宁夏中考最好模试卷

所以，勤奋重复大量的练习，是给每一个人成才的机会。

银川初三的家长们注意了，北塔中学一模已经考完了，那想不想让咱们孩子挑战一下名校的试卷，看一看差距，精准题分呢？那现在就可以找李老师来领取名校的模拟卷，拿回家让咱们孩子去练一练。 那无论是你想对比一下其他学校的试卷，还是想给孩子做一些学科分析、学科诊断，规划后期的一个题的路径，都可以私信我，助力咱们孩子接下来的备考中精准发力！

银川北塔中学初三一模数学试卷给大家整理出来了，我把宁夏中高考历年真题、银川各校中高考模拟题整理完毕，大家可以练习了。

下面是二零二五年宁夏中考数学真题解答题的第二十五题二次函数大题。如图，抛物线 y 等于 ax 的 平方减二， x 加三，与 x 轴的负半轴交于点 a 与 y 轴交于点 b， 顶点 c 的 横坐标为负一。第一问，求抛物线的表达式中呢，只有一个未知数 a， 而且他给出了顶点 c 的 横坐标为负一，而抛物线的顶点呢，他是位于抛物线的对称轴上面的。所以呢，第一问，我们可以直接用对称轴把它解出来，直接代入对称轴的公式， 负的二， a 分 之 b， 也就是负的二， a 分 之负二，它应该等于负一，解出来呢， a 就 等于负一。所以呢，抛线的表达式就是 y 等于负 x 的 平方减二， x 加三。 第二问，如图，一，将直线 ab 沿外轴向上平移 m 个单位长度 m 大 于零，当它与抛物线有交点的时候，求 m 的 取值范围。这一问考察的是二次函数与一次函数的关系，或者是抛物线与直线的关系。 当一条直线与抛物线有交点的时候，把两个方程连立起来，它的德尔塔应该是大于等于零的。 首先来看直线 ab， 我 们要先把 ab 的 表达式解出来。点 b 呢，很简单，它是抛物线与外轴的交点，所以令第一问的 x 等于零就可以了。所以点 b 的 横坐标是零，纵坐标是三。 点 a 呢，是抛物线与 x 的 交点，也就是令负 x 平方减二， x 加三等于零，解这个方程就可以了。 x 一 等于负三， x 二等于一， 点 a 的 横坐标就是负三，纵坐标就是零。我们把点 a 和点 b 的 坐标先标在图上， 这样的话，三角形 aob 就是 一个直角，边长为三的等腰直角三角形，这个角是四十五度， ab 的 表达式就是 y 等于 x 加三，将 ab 沿着外轴向上平移了 m 个单位长度，假设是在这里， 那么这一段的长度呢，就是 m 把平以后得到的这条直线呢，记为 l， 在平移前后呢， k 的 值是不变的，所以 l 这条直线它的 k 还是一，所以我们可以设 l 的 方程，设成 y 等于 x 加上三，再加上 m， 和第一问给出的抛线表达式进行连立。 那这个方程组呢，是不用解的，我们只需要算他的德塔就可以了。左边等于左边，右边等于右边。负 x 平方减二， x 加上三就等于 x 加上三，再加上 m， 整理一下就得到了 x 平方加上三， x 加 m 等于零，他的德塔 等于 b 平方，就是三的平方，减去四乘以一乘以 m 就 等于九减四。 m 直线与抛物线有交点，那么德尔塔是大于等于零的，所以 m 小 于等于四分之九。 来看第三问，如图二抛物线的对称轴交直线 ab 于点， e 连接 a、 c。 问，抛物线上是否存在点 p， p 点不与 c 点重合，使得三角形 p、 a、 d 的 面积等于三角形 c、 a、 d 的 面积。若存在，直接写出 p 点的横坐标，若不存在，说明理由。 我们来看图三角形 c、 a、 d 这个三角形是一个确定的三角形，它的面积我们应该是可以算出来的。 而 p 点呢，它是抛物线上的一个动点，有可能出现在上面这一部分，也可以出现在左边，也可以出现在右边。 三角形的面积等于底乘以高，再除以二。而对于 p、 a、 d 这个三角形呢，只有 a、 d 这条边是确定的，所以我们考虑将 a、 d 作为三角形 p a、 d 的 底边。然后呢，我们只要算出它的高，就能确定点 p 的 位置， 而高又怎么算呢？我们观察到三角形 p、 a、 d 和三角形 c、 a、 d 有 相同的边，都是 a、 d。 先把三角形 c、 a、 d 的 高做出来，可以从 c 点向 ab 做垂线，那么这条红色的线段呢，就是它的高，我们用小 h 来表示一下。 首先把点 c 的 坐标求出来，点 c 是 抛物线的顶点，它的纵坐标应该是四， 而点 b 的 坐标呢，是零度三 ab 这条直线呢，它与 x 轴的夹角又是四十五度，所以呢， c、 b 这条线段就是三角形 a、 d、 c 的 高， b 点是垂足， c、 b 的 长度呢，也很好算。从点 c 向外轴做一条垂线段，那么这个三角形，它应该是一个等腰直角三角形， 它的直角边长就是一。所以呢， c、 b 这条线段，它的长度就是根号二。那 c、 b 的 长度求出来以后呢，三角形 p、 a、 d 的 高也就算出来了，它也是根号二。 这个时候呢，如果点 p 在 ab 的 上方，我们就可以过点 c 做 ab 的 平行线，这条平行线与抛物线又有一个交点，它就是点 p。 因为平行线之间的距离是初数相等的，所以呢，从这个点向 ab 做垂线段，它的长度也是根号二。如果点 p 是 在 ab 的 下方呢，也很简单，我们只要将直线 ab 向下平移就可以了。 假设平移在这个位置，那么这两个交点呢，就是 p 点的分别过。这两个点向 ab 做垂线，它的距离都是根号二。 好了，现在我们已经知道 p 点有三个位置了，下面就可以开始计算了。首先来看上面的这个点，他是由直线 ab 向上平移得到的，他向上平移的应该是这段长度。我们把上面这条直线标为 l 一， 他与外轴的交点呢，即为 f 点三角形 c b f， 他 也是一个等腰直角三角形 b， f 呢，就是它的斜边，而直角边 bc 的 长度我们刚才算出来了，它是根号二，所以斜边 b f， 它应该等于二，所以我们可以直接写出 l 一 的表达式， 它就是 y 等于 x 加上五。将 l 一 与抛物线进行连立， 然后把 x 解出来就可以了， x 加五就等于负 x 平方减二， x 加上三。整理一下，我们得到了这个关于 x 的 一元二次方程。 x 一 等于负一， x 二等于负二，因为负一呢，就是 c 点的横坐标，它是不能取的，所以呢，点 p 的 横坐标就是负二。好了，第一个 p 点的横坐标我们已经算出来了，下面的这两点呢，也是如法炮制。我们把下面的这条线记为 l 二， l 一 是把 ab 向上平移了两个单位，那么很显然， l 二就是把 ab 向下平移两个单位。 所以呢，我们可以直接写出 l 二的表达式， l 二它的表达式就是 y 等于 x 加一 还是一样的，将它与二次函数连立整理，得到了关于 x 的 一元二次方程。这个方程呢，是没有办法十字相乘分解的，所以我们直接用求根公式把它两个解算出来。现在呢，下面这两个 p 点的横坐标就解出来了，就是这两个解，所以呢， p 点的横坐标 有三个，分别是负二、二分之负三，加上根号十七、二分之负三，减去根号十七这三个。

