长清区2026年中考一模科目顺序

二零二六年济南中考各区一模的时间主要集中在三月底到四月初，采取各区统考的方式进行。 根据相关消息，高新区和天桥区将于三月二十七日和二十八日举行，地下区安排在了三月三十一日和四月一日两天。淮阴区的一模时间为四月一日和二日，市中区将于清明假期之后的四月八日和四月九日进行模考。 本轮一模时间最晚的依旧是历城区，将于四月十四日和四月十五日进行。另外有消息称，全市统一的模拟时间将于四月二十五日和二十六日进行，这次将是全市的大排名。还有一个月的时间，大家可以好好准备。关于二零二六年济南中考，大家还有其他的问题，欢迎私信沟通。

hello， 大家好，我是蒋文老师，欢迎大家收看本期的试卷讲解啊，今天给大家来讲一下市中区刚考完的这套中考一模数学试卷。 嗯，呃，整体算下来呢，我主要还是讲一下压轴题啊，整体算下来的话，难度还是，呃，挺大的。对，因为计算量也确实比较多啊。然后我们重点来看一下，比如说倒数的这个第九题吧。嗯， 这道题目呢，其实本身难度倒不大，但是关键是有一个倒角的这个思路，能够整理出来，有一个字幕相似，这个很关键。对，那，呃，大家可以看一下啊，这里面交代了一条 a d 是 角平分线，还有一条垂直平分线，完事呢，给到了 bc 的 长度和 cf 的 长度，最终想去求 e f 的 这个长度，嗯，先把这个挪开啊， 行，然后我的一个思路是什么呢？是这样的，就是，呃，因为我们知道角平分线，它会平分角以及到角的两边距离相等，对吧？当然还有一个叫平分线分线段成比例对它的性质， 然后垂直平分线的性质呢，就是唯独就只有一个，就是垂直平分线上点到线段，两段的距离相等，所以你有了这个认识之后呢，那么看到这条垂直平分线，你会发现它特意交代了一个交延长线与点 f， 所以 这个就是我们的突破口，它肯定是连接 f a， 之后呢，它肯定和 f e 是 相等的关系。 对，所以呢，你像这道题，我如果想去求 f e， 那 我其实就可以求 af 就 可以了，并且与此同时，这里还出现了一个等幺啊，所以它的底角会相等。那这时候我们观察到这个底角和这个底角它们的这个组成呢，分别是你比如说角平分线，我可以分为 alpha 和 alpha， 然后呢底下这个角呢，刚好是一个 alpha， 外角嘛加是个 beta， 所以 上面那个角应该也是 alpha 加 beta， 所以 我们就推出来了这个小角必须是 beta。 好，那所以这时候呢，就找到了我们这个相似，就我这里写的 f c a 相似于 f a b， f a 的 平方就等于 f c 乘以 f b， 这样就很轻松解出来了啊。 ok， 然后这个倒角的思路让我想到了这个，呃，年前九上的这个历下期末考试的最后一道题，大家有时间可以去翻看一下那道题啊，那道题也是在找那个相似的字幕，相似倒角的时候特别的巧妙，嗯，很这个思路有点相通。嗯， 好。然后我们来看一下这个第十题，这里呢，我都已经写完过程了，所以我们就交代一下，我就不再重新写了哈，节省下时间。对，然后像第一个的话呢，他的序列数，这个没问题啊，这个肯定都对的。第二个呢，就是他说横有两个交点，那这里我们根据他的序列数可以写出来，他的表达式应该是长成这个样子的， 对，应该长成这个样子，所以它的表达是，那么我们想与 x 轴有两个交点，我们的判断依据就是当 y 等于零的时候，得到那个一元二次方程，应该有两个，呃，横有两个，那个 不等的实数根，对吧？所以说我们拿到那个方程之后，我们应该要找的是 delta， 必须要大于零。但是我们去算了一下，它这个 delta 之后呢，它是 b 方减 c， c 它是 m 减二的平方，这是一个平方数，它是大于等于零的， 所以它是有希望等于零的。那如果真的等于零的话，那这个与 x 轴和有两个焦点就不对了啊，因为那时候就相当于是一个焦点嘛，顶点正好顶在这个 x 轴上，所以第二个是错的。嗯， 第三个说这两个点呢，是这个虚列数图像上的两个点，所以说我们把这个虚列数的一写对，这时候就需要我们有一个对于函数含参二次函数的一个积累，就是当我们遇到每个部分都有 m 的 时候，其实这里 m 是 可以提取的，所以我可以很轻松确定它对称轴是定值，它与 x 轴的两个交点坐标也是定值。 对，不管这个题有没有用上哈，我们应该要往这个思路上去考虑，所以我们可以很快的求出来它对称轴以及它的一个与 x 轴的交点坐标，负一对零和三对零。 好，然后再回到这个题，他说已知 m 大 于零，那说明开口向上 y 一 等于负三 m。 好， 那这里就需要我们这个敏感度了哈，就是负三 m 是 不是刚好是这个 y abc 的 那个 c 就是 常数项， 所以什么时候才能取到这个负三 m 呢？就是当它的横坐标为零的时候，这是一个比较。呃，直接想到了一个点，就是零度负三 m 是 一定会经过的， 那所以这里的话， x 一 逗 y 一 或 x 二 x 一 逗 y 一， 这个 x 一 就有可能是零。那另外一个呢？我们也可以根据对称轴去求出来。对称轴是一嘛？你这边是零负三 m， 那 关于对称轴对称一下，那个点就是二负三 m， 所以 这个 x 一 呢，有可能是零，有可能是二 对，然后他又说两个点作比较嘛，然后这个 y 一 这个值要比 y 二这个值要大。哎，所以这时候我们可以看一下开口向上的图像，这边是零负三 m， 然后呢，另外一个点纵坐标还要比负三 m 还要还要小， 所以也只能是往下走了，对吧？往下找，这时候呢，你这个点不管是取在这段图像哪个点上，都能满足题一，而此时横坐标呢，就是介于零和二之间的。对，因为这个点是零度负三 m， 这个点是二度负三 m 嘛，那你要在它俩之间，也就在它们下面 x 横坐标的取值刚好在零和二之间，所以第三个是正确的。 嗯，第四个这里呢，他好像不能跟第三题一样，就是把 m 给它提取出来。对，但是呢，一般遇到这种含有一个参数的这种式子啊，我们应该要想到是可以看能不能进行因子分解。 对，有这个意识啊，当然这个第四题没有用上，第五题用上了啊，所以第四题这里呢，他想判断的就是一种增减性，所以影响增减性呢，当然就是开口方向和对称轴的位置。所以呢，我们就根据写出来的这个二次函数确定对称轴应该是二分之一，那根据 m 是 一个小于零的，人家说了， 所以他是开口向下的， m 又是一个小于零的，所以这个对称轴要比二分之一要大，又小于零，对称轴要比二分之一要大。那我们来画一个草图就行了啊，比如说就像这里，那如果这个对称轴比二分之一要大的话，因为 m 小 于零啊，所以这个我们求出来确实是大的，如果比他大，那就说明这个二分之一应该是在对称轴的左边， 就比如说在这里，那当你小于二分之一的时候，那不就是找这段图像吗？对吧？那这段图像就是 y 随 x 增大而增大的，所以第四题是正确的。 然后第五个，他说如果虚列数是这三个，那我们写出来这个表达式是 y 等于二 m 方，哎，就是加一减 m， x 减一减 m。 对， 然后他说顶点和抛物线与 x 轴的两个交点组成三角形，刚好是等于二直角三角形， 所以我随便画了一个图案就开口向下的。如果是这种情况的话，就是这个图形必须是等腰直角三角形。那我们就去想，因为等腰直角三角形所得的特殊性在哪里？就是等腰是一定存在的，因为你顶点连接两个对称轴的对称点吗？他肯定是等腰，那如果要保证九十度的话，那么他就会有一种特点，就是 这个数值距离和这个水平距离应该是两倍关系，对吧？等腰直角三角形才有的。 所以我们就顺着这样一个想法，我就想办法能看能不能把 x 一 x 二这两个点的水平距离以及顶点的纵坐标给它表达出来。 对，所以这里计算量确实有点大哈。不过呢，我建议大家，当然这道题是错的，因为最后答案可能不止三分之一这一个，对，呃，但是呢，我想让大家积累的就是，对于第五题来说，我们分析下次可能咱碰不到，咱碰不到原题，但是有可能会碰到类似于这样的，就是当你拿到这个 abc 都有一个相同参数的时候，我们的处理思路是要么像第三题一样能够提取出来，对，要么呢就像第五题这种，我们尝试去给它进行因式分解。 因式分解对这种呢思路其实是属于高一的函数那块的一个考察方式啊。不过呢，如果说大家有这个意识的话，可能对于一些能够因式分解成功的一些二次函数来说，他在处理的时候会更轻松一些， 所以像这个位置还是很很轻松就出力出来了。对这一招怎么样实现一式分解呢？就是用十字相乘去配的， 并且这种含差的十字相乘呢，我觉得要比正常数字的十字相乘，其实你做多了之后啊，你会发现其实更简单，你比如说这个二 m x 方，二 m x 方，它要拆成谁跟谁呢？就我们进行一式分解嘛，首尾分拆，所以有可能是 m x 乘以个二 m x 是 吧？也有可能是 x 和二 m x， 就 这种。 而后边这个长竖向就是一和负一减 m， 或者负一和一加 m， 所以 一和一加 m， 它俩有一个代符号， 所以我们通过这种方式，比如说一加 m 在 上，一在下，通过这种方式交叉相乘，我们想办法把这个一减 m 给它凑出来，发现确实是能凑出来的， 就是当上面是 x， 底下是二 m x， 而这时候呢，我们把负一放这，一加 m 放这哎，刚好可以加一加 m 个 x， 减两个 m x， 刚好是一减 m x， 所以 我们才有了这个很关键的式子 它，那这时候呢，它的两个焦点坐标就是 x， 一 就是一，就是一逗零，另外一个呢，就是负二分之一减二 m 分 之一逗零， 是这样的，嗯，好，有了这两个点，那么他们之间的这个水平距离，就这个距离暂时可以搞定了，就 他俩直接做差吗？我们就给他加上绝对值，等于咱确实不知道谁大谁小啊。另外一个呢，就找他对称轴，就根据这两个点相加除以二找对称轴，再带入进去，找出来他顶点的纵坐标。 呃，确实计算量有点大。对，最后呢，我根据这个两倍关系去求解了一下，反正呢，我不知道最后答案是不是这三个就负三分之一，三分之一，还有负一这三个答案，对，但总之他这一个答案就是三分之一，这个肯定是不对的。 ok， 这个题就这样了啊，确实计算量有点大啊，大家可以自己暂停看一下。对， 呃，不过重点我希望大家记住的还是这个东西好吗？还是这个东西就是音式分解的这个韩餐音式分解。好，再来看一下这个第十五题，这道题呢，其实是比较熟悉的一道题目了，之前去年的时候有遇到过。对 这题我们想到的就是当我们遇到这种三倍的 bh 加上四倍的 ef 取最小值的时候呢，我们有两个思路，一个呢，就给他把系数提取一下，让一条线段带系数， 然后我们就对，然后这种题目呢，一定最后需要进行等量代换，因为你直接去算肯定是算不出来的，至于你要用什么方式进行等量代换，这个就因题而异了，对吧？你像胡不归，我们是借助的是三角函数啊，二式元呢，借助的是子母相似构造， 还有一些手拉手中也会出现这种情况。手拉手呢，肯定还是借助手拉手的相似去构造嘛。对，呃，其实这种情况很多，包括逆等线，也有逆等线，我们是要利用构造全等或者构造相似 进行线段的转化。嗯，很多哈，那所以这个地方他是用什么方式转化的呢？这个是，呃，用了一个十字架。对，折叠问题嘛，大家看他沿着 f e 把右半部分给他折过来，所以 b 的 落点是 j， a 的 落点是 h， 这时候呢，我首先想到的就是 折痕和对应点的连线一定是能够垂直平分对应点的连线段的，所以这时候 e f 和 b j 他 俩肯定是一种垂直平分的关系，并且呢，这正好是一个长方形中的十字架模型，就是 e f， 这个折痕他比上 b j， 他 刚好会等于这个短的宽，比上长边，刚好是六比八，也就是四分之三。 对，而这时候呢，我发现有三有四吗？而你原来这个带系数的关系也是有三有四的，所以我们可以尝试着把 e f 这块进行转化，所以发现呢，这个 b j 他 刚好等于三分之四倍的 e f。 那所以前面部分能不能出来 e f 呢？发现可以，只要你把三一提取括号里面就是 b h 加三分之四倍的 e f， 所以 这时候我们就变成了三倍的 b h 加 b j。 对， 变到这个位置了。好，那一般呢，有些题目可能到这个阶段就可以 计算了。对，但是这道题好像不行，因为这时候呢， b 点是定点， g 呢是在动的， h 也是在动的，所以他们之间并没有一个可以直接解决的，比如说将军马这种题型。嗯，所以这时候，对，所以这道题的难点又在这了，你需要把 bh 也要进行转化， 这个转化呢，是因为折叠的这种对称性进行转化的，就是你把这边的一个相当于是一个梯形，对吧？沿着 e f 给它翻折过来之后呢，你这个 b h 的 这个连线一定会和 a j 这条连线，它俩是对称相等的关系， 大家可以想想，或者你把 a h 连起来，它其实是一个等腰梯形啊，等腰梯形的对角线是不就是相等的关系？ 对，所以这里第二个很重要的转化，就是把 b h 转化成了 a j， 这样呢，最终我们想要的最小值就变成了 b j 加 a j 最小。哇，这就是我们非常熟悉的将军印码，对吧？然后我就做对称连接另外一个点就搞定了。对，所以这时候呢，我就把这个图咱再还原回来，好吗？ 其实就这样了。对，所以我这里呢，是做的 a 的 对称点啊，对称过来之后再去连接 b， 这时候呢，因为你这个长度不是八吗？所以你这边是八，对称过来也是八，所以你连接 b 之后呢，刚好有一个八字全等。对，所以这个焦点，这呀，它就是这个宽 c 得的这个中点，也就是上面这一块就是三 对。然后你不在这个题要求的是最终 f g 的 长，所以你再还原回去的话，这边更好，可以勾成一个勾股方程。勾股方程我设这个边为 x， 那 上面就是八减 x， 利用这个直角三，还有就是勾到勾股方程就结束了，嗯，最后取出来是十六分之七十三。 好，所以这里面难点呢，就是那两次转化，一个是十字架，一个是对称的这种相等关系。 ok， 这个题就这样了啊，好，再来看一下这道题目，嗯，这道题目呢，其实， 哎呀，这个第一题是是不是八根五来着？忘了。对，这道题呢， a c 两点呢，它是关于原点对称的，所以坐标是可以很轻松呈现的。而第二问，他想去在正半轴上找一个 h 是 一个直角三角形，这种情况。哦哦，对哦，这道题是不是也可以利用构造一线三垂来做？其实就是要去找 h 点坐标。 嗯，我根据这个垂直呢，我想到了一个思路，就是 k 相乘得负一，所以我就想着把 a h 的 k 还有 c h 的 k 给它求出来，最终求出来呢， m 方等于二十，所以 m 等于二根五，在正半轴嘛。对，那我觉得这里构造一线三垂的话应该也行，大家可以试一下啊， 因为这是一个直角好，比如这里呢，我们做一个高，这里也做一个高。 ok， 这不一线三垂直的一个相似问题吗？对，相似，那我可以假设一下，比如说我设这个点为零度 m 还是零度 m， 那 这时候呢，这个边长就是四， 对，那这个短，这个边呢，应该就是 m 减二，这边是好了，然后这边呢，这个长度是四， 这个长度呢，就是 m 减负二，也就是 m 加二，这样我们对应边乘以比例，也就是 m 减二除以四，就等于四除以 m 加二， 这样求出来呢，也是 m 方减四等于十六， m 方等于二十，那应该是没错，对，所以可以求出来啊。好， m 一 旦确定好之后呢，我是利用铅垂高乘，水平宽除以二来做的。对，你是高是水，铅垂高是二根五吗？然后水平宽是八，所以八乘二根五除以二，所以最终呢是八根五。 是第二题啊，这个比较容易，第三题他说要平分，这里，对，所以这道题我为什么会想到说要去延长做这条辅助线， 我先把它挪开给你们解释一下啊，为什么我会想着错去延长呢？