2026重庆中考数学题解题技巧
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01:53查看AI文稿AI文稿这几条备考建议希望能够帮助到咱们重庆初二零二六届的家长。初三的中考研考会已经结束了，这次中考研考会他确定了咱们中考数学的一个考试方向，那针对这次研考会所决定的内容， 王老师总结了几条备考建议，初三的家长认真听，认真看。第一条建议，一定要把基础知识吃透，你可以去找一套专门的基础知识专题来进行个反复练习。 我所说的反复练习不是让你去刷题，而是通过去做这种基础知识专题来识透书本上的概念，书本上的这个定义。第二条建议，一定要加强题型的一个审题训练，你在做题的时候一定把题目通读两遍，在通读的过程当中， 把题目当中所有的已知条件把它罗列出来，通过这些已知条件能推出哪些结论，把这些结论有意识的写在你的那张试题试卷上，你还要有意识的把题目当中所表达的意思转换成咱们初中所需要的一个数学语言。 第三条建议，一定要去复习错题。复习错题不是说让你把它去做一遍，而是你一定要理解这个错题的本质，当时为什么是错的， 说的哪些方面，他考的是哪些知识点，这些知识点你能不能记住，哪一个单元，哪一个章节，这个错题他有没有补题，如果这个错题他换了个方向来问的话，你还能不能做得出来， 这就是复习错题的一个本质。第四条建议，一定要限时训练，因为咱们中考呢，数学只有两个小时，你在做试卷的时候，在做题的时候一定要 定时定量的把你能够做的题目完完整整的把它做完，并且按照老师所讲的格式，所讲的标准来进行答题。这是王老师根据这次中考研讨会总结出来的几条备考建议，你清楚了没有？
20:01查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，今天我们来评讲一道动态几何函数的题目，这个题目呢，是取自四月六号八中的九年级下册的周考题目啊，那么每年呢，我都会讲一道这个题目啊，今年呢，也不例外。 呃，首先动态几何函数啊，其实就可以拆分成三个方面，动态几何和函数。动态它指的就是动点， 或者说我们要关注的问题，也也或者说我们需要具备什么素质呢？就是我们要关注动点是谁， 速度是多少， 朝什么方向去运动啊。比如说一般来说，有一段他就是像本题，他就是一按 a、 d、 c， 他 会有一个拐点，其实这个拐点呢，就是分段的一个依据 啊，这是动态我们要关注的问题，也也可以说我们拿到这个题啊，我们就去找这几个信息，哎，动点是谁？那本题就是 p 和 q 速度分别是多少呢？一和五分之四， 那么动点 p 呢？哎， a、 d、 c 这么走的，动点 q 呢？ b、 d 这么走的，哎，你心里就有一个方向了。一般这个题他套路就是这样子， 两个洞点，然后有一个洞点呢，是像这个沿 a、 d、 c 这么走的，另一个洞点呢，是在射线上面运动的啊，所以这个是动态需要关注的 东西。然后第二个就是几何，那这个几何它不同于我们的选择题第九题啊， 不同于选择题第九题和那个压轴题，他不是，他和那个几何关系其实不算特别大。这里的几何在我看来啊，我总结出来，他主要就是用到了 相似或者面积之类的东西，是什么意思呢？这个题啊，有的时候或多或少就要用到相似去求高，或者呢，需要用到 面积的求法，比如底乘高除以二去表达相应的函数。比方说这个题就是把三角形的面积记作了 y 一， 当然有的时候也有可能是 呃要求某条线段的长度，但是这个线段的长度呃一般来说就是可以通过等面积法去把它表达出来，所以我还是归类为这个题，它总的来说就是在考面积， 只不过是用等级法去表示某些未知线段的长度，那我还是把它归类为面积啊。 那么你看本题这个 y 二，它是三角形的周长之比，那这周长之比可以是转为线段之比，因为它们相似啊，它一般都会有相似的，所以考来考去，它其实套路就这么几个 啊，不管是相似还是面积，有的时候甚至是求面积，他也需要用到相似去求他的高啊。有的时候也许 y 一 是求某条线段的长度啊，他也许也会用到相似，所以这个是我们这个题动态几何函数， 关于他的几何，我们要做好的知识储备，就是懂相似啊，懂对应编程比例 或者是面积啊，有的时候是等级法， 或者有的时候是相似，要求这个呃三角形的一些高，从而去求的面积，所以这个几何板块就是这这点东西你做不来的，你就朝这两个方面去思考，都是可以思考出来的。 那么第三就是函数这个题呢，在重庆的中考里面，他其实已经比较形成套路，规律也很明显了。一般来说呢，就是一个分段函数 搭配一个反比例函数，其中这个分段函数它就是，它就是由两个呢一次函数构成的啊，就是由两个一次函数构成的，一般就是这个套路， 因为为什么说这个题不太会容易考二次函数呢？因为咱们这个题过了，下一个题是三角函数，在下个题就是二次函数，如果在这个题又考一次二次函数的话， 有点重复啰嗦了，所以他最好的就是考两个一次加一个反比例，他就 把这个初中的该考的知识呢就尽可能的考全，而且不重复，也没有遗漏， 所以这个是我对动态几何函数这个题的一个拆解。我们只要做好这几步准备工作，我们就可以开始来思考这个题目了，它其实就很简单，一般就是这个套路啊。 那我们来看一下这个巴中的九，下周考，嗯，先简单读题吧，菱形，然后呢， a c 六 b d 三 ac 六， b d 三，而且是菱形，那就垂直，那么 a o 等于 oc 等于三，那么 b o 等于 o， d 等于四，顺带就把斜边算出来是五，嗯， ac 呢？等于三倍的 a 一 啊，这个地方有点小，那我们可以算出来， 嗯， a 一， 他其实就等于多少呢？因为 a c 是 六吗？ a 一 就是二，那这个 o 一 呢，就是一，所以我就把这个三擦掉啊，不然有一点碍事。 呃，然后就就像我刚刚说的，我们接下来就要关注这个动点问题了，我们如果觉得题目有点绕啊，我们可以像小黄老师这样，把它养成一个良好的习惯。那么 p 呢，他就是走的一个 a、 d c 这个路线，然后速度呢？