 x 会有一个，呃，是什么样的一个 x， 好， 那它就是这个提取 mx， 它是有两个解的，一个是 x 等于零的时候 x， 一个是 x 等于零哈， 还有一个是 x 等于二。好，所以我们就知道啊，是有两个 x 能使这个 y 等于负三 m， 嗯，也就是说呢， 你好，假如说这是 y 等于负三 m 那 条线，好，那这个焦点的话，也就是这个焦点我设为 a 点吧，好吧， 那我设为 p 一 吧， 那这个焦点啊，也就是 p 二 啊，所以你可以看成是有两个，两个这样的一个 p 的 一个存在啊。那他说，嗯，小于这个 p 点的这些点，那 x 的 取值范围是不是在零到二之间啊？我们能看出来 啊，那我画的这个红色的部分，他的他们的这个 y 是 小于，呃， p 一 p 二的这个 y， 而他们的 x 应该就是介于零和二之间，对吧？ 啊？就是介于这个点的 x 和这个点的 x 之间，所以就是零和二之间啊。圈三应该是对的哈， 我们画图的话稍稍微稍微清晰一点。再来看圈四，圈四的话，把二次函数还原一下，它应该是 圈四的话，把二次函数还原一下，它应该是这个继续写哈，把二次环函数还原一下，它应该是啊，这个，因为它说了一个 m 小 于零，我们可以知道它是开口向下的。嗯， 好，那他说当 x 小 于二分之一的时候， y 随 x 的 增大而增大，我们知道二次函数的增减性的话，一个时候是受开口方向的影响啊。第二个就是受对称轴的影响，所以你要把握这两个一开口二对称轴啊， 所以现在开口我们已经明朗了，它是向下的啊。那其次对称轴的话，我们是不是需要判断一下，我把对称轴写下来，它应该是 x 等于负二一分之 b。 就是 啊，因为 m 的 话是小于零的嘛，所以这个，嗯，这个整体的话啊，这个负的二 m 分 之一，它应该是大于零的，再加上二分之一，它应该是大于二分之一的 啊，那这个对对称轴的话是大于二分之一的啊， 所以你看，当 x 小 于二分之一的时候，哦， y 随 x 的 增大而增大啊，假如说这个对称轴是紫色的这个部分啊，紫色部分是大于 x 大 于二分之一的啊，那它小于二分之一的部分，嗯，是随着增大而增大的， 它是，它是完全没有问题的哈，假如说，如果你还不明的话，我可以假如说，假设一下对称轴是一，可以吧，那你能明显的看到 x 小 于二分之一的时候啊，那就是这一部分，它是增大而增大的哈， 圈四也是对的。继续看圈五圈五，嗯，他说这个 二次函数与抛物线的顶点啊，和对称轴抛物线的顶点，与对称与与这个 x 轴两个交点啊，这三个点组成的是一个等腰直角三角形。 我们先假设一下啊，先假设 a 开口向上，我们能够好分析一下他做题方向。好，假如说这样的话啊，这是与开口，这是与两个交点啊，这是 a， 这是 b 交于 ab， 然后顶点的话是 c 吧。 好，那也就说这个三角形是一个等腰直角三角形。嗯，首先能明确一下啊，我们是能确定这个 abc， 也就说能是这个 abc 是 能用含 m 的 一个式子 啊，给它表示出来这三个点啊，那这三点表示完了之后，它是一个等腰直角三形。那我们如何去列式子解方程呢？当你用这个 嗯，含未知数的一个式子表示点之后，你要想着去找等量关系列式子解方程，把它当成一个转化成方程的一个思维，那这个题就会很简单， 那等要直角三角形的话，他会有一个他的一个呃，等这个等量关系比较多哈，比如说 a c 等于 bc 了，但是这个 a c 等于 bc 的 话，他这个呃选择上稍微有点 有一点麻烦啊，因为 a c 和 bc 这样长边的一个表示的话，我们需要用两点之间距离公式啊，这个选举的话稍微偏麻烦一点。然后呢，我又想到等腰绕三角形，它是不是有这个中垂线啊，对不对？斜面中线呀， 所以我过 c 往这里画个的哈，那我们就知道 c 的 应该是等于二分之一 ab 的 啊，我们看看啊，在 c 的 表示上， 我们是不是就是因为他是一条竖折的一个线吗？所以就直接 y 相减，而 ab 的 话，他应该是一条横折的线，对吧，所以他应该是 x 相减 啊，那这里有些认知就可以了。嗯，所以我们是选这个第二种方法，而不选第一种方法哈。当然，如果你有别的啊，这个能找到别的这个等量关系来去列式则也是可以的，没什么问题哦，我们来去把它落实一下吧。 啊，如果是开口向下的，同理啊，因为等下知道三角形的这个性质不改变 啊。