因为这个是我们有积累过的一种题型，就是当这个位置是一条角平分线，完事你这还有一个高线，也就是说你往角平分线上做垂直，这时候我们的第一想法就是要去延长构造一个等腰三角形，因为此时可以三线合一，就是又是高线，又是角平分线， 就是这种想法。所以呢，你就揪着这个想法，那可以得到上面这个点，比如是 p， 那 ap 和 ac， 这就是一个大等腰三角形，而 ac 的 长度是已知的呀， ac 的 长度是四斗二和负四斗，这个 ac 的 长度是四根五， 所以 ap 的 这个长度呢，也是四根五。那现在我们根据 a 点坐标能不能推出来点 p 坐标呢？完全可以，因为 ap 这条线，它的 k 是 一负一，也就是说它的 x 勾夹角是四十五度。 所以呢，你在这边给他构造一个类似于这样的一个直角三角形之后啊，他的这个水平距离和数值距离都是相等的，所以我们通过斜面是四根五，可以很轻松找到，这边就是二根十，这边也是二根十，这样点 p 坐标就推出来了， 点 p 坐标一旦确定，那 h 点坐标刚好是 c p 两点的中点，所以我们再用中点坐标公式就 ok 了。好，所以最终我们的答案呢，就是 我再还原回去啊，就是这里划到了这个现象啊，所以通过这个确定，然后确定点 p 坐标，然后 c p 两点求终点，最终呢是负根式。逗根式。好，这是反比例函数这块的一个讲解啊。 啊，到二次函数，二次函数这里呢，首先前两位还是比较容易的啊，尤其是第二位这种，我们之前经常求最值，那这个地方是给的这个垂线段，所以可以很顺利的求出来。点 p 就 一个点，就是二逗六， 紧接着他进行了一个平移，这个题方画图还是非常关键的，真的你完全读完题之后，你会觉得特别乱，特别乱，但是所以你需要一步一步的去捋顺，他先将这个坡弧线沿着射线 b c 的 方向平移根号二个单位。你注意 b c 这条线是一个夹角为四十五度的一条斜线， 所以他沿着这个方向平移根号二个单位呢，其实就相当于是往上往左平移了一个单位，这是一个等腰直角三角形的感觉。 好吧，所以我们先理解到往上挪一个，往左挪一个，所以它的解析式呢，我就可以表达出来了。最终是这个负 x 方加 x 加七，这是它平移之后的表达式。那么点 p 原来是二斗六，所以平移好之后呢，就是一斗七，所以它对应的点 e 也确定出来了。 紧跟着你需要耐心的去读题，真的耐心读题从 f 是 新抛物线上的一个动点， g 呢，是 x 轴上一个定点，是负三分之五，都是零，完事之后它就成了这么一个关系。哎呀哈哈，你去连一下 ope 等于 f g b 加四十五度， 而这个 p e 这个位置，大家看我过点 p， 我 画了一条水平的线，刚才咱解释过，它是沿着 b c 方向平移根号二个单位，所以 e p 这条斜线，它和 b c 肯定是平行的，所以它的夹角和 x 轴也就和水平线的夹角都是四十五度。 所以这时候的 o p e， 它是由四十五度加上了加 o p q 组成的。所以我们通过这种关系呢，我们就可以在 o p e 里面减掉四十五度留下的这个 f g b， 所以 最终我们其实就想构造一个 f g b 等于 o p q 即可。 嗯，那 f 大家看一下这条线可能不确定啊， f 在 这个新坡 o 线上移动，那么它从这慢慢往上走，这个角度是越来越大的，什么时候能够等于目前我画的这个 o p q 呢？那我们就发现只要平行的时候就可以了。 平行的时候，你发现 o p q 先是等于哪个角呢？内错角下来， o p q 是 等于这个角，然后我们再根据平行同位角相等，这个 f g b 不 就求出来了吗？ 对，所以想到这我觉得就比较容易了，因为你这边 o p 的 这条线和 f g 如果要平行的话，它们的 k 相等啊，这点坐标还知道，所以解析式很好求，解析式求出来，再跟二次函数去连立，找焦点坐标就很轻松了。 嗯，而另外一个点呢，就是把它对称下来，找那个焦点就可以了，对称下来在下面，所以最终看一下啊，我的一个意思就是，我先分析到了这个 o p e， 它和 f g b 其实相等，所以怎么办呢？我就做了一条平行线 啊，然后我就要先求 o p 的 这条线是 k， 是 三，所以跟它平行的线的 k 也是三，所以这样根据负三分之五逗零呢，可以很轻松的求出来 f g 的 这个表达式，再跟二次函数连立，最后求出来的焦点坐标根三减一，逗三，根三加二，这是第一个点， 而第二个点呢，就是给它对称下来，这时候的对称不是说把这个 f 直接对称下来啊，是需要把这条线这条线本来上面的 f g 给它对称到下面来。 对，这时候你需要把这条线表达式再求一下，再跟二三数进行连立。对，关于 x 不 对称的表达式，直线表达式就是 x 不 变外面向外数吗？所以很轻松写出来，负三 x 减五，这样再连立，最后另外一个答案就是六逗负二十三。好，是这样的， 终于到最后一道题啊，最后一道题前面第一问，这个不用讲了，很轻松哈。其实这道题啊，严格意义上也不算是什么特别的模型。对，呃，确实可能是模型，就是我没有积累过的一个东西。嗯，但是他给到的这个思路呢，就不是那么的好研究，就是他比较犯 构造全等三角形，就这么一个想法，构造全等三角形。至于说怎么构造，我确实没有感受到他们之间特别特别有联系的那个地方。 嗯，所以这道题呢，题目和题目之间的联系可能没有那么的大，就比如说第一个就是手拉手，第二个就手拉手的一个拓展，第三个就手拉手的更大的拓展。有可能这样啊，或者说第一个跟一线三垂有关，第二个也是一线三垂，第三个也是一线三垂，对，他没有这种，或者第一个是要构造角平分线分线的成比例，第二个也要利用角平分线的成比例，就这种 就是。所以这道题呢，我就觉得没有那么大的联系啊，当然大家可能会找到他们的相同点，好像都是我看答案里面都是要去截取怎样的，对，嗯， 对，但是我就说一下我的想法吧，我感觉没有太想要去找截取这个事啊，比如说这个图三吧，他想去证 e f、 f、 d 还有 c f 之间的一个数量关系，因为他要去求证嘛， 所以当我拿到这个算卦关系之后，我先想到的一个想法就是他要找两倍的 c f 平方，哎， c f 在 这怎么样会出现两倍的 c f 平方？就是他斜边，就如果以 c f 为等腰直角三角形的腰长的话，它的斜边刚好是两倍的 c f 方。 对，所以我就带着这样一个目的，我就直接去画了，我就直接画 c f 为为腰长的一个等腰直角三角形， 对，所以这时候我就画出来了，就是我就往左画的，当然往右画，我看答案里面是往右画的，但是他没有明确要去构造等值，而是要去截取，哈哈，好像也是构造等值啊，但是往左往左画，往左画也无所谓啊，往左画完之后呢，他正好和这个 e、 c d 这个等值刚好可以构成一个手拉手的全等。哎，所以这时候的好处就是 d f 这条边刚好跑到这来了。 对，然后呢， ef 没有动，你这边本来是四十五，这边也是四十五，当你用手拉手的全等之后啊，这边是两个四十五相加，刚好是九十度， 所以这边就很轻松的说明了什么呢？首先 e p 等于 f 得，对，然后这边还是一个直角三角形，所以 e f 的 平方加上 f 的 平方，也就是 f p 的 平方， f p 的 平方呢，正好是 c f 的 平方的两倍，所以就都证明完了。嗯， 这个还好。对，如果你能够就算没有读懂上面的题的意思，你能够根据两倍的 c f 平方去入手的话，就给它构造一个等腰直角三角形，应该也很顺利能求出出来。 对，然后最后这道题，嗯，给大家提供两个方法啊，就是我自己想了一个，然后我又参考了一下答案，对，确实答案那个想法如果能想到的话，确实会比较容易一些。嗯，呃，是怎样的呢？我们先梳理一下条件哈。 先梳理一下条件，我先说一下答案的思路是什么啊？他告诉我们这条边长是六，这条边长是十，然后这个夹角是六十度，这是一个平行四边形，在上面这个一百二十度，这个地方呢，出现了一个六十度，并且这边是二根七，就这样，然后他想去求 df 这边。对，那么怎么办呢？好， 答案的想法是构造相似，构造相似，你利用这个角度关系怎么去利用呢？就是比如说我假设这个小角为 alpha， 这边小角为 beta， alpha 加 beta 是 不肯定是六十度。 对，那我如果在这边也构造一个 alpha 角的话，有没有希望呢？就是利用和为六十度，你要想出现 alpha 角，应该是六十度减 beta 就是 alpha， 那怎么样能出现六十度减贝特这里呢？在几何里面倒角三角形的外角等于它不相邻两内角的和，所以你可以从外角这个速度上去考虑。也就是如果我能构造一个外角是六十度，那么利用贝特刚好是一个内角的话，可能另外一个角是可以很顺利构造出来阿尔法的。 嗯， ok， 这里就不多说了，那就直接来了。对，所以我这里呢，直接过点 e， 画一条这个等腰，构造一个等边， 好，当我构造出来这个等边之后，那那么这个角刚好是六十度，而下面这个角刚好是六十度减倍，它也就是 alpha， 所以 在上面我就构造了一个有 alpha 有 倍它的一个三角形，比如这个点是 p， 紧接着我在下面也能不能也这样构造呢？因为这里是六十度，对吧？所以也可以我过 f， 我 做一条构造一个等腰直角三角形，这个角是不是 b 它，哎，所以这时候呢，我就可以出现了一组相似三角形，就是三角形 ape， 相似于三角形 f q a， 就 这样好，而我们根据这个相似呢发现，如果我们假设这边长为 x 的 话，这边是等边吗？这个边也是 x， 而 a q 这条边呢，则是十减 x。 而反观这边呢，其实这个 p e 包括 b e 咱是可以解的，因为这个需要我们先提前先把这个三角形解出来。啊，这个三角形呢，它这条边是六，这条边是六十度，这里是二根七，所以我们可以利用两边一角一致，这个三角形可解做高， 发现这个边长是三，这里是三根三，二根七，三根三，这里刚好又是一，所以我知道了底边这里其实是四，所以这里是四，这里是四，这里是二。 哎，这时候呢，我们发现我们标出来这两条边刚好是对应的，对吧？这边的 a q 刚好对应那边的 pe， 这边的 q f 刚好对应那边的 pa， 所以 我们代入一下，好像就是十减 x 除以四就等于二 x， 二 x 不 对，是十减 x 除以四就等于 x 除以二， x 除以二 对，然后两边同时乘四，上面扩大两倍，最终解出来 x 减三分之十。好，这是答案的一个想法啊，我觉得确实挺挺简单的。 嗯，然后我来再说一下我的一个思路啊，我不是说我的思路这个，这个比他更快，就是我就想说一下我的一个一个一个思考过程啊，是这样，就是我们前面呢，应该是大家后边也要去具备一个模型，叫做探照灯模型， 对，探照灯模型呢，可能更多的出现在正方形还有这个长方形中，但是像这个位置呢，我们发现这里有个六十度，对吧？我们还是假设这边是 alpha， 这边是 beta， alpha 加 beta 相当也是六十度，或者说大家前面肯定是遇到过绊脚模型，我们当时遇到这种情况的时候，我们想到的第一个想法其实就是旋转， 对吧？旋转，对，但是呢？旋转，但是呢，如果你的背景是有相等边的话，你旋转过来刚好能够重合。 对，然后如果你的背景图形不是这种向等边的话呢，就之前我做过一个长方形中的这种哈，就是出现了一个六十度或者三十度，然后我们给它转过来，再给它进行 v 四变换，给它缩小。 嗯，所以这里我就说一下我的想法，就是我就直接在他旁边，我可以，其实我是可以直接画一个 f 角的，就相当于是把它转过来，但是又不是整体说把 f a、 f d 直接转过来，没有是直接。嗯，我看一下啊，对， 直接转过来，转过来之后呢，并且还要这样，因为你那边如果直接转过来之后，相当于是还需要在五比三去缩小。为什么五比三？因为这条边是十，这条边是六嘛， 所以我为了让这个 alpha 能够跟贝特靠在一起，所以我需要做旋转这个事。当然呢，你理解上你可以用旋转，其实你在画图的时候不需要非得要纠结旋转，你只需要构造一个 alpha 角，说白了就构造一个 alpha 加倍，它是六十度， 然后呢你这个长度保持好，这边要构造一个六十度，这里也是要六十度，大家观察一下，这时候我这个 f 六十度和六，这边的 f 六十度和十是不可以刚好构造一个相似三角形， 对吧？相当于哈，大家看能不能理解。相当于是上面这个大三角形绕点 a 先旋转了一百二十度，完事之后呢，再以 a 为位，四中心，这个五比三就缩小一下，刚好就到我们这个点这个三角形中了。 对，然后当我们放到这块之后呢，我的一个想法是这样的，就是我们现在已知的信息是什么？上面是六十度，底下是一百二十度，并且底下还是个角平分线。 对，所以这里呢，就想到了一种模型，叫做等腰对补角模型，等腰对补角上面是六十度已知，底下是一百二十度也已知，并且还是一条角平分线。所以呢，其实我是可以去正上半部分。 ape 是 一个等边三角形的， 怎么去正？因为你已经知道是角平分线了，对吧？所以我们可以做双垂，当我们做出来这个垂直以及延长过来之后，做出来这个垂直， 根据 ab 是 角平分线，那做双垂之后，这两个高是不肯定会相等。对，再因为九十度，九十度，这个比如说是 m a n 吧， m a n 是 不肯定也是六十度，而这边的 p 这个 p 是 这个角点哈，这边的 p a e 也是六十度， m a n 也是六十度，所以呢，他们同时减掉公共角，我是可以知道这个角一和这个角二是相等的关系，角一等于角二，再加上九十度等于九十度，所以呢，这个三角形和这个三角形其实是全等的，全等之后，那么是不是可以说明 ap 等于 a 一 了，所以上半部分它就是一个等边三角形？ 对，那到这之后有什么效果呢？就说明 ap 这边是二根七啊， ap 这边是二根七。 哎，那么我就可以还原过来，既然这边是六二跟七的这样一个相似，那这边呢，是十，所以 a f 这条边应该是二跟七乘以三分之五，也就是三分之十跟七，也就我可以把这条 a f 的 边求出来三比五的相似嘛， 那这样我就可以直接去算了，就是解三角形，因为在上面 a f d 这个三角形中，我要求的是这条边，但这个三角形呢，一个角是六十度，还有两条边是已知的十和三分之十跟七，虽然这个数字不太好看吧，但是完全是两边一角已知的情况，所以这个三角形完全可解，方法就是做高。所以像这里呢，我们就可以直接 看看啊，怎么做高方便一些，好像是可以直接硬解，直接往这延长做高，就是我要去解的是这个红色三角形啊，各位，所以我的做高方式呢，就是要利用这个六十度，对，利用这个六十度，所以我可以直接从 a 往下做高， 这样做高。好，那这样做高之后呢，这边是六十度吗？所以这里比如说是一个是个 o 版，那这个 o 的 长度就是五， 然后这边就是五根三，所以我可以利用五根三和三分之十根七勾股定力去求 o、 f 的 长，我们来算一下。呃，三分之十根七的平方是九分之七百， 减掉一个五跟三。对，他俩可以同时先除以五啊，同时先除以五，那我就可以用三分之二跟七的这个平方去减掉一个跟三的平方，最后我再给他扩大五倍不就行了？好，这边是九分之二十八， 减掉一个三三的话是九分之二十七，那不就九分之一吗？也就是三分之一，三分之一，再扩大五倍，所以这里是三分之五，然后五呢，是三分之十五，所以减三分之五，上面这块就是三分之十也可以解出来。 好了，好，这就是我们这次的知识点啊，整体难度还是比较大的啊，希望这个讲完之后能够对大家有所帮助。 ok， 本期视频就到此结束了，然后希望能够对大家 啊就是起到一点，就是不管是哪个点上的，能够有点启发，对这个视频就非常的有价值了， ok， 最后也别忘了点赞关注啊，后续也会持续更新更多的视频给大家，我是蒋坤老师，我们下期再见，拜拜。

