五四制8年数学下小几何题

大家好啊，我们继续学习这个正方形的这个形折判定。 嗯，正方形呢，首先呢啊，和前面一样啊，我们首先它定义，它定义呢，是啊，有一组邻边相等的矩形啊，叫做正方形啊，有一组邻边相等的矩形叫正方形。嗯，那其实这个 还有没有别的呢？其实我们也可以说啊，就是，呃，有一个角是直角的，这个菱形也是正方形 啊，因为我们前面有过这样的东西啊，但是我们课本上说的呢，是有一组邻边相等的矩形叫做正方形，那我们就用课本上定义，那其实呢啊，我们说有一个角是直角啊，一个角是直角 的啊，菱形啊，也叫正方形啊，这个完全没有任何问题的啊， 然后呢我们就是性质，他的性质呢？就啊，我们前面写的菱形的性质啊，长方形的性质啊，菱形性质，矩形的性质以及平行面形性质，他都是有的。那然后呢，他除了说啊，他们没有的性质，他自己啊的性质，当然这里边也有一个啊， 正方形的四个角都是直角，四条边都相等啊，四个角都是直角，四条边都相等。那第二个呢就是正方形的对角线呢啊，相等且互相平分啊，相等且互相平分， 嗯，这个呢是三个意思啊，首先是有这个相等，然后呢互相垂直，然后呢是互相啊，互相平分啊，互相垂直和互相平分啊，所以说是互相垂直平分啊，同学们一定要搞清楚这个意思啊， 判定呢啊，这就是他性质啊，性质非常多，那我们，嗯，其实理论上，嗯，我们小学学的所有的这个正方形性质都可以任意的用啊，四角角，直角啊，小边都相等啊，嗯，然后角线的这一部分啊，都可以直用。 嗯，然后呢判定呢？第一个判定就是我们定义判定，我们用一组邻边啊相等的这个矩形的矩形啊，然后呢第二条判定呢？是啊，对角线互相垂直的矩形， 那我们绕矩形的角线已经是什么？已经？是啊，相等又互相平分了，它就缺一个垂直啊，就缺一个垂直，所以说只要对角线垂直了，那它就是正方形了啊，首先绕对角线垂直的矩形啊，一定注意啊，先正它是矩形，再正什么啊？对角线垂直啊，它就是正方形了。 那第二个呢？就是啊，我们刚才说的啊，有一个角是直角的菱形啊，首先我们先证是菱形，然后呢我们再证其中一个角是直角，那它就是正方形了啊，一定要大家要搞清楚这个证明的这个过程啊，下一个呢就是对角线相等的菱形是正方形啊 啊，首先正他的菱形，然后我们再正对角线相等啊，对角线等，因为我们知道这个对角线相等，是啊，到了矩形才啊有的这个性质，所以说又是矩形又是菱形，那他肯定就是正方形了。 嗯，最后呢，是我加的这一条啊，我加的这一条，最后第五条啊，第五条，我们用这个证明也完全没有问任何问题啊，虽然我们说没有啊， 啊，就首先证明他是矩形，然后呢再正一组邻边相等啊，他就是正方形了啊，这个也完全没有任何问题啊，这就是所有的这个正方形的这个性质和判定啊。正方形的性质和判定。

大家好啊，我们觉得这个特殊的平行四边形这节课还是要总结一下的啊，也就是说，呃，我们学完这个这节这一单元呢，他有的老师呢，会让我们画一个思维导图啊， 那这个呢，就比较像是一个思维导图性质的啊，我把它称之为就是这个平行四边形的进化啊，加入光荣的进化吧。啊，就是这个， 嗯，它进化了有两条方向啊，有两个方向，当然最后都是殊途同归的啊，那我们看啊，我们首先呢，我们上一节学了平行四边形，那么这一张特殊的平行四边形，所以呢，我们要从这个正常的平行四边形开始 啊。那首先我们上一个单元的平行四边形呢，我们主要是研究了它的四个判定和四个性质啊，这个呢我们一定要非常熟 啊，在这个平行四边形非常熟的基础上呢，那我们平行四边形进化成菱形呢，有两两组方案。那第一组方案呢，就是说我们让平行四边形的一组邻边相等啊，你让它一组邻边相等之后，它四角边的都相等了， 那四角边都相等呢，就变成菱形啊，这个没有什么问题啊。第二个呢，我们平行四边形的对角线来说呢啊，就是说，嗯，它是什么？它是 互相平分啊，就互相平分，那我们互相平分，又让他互相垂直一下，他也变成菱形啊啊，大家不信的话可以再画一下关于这个对角线的东西，考对角线的题，我们可以当场画一下，那比如说他说对角线又互相平分又互相垂直， 那我们就先画一个对角线，我让他啊互相平分，互相平分呢，也就说这块和这块要相等，互相平分又垂直，那我们连接这四个点，那我们就是 以阴为果。