山东一模数学2026真题最好

下面看一下二零二六历下一摸的第二十四题，也就是二次函数的综合题。二次函数的图像经过了 a 点和 b 点，顶点是点 d。 第一问求表达式和顶点 d 的 坐标。第一问这个是很简单的，把 a b 两个点坐标带到关系式当中， 就可以求出 a b 来，或者说你写成顶点式也可以，写成交点式也可以。然后呢，再把零逗四代入就可以了啊，这样的话，表达式我们就求出来是 y 等于 负的二分之一， x 方加上 x 加四多的坐标一，逗号二分之九。 第一问呢，比较简单，但是有一个问题，虽然简单一定要重视，因为你只有把关系式求对了，下面才能继续往下做。如果第一问关系式都求不对，那这个题就会 得很少很少的分，甚至是得零分都有可能，所以第一问的准确性很重要。嗯，也可以求，求出来之后呢，进行一下检验，带入两个点坐标呀，或者说看看对称轴啊等等适不适合。 好再看第二位，二次函数的图像呢，沿 a c 平移得到一个新的图像 m， 顶点是点 j， 如图一，求三角形 a c， j 的 面积 沿 a c 平移而得和，这点都是。嗯，原来的函数和新的函数的顶点，所以这两个点实际上是对应点，所以下面连接得这， 所以得这一定和 a c 属于平行。这样我们发现原来这里有一条平行线， 因为 ac 这是一个斜三角形，在坐标系当中没有任何一条边和坐标轴平行。 斜三角形的处理方法有三种处理思路，第一种，铅垂法，铅垂高乘以水平宽。第二种，平行线等级变形，第三种就是割补法，然后显然这里出现了平行线，所以常规的方法就是平行线等级变形， 是吧？那平线等级变形怎么个变形方法呢？ 平移点 z 在 这条蓝色的线上随便平移它这个红色的三角形总是面积不变的，因为它们同底等高 啊，他们的底都是这个，而高呢是这个点到它的距离，而这个距离就是这两条平行线之间的距离。所以当这个点在这条线上，无论移到哪个位置，它的面积都是不变的， 所以下面我们就可以把它平移到特殊的位置。在平面直角坐标系当中，最特殊的位置当然是在坐标轴上，所以可以平移到外轴上。假设这个点是点 e 吧， 所以三角形 a、 c、 g 的 面积就和三角形 a、 c、 e 的 面积相同了，所以你只需要求出一点坐标来， 因为 a、 c 两点的坐标是已知的，如果知道 e 点坐标，那这个三角形马上它的面积就可以变成以 c e 为底， o a 是 高。所以下面的问题就是求 e 点坐标，因为 e 点是的 j 与 y 轴的交点， 得点坐标是已知的，在第一位已经求过了一逗号二分之九，又因为得这这条线平行于 a、 c 两直线平行，所以它们的 k 值相同 啊，所以求一下 a、 c 的 k 就 可以了。 a、 c 的 k 值，这两个点坐标都有带领序法，求一下它的关系式，或者说这个边与这个边的比值就是它的 k 值。 o c 的 长度是四，而 o、 v 的 长度是二，所以它的 k 值剩下是二， 所以这条直线的 key 就是 二，这条直线就是 y 等于二， x 加 b， 然后把得点的坐标代入，就可以求出 b 来 带进去。二分之九等于二，加上 b， 所以 b 等于二分之五，所以这条直线就是 y 等于二， x 加上二分之五。 一点的纵轴标是二分之五，所以 c、 e 的 长度，这样马上就可以求出来了，这个是四，这个是二分之五，所以这一块长度呢，就是二分之三，二分之三乘以二，再除以二，所以它的三角形的面积就是二分之三。 好，这是第二位的圈一，下面我们再来看一下圈 圈二。新函数的图像与 s 轴相交于点 e 和点 f， 然后连接，如果角 bce 等于角 bcf， 嗯，求新函数表达式， bce 等于 bcf， 这说明这条线就是这个大角的角平行，嗯，这两个角是相等的， 我们还注意到什么呢？还注意到这个 o、 b、 c 这个三角形是一个等腰三角形，等腰直角三角形，所以啊，这个角度四十五度，这个角度也是四十五度的， 嗯，那这个心呢？还是图像啊，因为平移的过程当中，这一点始终落在 d j 这条线上， d j 这条线的关系式我们已经在圈一的时候求过了，就是这个， 这就是这个 dj 的 关系式。所以说呢，这个地方可以设出点 j 的 坐标来，比如说可以设它是 m， 逗号二 m 加上二分之五， 这样这个图像它的关系式就可以写出来，可以用顶点式写出来，因为在平移的过程当中， a 的 值是不变的，形状没有改变，顶点又有了，可以利用顶点式写出它的新的函数的表达式， 嗯，那这个表达式就是 y 等于负的二分之一， x 减去 m 方，再加上二， m 加上二分之五， 这样呢，就相当于只设了一个位置的量， m 就 写出来它表达式，所以还是很很可以的啊，所以下面我们只需要再找一个点的坐标，或者构造一个什么关于 m 的 方程即可。 好，我们再来回到这个条件啊，就是这两个角是相等的，因为这个点 e 和点 f 呢，分别是这个新的二次函数与 x 轴的两个交点坐标 啊，那怎么求这个向量坐标？那就另外等于零减这个一元二次方程一元二次方程两个减啊，所以这个就是那个 x 一， 这个就是 x 二啊， 下面我们再来看这个角平分线怎么应用。这个角一和角二是相等的，而角一和角三的和是四十五度， 然后呢，然后这个角这个角也是四十五度，说明角二和这个角的和也是四十五度。哎，因为这个角是这个三角形的外角， 角一等于角二，角一加角三等于角二加角四，所以这样我们得到一个角三等于角四， 这样我们就得到一个什么呢？叫三点角四，这个角又是个直角公共角，所以可以得到这个三角形和这个三角形是一种相似的关系，对吧？这不一种反 a 形的相似吗？