是一，你可以把它标注在后面。 q 点呢，他是走的一个 b、 d 射线，他的速度呢，是五分之四。那你是宁愿看题目还是宁愿看下面这个方框里面的东西，我想大家就 不言而喻了，是吧？这是一个良好的习惯，对不对啊？这是一个良好的习惯， 然后接着读题，而 q m 是 平行 c、 d 的 啊，其实这个大家都懂了，这有相似的，那平行就有相似，有平行就有相似了。然后运动的时间是 x 秒，有时候是 t 秒，要注意一下，那么这个大范围其实已经定了，是零到十，零到十， x 的 范围是零到十。嗯，如果他没有写零到十，我们也能求出来是零到十啊，因为 p 点的速度呢，是一， 他从 a 走到 c， 那 这个菱形的两条边上是十，他也是零到十，包括在这个对角线上面， q 点的速度是五分之四，但是对角线 b、 d 的 长度呢，是八，也是零到十啊。 那接下来我们重点关注啊， y 一 代表的是谁？ y 二代表的是谁？是谁？那这个题 y 一 呢，是三角形 b， d， e 的 面积， p d e 的 面积啊， p d e 的 面积，而 y 二的话是周长之比，其实我觉得 y 二倒还比较好求，我们其实是可以先求 y 二的，因为啊， 我简单写一下步骤，因为这个题其实是不需要写步骤，他一般都是直接写出啊，所以这个题是你会做的话就很好得分，你不会做的话就很容易扣分，叫易融聚，容易损聚损啊，所以我们来看下第一个问， 你看，我简单写一下，那因为 q m 平行 cd 的， 所以三角形 b q m 他 就有相似了，他就相似。那三角形 b、 d、 c 本来是不用写步骤啊，我是讲的细一点，那既然相似过后呢，那你看 y 二，他又等于 b c d 的 周长比上 b q m 的， 所以我就会选择 b d， 因为周长之比等于对应边之比等于 b q， 我 肯定会选 b d 比 b q， 因为 q 是 动点，我不会去选，我不会去选 c d 比 q m， 也不会去选 c b 比上 b m 啊，我肯定是选这个 b d 比 b q， 为什么？因为这样子的话呢，这个 b q 呢，它好表达一点对不对？ b q 就是 我们的五分之四 x， 对 吧，它是一个动点，它的速度我们关注了啊，时间又是 x， 而 b d 呢，是多少？就是八，这，所以最最先就把这个反比例函数给算出来了，它是一个 x 分 之十， x 分 之十啊，反比零函数搞定。接下来思考一下， y 一， 一般来说是有两个一次函数所构成的啊，并且呢，我们是可以分段的啊， 第一段呢是零到五，第二段呢是五到十。本题呢，要注意一下，这个五的话，应该是取不到的， 因为如果 x 等于五， p 跟 d 重合了，那这个面积呢，也就不存在了，所以这是也是一个小细节啊，这个题就是考的这些小细节啊，能不能去等啊，一些小细节也比较重要， 那我们来分两个方向啊，零到五，那零到五的话，我们看这个 p d 一， 呃，因为 p 点的速度是一，那时间过了 x 过后，这个地方就是 x， 所以 旁边的这个 p d 啊， 还挺好表达的啊，五减 x， 但是，但是啊，现在就有一个但是了，你这个三角形 p d， e 的 面积你需要高，对不对？你如果把 p d 当成底的话，那这个高的话呢， 你就可以做出来这个就是高，但是高不知道怎么求吗？那这个高现在不知道对不对？这个高暂时不知道，但是是可以求的啊，可以求方法很多啊，方法很多， 我们就选等级法啊，我们不选等级法，我们就用相似啊，我们就用相似， 当然也可以用等级法啊，我们可以都讲一下吧。嗯，标个字母啊， e h， 我 们来求 e h， 接下来就思考一下，求 e h 方法一， 那我们可以等级法的话，是 我们可以先把 a d 一 的面积呢求出来，那 s 三角形 a d 一， 它是等于呢？ a e 乘上这个高，也就是四，再除以二等于四的，那同时还等于 就是把 a d 当成 d h 五乘上 e h 除以二，所以 e h 求出来了五分之八。 那还有呢？我们也可以看一下有没有其他方法呢？相似，其实等级就已经很简单了，其实还有相似啊， 我们可以看一下这个三角形 a e h 其实是相似于三角形 a d o， 那 这两个三角形相似，我们就有对应边乘比例了。那我们把我们所要求的这个 e h 啊，如果给他标个问号， 那因为这这个要注意啊，他这个对应一定要对应，他就是错开的，不是平行相似，所以这个问号就应该对应的是就是 e h， 他 对应的应该是 o d， 也就是四， 好，然后，然后斜边呢？然后我们这个小的斜边是二，那大的这个斜边是 a d 就是 五，所以也很容易求出问号，等于五分之八，所以搞定了，所以有很多办法啊，很多办法去求这个高， 所以这个高就是五分之八啊，我们把它这个地方我就保留吧，我就不不查了啊，所以当 x 大 于零，小于五的时候，我们的 y 呢，就等于二分之一乘以底，这个底是多少啊？五减 x， 高呢？是五分之八， 然后对它进行化简，化简就可以， 结果是负五分之四， x 呢？加四 是第一段啊，第一段，那么第二段呢，就是咱们这个 p 点啊， 它运动到这个地方来，我们可以先画一下 p d、 e 呢，现在就是这个样子的。 那这个时候呢，我们的新的底啊，这个 p d 啊，就不再是五减 x 了，而是 x 减五， 那么高呢？还是没有高，对不对？你可以自己做出来，咱们也可以老规矩了，可以是相似，可以是等级，我们就等级等级简单一点，那这个依然 e、 h， 这个时候把谁看做我们要求的三角形呢？ c、 d、 e、 c， d e， 因为 c、 d， e 的 面积是很好求的， c、 d， e 的 面积，它可以等于 c， e 乘上 o， d 除以二，同时还可以等于 c， d 乘上 e、 h， 因为都有除以二，我就不写了。 c、 e 是 四， o d 呢？是，哎，也是四， cd 是 五，那 e、 h 呢？不知道，好简单，五分之十六，所以就是高，就是五分之十六，五分之十六啊，五分之十六， 把它化简一下，等于五分之八， x 减八，所以第一问就出来了。