2025江苏苏州三模立体几何解答题

洋灰三角是我们苏科版旗下月考和期中考试最常考的一类题型，但是很多孩子找不到这例题的规律，并且不知道洋灰三角它表示的是什么东西。今天吴老师一条视频给大家讲清楚，一起来看一下。 这个洋灰三角它表示的是什么呢？我们记里面是不是有很多个式子呀？那这些式子展开式，每一项的系数单独列出来了。比如说 a 加 b 的 零次密，它是不是就等于一， 只有一个一，最上面这里它就给了一个一，然后 a 加 b 的 一次幂只有两项，它是不是就等于 a 加 b， 并且 a 的 系数是一， b 的 系数也是一，所以第二行我们看到有两个，一， a 加 b 的 二次幂，它展开有三项，那就是 a 的 平方加二， a， b 加 b 的 平方， 所以这个里面第一项的系数是一，第二项的系数是二，第三项的系数也是一，所以他写出来一个一二一，所以他强调的是系数的规律。那么对于 a 加 b 的 三次幂，第一项的系数是一，第二项的系数是三，第三项的系数也是三，最后一项的系数是一，所以他写一个一三三一。 那么这个里面有什么规律呢？我们找到了系数的规律，每一项它应该是有什么关系？大家注意，我们观察这里 a 的 次数三次，这里 a 是 不是二次，然后 a 是 一次，最后没有 a， 是 不是相当于 a 的 零次啊？ a 的 零次等于一嘛？ 好，那在这个里面 a 它其实是一个降密的一个排列顺序，那 b 呢？这里面没有 b， 是 不是相当于一个 b 的 零次密啊？对不对？ b 的 零次密， b 的 一次密， b 的 二次密， b 的 三次密，所以 a 是 降次，那 b 它是生密的，那么我们知道这个字母次数的规律，又知道系数的规律，你就可以得到一个每一项的规律。 好，接下来我们去看这里面啊，他让我们去求这个代数式的值为一时 x 的 值是多少？那么这个代数式的值，我们观察第一个是 x 的 四次方，并且它展开一共有几项呢？有五项， 所以我们要把这个式子整体化成某两项相加整体几次密的形式。那么我们观察当它是三次的时候，展开是不是有四项啊？当它是二次的时候，展开是不是有三项啊？一次的时候展开有两项，所以它是一个五项式的话，它一定是什么呢？一个一定是一个四次密的展开式， 你从哪也可以判断呢？ a 加 b 的 三次密，第一项它一定是什么？ a 的 三次密，所以你会发现它第一项是什么？ x 的 四次密， 所以它一定是 x 加上或减去某个数整体的四次幂，对不对？那么我们剩下的问题就要找到那个数是几， 如果正常是加的话，我们后面每一项它是不是都是加呀？但是它出现了减，那一定是什么？ x 减去某一项减的是几呢？直接观察这里八十一，因为这里是 a 的 三次的时候，这里是 b 的 三次，对不对？这里是 a 的 二次的时候，这里是 b 的 二次， 所以你前面是 x 的 四次密，你这个八十一是不是也一定是某个数的四次密啊？那八十一它是可以写成三的四次密的，所以这个式子它可以写成什么呢？ x 减三整体的四次密，那它就是什么呀？它就是 x 减三整体的四次密， 这样的话，他说他的值为一，那么我们知道 x 减三四次密，它是一个偶次密，它的结果为一的话， x 减三是不应该有两种情况去考虑，第一种情况就是 x 减三等于正一时，我们得到 x 应该等于四， 第二种情况就是 x 减三等于负一时，这边一向不要错了，负三移过来变成正三，三减一等于二，所以这道题应该等于二或四，那么这道题应该选 c。 所以 我们要发现杨奎三角的规律，不仅要知道这个系数的规律是什么， 还要知道每一个字母次数的规律应该怎么样发生变化。那么对于这个里面，大家还会发现一些规律，每一行的第一个数，它的系数是不是也是一？ 每一行他的展开第二项，大家观察一、二、三，接下来是不是四啊？对不对？所以这个里面，我们如果下一行，那就是第四行，他的第二项系数一定是几，一定是四， 所以这是我们的一个规律。那么还有什么规律？大家会发现一加一是不是等于二啊？对不对？一加二是不等于三呐？那三加三下一个是不是应该等于六啊？所以他还会有这样什么系数的一个规律在这个三角里面呈现，你学会了吗？

各位同学大家好，今天呢，老师给大家分享一下二零二五年全国一卷历时历时几何的这个大题做题思路。呃，这个题目呢，大家这个要学会什么呢？第二本啊，第二本呢，一定要学会， 如果你遇到了一个比较难求的点，你要学会辨析， 加设圆列式， 把它表示出来，先把它表示出来，然后再列一些等量关系式，然后把它解出来，这样的一个底层逻辑。 嗯，我们一起来看下这道题。如图所示，在一个四棱锥 p a b c d 中， p a 垂直于 a d， a b 垂直于 a d 标一下 对吧？第一问，证明面面垂直。那第一问就简单讲一下，证明面面垂直，先证明什么线面垂直啊，线面垂直之后呢？然后你就呃把这个线在这个面里 就可以了啊，所以呃，简单的说一下啊， p a b 跟 p a d 垂直，你就要你看 b a， 对 吧？垂直于 a d， 然后平面 p a 垂直于上面这个面，所以 p a 垂直于 a d， 对 吧？哎， a d 这么简单写一下啊，就是 a d 垂直于 ab 啊，题目说的然后呢，因为 pa 垂直下面这个面，所以 pa 也垂直于面 abcd， 对 吧啊， a d 含于面 abcd， 所以 这个 pa 垂直于 abcd， 所以 这个 pa 垂直于 abd 啊，线面垂直的正法呢，就是线垂直面内两条交叉直线，所以 pa 交 ad， ab 等于 a， 所以 这样就推出来了嘛， ad 垂直于面这个这个 pa 币， 然后 ad 又是含于面呃， pa 地，所以面 pa 地垂直于面 pa 啊，第一个比较简单对吧，我们就直接简单写一下就行，主要是第二个啊，我们来看一下题目怎么说的， p a 是 根号二， a， b 是 根号二， a， d 是 根号三加一， b， c 是 二， 哎，它出了这样个条件，哎，这根号题，对吧，还是有点新颖的啊。 p、 b， c、 d 在 同一个球面上设球面的球心是 o， 对吧？证明 o 在 平面 a， b， c， d 上 o 啊，在这个平面 a、 b， c、 d 上面， o 在 这个里面，对吧？啊，很多这个啊，考生啊，拿到这个题目之后啊，他不知道该怎么去处理 啊，该用什么样的方法就对了啊。那老师跟先跟大家讲一下，首先呢，我们第一步啊，先建个系啊 啊，因为这个 a， d 垂直于 pa 啊， pa 垂直于底下这个 b， a、 d， 这 b， a， b， c， d 这个面，然后 ab 和 ad 又是垂直的，所以我们建立如图所示的什么空间，只要做标细啊，懂吧啊，因为 pa 垂直于面， abcd 啊，然后 p a 呢，所以垂直于什么 ad 啊，我们会发现，然后 ab， ad， ap， 它是两两什么互相垂直 啊，所以我们分别以这个 a、 b， a、 d 啊， ap 为 x， y， z 轴，建立 中间只要坐标系 a 杠 x， y， z。 好， 那我们开始把细减一下，比如就用这个我们黑笔减啊， 然后这个是 x， y， z 啊，然后这时候这个怎么办呢？就射圆列式就行啊，射球心 o 啊的坐标为空间当中是 x， y， z， 然后 o 是 x， y， z， 那 我们利用什么呢？呃， o a 等于半径， o b 等于半径， o， d 等于半径， o p 也等于半径啊，去解这个方程就可以了啊，比如说，我们看 用这个 o， p 啊，等于半径，所以我们可以列出什么数字呢？