抽象函数求偏导数

各位同学大家好，我们一起来看一下多元抽象符合函数求偏导的一个真会编。对于这类的题目的话，我们一个比较常规的做法就是利用这个练式的求导法则， 但是用炼制求导法则的话，相对来说对于这类的题目的话，可能稍微会比较麻烦一些，所以的话，对于这类的题目，我们介绍一个相对来说比较简单的一个方法，对吧？大家记上一些相应的一些公式，然后去套用就可以了。好，呃，我们来把这个用到的公式总结一下， 我们就假设这个函数的话，它是一个 z 的 对吧？然后对于 x 的 偏导好，它一定可以分裂成两部分，一个是 f 一 一撇，这个表示的就是对第一个中间变量的呃一阶导，对吧？然后再加上 呃就是一个第二个中间变量 f 二一撇他们两个的一个线圈组合，当然这个组合前面的系数是由第一个中间变量 我们用 u 来表示，关于 x 的 偏导，第二个中间变量 v 关于 x 的 偏导好，它的结果一定是这样的一个形式的好。然后 f 一 撇和 f 二一撇分别表示对第一个中间变量求导和对第二个中间变量求导好。如果是对于这个 y 来求的话，它同样会分裂成 f 一 一撇和 f 二一撇，只不过前面的系数好。我们这块来看一下，是第一个中间变量，又关于 y 的 偏导， 一个是第二个中间变量为关于 y 的 偏导好，这个就是一阶导呃，无非就这两种形式，只要我们把呃第一个中间变量关于 x 的 偏导 呃算出来，然后写到它前面就可以了。如果是关于 y 的 话，那就是第一个中间变量关于 y 的 偏导，第二个中间变量关于 y 的 偏导，对吧？ 本质上只要会求一个偏导就 ok 了。那如果是二阶导的话，二阶导是不对，一阶导再求导，那么一阶导那是不就有 f 一 一撇好？那 f 一 一撇如果对于 x 来进行求导的话， 它会分裂成两部分，就是 f 一 一两撇，那就是先对第一个中间变量，再对第一个中间变量求一个二阶导，对吧？然后是 f 一 二两撇， 那这个就是先对第一个中间变量，再对第二个中间变量求一个二阶导好。它前面的系数看是 f 一 一撇关于 x 求偏导，那前面的系数又关于 x 的 偏导，再加上 谓关于 x 的 偏档好。那类似的，如果是 f 二一撇关于 x 来进行一个求档 好，我们这块就直接可以写了，是不是第一个中间变量又关于 x 的 偏档，再乘以这块就是 f 二一两撇，先对第二个中间变量，再对第一个中间变量的一个二阶档，然后再加上 v 关于 x， 再乘以 f 二二两撇，也就是对第二个中间变量求二界导好。这个是 f 一 一撇和 f 二一撇关于 x 求偏导，那是不是还可以对外来进行一个求偏导？呃，我们写到写到这块吧， f 一 一撇关于 y 来求一下偏导 好。分裂的还是 f 一 一撇，而 f 一 一和 f 一 二只不过前面的系数这块是第一个中间变量关于 y， 再乘以 f 一 一两撇，再加上第二个中间变量 关于 y， 再求一下 f 一 二两撇好， f 二一撇，如果关于 y 的 话，好分裂的是不是也都是一样的？ 我们这块都可以类比一下，这块应该是 f 一 二。呃，这块是 f 二一 两片，再加上 v 关于 y， 这里是 f 二二两片。好，当然我们要注意一下，根据混合偏导的这个定律， f 一 二两片一定是等于谁 f 二一两片的，对吧？所以我们在最后，在合并的时候，最后在这个化简的时候，就需要把它们两个合并，而且一般我们都是用 f 一 二两片来表示，一般不会用这个 f 二一两片，大家把这块稍微注意一下就 ok 了。好，那有这样的一个。 呃，这几组公式的话，我们再去做这种题目就会比较简单了。好，我们来看一下，看一下二五年的 z 关于 x 的 偏导。好， z 关于 x 的 偏导，是不是我们知道它肯定会分裂成 f 一 一撇和 f 二一撇，然后它前面的系数是第一个中间变量。