五四制八年级数学下几何压轴题

动点问题是这几年期末考试题最重要的考试类型题之一，这个题是二十四年编谈期末考试填空题加主体 告诉你三角形的面积是六，以及它是个直角三角形斜边是五得和 e 分 别是 b， c 和 a， b 上的动点，这两个点是动点，现在让你求的是 a， d 加 d， e 的 最小值。 我们在本学期第二章轴对称内部分学过将军一马问题是求两条线段的和最小问题，我们一起来回顾一下。 是给一条直线 l， 这里有一个定点 a， 这里有一个定点 b， 那 么在 l 上有一点 p， 使得 ap 加上 bp 最短。那么这种将军一马的问题，它是属于两定移动问题。 而题目中给的这个题，现在是有两个动点和一个定点，那么它是属于两动一定问题，和将军一马问题是有区别的。 但是在这里同学们要明白，不管是哪种类型题，只要是求和最短问题，那么都是要把两条线段变成首尾相连的两条线段，同时你要保证他们能够在移动过程中最终达到共线的效果。 而现有的状态 a 的 e 这三个点，它无论如何移动都不可能共线。因此这个题我们要把 a 点往下对称， 对称到 a 撇的位置，然后我们再连接 a 的， 这样子我们就能知道 a 的 它是等于 a 撇的的，所以 a 的 加上得 e 就 可以转化为 a 撇得加上得 e， 那 么这两条线段或者说这三个点是可以共线的。 所以我们再次连接 a 撇 e， 也就是当的点在这个地方一点，在这个地方的时候，也就是我们所常说的共线最短， 当然在这里并没有结束，因为一点和的点都是动点，所以他们即使共线也是有无数种可能，比如说一点在这里，在这里，在这里都是可以的。 所以第一个知识点考的是共线最短，那么第二个知识点考的是垂线段最短。也就是说当 a 撇得 e 这三个点所构成的线段 a 撇 e， 它垂直于 ab 的 时候， 那么此时 a 撇 e 才是最短的，也就是 a 得加得 e 最短。题目中让你求的是两条线段的和的最小值，所以我们要把 a 撇 e 这条线段给求出来。该怎么去求这条线段呢？ 首先你要理解它是一条高，其次它给了你面积，所以我们首先应该想到的就是等面积法，通过面积来去求高， 而 a 撇 e 这条高，它所占的三角形应该是三角形 a、 b、 a 撇这个三角形，所以我们再次把 a 撇 b 给连起来，那么在这个三角形中，我们就可以用 ab 做底， a 撇 e 给求出来。 我们已知三角形 a、 b、 c 的 面积是六，所以三角形 a 撇 b、 c 的 面积也是六，所以这个大三角形 a、 b、 a 撇的面积是十二，而它又告诉你 a、 b 是 五， 所以那也就是二分之一乘以五，再乘以 a 撇 e 等于六乘以二， a 撇 e 就 求出来了。好，下课。

大家好啊，我们继续讲这一单元的最后一个问题，就是一二三的应用问题。那其实说到应用问题呢，它，嗯 嗯，也没有特别的这种，这种就是题型。那我们书上讲的题型呢，就四种，那两种题型呢？它是没有这种就是，呃， 还跟我们前面学东西是一样的啊，两种题型就是理论上来讲，你不学也会。然后呢有两种题型呢，是比较重要的哈，是我们经常要考的。嗯，那比较重要的两种题型呢？就是这个平均增长率问题啊。嗯，这个呢比较简单。 嗯，一开始如果说这样你做的可能不会，但是学了呢就变得非常简单。另外一个是销量问题啊，这个销量问题， 我这个销量问题，他有那么一点难。你学了之后有些东西还是不太明白，那我讲的时候尽量慢一点，然后你你不明白的话就会多听几遍啊，多思考啊。数学这个东西你要想学会还是得多琢磨啊。 那第一个问题呢，就比较常规了，我们没学这个一二方程，这个这个什么东西我们也会啊，是我们八点一的这个第一题啊，我们说啊，它的长呢是九十厘米，宽是四十厘米的一幅画，四周呢要镶镶上这个等宽的金边， 要求镶完之后，那镶完这个金边，镶上金边之后就挡住了一部分画嘛，那我要求镶完金边之后呢，这个画的面积呢？占到原来面积的百分之七十二。问呢这个金边的宽度是多少？那这个题呢，非常的明确啊， 它就是一个这样的一幅画啊，这样的一幅画的不等宽。 嗯，画上啊，这是这边啊，镶一层金边，让这个画更加好看嘛。镶完之后呢，我们要求这中间这空位部分是最外边这部分的百分之七十二啊。问这个，呃，金边的宽度是多少？那这个呢？我们非常明确，那它的长呢？是九十， 嗯，宽呢是四十啊，长的是九十，宽是四十，嗯，那呢？嗯，它镶完之后的那个长呢？那很明显就是 啊，里边这个空白部分的长呢，就是九十减去二 x 啊。一定注意啊，它两边都都都有等宽的 x 啊，这个不要列错，不要列成九十减 x。 然后呢它镶完之后的宽呢，就变成四十减二 x 啊，这是他下完之后的面积啊，他呢是原来面积的百分之七十二，那原来面积呢？就是九十再乘以四十乘以百分之七十二啊，这个非常的简单。 那只不过呢，他我们把他这个移过来之后呢，他变成了一个一元二次方程，那么整理之后呢，就是我们正常的一元二次方程啊。在这里呢，我就不给大家整理了哈，我们应用题嘛，啊，这个列出来呢，大家自己做一下啊。嗯， 第二个问题呢是平均增长率的问题。这个平均增长率的问题呢？就是啊，看起来你第一次接触他好像有点难，但是呢一学就会啊，一学就会。 呃，可能有的同学这个不太好的，他，呃思维还有点问题，他觉得有点难啊，但是这个呢他并不难。嗯，这个呢，他不难之处在于什么东西啊？你就算是没有学会 啊，你记也能把这个方法记住啊。所以说这个题是没有记住含量的啊。平均增长率或者平均减少率的问题，那我们利益啊，我们七十五的利益，那他说那个新能源汽车啊，目前有三百二十五辆 啊，为了大力推广新能源呢，两年后呢要达到六百三十七辆。问假设呢，这两年平均增长率是多少？那其实我们可以画一个表啊，第一年的时候啊，它是三百二十五辆， 那第二年都不知道啊，第三年呢，变成了六百三十七辆啊，我们认为这个平均增量率相等，那如果说，如果说平均增量是百分之十的话啊，百分之十的话， 那其实呢，第二年的数量是啊，三百二十五乘以百分之十，再加上三百二十五啊，这原来的这是增加的啊，增加了百分这么多，那实际上呢，就是我们三百二十五提出来就三百二十五乘以块离一加上百分之十， 其实是这个样子的啊，那我们第三年增长率肯定是在第一年的基础上增加，那不能再以三百二十五基增加了啊，我们是以这个啊，第二年增加完之后的增加， 那其实我们知道了，他第一年的时候，如果三百二十五，他增加了百分之十的话，是乘以一加百分之十，那如果说在他的计算再增加百分之十，那你再给他乘个一加百分之十不就完了吗？啊？所以呢，我们最后列出来是三百二十五乘以一加百分之十 的平啊，不是不是，不是，不是一百分之十啊，那我们设平增量率是 x 啊，设平增量率是 x， 那 百分之十的时候是一加百分之十，那 x 不 一加一加 x 吗？那其实我们列的方程是三百二十五乘一块里 一加上 x 啊，这 x 代代表百分之十，因为增长两遍嘛，那所以说是一加 x， 它又乘一加 x， 就 等于六百三十七啊， 那这个方程解解的时候呢，你不要把它乘开，把它乘开就很麻烦了，因为这本身已经有一个平方了，那我们可以直接怎么着？