海淀立体几何

那最后呢，我们来说一下这个导函数这道题啊，导函数这道题我觉得还是非常中规中矩的，其这道题的难点有点是在那个立体几何那块，有点诡异。呃，但是还行吧，来，我们看一下。第一问，我认为大家应该都能，对啊，没有什么问题。 首先呢，我们先把 a 等于一带进去，对吧？带进去得到了这样的一个式子，然后呢，我们再写出他的定域。哦，这里定域必须要写啊，定域写出来了以后是不是该求导了啊？求完导，我们说了，求完一阶导之后要干什么？你去想一想啊，我们说那五个方法 通分啊，因式分解呀，二求二阶导啊，基本不等式啊，都行啊，得到了这样的式子，先通分再因式分解。 那我们一见到图像就很好画了嘛，大家一定要注意啊，千万别给我把这个负二分之三算进去了，因为人家的定域是 x 大 于负一啊，你要找一下你的定域的位置 啊，这是我们比较容易出错的。然后圆函数图像就是这个样子。然后呢，呃，他说 y 等于零，是他的切线，那确实是切线呀，这不是切线吗？ y 零零不就是 x 轴吗？那确实是他的切线，没毛病啊，好，对着呢。好，下一个。 第二问，他说求 f x 的 单调区间，那这个时候呢，我们肯定是先求定域啊，定域在这儿了，一定要写在最显眼的位置， a 大 于。 呃，但前提是什么？这个前提是不是 a 大 于零的时候，它的定域是 a 大 于负的 a 分 之一？如果它小于零，那就不一定了，得小于了，对吧？ 好，那我们就先求一阶导啊，没关系，我们求完一阶导之后，还是一样因式分解，得到这样的一个式子。分子我们是横正的啊，我不管，他打酱油的，我们只看分子就可以了，这是不是零啊？ 这个算出来，他的零点是不就是负的？二 a 分 之二加 a 方啊，你就看一下他们两个谁大谁小，对不对就可以了啊？好，所以说，比如说 a 方的话，那他肯定是一个负数， 为什么呢？因为父母是负的，分子是正的啊，所以呢，我们就得到了图像是长这样子的。但是现在问题是，这个负 a 分 之一又在哪里呢？我们不是很确定，对吧？啊？那你就假设让他们两个相等，然后减一下这个方程，算出来 a 等于零， 也就是说 a 等于零的时候呢，他们两个是重合的，那如果 a 大 于零呢？那他这个就是大一点，你们可以算一下啊。 好，所以呢，我们的这负 a 分 之一就在这个位置，那负 a 分 之一在这个位置，我们定域是不是整个取这个，所以它的图像就是先减后增的一个图像。那单调性你就自己写吧， 负 a 分 之一到零上单减，零到正无穷上单增，但前提是 a 大 于零的时候，对吧？那我们再写 a 等于零的时候， a 等于零的时候呢？它俩是重合的，那它俩是重合的是什么意思？是不就是我们的负 a 分 之一是不是在这啊？ 啊？那是不是还是先减后增啊？是不跟刚才那个是一样的？行，好再来。那如果 a 小 于零呢？注意这块定域是改变的啊，定域变了，他要小于负 a 分 之一了，也就是说我们取的是这个部分， 而负 a 分 之一是呃，正数，他肯定是比零大的嘛。所以呢，整个就是在负无穷到零上单调递增，然后零到 负一分之一上单调递减啊。综上所述一些是不是很清楚啊？非常简单的一道题啊。好，我们来看一下最后一本啊。 这个题其实也不是很复杂，就说 g x 等于 x 乘以 f x 是 否存在极值，那我们考虑一下，那你说老常规方法怎么做呢？就是给他求进呃，带进去，然后求导。哎，这个求导其实有点麻烦啊，因为，呃，很复杂很复杂， 那我们就要想一想啊，既然是这样，我能不能用第二问的思路去解决我们第三问的问题，起码能帮助上一部分吧。好，那我怎么就怎么去思考，那咱们就不展开就好了啊，方法就是不展开，给他做成一个整体去做就好了。 比如说啊，我们 a 大 于等于零的时候，咱们刚才是不是画出来原图像是这样的，那么原图像是这样的，那么在现在再给他乘了个什么？乘了个 x， 你 说老师，这个我不太清楚啊。那没办，没事没事，我们说了不展开求导就是这样，求导 就是前导后不导，加上前不导后导，那我们这个 g x 求导下来是不就是这个样子的？好，求出来是这个样子。你先挨个判断，首先我们一部分一部分判断，因为它单调性不一样啊， 比如说他在 a 加零的时候，在负 a 分 之一到零的时候，就是这个部分。我们的原函数呢？应这是零啊，这就是那个 x 轴啊，原函数呢？这个位置是正的， f x 是 正的，对不对？好，那么咱们的去导函数是单调递减的嘛？所以说导函数是不是就是负的 x 呢？是不是也是负的？什么意思呢？就是说这里是负的，这里是正的啊，那不就负负得正，正加正，那是不也正的呀？ 啊，所以整个一阶导就是正数，那一阶导是正数，那原函数是不是在这个范围里面单调递增啊？ 单调递增有没有零点？没有吧。啊，好，继续，那这个也是一样的，零到正无穷也是一样的。零到正无穷这块是正的， 正的，这也是正的，这也是正的，那肯定就都正了嘛，是吧？也就是说，其实我们这个函数 g、 x， 呃，在定域上都是单调递增的啊。单调递增是有没有极值点？没有极值点， 没有极值点啊。行，那你说老师还有还有 a 小 于零的时候呢？ a 小 于零的时候是不是也是一样的？原图我们刚才是不是已经画过了？在这呢啊？ 看一下就行了，所以动手画图还是很重要的啊，还是一样分类讨论吧。这边从负无穷到零的时候，他整个这，这是 x 轴啊，同志们，这是 x 轴啊，他是一个负数 啊，原函数是一个负数， x 是 一个负数，那么整个人是单调递增的，所以一阶导是一个正数，对吧？啊，这是一个正数，这是一个负数，这也是一个负数。一个负数加上一个负数，那肯定是不是还是个负数，所以他在这个零到正无穷上是单调递减的， 那同理呢，这边也是一样的，这个函数他单调递减，他是一个负数，函数呢，他是一个正数，这也是一个负数，所以还是负数加负数。这个 e 界的就是一个负数，所以整个人单调递减。那整个人单调递减哪有极值啊？没有极值，所以说就不存在。 好，那么这道题我们就说完了。其实这种题型，呃，你只要把图像给老师画清楚了，思路还是很明。

海淀区高三数学一模的填充压轴体，用一招就能解决化立体为平面这道填充压轴虽然还是一个立体几何为背景的问题，但是呢，考察起来里面出现了这种坐标系这种函数关系，或者说曲线空间的曲线方程， 并且还带着不等号，让很多同学觉得这个跟我们平时做的那种立体几何中动态问题不太一样了，好像我们平时用的这种纯几何法不知道咋用，用空间向量也不知道咋处理，弄得自己很混乱。其实我告诉大家， 所有的立体几何问题，我们就用一招就能解决化立体为平面，因为我们知道立体它是很复杂，是三维的，而我们只要把立体的都把它转化为 平面的问题，那一定会很简单，因为平面的我们都很熟悉，哪怕他是一个咱们根本没学过的空间的一个什么曲线方程，可能是个曲面方程，那么也没关系。来，我们先把这个题目背景简单了解一下，这是一个棱长为二的一个正方体， 以底面的中心和以及跟个棱相平行的三个方向建立了这样的一个空间的直角坐标系， 说正方体的表面以及它内部的所有点当中，同时还满足这个集合 t 的 这样的这个点叫做 w。 那 我们看，首先这些点都在 omega 内，就是在正方体的表面或者内部。其次满足方程，或者说这个不等式，这个不等式看起来很复杂 是吧？但是没关系，我们可以把它分拆出来去研究它怎么去研究的具体选项跟大家说。首先圈一，这是个傻瓜问题，你但凡会带点去处理，就会发现，只要把一一三个点咱们带到这个式子里面，就会发现，一的平方加上一的平方是等于二， 显然这个二是大于 z 这个一，所以这个肯定是不符合要求的。好，接下来从第二个开始，我们就开始去分拆了。第二个是 w 背这个平面， a 撇、 b 撇、 c 撇 d 撇所结的结面面积是四，这就告诉我们，我们研究的不是这个什么不等式。 ok， 就是 一个结面，什么结面？上表面只研究上表面，而上表面根据这个坐标的原点， o 在 下表面中心，那么他到上表面中心，这个 o 撇的距离就是二，所以也就是 z 等于二的这个面上。 那么这个面咱们首先把这个面单独拿出来，那就是画一个边长为二的这样的一个正方形，我们看看 在这个面上符合题的点是什么样的，这个面上符合题的点是什么样的。那我们会发现，当我们写出 z 等于二以后，这个题目就已经变得很简单了，他已经这个符合要求，变成了 x 方加 y 方小于等于二。 同时在这里面这个不等式很复杂，我们看到不等找相等，我们只要研究一下这个 x 方加 y 方等于二是什么， 那显然它是个圆，是不是在这个平面内，咱们把这个 x、 o、 y 这个平面投影到这个平面内，那就是建立一个这样的一个坐标系，是吧？这个坐标系圆点在这个正方形的 中心一栏，在这个正方形中心大概是这样，那么这个时候我们发现这个 x 方加 y 方等于二，它就是个圆，这个圆它的这个圆心是这个圆点半径是刚好，那就应该是刚刚好是 正方形的外接圆，说明这个正方形上的所有点都满足这个 x 方加 y 方小于等于二， 那也就说这个时候实际结的的，因为这个点还要在正方形的表面及其内部，那这样在这个面上实际结的的就是正方形整个上表面这个正方形，那它面积就是四，所以通过分拆下来单独研究这个 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇，我们就轻松搞定它了。 那么至此，作为一道填空亚洲题，大家都知道咱们填空亚洲题，这是个不定项选择题，对不对？如果说你觉得后面的这个两万自己觉得还挺难，是吧？你没有信心，那你把这个二选上，后面咱不看了， 可以先把这两份拿到手。 ok， 当然如果我们要追求满分的同学，我们接下来研究研究三和四怎么去想它三和四需要我们换一个角度，研究这个里面的画立体为平面什么样的角度，因为他也要研究整个 w 图形上的一个规律， 那我们必须正视这个 x 方加 y 方小于等于 z 怎么回事？ ok， 那 在这里面同样看到不等找相等，我们主要是研究它表面 x 方加 y 方等于 z 方等于 z， 不是 等于 z 方，这个东西怎么研究？我们三维的曲线没学过，但是没关系， 根据我们刚刚在 q 二中的分析，其实每个面内每个面内研究 x 方加 y 方小于等于 z， 我 们要研究的其实就是是多大一个圆， 咱们在这个正方体当中每个面去切一刀去找他，在这个面里面，大家看最上面这个面，这个圆比正方形大，我们可以想象一下，如果这个 z 比二来的小，那么这个圆他可能的情况无非大概是这样的， 截正方形的一部分，那这个截的的图形比较复杂，是一个有边有直的，有圆弧的这种情况。而这个圆如果比较小一点，那可能就是一个完整的圆，只要这个圆的半径 小于等于一，就是一个完整的圆，对不对？那所以这个圆它的半径多大，就决定了我们这个题目的分析的关键。那我这个圆的半径多大？有的人说这个怎么去做呢？我没见过这种 x、 y、 z 的， 没关系复杂情况就仍然分拆，怎么分拆？既然是个圆， 那么就意味着这个半径在哪都相等，那么为什么非得要看 x 方加 y 方？我直接令这个 y 等于零， 是不是？其实就是在 x、 o、 z 这个平面内去研究 x 和 z 的 关系，那是不是就是 x 方小于等于 z， 同样看到不等角相等，那其实就是 z 等于 x 方这个二次函数，这个跟它相交对不对？ 所以大家想象一下，当这个 z 比较小的时候，它这个在 x、 o、 z 这个平面内就是一个完整的这样的一个抛物线， 当然随着它有点大，它外面就不一样了。那怎么看呢？同样我们就取 x、 o、 z 这个平面来，各位看，我画一个这样的二函数来，我看看是不是这样大家看起来更清楚。好，这个是 z 轴，这个是 x 轴， 这条线就是 z 等于 x 方。 ok， 那 大家可以看到，在这里面，当这个 z 小 于一，大于等于零的时候，这条抛物线是这样的， 也就此时它在正方体的内部截得的就是一系列半截式，这么大是多少？其实就是根号 z， 大家能看出这就是半径为根号 z 的 圆。注意，当这个 z 大 于等于一，由于这个正方体它是有范围的给它陷住了，所以大于等于一的时候，根据不同的位置， 如果是最中间的，比如说 y、 o、 z 这个面内，最中间这部分就是各个侧面的正中间，这个时候它就是被边缘给陷住了。在其他的位置，根据这个位置离中心轴的距离不同，它们跟边界碰到的位置不一样， 但是最多最多到根号二这个地方。当这个 x 等于根号，这个时候， z 等于二，也就都是这样的。所以在这里面它形成的某一个面，比如说我现在这个就是 x、 o、 z 这个面内，它的最表面的最边缘就是红色的抛物线 和蓝色的竖线围成的部分，我们就研究最小的这一部分就够了，这是最小那部分，更大的还可以往外再扩充，随着他离他的边缘的远近，其中最大的就是我等于根号位置是对角面，抛物线能完全走到底，一直走到这个位置，是吧？ 那拿着这个我们就可以分析三和四了，为什么大家看三和四其实都是跟一个切面是圆来进行比较，大家体会一下。在这个里面，三这个体积大于三分之四派。各位，显然这个三分之四派是对我们的一个善意的提醒， 对不对？同学们，你做这个题目的时候有没有看到三分之派，三分之四派这个数字是有特殊意义的对不对？它就是一个半径等于一的球体的体积，对不对？三分之四 pi r 的 立方， 所以他就问的这个 w 的 体积和一个半径为一的球体的体积比较， 那么同样我们在 x o z 这个平面内，那这个时候就不看球了，就看圆，是不是大家会发现我们以零逗号一为圆心，这个角 o 两撇是吧？以一为半径画一个圆， 那大家可以看到我们不考虑其他地方，我就把这部分如果绕着中间这个轴，这个 c 轴去转一圈，是不是我们可以就可以看出它的体积和这个球体的体积的大小？ ok， 那 大家可以看到这部分当中，咱们在正方体内围成的部分，在下边红色的这个抛物线比这个圆少了这些，对不对？但是上边咱们这个部分比这个圆多了这些， 而我们知道这个绿色的部分是等于这部分的，显然他比这个粉色的阴影来的大，所以光这部分转一圈，我们就不考虑其他地方，那么得到的体积就已经比这个球体的体积来的大了，那何况他边上还有更多的空间， 所以这样一来结合就用 x o z 这个平面，我们就可以分析出来，它一定是大于它的。你看这个就是画立体位平面，我们只要用 x o z 这个平面，在这个平面内找它的边缘部分去看就看懂了。好，第四个 w 表面上的点到这个的距离的最小十一，我们也看，最可能有最小的这样的一个面，就还是这个 x o z 这个面对不对？那么这个面内显然到零零一就是这个 o 两撇 距离，那大家可以看到下面这部分的抛物线是在这个圆的内部的，那么他到 o 撇的距离肯定是小于一的，所以最小值肯定是小于一， ok。 当然这部分如果我们要去计算去看也不难，抛物线一点证明这一点到 中坐标 z 坐标是一的这个点的距离是吧？那大家写出这个圆的方程跟这个点的距离去比较，把抛物线带进去行了。但是由于我们这图画的很清楚，看直接看就看出来了，所以大家可以看出来，在这道题目当中，我们符合要求的符合题的应该是二和三， 这个一和四是错的，所以大家可以看这样一道题目，他考的确实是非常有新意的。总结一下，如果碰到立体几何的问题， 你觉得空间的不好处理怎么办？分拆成平面的处理，哪怕是它是三维的 一个方程或者不等式，这样的问题也一样。三个字母太难处理了，咱们丢掉一个字母，只研究另外两个字母，那另外两个字母所在的就是一个平面， 所以这道题的三四两小问我都只用这一个平面， x、 o、 z 这个平面就全部解决了， ok。

