万唯海南专版2026数学几何压轴题

想冲重高，看见压轴题千万别绕道，多拿一分就能拉开差距。用万维压轴题，函数、几何、物理、化学都有学方法拆难题， 每天练两道突破压轴题，先用这本学方法，以函数为例，考来考去就是这五大题型。结合例题学解析方法，解析没思路就把关键点依次带进题目分析，总能找到解析方向。 先学后练，掌握这类题型的答题方法，再用这本强化练新考法，题型提前见，你的试卷里将不再有难题， 把选填大题的压轴题都练到位！试题百分之一百原创，节省时间，不重复练习。结合视频讲解和超详细答案，测自学完全无压力，全国九年级都能用，快来试试！

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你永远也考不过一个开学每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何，能帮你快速解题的几何模型要趁早掌握。妈，你能不能帮我把这本书买回来？你们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我都不知道原来一本书能帮助我在初中三年更好的学习几何。 把初中三年常考的几何模型都整理好吗？你看，三年考了八十次的角平分线模型，三年考了四十次的手拉手模型，三年考了一百三十次的 a 字模型，每个模型都整理了图式拆解、公式速记，怎么证明的都讲的明明白白。 你永远也考不过一个假期每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何，能帮你快速解析的几何模型要趁早掌握。比如说这个三线八角模型、铅笔头模型、八字模型、燕尾模型等等。老师在课堂上因为时间的原因不会系统教，但是考试要考，该怎么办呢？ 可以看看这套万维的初中数学几何模型，它包含了初中常考的六十个模型，都可以迎刃而解。你能不能帮我把这本书买回来？我们 班数学好的同学都是每天背一个几何模型的，他把初中三年常考的几何模型都整理好了。你看，三年考了八十次的角平分线模型，三年考了四十次的手拉手模型，三年考了一百三十次的 a 字模型，每个模型都整理了图式拆解、公式速记，怎么证明的都讲的明明白白，翻过来就是典型例题， 从分析题干到模型应用，手把手传授几何解析大招，每个模型后边还精选了各地的经典考试真题，吃透了这本书， 初中三年所有的几何题孩子都不怕了！家有初中生的，赶紧给孩子准备一本吧，你永远也考不过一个开学每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何，能帮你快速解题的几何模型要趁早掌握！ 妈，你能不能帮我把这本书买回来？我们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我都不知道原来一本书能帮助我在初中三年更好的几何模型都整理好吗？ 看，三年考了八十次的角平分线模型，三年考了四十次的手拉手模型，三年考了一百三十次的 a 字模型，每个模型都整理了图式拆解、公式速记，怎么证明的都讲的明明白白，孩子看了一目了然，看不懂的还可以扫码听专业老师视频讲解，翻过来就是典型例题，从 分析题干到模型应用，手把手传授几何解析大招，每个模型后边还精选了各地的经典考试专题，帮助孩子及时巩固，举 一反三。试透了这本书，初中三年所有的几何题孩子都不怕了，那有初中生的赶紧给孩子准备一的吧，你永远也考不过一个假期每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何！能帮你快速解题的几何模型要趁早掌握， 比如说这个三线八角模型、铅笔头模型、八字模型、燕尾模型等等。老师在课堂上因为时间的原因不会系统教，但是考试要考，该怎么办呢？ 可以看看这套万维的初中数学几何模型，它包含了初中常考的六十个模型，学会用模型去解题，千变万化的难题都可以迎刃而解。你能不能帮我把这本书买回来？我们班数学好的同学都是每天背一个几何模型的，他把初中三年常考的几何模型都整理好了。你看，三年考了八十次的角平分线模型，三 三年考了四十次的手拉手模型，三年考了一百三十次的 a 字模型，每个模型都整理了图式拆解、公式速记，怎么证明的都讲的明明白白，翻过来就是典型。例题，从分析题干到模型应用，手把手传授几何解题大招。

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几何模型是七年级的重难点，也是整个初中学好数学的关键。推荐准备万维的这套初中数学几何模型，初中四十八个几何模型全含盖，猪蹄模型、八字模型、手拉手模型、风筝模型、动点将军印码、 胡不归模型。每个专题先是基础模型精讲，接着是举一反三的拓展模型，看不懂的没关系，扫码就可以观看老师的视频讲解，孩子一看就懂，学完还有模型巩固练习、中考真题对接练习，让孩子真正掌握模型的硬是拿分技巧 搭配这本初中几何辅助线，有方法归纳，有视频讲解，非常透彻，能用初中三年把这套书搞懂了，孩子的数学就不用愁了，抓紧给孩子安排起来吧！ da da da da da da da！

我们都知道，初中数学拉开差距的就是压轴题。万维的中考压轴题与新考法包含函数、几何、物理、化学四科，每科都有方法测、练习测和答案测。三测很适合初三想提分的同学。其中几何这套里的难题配备了视频讲解和几何画板演示 几何的方法测设有全等与相似面积问题、角相关问题、最值问题、多解问题、无刻度尺尺作图问题六个专题。每个专题下的考点都会标注考频。以全等与相似专题为例，它包含了备长中线构造全等、截长补短构造全等实质模型、对角模型、 手拉手模型、绊脚问题、一线三等角七个考点。像一线三等角这个考点三年考了七十四次，属于高频考点，且大多出现在几何压轴题中，十分重要。该考点先给出一道例题，再用思维导图引导分析解析，能有效锻炼数学思维。接着是一道变式题， 同样用思维导图引导思考。之后是练习题，题目均为百分百原创，质量有保障。右侧还附有方法和模型总结，学完方法测， 就可以用练习册巩固知识。练习册里有大量新考法题，而新考法题是近些年中考的重要出题方向，考法灵活，答案单独成册，讲解非常详细，强烈安利给初中同学们看看这套好书！

初中数学这科上面，很多人都说初一不分上下，初二两级分化，初三天上地下，如果你把几何模型这个板块提前进入的话，两级分化的绝对不是咱们的孩子。万为这本初中几何模型 里面包括了六十个模型和四十二个重难题的讲解视频，每一道题都是全解全息，确保孩子能够看的明白。这本书呢，是按照专题给孩子去区分的， 你可以按照这本书的目录逐个专题的去学习，也可以对照你课本的目录，你学到哪个专题就找到对应的专题去学习。 你看这个模型是不是像八字，就把它定义为八字模型，这个里面会包括这个模型的条件和结论，然后针对这个结论会引导孩子一步一步的去进行推导，让孩子去自己证明这个结论的关系。另外会搭配上模型的拓展，解题的要点和拓展方向， 里面会有立体来讲解这个模型在遇到实际问题的时候该如何去运用，然后再会搭配上练习题。 那么练习题呢？他的难度也是循序渐进的，先去练基础，再去练能力，所以他整套书呢，都是讲练结合的方式，确保孩子能够看得懂，学得会。所以这本书家有初衷的孩子，家长一定要再让孩子用起来。

你永远考不过从七年级就练几何模型的孩子，因为他清楚的知道，一旦在初中养成建模能力，到了高中数学就能扭开窍就是万维的这套初中数学几何模型。初中四十八个几何模型全含盖，猪蹄模型、八字模型、手拉手模型、飞鱼模型、动点将军银马 无不归模型。每个专题先是基础模型精讲，接着是举一反三的拓展模型扫码，还有老师手把手教，孩子一看就懂，学完还有模型巩固练习、 中考真题对接和压轴题练习，让孩子真正掌握模型的应试拿分技巧。搭配这本初中几何辅助线，有方法规范，有视频讲解。把这套书搞懂了，初中三年的数学就不用愁了，趁假期时间充裕，抓紧给孩子安排起来练一练吧！

初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心解析模型！万维这套几何模型，覆盖初中六十个核心模型，从初一的基础图形到初三的动点最直系统整理，一步到位！每个模型都配三步解析法， 先分析题干，再抽离模型，直接套用结论。还有真题辨识练口诀、速记扫码能看视频讲解。像风刃模型、手拉手模型、将军引马等等，这些常考模型，书中全部会纳好，帮孩子打通思路，提升解决速度。 初中几何用这一套模型，加方法、加练习，不怕题型变，不怕考试难，早点学透数学更。 初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心题型模型！万维这套几何模型覆盖初中六十个核心模型，从初一的基础图形到初三的动点最直系统整理，一步到位！ 初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心题型模型，万维这套几何模型！

初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心解析模型！万维这套几何模型覆盖初中六十个核心模型，从初一的基础图形到初三的动点最直系统整理，一步到位！每个模型都配三步解析法， 先分析题干，再抽离模型，直接套用结论。还有真题、电视链口诀、速记扫码、能看视频讲解。像封印模型、 手拉手模型、将军引马等等，这些常考模型，书中全部规范，好帮孩子打通思路，提升解析速度。初中几何用这一套模型，加方法加练习，不怕题型变，不怕考试难，早点学透，数学更稳！ 初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心解析模型！万维这套几何模型覆盖初中六十个核心模型，从初一的基础图形到初三的动点最直系统整理，一步到位。初中几何怎么学才能更高效？关键是掌握核心解析模型！

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初中的孩子，如果几何学的不好的，一定要试一下万维的这两本套装，一个是几何的模型，你可以理解为是做题的套路，还一个呢，几何的辅助线。辅助线啥意思呢？ 基本上这条线做出来，你的题目就解决了，与平行线有关的辅助操作，新考法理解阅读，省时省力的。这个资料是全国通用，初一、初二、初三通用的， 对几何方面的学习用一下挺不错的，更有模型口诀，考前速记随身带，随身学，很方便，赶紧入手吧。 初中的孩子，如果几何学的不好的，一定要试一下万维的这两本套装，一个是几何的模型，你可以理解为是做题的套路，还一个呢，几何的辅助线。辅助线啥意思呢？初中的孩子，如果几何学的不好的，一定要试一下万维的这。

哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。欢迎各位来到二零二六最后时刻立体几何片。接下来我们来看今天的最后一个魔法， 我给大家精选了几道立体几何压轴小题，让大家体会一下立体几何。咱真的出难了的话，你的思考路径怎么想，多种知识怎么去运用？这些题目可都不是随便选的啊。首先我们来看第一题，二零二五年武汉的一道模拟题，说各棱长均相等的正四面体。哦，那正四面体各棱长肯定相等喽。我先画个图， 然后说，在棱 p c 上取一点 t 时的 p， t 是 二倍 t， c 呢？ t 应该是靠近 c 点的一个三等分点，连接 t a t b。 然后他说，三棱锥啊，这个的内切球的球心是 m， 另外一个三棱锥的内切球球心是 n。 哪两个三棱锥呢？ t p， a， b 是 这四个点形成三棱锥和 t a， b， c。 呃， t， a， b， c 这四个点啊，说白了其实就是中间这个 t a、 b 这个面一截， 它整个正四面体上面结出来了一个这个小三棱锥啊，下面也有一个小三棱锥，问他俩的这个内切球叭叭叭，怎么样？那我先大致画一下啊，比如说上面内切球跟几个面啊，它都都是这个相切的，然后下面啊，也有一个内切球球心，我简单标一下， 然后最后它问 m a， b 和 n， a、 b 两面的夹角正弦，另外一个是 ab 和 n， 呃，画在这吧。 这题第一看是难看，有有点恶心，因为它这里面既涉及到内切球，又涉及到各种角度。那显然这道题目最关键的，我不管你让我求什么，我是不得先找到你这个内切球球心，他在哪啊，对吧？那内切球问题我们刚才讲了什么了？我们只讲了内切球的半径是三 v b s。 咱所有的内切球问题，它的半径都是直接算出来的，有没有让你找过内切球球心？没有，因为内切球球心不好找。 那怎么办？这题真让你找了，他在考察什么图形？考察的是正四面体，正四面体的最大的性质就是对称性，每个棱啊都相等， 所以我们来看这个图啊，你用眼睛来盯着看点， t 是 在 pc 这个边上运动的，那除了 pc 边之外，咱有 pa， 还有 pb， 咱还有 ca， 还有 cb， 还有一个公共边 ab， 你 发现，哎，就这个四条黄线和这个交线 ab 组成的，这是什么形啊？ 这俩相等，这俩也相等。公共边 a、 b 是 不是鳄鱼小嘴模型？你连辅助线一定是连公共交线的这个中点，把中线连出来，中间这个面是对称面，左右对称的，是吧？所以我我确实不太精确的好找的这个内切球球心在哪？但是整个图形它具有对称性，关于谁对称？ 关于交线 a、 b 的 中点，我记为 d， 对 称面是 p d c 这个面所截的这个三棱锥，哎，你前面有一个三棱锥，后面也有一个三棱锥， 是对称的。那你那些球，你跟每一个面都是都是都是相切的，那你那些球的球心就一定在我这个对称面上，你才能保证跟后面啊，跟前面保持一致，是不是？所以做到这？ 明白了，这俩内些球啊，我重新画一下，再准确一点，它的球心肯定是在我这个 p、 c、 d 这个面上，然后它跟各个面的这个切点，比如说跟 p a、 b 前面这个面，切点肯定在 p d 这条线上。呃，然后跟这个小绿面的切点在哪？切点肯定是在 a、 d 这条线上 对称的嘛。因为你整个这个 t a、 b 这个面，你 t a 和 t b 是 相等的，那我如果有切点，肯定是在它的。呃，最中间的这个中线三线合一的这个地方有切点，对吧？所以简单连接一下这内切球，我大约得这样画 下面一样，呃，以 n 为这个球心的这个绿面有个切点，切点在这个 t d 上，跟下面这个底面也有一个切点，切点应该在 c、 d 上， 两个球心切点，切点，切点，切点有一个算一个，全都在我的对称面儿上才对。那现在人家问题问了，这个粉色的面儿跟这个灰色这个面儿，它二面角夹角， 呵，你粉面儿它等于它，对吧？对称的。呃，灰面儿这个 n、 a、 n、 b 也是相等的，就我找二面角，我，我直接这这终点连起来了，就是 m、 b n， 咱要求的就是这个角度，哎，那如果有笨宝贝问我，哎，你为什么这个就是二面角？因为这条线跟 ab 垂直，三线合一，这条线跟 ab 也垂直，在这个三角形里面也是三线合一，对吧？那两条线都跟我交线垂直，那可不，这两条线的夹角就是二面角吗？那这个角度怎么求呢？你要用上这个内切球球心 这图形，我重新再给他画一个。咱就先拿这个 m 来说，这俩是切点，这是球心内切求球心是不是垂直的呀？而且他俩还是相等的，能点 m 到这两条边距离相等能点 m 就 在我这个角的角分线上吧， 所以这俩角相等的，你在这幅图里面看，它是角平分线平分这两个角度，我记为两个点。哈，那，那同理。我再来看 n 这个点，这是切点，这是切点。 n 到这的距离， n 到这的距离也相等，那 n 点就在 t d c 的 角平分线 t n 上，这俩角 也相等，那我在图形上我放大一点，就是这俩角度相等的，那我要求的是一点加一叉，那我现在已知什么？这俩点相等，这俩叉相等，我可以求，我要求这角度的二倍，这是什么角？这个角是 p d c 搞半天，我这把这个角求出来是多少？我最后除以二，不得了吗？所以发现没整这道题，其实这个答案跟 t 的 位置没有关系，你 t 点，无论你画在哪，你最后求这个角度都是我这个固定角度的一半， 那求这角度，你如果知道这个正四面体这个结论的话，这个角度你可以直接知道，那如果不知道，没关系，求特别好求。你看啊，这个边长。呃，比如说我是，这是二，然后呢，它的一半，这个地方就是一， 那正四面积，每个面都是等边三角形，这是一，这是二，这也就是根号三，然后那下面呢，这个也是高，这个高呢，也是根号三，然后这条边是二，所以三边一角，我直接用余弦定底就求出来了，是吧？这个我设为而法，它是它方，它方减它方除以二倍的邻边乘积。啊，是三，就算完三分之一。 哎，那我要算什么来着？我要算。呃，刚才算这个角度的一半的正弦值，我要算的是三二分之二方。哦，那他俩有啥关系啊？是不是用到二倍角公式？ cosine 二倍角等于一减去二倍三方， 所以一解三二二发就有了。呃，二倍的，我想要的东西是一减，它是三分之二，所以 x 我 取一个正值啊，应该是三分之杠三。很漂亮的一道小题，用什么思路啦？找对称面，你图形一旦是对称的，那所有的性质都集中在对称面上。 接下来第二题，二零二三年武汉二六 a b 是 半径为三的两个定点， a o b 是 六十度。好了，那我们把这个球先画一下 a o b， 你 想是六十度的话，那我就大约跟圆心应该是形成的。一个是等边三角形，这是 a， 这是 b 两个固定点，让他说球表面上还有另外一个动点，动点满足呢？ p a 等于二倍 p b， 然后问我 p 点的轨迹长度。 呃，轨迹？那我想知道轨迹长度，我得先知道轨迹啊，轨迹是什么呢？满足 pa 等于二倍 pb。 哎，你想啊，这是一个立体几何上的事。你如果不是立体几何，你如果是一个平面几何，我想你在平面上找到一个动点 p， 使得怎么样看啊？这 pa 等于二倍 pb， 这屁点轨迹是什么？大家如果看过我们之前 r 是 圆的视频的话，屁点轨迹是一个圆，那不知道怎么办？没关系啊，你这个距离我间隙啊，把距离表示出来，把屁点的轨迹方程求出来。比如在这个平面里面，我建立一个平面直角坐标系，这整个长度多少呢？整个长度他说半径是三是吧？那间隙你以谁为圆点都可以啊， 你可以以 ab 的 中点为圆点，你也可以就以点 a 为圆点都行。那题目说球体的半径是三，呃，这是三，那 ab 的 长度也是三，所以 a 点坐标零零 b 点坐标三零 p 点坐标。不知道你要求的，我设为 x y， 那 么我能得到 p a 的 长度， 我奶奶也会求。根号下 x 方加 y 方，它等于二倍的 p b。 根号下 x 减三的平方加 y 方，两边都有根号，直接平方 x 方加 y 方，四倍的这个展开出来， x 方减六， x 加九加 y 方，化解一下。呃，四 x x 方，三 x 方，四 y 方减 y 方，三 y 方 四六二四减二十四， x 加四九三十六等于零，两边我再除以三，最终得到了一个圆的方程吧。 那你如果配方一下， x 方减八 x， 那 我配个十六 y 方，我不动，这边变成四，变成了 x 减四平方加 y 方，等于一个定值。所以屁点，真的啊，就在一个圆上，这个圆的圆心四零大约在这个位置，然后半径呢是二，这里呢？三，我分个三分出来啊，一二 三，这是四，半径是二的话，要这样画出来。 ok 了。在这个平面上啊，你想让 pa 等于二倍 p b， 那 p 点是一个圆，那我现在 我要扩展到空间内，整个空间是包含这个平面的，对吧？所以呢，最后的我 p 点所形成的那个图形一定是包含这个圆。那怎么个包含法？最后 p 点是在一个什么样的几何体上呢？ 我现在画的啊，在 p a b 这个平面上形成的。呃，这个三角形吧，我怎么把它变成空间的图形？呃，我把它转一下，变成三维图形， 我以 a b 为我的轴啊，对它进行一个旋转，所以我点 p 可以 转转转，这圆上的每一个点我都可以转转转转转，那整个一个圆转起来了，那你说 p 点形成的是啥？在空间里面就是一个球， 那如果给这个球起个名字，它就叫啊是球呗。好，现在我知道了，你屁点轨迹是一个，是一个大的球，我现在再把 a、 b 那 个球也画在一起，我们来分析。问什么来着？问屁点的轨迹长度，屁点什么轨迹？屁点既在这个球上啊，也在这个球上，你想俩球，你这么一捏，俩球相交了是吧？俩球的那个交线是什么呀？ 来想想啊，想想，这是一个球，这也是一个球，这交线应应该像个葫芦一样，是吧？交线应该是一个小圆啊，这不是一个一个葫芦吗？是吧？所以我其实就是把这个圆的周长求出来就是答案。那想知道周长，我得知道半径。想知道半径，我得知道什么？ 我在平面图形里面把它看成俩圆的话，我得知道圆心距和对应的半径，那我求三维空间也一样，我得先知道俩球的球心球心距是多少，然后球的半径是多少，对吧？你第一个球的半径题目说了是三，画出来 红球的半径是你刚才算完的半径是二。至于所谓这个球心距，我还没求啊，上下对称的，那这个小圆，这个圆心肯定在这个这个线上啊，因为你上下一转转出来的嘛，我做个垂直就是这个半径，我只要找到第三边长度是多少，这个高我就能求。 呃，那我在这个图形里面看，这是圆心，这也是圆心，咱找的是这个长度，怎么做最简单？你傻了， 你戏都见出来了，我俩球心都在我 x o y 这个平面内是吧？这点是四零这点坐标。呃，他的这个三的一半是二分之三，逗号负二分之三倍，根号三用这形成的一个三是六是九是三角形嘛。所以两点间距离公式就好了。根号下四减他的平方啊，零减他的平方开根号是吧？ 这是第一个方法，你间歇来做第二个方法，你如果没想到，哎，真的是间歇。你求这个边长，你要放在三角形里面，我就去观察三角形，你在这先给我来了一个等边，三角形边长是三，然后你又给我延出去一段长度，这个长度你这是三，这个长度是一，是长度 是一，这个边长是三，这是多少度啊？这一百二十度，我直接列个三边，一角的余弦定里，这第三边不就有了吗？这求完是根号是三啊，不给大家求了， 所以放到这里来啊。这个黑边根号十三，我要求这三角形的高是多少？这什么三角形二三，根号十三，它的平方正好是四加九啊，它其实是一个直角三角形，所以直角三角形我求斜边的高，我直接用等面积法，二乘三等于根号十三乘以我要的这个小 r， 所以 小 r 是 根号十三分之六，那我轨迹长度应该是二 pi 二。最后答案一定是包含根号十三的 d 选项。 这是今天咱们的这道第二题。你这道题你想做对，你得先把平面图形的 r 是 圆，问题，你会，然后平面图形的圆和圆的位置关系你得会了，然后你才能拓展成为。哦，我这个三维空间里面的球和球球的关系 难度不大啊。还可以来看第三题。这道是二零二四年哈尔滨期末，现在呢？他有一个三棱锥，然后 a c 是 四 p， b 跟 a c 垂直的，然后他俩相加，他俩相减。妈耶，画图吧， a c 是 固定值，长度。呃，我画在这 另外两点， p 和 b 跟我画完这个 a c 是 垂直关系，但仍然是空间内的垂直。我先随便画一下啊，比如说我画成这样，这是 p， 这个是 b， 然后他给我了 pa 加 bc 是 一个定值，又给我 b a 减 bc， 他 减他也是一个定值。哦，那你这个 b a 要长一点， bc 要短一点，是吧？那，那我重新简单再再画一下。呃， pp， 我 这么画好了，长的剪短的二倍根号。二。 大哥们，你 a c 是 固定点，你 p 到两固定点距离之和是定值。那 p 点在什么上？说在你 p a c 这个面的这个椭圆上啊，然后你 b a 减 b c b a 减 b c， 呃，这个到定点之差是定值，那你 b 在 你这个面的双曲线上了呗。呃， 好恶心啊，那我再来继续。再来看看这题目还有没有什么条件。