高一下数学立体几何斜二测画法绘画

今天给大家说一下立体几何该怎么学？立体几何呢，是我们高中相对来说比较抽象的一个模块，他对我们的空间想象能力要求比较高，很多人学的特别差。今天呢给大家提三个建议。第一个，想要学好立体几何，一定要先学会画图， 因为我们立体几何是一个立体的图，放在一个平面上，很多人是不知道该怎么画的，所以我们要先想清楚那些助追台球怎么画看起来才会更立体。 我们书上有邪恶色画法，按照他的要求去看，要多看图，多画图，否则你学了这个方法，你考试图画不出来，这题也是白费 这第一点。第二个呢，就是立体几何里面的所有的概念，所有的定力和性质， 你不需要背，但你一定要理解，你背下来也没用。你比如说平行有什么特点？线线平行，线面平行，面面平行有什么特点？该怎么去证明？垂直也是一样的道理，你要把它彻彻底底的想清楚，而且能在生活中通过一些例子来去验证， 这样的话，当你涉及到和这些平行垂直相关的问题的时候，你才能快速的反应过来。 第三个，想要学好立体几何啊，你得多整点二级结论啊，也就所谓的一些模型，你比如说 外接球里面有好多的模型，这些模型如果你没总结出来，你指望考试线推倒门也没有。 你再比如说线线角啊，线面角啊，面面角啊，一般都是怎么操作啊？柱和锥的体积有什么关系？都有几种常见的求法，这个你要全把它总结好，你把我说这三点给我做好了，你的力气几何？在考试就是满分。

本期视频来看高一数学立体几何章中涉及平面图形斜二侧画法、面积结论的深度讲解。看这道例题，如果一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是底角为四十五度，上底为一，腰为根号二的等腰梯形，则求圆图形面积。 那么首先我们先画图吧，先画他的斜二侧直观图，告诉了上底是一，底角四十五度，幺是刚好二。那可以根据等腰、直角、三角形的性质，我分别求出底边、下底应该是三个一对吧，高呢？应该也是一，这是它的直观图。 咱们有了斜二侧的直观图，如何去画圆图形呢？正着画怎么画？已知圆图形如果是直角，那么变成斜二侧的话，就变为四十五度斜向上啊，这么画， 那现在反过来呢？直观图中出现了左侧的四十五度角，那我画成圆图的话，应该给他掰直了，给他掰成直角，所以我建立一个坐标系，坐标系中，水平方向长度不变，下底依然是三，只是这个高 高原来是斜向四十五度，现在是垂直的，原来是腰长是根号二，那扩大二倍以后，原图形的高就是二倍，根号二，下底依然是三，那上底呢？水平方向依然是一，最后我再把另外一条腰连出来，就是这样子。 所以在原图形中啊，这是一个直角梯形，那直观图变成了一个等腰梯形吧。好，咱们下面分别算一下原图和直观图的面积。先看原图面积，都是利用梯形的面积公式， 二分之一高乘上底加下底等于四倍，刚好二。好，那这道题答案就出来了。然后咱们再看一下，看这道题背后的一个深层次的结论， 我再算一下左边这个直观图的面积，也是上底加下底乘以高除以二，这个发现算完了，直观图面积是二。咱们得到一个重要结论，任何一个平面图形， 它的直观图的面积，也就是斜二侧的图形面积和它原图的面积比永远都是一比二倍，根号二。 大家如果在做小题的时候遇到这种题，可以直接套用这个面积比例公式，就可以直接得出来答案，而不用再去反化它的原图或者是直观图了，大家理解了吗？

咱们来讲一讲如何在二维的纸上画出一个漂亮的三维立体图形。咱就拿最简单的这个正方体来说，我左右各给大家画了一个正方体， 那我奶奶也能看出来是不？左边这个好看些，漂亮些、美观些。右边这个，哎，虽然这个线段呢，也是一些线段，虚线呢，也给你画好了，但是你怎么看他都不像个正方体， 所以同样是正方体，差别咋这么大呢？显然对于一个给定的力度性，不是你想咋画就咋画的。咱有一个标准，这个标准画法的名字叫斜二侧画法。 比如啊，咱知道正方体底面，按理来说任何一个面他都是一个正方形，那当我在空间当中画的时候，你看这个底面是不是，哎，这，这变成平行四边形了，这中间咋转化的？就是斜二侧画法干的事，他说白了就是一种标准，你就像学说明书一样去学他， 比如我们好好的一个平面直角坐标系上，我给你画一个等腰三角形出来，那当我把它放到三维空间里面的时候，我们做这几件事，第一，把垂直的 x 轴 y 揉，这不九十度吗？