空间感强的孩子，数学都强的可怕，圆形变成圆锥，菱形变成四棱柱，六角形变成六棱柱，从点到线到面再到立体图形的过程就跟在脑海里 变膜一样。国际幼儿园都在用这套积木来培养孩子的空间思维。除了立体空间，相应的边角关系也能通过积木学习到动手的过程，也能直观感受到立体结构。以后学习几何的时候就跟玩似的，会容易很多。

要不是我闺女跟我说呀，我都想不到海淀公立园也有这个几何建构。积木这玩意可太好玩了，简直就是数学几何教具的天天版呀！孩子一边插积木，一边就把点线面还有平面图形、立体图形给搞明白了， 脑子里也会慢慢有了空间的概念。每个小球上都标有角度，不知不觉还能把边角关系给吃透了，就用小球和小棍搭一搭。那些复杂的数学几何知识一下子就变得特直观。小学常考的火柴棒，题型都不在话下，质感都超好，还送了拼答手册，家里孩子两到十岁的都可以整一套，以后数学几何这块真的就省心多了！

考前一百题，今天咱们看一下这个武汉三调这个立体几何题，它呢是区别于咱们传统的方法，传统方法呢，一般是立体几何法还有一个间隙法，那么这里呢，咱们选用的一个方法是基底法， 那么已知体部中的条件，那这样咱可以把边长给它标注一下，那根据边长哎度这个已知，因为它的棱长都是已知的，这样呢，咱可以通过 这个解三角形的问题，通过娓娓娓理把它的夹角求出来。但是这里呢，怎么几何法和这个解析法都不是很好做，所以这里咱们就选用 p p b 以及 pc 作为基点，因为他们的夹角是已知的勾三。 所以第一位咱们在求 m n 的 时候，需要通过 m n 所在的三角形，比如说三角形 p m n 来做，那么要解决 m n 的 话，那首先我要求出来 pm 以及 pm 的 长度，因为 b p c 可以 通过预先定义做，所以呢咱们通过观察可以分别求出 a p m b， p c 以及 a p c 它的共三值，那么进而可以得到在直角三角形 p a m 以及直角三角形 p n 里求出 p m 以及 p n 的 长度， 然后转化到三角形 p m n 里面，利用余弦定底，就可以得到 m a 方等于 p m 方加平方减去二倍的 p m 乘 p n 再乘口三角 b p c。 那 么再看第二问，求三棱锥体积的话，那么咱需要还是回到咱们之前讲过的体积问题哎，它的具体的一些方法， 割补法等体积法哎，体积比例也有比例转化以及间隙公式，那么刚才这个题呢，它间隙肯定是做不了，那么第二个体积，这个等比例法，通过转顶的一形式啊，它也无法转出来，因为它的底面积，包括它的高都不是好求的，所以这里咱会想到一个体积比例，因为在这里知道这个 p a m n， 它的体积好求，那么根据小的三棱锥的体积与大的三棱锥的体积比值，那这样式呢，就可以得到它们之间的体积关系，因为这个体积呢，它就等于三分之一底面积 a m n 乘以高撇。 那么根据第一问，咱们求的这个口三值，就可以利用哎他们边长之间的关系，求得这个小的三棱锥的体积。 所以说这个小体积，小三角形的体积和大三角形的体积啊，咱们就可以通过它们之间的关系，其实就是底面积之比，变成了三角形 p m a 与三角形 p b， c 之间的关系，再代入咱们的面积公式，这样就可以求出来。哎，它的题第三题呢，它这个题啊，这个求解法向量的方法还是用基底法，一旦涉及到面的话，那肯定是要求它的法向量，所以咱们这里设这个平面 p a b 的 法向量， 那因为这里没有坐标嘛，咱就写成 x 倍的 pa 加 y 倍的 pb 加 z 倍的 pc， 因为这是一组基底，还是根据咱们求法向量的方法，法向量乘以 面中的两个向量等于零，求得法向量。当然了，你在这里，因为它有一个 pa 垂直于底的关系，你也通过题目中找寻它的条件，进而得到一个直角坐标系也可以。 那通过题目中啊，这个 a m 等于 m n， 这样咱可以通过这个呃， a n 的 这个中点作为圆点， 进而建立一个坐标系，哎，写着坐标啊，它可以也可以解决，所以说咱们回头来看这个题目，它就是处在这个题纲里的某一个方法，所以说你现在要做的一个事情就是把你的方法一定要体系化， 这样在面对一些比较陌生的题目的时候，这样就不会出现没有思路的情况，你学会了吗？

例题，几何大题，暴力间隙、巧间隙不见隙，您都会了吗？这个题目推荐大家学一下，这是才考的温州二模的第一个大题，这第一个大题就要把 基础偏差的学生有的就排出了，特别是第二位，第二位倒是送分的了吗？因为他如果不知道间隙早点的话，就可能会卡住。我们就来分析下思路。 第一个如图，三菱锥， a， b， c， d， b， c 垂直于 b， d， 再有个垂直对吧？ a、 d 垂直于 b， d， a， d 垂直于 b， d， b， c 等于根号啊， 然后 b、 d 等于 e， a， d 等于 e， e、 f 分 别是中点，这证明它垂直有中点，取中点只需要取这个中点，很明显，定位搞定，只需要说明线面垂，线线垂直则线面垂直，所以第一个叫有中点取中点，具体规范过程 去写了，我们来分析。第二问，他说的是当 d， a、 b、 c 这个夹角为四分之派时，求二面角 b， a、 c， d， 很多人就找不到三垂直，找不到三垂直，我们找叫暴力间隙。咱们先分析下思路一，第二问的这思路一 就是我们的暴力间隙，其实它也很好做的，只是我们有的想不到，对吧？在暴力间隙，我们只需要设这个为 x 轴，这个为 y 轴， 这个垂直拉上来为 z 轴，所以你看 b、 d， c 的 坐标是好找的，后面就有 a、 b、 c。 首先这个暴力间隙 b 点， d 点， c 点坐标，知道关键就求 a 点，不会的情况下，主要就是射 a 点为三个字母 m， n， p， 对 吧？但是这个暴力间隙计算复杂了，我们找哎 y 走，这是不告诉了垂直的啦，所以这要优化为，要不然你就会陷入计算，这就是优化 a 点要变成了 m， e， d， 再根据这个夹角带进去把，这就可以把呃，这个 d， a， b， c 带进去，就可以把这 m 和 p 算起来了，对吧？所以这样就可以算 m 与 p 已知，那么就搞定了。后面就是常规操作，你自己写啊，不难的，这就暴力间隙要优化，特别是为什么这个 纵坐标为，因为在告诉垂直，如果你不用这个再慢慢写，就增大了计算量，所以在就是是否计算量大，就是在这个地方计算量大，优化的地方。好，下面我们又来分析。四、乱 丝乱巧间隙则是一面直线所形成的角，求它的方法。我们常常是平移，所以则只需要平移，那么我们则下面又刚好是垂直的嘛，所以再做一条平行四四边形连起来 好，比如再标一个 h 点，所以你看这个平移，这个加角就为多少度？四十五度，而这个边是根号二，这个为一，很明显余弦定律只要算出来也是一对吧，一根号，所以等腰直角三角形 是不是就九十度了？而 b， d 是 垂直于平面这个 d， h， a 的， 所以只需要在 d h， a 找一个点，这个取它的终点，这就是 h 轴，这就是我们的 转换出来就是常规的间隙，这个巧间隙则就好理解了，关键前面的转换上能不能理解转换就意面直线则做辅助线做 d 做平行，四面线做 dh， 平行于 bc， 平行且等于 bc， 这就是思路二的关键，所以你看后面也是常规操作，你还是自己规范下去书写就行了，对吧？规范书写，这就是第二种。好，我们来讲第三种，这是很多，这适合尖子声音听一下。 思路三，第三种就是不见隙，但不见隙本质还是间隙，因为间隙是特殊的三个垂直，但我们间隙的本质一开始学的是极点法， 你看你看它角度都告诉了，我们只需要设 bc 向量等于 a 向量，这个 b， d 向量等于 b 向量，然后 d， a 向量等于 c 向量。加角知道的对吧？三个的加角都知道，加角都知道，我们就可以用这个基底表示就行了。所以主要是推荐 u 声自己做一下念，我们只要计算量有点大，第三位的计算量计算量 比前两种大，但 u 声的念， 因为高考我们不一定会间隙对吧？不一定真的好间隙，那么遇到不好间隙的，我们集体化，你平时练透了，高考才有优势。所以这个题就跟大家分享三种思路，暴力间隙、巧间隙，不见隙就是我们本质的集体化。 三种方法都可以往下做。后面就是最后讲一下，求二面角的正弦值。我们设这个为 theta， 你 算出 cosine theta， 最终要转换成 cosine theta 是 等于根号下移减 cosine 平方 theta， 这就是整个题的思路。

