八下数学课本80页怎么写

如何提高数学成绩，请听我讲八年级数学下册课本的第七页纸，我们看了第十七题， 第十七题，呃，一个数的平方加另一个数的平方啊，它是大于或者是等于这两个数成绩的两倍啊，这个呢，因为我们在这个七年级我们曾经学过。呃， 任意两个数的平方的差，任意两个数差的平方，那么这个呢，是大于等于零的啊。因为 a 减 b 的 平方大于等于零，所以 a 的 平方减二， a b 加 b 的 平方是大于等于零，也就是说 a 的 平方加 b 的 平方是大于等于二 a b 的。 那么等于号什么是成立呢？那就是 a 的 a 等于 b 的 时候，它是等于零的，所以你看三的平方加三十九，九加九三十九，二一十八，对吧？那么五二十五，三十三十四到二五一十，这个三十，嗯，就大于号。所以当这两个数字不等的时候，我们填大于号，当这两个数字相等的时候，我们填等于号 啊，这个呢，就是我们在讲这个完全平方公式的时候啊，我们要记住这个公式。所以这反面说，你能总结什么规律呢？刚才我们说了，那就是 a 的 平方加 b 的 平方大于等于二 ab 怎么去规律的正确性的证明？刚才我已经跟你说过了啊，在前一。 好，我们看到二 x 减 a 小 于一，二， x 小 于二分之 a 加一，嗯，这个呢， x 是 大于二 b 加三， 由于这里 x 他 已经说了叫做 x 小 于一，那么我们就联想这里，那 x 呢，就是小于二分之 a 加一呗，这里也就是大于二 b 加三呗， 对吧？不就这个意思吗？那就说这个二 b 加三，它是等于负一啊，这个二分之 a 加一啊，就等于一啊，不就是这个意思吗？ 好，那我们看到二 b 就 等于三，一六本来就负四， b 等于负二，嗯， a 加一，那就应该等于二， a 就 等于一，所以这是等于几呢？ a 加一就是一，加一就是二 b 的 负二，负二，负一就是负三，对吧？所以二乘以负三等于负六。 好，我们看到第三张的图形的平移与旋转，那么在前面我们学了折对称，那么这一节我们将学到这个平移与旋转啊，平移和旋转是非常重要的内容。 我们先来看到图形的拼一，拼一呢？我们看到就是现在我们的机器的操作的时候，对吧？在这个这个袋子上从一个地方转到另一个地方，典型的比如说我们人上电梯，从一个位置到另一个位置，你这个人还是你这个人，对吧？你的高度还是你的高度，只是你的位置发生了变化， 也就是我们从几何的图形上来讲呢？这个图形还是这图形形状和大小是不发生改变的，对吧？拼音不改变它的形状大小，只是它的位置发生了变化， 只是位置发生了变化，从一个地方移到另一个地方，对吧？所以这里我们看也某个方向，比如我们朝右这个右上方呢，也是我们直立的电梯，比如我们每个同学下午放学回家，对吧？您坐的那个电梯到你家里去，那是直立的电梯，像我们要有这种辐射的电梯，这个斜着上去， 呃，有的从下往上，有的从上往下，有的是以某一个方向，当然我们几我们现在研究是在同一个平面里，一个图形 以某个方向一定移动，一定的距离，这样的图形运动，我们就叫做平移，平移就是平行移动的意思啊。再来说一遍，平移就是平行移动， 沿某个方向移动一定的距离，它只是位置发生了变化，位置变了啊，位置变了，它的形状和大小是不发生变化的。 所以我们看到这里的三角形 a、 b、 c， 当它平移到了三角形 d、 e、 f 的 时候，点 a 移到了点 d， 点 b 移到了点 c， 啊，移到了点 e， 点 c 移到了点 f。 那么这样我们说，呃，这个三角形 a、 b、 c、 e 和三角 d、 e、 f 形状大小是不发生变化的，所以像这个线段呢， a、 b 等于 d、 e， a、 c 等于 d、 f， bc 等于 e、 f， 而且它里面不仅是相等的，因为刚才我们是平行移动，所以整个是平行的 啊。当然还有这个 a、 d、 c、 f、 b、 e 也是平，因为它是整个图形移移动的，是同样的距离 啊，同样的距离。你比如说我们这个人在这个电梯，人头顶移动的到了哪里？从刚才的这个站的，刚才的位置到了这里，头顶到了哪里，脚也是到了一定的距离啊，一样的方向，一定的距离，所以这始终要弄起了平移就是平行移动，有平行，有相等， 当然包括这个角，角 b、 c、 e 等于角 e、 d、 f， 角 a、 b、 c， e 等于角 d、 e、 f， 角 a、 c， b 等于角 b、 f、 e， 那 么因为它的形状不变，大小不变，换句话说来说，它们就是全等的意思。全等是什么意思呢？就一模一样的，对吧？一模一样的，记得点赞关注哦！

小李，紧急事，西边三号楼一层窗户必须马上验收，耽误工期，后果严重。 收到主管我立刻过去，脚手架没拆窗框，另一组对边挡死了，只能测一组对边，你挑战一下，找个高效方法，务必快速准确，不能出错， 空间窄，只能测一组对边，可这到底能不能快速判定平行四边形对边一百五十厘米完全相等，弹了末线也平行，可仅测这一组对边，真的能判定吗？万一有偏差就麻烦了，这个挑战能成功吗？ 同学们，我们先来一起梳理一下已经学过的平行四边形判定方法。 根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的一组对边平行且相等，那我们来猜想，只有一组对边平行且相等的四边形是不是平行四边形？今天我们就来学习一个更简易的平行四边形判定定理。

