六下数学斜切问题解题技巧书

求斜切圆柱的体积一直是个易错点，一起来看纪念品店加工一种音乐节比赛奖杯 加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以结成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积， 那也就是求这个斜切圆柱的体积，两个这样的斜切圆柱是不是可以正好拼成一个圆柱体，所以一个奖杯的体积是不是整个圆柱体积的一半？知道了它的底面直径，我们要找到它的高，这段是十七厘米，所以说这段也是十七厘米， 那么圆柱的高就一共是十三加十七等于三十厘米，那告诉了底面直径八厘米，我们可以求出它的底面积，所以底面积就等于三点一四乘八除以二的平方 等于五十点二四平方厘米。再根据 v 等于 s h， 我 们求出整个圆柱的体积， 所以再用底面积乘它的高，那就是十三加十七的和，这是整个圆柱的体积，那一个奖杯的体积就是整个圆柱的一半，所以再除以二等于五十点二四乘三十，除以二 等于七百五十三点六立方厘米。答，一个奖杯的体积是七百五十三点六立方厘米。

圆柱切割问题盘点现在开始圆柱体平行于底面切割，一刀两面，两刀四面，增加四个底面积，底面积等于增加面积除以四 圆柱体沿直径切割一刀两面增加两个长方形圆柱体的高等于长方形的长 圆柱体。斜截复制旋转拼接，斜截体积等于大圆柱体的一半。 瓶子倒放问题，瓶子体积不变，水的体积不变，体积差也不变，等量代换。

大家好，我是静思维张老师。今天我们来分享一下六年级小升初的重点，圆柱的斜切问题。我们来看题，一个圆柱形物体的底面直径是八厘米，是一个圆柱形， 被斜截后，这是斜截了，那还是圆柱吗？对了，不是圆柱了，因为圆柱上下是两个完全相同的圆， 最低处是高，是十厘米，这已经标出来最高处高是十五厘米。被结厚的物体体积是，那我们这个体积它还是圆柱的体积吗？不是，它是一个不规则的物体。那首先我们来分析一下这道题， 那既然最初没有斜截之前它是一个圆柱，那它现在斜截之后了，变成不规则的协助了，那我们能不能通过什么办法把它变成圆柱呢？ 太棒了，可以，因为之前有人听到过张老师的倒置问题，那时候我们就把不规则转化成规则的圆柱， 那如果把这个圆柱相同的把它倒过来，那这时候他的最高就是十五，最低就是十，那这时候他就变成了一个什么呀？ 特别棒，就变成了一个规则的圆柱，那规则的圆柱我们可以求出来它的体积，那两个完全相同的拼凑的圆柱，所以求其中一个除以二就可以了。分析就分析到这里，下面我们开始解题。 根据我们刚才的分析，我们可以知道这个通过两个完全相同的协助可以拼成一个圆柱，那这时候求圆柱完整圆柱的体积，应该底面积是 圆柱的体积怎么算？底面积乘高，也就是 pi 二的平方再乘高。好，现在我们来看一下，哎， pi 是 三点一四，半径， 是啊，哎，直径告诉了半径是八除以二的平方，那高呢？我们来看这个高度是多少，哎，太棒了，十五，所以它的高度应该是十加上十五。好，我们来算一下，这里三点一四 乘四的平方在十加十五是二十五，那这里可以简算，二十五和四结合是一百，所以这里应该是四百。 那四百乘三点一四应该等于一千二百五十六立方厘米，因为这是两个完全相同的协助得来的， 两个完全相同的协助得来的，所以求一个应该用一千二百五十六除以二，所以等于六百二十八立方厘米。好，题目已经解完了，哎，现在别忘了写上答， 那被结后的写完整啊，被结后的物体 体积是六百二十八立方厘米。好，题目已经解完了，下面我们来总结一下这道题。 那这道题的关键点是第一个采用数学中的迁移，也叫转化思想，由不规则转化成规则， 那不规则是我们没法计算的，那转化成规则的原著就是我们已经学过的知识，所以把不规则会要转化成规则。好，这是一个很重要的点。 嗯，第二个点，它的高度。注意了，这是高，这个斜协助协助拼成的，圆柱的高。哎，我们要多注意，有的同学容易在这里出问题，这里的关键，它的底端， 它的最低处应该和最高处是对应的，因为斜切，我们需要把它旋转过去啊，旋转过去，也就是可以是什么时针，哎，逆时针旋转旋转一百八十度得到的， 所以这高应该是最低处加上最高处。好，这道题就讲到这里，谢谢大家。

把一个高是八厘米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加六十四平方厘米。问，原来这个圆柱的体积，我们先画个图啊，好假设这个圆柱啊，数值切开，怎么切？沿底面直径，那就这样切，竖着切开，切完之后啊，大概变成这样，这一刀切下去啊，增加了两个长方形的面积， 对不对？切一刀增加两个截面，那表面积增加的部分不就是这两个长方形的面积吗？那一个长方形的面积就是六十四除以二等于三十二平方厘米。啊， 一个长方形的长，不就是这个圆柱的高吗？八厘米宽，不就是这个圆柱的底面直径吗？那这个圆柱的底面直径不就是面积三十二除以八等于四厘 米吗？底面直径是四厘米，知道了，高也知道了是八厘米，那么圆柱的体积不是很好算吗？对不对？半径就是四除以二等于两厘米体积，底面积乘高三点一四乘上一个二的平方，底面积乘高等于一百点四八立方厘米。所以原来这个圆柱的体积就是一百点四八立方厘米。 记住，沿着直径竖着切，增加的是两个直径成高的长方形的面积。点赞关注，持续更新！

