沈阳七中初一下数学试题几何

同学们好啊，那么昨天呢，老师给同学们发的那道题是七中的月考真题啊，这次期中这个题的最后两道大题都是很简单的，这道题也不难啊，他考察的呢，就是我们过程的书写，然后呢，还有一些预拐点，做平行线的一些 这个过程，是不是来我们看一下啊？首先呢，他说兴趣小组啊，在学习平行线的过程当中发现了一个什么什么东西啊，这个咱们就不看了，我们直接看，如图一， a b 和 c d 是 平行的，然后 e f 和 ab 是 垂直的，交于谁，怎么怎么地，让我求这两个角的关系，来，咱们找一下啊，是 e f g 这个角和 d p g 啊，这个角是吧，这个弧和这个点角的关系。 然后他说，如图二啊，明明同学是遇拐点 f 做的平行线，实现了角的转移，解决了问题。 然后图三呢，他说欣欣同学啊，是受到了启发，另辟蹊径，做了一个平行线，异曲同工之妙是吧？哎，这个角，然后这个角的关系啊，内错呀，什么同位呀，对吧？哎，他也是啊，有类似的一个解法。然后我们看一下第一个问， 我们看第一个问啊，他说，请你去判断有怎样的关系，那么我们肯定是要先写出结论的，对不对？那我们能得到的是这个角 e f p 啊，这个角和这个角啥关系啊，应该差九十度对不对？它应该等于的是九十度加上角的 p g 啊。 然后选择一名同学的解析思路，并写出他的证明过程，那么我们就按照这个图二的方式来写，可能更简单一些是不？都不用去想，就这明明同学的，我们先写解儿啊，然后理由如下， 首先呢，他这个做的是平行线，是与拐点做的平行线，对吧？所以呢，我们先写啊，过点 f 啊，做 f n 平行 c， 对 啊，就是把这条线画出来，对吧？但是呢，我们得知道啊， 呃，我们在做平行线的时候，不能同时平行于两条线，如果我们做的是平行 c 对 的，那么我们要写个什么呢？因为题干上告诉我， ab 和 c 对 也平行，所以这三条线才都平行啊， a b 平行， c 的 平行 f n 这个原理呢，是平行于同一条直线的，两条直线平行啊。好，然后写完了这个之后呢，我们才能得到啊，什么同位角啊，九十度啊之类的，是不是？那比如说上边题干上告诉我的，是啊，因为 这个 e f 啊，是垂直 ab 的，是吧？ e f 和 ab 垂直，那么我们就能得到角 e q b 就 等于九十度呗，对吧？哎，这是九十。然后呢，我们还能得到这个角一吧，是不可以标一个角角一啊，这个角一和这个 e f b 这两个角是同位，对吧？那么我们可以写，因为 ab 本身和这个 f n 是 平行的，所以角一就等于角 e q b 是 不就等于九十度啊， 对吧？然后我们再看下边这个啊，首先我们上下平行的话，直接就能同位，和角二同位呗，对吧？和角二同位，那么我们写，因为 f n 和 c d 是 平行的，所以这个角二是等于角 d p g 的， 对吧？哎，那么我们 本身角 e f g 啊，它应该等于角一加上角二，对吧？哎，所以角 e f g 啊，咱们代入一下，就等于九十度，加上角的 p g 啊，就可以了。 好，这是我的第一个问，我们再看一下第二个问啊，他说如图四啊， a、 b 和 c、 d 是 平行的，然后反向延长角 a b p 的 平分线 b e 啊，也就是说这两个叉角是相等的角平分线吗？ 啊，然后谁交一点谁这个来， e f c 五十度啊，这角是五十度，那上下平行的话，这个叉角是不是也是五十啊？对吧？哎， p h c 是 七十角， p h c 七十，这角是七十度呗， 然后让我求角， p 的 度数是多少啊？那么这道题我们有很多种做法啊，我们可以过点 p 做平行与拐点做平行线，我们也可以直接延长用外角来做，这都是可以的。 所以说呢，老师简单跟你说一下我们的做题思路啊，很明显啊，比如说，如果我们要是遇拐点做平行线的话，这个是最通用的，普通的这个做题方法是吧？ 好啊，我画的这个平行线啊，它是平行于 a b 的， 对不对？我们也可以标一下 m n， 然后我们写过程的时候就可以写过点 p 做 p n 平行 ab， 对吧？跟刚才是一样的，然后因为 ab 和 c 的 也平行，所以三条线都平行啊，这是一样的，然后我们可以通过内错啊，这角是七十的话，这个是不是七十度啊， 对吧？哎，然后呢，这个是两个五十，是一百度，那么同旁内角的话，这头是不是应该是八十度啊？所以中间的部分是不是就求出来了？那么这个最后角 p 啊，就是现在的这个 b ph 就 应该等于的是一百八十减去八十度，减去七十度，对吧？那么一百八减去一百五呗，就应该等于三十度啊， 再或者呢，其实我们可以给它延长，然后这个角度是一百度，外角的话就是三角形的外角，等于与它不相邻的两个内角之合，一百减七十，这角就是三十，对吧？都能求出来啊，你想怎么做都行，而且这个过程非常好写啊，老师就不给你写了。 好了，我们看一下第三个问啊，他说如图五， a b 和 c， d 是 平行的，然后 d， n 也是平分线，来叉角画上， 是吧？哎，然后呢，有一个九十度啊，那你得必须得写什么呀？因为 ap 垂直 p d， 所以 角 p 等于九十度啊，这是必须得写的，知道吧？不要小瞧这个条件啊，一般情况下他都是有一分的，如果这道题你没做出来，写这个都有一分。 然后呢，题干上告诉了我一个等量关系啊，就是 p a b， 找一下 p a b 这个角呗，加上二倍的 p a n 等于一百八十度 啊，其实这个条件非常好理解啊，我们正常的话就是把它延长就可以了，是不延长这个 b a 啊，延长 b a， 题干上告诉我的是角 p a b 加上二倍的角 p a n 等于一百八十度，对吧？ 角平分线，然后九十。还有这个条件啊，让我直接写出的 n a 的 度数是多少，让我求这个角。好，我们正常的做法就是把它 延长啊，你看我们 p a b 这个角对不对？ p a n 是 不是这个叉角啊？蓝色的叉角啊， 那正常情况下啊，比如说我这个标个角一是不是，你看我们正常是不是角 p a b 加上角 p a n 加上角一是一百八十度， 对吧？就是这个位置，然后题干上告诉我的是加上二倍的，你看这俩是一样的，这俩是一样的。那你能不能得到什么结论了呢？我是不是能得到这个角 p a n 就 应该等于角一呢？对不对？就是这个叉角等于角，一看，这没有问题吧？ 好，然后再接下来啊，老师把这个叉改一下，是吧？改成点角。 好，角平分线的话，两个点角相等，然后这个叉角和这个角一是相等的，所以我把这个也给他改成叉，行不行啊？哎，俩叉相等，俩点相等，然后现在让我求这个对号是不？你看我们做完这条延长线了之后呢？ 啊，有没有同位角啊？这个角和这个角，所以说这个角也是点角，没问题吧？好，我们外角是不是有这个性质啊？三角形的外角等于它不相邻的两个内角之合，所以说我们能得到的是点角，是不就应该等于对号加差角啊，对吧？这是外角吧， 没问题。然后呢，我们再看一下这个点和差的关系呗。点差啥关系呢？ 那肯定是要用到这个九十度了，对不对？来，比如说我们的这个角和这个角他俩是对顶的吧， 然后呢，我们这个位置也有一个对顶，是不？所以这个角是不是也是点角啊？看老师画的这个是不是也是点角？ 哎，你就看这个三角形和这个三角形啊，有没有发现两个三角形的内角和都是一百八，然后有个对顶角绿弧等于绿弧是相等的，那剩余的两个角的和是不就应该是相等的呀？对吧？两个阴影的啊，那这个三角形我拽出来两个点 对顶角这个抵消了，那是不就应该等于九十度加两个叉啊，对吧？九十度加两个叉 能看出来不？对？顶角抵消掉俩点，就应该等于九十度加俩叉啊。好，然后我们除以二，那么点角就应该等于四十五度加上一个叉，对不？哎，那你看一下我们对号是不是出来了， 对吧？所以说这个对号就应该等于四十五度啊。四十五度方法其实有很多啊，我看有的老师过点 p 做平行线，过点 n 做平行线，随意啊。好，感谢聆听啊。

初中这种啊，一边一角，构造全能的方式，对于北师版的小孩其实真不友好，也就是这种题型啊，在咱们北师版的小孩做的话，还很有难度。 那么今天啊，我们具体来看一下。这个就是沈阳市第七中学八下月考二十二题几何题的前两问，最后一问考察的是那个逆等线，之前老师也录了视频讲解，咱们家长留意观看。 那么什么叫一边一角到全等呢？来看这个，如图一，已知等腰直角三角形等腰直啊，然后 a c 等于 b c 这块老师标一下啊，然后在三角形内取一点得，使 a 得也 等于 a c， 其实这个知识点，它也叫共幺双等幺问题。你看这个 a c 啊，它既是 a c 的 这个等式三乘幺，也是这个 abc， 这个等式三乘幺，它也叫共幺双等幺问题。 然后这个他给了我们这个角 c 以对，等于三十度，哎，这个角是三十度，那你马上就能知道他是十五度，没毛病吧？然后你 a c 等于 a， 对， 那这块是七十五，那这块他也是七十五，对吧？一百八减三十的一百五除二七十五， 那这块他就应该是十五度，哎，你到这都应该想得到，然后你连接得 b 呢？那这俩角那度数你不知道是吧？然后咱们接着往下看啊，这个他想求 a 得 b 的 度数，求这个角， 如果不给你提示，那么你更做不出来了。这道题还给了点提示，说小明通过挖掘已知条件，能够得到这个角得 a b 得 a b， 这个角等于角得 c b 的 十五度。哎，这事我们能知道啊，挖掘已知条件线段，这个 bc 啊，它等于 a 得，那没毛病，这不就老师说的叫共腰双等腰问题吗？啊，然后这样本题就具备了一边一角的特征， 一边一角构造全等，哎，也就是说有一个十五度相等，有个 a 的， 它等于 c， b 一 边一角了，然后它， 所以小明果断的在 bc 上取了一点，截取了一个 a e， 让 a e 这个边，它等于了我们 c d 这个边，这样就造出了个全等三角形。 那确实啊，你这个十五度等于十五度， a 得等于 bc， 然后 c 得就等于 a， e 了， s 相等啊，然后从而使问题得以解决。什么问题啊？他想求这个角度数，是不是啊？请你按照小明的思路完成解答过程，并且求出这个度数 啊，他，小明的思路我是听懂了，但是接下来咋求啊？啊，这俩算式确实全等，全等完之后，我们对 e， 它也等于对 b 啊，这个我也知道，是吧，但是我也求不出来这个 a 对 b 多少度， 没有啥思路，没有啥思路的时候，你就设最小那个角，你设它是 alpha， 那 么这块它也是 alpha， 那 不全等吗？这个三角形和这个三角形全等，对吧？然后咱们接着往下思考， 嗯，这个位置它是不是应该是十五度加上 alpha， 因为它这个三角的外角，对不？然后这个位置它是不是也是十五度加上一个 alpha， 因为这个对 e， 它不等于对 b 吗？这不，这不是全等的吗？边相等 哎，所以这个角它就十五度加上二阿尔法，刚好等于了四十五度，这不等于值吗？哎，这样咱就能把阿尔法算出来了。二阿尔法等于三十， 那么阿尔法它就等于十五，阿尔法的十五，你看这个阿尔法我是不知道了啊，完了，阿尔法是十五，那这个角是不是三十？完了，这块是不是三十，那这块不就是一百二吗？ 哎，所以这块一百二，完，这个阿尔法还是十五，加在一起一百三十五。哎，所以说，孩们啊， 你就构造完全等之后，你就往全等之后，能得到什么呀？得到边相等啊，边相等啊，能得到角相等啊，能得到角相等之后，我们还不会做的时候，就设一个最小的角，通过这个最小的角能求出啥？哎，这就是我们第一问。 下面我们来看第二个，在四边形 m c n q 中角 m n c， 这个角加上角 q m n q m n 加上这个，加上这个角一百八，然后还给了角 c 等于角 q， 让我们求证， m c m c 啊，等于 n q， 它俩根本就不挨着。孩儿们呐，这个是一个关键的条件， 你看见那个点 m mnc 了吗？在这呢， mnc， 它加上 加上这个角，我说他一定得一百八，你把这条线延长啊，他俩不是互为邻补角吗？哎， mnc 加上这个角 m n， 我 们设个字母 h， 它肯定等于一百八，而 mnc 加上这块这个角它也是一百八，对不？哎，所以我们这个角 mnh， 它就等于我们这个角 q m n， 一个角相等，再加上 m n， 是 不是底边的公共边？你这不就一边一角的吗？造全等啊， m n 公共边啊，左边一个角，右边一个角，是吧？角相等了，你只要保证 n h， 它等于我们 m q， 然后你这么一连，它是不是就是个全等三角形？ 我说的是 q m n 跟 h n m 首先有公共边，然后有一个角和这个角相等，你这个做了一个 n h 等于 m q， 你 是做的就是相当于是延长 c n 到点 h， 使 h n 等于我们 m q， 是不是造了个全等？造了个全等之后，我们这个角 q， 它是不是就等于角 h， 然后角 q， 它是不是等于角 c？ 哎，所以此时我们这个 m h， 它是不是就等于 m h， 它是不等于了 m m c， 这这俩点相等是吧？然后通过全等 m h， 它是不是还等于我们这个 q n 呢？全等吗？对吧？所以我们就能证出来了， m c 等于 q n， 那 么这道题就搞定了。那么对于咱们沈阳为代表的北师版的小孩，那么家长们把这道题收藏了，把视频收藏，把这个图截个图，让咱们孩子先做，然后看给咱们孩儿收藏的视频， 确保咱们大连的思想也能够被咱们北师班的小孩所接受，这种题是咱们以后考试的方向。