所以实际上就是那个子母形的相似 啊，字母相似，那我们下面就可以列出它的比例式啊， o e， o e 比上 oc 就 等于 oc 比上 off， 而 o e 就是 那个 x 一， oc 的 长度是四， 所以这样 x 一 乘以 x 二等于十六，这样就出现了两根之积， 所以这个题啊，实际上是一定是和韦达定律有关的，因为当我们发现很多问题要用到这个 e 和点 f 的 坐标的时候， 因为点 e 和点 f 的 坐标，它那个横坐标就是那个 y x 方程的两个减，所以就牵扯到两根之和和两根之积的问题啊。因为下面这个 x 加 m 的 方减 m 的 方加上二， m 加二分之五等于零， x 一 x 二，就是这这个方程的两个解， 因为求解很困难，但是两根之和两根之积是可以表达出来的，对吧？啊，因为你只要把它化成一般式就可以了，负的二分之一 s 方减去二 m x 再加 m 方。 啊，整理成这个一个 e x 方程一般式。 哎，到这里我们得出了一个两根之积，那不就可以利用伟大定律了吗？是吧。但是有个问题，我们在用伟大定律的时候，我们常常会忽略一个问题，就是什么问题？ 伟大定律在应用的时候一定要注意检查，就是 der 它的问题啊，因为这个方这个二次函数新的啊， 它与 s 轴有两个不同的交点，所以 delta 一定是带零的。先来求一步 delta， 求一下 m 的 曲率范围， delta 等于 b 方减去四 a c， 嗯，整理一下 m 方，这个是加上二哈，这俩一约是二，再乘进来就是加上负 m 方加四， m 加五 就等于四， m 加五大于零，所以 m 大 于负的四分之五， 这样我就求出了他的呃，第一个 m 的 区域范围，然后下面就可以利用两根之积了，是吧？两根之积等于十六，而两根之积等于的是 a 分 之 c， a 是 负的二分之一， c 是 负的二分之一， m 方加上二 m 再加二分之五，这样两根之积是等于十六的。我们刚才已经求过了啊，所以 剩下的就是减约二次方程化简一下， m 方减去四 m， 然后再减去五等于十六， 十字相乘。拆解它一下， m 一 等于七， m 二等于负三，因为负三呢，比负的四分之五小，所以这个不符合条件，舍掉。 这样我们就求出 m 的 值，然后把 m 的 值代入到原来的关系式中即可 啊，所以它的关键式就是 y 等于负的二分之一， x 减去七的平方，再加上 二七十四，再加二分之五，对吧？嗯，可以最后整理它一下。关键式就是负的二分之一 x 方 加七， x 减八。好了，到这里我们就求出了它的第三位。

哈喽，大家好，我是陈老师，市中区一模刚刚考完结束，我们今天来分析一下这套剧本的一个情况。首先从考察方向以及题型的分布来说，与中考基本一致， 选择的一到八题，填空的十一到十三题，这些属于我们的基础题，一般考察科学计数法、相反数还有概率啊，以及求弧长，求面积这些这些知识点 属于孩子们的必拿分解答题的第二十四题以上属于中档题， 中档题的这次计算量明显是增加的，嗯，稍微有一些扩容，比如十九题三要素的计算啊，这个是能明显感受到的。计算量稍微增加了一些，但是依旧是属于孩子们要拿到的分数。然后我们来看一下这个 压轴题。首先第十题属于一个新定义与二次函数结合的类型，它并不属于一个新的范围，因为在往些年的话，他偶尔也会考到，比如说二五年的这个市中区 以及天桥区的二模啊，分别是考了新定义与二次函数结合，感兴趣的同学可以往前翻一翻啊，去找一下这些题目再去练练。 那他的考察本质基本上还是去看你对二次函数的一个了解，他不属于一个创新，也是属于我们常考的一个类型， 只是说他每次考察的这个新定义会有所不一样，但是本质还是考察对你对二次函数的一个了解。然后实物题的几何小综合问题啊，考察了折叠问题以及十字架模型，还有就是带系数的这种线段的转换求最值问题， 那你需要非常对这个折叠非常熟悉，能够去利用十字架进行这个啊编的一个转换， 以及就是把系数啊转带系数的这种边转化成不带系数的，从而利用两点之间距离最短来去求出最值。问题，最后再去进行一个勾股方程， 像这个十字架啊勾股方程，这是与折叠问题密不可分的啊。这个题考察的还是挺好的，因为它比较综合嘛，考察了好几个知识点，所以感兴趣的同学可以再去 好好的研究一下这个第十五题，第二十三题，他考察了直角三角形以及角平分线， 嗯，在直角三角形，它属于一个基础的类型哈，就是我们能够在课下准备出来，并且在考场上我们能够直接套用的方法啊，如果课下还没有准备好的话，一定要去先复习它，它属于一个比较基础的类型。第三问考察了我们角平分线， 角平分线的一个辅助长做的一个辅助线，那这个第二三问的话，都是需要我们在课下能够积累出来的，然后到考场的话，我们直接去辨别类型去套用就行了。所以第二三问的话，还是相对来说啊，比较好去处理的。嗯， 第二十四题，这个题，二十四题的第二问，他是，呃，属于一个常考的，也是属于一个常考的一个线段问题啊，这像这个类型的话，我都给孩子们讲了三次，至少是三次啊，从这个寒假开始， 我们复习这类题，因为他要化写为止，转化成我们最常考的这种牵扯线的问题。嗯，这个第二问是我们可以提前准备好的一个题目类型，但第三问的话，他就比较复杂了，因为第三问他结合着这个平移， 首先你要对这个直线的平移有所了解，写书新的这个抛物线解析式，并且根据新的抛物线抛物线的这个图像啊，结合题目进行分析， 理清他们的角度关系。那这个题他的难点的话就在于很多同学可能读到这个， 我读到这个题的时候就会有很大的一个为难情绪，因为看着很复杂哈，其实稍微理理的话，他还是能做几步的。