2025年门头沟中考一模数学几何

还有二十天一模考试几宗却没思路，今天教会你如何通过条件快速构造全等手拉手构造的常见的三个方法，大家一定要弄清楚。 换句话来说，我们从头开始去思考的话，手拉手模型的核心，它是由两个等腰三角形绕着其顶角或者说顶角点旋转产生的一个特殊的全等状态。 所以我们再去构造手拉手的时候呢，本质上是在构造第二个等腰三角形，或者说构造等腰三角形，因为当你有两个等腰三角形，此时你才能出手拉手， 这里边大家一定要注意，那我们在平时做题的时候，你就需要去想一想，哪些条件可以给你带来等腰，这个呢就是我们所谓的手拉手构造的核心方法了。 有第一个方法呢，是我们在一开始讲解的内容叫做特殊角度构造特殊图形，各位如果给你六度， 给你四十五度，这个时候呢，你一定能想到六度构造出等边，四十五度构造出等腰值，那么你构造出等边和构造出等腰值该怎么用，对吧？第一个用法就是利用等边和等腰值这个特殊图形的性质，辅助你倒边倒角解决问题。 好，此时我是没有放在手拉手当中的，对吧？那你利用了等边和等腰值这两个特殊的性质，辅助你去倒边倒角，你没有解决问题的话，你接下来你就要去想一想，或者说你脑子里要有第二个思路，就是他有没有和题中的其他的等边和等腰值联系到一块。 我现在自己构造了一个等腰直，题目中还有一个等腰直，这个时候咱们手想的一定是手拉手模型，这是第一个构造方法，第二个构造方法呢是三线合一，我一般称之为其为垂直倍长， 什么意思呢？就是有一个直角三角形啊，有一个直角三角形，那么我们会发现他这个时候呢，俩直角边，你随便倍长一个直角边，对不对？他就能形成一个等腰三角形， 对不对？这个呢是二零二三年北京中考的考法，所以我们这两年遇到了很多在利用直角三角形的呃，一条边进行备长，构造出等腰，然后出啥时候解决问题的原因也在找， 这个方法你也必须要掌握。第三个其实对于我们来说呢，都比较熟悉，不是，我现在呢有一个点，然后呢，这里面有一条线，假设这是 o， 这是 a， 我 o a 绕着这个点 o 旋转到 b 这个位置，各位，他只要旋转了，这个时候等腰就已经出来了， 对吧？ o a b， 它就是一个隐藏的等腰三角形，所以呢，你可以在这个顶点 o 处找一找它有没有其他的边，然后你让其他的边呢也旋转同样的角度，这个时候呢，你的手拉手就就就出来了， 所以啊，所以我们我们再去解决这个手拉手的问题啊。你首先你要先清楚哪些可以构造出等腰，这是我们常见的，也是限阶段常考的一些内容， 题目中说使 d j 等于 a d。 好， 各位，我们看到一个边相等，你能想到什么？看到边等，我们能想到两个内容，第一个，他是否会出特殊图形， 特殊图形根据边等，咱们可以去导边导角，这样的话呢，可以在几何当中去解决很多问题。第二个边等能否出全等， 对不对？因为边等，如果说这两个边构造一个和你一样的三角形，咱俩就全等了， 这个是一个很重要的一个内容，大家一定要注意。好，那我们来瞅一下啊，题目中的 d j 等于 a d 做完了之后呢，我不知道你自己有没有这样的一个感受，你在这个地方你是其实是需要注意的，它里面有一个隐藏的三角形，是谁呢？等腰值 a d g 等腰直角三角形 a d g， 它通过这样的一个说法描绘出了这样的一个三角形， 对吧？那我要是想解决这样的一个问题，我就可以通过这样的一个角度去思考，换句话来说， d j 旋转九十度到了 d a 这个位置，对吧？然后呢，接下来他又说了 d j， c f 和 af 之间的一个数量关系，那我们这里还知道什么？这个 f 角应该是四十五度，因为这个角是四十五度，这个地方是垂直的，对吧？ f b e 是 一个等值，那我怎么去解决这样的一个问题， 是不是？所以在这里边我们去思考的时候呢？就会想到，你会发现啊，你会发现三角形 a d j， 它已经给我们一个非常 大的提示了，有一个旋转九十度，有一个边等，对不对？它这边有一个等号值，所以我在读到这个题目当中，我一开始如果说是比较迷茫的话，那我首先想的是在 d 处看一看是否会存在第二个等号值 啊？在 d 处是否会存在第二个多少值？好了，各位，你会发现，此时呢，你再借助第一问的一个条件，你会发现这道题好像也就呼之欲出了 啊，为什么这么说呢，这个角是 r 发度，这边这个角呢是九十度减去二倍的 r 发度，所以我在这边构造一个等腰的话呢，这个等腰一旦构造出来，那这个地方一定是垂直，然后你一连接，你会发现这道题呢就做出来了。 呃，所以我们这道题的总体上的思路来说，并没有那么难啊，需要大家对于鸡爪模型，也就是手拉手构造其中的一个方法足够的熟悉。