这个式子的话，应该是啊， 因为它是要求于 s 轴的焦点嘛，所以我让这个 y 等于零啊， 直接把这从这写吧，让这个 y 等于零啊，所以我就能够得到 这个。哎，这，这里啊，这里也要涉及到一步这个知识积累，你像这种含餐的柿子啊，你一定要明确，他不会什么都不给你，这个一定要有这个知识积累， 他有些情况下呢，他会有两种选择，第一个呢，就是你能够去这个，嗯，目测有一个数值你是能够瞪眼瞪出来的，比如说在这，而这个数呢，一般都是正负一啊， 个数二啊，零这样的东西。在这里的话，你能如果有这样认知的话，你能够清晰的看出啊，其中一个就是 x 等于一，嗯，因为把一带起的话，它是能为零的啊，如果你没有这样的认知的话，你还可以怎么办呢？ 嗯，去这个十字相乘，嗯，这这种韩餐的柿子，我们一般是都能十字相乘成功的啊，要不然的话，嗯，它它就基本上会考你这个东西，所以我们把它十字相乘一下， 嗯，你会发现啊，中间刚好是这个 e 减 m b 的 x， 所以 我把它写下来， 嗯，那就有一个解释，其中一个解释， x 一 等于一， x 二的话就是负的二， m 倍的一加 m。 好， 那我就确定 ab 两点它们的 x 分 别对应这个哈，先把它擦一下。 好，那我现在应该尽力去表示 ab 的 一个长度，对吧？那 ab 的 长度，我们在教学的过程中，我们去讲的是右 右边的这个点去减去左边的这个点，因为是大的，减去小的，我们才能保证这个求出来的这个线段是正的。但是目前有一个问题，呃，我们不知道这个 a 和 b 点谁大谁小，那这种情况下我们应该去加绝对值哈， 啊，这样的话就能表示出 a， a 和 b 的 这个，嗯，这个横的这个长度了啊，那下一步是不是表示出这个 c 的 长， c 的 长其实就是 c 的 这个坐标加绝对值哈， c 的 纵标纵坐标加绝对值，因为我们此刻也不知道这个，嗯， c 是 在这个 正正半轴啊，那就是 c 的 正多格是正的还是负的嘛？所以为了使这个长度为正啊，我们就是去写成也要加绝对值哈， c 的 长，就是 啊，因为我们基于我们刚才的分析，那 c 的 的长应该是二分之一 a b， 我 们把这个式子给它列出来 去解方程就可以了 啊，你自己在解的时候不要硬解哈，你会发现你去先观察一下这个式子，因为毕竟它是加绝对值的嘛。啊，你可能会解的时候，你可能会因为这个怎么去绝对值而感到有点迷茫哈，你在 做的时候你不要这个呃，直接去去绝对值啊，或者进行什么样的处理啊，你先观察一下它这个式子中有没有同类的部分，我们可以相约掉的啊，会发现这里有个负九 m 减六 m 减一啊，我们可以把它因为它加绝对值嘛，我们可以完全可以把它变成 啊，九 m 的 平方加六 m 加一，所以的话它就是可以变成三 m 的 平方加，不是三 m 加一的平方啊。 啊，实现这样的一个变换，因为左边有个三 m 加一的绝对值，右边有个三 m 加一的平方，所以我可以把它消掉了。嗯 啊，这样就可以了，然后呢，它分母分别是一个二 m 的 绝对值，一个八 m， 所以 我也可以去约掉啊，那这就是剩下了一个四啊，那这时候我们再去做哈， 我们再去做的话就会发现啊，三 m 加一的绝对值应该是等于二的啊，你在上一步你不要去绝对值啊，千万不要去绝对值，绝对值是我们一直要去带上的啊。那这时候去求解就可以了。 m 等于三分之一或啊 n 等于负一，所以它的这个是错的。嗯，因为它有两个结果，只说了一个嘛，所以它是错误的啊。这个题是选 c 的。

几何快，代数稳，新定义，还能提智商！哈喽，各位同学们大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲一下我们初三下四中临模的这道函数压轴题啊。这道题目呢，仍然用肖老师总结的我们这种代几综合万能五步曲， 可以说一定是做的顺顺当当的啊。虽然这道题可能有同学又会感觉，哎呀，这个 k 又有 k 又有 m， 是 不是？哎，包括这道题，直线也是不确定的，哎，但是没关系 啊，不管再不确定，只要只是你这种题型，我们用肖老师总结的代数五部曲都是能够轻松搞定的。来，肖老师给你们示范一下，我是怎么能够在三分钟内把这个题秒杀，轻松拿下啊！ 