现在我们看一个沈阳的凌波考试的压轴题，天空压轴，他说有正方形 o a b c 顶点是 a 点，那么而且 b 点坐标是四到四， 既然是 b 点坐标四到四的话，那么对应的几个坐标我们都可以标记好， b 点是四到四， c 点就是零到四，而且 a 点就是四到零，这个没啥好说的。然后接下来他巴拉巴拉的给你做了一堆，呃，这个使规作图， 那么齿轮做头之后，我们发现这个 o c d 和这个 a c d 呢？它俩是度数相等，因为它做的就是一个角平分线，是吧？那么所以说角平分线的话，我们把这个等角给它标记好。 呃，标记好之后，我们实际上就没什么太多可标的，但是我们知道角平分线是由角平分线定的定律的，是吧？那么所以说这里面我们就可以设 c 得与 o a 的 交点为 m， 那么在这里边，因为 o c 的 长度是等于四的，然后那个 o a 的 长度它也应该是等于四的，所以说这时候 a c 的 长度就应该是等于四倍根号二，这个我们大家呃都知道，先给它写出来。 呃，根据角平分线定律啊，那么我们知道角平分线所对的边的比等于两边之比。呃，那么所以说就是 o m 比上这个 a m 等于的是 o c 比上 a c， 那 么在这个过程中，我换一个颜色给大家重新标识一下，那么在这里面 o c 是 等于四，是吧？写出来，那么 a c 呢？是等于的是四倍根号二， 然后 a m 说的，哎呀， o a 我 们知道，但是 o a 我 们知道， o o m 和 am 不知道，所以说我们就可以给他设一个参数，比如说设 x 吧，常规一点， 那么它是 x 的 话，那么 am 就 应该是四减 x， 那 么我们用这样的方式，这个 x 实际上就可以求了，是不是利用十字相乘的关系，我们就可以得到四 倍的四减 x 等于的是四倍根号二 x 啊。求解过程时间关系就不给大家捋了，超级简单。那么瞪眼直看的话，我们就知道 x 必然是等于四倍根号二减四，是吧？ 也就是说这个时候的 m 点的坐标就是四倍根号二减四到零，那么在这里边有点太密了，我就不往下写了。 呃，除此之外，我们继续看啊，那么这里有 c 点坐标，有 a 点坐标，我们是不是可以求得 c a 的 函数解析式啊，对吧？那么很明显的应该是它的斜率应该是负一， 那么所以说 c 的 这个函数解析式就是 y 等于负 x 啊，加四。 其实在这道题里边，这块有一个是难点吧，算是拐不过来弯的这个点啊，我们知道 c 点和这个 c 撇点是对应点，而且都是正方形的两个顶点， 那么在这个过程中，我们看一下 c 点移动到 c 撇点，它的运行规律，呃，我们知道 c 点运行到 a 点的话，那么实际上是横坐标不断地，呃，不断地增加，对吧？ 它的这个 x c 如果说加一的话，那么对应的啊，它对应的这个 x c， 呃呃，不这么理解了，就直接跟大家强调一下，那么 c 点是零到四， 呃，这个 a 点是四到零，我们会发现，而而且 o c 的 长度是四，那么换句话说， c 点如果说走到 a 点的话，实际上是横坐标加一的过程中，纵坐标是减一， 这个大家能理解吧？是不是？那也就是说 c 点对应的转化 a 点的时候，是横坐标是相加或者相减相同一个数。 除此之外，我们假设现在把这个 o 点和 o 撇点给它做一个连线， 一旦说做完连线之后，大家不难发现，这本身就是一个平行四边形，是吧？因为都是正方形，所以说这个时候的呃， o c 呢？它是平行于 c 撇 o 撇的 啊，而且还有 o c 是 这个正方形的一个边长，是等于四，那么呃，这个 o 撇 c 撇也是正方形的一个边长，也是等于四，那么可见他们的平行 啊，平移的这个规律是完全相同的。那平移，既然如此的话，我们就可以设 o 撇的这个坐标呢为 t 的 负梯，刚才也跟大家强调过它们的平移规律，对吧？ 再有就是刚才我们求解的时候，过程中我们是不是已经求解出 x， 也就是说求解出这个 m 点的坐标了， 有 m 点的坐标，而且还有 c 点的坐标， c 点坐标是零到四的话，那么我们通过 c 点和 m 点，我们实际上就可以得到 c 的 这个函数解析式， 是吧？啊，时间关系，我直接把 c 的 函数解析式呢也给大家写出来啊，那 c 的 函数解析式应该等于负的括号根号二加一倍的 x 加四， 那么有了 c 的 这个函数解析式之后，我们现在把这个 o 撇点的我们设的 t 的 负替代入进去，是不是就可以了？那么这个时候应该是负 t 等于 负的括号根号二加一倍的 t 加四，我们把它求解出来，实际上这个 o p a 点的坐标自然而然就有了，那么给它解出来吧，那么它等于负 t 乘以，那么就是负 呃，负根号二 t， 然后呢？减去负呃，直接就减去 t 啊，减去 t 就 可以了，然后再加四，那么这样的话，那么负 t 负 t 呃一抵消，对吧？那么所以说就是 这里面哪有负值了，就根号二 t 等于四呗，那也就是 t 等于这个根号二分之四，那么分母给他做一个有理化的话，那么 t 他 就应该等于二倍根号二， 那也就是说这时候的 o 撇点坐标应该是二倍根号二，都负的二倍根号二，那么整个问题人们就结束了。嗯， 回顾一下这个题啊，虽然说他是作为一道几何，呃，虽然说作为一道天空腰轴题，但是如果说我们对角平分线定律有一个清晰的概念的话，那么其实做这道题还是蛮简单的。 嗯，对于实验中学的学生来讲的话，好像说没学过，有很多人说没学过，在学校里， 但事实啊，大家还是要挖掘一下这些基础的定力，嗯，有很多都是中考要考，这学校总是说没学的内容，其实这一部分也不少。

背长中线啊，有关中点的。背长中线第一步啊，单中点， 然后我们呃做背长中线。背长中线我们得到的是叫八字平行 全等的图形结构，尤其这个平行可以干嘛用啊？平行可以干嘛用？ 平行能干什么？用倒角啊，你是内错，你是同位还是同旁？是不是啊？咱们先来一个什么叫变相中线？这个是中点，说明他俩是怎的相等的。那么你把这个 a o 延长至这个，比如说 a 撇， 使得 o a 和 o a 撇怎念相等，就会有全等了吧。这就叫做被长中线，没问题吧？被长中线就是 o a 等于 o a 撇，则会有三角形，写上谁 o a e 全等，谁谁全等，谁告诉我 三角形谁 o a 撇嘚。它俩一旦全等了，我就得用它的性子。是不是全等以后，比如说这个边， 我要的是这个红的和这红的相等，因为什么这俩红的也得念相等，所以我要这红的就 a 铁对和这个 a e， 当然也就等于了这边的 ab， 对 不对？ 下一步呢？哎，你觉得你看我这个蓝色和这蓝色又相等，这个红的和这红的相等，你觉得这俩大三角形什么有关系？一定是相等三，差一个什么？差个角吧，就差个角，那就我得想办法证明这个大的这个角啊， 能够怎的相等就行了。那大角是多少度？一百二，你就想办法正是一百二，对不对？但是好像给了你这阵多少度是不给六十了。哎， 这俩角什么关系？叫什么角？这两条线什么关系？哎，我这时候我这个全等以后，我去可以写这个角，比如说我选择这个角，那就是这个吧， 和这角什么关系？是不相等的。哎，所以这时候这个 r 八和这个 r 八相等的话，我会得到这个平行，这叫 a e 平行于 a 撇， 他一旦平行了，就告诉我们，同旁内角角的 a e 加上角 a 的 a 撇等于一百八十度。角 a 的 a 撇等于的是一百八十度，减去六十度等于一百二十度， ok 吧？ 对吧？那他就能等于这个谁呀？等于的是角 b a c 就 会有三角形， b， a c 还能全等于三角形，这叫 a 撇。对 a 呗， s， a s。 嗯，那全都有啥用啊？ 我要证明的是连谁来着？我要证明谁和谁合起来是多少度来着。谁？谁二分之一，是不是这个？ 这个是这个二分之。这阵的小麦正多少度？正六十，这咋正啊？ 这倒，这有啥用啊？咱倒倒上面的问题吧，你这是不是九十又九十？这两侧肯定都是多少了，三十和三十啊，哎，我拳头我是不是没用呢？拳头没用的情况下，这个角比如画上一个实心点，和哪个角对应，就和这对应。 我跟你们讲，咱开学第一周的时候，我给你们讲一个图形结构，我说新版教材里面出现的东西，你们谁有印象？ 如果这是一个直角三角形，我又做了一个垂直，这俩角一定什么关系，这是不是新版教材里边给出来的？哈，那你看我这里面是不是这个东西，它和它相等，它加这个，它加这个多少度？ 九十吧，因为这边不有三十，整体不一百二吗？是不是九十，那说明这加这个多少？好嘞，这就多少了，九十了，是不是？是不是正数这个垂直了？这个垂直有什么用？我现在还有条件没用，是不是有一个条件， a f 等于多少？来四分之一？什么 四分之一？ bc 现在就相当于四分之一谁了？我一权能以后 bc 和谁？ a a 撇怎的了？那不行啊， a a 撇还是整体？ o a 的 多少？二倍就说明了它能够等于二分之一。 o a 啊，那说明了这是什么点了？那就告诉我们 f 为 o a 什么中点了。 o a 是 中点， f 是 中点，又垂直，你会想到什么？ 又中点又垂直，什么中垂线？那就告诉我们 m o m a 相等不？ na n o 相等不相等。以后等下这个点是不是可以再来一个点？这个 r 发到这是什么 点？二八六十到这点二八六十度。整完了，看这题多难啊，是吧？哎，你们自己了解了解吧。这个题啊，整体啊，我们要给你们就是单独说这个拨中，就是这个两个红的，两个蓝的相等，加角为九十度，就像一把雨伞似的， 看到没有？配合了，一个终点的问题，这叫坡螺摩几度？你可以用背长中线，如果先给这边是垂直，你还可以用三垂直去整。