嗯，这个推论还有 立梯啊，自己看一眼就行啊。哎，这个随堂练习，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于四十五度， 外角 d、 c、 a 等于一百度， 求角 b 和角 a、 c、 b 的 度数。 首先，嗯，因为角 d、 c、 a 等于嗯，角 a 加角 b， 所以 角 b 就 等于 角 d、 c、 e。 减角 a， 也就是一百度减四十五度，求出来角 b 等于五十五度。 因为角 a、 c、 b 加上角 d、 c、 e 等于八十度，所以角 a、 c、 b 等于一百八十度，减 z 一 角 d、 c、 e 就是 一百八十度减一百度。最后算出来这个是八十度。 无图，角一、角二、角三是三角形阴鼻子的三个外角。那么角一、角二、角三的和是多少度 啊？因为角一等于角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b。 角二呢，等于角 b、 a、 c。 加上角 b、 c、 a。 角三等于角 c、 b、 a。 加角 c、 e、 b。 嗯，最后就会发现，角一加角二加角一加角二加角三，就是两倍的角 a、 b、 c。 加角 b、 c、 a 加角 c、 a、 b， 最后算出来是三百六十度。 哼，怎么设法求出五个内角的和？嗯，可以直接测量，也可以通过加五边形分拨为若干个三角形后再算，就像这两个图一样。 嗯，小亮、小明分别利用图一杠十一和图一杠十二求出了五边形五个内角的和，它们是怎样做的？ 嗯，就是通过把五边形给分成几个三角形的方法。 按照图一杠十一的方法，六边形能分成多少个三角形啊？由计算可以得出， n 边形能分成 n 减二个三角形， n、 b 形的内角和为 n 减二乘以一百八十，乘以一百八十度。

同学们大家好，今天我们讲一下北师大版八下数学第二章一元一次不等式与一元一次不等式组的知识考点。 这一张和前面学的一元一次方程特别像，但又完全不一样。哪里不一样？方程是等于，不等式是大于或小于。别看就差这一点，剪题的思路，最后的答案形式都有很大的区别。 本章重点讲解了六个概念，不等式、不等式的解、不等式的解析一元一次不等式一元一次不等式组。一元一次不等式极组的解或解析 一个性质，不等式的基本性质三个解法，一元一次不等式及组的解法。求一元一次不等式及组的特殊解。含字母参数的一元一次不等式及组的解法。一个关系，一元一次不等式与一次函数的关系一个应用，一元一次不等式及组的应用 三种思想方法，数形结合思想分类讨论思想、数学建模思想、转化思想不等关系。 一般呢，用符号小于或小于等于大于大于或大于等于连接的式子叫做不等式。常用的不等符号 小于号符号小于，实际意义小于不足大于号。符号大于实际意义大于高出小于或等于号小于等于，实际意义不大于不超过大于或等于号。符号是大于等于， 实际意义是不小于。至少不等号符号是不等号，实际意义是不相等。不等式的基本性质基本性质一、不等式的两边都加上或减去同一个整数。不等号的方向不变，用字母表示。如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 大 于 b 加 c， a 减 c 大 于 b 减 c。 如果 a 小 于 b， 那 么 a 加 c 小 于 b 加 c， a 减 c 小 于 b 减 c。 基本性质二、不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，用字母表示，如果 a 大 于 b， 并且 c 大 于零，那么 a、 c 大 于 b。 c a 除以 c 大 于 b 除以 c。 如果 a 小 于 b， 那 么 a、 c 小 于 b c a 除以 c 小 于 b 除以 c。 等式的基本性质三、不等式的两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，用字母表示，如果 a 大 于 b， 并且 c 小 于零，那么 a、 c 小 于 b c a 除以 c 小 于 b 除以 c。 如果 a 小 于 b， c a 并且 c 小 于零，那么 a、 c 大 于 b c a 除以 c 小 于 b。 扩展点不等式的其他性质一、对称性若 a 大 于 b， 则 b 小 于 a。 二、传递性若 a 大 于 b， b 大 于 c， 则 a 大 于 c。 三、若 a 大 于 b， c 大 于 d， 则 a 加 c 大 于 b 加 d。 不 等式的解集能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解不唯一把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。 求不等式由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。 用竖轴表示不等式的解集，我们知道竖轴上右边的点表示的数总是比左边的点表示的数大，可以根据这一特点来描述不等式的解集。 x 大 于 a， 空心向右 x 大 于等于 a， 实心向右 x 小 于 a， 空心向左 x 小 于等于 a， 是 实心向左。 用数轴确定不等式的解析主要有三个步骤，一、画数轴，画出标准数轴。二、定边界，根据不等式解析中的数据确定边界。若有等号，则边界点就用实心圆点表示，若没有等号，则边界点就用空心圆圈表示。三、 根据解集中不等号的方向确定数轴中表示解集的线的方向大于向右，小于向左。 一、元一次不等式不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一。像这样的不等式成为一元一次不等式。一元一次不等式的特征，一、左右两边都是整式。二、只有一个未知数，且未知数的最高次数是。一。三、用不等号连接的式子 解一元一次不等式的基本步骤及依据，步骤，一、去分母。二、去括号。三、移项。四、合并同类项。五、系数化为一去分母。依据不等式的基本性质二、方向不变，去括号，依据去括号， 方向不变。一项。依据不等式的基本性质，一、方向不变，合并同内向。依据合并同内向法则，方向不变，系数化为一，系数为正。依据不等式的基本性质二、方向不变，系数为负。不等式的基本性质。三、方向改变 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，一、审，认真审题，找出不等关系。二、设设出适当未知数。三、列，根据题中的不等关系列出不等式。四、解解所列的不等式。五、答，根据实际情况写出答案。 一、元一次不等式与一次函数用图下方解 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零形不等式的步骤一、将一元一次不等式化成标准形式，即 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零。 