现在变成四十五度， 哎，在这个空间里面，哎，你看这像这么回事啊，这两条线看，这是垂直的哈。第二步，所有平行于 x 轴的啊，就在 x 轴上，它在前后二维和三维空间画法当中，长度是不变的。 但是平行于 y 轴的线段，比如说就拿这条线来说，他就在 y 轴上，我们为了画图美观，在新画法上要求把这段长度除以二。 比如说原来在图形上这个长度如果说是两厘米，那现在在这个新图形上，它的长度就变成一厘米了。 我们发现在空间当中这样画图比较美观。最后一个烂猪，这个正方体，你这底面怎么画出来的呀？实际人家原来啊，在二维空间上，他的底面呢？啊，是一个正方形，但是画在三维空间当中， 原本垂直的两条线段，比如一个是 x， 一个是 y 啊，哎，你不能垂直啊，你得跟我现在形成四十五度了，然后平行于 x 轴上的啊，这个就是就在 x 轴上，它的长度在新图形当中是不变的，直接拉下来， 但是平行 y 轴的线，我现在再在 y 轴上画的时候，长度要减半了，所以大致，哎，大致，我就这么画一下，然后两条边都确定了，那这是个正方形的另外两条边平行着画喽，这底面就让我画出来了。 ok， 那 我们回过来继续往后讲啊。现在我来问大家，既然一前一后有这样的一个对应关系，那前后图形这个面积有没有什么关系？ 比如说就拿这个三角形来说，它们两个的，呃，把它当底吧，底的长度是一样的，是吧？比如说我都设成 a 好 了， 它俩的高一个高，这个高呢？我设为 h， 那 在新的这个三角形里面，它的高在哪？注意，实际的情况上，你这是高，对应着对应的这条线段是高，对不对？但是呢，我现在研究的是这个图形本身啊，这图形，这三角形，这当底的时候高是谁？高？高，我得做垂直，对不对？ 我仅是把这个长度求出来啊，我看一看这个关系，放大一点，我想看它的长度，我就把它放到三角形里面，我们刚才知道，哎，这个三角形，这是直角，这四十五度，这不等于要直角三角形吗？ 那按照标准说啊，你这个长度是 h， 那 我画的时候这个长度是不是应该是变成它的一半来着？它应该是二分之 h， 那 你有了斜边，那我这个直角边就是在它的基础上再除个根号二，也就是二倍根号二分之 h。 有 了， 原来 s 等于二分之一 a h， 现在这个 s 一 撇是二分之一 a， 再乘以它这四倍根号二分之 a h， 那 你看它俩是差几倍关系是不正好差的应该是二倍根号二的关系。记住啦， s 这个记为啊，原来的图形面积叫 s 圆，它是二倍根号二倍的。这个新图啊，新图呢，我们称之为叫三维空间内的直观图，起个名叫 s 值，它们有一个固定的比例关系， 三角形，这样四边形、五边形、六边形全都满足。这关系我不给大家细证了啊，你记住就行，因为你想嘛，你多边形，那我是不是可以拆成一个个三角形，它是由一个个三角形拼起来的呀？所以这个直观图和原图面积关系，有的时候就能用来做题。

大家好，我是李老师，今天这道填空点呢，考了立体几何当中一个最基本的知识点，也就是斜二策划法，这一个呢也是大家可能比较容易忽视掉的知识点，下面我们来看一下题目。 首先题目说矩形 o 撇、 a 撇、 b 撇、 c 撇呢，是水平放置的一个平面图形，由洗二次画法得到的直观图。好，这句话要理解清楚，这个时候这个直观图是一个矩形啊，是个矩形，也就是说像这个他都是直角， 这里呢就这个直观图是直角，但是你如果说把它展开成它的平面图的话，就是把它立起来是不是一个矩形，这个不一定是不是，并且肯定不是矩形啊，肯定不是，因为我们知道如果说把它立起来的话呢，我们在 x 和 y 轴他们应该是直角的，所以说呢，这 这个地方要搞懂，你千万不要说在这里看图的时候，你就把它当成一个，就是好像一个长方体一样，像这样去看啊，你不能像这样去看，因为它是一个直观图。好，接下来呢，他说 o 撇 a 撇呢等于四， 这里呢是四，然后 o 撇 c 撇呢等于根号二，要求圆四边形 o、 a、 b、 c 的周长。 那这里呢，我们就要想回忆一下，写二策划法我们是怎么样去画的。我们知道写二策划法呢，首先是线，一个 x、 y 轴，对不对？ 比如说现在呢，给你一个长方形啊，像这样水平面上是放置，是这样，那么我们用小二策划法的时候呢，我们会先把 x 轴这个不动， x 轴是不动的，并且 x 轴上的线段的长度也是不变的， 对不对？