安徽宣城二模数学哪一题是考的几何题

好，宣城的家长们，同学们好，这道题是这次宣城二模的第十四小题，也就是我们选填的最后一题啊，这道题呢，就是第一，就是很少呢，用复数作为十四题来考察同学们 啊。不过呢，我们都知道，不论他以什么形式考察，总是以这个形式为包装来考察他想考察的东西，可能同学们没有很快的挖掘到他是到底要考什么，但是没有关系啊，我们要回归到最本质的原因来解决这道题 来，我们同学们，同学们，我们来分析一下， z 一 z 二对应的点是 z 一 z 二，然后呢，给了向量的摩擦，那我们是不是很容易理解，如果 我平面内有一个向量 z 一， 比如我以 o 为起点， o z 一 o z 一 z 一 的坐标就对应着是向量 z 一， 对不对？好， o z 二对应的这个弦肩就是 z 二，是不是？好，那我们发现 z 一 减 z 二是不是就是这个弦肩？ 那现在我们知道这三个弦肩的摩擦是相等的，这不就是一个等边三角形吗？是不是？而我们又知道 o z 一 是等于 o z 二的，那我们很容易看到 它 z 一 跟 z 二，我们完全可以把它当作在一个圆上去运动，圆上的一个洞顶，是不是？ 然后呢，我们就可以很轻易地画圆，然后去间隙解决问题。 好比如说我们随意的这个地方叫做 z e， 然后呢，这个地方呢， 叫 z 二。注意了， z 二除了在这边，它也可以，在这边它两个方向都可以，也就是说，当我设它是 c 它的时候 啊，我们 z 一 的坐标完全可以用根号二倍 cosine， 它根号二倍 cosine 来表示， 对吧？那么 z 二的坐标呢？它可以表示成根号二括号 e c 加减三个 pi 和根号二括号 e c 加减三个 pi。 也就是说，变成这样一个坐标关系后，我们来解决向量成绩的最值就变得很容易了。当然，它也可以看作是 x 一， y 一， x 二和 y 二啊，都没有问题是不是？好，我们来代入向量坐标计算， a z 一 乘以 b z 二等于，我们先用 x y 一 x y 二来代入计算。这样呢，我们步骤少一点啊， 它就是 x 一 减一， y 一 就是 x 二乘以 y 二减一，我们把它重开，它就是 x 一 x 二。那这边还有 y 一 y 二 减 x 二减 y 一。 好了， x 一 乘 x 二加 y 一 乘 y 二，我们是不是可以轻松地表达成是向量 o z 一 乘以向量 o z 二， 它这个等于 x 一 乘 x 二加 y 一 乘 y 二，也就是它们的摩擦 乘加轴的余弦值，这样它就等于一。好，我们再代入一，这个 x 二，我们刚刚说过了，它是根号二。 cosine theta 加减三分之 pi 减去根号二，三下来，我们把它打开运算一下，它打开时， cosine theta 乘二分之一，然后加减二分之，根号三乘三下，所以我们直接把它合并一下。 那这边呢，就应该是根号二加减二分之，根号六乘以三分之一。那么我们直接用辅助角公式，它就应该小于等于它的平方，它的平方这道题刚好要找最大值。 好，我们注意到，找最大值，那肯定是里面是加号，是最大的，我们可以把它换成加号了，那就变成了一加三，计算一下，应该是 四加两倍根号三，这个开发出来就是根号三加一，所以等于二加根号三，这样我们就解出来了这道题的最大值。好，那这道题呢？就是一个限量的关系，三角换圆， 或者说我们遇到类似于这样一个限量的较难的题目，我们可以优先选择间隙来解决问题。啊。好， 这样我们就讲完了，有需要的同学可以扫二维码保存一下函数。好，我们就讲到这里。

大家好，我是讲宣城数学的李老师，昨天咱们宣城高三二模刚刚考完，考完了看了一下这个试卷，试卷的总体难度等等，非常贴近高考的难度， 但是可能会略微比高考还要难一点。但是这一次这个二模呢，他考的选择性必修三，统计概率的内容比较多，算了一下，好像总共加起来考了三十多分，重列这个模块考了十分左右，整体的是偏向于选择性必修三的一个考察。 不过这一块没有复习到的啊，这是掌握的不是很好的，可能这个分数说不定能考的多高。而且 其中三题放到了圆锥曲线。圆锥曲线吗？前两问计算相对来说比较简单，是第三问还是需要你用点叉法去计算的倒数吗？是比较常规，放在最后一题会压轴人体前面的选择和填空的难度是很大。 这个试卷我觉得基本上程度比较差的嘛，估计考个六十分左右也能考的到，甚至考到个七八十八九十甚至过百的也比较简单。 但是尤其是想要追求高分的试卷，虽然说是比较简单，但是我觉得考一百四还是相当有难度的，甚至考一百三十五以上都有难度。我幸好把这个试卷附在这个视频后方，以及标准答案，供大家参考。

好，宣城的家长朋友们好，这道题是我们这次二模的第十一题， 也就是我们整个选择题的压重题。这道题呢，从出题上来说，比比第八题，比单选的最后一题啊，从创新上要好很多，从能力的考察上，从计算练上，整个上面都要大很多 啊。也就是说，把这道题如果能完整的解出来，说明同学们无论是从思维上，还是从那个整个的解题能力上，运算能力上啊，都是比较强的。好，我们一起来看一下这道题。 我们首先看到 f x 是 四的 x 次幂减二的 x 次幂， 可以说它就是一个二次的形式啊，我们简单的分析一下它啊，或者说能很快的，所以在这个地方呢，做了筛选，我们很快的就能找到一个答案。 我们看到它呢，可以变成二的 x 次密乘以二的 x 次密减一，也就是说它的正负关系很容易产生，我们看到 x 大 于零的时候，它是真的，也就是 f x 是 真的。 第二个 x 等于零的时候， f x 是 等于零的，第三个 x 小 于零的时候， f x 是 小于零的。 来，这样把你知道以后呢，我们发现他给你 f m 加上 f n 等于零，既然能够等于零，又给了 m 是 大于 n 的， 我们就可以轻易地看到 m 和 n 都大于零，行不行？不行？都大于零， f x 都大于零，加起来不可能等于零， 都小于零也不行，所以只能一正一负，那么所以只能 m o 大 于零，大于 a， 我 们就能知道 a 选项正确，对吧？这样 a 选项就能轻易地得到。好，我们再来分析， 也就是说他所给的提干条件只有 f m o 加 f n 等于零这样一个条件，我们只能从这个条件上继续去挖掘 来。 f m 加上 f n 等于零，我们代入解集式，即四的 m 减二的 m 加四的 n 次幂，减二的 n 次幂等于零， 这样两个二次的形式，我们很容易把它配方一下，变成二的 m 减二分之一的平方，加上二的 n 减二分之一的 平方等于二分之一。好，看到这个形式就很熟了啊，来，我们回顾一下，如果我们遇到 x 方加 y 方等于 r 等于 r 翻，我们很容易令 x 等于 r 倍 cosine， 令 y 等于 r 倍 sine， 通过转化成三角，三角化圆，通过转化成三角函数的关系，我们就很容易的求出下面 b、 c、 d 的 范围，对吧？好，这是一个简化问题的方式， 那我们看到这个二的 m 乘以减二分之一，是不是相当于就是这个 x， 所以 我们可以令二的 m 减二分之一等于二分之根号二被扩散一些，它 我们直接就令了啊，二的 m 等于二分之一，加上二分之根号二扩散一些，它二的 a 等于二分之一，加二分之根号二扩散一些。它 做到这个地方，也就是我们进行了三角换元， m n 用同一个变量把它换掉了，这样做了一件我们经常做导数题中最重要的一件事情，把双变量变成单变量来解决啊，这就是我们的做题的指导思想之一。 好，但是做这个地方呢，我们还得冷静，我们有了心圆，一定要找心圆的范围 啊，形成的范围不确定，我们忙了半天会排完了，对不对？来，我们再看条件，它唯一的条件就是 m o 大 于 n， 我 们能看到 二的 m 次幂肯定大于二的 n 次幂，也就是这后面比这边大，所以我们发现口三一 c， 它应该大于三一次它， 进而我们就可以直接认为 theta 是 在负的四等的 pi 到正的四等的 pi 之间，对吧？当然你说给它加上两面加上二倍 pi 有 没有问题？没问题啊，所以我们只在一个周期内解决就可以了。 好，我们做到这个地方呢，就会发现， c 选项 m 小 于二分之一，是不是等于二分之一加二分之根号二，括号 in theta 扩大 c 呢？在负四分之 pi 到四分之 pi 上是先增后减的，所以呢，它就小于等于零的时候的去值扩大以零是一，对吧？小于等于二分之一加二分之根号二，那它自然就小于根号二了， 自然就是二的二分之一次密了，所以 m 就 小于二分之一，也就是说我们得到 c 正确。 好，这道题呢，我们就解了一大半了，如果有很多同学做到这个地方，觉得，哎，我没有时间做下去了，你可以不做了，哎，选择了 a 跟 c 这道题，你能占你的分也够了啊，在你不确定 b 跟 d 对 不对的情况下是不是好，当然我们继续来研究一下， 我们再来看 b 选项， b 选项跟 d 选项的思路肯定是呈现的具有一致性的，对不对？ m 加 n 和八的 m 加八的 n， 来，我们来看一下。 比如我们想要证明 m 加 n 小 于负十六分之一， m 加 n， 通过刚刚的二 m 次幂，二 n 次幂，我们就想到是不是就是即正 二的 m 次幂加 n 次幂是小于二的负十六分之一次幂， 而二的 m 加 n 次幂就是二的 m 次幂乘以二的 n 次幂，对不对？所以呢，那就到了我们幺的东西，我们直接来探求二的 m 次幂乘以二的 n 次幂，我们把它乘起来， 好把它撑开。二分之一乘二分之一，四分之一加上二分之根号二三 e c， 它加括号 e c， 它最后再加上 二分之一三 e c， 它乘括号 e c。 好 做到。这个地方又到了一个理论上我们经常处理过的问题， 有三一 c 加三一 c， 有 三一 c 乘三一 c， 它就是一个典型的三角函数里面换元问题啊，我突然称之为三个小伙伴的问题， 也就是已知它们先加它们先乘和它们先减它三个任意知道一个，另外两个都可以表示出来啊。我们常见的表示方式肯定还是换元。我们可以令 sin sin theta 加 cosine theta 等于 t。 哎，又到了一个新元，我们是接着找新元的范围， t 肯定等于根号二三 c， 它加四分派。 我们刚刚已经确定了 c 它的范围在负四分之派到四分之派上。 c 它加四分之派是零到二分之派，所以我们就知道 t 它应该在零到根号二之间，对吧？ 然后呢？ t 的 知道了，那你们看，把这个式子平翻一下，我们就知道 sin theta 乘 cos theta 是 t 三减一除二，所以二的 m 乘二的 a， 它就等于 我们口算一下啊，这个地方是 t， 这个带进去是四分之 t 翻减一和四分之一约掉了，对吧？你约掉了以后，就剩下了四分之一的 t 翻加二分之根号二 t 这个二次函数的对称轴是负的，而我们的 t 又在零到根号二之间，所以在根号二处趋近于最大值，那么它自然就小于四分之一乘以二加上二分之根号二乘根号二，它就等于一 来。我们看到他说要占的是小于二的负。十六分之一是接近于一的，但比一小一点，但实际上它是无限接近于一的，所以我们就能够判定 c 的 选项是不对的，对吧？好，继续我们再来看最后一个选项， d 选项 来递选下。