二六年市中区中考一模刚刚考完，我今天刚做完题目，给大家做一个试卷的平息，那这张试卷难度系数呢？三点五颗星，略低于济南本地的中考难度。整张试卷没有特别难的题，只是个别题目当中有几个小题可能会比较有区分度。所以如果你现在是学优生，那上一百四肯定是没有问题的。 学中的同学来说，嗯，一百三十五问题不大啊。但是如果你现在是一百三以下同学，说明你可能不是这一个题或几个题的问题，那你的词汇语法的基础以及题型方法肯定出现了问题。考完试之后呢，一定要认真的去做一个复盘，针对性的去解决你的不弱项。 接下来我说一下整张试卷的难度分布啊。首先简单题，三颗星难度，听力、阅读理解 ab 补全对话请静用。这些题只要你不出心，肯定是做对，全对是没有问题的。那我重点说一下我们的中等难度题啊，阅读理解的 c、 d 完形填空题、选五和写作。这篇阅读理解难度系数是三点五颗星，讲的是中国人型机器人的发展。科普类的说明文，正点考察的是写作的手法题、细节题、 作者的观点态度题以及文章来源的推断题。整篇文章没有生词，结构清晰简单，只有第三十四题 a 选项的 promising， 可能有的同学不认识，会受到影响，其余的都应该是全对的。第一篇阅读理解难度系数是四颗星，讲的是光污染对鸟类睡眠的影响。 实验研究型的科普类的文章没有抄纲词，文章结构比较复杂，但是题目很简单，重点考察的是细节、猜词、段落、主旨文章标题。课上，你如果跟着我们做过阅读理解的这种三维训练的同学，你做题肯定是全对的。七选五，难度系数，三点五颗星。讲的是 love you yourself 这句话对于年轻人的重要意义。 文章里面没有超纲词，而且每个题都有多个对应的证据线索，没有过度干扰的选项，所以关键看你能不能用七十五的三一致原则，把所有的证据线索都给找出来。环形填空， 难度系数，四克型，证据线索均来自上下句或者本段，没有需要跨好几个段落，从上下段去找线索的难题。但是呢，有几个小题对于基础中等的学生来说还是有区分度的。比如说我们看第五十九题 the stare at， 很多同学不认识，它叫做盯着，是不是这么看 第六十题的 exactly， 很多同学只知道它叫做精确的，确切的，但是它其实还有完全的，正好恰恰的意思。那在这篇文章的语境当中，你看这个 exactly like 表示完全和什么什么一样。所以再一次提醒大家，背单词一定要结合语境背单词。 那接下来是语法填空题，难度系数，四点五颗星。我觉得这道题是整张试卷当中考的最好的一道题之一了，不是说他有多难，是这道题当中有三个小题，我觉得很多同学容易犯错，所以这个题成绩中等的同学，那有可能会扣个三到四点五分。 最后一个题，写作题，四点五颗星。这个题考察的是经历与感受的加序加易的作文，很多同学平常练的经历与感受都是一些跟校园生活相关的话题，但是像这种社会实践类的话题呢，练的比较少，所以尤其在写后面的成长的感悟的时候，你可能会缺少语料素材。 我上一条视频也给大家详细讲过，中考大家一定要重点准备的。这种活动类的话题素材有四个，分别是户外活动类， 还有体育类活动，传统文化类活动。还有第四个就是这个社会实践类的活动，大家一定要提前去准备。如果你没有相应的素材，大家可以评论区打一个讲义，我私信给大家，记得点赞关注哦！