直接可以一加上 x 的 平方就等于 六百三十七二，三百二十五啊，除数，除一下看这个是多少？这个大概率呢？是一个万平方数啊，万平方数啊，可以开出来，开出来呢，最后呢有一个正的，一个负的，那我们只要那个正的，不要那个负的 啊，也不能超过一的，也不行啊，超过一的，因为增长率呢，超过一呢，就就就太那个什么了啊。嗯，超过一好像也行啊，他只要这个合理就行啊，只要合理就行啊，超过一啊，我们只要正的，不要负的啊，根据情况要舍掉一个根。 那第二种情况就是平均下降率，那是一样的啊，比如说啊，我们有一个工工厂，他的每个月的生产成本是四百万啊，因为改进了这个技术啊，成本呢，每月下降啊， 一月份的时候呢是四百万，三月份呢就变成三百六十一万了啊。设这个平均下降率是相同的，那问我们这个平均下降率的时候，一加 x， 那 平均下降率就变成一减 x， 这个也非常简单，我们设平均下降率是 x， 那 本来是四百万， 那下降了百分之 x， 那 第二个月的肯定是一加一减去 x， 一减 x， 那 这第一个月，那再下降一个月呢，就变成一减 x 平方了，那它就等于啊，三百六十一元啊，这种如果说上升就是加，就是一加 x 啊，下降了就是减，就是一减 x 这种平均增长率或平均降低率的。这个问题啊，这个啊，是比较简单的啊。这个是比较简单的。 嗯，就算是不会呢？就算是理解不了，理解不了说明前面这个增长率学的太差啊。我如果说即使不会，你这个比着葫芦画瓢，他也是能画出来的啊。这前面两个问题啊，问题不大啊。 第三个问题呢？稍微有点麻烦啊，我们下次再讲。

他说 a o b 是 三十度，并且又说它角平分线，所以三十度我被分成了十五度。那这个时候其实遇见十五度，你就要想我十五度的两倍就等于多少 三十吧，对吧？啊？他说呢， p 的 垂直于 o b 点， p 是 角平分线上的一点，所以我也想做一个什么呀？ pm 垂直于 o a， 对 吗？好，那做完垂直之后，你看啊，只不过你找这个点非常好，你一连， 但这个点怎么来找呢？啊？那我刚才应该是说错了，是找斜边上中点，我们找什么呀？来，我们找这个 p n， p n 平行于 o 的 来，平行的话，我这个角跟这个角是相等的，所以它就等于一个三十度，对不对？ 这个是四，三十度所对的直角边等于斜边的一半，所以它就是八。啊，那之后呢？再怎么找呀？ 让我们求的是 o 的 长，对吗？好，那我们来看哈，这个是八，这个是几啊？这个也是八， 对吧？啊？因为这里是三十度，这里是十五度，这是两个十五度，对不对？那好，那我的 o 的 应该等于几？你看看，这里是八，这里是四。首先这一条边是几啊？ 那不就是六十四减去一个十六吗？对吗？啊？

上个视频我们看完了初一的内容，接下来我们看初二，如果说初一是用来适应整个初中数学学习习惯的培养的话，那么初二将会开始有同学要掉队了，主要是因为我们开始接触初中三大图形中的三角形了。 初二一开始，我们先学习三角形的基础知识，然后开始接触初中的第一个坎，证明平行， 也就是到了初中之后，我们第一次系统的接触证明题。在这过程中我们需要真正运用我们的数学逻辑去推演和证明我们的数学结论，去判定位置关系。 接下来的勾股定律轴对称，这个算小菜，因为初二下学期我们将端上一道大菜，就是选等三角形， 学习全等三角形当中的性质与判定。判定的逻辑是什么？对待所有的图形当中，我们能否找到两个图形大小形状一致的方式，并且要运用书中 当中明确的定力和判定性质，这才是我们学习全等三角形的核心。第一阶段是你能否看出两个三角形的三角形，第三阶段你能否 创造出两个全等三角形作为桥梁去进进一步进行我们的推演和证明，这就是我们三个不同的阶段。所以说平面几何当中，全等三角形是灵魂，那么这部分内容我们可以打上三颗星， 因为它这部分知识是可以一直延续到高中，也可以到高中的一些数学竞赛里面。

大家好，我们继续学习这个音式分解法，那音式分解法呢？它比较简单，嗯，也是我们 用的最经常的一个方法啊，我们基本上正常我们做的。嗯，会先考虑音式分解法，如果不能用音式分解法的话，我们再用啊，配方法或者公式法啊，一定注意下这个。嗯，音式分解法是首选，但是呢，它并不是所有的都能用 啊。嗯，理论上来讲所有都能用，但是说我们有些看不出来啊，我们看，有时间我给你讲一下。为什么啊？首先呢，我们既然是音式分解法，那我们就想一下初三学的这个音式分解什么意思？ 那音式分解有几种方法啊？第一种呢，就是提供音式法啊，第二种是公式法啊，第三种呢，十字相乘，那提供音式呢？非常简单，就是常分配率。那公式呢？我们有两个公式，一个是 y 平方公式，一个是平方差公式啊，这两个公式我们要熟悉，那最后呢就是十字相乘， 那基本上能用十字相乘法啊，我们基本上能用十字相乘，就基本上能用音式分解啊，十字相乘占百分之九十以上的题 啊，当然也有一些非常特别的题啊，我们讲啊，这就是我们整个的，那我们因式分解的意义呢？是把一个整式啊，化成一个积的形式啊，把一个化成一个积的形式， 那我们如果说我们一个方程啊，它左边是一个整式，右边等于零，那我们只需要把它左边化成一个积的形式，让它等于零。那 啊，我因式分解法的这个原理就是这两个东西相乘等于零，那它其中必然有一个等于零，或者两个都等于零，那所以说，我们只要把它化成了谁和谁相乘等于零的形式，那我们就可以说啊，要不然的啊，它等于零，或者是它等于零啊，这就是这个一二方乘的两个解 啊。那我们啊，需要首先比较一下这几个方法的优劣啊，是乘法的概念。那有这么一个题啊，就是 x 方等于三 x 啊，那有个同学是因为他没有学四的相乘，没有学英式分母巧，他用我们普通的方法啊，他用那个 x 方减三， x 等于零啊，把它变成一般形式完，没有 c， a 等于一， b 等于负三， c 等于零，然后他用公式法 x 就 等于二分之 三呢，加减根号九啊，根号九是 b 方减 c， c 啊，因为没有 c 嘛，所以说就只有一个 b 方了啊，负 b 的 平方是九，那得到了一个 x 等于零啊，这根根号九是三三加三啊，等于六六，再除以二等于三啊，三减三等于零啊，他得到这个，这个是对的。那这个呢？嗯，同学呢， 他两边都除以了 x， 嗯，当两边都除以了 x， 得到了 x 等于三， 那这种方法呢？看着对啊，但是呢，嗯，这种方法啊，我们一定要注意，一定要注意，我们可以用这种方法来解啊，可以用这种方法来解，但是呢，你这样是不对的，那我们复习下我们整式的这个乘法。我整式乘法啊，把 这个等式的基本性质啊，两边同时除，你得是除一个不为零的数才行。那你这个 x 有 可能等于零啊，所以呢，我们再除 之前要进行讨论啊，进行讨论啊。第一种情况就是当 x 不 等于零，先写 x 等于零啊，当 x 等于零时，那它就等于零了啊， x 等于零时啊，完全相等没问题。然后呢，当 x 不 等于零时， 那 x 不 等零时，你才两边乘除 x， 那 两边不等于零时，除以 x， x 等于三，那两 x 等于零时呢？ x 就 等于零啊，所以呢，它这个漏掉了一个 x 等于零的情况， x 一 等于零， x 二呢等于三啊，你这样解也可以，但是你要把这个 x 等于零的情况讨论进去， 在 x 等于零可以不可以啊？可以的话 x 等于零，他直接就成立了啊。所以说呢啊，我们可以用这种方法，但是呢，我们有时候还经常用到这种方法，就是说你两边同时除的时候，一定要有这种的数学思维， 就他不能等于零才才可以除他。如果有等于零的这种情况，那我们要单独拿出来分类讨论啊。那最后一种方法呢，就是我们啊，今天要讲的那 x x 方等于三， x， 那 x 方减三呢？我们把听音试一下啊，提出个 x 来，得到 x 乘以 x 减三等于零， 那啊，左边呢，就变成了一个 g 的 形式，让我们知道 g 的 形式， x 和 x 减三乘起来等于零，那必定有一个为零啊，就是 x， 那 所以呢，就是 x 等于零，或者 x 减三等于零， 那 x 减三等于零呢？就是 x 等于三啊。这种方法是最简单的，因为它把一个嗯二次方程转化成两个一次方程 啊，但是不是所有的一定注意，不是所有的方程都能用这个方法啊，大概就是说啊，有两种比较正常，那我们前面讲的就是啊， a x 方加上 b， x 加上 c 等于零，那第一种配方法呢？配方法呢，最基本的其实是这个 b 等于零，没有 b， 只有一个平方加一个数的时候，那我们用的是两边开方，两边开平方，那这时候呢，哪一种必须用音质分解法呢？就是没有 c 的 情况啊，没有 c， c 是 零到一个 a x 方加 b x 这种东西，那必须要听音式啊， a x 和 b x 就 提成 x， 然后呢，就 a x 再加 b 等于零的形式啊，这种呢，这一定要用题，有的同学到最后都是忘了这种办法了啊，不会解，或者说用很麻烦的方法啊，这种方法最简单，一定注意，没有 c 啊，直接听音式啊，非常简单， 那就是 x 等于零，或者是 x 等于负的啊， a 分 之 b 啊，负的 a 分 之 b 啊，这最简单的，那后面呢，我们来练几个题啊，首先呢，我们这是我们的课后题，第一个呢，它直接给你音式分解好了 啊，那我们利用我们的这个方法啊，我们利用我们这个原理，就是两个东西相乘等于零，那其中必然有一个等于零啊，但是两个都等于零也可以，所以呢，我们就下一步解， 就 x 加上二等于零，或者是 x 减四等于零，那所以呢， x 一 呢就等于负，二，那 x 二呢，就等于四啊，这个非常简单。 那这个呢，我们稍微啊进行一下，这个啊，这个这个这个一一项来进行提问式，它就变成了四 x 乘以二， x 加上一，减去三倍的二 x 加上一等于零，那我们发现都有二 x 加一，所以我们选择把二 x 加一提出来，就是二 x 加上一 乘以四， x 减三等于零啊，那我们成功提供音式好了啊，音式分解好了， 因为好了，因子分解好了之后呢，那他两个啊，相乘等于零，那所以呢，他必然有一个等于零，那所以呢，就是二 x 加上一等于零，或者是 四 x 减三等于零，那相信这个呢，他同学都能一步做出来。那这个呢就是 x 呢，就等于二分之一，那这个呢就是 x 就 等于四分之三，负的二分之一。 嗯，这个先把三一游戏两边来除以四， x 乘以它，就是它两个减啊， x 一 x 二。 那最后呢，就是我们用到最常见的这种啊，可以用十字相乘，可以用十字相乘的啊，可以用十字相乘的，那这个呢，如果说你前面十字相乘学的，虽然我们书上没有单独讲十字相乘法， 但是呢，如果说你十字相生学的不好的话，你这一块非常困难啊，所以说一定要啊，再回去把十字相乘再复习一下，那这个呢是一一一和七，那这是负六，所以说负号给七， 那交叉相乘之后，相加等于负六，那所以呢，我们就可以写成 x 加上一乘以 x 减七等于零， 但是这个是打草呢，我们应该默认很熟了，那所以呢就变成了 x 加上一等于零，或者是 x 减七等于零， 那所以呢，这个 x 一 呢就等于负一， x 二呢就等于七啊，这是啊，这种题啊，能用因式分解法的是我们啊，用的最最最最频繁的 啊。当然呢，你可以反过来用啊，反过来用，我们下一课再讲这个东西。

大家好啊，我们觉得这个特殊的平行四边形这节课还是要总结一下的啊，也就是说，呃，我们学完这个这节这一单元呢，他有的老师呢，会让我们画一个思维导图啊， 那这个呢，就比较像是一个思维导图性质的啊，我把它称之为就是这个平行四边形的进化啊，加入光荣的进化吧。啊，就是这个， 嗯，它进化了有两条方向啊，有两个方向，当然最后都是殊途同归的啊，那我们看啊，我们首先呢，我们上一节学了平行四边形，那么这一张特殊的平行四边形，所以呢，我们要从这个正常的平行四边形开始 啊。那首先我们上一个单元的平行四边形呢，我们主要是研究了它的四个判定和四个性质啊，这个呢我们一定要非常熟 啊，在这个平行四边形非常熟的基础上呢，那我们平行四边形进化成菱形呢，有两两组方案。那第一组方案呢，就是说我们让平行四边形的一组邻边相等啊，你让它一组邻边相等之后，它四角边的都相等了， 那四角边都相等呢，就变成菱形啊，这个没有什么问题啊。第二个呢，我们平行四边形的对角线来说呢啊，就是说，嗯，它是什么？它是 互相平分啊，就互相平分，那我们互相平分，又让他互相垂直一下，他也变成菱形啊啊，大家不信的话可以再画一下关于这个对角线的东西，考对角线的题，我们可以当场画一下，那比如说他说对角线又互相平分又互相垂直， 那我们就先画一个对角线，我让他啊互相平分，互相平分呢，也就说这块和这块要相等，互相平分又垂直，那我们连接这四个点，那我们就是 以阴为果。那画出来怎么着他也是一个菱形啊，但是我这个随便画，大家用啊，尺子准确的画一下啊，可以试一下 啊，他进化成菱形之后呢，大家啊，嗯，其实大家可以看出来啊，啊，他一个是从边角进化，一个是从对角线进化， 那么看平行四边形有第二种计划方式。第二个第一个呢就是说他一个角是直角，嗯，平行四边形啊，他是对角相等的啊，并且呢邻角互补啊，他只要一个角是直角，那四个角就都已经是直角了，那四个角是直角的情况下呢，他就变成了矩形。嗯， 第二个问题呢，也是从对角线开始进化啊，我们平行四边角线，他本来是互相平分的，你又让他互相平分之后又相等啊，本来呢，比如说这两个啊，他啊，我们这样 这样吧，我们指上这一块等于这块，然后这一块等于这块。嗯，你这样的画出来他就是个平四边形啊，但是呢我又让他相等，就是这一块啊，因为互相平分嘛，他要相等的话，那这块和这块也要相等啊， 你这样再画出来啊，你这样的话，你画出来呢，他就是一个矩形啊。嗯，他来试一下，靠对角线互相平分又相等啊，你这样画出来他就是一个矩形，嗯， 那同样的呢，嗯，矩形呢，他要变成进化成最终形态正方形，那他要怎么办呢？