二， x 加 y， 关于 x 的 偏导是不是应该是二， 那就是二倍的 f 一 撇，然后再加上这块的话，是第二个中间变量，就是 x 加外方，它关于 x 求偏导是不是应该是一，那就是 f 二一撇？好，这第一问就做完了，接下来看一下第二问， 第二问是让我们求一个先 x 在 外的一个混合偏导。好，那关于 x 的 混合偏导前面是不是算了？好，我们这块在旁边来分析一下，那是不是二倍的 f 一 一撇，再加上 f 二一撇， 整个再关关于谁 y 来求偏导，好，那这块可以看一下是不是应该是二倍的？ 嗯，应该是。呃， f 一 一撇，关于 y 的 话是不可以分裂成 f 一 一和 f 一 二？好， f 一 和 f 一 二的话，前面的第一个中间变量关于 y 求偏导是不应该是一，那这块就是 f 一 一两撇，再加上第二个中间变量，关于 y 求偏导，是不是二 y 再乘以谁 f 一 二两撇， 然后再看一下 f 二一撇，关于 y 求偏导的结果是不应该是分裂成 f 二一和 f 二二，那就应该是 f 二一两撇，再加上二 y 的 f 二二两撇。好，然后我们把它个整理一下，那就应该是二倍的 f 一 一两撇，然后再加上 f 一 二和 f 二一，是不应该是合并好？合并之后的话是不应该是四 y 再加上个一，再乘以个 f 一 二两片，然后再加上 是不是二 y 的 f 二二两片？好，这个二五年的题目我们就说完了，接下来我们再看一下二四年的好，二四年的 z 的 偏导， 第一个中间变量是不是 x 乘以 y？ 关于 x 求偏导是不应该是 y， y 乘以 f 一 一撇，然后再加上第二个中间变量关于 x 求偏导。那么 cosine x 求偏导是不是应该是负的三 e x， 所以 这块是不是应该变成一个减号， 减去一个三 e x 乘以 f 二一撇好。一阶导一般来说都比较简单，接下来我们看一下二阶导， 先 x 在 y， 那 么是不是就对第一个的结果， 关于谁 y 来求一下偏导？好，这里我们要注意一下， y 乘以 f 一 一撇，关于 y 来求偏导。 y 是 一个关于 y 的 函数， f 一 一撇也是一个关于 y 的 函数，那这里是不是要用到 乘法的这个求导法则，前导后不导，后导前不导。这块是求二阶导的时候大家需要去注意的地方。那先对前面的外求导是不是就应该是 f 一 一撇，然后再加上外不动对 f 一 一撇？关于外来求导， 那么 x 乘以 y， 关于外来求导是不应该是 x， 然后 f 一 一撇，分裂成谁？ f 一 一， 再加上。呃，是不是 cosine x 加 y， 关于 y 的 求导是不是一，然后分裂的是不是应该 f 一 二两片？好，然后我们写到下面吧，这块写不上了，再减去。 关于外求道三页 x 是 不应该是一个常数，就写到这里，先乘到前面，然后 f 二一撇。关于外来求偏偏道是不应该是 x 的 f 这里应该是二一两撇，再加上 f 二二两撇。好，然后把这个整理一下。好，你像这个二阶导，一般情况下我们 呃直接写结果也是 ok 的。 好，在写结果的时候，或者说是最后化简的时候一定要注意。第，先写第一节的是不是就 f 一 一片，然后再加上二节的话，一定是一一一二二二的顺序，那是不是应该是 x， y 乘以 f 一 一的两片，然后再加上 f 一 二，前面的系数是不 y f 二一，前面的系数是负的， x 乘以三引 x， 然后一合并，是不是 y 减去 x 乘以一个三引 x， 这里是谁？ f 一 二两，不巧，然后再加上。 呃， f 二二。诶，这块有个符号，所以我们这块应该是减去 c， x 乘以 f 二二两撇。好，这个是二四年的题目，接下来再看一下二三年 z 关于 x 求偏的 一定是 f 一 一撇和 f 二一撇的组合，前面的系数就是第一个中间变量 x 平方乘以 y， 关于 x 求偏的是不是二倍的 x， y 再乘以这 f 一 一撇。 