二零二六年济南中考时间安排出来了，家长一定要收藏，提前规划时间，合理安排行程，千万不能出现迟到的情况。中考一共考三天，上午考大科，下午考小科。大科的时间是两个小时啊，小科的时间都是考一个小时，然后下午是考两门啊， 两门小课之间只有一个小时的休息时间啊。然后六月十三号早上九点到十一点考语文，下午两点半到三点半考化学，四点半到五点半考道德与法治。 好，六月十四号早上九点到十一点考数学，下午两点半到三点半考历史。六三学制是九年级考五四学制的同学九年就不用考了，是八年级考啊。好，然后四点半到五点半是考物理，六月十五号早上九点到十一点考英语，下午 就和九年级的同学没有关系了，因为下午考的是必胜会考。我说下时间啊，下午两点半到三点半考生物，三点半到五点半考地理。

济南市历城区九年级数学一模已经结束了，这是中考前最重要的一次诊断，今天我就用最直接的方式给大家讲清楚，接下来应该怎么冲这份试卷呢？完全贴合济南中考结构非常的清晰， 六成基础题是拿分底线，三成中档题呢是提分关键，一成压轴题是冲向重点高中的分水岭。 考完呢，别只看分数，重点做三件事，第一，分类错题，看是粗心，不会还是没思路。 第二呢，不会的要立刻回归教材补牢。第三，答题步骤一定要规范，避免会做拿不到满分。不同分数段策略不同，九十分以下主攻基础，把选择填空和前几道大题练稳， 九十到一百零八分抓中档综合题，保证步骤得分一百零八分以上，稳基础，共压轴。同时也给家长一些建议， 一模只是检测，不是最终结果，别焦虑，别施压，多鼓励，多陪伴，保证孩子作息和心态，有问题的及时跟老师沟通。最后记住三句话，基础要牢， 步骤要规范，坚持限时训练。一模呢，是面镜子，不是终点，找找问题，踏实冲刺，中考一定能发挥出最好的水平，祝所有同学稳步提升，考上理想高中！想要试卷，电子版可以找我来领取，想要了解更多中考政策，记得关注哦！

各位济南初三的家长同学们，市中区一模的语文呢，已经考完了，今天呢，用一分钟的时间快速的拆解这份试卷的核心考点，如果需要电子版的可以关注私信我。首先呢，基础题聚焦传统文化语境，字音成语并句呢，都是送分题，一定要稳拿。文言文考了曾巩传， 重点考词类活用断句和翻译，还结合了安民的主旨理解，是典型的济南中考风格。诗歌鉴赏考了王维初赛作，注意时间，词的作用和对比手法，默写全是课标必备，千万别写错字哦。 名著题呢，考了乳林外史研尖生要抓讽刺意义，非连续性文本，围绕 ai 智能体考，信息筛选和应用贴合热点继续文祁连山的星光，重点考环境描写、物象作用和情节效果 是拉分题。最后呢，作文用冯继才的话，考文化遗产的活态传承，一定要结合当下写出真情实感。想要了解更多济南中考政策，记得关注我哦！

济南初三的家长们，市中区中考一模物理呢，已经考完了，一分钟的时间给你讲出这张卷子，想要电子版的话抓紧关注私信我，我发给你。这次的市中物理一模呢，难度适中，非常贴合今年中考的真实水平。基础题要占七成，主要考课本概念、基本公式和实验规范。真正拉开分差的就是四个题。 第一，单选最后一题，动态电路题。这道题最关键，最拉分，考滑片移动电表变化，故障分析，这题错就等于电学没学透，中考呢，就会直接丢掉三分。 第二呢，填空最后一题，历学综合，福利综合，这道题是中等生和尖子生的分界线，考受力分析简单，机械效率，不会这题的话，物理很难上八十。 第三，实验题，倒数第二题，欧姆定律，伏安法测电阻。这道题呢，全是学生丢分，最严重的题，不是不会做，是步骤、图像误差分析，结论表述丢分。 第四，也是最后一道大题，电学综合计算。这道题决定能不能从重点高中考档位多开关多状态。最后呢，告诉大家，一模呢，只是诊断，不是最终结果。物理是初三最容易提分的科目，抓细节抓基础比盲目刷题有用更多。

各位潍坊的出摊家长同学们大家好，今天我们把二零二六年潍坊市中考全流程的关键时间点给大家说清楚，讲明白，不管是市区还是各县市，所有重点都不遗漏，大家记好笔记，避免错过重要节点。 四月份是中考备考的关键期，重点事项如下，一是四月中上旬组织体育模拟考试，由各学校、县市区自主安排，主要目的是让考生适应正式考试流程为四月中旬， 由学校集中收集申报材料，逾期不予补办，符合条件的考生需按时提交相关证件。三是初三一模考试，市区考试时间为四月十六日至十七日，各县市为四月二十七日至二十八日，一模成绩将作为后续志愿填报的重要参考。四是理化实验操作，全市统一窗口期为四月一日至四月三十日， 各县市区自主安排具体考试时间，考试时长是十五分钟，满分三十分直接进入中考总成绩。五、市中考体育统一测试窗口期为四月一日至五月十五日，市区集中在四月中下旬，各县市集中在四月下旬至五月上旬， 测试总分五十分，其中统一测试四十分，过程性评价十分，一级是不合格的考生无法投档普通高中。五月份的重点事项包括三项，一是中考报名和三加四对口贯通志愿填报，全市统一时间为五月十一日至十五日，早八点至晚八点，逾期系统关闭，无法修改或者补报。 户籍与学籍不一致的考生，需要在四月底至五月初提前申请回户籍地报考。二是初三二模考试，由各县市区、各学校自主安排，也在五月中下旬 为志愿填报的核心参考，也是考生查缺补漏的关键节点。六月进入中考冲刺阶段，重点事项如下，一是初三三模考试和毕业照拍照 均安排在六月一号至十号，三模是中考前的最后一次全程模拟。毕业照呢，是由各学校自主安排。最重要的来了！中考笔试全市统一时间为六月十三日至十六日，具体安排为，六月十三日考语文、物理、道法，六月十四日考数学、化学、历史， 六月十五日考英语。笔试含听力。六月十六日组织地理、生物补考，这两门已经在初二完成了考试，补考将取最优成绩计入总分。三是职高类志愿填报时间是六月二十六日到三十日，也是早八点到晚八点，含盖了职教高考班、五年制高职、普通中专等志愿类型。 四、中考成绩公布六月二十七日早八点起全市统一公布，考生可通过潍坊教育信息港、潍坊教育微服务公众号、爱山东、 a p p 三个官方渠道查询。七月就进入了录取阶段， 各批次录取结果全市统一时间，各县市区同步查询。从七月三日起公布三加四对口贯通本科录取结果，被该批次录取的考生不再参与后续普通高中及其他职教批次的录取。 七月九号到十四号陆续公布普通高中录取结果，其中林区是七月九号，青州是七月十一号，昌乐是七月十二号，高密是七月十四号，市区是七月十三号起， 七月二十号起公布民办普通高中补录结果。七月二十五号职教高考班五年至在职开始投档。七月二十七号下午六点前，考生需完成录取确认。七月二十八日公布录取结果。七月二十九日组织职高类征集志愿填报，七月三十日公布征集志愿录取结果。 八月份重点是中专、技工类学校录取相关工作。八月三号晚六点前考试，需完成普通中专、职业中专、技工学校录取确认。 八月四日起公布录取结果。咱们提醒一下，以上所有的时间节点均为全市统一或各县市区同步执行，具体的细节以考生所在学校正式通知为准。预祝各位考生二零二零年中考顺利金榜题名！

哈喽，大家好，我是陈老师，市中区一模刚刚考完结束，我们今天来分析一下这套剧本的一个情况。首先从考察方向以及题型的分布来说，与中考基本一致， 选择的一到八题，填空的十一到十三题，这些属于我们的基础题，一般考察科学计数法、相反数还有概率啊，以及求弧长，求面积这些这些知识点 属于孩子们的必拿分解答题的第二十四题以上属于中档题， 中档题的这次计算量明显是增加的，嗯，稍微有一些扩容，比如十九题三要素的计算啊，这个是能明显感受到的。计算量稍微增加了一些，但是依旧是属于孩子们要拿到的分数。然后我们来看一下这个 压轴题。首先第十题属于一个新定义与二次函数结合的类型，它并不属于一个新的范围，因为在往些年的话，他偶尔也会考到，比如说二五年的这个市中区 以及天桥区的二模啊，分别是考了新定义与二次函数结合，感兴趣的同学可以往前翻一翻啊，去找一下这些题目再去练练。 那他的考察本质基本上还是去看你对二次函数的一个了解，他不属于一个创新，也是属于我们常考的一个类型， 只是说他每次考察的这个新定义会有所不一样，但是本质还是考察对你对二次函数的一个了解。然后实物题的几何小综合问题啊，考察了折叠问题以及十字架模型，还有就是带系数的这种线段的转换求最值问题， 那你需要非常对这个折叠非常熟悉，能够去利用十字架进行这个啊编的一个转换， 以及就是把系数啊转带系数的这种边转化成不带系数的，从而利用两点之间距离最短来去求出最值。问题，最后再去进行一个勾股方程， 像这个十字架啊勾股方程，这是与折叠问题密不可分的啊。这个题考察的还是挺好的，因为它比较综合嘛，考察了好几个知识点，所以感兴趣的同学可以再去 好好的研究一下这个第十五题，第二十三题，他考察了直角三角形以及角平分线， 嗯，在直角三角形，它属于一个基础的类型哈，就是我们能够在课下准备出来，并且在考场上我们能够直接套用的方法啊，如果课下还没有准备好的话，一定要去先复习它，它属于一个比较基础的类型。第三问考察了我们角平分线， 角平分线的一个辅助长做的一个辅助线，那这个第二三问的话，都是需要我们在课下能够积累出来的，然后到考场的话，我们直接去辨别类型去套用就行了。所以第二三问的话，还是相对来说啊，比较好去处理的。嗯， 第二十四题，这个题，二十四题的第二问，他是，呃，属于一个常考的，也是属于一个常考的一个线段问题啊，这像这个类型的话，我都给孩子们讲了三次，至少是三次啊，从这个寒假开始， 我们复习这类题，因为他要化写为止，转化成我们最常考的这种牵扯线的问题。嗯，这个第二问是我们可以提前准备好的一个题目类型，但第三问的话，他就比较复杂了，因为第三问他结合着这个平移， 首先你要对这个直线的平移有所了解，写书新的这个抛物线解析式，并且根据新的抛物线抛物线的这个图像啊，结合题目进行分析， 理清他们的角度关系。那这个题他的难点的话就在于很多同学可能读到这个， 我读到这个题的时候就会有很大的一个为难情绪，因为看着很复杂哈，其实稍微理理的话，他还是能做几步的。这里写这里这个题的话是直接写出， 如果是不是直接写出要求我们写过程的那一类的话，建议同学们，嗯，即使这个题不会做，也要把这个新的抛物线写出来，因为他也至少给一分。 课下可以去好好看一下这个题啊，因为你可以分开去吸收。第一步我们可以吸收一下新的抛物线，就沿着某直线平行，新的抛物线该怎么写。第二步就是看你能不能根据题目给的这些角度问题， 梳理出最简单的这个角度关系，去解决问题啊，看这两方面的一个能力。 第二十五题，第一问就是一个傻瓜式的问题吗？跟着他的思路去走，填空就可以了。第二问需要一点小小的这个， 呃，知识积累，就是三边关系的问题，像这一类型的话，也是频繁给孩子们讲到的，他就是一个方向的话，就是去看到这个问题，方向就是去构造直角三角形， 所以那你构造是有方向，不要不要盲目的去构造啊，盲目的构造你，你就是属于这种，嗯，就是很随机了，稍微你考场能想出来就想出来，想不出来那就得不到这个分了，所以他是一定是有方向的 啊，在这里去构造一个直角三角形，与它三边有关的直角三角形，并且 c f 要作为一个直角三角形的，嗯，直角边啊，有了这些方向之后再去构造是相对来说就简单很多，那第三问稍微有一点复杂， 对孩子们来说稍微有一些吃力。第三问就是一个半角模型，需要去旋转缩缩小相应的倍数构造这种，嗯，全等。 嗯，整个来说的话，这些这些压轴题最后一个几何的综合稍微要偏难一些，对孩子们解决稍微吃力一些啊，以及这个 二次函数的这个第三问，总体在考场这个时间有限的情况下能够解答出来， 对孩子们要求还是比较高的啊。整个这个难度要比历下去一模要难一些，但是又比着这个跟中考也是稍微计算量难一点点啊，但是总体来说的话，嗯， 是符合我们这种，嗯，考试的考察方向以及考试的趋势，再把这个题没有掌握的一定要再去好好看一下。当然这里 呃给同学们的建议还是主抓这个基础和中档题，如果你还没有达到这个一百三十分的同学，先不要去看压轴， 呃，当然压轴你也可以去有选择性的去看啊，比如说第十题的啊，其中圈一、圈二， 圈三，圈一，圈二，嗯，还有就是圈四这些你都可以去研究，对吧？但是如果太难的话，你除非特别感兴趣哈，你现在可以不用把重心放在这里，依旧是把你的基础和中档抓好，只要你的基础和中档抓好，你这个分数肯定不会差的。 三个函数元以及这个数据应用题，看一下还有没有扣分的情况， 还有选择填空，我们最多给两个错误的机会，如果超扣错误超过两个，那你这个分数就很危险了哈。嗯，这里一定要接下来反复反复做你的这些错题，如果涉及到哪一类型 类型的错误，以题行为单位去进行复习，比如说三角函数啊，我现在还有一定的这个错误的可能性，那继续去练你的三角函数把， 尽把这个呃三角函数练透练，会反复反复的做错题，比如说圆，还有些 思路或者过程上的一个问题，对比着答案去照着去一一对比你的过程，把这个过程进行完善，思路赶紧积累积累，这像这些中档题是完全可以通过训练以及做错题来去练出来的。