宁夏中考数学几何综合题，遇到隐形圆不会找定角定高加角平分线旋转一下圆就出来了。很多同学只会定角定高找圆，遇到带角平分线的题就蒙了。其实核心就三点，第一步，找定角固定角度出现说明点的轨迹是圆弧。第二步，找定高距离固定 圆，心就在角平分线上。第三步，用旋转把角平分线转一下，构造全，等三角形圆的轨迹就清晰了。这就是传说中的用角定高角平分线模型。

都说宁夏中考二次函数压轴题难，其实就考两个方向，第一个方向实际应用说白了就是拱桥。利润问题，这种题最简单，核心就一招，找顶点， 只要题目里提到最高最低最大利润，直接设顶点式，再把一个已知点代入解析式，直接搞定。第二个方向，函数与几何综合题，这才是真正拉分的题，但是套路也是固定的。 记住，宁夏近四年考的翻来覆去就三件事。第一，二次函数与三角形，它会怎么考？无外乎三种关系，一，全等，找对应边，相等列方程。二、相似，一般是直角三角形的相似。记住一个绝招，一线三等角， 看到直角就想着构造 k 形图，找相似比三面积关系。二零二五年高考核心方法就四个字，牵捶法，或者叫割补法， 把斜着的三角形面积拆成竖着的线段来算。第二，二次函数与平行四边形，这是宁夏的常客，二零二四年刚考过，别慌，他有一个万能解法，用钟点公式，不管是给了一个点还是两个点，只要平行四边形对角的 顶点坐标加起来，相等方程就列出来了。第三，二次函数与特殊四边形。考矩形，其实就是把它变成找直角三角形，用勾股定律或者刚才说的一线三等角考正方形，就是找等腰直角三角形，一线三等角的全等就派上用场了。 所以你看二次函数压轴题，看起来很唬人，其实背后全是几何模型。把这些模型搞清楚，剩下的就是计算问题了。

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接下来是宁夏二零二五中考数学真题的第二十四题圆的证明。如图，四边形 a、 b、 c、 d。 内接于圆 o、 a、 c。 平分角 b、 a、 d。 连接 b、 d。 第一问，求证角 c、 b、 d 等于角 b、 d、 c。 第二问，延长 ab 至点 e， 使 b、 e 等于 a、 d。 再连接 c、 e。 求证 a、 c 比上 ab 加上 a、 d 的 和，等于 bc 比上 b、 d。 以往在中考数学里面，这道圆的证明题大多数情况都会考察切线的证明，或者是切线的性质，但是呢，这次没有考，我们来看看怎么回事。题目条件呢，给的很简单， a、 c。 平分角 b、 a、 d。 也就说这两个角是相等的，我们可以标一下角一和角二， 让你证明角 c、 b、 d 等于角 c、 d、 b。 也就是这两个角，我们可以标一下角三和角四。 那第一问考察的就比较简单了，他考察了一个圆周角定律，在同一个圆中，同弧所对的圆周角是相等的，因为角一和角三是相等的，角二和角四所对的弧呢，都是弧 bc， 所以呢，角四和角二也是相等的。 我们来写一下证明过程。在圆 o 中，角一和角三所对弧 为弧 c、 d。 所以呢，角一等于角三，角二和角四所对弧 为弧 bc， 所以呢，角二等于角四。又因为呢， a、 c。 平分角 d、 a、 b。 所以呢，角一等于角二，所以呢，角三就等于角四。第一问得正 来看，第二问，他要让你证明 a、 c 比上 ab 加上 a、 d 等于 bc 比上 b、 d。 一 看到这样的比例式呢，我们的第一反应就是要找相似， 并且呢，要把左边的这个分母上的这个核 a、 b 加上 a、 d 要转化到一条线上。我们来看一下题目所给的条件。 第二问，他又给了一个条件是 b、 e 等于 a、 d。 刚好呢，要我们证明的，这个式子里面就有 a、 d， 如果把这里的 a、 d 换成 b、 e， 那 么 a、 b 加上 b、 e 啊，也就是这条 a、 b 加上这条 b， 它就可以用 a、 e 来代替。那么这个比例式我们就可以转化成 a、 c 比上 a、 e 等于 bc 比上 b、 d。 现在呢，我们来找一找，看看有没有相对应的三角形 a、 c 比上 a、 e， 它是三角形 a、 c、 e 的 两条边， bc 比上 b、 d 呢，它是三角形 bc 的 两条边。 那我们就看一看，能不能让三角形 a、 c、 e 和三角形 b、 c、 d 这两个三角形相似了。根据第一问呢，我们已经有了一组相等的角， 现在呢，好像没有什么条件能够支持第二组角也相等的，我们看看有没有其他的条件。这种题的第二问，他与第一问一般都是有联系的。 第一问的结论是，角三等于角四，有角三等于角四，我们可以直接得到一组等角对等边，也就是 c、 b 和 cd 这两条边应该是相等的。 我们发现三角形 a、 d、 c 和三角形 e、 b、 c 这两个三角形已经有两组边对应相等了，那么他们俩有没有可能全等呢？ 角 c、 b、 e 啊，就是这个角和角 a、 d、 c 这个角，如果这两个角也相等的话，这两个三角形就全等了。 全等了以后呢，角一就可以和角 e 相等了，那么这两个角相等不相等呢？这里呢，考察了一个知识点，就是圆的内接四边形，它的对角是互补的， 也就是说角 a、 d、 c 和角 abc 是 互补的，同时呢，角 c、 b、 e 和角 abc 也是互补的， 同角的补角是相等的，所以呢，这两个角，角 a、 d、 c 和角 c、 b、 e 就 可以相等了。这样的话，我们的逻辑链条就完整了。 首先呢，证明三角形 a、 d、 c 和三角形 e、 b、 c 是 全等的，全等了以后呢，角一和角 e 这两个角也对应相等了。然后呢，角二、角三，角四，还有角 e 这四个角都相等了，就可以判定三角形 b、 c、 d 和三角形 a、 c、 e 是 相似的了。然后呢，就可以得到最后的结论。我们把证明过程写一下。首先来凑全等的条件。因为角三等于角四，所以呢， c、 d 等于 c、 b。 又因为呢，四边形 a、 b、 c、 d 内接于圆 o， 所以呢，它的对角是互补的。角 a、 d、 c 和角 abc 是 互补的。角 a、 d、 c 加上角 abc 就 等于一百八十度。又因为呢，角 c、 b、 e 和角 abc 也是互补的。角 c、 b、 e 加上角 abc 也等于一百八十度。所以呢，角 c、 b、 e 就 等于角 a、 d、 c 一 组对应边，一组对应角，还差一组对应边，就是 a、 d 等于 b、 e。 又因为 a、 d 等于 b、 e， 所以呢，三角形 a、 d、 c 就 全等于三角形 e、 b、 c 全等。三角形对应角是相等的，所以呢，角一就等于角一。到这里呢，相似的条件也凑够了。因为角一和角一是相等的，角一和角三也是相等的，所以角三就等于角一。角二跟角四也是相等的，所以呢，两组对应角就凑齐了。 又因为角一等于角三，所以呢，角三就等于角一。 又有角四等于角二，所以呢，三角形 dcb 就 相似于三角形 ace， 因为这两个三角形都是等腰三角形，他们的腰和底的比是相等的，所以呢， a c 比上 a e 就 等于 bc 比上 b d。 又因为呢， b e 等于 ad， 所以 我们就可以把 a e 写成 ab 加上 b e， 它就等于 ab 加上 ad。 所以呢， ac 比上 ab 加上 ad， 它就等于 bc 比上 bd。 这就是二零二五宁夏中考数学真题里面原的证明这道题。这道题呢，考察的知识点还是比较少的，证明的逻辑呢，也比较好分析，你做对了吗？