这个也不变，然后我们的外轴要跟 x 轴成多少度的角？注意了，斜二侧画法的时候呢，通常是四十五度或者一百三十五度，我们基本上都是四十五度吧，这个地方是四十五度啊，标准的图呢，是这样的，然后再抓住外轴上的这个关键点， 这个点很关键，把它的距离呢，你像这一段的距离放到其他的策划法当中，我们叫减半，你就只能画这么长。好，那么在这边大概是这里，然后确定了这一个点之后，那再来怎么样呢？这个点往左往右的这两段线段呢？这个长度是不变的， 这两段的长度不变，这样呢我们就可以画出这个长方形，他的一个写二策划画法的一个画法。好，这时呢画法，当大家回忆了之后，我相信大家这个时候呢应该可以抓住几个关 关键点。第一个就是首先我们要关注到这个点，也就是他在外撇这条轴上的这个点一，因为待会我们要展开，他把它放平的话呢，还是要通过这个点来看。第二个就是 这边的长度是减半的，对不对？长度是减半的啊，好，并且还有四十五度吧，那么在这里呢有一些长度，我们可以算一算，这里是四十五度，然后这里又是题目说的是矩形，那所以说这里呢也是四十五度，那这个地方是不是也就根号二，那 o 撇一的长度呢？就是二， 好，你现在在外撇轴上的是二，那我们把它展开成，把它立起来，画它的平面图 啊，这个是 o a 啊，那这个时候呢，是不是要画一个直角，并且画多长画多长， o 撇一，一，在这个地方它的长度应该是等于四的，跟 o a 呢是相同的。 好，那这个时候呢，接下来再往左边画多少呢？这边的长度是根号二吧，这边长度根号二，那么这边的长度是不是就应该是四减根号二啊？四减个长跟 x 轴平行的呢，长度都是不变的，那么往左边呢，就画根号二， 往右边就画四减，刚好其实就是画一个平行四边形。好，这样呢，我们就把它画出来了吧， 画出来了啊，这边呢就是根号二，这边是四减根号二。好，那么接下来呢，这一段的长度，这里是 c， 这里就是 b， 那 o c 的长度是多少？这里根号二，这里是四十六加二开方，那么就根号十八三倍的根号二， 所以说这个平行四边形的两条零边呢，是四和三倍根号二，那周长就是八加六倍的根号二，这样呢我们就算完了。好了，今天这道题考了喜二策划法啊，你一定要搞清楚喜二策划法当中的几个关键点，也是我刚跟大家说的，首先你这里是夹角四十五度， 对不对？题目不说，你要知道第二个跟 x 轴平行的线段长度是不变的，第三个在 y 轴上，这边的他的是怎么样？长度要减半，这就是洗二次画法。好了，今天我们就说到这边，我们下次再见。

同学们好，请坐好，那同学们，今天我们要讲的是立体图形的直观图， 那前面我们讲的助推排球以及简单的组合体，为了将这些空间几何体挂在纸上， 那我们用平面的图形把它给表达出来，使我们可以根据我们的平面图形想象空间几何体的形状跟结构。那这就需要学习直观图的画吗？ 那么什么叫直观图呢？是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在一个平面内的点， 这些点我们全部都要画到哪里去？画到一个平面图形里面去啊，所以画出来图形啊，往往跟我们啊，真实的形状不完全相同啊，那 我们在画这个直观图的上，往往是通过平行投影下得到的平面图形。那么首先我们要画立体图，那第一个，第一个就要规划怎么样啊？水平放置图形，他的直观图是什么样子的？ 好，所以今天我们第一个是水平放置的平面图形，他的直观图的画法。来我们看一下，这个大家就比较有生活经验了，咱们的窗户，然后呢，阳光打进来 照到地板平面上，你看到是什么？这才是矩形吗？啊？看到的是一个什么呀？平行的，你看到的这个农田呢？ 你看也是什么呀？平行是平行，那其实这个阳光是什么样子的线？ 平行的线是吧？平行线，只不过，只不过我们这个窗户在哪里？ 在跟我们的投影面是吧？投影的地板平下来是什么关系的？垂直的，而这平行光线呢，又跟我们这个平面有一个夹角，有一个夹角， 所以他水平投影过来是不是，是不是变形了，像平行四边一样呢？比如说农田，咱们的视线是不是出了平行实线过去啊？所以看到的是不是变成什么了？ 变成一个形似变形啊？所以这是跟我们观察的角度是有关系的。一个物体的投影不仅跟这物体的形状有关，而且是跟投影的关系，跟物体跟投影面的位置关系是有关系的。