你就说他要没有，他要走他原来的路啊，就说，嗯，他走的这条路 是一个角，是直角，然后呢是对角线相等，那他你变成矩形之后，他每走的一条路是这条路，所以说你只要把这条路给他补全了啊，你说他当时矩形的情况下啊，他一组邻边相等啊，一组邻边相等啊，矩形一组邻边相等的时候才变成正方形 啊，因为矩形它缺的就是这个四角边都相等了啊，但是呢，我们只需要让它一度平面相交的四角边都相等，四角都是直角就变成正方形了，本来四个角就是直角， 然后呢我们可以让它啊，对角线啊，对角线已经有相互平分，然后又相等，我们只需要给对角线加上垂直啊，这两个是或者的啊，只要满足一个条件就可以啊，进化成这个正方形， 同样的也是啊，你啊，你进化成菱形，你走的是这条路，你并没有走这条路，你再把这条路给补上的话，其实啊，这上面东西呢 和这个是一样的啊这上面东西呢和这个是一样的啊，只是呢，呃，你没有来得及走路呢，你最后终会补上，就是我们欠的啊，最终要还，那你不还你就变不成你想要的样子啊。那 菱形的话啊，我们变成啊，只要让他一个角是直角啊，他就变成正方形了啊。菱形啊，这个就不解释啊，因为菱形和这个是菱形，已经四条边都相等了啊，你一个角是直角啊，那他就四个角都是直角了，那四条边相等，四个角是直角，那肯定是正方形啊 啊，第二个呢，就是说菱形的对角线它已经啊互相垂直平分了啊，就缺个相等，你只需要让它对角线再相等，再变成正方形啊，这就是啊，这个平行四边形的进化啊平行四边形的进化啊，两条路啊，殊途同归啊，欠的总要还啊。这是 啊，这个东西，那学了这个东西呢之后呢，我们要对对角线的这个有一个清醒的认识啊。对角线啊，我们对关于对角线呢有三个关系，第一个呢相互平分，第二个垂直啊，第三个相等。那我们啊想问一下同学啊，这一二三哪个比较重要啊？可以暂停思考几秒钟 啊。答案呢是相互平分啊，重要啊互相平分更重要啊。你没有互相平分，你只有垂直相等。啥也不是啊啥也不是。你在互相平分的基础上你加上垂直啊，它可以有质的变化你在 互相平分的基础上你加上相等，它有质的变化啊。因为互相平分啊，它已经证明了它是一个平行四边形了。 你在平行四边形上啊，垂直啊，它变成菱形，你在平行四边形上相等，它变成了矩形啊。但是大家都有的话，那变成正方形，三条都存在的话变成正方形，那只有垂直和相等呢？那还是呢，我们用刚才我说的时候啊。嗯， 你就是，你可以画一下试一试。你让他用垂直啊让他垂直啊，我们说垂直啊，你让他相等啊，这块缠这块缠这样 还是稍微有点啊，反正说你自己画一个，你让他垂直，你让他相等啊，你尺子脸上画一个直角等的啊，大概是这样啊，垂直又相等，那你连接他四条边啊，啥也不是啊啥也不是 啊。所以说呢只有垂直和相等，啥也不是啊，我们一定要记清楚这个角形，角形的题也经常出啊啊，这呢就是我们这个关于特殊四边形的这个整体的总结思维导图。

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初三同学一直呼吁讲一下这个初三下的这个数学，由于是这个旧课本呢，不是特别想讲，但是大家问的比较多，我呢 给大家更新一些。就是啊，寒假够预习的啊，大概两个单元左右啊。嗯，第六张平特殊的平行四边形大，大家大概已经都学到了啊，因为这学期特别长，所以呢，大概率是已经都学完了。嗯， 第一个呢，就是菱形的性质与判定。那首先呢，它的定义是什么？菱形的定义是什么？那我们学几何呢？我们学平行四边形也好，学全等三角形也好， 我们是先学什么？先学性质，再学判定啊，我们初中的几何都是这样的啊，这个我已经强调过多次了，那性质呢，就是说它已经是菱形的情况下，它具有什么样的性质？那就是说因为它是菱形，所以得到的这些结论，我们统统叫做性质 判定呢，就是说我们需要哪几个条件才能判断？就说因为什么什么什么，所以它是菱形啊，这两个呢，我们要区分好啊，性质判定，那定义呢，我们可以通过定义来判定。第一个定义呢，就是 一组对边相等的平行四边形啊，一组对边啊，一组邻边相等的平行四边形，它本身就是对边相等，那你带有一组邻边相等，那它就相当于是四条边都相等啊。 啊，这就是菱形的这个定义。那菱形的性质呢？就是第一个啊，它具有平行四边形的所有性质啊，平行四边形的性质，我们书上的一共有四条啊，大家一定要记清楚啊。啊，对边平行啊，对角相等啊， 对角线这个一，这个对角线这个互相平分呢啊，还有 对边平行，对边相等啊，对角相等啊，对角相等，平分啊，就这四点性质啊，大家一定要搞清楚啊，它呢，这个 菱形也就平行四边形的所有性质，那它第二场呢？不一样的地方，二三次就是啊，它不不跟平行四边形不一样的地方啊，第一个呢就是它四条边角相等，那它又有一个邻边相等，那相当于就是四条边相等了 啊，最下一个呢就是对角线互相垂直啊，对角线互相垂直且啊平分一组对角啊，并且每个对角线都平分一组对角啊，这是菱形所具有的特殊性质啊，对角线互相垂直啊，并且每一个对角线呢都平分一组对角，嗯， 这个菱形我们随便画一个，什么意思呢？就是如果它是菱形的话啊，这个角线相等，这个角和这个角相等， 那这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，平分于直角啊，最后一个呢就是它是轴对称图形，且是中心对称，那我们平行四边形已经是中心对称图形啊，它自己呢，它又是一个轴对称图形啊，这是平行四边形性质。然后呢，我们有一个平行四边形的这个 啊，特殊的算法，算面积啊，平行性这个菱形啊，菱形的特殊的算面积的方法啊，菱形的算面积呢，我们可以对对角线相乘的二分之一啊，对角线之积的二分之一来算它的面积啊，这是它的这个呃特殊的算法， 嗯，最后一个呢啊，就是这个这个菱形的判定啊，我们要知道什么东西才能判定它是菱形？那数上了，一共我们介绍了三条 啊，当然我们还有别的判定法啊，第一个呢，就是啊，定义啊，一组邻边相等的平四边形，也就是说我们先证他是平四边形，然后再证他一组邻边相等啊，这是一个判定。那你也可以直接证四条边都相等啊，四条边都相等， 然后呢，你可以正他啊，对角线相互垂直了啊，只要是平行四边形，对角线再相互垂直，那他就是平行了。那同样呢，我们也可以啊，正他对角线啊，互相平分并且垂直啊，就是对角线互相平分呢，证明他是一个平行， 然后呢，这个对角线互相垂直呢，证明他是一个菱形啊，这就是这个特殊平行四边形之菱形啊。 啊大需要大家记得东西多，因为经常和后边要混啊，所以说呢，嗯，学完了这一张呢，最后最好还是要自己多整理一个思维导图啊，你整理好思维导图之后呢，你才能越啊熟练的这个记忆。