这一道题呢，是我们数学优化上的一道思维训练题，我们一起来看。一个高十二厘米的圆柱 被截去了两厘米后呢，圆柱的表面解减少了六十二点八平方厘米，问题是 求圆柱体的体积是多少？讲这道题之前呢，贾老师先让同学们看一个动画，我们把这个动画看结束以后，你就知道我们将这个圆柱的高截去两厘米以后，圆柱的表面解减少的面是哪些面？ 通过看动画呢，我们就知道了，这个表面积减少的呢，就是我们这个高为两厘米的圆柱的什么侧面积， 侧面积就减少了六十二点八。那好了，我们圆柱的侧面展开图是一个什么呢？侧面展开图是一个长方形，高呢就是我们被截去的这个高度几厘米呢？两厘米，我们的面积呢是六十二点八平方米。 我们的这一个底面周长是多少呢？能不能求出来？能呀，这是一个长方形，知道面积知道宽，求我们的长长能求出来是多少吗？当然可以用我们的六十二点八去除上一个二等于三十一点四厘米。 因此呢，我们的底面周长我们就算出来等于三十一点四厘米，因此我们原来圆柱的底面周长就是三十一点四。那我们要求这个圆柱的体积的话，我们必须得知道底面的半径，所以现在是已知周长求半径，用我们的周长去除以二派 好，就等于三十一点四，除以二乘三点一，四等于五厘米，底面半径是五厘米，那我们圆柱的体积能算出来吗？我们的体积 v 就 等于底面积去乘高，底面积是 pi r 的 平方，乘上一个高是谁？ h 等于三点一四去乘五的平方再乘我们原来圆柱的高是多少呢？十二，所以乘十二，最后给它进行计算，就能够得到我们这个圆柱体的体积。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元，用正比例解决问题。首先我们来复习两道题，下面相关联的两个量，成比例吗？成什么比例关系？ 第一题，单价一定，总价和数量。首先想总价和数量它是两个相关联的量，单价一定，思考怎么求单价？对，总价除以数量等于单价， 当单价一定的时候，那也就是总价与数量的比值一定，两个相关联的量比值一定，那我们就判断这两个量成正比例关系，所以总价和数量成正比例关系。第二题， 速度一定，路程和时间路程和时间是两个相关联的量，速度一定，那怎么求速度呢？ 对，路程除以时间等于速度，当速度一定的时候，那也就是路程和时间的比值一定， 两个相关联的量比值一定，那么这样的两个量就成正比例关系，所以路程和时间成正比例关系。判断两个量是不是成正比例关系，我们只需要看这两个相关联的量的比值是否一定。 看来呀，正比例关系在我们生活中应用非常的广泛。孩子们，那今天呢，我们就学习用正比例来解决生活中的实际问题来看。例五，张阿姨家上个月用了八吨水，水费四十元， 李奶奶家上个月用了十吨水，李奶奶家上个月的水费是多少？首先我们把这些信息用表格来整理，特别的清晰来看，张阿姨家用的水量是八吨，水费四十元。 李奶奶家呢，用了水量十吨水费。不知道那孩子们，这道题该怎么解决呢？ 用我们以前的方法能不能解答？请你按下暂停键，在练习本上试一试吧！一起来分析。张阿姨家用了八吨水，水费四十元，那么四十元除以八吨，能不能求出一吨水的水费，也就是水的单价， 那李奶奶家水的单价是不变的。李奶奶家用的十吨水，单价乘十，是不是李奶奶家的水费，所以四十除以八等于五元，这求的是水的单价。 李奶奶家用的十吨，一吨五元，那十吨呢？对，就是十个五元，这就是李奶奶家用的水费 五十元。在这个题里边，水的单价不变，所以我们先求出水的单价，再根据水的单价求出李奶奶家用的水费。那除了这种方法，还有别的方法吗？孩子们思考一下，能不能用比例来解答呢？大家思考这样的几个问题， 题目中哪两种量是相关联的量，哪种量是不变的量？第二，他们成什么比例关系？ 根据比例关系列出比例。四、试着结比例好了，孩子们用比例来试一试吧！来一起分析一下，题目中哪两种量是相关联的量呢？ 对，一个是水量，一个是水费，两种相关联的量，哪种量是不变的量？水费除以水量，求的是水的单价，那也就是 单价是不变的量。我们知道水费除以水量等于水的单价，那么水的单价是一定的，所以水费和水量成什么关系？对，正比例关系。 那么我们能不能以单价为等量列出比例呢？根据信息，我们知道，张阿姨家的水分除以张阿姨家的水量，就是张阿姨家水的单价。李奶奶家的水分除以李奶奶家的水量，是不是也等于单价？ 那好，以单价为等量，可以列出比例。可是李奶奶家的水费不知道怎么办呢？对，我们可以解 设，李奶奶家上个月的水费是 x 元，所以我们就可以列出比例，四十比八等于 x 比十。接下来我们解比例。 怎么样结比例呢？对，根据比例的基本性质，两内向的积等于两外向的积，所以八 x 等于十乘四十， 两边同时除以八， x 等于十乘四十除以八。为什么我要写成这种分数的形式，孩子们这样便于约分，所以通过约分 x 等于五十，以单价为等量，列出了比例。 除了这种方法，还有别的方法吗？水的单价不变，那李奶奶家用的水量是张阿姨家的几倍，李奶奶家的水费就是张阿姨家的几倍， 所以我们还可以列出这样的比例，十比八等于 x 比四十， 水量的比就等于水费的比。因为单价不变，仍然根据比例的基本性质进行结比例，那八 x 就 等于十乘四十， x 等于十乘四十除以八， 约分 x 等于五十。看来呀，在四个量中，只要告诉其中的三个量，我们就可以用解比例的方法求出另一个量。我们的解答是否正确呢？接下来要进行检验。先看张阿姨家 水分除以水量是不是水的单价，水的单价就是五元。那再看李奶奶家水分五十除以水量十，水的单价也是五元。 单价相等，证明列比例解答是正确的。最后写出答案。答，李奶奶家上个月的水费是五十元。好了，孩子们，我们用以前所学的算术法和现在比例方法都解决了这个问题， 那这两种方法他们有什么不同或者相同点呢？那我们先看第一种方法，算术法，算术法是必须求出这个不变量的具体值是多少才能解决， 再看我们的比例解决方法，以单价为等量，根据数量关系式表示出不变的量 都可以。看来呀，用比例解答，虽然写个解设有点麻烦，但是只要找到左右相对应的量，那么这样的比例 都是正确的。掌握了用比例解决问题的方法来看一道便是练习，王大爷家上个月的水费是六十元，他家上个月用了多少吨水？我们仍然整理信息，王大爷家的水费六十元，他家用的水的吨数。 不知道你能用比例的方法来解决这个问题吗？快在练习本上试一试。我相信呐，这道题一定难不住大家。我们解社，王大爷家上个月用了 x 吨水，根据单价不变，四十除以八表示张阿姨家水的单价， 六十除以 x 表示王大爷家的水的单价，单价为等量，列出比例，然后解比例，求出 x 等于十二。答，王大爷家上个月用了十二吨水。 好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们学习了用正比例的知识解决问题步骤是怎么样的？来一起总结。第一步，首先根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例关系， 接着找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。第三解，比例。最后别忘了检验，写出答案。孩子们，今天这节课你学的怎么样呢？