那这个题有一个特点啊，第一问出来过后， 第一问出来过后，后面两个问就特别简单啊，就特别简单，我们只需要画图就可以了。接下来我们就来做第二问啊，那第一问你可以总结一下嘛啊， 咱们把它写成所谓的答题的格式的话， y 一， 你把它写成负五分之四， x 加四，然后呢，第二段，五分之八， x 减八，范围标注清楚。 y 二呢， x 分 之十，范围呢，也标注清楚。这第一问，事实上写在卷面上的话，你就写这个答案就 ok 了啊。第一个问，那么第二个问呢，你首先是要画图的 啊，这里图呢，我就不给同学们去画了啊，注意标空心圈和实心圈 啊，如图。那第二段的话，呃，要写他，写他，你看这个题，他要写 y 一 和 y 二的一条性质，就是不仅要写 y 一， 还要写 y 二，所以还是要先画图吧，也不画图，也也写不了零到四，空心圈， 五斗零，空心圈，还有十斗八也是空心圈，那么这是两条线段连起来， 然后反比例函数 x 分 之十，找一些特殊点，比如说一斗十，二斗五，五斗二，十斗一，当然取不到嘛，空心圈 大致嘛，大致画一下啊， 手有点抖，大概就这样。那我们写它的性质的话，你就也要分段写啊， 当 x 大 于零小于五， y 一 随 x 的 增大而减小， 同学们考试不要写箭头啊，老师是偷个懒，增大而增大，那反比例函数的话，他肯定是递减的。 那那第三问就更简单了，这个第三问就看焦点，咱们这个焦点是在这里，大概啊，我这个图可能没画好六点一啊，或者是六点零，可以允许有误差不超过零点二就可以了。 所以呢，嗯，第三问的话，直接写出啊，他说当 y 一 大于等于 y 二时，那由图可知呢， x 应该是大于等于六点一啊， 小于十的，因为十本身就取不到，所以这个题那重点其实是在这个第一问的，第一问出来，后面几个问就是白给。 所以这个题呢，咱们就通过这种方式，其实是以一个题的形式就把它该剖析的剖析透了。这一个题的对应的方法其实可以用到，所有的这种题的方法绝对都是用得上的，考来考去 就这几个知识点，然后呢注意一些细节，边界值的取舍就可以了。好，同学们，再见。
111小黄老师爱数学（巴南区）
02:34查看AI文稿AI文稿三月二十五号，二零二六年重庆中考数学引导会在巴蜀中学举行。本次引导会明确了二六年中考数学命题的方向， 题型不变，题量还是二十五题，但整体难度略有提升，平均分预控在一百零二分左右，比二五年的平均分提高一分。 第一部分呢，还是选择题啊，共十题。选择题的题型不变，难度小幅提升，不再是纯粹的送分题，更看重对基础概念的一个深度理解。 第二部分是填空题啊，一共六小题，其中第十一题到十四题基本上是送分题，那么十五题开始具备较大难度，很有可能调整为两个空啊，每空两分。那十六题呢？第一空比较简单，第二空为压轴题， 难度很大，计算量也很大，是典型的拉分题。那么第三部分是咱们的解答题部分，从十七题到二十五题，一共九题， 其中基础题以不等式、主化简、求值为主，评分的标准呢，也会更加严格，必须严格按照咱们的教材的标准格式化简，必须化到最简，再带入求时，严防无谓丢分。 那第二十三题为应用题，考察我们的方程思维，要求逻辑清楚，但相对会比较简单，可以作为稳拿分的送分题。最后一道大题是咱们二十五题的几何压轴题。 第一问是考察全等判定、切线性质等基础啊，相对比较简单，基础扎实的同学应该都可以拿下啊。 第二问是需要灵活的添加辅助线，至少两次全等证明，重点考察旋转、平移等几何变化啊，多练辅助线技巧和推理能力。那么第三问还是考察最值，难度高，是典型的拉分点， 中等生尽量不要死磕优生可以尝试啊，攻关克难。那么总体而言 啊，六年的中考的数学啊，题型没有变化，难度呢，略有增加啊，但是呢，家长和考生们 啊，一定要注意啊，六年的数学啊，对细节的要求会更高，对基础知识的考察会更加严格，对计算量较大也要有十足的一个心理准备啊。我们期待我们的孩子们都能够在中考数学上面取得好的成绩啊，谢谢大家！
14SKW |文老师
02:44查看AI文稿AI文稿重庆的中考三班家长们注意了，刚在八十中学结束了二零二六年重庆中考数学会 明确了今年中考数学的核心方向，题型肯定是稳定的，但是难度会微调，应该会平稳过渡。关键气息，我们今天一次来讲清。今年的数学总题量依旧是二十五题，题型的结构是没有变化的， 整体难度会小幅上升。我们官方预判平均分是一百零二分，而与去年可能会微涨一分，整体浮动不大，但细节题的区分度上会明显的提升，大家一定要抓住基础和细节，这就是我们的提分的关键。各板块的重点也是非常清晰的。 选填是拉分题，十到十四题的填空题那是纯基础送分，必须拿满分。 第十五题是原来的原，这个填空题有可能难度会大概率降低，可能是一个空，也可能是两个空，所以说大家一定要做好准备。而第十六题填空题的压轴难点，第一空很容易拉分，而第二空是压轴的难点。解答题，老规矩，做规范和思路。 十七题不懂事主发件求职必须严格按照教材的步骤进行书写化简到最简单式，再进行代入，步骤不规范会直接丢分。二三题是应用题，方程考方程思想 一定要列好式子，这样才容易拿高分。二十四级老规矩还是二次函数哈？二次函数老规矩是三个问，第一问比较简单，求解释。第二问应该是最值问题，第三问应该是核心的倒角的问题，这三个问题继续保持没有大概的变化。二十五题是几何压轴，和去年方向一致， 一万不用加图片。第二问至少证明两次，全等。最后，我们给大家三个核心的备考技巧照做，效率翻倍！第一，要瞄定真题，重点要刷二零二五年所有的相关的中考模拟题，七龙珠的 吃透命题的逻辑比盲目的刷题肯定是更有用。第二，要狠抓规范，不但是组花用求知这些题型， 一定要按照学校的老师给你们的完整的教材版本，守住每一分。第三，专攻压轴我们每一个板块的选择题，最后两题，大题的最后两题，选题的最后两题都是非常重要的，这直接确定你是去直属校 还是去区重点，还是去直属学校分校。所以说，压轴难题一定要记住，能拿分的尽量拿，不能拿的赶快跳过，不要在上面花过多的时间。今年中考数学命脉基本上 已经很清晰了，只要稳扎稳打，就能精准提分。祝各位同学在吃透考点，冲刺高峰的情况下，二零二六年中考数学金榜题名！
