六年级下册数学连环画正比例

一年一度的思路，万国商贸大集即将开市，这是我们商队跨越千里、扬名立万的绝佳时机。 作为商队新任的掌柜，这次跨越茫茫大漠的所有物资筹备和路线调度全由我一人负责。大漠千变万化，我必须有一双能看破规律的慧眼。 哪怕这大漠里的情况再复杂，我也一定能理清头绪，把咱们商队安排的妥妥当当，准时抵达大吉。出发前的第一件大事就是采购整齐划一的商队木箱。这可是个精细活，我该怎么才能快速算清楚所有的账目呢？ 专门定制的这批正方形木箱，随着购买的数量不断增多，需要支付的通宝钱币也越来越多，购买的数量在变，总价也在变， 这数据也太庞大了，大家快帮帮我，这里面是不是藏着什么不变的规律，能让我一次性把总价算明白呀？ 货物装好了，接下来得准备掩盖货物的正方形防风帆布。帆布的边缘越长，整块布的面料就越大。 不对劲啊，帆布边长只多了一点，怎么整块布的大小却变大了这么多？这和刚才买木箱使的规律完全不一样，这是怎么回事？ 最后一步，核对行程，我们的骆驼队伍每天行进的步伐极其稳定，这羊皮网格图上记录着我们前三天的脚印轨迹， 奇怪，前几天的行走轨迹在网格上连成了一条笔直斜线。顺着这条线，你们说，我们能猜出十天后商队会到哪里吗？ 见证奇迹的时刻到了。当两个量成正比例时，他们在网格地图上描出的点，只要用尺子一连，竟然都在一条笔直的斜线上， 太完美了！货物毫发无损，形成分毫不差。历经千辛万苦，我们终于顺利抵达了万国大吉。面对变幻莫测的大漠与繁杂物资，能看破表象，直击本质，方可成为商队领袖。 这眉间骆驼徽章，我们当之无愧。我彻底明白了，纵世间万物变幻，只要找到其中不变的纽带，就能掌握一切规律。这次的大漠巡归之旅，真是一场酣畅淋漓的大丰收。 历经千辛万苦，看破变幻莫测的表象，我们终于找到了大漠中那条笔直一定的不变真理。这节课，你最大的收获是什么？

来，同学们，我们来做个游戏，听前音，说现象，猜成语，看谁最快猜出来。风吹起来了，草会怎么样？猜成语，好，请你说， 风吹草动，风吹草动，真棒！对了，好，请坐！水涨起来了，船会怎么样？猜成语，好，请你 水涨船高，嗯，对，看来同学们的成语知识真丰富，请坐， 同学们啊，风吹草就动，水涨船就高。都有一个共同点，一个事物随着另一个事物的变化而变化。 上一堂课，我们学习了变化的量，今堂课我们来继续研究这些量的变化规律。请看下面是正方形周长与边长，面积与边长之间的变化规律。 谁来说一说，图中分别有哪两组变化的量？谁的眼睛最水亮？好，第七组的这个男生，你来说， 边长和周长，还有边长的面积？哦，边长和周长，边长和面积。哇，这个同学真棒，他一下子就观察到了。同学们，请，现在呢？拿出学习单，把表格填完整。 请大家拿出学习单， 好，我看到很多同学都填完了，现在呀，谁来帮助老师把表格填完整？谁来说一下你填了什么数据？哪个同学来说一下？好，请你来。 好，说一下。八，嗯，也就说边长为二，周长为八。嗯，边长为三，周长为十二。嗯，边长为四，周长为十六。嗯，还有呢？边长为二，面积为四。 边长为三，面积为九，边长为四，面积为十六。同学们，他都填对了吗？填对了，好，请坐，还有其他填法吗？ 好，你来他最后一个，他最后一个格，两个都是空的，他这样，这就是证明他不是一定可以 要填这个数，平常可以填五，可以填六，可以填七，做出来也不一定是十六，可能是二十二十四之类的。哦，原来他发现了我们最后一个格是怎么样的，空空的，他举了很多例，老师也举了一个例，如果这里像他那样说，如果这里填八 三十二，他还说了还可以怎么样？继续填。哎，同学们，如果我这里填 a， 下面填什么？四 a， 真棒！现在啊，老师把这里挡住了， 你们还会填吗？会，嗯，为什么能填？因为它除以二等于，四 十二，除以三等于。哦，真厉害，原来大家都找到规律了，同学们，同样面积和边长还能继续填。 好了，现在请大家来看每个表格中两个数据的变化有什么相同点？请大家继续填，在学习单上 写的很清晰，那个过程非常棒。 好啦，我看见大家都基本上填完了，那么谁来说一说你的想法？哪个同学来说？ 嗯，同学们都很自信。好，你来，大眼睛来。对，这位小女生，你来，他们都是随着另一个数的变化而变化。哦，他们都是随着另一个数的变化而变化。好，请坐，谁来？再说一下谁还有其他想法？ 好，第四组的这位女生，你来说一下。我发现正方形的边长在增加，它的周长也随之增加。 相同的是，第二个表格中，正方形的边长仍然在增加，它的面积也同样在增加。哇，这个同学的表述非常的准确，你能出来只给大家来看一下你是怎样观察的吗？好，请你出来， 大家请听我说。我发现边长在一二三四的增加，它的周长也是四八十二十六在增加。 一样，边长一二三四在增加，它的面积也是一四九十六在增加。嗯，表述的非常的精确，也很自信，老师太喜欢你了，谢谢请进，同学们，大家都听到了吗？好，我想问还有其他想法吗？ 嗯，这样，老师把他刚才这个同学是从左往右观察，老师把他调转过来，从右往左，四三二一，收藏十六，十二十八四，那么你们有什么发现？ 哎，第八组，你来说，他的手举得高高的，真有自信。 它，它的边长随着随着边长的缩小，它的周长也会随之缩小，而面积的那里也一样，边长边长缩小，然后面积也会跟着缩小。 嗯，同学们，我把它呢换另外一个字，缩小，我把它说成减少，这样可能呢，大家呢，更容易理解，好，请坐。对了，同学们，我们刚才啊几位同学都很准确的发现了这里的 的相同点，我们来看，原来啊，正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加，也可以说随着边长的减少而减少。同学们， 这样我们就说他们的变化趋势是一致的。 刚才大家都非常棒，找到了这两种数据的相同点， 现在呀，我们来找一下他们的不同点，请看学习要求。一、独立思考二、小组类分享你的想法，现在开始 好了，同学们，已经写好的小组请站起来讨论。 