天津高中河东一模数学时间

河西结合考和平南开、河东的一模考试啊，基本上结束了。大家有没有发现， 今年同期的这些试卷比往年比中考真题难度要大上不少。就连我们啊，素质教育示范区河西区在语文、数学、道法、历史上也增加了难度和创新， 这释放出一个特别强烈的信号，这个信号就是我们二六年中考不会特别简单。这是张老师从去年九月份就跟我们直播间家长一直讲的。 张老师在这大胆预测一下，我们二六年中考数学、物理、化学难度跟二五年基本持平，想再加大难度很难，但是语文、历史、道法包括英语今年比二五年难度还要上升。 我们想考好高中的孩子，务必要在文科上多投入时间了，希望每个孩子都能考上理想的高中。

本周啊，好几个区都进行了初三一模的统考，就数学而言呢，一些题型的新趋势，新变化，咱分享一下。嘿，太好了，第一，这个中考的二十四题会不会是折叠， 不是一年平移一年折叠吗？哎，你看南开区这个二十四题，他是动点先旋转，然后呢平移加放错，这就是很创新的题型。你说这道题算嘛呢？每样都有点哎， 算折螺卧了是吗？哈哈哈。第二，有同学说了，我学了胡不归、逆等线这些个模型，怎么二十五题套不上呢？那不白学了吗？哎，咱举个例子啊，比如说你学了炒辣子、鸡丁、炖排骨、包饺子这些呢，就像胡不归、逆等线这样具有典型特征的模型。 但是呢，命题的趋势是去模型化，也就是淡化单一套路，考察综合厨艺。你比如说现在给你的元素有土豆、鸡胸、排骨、酸菜，你能不能做一道新菜？ 折罗呀，你快吃饭去吧。哎，别别别，哎，王老师，这些新题在哪看呢？哦，我整理了这几个区的试卷，还有关键题的讲解，需要的可以领一份给孩子看看。

二零二六年天津中考各区模考时间，和平区一摸四月七至四月九。二摸五月七至五月九。三摸六月二至六月四。河西区杰克四月七至四月八。一摸五月六至五月七。南开区一摸四月七至四月九， 二摸五月十八至五月二十。虹桥区杰克三月二十三至四月二十一。二摸五月十一至五月十三。三摸六月一号。 随唐考河北区一摸四月十三至四月十四。二摸五月八至五月九。河东区一摸四月八至四月十号。杰克案片三片三月十九号。左右部分区一摸四月二十七至四月二十九号。