02:04查看AI文稿AI文稿纵观这几天召开的二零二六年几大学科的中考监会哈，语文、英语的题型结构调整较大，数学、物理两科略有调整。但是呢，也有一些家长们需要注意的细节， 初三的家长们记得点赞收藏好！首先来说说数学的科目，三月二十五日，八十中学的中考数学教研会也放出了关键信息，整体和二零二五年平稳衔接，总题量还是二十五题，试卷结构直接参考二五零的整体就行。 要注意哈，整体难度小幅上升，平均分预计控制在一百零二分，比去年高一分。选填提成拉分的关键选择题，第十题难度提升，不再是送分题，而我们的填空题，十五题难度可能下调。十六题第二，空是压轴区分点， 简答题要求更严，解，不等式组必须画数轴，而我们的化简求值要画到最简。二十三题呢，应用题固定考方程的思想，二十五题几何压轴第二问，至少正两次的全等细节和步骤规范直接决定分数。我们再来说一下物理， 三月二十日物理的教研会，明确物理总分呢，还是八十分，全是统一卷，不分 a、 b， 难度系数零点七，基础的中档题占百分之七十， 不用怕偏题怪题，但题型直接重构，取消独立作图题，把填空和作图合并成填空作图题。原来的论述计算题改成综合应用题，总题量压缩到十八到二十题，题量减少了，分值分布也清晰了。逆学约百分之三十五是核心拉分板块， 电学百分之三十分值最高，而我们的光学、热学各占百分之十，还有百分之十五的实验探究，外加十分的实验操作，考两次取最高分，这部分啊，一定要牢牢的抓住。 好，那我们来总结一下目前语数英物的备考细节。语文英语夯实基础，作文备好素材。我们的梳理新题型的答题技巧很重要。物理呢，抓合并题型与实验操作。 你的数学呢？扣细节规范和选题的拉分点，全程紧扣教研会的方向，别盲目的去刷题，别过度的焦虑。
277重庆米妈
00:37查看AI文稿AI文稿重庆初三家长紧急看二零二六年中考命题方向，定了平均分，预判一百零二分，这些考点直接定分，一到十题，整体稳中求变，难度微升。十六题压轴直接变难，基础分必须拿满，这是保底的关键。 解答题拼规范，解不等式，组化简求直，步骤不规范，化简不彻底，结果对了也扣分。二十三题，应用题考方程思想，练审题列式就能拿高分。压轴题和去年一致，套路全部都固定了。最后划重点， 优先刷二零二五年中考真题，吃透命题逻辑，比刷模拟题更管用。评论区打真题，给你分享二五年中考真题和评分标准！
37周天聊学习
09:34查看AI文稿AI文稿胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！
3.2万郭嘉老师数学思维
05:59查看AI文稿AI文稿今年这个数学研讨会在三月二十五日刚开完，给今年中考的数学定了一个基本的调，整体来说呢，题型是没有怎么变的， 还是选择题十个？我这边就随便找了一张期末的月考卷，定时训练的卷来讲一下。 选择题还是十个不做改变，填空题这边也是不做改变的，填空题六个，好奇型上面没有变，但是呢，他在一些细节上面做了一些改变，特别是压轴题方向， 需要所有的家长和孩子们去重点关注这个问题。第一个问题就是说的九题，九题明显今年说了在难度上面要增大，在之前的屡次考试中， 整体来说九题的难度不算特别大，就算七龙珠的题型，咱们也可以用比如说间隙的方式去把它解决掉。 好，今年如果要加大，我觉得接下来一个重点方向，第十题的一个要求是难度与去年相当，等于说还是一个常规难度。那么就看去年难度和这几次的一模考试以及七龙珠的 周考卷、月考卷来说，十题的难度不算特别大，基本上你只要认真一点，对于这种偏疏漏一点的题，他是都能做出来的， 所以实体不用太过担心。当然你也必须去保持一个熟练度练习，比如说每周把九题十题练个四五六道，这是必须的。说一下，这个第十五题依旧是考 圆，这个题型文件中说的是有可能改为一个空，如果改为一个空的话，难度就略微的下调，但是他又说也有可能根据难度依然考两个空，那么如果考两个空，第二个空依旧是难点，那么我们复习的时候 还是要以两个空为难度模型去复习它，特别是第二个空，你除了要掌握基本的，比如说全等模型相似模型，你还要掌握一些相当难度的三角函数的一些关系，比如说这个探点体的两角互 补，它们是互为相反数，从而解决一些比较难算的一些问题。 还重要提一点，李老师给你们提一点第十五题圆这个东西，因为作为一个填空题，你需要去掌握一些间隙的技巧，这样的话会省去很多的麻烦， 因为通过间隙你可以直接算出某些值的坐标，好算出来之后直接算就行了，不用太费脑子。这是十五题，十六题跟去年的难度没什么区别， 依旧是第一个空简单，第二个空，如果你时间够的情况下，你请把它算出来，因为第二个空本身难度不是特别大，只是计算复杂， 但是他只有两分，所以说你根据你自己情况来安排，而不是说必须去把它算出来。好其他的题十七十八，这没有什么好说的，二次函数这边给了一个明确的方向。第二问明确是考最值问题，但是最值问题一定会考，包括的比如说将军一马 造桥选址，还有三角形的边长关系等一系列的最值模型，包括胡不归，这些最值模型通通的放在第二问里面，让第二问成为一个既需要思考又需要计算的一个题目。 所以说你们在做二十四题的时候，需要着重的去练习这几个模型。好，再给你提一下，将军引马造桥选址、胡不归三角形的边长关系 都是考在第二问好这里，第三问他其实是有些变懂的。今年明确说了避免用新竞赛方法和一些高中知识。那什么是新竞赛方法和高中知识？比如说特别是这种题型角度关系，他完全可以用 高中知识的倒角公式和夹角公式，以及探间题的和差公式去解决这个问题。假说这个题如果用初中知识去解决，他难度系数为一百分的话， 那么用高中知识去解决他的话，难度可能只有三十分到四十分。但是今年明确说了不准用这种方法要去避免他。他一个出题方向就是可能这种题他不会再考了，可能会考一些 比较新的一些题型，但具体的题型可能要到四月初的一些考试才能出来。