完全平方公式那绝对是整个初中的重中之重啊，在期末这块我们学完之后，他就会以压轴题型去考我们那比如说这道题，沈阳市第七中学啊，我们就考了完全平方公式层层递进的一个难度。 其实啊，完全平方公式这个基本公式是之二推二，那这样呢， x 加 y， x 减 y， x 方加 y 方， x 乘 y， 哎，就这四个式子，你必须要做到之二推二啊，那么其实我这个 x 加 x 减 y 啊，就对，那我们这块是 a 和 b， 就 这个道理， 对于完全平方式比较熟悉的小孩，这个题干你都不用看，你直接做题就行了啊。那第一问你看，给了两个核，给了两个 g， 让求 a 减 b 括号的平方，那不就相当于给了两个核啊，给了他们两个的 g， 然后让求 x 减 y 括号 y 的 平方吗？ 那咱直接展开呗啊，首平方，尾平方，首尾乘积二倍在中央，哎，减二 ab 啊，到这个式子我们知道，这个 a 乘 b， 我 们知道，那这个 a 方加 b 方，我不知道啊， 哎，你把第一个式子你给它两边再平方了，它会就变成了 a 方加二 a， b 加 b 方等于二十五， 二， a b 呢，就是四，哎，所以 a 方加 b 方，它就是二十一，那么到这个位置，它就等于二十一，减去个四，哎，它就等于十七， 这个啊，是我们必须要会的，自己推导这个完全平方公式，你得推导出来，那当然了，你如果说根据这个式子啊，也一下能求出来， 你看求的都是 a 减 b 的 平方吗？它等于 a 加 b 的 平方。五五二十五减去四啊，乘二四乘二不得八吗？二十五点八，哎，得十七，你这样也可以。我的意思是，哎，公式不给你，你自己值二退二也能把低温做出来。 下面第二本就上难度了啊。如果说你没做过历年的考试真题，那么第二名有些小孩就蒙了呀， 给了我们 m 减二零二五，乘以二零二六减 m 等于负六，求这个玩意的方，加上这玩意的方啊。如果说我们把这个东西看成 x， 把这个东西看成 y 啊， x 乘 y， 我 们知道 x 乘 y 啊，它等于负六，让我们求的呢，就是 x 方加上 y 方。有些小孩说，老师，刚才你不说叫之二推二吗？你这单独就给我一个乘积啊，没有第二个式子呀。 那么这道题就暗含了一个隐藏条件，也是同老师之前重点练过的题型。啥呀，你这个 x、 y 分 别代表的是它，一个代表的是它，你看看 x 加 y 得啥， 它等于 m 减二零二五，加上二零二六减 m 刚好等于一呀。啊，好多学生说，老师，我咋想不到 x 加 y 减 y 啊，哎，我给你讲完之后，你能想到就行。 两个式子的和是个定值，一或者是两个式子的叉是个定值。就这个事，你到高中它也经常考啊， 所以这道题啊，熟练。你看看两式的相加相减，它是不是个定值。所以啊，这就相当于是他们两个相加的一，哎，这就条件就够了，相乘得负六，相加的一，求这个方加这个方。哎，你两边给他平成是平方， x 方加上二 x y 再加上 y 方，它就等于一，然后 x y 的 负六二三， y 的 话就是负十二，那么 x 方减十二，加上 y 方等于一，那么 x 方加 y 方就等于十三，哎，所以我们这个值就十三。 好，接着我们往下来这个蹭了啊，我们腾出点空间了，这个图一图二是为了我们之前推的那个结论推的啊，我们直接来看图三啊， 已知正方形 abc 边长是 x， 正方形 abc 边长是 x。 标一下啊，然后呢， e 和 f 呢，分分别是我们这个边上的点， e 在 这呢， f 在 这呢 啊，分别以 a 得得 c 上来点啊，然后给了我们这个 a 一 场是三啊， cf 场是五， 那你是不是会表示我们这个 f 得这个它是不是就 x 减五？没毛病吧？同理，你是不是也会表示我们这个 e 得 e 得，它就是 m f， 它就是 x 减三， 对吧？因为整个这大正方形边长是 x 嘛，然后他说这个长方形 e m f 对 e m f 对 的面积是四十八，那不就相当于是长乘以宽的四十八吗？也就是说 x 减三，呃，乘以 x 减五，它等于四十八，这是已知条件啊。然后他让我们求是分别以 m， f， m， f 啊，还有的 f 做了一个正方形啊，以 f 的 做的正方形，就这个，这个变长都是 x 减五啊，然后以这个 m f 做的正方形，是是是，这个上面这个大一点的啊，变长都是 x 减三 啊，从这到这啊，也是 x 减三。我写在这，然后呢，让我们求这个阴影部分面积， 那阴影部分面积那肯定是 x 减三的平方大正方形的啊，面积减掉这个小正方形的面积， x 减五的平方，对，对不啊，这阴影部分面积。那么到这步啊，我们一看，它是个什么公式啊？ 平方差公式啊，啊，平方差公式？是啊， a 方减 b 方，它等于 a 加 b 乘一个 a 减 b， 对 吧？你们公式的时候是不是就是这个？完了，往那头写的这个正着反着用，必须都得会。 那这道题 x 减三，它不就相当于是 a 吗？完了，这个不就相当于是个 b 吗？对吧？孩们啊，这道题 老师把这个 x 减三给它看成 a， x 减五看成 b， 那 么现在 a 乘 b， 它得四十八啊，然后求的是 a 方减 b 方，没毛病吧？哎， 那 a 方减 b 方，它肯定等于 a 加 b 乘以一个 a 减 b， 是 不是？哎，然后 a 乘 b 是 已知条件，它的四十八。那接下来咱们想求的就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 首先你知道 a 是 啥呀？ 哎，是这个，我们先把 a 乘 b 写在这啊， a 乘 b 的 四十八，然后，那你就分别算算 a 加 b 和 a 减 b 呗。哎， a 减 b 是 定值啊！孩们啊， a 减 b， 它是不等于 x 减三，然后减去个 x 减五， 这个你得反应出来，他一下子就得二，哎，也就是这个式子啊，这个式子 a 减 b， 你 直接就是二了。那你现在需要的就是我们 a 加 b 的 值。 哎， a 加 b， 你 想求值，未知的，然后直到 a 减 b 还知道 a 乘 b， 你 看看，你看看啊，这块这块 你想一下，它是 a 加 b 啊，这块不知道，然后 a 乘 b 知道， a 减 b 也知道，也就是二的平方，它是不是等于 a 加 b 的 平方减去一个四 a b 四乘 四十八呀？哎，这样我们是不就能把 a 加 b 的 平方取出来？那么 a 加 b 的 平方等于啥呀？这个是四加上四乘四十八，它等于 a 加 b 的 平方一百九十六， 十六的平方是二五六啊，十三的平方一六九，十四的平方一九六。孩们从十一到二十的平方得会背啊， a 加 b 的 平方等于幺九六，那么 a 加 b 应该是正负十四，因为你正十四的平方是幺九六，负十四的平方也是幺九六。但这道题很明显，你这个要取正的， 你要取负的，你再乘个二还是负的，那很明显，我们这面积它能是负的吗？哎，所以你取的是正十四，乘个二，然后等于二十八，是我们最后答案。 那么这道题其实考察的就是我们这个完全平方公式之二推二，只不过有的时候我们有这个隐藏的条件啊，你把公式中的哎，就这种，谁你给他看成是 x， 谁给他看成 y 啊？这块呢，你把谁给他看成是 a， 谁看成是 b？ 那当然了，完全编公式，你用 x 加来，或者用 a 加 b 啊，那都是完全一样的。那么我建议啊，咱们辽宁省七年级的小孩啊，把这个题解回去，然后让孩子先做，之后看老师的视频讲解，那么视频先收藏。