啊同学们好啊，河东区的一模也考完了啊，有的同学呢反馈说脑子都算冒烟了啊题型啊都见过，看着不难，但是呢，呃计算非常麻烦啊，有一种被缠斗的感觉。 呃我觉得呢起码题型啊没有偏离中考虽然不引领创新啊但让孩子们重视计算呢也是一种务实的考察。 呃，计算自己咱就加强练习吧，咱们现在说会这个难题啊，这个二十五题和十八题啊。好，咱们先看这个二十五题 啊，当然了，不管你是什么水平你这二十五题的第一问其实都没有人觉得困难。好，我们现在来看啊，第一问，你只要把这三个数放里边去就行了对吧？哎，他这个解析式啊，是 y 等于 x 平方减二 x 减三啊，求顶点坐标，那么我们给他配上一个 顶点式啊，于是点 p 的 坐标一逗负四。好，下面我们再来看这个啊第二本啊， 呃，这个第二本里边啊有圈一和这个圈二但是呢，哎这个圈一和圈二里边都得满足这个条件啊，也就是说啊点 a 的 坐标呢是负一逗零对吧？哎，所以这样的话呢我们把负一逗零带到这个解析式里边去，所以呢我们就能够得到 a 减 b 加 c 等于零啊， 在这个式的成立的前提下现在圈一里边是 a 等于二对吧，哎，那么如果 a 等于二的话我们就可以怎么样呢我们可以得到 c 等于什么东西 b 减二对吧？哎，然后我们干什么呢消元对吧哎， 对吧，哎，提前把它给圆给削掉一个，那么我把 c 给替换掉所以这样的话呢这个解析式就变成了什么呢？就变成了 y 等于，哎，二 x 平方啊，加上呢 b， x 加上 b 减二啊，就变成这个了，对不对啊？ 呃，那么在这里头呢啊，就变成了一个由 b 来控制的这个抛物线，对吧？那么我们在动图里也可以看到，对吧？哎，随着 b 不 同，这个抛物线呢，这个蓝色的也呢，在变化，对吧？哎， 好，那现在我们再看啊，那现在点 d 在 抛物线上，这等于九十度， bc 等于 bd， 那 么他为什么必须得是这个方向呢？哎，因为啊，这个抛物线，哎，我们在图里头也体现了，对吧？哎，因为这个 a 呀，他是大于零的，对不对？ a 是 大于零的，然后这个 b 又是小于零的， 就意味着对称轴怎么样？对称轴它得是大于零的，对吧？左同右异嘛，对不对？所以呢，它只能是这样的一个方向，对吧，才能满足 cbd 是 九十度啊，然后这个 bc 等于 bd， 对 吧？哎，好，现在呢，我们让这个动图啊，歇会 啊，好，下边在这里头啊，那我们来注意啊，那这样的话呀，它 在满足题目里边这个条件的情况之下啊，那我们应该怎么办呢？还是利用什么东西呢？要利用他的这个特殊性啊，要利用他的这个特殊性啊， 他的这个特殊性体现在哪呢？哎，他的这个特殊性啊，体现在，哎，这里头啊，又有两个全等的，什么呀？三角形啊，就是利用我们这个三垂直啊，利用我们这三垂直啊，那么这两个全等的三角形在哪呢？当然是在这个地方， 对吧？哎，说作为垂直啊，那么这个三角形和这个三角形，是吧？哎，这两个三角形就怎么样呢？就是全等的，对吧？哎，这两个三角形就全等，对吧？哎，那么这两个三角形全等的话，这个 b 点的坐标，我们可以给它表示出来，对吧？哎，这个 b 点坐标怎么表示？我们把这个式子可以干什么呢？哎，给十字相乘一下，这十字相乘是什么东西呢？哎，就是二一，对吧？哎，然后这个东西是什么呀？哎，是 b 减二， 这乘以一，对吧，于是呢，这个式子就变成了什么呢？哎， y 等于 x 加一乘以二， x 加上 b 减二，哎，对吧？ 哎，那这个体现就是 a 点的坐标，这个体现就是 b 点的坐标，对吧？所以这个 b 点的坐标是什么东西呢？呃，二分之二减 b 都零，对吧？哎， 当然 c 的 坐标就是零度， b 减二了，对吧？哎，所以这样的话呢，我们利用这两个三角形干什么呀？全等啊，我们利用一下这两个三角形，全等啊，那我们看，哎，这两个三角形，他这个一全等，是不是就能够用小小 b 来表示出这个点 d 的 坐标了呢？对不对？哎， 因为呢，我们这两个三角上一圈等，所以这条边的长度就得等于这条边的长度，对不对？哎，那我们看这条边的长度，实际上我们已经表示完了，是谁呢？哎，就是这个，哎， 点 c 的 坐标的这个什么呀？这个绝对值，对不对？那么点 c 的 坐标是 b 减二，对吧？是 b 减二，但它是一个什么呢？是一个负数，对吧？所以这个 o c 的， 比如说，我们把这个点叫做 h 啊，这个垂足啊，那么 o c 的 长度等于什么？等于二减 b， 对 不对？哎，那么这个 h b 呢？哎， 当然也等于二减 b 了，对不对？所以这样的话呢，我们就能够表示出来点 d 的 坐标，最后我们一计算啊，二分之 b 减一啊，这横坐标啊，这个他的纵坐标是什么东西呢？哎，他这个纵坐标就是二分之二减 b， 哎， 哎，这个纵坐标二分之二减 b， 怎么跟刚才的一个数一样的？对啊，当当，当然了，他就是点 b 的 横坐标，对不对？就这段的长度跟这段长度是一样的，两三角形是全等的嘛，对吧？哎，然后呢，我们把这个点 d 的 坐标带入到哪了？哎，带入到这个抛物线的解去里边去，带哪个里边就带入到这个里边来， 对吧？带到这个里边来啊，那么带到这个里边来呢，我们就得到了一个关于什么呀？关于 b 的 方程，对吧？那么这个关于 b 的 方程呢？这个比较长啊，比较长啊，我在这个地方啊写一下啊，就你带入的时候，你别给带错了啊，你别给带错了啊， 我们把这个啊二写在前面，二乘以谁呢？哎，二分之 b 减一，括号的平方，就这个点 d 的 横坐标啊，看好了啊，然后呢，哎，加上 b 乘以还是这横坐标啊？ 二分之 b 减一，哎，正，然后加上啊， b 减二等于谁呢？最后等于这个地方这个纵坐标啊， 二分之二减 b 啊，然后我们来解这个方程啊，来解这个方程啊，呃，这个方程最后解出来之后呢，是这个，呃， b 等于负的二分之一 或 b 等于二啊，然后得到了这个式子之后呢，我们把这个给舍掉啊，因为 b 得是小于零的，所以最后结果 b 等于负二分之一啊， b 等于负二分之一 啊，呃，那也就是说呢？哎，也就是说呢，我们看到啊，在这个动图里边啊，呃，在这个动图里边，哎，我已经锁定了。这个什么呀？哎，呃，锁定了这个这些条件了啊，就是，呃，这个 就是什么九十度啊？ b， c 等于 b， d 点 d 在 抛物线上，对吧？那么随着 b 的 变化啊，那么这个随着这个 b 的 变化，那么是谁在这里头改变呢？哪个条件他在这里头被突破，在改变造成了这个抛物线不确定呢？也就是说，当这些条件啊， 在抛物线上， cbd 等于九十度， bc 等于 bd， 当这些都满足的时候，题目里边的哪个条件实际上被我修改了呢？是 a 等于二，对吧？也就是说，这个 b 啊，它在这来回乱动啊，在这来回乱窜的这个过程当中啊，那么它这什么呀？哎，它是这样的啊， 这个 a 呀，在我这拉动这个 b 的 时候，这个 a 就 怎么样了，哎，这个 a， 哎，看到了吧？哎，这个 a 它是在， 哎，这个 a 它是在改变的，对吧？这个 a 它是在改变的，对吧？哎，只有合适的一个 b 才能让那个什么呀，才能让这个 a 等于二啊，才等于等于二，就这个意思， 对吧？哎，当然了，你也可以把这个动图化成其他的形式啊，因为有的同学发私信说这个也在研究这个软件，对吧？哎，你有了更深的体会与变量与常量之间啊。好，这个我们就不多说了啊，我们下头来看这个第二本圈二啊，嗯，这个圈二啊，说是这个 b 啊，是负 c 到 零啊，这个点 e 呢？在这个线段 o c 上，然后角 a b， e 也等于两倍的角 c 比 e， 对 吧？然后呢？呃，这个线段 b e 与抛物线的对称轴 l 交点为 f 啊， g， h 分 别为 b， e， b， a 上的动点，然后当 a， g， g， h， e， f h， 哎，这取得最小值的五倍根号三的时候，就有点 e 的 坐标啊，哎， 那么我们现在来看啊，还有三段线段的和，对吧？三段线段的和啊，那这三段线段的和，我们看这个字母顺序啊， 你要把这个 f h 你 给调整一下啊，调整成 h f， 这就是什么呀？ a g 是 吧？哎，然后呢？这个 g h 啊，然后 h f， 对 吧？哎，它是前后两段线段，是有公共顶点，对吧？ a g 对 吧？ g h， h f 对 吧？哎， 所以这样的话呢，它显然不是因为三段线段，它所以就是飞马点了，跟那没有关系，对不对？它是一个折线对吧？哎， 从 a 到 g 啊，对不对啊？再到 h 啊，再到这个 f， 对 吧？他应该是这样的一个关系啊，那么这个反映在图形上是什么样的？他是这样的啊，呃，我给你重新画一个图啊，因为这个软件界面里头没没有办法同时来展示两个图啊。 哎，那个题目我就用一个，呃，这个，这个，就这个题本身我就用一个一个标题给写着就行了，要太占地方了，放不开了， 因为题目大家也知道这条件了，对吧？哎，那这里头我们看见啊，他这个题里边说的，他是这样，就这个条件，非常迷惑，有同学把这个搞复杂了啊，还以为这得做什么二倍角了，什么角？平分线了，这那乱糟糟的，实际不用啊，不用啊。哎， 因为什么呀？因为他说这个 b 的 坐标是负 c 逗零，那就意味着这个 abc， 这个因为 c 的 坐标是零，逗 c 啊，对不对？就就意味着什么呀？就这个啊，就这个， 这是一什么呀？哎，这是一个等腰直角三角形，这个三角形 boc， 对 吧？哎，就是说这个角他直接就能够干什么？他他，他能求出来，对吧？他能求出来，能，明白吧？哎， 那这样的话，这个 a 呢？又是负一到零，对不对？ a 又是负一到零，对吧？那么你给他带进去之后，他这个解析式是什么东西？他解析式你算完之后，他实际是 y 等 于 x 加一啊，乘以 x 加 c 啊，那 a 是 几呢？ a 是 等于一的啊， a 是 等于一的，对吧？哎，也就是说他最后这事由谁来在这确定啊？由这个 c 在 那确就是 c， 不知道啊，对吧？哎， c 不知道，那我们根据题目当中这些条件，我们确定是谁呢？实际上是 c， 那你这样的话，当你比如说当你这个点 e 啊，取一个合适的位置时候，让这个角等于这个角两倍，那你说这这都等于多少度的？这个显然这个地方是多少度，这地方当然三十度，对不对？这个地方多少啊？这这十五度吗？对不对？那这样的话，我们看啊， 那这俩里边两个动点是哪样的？两个动点，他是这样的，对吧？哎，对吧？这 h 动点，对吧？这 d 是， 那动点，对不对？没错吧？那这样的这个怎么做呢？当然是反射法做对称了，对不对？我把 a 做 a 撇这对称，对吧？然后这个，呃，这个，这个，这，这个点是这个 f 点啊？这个点是 f 点，这个这个，这字母怎么没了 这点，是啊，对吧？然后呢？把这 f 点对称点这 f 撇给做出来，对吧？做出来之后呢，那你会发现什么呢？因为这是一个六十度的角，对吧？因为你做完了这个对称之后，他是这样的，对吧？ 因为你往外做了这个，这也是十五度，对吧？所以整个这个角，当你做完对称之后，这个 a b a 撇角， a b a 撇，啊，这等于多少？这等于六十度， 对吧？它等于六十度，对不对？哎？然后呢？哎，又由于这个 f 点，它是这个 b、 e 与谁的交点，与这个对称轴的交点，也就说与 ab 线段的垂直平分线的对称轴，不就是 ab 的 垂直平分线吗？与它的交点在这，对不对？它你如果往上坐的话，对吧？坐到这来，这 f 撇，那么这样的话就相当于什么呢？就相当于点 a 和点 a， 点 a 和点 b 还关于这子的对称呢？那你整个这个 a b a 撇，整个对称了两回，它俩对称轴，也就是它整个是一什么三角形，哎？它不就是一 等边三角形吗？对吧？这个 a、 b a 撇，对不对？它等边三角形，那等边三角形的话，相当于这个 b、 e 啊？是这个角平分线，对不对？那这个 a 撇 f 就 这个对称轴，对吧？是这个地方这个角的平分线，对吧？不就是等边三角形俩对称轴，这是等边三角形的什么呀？这 f 点相当于是等边三角形的中心吗？对不对？那你说最短的时候，什么时候最短呢？哎，那就是说这个 a 撇点， 他本来就在什么呢？他就在这抛物线的对称轴上，对吧？那这样的话，那不就好办了吗？那就一点都不复杂，对不对？那最短的时候，不就把这，哎，拽这来，把这个 g 啊，拽到这个 f 点这个地方来，不就这时候最短吗？对不对？哎，那我们现在来算算啊，我们表示一下这 ab， 对 吧？哎，这 a b 这玩意，他怎么表示？这个 b 的 坐标都知道了，负 c 都是零，对不对？那这个 a 呢？负一，对不对？那你拿 b 的 横坐标减去 a 的 横坐标，对吧？ ab 不 就是这个一减 c 吗？对不对？没错吧，那这段长是一减 c， 这段长也是一减 c， 这个啊， 就这两段相等，合着这，这是这个等边三角形的中心，对不对？没错吧，就这个点，此时点 g 来到了，这点，其实本来是 f， 对 吧？啊， 那么这样的话，我拿这个一减 c 表示一下什么呢？表示一下这块的长，这可以吧，这，这不困难，对不对？那我怎么表示呢？哎，这太容易表示了，对不对？哎， 这个边长啊，这个边长，我想表示哪块？再看一遍，我想表示这块，对不对？我想表示这块，那我如果搁里边看的话，他，我要除以 根号三，是谁呢？哎，就是这段长，对吧？哎，你搁这看，为什么呢？因为这是一个什么呀？顶角为一百二十度的什么呀？等腰三角形，对吧？他得是这个的根号三倍，对不对？然后呢？ 他跟他实际是相等的，对吧？为什么相等呢？你给这都补全了，你看看对不对？上面一堆 等边三角形，这也是等边就一，都是三十度，六十度，对不对？所以这段，这段，这段，这不相等的吗？哎， 搁这里边看，这还是九十度呢，对吧？你怎么看怎么都一样，对吧？所以再乘以二，就是这个最短距离，这最短距离等于几呢？现在这最短距离，它，它不等于五倍根号三吗？对吧？所以这样的话呢，你解一下这方程，这个 c 等于什么东西啊？这 c 等于 负的二分之十三，对吧？你把这都乘过去，对吧？你把这都乘过去，这不就行了吗？对吧？哎，这个算完了之后，这个 c 啊，它等于负的二分之十三啊，也就是说它等于，呃，这个，呃，负的六点五啊，这个等于它等于负的六点五啊，那现在呢？这个 c 知道了啊，这个 c 我 给你写出来啊， c 等于负的二分之十三，对吧？哎，是这个啊，那么他不求一点的坐标吗？对吧？哎，那现在什么呢？就这段的长度就是什么呀？就是二分之十三， 对吧？就是 ob 的 长吗？啊？那现在求一点的坐标，一点坐标，你拿这个这段长度，这怎么求啊？你拿二分之十三，对吧？哎， 除以什么东西啊？除以根号三不就完了吗？对不对？他最后等于什么呢？六分之十三倍的根号三，对吧？那 e 的 坐标什么的，零豆夫的六分之十三倍的根号三，对吧？这是最后的结果。

