数学必修三角函数

读读读读读读，一堆公式，整一个傻傻分不清楚，我要挑战一个视频，把诱导公式彻彻底底给你讲清楚！教材又一次上演地理隔离诱导公式正式学习是在一百八十八页，第一个公式居然在一百八十页，标题还没出来，公式已经开始学了， 正式学后面的公式，一百八十九页，他又没学全乎，老五老六呢？一百九十二页，老五老六出来了， 你把公式写在一块堆，它还记不全乎呢？好了，那我们说回公式本身，其实单单看字面含义还是好理解的。先看第一个红颜色，什么叫做基还是偶？就你一会。在所有诱导公式的题目中，一定要找到 二分之派，它的倍数。如果是奇数的话，比如说正二分之三派，负二分之五派，这就叫做它的奇数倍，那咱就按照奇变来走。反言之，如果你遇到的是三派六派负二派， 这些都相当于它的偶数倍。对，不论正负啊，咱只看奇偶，那如果是偶数倍的话，就按照偶不变。 所以问题来了，那这个变和不变指的是什么呢？就是名字。其中呢？如果是 side 这个名字，你要是让我变的话，就是变成 cosine， cosine 如果变的话，就是变成 cosine， 那 不变就是不变，这没什么好说的，而 tangent 和 cotant 就是 另外一对了。 所以你看，哪怕你不理解，只要你学会解析的手法，照样得高分儿。当然，我希望大家还是在理解的基础上往下去学好，那我们再来说呢，后半句儿，什么叫符号儿？这个就是正负号儿。 所以到底我是取正号还是负号，这得看所处于的象限，比如说这叫第一，这叫第二，这叫第三，这叫第四，这就是所谓的四个象限。好，字面含义咱先说到这， 接下来往下看。刚刚六大公式，我们现在就拿它当做例题，包括一会也会给出母题，这个又是教材当中的例题，通通都会给大家讲清楚。好，那我们看左边啦，这是阿尔法加二 k 派，请同学们开始跟欢老师应用口诀。 首先在这里边找到二分之派，而它是多少倍？你看啊，这阿尔法是你要研究的对象，它可不是二分之派，显然是波浪线。二 k 派，它就相当于二分之派乘以四 k， 所以显然当 k 是 整数的情况下，这四 k 妥妥是偶数。因此，按照刚刚说，偶不变，那它现在的个名字就不变。所以你看，散也依然是散也，名字没有改变，即变，偶不变，用完了 好换颜色。再说符号看象限，你说我到底是等于正的还是负的呢？当然有同学眼神可好了呢，说，你这前面没写符号呀，是正的，那你得告诉我，我这个正的是咋来的？我教你啊，你一定要把这个 alpha 看成锐角， 那么请问二 k 派加上一个锐角是位于第几象限？你想这是圆，这个呢？是起始的边，那么你想，你转二派，这是一圈，你转四派也是到这，所以你会发现， 如果是二 k 派的话，它永永远远中间都是在这。咱之前不是讲过象限角轴线角吗？这个就属于在 x 轴，正半轴的轴线角。 好，在这二 k pad 的 基础上，再叠加一个锐角，阿尔法是不是就位于第一象限？好嘞，拿出黑色笔，这整个前面一坨哦， 它是位于第一象限，然后你只需要思考一件事情，就是对于原来的这个名字，不能看改名之后的， 因为你研究的对象，请大家记住，你要从一而终。我们研究的一直是前面，所以你研究的是这个在阿尔法是锐角的情况下，这个整体在第一象限的情况下，当然是它的曲值喽，是正值负值。 哎，散引在第一象限是正值，因此后面就是正号。好，即便不变符号，看象限，你听懂之后，欢老师要恭喜你，表面上看 个个公式都是背的，但是你发现用咱们这个口诀个顶个的都能够说出个理来。这老大说完，咱拿老四试一试好不好？先寻找二分之派，那我明显看到这个是一个整整提起的派，它是二分之派的二倍，所以这是基数，偶数呀， 偶数，所以偶不变，散也依然是那个散也。其次，再来告诉我这个是第几项线，你想，如果这是一个单位，元 pi 一 百八十度，就应该是在这个位置上，所以在这个位置上减掉一个锐角 alpha， 那 么它应该是落在第二象限， 而第二象限对于散影而言，它也是正的。因为我给大家在上个视频当中讲过，我这散影看的是 y 诶， cos 影是看 x， 所以 说它现在是在第二象限， y 值显然是正的区域，所以呢，它这块就是一个正号。 好，有人现在大约明白了，这是第二遍用口诀了，然后，但还不过瘾，毕竟这也是正好，这时候正好我还没见到符号呢，这样，老五老六这不搁这等着呢吗？我特意啊，给大家找一个未来会有符号的情形来讲来看这个， 他是贪婪的二分之派加阿尔法，请问这里边有没有二分之派的倍数呀？哎，就是在这里，他显然是二分之派的一倍，所以说就是积， 那么基是要变化的。有的人说，这我不认识，哎，其实 tangent 分 之一就是我刚刚提到过的，如果您这 tangent 要变，这就是它变化之后的名字，叫做 cotangent， 所以 说呢，现在是要变的，对吧？那么就变成了这个样子。其次，我们再来看这个中括号，它是第几相线？二分之派是九十度，九十度，再加一个锐角，这是第二相线。好，第二相线的 tangent 指是什么样？ 首先 find 呢？相当于 find 比上 cosine， y 比上 x， 所以 在第二项线 y 是 正的，而 x 是 负的， find 就是 负的，所以第二项线 find 的是负的，那么后边这个地儿就是有一个符号在的。好，现在在课本当中六大公式， 第一对，第二对，第三对，我都给大家举个例子，举了仨例子，你像第一对呢，它其实研究的这是要么你给我加二 kpi， 要么你就什么都不需要加。 而第二对，你要不然就是跟派派加某某，要不然就是派减某某，跟派有关。第三对就是二分之派减，或者是二分之派加跟二分之派有关。所以基本上到现在为止，这个口诀你是要会用的。可是 我想问在座所有看到此刻视频的人，为什么鸡就会变化？那怎么就不能鸡不变，偶变呢？ 为什么呢？我先解决第一个问题，其实诱导公式啊，他有一个非常大的贡献，如果你在生活当中听过这样一个物件叫做放大镜，那么诱导公式就是一个放小镜， 缩小镜怎么着呢？因为我们以前在学角的时候，石化角你放到一个三角形当中，这个角都是满肉眼可见的，很好研究的角度比较小的角。 可是在我之前的视频当中，任意角，自从学了这个概念之后，你会发现蚂蚁把它放在直角坐标系的话，这个边给它锁定，那你这个边开始转，你想这个角倒是很小，你转转转转转转转转转转，你比如说你转到这这个角是不是会很大？那你要是转到这，这个角，哦，这么大， 那甚至他还可以套圈，哎，一圈，两圈，三圈，所以你可能听到的不仅仅是三百六十度了，可能是三千六百度，五千八百度，所以这些特别大的角，请问在数学当中，尤其到了越来越尖深的数学，那那个领域会不会涉及到对他们的研究呢？那必然的， 毫无疑问的，所以我们必须要找一个放小镜，把这些非常庞大的角给这画成小可爱，咋着呢？你看教材也说了呀，我们可以把通通任意角，马踏特别大，也画成锐角来进行研究， 所以诱导公式，诱导公式就是聪明的，我们把咱们思考的结论凝结成一对小口诀，就给它整完了。那我们再来拿母题和教材上的题给大家来说道说道。你看教材当中呢，它就有引导 这四种情况。所以你看二四年河北区的期末题，就考了类似于教材当中的括号一第一问，而在二五年房山区的期中，他考到的，这就像教材当中的第三问，你看这有符号， 所以我为什么会重视让孩子们不管是在平时考试还是高考都要回归教材，是因为确确实实他也是考试会进行参考的。好，那我们现在就在这给大家讲解这道题目。 请看他现在问我， cosine 五百一十度，我们做一个小学数学题，这五百一它等于三百六加上一百五，但这一百五好像也不是锐角，不足够小，你就再把它写成九十加上六十，所以整个上面呢？那这是二派， 这又是再加一个二分之一派，整体就是二分之五派。二分之五派加上六十度，显然这是二分之派的五倍，它是积， 那么就要变，所以这 cosine 的 名字就要变成 sine。 好， 那 sine 六十度。随后看黑色笔，到底这前边儿是正号还是负号？我们就这样来想了， 看你这二分之五 pi 相当于是在二 pi 的 基础上又转了九十度，它已经位于 y 轴的正半轴了，在此基础上再加一个六十度这样的锐角，显然它是位于第二象限，而第二象限的 cosine 值是负的，所以一定要在这加上负号才行。 三引，六十度是二分之根号三吗？那这就是负二分之根号三，大家选择三号 c， 明白了不？如果还想要多训练的话，我在旁边把咱们教材上的看 括号一问，括号二问留在这里了，大家多多训练。好，那我们来看下一个题，这道题他问的是贪近的负三分之十三派一样的，刚才是度数，这回换成了所谓的多少多少派。 看啊，也是，咱要把它先用小学数学题化大为小。不过在此之前，请大家注意它这有一个符号，你看教材当中是怎么弄的，看一看这个符号是否能拿到前边来。这事啊，就不得不调用咱之前函数讲解的奇偶性了。 