今天固执讲解一下二零二零年春季期中临门的二十二题，一个二十三题啊，呃，二十二题主要考察的是那个折叠以及解三角形啊。这个题呢，难度不是很大，我们先看一下二十二题。 好，首先的话，我们有句话说叫角平分线加平行线能推出一个等腰三角形， 那么折叠的话，他就自带一个什么四个性质啊。第一个性质，什么？第一个性质就是，呃，角相等啊，第一个性质是什么呢？边相等，第二个性质，边相等。第三个性质，底角相等。第四个性质，底角顶角相等，还有一个是垂直，所以看到折叠的话，想到这几个性质啊，这个非常的重要， 那么折叠它也默认为有一个角平行， ok， 那 么矩形呢？矩形的话，对边是平行的，矩形也叫平行线，所以角平行加平行往往能推出一个等腰三角形。 那么像这道题的话，我们由第一次 a 和 a 撇，由于甚至四可知圈跟圈相等，由于是矩形，上下平行，这个圈内缩到这个圈，当这两个圈相等时，说明 e b 等于得，所以第一个我们就完事了。 ok， 好， 第二问， 那么延长 e c 撇，对吧？然后当它是菱形的时候，那么菱形的对角线应该是互相垂直，对不对？说明你这个 c 撇是跑到这个位置，所以这个位置就应该是我们 c 撇啊， 对吧？因为你那个 c 的 对应点 c 撇菱形对角线互相垂直，所以你 c 撇就跟这个点是一样的啊，所以这个是 r 发，这个角也应该是一个 r 发，因为 c 和 c 撇是对称， 根据四十四，它俩相等，菱形对角线平分，每组对角，所以它俩也相等。那么三个 r 发得九十度，说明 r 发的值应该等于三十度， ok， 好， 在二的条件下， m 是 它的一个终点。 哎，这是图二，这是图三吧。好，在二的前提下， m 是 它的一个终点。那么当它等于四十五度时，求它的比值是多少？ ok， 好， 呃，这道题我们已知，当这个角是四十五度的时候， 当它是四十五度的时候，我们现在要求的是 b h 比上 f 这个值， ok， 四十五度，那么 f 和 g 对 称有性质，四，可知这个是应该是四十五，四十五，那这个应该是一个九十度， 我们把这条线给它画的稍微长一点点啊，其实你要注意它有什么性质呢？你要把它延长的话，你再把这个 g h 延长的话， 画两行。不太像啊，就是因为你这是对称的嘛，就是当你延长 f、 b 的 时候， 当你在延长 z、 h 的 时候，它们应该交点，应该是同一个点啊，应该是同一个点。 这个在我们二零二三年沈阳中考题的那个二十四题，要这么做的话，用平行去做的话，非常的简单啊。但这题没用上啊。这一题 首先已知乘以，当它是四十五度时，我们要求的是 b h 比上 f、 g 的 值，那 b h 比上 f、 g 的 值，首先的话，我们延长一下， ok， 好， 那么由于 a 的 和 b、 c 平行，那么这个四十五度同位角，这是也四十五度， b 和 h 关于它对称，它这也四十五度，所以这个是一个九十度， ok， 好，他也是一个九十度，行不行？那么这个时候 b、 h 比上 f、 j， 根据性质。一，这两个边是相等关系，根据性质一，这两个边也相等， m 是 对应轴上的点， b 和 h 是 对应点，那所以这是一个等腰值，这也是一个等腰值。 所以很明显啊，就是你这个 bh 比上 fj， 它就相当于 bm 比上 fn， 相当于求 bm 比上 fn 的 值，因为这两个等腰直角三角形是一个相似的，斜边跟斜边的比等于直角边跟直角边的比。 好，那么已知条件 m 还是它的一个终点，终点的话，我们就可以设下未知数了啊， 我们设它这个边应该是两份，因为它那个区二的话，呃，区二的话，那个 n f 是 b m 的 二分之三倍，我设它是两份，是两个 x 了，那这也是两个 x， 因为我是一个菱形，所以它就是一个四 x， 那 么你在二的条件下，对吧？那你这一些角度，这都是三十度，三十度，它四 x， 它也是二倍，根号三 x， 那 么你这个边是二 x， 这个边也是二 x。 好，我要求的是 b m 比上 fn， 我 只要看 fn 等于几个 x， 那 么 fn 是 只有 fn g 这个三角形，那你要只看 fn g 这个三角形，看的好像有点不是那么容易能看出来，对不对？ 这坨画的有点毛病，这个，这一点的话不应该在上面啊，这个话应该是在 b c 上方。 呃，你只看 f n g 这个三角形有点难啊，但是你发现没，这个边是两个 x， 这边也是两个 x， 我 如果把它连一下，我把它连一下之后，我看到 f n m 这个三角形，你观察一下啊，二 x 跟二 x， a f 跟 b m 又拼又相等，所以这个红色图形就是怎么写啊？就是一个平行四边形，又因为它是九十度，所以这个红色图形就是一个什么型啊？就是一个矩形。 ok， 那 么你这个红色既然是一个矩形的话，那么显然它是二倍根号三 x， 那 这边也是二倍根号三 x， 可以 吧？那么这个是个矩形的，平行之后它这个是， 呃，你看这个九十，那它是个矩形的这个九十，这些九十。所以 f、 m、 n 也是一个等腰直角三角形，所以这边也是二倍根号三 x， 所以 b h 比上 f g 等于 b m 比上 f n 等于二 x 比上二倍根号三 x， 那 么二 x 比上二倍根号三 x， 那 答案应该等于三分之根号三，所以它这个圈一，答案应该三分之根号三。 ok， 说白就一个减三角形啊，矩形的判定减三角形。好了，我们看最后一个问啊， 它最后问，当，呃，这个角不是四十五度的时候，当 n、 f 是 二分之根号三倍的 b、 m 时，求这个四边形的面积与菱形的面积比是几比几啊？我们看一下啊， 马太大还不行啊。 好，呃，我们要求的是 b f， b， f， g、 h， 我要求这个红色四边形的面积比上菱形的面积。 ok， 好， 我们不妨把这个图像注意了啊，就是这个题，我这么做的啊，因为我受那个二零二三年沈阳的题影响比较大啊，我一般这么做， 它这个不是垂直吗？它这个不是垂直吗？对不对？呃，既然是垂直的话，你看一下，这个是垂直的， ok， 这个是垂直的行不行？因为 b 和 h 关系，它对称嘛。 呃，所以的话，你看这个红色的面积，这个红色的面积是不是 b、 f、 g、 h 面积的什么 一半？是不是？所以把这个红色面积求完之后，我们再乘以二就可以了，行不行？呃，我把左边这个图像给你画一下啊，那这边我做一个什么？做一个垂直过去，把它延长。 ok， 这边也做一个垂直过去，那么也做一个垂直过去之后的话，嗯，右面啥玩意？无所谓了啊，基本没啥用了。 好，那么也是相当于是求。呃，我们现在知道一个什么条件呢？我们现在知道条件是 n f 的 长度等于二分之根号三倍的 b m， 因为他最后求比值啊，我们就直接设 b m 的 长度是二， 二 x 吧，设二吧，设二吧，行不行？设二 a 啊，二 x 都行，设二吧，行不行？那么 n f 乘就是根号三，可以吗？ 因为你在二的条件下，那这些都是三十度，这些是没有发生变化的，我只要求这个四边形。呃，求这个四边形的面积，这个四边形面积乘二， 哎，就是我要求的，行不行？那么我们根据刚才这个是二之后的话，那终点之后它是二，因为它是一个菱形，对不对？所以这边是四，所以这边也是二。由于 a f 和 b m 都是二跟二，那你二跟二的话，那我们连一下， 二跟二又相对于平行，所以它是平行四边形，因为这点九十度，所以这个蓝色图形它就是一个什么形呢？它就是一个矩形，行不行？ 蓝色这个矩形之后的话，它是二，那它是二倍根号三。 ok， 那 它是也是二倍根号三，那么这是垂直的，那么很明显这个弹性的 r 发值得几呢？弹性的 r 发的值应该等于根号三比二倍，根号三等于一比二，行不行？ 那你看九十度，这水也九十度，那这一角是等阿尔法，这是子母形，对不对？双垂直线射影理。好，那么他是阿尔法，他是九十度，哎呀，那这角是等阿尔法，因为阿尔法加条等于九十，他也得九十，所以他也是阿尔法，我们很明显，那这个四边形的面积，同学们，我觉得就特别好求了啊。 那么弹性 r 发是一比上二，一份，两份是根号五份，所以这个边应该是二倍根号三除以根号五，那么这个边长就是四倍。根号三 除以根号五，可以吧？那么这个边长就是一比二比根号五，就是二除以根号，这边就是四除以根号五，所以你看这个红色的面积，这个红色的面积，对吧？我们给他分成谁呢？分成这个黄色的面积， 加上绿色直角三角形的面积，再加上红色直角三角形的面积，可以吧？ 好，所以这个红色的面积，我们求完之后的话，应该是呃，蓝色的面积应该等于是呃绿色面积，应该等于他俩相乘再除二，那也就他的平方呗，那么一算等于五分之十二， 那么这个红色的面积等于他俩相乘再除二，他俩也就他的平方等于五分之四，黄色的面积等于二乘二倍根号三，再除二，等于是二倍根号三。 ok， 因为我们这个这个面积应该是这个梯形的面积，应该是红色的两倍，所以整体乘二， ok， 好， 那么比上菱形的面积，那么菱形的面积毋庸置疑就等于的是这个底是得四， 乘上这个高数就可以了，那么就等于八倍根号三。 ok， 好， 那么整理之后，他的值就等于三十分之八倍根号三加上十五是这样写的答案， ok， 他 这题没什么技巧，主要是就是 啊，对称啊，对称，我们八下经常讲对称的话，现在八年级还有那个课程 给他们讲那个就是折叠旋转，因为折叠旋转，我估计以后两个省中考固定的二十二点二十三题就是你们八下，你们看一下啊，八下折叠旋转，我给他们讲的太多了啊。 嗯，八下， 八下，八下，折叠旋转的难题的话，我们不仅是那个， 你看折叠难题，旋转难题，开学讲了一会儿八下的话，就寒假又讲了一会儿八下折叠旋转，我估计至少得讲一百道难题了， 至少一百道难题给你们看八年级啊，随便看一个啊，这学期不有几次正好赶线上了吗？你们看这旋转旋转，旋转，这个也是折叠旋转啊，折叠， 反正讲这么多难题讲挺多啊。行，所以那个折叠的那几句话啊，折叠之后，难题并勾股相似或和差这一公式折叠产生角分线，角分线加平行推长三角形折叠的画图，那些话要注意啊。 好，我们这道题就结束，我们现在看一下第二十三题啊。呃，这道题我我感觉也非常的简单，这一题，这一题，首先的话，这些定义大家都能读懂吧？啊，行，好，我们快速读一下这道题啊。 ok， 好， 那么首先的话， y 等于 x， y 等于三加五，是它的两个分解函数，对吧？那它的两个分解函数，一个是 y 等于 a， x 加 b， 那你经过一四，那这个肯定是幺幺啊，所以他一四肯定是往哪带？往这里面带，所以话整理之后应该四等于 a 乘一，加 b， 好， 那么对数是二分之三，那你对数是负二也分之 b， 负二也分之 b 等于二分之三。既然解这个方程组，那么既然求出 a 的 值应该得几呢？ a 的 值等于负二， b 的 值应该等于是六，对吧？ 好，所以我们 y 零这个解释啊，就是什么呢？ y 零的解释就是负二， x 加上六， x 行不行？ ok， 好， 分解函数，那 y 二的话就等于负二， x 加上六，可以吧。 好了，那么这一题又考察了一个分段函数啊，这太简单了啊，那么小于等于零的时候，取 y 一 等于 x， 那 y 等于 x， 我 们同样这么画呗，行不行？好，那么零到负 a 分 之 b 的 话，取这个，取这个二次函数，二次函数就是 负二， x 平方加上六， x 对 称轴是二分之三，二分之三乘三，二分之九，二分之三，二分之九。图像往这适当画一下， 好，顶点坐标是二分之三到二分之九，好，那么大于负 a 分 之 b， 那 负 a 分 之 b 就 等于三呗。大于三的时候选择 y 二啊，选择另外一个那个函数，另外一个函数就是 另外一个函数，就是 y 的 值等于负二， x 加上的是六，行不行？ ok， 画的可能有点。嗯，差不多就行。这条线是 y 等于 x， 红色的解释是，这个行不行？好，第二个，当 s 取负一到 n 的 时候，负一的话，那负一对应值得几呢？那从这块取负一对应值是就是负一，那么 y 值也是乘负一哦， y 值也是负一，那说明我这个 啊，说明我就是必得在黑射线上方才行，对不对？如果你跑下方最好，这就不是负一了。好，但是 n 在 哪？不知道对不对？ n 比二分之三小的时候行不行？ n 比二分之三小的时候，你看蓝色到红色这面部分，它是单调递增的 对不对？那你 n 如果小于零的时候，感觉够呛吧？ n 如果小于零的时候，那么 n 对 应的最大值， n 对 应的就是 n， 对 不对？那 n 等于二， n 加二， n 等于二， n 加二， 好像是 n 等于负二， n 等于负二的话，你这个它必在负一的右边。说 n 等于负二，肯定要舍，说这个时候肯定不行， 所以你第一步我觉得应该考虑是 n 大 于负一小于零， n 大 于负一小于零，求出 n 等于负二，就 n 大 于负一小于零的时候，那么 n 对 应的值应该是 n， 它的最大值是它本身是二， n 加二， n 等于负二，不合题对不对？大家能理解吗？我就不给你画了，因为这题太简单了啊。 第二种情况，当你这个跑哪里呢？当它跑到这个位置时，当你这个 n 的 值是大于零，小于的是二分之三的时候，那么那你看这段的最大值是它本身，它本身代入这里面也是负二， n 方加上六， n 的 值等于的是二， n 加二， 那这时候求出的 n 一 等于 n， 二等于是正一，是符合这个条件，所以 n 的 值是一是可以的。 ok， 那 么第三种情况，我觉得你 n 除以可以跑哪里呢？跑到这一段，所以都可以跑到这一段，应该是 n 大 于等于二分之三。 哎呀，你这样吧，同学们，我觉得你先不用着急， 我觉得大的二分之三，小于三吧，行不行？小于三吧。 ok， 那 这个时候你带进去之后是跟刚才是一样的，那你看，这么走过去，最大值是二分之九，所以这个时候应该是二分之九等于二， n 加二，那 n 的 值等于的是 四分之五，四分之五肯定是不在这个范围内，数也舍。同样道理，你到 n 的 值取那个，取这段的时候，然后你最大值是负二， n 加六的值等于二， n 加二，求的结果好像也不，也不符合题，懂不懂？ 大家听懂了吗？其实我觉得往这边就不用做了啊，你看你要是脑子比较聪明的话，你想想啊， 你只要在这边，只要在顶点右侧的时候，最大值不就是二分之九？二分之九等于二， n 加二，那 n 等于四分之五。四分之五，你这个玩意已经四分之六了，对不对？那你这个他打 n 值大于四分之六，那 n 值还能等四分之五吗？那不可能的，看你脑子反应了啊。行过，我们看最后一个问好了，最后一个问我们画一下这个图像，嗯， 等会儿三六，我把那个三六的画准点啊，这是负二 x 加上六三六，我把这图像画准一点。 行，好，这条线是 y 等于负二 s 加六啊，正常应该是在三的右侧，懂不懂？左面我给你画一下，因为后面又用了它。好了，把这个二次函数画一下，二次函数对应顶点应该是 二分之三，都是三，二分之九，那我应该在你下方对，好的， 好，大家看啊，红色的图像叫做什么？叫做 y 图像。 ok， 行不行？好，他说左面那条线怎么着啊？左面那条线，呃，跟 y 二等于负二加六夹角为四十五度时， 请你直接写出旋转后的射线与新函数，也与红色图像的焦点坐标。那咱们看四十五度，来，咱们看看它转动转转转啊，把这个 y e 经，哎，有没有四十五度？有，哎，有没有四十五度， 是也有，是也有，对不对？所以话，你这个四十五度，说白了咱们这面是不是肯定有个四十五度？ 好，那么第一种情况，当它为四十五度的时候行不行？你看到没？我把左面 y 一 转动之后于 y 二，对不对？夹点四十五度的时候，可以吧。那么主要是求这条蓝色线的解析，对吧？朋友们？ 呃，蓝色线指示怎么求呢？这题我给大家讲两种方法啊，第一种就一二三四五模型，呃，如果阿尔法加 beta 等于四十五度 弹进的 r 发，如果等于二分之一折弹进的 beta 值等于是三分之一。先讲这个方法，然后再讲正常八年级的方法哦。呃，首先的话，我们知道这条 y 二的 k 值是等于负二，行不行？ 哎呀，这个怎么说呢？哈哈，这个怎么说呢？ 其实我应该先讲上边那个，我要先讲上边那个话，相对来说，他用一二三四五魔形用的就比较干净利落了，行不行？我先讲上边那个吧，先讲上边那个吧， 因为他一垂直就完事了啊。上边那个，好，同学们，上边这个是正好也有一个四十五度，行不行？ ok， 那 么你看，可能一个点两个点，肯定有个是零零吧，对不对？好，那么首先我这个是什么呢？这个是，呃，这个是三，这个是六，这是 r 发，这个是贝特 好，弹进的 r 发来等不等于三比上六，这里面的弹进的 r 发的值等于三比六等于二分之一，这里面 r 发加比特有多少度？ r 发加比特是等于四十五度，所以弹进的比特值应该等于一比三， ok， 那 么弹进的比特是一比三，那这个弹性是三，所以这个弹性是 y 等于三 x， y 等于三， x 与红色与抛线连立， ok， 那么你把 y 等于三 x 于抛线点的啊，抛线是 y 的 值等于负二 x 平方加六 x， 它俩离地之后呢？求出两个值，一个是零零二，另外一个坐标是二分之三到二分之九， ok， 那 么当然了，下面也有四十五度，那这两张感是互相垂直，互相垂直， k 相当等于负一，那这就是 y 等于负三分之 x， 下面这把 y 等于负三分之一。 x 跟二三数连，呃，跟这个直线连立啊，跟负二加六连立行不行？那么连立之后的话，那就等于五分之十八，倒负的五分之六， ok， 可以 吧。最后是三个结果啊。呃，我给大家讲讲正常方法啊，这题如果用正常方法怎么做啊？那大把小时，那，那，那上面这条蓝色线其实是怎么求啊？ 呃，我说下正的方法哦，两条蓝色肯定添加冷敷液了，求出另一条蓝色线解释式，另外一个蓝色解释式就能马上求出来，对不对？好了，我们看一下这个四十五度怎么去求呢？ 我们知道，我们要求上面这条蓝色线的解释式的话，我们必须得知道这条蓝色线上的两个点的坐标是才行， 对不对？呃，那么正常方法啊，他这一题，哎呀，没不让你写过程，太好了，这个代理综合考察挺好。呃，如果真让你写过程的话，这个四十五度，首先我们是想到等要直角三角形，对不对？以前是知道两点坐标旋转九十度能求， 那你现在的话怎么去求呢？我看一下啊。嗯，这个 r r 发知道这个是四十五度，我们要求这条蓝色线几十四，它是四十五度， 我要这么求的话有点笨啊，但是我现在脑子里之前讲过减法方法，但我现在有点反应不过来了。同学们，嗯，八年级的话，嗯，有一种通法吧，我这么给大家讲吧，就是我们把这条线给它。 啊，有一个通法啊，有一个通法的话， 算了，我就这么讲一下得了，我们这条线解释已经知道了，这条线解释已经知道它是四十五度，要求这条线的解释是 这个阿尔法，还知道阿尔法是知道的这边长是六，这样吧，我这么求问朋友们，因为这个阿尔法弹力值是一比二，这个是六，这个是四十五度，你在这个三角形 a b c 当中， a b 在 这个三角形当中，我们现在是发现有两角一边，所以话我应该是往这边拉一个垂直可以吧？那拉一个垂直是 h， ok， 那 么拉一个垂直是 h 的 话，那么我们知道 弹性呢？ r r 发的值是多少呢？是那个一比二对不对？这形成一个子母型，那么那这个边就是一比二比根号五，那这边就是六除以根号五可以吗？ ok， 那 么这个弹性值是等于是二 比一就得二，二比一比根号五，所以这个边长度就应该得几， 哎，我求这个边，干哈，我要求 c 点坐标啊，等会啊，没事没事啊。呃，这个边长度我们就能求出来的话是二比一，那这个就是三除以根号五，可以吧？三除以根号五， ok， 好， 那么这个时候 c c 的 长度啊， c 的 长度，那么这个 c h 长度也是六除根号五，三除根号五， c 的 长度就应该等于谁呢？等于九除以根号五，那么 c 的 长度是九除以根号五的话，那么很明显拉垂直过去， 那么很明显是二比上，一比上根号五，所以这个长度应该是用五分之九了。 ok， 这个就是五分之十八，所以 c 点坐标它的重坐标应该是五分之十八， ok， 横坐标是三减五分之九，等于五分之六，所以 c 点坐标是五分之六，五分之十八，所以这条线是 y 等于三 x， ok， 这是相当于解 abc 这个三角形，直到四十五度，直到阿尔法，直到六两角一边，哎，最后求出 o c 的 长度，听到没？ o c 长度求完之后的话就能求出坐标了，行不行？ 好，第二种方法，我带一句啊，第二种方法你们看一下啊。 好，第二种方法，呃，这个是 a， 这个是 b， 我 现在主要是求出谁呢？求出这个 o b 这条线解的式，我们这个是 y 的 值，等于是， 呃，负二 s 加上六啊，第二个，哎呀，当时讲的一个方法特别好，我就给忘了，想想求 o b 解十四，对吧？这个边是三，这个边是六，现在咱们已经知道了， 刚才是两点一边，哎，解下面三小时也行，看到没，四十五度，还有这个点，还有三。解下面这个三小时是也可以引个求出 o b 点坐标，竟然求出 o b 解十四，对不对？ 呃，还有种方法是什么呢？我们直接设这个 b 点坐标是 m 到负二 m 加六， 把它坐标设一下可以吧？好，设一下之后的话，我们直接做一个等腰直角三角形， ok， 做一个垂直，那么一个九十，一个四十五，那它这个四十五度，你看到这个红色是等腰直的话，我们首先这个 b 往这边拉垂直， 这个也往这边拉垂直，可以吧？好，那么这个是 o， ok， 那 么这两个三角形全不全等？一看就是全等的，对不对？那么既然这两个三角形全等啊，那么这个长度是 m 行不行？ 哎，好像求出来了吧，它不得六吗？那这个是 m 的 话， 好，这个长度是等于负二 m 加上六，它是负二 m 加上六，它是 m， 所以 得点的横坐标是等于负二 m 加上六，重坐标一定是它的相反数，可以吧？得点是在这条黑色线上带进去。 负 m 等于负二倍的负二， m 加上六加上六， 负 m 等于四， m 减十二，再加六减六 m 一 算等于五分之六，行不行？所以点 b 的 坐标是五分之六，逗号五分之十八，所以求出 ob。 解释了，听懂没？这题你们应该有印象，这题扒下扒上一三 s 总考。 哎呀，行，以前那个题是 o 和 b 坐标都知道，就这俩点坐标都知道什么转动九十度之后新的坐标也能知道，人家求解释。这个题就是你设个未知数懂不懂？行了，三种方法啊，同学们，再见。拜拜。