第二个中间变量是一加 y 关于 x 求导是不是零，所以的话 z 关于 x 一 阶偏导就是二倍的 x， y 乘以 f 一 一撇好，接下来求一下二阶导， 好，这个我们在旁边写一下，是不是关于 y， 好。 二 x y 是 一个关于 y 的 函数， f e 一 撇也是一个关于 y 的 函数，是不是需要前导后不导，后导前不导乘法的一个求导法则？那么二 x y 关于 y 来求导是不是二 x， 然后再乘以谁 f 一 一撇，然后再加上二倍的 x， y 再乘以 f 一 一撇。关于 y f 一 一撇。关于 y 的 话是不是可以变成前面关于 y 是 不是应该是 x 的 平方，再乘以谁 f 一 一两撇，然后再加上一加 y 关于 y 求导是不是一。 这里分裂的是 f 一 二两片好，然后整理一下二 x 乘以 f 一 一片，然后再加上二倍的 x 的 三次方乘以 y， 再乘以谁 f 一 一两片，然后再加上 这边系数是二 x， y 再乘以谁 f 的 一二两片，好，这个是二三年的题目，接下来看一下二二年，二年也是类似的 好。当然这块要注意一下它这块的这个函数的这个呃词变量啊，音变量换成了 u， 不 再是 z 了，所以我们这块写的时候就是 u 关于 x 的 一个偏导，好，这块是不是就等于 x 平方？关于 x 求偏导是不二， x 乘以 f 一 撇，然后再加上 x， 加上外方关于 x 求偏导是不就一 f 二一撇好。 u 先关于 x， 再关于 y， 好， 那也就是 x 已经求完了，我们这块来看一下，就二 x 的 f 一 一片，再加上 f 二一片。关于谁，是不关于 y 来求。 好，关于 y 来求偏导。二 x 的 长数写到前面，好，这个相当于系数 f 一 一片。关于 y x 平方，关于 y 是 不应该是零零乘以谁 f 一 一两撇，然后再加上是不应该是二 y 乘以谁 f 一 二两撇？好，这个我们另起一行，加上， 是不是就是零，乘以 f 二一两片，再加上二 y 乘以谁 f 二二两片，然后整理一下，呃，是不就应该是四 x y 再乘以 f 一 二两片，然后再加上 这个 f 二一，这块也是零，那只剩下一个二 y 再乘以谁 f 二二两下。好，这块在整理的时候大家一定要注意一下。好，这个是二二年的，接下来看一下。二一年，好，二一年，这个是一个显函数的，这个来说，相对于其他年份的题目来说，它是来说会简单一些。 z 关于 x 的 偏导，好，那就是对 x 求偏导， x 是 变量，剩下的是不全部看作常数。 e 的 x 平方加 y 的 平方，这个是不是个函数？我们先算外层，外层是不是 e 的 x 方加外方，再乘以内层 x 平方加 y 的 平方。关于 x 求偏导，是不是应该是一个二 x， 好， 这个就是一阶。接下来我们求一下二阶， 二阶导，是不就对于这个一阶导 z 关于 x 的 一阶偏导，再关于 y 再求一次导数，那二 x 相当于是不是 e 的 x 方，再加上一个 y 方，这是外层内层 x 平方加 y 的 平方，只不过这个时候要对谁 y 来求偏导， x 平方相当于常数，就是零 y 方。关于 y 求导，是不是二 y， 整理一下，是不是四倍的 x， y 再乘以谁 e 的 x 方再加上一个谁 y 的 平方？ 好，这个是二一年的，接下来看一下二零年， 二零年这道题目我们要注意一下，先看一下是右关于谁 x 求偏导，右关于 x 求偏导的话，是不就应该是 x 乘以 y， 关于 x 求偏导，是不是 y， y 乘以 f 一 撇，然后再加上 e 的 x 加 y， 关于 x 求偏导，这个外层函数就是 e 的 x 加 y， 次方再乘以内层函数 x 加 y。 关于 x 求偏导，是不应该是一，好，那一就不用写了，是不是 f 二一撇？好， 那要求关于 y 的 二阶偏导，是不是先求右关于 y 的 是不是一阶导？