在下个视频当中，我就会正式告诉大家，贪镜的的图像长成什么样。现在啊，咱先聚个透，你先用着话说，贪镜的再长成这样一打眼，这明显是关于原点对称的 奇函数，所以奇函数符号是拿的出来的，咱们就把它写到前面去，弹进它里边，先照抄 三分之十三派。好，接下来这三分之十三，请大家思考，能把它怎么样化大为小呢？ 我在想啊，这三分之十三可以写成是三分之十二，再加上三分之派，而这三分之十二显然就是三四一十二四派嘛， 因此它就是二分之派的偶数倍，偶不变。所以你这是贪镜的，你现在要照抄，仍然是贪镜的，别忘了，刚刚这个符号也是咱们照抄的一趴，所以我们就都写好好， 后面三分之派在这也是照抄。最后我们用换一个蓝颜色来定符号，正所谓符号开象限，我就问大家这是第几象限？你想呀， 三分之十二派，这四派相当于是足足转了两圈，他又回到了 x 轴正半轴，在此基础上，你加个三分之派，这不显然是第一项线，那第一项线不管散印扣散印碳金的，扣碳金的任何的那常见三角函数值都是正的。所以既然是正的话，那咱前面什么也不用填， 你填你也是相当性的写一个正号，所以最终结果就是负的碳金的三分之派，我再次强调，不要眼花哦，这个负号是刚刚聊积函数落下来的， 不是符号看相线诱导公式来的，所以最终结果咱要拎得清。好，那出结果三分之派就是六十度摊进六十度是根号三，所以这负根号三，大家选择四号 d 结束战斗。 怎么样？诱导公式找到感觉了吧？但这个视频真正的高潮才刚刚来临。一方面，我要给你把刚刚的解析步骤进一步的 规范化，让大家清晰明了为啥说数学能训练逻辑感就是这么来的。再来，我还给你做一个拓展，与此同时，这个拓展在这里边我就要给大家讲讲，即变偶不变符号看象限，到底为什么即变偶就不变？这事终极如何来解读。 好，我们先来看第一步，面临有符号的情况，我会先通过奇偶性，那如果是奇函数，这个符号直接就没有了。第二步，大化小。 还记得我刚才放小镜的那个解释吗？大角画小角，可有的时候，如果这个角你画完之后还是一个钝角呢？什么一百二十度，一百五十度，还是需要大家进一步画成锐角的，所以有的题可能会涉及到小画锐，最后我们锐就可以求值了。好，随后呢 两个升级，这个升级要注意听喽，你再好好的感受一下三角函数到底是怎么个事。有两种常见的情况，一种是这两个角互余， 也就是说它俩相加等于九十度。还有一个是说这两个角互补，指的是这两角相加等于一百八十度。好，那这个互余和互补对于三角函数而言，有哪些中间结论呢？我先给大家说说上边啦， 互余的情况。你看呀，这阿尔法和 beta 如果是相加九十度互余长成这样，那么这个 sine alpha 值是不是对边 x 边比上斜边 l 边？而站在 bet 这个角，它的视角下，它的 cosine 值倒也是这个情况。你想 cosine 值是邻边比斜边，那不也是 x 比上 l 吗？所以让中间桥梁牵线搭桥，它俩也就建立起来了相等关系。因此，互余的两个角， cosine 值和 cosine 值相等。 可是咱今天的主角是诱导公式，来看看方法二，咱再从诱导公式的角度能否得出呢？你看，我就在想，你这散引阿尔法，你说它俩是互余，那这阿尔法角不就相当于是九十度减去背它？好嘞，那你现在看，这如果用积变偶不变，这是积，所以说它是要变的。 好，变完之后呢，贝特照抄，咱们再来想，这是第几相线？这很明显，九十度减去一个锐角是第一相线。第一相线谁的三角函数值，那都是正的。 这个正好我就不写喽，所以他就会得出跟刚刚一模一样的结论，三 l 法等于 cosine b， 三 l 法等于 cosine b。 你 看，发一发二来发一是数形结合的方法，发二是诱导公式。好，我陪着大家把这两个说道说道。你看这两角相加等一百八。 好，那我们先用法一给大家来说道说道。这里边我要做一条黑色的辅助线，啥意思呢？你别看现在这个 a 角，这个 b 角你互补关系能看出来， 但是我们在任意角做研究的时候，可都得是从 x 轴正半轴开始旋转。所以啊，我这 a 角将原封不动用这条红色的线，但是这个 b 角则要用这条线。我对应的是这个角， 这个应该很好证明，它有点像咱学物理当中的光学。你不觉得这特别像法线吗？所以这个黑色的角和这个 b 角是相等的。我也在这再写一遍 b， 它俩是互补关系。晓得啊，那咱们开始证明。首先你会发现，这 b 角的小黑点 和 a 角的小红点 y 值都是在 y 轴的正半轴，显然是相等的关系。而在 x 值上呢，你会发现它俩一个 x 值是正的，而另外一个 x 值刚好是负的，它俩是相反竖的关系。好， x 是 差一个负号。 那我为什么要提这个呢？因为 y 值就相当于是散引 x， 我 们在上个视频不说了吗？所以说，既然 y 值相等，因此这两个角散引值就会是相等，而 cos 值应该是由 x 来代替。 x 值刚刚说了差一个符号，所以呢，这个地儿 cos 在 a 应该是等于 cos 在 b 前面加一个符号。 这就是根据左侧 x 值 y 值得出来的结果。那如果我要用右侧诱导公式来得怎么来呢？也简单，你看这是 pi， 这是 pi 还是偶，偶偶就不变。所以我上面照抄的是散引，下面照抄的是 q 散引。 好，那到底这散引 b q 散引 b 前面添正号还是负号？我们来回答，这是第几项线 太减去一个锐角，分明是第二象限好，第二象限对于三一值而言是正的，可是对于 cosine 值而言是负的。所以最终结果出来了，你看，三 a 等于三 a b 刚才咋说了哦，三 a 确确实实应该是直接相等和三 a b， 那 cosine 呢？ cosine a 和 cosine p 应该是差一个符号，怎么样？这个地儿呢，我跟大家讲，它实在没什么难度，它最多就占一个，有点像绕口令绕的感觉，所以你不要被它绕糊涂， 一定要拎得清楚。如果说但凡有点小糊涂，没关系，这个视频咱们倒回去再听一遍就好了呀，欢老师一直在的哦，好，那我们现在回归那个刚才可爱的小喵头就是这里，给大家再说一说，为什么即变偶不变。 我先声明，这个地已经深入到对于数学的认知层面了，所以如果你听不懂或者不想听，都没有任何的问题，毕竟早已经刚刚把应试相关的所有内容都解决完毕了。好，我给大家掰扯掰扯 这事啊，本质上还要从单位圆里边那个任意角说起，你比如说这个紫色代表的是我当前基本款阿尔法角，请问你给他加个九十度，他跑哪去了？ 简单做一个垂直，这就是他加了九十度之后的模样，你看，这是阿尔法，这就是阿尔法，加了九十度，哎，这就是大大的样子。那你有没有想过这两个紫色点之间什么关系？ 有人说横坐标不相等，纵坐标不相等，这能什么关系啊？别着急，我给你做一条辅助线，你再想一想，根据我们初中学过的全等三角形，你没发现这两个三角形来 是全等的吗？所以 r 法角和 r 法角加了九十度之后， x 和 y 发生了对调，曾经的 x 值，现在是 y 值，曾经我的 y 值，你看，这个线段的长度就是它的来 这个线段的长度，所以说 x y 发生了对调，但正负号咱得单看啊。所以仅从长短来说， 加上个二分之派，也就是说相当于二分之派的基数倍，这种情况下，你的 x y 是 要互换的。所以还记得上个视频，包括刚刚我们都在说， x 值代表的是 cosine 值， y 值代表的是 cosine 值。你想您现在 x y 都已经互换了， cosine 值和 cosine 值这个名字是不是叫换？所以说这就是积变的体现。 如果你没有完完全全听清楚，我再给你说一个偶不变呗。你想二分之派乘以个偶，不说别的吧，让这个偶等于二，不就是完完整整的派吗？一百八十度，那就相当于是在这条边的基础上，哎，严成成这个样子，所以呢，他就会长成这个样子。好，那我们再来观察 这个阿尔法角和这个角之间是啥关系，你会发现，哎， x 的 长度还是 x 的 长度， y 的 长度还是 y 的 长度，也就是说，它的名字不变，塞依然是塞意， cosine 依然是 cosine。 所以呢，就是名字不变， 好，即变，偶不变。咱解释完了，那你再说这个符号，你符号肯定是得另看，符号看象限。所以数学说到底，以诱导公式为例，所谓能够把他学的自己心里边很有力量，做题的时候心不慌，那你就无非知道他是谁，如何对他进行解读， 他怎么来的，也就是说如何得出，以及他到哪去，他能解决什么问题。所以啊，你会发现，这哲学三问放在咱数学上是一模一样的。 希望孩子们以后对于你特别好奇的知识点都能搞搞清楚，从而赢得你理想的分数，那信心如果有了的话，关老师的数学课欢迎你。接下来再来听同角三角函数的基本关系式，你看我给大家把这些关系式从教材到我的整理到母题 全都弄好了，而且还有更难的，比如说各种三角函数的化简求值，这个地方法我写的可清楚，还有配套的题目，而等你遇到更难的题目，你会发现一个方法搞不定，还有第二个方法，两个搞不定，还有第三个方法。所以说应对各类的题就都不害怕了，拜拜同学们。