就是当你平面和平面的夹角最大，你 面面角啊，你两平面夹角啊，就跟我们二面角的这个取法不一样啊。二面角你可以取锐角，可以取钝角，但是如果人家指名叫面和面的夹角，我取的是两面夹角当中的那个锐角，较小的那个角。 因为你面和面的夹角有了，只能有一个，我就取那个小的，所以我面面夹角。所以你可以想象两面夹角一般来说是锐角，那他想取最大，什么时候面面夹角是最大的？ 是不垂直的时候啊？面面夹角达到九十度。所以呢，这道题这句话的隐藏条件告诉你， p a， c 这个面 跟 b a c 这个面，哦，它是面面垂直，你一面面垂直，我就可以干嘛了？我是不是就可以间隙了？ a， c 长度是固定的，我就以 a c 中点来间隙，这是一个轴，这是一个轴， c 轴也有一个轴， x， y， z。 先来看点 p 啊，点 p 是 和为定值，点 p 在 y、 o， z 这个平面的一个椭圆上。好了，那这个点 b 应该在相减式，定值，应该是 y， o， x 这个平面的双曲线上， 它是我，我平的一个面啊，是一个底面。所以呢，我双曲线，大约我，我这个画成三维空间的话，应该应该画成这样，是吧？呃，来个绿的吧。那边又有一个双曲线，我其实不太关心了，点 b 肯定在右侧，因为 ab 长 bc 短嘛。 好，那我现在我，我都知道这个它们动点的轨迹是什么了，那么我把动点的这个轨迹方程也求一下，是吧？这是椭圆的二 a， 所以 椭圆的 a 我 们记为 a 一 吧，就是二倍根号二。椭 圆和双曲线这个二 c 是 固定的，是四，所以 c 是 二，因此椭圆的这个 b 就是 根号下，它方减它方，根号八减四，也是二。随椭圆方程应该是 y 方比 a 方， 这样短轴，呃，是 z 轴， z 方比 b 方。然后来看双曲线双曲线的这个二 a 是 二倍根号二，那它的 a， 我 记为二，就是根号二， c 是 二双曲线，谁最大？ c 最大，对吧？所以它的 b 应该是根号下，它方减它方四减二，根号二。 双曲线的这个实轴是 y 轴，虚轴是 x 轴，所以它应该是 y 方比 a 方减 x 方 比方，你要根据图形来看，呃，谁减谁是吧？好了，哎，曲线方程你知道了，那么点的坐标我得设对吧？但是你设的时候，这是三维空间哦，你的坐标得设成三维坐标。首先点 p 呢，是在 y o z 这个平面上，它的 x 坐标肯定是零。 y 坐标我不知道， z 坐标也不知道，但是我知道 y 一 和 z 满足这个式子，是吧？同理，我来看这个 b 的 坐标， b 是 在 x o y 这个平面内，它的 z 轴坐标应该是零，所以我说 x 二 y 二零，其中 x y 满足这个方程。 那最终题目还有一个条件我还没翻译呢。那就是最关键的这俩垂直 p， b 是 俩动点， a， c 是 俩固定点。那你怎么翻译它俩垂直呢？ 我都建好细了。那我肯定直接向量向量，它减它，它减它，它减它写出来点乘 ac 向量 ac 向量，它就是 y 轴上的一个坐标，零四零喽。 所以这个数量 g 的 坐标运算怎么算来着？是不是 x 乘 x 加 y 乘 y 加 z 乘 z， 那 你这两个全都是零，所以呢？乘完都是零，我只要算四乘，以 y 二减 y 一 就好了，你垂直数量 g 是 零，所以我最后啊，得到了这个坐标啊，关系是 y 一 等于 y 二，它俩总坐标相等的 太漂亮了，我这都找到关系了，那接下来我要求什么了？求，呃，三棱锥的体积，它锥的体积我肯定三分之一底面积乘以高。高什么高？直接就是 p 点的某一个坐标，对吧？来，三秒钟时间，大家告诉我这是 p 点的什么坐标？ 这是 z 轴坐标吧，所以它的长度是 z 一， 当然保险起见应该是 z 的 绝对值。然后呢，我再算一下底面积，那底面呢？是 x o y 平面上的事。那我用呃俯视图来画一下 x o y 平面儿， 这是 x， 这个是 y， 还有一条双曲线， a c 两点在这儿， b 是 它上面的一个点。 abc 面积简单的不能再简单了。我二分之一底是四，高是 b 的 这个坐标。那问题又来了，这是 b 的 什么坐标？是 b 点的 x 轴坐标，对吧？是 x 二的绝对值。 做最后的体积表达式，三分之一底，面积是二分之一，四乘以 x 二，高是 z 一， 化简完三分之二倍的 x 二 z 一。 哎，我刚才得到的这个关系是 y 一 y 二的关系， x 二 z 一 有啥关系 哦？ x 二 y 二有关系， z 一 y 有 关系。所以我需要把这里的 x 和 z 都换成 y 啊，那这里面因为它们之间都是平方关系，所以我最后呢，我想算它的话，比较方便的话，两边我直接先平方来算一下，或者你直接算它平方也是可以的啊。 x 二 z 一 的平方，它是来 x 二平方。谁？这是 x 二平方，它分之二，等于把一移过去二分之。呃， y 方减一，所以二乘过来是 y 二方减二，接下来 z 一 方，呃， z 一 方，它移过去两半乘以四，四减二分之 y 一 方。 那因为题目说了 y y 相等的，所以 y 方 y 二方就相等的。那我直接把它们全都有一个算一个，全都设成 t， 要求的是 t 减二乘以四减二分之一。 t 嘛？函数啊，是吧？二次函数，负二分之一 t 方四， t 加 t 五， t 减八，那每换一个新元，别忘了求一下新元的取值范围。 t 的 范围 其实也就是 y 一 或者 y 二的范围，那你如果看椭圆的话，啊，那椭圆的这这这个 y 坐标的取值范围应该是在最小是这个端点，呃，最大 y 轴是这个端点，正负二倍，根号二之间。但是呢，你也得观察一下双曲线啊，双曲线这个 y 轴它你取不到左边，是吧？ 你只能取比这个点啊，比这个点大的值，那这个点最小是几啊？是根号二，对吧？因此这个是有范围的，它得在根号二到二倍根号二之间运动。那能不能取到这两个点呢？实际上不能取到，因为 b 点你不能运动，运动，运动，跟 a c 一 条直线不行，你 p 点也不能。 呃，一直一直一直一直跟，也在 a c 直线上，也不行，不能形成三楞锥了，所以两边这都是开距间，那么在这个开距间之内，我 t 的 范围是它的平方，那平方完的范围是二到八之间， 我在这个范围内求二函数开口向下的对称轴。我可以简单算一下，负二，他分之，他 应该是五，那五这个值我肯定是在我定义范围内的，那他此时取得的就是我要的最大值，把五带进去，负二分之一，二十五加二十五减八，呃，那也就是二分之二十五减二分之十六，也就是二分之九。 但这不是答案，我求的是它的平方，所以两边呢，我需要开根号带进去，三分之二乘以根号二分之三。答案，根号二。 那么以上就是我们今天想给大家分享的全部内容，说实话，内容稍微有点多，但是我们讲的每一个知识高考都有可能考，所以没办法，咱最后时刻都给大家复习到，希望大家在高考前的所有练习当中能用上我们今天讲过的知识，关节散化 啊啊啊。

hello， everybody， 我是 神奇小猪。欢迎各位来到二零二六最后时刻立体集合篇。那接下来我们来看今天的第二个部分，有关平行垂直的证明套路。 第一个证明平行，所有的平行证明就没有不是套路的。所有题目都能用以下三个方法来做，在要么整线线平行，要么线面，要么面面。 那第一个线线平行咋正啊？咱有两个思考思路，第一个思考思路，咱所有的线线就都用平面几何来做，同一个平面里面平行关系太有可能出现了，比如说什么 平行四边形了，这对边肯定平行吧，比如三角形里面的中位线了，这相似三角形也平行吧，或者根据平行的传递性，上面这俩平行，下面这俩平行，那一三两条线平不平行，当然也平行， 这些都是平面几何的范畴，那想证明两条线平行，我们还有一个立体几何的角度，比如说我们题目已知线面平行了，那如果我经过这条线，还有一个面出现的话，那两个面的交线一定跟原来这条线是线线平行的，这是立体几何的证明方法。 当然这其实并不是作为特别重点的内容人考试能考的，最关键的是如何证明线面平行和面面平行。线面有三个方法，要么找平四边形， 就所谓的神奇的目光，这线不是在这吗？有可能在这面上你能看到或者找到跟它长度大小方向一模一样的线，它俩能形成平行四边形，那我来证明它是不是平行的，是不是平行四边形。辅助线咋连？一定要连对应的两个端点， 咱百分之九十九都是通过证明另外两条线平行且相等，然后证明住啊，他是平行四边形，是平行四边形，所以线线就平行线，线一平行，线面就平行。 第二个方法，找中位线，中位线怎么找？咱们在面的外边以及线的外面找到一个点出来，这点究竟是谁在题目当中非常好看。这是第一步，先找到合适的点，然后把这点跟两个端点进行连接，连一下，再连一下 啊，这两条斜线，那肯定跟这面吧，都有交点，交出来一个，交出来两个，这俩交点一连完，必然是线线平行的， 线线一平行，线面就平行。那问题是我如何证明？哎，他俩一定平行嘞？我们往往就是用相似三角形，但有可能这俩点都是终点，或者都是一比三，一比三，反正左右的比例是一样的。通过相似来证明。 前两种方法，我们都是在这面上找到一条合适的线，通过线线平行来着。那最后一个方法，第三个大家也是要必须掌握的，叫找面面平行。有时候这面上你无论怎么找，那线特特特别特别难找，没法做，那你就做面。 刚才其实有一道题已经稍微的教大家了，想做面很简单，这不有俩端点吗？你在任何一个端点上做这面上某条线的平行线， 做完之后，织出来这一个点，他就跟原来的两个点形成三个点了，三个点就一定能确定一个面，那么接下来你只需要证明这两面他真的是平行的就可以了。咋正平行，面面向平行，我们的核心是找两对线线平行，一会会讲啊，先在这用一下， 这俩红的是我自己做出来的，他俩肯定平行，所以你只需要找另外一对，只需要说明这蓝的我新做出来这项一定跟面上另外一条蓝线，嘿嘿，他也平行就好喽。那么两对相交的线线平行，那面面就平行，面面也难平行，面上任何一条线，包含咱第一开始想挣的那条线，一定是平行 的。好了，那最后一个如何证明面面平行啊？刚才其实已经说过了哈，咱书上以及大家书写的时候，要要求你得证明出两对线面平行， 一对线面平行，绿的绿的平行，再来一对线面平行，这是大家必须要写的书写过程。但是 咱咋正线面平行啊？回归到一开始，你还是通过线线来正线面呀。所以虽然书写咱要写 l、 m 都跟底面平行，但你真正正的那个思路咋正？咱得找两对线线平行， 你先得线线平行了好，线面平行，一对有了好，第二对线线平行了好，那线面平行，两对线面平行，那么你就能够说明面面是的确平行的， 这就是整个证明平行的一些思路。那我们扭刀小试一下，来看一道二零二二年天津高考，咱只做第一问哈，他说有个直三棱柱，啥叫直侧棱？跟底面全是垂直关系呗。 然后 a、 c、 a、 b， 哦，这两垂直底面是一个直角三角形，然后 d、 e、 f 有 三个点，每一个都是它棱上的一个中点。最后让我证明一件事情，叫线面平行，部面就是这个绿色的面线 e、 f。 在 这儿线面平行正法太多了，咱讲了三个。 首先第一个神奇的眼睛，你看看能不能在这个面上找到某一条线跟这个 e、 f 这条线长度大小又完全相等呢？你如果眼神不好， 没关系，你考试的时候就拿着这个尺子，哎，把它去往那上去移移移，移动着移动着，你发现，哎，好像平行到这的时候，我能找到一个跟它大小方向完全相等一条线，但是这个点呢？我看着好像不是在一个棱上，是吧？换句话说，这个平行四边形好像对于大多数同学们来说，好像不太好找。 这个方法我讲，但是最后讲考试的时候也一样，一个方法不行，马上换一个。咱也可以去找中卫线或者相似三角形去，这是这条线，这是这个面。然后我们在线和面之外先找到一个点出来，再跟两个端点进行连接，构造三角形。 所以在这个图形里面，你那点怎么找呢？你不能找 e， f， 也不能找 a、 b、 c， 那 剩余的点要么是 a e， 要么是 d， 要么 b， e， 要么 c e， 你 看哪一个跟我这个端点？哎呦，好连接啊，这这这好连接，我看着好像不是很好连接，太斜了，太歪了，那你换一个呗， a 行不行？ a 一 跟 e， 哦，是好连接，然后跟这个绿面交点于 a， 那 a 一 跟 f 一 连接，我发现哎呦哎呦，跑出去了，好像太难看了，难看咱就不用，咱就再换，比如说这个 d 行不行？ d 和 f 点相连，交这个绿面于一点 c， 然后再让 d 跟这个 e 相连，交交，哦，交出去，交出去。不过没关系， d 和 e 都在底面上，我观察底面这个正方形即可。有的宝贝打开看不出来，我就在大点画，这是 d， 这个是 e， 我 俩重点一连，肯定跟我下面是是有交点吧，交点大约就在这个位置，我记为 e 点 g， 那 初中数学告诉我，形成的上下两个三角形应该是全等三角形 e 点，即使这条边的终点，其实也是 d g 的 终点。 那回到立体图形当中去，我把 c g 小 小的一连接，相当于我把整个原来的小的这个绿面延展成为了一个大绿面。咱新做出来这个 c、 g 一定跟 e、 f 是 平行线，你去正就好了。 为啥平行？ f 点是 c d 终点， e 是 d g 终点，那整个这就是一个三角形 c g d 的 中位线，这辅助线咱就找到了， 关键是在线和面之外选出来那个点，跟我两个端点进行连接。那你如果觉得这个方法也太吃操作了，咱还有别的方法，比如说我主动去找面面平行去， 咱想想能不能做出来。我去构造一个经过 e、 f 的 一个面，然后呢？面面一平行，那面上任何一条线都跟另外那个面平行。方法是沿着这个线的两个端点，分别做面上某条线的平行线，去试一下 过一点或者过 f 点做这个面上某条线的平行线。比如说我过一点做谁的平行线比较好呢？你这面上一共就一二三三条边，三条线，我肯定不能过一点做 bc 的 平行线，你这做出去，这这么做那疯了，不好做，我肯定选这两个直角边来做，对不对？比如说，呃， e 跟 a、 c 平行一下， 我就过这个 e 点啊，往这个面上去延伸呗。那我延伸的是长一点哦，还是短一点嘞？我发现我这条线跟这个 ca 一 好像可以有一个交点在这里，对不对？那因为我演的是平行线，所以在 ca 一 这个三角形里，这是终点，另外一个这个点必然也得是终点， 太妙了，它好就好在 f 点是 c、 d 终点， p 点是 ca 一 终点。我把两个终点一连接的话，我放大了给大家看。 在 a、 e、 d、 c 这个三角形里面， p、 f 就是 我 a、 e、 d 的 中位线， p f 就 跟整个棱 a、 e、 b、 e 平行，那 a、 e、 b、 e 又跟 a、 e、 b 是 平行线，那我爽了，这图我好好重新研究，这里面蕴含了一对平行线， 第二对平行线，两对线线平行，我就能推出来啊。这个绿的、黄的跟我整个这个大面两对线面平行，面面它就平行，一个面是 abc， 一个面是 p、 e、 f， 咱面面都平行的情况下，面上任何一条线，包括 e、 f 都跟另外的 a、 b、 c 线面平行。这就是咱第三个方法，找面面平行。 那现在我们回到第一个方法，咱还没讲呢，这平行四边形怎么去找？这点究竟在哪？首先我不管你眼睛神不神奇，我用脚后跟都能看出来，这端点肯定不在任何的一条棱上，它在哪？哎呦，我不太知道哎，但是我发现，哎，这两条线好像挺像的， 咱上下两个面不全等关系吗？你这点中点哎，那我在这个地方我也点个中点好不好？连接 c、 m， 我 连完之后大家再来看神奇小目光用起来放大一点， 把这条线，哎，沿着 e、 a 这个方向，沿着这个棱走啊，走走走走，哎，走，这看着好像像是 c、 m 中点，是不是？哦，那我就试一下呗。就我第二条辅助线，我点 c m 中点出来，因为 f 是 c d 中点， n 是 c m 中点，所以 n f 就是 m d 的 中位线。那我为了说明这个 n a e f 真的 像我想象的那样是平行四边形，我就用两个对边平行且相等来证。那我肯定不能先证 a n 跟 e f 平行，这，这是我要证的，我要选另外两个边。 n f 跟 a e 为何平行且相等？ n f 刚才说了是中位线，是跟 m d 平行的，且是 m d 的 一半。谁是 m d？ a a e 跟 m d 方向大小完全一致，底面不是一个正方形吗？它俩大小方向当然完全相等了。所以意味着我能推出 n f 是 a a e 的 一半，那 a e 的 一半究竟是谁？那不就是 a e 吗？完美。 n f 既跟 a e 平行，又跟 a e 完全相等，那整个图形就是平行四边形，就能推出我要的 e f 和整个绿面的 a n 是 线线平行的 线线都平行了，线面自然就平行。这是这个非常经典的老题，给大家一道题，讲了三个方法，有关平行，说实话全是套路。接下来咱们给大家总结一下有关垂直证明的简单套路。 说实话，垂直的证明方法他并没有那么多啊，每一个证明他都是比较固定的。比如说，咱如何证明线线垂直啊？我们一定是通过线面垂直来做线面只要垂直的，那几乎就这一个方法。 那第二个线面垂直怎么整？想正线面垂直，一定得在这面上找到两条相交的线，如果这一条竖直的线能做到跟这两条线全都垂直的话，那线面就垂直。 这是第一个正法，我通过两对相交的线线垂直，证明线面垂直。当然，我可以采用第二个，我用面面垂直来正。如果题目当中已经说了啊，人家这两面是垂直的，那我们经常做的一个辅助线，就是你要做这交线的垂线， 我这线一旦垂直于交线了，不用说，这线肯定跟另外那面都是垂直的。好了，那最后那面面怎么垂直啊？想证明面外垂直啊，几乎就一个正法，我通过线面来正， 如果你发现其中一个面经过了另外一个面的垂线了，我们在已知 l 垂直于 beta 的 情况下，那 alpha 因为经过了这 l， 那 面面就一定垂直了 啊。你看这思路是不是都挺简单的呀，没什么花样啊。那我先给大家牛刀小试一下，然后再教大家一些常用的解题技巧。 二零二三年北京，刚好他说 pa 等于 ab 等于 bc， 一 二三这三条线长度相等哦，然后 pc 还是根号三。好吧，我标一标好了，怎么个事嘞？人说了，这 pa 跟底面是垂直的，我还没往下看嘞，我就得知道，啥呀， 线面一垂直，那这条线跟底面上任何一条线， ab 呀， bc 呀， ac， 人都是垂直的，这条线给我肯定是要用的，所以这一个垂直我发现哦，直角三角形，根号三一，那你说 a， c 是 多少？那当然就是根号二喽。 哎，你这一旦是根号二，一比一比根号二，谁也是直角啊，在底面上这角 b， 它也是直角，那我先推到这，我看他问我什么，他问我 bc 跟 pa 垂直不垂直？谁呀？ 是这条线跟这个面，首先你得知道，哎，这是线面垂直，线面垂直，咱最常用的，那就是你看这线跟不跟这面上某两条相交线都垂直呢？首先 b、 c 我 已经找到一个了，它跟 a、 b 肯定是垂直的，这肯定没错，刚才刚整完，用勾股定律算出来的， 那 b、 c 还跟谁垂直？跟这斜线，那这垂直好像不太好证明，但是它跟 pa 是 垂直的，人家这 pa 跟底面上的谁都垂直，包括 bc， 所以 bc 太厉害了，跟一条线垂直，跟两条线垂直，那它就跟这两条线所形成的面是垂直关系，线面就垂直正反了。 那当然其实还不够啊，正是正完了。但是它有个推论，因为线面是垂直的，所以这条线 b、 c 也跟 p、 b 是 垂直，这角也是直角，当然我算也是可以算出来的，你看啊，这是直角，一比一，比根号二， 一根号二，根号三啊，那因为他符合勾股定律，所以我也通过算也能算出来，他是九十度。这三楞锥太厉害了，你会发现他一共就一二三四有四个面，每个面都是直角，一个直角，两个直角，三个直角， 四个直角。这图形在中国古代特别有名啊，他叫别闹，四个面都是直角三角形的三楞锥，他的垂直信息特别特别多。 好了，第一题比较简单，我们再来看一道题，二点二二年全国乙卷各有第一个垂直角，见 a、 d， c、 d 垂直啊，这俩垂直，那直角三角形呗，哦，不，一般，他还告诉他俩相等，那就等腰直角三角形喽，挺有意思哈。然后 a、 d b 跟 b d c， 这是 a d b d， c 是 那个角。 宝贝，我看到这，你说这这这是怎么回事啊？我给大家重新画一下这个图啊，这个 d、 a、 d、 c 是 相等的，然后这样你中间又张开了一个角度，这角度也相等，那你说整个图形，那不就是左右对称的吗？ 这 c、 b 跟 ab 肯定是相等的。那关键是，哎，咱怎么具体证明呢？其实也很好证，左右俩侧面，第一个侧面 d、 a、 b 跟第二个侧面 d、 c、 b。 人家是全等三角形，因为这两三角形共用了一个边，夹角还相等，另外一条边也相等，那不就 s a、 s， 第二个也是 s， a、 s 两边夹一角，全都相等，肯定全等，因为全等了，所以 c、 b 等于 ab， 所以总而言之，这题其实还是在考我们第一开始给大家讲的那个对称，这俩相等，这俩也相等。那我看人家题目问我什么说点 e 呢？是 a、 c 的 终点，终点出来，那你说这这这这啥面啊？这是不是就是一个对称面，是一整个图形的垂面啊？他让我证明的是 b、 e、 d 跟 a、 c、 d 是 否面面垂直？面面垂直，讲了几个方法，就一个方法，你要找到其中一个面的垂线。对称面咱都找到了，今天做了好几回这样的题了，这对称面跟谁垂直啊？肯定跟左右对称的， a、 c 是 垂直的喽。 为啥这线面垂直？因为第一在这个等腰三角形当中，因为人家说了 e 是 终点，所以三线合一，它俩垂直。 那刚才证明完了，下面这也是等腰三角形，又是一个中线，又是一个三线合一，粉的跟这个蓝的 也垂直，最同样的一条粉线，跟这面上两条蓝线都垂直，那就跟整个面是垂直关系，线面一垂直，那经过这条线的另外一个面，那当之无愧就是面面垂直的。结束 二零零七年的高考题。又是天津题，天津有的题出的真的太好了，我很喜欢。现在有个四棱锥， p a、 b， c， d p a 垂直底面啊，就整个地面上立了一根棍，这根棍呢，肯定因为线面平行的。呸呸呸呸，线面垂直的是吧， 那我这根小绿线就一定跟底面的任何一条线，包括你看这个 a、 c 都应该是垂直关系， 这后续肯定会拥上，然后发现这底面是个四边形。那怎么样？四边形我得一会好好画一画。我看题目给我什么条件？首先 a、 b 跟 a、 d 垂直哦，这是一个直角，先画出来，底面复杂，一定要画平面图， a、 c、 c、 d， 哎，这俩也垂直哦，角 c 是 那个直角， 然后 a、 b、 c， 角 b 是 六十度。最后一个条件， p a a b c 这条线等于这条线等于这条线，那对于我底面来说，这个 a、 b、 b、 c 就是 一个等腰三角形哎，你既等腰还有六十度，它就是一个等边三角形，一等边啊，这就是六十。那我角 a 还是一个直角的情况下，这就是三十度。 搞懂了，原来底面是一个三十、六十、九十三角形加上一个等边三角形拼起来的。然后意识终点第一问，让我证明 c、 d 是 否垂直于 a、 e。 正的，显然是一个线线垂直，那直接正我肯定正不了。想正线线垂直，我先找线面垂直去。那我选这 a、 e 和 c、 d 哪条线跟哪个面垂直呢？ 咱意识棱的一个终点，这条线斜不楞登的啊，你看着不好看，但是 c、 d 相对来说更特殊一点，它的垂直条件比较多，你看 c、 d 在 底面上，它肯定跟 ac 这垂直的。 然后底面上又怎么样？刚才说了，你在底面上立了一根棍，这根棍因为线面垂直，跟底面上任何一条线，包括 c、 d、 j 也是垂直的。哇塞， c、 d 太厉害了，既跟这个粉线垂直，又跟这个粉线垂直，那就跟两条粉线所形成的面线面 垂直，线面都垂直了，那跟面上任何一条线，包括 a、 e 也垂直，正 b。 来，把整个过程给大家写一下。这个正垂直的时候，经常有同学蜡步骤哈，我先说明一下，那 cd pa 为何垂直？因为题目说蜡 pa 跟整个底面垂直，那我 cd 呢？又在面上，那自然第一对线线垂直，有了 cd 垂直于 p a， 那 第二对线段垂直 c d 和 a c， 这其实是题目当中的条件吧？