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宁夏中考数学几何综合题隐形元这块，如果你已经会了定弦定角模型，也就是 固定长度的弦，它所对的角大小固定，顶点的轨迹就是一个圆。那如果你遇到的是定角定中线怎么办？用一招背长中线， 把中线沿成一倍，构造平行四边形，原来的定角定中线问题就变成了定弦定角问题。这个模型在宁夏近几年的几何探讨题里经常出现。二零二五年第二十六题背后就是倍长中线的思路。

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宁夏中考数学二次函数与相似三角形，很多同学只知道对应边成比例，今天告诉你一个更牛的技巧，对应边上的高也成比例，什么意思呢？两个三角形相似，不光对应边成比例，对应边上的高角、平分线、中线全都成同一比例。 这个性质在二次函数综合题里特别好用。比如题目里给了两个相似三角形，要求其中一个三角形的高，或者用面积关系求坐标，直接用高乘比例列方程，比找对应边快多了。宁夏 近几年的函数压轴题，二零二五年考了面积关系，二零二四年考了平行四边形，相似三角形也是常客，用上这个性质，很多题直接省一半的计算量。

那么咱就看一下啊，宁夏的中考专题啊，咱们是简单题就一点过了啊，需要讲的讲一讲。 看第一大题是个单项选择啊，一共十一个小体，看第一小体，他给这个柳化里啊，属于物质的分类，你看他给了这个化学式， 肯定是纯净物，不是混合物了啊，混合物是无法写化学式的， 那么纯净物就分为了单只、氧化物、酸碱、盐五大类两种元素肯定不是单只了，没有氧，不是氧化物，所以应该选择 c。 看第二题啊，这是个常考的考法啊，这个题没有难度， 这它的相对原子质量相对啊，是个比值单位，是一是克就错了，对不对啊？再看啊，这个数是什么？ 是原子序数啊，在原子中等于质子数，在原子里等于核外电子数，和中子数没有任何关系。 那么在初中所学的知识内，没有一个点是可以推出中子数的啊。在咱们初中所学的知识点中，没有一个点是能推出中子数的。 但是如果老师给你补充了一个知识，什么相对原子质量约等于质子数加中子数这个公式之后，就可以推它了啊。但是咱们课本上所有的知识你都是无法推出中子数的， 咱们到高中会学一个质量数就可以推它了。元素符号，元素符号这个十字旁属于非金属，对吗？所以应该选的是个 b。 第三题啊，考的是物质构成的离子的种类啊，绿化钠，绿化钠是个盐， 所有的盐都是由离子构成的，它是有钠离子和绿离子。 那么在这咱补充个小知识点啊。补充个小知识点啊，你看 这个滤环呐，如果是固体时候，是固体的时候是滤环呐，那么放到水中溶解之后，溶解之后它就电离成了钠离子和铝离子，它是可以自由移动的， 所以说在那个氧化钠的水溶液，就食盐水是可以导电的，而咱们那个普通的水，它里面没有这些离子，是不能导电的，并且这些离子越多，导电性越强。 那么咱看这样一个问题啊，你看了我写这了啊，你看看硫酸和氢氧化钙 啊，他们的关系，看这个硫酸，稀硫酸，它溶液中就有了这个氢离子和硫酸跟这个离子，所以说稀硫酸溶液也是可以导电的 啊，咱们教材有这个实验，对吗？那么氢氧化硒这个溶液它也是可导电的，它就有了硒离子 和氢氧根的离子，所以说这两种溶液都具有导电性， 都具有导电性啊，那么把这两种混合，他量着，恰好反应时， 恰好反应时，如果咱做了一个回路，这是一个小烧杯啊，这是它，这是溶液，这是个回路，这有个小灯泡，这样一个情况，这里面是硫酸溶液的时候，灯泡是亮的，是氢氧化被溶液时，灯泡也是亮的 啊，如果是两个溶液混到一块，恰好反应的时候，这个灯泡还亮不亮？ 像这个问题，也就是说这个时候这个溶液中还有没有可以自由移动的离子存在？ 像这个问题啊，这是图像，有时候会考，那个导电性里会考的不三八六七减，对，不亮了，因为它生成的什么恰好反升的硫酸背， 这是个白色沉淀，还有水，对吗？啊，这个沉淀他就不会惦记出离子了啊，他是以这个沉淀存在的，这个水是个水分子， 恰好反应时，这个溶液中，这个溶液中就没有了可移动的离子了，这灯泡就就暗了。那么常考的是这个体型，他不画这个，这是物理的，他考化学角度的，这样考的 啊，这是谁？这是个体积，这加入的氢氧化背啊，这个溶液的体积， 这个是谁？这是那个导电性啊，导电性我不写了啊。烧杯中有了这个稀硫酸，然后向里面低加氢氧化杯， 他有一个导电性，图是这样画的， 对不对呢？ 对不对呢？啊？一开始烧杯中有稀硫酸，要不断的低加氢氧化杯啊，这个横轴是低加氢氧化杯的体积，这个纵轴是导电性，这是个图像， 对不对？你看，没有加氢氧化被的时候是硫酸的，它是导电的，对吗？你低加了氢氧化被生成了硫酸，被沉淀和水，它就被反映掉了，离子是在逐渐的减少， 对吗？到这个点时，是两者恰好反应了，恰好反应了，没有离子了，你再加它是不是就过量了？这就是氢氧化背地架里面造成导电， 是不是呢？啊？这个点是恰好反应点，这段是硫酸过量硫酸的导电性，这段是氢氧化背，过量，是氢氧化背电电离子的导电性。 注意这个情况啊，注意这个情况啊，这个回流就行了啊。说到这啊，这个，说到这，注意构成这啊。就咱拓展了一下这常考的一个导电性，因为在那个树上有个电离这个概念。 看第四题，学校老师啊，不说了啊，缺氮，叶片发黄， 我常说蛋肥是长叶的，让枝叶茂，让这个叶子茂盛啊，大而厚的，对吗？林 是长籽的，然后那个籽粒饱满的甲是长秸秆的，让这个抗倒伏的，他告诉了，因为这个缺氮，叶片发黄，就需要使氮肥了，对吧？