北京四中这道几宗题难住不少学霸，但其实他是老题新编，各位学生如果对于他的这个题目了解的比较清楚的话，你会发现他和我们之前考试的一道题是一样的， 大家可以看一下，就是我们旁边的这道题，这道题是去年海淀的一模考试题，那我们此时把这个图形呢进行一个小小的旋转，大家会发现这两道题他的思路，做题的方法以及考试的内容几乎一致，只不过在条件的描述和设计上，然后呢进行了更改， 题目告诉我们 a、 b、 c 它是一个等腰直角三角形，嗯，这是一个非常关键的条件大前提，影响我们考试的一个大方向，对吧？然后告诉我们 c、 d 这个角呢是阿尔法，那我们就可以去标角了，隔壁这个角呢应该就四十五度，减去一个阿尔法，这个角呢就是四十五度。 b f 平分角， a、 b、 c 这个角呢也是四十五度，这个角呢也是四十五度。这道题里边的四十度角度会比较多， e 是 a、 d 的 中点， 这里边呢大家一定要注意，因为这个 d 是 bc 上的一个动点， e 是 呃 a、 d 上的中点，所以很多人会容易忽略啊，就是这里面依旧是一个 直角三角形，所以斜边中线呢，我们依旧要快速的想到才行，这也是我们做题的时候容易被其他条件干扰的一个东西。好，第一问问我们这个角 b、 f、 e 的 一个大小， b、 f、 e 呢？它在哪？它在这这个角度，我们通过标角之后发现，直接利用三角形内角和咱们可以直接把这个 b、 f、 e 给它给求出来，应该是九十度加上一个阿尔法。好，那这里边呢，还有一个内容啊，就是在这 过点 e 做 a、 d 的 一个垂线，交 a、 c 于点 g 啊，这一点呢是 g， 这个呢是垂直的， 大家要注意就是我们要在第一问的时候求出一些边角的信息，很多时候呢要在第二问当中去使用， 那我们呢一定要去想一下它如何去用，当我们思路受阻的时候，一定要合理的，一定要快速想到将两个小问能否联系到一块去思考这个问题。当然了，有些题是没有联系的，有些题呢它的联系性会比较强。下一问呢，它说的是探究 b、 f、 c、 d 和 c、 g 之间的数量关系。我们来看一下 b、 f 在 这， cd 在 这， cd 在 这，我们探讨这三边的关系，你会发现呢，也不太好想这三个边，在这里边他有一个边是围绕着四十五度展开的，那此时呢，我们会发现 cd 边他应该是作为最长的，所以很多学生呢，应该能快速的想到 通过点 d 做一个 a、 c 的 一个垂线，那大概是这样子的，咱们假设这个点是 h， 对 吧？那这样的一个情况下呢，我们会发现思路就很清晰了。嗯，你会发现这个 g、 h 这条边和 b、 f 这条边呢应该是相等的，我们怎么去证明它们俩是相等的呢？ 此时我们把这个 d、 h 做出来之后，你会发现一个非常有意思的现象，也是在这两年考的比较多的一个内容，叫做共斜边的双直角三角形， 这个呢是九十度，这个呢也是九十度，这是他们的斜边， e 是 他的中点，所以我们就能想到，嗯，你两个共斜边的双 r t 三角形，我们要去找他的斜边中线连完了之后，我们现在呢，可以感知就是能否正出来这个 b f 所在的 这条边所在的三角形和 gh 这条边所在的三角形是全等的，那也就是说这样的两个三角形全等 只要两三零全等之后种出来，我们这道题其实就已经结束了。这么画出来之后呢，大家会发现这个思路还是蛮清晰的，对吧？我们来看一下这个条件是否成立。首先第一个就是 e b， 他 一定是等于我们所谓的 e h 的， 对吧？这一条边等于这一条边。其次 这一个角它应该是等于，呃，因为是一个等腰三角形，对吧？ a e b， 所以 它应该等于九十度减去二倍的阿尔法，这个角它也是等腰三角形的一个外角啊，应该是这样的，对吧？ 所以呢，它应该是二倍的阿尔法啊，它应该是二倍的阿尔法，所以我们会发现这个角呢，它也是九十度，进而我们就能得到。假设，这个呢是角一，这个呢是角二，这个呢是角三， 所以角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，那么角一就等于角三。第二个条件咱们也就出来了，是角 b e f 等于角 h e g。 其次我们会发现，在第一问的时候，我们得到的这个角是九十度加上一个阿尔法，同理我们可以得到这个角应该是九十度减去一个阿尔法，进而可以推出这个角呢，应该也是九十度加上一个阿尔法，所以角 e f b 就 等于角 e g h 那三个条件，两个角加一条边，它必然是全等的，我们就能得到三角形 e b， f 就 全等于三角形 e h g 啊，进而呢，我们就可以推出来 b f 就 等于 g h， 所以 这道题的结论就是 c g， 它应该等于二分之根二倍的 d c 加上一个 b f， 这是我们这道题的一个结论。 所以大家在做题的时候呢，一定要注意把它整理清楚，我们的做题的方法和做题的技巧才是最核心的，尤其像加州体，可以把一道题或者说一些好题反复的拿过来做，不停的去做新题，有些时候呢是容易打乱咱们的思考的 呃方法的，或者说容易打乱我们方法论的使用的，这样的话呢，反而就是因为题多而让自己的方法不是很明确，导致自己对于方法的一个使用的熟练度呀，以及对于方法的一个明确呀，都会有所下降。有学习问题私信咨询。

还有二十天一模考试几宗却没思路，今天教会你如何通过条件快速构造全等手拉手构造的常见的三个方法，大家一定要弄清楚。 换句话来说，我们从头开始去思考的话，手拉手模型的核心，它是由两个等腰三角形绕着其顶角或者说顶角点旋转产生的一个特殊的全等状态。 所以我们再去构造手拉手的时候呢，本质上是在构造第二个等腰三角形，或者说构造等腰三角形，因为当你有两个等腰三角形，此时你才能出手拉手， 这里边大家一定要注意，那我们在平时做题的时候，你就需要去想一想，哪些条件可以给你带来等腰，这个呢就是我们所谓的手拉手构造的核心方法了。 有第一个方法呢，是我们在一开始讲解的内容叫做特殊角度构造特殊图形，各位如果给你六度， 给你四十五度，这个时候呢，你一定能想到六度构造出等边，四十五度构造出等腰值，那么你构造出等边和构造出等腰值该怎么用，对吧？第一个用法就是利用等边和等腰值这个特殊图形的性质，辅助你倒边倒角解决问题。 好，此时我是没有放在手拉手当中的，对吧？那你利用了等边和等腰值这两个特殊的性质，辅助你去倒边倒角，你没有解决问题的话，你接下来你就要去想一想，或者说你脑子里要有第二个思路，就是他有没有和题中的其他的等边和等腰值联系到一块。 我现在自己构造了一个等腰直，题目中还有一个等腰直，这个时候咱们手想的一定是手拉手模型，这是第一个构造方法，第二个构造方法呢是三线合一，我一般称之为其为垂直倍长， 什么意思呢？就是有一个直角三角形啊，有一个直角三角形，那么我们会发现他这个时候呢，俩直角边，你随便倍长一个直角边，对不对？他就能形成一个等腰三角形， 对不对？这个呢是二零二三年北京中考的考法，所以我们这两年遇到了很多在利用直角三角形的呃，一条边进行备长，构造出等腰，然后出啥时候解决问题的原因也在找， 这个方法你也必须要掌握。第三个其实对于我们来说呢，都比较熟悉，不是，我现在呢有一个点，然后呢，这里面有一条线，假设这是 o， 这是 a， 我 o a 绕着这个点 o 旋转到 b 这个位置，各位，他只要旋转了，这个时候等腰就已经出来了， 对吧？ o a b， 它就是一个隐藏的等腰三角形，所以呢，你可以在这个顶点 o 处找一找它有没有其他的边，然后你让其他的边呢也旋转同样的角度，这个时候呢，你的手拉手就就就出来了， 所以啊，所以我们我们再去解决这个手拉手的问题啊。你首先你要先清楚哪些可以构造出等腰，这是我们常见的，也是限阶段常考的一些内容， 题目中说使 d j 等于 a d。 好， 各位，我们看到一个边相等，你能想到什么？看到边等，我们能想到两个内容，第一个，他是否会出特殊图形， 特殊图形根据边等，咱们可以去导边导角，这样的话呢，可以在几何当中去解决很多问题。第二个边等能否出全等， 对不对？因为边等，如果说这两个边构造一个和你一样的三角形，咱俩就全等了， 这个是一个很重要的一个内容，大家一定要注意。好，那我们来瞅一下啊，题目中的 d j 等于 a d 做完了之后呢，我不知道你自己有没有这样的一个感受，你在这个地方你是其实是需要注意的，它里面有一个隐藏的三角形，是谁呢？等腰值 a d g 等腰直角三角形 a d g， 它通过这样的一个说法描绘出了这样的一个三角形， 对吧？那我要是想解决这样的一个问题，我就可以通过这样的一个角度去思考，换句话来说， d j 旋转九十度到了 d a 这个位置，对吧？然后呢，接下来他又说了 d j， c f 和 af 之间的一个数量关系，那我们这里还知道什么？这个 f 角应该是四十五度，因为这个角是四十五度，这个地方是垂直的，对吧？ f b e 是 一个等值，那我怎么去解决这样的一个问题， 是不是？所以在这里边我们去思考的时候呢？就会想到，你会发现啊，你会发现三角形 a d j， 它已经给我们一个非常 大的提示了，有一个旋转九十度，有一个边等，对不对？它这边有一个等号值，所以我在读到这个题目当中，我一开始如果说是比较迷茫的话，那我首先想的是在 d 处看一看是否会存在第二个等号值 啊？在 d 处是否会存在第二个多少值？好了，各位，你会发现，此时呢，你再借助第一问的一个条件，你会发现这道题好像也就呼之欲出了 啊，为什么这么说呢，这个角是 r 发度，这边这个角呢是九十度减去二倍的 r 发度，所以我在这边构造一个等腰的话呢，这个等腰一旦构造出来，那这个地方一定是垂直，然后你一连接，你会发现这道题呢就做出来了。 呃，所以我们这道题的总体上的思路来说，并没有那么难啊，需要大家对于鸡爪模型，也就是手拉手构造其中的一个方法足够的熟悉。好，那我们来看一下，我在这里边呢，直接构造一个等腰，我假设这边是 n， 那 这样的话呢，这个角就是阿尔法，这个角如果是阿尔法的话，那这个角就是二倍的阿尔法。各位，此时你会发现，等腰直角三角形我们就已经构造出来了， 对吧？而且呢，在这个地方呢，你会发现你连接 n c 啊，你也能得到一个垂直，也能得到一个垂直，对吧？呃，这个是我们所说的这样的一个图形的一个特殊性啊，当然了，我们这个呢，也是有点马后炮，所以大家在考试的时候呢，分析的时候一定要注意这些内容。 好，那这样的话呢，我们会发现这道题就很简单了，这个三角形和这个三角形全，等一旦中出来之后，我们会发现这个 e g， 他 应该假设这边是 a 的 话，那这边呢，应该就是二分之根二倍的 b， 所以呢，这个 a f， e j 和 c f 之间的关系咱们就出来了啊，那这道题呢，咱们也就中 b 了，这个呢是二零二五年海淀一模的结合综合，有学习问题私信咨询。