三十秒吃透圆柱横切纵切的问题来看这道题，纵切一刀分两块，增加两个长方形面积。 纵切两刀分四块，增加八个小长方形面积。小正方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的半径，且他们的面积相等。已知纵切增加的表面积是四十八平方厘米，得到这个等式。 再来看横切，横切两刀分三块，增加四的圆形面积。已知横切增加的表面积是五十点二四平方厘米，得到这个等式。 半径等于两厘米，高等于三厘米。烧成最大的圆锥则就是与圆柱是等底等高的。根据公式，得到减少的体积则是圆柱的三分之二，等于二十五点一二平方厘米。

同学们好，今天我们一起来学习六下数学常考应用专题，运用添补法求斜切圆柱体的体积。首先我们来看这道题， 一个底面周长为十八点八四厘米的圆柱，斜着截去一部分，剩余部分如图，求剩余的部分的体积是多少呢？我们看图， 首先他这个题目中告诉我们的是底圆周长是十八点八四厘米，那么他原来是一个圆柱， 斜切后他就不是一个圆柱了，所以我们要想求他的体积怎么办呢？我们运用添补法 把原来的圆柱给他还原回去，我们现在又不知道他的原来圆柱的高有多高，那那么我们就添上一个跟这一个完全一样的立体图形，放在这上面就形成了一个完整的 圆住了，那么我们把上面啊就把这个图给添上去，那么这一边的我们这个边的是啊，就等于这一边添上去等于这边 等于五厘米，然后这边的添上去是等于四厘米，我们把补回来， 那么这边是五厘米，这边是四厘米。假如上面签了一个跟底下这一模一样的立体图形，所以这一部分是五厘米，这一部分是四厘米 完全一样的结面，这两个拼在一起，那么就形成一个整的圆柱体， 我要求剩余部分的体积，也就是这个斜切后的体积，那么我们求出来，只要求整个的整圆柱除以二就可以了，所以要得到这一部分的体积，首先我们要求出整个整圆柱的体积， 那么我们可以啊知道整圆柱的体积 v 是 等于啊 s h 就是 底面积乘以高，底面周长是十八点八四厘米， 那么可以求出底面半径，那么半径可以求出来二就是等于十八点八四除以二，除以三点一四就等于三厘米， 我们根据公式可以求出半径了，那么半径求出来，我们底面积，底圆面积就可以求出来了啊，而是等于派二平方，也就是三点一四乘以三的平方，二十八点二六平方厘米， 那么底面积求出来了，我们可以求出啊，他的原来我们这样子给他添上去。整圆柱的高可以求出 h 就 等于四加五等于九 厘米，那么圆柱的体积等于 s h 也是二十八点二六乘以九等于二百五十四点三四立方厘米， 然后剩余部分是这个整圆珠的一半，就二百五十四点三四除以二，就等于一百二十七点一四立方厘米。 我们总结一下，像这样的题目，虽然给我们的是不规则的立体图形，那么我们要求他的这个体积，就可以用还原的方法， 然后把上面补出一个完全相同的立体图形，拼成一个整圆柱，整圆柱的体积求出来了，直接除以二就可以了，加这样的题目你学会了吗？