这垂直题目中白给我的呀。所以这些写又因为 c、 d 还垂直于 a c， 那 理论上来说啊，两对线线都垂直了，那线面一定就垂直。但是 一错点来了，咱得对 j p a、 a、 c 两条线进行限定。它啥玩意儿它？人家首先是相交直线，两条线相交于点 a， 而且两条线都在我要正的那个面儿上，这一二三四四个条线才能推出来一个线面垂直。 ok， 那 线面都垂直了，那理应线线垂直了吧？写上对不对？又错了，咱每次由面推线或者反过来由线推面的过程当中，你永远要说要限定住那个线，跟那面啥关系？ a、 e 在 这个面上不写是不行的呀。 第一问做完了来看第二问，让我证明 p d 和 a b、 e 线面垂直不？这一题出的太棒了，正线面垂直，我肯定要在这个面上找任何的两条相交线都跟这条线垂直。那具体我 a e a b b 选哪个线跟 p d 垂直呢？肯定，呃，选好选的还是一样？ a e 跟 b e 都是斜着的，内部的线不好看，选 a b 多好啊， a b 是 在底面上的，观察一下它在底面上怎么事儿 哦？ a b 首先跟 a d 哦，这是垂直的，而且 a b 作为底面上的线，跟这根棍 p a 也是垂直的，所以 a b 太厉害了，它跟 a d 垂直。呃，跟 a p 垂直，就跟这两条线所形成的面垂直。你一个面一垂直，当然跟面上的任何一条线，包括 p d 线线垂直。 我找到了第一个我想要的条件， a b p d 线线垂直，接下来只需要找第二个，这个小绿面上你 a b 用完了，那你接下来用的无非就是 a e 或者 b e 跟这个小黄线垂直。选谁？ 肯定哪的条件丰富，我选哪两条线，无论是哪个，肯定是有一个点， e 是 跑不掉的，无非你就是选 a 特殊一点，还是选 b 特殊一点，你说谁特殊啊？肯定 a 集结的线更多，垂直条件更多更丰富啊。所以你得用脑子，不能碰运气。 我现在证 a e 跟 pd， 为什么垂直？哈，那又来了，你想证明线线垂直，你还是得先证是不是找线面垂直呃，去挣啊，思路永远是这个思路， 来吧，找吧。哪个面啊？经过 a e 或者说 a e 跟谁啊？是垂直的呢？ a e 跟谁垂直？ a e 跟 c d 垂直？第一，问问我的，那我是不是得先用上啊？ 好嘞， a e、 c、 d 已经是垂直，已经是确定的了，那我为了最后说明这两条线也垂直的话，那我只能逼得自己只能去找这个面线面垂直即可，对不对？ 或者你逆向思维也一样，绿的粉的已经垂直了，你要正的，绿的和黄的，不管你会不会正，反正人家是一定是一定是能正的，这垂直关系一定是成立的。所以你绿的既跟黄的垂直，也跟粉的垂直，就跟这两条线所形成的面一定是垂直的，那怎么正呢？你找这面上第三条线 a c 垂直即可呀。 最后一点点小弯弯，绿的灰的为啥垂直？ e 是 中点， p a c 是 不直角三角形啊？因为 p a 跟底面上任何一条线都垂直嘛，直角三角形，你 e 还是中点，那你这如果想垂直的话，那一定三线合一。想三线合一，那我 p a 跟 a c 就 得相等。题目中有没有说 p a、 a c 相等， 它说的是 p a a b b c 相等啊？呃， p a a b 啊， a b a c 等腰三角形哈。而真相等，这三条线每一个线段长度都一样，所以真的 p a 等于 a c 在 等腰三角形里面， a e 是 中线，也是垂直的，那我 a e 就 垂直于 p c。 那又有题目中第一问， a e 垂直于 c d？ 我 只写大致思路了啊， a e 是 交替花跟 c d 垂直啊，也跟 bc 垂直，就跟整个面线面垂直，那因为我 p d 还在这个面上，那我线线又垂直。 最后一步啊， p d 也是交替花了。我找到两条线， a e， a b 这两条小绿线都跟这个黄的 p d 垂直，那黄线就跟绿线所形成的绿面线面垂直，正 b， 重点给大家串一下思路，如果基础不太好的玩，想纠结一下过程，我把过程也贴在这，大家课后可以自己来看一下。 ok， 这么一道高考题，讲了两个垂直，一个是线线垂直，一个是线面垂直，再把这个垂直证明套路简单的给大家串了一遍。但是啊，大家需要注意， 咱刚才举的题目是不是没连辅助线呢？单纯的就是线和线呢？去找关系去，那高考题经常需要咱连辅助线对不对？有关垂直的辅助线怎么连？或者说白了，我们常用的什么线线线垂直，这个垂直关系去哪找？ 想知道这些，我们就要用上一些垂直小妙招，专门用来解决。哎，有的时候你不会连辅助线，垂直关系你找不到的情况仔细听， 有些垂直关系是不会在题目当中体现的，大家需要结合图形去把那垂直条件给他揪出来才能做。 那今天给大家讲的垂直小妙招就是帮助大家找线线垂直的，有的时候出现一些东西，比如说什么出现啊，等腰三角形了，出现面面垂直了，你都不用想，你都知道那辅助线怎么连， 比如说等腰三角形咋连辅助线哪有垂直啊？三线合一垂直出现了，这是大家要做的 辅助线。你就像刚才那道题啊，咱知道 d a 跟 d c 相等，等腰三角形了，那你看题目当中是不是已经帮我连好了 d e 是 三线合一的哦，然后下面你又判断完了， cb 跟 ab 底下也是个等腰三角形，然后怎么样了，他又帮你这三线合一 练好了。这题是已经帮我练好的，你不需要练，但是以后或者高考当中有可能出现倒数三角形，这高这三线合一是需要大家自己来做的，辅助线做完一般来说题目就会做了。 那再来出现菱形怎么办啊？哪有垂直？那这就是垂直呗。我连接对角线，这是一个隐含的垂直条件啊，当然光讲这个还不够啊。还有一类菱形是考试当中经常考的，比如说他给你其中一个角是六十度的菱形， 哪有垂直角线？当然我知道哎，对角线连完的确是垂直的，但是还有你想，因为它是六十度菱形，所以如果我这中间一割的话，这俩相等还六十度，它其实就是一个等边三角形吧。 等边三角形哎，等边三角啥东西？它是一个特殊的等腰三角形嘞。最后的时候，我们需要主动的找某个边的一个中点，中点 g 找出来有啥用 啊？你看这没用吗？我 c g 连一下在这个等边三角形里面，在这个特殊的等腰三角形里面，它俩相等，那我这中点一连完，这中线同时也是垂线，这两条线是垂直的，很多题目会用的到。 这是第二个垂直小妙招。第三个，一旦出现面面垂直，你不用想肯定只有一个考法，那就是题目中会出现或者你需要主动做这交线的垂线， 有时候这交线的垂线说实话是题目当中直接给我的，有时候是真需要大家自己做的。如果这小 m 在 r 发平面上，而且跟交线垂直的话，那咱就有线面垂直了吧。 所以做完交线垂线之后，你一定得到 m 垂直于贝塔。完了没？还没完，这套路没结束， 给我线面垂直一点用都没有。大家一定通过线面垂直，推的是 j m 和贝塔，那平面上某条线是垂直的，最终推到线线垂直，这条线才算用的完整， 用的到底，这全是套路。有同学，哎，你光知道面面垂直了啊，然后你光做垂线，然后干嘛？然后你要证明线线是垂直的，你要找到那条关键的线，一定需要自己找， 有了线线垂直了，咱才能往后正。其他的垂直条件。好了，这是前三个小妙招。当然还有最后一个， 如果出现一些底面，而且底面那图形吧，特别特别复杂，那我需要单独的把底面画出来，然后研究这底面有没有一些特殊的垂直条件。我给大家多举几个例子啊。首先第一个，如果出现一个等腰梯形，而且边长比是一比一比 一比二的，这特长考，这里面哪有垂直，大家能不能找得到啊？注意，我要连接对角线，这 d b 跟 bc 是 垂直关系，它是三十六十九十度的三角形，为什么特别好找啊？你看我取一个 d c 上的一个中点，呃，还是起个 g 好 了，连接 b g， 因为刚才咱说了啊，整个呢，这是二，所以我取中点的话， d g， g c 它都是一。哎，那这个四边形是啥？四边形啊啊，它对应的两边，这两平行且相等吧，所以它一定是平行四边形，它一定是平行四边形之后，那这是一相应的。我 b g 是 不是也是一？ 那这么多一有啥用？ b g， 首先它是这个三角形的一个中线，这中线好像正好等于斜边的一半嘞，相当于 b 点在哪？ b 点是以 g 为圆心的 g c g b g d 的 一个圆上，这半径不就是一吗？它是在圆上的。所以嘞 啊，中线等于底边一半的，这必然是直角三角形。当然大家用最笨的角度方法来来正也是可以的。这六十，这六十，这一百二啊，那一百二的等腰三角形，那就是三十三十，所以三十加六十等于九十也行。 但无论正法是什么，你得知道这是垂直的，你别不知道。那接下来我们来看第二个图形，如果现在给了我一个直角梯形，边长比是一比一比二的话，哪有垂直？能看见不，我看见了，在这嘞， b d 跟 bc 肯定垂直。为啥？因为这一比一比斜边应该是根号二，这俩都是四十五度，所以内错角的话，这四十五，这个也是四十五。这整个图形其实就是由两个等腰直角三角形拼起来的，这已经是一个了。那为啥说这个也是呢？很简单，我做过垂直， 这边是个正方形啊，上面是一，下边也是一，那一加一等于二，那说明这个点不仅是垂直点，还是中线，三线合一，那自然俩角全都是四十五度，那这就是九十度。 所以往往这种隐藏的垂直条件，会被出题人偷偷的放在底面图形当中，这线你不连这题没法正？ 再来，刚才是两个等腰三角形拼起来的，那我现在再给大家一个，这题可厉害，它是由一个三十、六十、九十以及一个等边三角形拼起来的，所以边长比的话，应该是一比根号三，再比二。我问大家这里面哪有垂直？ 这很多同学可真不一定能想得到。我取 b、 c 的 中点 g 垂直在在这 a、 g 跟 b、 d 是 垂直的，为什么？简单证明一下，我想把 d、 g 连起来，因为这是终点，而且整个图形它是一个等边三角形，所以三线合一，这角是直角， 那对应的这角也是直角。那大家有没有发现，左边这三角形跟右边这三角形，它是一个全等三角形啊？这还都是根号三，每个边都相等， a 和 g， 关于对称轴，对称自然，这就垂直整个图形其实它是一个风筝型。这确实，说实话还真不好找。 好了，加了常用的三个，那我们在初中其实还有一个在高中阶段还经常在考嘞，去年刚刚考过的，就是十字图形，有时候他给我一个矩形，然后这 e 点 f 点在这动动的时候满足一定条件，他说 af 比 a， d 等于 b， e 比 b， a 这条线有啥用？它比它啊，那其实就是这个角的探针的值呗。 再来它比它啊，那就是这个角的探针的值呗。所以整个这个问题相当于告诉我，这俩角是相等的，或者说这俩三角形一个长这样的，一个长这样的，它俩是相似的，因为这是九十度啊，所以一点一叉是九十度。哦，那这俩点刚才也说了是相等的， 因为这是九十了，所以这如果是点的话，那么这个角必然也一定是叉。然后我发现好玩在这个小三角形里面，哦，已经有一个点，又有一个叉了，你说另外一个角多少度啊？那就是九十度呗。所以这里隐含的一个条件叫 a e 垂直于 d f， 看懂了吧？ 给我不同的底面，往往我连的那个辅助线是不一样的，但是我们的目标就有一个，那就是找到其中隐含的垂直条件，给大家举个例子， 我都不给大家读完题，咱辅助线都能做出来，你相信不？线三棱锥， abc， abc 有 个四边形出现，菱形，马上想到垂直小妙招，菱形里面好像有垂直对角线垂直呗， 继续往上看，他说底面是等边三角形哎， abc 是 等边的，底面是等边三角形的话，那这三条边都相等，我都用绿线来画， 它等于它等于它等于它等于它等于它。那意思就是说这三棱柱每一个棱长都相等呗，你侧面不是说是菱形吗？菱形每条边长都相等，天经地义啊。所以 a a e 也好，上底面也好，长度全都一样。 那回到题目条件里面来，等边三角形，哎，你说我经常连什么来着？是不？三线合一？有，有垂直地面 a b c， 题目还说了 m 是 终点，那你说我连谁傻子都知道是不？你得把 c m 连起来呀，三线合一， c m 跟 ab 垂直喽。