这里写这里这个题的话是直接写出， 如果是不是直接写出要求我们写过程的那一类的话，建议同学们，嗯，即使这个题不会做，也要把这个新的抛物线写出来，因为他也至少给一分。 课下可以去好好看一下这个题啊，因为你可以分开去吸收。第一步我们可以吸收一下新的抛物线，就沿着某直线平行，新的抛物线该怎么写。第二步就是看你能不能根据题目给的这些角度问题， 梳理出最简单的这个角度关系，去解决问题啊，看这两方面的一个能力。 第二十五题，第一问就是一个傻瓜式的问题吗？跟着他的思路去走，填空就可以了。第二问需要一点小小的这个， 呃，知识积累，就是三边关系的问题，像这一类型的话，也是频繁给孩子们讲到的，他就是一个方向的话，就是去看到这个问题，方向就是去构造直角三角形， 所以那你构造是有方向，不要不要盲目的去构造啊，盲目的构造你，你就是属于这种，嗯，就是很随机了，稍微你考场能想出来就想出来，想不出来那就得不到这个分了，所以他是一定是有方向的 啊，在这里去构造一个直角三角形，与它三边有关的直角三角形，并且 c f 要作为一个直角三角形的，嗯，直角边啊，有了这些方向之后再去构造是相对来说就简单很多，那第三问稍微有一点复杂， 对孩子们来说稍微有一些吃力。第三问就是一个半角模型，需要去旋转缩缩小相应的倍数构造这种，嗯，全等。 嗯，整个来说的话，这些这些压轴题最后一个几何的综合稍微要偏难一些，对孩子们解决稍微吃力一些啊，以及这个 二次函数的这个第三问，总体在考场这个时间有限的情况下能够解答出来， 对孩子们要求还是比较高的啊。整个这个难度要比历下去一模要难一些，但是又比着这个跟中考也是稍微计算量难一点点啊，但是总体来说的话，嗯， 是符合我们这种，嗯，考试的考察方向以及考试的趋势，再把这个题没有掌握的一定要再去好好看一下。当然这里 呃给同学们的建议还是主抓这个基础和中档题，如果你还没有达到这个一百三十分的同学，先不要去看压轴， 呃，当然压轴你也可以去有选择性的去看啊，比如说第十题的啊，其中圈一、圈二， 圈三，圈一，圈二，嗯，还有就是圈四这些你都可以去研究，对吧？但是如果太难的话，你除非特别感兴趣哈，你现在可以不用把重心放在这里，依旧是把你的基础和中档抓好，只要你的基础和中档抓好，你这个分数肯定不会差的。 三个函数元以及这个数据应用题，看一下还有没有扣分的情况， 还有选择填空，我们最多给两个错误的机会，如果超扣错误超过两个，那你这个分数就很危险了哈。嗯，这里一定要接下来反复反复做你的这些错题，如果涉及到哪一类型 类型的错误，以题行为单位去进行复习，比如说三角函数啊，我现在还有一定的这个错误的可能性，那继续去练你的三角函数把， 尽把这个呃三角函数练透练，会反复反复的做错题，比如说圆，还有些 思路或者过程上的一个问题，对比着答案去照着去一一对比你的过程，把这个过程进行完善，思路赶紧积累积累，这像这些中档题是完全可以通过训练以及做错题来去练出来的。

下面看一下历下一摸的第十题，选择题，亚洲题。这个题目呢，是一个二次函数的图像的问题，说呢，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 中线， 然后呢，这样把三角形 a、 b、 d 沿射线 b、 c 平移， 平移之后呢，这个三角形与三角形 a、 d、 c 重合的部分，也就是这一部分，它的面积是 y， 平移的距离是 x， 得到它的函数图像，如右图所示， 下面有三个，有四个结论，看一下这四个结论当中哪个是正确的。 好了，我们看一下，第一个结论，就是 b、 c 的 长度等于六，因为要关注的是这个函数图像上的特殊点，这个六逗号零有一个点，我们重新画一个图。 好，这样的话，我们把图就画好了，它们重叠的部分就是这部分面，所以我们看一下什么时候重叠的部分是面积为零，就是平移。这个蓝色的三角形 e、 f、 g 平移，平移，看重叠的面积，嗯，还是不小的，开始逐渐变小，变小，哎，逐渐变小，哎，直到平移到这个位置，也就是点 f 和点 c 重合的时候，它的面积就是零， 所以这样呢，我们就马上得到了。嗯， bc 的 长度是六， ad 是 中线，所以这个长度是三，这个长度是三，所以第一问就是正确的，是吧？ 第二问，三角形 abc 的 面积是十，因为下面他给了一个点，这个点就是三的时候，它的重合的部分面积是二分之五， 那三的时候，也就是说当点 f 平移到点 d 的 位置，我们把这个图形给它拉回来，也就是在这里收。 在这之后，重叠的面积呢，正好是这块， 哎，这个三角形，这个线和这个线平行，所以说这个三角形重合的部分和这个大三角形 abc 相似的。相似比是三比六啊，正好这个点是像这条线是中位线，相似比是一比二，面积比就是一比四， 而已知重合的部分是二分之五，所以整个大扇形面积是它的四倍。四乘二分之五，答案就是十，所以这个圈二也是正确的。 下面看圈三五逗号六分之五，五逗号六分之五，也就是平移五个单位。 五单位，我们看啊，拼音五单位的时候呢，我们画一下这个图，应该大体到 这个位置啊，拼音五单位就再拼两个单位，因为这边已经是三了，是吧？所以这里只有一，所以这小块要占他的三分之一，这一块呢，占整个的六分之一。重叠部分就是这这部分， 所以重叠的部分，这个小三角形和大三角形仍然是相似的。三角形 a 型的相似，相似。比一比六，则面积比是一比三十六，所以大三角形乘以三十六分之一，答案应该是十八分之五， 而不是六分之五，所以这个是错的啊。这个面积一看就很小，嗯，一看就很小，嗯，并没有六分之五这么大。嗯， 你别忘了，它在那个三的时候，平移的距离是三的时候，就是刚才我们刚刚做的，在这里的时候，它的面积是二分之五，是吧？