呃，把点坐标写一写，对吧？比如说 b 点坐标，这根号二零零 啊，然后这个 c 点坐标是根号二二零啊，然后 d 点坐标是零， 根号三加一， 屁点坐标是零零，根号二，然后 o p 等于 r， 所以 就可以列出一个关键式，对吧啊？根号加 x 方加 y 方加 z 减根号二的平方等于二，然后再利用什么呢？再用 o b 等于 r 啊，就可以列出来什么呢？列出来这个，呃。 x 减根号二的平方，然后加上一个 y 方加 z 方啊，这个啊，对吧？利用 o c 等于二，但又可以列出来什么呢？列出来 x 减根号二的平方，加上 y 减 二的平方， 然后再利用 o d 也等于 r 嘛。 啊，然后这样去列啊，就 x 方加上一个，这个 y 减根号三减一的平方，加上 z 方等于啊啊，然后四个方程减四，未知数嘛，这个没有，这个不是很难减啊，你可以把这个 第一个式子跟就一式二式啊，分析处理一下，然后再把一式跟三式四式分析处理一下。那你都会算出一个结果 啊，是可以算出来的，最终可以算出来这个结果是什么呢？ x 等于零， y 等于一， z 等于零啊，等于根号三 啊，所以这个点就去搞定好了。那就这个算出来结果是零一零啊，零一零就说明这个 o 点在这里，对吧？零一零嘛， a d 是 多少？ a， d 是 多少？三加零一零，它大概在这个位置啊， d o 对 吧？所以这个第二小问也就搞定了啊，所以这个，所以这个呃 o 点坐标是零一零 啊，所以 o 就 属于面 abcd， 然后第三问就更简单了， 第二小问，然后就把这 a c 向量表达出来嘛，这个是根号二二零啊，然后 p o 向量 是零，一负根号二，对吧？把这个 a c 和 p o 它说意面直线所指的余弦值嘛，那就直接用公式对吧，后面就非常好简单了， a c 向量， p o 向量啊，就等于， 对吧啊，特步求对值啊，我们要求得 cosine 等于啊， a c 向量乘以 p u 向量，比上一个 a c 向量的模，乘以 p u 向量的模 啊，然后算一下就结束了。好吧，下面就是乘嘛，零乘，上面就是二，下面把模都算一下，对吧？根号六，乘以根号三，所以整个结果就是 对咱们这个号，好吧啊，就是一个设原列式，去把这个 o 点给它写出来，然后老师呢，给大家举了一个变式题型啊，变式题型，我们一起来看一下， 在一个四连锥 p， a， b， c， d 中啊， p a 也是在垂垂下面这个面啊，第一问，稍微要呃它这个意思，我们看一下啊， a， d 平行于 b， c， a， d 等于六， b， c 等于三， c， d 等于三倍，根号五，扩大一角 a， d， c 等于五分之二倍，根号五，然后 a p 等于六。第一问呢，证明 a、 c 垂直于平面 p a， d， 你 看啊，因为 p a 已经垂直于面 a， b， c， d 了，所以我们是不是可以得到？然后 a， c 又是含于平面 a， b， c， d， 所以 就可以得到 pa 垂直于 a c 这一条了。那还有一条是什么呢？还有一条你就要把学会什么呢？把这个图形啊，给它拿出来去分析，大概率啊，你看，看着你就感觉出来了， a， c 和 a， d 是 不是垂直， 懂我意思吧，所以呢，你自己去把它拿出来利用 q 三 a， d， c， q 三 a， d， c 等于五分之二，百根号五啊，去算 啊，你可以用余弦定理，对吧啊？ a， d， c， 你 可以用余弦定理去把 a、 c 算出来， a， c 算出来，再用勾股定理就可以了啊，在三角形这个 a、 d， c 中 有一群定力可得 a， c 方等于 a， d 方加 c， d， 减去二倍的 a， d 乘以 c， d 乘以 cos 角 a， d， c 啊，所以这样算出 a， c 啊，就等于三，然后再用勾股定力啊，让 a、 c 方加上 a、 d 方，正好等于什么呢？等于这个啊， c， d 方， 所以你就可以得到另外一个，嗯， a， c 垂直于 a， d 啊，然后第一问就搞定了啊，然后加一个 pa 交 a， d 等于 a， 所以 a， c 垂直于面 p， a， d 啊， ok， 然后第二问，既是三角形的重心，哎，重心公式我们应该是知道的啊，重心公式我们应该是知道的， 应该都知道吧，对吧？这 g 点是三分之 x， 一 加 x， 二加 x 三啊，三分之 y， 一 加 y， 二加 y 三，三分之 z， 一 加 z， 二加 z 三，这个也是知道的， 所以我们第一步也是析析，把析析出来，对吧？以 a 为圆心啊，我就简写了，以 a 为圆心，以 a， c 这样析 ad 啊，还有个 a， p， 再析析啊，析析，这个是 x， y， z 啊，然后把点坐标都写一下，然后这个第一问就搞定了啊，点坐标都写一下，然后去发钱 啊，牵扯到点，比如说 a 点零零零，对吧？ c 点三零零啊，然后还有这个 p 点是零零六， 对不对？然后就是写 g b 向量嘛， g 点坐标，我们再用 g 是 什么呢？ g 是 p c， d， p， c， d 的 重心，所以 g 点坐标就是三分之啊，加起来对不对？所以 g b 坐标就出来了，是一二二，然后就常规思路把 g b 向量写出来 啊， g b 向量就是，对吧？二负五二，然后再求这个面 p b d 的 发向量 啊，发向量，我们 n 向量测的是什么？测的是 x 一 y 一 z 一， 然后自己去写 啊，你再取一个 p b 线，三负三负六，再写一个 p d 线是零，六负六， 对吧？哎，然后我们再利用这个发向量跟 p d 向量是垂直的，相乘，等于零， 对吧？这样的话我们可以得到一个关系式啊，三 x 一 减去三， y 一 减去六， z 一 等于零啊，然后下面就是六， y 一 减去六， z 一 等于零，然后零，对吧？发现要零，拿出一组就行了。零， y 一 等于一， 那 y 一 等于一的话，那 z 一 不就等于一了吗？ y 一 等于 z 一 等于 x 一 等于啊， 等于三，所以这个发型再出来，所以按下来是 三一一，然后你再用线面锁成角，对吧？线面锁成角的正弦值就是 sine 等于绝对值 cosine， 这个对吧？哪来着 g b 啊， g b 向量都和 n 向量啊，就等于 g b 向量乘以 n 向量以上， g b 向量的模乘以向量的模 来，自己算一下啊，可以出来一个结果啊，上面乘一乘嘛， g b 向量在这，然后这个啊，发行量在这啊，自己处理一下，你就可以得出它是三十三分之根号三， 好吧，啊，我们重点要讲的是什么呢？是这个第三问啊，第三问，你看一下 ag 跟平面交点是 f， 然后问你 af 和 fg 的 比值是多少， 那这个问题呢，对吧，我们该怎么去解决呢？就是用我们今天讲的这个叫射源列式啊，我就在这里写，大家想一个问题啊，首先 agf 是 不是三点共线， 对吧？因为 a、 g、 f 是 三点共线，三点共线我们就可以设未知数啊，就可以少设一点啊，我们可以设 a f 等于 number 倍的 ag， 因为 g 点坐标是知道的，所以这样的话 a f 向量就出来了， af 就 等于 number 二 number 二 number， 是 不是？那 af 出来了？那我们现在干什么设计呢？因为 f 也在哪上面，是在 pbd 这个平面上面，对不对 啊？ f 在 pbd 这个平面上，比如说我们随便画一个 pbd 这个平面，对吧？这个是 p， 这是 b， 这是 d， f 在 这个上面，是不是 啊？