好，继续，我们顺着刚才的来做一下这个十九题的解析。几何啊，这道题还算是一个比较常规的题，比较基础啊，我认为问题应该大家都不大，只要有时间就都能够做出来。 好，首先我们去第一问，我就不讲了。好，好吧，同志们，你们自己去做行吗？我相信大家，大家的问题应该都不大啊。好，我把答案放在这里，我们来看一下第二问。 呃，他的这个 a 是 十，根号十二就是二倍根三，我们大概画一下图，那个 b 就是 根号三，对吧？然后呢，他说点， m 在 第一项线已经把坐标给我们设好了，其实很善良的，对吧？当然你不设你也可以自己去设嘛。 这个 m 坐标给我们设好了以后，他说 n 在 这条线上，好，我们画一下 y 等于负二，这条线上啊，好，然后做一个垂线，使得这个角是直角。那还是很简单的嘛，你顺手就是把 n 的 坐标就能算出来，对不对？用算计也好，用斜率相乘等于负一也好，都可以，是吧？嗯， k 一 乘以 k 二等于负一啊，都行。好，把这个坐标表示出来，设出来，然后横 x n 的 坐标就是 x 零分之二， y 零，我相信大家应该都做出来了啊，所以我这里我快一点 好，然后下一句话，且，还是那句话，逐句分析问题啊，且 m o 垂直于 n o， 这个我们做过了啊， 过这个三，做谁的垂线？过这个绿色 m n 的 垂线，先靠，立刻先停一停啊，先把 m n 的 斜率给我们得到，好，就是这个样子，然后根，根据它什么，它垂直，所以它是不是负的倒数问题，所以这个 ab 的 斜率，我们是不是也知道了 啊？那这个 ab 的 斜率知道了 ab 的 点，这个坐标，还知道了点斜式是不 ab 的 直线方程就知道了。好，我们顺手就把 ab 的 直线方程给写出来了啊，这是 ab 的 直线方程好，它是交什么呢？交这个 o m 于点 b 啊，那你顺手也把 o m 的 直线方程也得到了，那这个是不就是我们的 o m 好 连立了以后呢？计算这里大家计算的时候要细心啊。好，到这一步了， 到这一步我这儿少了一步，这应该是 x 方啊，你们有 x 方和有 y 方的情况下，一定要用这个 x 零方加上四 y 零方等于十二来进行消元。 你消 x 零也可以，消 y 零也可以啊，我认为都行啊，因为这里面到底是有这个二 y 零，它应该是拆不掉的，所以我最后呢，是保留了 y 零，消掉了 x 零，当然你们可以自己选择啊。好，然后换简约分，得到了这样的一个式子， x b x b 有 了，我们把它不管是带到 o m 里面去，还是带到 ab 里面去，我们都可以把它的纵坐标给算出来，我觉得 o m 比较简单，对吧？我们带到 o m 里面去，得到的是 b 的 坐标，是这样的，那么 a 的 坐标有了， b 的 坐标也有了。求，它们俩之间的距离呢？是不是直接就得到了 啊？两点之间距离公式啊，谁不会？然后平方展开，这里还是一样的，有 x 零方加 y 零方，把这个 x 零方写成十二减四 y 零方，是不就消掉 x 零方了 啊？化简一下，就最后只剩 x， 只剩 y 了，对吧？不管是 y 零的方还是 y 零平方差公式完全平方公式，消元约分计算化简，答案就是二比零三，没有任何难度，对吧？啊，只要你计算过关就 ok 了。

全国卷高频考点如何快速判断线线线面关系？这道立体几何动点问题，四个选项全是必考套路，听完显哥讲解，空间感弱也能直接拿捏立体几何呢，就是纯粹的难啊。考法我觉得还算是比较固定，比较套路的。第一个就是各种平行垂直的方法，你得知道 平行垂直是立体几何的重中之重。第二个呢，就是常见的体积，这两年考的重中之重。第三个就是求你 必须得知道什么外接球啊，内切球啊，棱切球啊，各种球啊，只要和球有关系的，你都得要会，因为球是我们全网这必考的一个模块。然后第四个的话就是角二面，角线面角一面直线算成角。第五个是轨，轨迹就动点的轨迹是什么，这个地方肯定是 你也要知道，通过题目来给大家讲解一下。来我们直接上题目，第一道题主要是考的平行垂直啊，平行垂直是我们 所有 d t 几何的最核心的地方啊，最基础的地方，他说在正方体当中，然后呢， p 为 a e， c， e 的 中点，然后 q 呢，是线段上的动点，在这条线段上动下来。说法正确的是，它说存在一个 q， 使得 p q 平行于 b d， 你 觉得存在吗？使得 p q 平行于 b d， 它说存在一点 q q 在 这个线段上动。所以 a 选项简单还是难，是不是？这道题显然不存在 啊，显然是不存在的，为什么他不存在呢？道理很简单，因为 b、 d 呢，他和 b、 e、 d 一 是平行的，所以我们把它平移到 b、 e、 d 一 上，你把它平移到 b、 e、 d 一 上，大家可以看一下， p q 是 动的，他在动的过程当中，他怎么可能和 b、 e、 d 一 重合呢？ 是因为如果他俩是平行的话，平移到有一个焦点的时候，他们是重合的，所以 p、 q 他 永远不可能和 b、 e、 d 一 是重合的， 所以它不可能存存在，实际上它俩是异面的，所以这个选项是错误的。明白了，这个选项是错误的，你只要有一定的空间想象能力就是可以的啊。 因为 b、 d 是 这个样子的， p、 q 是 这样子的，它显得是错着的，是异面的，对吧？如果你想不明白，就平移也是可以的。所以 a 选项是不存在的啊，它说存在一个 q， 使得 p q， p q 是 这条线垂直于 a、 d， 然后 a、 d 还有 bc 一， 就这么一个面， 哎，大家想一想，存在不存在，大家思考一下他考的是什么？如果你见到了一个线面垂直，你想到的第一个方法是什么？是不是我们见到了垂直的第一想法就是我们第一有可能考三垂线定律吗？ 第二呢？有没有可能？你说哪条线垂直于这个面吧，人家说的是垂直于这个面啊，如果屁丘存在一点丘垂直于这个面，你告诉我谁垂这个面？你先想到一个垂直于这个面的线， 这个对角面要想垂直的话，是不是这个对角线？想一想，是不是这条对角线一定是垂直于这个对角面的？为什么呢？因为这个对角线是垂直于这个对角线的， 这条对角线一定垂直 a、 d 的。 因为 a、 d 垂直这个面，所以它要想存在一个 q 的 话，就应该是 p、 q 和这条线是平行的，和这个 a、 e、 b 是 平行的，你说存在不？因为给大家讲一下 b 选项啊，因为 a、 e、 b 是 垂直于面， a b， e c， e d， 如果这个 b 选项对的话，如果对，我们就能够推出 a、 e、 b 是 平行于 p q， 因为 这条线垂这个面，它俩是平行的，另外一条线一定也也垂这个面，所以 p 是 中点，当 q 是 中点的时候，当然它俩是平行的，所以 b 选项是存在的。你觉得简单不？ 平行垂直是最基本的，所以通过第一道题，你得理解，对吧？如果人家问你是否存在一点，使得 p、 q 垂这个面，先想这个面的垂线好不好找？哦？这个面垂线好找，就这个红色的，所以你又让 p q 和它平行就可以了。因为两个线平行，那么它垂这个面，这条线一定垂这个面。 如果这个平面的一个垂线不好找，你就想三垂线定里就可以了，所以 b 选项非常简单。来，我们再看 c 选项， c 选项这个体积是不是定值？那么这个体积是谁呢？我们看一看球，哦，它是动的 a p d 啊， a p d， 他 说 q a， p d 这么一个平面儿，它的体积不是定子，它的体积不是定子是什么意思呢？就这个 q 是 在这个线上动，你告诉我它的体积是不是定子？首先它的体积是不是定子？我先问大家一个问题，你觉得这个底面， 这个 adp， 你 觉得它漂亮不漂亮？你看这个 adp 啊，它漂亮不漂亮，是不是你会发现这个面它根本不漂亮，它比你差远了，对不对？哎，比你差远了，什么意思呢？就是我们应该把 adp 这个屏扩大 啊，我们把这个平面扩大，找到这么一个结面，那你说我怎么把这个平面扩大呢？是不是相当于 a p d 这个平面，它就应该是过 p 点做一条 a d 的 平行线，当然是中位线， 所以 a p d 这个平面实际上是这个矩形，实际上是这个矩形， 能理解不啊？这应该是个矩形啊，这个点就应该是中点，所以大家思考一下，由于这条线和这个面是不平行的，你说 q 这个三角形 a p d 的 面积显然是个定值，因为他们都是固定的点，你觉得 q 到这个面距离变不变， 是不是变的？因为 b 点在这的时候距离是不是比较远？ q 点往这的时候是不是距离越来越小，越来越小，越来越小， 所以底面积是固定的？ q 到这个面的距离是变的，所以体积不是定制，当然不是定制了，能想明白不变了，你想一想这个面就知道了。 q 到这个面的距离肯定是越来越小的，越往上 对不对？它不平行，当然不平行了，要如果是平行的话，它就是定值了。听明白了，所以 c 选项是正确的啊。好， d 选项，它说存在一个点， q 使得 p q 垂直 ac， 使得 p q 垂直 ac 是 什么意思呢？我们这个地方考的是三垂线定律。三垂线定律是什么意思？如果存在一点 q 使得 p q 垂直 ac， 那么这就说明 p q 在 底面上的投影是垂直 a c 的。 我问大家个问题，在底面上谁垂直 a c 是 不是 b d 垂直 a c？ 那 既然 b d 是 垂直 a c 的， 那这就说明 p q 在 底面上的投影，它就应该垂直 a c 就 可以了。那你说存在吗？ 是让 p q 的 投影垂直 a c， p 点的投影是固定死的， p 点投影就是落到底面的中心上，所以我只需要让 q 点的投影落到 b 上就可以了。那是谁呢？直接 q 就是 b， 所以 p q 的 投影就是 b d， 所以 存在 q 点在这的时候就可以了，所以它是应该的，听懂了吗？哎。三垂线定底，这时候 p q 的 投影就是 b d 投影垂直 a c， 说明原来就垂直 a c。 所以 这个题就做完了，直接考的都是平行垂直。再次强调，全卷还真的挺喜欢考平行垂直啊。