那好啊，我们今天来讲八点五啊，嗯，他这叫一元二次方程，跟一起有关系。这个一元二次方程我就先不写了啊， 就是我们知道是一元二次方程跟一起有关系，他又呢，他又他的又一个名叫维达定理啊，因为是维达发现的啊，所以呢，我们有时候啊，有位同学啊，不要搞不清楚啊，说维达定理，不要搞不清楚，这是跟一起有关系啊。 嗯，首先呢，根弦的关系呢啊，内容很简单，那我们如何推导的呢？嗯，首先呢，我们是在 a x 方加 b， x 等于零， a 不 等于零，并且怎么着？并且它有根的基础上啊，这个第二它大于零的啊，第二它大于零零的这个基础上啊，它如果它有两个根，那它两个根有什么样的这关系呢？那我们就说啊，就是说 x 一 加上 x 二呢，就等于负的 a 分 之 b， 然后呢， x 一 乘以 x 二就等于 a 分 之 c 啊，就这么简单啊，这种朴素化学定律，那这种朴素化学定律为什么会单独拿出来呢？ 嗯，有的眼睛比较敏感的同学已经看出来了啊，这有没有像我们前面学的这个完全平方公式啊？我们完全平方公式呃，是不是经常考这样东西？还记得我们完全平方公式就是 a 方 加上 b 方，然后 a 加 b， 然后 a 减 b， 然后 ab 这四个利用我们往下平方公式是不是什么来， 是不是知二求二，我们知道两个，我们是不是能求出另外两个，那你看它正好恰好就是其中的两个啊，一个是这个，一个是这个 啊，所以呢，我们能求出 a 减 b 来，也能求出 a 方加 b 方来啊？忘了同学请这个，自己这个这个这个回去看我的这个反平方公式那一件，或者自己复习一下啊，就这四个是什么知二求二的？ 所以说呢，我们有了这两个东西呢，我们会经常让你求这个 x 一 的平方加上 x 二的平方等于几 啊？或者说 x 一 平方减啊， x 一 减 x 二是几啊？这个呢？经常求，那我们这个定律怎么来的呢？那我们前面已经知道了，这个 跟一起有关系呢，他有两个根，一个是啊，是二 a 分 之，负 b 加根号下平方减 c， 一个是减，那我们就可以用这个公式来推导一下，那如果是，那 x 一 加上 x 二的话，它就等于啊二 a 分 之，负 b 加上啊根号，这是根号带他们 让它再加上二 a 呀， b 减根号代它，那这个呢，因为分母符号相同，那它就等于二 a 分 之呢？ 这个是加号没减，然后负 b 加上负 b 加上根号这儿，它再加上负 b 减去根号这儿，它， 那这加带它减，带它没了。就是啊，负二 b 二 a， 嗯， b 减 b 是 二 b 嘛，所以最后呢，就是负的二 a 分 之 b， 所以 说 x 加 x 二就等于这个 啊。同样的，那我们 x 一 乘以 x 二呢，它就等于这个 这二 a 分 之，负 b 加上根号， b 方减四 a c 再乘以二 a 分 之，负 b 减去根号， b 方减四 a c 啊，首先呢，它这是一个分母，这是一个整体，其实这样加括号的，那它就等于下边是四 a 方分之啊，这个 不知道同学发现没有，正好是个平方差啊，负 b 加上这个东西，负 b 减去这个东西，那所以呢，我们就等于啊，负 b 的 平方减去根号， b 方减四 a c 的 平方， 这个平方差公式啊，所以就等于四 a 方分之，负 b 的 平方就是 b 方减去这里边啊，是 b 方，因为 b 方减 c， c 带了个括号，但是呢，我们去括号呢，就变成加四 a c 了 啊，最后呢，结果就是这两个没了，就是四 a 方分之四，再约掉一个 a， 所以呢，就是 a 分 之 c 了啊，这是这就是这个这一节的内容啊，根据求关系。嗯，我们推导过程呢，也比较简单，然后呢，你只要分得清 abc， 那 这个也没有什么问题啊，最主要的是我刚才讲的这个啊，知二求二的问题 啊，我们虽然知道 x 一 加 x 二，知道 x 乘以点，但他没让我们求这个真正考试，他让求 x 一 加 x 二平方， 那 x 加二它的平方等于什么呢？那很明显是 x 一 加上 x 二括积来的平方，减去两倍的 x 一 x 二啊，把这两个带进去就可以得到这个东西了。那同样呢，我们也有啊， x 一 减 x 二的平方 等于什么东西啊？ x 一 减 x 二的平方减去四 x x 二啊，这我就不怎么写了啊，这是 啊，这这玩平衡公式的一些东西和这个伟大定律完美的结合在一起啊，你前面玩平衡公式学的不好的，那这节课呢，可能你需要回去复习一下，要不然呢，就有点吃力啊。

大家好，我们继续学用公式法来求我们。嗯，其实公式法呢就是另外一个配方法， 嗯，只不过说我们用一般形式来配出来啊，这个第一个问题呢，就是啊，求根公式怎么推导出来的啊？这个求根公式的推导呢？我们书上，嗯，有这个，这个，嗯， 有完全的这个，呃，过程，呃，我们考试的经历之前会考啊，给大家挨个解释一下啊，什么意思？那首先呢，我们要知道我们是二一元二次方程，是 a x 方加上 b， x 加上 c 等于零啊， 我们正常情况下是社保，我们说要首先要把它变成一个这种一般形式，那第一个问题呢，就是 abc 的 识别啊， a 等于几啊？ b 等于几啊？ c 等于几啊？这个呢我们一定要会啊，我觉得大家同学都应该会啊，就是求求公式之前首先要把它变成一般形式， 那如果说一个 a x 方加 b 加 c， 它怎么减呢？那我们啊用我们前面的这个啊配方的这个过程，那第一步呢是系数化一，就是 x 啊，把 a 提出来，然后呢 x 平方 再加上 a 分 之 b， x 再加上 a 分 之 c 啊，等于零。所以同学这一步呢，他就有一点点啊，不太熟悉，还是我前面说的也啊，你把这个东西乘回去啊， 你从第一步到这一步你觉得有点麻烦，嗯，但是呢，你可以啊，从下面一步到上面把它乘进去啊，它乘以它是 a x， 它乘以它是 b x， 它乘以它是 c 啊，然后呢乘回去， 如果说对的话，那就说明你这个做对了，如果说你乘回去之后跟原来不一样了，那那你做错了，你再调整一下啊，这就需要多练啊，多练，练多了呢，也就没问题了啊。第一步呢，要把这个 a 提出来， a 提出来之后呢，那其实我们就可以把 a 扔掉了啊，就可以把 a 扔掉了，因为我们 a a， a 是 一个整体， a 乘以一个块里面是等于零了， a 乘以块里面等于零，那我们有他。既然是这个二乘一方程，那 a 肯定是不能等于零的啊， a 不 能等于零的话，那只能是这个括号里边等于零了。 所以说我们只需要配这个就行了啊，就是 x 方加上 a 分 之 b， x 再加上 a 分 之 c 等于零啊，我们再配这个东西啊，这个呢？我们已经这个，呃，是一个，嗯， 是一个这个，这个这个系数是一的状态系数是一的状态呢？我们缺一个什么东西呢？还记得吗？我们缺一个它的二分之一的平方，也就是 a 分 之 b 的 二分之一的平方，就是一 依次向系数的一半的平方。那所以呢，我们的是 x 方再加上 a 分 之 b， x 再加上啊，二 a 分 之 b 的 平方啊，你加了一个这东西，你得给他减去一个这个东西，所以就是减去呢，减的时候我们给他平方了，因为他要跟他合并的，所以说就是 啊，四 a 方分之 b 方，那再加上 a 分 之 c 啊，等于零， 那因为他俩要合并了，所以说我们在这一步顺便给他通分了吧。啊，他是四 a 方，那下边呢？他也他也得是四 a 方，那乘以个四 a 方，那下边乘以个四 a， 那 上面呢？也要乘以四 a 啊，所以就变成这样 啊。这个呢？嗯，看不懂，同学，同学，再重新来，来一遍啊，没有那么的是吧？那我们可以把这两个东西移到右边去啊，把这两个东西移到右边去，那就得到了一个 x 加上二 a 分 之 b 回来的 平方啊，左面变成了一个平方的形式啊，左面变成一个平方，它就等于右边呢，我们把它移过来啊，它移过去变正，它移过去变负啊，所以就是啊，四 a 分 之啊， b 方减四 a c， 这个省了一步啊，它大大概问题不大啊。