沈阳七中七年级下数学月考卷，整式预算、平行线、概率考点齐全，选择填空秒出思路，大题步骤逐层递进，数学弱的孩子也能看懂。刷完这套题，七年级数学直接稳了！七年级数学想冲高分，这套题必刷！想让孩子感受一下的口令七中！

这种导角问题啊，是咱们不管北师版人教版旗下必会的一个导角问题。那么这个三月月考中，沈阳市第七中学以及啊，我们南昌中学都考了这个图，他只是问法不太一样，知识点完全一样。 我们接着来看一下啊，长方形纸片， a， b， c， d 沿着 e， f 折叠，哎，沿着 e f 咔一折，点 d 变成了 d 撇，点 c 变成了 c 撇，然后他是啊，把这个 e、 d 撇，这个线延长，相交于点 g， 得这了，然后他说这个角 b， j， e 啊， b， j， e 等于 alpha， 然后问我们这个角 e， f， c， e， f， c 怎么表示？ 那这道题啊，你也不知道什么知识啊，那你就用橡胶线平行线这块的知识呗。首先这 r 那 肯定跟它相等啊，上下两条线一平行，两直线平行，内错角相等，哎，这个大角是 r 法， 而且这是翻折的问题啊，那这个就是 r 法，这个也是二分之 r， 它俩是相同的，这不翻折吗？对不？ 哎，你要知道这个点的话，那这块就出来了，哎，这还是两只线平行同旁，内角互补，哎，所以它等于幺八零减去二分之二。 那么到这个位置的话，哎，你得加个问号啊，因为它是两个式的，它是这个多项式，加括号嵌在这就可以了。好，分题我们搞定。

咱们今天这个视频继续讲解七下数学第二章的重点题型啊，拐点模型啊，咱们上一个视频讲了啊，这个拐点模型，咱们需要设参数来表示这个角啊，那咱们今天这三道题啊，我想咱们同学应该有所感悟了啊，看一下第一题啊，第一题说两个角的 数量关系。好，那咱们仍然是要把这两个角用 x 和 y 给它表示出来啊。对，别觉得有什么别的方法，咱们只用这个方法就足够了 啊。呃，题目中给了平行啊，有平分啊，有平分的话就一比一呗啊，那咱们把这个 x 和 y 给它设好啊，嗯，那 b f 平分的话，这两个角一样啊，那就是 x 和 x， 然后这个对 f 平分啊，那这两个角一样，那就是 y 和 y。 好， 那接下来咱们把这个辅助线给它描上啊， 嗯，那接下来咱们利用这平行的性质啊，就把这个内错角啊，各种的给它倒一倒啊。来，咱们先看这个 b f d 啊， b f d。 好， 那这个角和上面这个角属于内错角啊，那下面这部分呢，和这一部分也属于内错角，所以咱们这个角 b f d 啊，就是 x 加 y 啊，然后这个 b f d 完事了，那这个 b e d 呢啊， b e d 这部分啊，这部分，这个时候就得用这个同旁内角啊，和上面是互补的，所以这个角是一百八十度减去 二 x， 然后下面这部分啊，就是一百八十度减去二 y， 然后把它给合并一下啊，嗯，就会得到一个长长的式子， 一百八十度减去二 x， 加上一百八十度减去二 y 啊，但是咱们一定要给它整理到最简哈，就是三百六十度减去二倍的 x 加 y 啊，因为上面也有一个 x 加 y 啊，那这个时候我们要把这部分给它套进来啊，就完事了啊，所以写成这个角 b e d 等于三百六十度啊，减去二倍的这个角 b f， 对 啊，那接下来咱们把这个二倍的给他，给他挪过去，这道题的选项就出来了啊，应该是选 c 啊，选 c。 嗯，好嘞，那我们看下一个话题啊，呃，看条件啊，三分之一，那不三倍吗？比例吗？哈，所以咱们怎么射它呢？怎么射它，它要大一些啊，所以咱们射这个角 abf 为 啊三啊，那这个 abm 呢啊，就是 x 啊，那这个 c 对 f， 那 就是三 y 啊，那 c 对 m 就是 y 啊，看到了比例，咱们一定要设这个习惯，一定要养成啊，然后这里还有平分线，平分线，然后要找这个 m 和 e 的 数量关系。那咱们还是老规矩啊，把这个 m 和 e 都给它，用 x y 给它表示出来，我们再看啊，那接下来我们要把这个负值给换掉啊。 嗯，那这道题有三个拐点，咱们都给它画出来啊，啊，然后，呃，这个 x 和 y 在 哪里啊？在这呢， x， 然后这个就是三 x， 然后这个是 y 啊，这一共是 三 y 啊，咱们画完了啊，画完，嗯，先表示谁呢啊？这个 m m 上下两部分啊，这个是 x， 因为上面是内错角啊，这个是 y 啊，所以讲 m， 这个太简单了啊，就是 x 价位啊，那这个 e 这个角啊，稍微麻烦一点啊，稍微麻烦了一点啊，两部分啊，这部分啊，这部分和上面，哎呀，这是三 x 啊，咱别忘了还有这个平分线啊，这是平分线，所以这一部分也是 也是三 x 啊，所以这一共是六个 x 啊，所以上面这部分就可以写成一百八十度，减去 六 x 啊，然后下面这部分呢？下面这部分啊，这一共是三 y 啊，那这部分也是三 y 啊，那就是一百八十度，减去呃，六 y 啊，这个时候咱们小孩的眼神一定要注意了啊。嗯， 而且，那咱们这个角 e 啊，角 e 就 可以写成一百八十度，减去六 x， 然后再加上一百八十度，减去六 y 啊，那我们给它整理一下啊，就是三百六十度减去六倍的 x 加 y 啊，你看啊，都给表示完了，都给表示完了， x 加 y， 咱们是不是可以给他哎，代入过来啊，就是角 e 等于三百六十度啊，减去六倍的 角 m 啊，所以咱们好看一点就给整理过来啊，就是六倍的角 m 加上角 e 等于三百六十度啊，这就是咱们第二题的答案啊，就出来了啊，咱们一定要心无杂念啊， 有拐点，咱们该做辅助线，做辅助线啊，有倍数，咱们就该设就设啊，设完了之后，咱们利用平行线的性质啊，给它导一导啊，问什么咱们就把谁给表示出来 啊，这个关系自然而然就发现了啊，这个第二题，那下面这个第三题呢啊，这个题稍微麻烦一点点啊，咱们一定要注意了啊，但是方法是不变的啊， ab 平行 c 的 啊，平行线之间有两个点啊，然后，哎，有平分线，我们看一下怎么平分的， a e g 啊， a e g 在 这里啊，那就这俩平分呗，哈，咱们就标上 x 和 s， 然后 f h g， f h g 啊，那就是 y 和 y 啊，这不一比一吗？嗯，然后还有一个八十度，八十度是这个角，八十度，嗯，还有一个二十度啊，是 h f 的， 嗯，好嘞，好，那这道题啊，有三个拐点啊，就咱们做题啊，这个习惯啊，就是看到了拐点，咱们做平行就给它做出来啊，大不了不用呗。啊， 一个两个啊，三个啊，这块有点乱，咱同学一定要慢一点，嗯，然后求这个 m 的 度数啊，那接下来我们就，呃开始倒角呗啊，开始倒角，嗯，那 m 咱们先弄 m m， 那 剩下两部分，那这部分就是 x a， 那 下面这部分啊，就有点难了 啊，一眼看不出来呀。啊，咱们这个 y 好 像跟他也没啥关系啊。啊，对，这题还是有点难的啊，咱们可以啊，先求出这部分啊，老师，看黄色的啊，黄色的，咱们现在这部分，这部分其实是二十度啊其实是二十度， 嗯，这部分是二十，它和下面这个角是内错角啊，这个是二十。那上面这个小小的部分啊，就是这个，呃，绿色的部分， 就这部分，这小小的部分啊，这小小的部分应该是 y 减二十，嗯，同学们看一下啊，然后这个小小的部分和这部分属于内错角啊，所以下面这部分啊，就是 y 减二十啊， y 减二十， 嗯，所以这个角 m 啊，角 m， 咱们应该是配成 x 加上 y 减二 x， 嗯，二十啊， y 减二十， 嗯， ok， 同学们啊，那继续啊。嗯，求 m 的 度数， x 加也不知道是几啊，那咱们下一个突破口啊，就是找这个，呃，八十度，八十度也分了，分了这个上下两部分啊，那上面这部分是二 x， 这个很容易发现啊，那下面这部分呢？ 啊，那下面这一部分怎么看呢？啊？对，这个就难办了啊，这部分咱们还是需要倒一倒啊，和这个角 看啊，注意了，同学，看啊，咱们这两个角是内错角啊，那这块是两个 y， 下面是二十，那上面这部分呢？啊，上面这部分呢，就是两个 y 减去 二十啊，这特别乱啊，两个 y 减去下面这个黄色的二十，就是上面那部分，然后上面这部分和它是内错角，所以这个角啊，它仍然是二 y 减二十啊，所以这个角记， 嗯，这个角记它就可以把上面的二 x 啊和下面的这个二 y 减二十给它合在一起，就等于八十四度， 嗯，就等于八十四度啊，那接下来我们这个二 x 加二 y 就 等于一百零四度啊， x 加 y 啊，就等于五十 二度啊，五十二。那接下来我们把这 x 加 y 给它往这里一套入啊，五十二度减去二十度等于三十二度啊，这就是这道题的答案啊，咱们需要这个倒了，倒了好几次啊，但是思想仍然是没变 啊。你，你看到评分了，一比一，你就算 x 啊，你要求谁啊，你就表示谁，还有这个已知条件啊，这个角两部分咱们也是给他拼凑出来啊，然后这个事实与事实之间的关系咱们就发现了啊，这个题就解决了，加油。