同学们好，咱们继续把海淀高三一模的解析几何我们说一下。 嗯，应了咱们之前那句话，前面难，后面一定会相对简单一些。今天的这道解析几何，说实话，纯考计算，没有什么大的技术含量，之前大家只要计算上，把它稳一下，基本上问题都不大。好，我们来写一下这个题。先看第一本， 离心率是二分之根号三，左右顶点与上顶点构成三角形，面积三分之根号三。立条件来， e 等于一分之， c 左右的交点是二分之一乘以二， c 乘以 b 等于三倍根号三。 大家注意一个细节啊，这个地方的 a、 b、 c 不要去挤啊，猜就可以了。比如由第一个我们看到二分之根号三，那我就假设 a 是 二， c 是 根号三呗， 那 b 是 一呗，那现在不干嘛，你去判断一下它的比例关系。比如说，当根号三和一的时候，此时面积 s 是 二分之一乘以二，乘以根号三等于根号三， 它实际上不是我们所谓的三倍杠三，哎，它这有根号三，也就意味着此时它这个啊不对，而这少了根号三啊，写反了， 乘以二倍根号三，二 c 乘以等于被一样了，还是根号三， 二分之一乘以二倍，根号三乘以一啊，没问题，它是根号三。而实际上呢，我的面积是三倍根号三，也就意味着它翻了三倍啊，倍数三倍啊， 你看，它是由 b 乘以 c 得到这么一个式子，它整体是翻了三倍，那就意味着其实每一个都要扩大根号三倍， 就像这个是二倍的根号三，这个是根号三，这就是三，这样就没问题了。但大家可以验证一下啊， s 是 不是二分之一乘以二， c 就是 六乘以根号三三倍根号三。对的啊，所以这个方程我们就有了， x 方， b 十二加三分之外方等于一。好，我们来看第二位啊。画个图， m 是 一项链的，一边 n 在， 且满足 o m 垂直于 o n。 嗯，做 m 的 垂线三的。这 图比较简单，那就求 a b 呗。求 b 的 话，那就设减法， m x 等于 y， 先写出关系式，也就是 x 零方加四， y 零方等于十二。嗯，先求一点 n 呗。设 n 坐标是 m 作负二，因为在直线 y 等于负二上，纵坐标是确定的啊，我只需要设横坐标就够了。 嗯， o m 垂直于 o n， 推出 减去为零呗。那就是 m 倍的 x 零减二倍的 y 零等于零， m 等于 x 零分之二 y 零， 所以 n 点坐标就有了，也就是 x 零分之二， y 零得负二。下面呢，我是要过点 a 去做一个和它垂直的直线。发现问题啊，这个 m n 是 不是不一定有斜率啊？ 还真说不好， m b 带 m， 一定是公式横截式啊。 嗯，就其实这样，要不你就分类讨论，要么还是写横截式吧。这个地方再用 m 的 斜率就不合适了， 因为它有可能斜率不存在，有可能斜率不存在。嗯，那我就这样，那我写横截式，所以 m 还用了。这用的不好，那就用 k 撇吧。我用 k 撇来表示它们的横率啊。横率也就是横减，横比上纵减纵， 也就是 x 零减去 x 零分之二，外零比上 y 零加二，得通过分。 哎，同学们发现一个问题啊，在这个式子里面，我的整个分子分母都是一个二次式，二次比二次一定可以十字相乘零月份 化简吧。首先里面出现了 x 零方啊，我给它化简一下，变成十二减四， y 零方，也就是负四， y 零方 减二万零加十二。我们提一个负二出来，也就是二万零方加万零减六， 十字相乘二二，嗯，二负三，二负三，所以刚刚好，也就是二一 四减三。对，没问题，就是 y 零加二二， y 零减三，约掉，所以实践它的横坐标或者横率就是 x 零分之负二倍的 二百零减三。那么在这种情况下， ab 的 直线我就可以写出来了。一样的，我还是用横截式来写啊，它这也是互为相反数的， x 等于 x 零比上二倍的 y 减三。好，这就是我的 ab 的 方程。那下面拿 ab 的 方程和 o m 连立呗。 嗯，带入直接解，也就是我给它展开乘一下，也就是 y 零比上二倍的 二万零减三， x 减去三， x 零以上二倍的二万零减三。 两边同时乘以二倍的二万零减三百，这边就是二倍的二万零减三。再减个 y 零，也就是三 y 零减六倍的 x 零等于 负三 x 零啊，这 x 等于 x。 嗯， 多写个零，你看这个啊，就它减，它等于负三。 x 零把 x 解出来，也就是 x 零除以负三，就是二减 y 零。好，这就是我 x 坐标，然后带到 o m 里面去，所以 y 就是 乘以 x 分 之外零，就 y 零比上二减 y 零，所以 b 的 坐标就有了。 下面他求的是 ab 的 长度，那就直接利用两点间距离公式，因为这个地方它的横率比较复杂，没必要再用那个全场公式了。我直接用两点间距离公式就好了，横减横比上纵减纵，因为 a 减的横坐标是零，也比较简单， 就是 x 零比上二减 y 零的平方，加上它减三的平方，就是二减 y 零减三四倍的 y 零减六 公分。 第一个是啊， x 零方，也就是十二减四， y 零方 加上十六， y 零方减四十八， y 零加三十六，给它分子化减一下啊，就是十二， y 零方减四十八， y 零加四十八。 一个十二出来， y 零方减四， y 零加四， a 发现里面是不是正好是一个完全平方公式，也就十二倍的 y 零减二的平方，根号十二，二倍正好三 随最终 ab 的 长，就是个定值二倍的杠三。这个题其实不管是计算还是思路，难的都不大，这也对应了咱们之前那句话，他不会都难，大家这一点一定要注意啊。

就你还不会立即集合啊？一分钟我教会你学不会我打死你！二十看着点，圆锥的侧面等于 pi 二， l 体积等于三分之一 s h， 圆柱的侧面就等于二。 pi 二乘以 h， 体积等于 pi 二康乘以 h， 圆台的侧面等于 pi 二一加二乘以 l， 体积等于三分之一 h 乘 s 一加 x 二加的高下 x x 二球的表面等于四百二十方球的体积等于三分之四百二的立方。就这么简单的玩意，学校老师教一招你还觉得简单了？给我看这题。 一个圆柱和一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底盘半径根号七，圆台的上底盘半径一，则圆台的下底盘半径是多少？会吗？不会不会，你还装看着圆柱的体积等于 pi 乘以根号七或者平方乘以 h 等于圆台的体积三分之一 h 括号， pi 乘上一的平方加上 pi 乘上二二的平方，加上根号下 pi 乘一乘 pi 乘以二二的平方 h 约为二二等于四。再不会我打死你。

下图有十四个棱长一厘米的立方体拼成，求该图形的表面积是多少？遇到求立体表面积，记住三个相等轻松。高丁 一、前后面积相等，前面有七个面，一个面为一平方厘米，得到前后面积为七乘二，等于十四平方厘米。二、上下面积相等，上面有九个面，得到上下面积等于九乘二，等于十八平方厘米。三、左右面积相等， 右边有七个面，得到左右面积等于七乘二，等于十四平方厘米。所有相加就是答案。该图形的表面积等于四十六平方厘米， 这就是小学几何常考的三式图法求表面积。这本小学几何训练营把小学阶段的几何题型归纳成七十四讲和八大模型，九十四道核心模型，把小学几何常考题型和解析方法都讲解清楚了，包括三式图法、割补法、平移旋转法、 容斥法等变换法等常用几何方法，都是孩子在数学启蒙阶段需要掌握的解析方法，可以帮助孩子打开解析思路，培养数学思维，为初中数学打下坚实基础。

解析减导数，爽，新定义，还能搞定前两位！嗨嗨嗨！屏幕前的各位同学，大家好，我是每天都在研究如何帮我的学生冲刺一百二十加的。一帆老师啊，那今天这个视频呢，是给大家带来刚刚新鲜出炉的啊，高三海淀一模的这道解析大题 啊，那这道解析大题呢，不少同学考下的一个第一时间的一个感受都是，哎呀，计算量感觉特别大。那在一帆老师看来啊，各位，咱们解析大题呢，其实说白了， 他本来就应该成为咱们在考场上最轻松的一个时刻，做这道题。各位，你从一开始做第一问开始，从读题开始，各位，你千万不要去追求满分 啊，千万不要直接去那个追求满分，说白了，无欲则从容，从容则准确，你心里边，哎，越没有什么杂念，这道题越容易得到满分啊。那包括咱们在抄和削的一个过程中呢， 大家不断的可以去给自己给到一些心里暗示，对不对？比如说，当我在看超和削的时候，哎，我得稳定下来了，先稳定三十秒，看透有何要？这道题目里面，他让咱们求的究竟是什么啊？条件是什么？这个点，这个线，我可以怎么去表示？ ok， 那 咱们一块来看看这道题啊，他给了咱们一个椭圆的，这第一问的话比较简单，对吧？离心率 a 分 之 c， 然后呢，左右焦点和上顶点构成的一个三角形呢？面积为三倍根三，这两个都是给轻松表示的啊。来来，咱们来着重看下。第二问， 他给了咱们一个坐标原点， o 为坐标原点，对不对？然后呢，又告诉咱们了，这个 m 呢，是第一项线上的一个动点， 对，当你读到这个条件，别着急，别着急往后坐，别着急去射， ok， 整个题目里边信息还非常多的，第一项项的一个动点，说白了啊，无非就是咱们这个横坐标和纵坐标，他是不是都得大于零啊， 对不对？都得大于零，同时呢，还跟咱们 a 和 b 呢有关系， n 呢，在咱们一个直线 y 等于负二上，对吧？哎，在咱们这条直线 y 等于负二上，对不对？并且呢，我的一个 o m 呢，是垂直于我的一个 o n 的， 对吧？现在呢，让咱们那个过零的号三呢，做 m n 的 一条垂线，然后交直线 o m 的 于 b， 然后最后呢，让咱们去求这个 ab 的 一个这个线段的一个值， 对不对？让咱们去求一个线段的一个值。来，各位，你看，这是咱们最终要的一个目的，所以你看，其实说白了，因为这 a 点呢，是一个定点，对不对？然后呢，我要求的是 ab， 我 现在是不只需要知道这个 b 点就可以了，对不对？只需要知道呢这个 b 点就可以了，而这个 b 点怎么来的呢？ 就你看这个 b 点，他是不是就是我的一个过 a 点的这条直线，对不对？过 a 点这条直线，这条直线是 m n 的 一个垂线，他这个时候跟咱们这条直线相交得到的 b。 来，各位，看清楚了，这道题里面过程还是非常多的，一不小心你在做这道题的时候，节奏呢，可能就被打乱了， 所以哥，你看，你如果要得到这个 b， 你 应该怎么去表示？先通过 m n 把咱们这个这条直线的一个斜率，这条垂线的斜率给它求出来，对不对？它是不是就应该是咱们这个 k m n 负的 k m n 分 之一了？ 先把斜率给它求出来呗，对不对？然后呢，再套咱们这个点斜式，用 a 点去套咱们点斜式，对不对？ y 减去三， 等于这玩意乘一个 x 减零，最后这个 b 点怎么得到呢？跟咱们一个直线 o m 连立得到，所以再往回去，我是不只需要表示什么就行了， 表示 m 点和这个 n 点就行了。各位，一步步来啊，一步步来，别着急做解析大题可不能着急啊， 如果你不着急，你真的用到咱们双体一些计算的一些心态无敌心法的话，来，咱们看看这道题你会怎么做啊？那第一的话比较简单，因为各位你看，我要表示的一个点是点 b， 对 不对？而我如果表示点 b 的 话，说白了，其实最后我只不只需要设 m 点就行了， 设 m 点是不是就能表一切了，对不对？设 m 点就能表一切了啊？那设了 m 点以后，哎，有一个点餐的一个身份方程，对不对？然后呢， o m 的 一个斜率轻松就可以得到了。 因为 o m 和 o n 垂直，所以 o n 的 一个斜率也有了，所以各位你看我这个 o n 这条直线是不是也有了， 对不对？ o n 这条直线也有了，所以各位，你看，我有了 o n 这条直线，我想去表示 n 点，那不简简单单，轻轻松松嘛。它是跟咱们 y 零负二相交得到的，所以跟 y 零负二一连的 a n 点坐标就有了， 对不对？有了 n 点坐标，有了 m 点坐标 a， 我 就给他接着往后推进。各位，说白了往后都是抄抄抄，你要做到就是什么呢？专注当下每一步， 不断去告诉自己，我每写这一步又多的一分，每写这一步又多的一分，对不对？特别特别爽啊？ ok， 那 咱们再去表示一下咱们 ab 的 一个斜率，因为 ab 和 mn 是 垂直的， 所以我可以通过刚才求出来的 n 点和射出来这个 m 点，把 m n 的 一个谐音呢？给他求一，求各位，专注，专注还是专注啊？ ok， 底下是纵坐标减纵坐标，上面是横坐标减横坐标，对不对？别给他抄错了，这个地方是负二，所以他减 y n 呢？就加上咱们一个二， 对不对？ ok， 各位，你在抄的过程中呢？你如果平时感觉自己的一个计算呢？容易失误，那就用上一凡老师教给大家的一来三回确认法。各位，每抄一步，什么叫一来呢？就咱们一个抄，你再往下抄的这个过程，这个就叫咱们一来， 然后三回呢？哎，每一步每抄了一坨特别特别胖的一个柿子，大概花个零点五秒，两秒钟，一秒钟的一个时间，反正特别短的一个时间，本来就确认。哎，我这符号有没有抄错？ 角标有没有抄错呀？对不对？ n 点坐标有没有抄错？上面还有个二，你看你这些东西有没有抄错，然后底下这个符号有没有抄错，它是 y 零减去负二，所以就加成一个二， 对不对？然后下一步呢？是不是就去分母了，对不对？上下给它，同时把这个 x 零呢？给它干掉，对不对？上下把这个 x 零给它干掉，所以就变成它了，上下同乘一个 x 零， 对不对？然后呢？各位，因为这道题，咱们设的是一个点餐，对不对？点餐最大的一个用处就干嘛呢？就咱们一个削圆， 对不对？点餐最大的一个用处就咱们这个消元，就是用这个身份方圆去消元，而具体怎么去消呢？你在计算过程中，如果你担心自己一个柿子特别特别胖啊，担心自己的一个柿子呢？特别胖，那你可以怎么办呢？哎， 当你出现 x 零，又出现 y 零的时候，就把它们给统一，这样的话，能让你这个式子呢，给它瘦一些啊。比如说，各位，你看这个地方是不是出现了 x 零方了，又出现 y 零了，对不对？我是不是可以给大家统一一下， x 零方等于十二减四 y 方，那因为这是一个减，对不对？ 十二减去一个四 y 方，因为这是一个减 x 零方，所以负 x 零方。各位，特别注意你的一个符号啊，你想让你操作的过程中，不就是角标次数符号最容易错吗？ 对不对？所以你看上面等于这个，所以呢？哎，把一个二给它提出来，每步追求最简单，我的式子呢，越简单越好，因为当你式子画的这么简单时候，各位，你看你是不是就能给它去英式分解了， 对不对？你是不是就能给他去英式分解了呀？对不对啊？ ok， 可能在这个地方还不太好看， 但这个在这个地方或看，通过它来看，是不是特别简单呀？对不对？ ok， 所以 你看 y 零加二和 y 零加二直接就约掉了，最后就剩下它了。 ok， 得到这个斜率的目的。各位，你看你目的是不是特别纯粹？我得到 ab 的 一个斜率，我是为了去表示什么呢？ 为了去表示咱们的一个 a b 这条直线，然后再表示咱们一个 b 点，对不对？所以各位，你看 a b 这条直线是不是就是咱们一个点斜式了， 对不对？是不是就是咱们一个点斜式了？ y 减三啊？是不是？咱们刚才列了这个式子，对不对啊？刚才咱们列了这个式子， 你看好不容易把 m n 给他求出来，接下来用它和它一连力， b 点不就出来了吗？对不对？往下抄的过程中，各位不断去关注角标次数符号，你如果感觉这个有点胖了， 对不对？这个感觉有点麻烦了，这个柿子有点恶心了，赶紧去给他检查一遍啊，赶紧去给他检查一遍，大概就花个一秒钟时间啊，进行这三个确认，所以，哎，再跟咱们 o m 一 连力，对不对？他俩相等。 所以最后我的一个 x b 是 不是又得到了？得到 x b 了以后，那这个时候我这个 y b 是 不是也有了？把这个 x b 带入 o m y b 是 不是就有了，对不对啊？得到 x b y b， 最后你要表示 ab， 各位，你看，最后就咱们最痛快的一步了，对不对？最痛快的一步了啊？ ok， 马上最终打开就水落石出了，把它俩一平方平方，再打开，得到这个式子，这个式子 对不对啊？那最后呢？上面一打开，各位，你看这个地方是不是有咱们这个 y 零的一个平方？因为这个地方是四 y 零 减去一个六的一个平方，对不对？这里有 x 平方，这里有 y 方，怎么统一呢？其他地方都 y 零的方， y 零的平方，所以这个地方咱们是不是可以用 点餐那个身份方程去消元呢？对不对？是不可以用咱们点餐那个身份方程去消元？这个地方我的 x 的 平方等于多少？它是不等于十二，减去一个四 y 零的一个平方啊。 一带进去，各位，剩下就咱们一个最痛快的消消消环节了，对不对？他和他约掉三十六和十二合并，对不对？变成四十八十六 y 零方，减去四百 y 零方，等于十二 y 零方。最后你会发现上面刚好能够提出来一个十二， 对不对？减去咱们的一个四倍 y 零的一个啊，减去咱们四倍 y 零，再加上一个四，最后它和它杠，就约掉了 ab 的 平方，它不就刚好等于十二了吗？对不对？对， ab 就 等于二倍，刚好三了。 所以各位，你在做的过程中呢，这道题极大，会发现转化没多难，思路也不是很复杂，对不对？关键是你有没有每一步，有没有特别专注 你每一步，这是不是真的稳扎稳打了？如果你都做到了，那这道题还是很好拿到满分的啊！ ok， 那 以上就这道题的全部内容了。