啊啊， 好，大家来说一下， 如果他边长过两倍，他的面积会在四倍，如果他的 边长扩大三倍，长面积扩大九倍，可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数。嗯，非常棒，把它给我。 好，你来说一下，我发现周长与边长的倍数相同。这个结论可以从四除以一等于四，八除以二等于四等等来看出来，但面积与边长的倍数并不相同，比如一 除以一等于一，四除以二等于二，他们两个并不相同。嗯，非常棒，看看你来说一下 不一样，第一组的知识和等因素关系的，是第二组的知识运用最基础的地方。嗯嗯，很好， 好啦，我看大家呢，都讨论的差不多了，老师这里呀收集了几个同学的作品，请大家来看一下。第一个有请李文谦同学来说一说。 呃，大家听我说，我的观点很明确，边长加一，周长加四， 边长增加一，面积每次增加的却不一样，所以我的观点是，边长增加一，周长增加四，面积增加不一样。哦，原来他通过数字啊，把这个发现也很明确的告诉了大家。好，说得很好，请进，那我们请第二位同学。 第二位，欧阳小慧同学，请你来说一下欧阳小慧， 这样我把它的字变大一点点。 好，请你来说，请大家听我说，我通过计算发现数据，四除以一等于四，八除以二等于四十，二除以三等于四十六除以四也等于四，所以周长是边长的四倍。 面积一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，得出结论，周长与面积的倍数关系不一样。哦，原来啊，我们的小葵同学是通过了计算发现了以下两点，好，请记 好，那么我们再来看一下。还有同学有发现上南，欧阳上南，好，请上南同学出来讲一下。 大家请听我说，它的边长扩大两倍，它的周长也扩大两倍，它的 边长扩大两倍，它的面积却扩大四倍，所以可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数不一样。哦，原来啊，上男同学这样横着看，发现了 这里的不同点。好，好，可以了， 现在我们来请嘉文同学出来说一说你的想法。 大家请听我说 我。我从第一组数据发现了边长扩大多少倍，周长也会随之扩大相同的倍数。我们看第一组数据， 边长一到二扩大了两倍，周长也随之从四到八扩大了两倍，他们扩大的是相同的倍数。可第二组数据，边长扩大了，从一到二扩大两倍，面积 却是扩大二的平方。四从一到四扩大了四倍，从而我得出两组数据的变化规律是不同的。 哦，原来我们嘉文同学刚才根据数据来说，也是说得有理有据，非常棒，谢谢你。好，可以了，请进 陈乐新，有请陈乐新同学来讲一下。 请大家听我说。我发现周长和边长是，四除以一等于四，八除以二等于四十，二除以三等于四十，六除以四也等于四，商是一样的。 再看面积和边长，一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，商是不一样的。好了，同学们，我把乐星同学的也写在这里。 好，他就通过这里我们来看他说的三一样。这个三，其实你是怎样算出来的呢？我用边长除以周长，边长，我用周长除以边长。嗯，不用紧张哈。 嗯，他用周长除以边长。同学们，啊，都是等于几啊？四， 他得到的结论写了，三一样。同学们，三一样，我们也就可以说是比值一样，比值一样，我们也可以写是比值，一定对，很好。 好，那么我们再来看乐星，请你把第二个再来说一遍，第二个是面积除以边长。好，大家来帮老师把数据也说一下吧。 四除以二等于二，九除以三等于三，十，六除以四等于四。 好，同学们，我想问这里的算式是怎样得到的呢？一，一边转。 好，我看一下。三不一样。好了，乐星，那么我们来看一下三，分别是 一、二、三、四，其实啊，也是正方形的。对，真棒，我们也可以写等于边长，刚才 左边是笔直，一定，那么这边我们应该怎样说呢？笔直不一定。 好了，刚才乐新同学他非常棒，你来看他用数据啊，把这里的发现都写得非常的什么清晰。好，谢谢你， 同学们，我们刚才啊，通过研究都发现了正方形周长与边长，面积与边长的相同点，还有不同点。 好，同学们，除了图形，我们生活中也存在着大量变化的量。请看 一辆汽车以九十千米每时的速度行驶，行驶的路程和时间如下，大家来看， 时间在不断的变快，路程也在变快。好，我想问当时间为五十的时候，路程应该是多少？全班说四百五十，嗯，说的很精确。好，时间为六五百块四十，时间为七六 百三十。老师还能继续填吗？能，对，我们还能继续填。现在请同学们思考以下问题，表中的量是怎样变化的？ 它们的比值一定吗？请大家把你的思考记录在学习单上。 好，我看到同学们都写得差不多了，现在大家来。好，我看到同学们都写得差不多了，现在大家来第一个问，来说一下 第一个问题，谁来回答？表中的量是怎样变化的？谁来说一下第一个问题？好，你来说一下。第四组的这个女生 站起来说，我发现表中的量随着时间的变化，他们的路程也会变化哦，他发现他还可以怎样说了， 时间加一，他们的路程会增加九十。嗯嗯，对，还好，请坐。还有没有其他的说法？他说对了，好，还有没有其他说法？你来说， 表中的量是路程随着时间的变化而变化的。嗯，对，还可以怎样说呢？呃， 时间变化，路程也跟着他的时间而变化。嗯，对，好。同学们，我们再来看这些数字， 时间一二三四，这样路程好，还可以怎样说？也就是说，好，你来最后一个男生，时间扩大几倍，路程就扩大几乘九十哦，原来他发现时间扩大几倍，路程也扩大。扩大多少啊？ 扩大几乘九十哦，扩大几乘九十就扩大几。对。好了。那么我们可以说啊，时间随着路程的增加而增加。好。第二个，他们的比值一定吗？谁来说一下？哪个同学来说一下 好，谁来看 好？你来说一下 他们的比值一定，因为九十除以一等于九十，一百八十除以二也等于九十，等等都是九十 哦，所以你就说他们的比值一定对。好，请坐。那同学们，我们来看， 通过计算呢，我们都发现了，他们的比值是有时，也就是说比值一定。原来啊，这里除了变化趋势一致，他们的比值一定也是一定 好。同学们，经过了刚才的研究，我们回顾以上的图形，那么时间与路程的变化规律与上表中哪个表更相似了？