二、在平面直角坐标系中画出一次函数 y 等于 ax 加 b 的 图像，确定图像与 x 轴的交点。三、图像在 x 轴下方的部分所对应的自变量的取值范围是一元一次不等式。 ax 加 b 大 于零的解集。 图像在 x 轴下方的部分所对应的自变量的取值范围是一元一次不等式。 ax 加 b 小 于零的解集。 利用图像法解 a， x 加 b 大 于 c， x 加底形不等式的一般步骤一、把不等式转化为 a， x 加 b 大 于 c， x 加 d 的 形式。二、在平面直角坐标系中画出函数 y， e 等于 ax 加 b 和 y。 二、等于 c， x 加 d 的 图像。三、在函数图像上， y 大 于 y， 对 应的 x 的 取值范围就是不等于 ax 加 b 大 于 c， x 加 d 的 解集。 y 等于 y， 对 应的 x 的 值就是一元一次方程。 ax 加 b 等于 c， x 加 d 的 解。 y 小 于 y 小 于 y 对 应的 x 的 值范围就是不等于 ax 加 b 小 于 c， x 加 d 的 解集。 一元一次不等式组的解法一般的关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集。 一元一次不等式组。 a 小 于 b， x 大 于 a， x 大 于 b， 解集为 x 大 于 b， x 小 于 a， x 小 于 b， 解集为 x 小 于 a， x 大 于 a， x 大 于 b， 解集为 x 大 于 a 小 于 b， x 小 于 a， x 大 于 b， x 小 于 a， x 大 于 b， 解集为无解， 口诀为同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。求不等式组解集的过程叫做解不等式组。解一元一次不等式组的基本步骤，一、 分别求出不等式组中各个不等式的解集。二、在数轴上表示各个不等式的解集。三、在数轴上找出各个不等式的公共部分。这种方法简洁为分开解集、中判 易错、易红警示。一、对现实问题中不大于、不小于、非正数、不超过至少等关键词在转化为不等符号时易忽略等号而导致错误。 二、运用不等式的基本性质。三、十不等号的方向要改变，这一点是最容易出现错误的。三、在数轴上表示不等式的剪辑时，首先定界点，界点，韩语剪辑用实心点， 不含有解集，用空心圈。四、求不等式组的解集一定要先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出这些不等式的解集的公共部分，而不能仿照解方程组的方法，直接把两个不等式相加或相解得出其解集，从而导致错误。 一元一次不等式与一元一次不等式组重要性重要性，四颗星难度，三颗星中考直接分值约八到十二分，间接分值为函数方程学习奠定基础，与一次函数方案设计最值问题紧密关联。 本章核心是掌握一元依次不等式及组的解法，理解解决的几何意义，并能应用其解决实际问题。重点在于准确求简不等式，确定解决范围以及建立不等式模型解决方案选择、资源分配等问题。 山西中考场景和省情命题，如煤炭运输方案优化、景区门票团购策略等。实际情景考察建模与决策能力。易错点包括 不等号方向变化、忽视解析、边界值取舍错误。实际问题中关键词至少不超过理解偏差、数轴表示不规范等。 建议通过对比方程与不等式的一同强化理解，注重解析解译，这是中档应用题得分的关键。本章的讲解到此结束，深度咨询可以私信加微，下期想听哪个专题评论区告诉我，别忘了点赞关注，干货持续更新，谢谢大家！

如图所示的长方形透明鱼缸，假设长 a、 d 是 八十厘米，然后呢高 a、 b 是 六十厘米，水深呢 a、 e 是 四十厘米， 然后在水面上紧贴内壁 g 处有一块面包屑，然后 g 在 我们的水面线 e、 f 上，且我们的 e、 g 等于六十厘米。 一只蚂蚁想从鱼缸外的 a 点，然后沿着鱼缸 b 爬到我们鱼缸内的祭点吃面包蟹，则蚂蚁爬行的最短 路线是多少？ ok， 我 们现在就是一个立体图形，对吧？所以以我们现在要求的是线段的最值，这是平面内的，对吧？那么所以我们要想把立体图形转换成平面，所以需要干嘛呢？做展开图。 好，我们画出了展开图，接下来分析最值，我们要这样在求最值，其实是不就是求 a 到 g 的 最值，但是它是不是 a g 直接连线就可以了？ 不是的，因为我们现在 a 是 在外边， g 是 在里边，他俩不在一个空间里边，所以我们现在要从 a 这个地方出发，然后呢爬向我们的内地，然后再走到 g， 所以 它其实对应的是一段折线的场。 好，那么我们如何求解呢？所以我们现在从这个外边要走到里边，其实是不是就转变方向？怎么样转变方向呢？答，做对称可以转换方向，所以我们就是过 a 点做这个 b、 c 的 对称点， 比如说我们是 a 撇，然后接下来呢，我们是不是连接我们的 a、 g， 此时它和我们 b、 c 的 交点即为我们的所求点， 也就是它在这个地方进行。嗯，一个转换方向，然后再走到我们的这个 g 点处是最短的，那么此时我们要求解的这个最值就是谁啊？是不是就是 a、 p、 r、 g 的 最值？ ok， 所以 我们说了第一步做展开图，第二步找什么呢？找对应点， 也就是我们的 a 点在那，然后 g 点在那，然后找完对应点我们还要去找什么呢？就是找所求线段， 找完之后咱们才进行待数计算。那我们来看一下这个 a、 p、 r、 g 的 话，现在是不是在我们的 a、 p、 r、 e、 g 这个直角三角形中，其中我们的 a、 p、 r、 b 其实是不是就等于 a、 b 的 长等于六十？ 然后呢，我们的 b、 e 的 长咱们是不是可以算出来它是等于 a、 b 减去 a、 e 就是 二十， 单位都是厘米喽？好，那 e、 c 的 长是多少呢？ e、 c 的 长题目中是不是也给了是六十？ 所以我们的 a 撇 g 是 不是就等于根号下 a 撇 e 的 方，再加上我们 e、 c 的 方开方，所以就是根号下八十的方，再加上六十的方开方，结果就是一百， 相当于我们六八十同时扩大了十倍得到的，所以这道题呢，最短路程就是一百厘米。