那画出来怎么着他也是一个菱形啊，但是我这个随便画，大家用啊，尺子准确的画一下啊，可以试一下 啊，他进化成菱形之后呢，大家啊，嗯，其实大家可以看出来啊，啊，他一个是从边角进化，一个是从对角线进化， 那么看平行四边形有第二种计划方式。第二个第一个呢就是说他一个角是直角，嗯，平行四边形啊，他是对角相等的啊，并且呢邻角互补啊，他只要一个角是直角，那四个角就都已经是直角了，那四个角是直角的情况下呢，他就变成了矩形。嗯， 第二个问题呢，也是从对角线开始进化啊，我们平行四边角线，他本来是互相平分的，你又让他互相平分之后又相等啊，本来呢，比如说这两个啊，他啊，我们这样 这样吧，我们指上这一块等于这块，然后这一块等于这块。嗯，你这样的画出来他就是个平四边形啊，但是呢我又让他相等，就是这一块啊，因为互相平分嘛，他要相等的话，那这块和这块也要相等啊， 你这样再画出来啊，你这样的话，你画出来呢，他就是一个矩形啊。嗯，他来试一下，靠对角线互相平分又相等啊，你这样画出来他就是一个矩形，嗯， 那同样的呢，嗯，矩形呢，他要变成进化成最终形态正方形，那他要怎么办呢？你就说他要没有，他要走他原来的路啊，就说，嗯，他走的这条路 是一个角，是直角，然后呢是对角线相等，那他你变成矩形之后，他每走的一条路是这条路，所以说你只要把这条路给他补全了啊，你说他当时矩形的情况下啊，他一组邻边相等啊，一组邻边相等啊，矩形一组邻边相等的时候才变成正方形 啊，因为矩形它缺的就是这个四角边都相等了啊，但是呢，我们只需要让它一度平面相交的四角边都相等，四角都是直角就变成正方形了，本来四个角就是直角， 然后呢我们可以让它啊，对角线啊，对角线已经有相互平分，然后又相等，我们只需要给对角线加上垂直啊，这两个是或者的啊，只要满足一个条件就可以啊，进化成这个正方形， 同样的也是啊，你啊，你进化成菱形，你走的是这条路，你并没有走这条路，你再把这条路给补上的话，其实啊，这上面东西呢 和这个是一样的啊这上面东西呢和这个是一样的啊，只是呢，呃，你没有来得及走路呢，你最后终会补上，就是我们欠的啊，最终要还，那你不还你就变不成你想要的样子啊。那 菱形的话啊，我们变成啊，只要让他一个角是直角啊，他就变成正方形了啊。菱形啊，这个就不解释啊，因为菱形和这个是菱形，已经四条边都相等了啊，你一个角是直角啊，那他就四个角都是直角了，那四条边相等，四个角是直角，那肯定是正方形啊 啊，第二个呢，就是说菱形的对角线它已经啊互相垂直平分了啊，就缺个相等，你只需要让它对角线再相等，再变成正方形啊，这就是啊，这个平行四边形的进化啊平行四边形的进化啊，两条路啊，殊途同归啊，欠的总要还啊。这是 啊，这个东西，那学了这个东西呢之后呢，我们要对对角线的这个有一个清醒的认识啊。对角线啊，我们对关于对角线呢有三个关系，第一个呢相互平分，第二个垂直啊，第三个相等。那我们啊想问一下同学啊，这一二三哪个比较重要啊？可以暂停思考几秒钟 啊。答案呢是相互平分啊，重要啊互相平分更重要啊。你没有互相平分，你只有垂直相等。啥也不是啊啥也不是。你在互相平分的基础上你加上垂直啊，它可以有质的变化你在 互相平分的基础上你加上相等，它有质的变化啊。因为互相平分啊，它已经证明了它是一个平行四边形了。 你在平行四边形上啊，垂直啊，它变成菱形，你在平行四边形上相等，它变成了矩形啊。但是大家都有的话，那变成正方形，三条都存在的话变成正方形，那只有垂直和相等呢？那还是呢，我们用刚才我说的时候啊。嗯， 你就是，你可以画一下试一试。你让他用垂直啊让他垂直啊，我们说垂直啊，你让他相等啊，这块缠这块缠这样 还是稍微有点啊，反正说你自己画一个，你让他垂直，你让他相等啊，你尺子脸上画一个直角等的啊，大概是这样啊，垂直又相等，那你连接他四条边啊，啥也不是啊啥也不是 啊。所以说呢只有垂直和相等，啥也不是啊，我们一定要记清楚这个角形，角形的题也经常出啊啊，这呢就是我们这个关于特殊四边形的这个整体的总结思维导图。