河西，呃，南开和平，河东，呃，杰克和伊摩都考完了， 这段时间大家也都进行了估分，但是我发现一个问题，就大家可能估的不太准，因为有的我觉得估的挺高的，但有的我觉得估的挺低的，所以 我估计这周日啊，有的私立学校就可能会知道分，或者是下周一，大家基本上也就知道知道你的分了。那么 关键还是看实际分数吧。我首先说一下这次和平，他的难度啊，是低于往年难度的，所以和去年对比，我觉得有比较高的分值的提升， 甚至在和平会遇到就是七百多分不少的学生的一种情况。 呃，这是基于我们和平这次没有把难度提的特别高的这个系数，使政还是略有一点难度，再加上和平判使政可能会比较呃 比较仔细啊，特别道法的这个主观题，他会比较扣点，所以，呃，有的在道法上，有的你可能分会稍微低一些，这是正常的。 当然对于河西很难开的判卷，河西的判卷一般手不是特别的紧，所以别看这次使政呃有点难，但是呃不一定分很低， 选择当然就没有办法，但主观答题上，核心的判卷一向不是特别紧手。 南开，南开的判卷就是语文手比较紧，但南开在历史和道法上他也会稍微稍微松一点吧，因为毕竟这次有点难，所以对应这次的分数， 呃，我觉得比期末考试要要好，但是要跟去年同期比，可能会略有下降。 在这次南开，河西这次这个 a 类线实际上就是 a a 等线，实际上还真的不太好把控，因为总有一种特别强的预感，可能会往下往下降，当然出分以后看具体情况吧。 但无论怎么样，大家都是和你这同一届的学生去考啊，你不用去考虑上一届学生的问题，好好说一下河东的这次一模，河东这次一模整体来说中规中矩吧，他没有进行一个特别高 的这个创新度的体现，再加上，嗯，就河东可能这次的教学并不是进行的特别的好， 所以针对于河河东的学生，大家可以把它当成一个对自己的一种考验，看看你学。

好，同学们继续啊，我们来看一下这个十八题啊，嗯，这个十八题呢？哎，我给大家缩小一点啊，我，我往下拽一点吧，因为题大家都已经看了，对吧？关键是这个图，对吧？哎， 哎，哎，在这个里头啊，呃，让我们来算这个 bc 的 长度，这个就比较简单了，对吧？哎，我们要抓住这个题的关键是什么呀？哎，他是这样啊，我把 bc 给连上去， 因为他本来这个 a c 和 bc 就是 什么关系，就是对称的，对不对？哎，这 a c 和 bc 本来就是对称的，关于谁对称呢？哎，关于这条线对称，对吧？哎， 这条横着的格线，哎，关于这对称，现在他要说 ab 等于 ac， 那 就说这三角形， abc 是 以什么东西？哎，是以等边三角形， 哎，所以这样的话呢，这第一问就解决了啊，那 bc 等于二，对吧？哎，然后到这个第二问里头呢？哎，他这个也不困难啊，您得这样想，他让我们过点 a 干什么呀？做一切线，对不对？这个切线对吧？哎， 由于呢，它是一个等边三角形，对吧？假设说这有一圆心的话，假如说这有一圆心，对吧？那么这是那过切点的半径，对吧？那这过切点的半径，由于等腰三角形，它三个方向上都是对称的，所以这条线啊，所以这条线一定跟这个地方 bc 是 垂直，所以我们现在关键是 这个切线和 bc 怎么样？是平行的，对不对？我们只要做这个 bc 的 平行线就行了。好，那么我们现在来看，那 bc 的 这个平行线怎么做呢？哎，那就用什么呀？哎，我以前讲过数次的方法，通过八字形的全等 来构造什么东西来构造平行，嗯，你比如说我在这个地方我把 b c 给延长一下啊，延长一下呢？我们把这个点起名字啊，叫做点 d， 点 d 啊，然后呢？哎，把 a d 连起来， 哎，连完 a d 之后呢？哎，它与这条竖直的网格线啊，又有一个交点啊， a， b， c， d， e 啊，我们把这个点叫做 e 吧，哎。 呃，给写在这吧，哎，然后呢，我们过点 b 把 b e 连上走， 哎，这不就构成八字形的全等了吗？哎，哪有八字形的全等啊，你看你把这个点给画上就行了，对吧？哎，我们把这个点起个名字叫做 f 吧，对吧？哎，然后啊，你把 f a 给连上，这就可以了，对吧？ 我给他画长一点，对吧？哎，能看明白吧？啊，那么这个肯定是一对八字形的全等，对吧？哎，他全等的道理肯定是利用什么呀？哎。对，角线互相平分，对吧？对，角线互相平分，对吧？这个原理我就不说了啊，讲过好多次了，对吧？ 那现在呢，这 f a 跟 b d 平行，也就是跟 b c 平行，那 f a 就是 那接线，对不对？那接下来我们的目的是要干什么？找这个点 p， 对 吧？那点 p 呢？你从点一下看，实际他这边一个，这边怎么样也有一个，对吧？那接下来我这个换一个颜色啊，换一个颜色啊，呃，我换一个绿色的啊， 那，哎，我要找这个点 p 的 长度刚算完二，对不对？哎。呃，如果这个 b c 的 长度，我要是刚算完是这个二的话呢？哎，那我接下来应该怎么办呢？ 我就找这个 ap 的 长度是几就行了，我让 ap 的 长度是一不就行了。那也就是说呢，如果这个 ap 的 长度是一，那我们看这个 ac 啊，这个 ac 的 长度它也是二，对吧？也是二，那我只要过点 c， 我 做一垂线就行，为什么呢？因为这个地方这个角多少度啊？这个地方这角， 哎。这个绿色的角是六十度，对不对？这边这个是多少度？哎，也是六十度，对吧？哎，这也是六十度，对吧？因为这个点 a 是 切点嘛，对吧？它左右两边是这个对称的，对不对？哎，那如果我过点 c 往上做一个垂直，不就出现一个三六九的三角形，对不对？那这样的话，我把这个点叫做点 p， 那 这个 ap 那 不就是二分，这个二分之一的 ac， 对 吧？也就是二分之一的 bc， 那 这边也是一样，对吧？这边也是一样，那我往哪做这个垂直去呢？哎，你看啊，哎，因为啊，这里头我们这个线啊，你看啊， 从点 a 这走，这个它是不是一个直径？哎，就是这个点 不如跟点 b 连上，但是你不一定非要把这个，呃，你不一定非要把这个，这个，这个点跟点 b 给连上啊。哎，我们就看这个地方啊，这个地方因为它这是一直角，那这样的话，你想啊，那我如果把点 c 跟这个地方，你给它连上， 这个画的不太好啊， 哎，反正就这意思吧。哎，那你说这个地方它是不是一定是九十度，对吧？哎，稍等啊， 没错吧，哎，我把点 c 和这个点给连上，对吧？那么这个地方它一定是九十度，对吧？哎，它肯定是垂直的，对不对？哎，哎，为什么呢？再说一遍啊？嗯， 因为这个地方是九十度，对吧？所以我这我就不画了，这个直径，对吧？哎，所以呢，你把这个连上，你从这个圆内四边形对角互补也能看出来，对吧？那这个地方肯定也能是九十度，对吧？没错吧？哎，你把这个给连起来的话，那这个地方也是九十度，对吧？哎，从而呢？这可就是那个屁，那么这一段，哎，就是，哎，他要找的， 那这边怎么画呢？这不有一现成的点吗？对不对？哎，这现成的就是弧 a b 的 什么呀？中点，对不对？那你要连完了话，那他是不是三十度？那肯定是三十度啊，对吧？哎，你这搁这画，对吧？画完了之后，也就是说这里边这个角啊，哎，哎， 这个角啊，这个角肯定是三十，那这个肯定是六十，对不对？那他呢？肯定也是 a b 的 一半，也就是你要找的 bc 的 一半，这也是 p， 对 吧？这 p 一 p 二这两个点都是，那这问题不就解决了吗？