把把这个移过来呢，负的 c 分 之 b 变成了正的 c 分 之 b， c 分 之 c， c 呢？变成了减 c c 啊，所以分母是一样的变成这个样子啊， 这是掉了个平方啊，掉了个平方，那对于下一步来讲，那我们就是要讨论啊，因为左边是平方嘛，右边我们要进行两边都平方啊，那我们右边两边都平方的话，那分母肯定是没有问题的，因为我们 a 不 能等于零，那四 a 方 啊，那它是个平方，它肯定是大一点零的，那就是这个 b 方点 c c 的 问题啊，它能不能进行开放， 那这里呢啊，其实呢，我们就要分析讨论了啊，啊， c 方不要讨论啊，第一种情况呢，就是啊，啊， b 方减四 a， c 啊，大于等于零，大于等于零的时候，那我们就可以直接啊进行操作啊，那就是两面都平方， 那就是 x 啊，两边都开放啊，加上二 a 分 之 b， 就 等于啊，这个就根号下了啊，下边根号下就是二 a 啊， c 方根号下是二 a， 那 上面呢，就是一个 b 方减四 a c 了，它就是个 b 方减 c c 啊，那这个呢？嗯，把这个移过去啊，把这个移过去， 那最后呢就是 x 就 等于二 a 分 之根号啊， b 方减四 a c， 然后减呢二 a 分 之 b， 然后那最后呢？就是啊， 这是正负啊，正负，那我们把这个正负呢给它放上面啊，这个地方也是个正负啊，开放之后是正负，我们正负可以，如果写前面的话要加括号啊，我们给它写上面啊，正负， 那最后呢，我们得到就是 x 一 啊，还是 x 吧， x 就 等于啊，移过来呢，我们二 a 二 a 分 之 b 放前面吧，就是二 a 分 之负 b 加减根号下啊 b 放减四 a c 啊，这呢就是我们的求根公式啊。 x， 那 x 一 呢就等于负 b 加上啊， b 方根号下 b 方减 c c， 那 x 二呢？就等于，呃，然后呢就是这个 b 方负 b 减去根号下 b 方减 c c 啊，这就是我们求根公式上也是啊，求根公式这么推导出来的。我们考试呢，经常考试过程，哎，完事了吗？没有啊，这是 b 方减 c c 大 一定的情况下啊，第二种情况呢，就是啊， b 方减 c c 啊，小于零，小于零的话，那这块是不存在的，那所以呢，就是无解啊，无解啊，这个呢跟我们平时做的这个东西，呃，不太一样，那有无解的情况？那我们一般的一元一次方程它是有解的啊，这个是无解， 那后边呢，我们经过学习之后，我们就会知道为什么它是无解的情况啊，那我们其实前面用配方法的时候，我们就会知道为什么它是无解的情况啊，那我们其实前面用配的一个 x 加上 啊三的平方等于负二，这种情况呢啊，那两边开平方，那他是个负二，他是啊， 这种情况我们用配方法的时候，这种呢也是无解的啊，那我们如何判断他有有解没解呢 啊？就是呢，叫根的判别式啊，这个所以说呢，它有没有解的关键呢？就是根号下这个东西特别重要，那根号下呢？叫 b 方减 c c， 那 我们在书上专门有一个东西叫单调啊，这单调是一个下字母，单调就等于 b 方减四 a c。 那 如果呢啊，经过我们这个学习啊，如果说是，嗯，第二，它是大于零啊，它就有两个啊，两个啊，不相等的啊，不相等， 但是它等于零啊，但是它等于零的时候，那但是它等于零的时候呢？那我们看它 x 等于什么东西啊？因为这个东西等于零了吧，那它就是二 a 分 之负 b 啊，就是二 a 分 之负 b 没有了 啊，所以呢，呃，我们初中说呢，说一个啊，一个啊，一个啊，但是到了高中呢，我们说两个相等的啊，两个相等的啊，两个相等的， 这两种说法都是可以的啊，如果说单二它小于零的话，那就没有零个啊，零个，单二小于零，它不存在。单二小于零配方的时候是配出来是这个样子啊，就是根的判别式啊，要记住这个东西。所以说呢，我们在用公式法求 啊，这个一月二十号整的时候，我们首先要判断一下这个，但是他到底是什么样的情况啊？如果说他是小领啊，直接误解了啊，就不用做了啊，这里还有一个小的这个一个这个，这个小技巧啊，你可以 判断一下，这个 b 方呢，那肯定大一点，那四 a c 呢啊，如果说是 a c 一 号啊，一号 啊，就是 a 和 c 一个，一个大于零，一个小于零，那这个四 a， c 呢啊， a、 c 一定是正的啊，这 a、 c 一定是负的，那它乘以负号呢，就一定是正的。那所以说 a、 c 一 号的时候，你不用判断了， a、 c 一 号它一定大于零啊，直接用就行了啊，这就是这个整个这个用公式法解一元二次方程的这个，呃，这个 这个方法，然后呢，我们最主要的就是说你能判断出 a、 b、 c 是 谁来，那一定要注意它是一般形式啊，你别呃，来一个三 x 方加上五 x 加上二等于一这种情况，那它可不是 a， 它是 a， 它是 b， 它可不是 c 啊啊，一定要啊，把它右边等于零的这种情况，它才是 a b， c 啊，一定要把这个弄好。 如果说知道 a、 b、 c 之后呢啊，直接在公式啊，当然不是直接在公式啊，先判断一下 b 方点 c， c， 然后呢再直接在公式就可以了啊，这就是公式法解这个一元二次方程。

威海五四制的家长，有没有这样的孩子？成绩一直都很好，但是一遇到难题，压轴题呢，就卡壳，要么是做不出来，或者是做出来也要需要耽误很长的时间，前面的那些小题呢，就没时间去检查了。如果你也想让孩子冲高分，拉开差距，可是如果你练的题太惭愧了呀，他的思维根本就打不开。 今天的这本点中点呢，一定要给他安排上点中点呢，是目前我们乳教版五四制同步练习册里面难度最高，综合性最强的，它里面的题型啊，也是特别的丰富。 基础培优题，帮孩子稳扎稳打，易错题，专攻容易丢分的地方。创新题和综合应用题才是拉开差距的关键。 不只是简单套公式就能做出来的，它真正的核心是多步推理，拐弯灵活，靠理解，靠逻辑，靠综合运用。家长不用担心难题孩子做不出来，因为里面那些创新拓展题都带有二维码，扫一扫就有微课视频讲解，孩子自己就能看 能学，不用家长辅导。还有一个专题八家的板块，他把同类的题呀集中在一起练，一个专题练透了，那么这类题呢，就全都通了。梯度设计也很合理，孩子能一步一步的往上走，不会一上来就被打击， 越练思路越清晰。这本非常适合基础扎实，不怕难题，想冲高分，数学想领先别人的孩子。每天坚持练，思维明显提升，考试难题不再害怕分数，轻轻松松拉开差距。这条视频记得点赞收藏哦，不然你下次想用的时候就找不到了。 我是姗姗姐，在威海做图书推荐二十年，只给孩子选真正有用的教辅！关注我，每天一本，选教辅不踩坑，记得点赞关注哦！