通过刚刚的思考，我们有二的 m 次幂，二的 n 次幂，这里有八的 m 次幂和八的 n 次幂是不是一个立方的问题，也就是立方和的问题，对不对？来我们来解决啊。 八的 m 次幂加八的平次幂，它就等于二的 m 次幂的三次 加上二的 n 次幂的三次幂，也就是等于二的 m 次幂。加二的 n 次幂，我们直接用立方和公式 乘以二的二次幂，加二的二 n 次幂减去二的 m 乘二的 n 次幂。好，因为我们知道二的 m 加二的 n 很好算，我们在旁边算一下， 它就等于刚刚啊，他们加起来一加二分之根号二三一 c 呢？加括号三一 c， 刚刚我们已经定它等于 t 了，所以它就是一加二分之根号二等倍的 t， 所以 我们对这个式子把它记下来，把它化成， 它就是二的 m 加二的 n 的 平方减三倍二的 m 乘二的 n 次幂。 来代入一下一加二分之根号二倍的 t 乘以一加二分之根号二倍的 t 的 平方减去二的 m 乘二的 n 次幂。刚刚已经划过了啊，在这个地方看到没有， 所以是三倍四分之一的 t 翻加二分之二倍的 t。 我 们来给大家简单的整理一下， 这里面是二分之一的奇方，减四分之三的奇方，所以剩了负四分之一的奇方，这里面有根号二倍的奇，里面有负的二分之三倍的奇，所以剩了负的二分之根号二倍的奇，然后还剩了一个一。 好，我们注意到题目说的是大于等于三，小于二，然后呢，你发现我们的 t 呢，可以接近于零， t 是 趋近于零到根号二，当 t 趋近于零的时候，那这个八的 m o 加上八的 n 次幂是趋近于一的。哎，我们把零带进去，所以你就知道 d 肯定是不正确的。 right 哦，因为我们这是小题目，没有必要去把它的方位印记出来，就可以直接解决问题了。好，这就是我们的第十一题。

好，宣城的家长同学们，大家好，我们来分析一下这次宣城二模的数学试卷啊，整体上做一个简要的品析。我们在前面的视频里面，已经把这张试卷的第七题，第八题，第十四题 以及啊第十一题，还有第十九题全部讲完了，也就这在这份这份这张试卷上啊，比较有难度的题目我们已经讲解完毕了。然后我们现在整体来看一下这张试卷考察了哪些东西。 第一题考察呢，就是集合的一个基本的问题，并集求解集，这个很简单。第二题呢，是我们抛物线的一个最基本的形式，也属于送分题啊，这两题，这一题是送分题， 这题呢也是送分题啊。第三题， 第三题呢，就没有那么那么的松分。第三题呢，它考察了我们信信回归方程的一个基本的性质，它的样本中心， 也就是本心的性质，也就是说它的 x c 拔， y 拔要在它的信信回归方程上，而且呢，还考察了一个残差的概念，那残差的概念当然就是 一个真实值，减去它的预测值啊，朋友们要知道啊，如果不知道这道题可能有一点困难， 来，我们再来第四题啊，这道题呢，就是有的，如果有的同同学没有复习到这个题，可能会有点问题。 第四题，第四题呢，考察了我们那个向量的一个基本的问题啊， x 平行加 y 平行的最小值就是一个体现的，就是一个乘以法， 乘以法，然后呢，这边呢，这个关系就转成了三点共线的问题啊，所以它又考察了一个三点共线的性质， 得到 x 跟 y 的 一个等等量关系，然后用乘以法解决。第四题，属于基本题啊，属于中等题。 第五题就是一个排列组合的问题，我们看到九处点点选，五处游玩，然后呢，其中 a 点跟 b 点相近啊，都去游玩或都不去，那就意味着你应该讨论， 然后 c 跟 d 相似，至多往其中的一处，也就说要么玩一个，要么玩，要么两个都不去啊，要么是选一个，要么呢，都不去啊。 所以总体上你得分类啊，很简单，讨论 a 跟 b 如果都去玩，那么 c 跟 d 就 有两种情况，要么他们选一个去，要么选一个都不去，或者呢， a 跟 b 都不去啊，然后呢， c 跟 d 选一个去，选一个都不去。 好，这样呢，你就是四种情况，我就讨论结束了啊，比较简单。第六题啊，这个，这道题也是一个中等题， 这是一个。那第六题呢，考察了一个啊，我们函数的非常简单的性质，一个偶函数， 然后呢，我们通过这个关系能够再构建一条对称轴出来啊，就是把它一推一步一削掉就可以了，这样呢，就很容易算出来答案啊，这也是一个中等题。 第七题跟第八题，这个我们在前面视频中讲过了，它属于中上难度啊，都不算难题，都属于中上难度的题目。 第九题啊，第九题呢，呃，考察了我们三角函数的性质的问题。三角函数性质解决它的基本步骤啊，解决 a， 我 们就看到了是二， 然后呢，这道题呢，它不能直接读出周期，所以我们应该分两步解决，第一个 f 零等于根号三解决 five， 再根据 f 负六分之 pi 等于零解决我们一好，然后解决了，整个选项都没有了，是一个多选题，里面呢，肯定是一个中下难度的题 啊。第十题，一个考察了逆递减合的这样一个问题，这个问题呢，应该也属于一个中等难度的题目 啊，中等难度的题目，正反题去解决 e 坐标也知道，你看第一个问你存不存在 在这上面运动你，你如果是直接能够很多分界技术扎实，你直接看到它是不对的。然后呢，如果你觉得有困难的话，那你完全可以求发限量，通过发限量和 s 点去运算，看看它乘以它的发限量 等于零有没有解，如果是无解就不成立，有解的就成立，就这样很简单。然后 b 选项， c 选项， d 选项，对应着三种不同的情况，分别去解决基本问题就行了啊，这个中等难度的题目，匀算量呢，越有一点大。 好，第十一题呢，是一个，我们前面讲过了，应该是一个有难度的题，它的难度在难题中，但应该属于难难题中算比较中等啊，没有那么的难。好吧， 好，第十二题啊，十二题呢，奥先生听力的这样一个基本的问题，属于一个送问题。 十三题，十三题也很简单，通过它就知道是解决了 q 的 问题，然后这边又是 a 跟 q 的 关系，我们很容易解出来。 a 一 呗，这算 呃，中等问题的送分问题吧。这么算啊，十四题呢，我们讲过了，它应该算中等问题的难题，比真正的难题要稍微简单一点。 十五题，十五题属于道送分题， 在解散人当中，那都知道两个边了。然后呢，第一个知道一个三等的点，给给出这个线段的长度，求口算于 b， 你 有很多方法可以解决啊，我们简单的表述一下， a， b， c。 好， 我们知道 c 是 三， a 是 二， b 不知道，然后 d 点是一个 a， c 边上的三等的点， a， d 等于两倍的 c， d。 好 了，你第一个可以直接用项链的问题，用项链，用爪子给你啊，去平方就解决了。第二个呢，完全可以用 这样一个拴于弦来解决第三边小 b， 然后从而三个边都知道解决 q 三 b 啊，属于送分歧 c， 第二个 c 等于二 a 啊，这个也很简单了， c 等于二 a 了，我们 我们有很多种方式可以解决啊，直接解也可以用正弦逆理。直接解可以啊，你可以用正弦逆理，可以做图，做辅助线都可以啊， 需要讲的可以私聊我。十六题呢，这个题就属于一个标准的准答案题 啊，直接就是跟送分也差不多啊，我们这道题呢，间隙上没有什么难度啊，下面就是菱形间隙，没难度，直接运算那个二面角的余弦值啊，在上面也没有难度是不是？但是我们要注意的是啊，说两个平面二面角的余弦值，它一定是 零到一之间啊，一定是一个正值。好吧， 十七题，十七题呢，也是一个重大题，它在整个的解析几何里面算主义的啊，没有什么难度，那这个是送分 送给你，这个是三等分点，我们找坐标就可以了，也算顺分。第三个特别容易掌握，这个角是钝角，那一看就转成像量 m p 乘 m q 小 于零，然后转成微大一米，设直线换成代入就可以解决 a 的 范围啊，在后面应该有一定的运算量，整体上算比较简单的中上一点点 十八题啊，这个十八题呢，我们发现，第一问考察的就是算七万和翻差， 然后它生产了 n 辆那个无人投递车，合格的数目为 x， 这个时候呢，我们通过知道通，既要通过 a 或者 a 没通过，通过 b， 我 们就知道它通过测试的概率是很容易求出来的，这个 p 就是 零点八，那么没通过 就是零点九，也就是说任何一辆车，它通过了测试的概率是不变的，都是零点九，所以显然呢，它是一个二项分布，那么我们就知道写上 x 负数用 b n 点九。 这样呢，就考察了这样一个二项分布的基本的知识啊，它的数学七万零点九 n， 翻叉零点零九 n， 对 不对？很容易知道。好。第二题呢，这是一个 容易的题目吧，跟数分差不多啊。第二个，已知伯利亚无人投递就要测试合格，然后求其通过 a 的 概率，那这就是一个条件概率的题目。 但有同学会在这里说，老师，这应该是一个毕耶斯考我们毕耶斯公式，但是不重要，它就是当做条件概率做就可以了啊，我们另一个事件 m， 另一个事件 n， 就 算 那个 n 在 m 的 条件下发生的概率就好了，很简单啊。第三个，第三个考这个公式是什么呢啊？如果同学有设计的话，他考的就是切比雪书，不能试， 当然没有那么重要，它想让你那个解决的问题就是用它这个公式啊，然后以及它算出概率小于零点零五来解决这个问题，所以它也算是一个比较简单的问题，公式能明白就好了。那我们注意到它的合格率， 注意到那个，注意到合格率百分之九十五，那要至少合格多少呢？合格九百五十个， 对吧？然后我们前面又能发现，它的平均值六，就是刚刚的 e x， 也就是九百，这两个是不是相差五十？所以在这里面我们就发现我们这个随机变量 x 六六就是减九百，那你想要得到九百五，不就应该大于等于 五十吗？对不对？所以你看直接套进去就行了。小于等于这个西格玛翻，就它的翻叉，翻叉前面算过了，对不对？应该是零点零九 n n 就 再乘以一千 除以 a 的 平方，就是五十的平方。好，那我们注意到这个东西它所表达的真实含义应该是 p x 大 于等于八百，小于等于那个九百，哦不， 这是大于等于 x 小 于等于八百五，或 x 大 于九百五。那我们就注意到，我们要的这 p x 大 于等于九百五， 它肯定是比它小的，也就是比这个值小，这个值呢又小于零点零五，所以它肯定是不可信的啊，这个小概率事件。好，这样就解决了问题。 那么第三题呢，就在于阅读条件，就是现在高考这道题出的啊，难度不大，但是很新颖，出的很好，也就是说他难度不大的情况下，主要是锻炼同学们阅读材料的能力，就是现学的能力啊。好，所以这个题呢，我们给他打上 难吧，难下好，十九题呢，我们在前面的视频中已经讲过了，它在我们前面几次考试的十九题当中应该算呃，比容易一点的十九题了，在整体上肯定是一道难题啊，整体上是一道难题 啊，整张试卷，我们相比于上一次的江南市校啊，我们相相比于上个江南市校 以及更前面一次的宣称英文，它的难度应该在这两个 直接啊，比江南职校低一档，比宣城一模高一档，然后呢，与高考比呢？与二四年、二五年的高考试卷比，高考数学比，就是在十一到十七题，我觉得是差不多的啊，相差不大， 然后比十八到十九题难度要低， 也就是说在一到十七题，咱们这个宣传二模跟二四年、二五年高考高考题难度是接近的，在十八到十九题难度是要偏下一点啊，或者说略微要低一些 啊，也就是总体上我们应该考出来的分数，这次考出来分数，我们预测一下，肯定是比江南职校的分数要好看的，对吧？要比宣传一模的分数要好看的，因为同学们也在进步嘛， 学成英模的时候有满分的一百四十分以上也是非常多的，所以总体上那个这次考试我觉得应该跟学成英模的分数是差不了，特别多。好，这就是我们对这次呃宣城二模考试的数学试卷这样一个简短的分析。