大家好，我是虫虫老师，今天给大家带来适中的一模试卷分析，适中的这套卷子的话，个人感觉比这立下难度要大一些，其中他的中档题也比较新颖一些，那么后三道大题的话呢，有一些模型化的东西也是 看不到的，那么我们还是从第九题开始分析，那么第九题呢，根据他的这个作图痕迹，第一个我们能够知道他是做的角 b a c 的 角平分线， 也就说 a 的是一条角平分线，那么能够得到两个角相等。其次呢，在圈二里边能够看出来他做的是 a e 的 垂直平分线，那么他着重说了这样的一个词要注意，他特意嘱咐了是交在了 f 上，所以 f 是 不就是垂直平分线上的点啊，那么我们肯定要去连接 a f， 因为垂直平分线上的点不知道线段两端点的距离相等吗？所以能够得到的就是 fa 是 等于 fe 的， 告诉我们 bc 的 长度呢，是六， cf 的 长度是三，让我们去求 e f 的 长度，那么我可以给 e c 设一个 x， 这样就得到了 af 的 长度，就是啊，三加 x， 这样的话，分析完了之后啊，我们还能得到这两个角是相等的，你会发现，呃，没法做了对不对？所以在这里边就涉及到了一个问题，就是我们的倒角问题， 嗯，这里边隐藏了一个母子形相似哈，所以对于第九题呢，和圆是一样的，它的难度最高就上升到相似，你把它的性质用完了之后，那还是做不出来的时候，我们就要考虑考虑相似能不能做在这个题里边， 那么如果他这两个角相等吗？我设他是个 r 法哈，那么这个角呢？不知道，我们可以给他设个 b 特， 那么在这里边，我的这个角的度数，这个角是不是三角形 a、 e、 b 的 外角啊？所以它等于的是阿尔法加倍特，那么由于你的 fa 不是 等于 fe 吗？ 所以这个角是阿尔法加倍特，那这个角是不是也是阿尔法加倍特？这样我们就能够推出来这个角的度数就是 比特，阿尔法加比特，再减阿尔法，那不就是比特吗？那么这个角是不是又是一个公共角啊？所以我们就能够得出来这个三角形 f a c。 三角形 f a c 和这个三角形 f b a f b a 就是 一个啊，母子形相似哈，那么相似完了之后一比，这个答案就出来了。 而且啊，一定要格外注意一下，有钝角三角形的情况下，就容易出现母子相似。这是第九题，那么第十题我们照样不分析，下边的话，填空题前四个都比较基础。十四题，嗯，今年所有目前考完的 区里边，第十四题的难度都是非常简单哈，都是能够直接去求表达式，然后一连力就完事了，所以大家在这个地方的计算一定要注意检验一下，因为需要涉及到求表达式了。 那么第五题呢，考了一个折叠的题目，这个折叠的题目呢，之前应该是在上学期见过，他是这么说的，矩形 ab 的 长度是六， bc 的 长度是八，那么 e 和 f 分 别都是在边上把一个四边形这样折过来， a 的 对应点呢是 h， b 的 对应点恰好落在了 c 的 边上，是 j。 他 给了你一个说 他这个式子加起来取得最小值，让我们求此时 f g 的 长度是多少。那么在这个题里边，因为你的 e 在 动吗？折过来之后， h 是 不是就在动啊？他问的是一条这样的线 b h， 那 么其次呢，还给了你一个 e f， 对 吧？ 那么这两条线的话，他在动，我们是，呃，一点都没法求的，因为他俩根本就不在同一条直线上， 所以我们需要做到的就是干什么呢？进行转化，我要找一条线段，比如说和 b h 相等，或者说和 e f 相等，我们先进行这样的转化来感受一下哈。那么在这里边转化谁呢？我们要转化这一根， 把 b h 转换成 aj， 那 么 b h 其实是等于 aj 的， 为什么呢？你可以去正这个三角形，我把这个 a h 给它连起来哈， 可以去正三角形， b a h 和这个 j b h 是 全等的，那么正完了之后，你也能够发现这个 b h 和这个 aj 是 相等的， 折叠的性质有很多哈，比如说对应点被折痕垂直平分啊，再一个就是这两个有全等啊，或者说用勾股定律啊，一定要多去分析。这样这个式子呢，就变成了三倍的 a j 加上四倍的 e f， 最小 三倍的 aj 加上四倍的 ef， 哈，那么好了，就变成了 aj 和 ef 了，但是你会发现是不是还是没法做呀？所以我们继续要继续转化，那么再转化的时候呢？这个地方就有一个，你看这个 ef 是 不是这个折痕呀？对吧？ 我要想办法找到谁和 e f 有 关系，那么 b 和这不是一个对应点吗？所以我就把这条线连起来，好把 b j 连起来， b j 连起来之后呢，这是第一个我们知道的哈。第二个我们知道的就是这个 b j 和 e f 的 位置关系，是一个垂直，刚才我说的哈折叠的对应点被折痕给垂直平分了， 那么在矩形里边呢，他就会有一个结论，就是我们的十字架嘛，这是一个矩形，这两条线呢，是互相垂直的关系，那么能够得到一个结论就是这个短边比上这个长边，等于这个矩形的 宽比上长，正好。这个题啊，是一个呃六和八的，所以那么我们能够得到的结论就是 e f 比上 b j 就是 等于一个三比四，所以我的 e f 的 长度啊，就是 四分之三倍的 b j， 这样的话，那你看，我再给他把 e f 转化了，那就是三倍的 a j 加上四乘以 四，乘以这个四分之三倍的 b j 正好是三倍的 b j， 那 么都有三把三提出来，就是 a j 加上 b j。 哎，那你就可以清晰的得到了， a j 加上 b j， 你 会发现这个题里边是不是只有一个 j 在 动啊？ j 又是恰好落在了 c d 上，所以这样的话，第一个，第二个分析完了，第三个它就是一个将军印码题了， 将军驿马蹄，那么同侧问题啊，做对称，所以我们可以选择把 a 给它对称过来，或者你也可以选择对称 b 哈，这个地方就无所谓了， a 撇吧，这样连接我们的 a 撇， b 交的这个点就是我们的 j， 那 么由于这是八，这里是八，这里也是八，所以这里边出现了一个这个三角形，和这个三角形是不是一个八字全等啊？ 呃， ab 的 长度是六，所以我们就知道了一半就是啊三，这样知道他是三了之后，那么他让我们求此时 f g 的 长度，所以第四个就用到了我们的勾股定力。 我可以求的 f g 是 不是就是 b f 啊？是，它是 x， 那 么此时的 f g 也是 x， 这里有一个八减 x， 这样我们是不是就可以求出来 f g 的 长度了？ 这个第十五题的综合性还是比较强的，因为他涉及到的知识点比较多，既有我们在折叠题里边的勾股是 x 求长度，那么又有一个转化，这个转化问题你需要转化两次，又考到了十字架，所以整体来说难度不小哈， 这是我们的折叠题，那么往下，呃，这些都是中档题，就不再说了，我们还是来分析一下后三个大题。 后三那个大题的话，这个反比例函数考的不是说特别难， 考了一个直角三角形也会说一个直角的问题，那么我们一起来看一下表达式什么的，不再多说。 他说的这个 c 呢，是在这个第三项线。首先 a 和 c 是 不是关于圆点对称呀？因为反比例函数和正比例函数的两个焦点关于圆点对称，所以 c 的 坐标是可以直接得的，就是负四度负二， 他说 h 在 y 轴的正半轴，那么我们来看一下 h 是 怎么来的呢？他是做了一个以 a c 为斜边的直角三角形，那么让我们求此时 b a h 的 面积。我们先来观察一下这个 b a h 哈， 他是一个规则三角形，这个三角形的面积是不就是二分之一倍的底是 b h 高就是 a 点的横坐标是四啊，所以我要想知道这个图形的面积二倍的 b h， 我 就得知道 h 点的坐标， 那么 h 点的坐标呢？又由于这个角是不是一个直角来的呀？所以我们就按着这个直角去分析就行了。那么平面只要坐标系里边见到这个直角，选择悬空垂直，一个悬空垂直吗？我们就给他一线三垂直， 能够得到的就是这两个三角形是不是相似啊？所以我们可以给 h 点坐标设一个零度 m， 这样的话呢，去表示这个三。两个三角形的每一条边 竖着口诀上减下，那就是 m 加二，横着口诀右减左是四，那么这一边横着这块是四，这一块竖着，那就是 m 减二。 两个三角形相似的对应边是成比例的，所以小比大，那就是四比上 m 加二等于 m 减二比上四，这样我们是不是就可以求出来 m 点的坐标啊？ 求出来 m 点的坐标应该是正负二根五，我们只取啊， 因为你是在正半轴嘛，所以我们只取正的，那 m 就是 二根五，这样 p 点的 h 点的坐标我们就知道了，零到二根五，那么 b h 的 长度也知道了，上减下六减二根五。好，这样一代我们这个面积就出来了，那就是十二减去啊， 四倍的根五，所以这个第二位还不是很难哈，记住悬空垂直，那么我们的方法就是给他做一线三垂直，这是一个比较简洁的方法哈， 那么我们再来看第二位，第二位呢，他考了一个角度问题，他说 a h 呢，平分这个 b a c， 那 么 b a c 这个角在图一我们也可以看出来是不变的，对不对？但是我们不知道这个角的度数， 也就说这两个角此时相等，这条线呢，是一个角平分线，那么此时这个直角三角形依旧是成立的，所以这里有个角是直角，对吧？ 这个在上一套里边也出现过一次，当时说过一嘴叫做，你看这条线是不是既是一个角平分线，既是一个角平分线，是不是还是一个高线呀？所以我们那句话叫做三线占两线， 三线占两线呢？一定是等腰这个题，它并不是个等腰三角形，所以我们的方法就是给它延长，把 c h， 把 c h， 我 们给它延长过来，延长到这儿标标个字母是 标个字母是 k 吧，延长过来之后呢，它让我们求 h 点的坐标，你看此时这个三角形是不是就是一个 a， c， k 就是 一个等腰三角形了，对吧？ 等腰三角形的话呢，那三线合一 h 是 不是还是 c k 的 中点啊？所以我们可以求出来 k 点的坐标，那么我们就按照等腰三角形的方法去做设坐标，那么 k 呢？它是在 ab 这条线上，所以 n 逗号负 n 加六， 这样我们去表示啊 a k 表示啊 a c， 用两点间的距离公式是不是让他俩相等就可以了？求出来 k 点的坐标，那么 h 是 不是就是 求出来 k 点坐标之后，那么 h 是 不是 c k 的 中点啊？再用我们的中点坐标公式，二分之 x 一 加 x 二都二分之 y， 一 加 y 二，是不是就可以求出来了？ 那么刚才这个两点间距离公式呢？也要背过，他是横减横的平方加上纵减纵的平方，这样我们是不是就可以做出来了？ 这是一个两个公式的运用哈。所以这个第三问啊，如果你要是单纯的只看角平分线或者只看这个垂线的话，不是那么好分析，一定要想他要让你去用的方法去找他的隐藏条件哈。 这样的话呢，答案我就不再多说了哈。最终这个最终这个 k h 点的坐标求出来之后是负根十到根十，应该是， 这是二十三题，那再来看一下二十四题，二十四题这次和历程的区域考一样，考到了化写为直的题目，表达式不再多说，他是这么说的，他说 p 呢，是在直线上方 抛物线上的一点，并且在对称轴右侧，并且到直线的距离是二根二，图上没有，对吧？所以我们自己做一下，那么给了你点了一个点 p， 那 就是往这条垂线往这条 bc 做垂线，标个字母是个 q 吧，意思就是问你，当 p q 的 长度是二倍的根二时，求出来此时 p 点坐标是多少， 那么这个线是不是斜着呀？所以我们的方法这时候就很清晰了，过点 p 像 x 轴做垂线， 我要去找 p q 和 p h 之间的关系。由于你这个地方是有一个零豆四，还有一个四豆零，所以这里是不是隐藏一个四十五度角啊？ 那么你又往下做的垂直，所以我们就能够倒过来，这个角就是一个四十五度角，它永远和这个角是相等的哈。 那么我根据 p q 是 二根二，我能够得到什么呢？得到的就是我的 p h 是 不是 p q 的 根二倍啊，所以它就是二根二，再乘根二呢，就是四，这样 p h 这条线是我们的什么线呀？叫铅垂线。 那么我们只要在函数表达式里边，函数里边见到牵垂线，我们的方法就是第一步设坐标，第二步表长度，第三步让它 y 上减 y 下，是不就可以了？所以你就设 p 点和 h 点的坐标，注意他俩的横坐标都一样哈， m 逗号往抛物线里边带，那么 h 点的坐标呢？ m 逗号往 b c 表达式里边带，这样 p h 让它表示出来，那就是 y p 减 y h 等于四解方程就可以了。 注意只允许留的就是在嗯对称轴右侧的答案哈。而且这个题只有一个答案，求出来是二逗六，这是我们的第二问，那么我们再来看一下第三问，第三问呢？又考了一个角度问题， 他说在二的满足条件下，那二的满足条件下，我们再给他标上，那这个点 p 就是 不动的了，是二逗六， 他说了一个平移，但是要注意他说的是沿射线方向平移，对吧？那么射线方向平移那我们没有学过，所以你肯定要把它转换成沿着左右 上，左右上下平移，他沿着射线方向平移，是不是沿着这个方向叫做左上方啊？由于这个角不是一个四十五度角吗？ 那么比如说我给他移到这来，这就是根二个单位，你往下一座垂，这个角是四十五度，其实是不就是往左移一个，往上移一个呀？所以这句话我们转换过来呢，就是左移上移，这样我的根据左加右减，上加下减， 我是不是可以求出来这个表达式啊？把所有的 x 变成左加 x 加一， 那么往上移一个，就是在小尾巴上再加一，这样的话呢，我们整理出来表达式应该是负 x 方加 x 再加七， 好，得到的这个表达式的就是我们的 y 撇，他说 e 啊，是平移后 p 的 对应点，所以那 p 是 屁，是二逗六，那一点是不是左一上一之后就变成了一逗七了呀？