而且我们这个平面的法向量是知道的，这个平面的法向量刚刚算过了，是不是？所以现在就是关系式，只要设一个等量关系式，列一个等量关系式就可以了，所以我们把 p f 向量表示出来， 所以 p f 向量啊，就等于有限量的减法， a f 减 ap， 所以这样就出来是 number 二 number 复六啊，因为这个是列个关系式嘛，列什么关系式呢？就列个反项链，这跟什么 p f 是 垂直的，垂直相乘等于零，这就是一个等式关系。然后可以解这个什么 number 了啊？ p f 下面 number 二 number 复六，然后 n 项链是三一，所以自己带一下，有三 number 加上二 number， 对吧？呃，这个是二 number 减六，对，二 number 二 number 减六啊， 对，然后加上一个二 number 减六等于零，所以这个 number 就 出来了啊，所以这个 number 就 被我们算出来是七分之六， 好吧，咱们呢是七分之六，所以这个 a f 比上这个 f g， 它的比值就出来了，就等于六。所以这个最后一个呢，它也是一个射源列式啊，利用三点光线把它射出来，射出来之后呢？然后去找一个未知数，就找一个方程把它解出来，然后问题就可以解决。 好吧啊，我们高考题它是是 o 点，先不知道在哪位置设 x， y， z， 再设半径为 r， 所以 列了四个方程解四个未知数，看似很盘大，但是它解出来好，解得很，你自己尝试的去解一下，利用两个向量得到呃，一个关系，再用两个向量得到一个关系，然后一代入就可以解出来。 好吧啊，这就是我们今天分享的呃，高考的一个立即结合的一个题。

十七题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd 角 d、 a、 b 等于九十度点， f 为 cd 的 中点点 e 在 ab 上， e、 f 平行于 ad， ab 等于三倍的 ad， cd 等于二倍的 ad。 将四边形 e、 f、 d、 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f、 d 撇 a 撇，使得面 e、 f、 d 撇 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成的二面角为六十度。 然后第一问让我们证明 a 撇 b 是 平行于平面 c、 d、 f 的， 那我们来看一下第一问应该怎么证明？我们在证明线与面平行的时候，可以用哪几种方法？我们可以通过直线与直线平行来判断直线与面平行，也可以通过面与面平行来判定直线与平面平行对不对。 那我们先来看一下，可不可以通过直线与直线平行来判断直线与面平行呢？那我们看一下 a 撇 b 和这个平面 c、 d 撇 f 当中哪条直线平行， 好像并不能很明显的看出来哪条直线是与 a 撇、 b 平行的，那我们再看一下，可不可以通过面与面之间的平行来判断 a 撇、 b 平行于平面 c、 d 撇 f 呢？我们来看一下 a 撇 b 在 哪个平面里， 它是不是在平面 a 撇 b、 e 中，这个三角形 a 撇 b、 e 和这个平面 c、 d 撇 f 看上去好像是平行的，那我们来证明一下，我们来证明一下。你看，题里说了，题里说 ab 是 平行于 cd 的， 也就是说 c、 f 是 平行于 e、 b 的， 对吧？我们来写下来。 我们知道 e、 b 是 平行于 c、 f 的， 又因为 cf 这条直线它在平面 d 撇 cf 内，所以说我们可以得到什么？我们可以得到 e、 b， 它是平行于平面 c、 d 撇 f 的， 对吧？那我们再来看一下。题里还说了，我们知道 d、 c 是 平行于 ab 的， 那也就是说 d、 f 它是平行于 a、 e 的， 对吧？那我们又知道这个三，这个四边形 e， f， d 撇 a， a 撇， 它是通过这个四边形 e， f， d， a 沿 ef 翻折得到的，是不是？所以我们知道 a、 e 平行于 d、 f， 也就是说 a 撇 e 是 平行于 d、 p、 f 的， 那我们来写下来。我们知道 a 撇 e， 它是平行于 d、 p、 f 的， 那又因为这个 d 撇 f， 它属于平面 d 撇 f， c 内。所以说 a 撇 e 是 不是平行于平面 d 撇 c， f。 我 们写下来 a 撇 e 是 平行于平面 c， d、 p、 f 的， 那我们看一下啊。 e， b 平行于平面 c， d， p， f， a 也平行于平面 c， d、 p、 f 那 我们看一下 e、 b 和 a 撇 e 是 不是相交于点 e， 且这两条线段都属于平面 a 撇 e、 b 内。 所以说我们就可以得到平面 a 撇 e， b 是 平行于平面 d， p、 f、 c 的， 那我们知道线段 a 撇 b， 它是属于这个平面 a 撇 e， b 的， 对吧？那 a 撇 e， b 平面 a 撇 e， b 又平行于平面 c 撇 d、 f 所以 是不是我们可以推出了 a 撇 b， 它是平行于 c 撇 d、 f 的？ 所以第一问我们就证明出来了， 那我们再来看第二问，第二问让我们求面 b， c、 d 撇 a 撇所成的二面角的正弦值。 我们在求面与面的所乘二面角的正弦值的时候，我们一般应该怎么求？我们是不是可以通过建立空间直角坐标系， 通过空间向量我们可以求出这两个面他们对应的法向量，再通过法向量的数量积的计算，求出二面角的余弦值呢？进而就可以求出他的正弦值了，对不对？那我们就建立空间直角直角坐标系吧。我们应该怎么建立？ 你看题里说了，题里说角 d、 a、 b 是 九十度，那 d、 c 又是平行于 ab 的， 我们还知道这个 ef 是 平行于 ab 的， 所以这个四边形 a、 e、 f、 d 它是个平行四边形。那我们又知道角 d、 a、 b 他是个九十度角，那是不是这就是个矩形，对吧？所以说角 f、 e、 b 是 等于角 d， a、 e 也是等于九十度的，那 d、 c 又是平行于 ab 的， 所以说角 e、 f、 c 他 也是九十度 底面，这是个九十度。所以我可我们可以怎么样建立空间直角坐标系？我们可以以点 f 为圆心，以 f、 e 为 x 轴，这个 f、 c 为 y 轴，再以撇垂直于这个底面 abcd 的 这条直线 为 z 轴，建立空间直角坐标系。坐标系我们已经建好了，那我们现在要求什么？我们现在要求这个面 b、 c、 d 撇和这个面 e、 f， d 撇 a 撇所成二面角的正弦值。那我先来求这两个面的法向量吧。那怎么求这两个？这两个面的法向量？ 我们知道平面内的法向量与平面内的向量的数量积应该为零，对不对？所以说我们就需要把这两个平面内的直线的向量表示出来，也就是说我们需要先把这几个平面的顶点坐标表示出来。 我们知道题里给了很多的数量关系啊，你看他说 ab 等于三倍的 ad， 那 点 f 又是 cd 的 中点，也就是说 d、 f 是 等于 f， c 是 等于 ad 的， 那我们刚刚知道这个四边形 a、 e、 f、 d， 它是个矩形，那我们现在又知道了 d、 f 是 等于 ad 的， 是不是说明它其实就是个正方形，对吧？ a、 e 也是等于 ad 的， 那我们又知道了，题里还说 ab 是 三倍的 ad， 对吧？