那一阶导的话，这个是关于 y 的， 那么 x 乘以 y， 关于 y 来求偏导，是不是应该是 x 再乘以谁 f 一 一撇， 那 e 的 x 加 one， 次方关于 one 来求偏导，是不和关于 x 求偏导结果是一样的？好，我们就直接可以写了。好，接下来我们来看一下 关于 y。 好， 嗯，我们重新找一个地方，可能需要这块稍微麻烦一些，我们这块来再把这个过程稍微写一下，再加上 e 的 x 加 y， 再乘以 f 二一撇 关于 y 来求一下导数，好，关于 y 求导， x 是 不是长数，那就是 x 乘以 f 一 一撇，关于 y 来求偏导的话，那前面的系数是应该是 x， 然后这块是 f 一 一，然后再加上好 e 的 x 加 y， 再乘以个谁 f 一 二两撇。好，这个是前面这一部分，后面这个 e 的 x 加 y， 次方乘以 f 二一撇，那是不是应该是要用到这个乘法的求导法则，那么前导 e 的 x 加 y 乘以 f 二一撇，这个数不变， 然后再加上前面不变，是不对后面求的好，前面的这个系数还是跟前面那部分是不一样的 x， 只不过这里要变成谁 f 二一两下， e 的 x 加 y 这块是我们往过移一下，是不是 f 二二两下？好，这个会稍微复杂一些，我们把它整理一下， 我们看有没有一阶导是有一阶导好，一阶导的话是不就应该是 e 的 x 加 y 再乘以谁 f 二一撇，然后再加上 f 一 一，是不应该是 x 的 平方， 然后再加上 f 一 二。 f 一 二的话是 x 乘以 e 的 x 加 y 次方。 f 二一是不是也是 x 乘以 e 的 x 加 y 次方。哎，那两个一合并是不是二倍的 x 的 e 的 x 加 y 次方，再乘一个。这边我们写 f 一 二两片，然后再加上 f 二二。 f 二二的话，它前面的系数是 e 的 x y 次方，再乘以 e 的 x， y 次方，也就是 e 的 二倍的 x 再加上一个二 y 再乘以谁 f 二二的两项。好，这个就是 啊，二零年的题目，这道题相对来说会计算会稍微复杂一些。好，接下来看一下一九年 右。关于 y 好， x 平方减外方关于 y 求偏导，结果是不是负二 y 再乘以 c， f e 一 撇，然后再加上 e 的 外次方。关于呃，外求导，还是它自身，对吧？然后是 f 二一撇， 二阶导是先对 y 再对 x。 好， 这块我们就写到旁边吧。 好，这个具体二阶导的话，一般来说会稍微麻烦一些，这个大家需要在草稿纸上去认真来写一下。好。 关于 x 会变到 y 是 不是就常数负二 y 系数写到最前面括号 f 一 一撇。关于 x x 平方减外方是不是二 x 乘以 f 一 一两撇，然后再加上 e 的 y 次方，关于 x 而言，是不是应该就是零了？这个是 f 一 二两撇，我们先写到这里， 然后再加上 e 的 y 次方，再乘以 f 二一撇，这个是不是也是二 x 乘以这块是 f 二一两撇，然后再加上零乘以谁 f 二二两撇。然后我们整理一下， 呃，零的话，是不是只要是有一个是零，那整个这一项是不都没有了？我们先看一下 f 一 f 一 的话，那前面的系数是负四的 x y 再乘以谁 f 一 一两片，然后 f 一 二没有了。 呃，但是有 f 二一 f 二一，我们是不是要写成谁 f 一 二，那就是二 x 乘以 e 的 y 次方，再乘以个谁 f 的 一二两片， 呃，二的话是不是就没有了？就是零？好，那这个就是一九年的题目。接着再看一下一八年 又关于 x 求偏的 x 减 y， 关于 x 求偏的是不是 f 一 一片，再加上 x 加 y， 关于 x 求偏的是不是也是 e 就是 f 二一片？ 好，这个比较简单，我们就直接来写了 f 一 一撇，关于 y， 那 是不是就应该是负的 f 一 一两撇，再加上 应该是正的 f 一 二两撇，对吧？