其实在我们的期末考试里边儿呢，好多求角的问题啊，你只要找到角之间的关系，就可以瞬间解决，你看哈，这里呢，我们就利用互补互余的关系去求值，那你看我们已知什么 sin 三分之 pi 减 alpha 等于二分之一，却让我们求六分之 pi 加 alpha 的 余弦值， 那么好多孩子呢，呃，看到这样的题，他说，老师，我把它给展开，把它也展开，看他们之间有什么关系，如果你这样去做的话呢，那你就掉坑了，知道吧，有可能你就做不出来，还有可能你要判断符号非常容易出错。其实我们仔细观察 看，这哥们和这哥们，这俩哥们之间，他俩什么关系，对不对？你看一下，一个是减阿尔法，一个是加阿尔法，那么如果我要让他们两个相加， 减 alpha 和加 alpha 是 不是就抵消了呀？然后六分之派加三分之派正好等于二分之派，那意味者说了哈，这两个角哎，相加哎，我们因为可以把 alpha 给消掉嘛。等于二分之派， 那么意味着这两个角是不是互余的关系啊？那么两个角互余，一个是正弦，给出来了，让我们求余弦，对吧？两个角互余，我们有诱导公式来，我们的诱导公式是什么？ 那就是 sin 二分之派减阿尔法，那么就等于 cosine 二分之派减阿尔法，那么就等于 sin 阿尔法，这是我们最基本的诱导公式啊， 是吧？那么你看哈，这两个啥意思呢？如果就是两个角互补的话呢，它其中一个角的正弦值就等于另一个角的余弦值。那我们给大家把这个题的步骤，我给大家写一写，好不好？来减 我们哈，因为这个 sin 三分之 pi 减 alpha 等于二分之一，这个肯定要用到的，那所以咱们的 cosine 六分之派加尔法等于谁呢？大家你看，我们需要对这个角进行转化，那么他俩相加等于二分之派，那你说我们把未知角转化到已知角的身上，这是我们这道题的思路，对吧？那六分之派加尔法，那么就是等于什么呢？ 那就是二分之派减去三分之派减 alpha， 哎，是不是这个道理啊？那你就把它当做一个整体， cosine 二分之派减去一个 alpha， 那 不就等于 c alpha 呢？所以它就等于 c 三分之派减 alpha 直接就转化到它身上，那不就是已知条件中的二分之一吗？所以你看这样的题呢，你不要认为它很难，千万不要把这个给它展开啊，你要展开的话呢，那就麻烦了， 一定要找角之间的关系，是互余还是互补，那么有了这个关系，我们就可以用诱导公式找到已知角和未知角之间的联系，从而解决这样的题。关注老师，学习更多数学知识。

好，同学们，大家好，我是来自北京市第五中学数学教师胡芳，今天很高兴跟同学们一起研究三角函数的概念。 我们知道数学来源于现实，存在于现实，服务于现实。 在客观世界中存在着大量周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等， 而匀数圆周运动是现实生活中周期现象的代表。在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。那么匀数圆周运动，他的运 运动规律该用什么函数模型刻画呢？如图，点 p 是圆欧圆周上一点，点 p， 以 a 为实点做匀数圆周运动。 那么在上面的学习中，我们已经知道可以借助角 alpha 的大小来刻画点 p 的位置变化，并且角 alpha 的大小与圆的半径无关。 那么我们现在的任务是建立一个函数模型，刻画点 p 的位置变化情况。 要研究这个任务，我们需要什么样的工具？首先要建立函数模型，我们需要建立 直角坐标系，那么要借助任意角的概念来研究点屁的位置变化。我们离不开单位源， 因此如图，以单位圆的圆心 o 为坐标，圆点以射线 o a 为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系。点 a 的坐标是一零，点 p 的坐标是 x y， 点 p 从点 a 一零开始在单位员上运动。 这样我们的问题就自然提出，在这个运动过程中有哪些变量，判断他们之间是否具有函数关系，如果有， 能否写出函数解析式。 通过对图像的分析， 我们发现这里存在着四个变量，他们分别是点 p 的横坐标 x， 点 p 的重坐标 y， 弧长 l， 圆形角 alpha。 那么这四个变量 x、 y， l， r 法， 他们之间哪两个变量能够构成函数关系呢？首先我们来看变量 x， y， 因为 x， y 是点屁的横纵坐标，所以 我们过 p 点向 s 轴做垂线，垂足为 m。 在直角三角形 p o m 中， 我们可以知道 p m 的平方加 o m， 平方是等于一，也就是说 s 方加 y 方等于一， 所以 x y 的对应关系不符合函数定义。而变量 l 和 alpha 在前面的弧度制研究中，我们已经研究了他们之间的关系，这里就不再探究。 通过对图像分析，我们还可以进一步发现，变量 x， y 与阿尔法的关系以及变量 x， y 与 l 的关系是等价的。 所以在这里我们只需要探讨变量 x， y 与阿尔法的关系。 要研究变量 x， y 实际是研究点屁的坐标，那么的问题是，若角 alpha 中边与单位员交于点屁，如何求点屁的坐标呢？ 这里角 r 的大小是不能确定的。我们的问题是如何研究一般性的问题。 在数学研究中，做特殊化研究是我们常用的一种探讨方式。所以我们不妨设阿尔法是一个特殊角三分之派。此时点屁在低响线， 我们过点 p 做 p， m 垂直 x 轴于 m， 因此在直角三角形 o m， p 中可以得到 o m 的长是二分之一， p m 长是等于二分之三。 再结合点 p 是位于第一象限，我们可以得到 x 等于二分之一， y 等于二分之跟三。所以点 p 的坐标为二分之一，二分之跟三。 那么同样，我们再取一个值，当 alpha 等于三分之二拍时，那点批的坐标是什么呢？ 我们可以重复刚才的步骤，当 alpha 等于三分之二派时，点屁在第 第二象限。我们过点 p 做 p， m 垂直 x o 于 m。 通过分析直角三角形 p o m， 我们可以发现， o m 的长是等于二分之一， p m 是等于二分之三。 由于点 p 在第二象限，所以 s 等于负的二分之一， y 等于二分之三，所以点 p 的坐标为负二分之一，二分之三。 通过两个例题，我们发现，当阿尔法等于三之派和阿尔法等于三之二派时，这时点屁的坐标是唯一确定的。 那么这个结果是否具有一般性呢？任意给定一个叫阿尔法 点屁的坐标能否唯一确定呢？因为单位员的半径是不变的，点屁的坐标只与角阿尔法的大小有关。因此，当角阿尔法是确定时，点屁的坐标也一定是唯一确定的。 那我们任意给定一个角，同学们观察角 alpha 的中边与单位员焦点 p 的坐标，你会有什么发现呢？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ 为了便于同学们观察，下面请看老师的动画演示。 对任意角 r 法，它的中边与单位元的焦点 p 的横纵坐标 x， y 是唯一确定的。因此，这里有两个对应关系， 第一个对应关系，任意角 alpha。 这里的 alpha 是用弧度式表示的，它对于点屁的横坐标 x。 第二个对应关系， g。 任意角 r 法，对于点屁的重坐标 y， 任意给定一个角阿尔法，它的中边 o p 与单位元交点 p 的坐标，无论是横坐标 x 还是纵坐标 y 都是唯一确定的，所以点 p 的横坐标、横坐标 x、 纵坐标 y 都是角 r 法的函数。下面我们给出这些函数的定义， 如图，角阿尔法是一个任意角，它的中边 o p 与单位元相交于点 p x y， 那么这时我们把点 p 的纵坐标 y 叫做阿尔法的正弦函数，记作萨引阿尔法，即 y 等于萨引阿尔法。 把点 p 的横坐标 x 叫做阿尔法的余弦函数，记住， cosin 阿尔法，即 x 等于 cosin 阿尔法。 把点屁的纵坐标与横坐标的比值外比 x 叫做阿尔法的正切函数，记住 做碳锦囊阿尔法，即 y 比 x 等于碳锦囊阿尔法，这里 x 不能等于零。那么，正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系又是什么呢？ 很明显，当角度为弧度之下，我们把它看成是实数 alpha， 这时它对应点屁的重坐标，这种对应关系实际上就是正弦函数的对应关系。 同样，时数 alpha 对应点 p 的横坐标 x， 这种对应关系就是余弦函数的对应关系。 那么正切函数呢？我们发现，当点屁的横坐标为零时，角阿尔法的中边在外走 上，这时阿尔法是会等于二分之派加 k 派 k 属于 z。 