所以其实 be 就是 相当于是二倍的 a、 d， 那 我们可以设这个 a， d 等于 e， f 等于一，等于 d， f， 就 这四条这个正方形里边，这四条边长度为一，我们可以写假设我们设 a、 d 等于 e、 f 等于一，那我们知道 a、 b， 它等于三倍的 a、 d， 也就是说 ab 的 长度就是三倍，那么 a、 e 又是等于一，所以 b、 e 的 长度是二，对吧？所以 b、 e 的 长度等于二， 那我们就可以得出点 b 的 坐标是什么？点 b 的 坐标就是一逗号二逗号零，对吧？那我们再看下点 c 的 坐标是什么？ c， 我 们知道 f、 c 是 等于 df 等于 ad 的， 所以说点 c 的 坐标是什么？零，逗号一，逗号零。 那我们再来看一下 d 撇的坐标，题里还给个什么条件？题里说 e、 f、 d 撇 a 与 e、 f、 c、 b 这两个面所成的二面角为六十度。 看一下 e、 f、 d 撇 a 撇与平面 e、 f、 c、 b 所成的二面角为六十度， 我们知道这是一个矩形，对吧？所以说这个 a 撇 d 撇 fe， 它也是个矩形，因为是翻折上来的嘛，所以说 d 撇它是垂直于这个 e、 f 这条边的，它俩是互相垂直的， 那我们又知道这是九十度角，这也是九十度角，所以 c、 f 也是垂直于 e、 f 的， 对吧？所以就是也是说 d 撇 f 垂直 e、 f， 所以是不是说明这个角 d 撇 f、 c 就是 这两个平面所夹的二面角啊？所以说就是这个角 角 d 撇 f、 c， 它是等于六十度的，对吧？那既然我们知道它是六十度了，那就好求了，那我们知道 d 撇 f 为一，这个角为三十度，所以说 这个 d 撇这里 d 撇 f 为一，也就说这段长度应该是二分之一，这段长度应该是二分之根号三，对吧？所以 d 撇他的坐标应该什么？他应该是零，逗号二分之一，逗号二分之根号三，对不对？我们来写下来， d 撇的坐标是零，逗号二分之一，逗号二分之二、三。我们再来看一下这个平面， e、 f d 撇 a 撇， e、 f、 d 撇 a 撇。那我们知道点 f 的 坐标是什么？点 f 它就是 原点吧，零零零，那 e 点的坐标是什么？ e 点的坐标就是 e、 f 等于一嘛？它就是一逗号零，逗号零，是吧？而且刚刚我们又把 d 撇的坐标求出来了，所以这个平面我们也找到了三个点的坐标，那我们现在就来求这两个平面的法向量吧。 我们设面 b、 c、 d 撇的法向量， n 一 的坐标等于什么？我们设它 n 一 的坐标等于 x 一 逗号， y 一 逗号 z 一 b 点坐标， c 点坐标和 d 撇点坐标。在这里，那我们分别把 b、 c、 d 撇它们的向量表示出来， 比如说向量 b、 c 应该等于什么？用 c 的 坐标减 b 的 坐标就等于什么？等于负一，逗号负一，逗号零，对吧？ c、 d 撇的坐标是什么？用 d 撇减去 c 的 坐标， c、 d 撇就是零，逗号负二分之一，逗号二分之二、三， 对吧？那我们就用 n 一 和 b， c 和 c、 d 撇分别做数量积，我们知道法向量与它向量的数量积应该是等于零的，所以我们可以连立方程组就可以得到负的 x 一 减 y 一 等于零，负的二分之一 y 一 加二分之根号三， z 一， 它等于零。那我们取假设 z 一 等于一，我们就可以求出来 y 一 等于根号三， x 一 就等于负的根号三。也就是说这个法向量 n 一， 它的坐标应该是负的根号三，逗号逗号三，逗号一。 那我们再来看一下这个平面， e f d 撇 a 撇，我们设面 e， f、 d 撇 a 撇的法向量 n 二的坐标为 x 二逗号 y 二逗号。这样，那我们再来看一下，我们可以得到 fe 这个向量坐标。什么是一？一逗号零逗号零， f d 撇，它的向量是什么？它是零逗号二分之一，逗号二分之根号三，对吧？那我们连立方程组，我们用法向量和它们分别做向量积，就是等于 x 二乘以一，它等于零。 y 二加二分之一， y 二加上二分之根号三倍的 z 二，它等于零。我们取 z 二等于负一，我们就可以得到 y 二等于什么？ y 二等于根号三。 那解出来像法向量 n 的 坐标就是零，逗号根号三，逗号负一。 那么现在把这个法向量 n 一 与法向量 n 二的坐标都求出来了，那么对它进行数量积，我们就可以用数量积除以它们俩的模的长度，就可以得到二面角的余弦值。也就是说 cosine， 它 等于 n 一 和 n 二数量积的绝对值。比上 n 一 数向量 n 一 的长度和 n 二长向量长度的乘积，它等于什么？它等于问号三乘以根号三 加上一乘以负一的绝对值除以 n 一 的长度是 三加三加一， n 二的长度是三加一。分子变成什么？分子变成了二 分母是根号七乘以二最，我们最后得到的是根号七分之一，那我们就可以得到二面角。它的正弦值是什么？它正弦值是 sine c， 等于根号下一减扣 sine c 的 平方， 它就等于七分之根号四十二。这就是这道题最终的结果。

接着往后看，然后我们今天先看的第一道题是江苏连云港的几何题，他说小心在 正方形的纸板上，然后取了 e 点和 f 点，其中 a、 e 是 等于 b、 f 的， 那就出现了全等，那这个角就等于这个角， ok， 这个角就等于这个角，然后连接过 f 做 f， g 垂直， a、 c 这个又是垂直的。 然后第一问，猜想 g、 d 和 g、 e 的 数量关系。猜想 g、 d 和 g、 e 的 数量关系。 嗯，看着就是像相等的，但是为什么是相等的呢？嗯 嗯，如果直接正，它们俩全等可不可以？然后这个角是四十五度，这个角也是四十五度， 嗯， 位置关系是垂直，数量关系是相等。然后第二问，证明他的结论， 嗯，直接证明这两个三角形全等，好不好证呢？直接证明这个三角形和这个三角形全等。 感觉这两个三角形好像是 不一定全等。 那怎么证明这两个边相等呢？我们可以把 d、 g， 然后转移到我们的 g、 b 上，这两个边肯定相等的。 一号边和一号边肯定相等，证明一和二相等，因为这两个边相等的话， 嗯，这个图里的这个边和这个边是相等的， 然后 把它们连起来，把它们连起来，我们的这个大的直角三角形， 最大的直角三角形 b、 c、 e 是 不是全等于三角形 c、 d、 f 为什么相等呢？有一个边相等，有一个边和这个边相等，然后对它们俩是全等的，然后全等。正完之后， 那就可以得到的是我们这两条绿色的边相等，这条绿色的和这条绿色的就相等了。 然后， 嗯， 绿色和绿色相等，然后这个角，这个角和这个角和这个角已经是相等了。 嗯，然后因为这两个角相等， 然后他和他本来是互余的，那我们就能确定这个角也一定是直角， 这个角是直角。嗯， 那我们怎么证明这两个假角相等？ 嗯，其中这个小角应该是等于，呃， 应该是等于绿色的角减去四十五度，然后这个小角 也等于这个绿色的角 减去四十五度，所以这两个角相等。所以这两个，所以根据他们全等就可以得到我们。嗯， 就可以得到。我们的 g e 是 和我们的 d g 相等，然后也得到的是角 c， g， e 等于角 f、 g d， 然后其中公共角相同，所以就会得到的是角 c， g、 f 等于角 d， g e， 也就是等于九十度。那这道题就正完了。 嗯，他需要构造新的这个全等，而不是用图里的已知全等。嗯，比较烦。然后再看第三问，若 a d 等于三， a e 等于一，求 q f q f， 这个就不要了。 a d 等于三， a e 等于一，求 q f q 在 这呢。 嗯，题目刚才已经正出来，正出来这个是垂直，然后这两个边相等，然后 求 q f， q f， 怎么求呢？ 