好，今天我给大家录制一期视频。是什么？勾股定律里边的常用模型叫什么？共边双勾股。先明确一下这个意思，共边说明咋了？它有公共边，就比如这两个三角形 a、 b、 d 和 a c、 d， 它俩的公共边是谁？ 是不是 a、 d， 对 吧？ a、 d 是 公共边对不对？那两个直角三角形，所以能写什么？两个勾股定律叫双勾股？那共边双勾股为什么要列两个勾股定律呢？因为共边可以列等式。 先看问题，求必定。我说过，在你们初中阶段，求长度就两种算法，第一种，勾股定律对吧？第二种利用相似比，这是初三的知识，对吧？现在我们利用勾股定律去解，为什么呢？因为他告诉我垂直的垂直出直角吗？出直角了， 你看啊，我教你们一种方法，什么时候用共边双勾股？你看啊，既然我求 b、 d 对 不对？我就要把 b、 d 放在哪？求，放在 b、 d 所在的直角三角形里边。求 b、 d 在 哪个三角形里边呢？是在三角形 abd 啊，对不对？那我是不是得知道 ab 和 ab 的 长度， 那我 a、 b 怎么求？ a、 b 告你没，是十，对不对？但 a、 d 告你没，没告你吧，你是不是得需要求出来 a、 d？ 那 a、 d 又在哪个直角三角形里边呢？是不是在三角形 a、 c、 d 里边？你是不是得知道 a、 c 和 c、 d 的 长度，就能求出来 a、 d 了？是这个思路吧？那 a、 c 告你没告了，那 b、 d、 c 告你没 没告吧？ dc 没告，是不是又得求 dc， 那 dc 怎么求？哎呦，好像求不出来了，对吧？当你求不出来的时候，就可以利用什么共边双勾股了， 共边双勾股是你的最后的杀手锏，明白了没？什么叫共边双勾股呢？三角形 abd 和 acd 公共边是谁？ ad 吧，对不对？对不对？ 那你看，我先写股股定律，在三角形 a、 b、 d 中可以怎么写股股定律呢？ a、 b 方等于什么？ b、 d 方加 a， d 方对不对？三角形 a、 c、 d 中呢？怎么写？ a、 c 方等于 a， d 方加谁加 c， d 方， 对不对？那你看两个式子里边都有谁？ a、 d 方对不对？那你看两个式子并变成 a、 d 方等于 a， b 方减 b 地方，第二次怎么变？变形变成 a 地方等于 a， c 方减 c 地方，可不可以？完全可以吧，那你看 a、 d 是 不是它的公共边呀？共边 双勾股列出来双勾股没？双勾股以后咋了都？等于 a 地方相不相等，相等 a， b 方减 b 地方等于 a， c 方减 c， d 方构建出来了等式，所以这叫共编双勾股。为什么要构建等式呢？会了吧， 会了吧，那你看求什么射什么？求 b、 d 射 b、 d 为几为 x 不 就完事了？那 b、 d 为 x， ab 告你了吧，是几？ ab 是 几？是不是十带进去一百减去 b、 d 是 x 方等于 ac？ 告你们，是不是二倍根号十的平方等于多少？四十减 cd 呢？ bc 和 ab 相不相等十吧，十减 x 的 平方，这不就出来了。这是关于列 x 的 方程吗？ 所以求姑姑对你还是核心思路，干嘛列方程？列方程就是构建等式吧，而共编双勾股就给你把等式列出来了，只需要你设完以后带你就好。 好吧，那解一解多少？一百减 x 方等于四十减去括号，一百减二十 x 加 x 方，对不对？等于四十减一百加二十 x 减 x 方，一百减 x 方，对不对？所以里面都有负 x 方，消掉了对不对？那把数字移到右边， 未知数一到左边是不是负二十 x 等于四十减一百，再减一百对不对？等于多少？负一百六对不对？ x 等于几？这是八，这不算，算八了。 那么好，我现在给大家做一下方法总结。这是共边双勾股，对不对？什么模型呢？背靠背，你看两个三角形像不像？背靠背？共边双勾股，这是一种题型。 好吧，接下来我还会给大家录制两两个视频，都是和共编双股股有关的。好吧，谢谢大家。

同学们大家好，今天我们讲一下北师大版八下数学第一张三角形的知识考点。这一张可以说是初中几何的分水岭，为什么？因为从这一张开始，我们正式进入了逻辑推理证明的核心地带。前面学的平行线、全等三角形 都是为这一张打基础，这一张学好了，后面的平行四边形相似三角形圆，你都能轻松应对。 本章重点讲解了三个概念，反证法、逆命题、逆定义。九种性质，全等三角形的性质等腰三角形的性质。等边三角形的性质。直角三角形的性质。勾股定律线段垂直平分线的性质。 三角形三边的垂直平分线的性质。角平分线的性质。三角形内角平分线的性质。八种判定定理，全等三角形的判定。等腰三角形的判定。等边三角形的判定。直角三角形的判定。勾股定律的逆定律线段垂直平分线的判定。角平分线的判定。 h l 定理 两类解析技巧证明线段或角相等的方法证明两线垂直的方法。四类应用，全等三角形的实际应用线段垂直平分线作图的应用。最短与最长路径问题的实际应用。角平分线的实际应用， 一个尺规作图做等腰三角形三种思想方法方程思想、分类讨论思想、转化思想。全等三角形和等腰三角形的性质全等三角形的判定。 s、 s、 s 三条边分别相等的两个三角形。全等 s、 a、 s 两边及其夹角分别相等的两个三角形。全等 as、 a 两角及其夹边分别相等的两个三角形。全等 a、 a、 s 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 h、 l。 直角三角形。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 全等三角形的性质。全等三角形的对应边相等对应角相等等腰三角形的性质。定力及推动等腰三角形的两底角相等。等边对等角。等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高线、三条线重合等腰 三角形腰上的高相等等腰三角形的三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于六十度。 