开始好，宣城的家长们，同学们好，这道题呢，是这次刚刚考过的宣城二模的第十九期，咱们数学的第十九题， 这十九题呢，是作为一道压轴题呈现，当然我们做过的同学应该都有感知到，这道题呢，比平时呃很难的那种十九题 要简单一些，也就是在众多的实际当中，它属于相对容易点的实求题啊，但它本身呢，还是具有呃较大的难度的。好吧，啊，我们来依次分析一下这道题，我以分析的形式来讲解这道题啊， 来，我们看到 f x 大 等于 f x 的 充分条件，那这样呢， 也就是说前面这个范围是小范围，后面这个范围是大范围，小推大推到充分，对不对？那自然就知道啊，我们由这个条件就能够知道 f t 是 大于等于 f s 的， 对不对。然后呢，又因为 t 是 大于 s 大 于零的，这就回到了什么？回到了我们函数单调性的定义， t 比 s 大， f 比 s 大， f s 大， 所以呢，我们可以说 f x 在 零到众群这个范围内单调递增，对不对？好，既然单增，那我们知道一个函数在一个区间上单增，那它的导数就应该是恒大于等于零的，如果是单解就小于等于零的，对吧？ 来，我们直接把它写出来，等价于对于任意的 x 属于零到正无穷大，我们 f x 一 撇，我们顺手给它导出来吧。 k 是 一啊，它就是 x 平方，然后 x 乘以 x， 然后减去 e， x 减 a 应该大于等于零，横乘以 它分子力有单参的范围，我们很自然的就知道应该参面分离，所以 a 应该大于等于负的 x 减一乘一 x， 这时候就很清晰了，我们对它求导以后，就知道是负的 x 乘一 x， 也就是说在零的时候取得最值啊，所以我们这边就省略掉了，我们很容易知道 a 是 大于等于一的。 好，这就是我们的那个第一问啊，第一问呢，很简单，第二问， 第二问，它的难点在哪里？难点在于 k， a 还有 b 这几个数，或者说这几个参量都存在，它存在于啊三个参量， 然后呢？这是它的难点，然后，但这是一个零点问题，一个函数有两个零点，这样我们是会处理的，对不对？所以它就常规的处理 来。我们 g x 等于 f x 减 b， 也就是 k e x 减 a 除以 x 减 b 等于零，它应该有两个根。好，极， 我们把这个式子化简一下，是不是应该是 k e x 减 b， x 减 a 等于有两个根。好，这样呢，我们就可以令它做一个函数，比如说我们令它等于 h x， 可以吧？好，这个函数有两个零点，那我们它应该在哪里有两个零点呢？啊？记住一定要注意范围，我们 x 是 属于全已知数的，对不对？所以它在 r 上有两个零点，对吧？来找零点，那就找单调性，就是跑不掉的，所以我们直接求导 它就是 k e x 减 b。 好， 我们注意到 k 跟 b 都是正值，所以当它的导数等于零的时候，肯定是有根的，我们由 h x e 撇等于零 得到 x 等于 lo in k 分 之 b， 对 吧？也就是说 x 属于负无穷大，到 lo in k 分 之 b 时，倒数是负的函数啊，倒数是负的函数，是单减的，对吧？我们 h x 单减， 在 lo in k 分 之 b 到正无穷大的时候， h x 是 单增的。哎，我们知道函数是先减后增的，然后又注意到，当 x 趋近于负无穷大的时候， 来代入进去负无穷大的时候，它是趋近于零的。然后呢， b 是 正的负， x 是 正无穷大。显然 f x 趋近于正无穷大。 托尼，当 x 趋近于正无穷大的时候，我们这个 h x 仍然也是趋近于正无穷大。好了，那它需要有两个零点，是不是应该在最小值这个地方是负的，就一定有两个零点？对，非常的明显，故把它表述一下， 当 h x 等于零有两个根时，这个 h 等于 k 分 之 b。 来，我们代入一下 k 乘以 lo in k 分 之 b 减 b， lo in k 分 之 b 减 a 应该要小于零， 即相当化简一下，它就是 b 减去 b 被 lo in k 分 之 b 减 a 小 于零。 好，这时候一定要提醒同学们，看到我们刚刚呢带 x 是 有四个位置量，现在呢，变成了有三个位置量， 那我们是不是要求 a 的 方位对不对？那这个东西就相对来说， b 跟 k 这个式子应该是变量，那么 a 就是 我们要求的东西，那么求 a 当然就残变分离。 好，那这个时候呢，我们就可以把它叫一个函数，比如我们把它叫 five b 当做 b 的 函数 啊，当做 b 的 函数。以后 a 大 于 five， b 就 大于 five b 的 最大值。所以对 five b 求倒一下，它就等于 e 减零， k 分 之 b 再减一，也就是负的平方 k 分 之 b。 好， 我们注意到 k 跟 b 都是正 b 作为我们的变量 k 的 参数，当 b 是 属于零到 k 的 时候， 那么 k 分 之 b 就是 大一的负的平方 k 分 之 b， 它就是一个负值。 在你那篇文章中选啊，就是，呃， b 除以 k 是 一个小于一的数，那整个负的它是不是就是一个正值？那这样呢？ g b 一 撇，它应该就是大于，也就我们知道 g b 是 单增的，那所以 b 属于 k 到正无穷的时候， g b 一 撇就应该是小于零的，我们就推到 g b 是 单减的，那就很显然在在 k 的 时候取得了最大值。好， 所以 a 就 应该大于 five b 的 最大值等于 five k， 把以 k， 我 们把它代入进去，就是等于 k 不 a 的 范围，咱们就求出来了，应该是 k 到正求大。 好，这就是我们的第二题啊。这个第二题它的难点在于什么呢？变量特别多啊，各种残联在里面，我们要每一步其实都是一个非常常规的处理方式，对吧？首先要一定要关注什么呢？关注每一步的， 或者我们一定要思考变量是谁，你知道变量是谁，就知道以谁 为主元来解决，对吧？那比如说我们在做这一步的时候， x 就是 我们的主元，其他都是参数，我们不用管它对不对，只研究关于 x 的 变化情况就可以了。好，那我们转化到这一步的时候， 好，到这一步了，到这一步了，一直到这一步了，我们就可以把它当做以 b 为变量来解决问题。好，以 b 为变量这个问题，这样找到法以 b 的 三角形，那就解决了 a 最终的范围，对不对？好，这是我们的第二问的第 第一小问。好，我们最后再来解决最后一个小问啊，也就是最后一个问，他说对于一中给定的 a， 那 这句话的含义是什么呢？ 对于一中给定的 a， 它的含义就是我们 b 最终就可以用 a 来表示，用 a 去表示 b 啊，就是取得最小值的时候， b 等于多少多少 a， 那 就可以解决问题了 啊，我们把 a 呢当做一个改变的质来解决，这就是题目向你传授的意义啊。好，我们来看看这道题怎么解决 来。首先前面的转化是不变的啊，这个根对应着这个范围，它是不变的，因为它们是同一个问题。好，那我们也就意味着刚刚这个式子我们可以把它抄下来， 这个在这里， k 背 e 的 x 减 b， x 减 a 等于零，这个式子是不变的。 这个式子是不变呢，我们发现对于这个 x 而言，它应该有两个根，对吧？然后我们找到 x 一 减 x 二的角值，就应该是它两个根对应的距离， 是不是？所以我们来做一下转化，他怎么就有两根了啊？当然我们刚才也呈现的是有两个根啊，它单向性也呈现的是一个先减后增的情况啊。我们第一问做过了，应该是一个先减后增的情况，是不是 好，所以呢，把它做一下转化啊，它主要是找到 b 应该满足什么条件？刚刚这道题呢，是 b 最终变成了 k 的 关系，但我们要找 b 跟 a 的 关系。来，我们注意一下，这个式子呢，完全可以采用一下呃， 同勾的形式来解决问题啊，你看它呢，可以把 b 除过来， k 除以 b， e 的 x 乘以减去 x， 减 b 分 之 a 等于零， 再来等价， b 分 之 k 就是 e 的 loi 等于 k， 所以 它就是 e 的 loi， e 的 x 加上 lo in b 分 之 k 减去，那这边有 x， 咱们 x 直接加上 lo in b 分 之 k， 这个 b 分 之 a， 我 们把它拿过来，这样相当于左右两边都减去了一个 lo in b 分 之 k， 那 我可以这里再减去 lo in b 分 之 k， 但也可以写成 b 分 之 a 加上 loing k 分 之 b 是 没有问题的。好，我们同构成这个形式以后，就会发现 这个式子它是一个单标的，我们可以令 x 加 loing b 分 之 k 等于 t， 那你会发现， x 一 就应该等于 t 一 减零分之 k， x 二就等于 t 二减零分之 k， 那 也就对应于 x 一 减 x 二的绝对值，是等于 t 一 减 t 二的绝对值，对吧？我们就把它转化掉一个看起来简约一点的形式，即 e 的 t 减 t 是 等于 b 分 之 a 加上零 k 分 之 b。 八好，这个函数我们非常的清楚， 它就是一个先啊，我们求导来知道它是 e 的 x 啊， e 的 t 次幂减一，在零的时候取得最值，先减不增，对吧？ 先减后增，它若有两根对应着，这是一个函数，它跟它有两根，交了一个 t 一， 交了一个 t 二， 它们相减最小，应该是几乎就在这里取得最小，对不对？所以这个最小值就是一吗？那就是 b 分 之 a 加上 lo in k 分 之 b， 它就会大于等于 e。 然后呢，这个地方我们就可以解决 b 的 问题了，比如说我们令它 等于一个 p a 啊， p b b 式变量，当给 b 求导一下，它应该就是负的 b 分 之 a 减 b 加上 d 等于 b 分 之减 b 分 之一加 b 分 之一啊，也就等于这个 b 三分之 a， b 分 之 b， 三分之 b 减 a。 好， 这时候我们就看到是不是单且减单。 我们的 b 等于 a 的 时候，看到没有这个地方法与 d 就 取了最小值， 也就对应于七一减七二，对应了最小值，对吧？好，这样我们就解决了这道题。最终，那我们看到它要求 x c 减幺最小值，我们转化成了七一减七二的最小值，找到了此时 b 的 值， b 的 值就取的是 a。 好， 我们可以保存一下笔记。 好，同学们可以扫描一下二维码就可以带走整张笔记啊。好，我们这道题就讲到这里。