初三同学一直呼吁讲一下这个初三下的这个数学，由于是这个旧课本呢，不是特别想讲，但是大家问的比较多，我呢 给大家更新一些。就是啊，寒假够预习的啊，大概两个单元左右啊。嗯，第六张平特殊的平行四边形大，大家大概已经都学到了啊，因为这学期特别长，所以呢，大概率是已经都学完了。嗯， 第一个呢，就是菱形的性质与判定。那首先呢，它的定义是什么？菱形的定义是什么？那我们学几何呢？我们学平行四边形也好，学全等三角形也好， 我们是先学什么？先学性质，再学判定啊，我们初中的几何都是这样的啊，这个我已经强调过多次了，那性质呢，就是说它已经是菱形的情况下，它具有什么样的性质？那就是说因为它是菱形，所以得到的这些结论，我们统统叫做性质 判定呢，就是说我们需要哪几个条件才能判断？就说因为什么什么什么，所以它是菱形啊，这两个呢，我们要区分好啊，性质判定，那定义呢，我们可以通过定义来判定。第一个定义呢，就是 一组对边相等的平行四边形啊，一组对边啊，一组邻边相等的平行四边形，它本身就是对边相等，那你带有一组邻边相等，那它就相当于是四条边都相等啊。 啊，这就是菱形的这个定义。那菱形的性质呢？就是第一个啊，它具有平行四边形的所有性质啊，平行四边形的性质，我们书上的一共有四条啊，大家一定要记清楚啊。啊，对边平行啊，对角相等啊， 对角线这个一，这个对角线这个互相平分呢啊，还有 对边平行，对边相等啊，对角相等啊，对角相等，平分啊，就这四点性质啊，大家一定要搞清楚啊，它呢，这个 菱形也就平行四边形的所有性质，那它第二场呢？不一样的地方，二三次就是啊，它不不跟平行四边形不一样的地方啊，第一个呢就是它四条边角相等，那它又有一个邻边相等，那相当于就是四条边相等了 啊，最下一个呢就是对角线互相垂直啊，对角线互相垂直且啊平分一组对角啊，并且每个对角线都平分一组对角啊，这是菱形所具有的特殊性质啊，对角线互相垂直啊，并且每一个对角线呢都平分一组对角，嗯， 这个菱形我们随便画一个，什么意思呢？就是如果它是菱形的话啊，这个角线相等，这个角和这个角相等， 那这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，平分于直角啊，最后一个呢就是它是轴对称图形，且是中心对称，那我们平行四边形已经是中心对称图形啊，它自己呢，它又是一个轴对称图形啊，这是平行四边形性质。然后呢，我们有一个平行四边形的这个 啊，特殊的算法，算面积啊，平行性这个菱形啊，菱形的特殊的算面积的方法啊，菱形的算面积呢，我们可以对对角线相乘的二分之一啊，对角线之积的二分之一来算它的面积啊，这是它的这个呃特殊的算法， 嗯，最后一个呢啊，就是这个这个菱形的判定啊，我们要知道什么东西才能判定它是菱形？那数上了，一共我们介绍了三条 啊，当然我们还有别的判定法啊，第一个呢，就是啊，定义啊，一组邻边相等的平四边形，也就是说我们先证他是平四边形，然后再证他一组邻边相等啊，这是一个判定。那你也可以直接证四条边都相等啊，四条边都相等， 然后呢，你可以正他啊，对角线相互垂直了啊，只要是平行四边形，对角线再相互垂直，那他就是平行了。那同样呢，我们也可以啊，正他对角线啊，互相平分并且垂直啊，就是对角线互相平分呢，证明他是一个平行， 然后呢，这个对角线互相垂直呢，证明他是一个菱形啊，这就是这个特殊平行四边形之菱形啊。 啊大需要大家记得东西多，因为经常和后边要混啊，所以说呢，嗯，学完了这一张呢，最后最好还是要自己多整理一个思维导图啊，你整理好思维导图之后呢，你才能越啊熟练的这个记忆。

然后啊，我们继续学习这个啊，这个六点二矩形的这个性质和判定 啊，其实呢，嗯，这个也比较简单，我们还是在平行四边形的这个基础上啊，第一个它定义呢，是有一个角是直角的平行四边形叫矩形啊，有一个角是直角的平行四边形啊，这里我们还是说， 嗯，他的这个定义定一定要记住，其实呢，他也是这个判定一啊，所以说我们先正完他是平行四边形啊，然后呢再正其中有一个角是直角，那他就可以是矩形了啊， 然后呢他的性质呢啊，有这么几条，当然呢，平行四边形最具有的所有的性质他都是有的啊。 嗯，第一个呢，就是四个角都是直角啊，四角都是直角，这个我们都非常清楚啊，这个非常重要的一个点就是对角线相等啊，一定注意这个矩形，因为后边我们还有对角线很多东西，菱形对角线是垂直啊，这个矩形对角线呢是相等啊， 当然他俩都有平行四边形的性质，平行四边形的性质呢，就是这个对角线互相平分，所以说呢，我们可以认为矩形是平行，是这个对角线呢，它既互相平分又相等啊。 