一、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。二、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线三线合一。三、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴易错点。 所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形。等腰三角形的判定及反正法等腰三角形的判定定底有两个角相等的三角形是等腰三角形。解数为等角对等边。 在三角形 a、 b、 c 中，若角 b 等于角 c， 则 a、 c 等于 b、 c。 条件角相等，则角 b 等于角 c。 结论，边相等及 a、 b 等于 a、 c 对 等角对等边的理解仍然要注意，它的前提是在同一个三角形中 判定一个三角形是等腰三角形。有两种方法，一、利用等腰三角形。二、利用等腰三角形的判定定律及等角对等边 反证法。在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义基本事实、已有定力或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 等边三角形的判定判定定例一，三个角都相等的三角形是等边三角形。解读，应用判定定例二时， 正三角形是等腰三角形，且三角形中有一个角为六十度。判定一个三角形是等边三角形的方法有三个，一、 三边都相等的三角形是等边三角形。二、三个角都相等的三角形是等边三角形。三、有一个角等于六十度的等腰三角形是等边三角形。注意要根据条件和特征灵活选择判定方法。 三种方法，正等边定义于两个判定判定二，可先正等腰，再找六十度角。含三十度角的直角三角形的性质定力，在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 勾股定力及其逆定力定力，直角三角形的两个锐角互余定力有两个角互余的三角形是直角三角形。勾股定力 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 c 的 平方等于 a 的 平方加 b 的 平方。逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题成为互逆命题， 其中一个命题成为另一个命题的逆命题。直角三角形全等的判定定律，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定律可以解述为斜边直角边或 h、 l 线段垂直平分线的性质与判定性质定律，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定定律到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是互逆命题， 使力应用三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个点的距离相等。交点是外接圆、圆心 三角形三边的垂直平分线。三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知直线 l 和 l 的 垂线，使它经过点 p。 画图方法大家要会，如果点 p 是 直线 l 外一点 用尺规做 l 的 垂线，使它经过点屁方法要会。角平分线的性质与判定性质定力，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定定力，在一个角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是互逆命题。实地应用。 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。焦点是内切圆、圆心等腰手拉手规律可寻找。一、等腰三角形问题中会经常遇到手拉手模型， 其基本的图形特点是共顶点等顶点的两个等腰三角形 a、 b、 b 撇与等腰三角形 a、 c、 c 撇，且角 b、 a、 b 撇等于角 c、 a、 c 撇。此时有结论，三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a、 b 撇、 c 撇。二手拉手模型中特殊图形便是一 等边三角形的手拉手。如图二所示，三角形 a、 b、 d 与三角形 b、 e、 c 均为等边三角形，且共顶点 b 亦得三角形 a、 b、 e 全等于三角形 d、 b、 c。 二、等腰直角三角形的手拉手如图三所示。等腰直角三角形 a、 c、 d。 与等腰直角三角形 d、 j。 共顶。点 d、 e。 一 得三角形 a、 b、 c。 于等腰直角三角形 a、 b、 c。 与等腰直角三角形 a、 d、 e 共顶。点一得三角形 a、 d、 b。 全等于三角形 a、 e、 c。 易错易红警式一、等腰三角形三线合一指的是顶角的平分线， 边上的中线及底边上的高线互相重合，易忽略底边上这一条线而出错。二、问题中给出了直角三角形的两条边，让求第三条边，如果没有注明这两条边是直角三角形的哪两条边，那么就需要分类讨论。 如果把给的两条边直接当做两直角边进行计算，就会出现漏解。三、线段垂直平分线的判定定律的结论是某一点在线段的垂直平分线上，有的同学错误的理解成过这一点的直线就是线段的垂直平分线。 三角形的证明重要性重要性，五颗星难度，四颗星间分值为后续四边形圆相似三角形。学习电机 与全等垂直平分线角平分线紧密关联。本章核心是掌握等腰等边直角三角形的性质与判定，规范书写证明过程。重点在于熟练应用全等判定， 理解逆命题与逆定律关系，掌握垂直平分线和角平分线性质。山西中考常结合硬性木塔近此古建的本土情景命题易错点、定力条件遗漏、逻辑跳跃辅助线不当 恐晓性质与判定、匿名题表述错误等。建议强化典型图形训练，注重分析，综合法规范书写，这是几何压轴题得分关键。本章讲解到此结束，深度咨询可以私信加微，下期想听哪个专题评论区告诉我，别忘了点赞关注，干货持续更新，谢谢大家！