好，这道题目呢，首先，我们任何函数题拿到它第一步，都是应该埃尼万大法画出第一图，所以呢，我们先把函数图像画出来，这个抛物线解析式是 y 等于 x 方减二， x 是 一个确定的抛物线 啊，然后这个直线啊，同学们应该能比较熟练啊，这个基本功应该能过关。像这个直线，我也可以先大概画一个，哎，他就长成这样 好，然后他说过， m 零啊，只要不确定，咱们就先随便画一个，那咱们就过 m 零，做一条垂线，哎，然后这个垂线呢，交 抛物线与点 p， 交直线与点 q 啊，然后他说，已知当 m 在 什么什么范围内，这个条件就是给咱们一个范围信息，范围信息呢，咱们可以先不看啊，先往后看， 他要要什么，他说线段 p q 的 长随着 m 的 增大而增大 o， 那 又是我们的老朋友，线段 p q， 是 吧？哎，截止到目前，同学们应该已经做过一百道线段 p q 的 题了吧？哎，又是我们的老朋友，线段 p q 啊，好，那已经看到我们的研究对象就是我们的线段 p q 了，那这个时候我们就可以干嘛式子表一切了。既然你让我研究 p q， 那 我就把 p q 列出式子来，毕竟只要能列出式子，我就能永远继续往下算，就不会卡壳。好，那我们就表示一下 p q， 因为 p q 啊，它谁高谁低咱是不确定的，是不是？比如说在这就是 p 高 q 低，那这里就是 q 高 p 低，所以说咱们要加一个绝对值，只要它俩的高度谁高谁低不确定，咱们就加一个绝对值。 好，那这个时候 p， 那 我就。肖老师呢，是用的啊， y p 减 y q 啊，那点 p 的 坐标就应该是把这个直线 x 等于 m 带到抛物线解析式，那就是 m 方减二 m， 是 不是？哎，然后呢，再把点 m 的 横坐标带到直线解析式，那就是 k 倍的 m 减二。 好，那这个式子稍作整理，哎，就得到一个这个式子。这个式子呀，我猜有些同学乍一看会感觉，嗯，好烦，是不是两个字母，而且不好确定啊。我们构造完新函数之后，同学们，你知道你下面的目的是干嘛？ 你接下来还用看着这个？你还用看着这个图研究 p q 吗？它不用了，是不是？哎，你只要去研究这个式子是不就行了，对不对？你得锁定你的研究对象，我接着只研究这个式子就行了。那这个式子怎么研究？画图去研究啊，画它的图不就得了吗？ 对不对？那肖老师早就给大家讲过，想画一个绝对值函数的图像，是非常简单的啊，想画一个绝对值里面的二次函数图像，非常简单，只需要干三件事，一 看开口，二求焦点，三下翻上啊！你只需要把这三件事干明白，你这个图，你这个图像就能研究的明明白白 啊。那首先一看开口这个人肯定是开口向上的，是不是？然后二求焦点 啊，如果你会十字相乘，那你就可以立马求出来他的两个根，如果咱不会，那咱们启动咱们来自东方的神秘力量求根公式，是不是你也能立马算出这个方程的两个根啊？反正就一个根是二，一个根是 k 啊，咱们就能算出来他两个根啊，一个根是二，一个根是 k。 好，那这样的话我就会发现，一看开口，开口向上，二看焦点，一个二，一个 k， 那 做到这，同学们应该发现了，这个题啊，他的一个小小的一个麻烦点就来了，这两个根的大小咱是不确定的，是不是？不确定又咋了， 对吧？不确定又咋了，那就分呗，对不对？那就分情况呗。所以这个题肖老师就给大家分了三种情况，是不是？第一种情况就是， 哎， k 大 于二，然后是 k 小 于二，然后是 k 等于二，是不是？不确定又咋了？就分呗，对 不对？哎，我特意用了麦当劳配色啊， k 大 于二， k 小 于二和 k 等于二啊，好，然后别忘了，因为它套了个绝对值，所以每种情况都要把下面的图像翻到上面，对不对？所以第一种情况，咱们就研究的是这个红 w， 哎，第二种情况，咱们研究这个黄 w 啊。第三种情况，咱们就直接研究这个 v 就 行了，是不是？好，那咱们一个情况一个情况看啊，大于二小于二等于二，咱们一个情况情况看。然后 现在咱们的新函数图像已经出来了啊，有三种，那咱们就一个，一个研究范围一定要标图上啊，让你告诉你了，这个 m 的 范围啊，并不是全要的，人家只要 k 到 k 加三，那很明显，对于第一幅图而言， k 到 k 加三， 那 k 都长这了，那 k 加三肯定在他后面呀，是不是？那此时此刻 k 到 k 加三肯定是横增的， 肯定是横乘立的，是不是？