所以，在阿尔法等于二分之派加 k 派 k 属于 z 的条件下， y b x 等于贪金的阿尔法无意义。 除此以外，对于任意确定的角 alpha， y 比 x 值也是唯一确定的。 因此，当 x 不等于零时，实数 alpha 对应点 p 的重坐标 y 与横坐标 x 之比，这种对应关系就是正确函数的对应关系。 那么，任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？我们来看 正弦函数、余弦函数和正切函数都是以角为自变量，以单位元上点的坐标或者是坐标的比值为函数值的函数。 由于角的集合与实数级之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数。 按照函数的定义和常用的符号，通常我们把它记为，正弦函数 y 等于 sine x， 余弦函数 y 等于 cosine x， 正切函数 y 等于 tangent x。 那么我们将正弦函数、余弦函数和正切函 函数统称为三角函数。 研究函数，我们首先要研究函数的定义。那么任意角的三角函数的定义分别是什么呢？很显然， 正弦函数的定义域是实数级，即 x 属于 r。 余弦函数的定义域是实数级，即 x 属于 r。 在正切函数定义的过程中，我们发现角 r 法的中边不能位于 y 轴上， 这时 x 不能等于二分之派加 k 派 k 属于 z。 所以正确函数的定义域，我们就相应地得知是 x 不等于二分之派加 k 派 k 属于 z。 那么这个定义与锐角三角函数的定义有什么不同呢？ 任意角的三角函数是通过角与单位原焦点的坐标定义的，而在初中，锐角三角函数是通过直角三角形边长的笔直定义的。 在单尾元中，直角三角形斜边为一，所以锐角三角函数也可以通过角的中边与单尾元焦点的坐标定义。 那么此时中边上的点都在第一相线，所以锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数，那么三角函数值取成负 复数有什么意义呢？在上一讲中，我们知道数学家欧拉在三角函数的发展中发挥了重要的作用， 他研究三角函数主要是应用于现实世界的变化与规律，比如物理的正弦波，所以三角函数值可以取成负数，不仅有数学意义，而且也有现实意义。 那么任意角的三角函数与锐角三角函数这两个概念有什么异同呢？ 其实我们可以发现，锐角函三角函数是任意角的三角函数，定义域为零到二分之派开区间上的函数。好， 下面我们来看这个例题。第一题求三分之五派的正弦、余弦和正切值。 在前面的分析中，我们知道要研究角的正弦、余弦和正切值，需要知道这个角它的中边与单位圆焦点的坐标。所以 我们首先要做出三分之五派，画出中边和单元的焦点 b 过 b 向 s 轴做垂线，在直角三角形中去研究两条直角边的边长。我们可以得到在直角三角形中角 a ub 中边与单位员的焦点坐标为二分之一，负二分之跟三。所以 sine 三分之五派等于负的二分之跟三。 cosine 三分之五派等于二分之一， tang 的三分之五派等于纵坐标与横坐标的比值等于负的根号三。那么三角函数在求职过程中离不开单位源， 如果这时的点屁的位置不是单位员与中边的交点，那该如何处理呢？ 如图，设 alpha 是一个任意角，它的中边上任意点 p 不与原点 o 重合， p 点的坐标为 x y 点 p 和圆点的距离为 r。 求证 sanin alpha 等于 y 比 r 扣 san in alpha 等于 x b r 贪念的 alpha 等于 y 比 x。 我们首先来做出分析，第一，你能否根据三角函数的定义作图表示撒引阿尔法和 cosin 阿尔法呢？ 二、在你所做的图形中， y 比 r， s 比 r 和 y 比 x 各表示了什么？你能找到它们与任意角 r 法的三角函数它的关系吗？ 所以我们回到任意角三角函数的定义，作出单元。假设 角 alpha 的中边和单位元交易点 p 零，我们过 p 零向 s 轴引垂线，垂足为 m 零， 可以发现 why 比 r？ y 比 r 与单位员中 p 点的坐标重、坐标和 半径的比值是相关的。因为三角形 o m p 和三角形 o m 零 p 零是相似三角形。 又因为 p 零 p 在同一坐标系中，所以点 p 和点 p 零横坐标同号，中坐标同号，因此我们可以通过它来研究这个问题。 角阿尔法的中边与单位元交易点 p 零 p 零的坐标为 s 零 y 零。我们分别过点 p 和 p 零向 x 轴引垂线 p m 和 p 零 m 零，垂足分别为 m m 零， 那因此我们知道 p m 等于 y 的绝对值， p 零 m 零等于 y 零的绝对值， o m 等于 s 绝对值， o m 零等于 s 零的绝对值。 在前面分析当中，我们发现三角形 o m p 相似于三角形 o m 零 p 零。因此由长度关系我们可以知道 p 零 m 零比上一就会等于 p m 比 r， 也就是说， y 零的绝对值等于 y 零， y 的绝对值比上 r。 由于 y 与 y 零同号，所以 y 零等于 y 比 r， 即上引 r 法就等于 y 比 r。 同理可证， cosine alpha 等于 x 比 r， 摊前的 alpha 等于 y 比 x。 例二实际上是给出了任意角得三角函数的另一种定义， 这种定义和已有的定义是等价的。你能否用严格的数学语言叙述这个定义吗？ 一般的，对于任意角 alpha， 角 alpha 的中边上任意一点 p 的坐标为 x y， 它到原点 o 的距离为 r 等于 o， p 等于根号下 o m 平方加 p， m 的平方等于根号下 x 方加 y 方。那么 side r 法等于 y b r。 cosin 阿尔法等于 x， b r 摊进的阿尔法等于 y b x。 显然，任意角的三角函数值不会随着中边上点 p 的位置变化而变化。 根据任意角的三角函数的定义，我们知道三角函数值随着中边的位置不同，它所取的函数值的符号是不同的。那， 那你能否将这三个三角函数值，它在各项线中的符号填入下图中的括号里吗？首先，我们来看单引阿尔法。单引阿尔法，按照定义，它等于 y 比 r， 所以它的符号由 y 的正符号来确定。 显然，当中边位于一、二象限时，萨引阿尔法为阵。当中边位于三、四象限时， 三引二法为负。同样道理， cosin 阿尔法等于 x 比二二，所以它的符号由横坐标确定。所以，当纵坐标位于一、四象形时， cosine 符号为正。当中边位于二、三象形时， cosine alpha 符号为负。 tiny 的 alpha 等于 y 比 x， 也就是说，当 y 与 x 符号相同时， tiny 的 alpha 为正。 那因此，当中边位于一、三象限时， tangent 为正。同理，当中边位于二、四象线时， tagne 阿尔法为负。 由此我们可以判断三角函数它的符号，因为三角函数的符号与角的中边所在象限的位置有关，只需要探究这三个角中边所在象限位置即可。 一、因为二百五十度是第三项眼角，所以 side 二百五十度小于了。 二，因为负的六百七十二度，它等于四十八度，减去三百六十度乘以二，所以负的六百七十二度角的中边与四十八度角的中边相同， 因此 tangent 负的六百七十二度大于零。三、因为三派是等于派加二派，所以三派角的中边位于 x 轴的非正半轴上，所以 tangent 三派等于零。 好，在今天的学习中，我们学习了三角函数是如何定义的，我们除了学习单位元定义，还有什么定义方法？首先，我们来看单元定义法。 我们通过建立直角坐标系，使角 f 的顶点与坐标原点重合，中边与单位圆的焦点为 p， 由点 p 的坐标 x y 得到三角函数的定义。 y 等于 sine， x， x 属于 r， 这是正线函数。 y 等于 cosine， x， x 属于 r， 这是余弦函数。 y 等于 tang 的 x， x 不等于二分之派加 k 派， k 属于 z， 这是正切函数。 我们同时还研究了中边定义法。在建立直角坐标系后，对于任意角 r 法、角 r 法，中边上任意点 p 的坐标为 x y， 它到原点 o 的距离为 r， 等于根号下 s 方加外方。那么萨引阿尔法等于 y b r 靠萨引阿尔法等于 x b r 摊进的阿尔法等于 y b x。 以上就是本节课的全部学习内容，同学们再见！