一定要把函数的平移和点的平移给它区分开哈。 他说 f 呢，又是在这个抛物线 y 撇上， g 呢，是在 x 中上一个定点，并且这一点坐标是负三分之五斗零。那么来看一下， a 点的坐标不是负一斗零吗？那这一点的坐标是不是就在他的外边啊？那这一点坐标就是负三分之五斗零，这个点也是不动的 好，后边重点来了，他说这个 f g b 加四十五度等于 o p e， 那 么现在我的表达式是不是还没有啊？哦，不是，我的这个新抛物线还没有，所以我们要给他画一下， 画一下它过的是负二到零，对吧？这个这个地方，如果你的表达式画不画不清晰啊，容易 容易分析，不大好，将就着看吧。 假如说吧，假如说这个表达式就在这哈，那么我们来给它标上刚才的 e 点，左一上一，好，这个点就是我们的 e， 它的坐标就是一斗七 f g b， 那 么 o p e 这个角现在是不变的了，我们给它连接起来 o p 和 e， 那么这个角就是我的 ope 这个角哈， f g b， 那 么你看 g 和 b 是 不是都是在 x 轴上啊？ f， 它是在新的抛物线上，那么这个角加上四十五度等于 ope， 要说 ope 是 不是最大呀？对不对？ 那么我们主要就是要分析这个最大的角，他这个四十五度非常巧妙啊，为什么呢？因为刚才咱不是说了平行二根二个单位里边有四十五度吗？所以其实这个 e 在 这， p 在 这，你的这个 o 在 这， 这个点是二斗六，这个点是一斗七，如果我横着做条线，这个角就是四十五度，因为你看竖着一个单位，横着一个单位，对吧？所以我肯定要做的方法就是给他过点屁，做一条平行线 好，做出平行线来之后，上面这个角就是四十五度角。那么也就是说，现在我的角 o p e 等于的是四十五度角，加上标个字母角一吧，哈，加上角一。那题干上又告诉我了， o p e 是 等于四十五度，加上角 f g b， 那 是不是只需要让角一等于角 f g b 就 可以了？ 那么 f g b 在 哪呢？我现在因为我做的是平行线，所以我的这个角一等于的。给你放大看看啊，我的这个角一是不是肯定等于这个角二啊？对吧？还等于角二，所以我只需要让角二等于角 f g b 就 行了， 这样讲没问题吧？应该让角二等于它，那么 f g b 这条线，你看这不是在都在 x 轴上吗？对吧？这个角二在这，那么更清晰了。那么我们要做的就是一条过点 j 的 平行线，和谁平行呢？和 o p 平行，所以你看我画一下， 划到这，划到这，哈，此时这个角就是我要找的那个角三 f g b， 那 f g b 就是 角三，当这个角三和角二相等时，角二又和角一相等，此时角一是不是就和角三相等了，那么就能满足角一加上四十五度是这个大角了， 所以我们就能够通过画图得到的结论就是，这是 f 哈， f fg 呀，是和这个 o p 啊平行的。那么分析到这之后，那么往下我们做法就很简单了，两直线平行， k 相等， o p 的 表达式呢？应该是 y 等于三 x， 所以 我的 f g 的 表达式就是 y 等于三 x 加 b， 再把这个点 g 给它带进去，完整的表达式就出来了，应该是 y 等于 三 x 加五，三 x 加五。好了，这个时候我们的这个 f 它不是还在抛物线上吗？是不是和我们的抛物线连立就可以了？那么在这种情况下，我要的这个点只能取的是上面这个答案，注意只取正的哈， 这个计算量有点大。一个是呢，负一减根三， 把这个负一减根三给他舍了，所以我们第一个答案出来的就是负一加根三，逗 三跟三加二，这是我们的第一种情况，那为什么会有第一种情况呢？因为你的这臂这条线他不是 这一 b， 这条线它不是呃，在在 x 轴上吗？所以它夹着这个角是不是可以在上边，也可以在下边啊？那么我们再做一条线的时候，就是 这条线，这条线其实就是把这个第一条线是不是关于 x 轴对称过来啊？这个角四，这是不是也有可能有个角啊？对吧？ 那么我们只需要再去第二种情况，就是只需要在求这个角二的线就行了，那么由于它是关于 x 轴对称的，所以刚才是 y 等于三 x 加五，现在就是 y 等于 负三 x 减五，这样再和抛物线连立，那解出来又有两个答案，一个应该是六， 一个应该是负二根三，那么从图上看，此时满足的那个 f 是 不是应该在？ 嗯，我就不换了啊，是不是应该在这个位置和抛物线的交点，所以我们还是只能取的是这个六这个答案，把负二根三就舍了。这样我们的第二种情况出来之后，应该是六度负二十三。好像是哈，这就是我们的第二种情况。 所以一般这种题如果有角的问题啊，他都有隐藏条件，你如果要是看不出来隐藏条件，不会画图的话，那这个题你能分析出来的概率就比较低一些哈， 这是函数解决了。我们再来看最后一个题，最后一个题没有什么模型哈，就是这种题，他一般给你思路的时候呢，就说明他这个模型啊，比较 不那么直接，需要你根据人家的解析思路比着葫芦去画，所以可能难度上对这种线分析题目比较薄弱的孩子们来说比较难一些，但是填空还是比较没问题的哈，他是截取了让这个 c f 等于 a 得，由于他是等腰值，所以我的 c 得就等于 bf， 他 又转了一个九十度，这个边是等于这个边的，那么 还有一个条件就是得 b f 这个角是能够挣出来等于这个角的，因为这个角加它九十，它加它又九十，总之这两个三角形能挣出全等来，所以第一个空，我们的 c 得等于的就是，嗯， bf， 这是第一个空，第二个空的话，他让我们去证的这个结论是他仨之间的一个数量关系，这个数量关系要不然就是谁加谁等于谁，要不然就是一个平方之间的关系。所以很明显，人家的题干上，你看，这不都跟你说了吗？对吧？ cf 呢，转化的是 a 的， 所以呢，就是 a 的 平方加上 c 的 就是还是 c 的 平方等于，那么的 f 得 f 得 f 是 等于谁呀？得 f 刚才转化完了正完全等之后，得 f 是 不是等于 c e 啊？所以就等于 c e 的 平方，这样 a 得 c 得 c e， 我 们是不是就转化完了？ 它是构造了个全等，对吧？好类比分析。你看，他说通过构造全等三角形将证明的线段进行转化，那么 图一转化完了之后呢？他让我们去看图三，图三他又是一个等腰值， a c 等于 bc， 这个角是九十，那么连接 c 的 得在动哈，连接 c 的 转又转了一个九十，其实在这里边，如果你连接 a e 的 话呢？这不是那个两个等腰值共顶点吗？所以有个手拉手，就是这个三角形和这个三角形是一个手拉手全等，对吧？ 呃，不仅啊，咱还能分析出来，这个角是不是等于这个角是个四十五度角啊？这个角也是四十五度角，所以这里还有个垂直嘞，是不是？ 但是这个题重点是在这，他让我们正的这个是 e f 方， e f 方，你看和我们要找的这个三角形没有任何关系。嗯，还有得 f 方好，得 f 方等于两倍的 c f 方，所以你看，他和我们 得到轻易得到这个全等是没关系的，那么我们就分析出来就比较费劲哈， 但是我知道一个是什么呢？就是这个根二倍的 c f 啊，根二倍的 c， 这个二倍的 c f 方啊，他肯定是根二倍的 c f 括起来的平方，这样转换过来的，那谁是根二倍的 c f 呢？一般我们就是让这个 c f 当一个斜边的时候 等腰直三角形，那 m f 是 不是就是根二倍的 c f 啊？所以你这样去根据结果去分析的话，那很明显你要造一个三角形，让 c f 当什么边呢？当直角边，那这样的话，你这个分析就出来了，我延长 bc， 好， 延长 bc， 让 c f 当这个直角边，这个点是个 q 吧，有时候我让这个 c q 和 cf 相等，那这样这是不就是一个等腰直角三角形啊？我们就给他在这个图里边找一下全等三角形， 对吧？那你看这个时候这是一个等腰值，这是不一个等腰值啊，所以我给他连接一 q， 我们能够证出来的就是 e q c 这个三角形和我的 c f 的 这个三角形是全等的。那么我们列一列条件，首先的 c 是 等于 e c 的， 其次 f c 是 等于 q c 的， 那么这个角一二三， 这个角一是等于角三的，所以三个条件我们是不是就能够证出来全等了？证出来全等之后，那么我们这个题干，你看他说的啊，证完全等之后，你肯定要倒角啊，对不对？ 所以我的这个角，这个角就等于这个角，那这个角是不是由于你不是 e c 得是个等腰值吗？所以四十是不是四十五度啊？这个角也是四十五度，所以我画的不大标准了哈，所以这个角是不是就是一个九十度啊？ 那么我能够得到的结论就是 e q 的 平方加上 e f 的 平方等于 q f 的 平方， 对吧？那么我们就开始转化了，它没有 eq， 所以 我们需要把 eq 转化，因为刚才的全等 eq 是 不是等于得 f 啊？所以就变成得 f 方了。 那 e f 方题干上是有的，正常写好 q f q f 刚才说了是不是等腰直角做的，所以它是 a f c f 的 根二倍， 那就变成了根二倍的 c f， 这样再写呢，就是得 f 方加 e f 方等于二倍的 c， f 方是不是就转化完了？ 所以这个题就是，虽然题干上有全等，但是我们没法用，没法用的话，那根据题干上说的，那就是造全等，因为他不是说了吗？构造吗？对吧？造全等的话，你不好造的时候，就先看结论，有个二倍的 c f 方，那他肯定是由根二倍的 c f 转换过来的， 这是这个图三哈，这这种的也没有什么模型可说哈。第三问的话，他给的我们是在平行四边形中说 ab 的 长度是六， a 得是十角， b 这个角呢？是六十度，所以我们能够得到上面这个大角 b a 得是一百二十度， 他又说这个角是六十度，所以我们之前见过类似的，那就是角含半角这个类型，对吧？ 那 a e 的 长度是二根七，如果是这个是 alpha， 这个是比特哈， alpha 加比特是六十，让我们去求得 f 的 长度。在这个图里边，我是不知道有什么相似或者全等的，也没有，所以我们根据前面的这个题，肯定就是构造了。 呃，在我们目前能知道的前提下，就是有一个角含半角，所以我们就想着给它把 alpha 和比特凑一块，那么我就引一条线， 我让这个角是个 r 法的话，那 r 法已经和 r 相等了，所以现在六十度是不是凑一块了？ 我们以前做角含半角的时候，有一个要求，就是邻边必须得是相等，对吧？这样你的 a 得转过去之后是不是才能重合呀？但是现在十和六是不相等的，也就说 a 得比上 ab 是 五比三，那我就让这个 a f 比上这个 a q 也是五比三， 所以 af， 这，这不在这吗？我就在这上面截一段，截一个，让这个是个 q， 让这个 af 比上 a q 是 五比三，这样这两个三角形其实是相似的，对吧？ 相似完了之后呢，我们要想求得 f， 这个角又是一个六十度，所以我如果能知道 af 的 长度就好了。 我想知道 af 呢，它和 a q 又是相等的，又成比例的，所以我要是能够知道 a q 就 好了。那么我们先来看一下这个三角形 a b e 这个三角形哈， 这个三角形是可处理的，这是六，这是六十，这是二根七，那么六十度放在直角三角形里边，往下做垂线， 标个字母是个 h， 这个角就是三十，所以这是三，这是三根三。那么勾股定力可以求出来， he 是 一，所以我们的 b e 长度其实是可知道的，是四哈。 这样的话呢，因为你刚才的相似，这个角也是六十度，所以其实这个 b a 还是一条角平分线。那么我们来看怎么去求 a q， 其实 a q 是 等于二根七哈，咱们求呢？用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以往下做垂线 m， 这样延长过来之后往这做垂线。 这是一个 n 吧，这是刚才的 q 啊，那么我能我能够得到的是什么呢？就是这个 am 是 等于 an 的， 根据角平分线的性质，对吧？还能够得到的，这是垂直吗？这是垂直，这个角是一百二四边形的内角和是三百六，所以 m a n 这个角呢？是一个 六十度，那又由于你的 q a e 这个角也是六十度，所以这个小角是不等于这个小角啊。 所以我就能够得到三角形 a n q 和这个三角形 a m e 其实是全等的，这样全等之后，你的 a q 就 等于这个 a e 上二根七了，所以我就得到了 a q 上二根七， a q 是 二根七，所以我的刚才相似完了之后， a q 比的不是 af 是 三比五吗？这是二根七，所以我的 af 就 知道了， 是十倍的根七除以三，那就是三分之十倍的根七，这样这个角又是一个六十度的角，对吧？那么我要想求得 f， 肯定要把它放在直角三角形里边， 如果我这样做垂直，这样做垂直哈，标个字母是个屁吧，你把十给它分开了，对不对？你也没法去求，应该是应该也有法去求这角六十，这个角是不是三十啊？我们可以说这是 x， 这是根三 x， 这就是二 x， 这就是十减 x， 对 吧？这样在这个三角形里边，用勾股令里求出 x 来，再乘以二，是不是就得 f 的 长度啊？所以这个四求出来也没啥用，对吧？ 嗯，但是这个方法挺麻烦，不大好去想他那个答案上的那个方法呢？我说实话更不大好去想，因为这些角度你构造角的时候你就挺费劲的哈，所以最后一问可以稍微听一听吧。以上就是咱的市中区的这套卷子的分析，嗯， 这个二十五题说实话没大有模型可套哈，但是上面这个二十四题和二十三题出的还都挺好的，记得点赞关注哦。