我们今天来看一下这个沈阳七中的七年级下学期的三月刚考完的一个月考题。那第一道题目呢？其实就是我们七中的孩子错的最多的一道题啊，基本上所有班的学霸都是在这道题扣了四到四到两分吧。 那主要是这两个问题他没有理解啊，他以为是尺规这道图，实际上这道题叫什么呢？叫无尺规，直接用尺尺来画。那么第一个问题，你要画这个垂直这个线段，其实在阶阶段他们目前的进度来说有点超纲，实际上他是想通过造一个互相垂直的一个全等 这么来构造的啊，但是全等现在孩子们还没学，所以确实有点超纲，所以反馈了一下，就是基本上各个班的学霸这道题上都有丢分，哎，对，主要是讲正这两个颜色啊， 这两个带颜色的图案，全等全等之后呢，这个焦点就是我们想做的这个催促， 当然你要标出垂直符号，写个一对吧，然后这里要写一下如图，谁谁皆为所求，对吧？如图 什么皆为所求？还有他说的是垂线，垂线的话应该是一条直线，所以你应该是穿过这个穿过这条线的，然后你要连连上对应的点才能得分。第二道题要做这个 a b 的 平行线 c d， 那么你要做它的平行线的话，其实也是一个全能，对吧？你数它的格子跟这个图案能平行的这个格子应该是在这个方向上，还有就是它要求是一条什么呢？过 c 点的一条平行线啊，实际上是这样的两个格子， 但它俩肯定在一条直线上， 所以要平行的话，其实跟它的这个格子是一模一样的，或者你这样来看也能看出来， 下面的图案 a、 b 是 一个这样的三角形，横是六格，竖是两格的，对吧？我们在这边也画一个横是六格，竖是两格，这样经过 c 点就能做出来它这个平行线， 至于这个 d 标在哪一侧都可以啊，对吧？而且它不要求写做法，然后写一下如图，直线 c、 d 即为所求，三思两问就比较简单。 好，第下面这道题呢，其实就是一个常规的一个密的运算的一个心机的问题，这道题的得分率还是比较高的啊，只要大家看懂这里的例子，对吧？一定要把例子看懂，看懂之后这道题应该是没有问题的。二十二题呢，其实是个常规的，我们验证一个乘法公式的一个 完全平方，平方差这些公式常见的一个图形的问题，对吧？这道题的得分率应该还是比较高的啊， 应该大家都在学校里面练过二十三题呢，其实也是一个常规的这种平行线的拐点的这种应用的问题，也就是说这个二十、二十三题其实得分率都比较高，对吧？相对而言就是大家错的最多的啊，就是这道题， 学霸粉碎机。这个试卷整体来说的话，据我所知了解到的情况是，基本上每个班里面一百一以上的都是个位数， 所以在班里面如果想问大扫三校的孩子的话，这张试卷还是以一百一十分为为主。

那沈阳期中哈旗下刚考完的语数英月考卷，那小老师呢，整理好了试卷，难度呢，适中偏培优，向内考，同步练哈，超有价值。那尤其呢，是想冲名校的同学，这套卷哈，必须吃透了。先说说咱们数学卷哈题型，常规选择填空考基础整式计算，科学技术法，平行线判定式，主打 还有新定义计算几何折叠题，拉区分解答题呢，从计算到几何证明，再到数形结合压轴，那层层递进基础题呢，在七成 语文题啊，三成，既能查缺补漏，又能练答题思路，那完全啊贴合咱们旗下数学重难点。再看英语卷，阅读占比还超一半，那选择题贴合课标，有生活场景，人物故事，科普知识，还有文化类文章。那完形和语法填空啊，考基础词汇 时态和固定搭配啊，写作呢，是经典的旅游推荐邮件，都是向内常考啊，咱们中考常练的题型，难度上呢，没有偏题怪题，主要考察词汇积累和语用能力，练这套卷哈，能快速磨清七下英语，考察重点。最后呢是语文卷啊，积累运用，考字词并句，文学常识和骆驼祥字名著 都是咱们课内的核心考点。古诗文考木兰诗和课内文言文对比阅读哈，现代文阅读呢，有非连续性文本和继续文，还有课内迁移类阅读作文哈，虽没考，但整体题型哈，贴合相对考难度适中， 注重基础积累和阅读答题方法，那能很好的检验课内知识掌握情况。那整体来看哈，这套卷完全是咱们沈阳其中校内 没有级别的考题，难度适配旗下中等级以上的学生没有超纲内容啊，全是咱们课本核心加项类常考题型，不管呢，是用来同步检测学习效果，还是考前刷题练手感都特别合适，尤其呢是想跟着名校节奏走的同学啊！敲七七七我打包给你啊！吃透这套卷，下次考试稳拿分！

数学学习别犯愁，答疑解惑迪迪周大家好，我是迪迪周老师，二五年第七中学初一，下月考好题，二十二题。这道题目呢，它是将平行模型考到极致的一道题目，不光考了平行模型的结论，还考察了平行模型上升到更 高维度的应用。那我们来看一下这道题目当中的第一个呢，是铅笔头模型，他的结论呢是这三个角度的合适三百六十度，他上来直接考了啊，给到一个一百三十，给到一个一百二十，那么中间这个角度可以用三百六来解一下，答案是一百一十度，轻松得分。第二问，问题牵引， 他将 p 点放在射线 o m 上，现在是在两条平行线之间，他说阿尔法贝塔以及 a p c 这个角是什么关系？那么这里我们显然可以提炼出来是一个 m 模型。 m 模型的结论是上下两个角度之和等于中间这个角度的和。上下两个角当然不需要相等啊。注意，很多同学会认为上下两个角相等都等于中间这个角的一半，这是不对的，他俩的和等于中间的角就 ok 了。我们不要求他们之间再有相等的一个关系，以及二分之一的关系哈，直接写出他们之间的联系，就是角 a， p c 等于 r 法加贝塔。当然你也可以写减法的关系，说 a p c 减 r 等于贝塔，这种也是 ok 的 啊，但我们一般都写 a p c 等于 r 加贝塔。好，如果 p 点运动到 b 的 两点之外，那我们两种情况分别来看一下啊。如果运动到 b 点的左侧，也就是 o b 上的时候， p 点用到这里连接它的两个点， 这个是角 a p c， 而 p a b 呢，这个角度是 r 法啊，这个角度呢是贝塔，它显然就是我们的抬脚模型。 这里面三个角度，一二三三个角度关系是下边这个角度更大，他等于上下两个角度之合，或者他剪到上面这个，等于他剪掉右边这个，等于上面这个，是这样的一个抬脚啊，这当然管他叫什么，牛角、船头、折纸都有这个名字，无所谓。希望大家对这个模型的结论是印象深刻的，他的证明就是过拐点做平行就可以了。 那好，所以这里的大小呢，就是 a 特减 r 法等于角 a p c 的 大小，当他运动到 d 点的右侧时， 其实也是一个抬脚，但是它是换了一个方向的抬脚，这个时候 r 法是更大的，这个角 a p c， 所以 它的大小是 r 减倍，它等于角 a p c 这样的一个数量关系啊。两种情况我们都要来形容他，这道题说直接求它俩数量关系，大家要写一下， 当 p 点在 b 点左侧，当 p 点在 d 点的右侧，来分别说清楚。好，我们来看一下他，问题再进一步变成了什么呢？是一个北斗七星啊，这个非常符合我们新中考的出题方向，他将这个抽象的问题放在了一个实际场景当中，但我要跟大家讲，这个实际场景其实同学们不需要去了解 啊，有的人看到北斗七星一想，完了，我也不了解，不知道啊，天文不懂，地理也不懂的，但是没有关系啊，我们在当中提炼出咱们数学的抽象的建模的内容，像这道题目呢，它就是平行的模型嘛， 不耽误我们来做，我们把条件读好哈。 a、 f 平行于的 e， 角 b 等于这个这种关系呢，我就会去设角的大小为一个字母，因为这样去表达它不是很直观啊，大家现在也要建立起来这种方程，设为 r， 那 么角 b 就是 arpe 加五度角对，又是一个九十五度啊，角度给的还挺多的，给了三个角度，那么问角 b 和角 c、 g、 f， 角 b 刚刚标过了 arpe 加五度，那 c、 g、 f 这个怎么来写呢？不知道大家有没有看到这里边的平行模型呢？我们用笔给它描出来哈，这是一个什么模型呢？大家有没有看到这属于 m 模型中间的这个角 c， 它应该等于上面的 g 和 d 的 度数之和，所以说上面的这个角度就是 r 法减九十五度，角 b 呢，又是 r 法加上五度， 寻找他俩之间的关系，因为我们这个关系是不是没有而法的事，而法是自己设的，也就是说没有 bc 的 事情。所以如何能把这两个式子运算消掉，而法呢？出现我这种不一样的字母，想消掉两式相加，两式相减就可以了，这里边可以两式相减，角 c， g、 f 减角 b 等号右边，而法减掉了负九十五度减五度，那是负一百度，对吧？ 通常我们度数不喜欢出现负的，大家可以反过来写它的结论，角 b 减角 c、 g、 f 等于一百度，这么写就可以了，写加法也可以啊。角 b 等于一百度加 c、 g、 f， 这是不是还没有很难，对吧？我们再来看一下圈二，它又问了什么问题呢？连接 a 对 a 对 e 这个角度和 c、 g、 f， 那 c、 g、 f 刚才是不是表示过是 r 法减 九十五度？我们现在关键要知道这个 a 对 e 怎么表示，他说他俩满足什么关系的时候， bc 平行于 a 对， 哎，很多很多同学看到这个条件，其实把自己难住了， 甚至有同学说难哭了，这有什么关系？这两个角当然不是这两条平行线之间的什么同位角、内错角、同旁内角，但是你可以先当做这两条线平行倒一倒，这里面涉及到的一些小角的关系，再去表示出 a 对 e 也可以啊。 所以这道题大家应该把它当做条件去用，相当你额外有一个条件， bc 的 平行 a。 那 么刚刚我们不是设 bc 的是 r 法吗？ 所以同旁内角互补角， a 对 c 的 大小就是一百八十度减 r 法，而 c 对 e， 它是九十五度，所以 a 对 e 的 大小是不是就表示出来了是一百八十度减 r 法，再加一个九十五度，而 c、 g、 f 一直就是 r 法减九十五，上一份也表示过，大家可以看一下。这时候怎么能消掉 r 法呢？两式相加，直接消掉角 a， d， e 加角 c、 g、 f 等于什么？ r 掉了九十五，正好也掉了，就是一百八，它俩的关系是互补啊， 很多什么关系时，大家就把这个关系式添进去就可以了，当然你也可以写汉字，或者你回答互补也可以。这就是我们的第二十二题，考的非常的不错啊。