好，各位宣城的家长同学们好，我们这次呢，把宣城刚刚考过的宣城二模的试卷做一个简要的体系。首先从 难度上来说，我们宣城二模的这次的难度是介于我们在一月份考的宣城一模 和在三月份考的江南职校，他们难度应该介于这之间啊，比江南职校呢低难度要低一个档次，比宣城一模略微难一点。 那么按照之前我们所规划的那个考试的考试的情况来说，呃，总体上宣城二模所呈现的分数情况应该与宣城一模差不了太多 啊，也就是说肯定会出现大面积的一百四以上的同学啊，不像江南职校啊，他一百四的同学很少，寥寥无几啊。这是第一点，从难度上来说， 我们再从他的那个题目的得分点得分上来说，我们先把 b 得分的点把它拿出来啊， 我们打上那个五角，五角星，那第一题，第二题，第三题，这些都是 d、 d 打分的点。再来第四题，第五题， 第六题。好，现在单选择题这六题，应该说绝大部分基础中等一定要拿到，然后呢，那些成绩比较好的同学要百分百拿到。好，这里面已经有了三十分，我们先记上啊，三十分。 然后呢，对于自己要求比较高的第七题和第八题，也是一定要拿到的。 来，再来这次考试的第九题，第十题 也是基本上一定要拿到的第十一题，第十一题难度稍微大一点，我们尽量呢，要拿三分啊，最少拿三分，最多拿六分 啊，这个因为他的 a 选项非常的简单，我们在前面视频中也有讲到讲解的这十一题好，这样的情况下呢，我们如果基础分，严格来说，第九题我们拿六分， 第十题我们拿四分啊，然后呢到第十一题我们拿三分，好，我们再来填空题，填空题这两题非常的简单必拿的，也就是说这里有十分。 第十四题难度也不是特别大啊，我们打上勾，对于要求高的同学一定要做对的 好，我们再来十五题是一定要拿的，十六题也是一定要拿的，这样的情况下有加十三，加十五， 我们再过来第十七题，第一问这个小问是一定要拿的，这个第二小问难度也不大，也就是说十五题基本上你要控制在十五分以内，小于等于五分啊，也就是说基础分应该是在十分 好。十八题，十八题它的第一问和第二问都非常的简单，然后呢，第三题是略有难度的，也就这道题呢，我们也是要控制在啊十分以内啊，也就是说最起码要得十分 好。最后十九题，十九题的第一问很简单，有时间做到这里，那个技术好的同学，这个第二问我觉得应该是很有希望的，特别是在宣城一模 啊，能能做到一百四以上的同学，或者一百三十五以上的同学，然后呢，宣城二那个江南职校，能做到一百一十五以上的同学都有希望，第二题那个尽可能的做出来 好，那也就是说第十九题我们最起码的要求是拿到七分左右，这样的情况下，他的基础分我们来核算一下，这是四十， 这是五十六十七十八十，然后这是二十八，也就是最起码一点零八分是对大家的一个基础的要求 好，至于每道题具体的讲解，我们对于每一个难题的讲解，在前面视频中都有说到啊，如果有其他的问题啊，各位家长可以私信我，我可以专门的录制视频来沟通。 然后呢，对于每一个基础题的试分，同学们一定要做好巩固。好的，这就是我们这次江南职校啊大致的总结。

宣城的家长，家长们同学们好，这道题是四月七号才考的宣城二模的第七小题啊，也就是我们单选题的第二题啊，整个这道题呢，我们看到它的出发呢，比较新颖啊，条件呢很少， 看似呢好做，实际上呢也没有那么的好做，所以呢，我们有必要把这道题拿出来讲解一下。好，那这道题的题眼呢，应该是在这个地方， 应该是在这个地方，我们要看它求什么，求 b n 乘 b n 加一分之一啊，这样一个形式的求和，那么它大概率就是一个裂线相消， 那既然用液线先消，它大概率就应该是推出 b n， 应该是一个等差竖列， 或者说我们要奔着这个方向去探究 b n 是 一个什么样的竖列才能够求和，对不对？好，我们现在来看一下，我们看到 b n， 它是等于 a n 加一减 a n 也可以等于根号 a n 加一加一了， 然后呢，我们要找它的关系，直接可能找不到，那我们常规的操作就找它的递推关系，对不对？我们发现 b n 加一是等于 a n 加二减 a n 加一等于根号 a n 加一 加二加 a n 加一。好了，我们直接来做差，找一下他们的关系，则 b n 加一减 b n 等于直接来推倒。我们先用根号推一下， 我们发现它等于 a n 加二加上 a n 加一减去根号 a n 加一加 a n。 好， 我们看到两个根号相减，就是很容易想到要用到分子油理化，对吧？ 我们给它分子油理化一下， 好，它的平方减，它的平方刚好是 a n 加二减去 a n， 然后我们再注意到这个东西刚好就是 a n 加二减 a， n 加一，这个东西刚好是 a n 加一减 a n， 约完过后就是 a n 加一减 a n， a n 加二减 a n 除以 a n 加二减 a n 等于一。这样呢，我们就证明出来了，这个 b n 是 一个等差数列， 是公差为一的等差数列。 好，这时候我们要找它的首项了，对不对？已知了 a 一 等于一，我们要找到 a 二就可以了，那我们直接代入 a 二减 a 一 等于根号下 a 二加 a 极，即 a 二减一等于根号下 a 二加一，很容易看到 a 二应该等于三。所以呢， 我们的 b n 就是 以三减二为属下，一为公差的等差数变，那么它就应该是 n 加一，然后我们就看到 b n 乘 b n 加一分之一，直接给它列下 啊。这个例题应该同学们都会 n 加一分之一减 n 加二分一。好，我们现在要求它前二零二六项的和啊，很容易知道，它应该是 b 一 乘 b 二分之一， b 二乘 b 三分之一， 一直加到 b 二零二六乘 b 二零二七分之一， 它就等于第一个我们列开了，应该是二分之一减三分之一加三分之一减四分之一，一直到二零二六分之一减二零二七分之一啊，二零二七分之一减二零二八分之一， 所以他就等于二分之一减二零二八分之一，就等于二零二八分之一零一三。好，就选择 a 好。在这个地方呢，我们注意一下，除了直接探求 b n 加一减 b n， 我 们应该还有一种方式啊，还有一种方式，我们看到根号，有很多同学呢，也可能会想到直接对整个的式子进行平翻， 比如我们发现 b n 是 等于根号 a n 加一加 a n， 进而我们就知道 b n 的 平方是等于 a n 加一加 a n， 而 b n 加一的平方也等于 a n 加二减 a n 加 a n 加一。 所以呢， b n 加一反减 b n， 反就等于 a n 加二减 a n， 而这个东西恰好是等于 b n 加上 b n 加一，我们平方差约取一个 就得到 b n 加一减 b a 等于一啊。这两种推导方式全都可以解决 好，这就是我们这个第七题，有需要笔记的同学可以扫二维码就可以知道这个笔记好，第七题我们就讲到这里。

好，这个题呢，这个题，这个第一问和第二问是真的不难，同学，真的不难。 然后第三问呢？可能就是这个第二题的第二问啊，也就说第三个问啊，可能啊，因为他这个外表太过唬人啊，可能会吓退一部分学生。 准确的说不是吓退啊，准确的说是因为。呃，中等神，中等偏上的学生，有很大一部分群体这样的学生啊， 他做前面时间的话，他很紧张，他做后面，他哪有功夫管这个东西呢？三个参数对吧，大家看都不想看。好，假如说你在考场当时没做这个题啊，咱们把这题再拿出来再看一看，好吧。 呃，第一题就是说 b 等于一， m 等于一，我就不说了，这个非常简单啊。第二题，第二题，你看他这个难度啊，有同学他第二题也没做啊，没时间做了。 这个 a c m 和这个 amp。 啊，它这个面积比啊，有这个设置可以知道是二比三，就是 a， c m 和 amp 是 二比三，那我就可以知道什么呢？ c m 比上 mp 也是二比三，这个没毛病吗？这小爵士是吗？同高不同底对不对？ 我们可以构造八字啊，你看我就是，其实不是说构造八字，因为它是个函数，其实我，我是为了把这个坐标显示出来，对吧？你看我 p 点往这边 做垂线啊，其实无形之中这个八字也出来了，你看这个是一个八字吧，是不是？那，那这个两个红色的比也是几比几？二比三，那么 c m 比上 mp 是 二比三，这也是二比三，那这个上面是几？上面是一，那这有多少少多少。一点五 好。说一点五好，那我这个点你就看这个蓝色点，我就问你蓝色点的横坐标是多少？蓝色点的横坐标是不是一一加一点五？这个 p 点的横坐标是多少？是不是二点五？那是不是二点五？ ok， 是 二点五， 那二点五之后，你你你想求 k， 你 还不好求吗？你你你带入这个二次函数， p 点坐标有了， c 点坐标也有了， k 不 就有了吗？可简单 对吧？这个是非常简单的，纯粹是啊，我我就，我就说这个，中等生啊，中等生，这就是时间太紧张了啊，没时间看，对吧？真做的是肯定能做出来的，好看这个第二题啊，第二题就是说这里有条线往下平行 往下移啊，移到这个，比如说他这个 c， d 是 s， c d 是 s 啊，啊，他这个条件给的，对吧？花里胡哨的，你看一下啊，这里有个参数 m 啊，不是参数 m 啊，就交于这个对称轴与点 f 啊，这个 c o c d 是 s， c d 是 s， 然后呢？哎，这样一个条件啊， d e 乘 d f 等于 t， d e 乘 d f 就 等于 t， 求这个最小值三个字母啊， 太唬人了啊，太唬人了，说。说实话，我第一次看到这个题目啊， 我也是走了个弯路啊，你看我是怎么走弯路的，我就把我的这个做题心得跟同学们分享一下。首先大方向是没错的啊，其实我也是这么跟同学讲， 三个参数肯定就是多参数，肯定要化成，就是你多参数嘛，要化成就是尽量化成一个参数，对吧？或者说两个参数就是多参数化，就是往少参数的方向去走，你参数多了，你这题还怎么解呢？对不对？你不好考虑。 好，那我先他这里是，我看一下这个 d 乘 d f， 你 看啊， d 在 这里， d 在 这里， d f 在 这里，然后呢？我设中间这个点是 h， 我 为什么设这点是 h 呢？我一开始是往相似形的角度去考虑的， 因为 d 乘 d f， 我 看到的是一个什么呢？我看到是一个叫什么？你看三角形 c 啊， c、 d、 e 是 相似于三角形，这个 d、 h、 f 啊，他们是相似的，相似之相似之后，你看我把这个相似笔，呃，相似笔列出来啊。我这个，我这个题是可以转换成其他的这个比例啊，其他线段的这个成绩啊，呃，这个是什么呢？就是你看这个，这个 d f， 对 吧？ d f 比上这个 c p 等于什么呢？等于这个 d h 比上一个什么 d e 交叉相乘，那我这个 d e 乘这个 d f 是 不等于 c p 乘 d h 啊？ 是不是 c p 乘这个 d h？ 好， 它是 t， 它不也是 t 吗？ 我心里想，这个题就转化成 c p 乘 d h， 然后就往这个方面去想， c p 乘 d h， 那 d h 怎么表示？ c p 又是怎么表示啊？那和这个怎么能联系上啊？花了一点时间，发现没法消原， 没法消原啊，我因为还是之前讲的那句话，我们目的是为了消原，对吧？多参数去消原啊， 消不掉嘛，那就换个角度嘛，那就再回到这个。还有一个就是原因，就是什么呢？和这个 s， 这个 s， 这个这个 s， 你， 你利用不上啊，它这种 s 啊，利用不上， 那就换个角度，那从这个面积的角度，那是怎么选的面积呢？还是从头开始审题，你这个角是个什么角？是个直角，那这个 d 乘 d f， 这个 t 到底还能怎么转化呢？相似性转化不起来，还能怎么转化？它到底是啥意思呢？ 有个面积法，你看啊，我这个 d、 f 可以 看作是平行四边形 c， m， f， d 的 一个底，对不对？然后我这个 d， e 是 不是高？因为我这个 d 乘 d， f 啊。 什么意思？我这个 t 等于 d 乘 d， f 什么意思？不就是平行四边形 c， d， f， m 的 一个面积吗？就它这个面积吗？ 是不是？好，然后你用面积法，你你你现在把 s 当做是底，你在这里做个高，我就可以看成是这个 c、 d 乘以这个高啊，这高其实它就是一嘛，因为它的对称都是等于一嘛。