紧急通知刚刚开完会，二零二六年中考录取的全部流程已经出来了，下面这五个时间节点非常重要，因为这直接关系到孩子的中考录取，家有中考生的一定要留意！我边说你边记， 来不及的就点赞收藏保存起来慢慢看，并在评论区留下中考必胜金榜题名，给孩子加油打气！第一个，四月一号到二十八号一模考试。第二个， 五月二号到十五号特长生艺术生报名测试。然后二十号到二十八号二模考试。第三， 六月十六号到二十三号正式中考。第四，七月四号到六号中考公布成绩和排名，这是填志愿的核心依据。注意，大部分省市出分后填志愿，但少数地区六月二十号到七月五号就得孤分填报。 第五，七月五号到十号必须完成高中志愿填报，十五号起分批录取，八月底前新生录取、军训， 这五个节点环环相扣，尤其志愿填报千万别卡点，一定要提前做好准备，帮孩子稳稳走好中考每一步！最后，祝孩子们二零二六金榜题名前程似锦，好好加油！

初三一摸呢陆续开始了哈，历下去呢，再次率先开考，那这两天呢，很多家长朋友都在问哈，一摸考试的难度怎么样？和中考比，哪一个更难呢？那今天王老师带着大家呢，好好的聊一聊这一次的历下去的初三的第一次模拟考试，想要第一时间掌握最新中考信息的，一定要点赞关注哈。 说实话，那结合这一次一摸的难度哈，再加上寒假之前咱们的期末考试，我们能够明显的感觉到，那今年中考的整体的难度呢，可能会有所降低。那这次历下区的一摸各科难度呢，比往年同期呢是下这样了一点点，那这次呢，不会划分数线， 也没有难度分，大家呢，直接用孩子的实际分数就能够大致预估中考的一个成绩了。那目前呢，各科的电子版试卷呢，咱们都已经整理出来了，其他区的家长呢，想让孩子提前练一练的可以私信我，我直接发给大家。 虽然整体的难度不大，但是每科呢都有自己出题的亮点，我们一科一科来盘点一下哈。首先呢，来看一下语文这门学科，那这次命题最大的特点呢，就是紧密的结合了时政热点，那不管是材料的阅读还是作文，全都是紧跟时事的， 那材料阅读两道题呢，一共十六分，素材呢，全部来自于二零二六年的冬奥会展开， 还涉及到了古爱玲相关的内容。孩子平时如果不关注体育，不了解热点，那作文的构思呢，是很容易受到影响的，所以呢，建议大家哈，从现在咱们到中考，一定要让孩子多关注近一年的时事热点， 比如神舟飞船呀，热门的机器人呀，全运会啊，冬奥会啊等等，多积累一些素材哈，对做阅读理解，写作文呢，都是有特别的帮助的。那接下来讲一下数学题型呢，和中考基本一致，整体的偏基础哈，是七比二比一的难度，比例是比较适中的。 题目呢，虽然有小的陷阱，但只要认真的审题，都能够避开。那一百二十五分以下呢，基本上反映的是基础不够扎实，知识点的应用和运用能力呢，有待提高。那一百二十五到一百三十八属于中档到优秀的水平，一百三十八以上呢，是真正的优秀哈。这套题呢，更注重能力的考察，后续练习呢，一定要强化 审题规范，答题步骤完整，那步骤该写的写全，千万别省，同时呢，提升总结规范的一个能力。那物理这个学科呢，整体难度是比较中等的，只有个别的题目呢，对能力的要求较高，比如单选的第九题、第十题，多选的第十五题，填空题、 作图题、计算题等，都很常规，没有多余的花样，属于送分题。那九十二分以上属于正常水平，中等生呢，至少要在七十五分以上，基础再弱的孩子呢， 咱们考到六十分及格也是没有问题的。当然，如果低于六十分，咱得好好找找原因了。那英语哈，整体的难度呢，是偏高一点的，那阅读理解呀，完成填空作文，只要平时积累的到位，刷题量够，基本上没大问题。 优等生呢，在一百四十分以上才算正常，那中等生呢，也要稳定在一百二十五分以上，那一百二十分以下的孩子呢？咱要及时的查缺补漏，那化学一句话来总结一下， 背练就能够拿高分。以上呢，是本次例章区初三一摸的完整的分析，希望能够帮助各位同学和家长。一摸呢，只是一次检验，不是最终的结果，那自 咱们接下来呢，找准问题，针对性的不强，稳不提升，中考呢，一定能够发挥出更好的一个水平。想要试卷的电子版的家长可以直接私信我，后续有更多的中考干货记得点赞关注我们，下期见！

大连中考一模试排对账来了！三甲、六甲普高一眼看懂紫萱能上哪一所？二十四中前二百名域名高中二百到四百名，八中四百到七百名。一中辽师附二十三中七百到一千五百名。 十二中理工附高二十高中三十六中一千五到两千五百名。三中四三中两千八百名， 四十八中十一中三千八到五千名。二中十六中五千到六千五百名。 红旗高中六千五到八千名。公办普高八千到一万一千八百名，民办高中一万一千八百到一万六千名。 记住大点指标到校，校牌比市牌更重要。一模不是终点，稳定发挥，中考卫次往往会更好。祝二零二六届考生金榜题名！记得点赞关注哦！

三月三十一日，济南市教育局官方公布了二零二六年的中考全方案，直接划重点。二零二六年济南中考考试时间为六月十三号到十五号，中考的总成绩为六百六十分， 英语还听力三十分均按原始得分计入总成绩。物理九十分、化学六十分分别按卷面得分， 满分均为一百分、百分之九十和百分之六十计入总成绩。物理、化学单科记分四舍五入，不保留小数。体育与健康六十分。二、初中毕业结果等于综合素质评价 加学业水平考试，两者缺一不可。综合素质评价分为五个维度，分别是 品德发展、学业发展、身心发展、审美素养、劳动与社会实践。呈现方式是等级加描述性评价， 按学期评定，最终分为 a、 b、 c、 d、 e 五个等级，全程公开公示，需学生和家长签字确认。学业水平考试是毕业生学的核心 依据，未参加考试的原则上不发义务教育证书。三、等级科目不计入总分，但各校会有等级要求。道德与法治、 历史、生物地理划分为 a、 b、 c、 d、 e 五级，全是统一划，莱芜港城区单独划，具体比例为， a。 百分之十五 b。 百分之三十 c。 百分之三十 d。 百分之二十 a。 百分之五。信息科技综合实验、操作艺术综合实践分为合格和不合格。 四、生物地理补考应届考生因故未参加当年生物地理考试的，在九年级毕业前允许有一次补考机会， 补考成绩按照首次考试成绩认定标准进行认定。生物地理学科考试等级为 d 级以下的考生，还望届生本着自愿的原则可参加生物地理学科的重考， 重考后的最高等级为 c 级。五、学籍、户籍不一致的考生注意事项，参加九年级学业水平考试且学籍、户籍分属于济南市不同的区县的考生， 报名时在规定的时间确认以户籍或者学习所在地考生身份参加济南市高中阶段的志愿填报。已经确认，不得更改。点赞关注长汀德才升学生学，少走弯路！