信息差可是真差距啊！要不是听我二胎闺蜜说啊，我都不知道现在国际幼儿园都在用这种几何建构积木做树杆启蒙了。 我买回来啊，发现它设计的真的太巧妙了，孩子玩的时候就像在脑海里见魔，从点线面到拼出立体图形，不需要死记硬背啊， 些抽象的几何知识，难点瞬间就直观了孩子拼叉小球的过程，还能学习边角关系，更方便的是他还配了拼搭手册，可以跟着图纸拼，也能自由发挥。难怪现在都要用它做教具啊！把这个吃透了，以后学习数学几何就简单多了。

几何快代数稳心地，还能提智商。大家好，我是新宇老师，今天新老师带各位同学一起来看一下咱们二五年初一下海淀期末的这道几何压轴题啊。那么这道题哎，是对同学们做几何题的好习惯， 通用货币标图法的一个考察啊，这是第一个，第二个。同时啊，如果你能够对一个动点， 他在动的过程中，他的范围特别敏感，这向老师说的，你如果能从初一开始对一个动点，他怎么动，在哪动，你就形成这种生理性的条件反射。我告诉你， 你到了初二，到了初三，你在做这种动态的问题啊，甚至是这种新定义问题的时候，你绝对会比其他同学做的哎，更快，分析的更准。来，那咱们一起来看下这道题啊！ 他说，如图，三角形， a、 b、 c 过点 a 的 直线 a、 d 满足角 b， a、 c 是 九十度啊， b a、 c， b、 a、 c， 看清楚啊，这个图有点乱啊， b、 a、 c 是 九十度， 角 b 等于角 c、 a、 d 都是六十度，这是六十度， c、 a、 d 这也是六十度啊，那么这边加角就是三十度呗，是不是 很简单啊？他说，那么现在点 p 是 线段 bc 上的一个动点，注意啊，人家点 p 是 在线段 bc 上动的对不对？过点 p 做 p， e 与 a、 d 平行，对不对 啊？现在这是两条平行线，这是已知的信息。他说角 b、 a、 p 是 五十五度，如果这个角是五十五度的话， 问我， a p e， a p e， 那 这个两直线平行， a p、 e 直接就是一个内错角相等，大家是不是平行线嘛，就是帮我们去导这些角的，对吧？所以它就是三十加五十五，就是八十五度，第一个空就搞定了，对不对？ 哎，八十五度对吧？很简单啊，来，咱们一起来看下这道题的括号。二，他说设角 b a d， 它的角平分线 am 啊， b a d， 角平分线 am， 因为这是六三十度，对不对啊？这是九十度，这是六十度，所以 b a、 d 是 多少度，同学们应该都知道，这就是一百五十度角平分线一分为二，这就是七十五度，对不对？ 这也是七十五度，是吧？哎，来，向我这画小点啊，这个大家别看不清啊，就是这个角等于这个角，对不对啊？都是七十五度啊，七十五度， 然后呢？哎，他说 bpe， bpe 的 角平行线是射线 p n， 哎，这玩意对吧？射线 p n， 然后呢？那 b p e， 大家有没有发现，根据咱们的一个猪蹄模型啊，这是三十度，这是六十度，其实这个角我们也能得到，它也是三十度，为啥呢？你看过点 b， 咱做一条平行线， 两直线平行内错角相等，这是三十度，对不对？所以剩下这也是三十度，对不对？根据平行线的传递性，他俩也平行，对吧？两直线平行内错角，这就是三十，这三十，这就是一百五，一百五除以二，所以这个角也是七十五度，这个角也是七十五度，是不是， 对吧？现在让我求谁呢？求这个角，哎！ b q a p q a， 求这个角，那么但凡你遇到标不出来的角怎么样？你就找工具，对不对？咱们的工具思维就能够帮你去导角，我们可以自己过点 q， 做一条平行线，对吧？ 这样的话，哎，两直线平行内错角儿，这应该是七十五度，对不对？ 上面这个角对不对？和这个角也是一个内错角，也是七十五度，两个七十五度相加是一百五十度，对不对？圈一也就搞定了，对吧？哎， 好，那么圈一做完之后，有同学看这个圈二就看不明白了，说，这是咋回事呢，对吧？他说，你看啊，如果射线 a m 和 p n 有 公共点， 让我直接写出角 b a p 的 一个取值范围，这是啥意思呢？对不对？ 哎，对吧？那有同学可能就看不明白了，说，老师，这不一定有公共点吗？ 这怎么还有范围呢？对不对？哎，那如果你读这没读明白的话，很有可能是你这两个条件没解读到位。第一个就是，人家屁是线段 b、 c 上一个动点，人家点屁是动的，对不对？ 三角形 a、 b、 c 是 一个直角，三角形不变，对不对？哎， a、 d 跟它的夹角是六十度也不变，对不对？ 对吧？但人家点屁在动，屁在动，哎，这条平行线是不也会跟着动，是不是？哎，这个，这个，这条线是不也会跟着一起动啊？他们会怎么动？他们是会这么动， 我把这个我锁定一下啊，同学们， 好，来，咱来看啊，你看，随着线段对不对？随着线点 p 在 线段 b c 上动，这条平行线是不会跟着动， 因为 bpe 这个夹角永远是多少呀？永远是一百五十度，所以这个 p n， 对 不对？哎？ p n p n e 这个夹角永远是七十五度，对不对？所以这个七十五度也会这条线会跟着它一起动动动动动动动动动，它是不是这么动，对不对？ 哎？然后他说，怎么着？射线 a m 和 p n 有 公共点，对不对？如果是直线的话，确实什么时候都会相交射线，大家来看，哎，这个时候是不是他们就 p n 和 a m 就 没有公共点，对不对？哎，什么时候才有公共点？是不是？到这 是不是到这才有公共点，对不对？哎，所以这就是第一个临界的时刻，是不是啊？哎，对吧？我放到这啊，这就是咱们第一个临界的时刻，对吧？ 然后咱们继续再动它，哎，动，动动动，你看现在射线啊， am 和 p n 是 不是有焦点？有焦点，有焦点，哎，是不？到这，这就是第二个临界的时刻，是不是，对吧？哎， 所以这道题你要想顺利的找出这两个临界的时刻需要什么？第一个就是你能够看明白这道题谁在动的， pe 跟着动，它的角平行线就跟着动 啊，哎，第二个就是，那你还要看明白一点，就是，哎，他说的是射线，对不对？两条射线相交啊，让我直接写出角 b a p 的 一个取值范围，那这样的话，咱来看看吧，对不对？我把这个 题干信息咱再复制一下啊，如果是第一幅图长这样的话呢？这个时候，哎， b a p 是 多少度啊？ 因为这是七十五度，对不对？哎，两直线平行，这就是内错角上，这就是七十五度，然后这就是三十度，七十五减三十，对吧？这个时候角，哎， b a p， 它就应该是四十五度，对不对？ 对吧？这是第一个，哎，第二个，那如果它长成这样的时候，这个 b a p 对 不对？就是当点哎 p 跟这个焦点重合的时候，是不是啊？就现在这个点 q 在 这，对吧？ 哎，然后呢，这个时候这个角 b a p， 你 看它是多少度，对吧？哎，那这个该怎么求？那 首先两直线平行对不对？哎，就这个角，咱们知道它平分是七十五度，对不对？ 那么它旁边这个角是不是也是，对吧？哎，正好平分线，这应该就是也是七十五度，是不是，对吧？角平分线嘛，就是 am 现在正好平分点 q 跟 p 重，这个就是点 q 在 这，是不是？哎，所以啊，这个时候角 b a p 等于七十五度，那么他的取值范围是不就是，哎，四十五度到七十五度之间，对不对？ 哎，大于等于四十五度，小于等于七十五度，对吧？哎，这道题就搞定了，对不对啊？哎，所以啊，同学们， 大家在读题的时候是不是要特别关注题干中给的啊？像这种哎，动点的一个范围信息，是不是他到底在哪动？到底人说的是射线呀还是直线呀，对不对？什么叫做两个射线有公共点呀？你是不是只有动一圈才能明白对不对啊？ ok， 好， 那想要学习更多的咱们的难题压轴题解题方法的各位同学可以关注新老师，新老师哎，带着各位同学一起啊，咱们从初一开始就培养大家做压轴题做难题的一些好习惯，好方法。