嗯， 刚才我们已经知道了，设这个为 x， 这个为 x， 然后这个就是根号二 x， 然后这是根号二 x， 那 这个也是根号二 x， 根号二 x 应该是等于二的，所以 x 等于根号二，那我们就知道这些边 这个是二，然后这个是二，这个是根号二，这是根号二，然后这是一。 嗯，然后怎么去取 q f？ 是 利用勾股还是利用相似呢？ 然后我们也可以把这个做垂线，做垂线，那这个就是一，这个就是一，那这个也是一， 那这一的话，那这个就是二，那这个也是一，那这个就是根号五。 q f 的 话， q 到底是一个什么位置呢？嗯，我们感受一下。整个的正方形是确定的， 然后 g 的 位置也是确定的，然后 g e 也是确定的。做垂直的话， g d 是 确定的，那 g e 也是确定的 啊，然后所以 q 的 这个焦点也是确定的， q 的 焦点是确定了之后，那 q f 就 能确定。 嗯，这道题间系数是可以的，但是有没有其他的办法去求 q f 呢？嗯 嗯，我知道了，我们可以把这个我们刚才分析了一下，所以 f 应该是他们的终点，所以我们可以把这个中线给它加倍， 然后把它再延长， 这个是中，嗯，这两个相等，就它加倍完之后呢，上面就是三，上面就是三， 然后这边是一，所以它们的比例的话应该是四比，这是一份。我们设这边 m， 所以 g m 比上 a e 应该是等于四比一，四比一的话，我们 g e 已经知道了，等于根号五， 所以这个 q 点应该是个几等分点应该是一个五等分点， q 点应该是个五等分点。 五等分点的话，那我们就设下面的为一份，上面的是四份，所以下面的是一份，下面是一份。这是 m， 然后上面是四份，所以这个是 m， 那整个的就应该是五 m。 五 m 的 话，那上下应该是二点五 m， 所以 这个位置应该是一点五 m， 所以 我们就可以知道了。嗯，我们就可以得到 f q 应该是等于 af 乘以一点五，除以二点五的比例， af 的 长度是等于根号十，然后再乘以 五分之三，上下同乘二，五分之三就等于五分之三倍根号十。所以 f q 就 出来了，等于五分之三倍，根号十。 然后再看最后一问，第四问，说 a、 d 的 长度是三， a、 p 等于多少的时候，它的面积最小，把这个删了啊。 嗯，题目中的 a、 d 是 三， a、 e 是 一， ap 不是， 这个是不知道的啊， a、 e 是 不知道的，然后 ap 等于多少的时候， d p g 的 面积最小。 d p g 在 哪呢？这是 d p g 的 面积最小， 题目中只知道的是这个边长和这个边长是一样的， 然后刚才还证明了 这个长度和这个长度是一样的。 嗯， 然后 这个角和这个角相同，这是垂直，但是又怎么样呢？怎么去证明 d p g d p g， d p g 这个三角形？ d p g 这个三角形有什么特点呢？什么是不变的呢？ d p g 什么是不变的呢？ d p g。 嗯 嗯，首先我们可以设它为 x， 反正求面积最小值肯定是要变亮的。怎么设为 x？ 这个就是三减 x， 那 这也是 x， 这个也是三减 x， 如果这是三减 x 的 话，那这个位置就是三减 x 除以根号二， 然后这个高，这个高应该就等于三减 x 除以二。 然后我们的 面积，这个的面积应该是等于这个大面积， 也就是 a、 d、 c 的 面积，然后再减去两个小面积，一个是 d a p， 一个是， 一个是 d g c， 然后大的面积的话，应该是等于二分之一，三乘以三， 减去 d a p， d a p 的 边是二分之一乘以三，再乘以 p 的 这个高度。这个高度怎么求呢？应该是可以用 力，这个是 x， 这个是三， 所以这个就是三 m 分， 这个就是。嗯， p e 就是 x， m 分， 所以 p 的 横坐标。嗯，所以这块的这个长度应该是上比上全部的， 等于我们把它称之为 pm， 再比上 x 化简，也就是三比上三加 x， 等于 pm 比上 x， 所以 pm 就 有， 所以 pm 的 话就等于三加 x， 乘以三 x， 然后减去 这个三角形 d g c 的 面积， d g c 的 面积就是等于二分之一，乘以三，再乘以它的高，是二分之三减 x， ok， 然后把它带进去，就等于二分之九减去， 这个是二分之九 x 比上三加 x， 再减去 四分之三，括号三减 x， 然后这个面积怎么找最小值呢？嗯， 先给他 先把右边的这个化简，就减去四分之九，加上四分之三 x， 也就是二分之九减去四分之九，也就是四 分之九，再减去二分之九 x， 比上三加 x， 再加上四分之三 x， 然后怎么样？它的面积更小？ 给他分式化减，也就三加 x， 分 之 x， 加三减三，再加上四分之三 x， 等于四分之九，减去二分之九。括号一减去三加 x， 分 之三，再加上四分之三 x， 就 等于负的四分之九，加上 二括号三加 x， 分 之二十七，再加上四分之三 x， 嗯， 然后这个位置给他添个三，然后再减去四分之九， 所以就等于负的二分之九，加上二括号三加 x， 分 之二十七，再加上三分之三 x 加三。 用高中的基本不等式的话，他应该是会大于等于二倍的。根号下二分之二十七，再乘以四分之三， 再减去二分之九，然后带进去的话，就是 二乘以二分之九，再乘以二分之根号二，再减去二分之九， 所以这个面积的最小值当前紧当，什么时候成立呢？ 二分之二十七，括号三加 x 等于四分之三， x 加三，乘以这一化简，这个是九， 这一化减，这是二，也就是九等于二。括号 x 加三的平方，二分之九等于 x 加三的平方， x 加三等于正负二分之三倍，根号二 x 就 等于正的二分之三倍，根号二再减三，哎， 嗯，但是这个数好像是负的，所以有问题。我们再看一下前面的预算，面积的话是二分之一底层高，所以这个位置 是对的。然后 d a p d a p 的 面积，上面是三，下面是 x， 所以 上面的这块是三 m， 下面的这块是 x m， 所以， 嗯， pm 比上 x， pm 比上 x， 就 等于三比上三加 x， 所以 pm 就 没有问题，这是对的。 二分之一底乘高，然后最后是二分之一底乘高，这是 x， 这是三减 x， 三减 x 除以根号二，然后这个高的话就是三减 x 除以二，所以二分之三， 三减 s 除以二，然后左边的话就是二分之九减去二分之九 x 括号三加 x， 再减去四分之三，三减 x， 然后化减二分之九减去。 呃，化简，我再重新化简一遍，从这会这等于二分之九减去二分之九。 x 加三， x 加三，再减三， 再减去四分之三，再乘以三， 再加上四分之三 x 等于二分之九减去二分之九。括号一减去 x 加三分之三，减去四分之九，加上四分之三 x， 等于 这个一化简。消掉了，消掉完之后，就等于正等 二。括号 x 加三分之二十七，再减去四分之九，再加上四分之三 x， 然后再凑一个，凑一个加三，再减去四分之九， 所以就等于二括号 x 加三 分之二十七，再加上四分之三，括号 x 加三，再减去二分之九。跟这个式子写的一样吗？ 这两个应该是相加，会 大于等于二倍的根号下，它们俩相乘 八分之八十一，再减去二分之九， 也就是大于等于二括号二倍，根号二分之九，减去二分之九。嗯，这个最小值是成立的，它是有最小值的。那当且紧当。什么时候取最小值呢？应该是当且紧当， 把这个再重新的算一遍， 当前仅当二括号 x 加三分之二十七等于四分之三， x 加三，然后正好正好一抵消，这是九，二和 c 抵消，这是二。 