再往后看最后一个条件，角， abb 六十度 a b b， 哎，这角咱整个前面，这是侧面，本身它就已经是菱形的情况下，你又加个六十度。六十度菱形咋做辅助线来着？是不是咱左右拆成两个等边三角形，再用一次三线合一啊？ 所以把它一分为二，把它看成一个等边三角形之后， m 又出现了三线合一。我肯定，呃，大概率啊，把 b e m 再连起来，因为这样做的话，垂直条件是最多的。 题做完了，我看他问我什么啊？ b e c 垂不垂直于 a b c e b c 是 这个粉线， a b c e 是 整个这个面，我化成小蓝面，线面垂直，我肯定在这个面上找两条线啊，你可以找这三边的任何一个，找两对线线垂直即可。 那第一条线找谁呀？第一个垂直小妙招，菱形对角线垂直的呀，一条线让我找到了 b c 和 c e b 垂直。 接下来我只要找第二条线，那剩余的无非是 a c 一 或者是 ab， 你 说你挑哪个，哪个特殊？又来了，是不是 ab 在 底面上，它的垂直条件比较多？你 a c 斜着的不好看嘛？有关 ab 的 垂直有哪些 是不？刚才这有一个垂直小妙招，三线合一， ab 垂直于 m c， 这也有一个三线合一， ab 垂直于这 b e m 最小小的一个 ab 既跟底面的小黄线垂直，又跟上面这个小黄线垂直，那它就跟小黄线所形成的小黄面线面垂直。 但是推出这个线面垂直不是我的目的，线面一垂直，这条线就跟这面上任何一条线，包括我想要的那个小粉线是 垂直的。所以这个 b c 太厉害了，前后出现两回交际花来了，和 c b 垂直啊，也和 ab 垂直，它就跟整个两条蓝线所形成的蓝面是垂直的。结束太精彩了， 这几个垂直小妙招，狠狠用，大胆用。 ok， 那 目前为止，咱不连辅助线正垂直的讲完了，用垂直小妙招，连辅助线正垂直的也讲了，那还有最后一种类型，这垂直咱除了正出来之外，咱还能算出来， 比如经常出现在一些题目里面，哎，给我好多好多边长。那如果一个三角形，它能满足斜边平方等于勾股定律的话，是不是这垂直咱就算出来了呀？ 举个例子，二零二五年山西模拟会有个水平放置的正三棱台，棱台哎，底面 a b c 和底面 a e b e c e 相似关系呗。而且你还是正棱台的话，意味着哦，它上下都是一个等边三角形，每条边哦，还都相等， 让他说 a b 是 六，意味着每个小黄线的长度是六， a b 等于二，小绿线的长度是二，所以上下的相似比应该是一比三。然后非常好心的还给了我一个测龙长二倍根号二， 你会发现它给的我全都是数据啊，全都是长度嘛。然后直接就开始让我证明线面垂直， a a e 啊，跟底面线面垂直不？我发现这八杆子打不着的呀， a a e 高高在上，离底面太远了对不对？所以我想证明这个线面垂直之前我在挖掘挖掘条件啊，它是一个棱台， 棱台也好，圆台也好，咱是不想过可以给它补全了呀，补全完汇集到一个点上，这多个棱之间跟底面之间不就建立起来关系了吗？你看现在 a a 一 跟底面 o 没发生关系，但是我把它们都延长到一点上去， 考试的时候直接写延长 a a 一， 延长 c c 一， 再延长 b b， 那 肯定汇集到一点上，你都不用正，比如说设成点 o 吧，来现在观察，放大一点， 在这个侧面里面，斜边比例一比三，所以 a 一 也好， c 也好，应该是整个它棱的一个三等分点呗。那我 a a 一 是二倍根号二，那这个长度应该是根号二， 那同理，整个因为是一个正三棱台，它具有对称性， o a 一 的长度跟 o c 的 长度跟 o b 的 长度应该是相等的呀，每一个都应该是根号二。然后我惊喜的发现，根号二，根号二，二是不正好是一个勾股定律啊，它方加它方等于它方，所以我算出来了，这是一个垂直。 那你正出来一个之后，别的还用正吗？不用正了呀，比如我在这个面上，我这也都是呃，三等分点，这长度也是根号二，然后 a 一 b 一， 呃，也是二，它方加它方还等于它方，这也是垂直的。所以得到 a a 一 所在的这条整个大直线，既垂直于 o c 这条线，还垂直于 o b 这条线，那它就跟整个两条线所形成的底面大底面垂直，这底面正好是呃，我题目当中的 b c c e b 证明完毕，这垂直咱属于是算出来的。那么以上咱就把平行垂直的套路都给大家讲完了。

初中的孩子，如果几何学的不好的，一定要试一下万维的这两本套装，一个是几何的模型，你可以理解为是做题的套路，还一个呢，几何的辅助线。辅助线啥意思呢？基本上这条线做出来，你的题目就解决了， 与平行线有关的辅助操作，新考法理解阅读省时省力的。这个资料是全国通用，初一、初二、初三通用的， 对几何方面的学习用一下挺不错的，更有模型口诀，考前速记随身带，随身学，很方便，赶紧入手吧。 初中的孩子，如果几何学的不好的，一定要试一下万维的这两本套装，一个是几何的模型，你可以理解为是做题的套路，还一个呢，几何的辅助线。辅助线啥意思呢？

同学们好，我们来聊一下二零二五年海南中考数学压轴题的类型，以及他的解法分析， 还有二零二六年这个压轴题的一些命题的预测，个人见解啊， 继二零零二五年中考整体啊，海南中考整体啊，深度剖析。首先我们先看一下这个考试的概化和数据分析， 一共有十三多万人考试，平均分六十八点三八分。然后呢，四题结构，一中南都是七比二比，简单题八十四分，中档题二十五分，较难题六十一分。 然后呢，我们的内容结构主要分成四大块，数与代数，图 c 几何啊，同线的概率和综合与事件。这里面 数与代数是占大头啊，五十八分，图 c 几何是四十九分啊，同线概率是三分， 综合式技能，现在应用题啊，就并入前三个领域中了。然后呢，实际上我们总复习第一轮啊，是按六大模块来的，第第一大模块也是数与式， 接下来是那个方程与不等式啊，减一元一次方程，二元一次方程组，三元一次方程啊，这个不考啊，二元一次方程组，还有那个一元一次不等式，极元一次不等式组等。等 到第三张应该是，第三张应该是函数、函数及图像。第四大张应该是几何的初等啊， 几何的初步啊，大概是三角形啊，三角形及相关性质和概念等等。第五章就四边形啊，四边形及特殊平四边形等等啊， 还有第五章是圆啊，第六章应该是，那个统计的概率一般也按六步走。题型分布啊，我们选择题有十二道， 每道三分就三十六分啊，填空题啊，填空题就是四道，每道三分就十二分，按以前说法有可能改成三道啊，现在 都看出题团队啊，也有可能三道，有可能四道，然后解答题七道啊，七十二分。 其中这个题型我一直没有固定下来，可能到三月啊，四月，四月份中旬开省备考会的时候能不能确定下来也很难说啊，考试时间都是一百分钟。 我们把去年的两道亚洲题题行进梳理一下，去年二十一题是以二十函数一再题啊， 考察一些啊，潜水高，或是考察一些呃，句子啊，还有一些整点性问题，以及考察了一个从特殊到一般的推导。哎，分成分层次啊， 以素养为目的啊，可以就看一下学生的素养。哎，难度从低到高。 二十二题是几何的图形，简单来说，又考几何的压轴题，以正方形为背景，结合旋转绊脚模型啊，全等啊，相似啊。考察的核心呢，就是辅助性构造和逻辑推理，侧重空间观念。 这两道压轴题啊，共同特征是什么呢？一共加起来三十分，简单来说就是拉分了，就是能能够比别人 多出来的分都在这里了。前面简单，其实拉不出什么分了，拉分核心考察商会啊，会用数学的思想思考啊，等等。商会核心素养啊，会用数学眼光啊，数学逻辑啊， 都要看世界等等啊，拒绝套路化解决啊。然后呢，题目啊，我再放出来，二十一题共有实际上有四个问，第一个大问啊，有三个小问，第二大问 就是从特殊到一般了啊，他问问题中的三个结论是否会方便化啊， 这结论就是问 x 零取何值时 p q 的 长度最大， 简单来说就是看这个对准走了，哎，到时候再分析。像这种题目啊，我们海南省考过很多遍了， 考了什么内容呢？考了个潜水高啊， p q 啊。什么叫潜水高？就是这个点 q 是 动点在抛物线上，然后呢，过这个点做 y 轴，平行线 与直线交一点 p， 那 么这个 p q 之间这个线段我们就要牵扯高，一般是用上面点中轴表，减下面点中轴表，这考了很多年了， 二六年是，呃，会以什么形式出来也很难说，之前是以线段比啊，或是面积比都出来。过了 这个二十一题，考点及核心要求啊，像第一大问，第一小问， 求解析式啊，一般都四分啊。然后呢？第二个是坐标转向段，求最值，设点坐标出来，然后动的线段用那个动点和坐标表示，从而得到新的二次函数，求最值。 第三个是轴定区间动啊，分类讨论一般都分为三种情况啊， 第二道问都是一般化代数推导啊。关键是学生要学会 把 abc 变成同样的一个位置数啊，要么统一用 a 表示，要么统一用 b 表示，要么统一用 c 表示， 这样子才能很快求出什么来啊。对称轴啊，就新的函数对称轴，这样才看出这个结论变不变啊，只需要看。哎，对称轴不变的话，开口也不变的话，那么结论就是不变的。 这需要考察演绎推理这个核心素养啊。 这个轴定区间动和轴动区间定是经常要练习的，而且求最大值，求最小值还不一样啊，所以大家要多做类似的题才能巩固啊， 像有一些分类讨论啊，还有一些分段函数啊，经常出现，所以尽量要小心这类题型的出来。然后二十一题核心的解法啊， 第一个啊，求解析式，那就把点坐标带进来，解放成主就行了。第二个就是求潜水高啊，用上面点中坐标减下面中坐标，然后再配反问，用公式求最值。 然后呢？第三个，第一大问的第三问啊，走定区间动的话去解，就是自变量取的范围嘛，这个主播动的话就要分队走在区间 左边还是右边，或者说区间是在对圆轴的左边还是右边还是区间，把对圆轴包住啊，三类不重不漏啊。 最后一个是一般化推倒啊，消元法统一参数证明 p q 在 十一变化的时候对圆轴还是不变的，所以从基础到巅峰全是得分关键。 我们二零二五年二十一题得分情况啊，第一个问满分啊，第一道满分十二分啊，平均分三分，平均分零点二 是满分。一百零一的解法的话，实际上这个得分的步骤啊，大家一定要研究啊， 怎么样写格式这个很重要的啊。另外一算正确啊，像这个是一道减二，也是方程组解错就没有分了，所以第一个一定要确保正确。第二个问， 建立千锤高啊。 p q， 关于 p 点和 q 点的横坐标的表达式， 要学会用 q 点横坐标去表示它，进而求出这个 p q 函数的最大值啊。 p q 这是一个动的线段啊，我们简称铅垂钩，它跟 q 点的横坐标是挂钩的，所以一定要看清楚谁在上谁在下，因为点 p 是 在线段 ab 上动的，所以 p 点肯定在 q 点的上方， 所以 p q 利用 p 点重坐标减 q 点重坐标，配方完后就得到了一个关于 p 点和 q 点横坐标 x 零满足的二次函数。 p q 就是 x 零的一个开口向下的二次函数，配方完后就可以看到 x 零等于一十，它的有最大值等于九。 好，这就是塑形结合啊，建立模型，右边这个图就是 p q 和 x 零的关系啊， p q 和 x 零的函数关系图像。哎，接下来 我们再往下看啊，最值的就是在 x 零点一的时候取到，你看这个一刚好是负二和四的中间那个数啊，负二加四除以二就等于一，哎，他就在他运动的范围的中间那个质变量的值的时候取到， 所以 p q 最大值在 x 零点一的时候取到。接下来我们看一下， 呃，他的解法，解法配方法，我是用公式都可以啊，然后解法这个，这第二个问题也是四分啊，也要看他得分标准啊 啊，九 a b 减四得一分，然后呢，设坐标出来得到两分，接下来得到 p q 的 表达是三分，最后配方又得到四分啊，所以这个问四分在里面啊，然后我们看一下前面 前面是哪里？也是你看前面列出方程组两分。第一个问啊，解出 a 啊，解数 b 得到三分，接下来得数结是四分，所以每一个分呢，都很关键，你把每个得分的关键点找到了啊，我们像这种题，我们马上得到八分了，你看写出来这个最大就得到八分了。 接下来，呃，减法二啊，有些同学就猜啊，为什么点 q 跑的这个横坐标在一的时候取得最大值呢，刚好是 x a 和 x b 这两个交点了。