啊，最后呢，他判定呢，就第一个呢，我们可以通过这个定义来判定，就是有一个角是平行四边形的，这个 有一个角是直角，平行四边形是矩形啊，第二个呢，就是对角线相等的平行四边形啊，对角线相等的平行四边形呢，那我们这个 如果说，嗯，这是他的第二条判定，我们先证他平行四边形，然后呢再证对角线相等，那其实呢，如果说我们只谈对角线的话，其实呢 啊，我们对角线相互平分啊，可以正出它是平行四边形，然后呢，再且相等，继续也可以正它是矩形啊，所以说这条呢，我们可以隐身出另外一条来啊，就是说我们先正平行四边形啊，正平行四边形啊，再正什么对角线相等， 正平四圆形呢，我们可以直接正这个角线相互平分其相等啊，这也是一个小的一个东西啊，最后一个就是说三个角是直角的，这个四边形它就是矩形啊，注意是四边形的，它不是平行四边形的，任意一个四边形只要三个角是直角就可以了，为什么呢？ 因为我们它的性质四个角是直角就可以了，为什么呢？因为四边形的角和呢，是三百六十度啊，这隐藏了一个 三百六十度的一个问题，那三个角都是直角了，减去三个啊，九十啊，他就剩下一个还是九十啊，所以说三个角是直角就可以判定他是啊，矩形了啊，这就是呢，这个啊，矩形的这个判定和 性质啊，也是比较简单啊，大家还是要在做题中来这个多多的这个，嗯，体会和熟练运用这几条啊。嗯，需要这样的，有的同学就容易混啊，千万不要混，千万一定要把它记清楚。

大家好，我们继续学习这个音式分解法，那音式分解法呢？它比较简单，嗯，也是我们 用的最经常的一个方法啊，我们基本上正常我们做的。嗯，会先考虑音式分解法，如果不能用音式分解法的话，我们再用啊，配方法或者公式法啊，一定注意下这个。嗯，音式分解法是首选，但是呢，它并不是所有的都能用 啊。嗯，理论上来讲所有都能用，但是说我们有些看不出来啊，我们看，有时间我给你讲一下。为什么啊？首先呢，我们既然是音式分解法，那我们就想一下初三学的这个音式分解什么意思？ 那音式分解有几种方法啊？第一种呢，就是提供音式法啊，第二种是公式法啊，第三种呢，十字相乘，那提供音式呢？非常简单，就是常分配率。那公式呢？我们有两个公式，一个是 y 平方公式，一个是平方差公式啊，这两个公式我们要熟悉，那最后呢就是十字相乘， 那基本上能用十字相乘法啊，我们基本上能用十字相乘，就基本上能用音式分解啊，十字相乘占百分之九十以上的题 啊，当然也有一些非常特别的题啊，我们讲啊，这就是我们整个的，那我们因式分解的意义呢？是把一个整式啊，化成一个积的形式啊，把一个化成一个积的形式， 那我们如果说我们一个方程啊，它左边是一个整式，右边等于零，那我们只需要把它左边化成一个积的形式，让它等于零。那 啊，我因式分解法的这个原理就是这两个东西相乘等于零，那它其中必然有一个等于零，或者两个都等于零，那所以说，我们只要把它化成了谁和谁相乘等于零的形式，那我们就可以说啊，要不然的啊，它等于零，或者是它等于零啊，这就是这个一二方乘的两个解 啊。那我们啊，需要首先比较一下这几个方法的优劣啊，是乘法的概念。那有这么一个题啊，就是 x 方等于三 x 啊，那有个同学是因为他没有学四的相乘，没有学英式分母巧，他用我们普通的方法啊，他用那个 x 方减三， x 等于零啊，把它变成一般形式完，没有 c， a 等于一， b 等于负三， c 等于零，然后他用公式法 x 就 等于二分之 三呢，加减根号九啊，根号九是 b 方减 c， c 啊，因为没有 c 嘛，所以说就只有一个 b 方了啊，负 b 的 平方是九，那得到了一个 x 等于零啊，这根根号九是三三加三啊，等于六六，再除以二等于三啊，三减三等于零啊，他得到这个，这个是对的。那这个呢？嗯，同学呢， 他两边都除以了 x， 嗯，当两边都除以了 x， 得到了 x 等于三， 那这种方法呢？看着对啊，但是呢，嗯，这种方法啊，我们一定要注意，一定要注意，我们可以用这种方法来解啊，可以用这种方法来解，但是呢，你这样是不对的，那我们复习下我们整式的这个乘法。我整式乘法啊，把 这个等式的基本性质啊，两边同时除，你得是除一个不为零的数才行。那你这个 x 有 可能等于零啊，所以呢，我们再除 之前要进行讨论啊，进行讨论啊。第一种情况就是当 x 不 等于零，先写 x 等于零啊，当 x 等于零时，那它就等于零了啊， x 等于零时啊，完全相等没问题。然后呢，当 x 不 等于零时， 那 x 不 等零时，你才两边乘除 x， 那 两边不等于零时，除以 x， x 等于三，那两 x 等于零时呢？ x 就 等于零啊，所以呢，它这个漏掉了一个 x 等于零的情况， x 一 等于零， x 二呢等于三啊，你这样解也可以，但是你要把这个 x 等于零的情况讨论进去， 在 x 等于零可以不可以啊？可以的话 x 等于零，他直接就成立了啊。所以说呢啊，我们可以用这种方法，但是呢，我们有时候还经常用到这种方法，就是说你两边同时除的时候，一定要有这种的数学思维， 就他不能等于零才才可以除他。如果有等于零的这种情况，那我们要单独拿出来分类讨论啊。那最后一种方法呢，就是我们啊，今天要讲的那 x x 方等于三， x， 那 x 方减三呢？我们把听音试一下啊，提出个 x 来，得到 x 乘以 x 减三等于零， 那啊，左边呢，就变成了一个 g 的 形式，让我们知道 g 的 形式， x 和 x 减三乘起来等于零，那必定有一个为零啊，就是 x， 那 所以呢，就是 x 等于零，或者 x 减三等于零， 那 x 减三等于零呢？就是 x 等于三啊。这种方法是最简单的，因为它把一个嗯二次方程转化成两个一次方程 啊，但是不是所有的一定注意，不是所有的方程都能用这个方法啊，大概就是说啊，有两种比较正常，那我们前面讲的就是啊， a x 方加上 b， x 加上 c 等于零，那第一种配方法呢？配方法呢，最基本的其实是这个 b 等于零，没有 b， 只有一个平方加一个数的时候，那我们用的是两边开方，两边开平方，那这时候呢，哪一种必须用音质分解法呢？就是没有 c 的 情况啊，没有 c， c 是 零到一个 a x 方加 b x 这种东西，那必须要听音式啊， a x 和 b x 就 提成 x， 然后呢，就 a x 再加 b 等于零的形式啊，这种呢，这一定要用题，有的同学到最后都是忘了这种办法了啊，不会解，或者说用很麻烦的方法啊，这种方法最简单，一定注意，没有 c 啊，直接听音式啊，非常简单， 那就是 x 等于零，或者是 x 等于负的啊， a 分 之 b 啊，负的 a 分 之 b 啊，这最简单的，那后面呢，我们来练几个题啊，首先呢，我们这是我们的课后题，第一个呢，它直接给你音式分解好了 啊，那我们利用我们的这个方法啊，我们利用我们这个原理，就是两个东西相乘等于零，那其中必然有一个等于零啊，但是两个都等于零也可以，所以呢，我们就下一步解， 就 x 加上二等于零，或者是 x 减四等于零，那所以呢， x 一 呢就等于负，二，那 x 二呢，就等于四啊，这个非常简单。 那这个呢，我们稍微啊进行一下，这个啊，这个这个这个一一项来进行提问式，它就变成了四 x 乘以二， x 加上一，减去三倍的二 x 加上一等于零，那我们发现都有二 x 加一，所以我们选择把二 x 加一提出来，就是二 x 加上一 乘以四， x 减三等于零啊，那我们成功提供音式好了啊，音式分解好了， 因为好了，因子分解好了之后呢，那他两个啊，相乘等于零，那所以呢，他必然有一个等于零，那所以呢，就是二 x 加上一等于零，或者是 四 x 减三等于零，那相信这个呢，他同学都能一步做出来。那这个呢就是 x 呢，就等于二分之一，那这个呢就是 x 就 等于四分之三，负的二分之一。 嗯，这个先把三一游戏两边来除以四， x 乘以它，就是它两个减啊， x 一 x 二。 那最后呢，就是我们用到最常见的这种啊，可以用十字相乘，可以用十字相乘的啊，可以用十字相乘的，那这个呢，如果说你前面十字相乘学的，虽然我们书上没有单独讲十字相乘法， 但是呢，如果说你十字相生学的不好的话，你这一块非常困难啊，所以说一定要啊，再回去把十字相乘再复习一下，那这个呢是一一一和七，那这是负六，所以说负号给七， 那交叉相乘之后，相加等于负六，那所以呢，我们就可以写成 x 加上一乘以 x 减七等于零， 但是这个是打草呢，我们应该默认很熟了，那所以呢就变成了 x 加上一等于零，或者是 x 减七等于零， 那所以呢，这个 x 一 呢就等于负一， x 二呢就等于七啊，这是啊，这种题啊，能用因式分解法的是我们啊，用的最最最最频繁的 啊。当然呢，你可以反过来用啊，反过来用，我们下一课再讲这个东西。