你们认为？好，你来，第八组的这个男生，你来与上面的第一个表格更相似。 好，你能说一说这两个表相似的地方吗？因为刚刚已经算出来了，他他们的周长除以边长所得的比值都是 四，他他们的比值是一定的。然后呢，下，下面他的路程除以时间就等于速度，他的速度就是九十，所以他比值一定。哦，原来他们的比值是一定的，一定的。好，好，请坐。 同学们，像刚才正方形的周长与边长，路程与时间一样，一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的比值一定。我们就说这两个量成正比例。其实啊，在数学上， 当两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，他们的关系就叫做正比例关系。 同学们，我们刚才研究了正比例的关系，现在请大家辨析一下，正方形的面积与边长成正比例吗？好，思考一下，谁来说一下你的观点。 嗯，好，这个女生，你来说一下，她的周长是一，面积是一，她面积是四，周长是二，她的面，她的 他的差是二。嗯，他的差。嗯，继续往后算，可以得出，他们的比值不一定，但是如果要组成正比例，他的要求是比值一定， 边长和面积的比值不一定，所以不是正比例。哦，好，请坐。刚才啊，这个同学很清晰的说了，他计算得到，原来啊，这里的比值不一定， 比值不一定，所以啊，他的也不成正比例。对，同学们，其实啊，虽然变化趋势一样， 但是不，不一定会成正比例，要比值一定比值相同才能成正比例。刚才啊，我们呢，学习了 很多的正比例，那么同学们，请大家说一说生活中和学习中你还知道了哪些变化的量成正比例？请同学们在主类互相说一下。好，开始。 好，做一下。我每天练习的个数就会随着时间的，随着时间我每天练习的个数越来越多， 是九十块钱吧，然后我买了三。 老师啊，刚才啊，发现大家讨论特别的激烈，我也听到了他，大家很多的想法，现在谁来分享一下。呃，好，你来说一下第四组的 假设我每一个小时用一米的修改修正带，那么随着时间的增加，我的修正带会越用越长。嗯， 用修正带用的米数除以时间，那么它们的比值一定，也就是说 它们是成正比例关系的。嗯，好哎，但是你的修正带每个小时用的数量都一样吗？ 我说的是假设我每个小时我只用一米。哦，他，哦，原来老师听漏了，他每假设每个小时都只用一米，嗯，这样就可以了。好，请坐。还有谁来说一下？还有谁，哎，你来说， 我买这支笔三元单价，一定买的数量越多，总价越大，买的数量与总价成正比例。哦，这个同学真了不起，他看到了手中的笔就想到了， 但是他有个前提非常好，他就说他的单价是一样的，一定，也就说笔直，一定，嗯，真棒，还有谁， 还有谁来说一下。好，你来第四组，戴眼镜。这个男生一个游泳池要注水，假设他的每秒注 每分钟注水量是相同的，那么随着时间的变化，游泳池里面的水将也会随也会随着时间的变化而变化。而 用游泳池里面的水除以他的时间就可以得出他每分，他们的笔值是一定的，这个笔值又就也就是他每分钟的注水量，所以他们是成正比例的。哇，这个同学真了不起， 思路啊，特别的清晰，很清晰的讲述了游泳池的问题，怎样能成正比例，非常棒，并且他已经也说到了，要笔直，一定给个赞，给你请坐。 同学们啊，我们的学识真是很渊博，大家都说到了很多这里呢，老师有也有几个正比例，看 每天看书的页数，一定看的总页数和天数也成正比例。看我们做操，每行的人数一定的时候，做操的总人数和函数也成正比例。还有两个电，交电费的时候，铺地砖的时候也有正比例。 其实啊，我们生活中和我们的数学中到处都有正比例。对，现在啊，老师有一个问题需要同学们帮忙解决，请看 学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高和竿引的长，如下表。请大家打开数学书， 翻开四十二页练一练，帮忙老师解决。练一练的第一道题目开始写在书本的空白处。 好，同学们，停笔，我看到了，大家都基本上填完了。好，那么谁来说一说肝脾的肠与竹竿的高的变化关系？谁来说 好？第六组，这位男生，你来说，我发现竹竿的高增加竹竿，竹竿的那个影的长度也会随之增加。嗯，非常好，请坐，谁再来说一下？好，请你， 我发现竹竿的竿每增加一米，竿影的长就增加零点四米，嗯，他利用增加的数据说明了题目好，很好，谁再来说一下，谁还有想法？好，请你第五组这位女生。 竹竿增加一米就会，竿影就会增加零点四米，也就是说竿影竿影会随着竹竿的变化而变化，嗯，也非常棒，也是用数据说明哈。请做 竿影的长随着竹竿的高的变化而变化。看第二题写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？谁来说， 谁来说一下，我们来看。好，你来。呃，因为那个杆影的长比杆影的高是一比零点四， 呃，第二，第二个，第二个是二比零点八，第三个是三比一点二，第四个是四比一点六，他们的比值都是一样的。嗯，好了， 同同学，我想问一下哈，我们来看，有同学发现了问题了吗？ 好，你自己有没有发现的？有，哎，我们给个机会给这个同学，让他纠正一下，大家都很棒，都帮他了， 都帮忙，他找到了。好，我们来看他应该是反过来。是。哦，为什么要反过来？ 因为他第一个是干引的长比，他是干引，是干引的长比干竹竿的高，所以说应该是零点四比一，嗯， 等于一分之零，一分之零点四，嗯，零点四比一，然后，然后第二个是零点八比二，第三个是一点二比三，他们的比值都是一样的，第四个是一点六比四，第五个是二点四比六， 第四，第五个是三点，不是，第六个是三点二比八，嗯，你来算出他的比值，他们的比值都是零点四。对，所以，呃，所以肝影的长 与竿竹竿的高是正比例，嗯，是正比例。对，还可以通过数据我们都看到，因为它的比值一定，刚才的这个同学已经猜到了，原来他们是呈正比例。那么 你刚才就说成正比例，也就说他必须满足哪两个条件呢？必须一定变化趋势一日，嗯，对，非常棒！好，请坐看。来呀，同学们啊，正比例的知识掌握的非常好。 