好，那我们来看一下，我在这里边呢，直接构造一个等腰，我假设这边是 n， 那 这样的话呢，这个角就是阿尔法，这个角如果是阿尔法的话，那这个角就是二倍的阿尔法。各位，此时你会发现，等腰直角三角形我们就已经构造出来了， 对吧？而且呢，在这个地方呢，你会发现你连接 n c 啊，你也能得到一个垂直，也能得到一个垂直，对吧？呃，这个是我们所说的这样的一个图形的一个特殊性啊，当然了，我们这个呢，也是有点马后炮，所以大家在考试的时候呢，分析的时候一定要注意这些内容。 好，那这样的话呢，我们会发现这道题就很简单了，这个三角形和这个三角形全，等一旦中出来之后，我们会发现这个 e g， 他 应该假设这边是 a 的 话，那这边呢，应该就是二分之根二倍的 b， 所以呢，这个 a f， e j 和 c f 之间的关系咱们就出来了啊，那这道题呢，咱们也就中 b 了，这个呢是二零二五年海淀一模的结合综合，有学习问题私信咨询。

主体门头勾取，我们看一看点， e 是 正方形， a， b， c， d。 一 点角 e， b， c 是 等边三角形，三个边相等，三个角都是六十度 连接 a、 c 交 b， e 与 f 点连接 a， e， d， e。 接下来正确的是， a， e 等于 d， e 看似相等角 e， f、 c。 这个角等于二倍的角 a， e， b。 这个角 三角 a， e， d， a， e， d。 这个角等于二倍的 a， e， b。 这个角 a、 b。 等于二分之一加根号三。 a， b， b， f， b， e， abc 是 正方形，所以四条边都相等 角 a、 b、 c。 等于九十度，四个角等于九十度。等边三角形的这个角多少度？六十度，这个角是三十度。三十度，这个角多少度啊？七十五度，这四个角都是七十五度， 七十五度。那三角形 b， a， e 和 d、 e、 c。 中 有什么特点呢？可以说是角，角边也行，角角边也可以是角边角。两个三角三角形 b， a， e 和 c， d， e 全等，所以 a， e 呢？等于 d， e， e。 结论， e 正确， a， b 等于 e， b。 啊，等腰三角形可得角。这几个角四个角都是七十五度角， 那这个角多少度？十五度角，这个角四十五度，那这个角等于三十度。 我们瞧， e， f， e， f， c， e， f， c 等于谁呢？等于角 e， a， c， e， a， c 等于多少？三十度加上角 a， e、 b。 七十五度，等于一百零五度。二倍的角 e， d， c。 二倍的角 e， d， c。 等于一百五十度，所以两不相等，二不正确。第三 角 e， a、 b。 等于七十五度， e， d， c。 七十五度。我们看一看， a， e， d， a， e， d。 怎么算呢？你这个角十五度，它等于三角等于多少？一百五十度角， a， e、 b。 等于七十五的二倍，所以三是正确的。四 过点 f， 若 f m 垂直于 b， c， f， n 垂直于 ab， 点 n， 设呢 b m 等于 a。 九十度。这个矩形，矩形啊，这是矩形 b m， f， n 是 矩形 m n b 中角 n b f 这个角三十度。为啥呀？这是六十度，所以这是三次角。那 b， f 呢？等于二倍的 f， n 等于啊。勾股定律得到根号三 a， 那 在 f n a 中呢？这个里面呢？ ab 等于 b n 加上 a n， a 呢？又等于二分之一的 b f， 所以 a b 等于一加根差号乘以二分之二分之一加根号三 b f， 所以 四是正确的。

数学二零二五一模压轴选择题，北京二中在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 等腰三角形角， a 等于一百二十度，顶角等于一百二十度， m、 v、 b、 c 上的中点三线合一，中点 底边上的高菱角角平分线 o、 v、 abc 的 外心。外心是什么呢？垂直平分线的焦点外心， 外心就是外接圆的圆心点 abc 对 应点非 a 撇， b 撇， c 撇，圆圈， r 化圆圈 r 外 三角形 abc 绕点 o 点 o 旋转阿尔法。哪个角是阿尔法呢？这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，这个角也是阿尔法。给出三个结论，点 o 到 ab， a 撇、 b 的 距离相等。 存在唯一的 r 法等于第三，有最大值。我们看一看啊，因为 a、 b 等于 a、 c 角 a 等于一百二十度， o 为 a、 b、 c 的 外心。