如果矩形 放在垂直于投影面的这样子一个平面上，然后投影线呢？又跟这个不垂直 啊，跟头笔面不垂直，那这矩形就变成一个平行边形了啊，这就是水平图形啊，它的直观度。那怎么画那？我们经常是用斜二侧画法来画斜二侧画法， 一个是斜的是吧？两个是平行的跟垂直的啊。那么我们在画的时候，在已知图形里面取互相垂直的 s 轴跟 y 轴， 两轴的焦点叫做 o， 那 画直角的时候呢？那就变成 s 撇 o 撇 y 这样一个坐标系，只不过 原来是垂直的，那你现在画的几度？四十，那左边同学看过来是四十，右边同学看这两条是不垂直的，那你看到了，是不是 角度是较大一点，那这边可以看过来是变四十五度了啊，所以人一画成四十五度，行画成一百三十度呢， 这是第一步，第二步的话是平行二头的，或者在二头上，它的长度啊，是不变的。 平行 h 轴的，那到 s 撇轴这边是还是平行的？菱形保持不变，平行外轴的还是保持平行的长度啊？平行 a 轴的，不变平行外轴的。这样啊，剪成什么？原来的？原来的一半， 哎，那比如说我这个是正方形，正方形我给它画出它的直角图，那我们应该怎么办？ 第一步咱们要先给他取一个坐标系来，是吧？哪里 a 点可以啊？ 那接下来我们要把它翻过来，是吧？所以这变成 s 点，这边歪一点角度， 然后现在呢？现在我这个正方形，哪个可以先把它搬过来啊？ ab， ab 长度有没有变？ a 变，所以这边是变成 ab 对 不对？那我搬过来一个一撇 b 撇吧。 接下来搬哪一个？墙搬完了，搬是不是在外角上？还在外角上？跟外角平行还是什么？要先把谁搬过来？ a b 好， 注意长度要怎么样？长度要减半，减在上面。那我这边是 b 点，就过来了， 接下来剩下哪个点？ c 点？ c 点怎么帮谁？ c d， 那 就 c d 原来跟 a 轴平行，现在呢？长度有没有改变？或者帮谁 bc 行不行？ 那你原来是平行外轴，那我现在就平行谁？我也觉得那长度，长度就跟 o 啊，跟这个 a d 是 一样长， 然后把这辅助的拆掉，这个就行了。所以第一个是画轴是吧？第二个是找什么呀？长的部分，第三找宽内部分是吧？那这样子拆掉就成堵了。 那这两个的面积有什么关系啊？也就是二比一对吧，因为因为他那个长的宽的部分要剪断呢， 这是正方形哈，那我这段是 a， 这段也是 a， 那 翻过来这是 a， 那这段是等于，那我这个四边形的面积呢？高是二分之 a 吗？不是几度，所以我应该是二分之 a 的 多少， 然后底数等于 a， 所以 我这 s 撇就等于四分之根号二乘以， 所以我的面积应该是原来面积多少？四分之四分之 零。那接下来我们来看一下这个正的六边平方 hmm， 那我们第一步要干嘛？去哪里？不要跑，你的原则是什么呢？ 尽可能多的点赞走上，等一下就少少出平行线了吧。 尽可能多的点在轴上啊，当你这样子水平放置有一条，这个 b c 这条边是水平放置，那我就要画成跟 a 轴怎么样？平行平行，所以我就请谁坐远点吧。 哎，你是正六边形，你找他什么中心是不是？ 那 a b 两点， a b 两点呢？哎， a m 是 在 s 轴上，并且它的长度是边长的两倍吧。那你说六个等边长也放在一起了吧，然后接下来呢？ 哎，接下来 a b 的 中垂线恰好呢？恰好把 e f 怎么样平分呢？乘以 m m 两点是吧？ 啊，那现在我们把 a 轴外轴给搬过来，这个就是 s 撇轴，这边 是数度 y 撇轴，那现在 a d 两点就搬过来了，长度有没有改变？没有变， 现在该谁了？要尽可能多了点再折算。那我们这边辅助的两个点是谁？ m n， 那 长度要减 m 撇 n 撇 接下来一点的位置呢？平行，你先过一点，那平行我划过来，还是保持平行嘛？所以我们把 e f 整条数可以平移过来了。 e f 平移过来，长度有没有改变？没有改变， 那同样呢，我们是把 b c 数可以平移过来了。 b c 我 们平移过来， 线段呢？线段过来也变成曲线了还是怎么样？这一段？所以再连起来，起来 就立底的感觉有了啊，然后把这个辅助的线给它剪掉了，剪掉了， 那这就是叫做学车把这个，那如果要写过程，那第一个在正六边形中取 a、 d 以及他的中垂线为 a 轴， y 轴两条交点为 o， 那 把相应的 s 点， y 点使的角度为四十度。第一步把什么呀？