是不是使氮肥呢？缺什么补什么呀，就找氮肥了。选哪一个？选 b 是不选 b 呢？好他啊，选 b 这个比较简单啊，看第五，看第五题啊，这是分子运动理论那块的一个知识，看一下选哪一个 啊？酒精挥发是分子不断运动的结果，对吗？他说分子体积变大， 大不大呢？这是一个化学变化，分子种类是不变的，对吧？错了，水结冰，分子永远不停的运动，只是运动有快有慢，和温度有关系。 充气了有间隔啊，打的气越来越多，间隔越来越小，对不对啊？啊，冰雪融化，分子没发生变，这是个物理过程，所以应该选的是 c 啊。 第六啊，这考的是 ph， 和酸碱性对应关系， 酸性最强啊， ph 是 零七到十四，是不？它这是一个中性的， 往这边是酸性的，并且越小酸性就越强，往这边是碱性的是不碱性的，越往这边碱性越强。找 p， a 是 最小的是不？这个最小的，所以选的 a 是 不？选 a 在 这儿它里面含的是岩酸，是不？它 那么有个常考点，有常考点啊，一个是啊，碳酸硒啊和硫酸硒的问题。 常考点啊，咱们在医院要做那个什么什么东西啊？要喝点备餐去造影对吗？啊？是喝这个还是喝这个？ 因为这个硒它是个重金属，会造成咱们的一些轻微中毒，那么要喝哪一个是安全的呀？ 那么就考察到了一个硒盐的溶解性，碳酸硒白色沉淀不溶于水，硫酸硒白色沉淀也不溶于水， 两者的区别在什么地方？在什么地方？在这个碳酸钙不溶于水，但它可以和岩酸去反应，生成氧化钙、水和二氧化碳。 啊，这个呢，和岩酸啊，是不反应的，是不反应的。注意了啊，碳酸硼和岩酸反应，生成氧化硼、水和二氧化碳， 那么这个啊，是不反应的。常考题在做推断题，说啊，说某物质里面他有什么呢？有一些硒离子，什么硒不知道， 然后啊，然后呢？啊，说错了，说反了。我说一下啊，说某某个溶液中可能有碳酸根 和硫酸根，有一种或两种，有一种或两种不知道，那么他加入点什么？加点绿化被，结果生成了白色沉淀。 那么这一步能推出什么线索呢？ 生成白色，白色沉淀，你看生成碳酸钙，白色的硫酸钙也是白色的，是不是没法，没法断，没法区别呢？好了，再看。那么我加入点硒岩酸， 发现部分沉淀溶解了，我这加入过量的硒岩酸，就是部分沉淀溶解了， 得到什么结论呢？是部分沉淀溶解，说明既有碳酸硒，又有硫酸硒，那么这既有碳酸根，又硫酸根。 如果我现象呢，是沉淀全部溶解了，全都溶解了，说明只有碳酸根，没有硫酸根。如果说沉淀不溶解，那么只有硫酸根了。 要注意这个啊，它成肺变。碳酸硒是不溶于水的白色沉淀，但是它可以和岩酸反应，而硫酸硒是不溶于水的白色沉淀，它和酸是不反应的。 那么咱们在初中学过，两种白色沉淀是和酸不反应的，记得不？记得啊？有两种白色沉淀，和酸是不反应的，谁一个是硫酸背一个是氧化银 啊？一个是硫酸背一个是氧化银，他两个都是不溶于水也不溶于酸的白色沉淀， 这理解了吗？好了，这还一个小问题出，又又出现个小问题，又出现个小问题。因为这个题比较简单，所以咱在这做个做个拓拓展啊。又出现一个新问题， 当某溶液中，某溶液中有硫酸根，绿离子 有哪一种咱不太清楚，咱们要判断这个溶液中有没有硫酸根，有没有绿离子，那么硫酸根就要需要用这个背盐 啊，生成白色成的，鉴别这它就需要用加入硝酸银，对吗？来鉴别，那么就问题，那么咱是先鉴别它还是先鉴别它？ 那么是先鉴别它。我先加硝酸银，看有没有沉淀，然后我再去鉴别有没有硫酸根呢？还是反过来呢？在这补充个知识点啊，补充个知识点， 补充了知识。什么知识点？你看了啊，这个绿化银是不溶于水的白色沉淀，那么这个硫酸银 它也是一个微溶的啊，是一个微溶的，是一个微溶的白色沉淀，就量多就沉淀，量少就不沉了。那看，如果咱先用硝酸银来鉴别有没有它的时候， 那么它也会生成硫酸银，量多了就干扰了它的鉴别。 所以说有硫酸根和铝离子石，咱们一般是先鉴别硫酸根，然后再鉴别铝离子，那么我就可以加入，往他家里首先加入足量的硝酸倍 啊，看有没有沉淀，有白色沉淀了，有硫酸根，没有白色沉淀，没有硫酸根，对不对啊？啊？然后我再鉴别它， 那么鉴别它的时候加硝酸银了，但是同时还要加什么？加一个硒硝酸，这个硒硝酸就可以把它溶解了 啊，那么碳酸银也是一个白色沉淀，硝酸也可以把它溶解了，所以说记准了，鉴别这个粒子时一定是硝酸银和硒酸要同时出现的， 加入硒酸和硝酸银的混合物，有了白沉的怎么就铝子，你单加硝酸银是不行的。 注意这个点啊，注意这个点，因为他会大量的干扰存在啊。这个应该选。哎，过去了，不再讲这个了。这个题咱遇见题的说，这个有这个啊，有这个注，注意这个点就行了。 看第七啊，第七看这个，这个比较好选啊。你看是配溶液的，不需啊，不设计的操作， 你想一想怎么配溶液，不知道计算称量，量取溶解装瓶贴标签是不？它哪一个没有？这个没有，不需要蒸发结晶， 这是粗盐提纯的。这什么是配溶液的？是不呢？选 d 啊，这个比较简单， 看第八看第八啊，第八。甲醇啊，是一种重要的化工原料， 如图是关于甲醇质备的化学反应式，一图下列不正确的是。 那么首先写物质，你看这是一个碳，两个氧，这是二氧化碳，这是两个氢，就是氢分子了。这个是甲醇吧。给了甲醇怎么写？一个碳三个氢，写上一个碳三个氢，一个氧又一个氢， 对吗？这是一个氧两个氢是水分子的啊，就写出了这个表达式了。看看下面题用不用配平用配平，不用就不配了呗。该反应不属于置换反应。 肯定不是了，单支都是化合物，这是正确的，它不属于正确。看 b 该反应中甲、乙和丙的质量比是一比十六，那么就需要配平了 啊，你不配平是没法求这个质量比的，这个质量比是按照质量守恒来计算的，就需要配平了。