七下三角形全等的尺规作图怎么画?

这些还认识吗？直尺和圆规啊，就用它们。你能画正六边形吗？这不简单吗？我小时候可是数学课代表。中心点，先画个圆，直径两个点，在这两个点，以半径为半径， 半径一样。每个三角形都是等边三角形，这角度六十度，这两个角加起来一百二十度，所以这是个正六边形。那等边三角形呢？这个就相当于正六边形圆心的两个点，这就是正三角形，当然也可以这样， 这个非常容易证明。正方形呢，有点难度，不过难不倒我。中心点一样，先画个圆直线，然后画一条它的垂线，用大于半径的，然后连接四个点， 这也非常容易证明这条线垂线，这是直角，等腰三角形四十五度角，同样这边四十五度角，然后这个角是九十度。这两条线，这两条线都相等，这两条线也相等，所以这是个正方形。 试试这五边形呗，这五边形是奇数个边和角。呃，这玩意能用尺规画出来吗？就这还数学课代表了，我来给你画中心点， 以 a 点为圆心，原来圆的半径为半径， b 点为圆心， b、 c 长为半径。以 c 点为圆心， c、 d 长为半径。连接 c、 e、 c、 e 就是 五边形的一个边，把刚才的四个点连接起来， 这就是正五边形。证明稍微有些麻烦，这里就不证明了，其实就是通过构造黄金等腰三角形。黄金等腰三角形的角度是七十二度，两个七十二度就一百四十四度，就是正五边形内角的角度。厉害，还有更厉害的，能用尺规画正十七边形，谁呀？这是 高斯，高斯在一八零一年就证明用尺规可以画出正十七边形，解决这道两千多年的难题。 尺规作图可以做加减乘除和开根号，这样就证明了正十七边形是我平常很少见的图形，居然是可以用尺规画出来 的。这个关键问题的解决就是把三角函数的东西变成了熟悉的代数计算，开创了用代数方法解决复杂几何问题的先和。同时也可以知道正七边形这样简单的图形反而无法用尺规做图，而正二百五十七边形和六万五千五百三七边形反而可以用尺规做出来。

如何用尺规做图做出角的角平分线，并且要证明这样是可行的。 好，现在做角平分线要有一个角，我们取它的顶点，在这个顶点上截取相等的两个边，然后这样得到的交点， 我们分别用两个交点取一个小一点的半径，这样子做弧， 注意一定要注意这两个半径是相等的，在这两个交点为圆心做弧，这两半径是相等的，然后把这个交点与顶点一连接，接下来我们要正为什么这样做可以让这两个角相等， 这里面要涉及到一个圆弧的问题。首先我们要知道我们做的这两个半径他是相等的， 你比如说现在我们刚才回到那一步，做的这个半径和这个半径发现没？我的圆规他没有变化，也就是说这两个距离他是相等的，给他做一个连结好， 然后我们再回到第一步，第一步里面是做这个大圆截取，你发现截取这个过程中，这两个边其实都是这个圆的半径， 这个大圆的半径好，又加上这两个小的半径其实也是相等的好。然后呢他们又有个公共边，这样子就是三角形，全等边边边 这个知识点，然后全等的三角形，他这两个对应的角就相等，所以说这样是可以得到角平衡线的。

首先看第一题，已知在三角形 a、 b、 c 中啊，角 c 是 四十五度， 角 a 是 五十五度，那么我们就能算出来角 b 应该等于八十度，对吧？好，现在说 p b 等于 p c。 好，不知道现在大家看到这个条件是否敏感啊？这有两个点， p b 等于 p c， 大家说这个 p 点在哪？ p 点应该是在 b、 c 的 垂直平分线上， 所以这个题第一个你要做这个 b、 c 的 垂直平分线， 当然具体这一条这个书上现在没有说，那只是我们现在对于这个图形的很直观的感知啊，就是垂直平分线上的这个点啊，到这个线段啊，两岸的这个距离相等啊，无论哪一个点，你看到它们距离都是相等的啊，等你这个初二 后面学到之后，你会知道这是书上的一条细致定律啊。所以以后啊，遇到这个某一个点到两点距离箱的，你就把这两点连起来做一个线段，然后做它垂直平分线。 好，这是第一个啊，第二个 pbc 等于四十度啊，我们刚刚知道 abc 是 八十度，所以 abc 四十度，这应该是做它的角平分线， 所以再做一个角 a、 b、 c 的 平分线。 好，这个具体做图的那个痕迹我没有体现在上面啊，因为这个地方没有圆规。那我跟大家说清楚了，我做的是哪两条线，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