将 a、 b、 c 点 o 顺时针选选 r 法， r 法以后旋转可得正六边形的一条边啊，这旋转呢？ abc 等于幺三角形，外心性质和边的距离相等。我们看一看啊， o 到 ab 的 距离， o 到 ab 的 距离， 到 a 撇、 b 撇的距离相等。为什么相等呢？我们看一看啊， ab、 o、 a 不 变啊， o、 a 不 变，这一段呢？这个定长，所以这是相等的，我们做它这个垂线，这个斜边都是这个外接。外心就是外接圆的， 圆心保证的是外接圆的半径，这段不变，所以到过点的距离相等。一、正确二角 a 等于一百二十度，这两角等于三十度， 所以 a、 b 等于 o， b 等于 o、 c 再结圆四边形 a、 b、 o、 c 是 菱形， a 撇、 b 撇， o 撇同样也是菱形啊。我们看一看到 b、 o、 b、 d、 b、 d、 b、 d 这条边啊， 平行 o 撇 c 的 要变，又因为要 b o b 撇零三十度，所以 b 撇 c， b 撇 c 撇平行 o b， 所以 四边形 b d， c 撇 l。 这个四边形是平行四边形，也是菱形，所以 b d， b， d 等于 c 撇 o 等于 ab， 比上等于一比一长，且 r 等于三十度数。二是正确的，二也正确。三，因为 o m， o m 等于 o m 撇，所以点 m 在 o 为圆心， o m 为半径上运动。当悬浆角为 r 发时，这个 b m 撇有最大值。最大值什么时候呢？当 m 撇在 b o 的 延长线与圆的交点处起的 b o， 我 们看一下啊， 就是这样的一个圆，圆什么时候取得呢？就是当 b m m 在 b o 的 延长线啊，延长线 b m 取得，所以三也是正确的，一二三都是正确的。

北京初三数学一模会编几何综合体，是一北京二中直角三角用 a， b， c。 等角 b， a， c。 等于九十度 a， b。 等于 a， c。 等腰直角三角 b a， c， a， d。 垂直于 b c。 斜边上高有斜边上的中线点 d， s。 顶角平分线 m， n 分 别 m， n 分 别是两只角边 a， b， a。 边上的动点满足 am 等于 am 也是 am 也是等。腰直角三角形连接 b， n 过点 m 作 f f 垂直于 b， n。 要 b c 以点 f 垂直于 h。 第一， a， e， a， e 等于 a n 时，证明 a， e 不 等 a， n 时，怎么证明？ 我们看看第一问啊。角 b， a， c。 等于九十度 ab 等于 a c， a， d 乘以 b c。 所以 角 a c b a， b c d。 这个小角 c， a， d 都等于四十五度 b， d。 斜边的一半 c， d 的 斜边 a， d 的 斜边上的中线 a， e 等于 a n。 那角 a， e， n， a， e， n 等等于角 a， n， e。 因为是等于二三角形角 a， e， n。 等于多少呢？这顶角四十五度，所以这两角六十七点五度。角 b， e， d， b， e， d。 等于角 a， e， n。 对 顶角 对零角等于六十七点五度 b， n。 垂直于 m f， a， d。 垂直于 b c， e， h， f e。 这个角等于 e d， f。 等于角， 等于一百一十二点五度 b f， m 等于 b m f。 这个角等于六十七点五度 b m 六十七点 b， f， m 也六十七点五度，所以 b m 等于 b f。 因为 a m， a， m 等于 a n。 角 m a， e。 这角 n a e。 四十五度 a， e 等于 a e a， b 等于 a c。 所以 三角形 a， e， m 和三角形 a， e， n。 全等 b， m 等于 c n。 因为什么呀？同时减去这一段啊。 em em 等于 em 对 顶相对应的边角 a， m， e。 等于角 a， n， e， a， d。 垂直于 bc 斜边上的高中线 b， d。 等于 c d， e， b。 等于 e c。 所以 b， m， e 和三角形 c， b， m， e 和三角形 c， n， e。 这两个是全等，类似于一个眼镜这样的。 b， e， m。 等于角 b， e， m， b， e， m。 等于角 c， e， n。 三点共线连接 e m 到 k 是 c， e。 等于 e k， b， d。 等于 c d， b， d。 等于 c d， a， d 乘以 b， c。 所以 e， d。 平行于 b k， b， k。 等于二倍的 d， e， b， k。 垂直于 bc。 角 abc 等于四十五度， 所以角 m， b， k。 也等于四十五度 m， f。 乘角变成九十度。 角 m， h， n。 等于九十度 m， a， n。 这两个角等于八十度。所以 b， m， h， b， m， h。 是 哪个角？这个角等于角 a， n， e。 等于这个角。 也因为这双角相等，所以 b， m， k。 这个角等于 b， m， f。 所以三角形 bkm 和三角 b， m， f。 全等。那 bk 呢？等于 b， f， b， f。 我 们刚算的等于什么呀？等于二倍 b， m， b， f。 等于二倍的 d， e， d， e。