好，各位同学，大家好，我是你们高中数学老师徐荣斌。今天呢，是我们睡前系列的第一百四十四天，我们看一看今天刚考完的这个部分区一模的这道书的题，那这个题呢，比较简单，对吧？正所谓靖康耻犹未雪，誓字还得挑软的，你啊瞟一眼，觉得这个题并不难，拿它水一气。视频， 那么首先我们发现 a n 是 n， b n 三分之一的 n 减一次幂，然后后面他说 c n 是 他，然后呢？让我求数列前四 n 的 和。有的人看到这就懵了，你懵啥呀你前前二 n 向你肯定念的非常熟练，要不就是奇数列，偶数列 分别求和加在一起，要不就是并相二 n 和二 n 减一合在一起能成为一个新的数列。那我其实求前二 n 项的本质就是求这个新数列的前 n 项，那你说这出题人算盘珠子都崩你脸上了，前四 n 项的和， 它说不定就是四 n 四 n 减一，四 n 减二，四 n 减三，这四个合在一起会得到一个新的数列，然后就本质上就把你这个前四 n 项和转化为这个新数列的前 n 项和 漂亮，所以说你就得去试一试。那你会发现，先把 s n 求一下，二分之 n 乘 n 加 e， 那么我们去看 c 四 n 吧， c 四 n 就是 负一的，等会把 c n 也写一下吧，负一的二分之 n 乘 n 加一乘上 n 方，因为 a n 是 n 嘛，负一的四 n 乘以四， n 加一除以二。那你想想这是基数还是偶数？你就想吧，你四是基数，它的下一个啊，你四是偶数，它的下一个是基数，基乘偶除以二还是什么 偶数？你比如再来，你比如说八八乘九除以二还是偶数，所以这是个偶数，对吧？你稍微一想就想出来，那既然这是个偶数，那最后的结果就是四文方 后面 c 四 n 减一，那就负一的二分之四 n 减一，四 n， 那 你想还是四，然后它的前一个就是三三乘四是十二，十二除以二十六，所以它也是个偶数，那么就是四 n 减一的平方， 可以吧？然后你再往前想， c 四 n 减一的平方，可以吧？然后你再往前想， c 四 n 减二， 那么就是四 n 减二，四 n 减一，那你想四三二一，四 n 减二就是它，四 n 减一，就是它二乘三除以二是三，所以它应该是个基数，那就负的四 n 减二的平方。同理，你的四 n 减三呢？ 四 n 减三，把它带进去是四 n 减三和四 n 减二，二乘以减二是一，那还是个基数，所以负的 四 n 减三的平方。那么到这我会发现，你把这四个加在一起，你应该用什么去加？你最好可以用平方差去试试，对吧？你看四 n 的 平方， 那我就试试，跟谁呢？我跟这个减四 n 减二的平方，然后我四 n 减一的平方，我和这个四 n 减三的平方，我去减一下， 嗯，相加的话是八 n 减二，相减的话就是乘个二，相加的话是负四，相减的话是这个二，嗯，什么相加的话是这个 啊？对，相加的话看四 n 减一减加上四 n 减三，是八 n 减四啊，相减的话是四 n 减一减四， n 加三是个二，所以说你看最后是二倍的八 n 减二，加上八 n 减四， 所以应该是二倍的十六 n 减六。好，那你会发现每四项它的这个和同项是它，那么也就是说我就是求这个东西的减 n 项， 哎，求这个东西的前一项，当然你愿意给他打开就打开呗，打开之后就是三十二 n 减十二呗，所以说这个东西就出来了，首项三十二减十二 加上末项，那就是二十啊，二十加上末项三十二， n 减十二乘以项数除以二，这个事就结束，那就是八加三十二， n 乘以 n 除个二呢？就是四加十六 n 乘上 n， 所以 说就是把四提一下，四倍的 n 括号四 n 加一。 好，那么这是你的第二问，那再看最后一问，最后一问，连想都不想，肯定是个放错呀，前面我们其实讲过不少，对吧？光睡前系列里面我们就讲过，而且这个放错其实咱们是讲过怎么处理的，你先把它写好， t k， 那 就是四 k， 四 k 加一加四 k 乘以三分之一的 kissme， 三分之一的 case 密好到这是吧？呃， k 加一好，没问题，然后它等于什么呢？我们看啊，上面我们就给它写一下，是十六 k 方 加上八 k 底下分母，我们就可以给一个什么三的 case 密。那么你有没有看出来 之前我们说怎么放错在这加一吧，因为加完一之后正好是四 k 加一的平方，嗯，根号就去掉了，所以说加上那上面就大，所以它会小于。 小于啊，小于根号下十六 k 方加八 k 加底下是三等 k 四米， 那么这也就是三的 kissme 分 之四 k 加一，因为你平方开根号就去掉。好，那我们就对它进行求和，那这是什么呀？这不是我们的错位相减吗？四 k 加一乘以三分之一的 kissme 改成 三分之四， k 加三分之一。那如果你前面看过的同学肯定知道我们，我们为什么要改成这样，然后 k， 嗯，三分之一减一分之 a， 三分之四，负的二分之三约个分约掉约掉负二 m， 三分之一减一， 三分之一加二，负的三分之二。上面呢？三分之哎，二三得六七，对吧？那就是负的二分之七。那么最后结果 看到没有问题啊，负的三分之二，然后呢？二三得六三分之七，好，那么结果就是 给个 t， n， s， n 都有，对吧？给个什么 n， 给个 a n 吧，那就是负二 n 减二分之七，三分之一的 n 次幂加 二分之七。然后稍事调整一下，二分之七减二， n 加二分之七乘以三分之一的 n 次幂，所以说它是小于二分之七， ok。