然后再加上这块 f 二一两撇，然后再加上 f 的 二二两撇。 f 一 二和 f 二一，呃，是不是应该是一样的？但是这中间是不是有个符号，所以的话，呃， f 一 二和 f 二一，这个就消掉了。最后的结果是负的 f 一 一两撇，再加上 f 二二两撇。好，这个是一八年的。接下来再看一下一七年 右关于 x 求偏导， x 关于 x 的 偏导，是不是就应该是一 f 一 一撇， x 乘以 y 关于 x 求偏导，是不 y f 二一撇好，二节 是不先对一节，再对二节？我这会来看一下，那是不是 f 一 一撇，再加上 y 乘以 f 二一撇？关于 y 好， 前面的 f 一 一撇关于 y， 那 么 x 关于 y 求偏导，是不是应该是零零乘以谁 f 一 一两撇， 然后再加上 x y 关于 y 求偏导，是不是 x f 的 一二两撇，然后再加上 y 乘以 f 二一撇。关于 y 求偏导，是不需要前倒后不倒，后倒前不倒就应该是一个 f 二一撇，然后再加上 这块应该是一个外倍的，是不零乘一个 f 二一两片，再加上应该是一个 x 乘以谁 f 二二两片好，然后我们整理一下， 呃零的话是不都没有了，只剩下一个，首先有个 f 二一片好， f 二一片，然后再加上 呃 f 一， 没有了 f 一 二，呃 f 二， f 二一是不是也是零？只有一个 f 一 二，那就是 x 乘以谁？ f 一 二的两撇，然后再加上 f 二二也有，是不就是？而且前面系数是 x 乘以 y f 二二两撇好。这个是一七年的题目。最后我们再看一下一六年 z 关于 x 的 偏导， x 加 y 关于 x 的 偏导，是不应该是一，那就是 f 一 一撇，然后再加上 e 的 x 乘外次方， e 的 x 乘外次方。关于 x 求偏导， 那首先外层函数是不是 e 的 x y 次方，然后再乘以内层函数 x 乘以 y 关于 x 求偏导，前面是不是应该有个 y 好， 这个就是第二个中间变量关于 x 的 一个偏导的结果，再乘以 f 二一撇，这个就是一阶导的一个结果。 接下来我们来看一下二阶导，还是对 x 进行求导，这个我们在旁边来写一下吧。 乘以 f 二一撇好，还是关于 x f 一 一撇关于 x 好， 这个系数是不是就可以用这个一阶导的时候的？那就应该是 f 一 一两撇，再加上是不是 y 乘以 e 的 x， y 次方，再乘以谁 f 一 二两撇好，再加上这部分 是不会看成两部分，呃，一部分是 f 二一撇，另外一个是 y 乘以 e 的 x 乘 y 次方好，那是不要用到前导后不导，后导前不导。我们先给前面这部分求导。是关于 x， 那 是不应该是 y 再乘以 e 的 x， y 次方，然后再乘以 x 乘以 y。 关于 x 的 偏导是不是还有个 y， 那 前面还有个 y， 是 不是有 y 的 平方？再乘以是 f 二一撇不动，然后再加上我们这个写到下面吧， 是不是再加上前面的不动， 对后面的 f 二一撇。关于 x 求偏的是不应该是 f 二一的两撇，再加上 y 乘以 e 的 x， y 再乘以谁 f 二二 两撇好，然后我们来整理一下，呃，是不是有个一阶导，那就是 y 方乘以 e 的 x， y 次方，再乘以谁 f 二一撇，然后再加上 f 一 一，呃，系数就是一，然后再加上呃， f 一 二，这块是 f 一 二，然后 f 二一， 哎，它两个前面的系数是不一样的，所以就应该是二倍的 y 乘以 e 的 x， y 再乘以 f 一 二两片 最后是不就剩下一个 f 二二？ f 二二，前面的系数是不是 y 乘以 e 的 x， y 次方，再乘以 y 乘以 e 的 x， y 次方，那是不应该是 y 方再乘一个 e 的 二倍的 x， y 再乘以谁？ f 二，二两下。好，那这个就是一六年的题目。好，那关于这个二元抽象函数求偏导的。呃，真题我们就讲完了。