你永远也考不过一个假期，每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何，能帮你快速解析的几何模型要趁早掌握，比如说这个三线八角模型、铅笔头模型、八字模型、燕尾模型等等。老师在课堂上因为时间的原因不会系统的教，但是考试要考，该怎么办呢？ 可以看看这套万维的初中数学几何模型，它包含了初中常考的六十个模型，学会用模型去解析。

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这是二零二五年北京海淀出三一模的第二十七题，是考察三角形的几何综合题，也是典型的应用截长补短辅助线的题目。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 角 a、 b、 c 等于阿尔法。阿尔法大于零，小于四十五度 a、 d 垂直 b、 c 于点 d。 将射线 b、 a 绕点 b 顺时针旋转四十五度，得到射线 b、 m 过点 c 做 b、 m 的 垂线 b、 a 与点 f 连接 e、 d。 第一问 e、 t、 e 补全图形，并求角 e、 d、 c 的 大小，用含 alt 表示。根据 t、 e 补全图形后，可以知道三角形 b、 e、 f 是 等腰直角三角形。角 a、 b、 e 等于四十五度 三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形。根据三角合一定理，点 d 是 bc 的 中点。见到中点，首先想到被长中线、中位线、斜边中线的辅助线。方法，只要题中 e、 d 是 直角三角形， bc 的 斜边中线，这样就可以得到三角形 b、 e、 d 是 等腰三角形， 这样就可以导出角 a、 b、 c 等于阿尔法，所以角 d、 b、 e 等于四十五度减阿尔法。 因为 c、 e 垂直 b、 m， 所以 角 bc 等于九十度。因为 ab 等于 ac， ad 垂直 bc。 根据三线合一定律， d 是 bc 中点 d、 b 等于 cd， 所以 d、 e 等于 d、 b 等于二分之 bc。 直角三角形斜边中线等于斜边之半三角形 b、 d、 e 等于角 d、 b、 e 等于四十五度减二法。等边对等角， 所以外角角 e、 d、 c 等于角 d、 b、 e 加角 d、 e、 b 等于九十度减二而反三角形外角等于不相邻的两个内角和 第二问，在 d、 c 上取点 g， 使 d、 g 等于 a、 d 连接 e、 g 用等式表示线段 e、 g、 a、 f 与 c、 f 的 数量关系，并证明 这一问利用了截长补短的辅助线方法提看提示 d， g 等于 a， d。 首先看看如何利用这两条线段构造全等三角形。 上一问求出角 e， d、 c 等于九十度减二二法 e、 d 等于二分之一 bc。 如果我们构造直角三角形，也可以构造等于二分之一 bc。 线段 过 c 做 c h。 垂直 af 交 af 于点 h 连接 d h， 这样 d、 h 也是直角三角形的斜边中线。等于二分之 b c。 所以 d h 等于 d e。 再通过倒角就可以证出三角形 a， d、 h 与三角形 g， d、 e。 全等得到 a、 h 等于 e g。 做垂直的好处，还可以勾到一个等腰直角三角形 f h， c， h， f 是 直角边， c、 f 是 斜边， 可以得到 h， f 等于二分之根号儿倍的 c、 f。 所以 a、 f 等于 a h 加 h， f 就 等于 e g 加二分之根号儿倍的 c、 f。 下面写下证明过程。根据 c h 垂直 e、 f 可以 得到角 c， h， f 等于角 c、 h， b 等于九十度， 因为角 f 等于九十度减角 a， b， e 等于四十五度，所以 h f 等于 c， f 乘以 cosine 四十五度等于二分之根号二倍的 c、 f。 