你如果现在还不知道 二次函数该去练什么题，你可以先提前关注到李老师，回头题型一出来我就第一时间告诉你啊，这是二次函数的题型。好，接着就是平面几何来说，跟去年难度没有区别， 依旧是第二问，要求二次证明，二次政权等，那么二次政权的其实难度就不是很大了，那难度大的时候需要三三次全等啊。你主要还是要去掌握一些 他的辅助线的一些方式，比如说有中点该怎么挣辅助线，有等腰该怎么去挣辅助线，有角平分线该怎么去做辅助线， 这就是你需要掌握的一些基本技巧。整体来说，今年考试他的这个中考试卷变动不是特别大，有可能比去年还简单一些。 呃，你要想得高分的话，难度上你不能降低，还是照着去年的难度去弄。他除了二十四题二十三数，等到新的题型出来之后，我这边给你做更新，其他的你就照着现有的题型去复习，是完全没有问题的，基本上就这样的。去年我记得 育才的本部线应该是六百七十一分，今年的话可能还会高一点，可能在六百七十五左右，难度会有所降低。如果有家长需要我整理好的文件，可以留言或者加入我的红书群里来领取。我是林老师，在重庆陪你一起成长。
786你好林老师｜重庆初中数学
01:16查看AI文稿AI文稿家长们注意了，二零二六重庆中考数学又要变天了，虽然题量还是不变，但是风向完全变了。选择题已经不再是送分题了，第一道十题的难度小幅度的提升已经成为了拉分的关键， 纯靠死背公式想要拿高分已经变得很困难了，我们一定要吃透概念的本质。 填空题则两级分化，十一到十四题还是纯送分题，十六题的第一空必须拿分，第二空则成为了我们填空题的拉分点。解答题则要求更严格，了解不等式组必须要画出数轴 化简求值必须要画到最简才能够带入式子。同时第二十三题也固定考方程的思想。 几何压轴题的第二问现在至少要证明两次全等整体难度会有略微的提升，平均分预估会在一百零二分左右。如果您现在还在盲目的刷题， 死记硬背，那么我们可以先停下来，重新调整一下我们学习的目标和方向。如果你身边还有不知道这个改革的同学和家长，那么一定要及时将这个视频转发给他们。
01:27查看AI文稿AI文稿二零二六年重庆中考的数学定掉了，今年数学的核心基调就一个字，稳提炼。二十五题仍然不会变化，完全衔接了二零二五年，直接吃透去年的真题就对了，但整体难度略微有提升，平均分会控制在一百零二分，比去年要高一分，拉分点藏在细节里。 选题题的变化一定要盯紧。第一到十题选择，不再是纯纯的送分题了，主要是第十题的难度会略微提升，是选填拉分的核心点，重基础概念的深度理解。 十一到十四题的填空是纯基础，必须零失误拿满分。十六题压轴填空，第一问是要稳拿的，第二空是高分段的分水岭。 解答题评分的标准非常严格，格式错了就丢，分解不等式主必须按教材话术走，化简求精，要化到最简再来代入，代入也是有一分的分值的。二十三题应用题，固定的考察方程思想是稳拿分的题。 二十五题，几何压轴题。第一问一般不用加辅助线，利用条件就能解出来。第二问至少要挣两次，全等证明是冲高分的关键点。 最后我们一起来划重点，不要盲目的刷题，回归教材，抓基础，规范答题的步骤，专攻压轴题的全等真名，吃透二零二五年的真题中考数学，祝大家拿高分！关注尹老师，了解更多升学资讯！
12吴颖聊教育
05:49查看AI文稿AI文稿看一下啊，二零二六年中考数学复习名校之约数学作业二、填空题的十四题压轴题。这是一道关于数的 新定义的题目，数的排列，将一、二、三、四、五一直到三十七，这三十七个连续的整数不重复的填入三十七个空格中， 那么这里怎么个排列法？从左至右，第一个数，第一个数是第二个数的倍数，第一个数与第二个数的倍数，前面三个数又是第四个数的一个倍数，前三十六个数的和需要是 第三十七个数的倍数，那么现在告诉你，第一个格子 已经填入了三十七，那么现在要求填第二个数，第二个格子数，根据前面的要求，那么第一个数必须要是第二个数的 倍数，那么我们三十七进行因数分解，它就等于一乘以三十七，这个在小学中它就是质数啊，质数也叫做，也叫做素数， 那么第二个格子啊，那么如果三十七是第二个格子的一个倍数的话，那么第二个格子只能填一或者三十七，那么三十七填在了第一个格子，那么所以第二个格子只能填入数字为一， 那么第三十七个格子啊，有的人会可能会想，第二格子填什么，第三个格子填什么？去推导这个思路就已经进入误区了啊，这题正确的做法怎么怎么办啊？ 先利用倒序相加法先利用倒序相加法， 因为我们现在只求最后一个格子，这个数我不知道，我们假如设为 m 啊， 那么这个时候我们利用倒数乘法干什么啊？先求出，求出一、加二、加三加四，一直 加到三十七的和，这里这个和我们不知道，我们先假设它和为 s， 那 么这时候什么叫倒数乘法？我们倒过来写啊， 把这个三七写，这三七加三十六，加上三十五，加上三十四，一直加加到一，那么既然倒过来写，那式子没有变，仍然和是 s， 这个时候我们把一式跟二式相加， 那么就得到一加三七是三十八，三加三十五是三十八，三七加一也是三十八，这里总共有 总共有三十七个三十八相加，那就是三十八乘以三十七，那么这里它就等于二 s， 那 么就可以得到这个 s 是 等于十九乘以三十七， 十九乘以三十七，那么这里我们最后一个数，不知道，不知道，我们设为设这个最后一个数为 m， 设填入的这个第三十七个空格的数为 m， 那 么前面三十六个数啊，前面三十六个数 的和，就一定是十九乘以三七减 m， 这是前面三十六个格子的和前面三十六个格子 格子啊，空格前面三三六个空格里面的数之和， 那么这个数啊，根据题目意思，它一定是最后一个格子里面数 m 的 倍数 倍数，那么既然是倍数，一定是可以整除 m 的， 注意，我们设这个 m 啊，这个 m 的 取值范围应该是大于等于一，小于等于三十七的一个整数。 其实这里一和三十七不能取啊，不能取，因为前面这个我们这个 一和三十七已经填过了，那这个 m 只能是一到三十七里面的一个某个数，那么这个时候啊，这个时候 前面这个三十六个格子这个数合适这么多。一既然是最后一个格子 m 的 倍数，那么他一定能整出 m。 整出 m 意味着十九乘以三十七除以 m 减一是整数，负一已经是整数了，那么所以 这个里面这个十九乘以三十七除以 m 一 样的整数，那么十九只能分解成一乘以十九，三十七只能分解成一乘以三十七，那所以这个 m 一 等于十九， m 二 只能等于三十七。三十七前面已经填过了，那只能舍去，所以这里 m 只能等于十九。所以最终这个答案啊，是十九。