北京市中考数学二零二五年海淀一模选择压轴题。图一是半径为一厘米的圆形硬币， 点 m 是 硬币外沿上的一定点。图二为四个轨道，分别记轨道一、轨道二、轨道三、轨道四，分别圆长宽比二比一的矩形正方形和正六边形， 周长是六 c 拍 cm 对 称中心均记为点 p 点 p 点 p 点 p， 将硬币在轨道上一定点 n 为 ab 的 中点， 将硬币同一平面外侧外一侧啊，外侧。 若硬币顺时针或者逆时针无滑动的滚度，当点 m 第一次回到轨道上时，基位置为 n 撇，四个轨道叫 n p n 撇的位置。 核心的原理啊， 硬币无滑动滚动时，滚动的路程是硬币自身圈过的弧长。硬币半径 r 等于一 cm， 周长等于二 pi 时， 当 dm 第一次回到轨道上时，等于硬币自身转过的整数圈，转过弧长为二 pi 的 整数倍。 实质硬币在轨道上的总路程为二派的整数倍啊。这道题本身是已经是超过了整个初中的学习范围，并且知识点 哎，其实看起读起来也很确实很会设难懂，但是我们还是一步一步来吧。我们会不会计算四个轨道中满足滚动路程为二派整数倍的这一角路程对应的角 圆形轨道轨道长多少呢？ l 等于六派 c m 轨道半径是三 m 硬币沿轨道外侧滚动时，滚动路程先呢？硬币圆心走过了弧长 轨道，圆心轨迹的 r 等于三加一。为什么呢？你看一看，这样啊，这是三，这是三 就是一。所以四 cm 等于圆心，轨迹为周长二倍乘以四八 cm。 点 m 第一次回到轨道上时，需要硬币自身转一圈， 转过负长二倍，对应的滚动的路程是二倍。那圆心角多少呢？九十度啊。 第二，长度为二比一的矩形轨道，周长 l 等于六， pi m 长和宽我们能算出来啊。 二 pi 和 pi 硬币沿矩形外侧滚动时，在直边滚动，圆心对应直线运动，在顶点滚动时，顶点滚动啊，顶点滚动的时候 做圆弧运动。这两个不平的不同的变化。自卷硬币在直边滚动的路程为直边长，住顶点外侧自转不产生轨道的位宜当点 m， d 是 回到轨道上呢，用了滚动路程二派的整数倍 m 啊，我们看一看，从 n 点出发， n 点出发，大家说有的顺时针，逆时针，其实都是一个道理啊。 n 点 出发，向下 b 点， bc 点， cd 点 d， a 点分别计算路程，总路程，总路程 满足条件。零度啊，正方形轨道，周长 l 等于六， pi m 谁是边长等于二分之 pi m 同理，硬币沿外侧滚动时，直边轨道的边长，自转点 m、 d 一 次回到轨道上是二拍的最小整数倍。 我们看一看， a 从 n， p， n 等于零度， 第三是正六边形。同理啊，会计算边长等于多少，每个角都是一百二十度，一百二十度，一百二十，一百二十度。从 n 点出发 到 b 点， c 点以及的路程啊，我们可以看一看，回到 n 点也是五位， 但是我们刚才计算的并不是正确的答案，为什么呢？上述描述中，轨道二三次回到起点是轨道完整一周，但题目要求的是点 m。 第一次回到轨道，我们看一看啊，重新计算， 滚道路乘 s 等于二 pi 对 于轨道一 s 等于二 pi 圆形轨迹是半径是四 cm， 圆形角多少度啊？九十度。第二呢？ s 等于二 pi， n 点出发到达 b 点，然后 b， c 停在 bc 边上，我们看一看啊，域心 p 到 bc 的 距离， n 到 b 的 距离得到 n， p 的 角是多少度？一百三十五度。 第三，轨道三 n， b， bc 正方形， p 到 bc 的 距离四分之三派，角度是多少呢？一百零八点四度，轨道四 s 等于二派，从 n， a， b 到点 b， bc 边上正方形中心的 p 到各边的距离相等，所以是一百二十度。嗯，本身这个题是一个完整的计算大题的过程， 但是作为一个选择题我们可以看看，其实就考察这个我们要走的这个曲线的圆滑性，那圆是最圆的 正方形，正六边形，那我们可以看到整个一比二的矩形本身的圆滑性不够，所以选择二。这就有个直观上选择题嘛，本身就是选择题，选择题的做法。