大家好啊，我们有些同学对这个计算还是不是特别熟悉啊，一直强调的是这一张就是。嗯，以练习为主，你得这是基础运算能力的 啊，也是一种。嗯，所以呢，还是要多练啊。那我再给大家演示几道题，大家可以这个暂停一下啊，做完之后，嗯，然后呢再看， 我们首先看第一个哈，第一个还是标准的这种乘号分配率啊，乘号分配率，那啊，他呢根号三乘以根号三呢，很明显呢就等于三了。 那根号三乘以根号六呢？那我们在可以在心里想，这个根号六可以变成根号三乘以根号二，那根号三乘以根号三还是三，那这根号二呢？就没什么好变，所以说就是三加上三倍的根号二啊，这第一个， 那第二个呢？就是二倍的根号五加三，嗯，乘以三倍的根号五减二。嗯，这个没有什么好说的，只能是这样。嗯，这个 一个一个乘，那第一个呢？二根五乘以三，根五呢，它是二三得六啊，六根号五乘以五是五，所以呢加起来是三十，然后这个二根五再乘以负二，所以就是减四倍的根号五， 然后呢这个三再乘以啊，这个三倍根号五三得九，那就加上九倍的根号五，那最后呢三乘以负二呢，就是减去六。嗯， 那到这呢，我们看就看有没有同类二次根式有没有可以合并的啊？一看啊，这两个可以合并啊，这个呢和这个可以合并，所以呢三十减去六呢，就是二十四，这个负四根五加上九根五呢，就是加上五倍的啊，根号五 啊，这是这个题，嗯，那下一个呢？嗯，没什么好说的。嗯，它也不太能用什么减二 a b 加 b 方。嗯， 那 a 方呢，那我们已经非常熟悉了啊，它是一个八啊，二倍的根二的平方，因为二倍根二是根号八嘛，这个根号八的平方就是八 八，然后它减去啊，这个二倍二 a b， 那 就是我们在心里想一下啊，就是四倍的根号十二，但是呢，根号十二呢，我们很明显是啊，它等于二二倍的根号三 啊，那所以呢，他就是减去八倍的根号三。 嗯，最后一个呢，就是啊，加上六了啊，加上六，那很明显呢，我们先合并一下，就是十四，减去八倍的根号三。 嗯，这个呢，我们也可以用这个啊， a 方加二 a b 减 b 方的这个啊， a 加 b 的 平方等于 a 方，加二 a b， 然后加 b 方，那这个呢，我们仔细一看，它还可以，其实里边就直接可以合并的 啊，如果说你做的比较熟的话，它其实直接可以等于二分之根号二，再加上根号二的平方， 那我们直接给他平方就可以了啊，直接平方呢啊，得到四分之 三，三得九啊，九乘以二。我为什么不把它写成十八？因为反正我们也后边也要约啊，那他约掉呢，就是二，所以就是二分之九， 二分之九。那我们还是用前面方法来来这个做一下，看一下是不是。 嗯， a 方呢，它是二根号二分之一的平方，那所以呢，乘起来是二分之一，再加上二 a b 啊，两个啊，二，再乘以，其实它呢是二分之根号二 啊，再乘一个根号二，二 a b 啊，再加上二，那这个呢，它和它可以约掉，它乘它起来是二，所以说呢，还是二分之一加二加二，最后还是呢二分之九 啊？大家可以比较一下这两种方法。嗯，另外一个呢，这就是平方差了，还是啊，根号七减去二，根号七乘以加 b 的 平方，就 a 的 平方减去 b 的 平方， 根号七的平方呢，它就等于七，那二的平方呢，它就等于四啊，所以呢就等于三啊，这个呢，嗯， 稍微进行了一下变换，那它其实是，嗯 b 加 a 啊，然后乘以呢 啊， a 减 b， 那 其实我们这个平方差公式我们是用啊，我们是以这个减的这个啊，加的这个，因为可以随便调换嘛，所啊，所以说是我们其实是根据这个减的来判断顺序，那肯定是二倍根号二的平方减去根号六的平方， 那所以呢，给他俩互换一下啊，就是 a 加 b 乘以一减 b 了，所以就是加平方八了，我们已经非常数了，减去六就等于二， 嗯，这个呢，这两个题呢，是其实是一模一样的啊，这其实一模一样，那如果我们非要把它展开的话，那它其实有点麻烦的， 那如果说我们完全平方那一个学的比较好的话啊，那其实这个可以可以秒出答案的。那其实 a 加 b 的 平方，再加上呢，这个 a 减 b 的 平方， 那这是 a 方加上二 a b 减 b 方，那这呢是 a 方减去二 a b 啊加 b 方，那所以呢，这个正二 a b 和负二 a b 其实是没了， 那以 a 方呢啊，就是等于两倍的括号里 a 方加 b 方啊，或者说两倍的 a 方再加上两倍的 b 方啊，其实我们可以直接写的两倍的 a 方呢，就是 a 就是 根号二，根号二就是 a， 根号的平方就是二，两倍的 a 方呢，它其实就是四，那再加上两倍的 b 方呢？啊，这个它 b 等于根号三，所以 b 的 平方就等于三，两 b 的 就等于六，其实呢，它直接可以等于十， 那这个呢，其实也是啊，我们直接等于二 x 加上二 y 就 可以了 啊，你做也是这样啊，你把它展开之后啊，我们如果说因为 a 加 b 和 a 减 b 啊，它的核呢，就等于四， a 加四 b 啊，就等于二 a， 二 a 方加二 b 方啊，二 a 方加二 b 方。那如果说这个地方换成一个减号呢，如果换成一个减号呢？ 它其实啊， a 方 a 加 b 的 平方和 a 减 b 的 平方其实就差一个四 ab， 那 所以呢，它换成减的话，我们也可以看出直接就是四倍的根号六， 那这个呢，如果说换成一个减号的话，它也是啊，等于这个四倍的根号 x y 啊， 嗯，因为 ab 就是 根号 x y 嘛，所以说看到这种平方这种完全一样东西，我们要敏感啊，这两个呢就比较常规了，那这个 七分刚好七分之一，我们就分享出来，就是七分之根号七啊，上下都乘根号七，再加上这个四七二十八，四 k 出来两倍的根号七减去这个呢啊，这是七乘一百一百呢，是十的平方，所以说十倍的根七。嗯，那这个呢，就是，呃， 七分之一跟七七分之一加上二再减十啊，十减九，那其实就是负的十减去这个什么二有七分之一，那所以呢，负的啊，七又七分之六倍的根号七， 嗯，这样写出来是不行的啊，我们只能写上七负的七分之七，七四十九，四十九，九九加六啊， 五十五倍的根号七啊，这样啊，千万不能刚像我刚才写这样，就是说代分数乘代分数，因为 这个代分数这个地方是一个加七，有七分之二的时间是个加，你又你把它放到这也不合适，把它放后边也不太合适啊，所以说我们最后要一定要换成假分数的形式啊。 啊，最后一个，这个啊，这个三十二，是啊，十六乘以二，所以说是四倍的根号二再减去的啊，二分之三倍的根号二，再加上根号二， 那这个就是四减二分之三再加一了。其实四天加上一就五，五减去二分之三，五减去一点五，其实是什么啊？五到二分之十就是二分之七倍的根号号， 写后边也行，写上边也行，我们写上边更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，然后呢？这个八下的这个，嗯，课程我们就更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，嗯，然后呢，这个八下的两个单元基本上够用啊。 嗯，这一这一张你就是学会了啊，你每天多做一点这种练习题啊，绝对不亏。