好，我们继续来看几何的综合应用。正方形的对角线的问题。首先第一题告诉的是，在正方形 a b c d 中， f 点是 b c 边上的一个点， 满足 p f 和我们的 a f 位置上垂直，数量上是相等的。好，首先位置上的垂直，这个直角可以和我们的正方形自身的直角来产生联系，比如说跟 b 点处的直角往斜面放，提供的是有一些互余的角度的等量关系， 比如说角 b a f 这个角和我们的角 a f b 是 有一个互余的关系，角 a f b 和我们的这里的角 e f p 这个角也是互余的关系。好，同角的与角相等，进而得角一和我们的角二是相等的。 然后呢，并且告诉的是 a f 和我们的 p f 这样的两条边是相等的。好，接着啊，这个第一小题的话，过 p 点做的 p e 是 垂直于 bc 的， 又提供的是有直角，那这个时候的边角集中到形里面是可以得形的关系的，也就是图形中是有权的。 接下来让我们求证的是， p e 是 等于 c e 的。 好， c e 目前它是不在形里面，至少不在三角形里面，四边形也是没有标字母的， 所以先看 p e p e 找型的话，找有条件的形式。 p e f 这个型里面有角二和我们的角一相等，有直角，有我们的 f p 和 af 是 相等的，所以这个时候的边角集中到型里面是有全等的。那接着就是分析这个全等即可。 好，首先第一个啊，借助我们已知的条件啊，首先可以得到的是角一是等于角二的，以及直角和我们的正方形的边相等，所以比较容易能够得到的是三角形 a b f 好， 它应该是全等于三角形 f e p 的 判定方法的话，就应该是 a a s 好， 正得全等。之后，因为是根据 a a s 三组角都是相等的，所以重点关注的是全等带来的边等好。首先就是我们目标带求的 p e 这条线段应该是等于 f b 的， 另外一个的话就是 ab， 这条已知的正方形的边， ab 应该是等于 f 一 的，而 ab 因为它是正方形的边，所以它还等于我们的 bc， 那 进而也就可以得到的是 ef 和我们的 bc 是 相等的。好，之所以去分析 bc 啊，因为 bc 和 ef 除了在数量上相等，另外在位置上是共线的， 那共线运算同时减去中间的公共部分 f c， 那 这样的话就可以得到的是此时的 b f 应该是等于 c e 的， 进而也就等于 p e 也就得到我们目标所需要的 p e 和我们的 c e 是 有相等的关系，那 p e 一 旦和我们的 c e 相等，除呢数量上相等，它们在位置上是有一个垂直的位置关系， 那如果有需要的话，连接此时的 c p 是 能够得到三角形 p c e 是 一个等腰直角三角形啊。因为第一问的话，为什么会有一个第一问啊，也是提供我们后续这个第二问的一个解题的思路啊。好，所以这个地方隐藏的还有新的特殊的信息，特殊型等腰直角三角形 啊。接着我们来看第二小题，第二小题连接的 b d， 那 b d 是 我们的正方形 abcd 的 对角线， 正方形的一条对角线重点考察的是对称性，一条对角线平分对角，在 b 点和 d 点的位置有四十五度角以及 b d 啊，这条线两侧的两个等腰直角三角形，它是有一个对称性的 好。接着给的是 b d 和我们的 a p 的 角点为 g 点，让我们求证的是 a g 和我们的 p g 是 相等的啊，大家这个地方的做法是不为一的啊。我们先来按照常规的方法来分析 正面这样的两条边相等，正边等，我们首先想到的是正全等啊，那正全等的话就是，呃，大家可能会有同学想，这个 a p f 它是一个等腰直角三角形， 那既然是一个等腰直角三角形，那 g 点最终是 ap 的 终点，有的人会想能不能连接此时的 g f， 然后正它是这个垂直啊这个地方，因为它是带正的中点， 如果是已知的终点的话，我们可以去想这个等腰直角三角形的三线合一，但是它如果是一个带正的这个终点的话，这个想法目前是行不通的。 所以回到常规的啊，证明边相等，那就正全等，正全等的话，目前的话 pg 是 不在型里面的，至少没有三角形。所以先找 ag 所在的就是 agd 好， a g d 这个形里面的话，它是由我们的正方形的边 a d， 然后 d 点，这还有四十五度角好。当然可能也有同学去想，能不能找这个 a g b 都是可以的啊， 如果找的是 a g d 的 话，那这个时候我们就可以构造一个形跟它全等。如何来构造全等？借助目标带球的 a g 和 p g 是 相等的，也就假设 g 点是一个中点，借助中点把形构造出来，再看辅助线应该怎么去描述啊？ 那这个时候就相当于具备了一边等，加上 g 点的位置是有一组对顶角的，那一边等和一角等相当于是一个边角边勾全等的。这种想法实际上可以理解为是把 d g 这条线进行一个倍长到达一点，比如说 q 点，那接下来要形成形的话，连接此时的 p q。 好，那连完之后应该是能够得到啊，最终应该是这样的，两个三角形要对称的。好，那这个时候的 d g 和我们的这个 g q 注意一下啊，辅助线的描述是要换的，因为这个地方的目标的这个 g 点是要证明它是 a p 的 中点， 也就是要证明 a g 和这个 p g 是 相等的，所以如果说我们倍长的话，那此时没有办法形成边角边， 那这个地方它是有四十五度的，那我们实际上啊，构造边形不通的情况下，选择构造角，也就是做平行，所以已知中点是被常带来平行，那如果是正中点的话，可以选择做平行，做完平行之后，上下两个图形的话，它们的所有的角都是相等的， 那就要找一组边相等，找哪一组边啊？正方形的边，因为正方形的边是有等量关系的，那也就是要证明此时的 a d 和我们的 p q 是 相等的。 好，那 a d 的 话，因为是正方形的边，正方形的边那四条边都是相等的，转到哪个位置呢啊？转到 ab， 因为 ab 角形的话是有 abf， 有 我们的已知的等腰直角三角形的 af， 所以 转移到这个 ab 这边来。