各位同学，大家好啊，我是姜老师，给大伙讲讲这个二零二六年九年级市中区的数学一模的这个真题啊，给大伙讲讲这个选择题的最后两个，第九、第十题。 好了，第九题来，废话不多说，也开始啊！如图，在三个 c、 b、 c 中按如图步骤操作，是吧？在 a、 b、 a、 c 上分别截取这个 a、 m、 a、 n， 这是个 m， 可能印的不清楚啊，这里有个 m， 你不清楚啊？分别截取 am 的 n， 然后分别以 m、 n 为圆心，以这个大于它的半径做弧啊，做弧，两弧在 b、 a、 c 的 这个交于得啊，交于得，它实际上是告诉你， 这是个交平分线啊。第一交角平分线啊，然后又分别以 a 和 e 为圆心，以大于它半径，然后呢？做弧，两弧相交于这个 p 和 q 了啊， p 和 q 了，然后其实这是做了一个这个 a 一 的重垂啊， 这是做了一个 a 一 的这个中垂线啊，中垂线啊，然后这个 bc 是 个六， c， f 是 个三，求这个 e、 f 的 长，是吧？ 因为这是个中垂线啊，这个中垂线上点到线段，两段距离不相等吗？所以，所以这个我拿黄色的量， 他是相等的，看了吗？这俩相等啊，求这个 e、 f 不 就是求这个 e 吗？俩相等对不对？然后加相等的话，如果这是个贝塔，那么这个角是阿尔法加贝塔等。幺，那这个角也是阿尔法加贝塔外角吗？外角，而且这是阿尔法，所以这也是个 贝塔，这个贝塔啊，所以这个三角形，所以这个三角形有公共角， f 有 贝塔。这个大的三角形，这不有公共角， f 有 贝塔，这不它是个 相似了吗？不相似了吗？对不对？然后这个三角形老小，这个老小，这是个 c f， 是 吧？这个老小，这不是 a f 吗？ f 吗？啊？这个三角形老大，这不是 a f 吗？这个三角形老大，这不是个 f b 了吗？对不对？因为 a f 等于 e f， 所以 这里又变成了 e f 了， 这里也变成 e f 了，看到吗？所以 e f 的 平方等于 c， f 等于 c f 乘以这个 b f， c f 是 三，这是个六，这是个三，所以 b f， 这不是九吗？三九二十七开方，所以这是个三根三啊，三根三。 所以第九题答案选的是二 b 啊，它考了个相似啊，考了个相似啊， 来，继续第十题啊，来这个定义。 abc 的 二次函数，看到吗？然后这不三个字母的虚列数，如图，这不 a 是 一， b 是 负二， c 是 三，是吧？然后它的虚列数，这不负三，二负一，负三，二负一，所以这个圈一是送的， 这个圈一是送的，没什么好说的啊，在这个圈二，序列数是他，他的二次，还，还有两个交点啊，那么这个序列数变变，他不就是 y 等于什么 a， a 是 个一，这不 x 方， b 是 个 m 加二 x c， 这不是个二 m 吗？和 x 轴的两个交点，这不是 y 等于零，零等于他了吗？对不对？然后这个蛋他， 然后第二，它等于 b 方减 c， c m 加二的平方减 c， c 是 减个八 m， 它等于 m 方， 加上这个四 m 加四减八 m， 它是 m 方减四， m 加四，它是 m 减二的平方，这个平方它是个 大于等于零的。大于等于零，只能说至少有一个焦点也行。两个焦点行，他说横有两个焦点，当 m 等于二的时候，这是零，这不一个焦点吗？人家不说没有两个焦点，所以他这个二是不对的啊，他这个二是不对的啊。 来，咱看这个圈三啊， p 点 q 点在向量数二次函数上，那么这个二次函数不就是 h m， 什么 m x 方，这个 b 是 负二， m x 减三 m 啊，然后呢？这不这是个二次函数啊，然后他需要把这个 m 提出来， x 方 减二， x 减三，正好可以十字相乘啊，它是个 x 减一减三 乘 x 加一，二加一，忘了吧？然后让 y 等于零的话，让 y 等于零的话，它是 x 减三乘 x 加一， x 一 等于三， x 二等于个负一， 这样的话能求出对称轴来。对称轴是三加负一串，这个一啊，我已经清晰的算出对称轴是一来了，算出对称轴是一来之后，这个草图就出来了啊，草，出来了， m i 零啊，看到了吗？ 和 x 轴的交点，这不一个是负一，一个是三对称，这不是一， 这不错符吗？对不对？很明显，人家说的 y 等于负三 m 负三 m 不 正好是个 c 吗？ 这个 c 是 负三 m 了吧？ y 等于，它不就是这样画吗？这样画的话，那么这个点轴对称图形，这是个一，这是个一，所以这边这个点不就是二度负三 m 了吗？对吧？然后呢，这个 y 一 大于这个 y 二， 这个这是 y 一， 那么这是这是 y 一， y 二比它要小，不就下面这一块吗？ 这不是 y 一 吗？这不题目高 y 一 负三 m 了吗？ y 二要小于负三 m， 不 就这一块吗？这一块对的 x， 这不一个零，这不一个二吗？零到二之间，所以圈三是个对的啊，圈三是个对的，没问题啊。 哎，这个第四个啊，第四个，这个虚列数，他是 y 等于 m， x 方加上一减 m 倍的，这个 x 加上二减 m 为 y 随 x 增大而增大或者减小。咱上课说过，这明显是要考对称轴，对称轴 x 等于啊， x 等于负的二分之 b， 负的二分之 b， 看到吗？它等于二 m 分 之，这个把这个变成 m 减一加符号，这是 m 减一，它是个二， m 分 之 m 减去二 m 分 之一，它等于二分之一减二分之一，这个 m， 这个不是个负的吗？ 这是个负的，负负得正，所以对称轴，这个对称轴是大于二分之一的， m 是 个负的。开口朝下啊，开口朝下的话，个错图，错图啊。这个是个对称轴， 这个对称轴是比二分之一大的，那么二分之一就在这个位置，这是个二分之一，看到吗？对称轴比二分之一大， 所以他问的是这个数小于二分之一吗？所以看的二分之一。左边二分之一的这个左边是这一块，这一块很明显，这是 y 随 a 增大而增大，所以这个圈四是对的啊，是对的啊， 来，这个第五个啊，第五个。这个二次函数，咱需要把它写出来啊，写出来啊，它是 y 等于 二 m， x 方加上一减 m 倍的 x 减一减 m， 是 吧？ 然后呢？它和它的顶点和抛物线与 x 轴的交点就这样行，这个题目实话实说，要是想真算出这个数来啊，计算量比较大，但这个题目要想判断它是错的，我觉着不难。为什么哈？因为 它打开的不是一种情况。因为当 m 小 于零的时候看到吗？这不和 x 轴的两个焦点顶点它可以构成这样子，看到吗？问题在于，当 m， 当 x m 如果大于零的时候看到吗？ m 大 于零的时候， 是不是他也可以出现这种等腰值啊？所以 m 大 于零， m 小 于零， m 大 于零，至少得有两种情况，至少两种情况，他只写了一种情况，所以这个圈五肯定就是不对了啊，就是不对了啊，至于选择题的话，咱知道他不对 咱就走了，就完了啊，咱就没有必要在在这纠结了啊，就纠结了啊，当然，咱作为研究这个题目的话，咱还是，呃，可以把它研究一下啊，这不这个 x 轴划一下啊， x 轴 划一下啊，这是这个灯钥匙啊，灯钥匙来吧， 都要直的话，很明显这一块的距离是这个两倍吗？这一块，这不那最直吗？这一块的这个大小这不最直吗？最直不是叫四 a 分 之 四 a c 减比方吗？这不四 a 分 之四 a 减比方吗？嗯，咱就算算吧，四 a 四 a 啊， x 啊，四 a h h 二 m， 这不八 m 吗？是吧？四一 c 就是 四乘二 m 乘以这个负一减 m 是 吧？再减 b 方一减 m 的 平方是吧？ 嗯，画画啊，这是个八 m 分 值， 这是八 m 乘负一，这负八 m 是 吧？八 m 乘，它就是减去这个八 m 方是吧？然后再减一，加上个二 m 再减 m 方是吧？它是个八 m 分 值， 负九 m 方减个六 m 再减一啊，正好上面是个半平方，负的是九 m 方加六 m 加一，所以上面是个负的三 m 加一的平方， 除八 m 除八 m 啊，然后呢？所以这个十三算出来啊，我给大家亲自算的啊，所以这个最值啊，这个最值是 把 m 分 至负的三 m 加一的平方，因为你这个顶点不知道在上还是在下，是这样吗？所以这个大小利用绝对值，这一绝对值，这个符号就没有了， 这一绝对值这个符号他就没有了，没有了啊，所以这一块咱就求出来了， 这一块咱求出来了啊，咱现在需要求和 x 轴的这两个交点吗？ 和 x 有 两个交点，这不 y 等于零吗？这不，二 m x 方加上一减它，是吧？减去括号 m 加一，它需要设向乘二， m 乘一，这不二 m 了吗？是吧？然后这是个 m 加一，这是个负一， 这样不行啊，得换换换换换啊，上面是 m 加一，这是个负一，所以这个就是个负二。法式的嘛。负二 m 加上个 m 加一，正好是个负 m 加一，负 m 加一，不正好吗？ 正好了吗？所以这样写就对了。横着写啊，横着写，横着写，它就是二 m x 加上 m 加一，乘以这个 x 减一，等于零吗？等于零吗？对吧？所以 x 一 等于个一， x 二等于 它等于零。二 m x 加上 m 加一等于零啊。二 m x 等于负 m 减一，是吧？所以这个除以这个二 m 除以二， m x 等于二， m 分 之二 m 乘以。然后呢？这两个的距离不就是两个作 x 吗？ 两个作差，他就是一减去二 m 分 之 f 减一。这边提个符号，负负得正，他就是一加上个二 m 分 之 m 加一，好了吗？这块距离， 因为加个绝对值，加个绝对值啊，这个东西他等于这个两倍吗？因为这一块不在这个两倍了吗？对不对？咱继续算啊，继续算。 嗯，起算量比较大啊，两倍的。嗯，八 m 分 之三， m 加一的平方等于这不同，分至二 m 分 之二 m 加 m， 至三 m 加一，二加一啊。因为这个 m 不 能是负的，这个 m 不 能是负的，所以我可以化解一下吗？同城的，同城的八 m， 同城的 m， 这不没有了吗？这不没有了吗？对不对？这个二， 这个八，这不约个分，约个四吗？对不对？然后咱再同乘个二，这不是二，这不没有了吗？对吧？三 m 加一也不能是负数，三 m 加一 也不能是个负数啊。除以负数的话，三 m 加一那是负数，如果是零的话，那就不存在这个问题了。所以这也不是个负数，不是个负数，那就再除个三 m 加一， 这边再出个三 m 加一，看到吗？所以到最后得到结论就是，三 m 加一，除以二的绝对值等于一， 三 m 加一的绝对值等于二，三 m 加一等于二，三 m 加一等于负二，是吧？这个三 m 等于个，一 m 等于个负，三 m 等于个负一。负一，一个三分之一个， 所以这个解出来之后是一个三分之一或 m 等于负一，它是两个。所以圈五不对，圈五不对啊，圈一对， 哎，圈二不对，是吧？圈三对，圈四对一，一三四，所以不对。一三四，三个啊，所谓三个 三个啊，所以打全是三 c 啊，三 c 啊，打全三 c 处理完毕啊，积碳量比较大啊。