走啊，走第二步。第二步把什么部分？ 长的部分吗？啊，也就是在 a 轴上的平行， a 轴的部分是不是都可以翻过来了？翻过来了那长度是不变，那宽的部分呢？ 那就在在外轴或者平行，外轴的长度是二减半，平行也会保持还是平行的是吧？平行是保持着，但是长度是有改变的， 所以把这个都把它移过来，移完呀。第三步，第三步，那就插入辅助的线，然后呢就成平了，最后擦掉。有这个图， 他这边我强调一下啊，我刚才在黑板上都是独走画对吧？ 啊，但是你们呢，在事业里面的呢？不要徒手画啊，不要点乱啊，谁今天做徒手画，我就今天一定要你再重新做一遍啊， 因为我在黑板上这个尺子靠上去他是触摸的啊，就就会有压不出来了，所以我没办法只能用读作。你是有办法故意不读作啊？不用尺子，所以用铅笔用尺子啊，放好来， 那如果有要求写过程，你简单过程写一下啊，简单的过程写一下，刚才我们画的时候是不是要写 b 线线，坐标线来干嘛？ 那其实你建在中心该有孔雀提议，我是建在 a 点，这样 a 点行吗？可以，是不是可以，那起什么作用啊？ 定位所用的是不是？刚才有没有讲定位所用的，那就是 a、 b、 c、 d 相对于我这个坐标系的位置在哪里， 对吧？只是拿来定位所用的吧，所以你得换换哪里没关系，但是我们一个原则，尽可能多了点在头上，这样比较方便一些 啊。那你看，比如说我要定 f 点的位置呢？那其实我在圆图里面输过 f 点做 a 折 y 折的 离横坐标多少，离纵坐标多少，是不是可以把这位置给定出来？那么我在十二册里面呢，是不是也可以用这办法， 因为这个 f 点在的位置是谁？如果 f 撇 f 撇所在位置是跟我 s 轴外轴跟 a 撇外撇轴还是平行的， 然后长度 o 撇 q 撇的长度有没有改变？没有改变，所以你就看一下这边到 s 轴的距离是多少，然后我们这相应的是把 o q 撇跟 o m 撇是算出来， 然后做平行线，从这里就会定出来了。所以我们也可以用这办法来定位啊，相对总的距离是多少啊？也可以把这定出来，那我每个点都定出来的这些线数都好了啊。所以你可以这样做 啊，那技巧上面画直观的技巧就是选几十个灯， 坐标系指的近多边形，尽可能多的点在我们的轴上面。第二个 啊，那我们先要去找跟坐标轴平行的线段啊。平行线段，那他还是保持平行的，只不过长度平行，外点外轴的要变成什么？半减半，平行轴的长度是不变。 那么画直观图的时候要从多边形哦，经常会画圆，那圆的话，水平看起来像什么啊？椭圆，所以我们用椭圆来代替圆的直观图啊。 哎，那对呢，那如果我们自己自己画怎么画啊？间距是哪里啊？圆形？圆形。 然后我们再来做 s 撇跟 y 撇，看这边 ab 是 直径， cd 是 不是也是直径，所以我们先画谁，长度有没有改变？没有 下来直进 c 力， c 撇是不是减半？减半过来 c 撇这边 d， 当然现在不是直线了，来直线好，这 边转一点是吧？ 那你摇一下对不对？这就有直观的感觉了，那这个是一个什么啊？你看这是个椭圆，所以圆，这个直观读，我们就画的椭圆形。好，那第一个 你可以画这个，是不是还原呢？比如说一个平面图形采取斜二的画法，得到直观图是这样子的，这直观图是一个 边长为二的菱形。那请问请问原来这个平面图形的面积是多少呢？ 来衡量一下它长什么样？长有没有改变？没有，所以 a b 长度是几二二 来 a d 呢？ a d， a d 现在还是在半球上是吧？只不过长度为几？ c 点呢？ 平行，平行有没有改变？没有啊，所以还原回来试一个这个矩形面积为啊，所以第一种办法我们给它还原一下。 第二种方法我们也可以用关系来算。什么关系？直观读的面积等于谁？四分之根号二倍的。那我现在呢？直观读出来了，直观的面积是几？ 这张高等于几？菱形两条等于二。差什么？ 穿哪个东西？脚，你们脚几度？所以高为几？同高是根号啊啊，他是平行四边形，所以面积等于几？ 底层高，底层高对吧？把高一定要把丝伸过去疏零八。所以我们第二种办法也可以用关系来解决啊。用关系来， 好，我们继续来看一下，用斜侧画出一个水平放置平面图的直观图，然后这个 c 撇 b 跟它是垂直的，长度为根号二， a 撇 b 的 长度为五，请问沿图的面积是几呢？ 一组是还原，一组是关系。那我像 s 撇等一节啊， 二分之一五乘根号二，那他跟原图什么关系？