第三题说 a、 b、 c 是 一个轴对称图形啊，既然它都已经说它是轴对称图形了，那它们那它一定得是等腰三角形，所以按这个长度来说，只有可能是 b、 a 等于 b、 c， 明白吧？所以说做它的对称轴，其实你只要做它的什么角平分线就行了 啊。第一问，做他的角平分线啊，或者说第一问，做他的垂直平分线也可以，其实他是同一条线，等我们初二学到等腰三角形的这个三线合一，你就明白了啊，这个角平分线和他的垂直平分线都是这条线。 好，接下来看第二个说过点 d 做一条直线 n， 使交 b、 c 于点 e， 使得 b、 d、 e 等于二分之一角 a， 那 首先看到二分之一角 a 啊，我们可以先做角 a 的 角余弦 先把这个二分之一角 a 这个角弄出来，对吧？好，现在如果想要使得 b、 d、 e 等于这个二分之角一的话，那岂不是说明这个角一等于角二吗？ 我们是不是得到这个 d、 e 啊？应该是平行于，假设刚刚那个角平行于 a、 f， 是 不是 d、 e 平行于 a、 f 啊？ 那我们是不是只要做一个相等角就行了？大家说是不是啊？所以先做角平分线，做完角平分线之后，在这个以 b、 d 为边做一个相等角，和这个角相等。 ok， 那 这就出来了，这就是点 e， 这就是 n。 好， 继续往下啊，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！

那么这道题呢，很多同学在第一次做的时候都会出错哈，我们一起来看这个题目，用直尺和圆规做一个角等于已知角，如图能得出角 o 呢？和角 oep 相等的依据是什么？ 实际上这个题目很多人一看哈，认为这两个角相等的，然后 od 呢，和 od 一撇相等， oc 和 o 一撇是一撇相等，选这个边角边，对吧？ 啊，如果是这样想的，这个题目就掉入他的陷阱啊，出错了，实际上这个题目到底选什么呢？大家记住哈，为什么这两个角是相等的，也就是给了一个椅子角给我们，我们再去做一个角 o e 撇等于他啊，为什么会出现角 o e 撇等于角 o， 对吧？实际上是因为什么呢？是因为这里构造了两个三角形， o b， c 和三角形 o 一撇， d 一撇， c 一撇，这两个三角形是全等的， 所以才得到了这个角 o 一撇等于一只角角 o 啊，那现在题目就回到了怎么去正，这两个三角形全等，也就是这个作图的依据啊。到底是哪三个条件得到了这两个三角形全等？我们来回归到这个作图的一个过程。 首先，这个词规做作是怎么做的？是不是以 o 为圆心，任意长为半径，画一个弧，交 o a 与 c， 交 o b 与 d。 然后呢，再以 o 一撇为圆心，对吧？任意长刚刚一样的这个长度为半径，画一条弧，所以这里就 一定要 o d 等于 o d 一撇， o c 呢？是等于 o c 一撇的，对吧？接下来第二步就是以 c 点为圆心， c d 的长度为半径啊，把 c d 给截下来，然后再放到这里来，以 c 一撇为圆心，对吧？以刚刚一样的 c、 d 为长度为半径做一条弧，是不是跟原来的这个弧第一撇是一撇交于这个点，那这个点 就是我们要找了这个第一撇，然后再连接 o b 撇，那这个时候我们就会发现 c d 的长度和这个 c 撇第一撇的长度是不是相等的，所以就出现了边边边边边边 三边对应相等，所以这两个字好像都是全等的，那么对应的角 o e 撇就等于角 o 了，这就是这个作图的依据，所以答案应该是选 c 啊，记得点赞关注哦！