挑战零基础速通三角函数，十分钟带从入门到掌握！今天给大家分享一下三角函数里面比较重要的一些东西啊。咱们一个一个来看，第一个的话是咱们的政权定义， a 除以三元 a 等于 b 数，三元 b 等于 c 数，三元 c 等于什么？书上写的等于外积元的二二， 事实上它同样等于 a 加 b 除以三元 a 加三元 b 加上三元 c， 也等于 a 加 b 加 c 除以三元 a 加三元 b 加三元 c， 那后面的这几个要灵活运用，那理解上来说的话也比较简单，那比如说 a 等于三引 a， 那 为什么等于 a 加上 b 除以三引 a 加三引 b 呢？ 是因为我们在三角函数数学定义的运用的过程中，下方呢，比如说这个三引 a， 它可以替换成 a， 同样右侧的三元 a 和三元 b， 它可以替换成 a， 加上替换之后左右都等于一，所以它等价呢，这个大家一定要用的稍微熟练一点啊。第二个，余弦定义， a 方等于 b 方加 c 方减去二 b， c 过三 a， 那 这个书上都有的，所以说大家在运用过程中一定向第二条这个 呃 cosine a 等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 这个事情一定一定要运用到熟练。同样的，如果以后看到 b 方加 c 方减 a 方这样一个呃数值，在计算题过程中的话，一定要快速反应出来。 第三个 cosine a 方加 cosine a 方等于一，这个呢就运用到我们这样的图里面，这个图非常重要，就是单位坐标系的这个图里面， 哎，第四个，这个括三点二， a 等于括三点 a 方，减去三点 a 方，等于二倍的括三点 a 方减一，也等于一减二倍的三点 a 方。 这个三个公式，它难点就在于几个活学活用啊，一会用到括三点 a 方减三点 a 方，一会用到二倍的三括三点 a 方减一，一会也用到一减去二倍的三点 a 方，这个活学活用的难点稍大一点啊。 接下来是三幺二 a 等于二倍的三幺 a 扩三 a 这个书上呃就写的有的这个预导公式啊，下面一个扩三幺二二分之一等于正负根号下面二分之一加扩三 a 除以二啊，三幺二 a 也是一样。所以大家在学三角函数的时候，不只是要记住我们三幺二法的这个 呃图像，扩三幺二的这个图像，尤其是我们 x y 轴这个平面坐标系在这里面，那个单位圆的坐标系在这里面，那个单位圆中。扩三 a 指的是 x， 三 a 指的是 y 啊。 既然我们科三 a 指的是 x， 那 么科三用派加 a 等于负的科三 a 啊，这个的话，其实最好的记忆就是在我们单位里面。 接下来给大家讲一下这个和差化的和和差，这个也是考的比较多的，需要掌握的稍微熟练一点啊。那给大家演示第一个，第一个演示之后，剩下大家自己推导一遍啊。角 a 等于二分之 a 加 b， 加上二分之 a 减 b。 角 b 等于二分之 a 加 b， 减去二分之 a 减 b。 所以 三 a 加上三 a b 等于三二分之 a 加 b， 然后加上二分之 a 减 b， 然后再加上三二分之 a 加 b， 减去二分之 a 减 b。 哎，那这个之后再展开之后，它就事实上就等于二倍的三，二分之 a 加 b 乘以扩散二分之 a 减 b， 这这第一个公式就出来了，那剩下的公式大家自己推导一遍啊，给大家讲讲这个三角函数里面稍微难点的一些部分。这个的话，其实我对学生的要求还是要熟练掌握啊。 第一个在三角形 a b c 中啊，这是大弦前移角 b， 那 么三元一定要大于三元 b， 既然 a 大 于 b， 所以 角 b 是 一定为锐角，那么我们角 b 如果为锐角，那么比如说单位圆里面，我还是给大家强调一下这个单位圆的重要性啊。 角 b 是 这样一个角，那么在左侧给它画对称的这样一个点叫 b 撇，那么在角 a a 就是 在 b 到 b 撇中间。而三引上先给大家讲这个三引求的是什么？求的是 y 值，所以天然的三引 a 要大于三引 b， ok， 这是第一个啊，第二个啊，若角 a 等于 b 加二分之二，那么扩散 a 等于负的三引 b， 或者三 e a 等于阔三 e p， 这个一定要呃，记得非常熟啊，甚至在高考题中见过的。 第一个阔三 e a 等于负的三 e p 是 怎么推出来的呢？来给大家演示一下啊！用代数的验证方式的话，就是阔三 e a， 它等于什么呢？阔三 e b 加二分之，然后等于什么呢？ 三 e 负 b 就是 三 e 二分之二，减去后面这个角，那就等于负的三 e， 哎，第一个它是不是就推出来了啊？那第二个三 e a， 那 是不是相当等于三 e b 加二分之二，那是不是就等于扩散负 b， 那 就等于扩散 b， 所以从前往后推，他是完全 ok 的，是吧？那接下来再给大家看一下，从后往前推到底怎么样？看到底是冲要条件，还是说充分不必要，或者说必要不充分啊？呃，到底是什么一个条件？那如果若 从后往前推，扩散 a 等于负的三 b， 那 首先在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 都是我们的锐角啊，直角啊，钝角哈。那如果知道扩散 a 等于负的三 b， 那 就意味着其中有一个数字是负数啊，有一个数字是负数的话，那就意味着什么呢？角 a 为钝角，这个是一定是已知的一个事情啊。 角 a 为钝角的情况下，那怎么样？呃，往上推，推到我们的 a 等于 b 加二分之二呢？啊？如果说从我们的呃这样一个单位圆里面去推的话，其实这个的话推起来会稍微快一点啊，同样的这样一个单位圆啊， 刚说了角 a 是 一定是什么？一定为钝角，那么角 b 就 一定为锐角，对吧？那角 b 如果为这样一个角，我们刚说了三硬币，它求的是什么？求的是 y， 它指的是这个 b h， 那这个 b h， 它等于坡上 a a 是 钝角，坡上 h 就是 什么？求的是这样一个 x， 那 就意味着 a 点到 y 点的距离等于这里的什么？ b h， 那 就相当于这里 a 点。在这 a 点在这的时候就会出现一个事情哦，这个 a 倒，它等于 b h， a 倒等于 b h， 那 就相当于这个 a o 倒和 b o h 这两个三角形全等。那在这两个三角形全等呢？是不是就可以推出角 a o b 等于九十度呢？是可以的。角 a、 b 等于九十度呢，就意味着角 a， 所以 角 a 等于角 b 加上二分之二。哎，这就推出来了啊，从从后往前，呃，扩散 a 等于负的扩散 b 就 推出来了啊，这个先放这啊，然后接下来，若三 a 等于扩散 b， 三 a 等于扩散 b， 那 它能推出一个呃，什么内容呢啊？同样的，在我们的单位圆里面，因为三 a 等于扩散 b， 所以 我们呃，知道扩散 b 一定是大于零的。 扩散一定大于零，那就意味着角 b 在 这个地方是一定为锐角啊，角 b 一定为锐角的时，一定为锐角的时候。我们同样的画在一个单元角 b 就是 扩散 b， 它是一个在一象限的一个一个数字啊，同样的做一个 b h， 那 么扩散 b 它指的是什么？扩散 b 在 这个地方指的是 o h， 那 o h， 它等于三 a 三 a， 我 们先说哪三 a 求的什么？求的是呃，求的是 y 啊，相当于在这个地方取一个点，然后这个点是什么？是呃，指的是 o h 啊， o h， 然后画一条平行线， 那么 a 点在这，或者说 a 点在这，所以它能推出什么呢？当 a， 若 a 是 一个锐角的时候啊，若 a 为锐角，则 a 加 b 等于二分之二，若 a 为钝角，则 什么呢？ a 等于 b 加上二分之二。所以大家同学，大家看啊，今儿给大家推导的这些内容都是在这个平面坐标系以及 x y 坐标在一个单位圆里面啊，这个图像在我看是非常非常重要的，大家一定要非常熟练啊。 接下来呢啊，若 a 大 于 b 加二分之二，那么三也小于 b 小 于 b 呢，属于零到十分之二之间， b 呢，属于零到十分之二之间， 下面还有一个括上一边的角值值一定要大于三与 b 的 这个数字啊。同样的，我们也是在这个单位圆里面看，看的是比较清晰的啊。 a 大 于 b 加二分之一，那 b 首先是一个角， b 的 角在这，嗯，那么我们画一个跟 b 垂直的这样一个角，同样再画一个互补的这样一个角，对吧？哎， 那我们的角 a 的 范围它是在哪里呢？ c 到岛中间，在 c 到岛，三 a 三 a 指的是什么？三 a 九九指的是 y 啊， y 的 高度，比如说 a 在 这儿，所以三 a 指的什么呢？指的是 y 啊， 所以三 a 它是什么呢？它是相当于 a g， 然后扩散于 b 相当于什么呢？ o h， 所以在这一段里面啊，所以 a g 是 小于 o h， 所以 三 a 小 于扩散。 这个比较熟练一点啊。大家前提是什么呢？ a 属于还是在二分之派到四分之三派之间，那 b 呢？是属于零到四分之派之间，那同样的，如果说 b 它是属于四分之派到二分之派之间，它就不成立了啊。 接下来剩下一个比较难点的部分啊，如果 a 加 b 大 于二分之二，那么能推出什么结论呢？就是意味着 c 是 锐角，就意味着我们以后如果知道在三角形里面有一个角是锐角，那么剩下两个角的和就是大于二分之二啊。