好，我们看一下十五题啊，已知二次函数 f x 满足， f x 加一为偶函数，最后呢，求 f x 解析式，那么告诉式二次函数呢？再利用待定系数法来求就行了。好，把它的表达式设出来， a 不 等于零， 然后呢，把 f x 加一啊，写出来呗，用 x 加一替换里边的 x， 那 么 f x 加一的表达式就有了。好，给他写成一般式，那他说他是偶函数哦，偶函数的话，肯定是 这个这一项的有，还有这一项有，那中间一项就没有了呗，对吧？好，那么这里边就得到二， a 加 b， 就 他的系数啊，他的系数肯定为零了啊，得到这个，并且呢， f x 加一，他的表达式就只剩这一项，还有这一项。好，这就是得到这个， 那么我们令 x 加一等于 t 啊，利用一个换元，我们把这个，所以说 x 等于 t 减一，那么 f t 啊， f t 就 等于什么呢？把 t 减一带到这里边，就可以求出 f t 的 表达式。那么由于我们习惯用 x 来表示这个自变量，所以说 f x 等于它 啊，其实就是又得到一个 f x 这个表达式，要因为 g x 等于它，我们把这个代代进来，代进之后，我们化简，化简之后呢，就得到这个式子。 那又因为 g x 为奇函数，那 g x 为奇函数是什么？它肯定不含有 x 偶次项哦，不含有这项，那说明二减二， a 等于零，那 a 就 等于一， a 等于一啊，刚才 a 和 b 的 关系有，所以说 b 就 等于负二， 又因为 f 负一等于四啊，我们把这个 f 负一，这个 f 就 x 等于负一带到这里边，那么 c 就 出来了，所以说 x 的 这个 f x 的 表达式就有了啊，就是这个， 这个里边就是主要用了一个代定系数法，还有一个是，嗯，咱们这个换元法啊，求的解析式， 那么第二位啊，他说对于任意的 x 属于三到八，那么这个式子大于等于二分之三横成力，那求 m 的 取值范围。这道题是咱们横成力问题啊，横成力问题，那么第一问，我们有了 f x 啊，我们把 g x 就 可以求出来啊， g x 就是 这个式子。好，那么 把这个 g x 表达式啊，这个有了，那么此时自变，此时这个 x 不是 它吗？我把它带进来啊，把这个式的带到这里面，那么这不就有了吗？ 再加上 m 倍的它啊， m 倍它，所以说把这两项合到一起，就是 m 加一倍的它，再加上它大于二分之三横乘以 这里边因为带着这个 log 三为底 x 的 水，这个比较麻烦，我们另外一个换一下圆啊，换一下圆，也就说我令他等于 n 啊，由于 x 范围知道了，那所以 n 的 范围就有了啊， n 的 范围就有了。好，那么也就是这个式子可以写成这个式子。换完圆之后， 那么这里边我们用的什么参变分离呗，因为这个 m 可以 分离出来啊，也就是 m 大 于等于右边啊，此时的 n 的 范围就是这个， 那就把这个式子，我们把这个分子分别除以分母啊，你看我们另一个新的函数是大 f n 就是 这个式子，除完之后呢，是这个式子， 那这个式子很显然是什么？ f n 关于 n 分 之一的一个二次函数了，把它写成一般式啊，一般式好，我们看对称轴，对称轴呢？ n 分 之一啊，注意，是 n 分 之一啊，是四分之三负的二。 a 分 之 b 吗？是四分之三。好了，把图像画出来画，同样是这样的， 我们知道 n 的 范围， n 是 大于等于一小于等于 log 以三为底八的对数，那么 log 以三为底八对数是不是比这个 log 以三为九的小那么一点点呀？ 所以说 n 是 大于一小于二的，那 n 分 之一呢？就大于二分之一，小于等于一。好，也就说这本头像肯定有完全的，那这本的应该是没到二分之一差一点。那么这个 fn 关于 n 分 之一的二次函数肯定在对称轴数取得最大值。 那把 n 分 之一等于四分之三带到这个式子当中，就可以求出，此时右边这个就 f n 的 这个最大值，也就是负的十六分之七。 好， f n 的 最大值是负的十六分之七，那么 m 就 大于等于负的十六分之七。这是这道题啊，计算量偏大一些啊，它考察一个乘法的问题。

咱河西、河东、南开、和平，包括北辰啊，考试都结束了，家长们问我最多的问题，说，张老师，你作为专业的数学老师，跟我们说哪个区的数学学院最好？ 首先从难度上来讲，核心的难度最大，难开。其次，河西这个题确实难，创新度很高，尤其是二十三题、二十四题、十七题，是远高于中考难度的。 南开区呢，其实是非常贴近中考的，尤其二十五题，跟别的区比，出的太好了，这是中考没有出过的新模型。 这两个区基本上你家孩子中考想上一百一十四五分，这次考试考个一百零三四分，一百零五分左右就能达到。 那像我们和平和东、北晨这三个区，基本上跟中考难度没有区别，甚至压轴题二十五题直接照抄照搬了。往年的二十五包括格点，压轴题的难度反而比中考难度还小。所以这次考试 基本上这几个区啊，你们家孩子得分加上五分，就是最后中考的分数。