百分之百会考，百分之百会错的题，那么错误点在哪里？就是不进行单位换算。来给大家讲解圆柱和圆锥最难的一个知识点，也是非常重要的一个知识点，叫做切割问题。 切割问题呢是我们期中考试啊，期末考试，小升初百分之百会考，但是呢，百分之百会做错的一道题。我们以小学学霸冲 a 卷上的一道填空题为例，我们来看说把一根长一点二米的圆柱形，刚才呢截成了三段以后， 表面积比原来的表面积呢增加了三点六平方分米。那么我的问题是，这根圆柱钢材原来的体积是多少立方分米啊？首先你在说什么？说一个圆柱形的钢材，贾老师就给你出示一个圆柱形的钢材， 他告诉我这一根刚才的长呢是一点二米。由于呢，我的这个圆柱体呢是横着放着的，所以我的这个圆柱体他就会有一个长，长是多少呢？长是一点二米。 解这道题之前呢，首先我们要找到解这道题的关键句，那解这道题的关键句在哪里呢？有两个关键句，第一个关键句是什么？将这个圆柱体给他分成了几段？分成了三段。 二个关键句是我把这个圆柱体给它分成三段之后，我的表面积比原来增加了三点六平方分米。那贾老师的问题来了，第一个问题，我把这个圆柱体给它切成三段以后，我的表面积增加了几个面。 第二个问题，这几个面的面积有什么关系？第三个问题就是这几个面的面积之合，最后就等于三点六，那么我能不能求出一个面的面积之合，最后就等于三点六，那么贾老师给你们出示一个动画， 通过观察动画，你就可以清晰明了地明白第二句解析的关键句它说的是什么意思。来， 好，同学们，动画贾老师就演示到这个地方，接下来贾老师带着同学们，我们来一起来分析一下啊。当我们将一个圆柱体给他分为一段、两段、三段分为三段的时候，我们呢总共切了一刀， 两刀，总共切了两刀，对吧？我们切完第一刀之后，我们发现增加出来了几个表面积，两个，哪两个就是天蓝色的这两个， 这两个面跟我们的原来圆柱的这个底面有什么关系呢？这个增加出来的表面积跟我们原来的这个底面是不是完全相等？一刀下去，切割出来的这两个面也完全相等。 好，接下来我们又在这切了一刀，那切完之后呢，这两个切面也是完全相等的，那这一个切面和我们的这一个底面什么关系呢？也是完全相等的，因此呢，我们就能够得到我们切割出来的这个切面。 一刀下去，我们增加的这两个表面呢，说白了就是增加了我们原来圆柱的两个底面。 这一刀下去呢，增加的这两个表面呢，也是我们原来圆柱的底面。因此呢，我们切一刀呢，就增加了两个底面 啊，那我们的底面的面积应该怎么算呢？应该用 pi r 的 平方，我们增加了两个，那平方再给他乘个二，就代表增加了两个的表面积。 好，接下来如果我们切两刀呢，就说明增加了几个，增加了四个我们的底面积，那一个底面积是 pi r 的 平方，那四个呢？那就成色，那就四 pi r 的 平方。 现在我们知道这个知识点了之后，我们返回到原体里面，那通过观察我们的动画呢，我们就能够完全理解我们的表面积比原来圆柱的表面积增加的这三点六平方分米到底是什么？ 我们一刀下去增加了两个底面啊，我们两刀下去增加了四个底面，所以说我们表面积比原来增加的这三点六平方分米，其实说白了就是四个原来的圆柱的什么底面，也就说四个我们的底面的面积 就等于三点六平方分米，那我的第一个问题就可以解决了，一个底面的面积是多少？是不是应该用三点六去除一个四等于多少呢？等于零点九平方分米， 我们是不是就能够算出一个底面的面积了？好了，那我们这一个底面的面积是不是算出来了，对吧？我们最终要求的是这根圆柱的体积，那我们底面积知道了，我们的公式是什么呢？ v 就 等于底面减去成高 底面积，知道了，我们是不是只要找到我们的高是多少，那这道题不就迎刃而解了吗？接下来我们最重要的一步呢，就是找圆柱的高，此时此刻呢，我们的圆柱呢是水平摆放好了，同学们不要眨眼睛， 那现在贾老师由我们的水平摆放给它变成了竖直摆放，那我们水平摆放的时候，它的长等于多少呢？它的长等于一点二米，那我们竖直摆放的时候，它的长就变成了我们的圆柱的高，非常棒， 所以我们圆柱的高就变成了一点二米。在这里很多孩子就非常的激动。贾老师，我会了啊，底面积我们算出来等于零点九高呢，我已经找到了是一点二，所以呢，我算出来等于一点零八立方分米好了，咔，一点零八立方分米往上一写，高兴坏了， 觉得自己从考场上蹦蹦跳跳，就蹦蹦跳跳，就从考场走出来了，非常非常之自信。但是呢，贾老师告诉你，同学们做错了，为什么？因为你没有进行单位换算，所以这道题的出错率最高的点就是在我们的单位换算上。因此呢，这道题我们重新来做， 单位不一样，所以要进行什么单位换算？我们到底把我们的米换成分米呢？还是把分米换成米呢？我们就看他最后求的，他最后求的是立方分米，是不是跟分米有关？所以呢，我们就要将我们的一点二米给它化成十二分米 啊，我们把米化成分米，最后我们就不需要再去换算单位了。所以零点九乘的应该高是多少？十二分米，最后算出来等于十点八立方分米才是我们正确的答案。因此呢，我们最后这个空就填十点八立方分米。同学们，这道题你们学会了没？

今天我们来看一道经典的圆柱切拼长方体问题，这也是六年级下册的难点题型。将圆柱分成若干等份，然后拼成近似的长方。如图，长方的左右两个面，它是正方形，表面积比圆柱多了二百平方厘米。那么这个圆柱的底面半径是多少 厘米？体积又是多少立方厘米呢？看好了，这是一个圆柱体，它切成了无数个小块，然后拼成了长方形。我们知道这个长方的长，也就是我们圆周长的一半，是不是这一部分也就是 pi r， 而我们的宽就是里面的半径 r 高呢？也就是圆柱的高。 h 题目告诉我们，表面积比圆柱要多了二百平方厘米， 我们就要找到这个表面积多的这个二百平方厘米多的是哪部分？对于圆柱来说，上下底面是不也就是我长方体的上下两个面，对吧？而我圆柱是不还有一个侧面，但是它的侧面你会发现这一半，这个一半是不也就是我长方体的前面？ 所以圆柱的上下底面对应着长方体的上下两个面，而圆柱的侧面他分成两部分，对应着长方体的前后面，刚好就对应完了。但是对于我们长方体来说，是不是还有多出来两部分？哪里呢？是不是左右两个面，也就是我们表面积多出来的二百平方厘米？ 题目又告诉你，长方的左右两个面，它是正方形，正方形就意味着我们的什么呢？是不是半径和高它是相等的？既然两个面是正方形，又知道 这两个面合起来是二百平方厘米，那要求一个面是不是就可以求出来，也就是二百除以二就等于一百平方厘米， 那这一百的话是不是也就是高乘 h， 那 么我们要求的是 r， 这 r 乘 h 等于一百平方厘米，所以我们可以推导出 r 也就等于的是十厘米。所以第一问，那么圆柱的底面半径也就是十厘米，那要求体积是不是也简单呢？体积是不也就等于 pi r 的 平方？ h 带入数字， pi 乘上 r， r 是 十也是十的平方，高也是十，算出是不是等于一千 pi， 一 千 pi 也就等于三千一百四十立方厘米，所以体积是三千一百四十立方厘米。 一定要记住，切拼后左右面是新增的。这道题你学会了吗？关注香香老师，每天突破一个易错点！