哦，这是写错了，应该是十八等于 x 加三的平方。三倍根号二等于 x 加三，所以 x 等于三倍，根号二减三。 所以 a a p 等于多少呢？ a p 等于多少？ x 知道了，然后 pm 也知道了。 pm 的 表达是 pm 等于三， x 除以三加 x， 所以 x 代三倍根号二减三的时候， 三倍根号二，然后再除以三倍根号二减三，也就是三倍根号二， 然后把三和三一消，也就等于三减去三除以根号二，那 a p 的 长度就再乘以根号二，乘以根号二，也就是三倍 根号二减三。那这道题就搞定了，它用到了基本不等式， 然后再接着考。 ok， 下面我们来看一下江苏淮安的中考题。它是一个等腰三角形 abc， 然后在底边 bc 上取一点 p， 然后连接 a p， 它是问线段 a b a p、 b p、 c p a b a p b p c p， 它们仨有什么关系？首先它做了一个垂线， 然后利用一式，就是 ab 的 平方等于 a 地方加 b 地方，嗯，然后 第二个 a p 的 平方就等于 a d 方加上 d p 方，然后两个式子相减，就会得到 嗯，平方差公式，它乘它，其中 b p 乘 p d 就是 b p， 然后 b d 减 p d， b d 减 p d 就是 p c， 所以 就会得到的数量关系就是 ab 方减去 a p 方 就等于 b p 乘 p c， 然后第二个他说，如图二，他是一个等腰直角三三角形 a b， a， c， b 是 直角，然后 a d 的 话是等于二， a c 也等于二，然后构造一个等变三呃，构造一个正方形，然后利用一的结论去求正方形的面积， 也就是求 c 地方，也就是求 c 地方，然后根据一的结论的话，一的结论我们再感受一下，一的结论啊，就是这两个斜边 的平方差，应该是等于左边乘右边， ok， 然后这个的话就是这两个斜边的平方差，也就是 a c 方减去 c， d 方应该等于 a d 乘 d b， 那 a， c 方是四，减去 c， d 方等于 a， d 是 二，然后 d b 的 话应该是等于二倍根号二，再减二，所以 c 地方就等于四， 再减去二。括号二倍根号二，再减二，也等于四，减去四倍根号二，再加四，也就等于八，减四倍根号二，所以它的面积 s 就 等于它就等于这个东西，所以这一问就搞定了，然后再看第三问，如图三，然后圆 o 是 三角形 abc 的 外接圆，其中 呃角 abc 的 平分线于都， 这是平分余动，然后连接 o b 和 o d， 然后其中 o b 的 长度是九，这是九，然后 o d 的 长度是五， c d 比上 bc， 嗯，设 cd 为 x， bc 的 话就是二 x， 然后求 b、 d 的 长， 嗯，有角平分线呢 啊，求 b、 d 的 长， 它半径知道了，半径是等于九， 那实际上感觉就应该把这个给连起来， 这个应该就等于四， 嗯， 我们可以把它延长出去，然后再做一个平行。 那这个角等于这个角， 他跟圆有什么关系呢？嗯，就感觉不应该借助外面的图，应该借助里面的图，应该借助跟圆相关。 a、 b、 c 的 角平分线，这角平分线的话，这是二比一，所以这个应该是 m， 这应该是二。 m， 这个有个角平分线定里，但是又跟我们 o d 和 o p 有 什么关系呢？ c、 d 有 个比例， c d 这个比例，嗯，就可以知道上面的比例。 这是哪的题啊？又是江苏题。嗯， 嗯，这道题又跟上面的题没有什么关系，它就是一个三角形，有个外接圆，然后有个角平分线交于 d 点，然后 o b， o d 一个九，一个是五， c， d 比上 bc， 一个是二 x， 求 b d 的 长。 哦，我们可以借助刚才的模型，我们可以连接， 连接谁呢？我们可以连接 o a， 然后 o a 的 长度就是九， o v 的 长度就是九，然后 o c 呢？它也是一个等幺，然后按照刚才的逻辑来说，应该是九的平方减去五的平方，应该是等于。 嗯， m 再乘以 x 的 看一下是不是 对，应该是等于，所以九九八十一减去二十五六五十六，五十六，五十六，等于 m 乘 x， 所以 上面的 m 就 知道了，应该是五十六除以 x， 然后 a、 b 的 话就是等于一百一十二除以 x， 然后怎么去求 b、 d 呢？ 它是一个角平分线， 嗯，它是个角平分线，角平分线的话， 嗯，这角平分线还没有用呢。角平分线应该怎么用呢？ 如果做两条高线的话，这两个应该是相等， 但这高线等于多少呢？题目中又不知道， 我想想，我们现在已经利用了这个圆，然后把我们的 o、 b 就 变成了 o a， 嗯，然后角平分线交于 d 点，求 b、 d 的 长 b、 d， 我 们把这个图往上沿一下， 然后再给它沿一下，这个角 该等于这个角，嗯， 说 b、 d 为 y， 那 md 呢？ y 乘以 md 应该就等于。 嗯， a， d 乘以 a， d 乘以 d， c 也就等于五十六，所以 m、 d 就 等于五十六除以 y， m、 d 等于五十六除以 y， 然后又因为这个是个角平分线，所以这两个角相等，所以它就是一个 a 字形， 嗯， 然后又因为他们这两个三角形，这个三角形和这个三角形是一个反 a 字形，所以他们的比例的话应该是一比二，所以 这个小的比大的都是一比二，然后小的最短的，然后比上大的最短的也是一比二，所以这个大的话应该是 m、 c 应该是等于幺幺二比 y， 所以 我们就可以列出一个，再列一个 a 字形相关的式子，也就是 幺幺二比 y 再乘以二，就等于 五十六比 y， 再加上 y， 然后一化减，这个就是 y 分 之二二四减去五十六，一 七六八一六八等于 y， 所以 y 就 知道了。 y 方等于一六八，然后 y 就 等于 四乘以四十二再开放，四乘以四十二再开放四十二的话， 六七就是二倍，根号四十二，所以这个 y 就 有了，也就是 b， d 就 有了。 我们再来看第四问，嗯，第四问就是看我们的图四， 图四说三角形 a， b， c 中这个 a， 这个 c 角是一百二十度，然后 a， d 等于 a， d 等于 d， e 等于 b e， 然后我们的角 c， a， e， 这个角的正切值是五分之一，然后去求 p b 减 p d， p b 减 p b 减 p d， 再比上 p a 减 p e， 这个角是一百二十度， 嗯，首先按照这这个题目的意思， 我们应该是 d e 的 平方减去 d p 的 平方应该是等于 p e 乘以 p a， 然后同理 d e 方减去 e， p 方等于 d p 乘以 p b， 然后两个式子做， 两个式子做啊，两个式子做减法 就是 e， p 方减去 d， p 方等于 p， e 乘 p a， 再减去 d p 乘 p b， 嗯，然后这两个十字可以连立，然后放在右边，也就是 d p 括号 d p 减去 p b， 然后这边的话就是 e p 写在左边， e p 括号 e p 减去 pa， 所以 我们就会得到 d p 减 pb 比上 e p 减 pa， 应该就等于 e p 比上 d p， 然后这个东西它就是这个索求刚好就凑起来了，然后所以它的比例就是等于一 p 比上 dp， dp 比上 dp 在 这了一 p， 然后 dp， 嗯， 然后知道这个角是一百二十度，一百二十度的话，怎么知道它们的比例关系呢？ 然后我们就，嗯， 这个是 theta 角，那这个角就是二 theta。 一 般情况下这个一百二十度呢，都是要构造九十度的，所以我们先把它给 延长，然后再给他做一个垂直，垂直完之后 这个变为 x， 这个变为二 x， 这个变为根号三 x， 然后嗯，这个等腰三角形的这个顶角是等于一百二十度加上二 theta， 所以 这两个，嗯，底角的话就是六十度减二 theta， 所以这个就是三十度减 c， 它，所以这个角就是三十度减 c， 它， 然后整个的大角就是三十度加 c， 它，所以这个就是三十度， 三十度有了， 然后这个边就设它为 m， 然后这个就是五 m， 然后第一 p 就是 二 m， 然后底下这个就是根号三 m， 然后 p e 就是 五 m 减去根号三 m， 所以 d p 比上 e p 比上 d p， 所以 e p 比上 d p， 就 等于五减，根号三除以二，然后就搞定了。