hello， 同学们大家好，今天我们来讲一下刚考完的河东英模的重点点题目还是十二、十七，二四二五，然后中档题目我们在后续的视频里面推出啊， 然后这整套题目河东这道题目就是比往年的河东的题目要简单一些，因为往年河东题目稍微有一点点偏，然后今年整个还是比较符合中考的一个考察的方向，嗯，除了二十五题相对来说最后一个有点难算，其他的题目不是很难，我们来看一下。 然后首先十二题和我们的去年中考一样，然后和我们的这个呃和平还有南开他们的考察的点也都很像，都是在考这个动点面积，所以这个题稍微有一点点不太好算，但是中间我想了一些简单的方法啊， 但是我不知道同学们能不能理解，我只能大致跟大家说一下。然后如图，呃， abcd 是 六， cd 是 四， 然后 p 是 速度为二，呃， abbc 到 c 停止，然后 q 是 由 c 出发速，速度为一， 然后他俩规定是一个动点到终点，另一个动点也随之停止运动。所以我们通过看这几天的这个题，我们可以很简单的来，哎，归纳出它这个动点面积到底在考什么， 一个是什么时候停，那么另一个是由什么时候停所延伸出来，我的这个呃， t 的 取值范围，对吧？这个自变量取值范围很重要一个点啊，然后我们现在来看他们什么时候停止，然后 p u a b 到 c 大 概需要五秒， 然后 q 由 c 到 d 需要六秒，所以它到五秒的时候就停了，所以整个 t 它就是大于等于零，小于等于五的，好吧，那此时第一个 t 等于二的时候， p q 等于四，这个我们算一下，它等于二的时候，这边是二，这边是二，它新构成了一个平行对称 p 撇和 q 撇， 所以此时 p q 就 等于 bc 等于四，所以第一个没问题。第二个的时候我们要考虑 t 大 于等于零，小于等于四，它的最大面积是怎么算的。首先呃从零到三之间，它的解一式是这样，是一个 y c， x 的 增大还是增大？所以我们可以很简单算出来，当 t 等于三的时候是六倍根号三， 那么是不是它有第四秒，也就是 p 由 b 到 bc 的 呃到 bc 的 终点 q， 呃到这屁撇撇。所以到这一段中，我们是不是要考虑它的面积？这我涉及到就是要算一下它的面积，我在如下这个图里面做了一下，我用了一下是 c q， c， 呃， c 啊 a， 这是 a a q， c b， 这个呃梯形，减掉上面这两个三角形这样算的。然后我这个是完整的给大家算了一下，其实呃，后来我在考虑过程中，其实大家着重观察一下，会发现这两个它都是关于 t 的 一个 呃一次函数，那么只有在这形成了一个 t 的 二次函数，我们可以观察出来，这它其实是 t t， t 的 二项系数是正的。好吧，这个如果我们直接用我们二十四题的这个叫去长除项法，我不用算长除项，其实也能很快的算出对称轴，因为我只只需要算对称轴就可以，我并不用完整的算下来它的解析式，这个题也没有这个要求。 好吧，如果我们算出来这 t 是 二分之九，那它的图像是什么样呢？来看，它的图像，其实是这样子的， 由零到六倍根号三，然后开口向下往下走，到二分之九的时候是最小，到五的时候他就停止了。所以我们五的时候其实很好算，就是当 p 到 c 的 时候， q 大 概在这个位置的时候，那此时他的面积算出来是五倍根号三，所以他的图像是这样子，那图像画出来了，这个题他的最大值是不是就是六倍根号三？那么第三问，为什么错？因为此时 五倍根号三的时候是有三个交点，是有三个 t 会使得 s 等于五倍根号三。所以这个题啊，这个答案选 c。 我 说刚才，刚才是要标这个，这，这个点是 a 啊？ ok， 这个答案选 c 啊，应该是两个正确结论。好吧，我们来看下一题。 呃，这个十七题相对来说比较简单，只需要一条辅助线就可以。呃，他说 abc 中角 bc 九十度， ab 等于 ac， bc 等于二倍根号二，一比一比根号二，所以 b a 除二， a c 除二，其实都可以除二。然后 d c a c b a 是 中点，所以 a d 直接取一就行了。 然后第二位说，当 e 点在 abc 外，它延长 b e 到 f 点，它并且满足 c， e 是 平行， b a， 并且 c， e 等于 a d， 所以 c， e 是 一个一， 呃，它 b、 d 延长到 f， 此时它要求 a、 d、 f 的 面积，这涉及到了一个点，就是 它这个平行给我们带来了什么，对吧？平行带来了什么？平行我们是不是很容易出相似啊？那我们这是不是过 d 点？因为 d 本身是 a c 的 中点，我是不是做个平行？做 am 平行 c， e 交 a， a， e 于 m 点，那此时我们可以得到 m 其实也是 a、 e 的 中点，但是它要求的是 f， a、 d， 所以 我把这个图给它支棱了一下，变成这样子。因为 dm 等于二分之一位的， c， e 嘛， 等于二分之一，所以我们把这个图画一下， dm 是 二分之一，那么 a 呃， ab 是 二，然后 d， a， 这是垂直一二根号五，然后 f、 d 是 x， 所以 我们其实可以得到相似，就是 f、 d 比上 f， b 等于 f， d 比上 ab， 千万别算错啊，这个相似的最基本的式子千万别写错，所以算出 x 等于三分之根号五。 那么 a、 f、 d 的 面积与 a、 d、 b 的 面积之比是不是就是底之比？因为它俩是同高的对不对？所以直接算他们的。呃， x 比上根号五等于 f， a、 d 的 面积比上 b， a、 b、 d 的 面积，算出 f、 a、 d 的 面积是三分之一。好吧，是这个题，我们现在来看二十四题。 这二十四题还是比较简单啊，只有一个点，稍微不太好算一点。我们来看一下，他说，呃，平面直角坐标系中等边三角形， a， a， o， b 四十五度，然后 a 是 四到零， b， n， o 是 九十度啊， o， c， d， e 是 正方形， c 是 o， b 的 中点，那么 d 是 y 轴上，那么 b 点的坐标是四到四， e 点的坐标是负二到二，这没问题好吧。第二呢，他将这个图形往右移， 说移动的距离是 t， 他 说重叠面面积为五边形时，他让你算谁呢？算 m、 h 没有让你算面积，但是这个面积后面还得算，因为到第三个还得算。 然后我们来看一下这个 m h 是 不是由这个边得来的，所以我从右边算也行，从左边算不是很好算，但是大家可以算一下有没有方法。我是用的右边，因为 o 撇是 t， 那 o 撇 a 是 不是四减 t， 所以 a g 是 不是四减 t？ o 撇 g 是 不是就一比一比根号二，所以根号二倍的四减 t？ 那 我的 c 撇 g 是 不是就可以算出它是用啊二倍根号二减去，它算出是根号二倍的七点二， c 撇 g 出来了，那我的 h g 是 不是就是乘根号二就二 t 减四，那我算出此时的 b h 是 四减 t， 除以根号等于二倍，根号二减二分之根号二 t。 那 么此时 t 的 范围很简单啊， 我们在左边这边可以描述一下。首先它什么时候开始出现？它是不是它出现前是不是这个 c 啊？ 对不对？ c 再往右一出，他就开始出现我们这五边形，所以他的起点应该是二，那终点呢？随着他往右移，其实是到这样一个图形， 所以这样是四，所以 t 是 大于二，小于四。那么最后一问，嗯，相对来说有一点点不好算，因为中间他有一个限制，因为他此时给的是我们的 s 是 大于等于三，小于等于五。这就考虑到我们的画这个草图 s t 图的时候会有一个 考虑，五到底是不是它的最大值？我第二个，我们要算离界值，离界值就我们刚才所说的二和四这俩离值，发现它们的面积竟然是一样的，对吧？面积是一样的， ok， 此时我可以让 直接，此时当我发现它中间是一个二次函数，它 x 等于二和 x 等于四的时候都是四，所以我直接可以取三的时候 算出来五。你也可以像我一样，就说我我们在考试的时候可能没有考虑到那么多，做这个题的时候没有考虑这么多，但是我们看图的时候，他二和四中间就是一个二三数，所以他们是对称的，所以就是当 x 等于三的时候 算出来 s 等于五，所以他最大值就是五，就这一个点，对吧？这说明他最大值是五，意味着我最后 t 的 范围是一个连续的，而不是分段的。我们在去年的五清二摸中发现一个很大的问题，就是他的最大值 截了一下这个二项数，所以当时我们是不是分了两段，最后的答案是不是分了两段， 对吧？所以此时我们算第一个情况， s 一 算出它几式等于三的时候， t 等于二分之三。第二个是我们直接取对角， t 等于三的时候， s 就 等于五，没问题，对吧？然后那我们串 s 三的时候 s 三，这 需要把这个解析式算出来的时候，等于会出来一个，一个是六加根号三，一个是六减根号三。大家要考虑六的时候已经变到什么时候了，你要把六简单化一下，你就能发现六的时候他已经完全出去了， 对不对？六的时候完全出去六加根号三，他怎么可能会出现重叠面积，所以会舍掉，所以是六减根号三，所以最后 t 的 范围是大于等于二分之三，小于等于六减根号三。 所以这儿需要考虑的点就是我们这个最大值。一个是用我们的去长轴向法，这儿计算量稍微有一点点大，那么另一个点其实就是，如果你通过观察我们的 s t 图，你会发现它是一个对称的抛物线，二和四都对应的，四直接取三就可以了。 好吧，这是我们的这二十四题，我们来看二十五题。二十五题最后一问有一点点不好算，其他的还好啊 啊，第一问直接写吧，然后 p 是 一到负四，第二问，他说 a 点负一到零， b 点，然后 c 为与 y 轴的交点。大家来看出，你说老师你画这个图这么标准，这也是我后来补的图，就我不断的在画，然后我发现有点太离谱，我就把图擦掉了， 然后再重新画。那我们此时来看，他说，当 a 等于二， d 在 抛物线上 cbd 九十度， bc， bc 等于 bd， 也就是 cbd 是 一个，呃，等腰直角三角形，等腰直角三角形必然要涉及到一线三垂直， 对吧？所以这两个三角形是。呃，全等的。那我们又知道，我们是通把 a 等于二和负一到零代入，可以解得这个解析式。呃，很多同学在这算的时候老说我不太会这个十字相乘 可以用微达定律，因为它与 x 轴两个交点， x 一 加 x 二等于二分之 c， x 一 是负一嘛， a 点是负一，所以 c 点就负二分之 c 到零。 好吧，是这个点，那如果说老师我，我可以十字相乘，其实你这个十字相乘也很容易除，所以 c 点的坐标是零到 c， b 点的坐标是负二分之 c 到零，所以我们重新画个图。 obc 这个三角形其实是一比二比 啊，隔号五这个三角形，所以 d 我 们直接能算出来是含 c 的 负二分之 c 得五，二分之 c 直接代入解得 c 一 等于零， c 二等于负二分之五。我们发现图里面好像没有对 c 进行翻译限制，但是人家对 b 进行翻译限制的， 所以 c 加二要小于零， c 要小于二，所以 c 是 等于负二分之五的 c 等于零，这个其实是要舍掉的好吧。然后最后一最后一问，其实不难，但是，哎，不太好画，我这个图画的有点丑， 我们来看说 b 点是负 c 斗零，当这写到 b 点是负 c 斗零的时候，大家有一个很基础的意识，要意识到什么 o， b、 c 是 一个等腰直角三角形，因为 c 点坐标是零斗 c， 这个在很多题目中改都不会改， 然后题目中是不是还给了我？第二问题，干中给了一个 a 是 负一斗零，所以此时你是可以写出来算出来 a 的 a 等于一，所以它的解式我们写成了 x 加一乘 x 加 c， 或者写成 x 方加 c 加一倍的 x 加 c。 那 么此时我们来看，他说 a、 b、 e 等于两倍的 c， b、 e， 不 就把它三等分了吗？三等分 a、 b、 e 不 就是三十度吗？ 不就想说这个吗？这个就给了一个角 a、 b、 e 推出来其实就是 a、 b、 e 等于三十度，然后与对称轴 l 对 称轴是什么？ x 等于 负的二分之 c 加一，对吧，因为我都含 c 了，我直接可以算出来啊。然后 g、 h 分 别为 b、 e 呃 和 ab 上的动点，我随便标了两个点，然后他说当 a g 加 g， h 加 f h， 他 占这个比较简单，是什么？他不像我们呃南开一魔洲，他对这个 b g 和 b g 和 b h 进行了 数量上的限制，你是你的几倍啊？我是你的根号二倍啊。他没有对这个进行限制，所以这个就很简单，也就是说，其实在考虑过程中，一旦涉及到他没有限制，那我就可以进行翻折，进行等量转换了吗？ 对吧？所以呢，此时我的 f h， 我 是不是往上翻，形成了 f 撇 h， 那 我现在不就 还剩一个，还剩一个这个？呃， g h 在 这，但 g h 它是由这两个没有任意关系的动点，所以我只要最后让它们共线就可以了。那这涉及到就要我要将 a 沿着 b、 e 这条线给大家换个颜色啊，可能会好看好看一些。 把 a 点沿着 b、 e 这条线翻到 a 撇，你说老师你这 a 撇算的不准啊，我算出来它就在对准轴上，我现在不是不知道吗？我画的不是草图吗？对不对？我形成一个 a 撇，然后连接 a 撇 f 撇，这就是我要求的这个最小值。 那我们在这涉及到就是啊，第一个是因为 a、 b、 e 的 值是不是要算出来？ ok， 那 此时 f 撇的坐标就出来了。 f， 呃， f 坐标出来了， f 撇的坐标再出来。好吧，那我 a 翻折过来，你说老师， a 翻折过来， a、 b 是 三十度，翻折过来不就变成六十度了吗？你的 a、 b 的 长度又是知道的对不对？ a、 b 的 长度是负 c 加一啊，负 c 减负一不就负 c 加一吗？ 那此时我是不是往下一做垂直？我发现，哦，原来 a 撇就在对折轴上，对折轴上就更棒了，我的计算量一下减了很多，因为它不用两点间距离公式了，对不对？因为你 a、 f 撇都在对折轴上呀，所以我直接竖着线求距离就可以了。 所以此时我们求出 a 撇的坐标，那么 a、 f 就 直接让它们纵坐标相减等于五倍根号三，这样我们可以算出来， c 是 二分之， c 是 负的二分之十三， c 是 二分之十三。人家问 e 点的坐标，你别忘了你说是 e 在 哪？他在 o b e 这个三角形中，我 b 点坐标是不是就能出二分之十三到零？那 e 点坐标是不是除以根号三，也就是零到负的六分之十三倍根号三？这就 e 点的坐标。 好吧，整个这个题，除了二十四题给 s 让你求 t 的 时候，你需要限定他最大值那个点和最后一问算的情况下，其他的没有什么太难的。好吧，那我们今天就到这里，拜拜。