你可可记得啊？等于一 c， d 怎么表示哦？ c d 是 s， c， d 不 就是 s 吗？ 那，那我这个 t 和 s 是 什么关系啊？我 t 和 s 是 相等的关系，那如此一来就扯上联系了啊，就是个面积法。其实我其实讲这个东西，我相信同学们，他，其实我相信同学们都能听得懂， 对吗？但是考试肯定想得到呢啊？ t 等于 s 还是把 s 换成 t 呢？好，这里有 s 大 于零，那我就把 t 换成 s。 好 吧， 那就是我在上面写的就是 s， 这个 k 方加上 t 乘以 k， 那 就是 s 乘以 k 加上这个四分之 s 减一嘛。是不是把 s 提出来，那就是 k 方加 k 加四分之一减一。 到这一步了，就是求他的一个什么值，求他的一个最小值减一，你不用管，其实你求他的最小值就是求前面的最小值啊。也有同学会问，哎，这里有两个参数怎么办？有两个参数 啊，先放一放啊，你发现这个里面好像是一个完全平方公式啊，就是 s、 k 加上 f、 g 的 二分之一的平方减一啊，就是求他的一个最小值对，平方有 s， s 是 不是个正数？ s 是 个正数，那你就是求它的最小值，一个数的平方的最小值为多少？那不就为零吗？它能不能为零啊？能不能为零？ k 是 小于零， k 是 不是小于零啊？哎，什么时候它为零啊？ k 等于负的二分之一，也就是说这个式子它的最小值为多少 就是为负一，因为前面可以取到零。前面的最小值是零啊，也就是 k 等于负的二分之一的时候，这个式子能取得最小值负一，也就是说这个式子它的最小就是负一啊。再补充一下，当 k 等于 负的二分之一的时候，这个式子看起来很复杂很唬人的式子就等于二，而且这个，这个，这个是负一啊，是负一。 哎呀，我们这个题就讲到这，那你看一下这个题有什么特点啊？我做完这个题，我感觉啊，就是安徽中考注意的方向啊， 叫什么呢？就是就是类似于这个炒股叫高开低走啊，这样子感觉挺高端的。但是你深入做的话，发现他考察的东西都是一些 很底层的东西，这个我觉得是安徽中国的特色，确实近几年来有这样子，然后更偏向于这个代数推理这一块。而且你发现你做到后面，他和这个函数能有啥关系呢？也没啥关系，对不对 啊？但是整个题目的这个框架结构就是让你感觉这个题不是太好做，有这样一种味道在里面啊。

同学们好，今天我们来讲解 c。 二零二模数学几何压轴体正方形 a、 b、 c、 d 中 e、 f 分 别是边 b、 c、 c、 d 上的点 b、 e 等于 c f， b， e 等于 c、 f。 那我们读到这个条件的话，你应该要想到全等三角形啊，三角形 a、 b、 e 是 全等于三角形 b、 c、 f 的， 因为正方形嘛， ab 等于 bc， 然后还有两个直角 s， a、 s 可以 证明全等。好，继续读题。 em 是 垂直 ap 的 em 垂直 ap， 那 么这个角是直角，这个大角 b 也是直角。读到这里的话，你应该要想到四点共圆。 哪四点共圆？ a、 b、 e、 m 这四个点共圆。为什么要考虑四点共圆呢？因为在解几何题的 第一步，我们想到的应该是要倒角啊，推倒角与角之间的数量关系。好，那我们来看题目啊！第一小题，证明角 a、 g、 b 等于九十度。第一小题是一个很简单的十字架模型。好，这个我们就不讲了啊，正，这两个三角形全等。第二小题， 若 a、 e 等于 e， p 等腰三角形等边对等角，如果这个角是阿尔法，那么这个角 p 也是阿尔法。两直线平行内缩角相等， a、 b 和 b、 p 是 平行的，所以这个角也是阿尔法。 然后啊，我们刚才想到了四点共圆， a、 b、 e、 m。 四点共圆，我们根据圆珠角定义倒角 角 c、 b、 m 也可以用阿尔法来表示，因为这个角啊，角 e、 b、 m 等于角 e， a、 m 同弧所对的圆周角相等， 然后有一只三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 f。 所以 这个角 b、 a、 e。 我 们也可以用阿尔法来表示。 好，我们导角导到这里，我们就可以求得阿尔法等于九十度角 b， a， d 等于三，阿尔法等于九十度，所以阿尔法等于三十，阿尔法等于三十度，那么这个角 p 就 等于三十度。 角一等于角二，角一等于角二，还有三角形全等啊！三角形 b， a， e 全等于三角形 d， a， n。 根据这两个三角形全等，可以得到 e， c 等于 c n， 而让我们求的是 c p 与 ec 的 比值，那么就等于 c p 与 c n 的 比值， c p 比 c n， 那 我们先求这个 c， n 比 c p 啊，为什么呢？因为 c n 比 c p 就 等于三十度角的正切值啊，等于三分之根号三， 所以 c p 比 c， n 就 等于根号三分之三等于根号三， 那么我们就证出来了啊， c p 比 e， c 等于根号三，所以第二小题的答案是根号三。下面我们来看第三小题， 好先导角 a， b， e， m 四点共圆。刚才第二小题已经导出来了啊，这里是角平分线， a， g 平分角 b a m， 所以 有等腰三角形，三角形 a， b， m 是 等腰三角形， 等腰三角形。两个底角相等，如果这个角是 betta， 那 么这个角也是 betta， 这个角也可以用 betta 来表示。然后啊，在平行线进行倒角啊，角 a， b， m 等于角 m， f， n， m， f， n 也可以用 bet 来表示，就是个小角啊， m f， n， bet 等角对等边，所以这个 m n 是 等于 f n 的， m， n 等于 f n， 然后这个三角形 a， b， m 是 等腰三角形。结合这个条件， b， e 等于 e， c 等于二，一点是中点，那这个 f 点也是中点，对吧？ d， f 等于二， a， d 等于四， a， m 是 等于 ab 的 等腰三角形嘛， a， m 等于 ab， a， b 等于四， a， m 也等于四，那我们就可以用勾股定律了。在这个 r t 三角形 a， d， n 当中，我们先设一下啊，设 n， f 等于 x， m， n 也等于 x， 这个时候 a， n 就 等于四加 x， d， n 等于二加 x， a， d 等于四。好，直接用勾股定律建立方程，四加 x 括号的平方等于二，加 x 括号的平方，然后加上四的平方， 然后我们可以解这个方程啊，方程解出来之后， x 等于一，所以 n， f 等于一， n， f 等于 c， f 不是 等于二吗？ d， f 等于二， c， f 等于二。所以呢，可以求出 n， c 等于 一， n， c 等于一，那么 n， c 等于一的话， d， n 就 等于三，然后我们根据让我们求的是 c p 的 长度啊，我们根据这个八字形相似 这个三角形 a， d， n 和下面这个三角形 p， c， n 这两个三角形是相似的啊，相似比是一比三，所以 c p 比上 ad 就 等于一比三啊，就等于 c， n 比上 d， n， c， n 比 d， n 一 比三嘛，那么 c p 就 等于一比三，三分之一乘 a， d， a， d 等于四啊，所以 c p 等于三分之四。好，那么这一题我们就解答完成了， 实际上啊，这一题有没有难度呢？我个人认为难度是不大的啊。难度是不大的，但是呢，你前提是要想到啊，能想到这个四点共圆，用四点共圆倒角还是比较方便的啊。我看参考答案上给的是摄影地理啊，那个摄影地理的话不是很好想啊， 官方答案是用摄影地理来做的啊，它用摄影地理去证明这个 a， b 等于 a， m 有点麻烦啊，我个人感觉有点麻烦。我们根据这个引圆问题啊，引圆问题倒角还是 很方便啊，而且它步骤写起来的话也很流畅很只有两步啊，就是因为角 a、 b、 e 等于角 a、 m e 等于九十度，所以 a、 b、 e、 m 四点共圆， 进而我们就得到一个非常关键的条件，三角形 a、 b、 m 是 等腰三角形。好，这题就讲解到这里，再见。

hello， 各位同学们大家好，我是合肥奶爸，那接下来呢，给大家去讲解一下二零二六年 c 二零二模的这个几何压轴题 啊，这是一道关于正方形的呃，相似综合题啊，呃，难度的话呢，其实比较适中啊，我们来一起看一下。首先的话呢，第一题啊，告诉我们，这个正方形 a b c d 当中呢，有一些条件啊，第一个条件的话呢，就是 b e 等于 c f 啊，这两条边相等。 然后其次的话呢，告诉我们啊， e m 垂直 a p， 也就是这里有个九十度啊，这是除了正方形之外啊，唯一的就是给了一条边啊，给了一组垂直好，然后的话就开始第一空了啊，让我们证明 a g b 等于九十度啊，这个就是老生常谈对不对啊，典型的就是十字架模型。那给了这组边相等，我们首选想到的是什么 啊？就是这个图里面有一组全等对不对？也就是 a b e， 那 a b e 和 b c f 是 不是首选这两这一组全等啊，特别好，这 s a s 就 可以整啊，你一旦把这组全等了，整完了之后啊，那把这组全等整完了之后，那我们通过全等就可以知道，哎，这个角一跟这个角二是不是相等， 对吧？那因为二跟三互余，哎，等角转换一下，那一跟三就互余，一跟三互余，那我们就可以利用三角形内角和哎推出这个九十度。所以第一空的话呢，很简单啊，没什么好说的。呃，第二题，第二题，呃，给了 a e 等于 e p， 给了一组 等腰啊，然后的话呢，让我们去求 cp 比 e c 啊，呃，让我们去求现在比的话呢，其实我们有很多种想法，比如说相似，对吧？比如说，呃，这个社会之数去表示啊？那我们关键的还是要干嘛？结合具体的题目情境，那人家为什么要给你一个等腰，对不对啊？给你个等腰你能想到什么？ 那我们说实话，这个题目当中，我们知道刚刚除了这个边相等之外，这个题目当中还有组这个垂直的，对不对？这里有这组垂直的，那我们是不得尊重一下这个条件，给了你这个等腰，你还有个垂直。所以所有的同学应该首先脑海当中蹦出来一个四个字，叫三线合一，对不对？那我根据三线合一我能得到什么呢？ 我根据三线合一是不能得到，哎，各位等腰三角形对吧？角四应该等于角 p， 等三线合一是不能得到，这个 m 点应该是什么？这个 m 点应该是 a p 的 中点，也就是 am 等于 mp， 对不对？那这两个东西。各位，如果你把这个条件再往下只要再挖一步，其实我觉得所有同学都能想到三线合一，但是你只要把这两个人再往下挖一步，哎，对于你去求这个比例，其实这个题目就迎刃而解，什么叫再挖一步？各位，我们想一个问题，这个等腰三角形，角四等于角屁， 我们能够得到什么？还能够再得到什么？你要知道这个里面它是有什么的？这个是平，有平行的，我们知道角平分线，平行线，等腰三角形之二退一，对吧？角平分线，平行线等腰三角形之二退一。你这里有平行，你这有等腰必有角平分线 啊，这是一个很基础的模型啊，对吧？所以怎么导的呢？就是角 p 可以 导到哪？角 p 是 不是可以导到这，哎？角 p 是 不是可以导到这个角五的位置，对不对？