在这个基础上，那么 a 大 于二分之二减 b， b 大 于幂幂减 a， 那 三 a 大 于小于 b 什么时候成立，什么时候不成立？以及三 a b 大 于小于 a 在 什么样情况下成立啊？呃，这个我对大家要求还是那句话，这个事情已知的比较简单的内容，一定要掌握的非常熟练才可以啊。那给大家推导一下啊，若 a b 为锐角， 那么意味着两个锐角之合为钝角，那么三 a 大 于一个 cosine b， 这个就比较简单啊，一定是成立的。那若 b 为钝角或者直角啊，因为 b 如果为钝角， cosine b 一定为负 b 如果是直角，那么 cosine b 等于零。 那三 a 大 于扩散 b 天然成立啊。那若 a 为直角，那么三 a 等于一 a 为直角，变为变为锐角，那么扩散角小于 c 属于三 a 大 于扩散 b， 那 比较难点的部分是什么呢？ a 如果为钝角，这个事情它就不一定成立啊。三 a 大 于扩散 b， 我 们来看一下， 还是刚刚说的，在它单位圆里面三 a， 那 当 a 为钝角的时候，不一定成立，什么意思呢啊？ a 为钝角，那 b 是 一定为锐角，那我们在这个呃，单位圆里面把 b 标注出来， b 标注出来之后， 那我们的 a 点它在什么呢？ o c 到 o f 之间，就相当于在弧的 c f 中间，那么在这个的时候啊，扩展 b 指的是 o h， 现在再再强调一遍啊，扩散引指的是我们的 x 啊，三引指的是我的 y， 那 么 o e 垂直于 o b， 把这个 e 点找到，把这个 f 点找到， f 点指的是关于 y 的 对称点 f 啊，那么 呃，右侧角 a 撇左侧角 g 点啊，那么角 a a 撇 o b 等于角 g o f， 那 么当我们的点 a 在 哪里呢？就是角 a 撇 o b 等于角 g o f， 那 么当我们的点 a 在 c e 指的是 y， 它是大于扩散引 b 的， 当 a 点在 e 上的时候，这个 e 点值是什么呢？ o e 垂直于 o e， 那 么三 e a 啊，它是等于坡三 b 的， 相当于 e 往 x 轴做垂线啊，垂线段，这个线段长度它是等于 o h 的， 那么当 a 在 e f 这个弧中间的时候，三 e a 是 小于坡三 b 的 啊， 这个在我看来三角函数这一块内容里面，这个是非常非常重要的啊，一定要自己推倒一面，那还有什么呢？ b 大于二分之二减 a 的 时候，那么三 a b 大 于扩散 a， 其实跟上面的内容是一样的，只是说，呃，前后角度的替换三元 b 大 于扩散 a 的 时候，那比如说我们的 b 为钝角的时候，它成立的条件一定是右边那个啊。那最后一个，若 a 加 b 小 于二分之二，那么推出什么呢？那 a 小 于二分之二减 b 能推出三言一小一坡上币啊，这个留给大家注意，自己回去推导一遍啊。所以今天总结一下三角函数里面这个单位圆的这样一个图像非常非常重要，大家一定要用的稍微熟练一点啊。 还有一个，大家都已经遇到解三角形的一些问题，和平现在结合的一些问题，给大家一个比较重要的一个建议啊， 就是解三角函数的这个答题的时候，在做的时候，一定要把我们的已知的条件去判断一下这个三角形是否固定。嗯，这句话好好揣摩揣摩啊，就这样，加油！

这个视频我要讲讲如何把 a b 的三 x 加必备的 cosix 这种形式转变成咱熟悉的正弦型函数。 先提个更号 a 方加 b 方看看，里面就变成了根号 a 方加 b 方分之 a 倍的下一 x 加更号 a 方加 b 方分之必备的 cosi x。 不难看出他俩的平方和就是一， 这个看做扩散范，那这个就是散一范。利用两角盒的正弦公式，他就可以写成下一 x 加。快看，这不就把 a b 的三 x 加必备的扩散 x 变成咱熟悉的正弦型函数了吗？看来以后再遇到这种形式， 就可以直接提出跟号下 a 方加 b 方进行画卷，这引入了一个辅助脚范，所以这个就叫做辅助加工式。注意了，这里的范 定是个具体的角，他的余弦值就是根号下 a 方加 b 方分支 a， 他的正弦值就是根号下 a 方加 b 方分支 b。 有了这一步转化，就可以直接分析这个函数的性质了。比如二倍的三 x 加三倍的扩散 x， 提出一个更号下 a 方加立方，那就是根号十三倍的三 x 加范。从这个式子可以直接看出，他的最大值就是根号十三，最小值就是负的根号十三。 当然也可以直接看出他的周期就是二派除以一得二派。看来以后再遇到这种形式的三角函数，你就可以直接写出最值和周期 最直就是正负。更号下 a 方加 b 方，周期就是二派除以 x 前面的系数。当然在使用辅助角公式时，后面也不一定都得是 x， 都是二 x 或者都是二 x 加三分之派照样可以做，只要他们后面跟的是完全一样的东西，你都可以用这个公式，比如三倍的散影，二 x 加三分之派，加上四倍的扩散，二 x 加三分之派。因为这里都是二 x 加三分之派，所以你还是可以直接写出最大值和最小值， 最大值就是三的平方加四的平方再开方也就是五，同样的最小值就是负五。另外你也可以直接写出周期就是二派除以二得派。看来不管下一和扩散后面是什么，只要相同就可以用辅助交公式。 以上就是辅助角公式的全部内容，一起来总结一下。以后只要看到 a b 的下一个 x 加必备的 case x 这种形式的函数，你就可以直接提出跟号下 a 方加 b 方进行画减， 他的最值就是正负根号下 a 方加 b 方，周期就是二派除以 x 前面的系数。注意，只要下一和扩散后面的式子相同，就可以用辅助加工式。怎么样，明白了吗？明白的话就速速刷题去吧！

这是一道三角函数化减的题目，他给了一个 tangent alpha， 等于 five 分之一，哎，然后让你算这两个没有 tangent alpha 的。很明显呢，他是想让我把这些东西给我变出 tangent alpha 出来 啊，当然这只是其中一种思路啊，我们今天就按照这个思路来做第一题，这个他分子分母的次数啊，都是依次的一个分式，对吧？所以他典型的符合其次式的一个特征。那其次是我们， 你不是依次吗？那我就上下同除可三用阿法啊。分子除可三用阿法，他就是 tang 的阿法，再加一除以分母除以可三用阿法，那就是 tang 的阿法。再减去二乘以一，好，再把你的负二分之一往 往里放，那负二分之一加一好，二分之一，负二分之一减二好，负二分之五。那么约一下，他就是负的五分之一了 啊，就是我们的第一题，他就考一个其次式的吧。那第二题 第二题没有分式了啊，但是这里确实是二次，他也是二次，但他是零次，他是个常数的吧。但是一这个人他用途太大了。一呢，我们可以把它变成 saying alpha 方加可 saying alpha 方， 再加 signing up 方，减去三倍的 signing offer， 可 signing offer。 那这里 signing up 方加 加三引阿法方，就两倍的三引阿法方。再加可三引阿法方，再减去三倍的三引阿法乘可三引阿法。 好，这里其实也有别的方法做啊，但我们今天讲这个题，我主要想讲其次式啊，所以我现在还是想把它转成其次式。但是这个其次式他没有分母呀， 他是都是二次的呀，但没有分母，我可以给他创造一个分母。我给他除以一吗？除以一就可以了啊？一，这个人呢？ 它是谁呀？它是三引 alpha 方加可三 in alpha 方。诶，所以我把一变成这个。那这样子的话，我就符合其次，是了吧？你不是一个分式吗？然后分子分母的次数都是其次的吗？我现在都是二次，对吧？好，符合了。符合了之后，我刚才 是上下同除可三引 x 的可三引阿法的，因为他本来就是一次的，分子分母都一次，但现在分子分母都是二次的。那所以我现在当然是上下同除可三引阿法方了。 把它除以可三亚法方是两倍的 tangent alpha 方，再加一，再减去这个除以可三亚阿法方，它就是三倍的 tangent alpha， 再除科三阿法方，那就是 tangent off 方，再加一个一。 那这个时候我终于可以把数字往里面带了。你不是负二分之一吗？负二分之一的平方啊。四分之一乘以二，二分之一再加一。你不是负二分之一吗？负二分之一乘负三，那就是加上二分之三，再 再除以弹性的二方。三分之一，四分之一，四分之一加一。哎，四分之五，那么他俩加二，二加一，三三除以四分之五， 等于五分之十二。也就是这两道题其实都是用其次式来做的啊。都可以用其次式来做，只不过一个呢？上下同除可塞尔阿法依次方一个上下同除可塞尔阿法的平方，但都属于其次式。