大家好啊，我们继续学习这个啊，上面我们讲的这个面积问题以及平均增长率问题，那我们这个讲究这个销量问题呢，是 中考必考题之一啊。嗯，我们这边呢基本上就是隔一年考一次，隔一年考一次，就是这个中考这个倒数第四个或者第五个题，这个应用题的部分啊。嗯，他要不然他就考一个一次函数和二次函数应用题的那个 啊，要不然就考一个这种，呃，这个销量的问题啊，那这种呢？他有时候也考成选择题，那这种题呢有一个讨厌之处就在于就是，嗯，他有两种问法 啊，我们一会来讲个两种问法啊。嗯，这两种问法呢，这个列的方程是不一样的，那他有时候选择题的话，嗯，他给你设一种你不太喜欢的这个方法，让你用这个方法来做。那嗯，如果说， 嗯，难度就比较大啊，但是这种题也不是没有办法啊。嗯，你可以把它算出来，然后呢？嗯， 解出来，然后呢啊，比如说他让你算定价是多少吧，那你如果只会列降价多少钱的话，既然进价多少，他有了这个定价，有了这个进价 啊，那你就知道他降价多少了，那你再把他给的那四个方程再算出来，看哪一个降价。对啊，拿上这种方法， 嗯，是你闲实在闲着没事的情况下啊，可以挨个这样算啊。嗯，否则呢，我还是要尽量的把这连着符号学会啊。那这个一个题呢，我们当成两个题来讲啊。嗯，我们算了这个题呢，他定价是多少啊？他问你定价多少， 定价多少，他有时候呢他会给你设一个降价多少降价，那我们首先按照第一个定价是 x 元来啊，这样， 那我们首先看题目啊，嗯，一台冰箱呢，进价是两千五，然后呢售价两千九十，每天卖八台，那如果呢降五十块钱，那每天就多卖四台，那要是利润达到五千，那定价应该为多少？ 或者说降价为多少？我们先按定价是多少来讲啊。那这里呢，大家一定要注意啊，我们中间有几个关键点，那第一关键点呢？就是标准啊。 什么是标准？你找到就是说他卖多少钱啊？每天卖多少台，这就是标准啊，这是标准， 也就是在我们没有任何变动之前的话，他应该是两千九百啊，这是两千九百，是单价啊，乘以数两千九百乘以八啊，这是他的，那我们一切的这个东西是在这上面啊，加工啊，一定注意啊，这是我们的基础，我们在基础上加工，那我们现在呢？嗯 啊，他问，他告诉我们就是说我们定价应为多少钱，那定价多少钱，那非常简单啊，定价为多少钱，那定价呢？我们假如定价是 x， 那 它是利润是五千，那我们定价呢就要减去这个 啊，两千五百啊， x 减去两千五百啊，这是我们每一台的利润，因为我们定价 x 嘛，每一台减去两千五百啊，这是我们每一台的利润，那到到底要卖多少台呢？那这个呢？呃， 一定注意，一开始是要卖八台，一开始要卖八台，我们是在这个八台的基础上来增还是减啊？八台的基础上增还是减，我们先写上个八，那到底是增了多少，减了多少呢？那这里又有一个东西，就是啊，每降五十元啊，多卖这四台， 那每降五十元都多卖斯坦，那我们卖这个 x 元实际上是降了多少钱啊？我们卖 x 元，实际上降了，我们假设这个 x 元比这个两千九低吧，那么是啊，是降了多少钱呢？就是两千九百减 x 元 啊，就是啊，降了这么多钱，那同学们，那这个东西是怎么着呢 啊？但如果同学你能看出来的话呢？最好啊，因为交叉相乘嘛，就是五十分之四乘以这个两千九百减 x 嘛，是吧，这个东西应该是，那如果说你看不出来这个地方填啥的话 啊，那你可以舍一个 m 啊，那么列一个比例，就是五十比上两千九百减去 x， 就 等于四比上 m， 那 这个 m 等于几呢？ m 很 明显吗？那么约他和他约，约到是二至二十五， 那就是二十五分之二乘以两千九百减 x 啊，就是这么这么多钱吧，所以说我们降了两千九百减 x， 他 是多卖了啊，这么个钱 m 等于二十五分之两千九百， 他多卖这么多钱，所以呢，我们是什么？我们是多卖了，就是加上二十五分之啊，还有个二的啊，这个二 二十五倍的两千九百减 x， 所以 这里就是个中括号 啊，这是我们，就是，这是我们每每台的利润多少，这样呢，是我们卖了多少台啊？我们首先是连九的话，是卖八台， 那他现在卖 x 台了，那 x 台的话啊，就对应着啊，那不是，他是卖 啊，两两千九百，他是卖 x 元了啊，卖 x 元呢，就对应着要多卖这么多台，那在八个技术上再加上这么多，这就是利润，那他等于五千就行了啊，因为后边写不开了，我们写下前面 五千等于这个东西，那这个呢？我们再解这个方程啊，我们再解这个方程，嗯，这个方程呢，我就不给大家解了哈。那如果说问降价是多少钱呢啊？降价是多少钱的情况下，那我们看一下啊，我们还是以这个啊，两千九百 啊，乘以八。原来卖两千九的时候他是卖八台，那他现在呢？我说要降 x 元，那本来卖降五十元会多卖四台，那我降 x 元多卖几台呢啊？大家同学看出来就是二分之二十五 x， 二十五占二二 x， 那如果说还是不知道的啊，还可以啊，设一个 m， 然后呢来交叉相乘，则 m 呢？就是这个东西 啊，所以呢，我们要搞清楚这个啊，是，嗯，它卖它降五十元的时候多卖四台，那降 x 元的时候就要卖再多卖二十五分之二 x 元啊，二十五分之二 x 台啊，台， 那我们看啊，现在他每天利润是多少？他要求每天利润，是啊，五千啊，是五千，那么还是啊，那现在呢啊，这个呢啊，他就到底每每台利润多少，他就有一些变化，那我们原来设的是啊，他就卖 x 元 啊，所以说是 x 要减去两千五，那现在我们设降价多少钱那所以我们先求出卖价多少钱？ 两千九百先减去 x， 因为我们设的降价是 x 元啊，两百先减去 x， 再减去两千五百啊， 这是卖多少钱？因为我们这次设的是降价多少钱啊？在两千九的计算降了 x 元，那降了 x 元之后呢，我们还要减去成本啊，这是每台的利润， 那乘以啊，那这个就简单点，那本来是卖八台的，现在呢，多卖了二十五分之二 x 台，再加上二十五分之二 x 台，那这样呢？等于五千啊，这两个方法呢，都能解出来。 嗯，这两个方法也没有什么啊，谁好谁坏啊，只不过说，那我们如果说是卖 x 元的话啊，卖 x 元的话，那这一部分它是比较简单的啊，直接 x 减去这个两千五就可以。 那如果你设降价是 x 元的话，那你要通过这个两千九先降 x 元，再减去两千五。反正是啊，左边这个我们都是单台的利润，那右边呢？通通都是什么？通通都是啊，能卖多少台？那原来卖两千九百减 x 时候是卖八台，那我们这是啊， 降了两千九百减 x 之后它的台数，那这个呢？是降 x 元之后多卖台数， 反正最后都等于五千啊，都等于五千。那这两种方法呢？他有时候考试的时候，理论上如果说做应用题的话，你掌握一种方法就行了啊，就是刚开始的情况下，你掌握一种方法就行了 啊。但是呢，嗯，如果说你想要把这种选择题做对的话，你两种方法都要不要掌握啊？就是说，呃，这个题他问你的定价是多少， 那你要马上做完定价之后啊，然后呢，再自己列一个降价多少，看看看你列对不对？而他问你降价多少呢，你再列一个定价多少。就是一题两做，发散思维啊。 嗯，一定要把这种题搞清楚，因为每隔个两年就考一次，每隔两年就考一次啊。嗯，这种题还是非常之重要的啊，非常重要。那第四种类型的题呢？就是这种，嗯，勾股定律的题了 啊。第购物这里的题。这种呢我就不讲了啊，大家自己看看就会啊。这种呢就没有必要浪费材料时间啊。就是 你根据前面的购物定义，反正啊，你设个 x 表示出这些路程来啊。这个最后呢，就是列一个购物定义，因为有平方嘛，我们要列一个一元二次方程的应用嘛。啊，这些通通都是一元二次方程的应用啊。