如果把高十厘米的圆柱按下图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了六十平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？ 好，大家看这个切拼成的长方体，我们观察这个长方体，它的上面和下面，当我还原成原来的圆柱的时候， 它实际相当于圆柱的上底面和下底面。再来看这个长方体，它的前面和后面，当我继续还原的时候， 它是不是相当于这个圆柱的侧面的前半部分和侧面的后半部分？好，那也就是说这个长方体它还有剩下的右面和这边的左面， 是比这个圆柱的表面积要多出来的，所以这里表面积增加了六十平方厘米，实际也就是增加这个长方体的左右面那么一个，他就是六十除以二，等于三十平方厘米。 那我们看一下右面这个长方形，它的这条宽实际相当于这个地方，那它也就是相当于圆柱的半径，对吧？等我还原回去，是不是看到半径 是不是半径？好，所以我们用 r 来表示，那这段长度呢？也就是高， 他应该是等于告诉你了是十厘米。好，那这个长方形的面积，我们要是知道三十，那如果要求出半径， 他就会等于用长方形的面积除以高是十厘米，等于三厘米的半径，那要求圆柱的体积体积是等于 pi r 的 平方，乘高 三点一四乘三的平方，再乘高度是十厘米，得到二百八十二点六立方厘米。

来看个圆柱易错题，题目是让我们求出下方这个图形的体积，这个图形左侧高十二厘米，右侧高为八厘米，里面半径为五厘米。 我们看着他很像圆柱，但并不是一个完整的圆柱，要求他的体积该怎么办呢？首先第一件事情，先复制一个同样的图形出来，图形复制好了，然后把右侧的图形进行一百八十度旋转，旋转以后就是这个样子，接下来把两个图形拼接到一起，形成一个圆柱体，这是拼接到一起以后的图形。把数据标上去 观察这个图形，我们会发现其实他要求的原来的图形就是这个圆柱体积的一半，那我们先把这个表达一下吧，物体的体积就会等于圆柱体积除以二。 把圆柱体积先算出来，圆柱体积就是底面积乘高， 圆柱体积计算出来是一千五百七十立方厘米， 要求的物体的体积就会等于圆柱体积除以二等于一千五百七十，除以二等于七百八十五立方厘米。