看完今年一模的数学卷子呢，我发现了一个重大的信号，今年的数学卷子正在悄悄的换写。咱先说结论啊，二零二六年的卷子，比二零二五年更稳更贴中考了。去年的卷子呢，大家都说是竞赛卷，偏题怪题居多，阅读量也巨大， 很多孩子考完都说，哎，有点懵。优等生的分数线呢，可能才一百零五左右，但是今年的二零二六年的一模呢，难度呢？在稍微的回调，优等生的预计的分数线呢，会升到一百零八到一百一左右。这意味着什么呢？意味着死记硬背的偏题没有用了，现在考的是真本事和基本功为主 了。来，咱们具体看看题目是怎么变的，这直接关系到孩子的抢分策略。那么第一呢，选择填空了啊，去年的十一十二十七十八，全都是坑 豆瓜模型啊，新定义啊，其实看着孩子就会头大。今年呢，这些题呢，都回归常规了，没有强干扰项，只要你基 础够扎实，这部分的分数是必须能够拿满的。第二呢，就是我们的大题套路看起来有点变浅了，比如说经典的二十三题的函数应用，去年又是复杂的行程故事停留，孩子有点读不懂。今年呢，直接考扑形追击，或者说是物理的浮 实验，虽然跨学科，但是呢，套路相对比较稳，上手呢会比较快。暂看压轴的二十四五题，去年的几何动态转来转去，还要算轨迹圆，算到崩溃。今年的动态几何呢，就是等边三角形平移平行四边形的折叠，步骤固定，哪怕最后一问不会，前两问呢，也能够稳稳的拿到分 数，就连最难的抛物线压轴，去年考抽象的胡不规，今年考具体的定点和最直，这就是明摆着告诉大家要重规范轻 奇迹了。最后呢，咱们给各位家长两点建议，如果孩子基础一般，千万别再去钻那些所谓的偏难怪题了，把基础题和中档次的题的正确率提 上来。如果孩子是尖子生，虽然卷子变稳了，但压轴题呢，还是有区分度的。现在的重点是计算的规范和通法通解， 不要再沉迷去年的那种高难度模型了。其实我们中考的结果如何，抓紧时间来进行复盘才是要紧的事。

哈喽，各位家长同学们大家好，咱们看到这个合同一模的试卷，整体来说的话难度还是不小的啊，它的整体难度可以和南开的一模相媲美。然后前十题都比较正常，到十一题的时候，这个旋转它里面考了一个角，平分线的垂两边，倒是难度也不大。 另外就是第十二题，第十二题这道题呢，又是一个双动点问题，呃，也是一个分类讨论，然后跟这个难看这一模这道题还是比较像的。嗯，他俩之间的区别并不是特别大。另外就是 填空题，填空题前面题都很比较正常，十七题考了一个相似。然后对于大家来说，可能在咱们天津的中考当中，十七题考相似，这概率确实比较低，但是呢，也不是没考过啊，所以对大家来说可能比较陌生，平时练这种题练的可能比较少， 十八题倒也还可以。然后就是解答题，解答题原这套题呢，需要去疯狂导角，然后导出一个六十度，就是特殊角。嗯，就看孩子在这个平时的时候练导角有没有去熟悉到这样的导角内容。 另外就是咱们的这个，呃，二十三题的这个一次函数应用啊，他最终第三位给的这个数不太友好啊。虽然说他效仿的是二十五年的这中考题，但他给的数不太友好。 另外就是第二十四题，这道题比较正常。折叠问题呢，还是咱们老生常谈的东西，这道题呢，跟难堪相比的话，还是比较简单的。 二十五题，这道题最后问考这个韩餐的双对称，但是两次对称的这种问题呢？呃，它难点就在于你这个图有没有画准确，你能不能找到这个特殊角，然后就当然这个特殊角还是比较好找的，有一个六十度的等腰，是等边吗？嗯， 这个当中二十五题第三位置里面给了一个二倍角，但这个二倍角呢，不像这个中考题里面要过到等幺，这里就仅仅是起到一个倒角的作用啊。其他的题就还可以，整体来说的话需要大家去做一遍的就是第十一题，第十二题、十七题、十八题、 二四二五题，这几道题比较经典，另外可以看看这个圆。这道题呢？第二问，纯纯考这个特殊角以及等腰三角形的三线合一，另外就没有其他的内容。 另外大家可以这个评论呃，扣波河东，然后我们给大家发一波这个试卷和解析版。