横坐标 的横坐标的和的平均数的时候，它取得最大呢，实际上你可以自己证明一下啊，这是一个结论的 啊，这是一个结论，但很多人学不懂，不懂 你看啊，它新的函数看到没有， x 零因为 p 零在 a b 之间动，所以 x 零它大等于负二，小等于四 啊，所以要再画入新看左边这个图啊，这就是 p q 关于 x 零的新的二十函数的图像，从这可以看出什么来了，哎，很明显， 在 x 零等于一的时候，他取的最大值就等于九啊，所以方法巧妙，可以用在第二问上。 这一部分有一些好像是套用面积最值点的公式，就是套用那个 x 零变化范围中间那个数把大一些，但是不知道原理啊，原理应该是这里啊，大家要理解好，接下来 第三个问，也是四分啊。第三个问，问什么？当 x 零大等于 t 小 等于 t 加一时， 求 x 零取。何止是 pk 的 长度最大，那这时候 x 零就在一个动的区间内，它的变化范围是动的，从 t 到 t 加一变动。所以我们一定要讨论什么 t 和 t 加一这一段范围究竟是在 对准左边还是右边，所以我们要画三个图啊，哎，要画三个图。另外一定要记住这个 x 零啊，不是， 不是 x 的 p 点， x 零， y 零是特定的点哎，是现在 a b 上运动的动点， 所以他是做千锤高后得到的啊。新的 p q 的 函数跟 x 零的关系，而不是原来的二次函数和 x 的 关系。我们考察的对象是 p q 啊，不是原函数啊，所以千万不要 把元函数的解释弄进来啊。哎，所以我们关注是 p q 的 负 x 平方加二， x 零加八，这两个是不一样的，所以要学会建立 p q 的 函数关系式啊。 接下来我们在讨论，哎，什么时候 p q 场最大，我们已经表示出来了，在第二个问的时候，在第二个问，我们已经表示出来了。 所以呢，我们要讨论在这个区间等于一的这个范围内啊，从 t 到 t 加一，它的长度是一，如果这个区间或者 x 自变量的范围，他在对圆轴的左边，很明显在对圆轴左边挖起来的，真大真大，所以在 x 零点 t 加一的时候， p q 的 长度最大，然后第二个图刚好这个区间把对轴这个包住了，那么这时候很明显它还有向下的，所以 x 零在一的时候取最大值等于九。 哎，接下来第三个，当 t 和 t 加这个区间在对头右边的时候，完全是大减小，所以他在 t x 零零 t 的 时候取得最大值， 所以这时候还没有叫写最大值啊。如果把这道题改编一下，问 p q 最大值等于多少，那你就要再把三种情况的最大值写出来， 左边 p q 最大值啊，就等于负的 t 加一的，平和的平方加二，乘 t 加一，再加八，第二个 p q 最大值等于九。第三个就把 t 带进来，最大值等于负 t 平方加二， t 加八。 接下来，好，我们按照三种啊分类讨论就出来了啊，也是四分啊，看解的好。 咦，你看，先写出来对应轴等于一，然后先得到 t 的 范围，得到 t 的 范围啊，因为 t 是 x， 零是从 t 到 t 加一的，所以 t 呢？ p 点是在 a b 上，所以他要大等于负二，小等于四，所以 t 的 范围是从负二到三， 求出 t 的 范围得到一分，接下来再针对三种情况各得一分，那么就得到四分，先到目前为止做完就得到十二分了。 接下来我们继续往下看啊，继续往下看， 学生的误区里面有什么呢？很多同学啊，他把原二次函数跟 p q 函数混小了，用原来的二次函数对人轴 x 等于二分之三去讨论区间范围， 他虽然有这个分类讨论的意识了，也能够分三种情况讨论，哎，分这个群在对人走左右中三种关系。但是呢，问题本质说错了，没有理解提莫对象的 pk 和长度，这是最多 出错地方，哎，所以要注意一下。另外这个区间的范围啊，也要小心点啊，区间范围要小心点。好，接下来我们继续往下讲啊。 最后第二道问啊，问结论是否方便化，那么这时候 c 就 不是一个固定的数啊， c 不是 固定的数， 那么这个结论是什么呢？第一问题，中三的结论就是 x 等于一， x 零等于一十， p q 的 长度最大。那现在就是问 x 零是不是等于一十，当 c 不 等于负四的时候， p q 最大呢？也就问对圆轴是不是还没有不改变呢？只要对圆轴还还有向下的吗？ 哎，既然开我生气的话，这样子不改变，那么这时候结论肯定不会变化，那我们先要注意他的条件，主干条件 经过 a 点四零和 b 点负二六，这是最主要的条件，所以呢，一定要注意我们这个千锤高 p q 是 跟 x 零 q 的 横坐标 x 零有关的，所以讨论千锤高 p q 和 x 零的函数关系式的时候 一定要注意什么，过程还是要用 p 一 点的重坐标减 q 的 重坐标，但是这个解析式已经改变了啊，所以 我们在求的时候一定要注意把这个 abc 统一换同一个位置，数据表示比较好。好，所以第一步我们要先把 a 点和 b 点坐标带到抛物线里面， 看一下他新的表达式是什么样的啊，就是我们要选择用消元法统一参数进行代数推理，看这个对角轴跟原来的对角轴是不是都一样的 理解方程函数的关系啊。从点 a 点 b 看问题的本质，实际上这里面是一道符号的意思的表达啊。 我们整个解答过程就是运用数学语言进行表达，从 x 零表示动点啊动点的横坐标，再到用 t 表示动态区间， 动态区间就是质变量取的范围，再到用分段函数形式表示分表达分类讨论的结果，最后用严谨的代数推导来说明结论的普适性， 这就充分表考察学生应用数学符号哎，就是应用数学语言来描述整个世界进行精确表达能力， 所以一定要让学生有这个能力起来好。第一个解法一，消 a 和 b， 第一个把 ab 两点带到解式里面， 然后得到关于 abc 满足的方程，结果是三个未知数，两个方程，那说明他是一个什么呢？不定方叫做不定方程，那么我们决定消 b 啊，消完 b 后，那么我们第二个方程乘以二， 然后呢，就跟第一个方的相加就可以得出来了。削 b， 削 b 以后呢，只剩下 a 和 c， 那 么就说明 a 和 c 有 等量关系，最后得到 a 等于八分之四解 c， 然后再把它带到哪里？带到 b 的 表达式里面，那 b 又等于四分之 c 减八，这个解析式里面全部是用 c 表示啊。 那这时候我们就可以得到 y 等于八分之四减 c 乘 x， 平方加四，四分之 c 减八乘 x 再加 c， 这个里面回答不变的一分，找到对圆轴不变得到一分，还有方向得到一分，所以对圆轴就用公式 x 等于负二分之 b 去求就行了。所以很简单啊，当然你要先把这个表达式列出来才好做啊。 第二个可以削什么呢？可以削 a 也行啊，最后削 c 也行啊，反正你看 怎么做都可以，最后就保留 b 就 行。看到没有，就 a 和 c 都用 b 的 表示也可以， 也可以消 bc， 所有量都用 a 的 表示，这样的更好。看到没有，所以有三类大主要解法就是用一个未知数去表示，其他两个未知数就行了。 带第三个数吗？ abc， 然后呢，你可以用两个点坐标带进去后，那肯定可以得到三个系数之间的关系啊。像第三个解法，消去 bc， 剩下 a， 也就是说 a， b， c 都用 a 的 表示，然后进入配方，马上就得到了 a， p q 等于负 a 乘 x， 零减一的平方加九 a， 这说明什么？当 x 等于一时， p q 的 最大值等于九 a， 哎，所以三中的结论不会方变化哎，这最有解法，最有解法就这样子啊，好。第四种是整体带入啊，整体带入哎， p q 等于呃，上减下 p f x 零加四，减去这个 a x 零方加 b， x 零加 c， 然后通过对比，已知条件是六， a 加四， b 加 c 等于零和四， a 减二， b 加 c 等于六，然后我们 得到 b 点负二减一， c 点四减八，好，把它带去就得到了。关于 a b 用 a 来表示 b 和 c， 实际上它本身啊，就是减法三啊，没什么意思啊，都一样啊，哎，都减法三， 这边统一带进去嘛，你看到没有？哎，带进去就叫整体带入法，所以也没什么，实际上直接带进去也行啊，直接带进去就行了， 因为 c 是 等于四减八 a 的 嘛，那四减 c 就 等于八， a 就 整体带入的嘛。啊，好，这样子我们 就讲完了这个二十一天的结法，虽然还有什么结法五之类的。从本质上看，噢，点 a 点 b 就是 这个抛物线，唉，与直线的交点嘛，对不对？直线负 x y 点负二加四，跟抛物线的交点，唉，所以它也是方程。什么？ 你把这个 a x 平方加 b， 二加 c 移到左边嘛，就是这个方程负 x 加四等于 a， x 平方加 b， 二加 c 的 减， 哎，那么这时候 x 一 等于四， x 二等于负二，就是这个 p q 不 就是这个 p q 与 x 轴交点很坐标吗？哎，所以你看，所以 什么时候他取得最大值呢？ x 零等于一的时候嘛，就是负二到四中间的时候，哎，因为负二和四就是抛物线来走焦点的坐标，那么他的对准轴就是这两个焦点的终点嘛。焦点的，呃，连线段的终点嘛， 在这时候取的最大值嘛，对应轴就是 x 零点一嘛，这就是它本质啊，问题本质就这样子的啊，所以结论不会发生变化。 这是创新思维和批判性思维啊，要引导学生从特殊到一般感与质疑，乐于探究。好，二十一题讲完了， 二十二题啊，这个题目是考半角模型啊，第一个是考旋转啊，九十度就出来了。第二个也类似啊，反正第一第二问比较简单，第三问是一道 半角模型，里面有一个角高等于四十五度， m b n 角 m b n 等于四十五度。只要是一道半角模型呢？你把它转起来，转完后一般出现什么呢？两对全等的三角形，这时候就可以利用勾五定理啊，因为这一边是一道 四十五度加四十五度等于九度，里面有个角九度，一会再看一下，减法时候再看一下。第三个就是靠手牵手拉手模型，因为这个 b、 p、 q 是 什么呢？ 等腰直角三角形，而这个 b、 c、 d 呢，也是等腰直角三角形啊， b、 c、 d 也是等腰直角三角形，所以你让他们的手拉手，哎，拉起来，那这时候又出现了什么呢？找终点了，因为这时候 e 点是 n、 d 的 终点，所以我们要找到 b、 d 的 终点连起来，这时候再把这个 c 点跟 b、 d 的 终点连起来，这时候就出现了相似了。我们要求 c m 比这个 c、 e， 那么就要找到他们所在的两个三角形相似，所以这里面要连两条辅助线。这是，呃，这就是命题人设置的什么呢？ 呃，设置的艰难的思考点啊，如果你突破这个点的话，找到终点的。 呃，经常要做的辅助线的话，中卫线的话，那这个两条辅助线应该不难想到，如如果你想不到就是一个手拉手或者想不到终点的辅助线做法，那这个题做起来就很难。我们也是一样的啊，满分十五分， 满分十五分，但是一共才全省十三万人，才五十五个人的满分啊。然后呢？考点和核心要求啊， 他一共有四个问啊。第一大问，有两个问，考察是什么？全转性子人群的证明。哎，也就说你要考察学生的核心素养， 看线段转化角转化倒角啊之类的几何直观推理的力，这比较简单，一般四分啊。第二个考察高估定力五十二十三啊，这种考这个边长周长等等。 呃，设我方程啊，设 x 出来啊等等，然后替换掉等等啊，这是预算能力和模型观念。第三个是绊脚模型识别和证明素养。原来还考了个引元问题啊，四点公务员等等啊，都有可能考到。 这个核心素养就是逻辑推理和迁移能力。最后一个第三大问啊，就是考察这个哎，手拉手模型旋转加终点服务性构造啊，考察内容相似啊，还有推导还有空。考察核心素养就是空间观念和创新意识。 总结一下，它的核心本质是什么呢？以图形变化为核心，活用旋转构造权等挖掘绊脚模型的本质和应用。呃， 具体核心呃解法拆解啊。基础的话你就要看旋转前后对应角相等，对应边相等， 实现这个线段和角的一些相等量的转化也要重组。第二个半角模型应用四边正方形中每个内角九度吗？