如何找到三角形的内心呢？首先画任意一个三角形 abc， 分 别做角 b、 角 c 的 角平分线相交于 o， 经过 o 做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 于 d。 然后以 o 为圆心，以 o、 d 的 长为半径画圆，该圆即为三角形的内切圆， o 为内心。

好，咱们来学习啊，做，用指规来做一个作图。问题就是知道了三角形啊，这个 a b c， 嗯，然后咱们做一个新的三角形， a 撇 b 撇 c 撇，就是绿色的，这个使得呢，这个 a 撇 b 撇等于 a b， 角 a p 等于角 a a p c， 嗯， a p c p 等于 a c。 那这个指挥作图怎么做呢？咱们现在来说一下。先图实话，嗯，从这个地方开始， 我制作成了这个啊，可以模仿 ppt 的分布影视啊，可以点下一步，下一步就 ok 了， 你可以点上一步，回头看上一步的过程。点动画演绎，那就是连续的把咱们所有的动作连贯起来， 一般咱们，嗯，说这个问题的时候，应该用这个按钮，下一步， 嗯，就在平面上，嗯，做出了这个点 a p 的有角的顶点 a p， 我任意起的。然后呢，过 a p， 先画一条色线啊，看看， 下一步，直指放上来。过 a 啊，画一条射线，画完直指周啊，恢复原来的位置，这时候得到一条射线， 这个时候呢，咱们先做角 ap 出来先，好不好啊？先做角 ap 等于角 a， 这时候呢，用用圆规来做， 先把这个圆规呢放到 a 和 b 之间，嗯，当然圆规的半径是可以任意放的，嗯，适当就可以了。 然后就画一个弧，呃，那这条弧呢，他就和 a c 交于点，按和 a b 加一点点。画完了，这个就要把圆规啊放回到 ap 这个地方了，半径就不要不要变了啊，半径不要变，直接平移下来， 平移下来画出一个同样的弧，这个弧呢，他就和刚才射线 apd 有个交点 f 了，这时候呢，圆规又回到这个点，哎， 不是到 b 啊，到这个点 m 来截取这个 m m 的长度的，但是要有一个做图痕迹，要画出这个短的弧，再下来，以 f 为圆心，以同样 长的半径画个弧度，有一个交点，这时候圆规先放过边了，直指又来了，经过 a 撇距而放直指， 再画一条线，线，射线，食指画完又收回来，这时候呢，这个角 ap 啊，就是角这个， 那这个 e a 撇 b， 它就等于角 a 啦，已经 还要画呢， a 撇 b 撇等于 a b， 这时候呢，咱们下一步就用圆规来了，来截取这个 a b 的长度，然后呢，画 一个啊，这个指规的一个作图痕迹吧。然后呢，再把圆规放下来，半径呢啊，不要变。 再画出同样的一条短的弧，两个弧呢，它的半径是一样的，得到点 b 撇了，那么 ab 撇，就等于 ab 了， 然后这时候你圆规知足，又放到 ac 那里去了吧， 画一条短的弧，就是在这那个地方画一个作图痕迹啊，用虚线，然后这时候又放到 a 撇这里，然后呢，又来画 短的弧，它就和 a 撇 e 呃，有一个交底的 v c p ga， 一撇 c 撇就等于 ac 了，因为圆规同圆的半径相等下来，圆规不用等一下，要框住这个三角形出来，所以直指再用一次，再用一次， 把这个直指放到这个 b 一撇 c 撇这里， 这支笔出现以后，咱可以画出这条线啊，这样绿色的三边都连起来了，然后呢，咱到下 这个食指就放回原处，这时候画出来的东西啊，这个绿的和这个黄色的两个能不能重合呢？ 咱们就用这个点这个按钮， s a s 按钮，那就过来看看能不能完全重叠。 ok， 发现了这两个字他都能够完全重叠的， 这个 c 品摊合这个点 c 也成别了。这样，那如果复位 点这个按钮，点这个边角边这个热文字按钮，那就移动过来验证一下。然后咱们就发现了一个公认的事实，这就所谓的 s a e s 边角边公里 就得到全等三角形的一个判定定理。如果两边以及这两边的夹角把它对应相等的两个三角形，它是全等的， 因为刚才指挥作图啊，作图的这两个能够重合。嗯，如果点这个动画按钮，就把刚才咱们 做图的过程呢连贯起来，大家看一下效果，这时候鼠标不用动，它会自动播放， 还有一个要连接起来。 好，那这样咱画好也可以验证一下。发现了啥？发 现了一个全等三角形的判定公里，就是 sas 这个判定的定公里 在书上，现在中学课本的书是作为宫里出现的，但是在欧基里德老先生的啊，名著里面就是几盒，原本里面他不是宫里的，咱为了照顾啊 这个青少年，他的那个灵敏阶段啊，思维啊没有发展，但像数学家这么高的层次，有谁都为了降低这个教学要求就搞成了公里的形 是， 那用这个呃课件就可以很好的演绎所谓的边角边公里。 想学几何画板的老师可以关注咱们这个号，订购几何画板培训的精品专栏， 专栏的名称是数学案例以及画板动画制作。感谢大家的支持，再见。