同学们，大家来看古斯拉科学家泰勒斯，他非常了不起，他利用正比例的知识把金字塔的高度啊都测量出来了。请看， 今天我们给大家讲讲泰勒斯巧测金字塔的故事。有一天，法老突然想知道金字塔的高度，于是在全国发布法令，寻找最聪明的人， 如果用绳子量，但不能爬到塔顶。如果造和金字塔同高的梯子，但花费巨大。恰巧泰勒斯早年游历埃及，他应法老要求，竟然没有登上金字塔，就测出了金字塔的高。 原来泰勒斯是放根棍子在塔旁，钢棍的影子长度等于棍长，此时塔底到尖顶投影的距离就是金字塔高度。泰勒斯是利用什么数学知识呢？其实是图形的放大与缩小，是比例知识的简单运用 啊！同学们，哇，刚才啊，泰勒斯，他实在是很聪明，利用了什么知识 正比例。那么你们学到方法了吗？学到了，同学们看，这是我们学校的标志性大榕树， 请你用学到的方法测量一下我们学校大榕树的高度，会了没有？会了好，请大家课后与组员一起研究，一起测量大榕树的高。 通过金堂课的学习，同学们，你们有什么收获了？谁来说一下？谁来说一说你的收获？好，请你来说， 我的收获是，如果要成正比例。嗯，变化趋势要一致，之后的笔直要一定才能成为正比例。哦，原来他学到了判断正比例的方法。有两点好，请做。 还还谁来再说一说你的收获。好，请你来说一下。我收获了。在生活中和学习中，我们可以看到许多的正比例 哦。非常棒哈，请坐，看来你的收获真多。好，以来我收获了。正比例，不仅不仅可以用于数学，还可以用于用于现实中，比如说计算一些根本不可能，不可能用正常方式计算不出来的物体。

学过了正比例之后，小美老师让大家分享自己见过的各种正比例关系。豆包张口就来，我们吃的多少和体重的胖瘦就成正比例关系。听起来很有道理啊， 可豆花却不同意，吃的多少和体重的胖瘦虽然相关，但它们的比值却并不一定，所以不成正比例关系。到底谁说的对呢？这个视频我们就一起来学习如何判断两个量是否成正比例关系。 我们先来看个简单的例子，豆包骑车去给大家买吃的，他骑车的速度是一定的，这是他离开的时间和路程是否成正比例关系呢？ 两种量要想成正比例关系，就必须满足三大特征，首先得是相关联的两种量，这里的时间和路程肯定是相关的。其次，一个量变化，另一个也随着变化，这从表里也很容易看出来。 最重要的是这最后一条，两者的比值要保持一定。你来看看这里路程和对应时间的比值保持一定吗？ 选 a， 用表中的数据计算一下，路程和对应时间的比值都是三百，因为路程比上时间得到的就是速度，而这里豆包的速度是一定的，所以路程和对应时间的比值也就保持一定，也就有豆包的时间和路程成正比例关系。 所以要判断两个量是否成正比例关系，除了看它们是否相关联，一个变化，另一个也随着变化之外，最重要的还是要看它俩比值是否一定，只有比值一定了，才会成正比例关系。 现在我们来看看豆包说的吃的多少和体重的胖瘦成正比例关系吗？显然，吃的多少和体重的胖瘦是相关联的，吃的不一样多，体重也会随着有变化。 但问题是，两者的比值并不一定多吃多少，并不一定对应长胖多少呀，所以吃的多少和体重的胖瘦并不成正比例关系。在数学上，也还有许多和成正比例关系有关的问题，比如你看这个圆形烙饼，它的半径和面积成正比例关系吗？ 显然，这个圆的半径和面积是相关联的，半径改变，面积会随之而变。那判断的关键就要看面积和半径的比值是否一定啊。 我们可以用 s 表示圆的面积， r 表示半径，根据圆的面积公式，又 s 等于 pi， r 的 平方，那你觉得圆面积和半径的比值一定吗？ 选 b， 圆面积和半径的比值就是 s 比 r， 再用面积公式， s 比 r 等于 pi， r 的 平方比 r 等于 pi r， 这 pi r 是 一定的吗？ 圆周率 pi 是 一定的，约等于三点一四。但是半径 r 可不是一定的，它是一个会变化的量，所以 pi 并不一定。所以圆的面积和半径虽然相关联，但是比值不一定，也就不成正比例关系。 研究完了圆面积和半径，有的同学可能就会问了，那圆周长和半径呢？它俩成正比例关系吗？我们用 c 表示圆的周长， r 表示半径，根据圆周长公式，有 c 等于二倍 r， 你 觉得圆周长和半径成正比例关系吗？ 选 a， 圆的周长和半径肯定是相关联的量，半径变周长就会改变，关键还是要看周长和半径的比值。 周长比半径等于 c 比 r 等于二 pi， r 等于二 pi 比值，二 pi 约等于二乘三点一四，也就是六点二八是一定的，所以圆的周长和半径就成正比例关系。 这个视频我们学习了判断两种量是否成正比例关系。如果两种量相关联，一个变，另一个也随着变化，那关键就是看它俩的比值是否一定，你学会了吗？

阿兰，为师今日要闭关炼丹，这灵药阁的每日运转和珍贵药液的调配就交由你来打理了。 这秘籍里隐藏着世间万物变化的平衡法则，只有掌握了比例的真谛，你才能调配出最完美的药剂。 放心吧，师傅，我一定会守好灵药阁，解开这些配方背后的秘密。第一个考验来了，这些灵矿石提取出的液滴似乎有着奇妙的变化规律，我该如何记录他们呢？ 咦？矿石放的越多，药液就越多，这两种力量之间似乎存在着某种牢固的纽带。大家快帮我看看，药液的低数和矿石的颗数之间除了都在变大，还有什么隐藏的数学关系吗？ 我明白了，只要它们的比值一定，这两种力量就达成了完美的平衡，这就是传说中的成正比例。 虽然灵芝的体积在变，金沙的重量也在变，但为什么这个天平始终保持着这种奇妙的平衡状态？ 如果我把这两个相关联的量进行消除计算，会发生什么惊人的发现呢？那个不变的常数究竟代表了什么？ 如果把这些数据点在星图上标注出来，是不是就能看到药效变化的真相了？ 你们看，这些点竟然连成了这样一条线！如果我想预测一百颗矿石能提炼多少药液，这条光束能告诉我答案吗？ 太神奇了！只要是成正比例的量，它们在图像上连起来必定是一条从原点出发的笔直射线。 既然已知它们成正比例，那就说明那个神秘的比值 k 已经藏在已知的数据队里了。先找到它， 成功了！原来这就是正比例的力量，只要守住那个不变的比值，无论多复杂的材料都能完美调配， 做的好。阿兰，你已经掌握了炼金术中最核心的平衡之道，这本初级炼金术师证书是你应得的。不仅是药剂，生活中的很多事物都藏着这种比例之美。我已经准备好迎接下一次挑战了。 伙伴们，今天的炼金任务圆满完成，让我们期待下一次的奇幻数学之旅吧！ 伙伴们，今天的炼金任务圆满完成，这枚正比例勋章也有你们的一半，这节课你有什么收获？