哈喽哈喽，各位初三的宝贝，今天我们继续讲因为切割而引起加强变化的这类问题，今天我们讲两两类问题，讲哪两类呢？第一个是斜切，就这一类， 第二类我们讲特殊的这个切割好，也就这两类啊，好，首先我们先说一下这个斜切， 首先这个斜切它这个公式其实就这一个啊， p 等于 f 比上 s， 其实我们知道的压强的公式，它其实有两个， p 等于 ugh， 还有 p 等于 f 比上 s， 它这边 ugh 它为什么不能做呢？因为我这个公式用的这个填泥条件，是吗？它一定是规则的这个柱体， 所以说你看啊，这边我已经切了，被我切了，不规则了，所以说我这个地方一定不可以用好，所以说这还是一样的，就写这个公式不就好了吗？ p 等于 f 比上一个 s 好，其实这种问题它也比较简单，我们就拿下面这个物体来说哈，就是直接说 a 跟 b， 然后你看啊，根据这个 p 等于 f 比上一个 s 吗？对吧？因为这个 f 它减小的比较多，我们就拿 a 来说哈，拿 a， 你 看它 s 减小的比较少，所以说你看它这个 p， 它压强就会比较小，所以 pa 它是小于 pb 的， 他对比原来的来说，他也会小于原来的哈，这边写个学原来的好，同理这个 b 也是一样的哈，好，然后就就着这个原理哈，我们就来可以可以，做做做个题好，我们看看题目中他一般是怎么出的 好，整体来说思路其实还是都是一样的哈。首先我们看这个题，他说的啥哈，他说如图甲所示，然后他说一个质地均匀的这个长方形 这个砖块放在这个水平桌面上，然后把这个砖块切去一部分，然后剩下的如图已所示，他就这么切了一刀，反正大概就这个意思。好。然后他说啊，他说他此时他这样子，如图已所示，摆的时候，他这个是两千帕， 然后当他把它翻过来，翻转倒置之后，然后如图饼所示，然后他现在是三千帕。 好，然后有的同学他做题很快啊，他直接就说，哎，老师这题应该是两千五百吧，然后我就问为啥呀？然后我让他说一说他的思路啊， 然后他就说，哎，老师你看啊，这个题他是因为是同一个物体嘛？他是把他一个是正过来放，然后又把他倒置了一下，翻过来放，所以说把他们之后他可以拼合起来，拼合起来相当于这个规则的这个物体，就他拼合起来大概应该是这样子， 我把这边挪一下，他应该是这样子，然后我说很好啊，你说这个都对啊，然后他说，老师你看，那既然拼合起来他们这个都是一样的，哎，那你看啊，他这个压墙是不是可以，他直接是他这个压墙的这个一半呢？ 好，然后我说不对哈，然后我们看一下为什么不对？好，同学们，你也可以看一下，你看一下，你知道为什么这个同学他错在哪了哈， 好，然后我们来说一下哈，为什么它这个不对哈，首先它前面它这个缩的很好，因为它同一个物体，所以说它一定能拼合，然后这个加强，这个假的加强，因为我们图中让我们求假的加强吗？这假的加强跟以的加强它一定是一样的， 根据 p 的 与肉 g h， 你 看它密度它是一样的， g 它也是一样的， h 它也是一样的。你看它这是规则的柱体吗？所以说它可以直接用，所以说这个假的加强跟我拼合中的这个加强一定都是一样的，这点毫无疑问哈。 好，然后我们来说一下他，其实这个除以二之后他除以的。除以二之后他除以的是什么？相当于是我把体积分为原来这个一半，还有质量分为原来的这个一半，他是这样子的， 但它其实压墙不可以这么用啊。然后压墙为什么不可以这么用啊？然后你看一下，我可以用一下，你看你的关键是什么？二分之 p 一 加上一个 p 二，对吧？这是这是同学的那个原来的啊。然后你看正确的应该怎么操作，它应该怎么样啊？正确的操作它 p 应该是等于什么？我们根据上面这个公式， p 等于 f 比上一个 s 好，然后你看啊，我根据，因为我这两个 f 它都是一样的，所以说它应该是二 f， 然后比上这边是好比说这边是 s 一， 这边是 s 二啊，所以说我们应该是 s 一 加上一个 s 二，它应该是二 f， s 一 加上一个 s 二，它应该是这样子的， 对不对？好，然后你看啊，他这时候你要求什么？你要求这时候你要求这两个是今天是相等，然后我们看他到底是什么情况嘛？然后我把上面这边稍微操作一下哈，然后我们看一下等，为什么？因为这边写的 p 一 跟 p 二，他没有 f 跟 s 的 关系，所以说我们把它这个划一下就相当于什么？就是 f 比上一个 s， 这边其实是 s 二， 下面这边 s 二吗？ s s 二加上 f 比上一个 s 一， 然后比上一个二，然后我们这边可以进行一个通风哈， 然后就是六二分之 s 一 s 二，然后 f 乘上 s 一 加上一个 s 二，好，然后你看我看他什么时候情况下他才能相等呢？对吧？因为你写的是这个吗？那个同学他写的是这个答案吗？但正确答案他应该是这个吗？ 好，你假设一下，看他什么时候情况等于他其实就可以了，好，然后一样的，你把它进行相等，相等的话他 f 跟 f 可以 消掉，然后你看啊，这时候相等的话，这时候他就柿子就变成这样子了，哈，我把它挪到这个旁边啊，挪到这下面 换个颜色，等于 s 一， 加上 s 二分之两倍的 s 一 s 二，它等于这样子的。好，然后一样的。哎，你看我们看不出来什么，然后这时候我们用什么？用交叉相乘，它两倍的 乘上二， s 一 s 二，它应该等于交叉，这边应该是 s 一， 加上 s 二的这个一个平方。好，然后这边相当于什么？四倍的 s 一 s 二，这边是什么？ s 一， 加上 这边，其实你数学功底好的话，其实你把这边挪过来，你这边其实就已经看看出来了，就把挪过来就相当于是减去一个四倍的 s 一 s 二，哎，这同学他就应该很熟了，你看这个地方直接是等于什么？这个地方如果说你不熟，你把它拆下来，拆下来就是这样，像什么 a 平方加上 b 平方，减去一个二 ab， 嗯，应，我相信这个地方做的熟人应该比较熟啊，所以说这边我们就可以写嘛， s 一 这边就等于零啊，因为他把它挪过来了嘛， s 一 减去 s 二的这个平方应该等于零，所以说我们上面这个条件他要加强平分的时候什么条件在哪？当前紧到 s 一 等于 s 二，啥意思？ 就是说我必须是竖直切， s 一 才 s 二才能相等嘛？我必须这样的竖竖切。所以说你只要是斜切，他一辈子都不能用二分之一加 p 二来做，你不可以哈， 你算了，这个什么二分之一相加，你这个地方确实是拼合起来，他拼合起来是真是体积，他进一个分，那体积你，你除了这个二之后是体积，你要么这么你还有除了二，这个地方质量也可以这样子一个平分，其他不可以哈。知道，所以说这地方不对。 好，然后我们继续，我们在剩下的，我们就开始用正确的思路再继续往下写，其实你这边其实已经写了，已经快到胜利了，你看你这边不就是这个股票是吗？ f 二， f 比上 s 一 加 s 二，然后你看你还知道什么？你还知道 f 比上一个 s 二等于一个两千， 你还知道啥？ f 比上一个 s 一 等于这边还有个三千， 哎，然后你看啊，这个式子中他为什么这个地方我们就好比说有的同学他做不了呢？是因为这个地方有 s 一 s 二，你消不掉，然后你把这边的转一下不就可以了吗？这地方 s 一 他就应该是等于个 f 比上一个三千， 哎，同理， s 二它就应该等于个 f 比上一个两千，所以说我们这边就可以把它带进去。二， f 比上一个 f 比上一个三千，加上 f 比上一个两千。好，我们把下面擦掉哈，我们算一下它到底等于多少？ 好， f 跟 f 可以 消掉哈，然后这边就相当于是二分之，下面这边是通分，通分就是六千分之， 这边是创建同城的二，这边创建同城的那个三，所以就五，所以说乘上一个五分之六千。 