一道尺规作图题，竟然难倒百分之九十九的学生，点赞、收藏，转发给你的孩子，如果他不会做的话，一定要认真把这个视频看一下。好，接下来看题说，已知等腰三角形一号的中线为 a， 高线为 b， 让我们用尺规作出三角形 a、 b、 c。 第一眼看到这个题呢，我也有点懵，没有给底边，没有给幺二长，也没有给等二三角形最特殊的三线和一条线，给的反而是幺二的中线和高线。那我们先从这个条件入手，先试一下，把高线和中线给它做出来。 好，现在做高线，我们先做两条互相垂直的直线，记做 l 一 和 l 二。那么如下图所示啊， 垂足呢？记作点 d， 以 d 为圆心，以 b 为半径画圆，那么会与我们的 l 二上下各有一个交点，那我们就先取一个啊，取这个上面的 交点，记作点 b， 那 么我们的 b、 d 就是 我们幺二的高线。继续，我们以点 b 为圆心，以 a 为半径画圆， 那么会与我们的 l 一 啊，同样的，左右会有两个交点，我们也只取其中的一个。我们假如说取左边的交点为 e 点，那么 b e 就是 我们压号的一条中线， 那这样的话，我们做出来的一个三角形，直角三角形 b d、 e 这个点 b 呢？此时呢，应该是我们等角三角的顶点，而我们的另外两个顶点，它一定是落在直线 l、 e 上的。 好，这是我们的第一步啊，先确定出来这个直角三角形 b， 第一，接下来应该怎么考虑呢？ 接下来我们要想等二三角形它具有对称性。第二呢，我们要从这个中线和高线来入手，那么对于一个三角形来说，三条中线的焦点 叫做重心。那么如我们这个下读所示啊，一个三角形的重心呢，有一条非常重要的性质，那就是 那么欧式三角形 abc 的 重心，我们就会有 a o 比 o， d 等于 b， o 比 o， e 等于 c， o 比 f 等于二比一。也就是说一个三角形的重心呢，它应该同时是三条中线的三等分点。 那换句话说，既然我们已经把这个等二三角形它的一条中线 b 做出来了，事实上，我们是可以确定这个等二三角形的重心的位置的，它就应该是 b 的 三等分点，且靠近点 e 的 那个三等分点。 好，那另外呢，我们还要注意一点，那么等二向量形的重心呢，因为它具有对称性，重心 o， 它到两个底角顶点 b 和 c 的 距离应该是相同的，也就是这里面的我们的 o b 应该等于 o c 的， 所以呢，如果我们能确定出来这个等二向量形的重心的位置的话，我们也可以确定出来另外一个底角的顶点 c 的 位置。 好，那么接下来第二步，我们先来尺规做一下 b e 的 三等分点，那么如图二所示啊，在这呢，我给大家分享的是用相似来找 b e 的 三等分点， 我们以点 e 为圆心，以 e d 长为半径画圆。继续呢，以点 d 为圆心啊，以相同的半径画圆。那么这样做三个圆以后，就可以算出来一个点 f， 那 么连接 b f， 我们就会发现呢，这个点地，它应该是 e f 的 三等分点，那么我们只要过地去做 b f 的 平行线 与 b e 交于 m 点，那么 m 就 应该是我们的 b、 e 的 三等分点。好，那这个非常好理解，因为它是一个相似啊。好，这样的话，我们的重心的位置就现在下来了。 第三步刚说过了，我们的这个等 r 三角形，它的重心应该到两个底角的顶点，距离是相等的，所以我们只要以 m 为圆心，以 m、 b 的 长度为半径，画圆 与 l、 e 的 交点，我们记住 c 点，这就是我们的另外一个底角的顶点 c 的 位置。 好，现在我们的 b、 c 一 连就是我们的这个等式三角形的底边了，那当底边确定下来的时候，我们的顶点 a 啊，这个顶点顶点当然就比较好确定了， 我们可以取 b、 c 的 中点 n 点啊，如像的所示，你既可以去连接 n、 m 并延长，那么与 l、 e 的 交点就应该什么呢？顶点顶点 a 的 位置，你也可以直接去做 b、 c 的 中垂线啊。总之呢，你是需要去取 b、 c 的 中点啊，用它的这个对称性来 确定我们的节点位置。好，那么我们这个三角形 a、 b、 c 就 画出来了。那么最后总结一下，这道题的主要的一个突破口是什么？ 其实是我们这个等二三线的这个重心的位置啊，它是落在了中线的三等分点位置，所以我们这道题给了一个中线，那我们把中线做上以后呢？事实上是可以确定这个等二三线 重心的位置的。好，这道题大家听懂了吗？有没有其他更好的方法，欢迎大家分享。