阿兰，为师今日要闭关炼丹，这灵药阁的每日运转和珍贵药液的调配就交由你来打理了。 这秘籍里隐藏着世间万物变化的平衡法则， 只有掌握了比例的真谛，你才能调配出最完美的药剂。放心吧，师傅，我一定会守好灵药阁，解开这些配方背后的秘密。第一个考验来了，这些灵矿石提取出的液滴似乎有着奇妙的变化规律，我该如何记录它们呢？ 咦？矿石放的越多，药液就越多，这两种力量之间似乎存在着某种牢固的纽带。 大家快帮我看看，药液的低数和矿石的颗数之间除了都在变大，还有什么隐藏的数学关系吗？ 我明白了，只要它们的比值一定，这两种力量就达成了完美的平衡，这就是传说中的成正比例。 虽然灵芝的体积在变，金沙的重量也在变，但为什么这个天平始终保持着这种奇妙的平衡状态？ 如果我把这两个相关联的量进行消除计算，会发生什么惊人的发现呢？那个不变的常数究竟代表了什么？ 如果把这些数据点在星图上标注出来，是不是就能看到药效变化的真相了？你们看，这些点竟然连成了这样一条线！如果我想预测一百颗矿石能提炼多少药液，这条光束能告诉我答案吗？ 太神奇了！只要是呈正比例的量，它们在图像上连起来必定是一条从原点出发的比值射线。 既然已知它们成正比例，那就说明那个神秘的比值 k 已经藏在已知的数据队里了。先找到它， 成功了！原来这就是正比例的力量，只要守住那个不变的比值，无论多复杂的材料都能完美调配。 做得好！阿兰，你已经掌握了炼金术中最核心的平衡之道， 这本初级炼金术师证书是你应得的。不仅是药剂，生活中的很多事物都藏着这种比例之美。我已经准备好迎接下一次挑战了！ 伙伴们，今天的炼金任务圆满完成，让我们期待下一次的奇幻数学之旅吧！ 伙伴们，今天的炼金任务圆满完成，这枚正比例勋章也有你们的一半，这节课你有什么收获？

嘿，同学们好，我们又上课了，今天呢，我们一起来学习正比例的图像，我们看看能怎么画。首先呢，我们先回顾一下什么是正比例，我们想在路程，速度，时间这个关系中呢，路程 和速度还有时间，咱们可以想啊，如果速度保持不变的话，是不是时间越长，路程就越远呀？ 所以说呢，路程比时间它是一个固定的值，在这种情况下呢，我们就可以说路程和时间它是成正比例的。那我们一起来看一下黑板上的问题， 全班同学呢，去看电影，看电影的人数和所付的票费如下表，那我们一起看一看。 嗯，一个人看电影的话，票费是二元，两个人是四元，三个人是六元，那这我们能够看出来，这个票费是不是随着人数的增长在增长呀？ 那他们之间有没有什么固定的关系呢？那我们看两个人是一元，那一个人是多少元，那一个人是多少啊？ 是不是四除以二是不是也等于二元呢？那六个人除以三，六元，除以三人呢？ 是不是还等于二元？所以它是不是有一个固定的值，它是二元呢？对不对？那我们现在一起看， 那如果是六个人看应该多少钱？六个人是不是固定的票费单价是二元，那就应该是十二元，七个人呢，二乘七等于十四元，八个人二乘八等于十六元。那好， 那现在呢，咱们甚至都将表格补充完整了，你们告诉老师，所付的票费数和人数，他们是否成正比例啊？哎，因为有固定的值了，所以他是成正比例的。 那好，那现在呢，老师教一下同学们怎么画正比例的图像，现在呢，我们可以将每一个数字我们都给标注到我们的表格中来，我们一起看， 根据已有的，我们继续往下标看最后一个，这是四个人，花费八元，那我们再看那五个人呢？五个人，老师这样给画上来，五个人花费多少元？在这 是不是五个人十元，对不对？那六个人呢？我们是不是可以继续一次这样上来六个人，那就到这十二元这里都有，对不对？六个人十二元，那七个人呢？七个人看 十四元，哎，十四元，七个人十四元，来，我们再看八个人， 八个人十六，看是不是可以划过来，在这里八个人十六人。好，那现在老师随便给同学们挑一个点来，我们就看 五个人这个点，看这个，老师让它为点 a， 你 告诉老师点 a 是 什么含义，代表什么意思？这是不是横轴是人数，这是五个人，纵轴是不是十元？点 a 代表什么呀？ 来，老师可以写到这儿， a 代表的是五个人，票费是 十元，对吧？五个人，票费是十元。那好，那现在呢，我们可以将这些点呢给连接到一起，我们看看能看出来什么内容，来，我们将我们画出的所有的点都给连到一起。 好，同学们来看老师连接的，我们能看出什么呀？ 是不是正比例的图像它长这样，这是一条什么样的线？这是一条什么样的线？是不是一条直线？所以呢，我们可以知道正比例的图像是一条直线， 好，正比例的图像是一条直线，这个呢，同学们要记住啊，那现在老师还有其他的问题，那 老师给大考考大家啊，如果出现了一个点点 b， 点 b 呢，它是一百二百，那这个点在不在这个图像上，在不在这个图像上？同学们可以好好考虑一下， 点一百二百，它在不在这个图像？首先你们告诉老师点一百二百它是什么含义？它是什么意思？ 看看点 a， 他 是什么意思？五个人飘飞十元，那这个呢？是不是这代表一百人，这个呢？代表 二百元，他在不在这里啊？是不是二百除以一百，他有个固定的值，和他是一样的，是二元，所以呢，是不是他也在这条直线上， 也就是说这条直线它可以无限去延长，延长的所有的点它都符合我们这个正比例的图像，符合我们正比例的含义，这个呢就是正比例函数的图像，同学们会画了吗？ 课下呢，我们可以给自己出几个小问题，之后来再尝试着画一画这个图像，一定要注意我们所画的图像，最终呢，它要是一条直线，一定是一条直线，千万不要画成曲线啊，曲线的话那就不对了。 好，这节课呢，我们就上到这了，我们学会了正比例函数的图像怎么画好，下课。