看看看怎么配。 假设你反复听我课，我经常用假设为一法，因为我这个我比较熟啊。看看以哪个以哪一个为一比较好呢？找一个，找一个什么最复杂的？什么叫最复杂 啊？含元素种类最多的，你看这是个横线，以这个横线分成左右两侧了。 先看左侧，你看他含碳、氧，这个含氢，他两个没有共同元素 啊，如果有共同元素，是不是要求那个原子核呢？叫分开，这个不用你看，那么咱看了，这个含两种元素，这个含一种，看这边，看这边， 这个里面这含碳、氢、氧，这个含氢和氧，那么这两物质的总氢需要去求，这个和，这个氧也需要求和， 那么氢和氧咱就不要算了，就忽略了只有这个碳是他独有的，说这个是一种元素，这个不含元素 啊。你这样去找哪个元素，最多说他就是个一了，你看他是一，一个碳，这是个上一个碳， 这两个眼，这有一个眼，还差一个，这上一个一啊，那么就该找清了。这是四个，两个六个就上个三啊，就平了，加催化剂就行了 啊。这个假设为一法的关键是找哪一个物质为一，这是个关键点，你找对了还是还是找不对了？他费劲，对吧？ 好，配平了。你看乙是清兵是谁？是他质量比，你看这是几清？是，这是一乘三，是呢，这是个六，是不是个六？ 呃，冰是它多少？一个碳是十二加四个氢，再加一个氧，这是三十二，它是不是三十二？约分肯定不是一比十六了，对吧？错了吧， 反应前后分子数目发生变化，四个两个变了，是不是正确？ 是不正确了？再看甲醇分子是由原子，原子构成的，没问题。所以应该选 b 啊。这两题重点是配平配平，配对了题就好做了。 好，下面咱看这个溶解度。铁，那这两铁是必考的，是必考铁。你看了啊，氧化钠和硝酸钾的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是， 那么咱看了，在 t 一 度是这个度啊，一百克硝酸钾溶液中含二十克硝酸钾，那么在 t 一 度时，硝酸钾的溶解度是二十， 什么意思呢？你就想一想这个溶解度的概念是怎么说的。是指在一定温度时，一百颗水中啊，融多少多少颗溶脂就恰好饱和了。 意思说，在 t 一 度时，一百克水溶解，二十克硝酸钾就恰好饱和了 啊，就是说这个时候溶脂是二十克，溶剂是一百克，溶液呢，应该是一个一百二十克才对呢 啊，一定要理解这个含义，看 b 看 b， t 二度十 啊，铝化钠和硝酸钾溶液的溶质质量分数相等，你看这个点，它俩的溶解度相等了。 那么你想一下，老师给你讲过一个公式啊，用溶解度来计算它的中值质量分数记得不？记得是 s， 比上一百加 s 乘以百分之百，老师是不是讲过这个公式？ 那么他的使用范围是什么？是饱和溶液时的，不是饱和溶液不能用这个公式啊。在饱和溶液时是用这个公式，他没说吧， 没说是不是饱和的，不是饱和不能用它，它只适用于饱和溶液时的。这个错了， 看 c， 看 c 氧化钠饱和溶液中含有少量的硝酸钾，可用降温结晶的方法提纯氧化钠，这个时候谁多他多 他少，那么就要看这个多的溶解度情况。看多的绿化呢，他所有温度的变化是很小的， 对不对啊，应该用蒸发结晶啊。看多的就错了啊，多了，如果说硝酸钾中有少量的绿化了啊，看多的， 看 d， 看 d 啊。 t 三度十，分别用等质量的氧化钠和硝酸钾固体配成饱和溶液，所得的氧化钠的饱和溶液质量更大。 那么咱看了，这个值，它没给是不？这两个值它没给那甲选一个， 这个是个啊，四十可以不可以啊？这个是个五十，可以不可以？给个值就好看了，你看 t 三度十啊， t 这三度十，在一百克水中， 硝酸钾溶解了，五十克的这个硝酸钾就恰好饱和了。 同理，在 t 三度时，在一百克水中溶解四十克的绿化，那就饱和了，这是不是溶解度？他说什么？你看 是这两个溶质相等，你看，如果倒数五十的话，这是五十克，他需要一百克水，那么他是五十克时， 你看他一百克才溶四十克，现在是五十克了，这个水要多于一百克的， 所以说他这个里面的溶剂啊，他的溶剂水就需要多一点，所以溶也就大了就对了。我这个选的低 啊，选 d 啊，选 d， 这是第九，这个，这个经常考这个啊，这个要反着想 啊，看第十，看第十是个试验的啊，在试验探究方面的 第十啊，咱们一个看，可能缩一下吧，撑不下了。好，那撑下了看这个啊， 第十，看这个。你看了下列事业设计，能达到事业目的的是，先看这个 a， 检验二氧化碳与氢氧化钠是否发生反应， 那么你看了，这是二氧化碳啊，它滴入这个氢氧化钠溶液， 这个时候想想发生哪些反应呢？ 二氧化碳可以和氢氧化钠生成碳酸钠和水，是咱学过的。另外二氧化碳也可以和这里面的水反应，并且它还溶于水， 就这个时候有三个反应，一个溶解，两个反应和氢氧化钠和水，那么这些都会造成压强减小，那么打开弹簧夹，他就倒吸过来了， 那么这个倒吸这个现象不能证明二氧化碳和碳酸和氢氧化钠反应了。不能啊，倒吸是不行的，为什么呢？因为它溶于水和水反应都会造成眼睑减小， 但是道西国的这个岩酸会和他们的产物碳酸钠反应，怎么又生成气泡了？ 生成这个气泡这个现象就证明了他俩发生反应了， 你看岩酸和二氧化碳不反应，岩酸和氢氧化碳反应没气泡，对不对呀？啊，记准了，你看过来是两个现象，一个是倒吸， 一个产生气泡。倒吸这个不能证明这个结论是产生气泡这个现象，证明这个结论了，就是可行的啊，是可行的，再看， 再看啊，测定空气中氧气的含量，用谁？用蜡烛？ 它燃烧常式是二氧化碳和水，对吗？咱目的是什么？目的是把氧气消耗了，气体减少了，压腔减小了，水倒吸过来了， 现在呢，又生成气体了，所以这就没法去做对比了啊，这个是不行的，看 d， 看第啊，探究不同催化剂对过氧化氢分解速度的影响，探究谁呢？