今天继续学习新内容，喜欢就收藏加关注吧！好，看一下本节涉及到的知识点，先回顾一下尺规作图的基本概念，以及已经掌握的基本做法。 做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角。根据全等三角形的判定定例，可以分三种情况，尺规做三角形，即边角、边角、边角、边边三种。尺规作图情形。 好，我们看一道经典的考试题，暂停思考三秒钟。 好，我们看具体的解析步骤。 好，我们对本题进行一下总结。要掌握几个关键步骤，定编，先用尺规做出已知长度的加编 定角，在加边的两个端点分别做出规定的两个角成型，两角另一边的焦点即为三角形第三的顶点。作图成立的依据是角、边角，其他的三角形作图也是根据判定定例而做。 好。我们看一个练习题，看看能不能做到举一反三。

这个视频我来给你讲讲如何用齿规做三角形。比如，给你两条线段和一个角，你能做出一个以 ac 为两边长度，以阿尔法为这两边夹角的三角形吗？试试看吧，随便画一条射线，用圆规量一下这条线段， 在这条射线上做 bc 等于 a， 三角形的一条边就搞定了。那接下来是做另一条边还是假角呢？ 有小伙伴说要画边，这显然不行呀，只知道边长，不知道角度，这边到底画在哪呢？还是先做角吧。 你已经学过如何做已知角相等的角，那咱就直接做出这个角度，使它等于角阿尔法。步骤我就不细说了，画好了角，再确定这条边就容易了。量一下这条线段的长度，移过来画个弧，这个角 焦点就是 a 点了。最后连接 ac 三角形 abc 搞定。画完图你发觉没，只要知道三角形的两边及其夹角，就可以用使规做出这个三角形。这样看来，如果要你做出一个和已知三角形全等的三角形，也是一样的方法， 随便找两条边和一个角当做已知，用刚才的方法操作一遍，就可以画出全等的三角形了。 哎，有小伙伴在问，要做出全等的三角形，只能这样做吗？嘿嘿，很低质吗？当然不止喽，刚才讲的只是其中一种方法，也就是边角边。除此以外，你还学过边边、边角、边角和角角边， 用他们也能做出全等的三角形来，具体咋做，你思考思考以后再说。好了。用尺规做三角形就讲到这里， 如果给你边角边让你做全等的三角形，你就分三步来做，首先做一边等于已知边，接着做边上的一角等于已知角，最后做角上的另一边等于已知边。怎么样，明白了吗？明白的话就赶紧去画图吧！