那好啊，我们今天来讲八点五啊，嗯，他这叫一元二次方程，跟一起有关系。这个一元二次方程我就先不写了啊， 就是我们知道是一元二次方程跟一起有关系，他又呢，他又他的又一个名叫维达定理啊，因为是维达发现的啊，所以呢，我们有时候啊，有位同学啊，不要搞不清楚啊，说维达定理，不要搞不清楚，这是跟一起有关系啊。 嗯，首先呢，根弦的关系呢啊，内容很简单，那我们如何推导的呢？嗯，首先呢，我们是在 a x 方加 b， x 等于零， a 不 等于零，并且怎么着？并且它有根的基础上啊，这个第二它大于零的啊，第二它大于零零的这个基础上啊，它如果它有两个根，那它两个根有什么样的这关系呢？那我们就说啊，就是说 x 一 加上 x 二呢，就等于负的 a 分 之 b， 然后呢， x 一 乘以 x 二就等于 a 分 之 c 啊，就这么简单啊，这种朴素化学定律，那这种朴素化学定律为什么会单独拿出来呢？ 嗯，有的眼睛比较敏感的同学已经看出来了啊，这有没有像我们前面学的这个完全平方公式啊？我们完全平方公式呃，是不是经常考这样东西？还记得我们完全平方公式就是 a 方 加上 b 方，然后 a 加 b， 然后 a 减 b， 然后 ab 这四个利用我们往下平方公式是不是什么来， 是不是知二求二，我们知道两个，我们是不是能求出另外两个，那你看它正好恰好就是其中的两个啊，一个是这个，一个是这个 啊，所以呢，我们能求出 a 减 b 来，也能求出 a 方加 b 方来啊？忘了同学请这个，自己这个这个这个回去看我的这个反平方公式那一件，或者自己复习一下啊，就这四个是什么知二求二的？ 所以说呢，我们有了这两个东西呢，我们会经常让你求这个 x 一 的平方加上 x 二的平方等于几 啊？或者说 x 一 平方减啊， x 一 减 x 二是几啊？这个呢？经常求，那我们这个定律怎么来的呢？那我们前面已经知道了，这个 跟一起有关系呢，他有两个根，一个是啊，是二 a 分 之，负 b 加根号下平方减 c， 一个是减，那我们就可以用这个公式来推导一下，那如果是，那 x 一 加上 x 二的话，它就等于啊二 a 分 之，负 b 加上啊根号，这是根号带他们 让它再加上二 a 呀， b 减根号代它，那这个呢，因为分母符号相同，那它就等于二 a 分 之呢？ 这个是加号没减，然后负 b 加上负 b 加上根号这儿，它再加上负 b 减去根号这儿，它， 那这加带它减，带它没了。就是啊，负二 b 二 a， 嗯， b 减 b 是 二 b 嘛，所以最后呢，就是负的二 a 分 之 b， 所以 说 x 加 x 二就等于这个 啊。同样的，那我们 x 一 乘以 x 二呢，它就等于这个 这二 a 分 之，负 b 加上根号， b 方减四 a c 再乘以二 a 分 之，负 b 减去根号， b 方减四 a c 啊，首先呢，它这是一个分母，这是一个整体，其实这样加括号的，那它就等于下边是四 a 方分之啊，这个 不知道同学发现没有，正好是个平方差啊，负 b 加上这个东西，负 b 减去这个东西，那所以呢，我们就等于啊，负 b 的 平方减去根号， b 方减四 a c 的 平方， 这个平方差公式啊，所以就等于四 a 方分之，负 b 的 平方就是 b 方减去这里边啊，是 b 方，因为 b 方减 c， c 带了个括号，但是呢，我们去括号呢，就变成加四 a c 了 啊，最后呢，结果就是这两个没了，就是四 a 方分之四，再约掉一个 a， 所以呢，就是 a 分 之 c 了啊，这是这就是这个这一节的内容啊，根据求关系。嗯，我们推导过程呢，也比较简单，然后呢，你只要分得清 abc， 那 这个也没有什么问题啊，最主要的是我刚才讲的这个啊，知二求二的问题 啊，我们虽然知道 x 一 加 x 二，知道 x 乘以点，但他没让我们求这个真正考试，他让求 x 一 加 x 二平方， 那 x 加二它的平方等于什么呢？那很明显是 x 一 加上 x 二括积来的平方，减去两倍的 x 一 x 二啊，把这两个带进去就可以得到这个东西了。那同样呢，我们也有啊， x 一 减 x 二的平方 等于什么东西啊？ x 一 减 x 二的平方减去四 x x 二啊，这我就不怎么写了啊，这是 啊，这这玩平衡公式的一些东西和这个伟大定律完美的结合在一起啊，你前面玩平衡公式学的不好的，那这节课呢，可能你需要回去复习一下，要不然呢，就有点吃力啊。