不同种类的催化剂，这是个对照实验， 那么做对照实验是强调的是唯一变量，那么通过这个探究的目的谁是变量呢？ 不同种类的催化剂，就催化剂种类不一样，其他都要相同， 这样才有可比性呢，对吗？那么你看下面，你看下面，你看啊，五毫升，五毫升相同了，再看这百分之三的过氧化氢， 百分之六的过氧化氢出现一个变量了，再看氧化铜，二氧化嘛，又一个变量，这个是不同的催化剂，是不两个变量 啊。那么假如说是这个反应快了，是由于他俩不同引起的呢？还是由于浓度不同引起的呢？你就说不清了呗， 你就说不清了，所以说一定要控制微变量，你探索什么，什么就是个变量，其他都是相同的，那么你就需要把这改成了百分之六 啊，改成百分之六以后啊，假如这个反应快，我就得出了二氧化锰的催化效果好， 是不是可以了啊？记准了，做对照试验时，一定要控制微一变量，探救谁，谁就是变量，其他都要相同，这样这个才得出合理结论呢。这个错了， 看这个啊，验证质量守恒定律，这是一个敞口的小苏打，俗称小苏打，什么物质？是碳酸氢钠，那么它和硫酸 反应不反应，反应生成硫酸钠水和二氧化碳气体，这是个敞口的气体，就外溢走了， 是外溢走了，那么这个结果是两侧不等啊，这边就沉，他就下沉了，是不是呢？ 从而得出质量不守恒？错了，结论是质量守恒，原因去分析失误，这是个操作失误，但结论是守恒是不的意思呢？这个错了啊，应该选择的是 a， 选择 a 啊。那么在这在这，咱再说出一个新的知识点，总结个知识点，你看这， 你看这啊，有一个白色物质，白色固体啊，我加点硒岩酸， 发现产生气泡了，我把这个气泡通入到什么 澄清石灰水中，结果呢，出现了浑浊白色沉淀出现了，那么我就推出这个一定含碳酸根，推出它一定含碳酸根，对不对？ 你看，加盐酸，结果使澄清收水变浑浊，这有二氧化碳气体了，这对的，我推陶醉的他，不对，你看这 碳酸氢根，遇酸也会产生二氧化碳气体，所以说啊，记住了啊，碳酸根和碳酸氢根，他们遇酸都可以生成这个二氧化碳气体， 是不是这个结论呢？注意这个小知识点啊，这是第几呢？第十 看第十一啊，这是一个推断题，这样的题确实不好做，线索比较少啊。那么咱看这个题，你看这个题， 上面这些都是废话啊，一点意义没有，这废话一堆，看 a， 若丙是碱，它是个碱，就含氢氧根了 啊，则加不可能为酸。如果说加甲是酸，酸必然含氢离子， 是不是呢？那么乙，你看甲生成乙，丙也生成乙，它们相同的是氢，那么这个乙是肯定含氢元素的一个物质了， 对不对呀？那么你就想，酸的通性有五方面，记得不记得 酸和指示剂，酸和金属，酸和精氧化物，酸和碱，酸和盐，是不五方面啊？那个五方外面除了酸和金属之外都生成水， 所以这个应该是个水，碱是不也可以生成水？你看了啊，酸生成水没问题吧？碱， 水没那么水，能不能生成碱呢？能啊，水和氧化钙生成氢，氧化钙是不是它呢？啊？所以这是个，这个是个错的。再看看 b， 我 擦一下这， 擦一下这，你看，如果乙它是个一氧化碳 啊，他是个一氧化碳相互转化，这肯定是个二氧化碳了，没法说的相互转化吧，碳碳三角吧，说他一定是碳单质，对吗？ 那么他一定是含碳元素的，他是燃烧不充分生成的，比方说甲完的不完全燃烧是不是可以生成一氧化碳？酒精的， 对吗？啊，说明这个甲是肯定含碳的，对吗？那么他也可能是氧气， 对吗？所以说这个甲不一定是碳。再看，再看，甲乙丙三种物质必须含有相同元素 啊，必须含相同元素，咱看这，这是一个点。说这了啊，你看甲乙丙三种物质必须含同种元素。你看甲生成乙，丙生成乙， 那么你想个问题，咱们讲过啊，咱们讲过四种基本反应类型。 四种基本反应类型啊，那么反应物和产物一定含有相同元素吗？ 再一个一个说，先说分解反应，那么分解反应这个反应物和产物一定含相同元素， 你想我是不是比方说啊，水分解成氢气和氧气，对吗？啊？它和它，它和它一定含相同元素， 那么反过来是化和化和反应也是产物和反应物必含相同元素， 对吗？啊？话和和分解说，下面说一个负分解，负分解 你看啊，负分解是 a 和 c， d 生成 a， d 和 b， c 是 不是它呢？因为这个物质它来自于前面的两个物质各一部分，同样它也是。所以说 负分解法，负分解的反应中，反应物和产物必含有相同元素， 对不对呀？再看置换反应，再看置换反应，最简单的置换反应，铁和氧化氢生成氧化亚铁和氢气。看看 两个单只是不含相同元素的。 所以说，咱讲的四类基本反应中，只有置换反应。这类反应啊，是反应物和产物可能不含相同元素的。 所以说，所以说，你看这个甲到乙，甲到乙，它可能就是一个置换反应。比方说就这个铁，我这是啊，擦一下啊，比方说 我这是铁生成氢气，我氢气和水， 我清气喝水，这是不是有个相互转化排除了？ 是不是呢？记准了啊，记准了，咱所学的四种基本反应类型中，只有置换反应这种，他的反应物和产物是可能含不同元素的。 为什么说可能呢？两种化合物是含相同元素的，是这两个单只不含相同元素的， 这理解了吗？注意这个规律啊，你看这个，下面这个 d 就 好说了。 d 是 不是就好说了？你看，若冰是个水，则甲转化为的可能是分解反应 啊。这是水，这是氢气也行，这是氧气也行。实际上氢气和氧气都是水的分解反应，是不对了。这，这应该选择的是 d 啊。这个题比较综合一些啊。这个题出挺好。这个题，这样题最难了啊，我说说。我还是最不愿意讲这样题，也不愿意做这样题，太复杂啊，会学，考对好多好多规律和特性 啊。这是这个十一体啊，这就是这个宁夏的选择题。