想要进你的小孩注意了哈，咱们这个视频要讲解一下七下数学第二章的一个压轴题，常考题型就是拐点模型啊，我们都知道啊，拐点模型，我们看到了拐点啊，要做 平行线啊，这个辅助线大部分小孩都知道啊，但是你知道这些的话，有些题型仍然是解决不了，所以咱们啊，还要学会一个方法，就是射参倒角啊，就是利用题目里给的这个比例 啊，这些角的关系，他去设 x 和 y 啊，把咱们要问的问题还有给的条件都给他，用 x y 给他表示出来啊，变成一个式子来解决他啊。我们来试一下这个第一题啊，咱们今天一步讲三道题啊，第一题说了，平行线啊，还有这个平分线 a e p 啊， c， f p 啊，都有平行线啊，所以这两个角是一样的，那咱们就可以设成 x 和 x 啊，那这俩角一样的话，那咱们就可以设成 y 和 y 啊，那接下来咱们把这个辅助线给它画上啊，嗯，那就是过 h 做平行啊，然后过 p 也做平行，那既然有平行的话，那根据内错角相等啊，那这里好多好多角一样啊，行在这了啊， 这是 x 啊，然后，哎，内错角哈，这个就是 y 啊，那这个时候这个角 h 啊，咱们是不是就可以表示成什么呢？ x 加 y 啊，然后这个角 p 呢啊，这个角，嗯，这个角和哎这个角属于同旁内角 啊，同旁内角，所以它就可以写成一百八十度减去二 x 啊，然后这个角呢啊，和下面这个角二 y 啊，也是同旁内角啊，所以我们就可以写成一百八十度减去 二 y 啊，那你看这个角 p， 我 们也可以把它们合在一起啊，就是一百八十度减去二 x， 加上一百八十度减去 二 y 啊，所以咱们进一步整理啊，就是三百六十度减去二 x， 再减去二 y 啊，咱们把这个括号给他，给他，给他拿出来啊，就是二倍的 x 加微啊。那这个时候这个题目其实变得很直观了啊，很直观啊，你看 x 加微，正好就是 h， 那 咱们就可以把它给 啊，把它给塞进来，把它给塞进来。所以咱们得到一个式子，就是角 p 等于三百六十度，减去是不二倍的 h， 二倍的角 h 啊，那角 p 是 七十八度啊，那咱们是不是很容易得到一个式子啊，就是七十八度等于三百六十度减去二倍的角 h， 那 我们同学啊，把这个角 h 啊给它一解，这样 t 完事了 啊，同学们啊，你看，咱们把条件在这里给它列出来啊，这个是问题也给它列出来啊，另外是咱们稍稍一整理这个关系一下，就发现了啊，来，我们看一下第二题啊，继续感受 啊，这第二题题目中也是给了一个比例关系，你看上一道题给了这个平分线，那平分线是不是就是一比一啊？啊，那这道题他给的更直接啊， 一比二比四啊，是两套一比二比四，所以我们要这么设啊，就设成 x 二 x 四 x 还有 y， 二 y 还有四 y 啊，就这么设，按照顺序啊，别乱了， x 二 x 四 y 二 y 还有 四 y 啊，那下一步我们就把它给哎，给它，给它放里啊，放里啊， x 二 x 四 x， 嗯嗯，你不要乱了哈。然后这个是 y 二 y 四 y， 嗯，那标上之后还是老规矩啊，那拐点模型这辅助线咱们都会画，嗯，做平肩，嗯， ok， 来，做完一个 a g c 也是给它做上。 嗯，好嘞。啊，也做完了，那下一步就要把这个条件给表示完了啊，把这个问题也给他表示完啊，所以咱们表示第一个啊， a e c 等于什么呢？ a e c 在 这里啊，上下两部分，那这个角和上面这个角就属于内错角啊，所以它是四 x 啊，那这个角和这个角也属于内错角，都相等啊。嗯，所以这个角合在一起就是四倍的 x 加 y， 嗯，这个就完事了啊，那这个 a g c 呢啊，咱们要求它啊。嗯， a g c 啊，看这 这个角啊，这个角和上面同样有内错角啊。嗯，你看老师换一个颜色啊。这啊，这个角和这个角啊，咱们可以数一下有几个 x 呢啊？七个啊，所以这个也是七 x 啊，那这个角呢，这角和这个角也是内错角，也相等啊，所以这个是 七 y 啊，所以这个 a g c 这个角啊，咱们就可以写成啊，七 x 加上七 y， 嗯，七倍的 x 加 y 啊，那题目中给的这个是八十啊，啊，这是八十啊，所以咱们能推导出来， x 加 y 是 等于 二十的啊，那下面这个啊， a g c 是 七倍的它，所以就是一百四十度啊，你看是不是很容易？嗯，就是 看到了这个比例啊，哪怕是评分的，或者这种直接给你的，咱们一定要设好未知数啊，把条件还有问题都给他表示完啊，这种题很简单啊。嗯，我们看第三题啊。呃，第三题 啊，你看有评分，有评分的话就是一比一，咱们就可以设未知数了，这都是一个关键啊，那条件里有 e f， 咱不要被这个式子给迷惑了啊，咱就把 e 和 f 都给表示出来啊，再把这个也表示出来啊，咱们就能看出来这式子的关系了啊。来，我们看一下，嗯， b e 平分哈。 b e 平分的话，那这个角和这个角是一样的，都设为 x 啊，那对 f 平分这个，呃，这个角啊，所以就是 y 和 y 啊，然后 e 和 f 都是拐点，那咱们做好辅助线啊，嗯，做个平行， 嗯，这边也是哈。嗯，好嘞啊，那做好了辅助线啊，接下来我们利用这平行线的性质，给它倒一倒啊，倒一倒，这个角和上面这个角属于内错角，所以都是 x 啊，那下面这部分和这部分啊，也属于内错角，所以就是两个 y 啊，也就是这个角 e 角 e 可以 写成 x 加上 二 y 啊，那这个 f 呢？啊，道理是一样的，这个角啊属于 y， 因为它和下面这个角是内错角啊，那上面这部分呢？啊，这不太清啊，咱换成蓝色的啊，这个角和这个角 啊，也属于内缩角，当然这块是二 x， 所以 下面这块也是二 x 啊，也就是这个角 f 应该是二 x 加上 y 啊，来把它给带入这个式里啊，会得到一个长长的式，就是二倍的 x 加二 y 啊，减去二 x 加 y 等于五十一度啊，那我们先接下来就把这个括号给它打开哈，这二 x 二 x 减没了啊，这四个 y 减去一个 y 啊，那就是三 y 等于五十一度，那这个 y 就 等于 十七度啊，那这道题的问题是什么呢啊？ c 对 e 啊， c 对 e， 是 不是可以写成两个 y， 你 看巧不巧吧啊？角 c 对 e 等于二 y 啊，那不就是三十四度吗？ 啊，给他一成就完事了。你看啊，忽忽悠悠的就结束了啊，就是看到了这个比例一比一平分啊，咱们就设好 啊，然后条件里还有问题里都给他用 x， y 给他表示完啊，这种题真是特别特别的简单。好，下一个视频咱们继续讲解这例题，加油。

二六年辽宁中考生这套卷必须要做沈阳七中的临摹卷，七中每次出的卷质量都超级高。上个视频发了张老师手写的答案，但很多孩子说，老师光看答案我是看不懂的。今天我们来讲一下二十二题。 第一问，正边相等有翻折必出角分线特殊四边形必有平行角，分线加平行必出等腰三角形，这三个角都是相等的，就可以得到这两个线段相等。第二问，出现一个特殊的四边形是菱形，那么菱形的特殊性质就有这两个角是相等的， 再加上它的翻折，这个角翻折到这块摊仨都是相等的，所以其中一个就是六十度，那么我们要求的阿尔法就一定是三十度。第三问的圈一，在前面菱形和三十度的基础之上，给了我们两个线段相等 和四十五度特殊角。让我们去求 b、 h 比上 f、 g 的 比值是多少，不妨我们去设最短的是一和一， 那么菱形的边长就是二，我们知道特殊角三十度，那 a、 f 是 一矩形的，宽是根号三。接下来我们去考虑这个特殊角四十五度怎么用 四十五度翻折到这块，咱们知道这是一个直角，但我不知道这个 g 到底落没落在 bc 上，那我们知道这个角是四十五度，无论这个 g 落不落在 bc 上，我直接做一个垂直，让它是一个宽，是根号三，这就一定是一个等腰直角三角形， 那 m 到这的这段距离就一定是根号三，而这个小东西就是二减根号三。由于矩形的性质，那么上面这个 n 的 也一定是二减根号三，所以 f n 的 长度就是三减去一减去二减根号三，就变成了根号三。 f n g， 它是一个等腰直角三角形，所以 f g 的 长度就是根号三，乘以根号二等于根号六。接下来我们看下边 b h 的 长度，由于这个是四十五，它就是一百三十五度， 翻折过来这个也就是一百三十五度，这就是一个直角，所以这边也是一个直角。 b h 就 等于一比一比根号二，所以它的值就是根号二，最后的结果就是根号二比根号六等于三分之根号三。最后一问没有思路的原因是没有跟前面疑问联系到一起， 我们看前面一位是给了他们俩的长度和角度，让我们去求 fn， 而这个是给了我们 fn 和他们俩的长度。其实我们可以推出来这个角的度数，如果这个角的度数出来了，这道题就 ok 了。 辅助线的做法和上面也是一样的， n 向下做垂直，这段就是四减根号三，所以它就是四减根号三，那么中间这段的距离就应该是根号三， 那这个圈角的正切值就应该是根号三比上这个二倍，根号三就是一比二，所以只要圈角在的直角三角形里都是一比二比根号五， 那我现在要求的是这个梯形的面积和菱形面积的比值。菱形面积非常好求啊，一个是底，一个是高，所以直接可以算出来，现在主要的难点在于梯形的面积怎么求？用梯形的面积公式，上底加下底乘以高，去除以二就 ok 了。 而这里上底下底高我们都不知道，但是呢，都好求，因为刚才那个一比二 n k 的 长度就是根号三，比上根号五好， f k 的 长度就是它的二倍，再乘以二就 ok 了。同理，在这个三角形中知道这个是二， m 勾的长度就是二除以根号五 好， b 勾的长度就是再乘以二。所以我们要求的上底和下底以及高都可以求出来。 上底下底是直接现成的，但是高呢，我知道 m n， 但 m n 并不是高，我得需要减去 n k 这段，再加上 m 勾这段就可以算出它的高。之后就是上底加下底乘以高除以二。但是我们这样算的是一半的梯形面积， 因为我要两个梯形的面积，之后还需要去乘以二，我们就把这个梯形的面积求出来了，之后他们俩再比进行化解就是最终的结果。咱们主要讲思路，剩下的计算交给你写出来才是你真正会的。