10哈哈数学孙
17:34查看AI文稿AI文稿朋友们好，今天开始呢，我们给大家专门更新一个一期，这个 朋友们好，我们的必刷题呢，已经更新完毕了，从今天开始，我们要通知时间专门更新一个专题，这个专题就是陪你中考， 一直陪到你们中考结束啊，我们在中考这个系列里面呢，给大家重点讲那么几道题，就是题目二十二题的二次函数及二十三题的几何压重， 我这里面呢重点给大家分享一些技巧类的东西在这里面的用法。好吧，那我们来看一下今天要分享的这道二十三尺， 在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 等于 a、 c 等腰三角形，并且告诉你 b、 c 是 直角，所以 a、 b、 c 等腰直角三角形点 d 是 bc， 上一点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕着点 a 逆时针旋转九十度，得到线段 a、 e。 其实同学们，你们在读这个话的时候，你应该就想到了，话多了， 对吧，应该就想到刮豆了，旋转嘛，绕着定点旋转，一定一动啊，简单的刮豆，或者是你想到手拉手模型一定出全等关系，对不对？所以这就是做这种题的技巧的东西，你要看你能想到什么，就所谓的识别 看第一问，他说如图一点， d 是 bc 边的中点是连接 c、 e， 然后判断四边形 a、 d， c、 e 的 形状，并说明理由，那很明显它是一个正方形， 对吧？很明显是个正方形，那为什么正方形呢？因为首先你旋转 a、 d 等于 a、 e， 而且你旋转九十度，这是垂直的， b 点是中点，所以这必然也是直角，直角三角形的中间你斜了一半，那也知道 a、 d 等于 c、 d， 对 吧？哎，九十度，九十度同旁内角互补，两只线平行，一组地边平行且相等的四边形是平行，四边形加一个 角是九十度变成矩形，还有一组邻边相等，变成了引线。第一问是非常非常好证明的，他们就不再说了，那我们来看一下第二问，如同二，当点 d 在 线段 bc 上时，关键词连结 d， e 过点 a 作 a， f 垂直于 d， e 于点， f 过点， f 作 f， g 垂直于 d， c 于点 g。 猜想线段 f、 g 和 b、 d 之间的数量关系这边呢，对于绝大部分同学来说也是非常容易得分的啊，因为我们说了，这手拉手模型必然出全等，那我们知道 f、 g 肯定是等于二分之一的 b、 d 的， 为什么呢？因为我们知道 a、 d、 e 是 一个等腰值， abc 也是一个等腰值，所以等腰值和等腰值，手拉手模型 b 出全等嘛。所以三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 e、 c 就 必然是全等的关系。所以这个时候我们考虑连结什么 连接这个 e、 c 啊？连接 e、 c 好， 那全等之后，我们是不是把 b、 d 转换成了 e、 c 了？ b、 d 转换成 e、 c 之后，因为 a、 d、 e 是 一个什么？是一个等腰值，然后 f 点还是一个垂足，所以它必然跟你三角合一，它便是 d、 e 的 中点。然后同理，因为 f、 g 这个是垂直的关系，这个地方也是四十五度，为什么用它？刚才全等，这个是四十五， 那这个地方也是一个直角，所以平行平行，根据平行线分线的成比例，一比一，一比一，所以我们知道这点也是 d、 c 的 中点，那就意味着 g、 f 变成三角形 d、 c、 d 的 中位线，所以 f g 平行且等于二分之一的 e， c， e， c 又等于 b d， 所以 f g 就 等于二分之一的 b， d。 这一面也结束了。好，接下来我们来看这个第三问。这道题最难的点也就在第三问上。第三问要顺利的，首先是画图，画图的过程中， 你要用到挖豆原理的技巧好，当然，如果说你对箱子学的比较好的话，也许用不上它，但是我个人觉得，这么多年在的学生里面， 我跟你讲相似，你就只会在这道题里面听得懂，下次遇到他，你依然是不会。因为你没有一个流水线的操作，你没有一个固定的思考习惯，也没有总结过他，所以绝大部分同学是没有办法去画出图的。 第二个考点就是我们三角函数里面的一些考点啊，给大家一个万能的图，让大家在这个计算里面更简单一点。我们来看一下连接 d， e， 同样是连接 d， e 过点 a 做 e， f 垂直于 d， e， 然后连接 c， f 啊，告诉你， ab 的 长度是二倍的根号二角 f， c， a 的 度数是六十度，请直接写出现一段 b， d 的 长 朋友们，我们来看一看，他说这里面关键一个条件就是 f， c， a 等于六十度， f 在 这， c 点在这， a 点在这。我们先把这个图先以这个图为例， f c 要等于六十度哦，因为 d、 e 在 动，所以 f 点必然也在动。 也就是说，如果我想画出图，我最起码得知道 f 点是怎么动的，或者在哪动吧。所以这个题你看似他不是一个轨迹问题，实际上他本质上就是轨迹问题， 对不对？你不知道 f 点的运动轨迹，你没法画图，你不画图，你就几何图形画不出来，你就再有解题能力，也没有办法，对吧？计算能力再强也没有用。所以这道题说到底是要用什么？ 是要画图的啊？是要用轨迹，把重点轨迹给他找出来，画重点轨迹。我们两种思路来给大家讲。第一种就是我刚才说的老师常讲的相似， 我也给大家讲相似，看你能不能搞明白啊！这个理解起来是非常非常简单的，手拉手必出全等。同学，你要记住，图一里的这个基本图形真正不是给你送分的，这是台阶啊，图二就要用到图一的。