这个面积已经变小很多了， 所以这个三是错的，嗯，实际上这个三你可以你也可以估计一下啊，就是在图像也可以估计一下。五在这个位置五对应的 看就是这一小块，这一小块是这块的三分之一吗？不像三分之一是吧？应该比三分之一还要小， 这是第三个啊，我们看一下第四个，第四个，这个是难度最大的一份啊，它的最大值是三分之十，最大值。嗯，那下面我们看一下什么时候能达到最大呢？ 就是这个，大约在我们在拼的时候，你看这个地方这时候还是重合的面积比较大的啊。 嗯，因为这个最大值，我们看到图像大约应该是 在这个位置，是吧？这个位置是达到最大，所以这部分图像呢，是不是非常像的二次函数，是不是像二次函数图像，那就在顶点处取的最大值， 嗯，所以我们猜测它也应该是个二次函数，嗯，猜测它是个二次函数，实际上做一下也是。嗯，为什么呢？题目当中已经设了它是 x， 那 这一小块就是三减 x， 嗯，同理，这一部分也是 x， 而这部分是三减 x， 嗯，因为这部分也是三， 所以这样的话，我们要求重合的阴影部分就是求这一块， 那我们就可以用这个大三角形减去这个小三角形和这个小三角形，而这个大三角形和这个最大这个三角形它的相似的相似比是多少呢？这块是六减 x， 六减 x 比六， 所以面积比就是它的平方，再用十乘以它们的比，就能算出这个面积来，所以可以想象这个总的面积是一个关于 x 的 一个二次的。同理，要减的这小块和这小块 啊，这，因为这一小块这个三角形和这个三角形是相似的。哎，因为这个线和这个线平行 a 型的相似，相似比三减 x 比三， 同理也是一个关于 x 的 二次的，这个也是，所以它是关于 x 的 一个二次的表达式，所以这一部分就是一个二次函数， 这样的话，我们取一个特殊点就能求出它的关系式来，对吧？因为现在已经有两个点了，一个是零度零，一个是三度二分之五，再找一个特殊点就可以了。 所以我们下面可以直接去找个特殊点，比如说这个可以求它平移了一个单位，嗯，我们算一下这个平移一个单位， 如果平移一个单位，那这部分长度就是五个单位，所以先求这个三角形的面积 啊。这个是和大扇形相似，比五比六，则面积比就是二十五比三十六， 然后总面积是十，减去平行一个单位，所以这块长度就是二。同理，这是一，这也是二， 那这个小三角形，小三角形和大三角形和这个是 a 的 相似，它两个之比是二比三，所以面积比是四比九，它就占这个三角形面积的九分之四， 而整个这个三角形 a、 b 的 面积是五，所以五乘以九分之四。 同理，这个小三角形和这个三角形相似，比是二比三，面积比也是四比九，而 a、 c 的 面积也是五，所以它的这块的面积和这块面积相同的乘以二就可以了。 让我们算一下这个数啊。这个是约下分，就是十八分之一百二十五， 减去这个就是九分之四十， 十八分之减去十八分之八十，对吧？就十八分之四十五，算出来约一下分二分之五。所以我们发现当平移的距离是一的时候，它的重合的面积也是二分之五，所以也就是这个点。 到这里我们就知道最大值应该在何处取的。这两个点是关于对揉对称的，因为纵轴标相同，所以最大值一定是在 x 点二处取的，所以把 x 点二带入即可。那把 x 点二带入的时候呢？也就是， 嗯，这个平移的距离是二的时候，算一下就可以了。如果平移的距离是二， 我们稍微再往这平移一下，嗯，差不多在这个位置， 嗯，平移的距离是二，那平移的距离是二，这一小块长度就是一， 然后同理，这一小块也是一，嗯，就用这个三角形的面积减去这个小的和这个小的， 那这个三角形呢？长度，这块长度就是这个长度，就是四，四比六，嗯，所以这个我们标上两个字母吧，哈，这个是 n 点， 这是 p 点吧？ q 点， c p， q 的 面积， c， p， q 的 面积呢？和大三角形 a、 b、 c 的 面积相似，比是四比四、比六，也就是二比三，则面积比是四比九，它占大三角形面积的九分之四， 减去两个小三角形，这个小三角形和这个大三角形仍然是相似的，相似比是一比三， 所以面积比是大三角形面积的九分之一，然后这个同理，所以它的面积是两倍，所以大家就是九分之四十。减去 九分之十，等于九分之三十，就等于三分之十，这样我们就得到了最大值应该是三分之十，所以圈四也是正确的 啊，所以这样呢做呢？呃，比较的简单，用时比较少，所以本题答案是 c。 好 了，这个题目我们分享到这里。

二零二六年山东省统考数学最新样题终于来了，同学们好，今天下午收到了省统考教研室给出的二零二六年最新版的数学统考样题，家有中考生的记得找我领取。 在二零二六年聊城初三中考一模以后，大家一定要明白，精准的努力一定是大于题海战术，不要盲目的去刷题，也别在此刻偏题、怪题、难题，更 更不要随便给孩子抓一套题就让他做，要知道这个时候的孩子的精力和时间都是非常宝贵的，跟着王老师给的省统考样题抓重点，保证质量，高效刷题才是提分关键。从一模到中考，只要方向对，方法对，节奏对，提升三十到五十分是很正常的， 稳稳的跟上省统考的节奏。从一模到中考，王老师会给大家实时整理更新全套各科与省统考调研水平一致的最新复习资料， 全程不需要大家破费。去年一模到二模到中考，我直播间不断有家长反馈，王老师，这些公益资料很有用， 因为每年押题押的特别准啊！我的老粉丝还给我留言说，王老师，我知道你啊，多年都押中押题，这个我在线下讲座的时候讲过啊，王老师在一线耕耘教研十五年，本身师范专业出身，呃，我搞教研的朋友也特别多啊，所以 看到大家对我的团队高度肯定，同时这件事又是我们力所能及的事情，所以我乐此不疲。很多老粉丝这两天都在留言问我说，什么时候有押题呀，什么时候有资料呀，什么时候开直播呀，什么时候有咱们的小组织，那么今天呢，咱们二零二六级的粉丝群就可以从主页进入了，因为 王老师不是专业的自媒体主播啊，所以直播的场次和时间都是有限的，大家一定要进到粉丝群，及时关注我给的资料和直播信息。 王老师每年从这个阶段到中考期间，都会结合省市教研式经验丰富的专家们，不断给大家提供最新的全套资料， 每年大概有二十多场直播，给大家指导报考和分享高校科学备考方法，当然包括精致的押题，无偿助力二零二六年中考学生高校提分。关注王老师，做我的朋友，我宠你！