ok， 接下来是宁夏二零二五年中考数学真题的最后一题，几何证明的压轴题。 如图，在 rt 三角形 abc 和 rt 三角形 a、 d、 e 中角 a、 c、 b 等于角 a、 d、 e 等于九十度角 b、 a、 c 等于角 d， a、 e 等于六十度 a、 d 小 于 a、 c 连接 b、 d 点 f 是 b、 d 的 中点，连接 c、 e、 c、 f、 e、 f。 第一问，如图一，当点 d 在 a、 c 上时，求证三角形 c、 e、 f 是 等边三角形。 这一问呢，考察的是等边三角形的判定。判定一个三角形是等边三角形呢，通常呢，有这么三种方法，第一种呢，三边相等的三角形，是一个等边三角形。 第二种呢，有两个角是六十度的三角形，是等边三角形。第三种呢，有一个角是六十度的等腰三角形，它是一个等边三角形。条件说呢，角 a、 c、 b 就是 这个角，还有角 a、 e、 d 就是 这个角，都是九十度， f 是 b、 d 的 中点，也就是 b、 f 和 d、 f 这两段是相等的。要求证明三角形 c、 e、 f 是 一个等边三角形。 从图上呢，我们不难看出来，三角形 b、 e、 d 和三角形 b、 c、 d 都是直角三角形， b、 d 呢，是这两个三角形共有的一条斜边， f 点呢，是斜边上的中点， 那么 e、 f 就是 直角三角形 b、 e、 d 斜边上的中线， c、 f 就是 直角三角形 b、 c、 d 斜边上的中线等于斜边的一半，所以 e、 f 是 b、 d 的 一半， c、 f 也是 b、 e 的 一半，那么 e、 f 和 c、 f 就 相等了。 现在呢，已经有两条边相等了，接下来是找边还是找角呢？从这张图上看呢，我们是找不到有全等的关系的， 所以呢，从边上面入手可能不太方便了。我们再看看角，我们发现 f、 d 这条线呢，它把角 e、 f、 c 分 成了两部分，左边这个标为角一，右边这个标为角二。 角一呢，是三角形 bfe 的 一个外角，它应该等于角 fbe 加上角 feb。 由于 fbe 和 feb 也是相等的，所以呢，这两个角是相等的，所以呢，角一就等于二倍的角 fbe。 同理呢，在右边这个直角三角形 bdc 里面，角二它应该等于二倍的角 fbc。 所以角一加角二就等于角 f、 b、 e 加上角 f bc， 再乘以二，而上面的这个角呢，又是三十度，所以呢，角 e、 f、 c 就是 六十度。 这样的话，我们就可以证明三角形 c、 e、 f 是 一个等边三角形了。我们把证明过程写一下， 在直角三角形 b、 e、 d 中，因为呢，角 b、 e、 d 等于九十度， f 是 b、 d 的 中点。由于直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，所以我们可以得到 f、 b 等于 f、 e 等于 f、 d。 同时呢，角 f、 b、 e 就 等于了角 f、 e、 b。 在右边这个直角三角形 bdc 中，角 bcd 等于九十度， f 呢，也是 bd 的 中点，所以呢， f、 b 就 等于 fcd 就 等于 fcd。 同时呢，角 fbc 等于角 fcb。 所以呢，由这几条线段，我们可以得到 f、 e 就 等于 fcb。 并且呢，它们的夹角 efc， 它就等于角一加上角二，也就等于二倍的角 fbe， 再加上二倍的角 fbc， 也就是二倍的角 ebc。 因为角 a 等于六十度，所以呢，角 e、 b、 c 就 等于三十度，那么二倍的角 e、 b、 c 就 等于六十度。所以呢，三角形 c、 e、 f 是 一个等边三角形。 来看第二问，将图一中的三角形 a、 d、 e 绕着点 a 顺时针旋转。 第一，当旋转角为六十度的时候，如图二所示。问，一中的结论还成立吗？请说明理由。第二问呢，就是这个图一中的结论呢，就是三角形 c、 e、 f 是 一个等边三角形。从图上看呢，很明显， c、 e、 f 它就是一个等边三角形，所以我们还要把它正一下。 首先呢，我们判断它是成立的。然后我们来看图，角 e、 a、 d 呢，等于六十度，角 b a、 c 也等于 六十度， f 是 b、 d 的 中点。要证明三角形 cf 是 一个等边三角形，我们看看有没有支持的条件。像我们可以看到角 cf 这个角，它应该是六十度。要证明它是六十度呢，我们需要做一条辅助线，我们可以延长 d、 e， 它与 ab 的 交点，我们即为 h 点。因为 a、 e 既是 d、 h 边上的高，又是角 d a、 h 的 平分线。利用等腰三角形三线合一的性质，我们就可以得到 e、 h 和 e、 d 这两条线段应该是相等的。 同时呢， f 又是 b、 d 的 中点，所以在三角形 d、 h、 b 里面， e 是 d h 的 中点， f 是 b、 d 的 中点，所以 ef 就是 三角形 d、 h、 b 的 中位线，它应该平行等于二分之一的 b、 h。 这样的话呢，角 c、 e、 f 和角 c a、 b， 它就是同位角，所以呢，角 c、 e、 f 就 等于六十度。并且呢，我们可以得到 e、 f 的 长度，它是 b、 h 的 一半。我们先把证明过程写一下，首先做辅助线，延长 d、 e 交 a、 b 于点 h， 因为角 e、 a、 d 等于角 e、 a、 h 都等于六十度。同时呢， a e 和 d h 是 垂直的，所以呢， e h 就 等于 e d。 又因为 f b 和 f d 也是相等的，所以呢， e f 就是 三角形 d h b 的 中位线 e f 平行等于二分之一的 b h， 所以呢，角 c e f 就 等于角 c a b 等于六十度。接下来，我们应该考虑正两条边相等， e f 等于 f c 或者 e f 等于 c e。 我 们发现，如果将 ec 这条边向上平移，也就是说过 h 做一条 ec 的 平行线， 这个点呢，我们记为点 m， 那 么 h m 和 ec 应该是相等的，因为 h e c m 它应该是一个矩形， 而这个时候，上面的这个三角形 b h m， 它是一个带有三十度角的直角三角形，而三十度角所对的直角边 h m， 它应该是斜边 b h 的 一半，所以呢， ec 它也就等于 b h 的 一半。这样的话， ec 和 e f 就 可以相等了。 我们接着写证明过程过 h 做 h m 平行于 a c 交 b c 于点 m。 因为 ec 垂直于 m c， 所以呢， h m 也垂直于 m c。 这样的话，在四边形 h e c m 中，我们就有三个直角了。所以呢，四边形 h e c m 是 一个 矩形， h m 就 平行等于 ec。 而在上面这个三角形 b m h 中角 b m h 等于三十度角 b m h 等于九十度，所以呢， m h 它等于二分之一的 b h， 所以呢， ec 也就等于二分之一的 b h。 前面我们已经证出来了， e f 也等于二分之一的 b h。 所以呢， e c 等于 e f。 又因为角 c e f 等于六十度，所以呢，三角形 c e f 是 一个等边三角形。 接下来呢，是第三问，当 e f 最长的时候， e f 与 a d 的 交点记作 m， 若 a e 等于三，则 e m 等于多少？首先呢，我们要知道当 e f 最长的时候，这个三角形它会转到哪个位置？ 根据前两问呢，我们已经知道了三角形 ec f 它是一个等边三角形，那么 e f， ec 和 fc 三条边应该是相等的， 在图二也是一样的， e f， ec 和 cf 这三条边是相等的。那么当 e f 最长的时候，也就是 ec 最长的时候， ec 什么时候最长呢？我们知道点 e， 它是绕着点 a 旋转的， 它的轨迹呢，应该是以点 a 为圆心， a e 长为半径的一个圆里面。那么当 ec 最长的时候，点 e 应该在 a c 这条直线上面，也就是这个位置，这里应该是点 e 的 位置，我们把它连起来，那这个点 e 就 不要了。 然后呢，我们把 aed 这个三角形补充完整。然后呢，连接 bd， 点 f 是 b d 的 中点，这个时候，三角形 c e f 它依然是一个等边三角形， e f 与 a d 的 交点呢，是点 m。 很 显然，在这个图里面，三角形 a e m 它是一个等边三角形。 所以呢，当 a e 等于三的时候， e m 也等于三。