这里建议用三角函数计算，这比勾股定律步骤简洁，节省时间。 因为 d h 等于 db 等于二分之一 bc。 三角形 b， d、 h 也是等腰三角形，所以 d h 等于 d e。 角 a， h， d 等于角 abc 等于阿尔法。下面再正角等， 所以零角角 b， d、 h 等于一百八十度减 r r 法，所以角 adh 等于角 b， d、 h 减九十度，等于九十度减 r r 法。上文已经证出角 e， d， c 等于九十度减 r r 法，所以角 adh 等于角 e d c。 因为 d g 等于 ad， 所以 三角形 adh 全等于三角形 g d e。 理由是边角边， 所以 a h 等于 e g， 因为 a f 等于 a h 加 h f， 所以 a f 等于 e g 加二分之根号为的 c f。 这道几宗题，综合考察了等腰三角形、直角三角形、全等三角形的知识点，解法非常巧妙，如果对重点的辅助线方法和截长补短的辅助线方法比较熟悉，是不难想到的，这需要在日常的练习中不断强化巩固。

是中考数学压轴选择题。二零二五年一模丰台区如图。三角形 a、 b、 c 是 等边三角形 a、 b、 c 等边三角形 点 d， e、 f 分 别在 c、 a、 c、 b 的 延长线上，延长线上 a， d， a， d 等于 b， e 等于 c， f 等于一连接 d， e， e， f， d， c。 给出四下结个结论，三角形 d， e、 f 是 等边三角形 d， c 垂直于 e， c。 这个角是直角。第三个，三角形 e、 c、 b 的 面积，第四个外心的重合。 我们看一看啊，边长等边向边长，为延长了一个，我们看一下这试问啊， 证明 d 又是等边三角，怎么证明呢？ abc 是 等边三角形，所以角 b， a、 c 这三个角等于多少啊？六十度角，补角，这个角三个补角啊， 三个补角等于一百二十度分析边长 ab 呢，等于 bc 等于 ca， 然后呢？ a， e 等于什么呢？ a， e 等于 a， b 加 b， e 等于二 a， e 等于二 c， d， a， e 等于 c， d 证明全等三角形 a， d， e， b， e， f， c， f， d 这三个三角形全等全等边角边 s， a， s 所以 是等边三角形 e 正确啊！ 二、怎么证明垂直呢？怎么证明 dc 垂直于 e， c。 我 们看 dc 等于几？ dc， ec 等于几？ b， e 等于 bc 等于 e 角 e， b， c， e， b， c。 这个角等于一百二十度啊，等于一百二十度，这是余弦定力，我们算的 e， c 等于多少？等于根号三 e， c 等于根号三 dc 呢，等于二 d， e 怎么算呢？ d， e 三角形 d， c、 e 中啊，我们可以看一看，可以看到最后。 如果证明两个是垂直，要用第一个，用勾股定力，第二个呢，可以证明两个向量垂直 d， c， d， a 等于 d， e 等于多少呢？ d， e、 d、 e 这个角通过余弦也能求到。 d、 e 等于根号七二， e、 c 是 多少呢？ e、 c 是 根号三，勾股定力垂直等于根号七啊， 因为是有这个角，是六十度角，一百二十度角很容易求的，所以两个垂直，第三个求的面积。求谁的面积啊？ 求三角形 e、 c、 f 的 面积，这个怎么求呢？一定要记住，三角形有什么中点定力，只要是三角形 a、 c、 b、 d 中点分的三角形都面积就相等，所以三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？四分之根号三， 三角形 a、 b、 c 和三角形 e、 b、 c 这两个三角形全面积相等，为什么呢？因为 b 是 a、 e 的 中点， 又因为 c 呢是 b、 f 的 中点，所以三角形 b、 e、 b、 c 也等于三角形 e、 c、 f 等于三角 a、 b、 c 等于四分之根号三，不等于根号三，所以三是错误的， 是外心。什么？什么外心？等边三角形外心，内心，中心重合，顶在距离相等。外心三角形 abc 的 外心，这个是以可以证明，其实大家可以想象啊， 想象里面的三角形沿着这个内外心旋转，旋转，旋转到最后， 它们三条边平行，只是一个放缩小型的三角形，就是三角形 e、 d、 f 和三角形 abc 相似，并且位置还是一样， 也是一个缩小版的，所以它三，它两个外心重合，里面的这个三角形 abc 可以 围绕它外心旋转某一个角度， 所以是正确。当然有需要，如果是大题，需要严格的理论证明选择题，那就一、二、四。