角 p 可以 导到角五，因为内错角啊，那角四又等于角五，所以，哎，四就等于五，也就是说你看这个，其实 a p 应该是这个 d a e 的 角平分线， 对不对？所以我们首先第一，对于角四等于角 p 这个条件大家能反应过来，哎，其实这个地方有个角平分线能推出来，角四等于角五，我觉得这是第一个，但还没有，还没有，还要继续推，哎。 am 等于 mp， 这是终点，终点你能想到什么？ 你说老师终点我能想什么？哎，无非就是什么三线合一，对吧？三线合一是等腰三角形的，那还有什么？这个 m 点，你要知道是 a p 的 终点，它还在什么三角形当中， a b p 对 不对？ a b p 对 不对？那这个终点是不在直角三角形当中？直角三角形的终点，你要像什么 斜边中线了吧？所以这个时候其实大家反应过来，那这三条边，也就是 m a m b p 是 不是都相等，对吧？ m a m p， 哎， m b 是 不是都相等？那我觉得如果这道题你能把这两步再挖一下，其实等腰三角形，我说嘛，第一步你能挖出来，你能把这两步再挖出来，这个题目就出来了，为什么出来了？你一旦有了斜中线，这个角屁又等于谁？ 这两个边相等，角屁是不是等于角二？我们知道角二又等于谁？角二呢？等于第一位的角一呢？刚刚说角屁等于四等于五吧，所以我画的五个角呢？五个这个圈是不全部都相等，各位秒了，为什么？因为这个角是三十度啊， 三十度，三个度，对不对？哎，这个角是三十度，那这个角是三十度的话，你能想到什么？哎，这个角是三十度的话，我们是能想到这个角，什么？一比根号三比二，对不对？一比根号三比二，那正方形的边长就是根号三，所以这里是个根号三减一， 对吧？这里是个根号三减一，那因为这个 a 是 二吗？这 a 是 二，那我这也是二，那二把根号三减一，减的这一段就是三减根号三，然后呢？把这个一比， 这就出来了，对吧？简简单单，那这个题目是不是出来了？那你要想清楚，你哪一步没搞出来，我更让人觉得，你看三线合一，你想到了有没有把三线合一继续往下推，这个延伸的条件，继续往下再深推一步，哎，这个题目是不是出来了，对吧？这第二题啊，第三题也很简单。第三题说什么呢？说这两个是二，然后求 cp 啊？说这两个是二，然后求 cp， 题目的条件还是原条件啊？什么原条件呢？就是，呃，两个九十度啊，给大家复述一下啊。两个九十度，对吧？然后的话呢，这个是二，这个是二，所以正方形的边上是四，对吧？求 cp。 还是那句话，求一条边啊，我们能选的就是什么啊？我就两种选择，勾股或者相似，那在这个直角三角形当中，我讲句实话，那可取性就比较多，对吧？你想一下，你可以选这个三角形，对不对？你也可以选这个三角形 啊，而是这个图里面一眼看过去，相思啊，勾股啊，都比较多，难的就是什么呢？难的就是我目前光靠这几条边肯定是不够的，因为放到这个三角形里面，他俩一无所知， 放到这个三角形里面，他俩也一无所知，对吧？我们信息当中啊，还有什么信息可以被求出来呢？来，各位，我们来看一看啊，这个题目当中，因为我们知道啊，这是九十度，这里是九十度。那这个题目当中，首先这里我们能看出来啊，它这里面是有一组摄影定律的， 哎，这里面是有一组摄影定律，对不对？那这个九十度，我们各位能给我们带来什么信息呢？那这个九十度可以带来什么信息呢？这个九十度，坦白来说，你看，比如说啊，这里是有反 a 字的啊，能看出来，对不对？那这个除了这个之外，还有什么信息呢？哎，各位，你要知道，这是九十度，这也是九十度，其实在这个位置，它也是有一组木字型的， 它也有时候有一种目的，你把这个角当成公共角，哎，那是不是也可以得到 am 的 平方等于 a g 乘 a e， 对 吧？那 a g 乘 a e。 注意了，我们在左边的射影力里面，母子心里面 ab 的 平方是不是也等于 a g 乘 a e？ 所以 我们利用什么呢？我们利用这边有一个母子心，这边也有个母子心，哎，可以推出来什么？其实这个 ab 跟 am 肯定是干嘛哎，相等，所以这个就是四，那这个是四的话，这两个三角形其实就干嘛了，哎，这两个三角形就全等了，对不对？这两个三角形全等，那么就可以得到什么？这两个三角形全等， 是不是就可以得到这个是二啊？那这个是二的话，哎，这个是四，这是二的话，这个题目当中一瞬间已知的信息就变得多了起来，那现在的话呢？你可的可选性就比较多了啊，比如说我们可以看嘛，我们可以把这个 x 放到这个里面，我们是不是可以用一次反一次相似，那反一次相似的话，这个四比的是，这个比的是 这个二加 x， 这个斜边比的是谁？比的是这个二加 x 乘以个二比上多少？二加 x 乘个二，就是四加二 x， 对吧？四加二 x， 把这四一扣，所以你看这里是不是二 x， 所以 mp 干嘛呢？哎， mp 就 可以表示了啊，我们利用这个反 a 字相似来绿色这个反 a 字相似呢？再来一遍啊，一比二啊，等于这里的一比二，那二加 x 乘二就是四加二 x， 对 吧？所以就可以推出来。什么呢？就可以推出来 a p 是 四加二 x， 那 把这个一减啊，把这个四一减，所以 m p 就是 多少呢？哎，这个 m p 就是 二 x， 那 这个是二 x， 这个 x 是 不就能算出来了？哎，这个是二 x， 这个 x 是 不就能算出来了？可以，怎么办？可以在这个三角形列个勾股方程，对不对？二的平方加上一个二 x 的 平方， 等于一个二加 x 的 平方啊？等于二加 x 的 平方，那这个 x， 呃，算出来，那等于三分之四，所以呢，这个 c p 啊，就出来了啊。以上为这道题目的一个讲解，其实总体来说难度还是不大的啊，难，难度还是不大。

我上课你点赞。好，各位同学，大家好，我是你们的八戒老师，今天讲一下关于高考的 c， 二零的啊，联盟的按摩的第二十题，那这个题的话，直接可以说，秒杀啊，秒杀， 那张老师你是不是在吹牛啊？秒杀，如果你听过我的课的话，这个题呢？五，呃，两分钟不到啊，两分钟不到就能解决这个问题啊，来我们看一下。首先呢，这是一个圆对吧？然后呢，直径锁定圆周角是多少度？ 九十度对不对？那这个角是九十度，对吧？然后呢，你看到他一定要去想到呢，同弧所对应的，或者是等弧对不对？锁定圆周角是多少？哎， 圆周角怎么办呢？相等对吧，你的意识感比较强对不对？所以说什么？这两个角是什么是相等的？为什么？它们弧相等，对吧，对不对？所以说它们什么对应的圆周角是相等的。再来用那句话看到九十度想的， x 加八等于多少度？等于九十度来进行干嘛？ 进行倒角对不对？ x 加 y 等于九十度，一定要记住我的口诀，这个是九十度，说明这多少度啊，这个就是 y， 对 不对？所以呢，在这个三角形中， x 加 y 等于多少等于九十度？这就是来了，人家说了什么呢？ 他说这是一个切线对不对？那 d， 然后呢，这个什么是切线？说我们连接他 e， 连接过后， ok， 好， 连接过后，那这个呢，就是垂直，那老师为什么垂直？因为切线呀，切线对吧？和直径或者半径的什么交？这什么 夹角是九十度， ok 啊，比较简单 d。 小 问，让我们求什么呢？求的是 a， e 与这个什么 e， d 是 垂直的对吧？九十度太简单了呀，对吧？你看这是 x， 这是 x， 对 不对？那这个呢？半径，半径说明这多少，这也是 x， 对 不对？那这也是 x 的 话来看，对吧？那这是 x， 这是什么叫内错角相等干嘛呢？ 两直线平行，那两直线平行同旁内角干嘛？互补对不对？所以说什么就求出来了，对吧？你这互补，这个就是多少度？九十度就能求出来了，太简单了呀。啊，秒吧，啊，对不对？是不是秒？ ok 啊，来，紧接着看第二题，秒不秒 来。 d 等于几？等于四，对不对？ b、 d 是 等于几？是等于五？我在想 如何来求什么 a、 c 呢？我们通常说 a、 c 的 话，它不在 r、 d 三角形里面，那通过什么相减或者相加，那 a、 c 的 话，是不是就等于 a e 减去什么 e c？ 那 e、 c 怎么求啊？啊？怎么求好来进行来转化， 那我想到什么？这一个什么同弧所对应的，对吧？等弧对不对？ ok， 圆周角相同，那他们弦相不相同也相同，对不对？所以我就想到什么连接，什么 c、 d， c、 d 一 接连接过后呢？所以说什么 c、 d 的 长度就等于什么 b、 d 的 长度就等于几？就等于五。 那根据第一问可知的话，对吧？第一问往往不可能让我们单独求的，肯定会和第二问有关系，对不对？而且呢，第一问的结论可以作为第二问的条件来使用，所以这个是垂直，这个是四，这个是五，说明这是几。勾股定律，这是几，这是三，对不对？所以 c、 e 是 等于三了。 ok， 好， c 求出来的话，我怎么来，如何求呢？我们看到啊，这个公共角对不对？还有一个什么公共边就能想到什么。这个三角形和这三角形什么 相似？什么形叫子母形？是不是直接秒了对不对？你经常听我的课是不是有这种感觉，对吧？叫什么叫共角共边，子母形直接秒。好吧，那我就设什么？ 是啊， ac 等于几？等于 x， 对 不对？所以 ac 就 等于什么？就等于 x， 就 来进行求解。那老师你怎么知道？你能不能证明一下？好呀好呀，你怎么证明这两个三角形相似的？好呀，公共角对不对？再来找一个角相等不就行了吗？你看一下啊， 这个对不对？对应的什么弧是什么？是它 c d 对 应的什么这个角对吧？对应的弧是 c d， 那 这个弧对应的是角什么是？指的是这个 x， 对 不对？所以干嘛呢？所以这是 x， 那 这个呢？也是 x， 还有一个公共角对不对？所以说什么 有两个角相等了，所以说这两个三角形干嘛呢？就相似了呀？那相似的话，我们看看公共的部分是什么是 e c， 所以 说什么 e c 的 平方就等于什么呢？ 就等于什么 e c 乘以什么？乘以 a， 对 不对？所以就所以说就等于几就等于 e c 乘以什么 e c 啊？不是平方是 e c 对 吧？是 e c 就乘以什么乘以 e a， 对 吧？就迎刃而解了呀。来看一下，多少四的平方就等于三，乘以多 e a a 就 等于几，就等于多少三加 x， 对 不对？所以说就等于几，就等于 三加 x 来求解不就行了？多少十六等于几？等于九，对吧？然后呢，加上三 x 这边移过来就等于几，就等于七，就等于几？三 x， 对 吧？是不是？所以 x 就 等于几？就等于三分之七，那 x 等于三分之七了，你说 a c 就 等于多少？就等于三分之七就迎刃而解了呀， 对吧？简单吧，没有人和绕了，这就用一个什么相似三角形对吧？子母形就出来了。好吧，我最后那句话，我讲课你点赞，咱们一起冲刺中考。评论区回复中考，对吧？加油。 ok， 好， 拜拜。