所以呢，你看好，我们现在研究 f 点的轨迹，你看我怎么做？ f 点在哪？在 d、 e 的 中点上，对不对？垂直它，然后既然要用到它，那我们直接过点 a， 直接做什么？做这个 b、 c 的 垂线，假如这个垂直的话，标上点 h， 那同学们看好。三角形 a、 b、 h 是 个等腰值，三角形 a、 d、 f 也是个等腰值，而且它绕着四十五度零点的旋转，所以这里面一定会出现手拉手的相似。所以三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 h、 f 是 不是一定是相似的关系， 对吧？ a、 h、 f 一定是相似的关系，为什么相似呢？很简单，因为啊，相对应边乘比例， a、 b 比上 a、 h 是 不是等于 a、 d 比上 af 都等于根号二比一。并且呢，我们知道什么？我们知道这个角是， 呃，这个角四十五度，这个角也是四十五度，中间有公共角，所以四十五减公共角，这两个角相等，所以两组对应边乘比例加也相等，三又相似之后，因为这个角是四十五度，所以这个角是不是也就是四十五度？ 我们知道 h 也是一个定点，然后 h f 还有 a h 的 假角是四十五度，所以 h f 就是 什么？就是一个定定方向的线段啊，这个倾斜角是确定的，因为这个角也是四十五度，所以你就知道了啊， f 点的轨迹实际上呢，就是在 h f 这个方向上运动的， 对吧？啊？ h f 点的轨迹在 h f 这个方向上运动。好了，这就是用相似的方法，我们确定出 f 点的轨迹问题， 对不对？你看看你能不能想到他，如果这道题你没有想到，我现在给你讲了，你听懂了，你要想思第二个问题。第二个问题就是什么？就是我下次再遇到这样的题，我还能不能想到依然是这样去证明他 f 点的轨迹是一条直线呢？ 对吧？假角是一个定值呢？你是不是能想到这样的方法呢？对吧？如果你想不到，你听好。第二种方法，就是我们经常给大家讲个刮豆原理， 刮动原理。好，来我们看一下刮动原理，同样的，我们是来确定动转轨迹的。刮动原理三个条件，第一一定要两动，第二个什么？旋转角是定角， 旋转角是个定角，第三个旋转前后的线段比例关系是个定值，线段比例是个定值。好，我们观察一下我们研究的什么？研究的 f 点的轨迹，那看 f 点是跟谁动的，是跟 d 动，对吧？ 那我们可以看 a d f 这样一个等腰值，你看定点是点 a， 那 就一定就是 a 点，两动就是 d 点和 f 点主从动点，我们知道 d 的 轨迹已经知道是在直线 b、 c 上运动了，对不对？所以 d 的 轨迹是一条直线。那你看旋转角是不是 a、 d 怎么到的？ f 是 不是顺时针旋转了一个四十五度， 对不对？现在比例关系是不是根号二比一，也就是旋转前是 a d， 旋转后是 a、 f， 所以 他满足刮走的三个条件。那既然满足刮走三个条件，我们就设结论。第一个结论是不是主从动点轨迹的一致性， 那就是主动点 d 的 轨迹是一条直线，所以 f 点从动点的轨迹也必然是一条直线，这是第一个结论，第二个结论就是 主在这个。呃，主从点轨迹的夹角是等于旋转角，对不对？旋转角是四十五度，那就主从动点轨迹的夹角，主动点的轨迹是一条直线，从动点的轨迹也是一条直线，这两条直线的夹角是四十五度。四十五度。哎，你看它可以是这样子的四十五度，也可以是这样子的四十五度，所以它究竟是哪一条直线呢？ 那我是不是给大家讲了，到这个时候我们应该找一个特殊点，你比方点 d 走到点 b 的 位置的时候，这个 f 点应该在哪？ f 点是不是就在这个位置， 对不对？点逆找到它的时候， f 点就在这。哦，原来啊，我现在就知道 f 点的轨迹就是这样的，就是这样子， 对吧？哎，连接这两个 f 就是 它的轨迹了，它的夹角一定是四十五度啊，旋转角夹角一定是四十五度。好了，你看，通过刮的原理，我们也能画出 f 的 轨迹，所以接下来问题就简单了，只要你知道 f 的 轨迹，那这个轨迹很好画。来， 你现在要确定什么？来，我们先把先把这个 f 点的轨迹给它画出来，这是一个垂直好，然后我们需要一个四十五度的，你比方说我给他画一个垂直好，就这样了，延长了，这边也给他延长一下好了。 f 点轨迹就在这，就这个上面运动。 现在呢？你说 fca 等于六十度啊， fca 等于六十度，那 f 点在在，要么在这上面，要么在这上面，是不是都有可能，对吧？ fca 六十度， fca 六十度，都有可能啊，都有可能，所以到底该怎么画呢？首先我们得确定 f 点是怎么来的呀？ f 点是 d、 e 的 中点，所以我们看一下 d 点在哪，你想一下那 d 点肯定，呃，当地点在 b 点的时候， f 点是不是在这个上面？ d 点再往这边走， f 点是不是就得下去了？所以你看第一个情况， f 点在这的时候， d 点肯定在这点，那就是我们在 b、 d 的 在 b、 d 的 左侧找一个 d 点，好，我们连接 ad， 连接 ad， 然后将 ad 绕着点 a 顺时针旋转，九十度， 是不应该这个样子，对吧？来，我们再再画一下，好，差不多就这样。然后呢？这个三角形是不就这样子？然后我们连接 d、 e， 好， 这个时候它就是我们要找到 f 点，对吧？ d、 e 的 中点，就是我们要找到 f 点，这是点 d 好 了，三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 e、 g 还是全等的关系，你现在让我求谁？求 b、 d 的 长就求这节的长度，求这节长等于让我求这节的长，是不是好了？ f 点依然是终点啊，你看这个地方是不是垂直？ 他为啥垂直？他好，就是因为这个角是四十五度，这个角是不就一百三十五？他是一百三十五，所以他也是一百三十五，那他是四十五，你说这是不是九十度， 对吧？他是九十度。你让我求的是 g 啊， b、 d 的 长，也就是 g、 c、 e 的 长，也就是 c、 d 的 长，那怎么办呢？