在上课之前呢，我们先一起来看一段小视频，拍摄的是汤老师的上班日常，请同学们用数学的眼光去找一找视频中的小亮点， 上班呢，打卡成功！ 先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化。好，你来说。 老师上班的路程一直在变化，总共是走了一千五百米， 你观察的很仔细。还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？好，你来说。潘老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意好不好？像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量，那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说的真好，请坐，还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少，很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关联的量，像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说， 说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好，那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。 说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试 速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百，第三组就是九分之一千五，把他们约分完之后，也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对路程之间的一致， 那么它们之间的比值就表示速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相对速度，五百 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 汤老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格，谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的，米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，谁来试一试？ 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？听清楚了，好，下面请同学们开始。 哈哈， i i 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们怎么发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃， 然后这，然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于，然后单价就是三天，我们是一定的。 然后我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价，它值三点五，呃，比值也还是一定的。 这是第二个同学，这里他也是用他的那个总价除以它的数量， 呃，这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价，也还是它的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价，一直也还是一定的。 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来也就是总价除以单价。我们说啊，等于它的那个， 呃，除，除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，已知还是一定的。掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习，单上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你爸爸听清楚了没有。好，你来说 这里的三点五表示他的单价同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。

我们来做几道判断题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。先看第一题，我们知道订阅的数量越多，订订阅的费用就越多。订阅的数量越少， 订阅的费用就越少，说明他们两者是两个相关联的量。这里说了杂志的单价一定，我们知道用费用除以数量 就是单价，单价一定说明比值相等，因此订阅的费用与订阅的数量是成正比例关系的量。 再来看第二题，正方体的表面积和它的棱长。我们知道正方体的棱长越长，它的表面积肯定越大，但是 通过表面积公式，我们得到了正方体的表面积除以棱长的平方等于六。大家看到了六，它是一个固定的数值，那么说明表面积和棱长的平方是 成正比例关系的。但是我们不能说表面积和棱长是成 正比例关系，因为大家看到了表面积，如果除以棱长的话，等于棱长乘六，这里棱长它是一个变量，所以表面积和棱长不是成正比例关系。 再来看第三题，我们知道一个人年龄越大，身高越高， 但是身高长到一定程度，也就是说成年之后，身高就不会再变了，而年龄呢，还是在逐年的增长。那么在此过程当中， 一个人的身高和他的年龄虽然是两个相关联的量，但是比值不是一定的，因此不是成正比例关系的量。 最后，圆的面积和半径，我们也知道，一个圆的半径越长，那它的面积就越大，半径越短，面积也越小，它们两个是相关联的量， 但是我们知道圆的面积公式是 s 等于 pi， r 的 平方，我们用面积除以 r 的 平方等于 pi。 从这看到了 pi， 虽然它是一个固定的数值，但是它是面积和半径的平方的比，说明圆的面积和半径的平方是成正比例关系的， 而不是圆的面积和半径成正比例关系，这一点大家要弄清楚。