上个视频我们看完了初一的内容，接下来我们看初二，如果说初一是用来适应整个初中数学学习习惯的培养的话，那么初二将会开始有同学要掉队了，主要是因为我们开始接触初中三大图形中的三角形了。 初二一开始，我们先学习三角形的基础知识，然后开始接触初中的第一个坎，证明平行， 也就是到了初中之后，我们第一次系统的接触证明题。在这过程中我们需要真正运用我们的数学逻辑去推演和证明我们的数学结论，去判定位置关系。 接下来的勾股定律轴对称，这个算小菜，因为初二下学期我们将端上一道大菜，就是选等三角形， 学习全等三角形当中的性质与判定。判定的逻辑是什么？对待所有的图形当中，我们能否找到两个图形大小形状一致的方式，并且要运用书中 当中明确的定力和判定性质，这才是我们学习全等三角形的核心。第一阶段是你能否看出两个三角形的三角形，第三阶段你能否 创造出两个全等三角形作为桥梁去进进一步进行我们的推演和证明，这就是我们三个不同的阶段。所以说平面几何当中，全等三角形是灵魂，那么这部分内容我们可以打上三颗星， 因为它这部分知识是可以一直延续到高中，也可以到高中的一些数学竞赛里面。

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大家好啊，我们继续学习这个啊，上面我们讲的这个面积问题以及平均增长率问题，那我们这个讲究这个销量问题呢，是 中考必考题之一啊。嗯，我们这边呢基本上就是隔一年考一次，隔一年考一次，就是这个中考这个倒数第四个或者第五个题，这个应用题的部分啊。嗯，他要不然他就考一个一次函数和二次函数应用题的那个 啊，要不然就考一个这种，呃，这个销量的问题啊，那这种呢？他有时候也考成选择题，那这种题呢有一个讨厌之处就在于就是，嗯，他有两种问法 啊，我们一会来讲个两种问法啊。嗯，这两种问法呢，这个列的方程是不一样的，那他有时候选择题的话，嗯，他给你设一种你不太喜欢的这个方法，让你用这个方法来做。那嗯，如果说， 嗯，难度就比较大啊，但是这种题也不是没有办法啊。嗯，你可以把它算出来，然后呢？嗯， 解出来，然后呢啊，比如说他让你算定价是多少吧，那你如果只会列降价多少钱的话，既然进价多少，他有了这个定价，有了这个进价 啊，那你就知道他降价多少了，那你再把他给的那四个方程再算出来，看哪一个降价。对啊，拿上这种方法， 嗯，是你闲实在闲着没事的情况下啊，可以挨个这样算啊。嗯，否则呢，我还是要尽量的把这连着符号学会啊。那这个一个题呢，我们当成两个题来讲啊。嗯，我们算了这个题呢，他定价是多少啊？他问你定价多少， 定价多少，他有时候呢他会给你设一个降价多少降价，那我们首先按照第一个定价是 x 元来啊，这样， 那我们首先看题目啊，嗯，一台冰箱呢，进价是两千五，然后呢售价两千九十，每天卖八台，那如果呢降五十块钱，那每天就多卖四台，那要是利润达到五千，那定价应该为多少？ 或者说降价为多少？我们先按定价是多少来讲啊。那这里呢，大家一定要注意啊，我们中间有几个关键点，那第一关键点呢？就是标准啊。 什么是标准？你找到就是说他卖多少钱啊？每天卖多少台，这就是标准啊，这是标准， 也就是在我们没有任何变动之前的话，他应该是两千九百啊，这是两千九百，是单价啊，乘以数两千九百乘以八啊，这是他的，那我们一切的这个东西是在这上面啊，加工啊，一定注意啊，这是我们的基础，我们在基础上加工，那我们现在呢？嗯 啊，他问，他告诉我们就是说我们定价应为多少钱，那定价多少钱，那非常简单啊，定价为多少钱，那定价呢？我们假如定价是 x， 那 它是利润是五千，那我们定价呢就要减去这个 啊，两千五百啊， x 减去两千五百啊，这是我们每一台的利润，因为我们定价 x 嘛，每一台减去两千五百啊，这是我们每一台的利润，那到到底要卖多少台呢？那这个呢？呃， 一定注意，一开始是要卖八台，一开始要卖八台，我们是在这个八台的基础上来增还是减啊？八台的基础上增还是减，我们先写上个八，那到底是增了多少，减了多少呢？那这里又有一个东西，就是啊，每降五十元啊，多卖这四台， 那每降五十元都多卖斯坦，那我们卖这个 x 元实际上是降了多少钱啊？我们卖 x 元，实际上降了，我们假设这个 x 元比这个两千九低吧，那么是啊，是降了多少钱呢？就是两千九百减 x 元 啊，就是啊，降了这么多钱，那同学们，那这个东西是怎么着呢 啊？但如果同学你能看出来的话呢？