今天来说一下宁夏中考数学必考的计算题，近四年真题反复验证，第一道实数运算绝对值、三角函数、负指数。二零二三年和二零二五年都考了送分题，必须拿下。 第二道不等式组去分母一项系数化，一二二年、二三年、二四年年都有步骤分，一分都不能少。第三道分式要么化解，要么解方程。二零二二二四，二零二五， 连续考，化简套路，固定通分、英式分解约分带入。搞清楚考什么，咱们就练什么，计算分稳稳拿到手。

今天我把银川中考近五年数学里最拉分的这一块，给你们画的明明白白，就是二次函数。二次函数是银川中考年年必考，从不缺席。二零二零年考了选择填空一道，再加最后的压轴大题， 考点是集中在图像解析式和最值，二零二一年照样在考选择压轴，重点是图像和判断面积最值动点问题。 二零二二年依旧在考填空一题、压轴大题、对称轴顶点、实际应用存在性问题，这些都是二函数衍生出来的考点。那二零二三年的时候 不考了吗？不是，依旧在考选择一题、压轴大题、平移解析式面积最值，二零二四年是填空一题、压轴大题抛物线和直线的焦点 存在性问题。二零二五年呢，只是考了一个压轴大题，二十五题占了一个十分，虽然没有考选择和填空，但是直接上了一个压轴题。关于二次函数的考点，主要是求解析式平移参数范围面积相等、动点存在性。总结下来，就这几个规律，第一个，二次函数是五年全考，一分没断过。 第二个，它的固定套路是选填三分，就是选择填空三分。第三个是考点的高度集中， 翻来覆去就那几类，换句话说，你二次函数拿不下，你数学想上一百一十分，基本是没戏的。基础题丢分太可惜了。压轴题不会就直接拉开档次，想让孩子稳稳拿下这十几分，把二次函数彻底吃透了，跟着我练就对了。

宁夏的中考即将来临，中考倒计时这段时间不要让孩子把时间浪费在无效的刷题上。 我这几天连夜给孩子们整理了宁夏近十年的中考真卷，以及本地各个名校的独家模拟题，带有解析免费分享给我的孩子们，宁夏区域内的中考学子也可以免费领取。 剩下这段时间在做冲刺，别去盲目做题，拿出老师的这套真题，反向去推导考点，找准自己的薄弱项，做最精准的专项功课。其实懂方法的复习才是最高效的提分捷径， 孩子们要去调整自己的状态，全力以赴。不管你目前是什么样的一个水平，其实从一模到中考前的这段时间完全可以逆袭。来，跟着老师的节奏，我带你们一起精准提分！

宁夏中考数学证明四点共圆今天告诉你两种必会判定。第一种，对角互补，四边形对角加起来是一百八十度，四点必共圆， 这是最基础的，大部分同学都会第二种，同侧等角，在四边形同侧，如果两个角相等，四点也共圆。比如二零二二年宁夏中考圆的题就是利用这个思路证明的。对角互补和同侧等角这两个判定方法至少会考一个。