好，那此时 ab 和 af 已知的边产生联系，那么 p q 就 应该是和已知的 p f 产生联系，所以找寻的话就应该是连接此时的 f q， 也就接下来就去找 a b f 这个形和我们的三角形 p q f 正，它俩是全等的啊，从而得到目标的这个结果。那这两个三角形要正全等的话，目前只有 a f 和 p f 这组边相等啊，暂时没有其他的信息，所以这个地方啊，暂时也是正不了的， 但是这个地方的形应该是有全等的这样一个信息，所以我们最重要，如果说它全等，能够带来的是 b f 和我们的 f q 在 数量上相等，在位置上垂直，也就是等腰直角三角形， 而本身 b 点，这是有四十五度的，本身是有四十五度啊，所以这个地方啊，我们借助目前的图形，然后呢重新描述这里面的辅助线，也就是直接做等腰直角三角形啊，直接做等腰直角啊，我们就重新画一下啊， 也就是这个地方啊，选择直接在这个地方的 b 点的位置，直接做 f b 的 垂线，好跟我们的 b d 的 交点，假设为 q 点，那一旦做了垂直之后，因为本身有四十五度，从而得到 f b 和 f q 是 相等的， 然后以及共顶点处的角 a f b 和我们的角 q f p， 那 这个时候的边角边 q f 角，然后呢以及 f p， 所以 接下来的话，连接此时的 p q 是 能够形成共顶点的一组手拉手的旋转权等 啊，借助这个权等，就能够得到 a b 和我们的 q f 在 数量上是相等的，当然分析角度也可以得到，在位置上是有垂直的， 进而得到 p q 和 a d 的 关系，再来解决问题。好，所以这是一个分析过程，那接下来我们写一下它的一个具体的证明过程。那辅助线的话，就是过 f 点啊，做 f q 是 垂直于呃 bc 的， 然后是交 b d 于 q 点 啊，相当于是一用我们的已知的 a f p 这个等腰直角三角形，相当于是一个旋转九十度的这样一种想法啊，旋转中心是 f 点，旋转角度是九十度啊，好，那这个时候就可以得到啊，就是我们的啊，因为此时的角 f b d 应该是等于 啊，也就是 f b q 是 等于四十五度，正方形的对角线提供的四十五度啊，进而也就可以得到的是，它应该是等于 f q b 的， 也就提供是一个等腰直角三角形 f b 应该是等于 f q 的， 结合本身的 a f 和 f p， 从而就可以去证得啊，两个等腰直角三角形的一组旋转全等啊，也就是 a b f 这样一个三角形，应该是全等于三角形 p q f 的 判定方法的话，手拿手的 s a s 啊，正得全等之后，得到的是 ab， 这条边应该是等于 p q 的 啊，进而也就等于我们所需要的 ad 啊，除了有边，另外一个就是角度啊，角度的话，我们就分析一只角吧，九十度啊，也就可以得到的是角 abf 应该是等于角 p q f 等于九十度。 好，这个 q 点的位置一旦有九十度，还有四至五度，那进而共顶点角的匀算是能够提供有四至五度，和我们的 d 点处的四至五度产生联系 好，从而得到平行或者是说有角相等啊，结合对顶角以及 p q 和 a d 相等，那接下来就是证我们的新的这样的一组全等，也就是呃， ag 所在的 a d g 这样一个三角形啊，应该是全等于 pg 所在的 p q g 啊 啊，全等判定方法的话，就是对顶角、四十五度角以及相等的边，也就是我们的 a a s 正全等啊，正得全等之后，就可以得到我们目标所需要的 ag 应该是等于 pg 的 啊，也就提供的是 g 点，是 a p 的 中点啊，这是一种想法啊啊，另外一种想法的话，就是可以结合我们的第一问， 结合第一问啊，因为第一问的话，实际上他提供了一个思路啊，就是等腰直角三角形，相当于是构造的一个三垂直，那这个时候我们也把这个图形把它转移类比到我们的第二个图形里面来，那就是可以继续过这个地方的 p 点去做我们的 bc 的 垂线， 将我们的 bc 的 延长线与点一点，好借助我们刚刚的第一问的分析的话，是可以得到此时的呃， pe 和我们的 pc 啊， c e 是 有一个相等且垂直的关系， 往型里面放，能够形成有一个等腰直角三角形，那么在 c 点的位置就提供的是有四至五度，而 c 点的位置本身是我们的正方形的，这个啊，呃，正方形自身提供的是有九十度。 另外这个题目因为它连的 b d， b d 是 对角线，正方形的对角线本身是有特殊信息的，那这个时候的两条对角线是有一个相等垂直且互相平分， 所以此时的 a p g 点是 a p 的 中点， a p 找寻我们可以找 a p c， 那 这个时候连的 a c 之后，在 c 点的位置又会出现两个新的四十五度角，从而我们的 a p 找型就是 a p c 这样一个三角形 好，并且可以得到它应该是一个直角三角形好，在这个直角三角形里面，这点是 b d 边上的点， 而这个 g 点啊，它是在我们的 b d 正方形的对角线上的点。正方形的对角线本身是具备对称性的，借助这样的一个对称性，我们是可以得到 g a 这条线段，它应该是等于 g c 的 好，借助正方形的对称线啊， g a 和我们的 g c 是 相等的，那这样的两条边相等，提供的是它的两个底角相等。假设为 r 角 好，那接下来的话，就是借助我们的 c 点处的直角进行互余倒角，那此时的角 g c p 这个角是等于九十度减 r 法。 另外一个角 g p c 这个角借助我们的 a c p c 点处的直角，那一样的是角 g p c 应该也是九十度减 r 法。 进而也就可以得到的是 gc 和 gp 是 相等的，等量代换和我们的 ag 也是相等的好，所以这个地方啊，相当于一个呃，应用斜边中线的这样一种想法啊。对称性可以得到的是 ag 和我们的 cg 是 相等的。 然后呢，借助倒角可以得到它和我们的 p g 是 相等的，进而也就得到 a g 和 p g 相等啊。但是需要用到的是第一问里面提供的 c 点出的四十五度，进而提供的是有九十度的直角啊，这是我们的第二题的另外一种想法啊，接着我们来看一下第三小题， 他说的是在二的条件下，好二的条件就是提供二的结论的，也就是 a g 和我们的 p g 是 有一个相等的关系，那就提供的是 g 点是 ap 的 中点， 那 ap 往其里面放 apf 等腰直角三角形，那等腰直角三角形底边的中点，它的用法应该是三线合一的这样一种想法，所以是连接此时的 f g， 那就可以得到的是 a g 和我们的 g f 是 有一个相等且垂直的这样一个关系啊。