好，这边就五分之六千啊，这边就是这边就是一千二，一千二乘上一个二，所以就是个两千四，所以 b 选项正确。好，所以说你看这种题的话，我们直接做。怎么做？那直接是用这个公式来做吗？然后利用已知条件往里面带那题目中这两个已知条件，然后往里面带，其实就可以了。 好，这是最经典的这个方法，就是通用方法。 如果说你知道压墙之笔，就是我们再讲，再讲一下，再讲两个方法，如果说你知道这个地方的压墙之笔等于面积的这个反比，那你做这种题，你做了就会更快一点点了。好，我们来做一下。为啥哈？我们做一下怎么做哈， 好，首先我们先进行一个证明吧。啊，压缩之笔等于这个面积的这个反比。好，要呢？ p 等于 f 比上一个 s， 因为它们上下面积是不一样的，所以说你看啊，这两个就好比说，如果说我就拿这个图中的这个来做比较啊，来做 好一个是屁乙，还一个是屁丙嘛，这地方是 f 乙好，这边 f 它都一样，所以说 f 我 们不写了啊。好，屁丙它应该等于 f 比上一个 s 丙，好，然后你看啊，屁丙它们比上它，它应该等于什么？ 它就应该等于这两个数进行相乘，这两个数进行相乘，然后 f 跟 f 可以 消掉，所以说它一定是等于 s 饼比上一个 s e， 所以 说你看啊， p p e 比上一个屁饼不等于它这个面积之间的这个反比吗？ 所以说你看啊，这边压强之笔，他应该是二比三，因为两千比上一个三千吗？那说明他们之间面积之比也是一个就是三比二呗，那说明这边是一个三 s， 这边就是一个二 s， 好， 然后你看这再做我们就好做了，还是一样的，我们把它拼合成当，当做一个整体来做的话，他这边就是应该是一个呃， 两倍的 f， 他 这边不是把它拼合吗？两倍的 f， 然后比上一个就说应该什么比上一个五 s 好，然后你看啊，这时候 f 比 s 我 还是不知道是多少，但是你看我能知道什么？我能知道 f 比上一个三 s， 它是等于个两千，所以说这个 f 比上 s， 它不就等于个六千吗？所以说这边相当于就是五分之二乘上一个六千， 这边还是一千二，一千二乘上一个等于两千四，答案也是一样的，这就是方法二。好，一样的，我们还有方法三， 法三怎么样呢？稍微切割一下，你看啊，这边我们刚刚通过刚刚这边已经知道了它面积之比是它们这么多，然后你看我稍微切一下，相当于什么？这个地方面积是二 s， 这个地方是三 s， 哎，说明什么？说明这个地方是 s， 哎，我还可以这样切， 我把这边稍微擦一下，你看这边你就应该会好切了哈，你看这边什么，说明这边是 s 哎，这边也是 s， 这边也是 s， 这边也是 s， 所以 说才会有上面的面积跟下面面积之比。是二 s 比上一个三 s 嘛， 哎，然后你看啊，我这时候想求这个地方的压墙，我可以怎么求啊？我求这一个地方这个压墙其实就可以了呀，我这个地方的压墙我可以再稍微切一下，为什么要再切一下？因为旁边这个三角形这个重量我不好表示。 你看我如果说我直接求这个地方的这个压墙，我应该怎么求啊？你看我求这个地方的这个压墙，我框起来这个地方压墙，他应该跟这个压墙应该是相等的，所以这个地方呢？ p， 他 应该是等于二 g， 我 设这里面一个小木块，他这样等于 g 哈，二 g 比上一个 s， 然后你看我还知道什么？我还知道这个两千的，他应该是能表示他两千，他其实这边是分割了五分嘛，所以说他应该是五 g 比上一个三 s， 哎，你看这时候我只要一个，这只要这一个图，甚至我就能都能得出来了，你看这个地方是吗？这个地方记忆比上一个 s， 当然其实也不能说一个图啊，因为它其实这两个是因为比较过来的哦，只能说方法不一样哈。然后你看这边记忆比上一个 s， 说明这边就应该是 这边，嗯，就写一下，这边就是 g 比上一个 s， 就 相当于是乘上一个五分之三，所以这边就是一个四，所以说这边就是一个一千二，所以说这边就是一个二，乘上一个一千二， 你看还是两减四，所以说还是选 b 好， 就这两种，也不是这两种方法。这三种方法怎么说呢，其实方法多元多样哈，还可以有更多的方法，我们不过多列举了哈，还是一样的。这里面主要就想讲究一个东西啊，就是这同样的方法，就是 p 等于 f 比上 s 套着做，顺着往下写 好。好，然后我们再讲一个特殊的这个切割方法啊，好，嗯，毕竟他把它化为这一类嘛，他叫特殊。所以说我们就直接看啊，就看他怎么特殊法哈，好，一样的，我们看这个题他是怎么样的，他说两个相同的这个容器，容器相同。 好，然后他说质量不同，质量相同，质量相同的这个不同液体哈，然后你看，从这个图中我们就看出来这个这个 a 的 这个体积大，哎，这明显不就是那个死状跟虚胖的这种例子吗？哎，明显 a， 它是那种， a 是 什么？ a 是 虚胖的呀，那 b 的 密度它肯定是大的呀， rob 它一定是大于 roa 的， 所以这个一定能知道哈，所以说你看他想求这两个底部的这个压墙，液体压墙，老师说过了，液体压墙用什么 p 的 与 rogh 好，然后你看我这边我也知道了呀，而且这个地方是 a 的， 压墙是小的，你看，如果说我想求 pa 啊，这个地方 a， 然后再乘上一个 h， a 的 压墙，小 a， a 的 压墙还 a 的 高度，它还高。我的天，老师，这题他怎么做？哎，你看他又一个小一个大，他算出来他到底怎么样，难道是相等吗？ 不确定是不是，所以说这地方还是一样的，就跟之前的题一样，哎，你看这种方法做不了的时候，是不是我们可以用特殊的方法来做呢？然后你看我这双名字取的标题叫什么叫特殊切割，所以这种方法比较特殊哈，学会就讲过就要记住哈。然后你看我们除了用这个公式，我还可以用什么？ p 等于 f 比上一个 s， 哎，你看他们之间底面积也是一样的，就说我们就看上面的这个 f， 哎，然后有的同学就说，哎，老师他们这上面 f 不是 一样吗？对吧？他们都是相同的质量，然后这个地方是压他，哎，但是你有没有记得我跟你说压力跟重力他不是一回事啊？所以说这边我们可以进一个切割，我们这是怎么切割呢？你看我把这个地方先切一下，把这个地方切掉， 把这个地方也切掉，把这个地方也切掉，把这地方切掉，哎，剩下了这个部分，那好比说我们用来在这个地方才是，这个地方才是我们这个地方的压力大小吗？这个地方才是我们这个压力大小。 好，所以说你看我们应该怎么把这个切？然后你知道因为它揉臂的这个密度，它是揉臂的这个密度它大，所以说你看因为它这个瓶子相同，所以说它切去的这个质量它就会比较大，所以说这个 b f b 他 这边就会。如果说我们写 b 哈 f b， 他 这边 b 的 这个重力他就会比较小，或者说 b 的 这个压力他就比较小， b 的 压力比较小的时候，这个 s 他 是固定的，说明什么？说明 p b 他 压强就比较小，所以说这边我们可以直接就得出来 pa 大 于 p b， 这边就这样子哈，就是举的例子比较少，就举了这一个哈。那怎么说呢？其实就想说一个点啊，就是当我们这一个公式的时候，就比如说这个法医，哎，走不通的时候，那我只能怎么？我只能走另一条路，就是人不能不能死哈，就是脑子不能死， 也不能说叫不能死啊，就是现在出的题目他其实就是越来越活，所以说我们有时候这个思路走不通的时候，我们就走另外一个思路， 知道吗？好，当然了，有时候做事也是这样子的哈，就是生活也是这样子的，就是不要陷入那种死胡同，不要钻牛角尖。好，然后今天我们的这种叫什么斜切，还有特殊切割，然后就讲到这里，然后我们下一个我们再讲叠放问题哈，就讲这个问题， 叠放问题切了之后，然后他再互相身上，互相身上叠放。我的天，感觉好无聊的问题哈，但是他比较有难度哈。