河东区高三年级的数学一模试题，大家都应该看到了，咱们河西的学生，和平的学生做那个题的时候都感觉比较别扭，为什么？因为他考的和平时练的都不一样，不光是河东区的学生这么认为，就连咱河西的和平的学生，他也会那么想 你像那道第八题就是咱们和这个河东区的高三的一模数学选择题第八题居然考了一个欧姆定律，带着这种电路的 咱们这文科生，河西的文科生，像海河中学的学生，他就跟我讲，他说他们整个这一班的都有一半人选的都是纯文，直接就放弃，不光是学生放弃，连老师都说直接放弃，老师都不带讲的。底下那个巴黎有几个理科生想跟老师说，这题可以做，老师连理都不理，直接就放弃掉了。 所以大家想一个问题就是如果要是咱们正式高考，二六年的天津高考，真的是把试题命名成数学，跟大家学的其他学科进行交叉融合，搞成了什么数学跟物理啊，数学跟化学啊，数学跟生物啊，哎，数学跟历史啊这种交叉一下， 那咱们的同学们受得了，我觉得很多人是受不了的啊。除此之外，这次河东区一模的第五题还居然考了放缩，就是你指定函数比大小考放缩一般都什么学校考，一般都是像天津一中这种学校才考， 结果河东区教员员在命制一模试题的时候，当着全区的这个学生的面，甭管你的是好学校还是不好学校啊，反正全区人都大都考一样的，而且还放到选择题第五题考河东区教员，你对自己本区的学生， 你真的是太自信了，太自信了，不是一般的自信了。哎呀，这个学据我了解，像河东的七中、幺零二，他们考当天考完数学之后，好多学都哭了，哭的那个撕心裂肺。还有还有学生下了考场之后就直接说，我的娘嘞，这是啥玩意啊？ 哈哈哈，就这种感觉啊。所以二零二六年天津高考到底会命这是什么样子？我想大家其实都有所感觉了，肯定有大的变化。不过提醒大家一下啊，你别看他说的那么热闹，河东区这次的高三年级的模拟考就这一模啊， 并没有超出咱们这个教务部所制定的规则。比方说，教务部要求考试题必须要跟科技跟我们民生相融合， 我们的明智的考试题一定要符合实际，以实际情况、实际生活为背景，然后去考察学生。你看像咱们的选择题的第四题，还有那个第八题，那道物理题，那不都是跟咱们的生活，跟咱们的生这个实际生产直接相关吗？ 啊，而且还都是跨跨学科的啊，这是形成了这种交叉学科的，而且呢，他有些题目还就是让你感觉到你不会做，但是一看答案你还能看明白，这种题就叫做降低刷题收益。所以各位小伙伴们啊，想把高考考好了，千万别死刷 你现在看到的那点题，一定要学点创新题，创新题不见得是难题，他就是一个想法，一个 idea， 你 不知道，如果你对这个比较感兴趣的话，可以跟我互动一下啊。

哈喽，各位天津的同学家长大家好，我是教数学的果果老师，刚结束的和平、河西还有南开、河东的一模数学，很多孩子都向我反馈计算量特别大， 二十四题，二十五题的时间不够用。那么今天我把这四区的试卷一次性给大家讲透，还有难度的排名，必考点，丢分的重灾区，尤其是我们接下来该如何去做。 先说一下和平的这套卷子，和平的这套试卷总体来说难度不是特别大，十二题他考到了一个重点问题，十七题他是一个先做垂线，然后去构造等腰三角形。在我之前的课上，我也和同学们经常讲到这个问题，还有二十一题，二十一题他考的是一个源于举行， 二十四题是平移，二十五题，这道题他和二四年的那道中考题特别类似，总体来说难度不是特别大，但是我觉得这道卷子一百一以上的同学会非常多。 然后下一个说河西，河西的十一题和十二题不是特别难，十七题他是一个做角平分线，然后去推导一个等腰三角形，还有三线合一。二十四题，二十四题，和平考的是一个平移，河西考的是一个折叠，他的最后一问的计算量也是特别大的。二十五题，二十五题， 这道题得去倒角，然后去构造一个等腰三角形，这道题比和平的题要难很多，但是他和中考题是非常类似的。 然后最后说一个难开的卷子，难开的卷子是大家口中的今年的最难的一套卷子，他的第十二题考的一个是双动点，可能计算量会特别大，十七题要做一个全等三角形，用到知识点就是平行和中点。 二十一题不是特别难，二十一题是一个垂精定理，二十四题他的二十四题是平移，并且还得结合放缩。他的计算量是相当大的，尤其是第三问，第三问的时候你要算到一个临界值， 还有二十五题，二十五题这道题他和二五年的中考是非常类似的， 要做一个三垂直。总体来说，这套卷子的计算量是非常大的，如果说这张卷子能考一百零三、一百零四以上，那 如果说有需要十一、十二十七、十八，还有二十四题、二十五题的知识点，可以后台私信我，我把这些资料已经整理好了，一起发给大家。

天津各个区的一模呀，基本上都结束了，我们如果想拿到准确的区排名和区位子，大概率呢得下周线了。 那这段时间呢，大家都在猜这个五所线以及公办高中的分数线，今天呢，我就结合往年试卷的难度以及往年的数据分析，大胆地为大家做一次预测， 让各位家长们能提前找准位次，做到心中有数。嗯，先说河西区的啊，河西区难度呢，较往年整体是有提升的，所以他的五所线呢，是在六百五十五到六百六之间。公办高中，我们就以九十八中为例啊，大概是在四百八十五分左右。 那南开区呢，算是各个区里边最难的了啊，所以他的五所线呢，就划在了六百三十五到六百四十分之间。公办高中分数线大概在四百六十分左右。 和平区啊，今年出的题啊，非常贴近中考，是非常符合一个中考出题的难度和规律的。那他的无锁线呢，大概是在六百九十分左右，公办高中分数线来到了四百九十分附近。那河东区呢，他的无锁线大概是在 六百九十五左右，公办高中分数线，嗯，就划在了四百九十五到五百分之间。 那一模呀，只是一个中考的试练，它更多的是帮助我们去找准自己的位次，认准我们的方向。 那如果孩子的成绩已经出来了，您可以私信我，孩子的成绩加所在的区，我帮您进一步分析。愿我们在最后的阶段啊，都能脚踏实地，一步一个脚印，向着目标高中稳步前进。

二六天津中考数学二十四题变了！南开一模的几何压轴二十四题考法大变，打破了二十四题固定的图形平移、折叠、旋转的传统命题套路，是今年几何压轴的重要风向标。与往年考法不同啊，这次创新性的采用了动点生成动态图形， 以动点为核心，通过线段双角度旋转生成动态等边三角形。还在死磕老套路的孩子这次束手无策了。 别慌，成哥总结好了，二十四题几何变换创新题目会编，一共三十九页，都挑的是天津本地二十四创新题，帮助孩子们应对创新，顺利拿分。领取方式，老样子，点点关注看评论！