如果出现是十五度，那就要让旋转过到全等推导线段关系 数养成呢，就要学会啊，添加辅助线，两条辅助线啊，或者是备产中线等等啊， 反正方法很多啊，关键策略你可以用几何条件转代数关系，我就搞不定你方程啊，哎，社会指数也方程一体多解或者是间隙啊等等， 又全等啊，相似啊，坐标法啊，所以方法很多啊，一共到时候有九种解法 啊，第一种，第一道题就不说了，第二道题也不用说了，因为比较简单，比较简单，因为就是五就十二就十三，所以 a f， a f 加 a m 就 等于十三。那 a f 加 a m 等于十三嘛，所以 a f 加 a m 等于十三，所以 正方形的零两条零边相加 a d 加 c d 又得十三，加五加十二就得十七，加十三等于三十，所以周长得六十，这比较简单。哎，你要看他怎么得分啊， 证明全等啊，你看证明全等，看到没有证明全等， 这已经有六分了。看到没有证明全等完，再把这个相等量替换掉，证明相等得到五分，把相等量相等的量等量代换，就得到六分。接下来 求出 e、 f 得三啊，求出 e f 得到第七分，求出周长得到第八分啊。 然后呢，第二个，将这个 b、 c、 n 三角形 b c n 识别出半角模型，把它转九十度，然后再把局连起来，跟前面一样，有前面的。哎，简单来说，他有前面，有那个， 有那个前提啊，就怎么样推理的他全转九十度，所以就按他这种想法坚持下来，把这个三角形 b、 c、 n 逆时针旋转九十度啊，绕着 b 点逆时针旋转九十度，跟三角形 b a、 g 重合，然后剩下的也很简单啊， 就是构造出这个直角三角形 a g m。 为什么是直角三角形呢？因为这里面有了角一等于角二，角五等于角六。为什么角五等于角六呢？因为角一加角六等于九十度，所以角二加角五也等于九十度。这时候 就有勾股定律了， g m 的 平方等于 a g 的 平方加 a m 的 平方。 g m 又跟 m n 相等啊，全等了。所以 m n 的 平方就等于 a g 的 平方加 a m 平方。 a g 呢？又是谁转过来的？就等 c n 转过来的， 所以 m n 的 平方就等于 c n 平方，加上 am 平方。好，这就得到了。呃，这个问的第三分，好，这里面是一道两对全等啊，两对全等还有个公不定理 也可以把这个三角形啊，把哪个三角形啊？把这个 a b m 向下旋转九十度啊，将 b a m 绕到 b 点，顺时针转九十度，道理也是一样的。 哎，这里面照样出现了两对圈的 b a m 和 b c， 还有一个是 b m n 和 b g n 啊， 出现了两对全等，所以考试这样考两对全等啊，就这样子，看到没有两对全等。第三个问啊，就是，呃， 这是一个手拉手模型，当然你要先要找到 b d 的 终点啊，把个 o e 连起来，那 o e 就 跟这个 b a 平行，且等于它的一半， 再把 oc 连起来，就得到 oc 和 bc 满足的关系。 oc 比 bc 等于一，比根号二，所以这里边就出现了什么，哎，相似了， c m 比上 c e 就 等于什么呢？ bc 比 oc 就 等于根号二比一就等于根号二了。 但是你们要，哎，你看这个图形啊，他本身也长得很像象嘛，本身就手拉手模型嘛，你看，本身就手拉手模型。但证明的时候要设一道中位线，要利用好中位线这个性质啊， 平行 o e 平行 b n， 从而证可以得到角，这个角 e， o c 等于角 m b c 啊，然后再推出证明他们相似的方法啊，这里面很重要的。哎， 为什么？因为这里面是一道，你看啊， o c 垂直于 b d， 所以 c o d 等于九十度。然后呢？又因为 o e 平行 b n， 所以 o 角 d， o e 等于角 d b n， 这时候九十度一减啊，你看，九十度一减，它就得到减去角 d o e 就 等于角 e o c 吗？这个角 d o e 又等于角 d b n d n 呢？ 就得什么呢？就得四十五度加上这个角 cbn 的 了。所以这用九度一剪的话，就现在四十五度剪掉这个角 cbn， 那 不就是等于角 mbc 吗？所以就很容易正数角 eoc 的 角 mbc， 这就倒角吧，就是来回倒角。 哎，用九十度去剪了，所以来回倒角，从而证明了什么？夹住个相等的两个角的两边对应成比例吗？ 因为我们已经证明了角 e o c 等于角 m b c， 所以 我们再证明夹这个两个相等的角两边对应成比例就行了。 o e 比上 mb 啊，就得 o c 比上 bc， 就 这样子。哎，很容易做完了。因为我们这个是个 o e 比上 b m， 实际上 o e 比 b n 是 得一比二的嘛，而 b m 比上 b n， 就 得一比根号二嘛，所以 o e 是 b m 的 二分之根号二倍嘛，所以 我们很容易得到了他们的。哎，比例吗？看到没有，所以 b m 就 得 o e 的 根号二倍， b， c 就 得 o， c 根号二倍，所以就显很明显就是手拉手模型了，对不对？ 所以我们马上就证明完，这两个颜色的三角形 o， e， c 和三角形 b， m、 c 相似，所以对面 c m b， s， e 就 等于更好个了。相似比等于更好个，比 e 嘛，好，这是最简单的做法啊，这是最常用的。 然后呢，后面的解法大概有很多，这些都是后面哎，老师想出来或是哪有考场想这么大家可能也会有，但是呢，这些解法看一看就好，主要是个 方法八的要介绍一下，这是真的是有人想出来的，而且在我的抖音里面，他也发表了他的呃，答案了， 他就是间隙嘛，以 b 点为圆心啊，再以点 b 为圆点，以 b、 c 和 ab 作为 x 轴， y 轴间隙。这里边动的是什么？ a， m 点的坐标嘛，所以你直接设边长为 e 也行啊，设它为 t 也行， 马上得到了 a， b， c， d 的 坐标，设正方形，边长为 t， a 的 坐标为 t， t， c 的 坐标 t， a 的 坐标为零 t 嘛，这里面什么量最关键啊？ m 的 坐标最关键，所以你设 m 的 坐标为 ab， 那 么这个 三角形 b， m， n 实际上就是由三角形 b、 p、 q 旋转得到的嘛。所以 b， m， n 是 等腰直角，三角形过 m 点往两边做 x 轴的平行，再过 n 点做它的垂线，这时间就属于全等了嘛，一线三等角全等， 这时候我们就可以得到了哎， n 点的坐标啊，你看，很明显， n m 点的横坐标是 a， 中坐标是 b， 所以呢， n 点的横坐标就是 a 加 b 嘛，中坐标就是等于多少呢？中坐标，呃，就等于 a 减 呃， b 减 a 啊，因为重坐标哎，重坐标有点 b 减 a。 好， 这就是我们要说的啊。怎么看 b 减 a 呢？就是 m 点的重坐标是 b 嘛，然后它的长度是 a， 所以 n 点的坐标就是 b 减 a。 有 全等在里面了。看到绿色线没有啊，这就是全等。 n 点坐标就是 a 加 b 和 b 减 a， 然后 e 点呢，又是 d d n 的 中点，说 e 点坐标也用 abt 来表示了。这时候我们只需要用什么两点间距公式就可以求出 c m 的 平方和 c e 的 平方哦，一看他们之间是什么关系啊， 他们的平方是两倍的关系，所以 c m 就 等于根号二 c e 啊。这个题是 最呃最棒的解法之一啊，就是利用纯代数啊，跟迪卡当年的思想一样啊，把所有问题归到 数学问题，把所有的数学问题归到代数问题啊。所以这个方法我觉得值得讲一下。方法九呢，是涉及到高中的知识了，这个叫奥赛的，或许竞赛要很难的才能想得到。我觉得没必要讲啊， 这可能是哪个大学教授想的？还是反正在这种写法高中的才能想到， 或者是有点基础就水平比较高也想得到，有兴趣的就看一下。前面就不用看了，里面是一道两角合叉， 两角合一差的正弦一线公式啊，用这个 c 打主要是用贝塔，而是设这个角 cbm 等于贝塔，然后这个就全等啊，得到 m 点和 n 点跟贝塔的关系 啊。这个题这种就不用看了啊，比较难。所以我们的二十二题存在什么问题？第一个旋转性质理解不足啊，他只找到一对群的或者是什么，无法将旋转条件转化为对应的边角关系等等啊，相等的量完全不到位 啊。正方形的性质啊很多，但是他不知道怎么用。第二个计算归方向去学。 他想到了啊鞋面的十三，但是却不知道这十三怎么样转化成周长。第三个 模型他没有意识到他的绊脚模型啊，没法啊，没有按照前面的思思路迁移。 把那个转起来，把三角形转到九，转九就转起来。第四个动态几何想象力缺失也是一样的。哎，他以为只构造一条辅助线，有些时候要构造两条辅助线呢。 然后呢误区呢？二十一，二十二条误区我就不再说了啊啊共性说一下身体不细啊，然后遗漏一些关键条件预算不规范， 会做会算但算错。很多时候为什么考不到高分就是因为他在某个地方卡核了，但是他不坚信自己可以做出来，所以同学们要有信心可以做出来啊， 再考再难他也是初中知识，不可能用太多高知识的知识不立无法融入函数啊，几何方程啊，缺少综合应用能力。一般的最后都是用相似的吗？或是要减复杂的也要是方程。然后呢， 今年会考什么题？还没有，还没有大的什么确定下来等到四月中旬的时候开会的时候可能再说。 当然从做这么多套这两年啊是新的已经隐隐约约出现新的啊趋势了以后去套路化啊，还有相关联系啊，还有课本尽量往课本上的题目挂钩， 重探索性啊，还有显思维性，还有稳提型，这个稳提型以前我们都复习这个二次函数跟几何的综合的，跟什么特殊三角形啊， 特殊的视频型综合啊，还有一些角度问题啊，什么活不归啊，还有一些将军马会不会后面还有很难说啊，如果有，但是我们的时间就这么多，题目如果增加太多的话又怎么办？ 以及内地还有一些什么繁衍变化啊，还有一些，呃，这个刮痘有模型啊，还有甚至还有二四元等等，这些东西啊，都是次要的，我觉得最主要的还是以课本为主， 主要是课本上的一些重点啊，把那课本上的再吃透，然后呢？再不结合。呃，最后这个从事材料，每个学校都有从事材料，人人做一本就行了，不用做，多把上面的题做完，然后多把这个错题总结一下就行了， 总之就是含基础，请抓住单修法权等相似证明等等。第二个练思维，强化分类讨论素颜结合和模型思想。第三个重推导会，从会做题到会推导练习，从特殊到一般， 还要纠错啊，建立错题本，分析错误本的本质，还要练综合，多做跨知识点综合题，培养知识迁移应用能力。 生下来的教师层面就不说了，我这本身本来老师也是教的很累，因为这几年这个题目 出的有点新意的题太多了，原来这个二次函数的增减性是跟那个单调性在高一时候挂钩的，结果全部把它出来我们的初三这里了， 所以给出三个还带来压力，因为他要分类讨论，利用二次函数的最 本质的东西啊，就是正点性啊，去讨论他的最值得的。所以我们要回归教材素养落地，教发转型。 呃，设置问题创啊啊一体多解重视过程啊，教学说数学自己上解数学暴露这个事物思维的弱点，精准发力等等。好，里面的一些 来自于我们学校的郑宏老师的啊做的报告还有灵山中学李萌老师的一些一那个报告。总之来说多想啊多想，以不变的素养应对万变的考题啊。谢谢聆听啊。

我上初中的时候，要是有这套书，数学都不用发愁了！初中数学想要提分，就一定要掌握几何模型，初一十四个模型，初二二十七个模型，初三十九个模型。这本书总结了初中几何常考的八十七个模型公式，十字架模型、 a 字模型、手拉手模型、 图、不规模型等等，每个模型的结论证明过程，这本书都给你讲的明明白白。运用模型，三步就可以解开一道大题， 其他同学还在分析条件，你已经套公式算出答案了。还有经典试题，由易到难，上考场题型怎么变都会打，没看明白的可以扫码看视频解析，还送你考前速记，考前翻一翻，上考场就稳了，初中三年都可以用，现在还有八五折， 这就是学霸数学考一百一十八的绝招。我上初中的时候，要是有这套书，数学都不用发愁了！初中数学想要提分，就一定要掌握几何模型，初一十四个模型，初二二十七个模型，初三十九个模型。这本书总结了初中几何常考的八十七个模型公式，十字架模型、 a 字摸型。 我上初中的时候，要是有这套书，数学都不用发愁了！初中数学想要提分！