二零二六历下一摸考试已经过去了，历下一摸的这个数学考试题的难度我们可以怎么来评价它一下呢？整体的难度不是特别大，没有什么偏题和怪题，可以用中规中矩四个字来评价它。 嗯，总体基础题目和中档题目居多。嗯，难题的话呢，我们分析一下它的压轴题就可以 选择题的第十题，这个题目呢，有一定的难度，要读懂题目的意思，然后呢，还需要利用相似和二次函数结合来解决问题。 然后填空题的十五题就是填空题的压轴题，这个题目呢，难度不大，这个题目呢，可以根据它的折叠啊，构造一个全等，就能出现一线三垂直的相似， 然后呢，利用两个一线三垂直就能求解出来。所以这个题啊，嗯，没有什么太大难度。而且他和历下一摸之前刚刚考过去的莱芜一摸填空压轴题非常相像 啊，选择和填空的这两个压轴题呢，他和去年济南中考的选填压轴风格类似，难度接近啊，有点像去年的济南中考。 然后二十四题就是二次函数的那个大题。嗯，第一小问比较简单，求解析顶点坐标，第二问求面积。这个是一个斜三角形斜化值的思路呢，就是利用平线等级变形来解决 啊，这也是比较常规的思路，所以还可以啊，这个第三位稍微有点难度。第三位呢，可以用到相似和伟大定律来解决啊，因为平移函数图像啊，可以利用它的顶点写出顶点式。 然后呢，这个新的函数呢，与二次函数的焦点坐标，那不就是令 y 等于零用二次方程的减吗？所以就能和伟大定律结合起来，这个角度还是比较新颖的，而且呢，伟大定律呢，在北师版的教材当中 是处于比较一个弱的地位，标了新号的啊，在这里呢，用到了伟大定律，所以以后还要重视一下伟大定律，因为伟大定律也是高中常用的工具之一 啊。最后一个亚洲题，二十五题就是几何亚洲题，这个题目呢，前两位都比较简单，第三位呢，稍微有点难度， 但是第三位呢，是一个刮豆原理啊，所以如果掌握的几何模型比较好的同学啊，当然这些同学也比较优秀了，肯定那这一位也能够做出来 啊，这样的话，如果学的好的同学，很有可能能够考到一百四十分以上。嗯啊，因为这个题目总的特别难的，也就是选择题的第十题，还有二次函数的压轴大题的第三小问 啊，就是和伟大经理结合的那个，难度比较大。评论区可以来分享一下你对这道题的看法，以及你能够考到多少分。

济南初三的家长们，二零二六年市中区一模的数学卷呢，新鲜出炉，今天一分钟给您讲透，帮孩子精准抓分！想要电子版的一定是关注私信我，免费发给大家！首先呢，这套卷完全贴合济南本地考生， 选择填空难度适中，基础题占比超百分之六十。孩子只要把计算概念、三式图这些送分题稳稳拿住呢，就能甩开一大截！ 重点来了！今年的压轴题直接拉满区分度！第十题，二次函数新定义第十五题，翻折最值第二十三题，反比例函数综合第二十四题，抛物线平移加角度定值第二十五题，几何旋转判究，全是中考高频压轴题型， 尤其第二十五题，旋转全等模型，直接对标济南中考几何压轴的核心考法。更关键的是，这套试卷呢，融入济南本地元素， 云纹青铜大绕泉水、文创礼盒、无人机表演，完全贴合济南中考命题风格。孩子吃透这套卷呢，就能提前适应中考出题思路。中考一模呢，是查缺补漏的黄金期，千万不要错过！想要了解更多中考政策，记得关注我哦！

各位同学，大家好啊，我是江老师，给大伙讲讲这个二零二六年，这个九年级历城区这个数学一模，这个压轴题啊， 倒数第二个二十四题，这个几何的大压轴啊！好了，废话不多说，直接开始在数学综合实验中，同学们以特殊三角形代替探讨动点背景下的几何问题。研究发现，通过构造全等或相似实现转化。如图， 这个 a b 等于 a c 是 吧？这九十度等二十 m n 分 别是动点不含有断点是吧？来，如图一，如图一，这个 a n 等于这个 c m a n 等于这个 c m 是 吧？将这个 将 m a m a 绕着 m m 是 吧？然后你旋转九十度，这个 m a 这边绕这个旋转了九十度，这俩还相等是吧？相等是吧？让你判断一下这个 m a， m a 和 c d 的 这个数量关系啊，很明显，这不相等，就是这不旋转相等， 这不一开始相等，这不就是相等，所以他俩这不全等了吗？全等之后，这个 m a 和 c 得这不数量是一样的吗？这不数量是一样的吗？对吧？如果问这个数量关系啊，相等完了，这第一位就是送分的，没什么好说的啊。 哎，第二个啊，在疑问的这个条件下是吧？然后你这个做了个 a e 垂直于 m n 垂直是吧？然后连接一下这个 a 得，这个 c 得是吧？判断一下这个 a f c 的 这个形状啊， a f c 的 这个形状是吧？啊？这个题目的第一问，这个边到这个边， 这不是个九十转了个九十了吗？这不等腰值，这不是四十五吗？这也是个等腰值啊，这是题目告诉你的四十五，四十五内错，所以这两个边都已经平行了吗？ 对吧？刚才不是正了吗？这个三角形和这个不全等吗？刚才正了这个，这个角就等于这个角，看到吗？题目告诉你，这不是个九十了吗？ 折加折就是折，加折就是，所以折是个阿尔法吧，这不阿尔法，阿尔法，这不又内错了吗？这一内错，这不这两个边也平行了吗？ 折，平行折，折平行折，这不两组对边分别平行四边形时平行四边形，这不第二轮处理完毕。