只要你做过去年二五年的试卷，这套试卷你别说给你七十分钟了，就是给六十分钟做完，也能做高分。 今年二六年期中初一下数学月考卷，很多同学都看到了，也做完了哈，都说这套试卷好，学校只给了七十分钟的时间来答，很多同学都没答完。那看完这套试卷之后，迪迪周老师发现了一个事，这不就是去年二五年初一下月考的试卷翻版吗？ 十五题，二十一题，二十二十三，高度相似，期中教员，你连演都不演了？无图无真相，我们来看一看。首先，今年的这个十五题，是考一道长方形纸片的折叠问题，去年期中十五题，考的也是一个 长方形纸片折叠的问题，当然去年会更难一点，今年他吸取教训的，去年同学答的上来的正确率都不高，今年他就把它难度降低了，但是方向是完全一致的。那二十一题呢？考的是个新预算，定义新预算， a 的 c 四方等于 b， 那 么 a 逗 b 就等于 c 这样的一个定义。那我们看一看，他又反了哪道题呢？二五年南昌的二十二题，定义一模一样， a 的 c 方等于 b， 那 么规定 a 到 b 等于 c， 上面 a 的 c 方等于 b， 那 么规定 a 到 b 等于 c。 但是我说演都不演了。那这一问的话，求的是 abc 的 关系，这一问 求证的是 a 加 b 等于 c， 问的问题也高度相似，这是期中的今年二十一题。再往下看二十二题，这个几何题，很多同学都拍手叫好，很多老师也拍手叫好，很多家长也觉得这题确实考的不错，给的是一个几何的图，问下边的东西呢，都是跟整式乘除有关的，考的是个知二求二。那 我们再来看一下期中去年自己出的二十一题，也是给一个几何图形，在这里面包装了一个新定义，但是再把这个定义使用进去，发现他也是一个知二求二的问题，这个也是知二求二问题高度一致。 最后我们看一下期中的二十三题，前面是平行的模型，后边做一个变式变形，题目变难了，这是二十三题今年的长相，我们看 期中去年的二十三题，也是这种长相，一开始给个平行的模型都是很经典的，只要你跟着学，没有学生答不上来这个题的，纯粹是七比二比一的七的部分，后面图形稍有变化，问了一些新的问题，但是整体的感觉还是非常一致的， 所以说期中去年和今年基本变化不大。这就是为啥我说今年期中试卷，这套试卷你别说给你七十分钟了， 就是给六十分钟做完也能做高粉。那现在我已经开始给大家分享二五年的期中试卷的分享了，所有同学们，如果你想要把今年的期中考试考好，准备万全的话，大家可以在我的主页跟我一起做题，为期中考试做准备。

数学学习别犯愁，答疑解惑迪迪周大家好，我是迪迪周老师。二五年第七中学初一下的最后一道题仍然是考察平行的啊，几何证明的题目，而这道题目最主要的核心点在于呢，和咱们七年级上学期的 最后一块压轴的内容，动态角，旋转角进行了一个结合啊。大家可以看到第二本非常长的片目当中，出现了多少度的速度进行旋转，多少度的速度在折反等等的。有同学会说了啊，怎么动态角还在追我 这样的，因为我们初中动态的问题，他就是会出现在压轴当中，中考卷当中也是会出现动态点，动态角，动态线等等这样的问题的， 所以同学们千万不能够对于这种动态的问题呢。过了这个学期，觉得啊，我已经不学了，我就放掉了，其实这个欠的债咱们没还，就一直是没还的， 所以我希望大家在这道二十三题目当中，可以跟我一起再重新感悟一下，看能不能有新的收获，对于动态问题，会不会有能力上的再进一步提升。那我们看一下第一道题哈，可能还是考得分的。直接就是一个 m 模型吗？这个角度是 三十度，下面这个角度是九十度，至我们这个角度，直接用一个 m 模型把它就秒掉了。三十加上九十一百二十度，接下来是重头戏了，一个动态的过程，我们仔细来读题啊，射线拼音，从 p f 的 位置出发，绕着点 p 逆时针，三十度这样的一个速度进行旋转， 旋转到跟 a b 垂直的时候呢，再反过来再旋转，但这时候它的速度改成了四十度每秒了。那在这里边我是特别建议大家，包括我自己在做题时候，带着我自己班的学生，都一定会在每个关键节点将它的时间的范围给求出来，因为这跟你最后的结果是息息相关的，你算出来的结果如果超范围我们就不能要了， 超范围的我们是要留下来的，所以我们先算一下它以三十度的速度转到跟 a b 垂直的时候，需要用多长时间？是不是转了一百八十度？因为它原本就是跟 a b 垂直的，转过去还跟 a b 垂直，就是转一个一百八十度。所以说第一开始呢，是一百八十度除以三十等于六 六秒。后来返回的时候，又是重新再转一个一百八十度，一百八十度除以四十度每秒，这个时间就是四点五秒，所以它的全程是十点五，也就是今天这个数不可以超过十点五。大家心里要有这样的一个数。再看射线 e m 是 怎么进行旋转，它从 e a 的 这个位置上逆时针，它的速度就比较慢了，但是它不改啊，人家也不会来回折返，就会稍微干净一点。 十度，这样的速度直接转到 e b 上，就是转一个一百八十度，所以它就是一百八十度除以十等于十八秒。这是我们 e m 的 一个运动的时间，你可以对比来看，我们整个时间还是要小于等于十点五的， 这是我们提前的准备工作。接下来他说 m e p 是 二十度，这里边的 a e p 是 三十度，那么 m e p 是 二十度，可以这个角是在 p 的 上方，还没有到达 p 的 位置， m e p 是 二十度，那么它上面转过的角度是不是就是十度 t？ 第一种情况， m e 在 t e 上方，那这个时候角 a e m 等于三十度，减二十度等于十度，又因为角 a e m 是 十度 t， 这样列一个方程 t 就 等于 啊。但他这道题问的并不是 t 是 多少，而是问 e p n， 他的度数是多少，就是上面这个 e p n， 他 到 n 的 位置上转三十度 t， 而这个角度是一百二十度，所以上方是一百二十度，减掉三十度 t， 所以 这个时候的 e p n 就 等于 一百二十度，减三十度 t 也就等于一百二十，减三十乘一就是三十，就是九十度，这是一种情况。 第二种情况，当 m e 在 pe 的 下方，当它在这个位置上，它的夹角是二十度，那么本身上边有个三十度，所以这个角度大小一共是五十度。所以我们来写一下，角 a e m 这个时候就是五十度，而它又是十度 t， 直接列 t 就 等于， 那这个时候的角度已经超过了。你看三十乘以五，其实已经都超过了一百二十度。这个时候的 n 已经出现在了这个位置上，所以这里边的 n p e p n， 它的大小应该反过来减，是一百二十度，减三十 t 不 够了啊，三十 t 减二一百二。 那其实之前有给大家讲过，我们怎么去把这种反过来减的式子给他统一的表示呢？就是加一个绝对值就好了。所以其实大家一开始如果在这里加一个绝对值，角 e p n 就是 一百二十度减， 减去三十 t 加一个绝对值就可以了，三五一百五，那这里边就是三十度吗？所以我们讲一篇的综上答案就是九十度或者是三十度，就是这两种情况啊。第一问就这么搞定了， 第一问稍微写一写过程，而第二问我们不用写过程。第二问他要的是一个横线吗？那这种题他一般答案，尤其到最后一个答案会比较多，希望大家在这道题目当中 能够将分类讨论思想进展到极致吧。好，那他这里边说 e m 平行于 p n 这条线和这条线，这么一看肯定是不平行嘛，因为他还没有旋转到位，那继续将这个 m e 往下旋转，然后这个 p n 他 旋转的可快啊，三十度每秒时间去旋转，那是可以旋转一个位置上，他们两个可以做到平行。我们将这个平行呢划一下啊， 是射线，所以它的长短也没有关系，咱画长画短的都行。看到它俩是平行这样的一个位置啊，这是 m， 这是 n 的 位置上 m e 平行于偏。看到了吧，那我们家用含 t 的 式子，把各方的角都好好表示一下， n e m 就是 十度 t， 因为它的速度没改，方向没改，都是十度 t。 而在这里边的这个角度大小呢？三十度 t 找一个什么样的关系列出十度三度 t 啊？这种的一个方程呢？它是没有看到内错角，同为角，同旁内角的对不对？ 所以我们可以将这里的 p n 进行一个延长，他干脆就交到 a b 上好了。那可以给他做一个延长，延长过来之后，这个角度和这个十度 t 他 就同位角嘛， 所以他就是十度 t， 那 在这里我就看到了一个模型叫 m 模型，这是不是可以看作是一个 m 模型，能看到吗？上面这个角度是十度 t， 下面这个角度呢，是九十度，而里边的这个角度是三十度 t， 那 我们不就可以写出十度 t 加九十就等于三十度 t， 这个方程解完 t 就是 四点五也合理，它没有到六，对不对？那我们说它之前有一个六秒，后边有个四点五秒，也就是 呃，十点五秒这个范围它都没有超过，都完全符合我们现在的一个运动情况。下一次旋转呢，就可以是 p n， 因为 p n 它转得快吗？ p n 继续向上，再返回回来的时候，但 m e 也转的差不多了啊， m e 也就转挺大了。到这了，大家可以看到这条线转上去又返回来的， 和他做到的平行，还有一个自己转上去做到根 a b 垂直的这么一个情况，先转上去六秒已经过去了，然后再转回来，按四十度的这个速度，那这个角度的大小，上面这个角度的大小呢？就应该是四十乘以 t 减六， 他的 t 是 从运动开始算的，前面六秒我们已经给前边划过了，那么后面是从第六秒开始的，所以他的时间是 t 减六， 然后再乘以这个速度是四十，这个角度大小是四十度乘以 t 六，然后这个角度的话，他就不用担心了，一直都是十度 t， 由于他俩此时平行，那我们十度 t 就 可以同位角过来，我们可以在这个三角形当中进行一个内角和一百八十度的书写。四十度 t 减六，加上九十度，再加上十度 t， 等于一百八十度啊，这个位置叫他 n 吧，交到这上就叫 n， 然后这边呢，我们可以自己起个名字，也叫 q 吧， q 没有出现过，相当于我们是在三角形 p q n 中进行一个内角和 这个 t 算出来的，结果呢是六点六啊，这是第二种情况，那还要再怎么转呢？再转转转转这个偏它下来，而这个 e、 m 也是往这种方向，它们两个是在往右下方向的平行，还是会再有一个情况的， 看这两条线在在这里进行一个平行啊，那还是 a e、 m， 它始终不变，是十度 t， 而它转上去再转下来这个角度呢？大家看到这里边它不是跟 a b 垂直吗？ 所以其实我直接就看到了一个铅笔头模型，铅笔头模型这三个角度的和是不是就是三百六十度？所以我们可以直接在这就列了，十度 t 加上九十度，再加上 四十度的 t 减六，等于三百六十度，这个 t 算完啊啊，非常非常微小的一个差别，马上就要结束了，它是十点二，因为我们知道到十点五的时候这个拼音就回来了，所以综上我们的答案，这些数都没有超反，都符合特定情况的一个判断 是十点五，一个是六点六，再有一个是十点二，着急，一共这样三个答案，大家用货链接也可以，用逗号链接也可以。大家如果想获取本套期中的试卷，因为有很多有价值题目吗？十五二一二二二三，我都给大家分别讲解完了，可以在评论私信我，找我来领试卷。

沈阳家长一定要给孩子们练一练期中这次月考数学的压轴题，核心考点完全平方至二求二，以及平行线、辅助线的模型和辅助线的添加。这两个考点还会在你未来的考试中反复出现，包括即将开始的期中考试， 不多练还会丢分。所以阿荣老师特意针对这两个题型给家长们举一反三，整理了同类型题试卷的原题答案，加上这两道精选压轴的拓展题都准备好了，还没领到的家长在评论区给阿荣老师留言，我一并打包发给您！