这是两道三角函数的证明题啊，两个式子给的看起来都有点复杂啊，但是我们不用慌啊，反正就动手开始做呗。左边 sine alpha 加 beta， sine alpha 减 beta， 那我可以把它展开一下吧。腮可加可腮， 后面这个呢，也是筛可减可筛 再除以 sanin alpha 方，再乘可 san in 白塔方 分子，这个就变成一个 x 加 y 乘 x 减 y 的 一个公式了，对吧？那么那我们就把它乘一下了。平方叉公式用起来， sending alpha 方，可 sending beta 方，减去可 sending alpha 方，再乘以 sending beta 方， 再除以 signing alpha 方，再乘以可 signed 背大方。 这个式子上下好像都是四次， s 都是四次，这又好像是个其次。可是一次我的时候我出克赛亚阿法，二次的时候我出克赛亚法方，那现在这边是个四次呀， 那我出科三阿法的四次方吗？显然没有用啊，我得上下同除科三阿法方乘科三白的方 把这里上下同除可塞尔尔法方，乘可塞尔尔法方，那它就变成 tangent 阿尔法方。这里上下同除可塞尔尔法方。 我把它写一下，除 khan bat 方，那自然就是减 tang jin 的 beta 方，再除以，这也是同除它，那除它的话， khan bata khan bat 约掉就变成 tang jin 的 alpha 方。 跟这个右边比起来，这个不就是右边吗？对吧？他不就是一见探亲的阿法方分之探亲的北大方吗？这跟右边长得一模一样呀。 啊，这样的话就做完了，主要是第二问呐，第二题， 第二题呢？遇到这个题啊，很多同学呢，比如说二阿尔法加 beta， 它上来就是三引二阿尔法克三贝塔，再加克三引二，阿尔法三 beta。 不要这样子拆啊，像我们考试当中出现这种题啊，你要观察一下这个角度给的特点，这里的最小的一个呢，你可以把它看成阿尔法，其次呢，你可以看成阿尔法加贝塔，再往后推呢，他还有一个叫阿尔法加贝塔， 所以呢，它有个现象，这个加这个好像等于这个，所以二 alpha 加 beta 并不是真的是二 alpha 加一个 beta 这么变形，它应该是 alpha 加 beta 再加一个法，这个呢，叫做我们的一种凑配法啊，或者说配凑法，反正就是不要把角度上来就给我直接全拆开，你要想一想跟已知角度之间的关系。 好，那么 sine 二 alpha 加 beta， 就把它变成 sine alpha 加 beta 再加 alpha， 那我们就知道它是 cycle 可塞了。 si 可再加，可塞 好，再除以 signing off。 好，这边是减二倍的可 signing 这个，那这两个又不能直接加减呀，所以我们 还是得先来一个通分， 这里是二 casian alpha 加倍的，所以我还得乘个 alpha 进去二倍的 sign alpha， 再乘一个 casian alpha 加 beat。 好，现在我来变成分母一样的了，那我就可以直接加减了。 satin alpha 分支，这里是 satin alpha 可参与 alpha 加贝塔。在哪里有啊？这里有一个 sat alpha 可参与 alpha 加贝塔，所以它和它是可以合并同类项的。 这个减这个就变成减去 saying 减去可 saying alpha 加 beta， 再乘 saying alpha， 而这个塞可可塞，塞可可塞，那不就是 saying alpha 加 beta 减 alpha 了吗？ 分母照抄，哎，那它就变成 sign beta b sign offer 画到最简，而我们的右边就是这个， 于是就证明完了。那这个题在做的过程当中，一个方面我们要注意的是这种角度的凑配法的一种使用啊，这个非常非常普遍的一种 处理方式啊，绝对不要动不动就是 alpha 啊， signing 二 alpha 加 beta， 对吧？上来就是 signing 可塞 in 塞克加可塞，千万不要动不动就来这个啊，用这个呢？那你就是忽视了题目给的角度之间的内在关联。

hello， 大家好，我们今天来看三角函数的概念，很多同学可能对这个三角函数比较恐惧啊，觉得它非常难，没关系啊，我们一步一步来把它拆解开，其实它非常简单啊。我们先来看什么叫做三角函数，对于这个三角函数的定义，就前面很多很多，巴拉巴拉一圈，我们都不看，我们就来看这一个图啊， 这是一个单位圆，什么单位圆呢？就是它的半径为一， 半径为一的圆，然后在这个半径为一的圆上呢？我，我先看第一项线啊，我在这里第一项线这里任取一个点 p， 然后我连接 o p， 我 现在这个 o p 与我的 x 轴是不是有一个夹角，我们找这个夹角为 r 法， 我过这个点 p 呢，我做垂线垂下来，我这个点 p 的 坐标我设为 x y， 那 这个时候我可以得到我的这个长度是 x， 这个长度是 y， 对 吧？然后我们，然后之后，现在我们把前弦要写到这里了，然后接下来，接下来我们来看我们的正正弦， 什么是正弦呢？就是我们的 sin 而法，我们的 sin 而法就是对边比斜边，就叫做对边比斜边， 这个对边和斜边对的是什么？什么意思呢？就是我们的在这三角函数里面，这个角所对应的边叫做对，所对的这个边叫做对边，然后它的斜边，所以这个来说，它所对的边长度是不是 y？ 对， 然后斜边，斜边的长度是谁？是不是圆的半径是 r， 是 r， 然后这个 r 呢？我们刚刚说它是单位圆，半径为一，所以我们就可以得到其实我们的 sin 而法是等于 y 的。 然后紧接着我们来看余弦，余弦是 cosine 而法， cosine 而法，我们记的是什么？邻比斜， 那我们来看哪个是邻，哪个是斜？邻就是这个角相邻的这条边，这个角 这角相连，这条边是不是它，它对它一共就是就只有三条边，两个直角边嘛，一个是对着的，一个是旁边邻着的。相邻这个边长度是 x， 对 的斜边长度是 r， 所以 就等于 x， 所以 这个时候我们就可以说 cosine 法是等于 x。 然后我们来看正切， 正切是 tangent， 而法 tangent 而法，我们叫的是对比邻， 就是什么对边是 y， 比上邻边是 x， 所以 我们是 x， 分 之 y 等于 tangent 尔法。这就是我们高中阶段比较重要的三个，一个三个，三个函数啊，三角函数，正弦与弦正切 啊，题目上给了这么多了吧吧吧，然后他的定义法什么什么的，这其实就是我们，我，我刚刚讲的这些啊，有同学可能会说这是第一项线，我可以这样理解，那第二项线、第三项线、第四项线呢？就是老，我可以给你大概说一个，我们记一个很简单的例，很简单的一个说法啊，我看这个角，就是我看这个 sin 耳法， cosine 耳法，探进它耳法，我看这个角度啊，我只看这个角度，这个边与 x 轴的夹角， 什么意思？就比如说啊，当这个角在第二项线，像这个图，这个角，这个耳法是不是这么是在第二项线这时候点 p 在 这儿， 我没有办法往这边再做垂线了，我做不过来了，那我是不是可以往这里做垂线？所以这个时候我再去看的这个角，其实我看的是这条边与 x 轴， x 轴在这里，在这个我看的是这个角与它的夹角正，然后对着的， 不管是 see 靠近还是探镜头，我们来看它的就可以了。但是我们看它的时候，我们一定要把正负号带上，什么意思呢？比如在第二项线，我的这个 x， 是 不是？比如说啊，它是负二，那这个时候往里带数的时候，我带的并不是二，我带的而是负二。用这个方法的话，它不管在第一项线，我们都可以，我们都可以非常快速的把它说把它， 不管他在第几项线，我都可以很快速的把它解出来。来找一个例题，我们一起来写一下啊。来看来看这道题，已知角 r 法中边与单位圆交于负二分之一，二分之二，三来 负二分之一，这是负一，这就是负二分之一。负二分之根号三，这是一负二分根号三，大概在这里啊，就二分之根号三，那我的这个，我的这个就是这个圆，大概是这样子的嘛，对吧？ 我们这个角说的是不是这个角，但这个角我就说了我们找的，我们只找什么？只找这个角与 x 轴夹角的那个锐角，那我只能找我能做出直角三角形那边的，所以我与这个点，我做垂线， 我看，我看，只看它，它就是我要找的阿尔法，我们不管这边，我们只看这边，然后我要找 sin 阿尔法， sin 阿尔法等于什么？等于对边比斜边，我他所的对边是谁？是二分之，对是二分之三， 然后比斜边，斜边末，斜边不是单位圆吗？是一，所以我的就是二分之根号三，那有的同学 可能说，那这个符号是什么意思？符号？就比如说我要求 cosine 阿尔法，那是不是临边比斜边？我这里的临边是不是负二分之一？这长度是负二，这长度是二分之一，但他的坐标是负二分之一，所以这个时候我代入，我只用负二分之一代啊，负二分之一代，然后斜边是一，然后最后等于负二分之一， 就是这个意思。用这个方法来说的话，是比较好去把这些求出来的。