最好啊，因为交叉相乘嘛，就是五十分之四乘以这个两千九百减 x 嘛，是吧，这个东西应该是，那如果说你看不出来这个地方填啥的话 啊，那你可以舍一个 m 啊，那么列一个比例，就是五十比上两千九百减去 x， 就 等于四比上 m， 那 这个 m 等于几呢？ m 很 明显吗？那么约他和他约，约到是二至二十五， 那就是二十五分之二乘以两千九百减 x 啊，就是这么这么多钱吧，所以说我们降了两千九百减 x， 他 是多卖了啊，这么个钱 m 等于二十五分之两千九百， 他多卖这么多钱，所以呢，我们是什么？我们是多卖了，就是加上二十五分之啊，还有个二的啊，这个二 二十五倍的两千九百减 x， 所以 这里就是个中括号 啊，这是我们，就是，这是我们每每台的利润多少，这样呢，是我们卖了多少台啊？我们首先是连九的话，是卖八台， 那他现在卖 x 台了，那 x 台的话啊，就对应着啊，那不是，他是卖 啊，两两千九百，他是卖 x 元了啊，卖 x 元呢，就对应着要多卖这么多台，那在八个技术上再加上这么多，这就是利润，那他等于五千就行了啊，因为后边写不开了，我们写下前面 五千等于这个东西，那这个呢？我们再解这个方程啊，我们再解这个方程，嗯，这个方程呢，我就不给大家解了哈。那如果说问降价是多少钱呢啊？降价是多少钱的情况下，那我们看一下啊，我们还是以这个啊，两千九百 啊，乘以八。原来卖两千九的时候他是卖八台，那他现在呢？我说要降 x 元，那本来卖降五十元会多卖四台，那我降 x 元多卖几台呢啊？大家同学看出来就是二分之二十五 x， 二十五占二二 x， 那如果说还是不知道的啊，还可以啊，设一个 m， 然后呢来交叉相乘，则 m 呢？就是这个东西 啊，所以呢，我们要搞清楚这个啊，是，嗯，它卖它降五十元的时候多卖四台，那降 x 元的时候就要卖再多卖二十五分之二 x 元啊，二十五分之二 x 台啊，台， 那我们看啊，现在他每天利润是多少？他要求每天利润，是啊，五千啊，是五千，那么还是啊，那现在呢啊，这个呢啊，他就到底每每台利润多少，他就有一些变化，那我们原来设的是啊，他就卖 x 元 啊，所以说是 x 要减去两千五，那现在我们设降价多少钱那所以我们先求出卖价多少钱？ 两千九百先减去 x， 因为我们设的降价是 x 元啊，两百先减去 x， 再减去两千五百啊， 这是卖多少钱？因为我们这次设的是降价多少钱啊？在两千九的计算降了 x 元，那降了 x 元之后呢，我们还要减去成本啊，这是每台的利润， 那乘以啊，那这个就简单点，那本来是卖八台的，现在呢，多卖了二十五分之二 x 台，再加上二十五分之二 x 台，那这样呢？等于五千啊，这两个方法呢，都能解出来。 嗯，这两个方法也没有什么啊，谁好谁坏啊，只不过说，那我们如果说是卖 x 元的话啊，卖 x 元的话，那这一部分它是比较简单的啊，直接 x 减去这个两千五就可以。 那如果你设降价是 x 元的话，那你要通过这个两千九先降 x 元，再减去两千五。反正是啊，左边这个我们都是单台的利润，那右边呢？通通都是什么？通通都是啊，能卖多少台？那原来卖两千九百减 x 时候是卖八台，那我们这是啊， 降了两千九百减 x 之后它的台数，那这个呢？是降 x 元之后多卖台数， 反正最后都等于五千啊，都等于五千。那这两种方法呢？他有时候考试的时候，理论上如果说做应用题的话，你掌握一种方法就行了啊，就是刚开始的情况下，你掌握一种方法就行了 啊。但是呢，嗯，如果说你想要把这种选择题做对的话，你两种方法都要不要掌握啊？就是说，呃，这个题他问你的定价是多少， 那你要马上做完定价之后啊，然后呢，再自己列一个降价多少，看看看你列对不对？而他问你降价多少呢，你再列一个定价多少。就是一题两做，发散思维啊。 嗯，一定要把这种题搞清楚，因为每隔个两年就考一次，每隔两年就考一次啊。嗯，这种题还是非常之重要的啊，非常重要。那第四种类型的题呢？就是这种，嗯，勾股定律的题了 啊。第购物这里的题。这种呢我就不讲了啊，大家自己看看就会啊。这种呢就没有必要浪费材料时间啊。就是 你根据前面的购物定义，反正啊，你设个 x 表示出这些路程来啊。这个最后呢，就是列一个购物定义，因为有平方嘛，我们要列一个一元二次方程的应用嘛。啊，这些通通都是一元二次方程的应用啊。

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