四分之根号二，四分之根号二。 你把四分之根号二除过去啊，搞定了对不对？这样就快来，大哥们，那我要画原图，原图长什么样？ 先把 ab 数翻过来，有没有改变？没有改变， a o b， b 数都不变呢，翻过来这段长度为， 那下一个谁啊？ c、 d 是 垂直的一撇。来啊， c 撇 d 撇， c 撇 d 撇跟外侧，那还原回去呢？长度是吧？ 长度是几呢？为什么？这个东西是几啊？ c 撇 d 撇是几？为什么？因为这角度几度啊？是数，这量等于二，还原回去，而这 c、 d 刚好还原回去，是太乱， 所以 c 点的定位，平行 a 轴，平行 y 轴，那我在直观读里面应该找平行 h 撇轴，平行 y 撇轴来定这里的位置。 那如果我直观图是一个矩形呢？原来是啥啊？圆形识别啊，这段为二，这段为四，那怎么画啊？ 那先把 b、 c 给翻过来，是不是对， b， c 翻过来，那 b 点的位置呢？ 哎， o b 多长？哎，二， o b 也是二，对吧？因为这条路几路？然后你这边是矩形，是垂直的，所以这段是二。 这个呢，不是垂直 a 撇外撇，而是平行 a 撇外撇啊，或者在这个轴上呢？那就把谁给定出来？ a， a 本来是多少？二十二，十二，十二十二，那还是回去 四倍，根号二连起来地点怎么定位啊？平行没有改变，是不是还是平行？我们做两个平行数 b 点就出来了啊？那这段长度为四，这段 四根号二六六六，所以最长的边长六，对吧？这两边为六， 所以辞关图原图长长什么呀？我们要不要还原？不但要画，而且要还原。好了，那现在接下来我们要画空间几何体的辞关图。 那么比如说，比如说我这个粉笔盒，粉笔盒放在讲台桌上，那朋友们，那首先哪个东西很重要？笔叫做是不叫做水平放置的一个矩形， 所以底的话在直观图里面变成什么平行四边形的模样吗？再来，那我这个立体图形还有个什么高的部分？你们的视线跟我这平面什么关系？垂直的有没有发生形变？ 所以你看到什么样是不是就是什么样子的？所以追求的部分长度有没有改变？没有。那不搞定呢啊？因为你的视线是跟我这个数值的方向是垂直的， 所以你看到的就是他本来的模样吗？对吧？就是他的模样，所以，所以他的做法就是这一轴啊，这一轴的线段平行性跟长度都不变。 那比如说我要画长宽高分别为三二、一点五的 来，那我们先画啥？我们先画哪个东西？先要定轴，是不是那长一直轴我定哪里啊？顶点处就行了吧？然后先画底的。什么轴定完要先画底， 那底的话我们应该取一点 o 点，然后呢？ s 轴，那外轴要画成这个几度？四十五度， 然后这个 ab 的 长度呢？有没有改变？没有，所以我在 ab 还是几个单位？宽是二，如果 ab 要画成几， 举一个 d， 这个是一对吧，然后呢？ c 点保持平行是不是啊？ c 点做出来了 这样轴，我们还要把把竖的这条轴是不是画起来这样呢？高是一点五，那 a a 撇呢？ 还是一点五，所以我们取一个一点五，这里是 a 撇。 那干脆一些，我把所有的测量都把它放出来了。 d 撇什么地位啊？ d 撇说还是跟追求数平行呢，所以有没有改变？ 还有 c 一 点五， d 一 点后发少来。 接下来橡皮擦法来是吧，该辅助的都擦掉。 对，擦掉了，然后这边也都擦掉了啊，不要擦太疼啊。这个这个下面怎么这么大， 哈哈哈，还有你要有逆你的感觉，被遮挡的部分我们就要换成什么线遮挡的部分啊，石的部分还是要什么啊？保一生对不对？ 画的还行吧啊，还行，所以，所以画立体图形了，你把平面镜画了来，立体镜加一个退球就行了。 你看，我们先要画轴哈，朋友们几个步骤来。第一步画轴， 这水平放置的平面图形，那就是 x o y 变成四十五度的，然后竖轴也画出来。第二个，画笔 你画好以后呢，我们就回去画什么呀？车轮，因为车轮都保持着跟箭头式。那如果我不画车轮，那你们那可怎么办？上里面是什么图形？也是 也是水平画质的长方形嘛，所以我就把 a 一 点当做什么 点点，然后我再画一个 s 撇跟 s 轴是平行的， y 撇跟 y 轴是平行的，就把底下的动作给他。怎么样？再再做一次是不是也可以？ 也可以啊，因为上底也是水平放置的矩形，然后连起来就好了， 所以画完底以后，你就可以画车轮或者画上底啊，画车轮或者上底啊，最后成图，成图了以后，对遮挡的部分画成虚线啊，能看得见的都是实线， 包括我们的初中天的辅助线是都要画的虚线。