哎，所以这个时候就已经秒完了，这个情况就是横乘立的好，这种情况呢，要想让 k 到 k 加三是增的，那说明什么？ k 在 这， 那说明 k 加三不能超过这个终点就行了，是不是？只要让 k 加三别超过这个 中点就好了，也就是 k 加三要小于等于咱们他俩人的中点啊，他俩人中点就应该是二分之 k 加二，是不是二分之 k 加二，哎，别，别，超过他就行了，好，这样就解除 k 小 于负四。 第三种，那就是这种情况，那这种情况你会发现他也是横成力的呀，因为这是 k， 那 k 加三肯定还是在他后面呀，那他在 k 到 k 加三上，那肯定你看也是增大而增大，所以这种情况也是横成力。好，所以最后我们综上就会发现， 这个情况和这个情况都是横乘立的，所以 k 大 于等于二就是横乘立的啊，然后以及这个情况的 k 小 于等于负四，哎，这就是答案啊，好，当然这个道题啊，我们在吹毛求疵的聊一下啊， 哎，这道题其实在命题上呢，有那么一丢丢的啊，有那么一丢丢的小小的问题，同学们，如果你真的是一个范围精读的高手，你会发现，这道题最好在这里是不取等的， 是不是？哎，为什么呢？因为 m 其实不是不不能等于 k 啊，为什么？因为他们两个人有一个焦点是 k 啊，他们俩就 p q 的 长度，他们两个有一个焦点是 k， 所以 如果当 m 等于 k 的 时候，这个时候 p q 的 长度就是零了，他就不再是线段 p q 了， 对不对？所以这两个条件他就是一个冲突的条件了啊。所以同学们，这里就代表着，如果你真的是一个范围精度高手，那你就会发现，这道题其实稍微在这里，如果不取，等会出的更好一些。 好，以上呢，这道题肖老师给你们讲解完了啊，总之这道题呢，虽然有一点点小心影啊，在这个根这块可能需要做一个有序分析，但是整体来讲，还是一道非常符合咱们今年中考趋势的一道好题 啊，非常标准的一道代际综合问题。那肖老师，这个万能五步曲同学们有没有学会呀？哎，你可以去做一做其他的题目啊，总之这种题就是用这五步啊，都是能够非常清晰明确的搞定的啊，这五步当中不光能搞定这道题， 其实这五步也是我们做很多很多函数题都要通用的一些技能啊。

好，那各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说二零二六年和平区九年级一模数学第十七题的相关解题思路。 这道题的难度我觉得有点不太够，对于实题来说啊，来我们看这题啊，说如图，三角形 abc 中 b、 a、 c 是 九十度，然后 abbc 告诉我了数都不太整，然后说将三角形 abc 绕点 c 逆时针旋转六十度， 得到这样一个三角形，转的是一个六角，这是个六，然后 ab 分 别对应的是 a 撇、 b b 连接 a a 撇和 b a 撇。 第一求 a a 撇的长是多少，求这个的长，那这个很简单，对吧？我只要把 ac 求出来就可以，因为 ab 告诉我的这个是二位，刚好三，然后这个 bc 也知道是刚好三十七，这个勾五算一下， ab 应该等于 ab， 应该等于五， 这个是五的话，那 a a 撇就应该也是五啊。所以第一问比较比较容易，第二问求 b a 撇长，这个也不难，就是 你看到的第一问求的这个边长等于五，然后还能知道 c a a 撇是个等边的话，那么这个题就真的这个就没什么可讲的，就是这是六十，整个是九十了，这就是三十度。 知道 ab 知道 a a 撇，知道这是三十度，那这个求 b a 撇就是我们那个原则，角不破坏，特殊角就做高就可以了。过这个我把图放大点啊，过点 b 向这个 a a 撇做个垂直，是不是这个点都不重要啊？这个自己做个垂直，这是个点 点 d 吧。好，因为这个角是三十度，这个边是二位，刚好三，那么这个边呢？就是刚好三， 这个根号三，那么这个边呢？这就是三，整个是五减掉三，这呢这个边就等于二，这是二，这是根号三，求 b a 撇，这不就勾股定律嘛，三加四等于七，所以 b a 撇等于根号七，完成任务 啊，所以你只要能找到这个角是三十度这个题就就是纯套路问题，而这个三十度不难发现，九十减六十度啊。 好了，那这就是对于我们十七亿的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。好了，那这个十七亿大伙说到这了。