这个难度系数哪有啊？连辅助线都不需要加，没有难度系数啊。 来，继续这个题目，这个题目 ab 是 个六， ac 是 个六， an 等于三倍的 c m， 所以 这是个小 m， 这不三 m 了吗？对吧？然后呢？ b m 加三分之一，这个 c n， 这不咱上课讲的那个叫逆等线吗？ 这不咱上课讲的那个东西叫逆等线吗？这不是个三 m， 嗯，这个题我真是教，上课都教了，给大家画画啊。那个逆等线，这不三 m， 这不九十，这不六，这不 s e s， 你 看，三 m 九十六，对吧？然后你这个，这不 m 是 三 m， 这不三分之一了吗？这不三分之一了吗？所以这是个 这不是个三分之一啊，这是个九十，对吧？然后你做个九十 s 九十，这不三 m 九十六，这不三分之一，这不九十，这是六 m 变三 m 三分之一了，六变三分之一，这不二吗？ 这不二吗？所以这里做个垂直，这里做个垂直，这个点叫 h 吧。去 c 是 等于二， 再连起这个来，你看，我这里做个垂直，做个平行吧，是吧？然后取个二啊，取个二，这不 m 九十二，这不 m 三 m， 这不一比三，这不二比六，这不一比三。加九十 s a s s a s， 这不， 所以这两个三不相似了吗？随着 c n 的 三分之一不就变成 m h 了吗？ 所以这不就是 b m 加这个 m h 吗？ b m 加这个 m h b m here， b m here m h， 这不 here， 对 不对？要像它俩夹合最小两点之间，这不线段最短吗？ 对吧？然后求的话，这不四十五，九十。上课教，这不横平竖直，这不四十五，这是二，这不根二，这不根二六六，这不六根二，这，这不是个七根二吗？七根二的方。 十七七四十九，四十九，再乘个二。哎，八，这不九十八，加这个二根二方，这个二，这不一百吗？这不一百。拆完了方之后，这不是个十吗？ 这个最小值，这不是个十吗？这不一个逆等线，这不一八就出来了吗？难度系数，反正上课讲了啊。上课我讲讲逆等线的时候，当然做的题比这个复杂多了啊。这个题我觉着没什么难度啊。

看一下二零二六式中一模的第十五题，也就是填空题的压轴题。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 是 六， bc 是 八，点 e 和点 f 呢，是分别落在 bc 和 ad 上，将四边形折叠， e f 是 折痕点 b 恰好折在 c、 d 上，对应点是点 j， 点 a 是 对应点是点 h， 下面连接 b h， 求当它最小的 时候。这个看着好像是很唬人的啊，实际上我们稍作调整就可以是吧。 这个呢，我们常见的方法就是啊，提取这个系数三，那就是 b h 加上三分之四倍的 e f 啊，然后原来是要求 e f 的 三分之四倍，然后呢，因为折叠点 b 和点 j 是， 嗯，对称点，连接一下 b j， 对称点的连线总是会被对称轴垂直平分，所以这个地方是垂直的。这样在这个矩形当中啊， e f 和 b j 就是 互相垂直 哎，所以这出现了矩形当中的十字架啊，根据十字架模型的结论，也就是 这两个边的比值啊， e f 比上 b j 就 等于矩形的宽和长之比，等于六比八，所以它两个之比恰好是三比四的关系啊。要想证明这个结论也很好，正，对吧，就正这个三角形和这个三角形相似即可 啊，直角都有，然后很容易能乘出这个角和这个角相等来，所以这两个算式相似，就能得到刚才的比值关系。所以 b j 是 e f 的 三分之四倍，因为 b j 是 四份， e f 是 三份， 所以马上这个地方三分之四 e f 就 换成了 b j， 这样我们就实现了第一步转化啊，所以这样就变成了求 bh 加 bj， 取它们的和的最小值的时候， 现在要想求这两个和最小值，现在 b 是 定点， g 和 h 两个是动点，所以这时候还是还是不是很完美，嗯，因为我们常见的是应该 b 是 动点和 jh 是 定点才可以。 所以下面我们要继续进行下一步转化，看一下这个 bh 这条边还能不能找到和它相等的边。这样我们来看一下这个折叠的图形，就是这个图形， 这个图形实际上是一个轴对称图形，对称轴就是 e f， 对 吧？这两边这个图形完全相同的，而 bh 就是对线轴的一侧一个点与对线轴的另外一个点连接了，所以我们马上找到 h 的 对应点， h 的 对应点就是点 a， 而 b 点的对应点就是点 j 啊，所以连接 a j， 那 a j 这条线一定是和 b j 相等的，所以这样的话， b h 我 们就进一步转化，转化成了 a j， 所以 这样就变成了三倍的 b h 转化成了 a j， 求 a j 加 b j 和最小时 a j 和 b j 和最小 a 点定点， b 点定点，这点在 cd 上运动。哎，变成了我们最为熟悉的将军印码问题，将军印码做对称连接即可。 嗯， c d 就是 那条河，对吧？可以做 b 点关于这条河的对称点， b 点做对称， 然后这个是 b 撇连接 b 撇 a 啊，这时候河最小，此时 g 点在这儿，嗯，这样的话， 然后下面再来求一下 f g 的 长度就可以了，因为在折叠过程中， f g 是 和这个相等的，嗯，所以可以设它是 x， 这个也是 x 啊，这个边的长度，这样我们就能求出来 这个小三角形和最大的三角形相似，这个长度和这个长度相等，所以它比它就是一比二，所以这个就是这个的一半，所以这个长度就是三。 这样设这个是 x 之后这个也是 x， 这个长度是八减 x， 所以 勾股方程即可。三的方加上八减 x 的 方等于 x 方减一下方程九加上六十四，减去十六 x， 所以 x 应该等于十六分之七十三，这样我们就求出了 f g 的 长度。 好在这个题目当中，这个一个梯形折叠啊，这个图形是一个非常常见的，所以它关于 e f 对 称， 所以这个 b h 的 长度转化就是基于它的对称，这是一个经常用到的技巧。 好了这个题目，这样我们就分享到这里。