在圆柱上斜着切一刀，得到的结面是椭圆，把两个相同的斜圆柱拼在一起，组成完整的圆柱。方法二，在多处的部分三厘米中间水平切一刀旋转补齐斜圆柱高等于十四点五，也能求出结果。

非常典型的切割问题，我们一起来学习。一根圆柱形木块平均切成了三块，好，这是第一个，如图一，他是怎么切的？横着切的对不对？横着切，他切的结面积是一个什么？圆的形状， 那么平均切成四块的时间表面积增加了一百九十二平方厘米，这是平均切成四块的情况下，他是竖着切的，切成的横截面是什么？是一个长方形，所以让我们来分析这根圆柱形木块的体积是多少立方厘米。 我要想求它的体积 v 就 等于什么 s h， 我 要知道 s 的 情况下，就要知道 pi r 的 平方，就要知道它的半径是多少，还要求出它的高是多少。 那我怎么来求半径或者怎么来求高呢？我们根据题目中给我们的条件来求，那第一个它结成三块横切的情况下，五十点二四是新增加的面积，增加了几个面的面积。我们来看 他是一刀，你看中间是分割开来的，这是切了一刀，一刀多了几面，一刀多两面，这里面结成了三块，相当于切了两刀，两刀多四面，所以记清楚了啊，两刀多四面。 好了，这里面多了四个面，多的面积是五十点二四，所以我就可以求出一个横截面的面积， s 就 等于五十点二四，除以四等于十二点五六，单位是平方厘米。 好了，我知道原作的底面积已经求出来了。再来看第二个图，说把它分成四块的时间表面积增加了一百九十二，他是怎么截的？竖切，竖切他中间增加的部分是不是这个长方形？长方形的长就相当于是什么？ 就相当于是他的高矮去了，对不对？他的宽就相当于底面直径，看出来了吗？底面直径，所以也是一刀多，两面他是分成了四块，相当于切了两刀，所以他多的是几面。 四面，那同样的增加了一百九十二，那我都可以求出一个长方形的面积了，所以一个长方形的面积就等于一百九十二除以四。四十八平方厘米。 长方形的面积是四十八，那我要求出它的高，好像还不好求，因为它没有直径的长，对不对？那我第一步还可以再求出直径，求直径，我知道它的面积，我就可以求它的半径。半径的平方等于 s， 除以 pi， 所以它就等于十二点五六，再除以三点一四等于四了，那半径的平方等于四，那很显然的，半径就等于二呀。半径等于二，那直径就等于二。乘以二等于四了。 直径就等于四，直径知道了，那么他的长也就相当于圆柱的高，是不也知道了，所以高就等于这个长方形的面积，除以他的直径有四十八，除以四就等于十二，单位是厘米 好了，高是十二，它的底面积是十二点五六，所以我就可以求它的体积了。 v 就 等于十二点五六乘十二，那结果就等于一百五十点七二，单位是立方厘米。 所以你看，像这样的体型，我们一定要分析到位。切割问题是一刀多两面，这样也是一刀多两面，那么两刀就多四面，吃到它之后，我们再利用公式来求解就可以了。所以切割问题你学会了吗？

同学们好，今天我给大家讲解一道圆柱切圆柱，一种与众不同的切法，咱们正常把圆柱一刀两断的时候，有横向切，有纵向切，那么今天这个题就是斜着切，那斜着切的时候怎么办呢？大家做题怎么简单啊？现在看我现在画的这个图，如果说这样的圆柱它长成这样子， 让你求，呃，他的体积，大家不要把上面这块给他补全了，补全了求太费劲了。那怎么办呢？就是你把两个圆柱给他，呃，合二为一， 就是他不切掉一半吗？他有一个完整的都给他补全了，我把这个大圆柱的体积求出来除以二，不就是这个让我求的这个，呃，这个校服纪念的这个，呃， 校庆，纪念的校庆啊，这是校庆纪念求的这个体积吗？哎，大家这样一补，他就规整了，你要是从这个小位置这块入手来做这个题，他就比较麻烦了。所以说右边这种方法咱们不可取。那你看我这样补全之后，这个圆柱的高，他的圆柱的高就很明显了，是十二加八等于二十厘米， 然后底面直径是六的话呢，半径当然就是三了。然后求这个整体圆柱的体，就是三点一四乘以二分之六的平方，这是底面积乘以高， 呃，十二加上八，这是整体大圆柱的体，咱们除以二就是一个小圆柱的体积，就是特别特别简单，就是这样，这样体型的特点就叫合二为一，做起来简单易懂。

对于切割问题呢，是我们六年级下册关于图形部分的重难点题型，我们来看这道有关于圆锥的切割，一个底面半径是十二厘米的圆锥形的木块，把它分成两个形状大小完全相同的木块后，表面积比原来增加了一百二十平方厘米， 那么问的也是这个圆锥形木块的体积，那我们想要去求圆锥形木块的体积，根据我们圆锥的公式， v 应该等于三分之一的 s， 也就是说我们需要求出这个圆锥的底面积和圆锥的高，那现在呢，我们已知了圆锥的半径，底面积是可以求解的，那最重要的呢，就是去求出我们的高，那高怎么样来求就和我们的切割是相关的。我们来可以看左边这个图形，想要把它分成两个形状大小完全相同的木块，则需要沿着底面直径和高切开， 此时呢，我们可以看到它的切面应该为两个完全相同的高切开，此时呢，我们可以看到它的切面的底实际上就是圆锥的直径， 而三角形的高就是圆锥的高。因此呢，我们增加的这一百二十平方厘米，实际代表的就是两个三角形的面的面积。 那我们可以先求出一个三角形的面积，那就是一百二十除以二等于六十平方厘米为一个三角形的面积。而此时呢，我们已经知道了这个三角形的底为圆锥的直径，那就是十二乘二等于二十四厘米， 已知底，也已知这个三角形的面积，我们现在想要去求它的高，对于三角形来说，三角形的高就应该等于反推公式，面积乘二除以底，所以求出来圆锥的高应该为五厘米。 已知圆锥的高，接下来我们就可以代入到公式里面去求解圆锥的体积，那么圆锥的体积就应该等于十二的平方，乘三点一四，底，面积乘高，高为五，再乘三分之一，那么最终的结果应该为七百五十三点六立方厘米。