啊，这个题，这个题我觉得还没有，就是我们这个四幺零二模试卷的这个选择题难，那这个选择题是一道结合题，这个也，这个也是一道结合题 啊，学生纯粹是因为我认为啊，我认为这个题是真不难，学生是因为紧张了，时间不够嘛，然后这个前面题，对吧？ 把自己心态做失衡了啊，做这个题的实力打了折扣，我觉得这个原因是应该是占到，应该可以占到百分之十，百分之十到百分之二十。 我们把这题也看一下啊，看这题考察上的知识点啊，看一下这题我当时为什么不会做，我为什么做错，哪些东西还没掌握好？ 一题简单就不说了啊。第二题，他说 a e 等于 e p 啊，他让我求这个 c p 比上 e c 的 值啊，这个是直角啊，这也是直角，哎，这也是直角，哎，这个是直角，这是直角。同学，你先看到了什么？ 还有这个 a e 等于 a， e 等于这个，这个 e p。 啊，我先把这个角标出来，这个我这个是 r， 比如说这角也是 r。 好，那对角互补。同学，你看到了四点共圆，对不对？好，那这是阿法，那这角也是阿法，那这个角是阿法，因为这里是相当于一个摄影地理模型直角套直角，所以这角也是阿法。哦，这个角是阿法，其实说明这个角也是阿法啊，反正只要是阿法的，我都标出来 啊。这个题目标到这里，我问同学个问题， r 法是多少度啊？哎，你看一个 r 法，一个 r 法，一个 r 法，三个 r 法， 三个 r 法是不是九十度？ r 法等于三十度哦， r 法是三十度， r 法是三十度就好说了，对吧？我们可以设 b 是 一，比如说我们是 b 是 一分啊，你是 x 也行，你是一分也行啊，那这个就是根号三，因为这是三十度嘛。那这个长度也是多少？ 是不是刚好三？那我 e c 是 多少？刚好三减一是不是好？ e c 是 刚好三减一，你看你这个是一啊，你这是二法，二法。我这个是不是一 啊？我这个 e m 也是一，然后这里也是三十度，三十度的对边是斜边一半，那我这个 e c 是 几啊？我 e c 是。 哦哦，这个，这个 e p 是 几啊？ e p 是 二了，对不对？那我这个 c p 怎么说？那就是二减去刚好三， 建议 cp 能不能求出来？哎，求出来了， ec 可知道了，也知道了，那这个比这不就知道了吗？同学，你看这题能不能对吧啊，肯定是因为前面把自己心态做崩掉了，对不对啊，做坏了啊啊，就说我认为啊，就是说你成绩中等啊， 呃，尤其是中等偏上的学生啊，你就吃亏了。我们这次六中华兴的考试啊，有 有有的学生中等，成绩中等偏上啊，哎，因为没发挥好，没考好啊，就是像这种题就失误了，就没做出来，非常可惜啊。看这个第三题，第三题 b， 这个一点是终点，这是二，这是二，那我这个是不是四，他让我求 cp 的 成。 呃，先讲一个我认为最简单的做法，我认为最最简单的做法是什么呢？呃，比如说这个是 alpha 啊，这是这个，这个还是一个四点？关键多少角？那是 alpha？ alpha， 这是 alpha， 这也是 让我求 c p。 我 就这么想，你看我这个阿尔法的正切值，我可知道的，是不是二分之一啊？我这里有个阿尔法啊，这里有个四，那如果我能知道贪婪的阿尔法，我导一下，我自行推导一下，我把贪婪的阿尔法求出来，对吧？ 利用这个正切值就能求出 b p， b p 求出来减个四，我这个 c p 我 不就知道了吗？那是不是这么回事？ 关于这个导这个二倍角的这个正切值，对吧？也非常简单啊。但是你中考的时候，假如说你像我这么做的话，你你得有这个 这个推导过程，就比如说你这个贪婪的算法是二分之一，贪婪的算法等于多少多少，对吧？那你得说啊，你得说一下，那怎么推导呢？咱们再演示一下。比如说你在我的这边写了，比如说这个是，这个是阿法，这是一比二， 我想退出这个贪婪的阿尔法，在这里勾这个阿尔法，这个角是阿尔法行不行？我知道是 x， 它也是 x， 那 它是二减 x 呢？这个当中是二减 x， 然后你用这个什么呢？你用这个购物定你一方加上二减 x 的 平方，就等于 x 平方来算一下，一方加上四加 x 方 减四， x 等于 x 方， x 方消掉了呀，消掉了，这个好，消掉，消掉了 就是五等于四 x， x 等于多少？ x 四分之五，四分之五， 这是四分之五，这是多少？这个是四分之三，这是四分之四啊。原来你看我探进的阿尔法等于多少？是四比减，四比三，四比三，也就是我探进的阿尔法是四比三， 看到了吗？那你退一下，四比三。好，当然就是有一些这个程度比较好的同学，他直接把这个结论背下来了啊，但是这个意义不大啊，我们还是要从底层出发， 只是说你这个有的这个好学生啊，他背下来之后做有些题确实要快很多啊，甚至可以达到口算的程度啊，你假设他能被他知道，他心里有做过这种题啊，他马上就就可以求助 cp， 非常快 啊，这个四知道之后，对吧，那我四比上这个 b p 就 等于四比三，对吧？四比三。 哦，这个这个这个，这个，写反了啊写反了啊，这就认一下啊，我现在知道探险的阿尔法是四比三啊，应该是这个 b p 比上一个四等于四比三啊，就说我这个 b p 呢，多少等于十六等于十六比三也就三分之十六啊，最最终拿三分之十六减个四， 这是三分之十二，但就三分之四啊，我这个 c p 就是 三分之四。好啦，第一个角度就是说呢，我就是知道一个角的正切值，我可以推二倍角的正切值，然后我用这个二倍角的正切值啊，非常简单，思路也是非常清晰啊。 啊，但是有同学说，老师你这个东西啊，我是个中等生，我哪知道这玩意呢，行不行，对吧？这个这个，你能不能就是讲其他方法行不行啊？那行，那我们就不用这个东西啊，不用这个东西 好吗？还是这个图这个重新标记一下，这是二，这是二啊，这是个四。好，再讲个就是中等商常用的一些方法，对吧，也是考试常考。嗯，怎么说呢，我看一下啊，那你这个是二，那我这个 d f 也是二。好，他是不是让我求 cp？ 好， 我先问你个问题啊， 我想求 cp， 如果我知道 d d， n 和 n c 的 比， 对吧，我能不能，那这个四吗？我能不能求到 cp？ 那 肯定的，用这个八字形相似比，能不能把 cp 比出来好，我想知道 dna 和 nc 的 比，我得知道 dna， 我 想知道 dna， 对 吧？我得求什么 fa， 我 把 fa 求出来了，就能知道 fa 和 nc 的 比，所以这个东西你要弄清楚，我为什么要？就是我现在想求这个 fa 啊，我为什么想求这个 fa？ 那我的目的是想求这个 d， n 和 n c 的 比啊，接下来你的工作就是求 fa， 好 吧，啊，就围绕围绕这个 fa 展开啊，来 啊，就这个 fa 好， 那个 fa 怎么求呢？怎么求啊？最直观的做法也是一个八字形，你看你这里是不是有个八字 a b fa， 你 看到了吗？比如说这个 fa 在 这里啊， fa 在 这里啊，这个 fa 怎么求呢？好，我再问你个问题， 如果，如果你知道 b m 和 m f 的 比， b m 和 m f 的 比，那这个比值，我就问你能不能求得这个 fa？ 能不能呐，这里有个八字吗？呐，是不是有个八字？哎，这里有个八字 啊， b， m 和 m、 f 的 比，你是不是能求到 fa？ 好， 现在问题就转化成什么，转化成求它们的比值好了， b m 是 多少？ f m 又是多少？ 其实我现在都不用写了，你听我说就行了，特别简单啊，这里你这个是直角，那这个 a， b， e， 我 想求 b g， 我 怎么求啊？等面积法是不是做难了？这个东西很基础吧？ 等面积法？那 b g 和 g m 是 什么关系啊？你直接你倒角嘛，你这是 alpha， alpha， 这都是 alpha 嘛？它们是全等，连这个 a， b， e 和这个 a， m e 是 全等，你不要忘记了，如果这个 b g 等于 g m， bm 就是 两倍的 b g， 我 b m 能不能求？能不能求？然后你四二 a e 就是 二倍的根号五，那 b e 也是二倍的根号五，你拿这个 b， 呃，这个 b f 也是二倍的根号五，你拿这个二倍的根号五减去这个 b m， 我就问你 m f 能不能求？思路可清晰了？可清晰，你 b m 好， 求 m f m f， 拿这个 b f 减去这个 b m， b f 就是 a， 对 吧？或者你就直接用过五算也行，因为你这个 f c 也是二嘛，你 f c， 它也是二嘛，对不对？你这个 b f 就是 这个这个二倍的根号 啊。行，那可以了，那我能求出 f a 啊， f a 知道了，对吧？我这个 d a 和 n c 都知道了，我就可以利用这个，你看这个八字，对吧？这个相似比，能把 cp 比出来行不行 啊？这个方法很常规吧？很常规，对不对？好，我们再再讲一个。什么东西呢？这擦掉了啊，擦掉了。好，现在还是围绕这个 f n 展开，我们讲下这个答案的做法。答案的做法啊， 这个也是常用的方法啊，那是二法。二法啊，它是怎么说的呢？你看啊，这是这个，这个是垂直啊。这个 a b 和 a m 是 什么？是相等，它是个等腰嘛。那我这个角是等于这个角，这个角等于这个角，那这个角等于哪个角？这个就是等于这个角。好，我想求 f a， 我是 f， n 是 x， m a 也是 x， d f 是 二，这是不是四， 这个是几，这个是不是？哎，这个这个这个这个这个是不是四？ am 也是四。讲完了，在 a d n 当中用什么定力？用勾股定力，你看，一边是四，一边是二加 x， 一 边是四加 x， 我 能把 x 求出来行不行？能不能求出 x 啊？也可以吗？是不是？好，最后再讲一种做法，这个做法其实比较偏门啊，比较偏门，但是也非常快 啊。有同学说，老师你这个四点共圆我没看出来啊，你这个等腰我也没看出来，八字倒角我也没看出来，我什么都没看出来，是不是意味着这题我都彻底死亡了？也没有，还有一个角度，还有一个角度啊， 把这个擦掉，还有个角度。你看这是二，这是二，这是四啊，但是这个是直角啊，这是直角，这个是题目给的 啊。我直接设 c p 是 x 行不行？我直接设 c p 是 x。 嗯，然后呢？ 那这个当时这个是这个 a b e 和 a m e 是 全档啊，这个是二，对吧？这个是二，那怎么去做啊？你看这个角，比如说这个是 alpha 啊，我就问你三 alpha 怎么表示啊？是不是二比三，二加 x 对不对？你看 sin alpha 是 不是二比上二加 x， 那 对边比斜边好，你再看这个，再看这个大的三角形 a b p， 那 这个 a p 怎么表示啊？ a p 是 不是这个四方加上这个四加 x 的 平方，对不对啊？那我这个 sin alpha， 其实，其实你也可以理解成相似型，对，不懂吗？啊？说讲是讲是三阳法，就是你三阳法，你把它这个去掉啊。我说这个，利用这个 p m e 和这个 p a b 相似也行吗？ 就是四比上什么 ap， 比上什么？比上四方加上四加上 x 的 平方。那你说这两个是什么关系啊？那这两个什么关系？那是不是相等啊？是不是啊？那就是二分之二加 x 等于四，然后刚好讲 四方加上四加 x 的 平方啊，你直接把 x 解出来就行了啊，你直接解 x 啊，那我们这一节讲到这就是基本上就就就结束了啊，就结束了，那我们这个第三题主要是复习什么东西啊？同学？来捋一下。捋一下啊， 你知道一个角的正切，你可以推二倍角的正切，可是你写题得有过程，得有推导过程，假如说你中考，你想用这个，想用这个方法，你得有左证，得有证明过程，你不能直接写啊， 我在这里强调一下啊，第二个是什么呢？哎呀，我们选什么呢？呃，这个就是一个叫什么呢？一个，一个利用八字，利用边的比例去求这个长度，是不是反复的用 啊？这里，然后呢？这个，这个第三个是什么？勾股啊，勾股啊，勾股建立方程啊。第四个就是你，哎，也是，还是回归的相似，对吧？啊？还是回归的相似，你也可以理解成这个，这个三角函数值的运用啊，都行啊，都行。 好，我们这个题就讲到这里啊，就讲到这里，但有很多知识点在这里面啊，反正这个没有写的很多啊，写很多的话呢，这个讲这么多方法讲不完，所以就口述了啊，要是听不懂就返回看一下，仔细想想 这个题从多个角度来看，各自考察了什么知识点，将这些点串起来啊。