各位同学，大家好啊，我是江老师，给大伙讲讲这个二零二六年，这个九年级历城区这个数学一模，这个压轴题啊， 倒数第二个二十四题，这个几何的大压轴啊！好了，废话不多说，直接开始在数学综合实验中，同学们以特殊三角形代替探讨动点背景下的几何问题。研究发现，通过构造全等或相似实现转化。如图， 这个 a b 等于 a c 是 吧？这九十度等二十 m n 分 别是动点不含有断点是吧？来，如图一，如图一，这个 a n 等于这个 c m a n 等于这个 c m 是 吧？将这个 将 m a m a 绕着 m m 是 吧？然后你旋转九十度，这个 m a 这边绕这个旋转了九十度，这俩还相等是吧？相等是吧？让你判断一下这个 m a， m a 和 c d 的 这个数量关系啊，很明显，这不相等，就是这不旋转相等， 这不一开始相等，这不就是相等，所以他俩这不全等了吗？全等之后，这个 m a 和 c 得这不数量是一样的吗？这不数量是一样的吗？对吧？如果问这个数量关系啊，相等完了，这第一位就是送分的，没什么好说的啊。 哎，第二个啊，在疑问的这个条件下是吧？然后你这个做了个 a e 垂直于 m n 垂直是吧？然后连接一下这个 a 得，这个 c 得是吧？判断一下这个 a f c 的 这个形状啊， a f c 的 这个形状是吧？啊？这个题目的第一问，这个边到这个边， 这不是个九十转了个九十了吗？这不等腰值，这不是四十五吗？这也是个等腰值啊，这是题目告诉你的四十五，四十五内错，所以这两个边都已经平行了吗？ 对吧？刚才不是正了吗？这个三角形和这个不全等吗？刚才正了这个，这个角就等于这个角，看到吗？题目告诉你，这不是个九十了吗？ 折加折就是折，加折就是，所以折是个阿尔法吧，这不阿尔法，阿尔法，这不又内错了吗？这一内错，这不这两个边也平行了吗？ 折，平行折，折平行折，这不两组对边分别平行四边形时平行四边形，这不第二轮处理完毕。这个难度系数哪有啊？连辅助线都不需要加，没有难度系数啊。 来，继续这个题目，这个题目 ab 是 个六， ac 是 个六， an 等于三倍的 c m， 所以 这是个小 m， 这不三 m 了吗？对吧？然后呢？ b m 加三分之一，这个 c n， 这不咱上课讲的那个叫逆等线吗？ 这不咱上课讲的那个东西叫逆等线吗？这不是个三 m， 嗯，这个题我真是教，上课都教了，给大家画画啊。那个逆等线，这不三 m， 这不九十，这不六，这不 s e s， 你 看，三 m 九十六，对吧？然后你这个，这不 m 是 三 m， 这不三分之一了吗？这不三分之一了吗？所以这是个 这不是个三分之一啊，这是个九十，对吧？然后你做个九十 s 九十，这不三 m 九十六，这不三分之一，这不九十，这是六 m 变三 m 三分之一了，六变三分之一，这不二吗？ 这不二吗？所以这里做个垂直，这里做个垂直，这个点叫 h 吧。去 c 是 等于二， 再连起这个来，你看，我这里做个垂直，做个平行吧，是吧？然后取个二啊，取个二，这不 m 九十二，这不 m 三 m， 这不一比三，这不二比六，这不一比三。加九十 s a s s a s， 这不， 所以这两个三不相似了吗？随着 c n 的 三分之一不就变成 m h 了吗？ 所以这不就是 b m 加这个 m h 吗？ b m 加这个 m h b m here， b m here m h， 这不 here， 对 不对？要像它俩夹合最小两点之间，这不线段最短吗？ 对吧？然后求的话，这不四十五，九十。上课教，这不横平竖直，这不四十五，这是二，这不根二，这不根二六六，这不六根二，这，这不是个七根二吗？七根二的方。 十七七四十九，四十九，再乘个二。哎，八，这不九十八，加这个二根二方，这个二，这不一百吗？这不一百。拆完了方之后，这不是个十吗？ 这个最小值，这不是个十吗？这不一个逆等线，这不一八就出来了吗？难度系数，反正上课讲了啊。上课我讲讲逆等线的时候，当然做的题比这个复杂多了啊。这个题我觉着没什么难度啊。

看一下二零二六市中一摸的第九题 啊，选择题的倒数第二个。这个题呢，现在也有点难度，我们看一下这个题目，哼，嗯，第一个做图，很明显就是做角平稳线啊，所以这两个角是相等， 然后做完了之后呢，下面第二个作图呢，就是做 a e 的 垂直平分线，所以这条线实际上是 a e 的 垂直平分线，已知的条件呢，这个长度是三，然后 bc 的 长度是六，求这个 e f 的 长度。 垂直平分线。垂直平分线的性质告诉我们，垂直平分线上点 f 到线段，两个端点距离相等，肯定是 a 点和 e 点啊，所以连接一下 a f， 这样的话，这条线段 a f 就 等于这个我们要求的这个 e f， 所以 这样和我们的已知条件呢，联系就比较密切。 好，那说明这就是一个等腰三角形，等腰三角形，它们的两个底角是相等的，这两个角相等，嗯，这个角和这个角也相等，那设这个角是 alpha 吧， 那这个角就相当于是设它是 beta， 那 这个角也是 alpha 加 beta， 所以当我们发现这个角是 alpha 加 beta 之后呢，马上就看到了，这个角实际上是这个三角形的一个外角，从而说明这个角的度数就是 beta。 