hello， 咱们昨天刚考完的这个海淀啊，高三一模的试卷啊，我们拿到了，咱们呃，分两个视频， 把选择和填空讲解一下，然后如果大家有需要，对于解析几何和导函数的话，我们也一并说了啊，看我们这个视频长不长吧。 呃，首先第一道题和第二道题我觉得应该没有人会错啊，就是去求一下我们的绝对不等式而不等式 呃，就可以了啊，求一下补集嘛，对吧。第二个，他既然说了等差数列数用到了一个非常重要的性质，即 a n 加上 a， m 等于 a， p 加 q， 成立的前提就是 n 加 m 等于 p 加 q， 是 吧？啊，所以说， 呃，这个就相等吧， b 就 非常简单了。好，我们再来看一下第三题啊，这道题呢，就是个非常典型非常基础的， 包括现在概念的部分哈，咱们连接一下，根据他所给的这个方程，我们得到的焦点是在 x 轴上，而且是在正反轴上，对吧？然后呢，焦点的坐标也能够算出来是二到零，然后画图去分析他这个定义啊，直接一算一下他的横坐标就是六减二嘛，是吧，就等于四啊， 所以它的终点就是 c 嘛。嗯，我们再看第四题啊，第四题它说它是一个什么样的函数啊，那你用概念去做嘛，是吧？当然，如果很多同学呃，我们对于这种题型是非常知道， long x 减一比乘 x 加一，它是一个奇函数，你直接可以秒了是不是？ 但是你如果不知道也没关系，你就动手算一下啊，用公用这个式子算一下，然后用我们的公式啊，然后等于零，算出我们 a 等于正负一啊， a 等于正负一，这点要注意了，你说要舍根了对吧？因为 a 等于负一， d 等于正一，你到底选什么呢啊？如果 a 等于正一，你检验一下嘛， a 等于正一的话，说明什么 啊？说明我们这是一个什么函数，因为这一个长函数就是永远等于几，永远等于零，对吧？啊？原则上它这 g 函数总函数，又因为它有非常重要的前提，大家一定要注意一下，这里面有个坑啊，就是我们一定要关于原点对称，对不对？那既然是关于原点对称的， 所以如果 a 等于一的话，那它这个定律并不关于原点对称，所以被我们舍掉了啊，所以就只剩下 a 这个选项了，重视啊， 好，第五题呢，一个非常简单的这个解三角形的问题，大家能把什么算出来就算出来吧，首先就是他给了你一个什么， 给了我们一个关于这个 size， 我 们之前其实在讲解三角形的时候，我们的对于列个问题，咱们说过啊，怎么去？呃，判断到底要不要去选择这个 size？ 因为他有可能两种情况嘛，是不是也可能是锐角？ 另外一种情况呢？就是钝角，你说老师我怎么判断它到底是锐角还是钝角呢？你就去画图嘛，我们之前讲过方法是吧？画图就可以了啊，把这个 y 等于三分之根三列出来，那么它这个，呃，四分之 pi 是 二分之根号二嘛？二分根号二，很明显这个 c 二是大于四分之三 pi 的， 而说明这种情况是不可能成立的，对吧？所以钝角这种情况就被我们 pass 掉了，它只可能是 锐角，谁是锐角？ c 是 不是锐角，对不对？那如果 c 是 锐角的话，代表着我们的这个 a 一定是什么？ 是不一定是钝角，那既然它已经是钝角，那 cosine 就 小于零，那就直接选 c 了嘛，用余弦定 没错吧，同志们啊，好，可以了，行，比较简单啊。继续，我们再来看一下第六题啊，第六题呢，是一个， 嗯，二项是定力啊，这种题我觉得大家应该都不会错啊。嗯，直接用我们的方法就好了嘛，是吧，他是要求这个 a 二嘛，那你把这一项单独拿出来， 就等于他这是三，他这是二，对不对？所以说就是 c 五二， c 五三也可以啊， c 五二也就等于 c 五三吧，一解就行了，非常简单啊。好，嗯，来看一下第七题。第七题也是比较基础啊，他这个， 呃，就是一个特别特别简单的一道指数对数的应用问题啊，那他给你什么？还是一句话，他给我们什么，我们就干什么，是吧？那我们就得到了这个式子，等于二分之十六，十三点一啊，那你可以算一下嘛，是吧， 好，然后呢，又根据他题目中所给的 l 等于六啊，这面有个坑点啊，很多学生以为这里是八，所以呢，我们说过了，这个审题很关键啊，题没给我省清楚， 那就直接歇菜了啊，做不了。好，那就还是一样的都带进去吧。十八的时候，六的时候是多少？一减就会了，对吧？简单啊，好，没什么难度啊。好，我们来看一下第八题 啊，这是一个固定套路嘛，就是一个分段函数的单调性的问题，同志们应该还记得啊，分段函数单调性，我们要从三个方向来考虑，大家来复习一下。首先呢，就是我们从第一段函数它必须得是单调的，对吧？ 那第二段函数是不是也必须得是单调的？那第三个是不？我们的分界点左端点和右端点之间是不是要满足一个大于等于或小于等于关系？至于是大于等于还是小于等于，是不是你得判断一下是单调递增还是单调递减 啊，画个图就会非常清楚了，是吧？行，我们先来看一下充分性啊，充分性，他说 a b 小 于零，那你分两种情况吧，一种是 a 正 b， 一 种是 a 负 b 正。 那咱们就画图就好了嘛，这样的情况下注意，因为 a 跟 b 是 一号的左同右异，说明我们对称轴是不是在 y 轴的右边，这应该是 初三的知识了啊啊，写对称轴的右边，我们图像画出来就这个样子，虚线表示我已经被擦掉了啊， 直线表示它还保留着，所以这个图像就是一个单调递减的图像，符合题意嘛，是吧？这边你反过来就好了嘛，一个道理啊，也是一个单调递增的还是图像，所以说它不管是哪个都符合题意，所以我们的充分性是得到了验证的啊。好，继续，那我们接下来就看递 必要性，那必要性，他说他单调函数，他就一正一负，那我们就考虑一下零嘛，是不是比如说你老师让说老师我那谁为零啊？都可以啊，无所谓啊，同志们，你比如说我让 a 为零， b 为正或者 b 为负，都行啊，你可以让 b 为零，都行，我们图像画出来就是这个样子， 这虽然减，也是单调的，没有问题啊，所以说它是充分且不必要的选 a。 前面几道题都比较简单啊，没什么难度。好，我们来看一下第九题，这个题呢？呃，他让我说这是一个平行四边形，那我们就换一个平行四边形呗，是不是啊？给了两个坐标，这个是定点，这个是动点，这个点在哪里动？ 这个点是不在 y 等于负 x 上运动，对不对？刚好恰了，巧了，这个点是不也在这条线上运动啊？动啊，那么他的就另外两个端点是什么？圆上的一个点，那么圆，这是一个什么圆？圆心是 圆点，半径是二倍，根号二的一个圆。那我们把这个图像给它画出来，对吧？那给定一个 t 值，这样的平行四边形只有一个。 呃，那我们这条线也知道了，说明 p 呢？在这条线上运动， m 呢，是一个定点，现在它让我们求取值范围。那像这种小题呢，咱们就小做嘛， 你可以验证一下，比如说验证一下一对不对啊？验证一下这个，呃，负三对不对 啊？验证一下这个二啊，你验证一下，基本上也都能做出来，是吧？非常简单啊。首先我们假如说我们验证一下一啊，左边这个图就是当这个 t 等于一的时候呢，很明显，这个，呃， o m 其实它就等于谁啊？ 是不它就等于 o p 啊，相当于，这就是一个平行四边形的对角线平分，那这样的话，那我随便经过一个圆上的任意条线，它都可以复合，对吧？所以说它的不为一啊，那不为一，所以咱们这个 e 肯定不能取，所以 b 是 不是就给它排除了？嗯， b 排除了，我们继续我们来看一下，如果 t 等于二的话啊，图像也是一样的啊，右边这个如果 t 等于二的话，那 p 刚好就在我们的这个圆上，是不是？那这样我们就能够得到它的这个长度，我只要把它平移一下嘛，是不是你平移一下左边有一个，右边有一个，当然不唯一了， 主要是为什么呢？主要是因为原野他有这个对称性，而且我们刚才 p 所在的这条线刚好就是什么直径所在的线，你左边有，你右边一定有 啊，所以说这个位置只要也就说我们现在可以找一下我们的规律是什么？就是说他给的这个 m 和 p 的 长度一定要小于什么？ 一定要小于什么？一定小于直径吗？直径是多少？四倍的根号二对不对？等于都不行啊，等于是不存在的，大于那就更不行了，是不是啊？好，那你就找一下哪个是小于，通过这个条件你估计也能排除， 也非常简单啊。所以说啊，我们这个二不行，二不行的话，说明我们就把 c 给排除了啊。好，那我们再看一下 t 等于负三啊，其实这个也非常简单啊， t 等于负三的时候就在这刚好，这算出来是多少？二倍根二是不肯定有啊，我们说了只要小于四倍根二是不都可以啊，都不唯一对不对？ 嗯，好，所以说它这个也 pass 掉了，所以就选选四 d 了啊。 abc 都 pass 掉了，就选四 d 了啊，为什么？这个有三？有三的话，它刚好其实就是多少？ 如果是三的话，它刚好其实就是，呃，这个四倍根号二，对吧？四倍根号二啊。 呃，然后如果是五的话呢？如果是五的话呢？那说明我们这个呃，平行四边形在这，他这个点刚好就是这样，他那个两个点压根就不在这个圆上，所以他不能取等啊。三是可以取等的。 行，还行吧，画图就可以了。这种题小题就小做嘛，不要大做。好，我们看一下这个 这道题呢。呃，乍一看挺有点麻烦，但是还行吧，就是你把图给他画出来就行了，他说什么你做什么？这个角是一百二，这个角是一百二，这个角是一百二，对吧？然后当然啊，我们这个位置可以随便动啊，不像不是唯一的。 呃。再来我们看第二个条件，他说数量积相等，那你给他列出来，注意这个夹角是六十度，不是一百二十度啊，有学生会错，当然对答案没有什么影响啊。 然后我们得到黄色和黄色这两段相等，白色和白色这两段相等。那他问你下面一定不成立的事，一定不成立啊，那就假，假如说有可能成立，他就不选了。是不是你这个 a 一 a 五向量等于 a 二 a 四向量，这不很明显吗？ 所以 a 肯定排除掉了啊。好，那剩下的你说老师我怎么判断呢？当然据我们把所有的图像都给它画出来，大概就是个样子。啊，什么意思呢？ 来看一下啊。首先这是那个从最开始的那个一百二十度的那个角，然后呢，从这个位置你发算一下，你这个 a 四和 a 四是不是这个一百二，这个也可以一百二，所以你 a 四是不是有两个位置？ 是不是你 a 四有两个位置的话，你再去发算一百二的话，是不是又就有两个位置，然后下面有两个位置？所以说我们的 a 五有几个位置，是不是四个位置？ 那这四种情况你都考虑一下就好了，是不是啊？好，他要什么呢？他要的是比如说这个 c 选项啊，他 a 一 a 五项链等于二倍的 a 二 a 四项链， a 一 a 五项链，不就这个吗？ a 二 a 四项链，这个很明显确实是相二倍的关系啊，所以说 c 也是成立的啊，是有可能成立的。 好，那我们来看一下 b 和 d 到底是哪一种啊？我们 b 和 d 一个是二， b 的 二分之三，一个是二分之五，谁呢？ a 四和 a 五行，那也就是说我们看这个就好了啊，其实这个和这个应该是对称的啊，原则上答案是一样的。呃，它们两个呢？ 一个十二倍跟三，你想一想啊，这个 a 四 a 五，这个也是一个 a 四 a 五，我们刚才不是说了吗？他两个相等是不是？嗯，这个打圈的这两个线段是相等的，长度相等，他跟他相等，你现在他是不一定是大于二倍的，他不可能是小于二倍吧 啊，所以说这个 b 就 pass 掉了，他不是小于二吗？一点五不是小于二吗？所以我们就选的是 b， b 是 一定不成 b 的， 你说老师什么情况下他是大于呢？ 呃，那是什么时候？就是这个位置，他刚好这两个位置加起来是吧？等于二分之一的 a a c 五就可以了，是吧？有没有可能？当然有可能了，当然有可能了，没问题啊，你看他复制一下值就可以了，是吧？还很简单啊， 选择题我们就说完了啊，接下来我们来看一下填空题啊，填空题前两个就是没有什么好讲的，看一下这个魔长啊，共个负数啊，接下来的概念啊，注意一下啊，这个位置要最好是把 abc 都写出来，省得你们看错了啊。啊，行， 呃，继续我们来看一下第三题，第三题这个一题很简很简单吧，直接就是一个 a 和 s 之间的关系，然后再代入一下解个方程是吧？可以了， 好，就等于二啊。好，那我们来看一下这个十四题啊，这十四题呢？他说 f x 等于他第一个我认为应该是比较简单的，大家应该都能把这个呃函数给他列出来，是不是这个函数就是呃平移完了之后就是长这个样子， 它现在要说在 f x 的 上方，那就大于它嘛，是吧？好，把它简单的化解一下，就是这个样子，我们很明显的能够看到这个位置一定是正的，不管 x 在 哪里，这个位置一定是正的，正的加正的，它要是正的话， 我们是不是可以考虑一下正负的情况对不对？嗯，好。然后中间这个值呢？其实也很简单，他减他，你想一想他减他，这两个函数作差，绝对值函数作差，你思考一下，你如果忘记的话我们可以画图吗？啊， 一个是一个是这样的一个函数，是不是啊？一个是这样的一个函数是吧？那他俩的差值是不是最多就是一对吧，最多就是一嘛。啊，好，所以说这两个函数的差距最大就是一，那差距最大。差一的话我们可以让他是几， 我们可以让它是一，是不是啊？这里是一的话，那最多最多就差个负一或者一，是不是啊？那这个加二肯定是抵消了的嘛。所以说这里写一就可以了啊，没问题。你说老师我写零行不行？当然不行啊，你们审题要审清楚啊，人家这里说明了 a 是 不能等于零的， 你别跟我吭哧吭哧写着零啊，那你审句很有问题啊。呃，再来，那问你 a 的 最大值是多少？那问 a 的 最大值，那我们就只能讨论了，因为这是一个分段函数，你考虑一下就行了啊。怎么考虑呢？很简单，他的零点不是负一吗？他的零点是不是零啊？ 那你就从这两个分界值来考虑，比如说，我们先考虑 x 大 于等于零的时候， x 大 于等于零的时候，你把它带进去，那么参呃，分离参数 残减乘以得到的这个式子，那你要求它，它大于它，那是不是要求这个函数的最大值？而且这个函数它是个单调递减的函数，你想单调递减求最大值，是不是带到上面这个也就是零的这个数去，对吧？算出来就是多少啊，算出来就是负三啊。 继续，那我们再看一下下一个，比如说，呃， a 小 于等于负一的时候，柿子先剪软的捏啊，怎么简单？先怎么来算？化减就是这样的，那 a 是 小于他的，所以呢，我们要求他的最小值， 那整个函数在那里增最小值，自然就是他趋近于零的时候，他就是二，零加二是不就是二 啊？好，所以说，那这个位置就是 a 小 于等于二，对吧？好，这里是取不到二的，所以这个位置就能取到啊。看清楚了。 好，再来，我们来看一下中间的这种情况，比如说他在负一到零中间的时候，如果他在负一到零中间的时候，我们这个函数就这个样子啊，化解一下，就是这样。我还是那句话啊，因为负 x 在 负一到零，你可以算一下二 x 加一的范围， x 再负一到零，二 x 加一是什么范围？二 x 加一是不是负一到一？我刚才有没有说过这个位置最多就差一，对不对？它最多差一，这儿再加个二，你让它确保为正的话，这最多是不是二， 不然的话它补不上了呀，你说是不是这里最多差二，这里最多差二，那加起来不刚好吗？它是肯定是横正的吗？是吧？所以说这个位置你猜极也都能猜是二吗？是吧？好，那你说老师我怎么去证明呢？ 你说你刚才已经知道了， a 小 于等于二，你在这里只要验证一下这个 a 在 第三种情，二在第三种情况成不成立就好了， 你只要验证一下，只要他成立，这答案就是二啊，不用去算，不用距离去算啊，你说老师我怎么去验证的？你带进去，当 a 等于二的时候，得到这样的一个式子， 你知道这样的一个式子了以后，化解一下，这个范围是负二到二，那再加上个二是不是就是零到四？那肯定是不是横正的，是不是成立的没问题吧？它不是要大于零吗？ 啊，所以说我们这个式子就没有问题，所以答案就是最大的就是二了啊，好，行，我们来看一下十五题这道题。十五题这道题还算是一个比较抽象的题啊，但是我认为，嗯，小题就有小题的做法，我们之前有说过，像这种题一不对就一定选二 啊，就走人就可以了。我们先看一下他这说什么正方程，它是不是就一，嗯， 以底面中心 o 为建立平面坐标系 x y z 啊？写的很清楚啊，那很好看。然后他现在说，呃，表面上及其内部的点构成了这个 omega， 然后呢？ t 等于这个坐标是在这个集合里，或者在这个灯光题里面的这个点要还要符合什么呢？还要符合 x 方加 y 方小一点 z 啊，那这个很明显就是一个圆的方程，是不是明显就是一个圆，就说当进去不同位置的时候，他每一个取进去，每取一个值，他对应的都是一个圆的方程， 比如进去零，是不是啊？取零点一，取一取二，我们就取几个比较特殊的位置啊，比如说取零的话，他就是一个点 啊，取一的话呢，中间就是老师现在画这个蓝色的这个圆啊，取二的话呢，上面就是这个，这个边长应该是半径是根号二的这个圆啊，但是他是不是，呃，有的部分是在这个正方形的外面 简单的画一下啊？他现在问你这个一一一在不在这个图形里面啊？一一一在不在？一一一在哪里呢？一一一你找吗？一一是不是在这个位置，就是在这条棱的这个中点上，是不是我们刚刚说的是不是个圆呀？他是不是取不到？你想一想，你把它做成俯视图，就就这个样子吧， 他是不是取不到这个位置，取不到的吧。啊，所以说这个是不对的啊，这个不对直接选二就完了， 咱选二就这么粗暴啊？好，那我们来看一下第二个他，其实这道题都有提醒了，他说被上面这个平面所截的面积是四，我们刚才说了吗？他不是圆吗？但是他整个又是有的部分是在外面的，所以说你指真正被截下来的只有这个部分， 只有这个部分，而这个部分不就是正方形的边长是二的一个正方形吗？所以面积就是四啊，没问题的啊。 好，我们来看一下第三个啊。啊，第三个，他说他的体积是大于四分之三派啊，你考虑一下这个四分之三派是怎么来的好不好？那这个四分之三派能怎么来呢？呃，我，我考虑两个方向啊，一个就是你把看成楞锥啊，当然他不是一个楞锥啊， 他比楞锥大啊，但是呢，我们现在就拿楞锥算，如果拿楞锥算的话，就是三分之一乘以这个高，这高不是二吗？是吧？ 二吗？啊？然后他的底面积是二派，如果是二派的话，那我们刚才说了是什么？ r， 应该是半径为根号二的圆，但是我们说这个底面是不是又取不到这个圆， 对吧？所以说这个方向呢，看起来好像，呃，不太合适啊，看起来不是很确定啊，因为这块又小，那块又大啊，感觉有点像底箱了的感觉，我不是很确定，那咱们就不用这个，呃，龙锥了，那咱们有什么用？球的面积？球的面积不也有三分之四吗？ 三分之四乘以 pi 乘以一，那这个时候半径是不就一？也就是说你只要比较一下这个立体图形啊，他的这个体积跟我们中间的这个球体的体积大小关系就很很明显，这比较大了吗？是不是？这不很明显吗？肯定大的吗？是吧？嗯， 好，所以说，呃，咱们这个就是对的了啊，就对的了啊。我们来看最后一个，这个最小值，其实我觉得你们猜你应该能猜到吧，是吧？啊？零零一，零零一在哪里？零零一是不在这个位置啊，这个位置他说到整个体积的这个最小值是小于一的，你看这个时候他就等于一了，对不对？宝宝们 啊，那你肯定有小于一的时候嘛，你说老师我怎么去验证？拿极限的情况去验证，比如说，呃，假设，呃， y 等于零， 是吧？你要答案你也可以假设 x 等于零都行啊，假设 y 等于零的话， x 方把这个零去掉，那是就是 x 方小于等于 z， x 方小于等于 z， 那 我们这个呃，所在的这个线上满足的就是你随便设一个坐标吧。 p 啊，都可以啊，设这个 p 的 坐标是 x， 零，逗 z， 把它带到，求一下距离公式。然后呢，进行一个消元，得到的就是一个二次函数，带根号的二次函数。 那这个时候你再求最值不是很简单吗？那就是二分之三，所以呢，比这个一确实还要小一点，所以他是错的，所以这道题呢，应该选的是二三。这道题排除法其实就可以做了啊。