今天我们来练习几道正比例图像的题型，熟悉一下他的做题方法。我们先看第一题。一天小明去上学，他刚走不久，妈妈发现他忘记带数学书，于是就去追小明，先观察图像，再回答问题。 横轴表示时间，单位是分。纵轴表示路程，单位是米。实线表示小明，虚线表示妈妈，这是小明的图像，这是妈妈的图像。我们先观察小明的图像，看可以得到哪些信息。 从零零出发的一条射线，这是一个正比例图像。路程与时间比值是一定的，那路程与时间的比值等于什么？ 路程除以时间等于速度，说明小明的速度是一定的，能求出他的速度吗？我们可以找一个点，比如这个点表示他一分钟走五十米，速度就是路程除以时间，五十除以一，等于五十米每分。 或者再找一个点，这个点表示他两分钟走了一百米，那速度就是一百除以二， 也是五十米每分。同样你也可以找这个点，表示他三分钟走了一百五十米，速度就是一百五十除以三，也是五十米每分。再看妈妈的图像，妈妈是从这个时间开始出发的， 也就是六分的时候开始出发。那我们根据这个图像能求出妈妈的速度吗？我们同样是找点，找能看出具体数的点，比如这个点 对应的时间是八分，路程是一百五十米，是妈妈八分钟走了一百五十米吗？这一百五十米是妈妈几分钟走的路程，他是从六分钟开始出发，走到八分钟，经过两分钟， 所以一百五十米是妈妈两分钟走的路程，所以速度是一百五十除以二，等于七十五米每分，这是妈妈的速度， 或者我们再找一个点，这个点对应的时间是十分，路程是三百米，那这三百米的路程是妈妈几分钟走的呢？ 从六到十经过了四分钟，四分钟走了三百米，我们可以求出它的速度，三百除以四也是七十五米每分，这里要特别注意所用的时间，减去出发的时间 才是他所用的时间。图像我们已经看懂了，那来看一下问题。第一小题，妈妈出发时小明已经走了多少米？妈妈什么时候出发的？六分钟的时候出发的，求小明走的路程，要找准小明图向上对应的点应该是这个点， 表示小明六分钟走了三百米，所以第一个空，小明已经走了三百米。第二个空小明的速度是多少？我们刚才已经算过了，他的速度是五十米每分， 怎么算呢？我们还是在他图像上找点用路程除以时间。第二题，小明行走的路程和时间比值是一定的， 成正比例关系。第三，照这样的速度，妈妈出发几分钟后可以追上小明，这是一个追集问题， 求追集时间，用路程差除以速度差，路程差是多少呢？小明走了三百米的时候，妈妈出发去追小明，所以路程差就是三百米 除以速度差，妈妈的速度是七十五米每分，小明的速度是五十米每分，那速度差就是七十五减五十的差。求出追击时间等于三百除以二十五等于十二分钟， 十二分后能追上小明。这种题型就是我们要先能看懂图，才能去回答问题。我们来看第二题，笑笑和小丽借助表格和画图的方法，探究当梯形的上底和下底的长度不变，梯形的面积和高之间的关系。 梯形的上底和下底长度不变，也就是上底下底长度的和不变。那么梯形的面积和高之间的关系如下表，我们先通过这个表格判断一下这两种量有什么关系。从左往右看，梯形的高越来越大， 梯形的面积也越来越大，这是两种相关联的量，然后发现这两种量它的比值是一定的。我们用梯形的面积除以高，二除以一等于二，四除以二等于二，六除以三等于二，比值都是二。 梯形的面积与高的比值是一定的，所以它们成正比例关系。第一题，在图中描出梯形面积与对应高的点并连线。 我们先来瞄点，横轴表示高，纵轴表示面积。第一个点是零零，第二个点是一二在这个位置。第三个点二四在这， 第四个点三六这个位置。第五个点四八在这里，第六个点五十在这里。再连线并延长，是一条过零零的射线，这是正比例的图像。 再看第二题，当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成什么比例关系？理由是什么？刚才判断过了，是成正比例关系， 它们是两种相关联的量，而且比值是一定的，所以成正比例关系。那我们来看一下梯形的面积与高的比值求出的是什么？我们想想梯形的面积公式，等于上底加下底的和乘高除以二。 用梯形的面积除以高，得到的是什么？是上底加下底的和再除以二，也就是梯形的面积除以高等于上底加下底的和再除以二。 我们来看一下比值是不是一定的。上底跟下底长度不变，那他们的和也不变，除以二也不变，所以比值是一定的， 所以梯形的面积与梯形的高成正比例关系。那我们这里在写理由时可以写完整一些。梯形的高和梯形的面积是两种相关联的量。梯形的面积与高的比值等于上底加下底的和除以二，比值一定，所以成正比例关系。 第三题，根据表格呈现的数据，这个梯形的上底和下底的和是多少米？根据表格我们知道梯形的面积与高，它的比值都是二，那这里的比值表示什么？刚才已经推导过了，是上底加下底的和除以二， 也就是上底加下底的和除以二等于这里的比值二。我们可以求出这里上底加下底的和，用二乘二等于四米。第四题，梯形的上下底之和不变。 当梯形的高是七米时，对应的梯形的面积应该是多少平方米？高是七米时，那我们在这里填七，让我们求梯形的面积。我们已经知道他们之间的关系了，面积与高的比值是二， 那么梯形的面积就是二乘七十四，那这个空答案就是十四平方米。我们来看最后一道题。科学课上，小斯进行了蜡烛燃烧的实验，记录了实验的过程。 第一，根据右图完成下表信息填写。我们先观察这个图像，这个图像是蜡烛燃烧剩余的长度与已经燃烧的时间的关系， 所以横轴表示已经燃烧的时间，单位是分。