然后接下来就看到这个符号了，就是三角函数在各象限的符号就是换，就是用一个很简单的方法来记，就是我们刚刚说推过来 y 是 等于 c r 法，对吧？ 那也就是说 c r 法等于 y， 那 y 呢？肯定是在一象限跟二象限的时候，它才是正的，在三和象限和第四象限的时候， y 是 不是负的了？对，所以说我的 c 也是在一二为正，三四为负， 然后那那 cosine 呢？ cosine 我 们知道是等于是等于 x 的， cosine 尔法是等于 x 的， 那我们的 x 肯定是在左边，在这边是正的，所以说在一四象限是正，二三象限为负，那我们的 tangent 是 谁？是 x 分 之 y 是 等于 tangent， 那也就是说我们贪心的阿尔法的正负号取决于 x 和 y 是 否同号，如果 x 和 y 同号，那我就是正的。 x 和 y e 号，那它们就是负的，所以一第一项项它俩都是为正，那所以它是正的。第三项项它俩都为负，它俩一比也是正的，所以一三为正，二四为负。你这样记啊， 然后通过这个正负号呢，我们可以来看到例，看到题目他说我的 r 法在第，是第四项线角，让我求下面这些在第四项线角。首先我来看 sin， 那 sin 而法肯定是可以这样想啊，它在第四项线，第四项线我的 x 是 正的， y 是 负的，那所以我可以得到，我 cosine 是， cosine 是 正的，因为 x 是 正的， cosine 是 正的， cosine 是 负的，所以 cosine 大 于零， cosine 大 于零， cosine 大 于零，小于零，选 b， 就 这样，这样就可以很好记了啊。 然后接下来这个表格呢，是一个我们特殊的三角函数值，其实你不需要死记硬背，你多做一点关于三角函数的题目，你就对于这些这种东西就记得很清楚了啊，有需要同学也可以截屏一下啊。 然后我们来看一个诱导公式一，诱导公式一其实就跟我们上节课讲的那个中边相同的角其实是一样的，比如说这是阿尔法，对吧？那我那我的阿尔法等于阿尔法加 二派，也等于 r 法加四派，转两圈，所以说 r 法其实是等于 r 法加二 k 派的，这是我们这是我们上节课讲的中边相同的角，那所以我们把前面加上三角函数， c， r 法等于 c， r 法加二 k 派， cosine 阿尔法等于 cosine 阿尔法加二 kpi， 探界的阿尔法等于探界的阿尔法加二 kpi， 其实是这个一样的理解，就是角相同，我的中边相同，也就是我与 x 轴的夹角是相同的，那我的所有的三角函数的三个值是是相同的。那这个就告诉我们，以后在题目上只要碰到二派或者二派的倍数，其实我都可以直接忽略不看掉，忽略不看了， 因为它们的 sin 值是相，就是 sin cos 探界的值是相同的。好，我们关于三角函数的概念我们就讲到这里，我们下次再见。

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角 r 法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 om 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 邦加外方。我们定义赛尔法等于 y 比上根号 x 方加外方。口三 r 法等于 x 的比根号 x 方加外方。单句加 r 法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做讲 r 法的正写函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，于哥口 c 肯加阿法，他其实就是正前倒过来等于根号 x 方加外方比 y 正哥 c 肯加阿法，他其实是余弦倒过来等于根号 x 方加外方比 x。 还有于谦口腔这一插法，其实是正前倒过 过来的等于 x 的 b y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角 f 的中边过点 p 负一二， 你能分别求出三阿尔法、口塞阿法和贪俊加阿法的值吗？根据坐标负一二， x 等于负一， y 等于二，那 根号 x 方加外方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。三 a r 法等于外比，根号 x 方加外方，也就是二比根号五等于五分之二，根号五 口算阿法等于 x 的比，根号 x 方加外方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是胎径加阿法等于外比 x， 也就是二比负一得负二，全部搞定。像这样，给你 中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三在阿尔法的平方加二，三进加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过， 所以圆是等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。所以遇到柿子时，就先分别算出赛尔法和餐具加法的取值， 然后再算整个式子。刚才的题目里，眼皮的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角二分的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？看这条直线，阿凡的中边可能在第二项线和第四项线， 所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二项线时，咱只要在周边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点 p 就可以。那三阿尔法口塞阿尔法和 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿法中边，在第四象限时，同样在中间上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五，所以三 r 法等于负二。 b 根号五得负五分之二，根号五 口塞阿法等于一比根号五得五分之，根号五弹性长，阿法等于负二比一得负二，这样就求好了。做这类题时要注意，如 如果只知道角的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，一只角阿尔法的中边过点 p x， y 在阿尔法等于外比，跟靠 x 方将外方口塞阿法 等于 x 比，根号 x 棒加外方餐具 x， r 法等于 y b x， 如果只知道中间，那就在中间上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

之前的视频你已经学过正弦、余弦正切的背角公式，这个视频我要讲讲如何把他们都用探景耳法来表示。 先看正弦，把这个式子变形看看，先除以一，再把一写成扩散阿尔法方加塞尔法方。 这是一个其次式。为了出现探景儿法，让这个式子上下同时处以扩散，而发方也许相同的部分整理一下，上面就变成了二倍的探景儿法，下面就变成了一加探景儿法平方，这样三二二法就用探景儿法表示出来了。 再来看余弦，利用余弦的背角公式，用同样的方法变形看看，先除以一，再把一写成括线，而发方加散引而发方，这也是一个。其次是为了出现正切上 下同时处以扩散，而发方也许相同的部分整理一下，上面就变成了一减太紧，而发方下面就变成了一加太紧，而发方这样扩散，二而法也用太紧而发表示出来了。 至于探景二阿尔法，直接利用二倍角的正切公式，就能用探景尔法来表示。看来二倍阿尔法的所有三角函数值都可以用探景尔法来表示。所以只要知道了探景尔法是多少，就可以利用这三个公式，把二倍阿尔法的所有三角函数值都求出来。 这个公式这么厉害，那咱给他取个名字，就叫他万能公式。比如告诉你探险儿法等于二，让你求二倍阿尔法的所有三角函数值。根据万能公式，三以二阿尔法就等于一加探景儿法的方分之二倍的 太紧儿法。因为太紧儿法等于二，带进去算一算得五分之四。扩散二儿法就等于一加太紧儿发方，分之一减太紧儿发方。把二带进去算一算得负五分之三。 至于探近二阿尔法，你当然可以把二带到万能公式里去，但既然散应和扩散都求出来了，直接消除不更简单吗？算一算得负三分之四。 ok， 搞定 好了，以上就是万能公式的全部内容，总结起来就一点，只要知道了一个角的正切值，就可以利用万能公式把他二倍角的所有三角函数值都求出来。怎么样，明白了吗？如果明白，就赶快去刷题吧！