呃，各位数的家长，现在的高考呢，是越来越卷了啊，现在的学生的压力也越来越大。在二零二四年的时候呢，这个立体几何题目啊，它是很简单的，你只需要间隙就完全可以做出来。到了二零二五年之后啊，考察一个这个立体几何题，这个立体几何题呢，就是把这个外接球的支点 放在这个大学里面了，这个知识点放在这里面呢，其实原因很简单，就因为这些知识点，很多学生呢，没学会，学的不扎实，把学分的能力呢区分出来。 现在呢，就是很多学生他也意识到这个问题，就是把这些内研究外研究，知识点呢，很多学生呢都学会了。现在呢，高考为了增加学生度，先要考察你的空间想象能力，就用综合法来做这个立体几何题目，这也是高考的一个趋势。

同学们，今天我们来复习一下几个特殊的三角形。第一种等腰直角三角形。这个三角形的两个底角是四十五度，底边与腰长之间的比值是根号二比一。 如果做底边的中线，又会继续得到两个全等的等腰直角三角形。如果像继续分，还能得到更多的等腰直角三角形。反过来，两个全等的等腰直角三角形，可以拼成一个大的等腰直角三角形。 如果换个方向，我们会得到一个正方形。接着看第二种等边三角形，这个三角形的性质很简单，三个角都是六十度。同样我们做一条边的中线， 得到了两个直角三角形。这个三角形就是我们要复习的第三种直角三角形，它的三个角分别是三十度、六十度和九十度。 注意这个角度的关系是一比二、比三，这个三角形的三边长的比值为二比根号三比一。 而且根据直角三角形的性质，我们做这个三角形斜边的中线直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半。此时我们又得到了一个等边三角形， 旁边还有一个底角为三十度的等腰三角形，它的顶角是一百二十度，这又是一个特殊的三角形，把它一分为二，又可以得到两个直角三角形，又是两个全等的三十度六十度角的直角三角形。 刚才提到的这三个角的大小关系是一比二、比三。在这里其实就是把直角的九十度拆成了三十度和六十度的两个角出来。如果我们把六十度的角也拆出来一个三十度呢？就是做六十度角的角平分线， 此时我们看相当于又得到了一个小的三十度、六十度角的直角三角形。剩下的这个三角形呢，是个等腰三角形， 而且不妨做个底边的高看看。此时相当于把一个三角形切成了三份全等的直角三角形，而且三个小三角形还与大三角形相似。三角形三个角分为是三十度、六十度和九十度。 知道了这个特点，我们不妨碍衍生一下，我们看到一个三角形有一个角是六十度，不妨把这条边延长一下，延长和另一条边长相等，再连接起来，这里就是一个等腰三角形。同时我们是不是就得到了一个三十度的角？ 换句话说就是，我们如果想要一个角度竖的一半，可以向内作角平分线，也可以向外构建等腰三角形，这两种方法都能得到。 所以如果是要画出一个十五度的角，我们就有好多种方法，比如在六十度角里面减去四十五度，或者在四十五度角里面减去三十度。 今天我们又学到了把三十度的角做角平分线，或者向外延伸出一个等腰三角形。根据等腰三角形的外角，就容易得到这个十五度的角了。 好的，都学会了吗？接下来我们用二零二五年南京的中考数学真题来检验一下各位同学的掌握情况。 码头 b 位于码头 a 的 南偏东三十度方向， a、 b 两个码头之间的距离为四十千米，灯塔 p 在 a、 b 的 终点处。 轮船甲从码头 a 出发，沿正南方向航行。轮船已从码头 b 出发，沿正东方向航行，当甲航行到 c 处时，已航行了相同的距离到达 d 处，此时 cp 第三点恰好在同一条直线上，求轮船甲航行的距离。 轮船甲向南航行，轮船已向东航行，我们就延长一下 a、 c 和 b、 d， 焦点是 o， 两个方向正好相互垂直。 码头 b 位于码头 a 的 南偏东，三十度就是角 b， a、 o 是 三十度，有了三十度又有直角三角形 a、 o、 b 就是 我们刚才说的特殊三角形中的一种，就是一个三十度六十度角的直角三角形。 而且点 p 是 ab 的 中点，我们连接中线看看。根据刚才学过的知识，这里就有了一个等边三角形哦， p、 b 还有什么已知条件呢？甲乙航行的距离相等， c、 p、 d 在 同一条直线上就是 a， c 等于 b、 d。 我 们不妨把已知的长度标出来， ab 是 四十， p 是 中点，这里的线段都是二十， a 就是 二十根号三，好像其他都是未知的。 这里三角形 a、 o、 b 是 三十度六十度角的直角三角形。结合我们刚才学习的几个特殊三角形的特点，等边三角形。如果做一条边的中线看看呢？ 这里的三角形 type 就是 也是个三十度六十度角的直角三角形。一下子看出来 l 与 p、 e 平行平行线分线段成比例的性质，或者三角形相似的性质就知道 p、 e、 b、 o、 d 简单计算一下就是十根号三减十。 学习了这几个特殊三角形的特点之后，这里是不是很简单，都学会了吗？下课！

好，同学们好，我们把这个四月十号的每日一练咱给讲一下啊。那这题是苏州的啊，中考的最后一题啊，正好是个二次函数题啊。去年，呃，镇江正好也考了个二次函数题。 呃，其实在这个江苏各个市当中啊，考最后一题考二次函数的并不常见，你看我们之前做的那些题，几乎都是几何体啊或者一些新定义啊，那么他二次函数不多，那这题呢？二次函数题难度上， 呃，还行，没有那么高啊。没有那么高。他最后一问呢，他其实用到了一个特殊性。好，我们来看一下题啊，看下题，首先他说题干说有一个二次函数，这个二次函数都告诉你了，对吧？嗯，呃，就可以。大家可以求一下 a 点和 b 点坐标， a 点求完应该是负一零， b 点求完应该是三零啊，这很好求，那 c 点坐标是零三，对吧？啊， 好，呃，他说与 y 轴交于点， c 做直线， b c m 点坐标是 m， y 一 n 点坐标是 m， 加二为二，所以这个时候我们要发现啊，就是当你读到这之后，你会发现它横坐标其实就 n 在 m 的 右侧，并且 比它大二，横坐标比它大二啊，好，呃，首先看第一问，第一问特别简单，是吧？我们求一下呃，这个 a b c 的 解析式啊，那么应该是 y 等于 负 x 加三这第一问，第二问是判断是否存在实数 m， 使得 y 一 加二， y 等于十，那这也很简单，是吧，那就直接直接代入吧。这个，呃， y 一 加上二， y 二， y 一 是什么？ y 一 的横坐标是 m， 对 吧？所以应该是负 n 方 加二， m 加三，这是 y 一 啊，加二倍的 y 二， y 二的话，横坐标是 m 加二，所以是 m 加二的 平方，加上二倍的括号， m 加二，对吧？再加三。好，这样整理一下啊，等于啥呢？这个整理完了，也应该是等于，嗯，负三 m 方 减二， m 加九加九，那这个时候呢？