那么在立体图这里面，你天的辅助线看得见的都是实线，看不见呢？被遮挡的都画成什么样？这样具有立体的感觉， 所以四步画轴画底，画车轮画成图，当然画车轮也可以画什么呀？啊？直观图，平面图形的直观图，画上底啊，画车轮或者是按上底，这都可以。 好，那么画几何体的直观图的时候，如果不做严格的要求，图形的尺寸可以啊，可以适当的选，选取都行， 但角度的话也可以制定，但是要求要具有一定的立体感。所以一般来讲，我们都画成四边形，一般来讲我们的长度都是这 长度是一般，画成二比一是比较好看一些啊，再画成二比一的圆，就画成椭圆，再来那三角形呢？ 三角形这个算术，我们一般来讲这个算术都是水平放置的。算术是什么呀？有一条边数跟跟这个旁边是不是平行的，所以正的放置，正的放置，那你看我们间距怎么建？ 哎，颜值高，这样子不对称一些，是三个点，是都在肉头上了，所以你画过来的时候怎么样啊？这一段是减半怎么样，你看是不是这样子的？ 所以正三角形直观图这样段会比较有有立体的感觉啊， 兄弟们。哎，你动手来看一下，圆柱里面半径是一，母线长是三， 当然课堂练习的时候允许你独守怪，但是做作业不能啊， 怪兽准确警观。 uhh。 那，那是不是先画水平放置圆呢？ 所以我们画一个 s 轴， y 轴加角四十五，然后取一个单位，一个单位，这是 a b， 然后呢？ o c 取多少？ 一半零点五 o b， 那 这样子的话，我们就把这个左圆给画出来了， 那后面就画成虚线会比较好一些。再来，哎，咱们先画啥东西？这个这球呢？ 五线长度为三，所以我们也可以先画高是不是？高 o 撇是三个单位，或者画什么 画四条五线来是不是？所以 a a 撇几个单位， 三个 b b 撇三个单位，这是五线，那我们也可以画谁？ 咦，哎呦，接下来把这怎么样啊？擦掉啊，擦掉哇，擦了，不擦了， 然后后面遮挡的部位就画成什么啊？这个还可以，是吧？这是严重。 那么如果要你写画这个图，那一般来讲我画的步骤要讲，第一步画什么？走第一步画，走第二步 底底，你可以先画下下底，再画什么上底。那上底我们也可以去画什么啊， 侧棱，在侧棱在这里就叫什么线，母线，这里的元素里面是母线，所以我们去画母线，最后把这图连起来就好了啊。哎，在 再画一个，画一个组合底，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，圆锥的底面与圆锥的上底刚好是重合的，画住这个组合底 来动手啊，我们加一个。 第一步干嘛？第一步先画住是不是住干嘛？你看 搞定了没？ 哎，你刚才，刚才我们工程是不是进一个这里了？再进一步，注意头看这里哦，关键是顶点，他顶点在哪里啊？ 在这球上面，然后我们取啊， o 撇往上就取一个点，把这个 s 画好以后呢？接下来怎么体现锥的立体感觉？把谁连起来？ s a 撇跟谁？ s b 撇是连起来的，也就是要画锥，我们要先画底，再画谁零点最后 母线是不是 s a 撇和 s b 撇是母线，然后再掐一下就成图了，这就是组合底了，所以先画柱，再来一块。所以啊，组合底。 同学们，那如果我要画球的话，谁是水瓶换式呢？ 平面图形大圆啊，中间一个大圆，所以我们先画什么大圆？先画大圆，那就球心，然后去找 h 轴跟 y 轴， 然后我们刚才怎么画圆？是不是也讲过了，接下来换哪一个东西啊？所以把这一球说出来。 那现在呢？来这个两个点，这个 ab a、 b 就是 他的人啊，那外面就画一个大圆，为什么这边画可以画一个大圆啊？这一种，因为这个 x、 o、 z 这个这个平面 跟你的视线什么关系？你就站在前面来看，都垂直的，所以你看到的是不是整个大圆，如果没有改变是吧？那这样子拆掉就是你的这个直观。主管 就是主管，主管有的时候我们要，哎，我们要更立体一点，你看这个 y、 o、 z 这个平面呢？ 啊，是不是再画一个？这也是什么大圆？紫光图里面也是一个 椭圆吗？是不是也是一个椭圆？是竖着画的椭圆哎，长得这样子的好看吗？画一下就好。可见 过两点可以做多少个大圆啊？请问我过 ab 两点画了几个大圆啊？凡是地球的经线的部位是不是都是你的大圆啊？ 原因就是 ab 两点跟 o 点三点怎么样？共线而过，一条线可以做多少个圆？ a b 的 磁性元素有无数多个，但是一旦 a 点 b 点在这两个地方呢， 只能找到一个人，后边是不过线的三点确定一个平面，这个平面去切球， 注意我们这里的切只是指的是什么，要把它一分为二。我们现在讲的平面是什么？无限延展的？是无限延展的，那这个 a o b 这边切过去呢？ 这个球就变成了什么两部分呢？所以这个是是不是一个大圆？什么大圆， 得三点能做几个平面？一个，所以过 ab 的 大约几个，只有这一个是吧？啊？ 这是球来，那再来挂一下这个，这个正三楞柱里面的边长为二，侧楞长为三的正楞柱， 先要干嘛啊？走是不是第二步放什么？ 第二步画什么？第三步画什么车轮或者上里面啊？最后成品 啊。你看，那咱们底是水平换字的，什么正三角形，那我们前面讲的正三角形，我们让一边跟跟水平线是平行的啊，所以，所以我们怎么见 高？是不是比一条边更高，对吧？所以我们在画的时候呢，先画 h 轴，再画外球这个角度， 然后呢把谁搬过来？ a b 几个单位？ 两个单位啊，添加两个元素，一三，那 c 点呢？ c 点呢？那我的 o c 要多长啊？ 本来是根号三下下一下变成二分之根号三，一点七除二，八点零点八五左右，稍微短一点点，这是 c 点就出来了，那这样的话连起来，这是底就画好了， 接下来呢？接下来画什么？画车轮对不对？来车轮 a a 撇， a a 撇，跟这有什么关系？平行长度也不变， 所以车轮长三个单位，那 b 点这里是不是也是三个单位？ c 点三个单位，然后连起来 啊，这样就拆掉就搞定了，那这就是正三楞柱啊。正三楞柱，那拆的时候那个 c、 e、 c， c， e， c， 还有呢？ a， c， c， b 这三条数在背后是不是遮挡呢？那就要画成 这三条，我们画成曲线 啊，画成曲线以后，这个这三个直观图就出来了，可见最关键就是水平换次灯里面，我们经常抵制水平换次灯， 那在初中还做过一个什么？用三个不同的位置来看这个图，从而把这个 啊立体图形给它还原出来，是不是可以去赶出这立体图形的？对，那么三四图，你的视线跟这个物体是什么关系的？物体所在平面是什么关系的？第一个是什么图？ 正视图，你是站在正面，所以你看到的黑板平面还是什么形？矩形对不对？第二步， 左视图，你站到左边去看，那你跟左边的平面什么关系？垂直的是吧？垂直的，所以你看到左边的形状就是左视图的形状了。 九十度，还有什么时候？那你就站在上面，从上往下看，你的视线跟水平平面是什么关系的？垂直的，所以俯视图看到的是啊，从上往下的这个轮廓是不是轮 廓啊？轮廓不是你看到的这几个，你比如说这锥底， 比如说一个圆锥，那你的俯视图是什么样子的啊？这是一个点啊，不是说最上方，你是看到最上没有整个轮廓要出来吧？这个圆里面是一个，所以我们这边提一下吧， 这是用五个大小相同的小立方块搭成的几何体，他的俯视图长啥样呢？俯视图，你是站在哪里啊？ 站在前面，从上往下看对不对？所以 后面那一排呢？看到的是什么？三个什么？三个正方形？那前排有凸出来的是谁？正方形，所以你看到的应该是哪个选项？ a， 大朋友们，再来左视图呢？哪一个是你看到左边看到的轮廓是长这样子啊，这是左视图， 还有一个什么图正视图呢？没有没有。那你画一个人画啊，在 b 这边要怎么样？两个什么？ 所以这也是我们啊，还原他这个逆流成的一种办法啊。所以我们用这三十度来解决问题，来这个时间 高三七对不对？高三居然这么简单，对不对？三角形 ab 四中， ab 跟 ac 相等，什么原理？ a， b 跟 a、 c 相等，再来 c、 d 的 a， b， a 来中点， c， d 的 a， b， a 三角形 a， b、 c 的 面积为二，求 b、 d 的 最小， 这是终点，它是等腰的，所以我设这道为 t， 这道呢？ t 这道一面积已知二，我要求比例，比例放哪里求啊？ 啊？ abd 是 不是？那我们还要设一个什么？所以 b 立方等于谁？ b 立方减四， b 立方和上 面积怎么面积为二？什么意思啊？二 t t 在 一直做球做的最实惠吗？二 d 乘二 d 啊，整个面积 对吧？你要自然想到这东西，我要从这辆车换一个塞里面啊，我把它伸出来，然后怎么把它们沟通起来呢？多远怎么办？消沉 定方，所以它比例就变成角， a 的 一个函数就可以搞定了。这是第二个球体啊，三个半。