各位同学大家好，我讲题你点赞，很多同学刚刚考完了四二零的试卷，对不对？反应的难度呢？比较大啊，难度比较大，那从这个试卷整体来看的话，重点是考察的主要是什么？几何啊，与什么与 这个结合的代数再去考察啊。难度呢，就是考察的方向，因为结合从安徽省考题的方向来说，从二零二三年到什么二零二五年的话，对不对？他主要是，嗯， 这个让你们什么计算能力，以及以及他就是备考的方向，咱们备考的方向一定要倾向于什么叫初高啊，初高衔接啊，初高衔接， 嗯，主要就是什么英式分解啊，英式啊，英式分解，对吧？英式分解和什么和，让你求带什么参数？ 带参数让你求什么？求最值啊？求最值啊，从这两点呢来进行结合，来，我们来备考，好吧，那这个题的话就是结合着这个来考察的。来，我们一起来看一下四二零的自由题，二三题关于函数的压轴题啊， 来，他说这是什么抛物线，对吧？这是一个抛物线，他呢给了这题目就是一丢丢，对不对？ oc 就 等于 ob 没了，是吧？然后呢？这是什么对称轴，然后让你求什么？ b 是 在这里对吧？求 m， 那根据已知条件的话，我们能不能求出来啊？能，对吧？因为当 x 等于零的时候，这个抛物线，当 x 等于零的时候，它对应的是什么？ y 对 不对？ ok， x 等于零的时候， y 等于几？ y 是 等于三，对吧？所以 c 点的坐标就得就是多少零度三，那 c 点的坐标是零度之间，也就是 o， c 的 长度是几 是三，因为 oc 等于什么？ ob， 所以 说 ob 是 几， ob 也是三，所以 b 点的坐标也能求出来是多少是三到零， c 点是多少？是零到三，对吧？ ok， 那 知道， 知道 b 点的坐标了，那往里面一带对吧？因为 b 点是满足什么这个抛物线呢？把？ b 点的坐标呢？往里面一带是不是就能求出来了？这个 b 好， 往里面带就等于多少？零就等于负的什么？三的平方加上的三 b 对 不对？然后呢，加上三对吧，这个 b 就 能求出来？ b 就 b 就 等于多少？ b 就 等于个经过计算等于几 等于二，对吧？ b 就 等于二， ok， 所以呢，这个方程就等于几？负 x 平方加上什么二， x 加一， 那 m 怎么求？ m 是 对称轴对吧？对称轴又等于多少？就等于负的 i 一 分之 b 对 不对？好，你往里边一带就等于多少？就等于一个，这边是 i， 这边是多少？ i 乘以几， i 乘以负一， 对吧，是不是就等于几就等于一对吧。对数是等于一了，说明 m 就 等于几， m 就 等于一。好，现在来说呢，还是比较简单的， m 是 等于一，对吧？ b 等于二没了吧。啊，第一小问的话，大家都能拿到分啊，至少四分吧，我觉得啊， 来继续第二小问，第二小问的话，他给的是，嗯，说这是一个什么一次函数对吧？表达式， 然后呢，与这个什么对应，轴交点是 m 对 不对？就是 p 点，然后根据这个面积让你求 k 的， 我们这要想，你这 k 是 哪里的？ k 是 什么？一次函数这里面的，你要想求出一次函数的 k， 我 只要什么，找一个点满足它对不对？你 c 点满足它了，但是你 c 往里面带能不能求出？ k 不 能，对不对？ p 点，你 p 点往里面带是不是就能求出来了？所以说我只要把 p 点的坐标求出来就行了，那 p 点的坐标如何来求啊？那根据已知条件来，对吧？他说了什么？这个是面积，嗯？这个面积和什么？和 amp 的 面积，这两个面积的话啊，我看到什么？他们什么？他们高是一样，对不对？对吧？高是一样的，那底呢？其实它面积之比就等于几，就等于 cm 比上什么？比上 mp 来转化一下， 所以就等于几，就等于 s， 对 吧？ a c m 比上什么？比上 s， 三角形， a p m 这个三角形面积之比就等于几？把这 i 呢？把这三除过来，对不对？那你，你高是一样的，对吧？你高是一样的，说明什么？他们底 就变成底之笔了，对不对？是不是？你看二分之一，对吧？乘以 c， m 乘以高，这边呢？二分之一乘以多少？乘以 m p 乘以高就等于几？三分之一，对吧？高，高约掉二分之一，二约掉，其实就能推出来。什么 mc 比上什么比上，这是 m p 啊， ok？ m p 之比就等于多少？就等于二比三，所以说这个是二，对吧？这个是，这个是三。我们知道 m 点的坐标又是什么？它的什么对准轴，这几等于几？等于一，对不对？ 那这个点 x 等于一的话，那说明的话，我延长它行不行？然后呢？做它， ok， 那 这个三角形和这个三角形干嘛呢？相不相似是什么形，对吧？平行吗？是吗？八字形。那八字形的话，这是二，这是三，对吧？二比三，那这个呢？长度不就是吗？多少？一，对不对？那这是一。所以说根据这两个三角形，干嘛说 相似就能求出什么？就能求出这个点的？这个点的什么坐标？我不，这就是这个长度吧。 a， b， c， d？ 嗯，这是 d 吧。好吧，就能求出什么 md 了，对不对？来看一下他比他是多少？ 这是二，这是三，这是一，对不对？ ok， 来，就等于二比三就等于一。比什么 md？ 谁说 md 就 等于多少？二分之三，你 md 是 二分之三了，这是几？这是一。说明这点的就等于多少？就一。加上二分之三就等于几，就等于二分之五，对吧？是不是？所以 p 点的坐标就等于几？ 嗯，红坐标就等于二分之五，对不对？ ok， 那 屁点的正坐标怎么求？我只要能求出屁点的正坐标，那屁点坐标不能求出来吗？屁点坐标又什么又满足？这个什么意思？函数比特市往里面一带开不就能求出来了吗？那红坐标就知道了。我们知道屁点是不是也在什么 抛物线上，对不对？你把什么二分之五，对吧？带入这个抛物线就能求出什么对应的 y 了。好，往里面一带就等于多少？往里面一带？ 嗯，我要不要算一下我在哪里？我在哪里算？我在这里算。好吧，行不行？好，往里面一带， y 就 等于几？就等于负多少？嗯，二分之五对吧？平方加上二乘以多少？二分之五对吧？加上三对不对啊？所以说 y 就 等于多少？看看 y 就 等于四分之七，对吧？ ok， 口算四分之几。所以说 p 点的坐标就等于几，就等于四分之七。那 p 点的坐标已经知道了，满足这个什么表达式。往里面一带不就能求出 k 了吗？好，再算一下。所以往里面一带就等于几？等于四分之七就等于多少？ 就等于个二分之五开，对不对？加三，所以开就等于多少？等于负多少？二分之一，所以这个题开不就能求出来了？各位同学，简单不？对吧？也挺简单的啊，没问题， 那紧在第三章的话，考察难度就有点大了。这个就是刚刚我说的什么含参数问题来进行什么因式分解呀，求它的最大值，最小值啊，对吧？这个你要分清楚，不要把什么把已知条件和参数问题搞混，好吧，这个就是衔接着什么高中的你们高一的内容。 ok， 好， 来看一下。 嗯，第二个，对吧？他把这个图呢，整体向下平移多少？平移 s 对 不对？整体向下平移 s， 这个是 s， 是 吗？是已知条件啊，这个，这个高度是 s 对 不对？又是，嗯， c， d 是 s， 对 吧？ 然后呢？这个是什么？还是 x？ 等于几？等于几，对吧？比较简单。然后呢？这个垂直对吧？ ok， 然后呢？ d e 对 吧？乘以什么？嗯， d f 就 等于什么？就等于 t。 首先看这个平移下来是平行，这个呢？平行说明这个四边形 是什么形？是什么形？明显的什么？平行四边形的话，那这是为底， 这个是为高，对吧？你这本来不好看，你给他移到移到这个位置行不行，对吧？因为平行吗？他们的距离是相等，这个是以为底，这个就为高，对吧？是不是？而且呢， 平行以这个是为底行不行，对吧？以这个是为底，那这个为高，这高是多少？是一对不对所而已，对吧？那平行四边形的面积啊，四边形啊，其实平行四边形的面积啊。 ok， 就 等于几？嗯，平行 好，平行的面积就等于几？就等于。嗯，这个 t 对 吧？就等于 s 乘以 d， s 乘以 e， 对 不对？底乘高嘛？ s 乘以 e 乘高，所以就能得出什么， 就能推出来了。 t 就 等于 s， 对 吧？你 t 的 时候，你把 t 都给它换成什么？换成 s， 换成 s， 换成 s， 给它换掉不就行了吗？所以呢，这个就等于多少？就等于？ 嗯， s k 的 平方加上 s， k， 对 吧？加上什么？四分之 s 减去几？减去一，对吧？ ok， 好， 那这里面哪个是常数？我们知道 s 是 什么？ s 是 常数，对不对？那 k 呢？就相当于什么？ 其实这个就相当于这是 a， 这是 x 平方，对吧？你该看成什么？看成 y 等于 x 加上什么？加 c 看成什么？一元 x 方程问函数就行了，对不对？是不是？所以说这个什么？这是常数，对吧？这是 x 加上什么？加上 b， x， 对 不对？ 是不是，对吧？这个呢，就是一个常数，对吧？ ok， 那 你进行干嘛呢？进行。呃，进行那个玩玩具平是，对吧？经过一划减就等于多少？就等于？或者你，或者你直接应， 或者是你直接用多少？ x 等于负的 a 分 之 b 啊， y 等于几？ c 分 之什么？ c？ c 减去 b 的 平方，这也可以，对吧？ ok， 那 这个明显的是什么？ s 是 什么？ s 是 大于零的， s 相当于 a， 对 不对？ s 是 大于零，说明是什么？开口向上，开口向下。在对准轴取到什么最小值，能听懂吗？对不对？在对准轴取到最小值，所以你给他画一下，对吗？就加上多少二分之一的平方，然后呢？减 e， 对 吧？所以什么？所以当 k 等于负的二分之一时候，这个角的最小值是几？嗯，令他，我又挖一把，好吧，令他挖一下对吧？所以挖一下嘛，最小值啊，最小值就等他就等于负一，对不对？是不是？这是我自己令的啊，自己令的，和他没关系。那我就为了区别一下吧。用看成 m， 嗯， z 吧。好吧，令它为 z 啊，好吧，这样的话就有什么区别度，对不对？ ok， 好 啊，令它整体为 z， 令这个整体为 z 啊， ok， 就 能取得最小值几最小值为 e 啊。嗯，最小值。这又是它的什么啊？ 最小值对吧？其实呢，如果你平时练到位的话，这样题也挺简单的，主要是就是结合的是什么 叫含餐问题的最值啊？他是结合第一个，我再复盘一下。就是什么因式分解啊？因式分解，因式对吧？ 分解来什么？就是和代数啊，几何啊，因式分解还有什么？含参数，含参数求什么？求最值问题？求最值。值 值问题对不对？最大值，最小值。那你们高一的时候对吧，函数对不对？单调递增啊，单调递减啊，有什么最小值，它就是结合的什么？你们出来学的？ s 函数来学的。 ok？ 好， 今天就分享这里了，希望给大家呢能带来点收收收获啊。你点赞 呃，我你点赞我讲课陪你到什么？中考评论区回复中考必胜，拜拜。