纵轴表示剩余的长度，单位是厘米。需要注意横轴和纵轴分别表示什么， 我们由这个图像看能得到哪些信息。当零分时，剩余长度是十厘米，表示什么意思呢？零分时，说明蜡烛还没有开始燃烧，它的长度是十厘米，那这十厘米实际上就是蜡烛的长度，蜡烛长度是十厘米。再看这个点， 燃烧了五十分钟时，剩余长度是零，那说明燃烧完这根蜡烛一共用了五十分钟。我们来填写这个表格，第一行表示蜡烛已经燃烧的时间， 第二行表示蜡烛剩余的长度，第三行表示蜡烛已经燃烧的长度。当燃烧时间为零时，就是还没有开始燃烧。蜡烛长度是十厘米，已经燃烧的长度是零， 就还没有燃烧呢。当燃烧时间是五分钟时，蜡烛剩余长度是九厘米。那已经燃烧的长度呢？蜡烛的总长度是十厘米，用十减去剩余的长度就是已经燃烧的长度一厘米。 第三列，蜡烛燃烧十分钟时，剩余长度。我们看图像，这是十分钟，找到对应的点，剩余长度是八厘米，那已经燃烧的长度我们用十减八，已经燃烧了两厘米。 十五分钟时，剩余长度是七厘米，那已经燃烧的长度十减七三厘米。第一小题，蜡烛已经燃烧的长度和已经燃烧的时间成什么比例关系？ 这是已经燃烧的长度，这是已经燃烧的时间。我们要观察第一行和第三行之间的关系。第一列是零零，第二列是五一，第三列十 二，第四列十五三，他们之间有什么样的关系呢？ b 值一定，我们用已经燃烧的时间除以已经燃烧的长度都等于五。五除以一等于五， 十除以二等于五，十五除以三等于五，所以成正比例关系。如果 s 表示蜡烛已经燃烧的长度， t 表示蜡烛已经燃烧的时间，它们之间的关系用字母表示。为什么 这个是 s， 这个是 t， 它们的比值是一定的。用 t 除以 s 等于五， 那这就是他们之间的关系。把答案写上去， t 除以 s 等于五，能表示出比之一定。第三，根据第二题中的关系，求蜡烛已经燃烧十四分钟后，蜡烛已经燃烧的长度是多少，根据这个关系来计算， 也就是已知 t 等于十四分，让我们求 s， 我 们把 t 等于十四带进去。如何求 s 呢？可以用十四除以五等于二点八厘米，或者列方程 解设蜡烛已经燃烧的长度是 s 米，将 t 等于十四带入，可以得到十四除以五， s 等于二点八。 第四题，照明一天至少需要多少根这样的蜡烛？一天按二十四小时计算，结果保留整数也就是多少根。这样的蜡烛能照明二十四小时。那我们首先要清楚一根蜡烛的照明时间， 一根蜡烛的照明时间是多长呢？五十分钟，五十分钟这根蜡烛就燃尽了。那现在要照明二十四小时，需要几根蜡烛？我们就看二十四小时里面有几个五十分钟就有几根蜡烛。 我们先进行单位换算，把小时化成分钟等于一千四百四十分钟，再看这里面有几个五十， 一千四百四十除以五十等于二十八点八，结果保留整数，那应该约等于几根呢？进一法至少需要二十九根这样的蜡烛。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

我们说说正比例的意义，在了解正比例之前，我们先说说什么叫相关联的量。这是王明在七岁之前体重的变化情况。表格中有两个量， 一个量是年龄，另一个量是体重。当王明刚出生时，对应的体重是三点四千克，六个月时对应的体重是十点五千克。以此类推，我们可以发现，从出生到七周岁， 王明的体重都是随着年龄的增长而增长的。这是某地二零一一年月平均气温统计图。我们看横轴代表的是月份，也就是时间，纵轴代表的是平均气温。 某地的月平均气温是随着时间的变化而变化的，比如一月份的平均气温是二十摄氏度，而七月份的月平均气温则是二十五摄氏度， 到了十二月，气温又下降到了二十摄氏度。统计表和统计图中都有两种变化的量，一、总量的变化会引起另一总量的变化，我们就说这两种量相关联。 生活中相关联的量还有很多。我们看这是一辆匀速行驶汽车的行驶时间和路程记录表， 汽车行驶的时间和路程就是两个相关联的量。我们先横着看，一小时行驶六十千米，两小时行驶一百二十千米，三小时行驶一百八十千米，相邻时间都相差一小时， 相邻的路程都相差六十千米。他的时间乘二，路程也乘二，时间乘三，路程也乘三，说明路程是随着时间的变化而变化，时间扩大，路程也扩大，时间缩小，路程也缩小。 为什么会出现这种情况呢？因为他们之间的关系藏着一个不变的量。速度，我们算一算， 它们的速度都是六十。如果用数量关系式表示，就是路程除以时间等于速度，速度不变，我们可以写成一定。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中对应的比值一定， 这两种量就是正比例的量，它们的关系就是正比例关系。如果用字母 x、 y、 y 分 别表示这两种相关联的量，用 k 表示比值， 数量关系就可以用下面的式子表示。因此我们说路程和时间是成正比例的量，它们是正比例关系，要记住哦！判断两个量是否成正比例关系的方法就是先看是否相关联，再看比值是否一定。 我们再来看看正比例的图像，先在图中找出对应的点，然后我们把它们连起来。我们看正比例的图像是一条经过圆点的直线。我们在判断两个量是否成正比例关系时，也可以通过图像来判断。现在你知道什么是正比例了吗？

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

六年级下册数学正比例、反比例，考来考去，无非就这五页纸一次讲透六年级下册数学正比例、反比例知识点，家长给孩子打印收藏下来，考试能多拿二十分。无非就是这四种关系，两种不相关联的量不成比例。 加法减法关系不成比例乘法关系。接一定成反比例，除法关系商一定成正比例。二、正反比例对比，一定要记，要背诵，会理解并阅哦！吃透概念，完成专项练习。题少而精，一、填空题二、选择题，题目难易程度适中， 接着完成比例。十大重要题型，每一题都是老师精挑细选的，很有代表性。一、归一问题二、勿高于隐藏问题三、行程问题四、间隔问题 五、分数相关问题六、相遇追及问题七个总问题八、铺地砖问题九、齿轮问题十、比例尺问题。以上均有完整空白，电子版可练习。