你现在告诉我 ab 的 长是二倍的根号二，跟你一比一，比根号二，我们知道了，这个 bc 的 长是不是就是四呀？对不对？ bc 的 长应该是四， 那这是明显是一个直角三角形吗？有三角形 d、 c、 e 是 个直角三角形，然后你要求 b、 d， 我 们不妨设 b、 d 是 x， b、 d 是 x， c、 e 是 不就是 x？ 所以 dc 的 长就是四加 x， c、 e 的 长就是 x。 哎，这两个零边知道了，所以我们这个时候去考虑考虑三角函数，这个时候我们去看还有一个角， f、 c、 e 是 六十度，我们还没用，所以我们把 f、 c 跟它连起来，这个角是不就六十度， 对不对？他是六十度，说明这个角是十五度，没毛病吧？因为 f 点是中点，所以这个角也是十五度。哦，原来啊，要用到十五度的三角函数值，只要用到十五度正切值，这个图是不是就结束了，对不对？好，那我们来看一下十五度的正切值该怎么怎么用呢？别忘了我们当时给大家一个万能的图 面，再画一下啊，三十六十的比方，就这样啊， 把这个十五度的正切值给它标出来，好，就这样吧。啊，这个是三十度，这个是六十度，这个是三十度，这个是六十度，这个是四十五度，这个垂直，这个四十五度，这个七十五度，这个十五度。好了，我们标一下数字，一 二根号三，对吧？然后这是二，这是二倍的根号二，这是一，这是二，这是根号三，所以这个就是根号三加一，这个就是根号三减一。好，我们看到十五度的正切值就是根号三减一，比上根号三加一， 就等于什么呢？等于这个里面的 x 比上四加 x 好 了， x 就 解出来了，对不对？交叉相乘就是根号三加一倍的 x 等于根号三减一倍的 x 加上四倍的根号三减一个四， 好，移过来，那就是根号三加一，减，根号三加一。括号 x 等于四倍的根号三减四。小点小点就是二。 x 等于四倍的根号三减四，所以 x 就 等于二倍的根号三减二。所以我们知道了 b、 d 的 长就等于二倍的根号三减二。那么我可以给大家说一个 大部大概率是对的。答案就是如果说在中考里面你画到这样一个大部大概率是对的，答案就是如果说在中考里面你画到这样一个大不大概率是对的，答案就是如果说在中考里面你画图了，你知道画不出来了， 蒙掉，蒙出。还有第二个答案，就是二倍的根号三加二，百分之九十的把握是对的啊，如果实在不会做，你再去蒙他，如果会做，你去算他。好，好吧，这是第一种情况，我们再来看第二种情况。第二种情况的话就是什么？就是我们把这个图案给它画到上面去，你比方说我给它换个颜色， 换成这个颜色，好吧？换这个颜色，那 f 点此时此刻应该在哪？应该在上面，对吧？ f 点在上面的情况下，是不是应该是？你想一下， 当点 d 走到这的时候， f 点是不是应该在这个位置，对吧？ f 点是 a， 呃， f 点是 d e 的 终点， f 点是 d， e 的 终点，对吧？点 d 走到这的时候，我看啊， d e 点 d 走到这， d， e 应该在哪啊？ d e 点 f 点应该在这啊，说错了，点 d 走到这的时候， d， e 应该在这， 应该是这个样子，对吧？这点 d， 这是 a， e 往这垂直了，所以 f 点应该在这，所以这个时候你看 a c f 或者 c a f c a 是 不是还是等于四十五度的？没按到六十度吧，还没到六十度。也就是说 f 点一定是再往上走的一个地点，一定要往这边走，所以此时此刻地点应该在这一侧， 对吧？啊？地点应该在这一侧，在这个时候呢，我们把它连起来，比方说，这样啊，换个颜色，换个颜色，边框换成这样， 哎，换成这样，对，来，我们再转一下，转个九十度啊，差不多了，再把它连起来，再把它连起来好了。 这是第二种情况。 d 点走到这的时候，那这个点是不是应该是点 e 啊？这个点应该是点 e， 对 吧？ a d e， 然后 f 点是不是应该在这个位置？这就是 f 点？好了，我们要求什么？我们要求的是 b d 的 长， b， d 的 长，是不是这个等于 bc 加 cd 啊， 对不对？ bc 加 cd， 那 bc 的 长度是多少？ bc 的 长度是四，所以我们关键是求 cd cd， 我 们如果是 x 的 话，这里面依然会出现全等。刚才我们用的方法是三角形，这个 a、 b、 a、 d、 b 和三角形 a、 c、 e， 那 这个是 a、 b、 d 和 a、 c、 e， 我 们把 c、 e 给它连起来。 好， c、 e 也连起来了， a、 b、 d 和 a、 c、 e 全等，那就意味着这个角 a、 c、 e 应该是等于角呃，角 a、 c、 e 应该是等于角 a、 b、 d 的， 所以这 a、 b、 d 是 四十五度，那这个角是不是也是四十五？那这个四十五度，这是不是就垂直？ 这验出来了，说明这个角也是直角，要求 cd， 我 们放射 cd 是 x， 对 吧？啊？ cd 是 x， 所以 b、 d 的 长是不是就是四加 x， 那 就意味着 c、 e 的 长也是四加 x， 对 不对？那同样的道理，我们知道角 c、 i、 f c、 a 是 六十度， f c、 a 来 f， c、 a 是 六十度，所以这个角是一个六十度，那因为这个角是一个四十五度，所以这个角是不是十五度，那这个角是不是还是十五度？再用一次十五度的正切值，十五度正切值，根号三 减一，比上根号三加一，就等于 x 比上四加 x， 这回解出来的 x 依然是减，依然是一个二。啊？不是，这个是我看一下，再解一下，再解一下。刚才是， 那就是根号三加一，括号 x 等于一个四倍的根号三减四，加上个根号三减一 x， 所以 就是一过来就是二 x 等于四倍的根号三减四，那 x 等于二倍的根号三减二， x 还是它，只不过我们这回要求的是四加它，这就是二倍的根号三减二，再加一个四，那就是二倍的根号三加二。所以看到了吗？第二个答案，蒙都蒙对。 好吧，所以这道题的难点关键在于跨度，如何把图画出来，确定轨迹才是关键。好吧，那就要讲了，下课。
40火柴数理化