他说能不能等于十，那我们就令他等于十啊，我们就说这么写，你说这个负三 m 方减二， m 加九等于十啊，存不存在就行了，是吧？那这个两种做法，要么去求一下，求一下它的最大值啊，看它最大值有没有到十，因为它开，它是一个开口向下的二次函数，要么直接把它什么把十挪过来，你就是 负三 m 方减二， m 减一等于零，对吧？那这个得它啊，等于四减十，二小于零，所以无解，所以不存在啊，不存在。这个这题还是不难的，对吧？ 不存在 m 啊，好，第三小问。第三小问有一个特殊性啊，一个特殊性，我们看一下，他现在说啊，说这个 p 是 二次函数上一个点，那点 p 的 横坐标呢？是一减 m 啊，一减 m， 这有用啊，他突然给了个这个东西是有用的，做 m n p， 若直线 b c 与线段 m n p， 我 们考虑一下啊，这个它会相交， 就是我们假设 m 在 第一幅图，如果 m 在 这， p 就 得在这样一个位置，对吧？啊，这样行不行？ m n， 然后它相交 m p 啊， m n m p 啊，这样的啊，相交啊，然后与这个 m n 交于点 d， 与 m p 交于点 e 啊 e， 然后他现在说啥？说这个 m d e 就 这个面积， 它是它的面积的，呃，一比四，对吧？是 m n p 的 一比四，好，要么是什么？要么就是如果你第二幅图，你可以画个 m 在 这啊，我们先把第一幅图画一下，就有可能你 m 在 这，因为 m 点横坐标是小 m， 纵坐标是 y 一， 然后 n 点的横坐标是 m 加二，所以 n 应该在 m 的 右侧，对吧？那这个时候如果相交你，你只能是这样画， 对吧？这个时候啊，比如说这是 d p 点呢？是这个位置啊，这个位置。好，这样的，我们先这样随便画一个啊，这边是 e， 他 说这个面积啊，还有一种画法就是你 m e 有 可能在这边，他给了个备用图，对吧？ n 点肯定在下面呢 啊，你在某一个位置啊，因为你要有香蕉嘛。那这个时候啊，这边是 d， 然后呢？这边有一个 p 点啊， m p， 先把图给它给画出来。很多的二次函数题，我们需要先画图啊，先画图，然后他依然说，依然说什么？依然说这个面积 比，这个面积是一比四啊，一比四。好，当我们读到这之后，你有没有那种感觉啊？这个大概率这两个是相似的，对吧？ 有可能啊，有可能就是包括这个，因为它面积比嘛，你不是相似嘛，要么就是什么等底同高这些东西。这个，这个，我们试一下，试一下。怎么试呢？就是我们可以呃，可以把这个坐标啊， m 点坐标， 横坐标是 m， 纵坐标是负 m 方加二， m 加三。好，这是 m 点坐标， n 点坐标呢，我们也写一下啊， n 点坐标，横坐标是 m 加二，纵坐标，你可以代入啊，把 m 加二代入，你求完之后，坐标是啊， 负 m 方，自己求一下，减二， m 加三。 好，还有一个就是我们的，呃， p 点坐标， p 点横坐标是一减 m 纵坐标呢？应该就是负 m 方加四啊，代入一下。 好，这个时候咱要注意一个东西啊，注意一个东西，就是我们得注意到这两个坐标的差，以及这两个坐标的差， 他是相等的啊，也就是说我们如果啊，什么意思呢？假设我们看第一幅图，如果我们要这两个相似， 那说明你这个地方一定要与他平行，就是 np 和 d e 要平行，然后也就意味着什么？意味着你这个地方 d e 很 特殊啊， d e 在 bc 上，他是一个四十五度，所以你需要保证这边也大概是一种四十五度， 就是你，你平行吗？我这也平行吗？是吧？啊，或者是这样的啊，这样的，那你得保证他的这样，比如说 n 在 这， p 在 这，应该保证他们的这地方是四十五度才平行，对不对？所以我们要怎么做啊？我们要求一下他们横纵坐标值差 啊，比如说我们这样做，我们做一个垂直，就是我们呃，过 n 点做一个平行于 s 轴的线段，然后过 p 点去做它的垂线啊，垂足叫 h。 好，那我们先求一个东西啊，求一个东西，求我们的 n h 的 长，它是等于什么？ n h 长是等于 h 的 横坐标减去 n 的 横坐标的绝对值啊，就是因为我们不知道 h 在 哪嘛，是不是？好，我们写一下啊， n h 的 长就是 m 加二减去括号一减的绝对值啊，等于什么？等于二 m 加一的绝对值啊，这是我们的 n h 的 长，那我们再求一个 h p 的 长， 所以它一定有个巧合性啊， h b 的 长是负。呃， h 的 纵坐标和 n 的 纵坐标一样啊，所以是负 m 方减二， m 加三，减去这边的负 m 方 加四啊，啊，我们约一下， m 方约掉了啊，那这边还剩也是个什么二 m 加一啊，这个是负二 m 减一的，就就是二 m 加一。所以，所以发现什么？所以我们的 n h 它是等于 h b 的 长，好，我们看一下啊， n h 等于 h b 的 长。好，我们看一下，这边是四十五度。哎， 哦，那，那，那这样的话是不是做完了，那这样的话是不是就平行了？哦，所以， 那第二幅图也是一样啊，也是一样，我们依然是，呃，做一个平行线做这个，我们发现这边 n h 的 长依然等于这边的。呃，呃， p h， 对 吧，那依然这是四十五度，那这边也是四十五，那肯定这也四十五。平行吗？平行啊， 会正吧，就是我们来正一下，稍微正一下吧。呃，第一幅图来正啊，假设这是四十五，那这边就会是， 呃，这还不一定是吧。呃，我们看啊，这样，四十五，这个是四十五，那这边就是四十五，那下面就四十五，所以平行啊，平行。嗯，好，那我们就写一下啊，写一下，就大家自己去想一想啊，它为什么平行？所以 np 一定是平行于这个 d e 的。 哦，平行的话，说明这两个三角形是相似的啊，我们写一下啊，所以三角形 m d e 相似于三角形 m n p， 它的面积比是一比二啊，那么说明相似比是几比甲？相似比应该是一比二啊，面积比是一比四嘛，所以这个， 所以我们写这个 m， 比如说 m e 吧，它比上 m n p 是 一比二啊，一比二 g e 为 m p 终点 啊，就我们推出 e 为 m p 终点啊，终点第一幅图，第二幅图都行啊，都行。所以呢，我们把 e 点坐标写一下呗。啊， m 点坐标知道啊， m 点坐标是 m 点坐标是它 啊， p 点坐标也知道，所以，所以我们的一点坐标是啥？中点坐标公式啊，二分之相加二分之 m 加上一减 m， 逗号，二分之负 m 方加二， m 加三，加上啊，加上负 m 方 加四，这样打个括号吧，好看一点啊，那这样的话就化解一下啊，这边是二分之一， 这边是多少呢？这边应该是二分之负 m 方，呃，加负二 m 方啊，加二， m 加七啊。 啊，一点坐标，我们知道之后呢，我们要知道一点，它在直线 bc 上啊，所以我们能代入吧，就是二分之 负二 m 方加二， m 加七，它等于负的括号 二分之一啊，负 s 加三啊，加三，这样的话，我们再整理一下，就会得到一个关于 m 的 方程，这 m 的 方程是 m 方 减 m 减一等于零，解得 m 一 等于二分之一加根号 m， 二等于二分之一减根号五啊，好， 这两个应该都保留吧，正好两种情况，对不对？好，嗯，就直接写出啊，就，当然，这题答案是要你直接写出，你就直接写一写啊，当然肯定要算啊，你直接写出，这个不大可能直接算啊，直接算 好，嗯，那这题难度呢？我觉得中规中矩吧，不是很难啊，不是很难，他第二，你看第一小问和第二小问几乎就送分题，对吧？第三小问呢，你只要分析出它平行，也不难啊，也不难。好，那今天的每日一练我们就讲到这。