这样呢，到这里得到这个角是 beta， 因为这个角也是 beta， 所以 我们发现，哦，这个角等于这个角，公共角是这个，那这个三角形就和这个大三角形相似，子母形的相似， 所以 c f 比上 af 就 等于 af 比上 bf 交叉相乘， af 的 平方等于 af 乘以 bf， 公共边的平方等于公共角的另外两条加边的乘积， 所以 af 就是 我们要求的，所以 f 平方就等于三乘以九，所以 x 就 等于三根三这样这个题目大家就选 b 这个题目。这种方法呢？实际上，嗯对不止一次的出现过了已经啊角平分线和垂直平分线结合，嗯，来推了一个反 a 的 相似 好看一下。还有没有什么其他的方法可以把你的方法打在评论区。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，给大家伙讲讲这个二零二六年历城区这个九年级数学这个一模二的考试啊，讲讲亚洲这个最后一个二次函数的亚洲大题二十五题啊。好了，废话不想多说，直接进题，干 这个洞洞，负一零三零带进去，这不一 b 出来了吗？带进去，这个解析式，这不第一问就出来了，是吧？这个答案是 y 等于 x 方减二， x 减三，这个第一问就处理完毕了啊。来，我把这个第二问图拆一下啊， 在第二问，第一个啊，得是这个直线 bc 下方的个动点，是吧？然后 a 是 个负一，这不 b 是 个三，这不 c 是 个负三。这个解析式 y 方减二， x 减三啊，然后呢，得是连接这个 ac 和这个 c， 得啊，点 c 上当得 cb 啊，得 cb 等于 acb 时啊，连一下子吧， acb。 来吧，先找这个 a c 一 至 a c b a c b 啊， a c b， 这个三三，这个四十五度，这是二法，所以这个角是个四十五加二法，看到吗？我再找个得 c b 嘛，我随便找个得啊，找个得， 我简单连一下啊，这个得得 c b 也是四十五加二法，所以你只需要横平竖直嘛， 做个平行的话，这不四十五内错，所以这就是四十五了，这就是二号了，看到吗？很明显这个点，这是个 a b c d e 吧，这个一点， 这个对称轴是个一啊，对称轴是个一啊，所以这个，这不平行了吗？对称轴是个一，这不一一，所以这个点是个二动复三，二动复三，看到吗？然后呢？咱只是需要过这个一，做个垂直，做个垂直和它延长一下。 这个点是个 h 吧，因为这个角，这是个一，这个三，它碳是个三，碳经它二法，这不是个三之一吗？所以这个碳是三之一啊，很明显，这一块是个二啊， 这一块是个二，看到吗？这是二，所以这个不就是三分之二吗？这不就是三分之二了吗？所以这个 a 十点的坐标是二度，看见了没？这一块是三，再加三点二，三加三点二，这是三分之九， 三分之二是三，负的三分之十一，三十一，懂了吗？然后这个点知道，这个 c 点知道这个解析式出来了，这个解析式和这个一连力， 这个这个叫什么来得点不就求出来了吗？啊，这个得点，但是三分之五倒伏的九分之三十二啊，数不是很正，没办法啊，思路还是比较简单的。第二问，思路处理完毕啊，数字一算啊， 来第三位啊，来最后一位啊，舍得在那横。坐标是个二， m 过得做 x 轴的这个垂线啊，垂线找个得啊，过得做 x 轴这个垂线，垂线这个角这个直线 y 等于这个 m， x 加 m， 是 吧？提出 m 来是 x 加一， b 过 b 过负一零啊， b 过负一零啊，负一零，然后呢，这个负一零正好这个 a， 这不是负一零吗？随便划一下子啊，随便划一下子。 这个图，咱先简单的画个这个草图啊，简单的画个草图，这不得啊，这不得。然后交这个点是个 e， 是 吧？ e， 当这个线段得一的长度，得一的这个长度随 m 增大而减小的时候， 求这个 m 的 这个曲值范围啊，曲值范围啊。好了，首先人家前面说了，首先人家前面， 嗯说过得是 b c 下方的这个点， b c 的 下方就这一块里面的啊，所以这个 d 的 横坐标要在零三之间，因为 c 是 横，是零吗？ b 是 个三，所以这个首先有一个二 m 横坐标在这个 b c 的 下方，是吧？零三之间，随二 m 要大于零小于三，所以 m 要大于零小于二分之三，这是一个 题目给的一个默认的条件啊，这是个默认的条件啊，这个得点的这个坐标是二 m 逗，带进去 y 等于 x 方减 x 减三，是吧？横坐标带这个二 m， 他 这不就是二 m 的 括号的方减二乘二 m 的 减三吗？所以这个坐标就是个四 m 方减四 m 减三， 这个得你们说的啊，这个一点是二 m 兜带进去带二 m x 带二 m， 二 m 乘 m， 这是个 二 m 方加上这个 m， 是 吧？然后这个得一，这个长度很明显，这个得一，这个长度上减下吗？二 m 方减这个四 m 方，它是个 嗯，负二 m 方，是吧？ m 减负，它就是个正，这个五 m， 然后呢？零减负三，这就是个加三，这个加三啊。哎，这个式子配方 我就不太不推大推了啊。对方就是 m 减这个四分之五的平方，加上这个八分之这个四十九，这个洞洞啊，这个洞洞他是这个他朝下的对称轴是个四分之五啊，四分之五 不是那个 y 吗？这不是那个 y 吗？是吧？这边，这边，这不 y 随 i 增大而减小吗？他要求随 m 的 增大而减小吗？随 m 的 增大而减小 四分之五的右边，这不随它增大而减小吗？随这个 m 得大于等于四分之五，这边呢？这边，这不， 这不这个 y， 所以 他从哪减小了吗？是吧？所以这个他打一擦啊，同时还得满足这个式子吗？所以答案是 m 大 于等于四分之五，小于二分之三是吧？ 我觉得不去这个顶点也可以啊。你这个顶点不去这里没有，这里没有这个灯号我觉得应该也也没毛病啊，大家说也没毛病，所以这里取不去灯不行，他就咱啊。好了，这个题目处理完毕啊。