那接下来的话，给的是 b g f c 的 长度是等于六的，那这个时候的 f c 往斜面放的话，应该找 f c 好 f c g 好 f c g 啊。因为这个地方一旦 a g 和我们的 g f 相等，而 a g 本身是正方形的，对角线提供的这样的一个信息啊，这点是在对角线上，所以 g a 这条线段应该和我们的 g c 是 有相等的关系， 那一旦它俩相等， c f 角形应该是 c f g 这个等腰三角形。在这个等腰三角形里面， f c 是 它的底边出现的等腰三角形的底边，那优先，如果要用的话，可能会去想三线合一啊。另外 b g 的 长度是等于五倍的根号二， 好，那这个时候的 g b 点的位置，它是有四十五度的，所以这个 g b 找寻的话，可能会去向等腰直角三角形啊。最后让我们求的是 af 的 长度，求线段长度是勾股 af， 找寻的话是 af b 有 直角三角形，当然也有可能是找 af g 这个直角三角形 啊。那就借助目前的条件的一个分析啊。好，首先的话是得到刚刚的啊，三线合一提供的是 ag， 应该是等于 g f 啊，另外一个的话就是对称性提供的 a b 和我们的 c g 是 相等的啊， a g 和 c g 相等，也就提供的是一个等腰三角形，那这里面啊，就是借助等腰三角形的三线合一来分析即可啊，过这个地方的 g 点做 g h 是 垂直于 fc 的 好，那一旦垂直提供的是等腰三角形的三线合一，那两边长应该都是等于三的，那这个直角可我们的 b g 找寻就是找 b g h， 这是一个等腰直角三角形好，所以这样的话就是在我们的 r t 三角形 b g h 中， 等腰直角三角形斜边长是五倍的根号二，好，从而就可以得到 b h 应该是等于 g h， 应该都是等于五的好，一旦它等于五的话，公弦运算就可以得到 b f 的 长度是等于二的，五减去三也就是二另外一个 b c 的 长度，那公弦运算五加三是八，从而得到 ab 的 长度，正方形的边长是等于八的， 那我们的目标待求的此时的 af 造型的话，应该找 af 这个三角形啊，所以接下来就是 a b f 这个直角三角形中，两者角边长分别是二和八。勾股定底得到 af 的 长度二倍的根号十七， 好，二乘一，二乘四，二倍的根号十七，好，当然这个地方也可以选择去求这个 g f 的 长度， g f 造型找 g f h f h 的 话是等于三的，另外一个 g h 是 等于五的，以三和五为直角边对应的斜边长，然后进行一个勾股的计算，再乘以根号二倍，得到对应的 a f 也是可行的啊。

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

施工现场新进场了一批用于外墙的平行四边形玻璃，专业人员正带领小验收员们验收这些玻璃是不是平行四边形。同学们大家好，欢迎大家来到外墙玻璃验收现场， 大家请看，这批玻璃看着都是平行四边形的模样，但他们到底是不是标准的平行四边形，能不能安全安装到高楼上，就需要我们用专业方法来验收。今天同学们跟着我一起学会判断这些玻璃是否合格。 首先我们要测量一下它的两组对边是不是分别平行。然后我们可以用量角器测量玻璃的两组对角， 如果两组对角分别相等才是平行四边形。我们还可以测量玻璃的两条对角线，如果这两条对角线互相平分，那么也能证明这是平行四边形。 还有一种方法，我们测量一下玻璃的两组对边是不是分别相等，两组对边分别相等，那么他也是合格的平行四边形。我刚才讲的这几种方法都可以用来验收玻璃形状是否符合设计标准，大家明白了吗？ 明白了，我们学会判断这些玻璃是不是标准平行四边形了。同学们，平行四边形有着极强的实用价值， 在我们身边随处可见，建筑领域的外墙装饰、桥梁支架，日常生活中的门窗框架，还有工业生产中的各类构建，都能看到它的身影。它凭借广泛的应用场景和实用的性能，成为我们生活中不可或缺的图形。 今天就让我们一起深入学习掌握平行四边形的判定方法，解锁它的实用奥秘。同学们，大家看这个平行四边形它有哪些关键特征？谁能试着说一说？ 回答准确，大家把平行四边形的核心性质记得很牢。那什么是平行四边形？咱们判断一个四边形是平行四边形最基础的方法是什么？ 没错，定义是我们判定平行四边形的基础。大家想想，咱们已经知道了平行四边形的性质，对边相等、对角相等、对角线互相平分。 那反过来思考，如果一个四边形满足对边相等，它一定是平行四边形吗？满足对角相等，对角线互相平分呢？今天我们就来研究，除了两组对边平行，还有哪些条件也能判定一个四边形是平行四边形。

熊大熊二，咱们要修跨池塘的便民栈道，可 a、 b 两点隔了个大池塘，水又深又宽，根本没法直接用尺子量啊。 嘿嘿，要不咱们砍棵大树，搭个桥，顺着树量肯定能量出来。熊二，不行，砍树会破坏森林， 咱们得想个更聪明的办法。是啊，直接测量太困难了，有没有不用过河，不用砍树就能算出距离的方法呢？有了， 你们看，咱们在池塘外面选一个点 c， 把 a 和 c、 b 和 c 连起来，形成一个三角形， 再找到 a、 c 的 中点 d、 b、 c 的 中点 e 连接 d 和 e， 只要量出 d、 e 的 长度，就能算出 a、 b 的 距离了啊！量 d、 e 就 能知道 a、 b、 e， 这中间差了这么多，真的能行吗？熊大， 你这是什么神仙办法？快给我们讲讲这到底是什么原理啊？熊大说的 d、 e 就是 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 为什么量出中位线的长度就能知道第三边的长度呢？这就是咱们今天要学习的三角形的中位线定理， 学会了它，咱们不仅能算出池塘的宽度，还能解决好多几何问题呢！到底什么是三角形的中位线？它有什么神奇的性质？让我们一起走进今天的课堂，探索三角形中位线的秘密吧！ 如果连接三角形两边的中点，会得到什么样的线段？它与第三边会有什么关系？