高数导数小报怎么写

单身会死啊， 不结婚会被判刑啊。这个社会对我的歧视已经够深了，你不去质问这个世界，还跟他们一起来歧视我啊。人是要死的，人会老的，人老了以后他找对象会更困难。 不结婚会被判刑啊，这个社会对我的歧视已经够深了，你不去质问这个世界，还跟他们一起来歧视我啊。人是要死的，人会老的，人老了以后他找对象会更困难。

大家好，这里是陈洛安我们，嗯，我今天想要分享的是关于导数微分积分的一些理解和分享。首先我们先看导数的定义，因为我是想要把它们三个给串起来，所以首先先看导数的定义， 导数的定义，然后它有 data s 去领 data y 比 data x， 然后然后它是， 然后我们就以最简单的这个函数，然后它是连续的，没有间断点的这种情况来看，然后它是 delta y 是 一个函数，这两点的函数就在 x 右边走一个 delta x 的 时候，这个增量 f x 加上 delta x 减去 f x， 它是等于 delta y， 然后用这个 delta y 比上这个 delta x， 就是 我们的导数定义，这是我们的导数定义。 然后我们先看，再来看微圆，微圆我们给了一个式子是单调 y 等于 d y 加上 over 的 单调 x， 我 们从图上可以看看出来这个单调 y 是 等于， 因为，呃，这个是它的切线，就是说这个 d y 就是 这一点，切线的这个走当当从 x 走了一个单调 x 的 增量时候，这个 d y 是 它的一个 切线的一个这个增量，然后然后，然后上面这一小点是 open data x， 因为它是高阶 x 的 高阶无穷小，所以我们可以把它忽略掉，那么也就可以说微分，它是 微分，它是这个微分，它是微分，它是导数的线形近似，然后然后我们再再来看定积分这里， 嗯，然后这样我们就得到 d y 等于这个 f x 片，它不是是切线吗？切线乘以 d x， 这，这就是切线斜对吗？它的物理意义是切线斜对，那么就可以得到这个式子，然后对这个式子进行 d 积分，然后我们就得到 得到它就是真的函数值的一个，嗯，真的 f x， 它的一个呃 增量变化量，所以我们就得到定积分，他是对这个函数，呃最终到到结尾的这个这个变化量，然后我们从定积分再引出来这个不定积分，不定积分他是等于定积分， 就是变积分上限函数加上一个 c， 如果已知，呃，已知这个是他的一个变化量的总和的话，那么这个 c 是 什么呢？这个显然可以知道我们这个我们这个积分的意义就是从他到他的一个从起点到， 从我们这个定积分的基点到这个终点，它这个变化量的差值就是得它 y 的 差值，那么这个 c 是 什么？这个 c 显然可知它是，它是这个起点，就是如果你的你的这个元函数，它的起点不是在零，它是在这里 进行变化，那么加 c 弦就可以对它进行上下平移，就得到我们想要的函数，显然可知其他函数是从原函数经过上下平移得到的，因此这个就是我的理解。

好，同学们，大家好，今天我们来看一下这个导数的概念。那在讲这个导数的概念之前呢？我们先通过一个函数的函数图像去分析一下导数概念的一个基本的理解方式啊。 比方说这地方我给出一个函数的函数图像，假设它是 f x， 我 在这地方随便取一个点 x 零吧， x 零。好，这时候在 x 轴上产生了一个增量， 这个增量我们给它记作得它 x， 那 么这一个点所对应的横坐标就可以表示成 x 零，加上得它 x， 所以 在 x 轴上所产生的这一个增量，我们用得它 x 对 它进行表示。 那么在外 e 轴上所产生的增量呢？如果是 x 零，它所对应的函数值就是 f x 零，在 x 零加上的它 x 零处， 这个地方所对应的函数值是 f x 零加上得它 x。 好， 这个时候我们就能得到中间这一段，就是我们在外一轴所产生的一个增量，我们给它记作得它外， 所以这个时候 y 轴上所产生的增量的它 y 就 可以给它表示成 f x 零，加上的它 x， 再减去 f x 零，这是 y 轴所产生的一个增量。好，接下来我们去看一个东西啊，我们就去看的它 y 比上得它 x， 那 得它 y 比上得它 x， 其实就是 f x 零加上得它 x， 再减去 f x 零比上得它 x， 这是得它 y 与得它 x 所对应到的一个比值。我们接着往下面看，这个得它 x 是 一个增量。 那如果说我这个 dx 在 无限的趋近于零的情况下，我们这一个 dx y 比上 dx， 它对应的是如何进行变化的？好，当 dx 无限的趋近于零，也得表明右边的这个点向 x 零无限靠近，那我上面这个函数值肯定呢，也是向 f x 零无限的进行一个靠近， 所以我们可以把它看成是一个极限，利用极限去对它进行计算，也就是 limit 得它 x， 在 趋近于零的时候， 得它 y 比上得它 x， 就 可以表示成 limit 得它 x 趋近于零， f x 零加上得它 x， 减去 f x 零比上 得它 x， 就 可以进行这样子的一个表示。好，如果说这个的值，它的极限值存在， 它的极限值存在，我们就称，我们就称 f x 在 x 零处是可导的，那么这个就是导数的概念。所以谁是导数？ 这个极限值就是我们要去计算的一个导数，那我们简单的去总结一下它的一个呃，概念啊， 我们假设一个函数 f x 在 这个 x 零的附近是有定义的啊， 如果说我们 x 零在趋向变换成 x 零加上得它 x 的 时候， 这个时候我们一定就能得到我们的 delta y， 它就是等于 f x 零加上 delta x 减去 f x 零的。好，这个时候若 极限值就是 delta x 趋近于零时候，所对应到的 delta y 比上 delta x 的 极限值， 那这个极限值还可以表示成 limit 得它 x 趋近于零， f x 零加上得它 x 减去 f x 零比上得它 x。 若这个极限值存在， 我们就称 f x 在 x 零处可导，在 x 零处可导。那否则啊，如果极限值不存在的话， 也就表明它是不可导的，所以这个就是我们导数所对应的一个很基本的一个概念， 也就是导数的定义，所以这两个其实就是我们导数的基本定义式，那这个地方我们要注意几个细节啊，注意几个细节，第一个对它进行几点说明， 第一个我们这个地方 给导数的概念做了一个详细的说明，也就是极限值，就是我们的导数如何去对它进行表示的，我们就会直接给它记作 f 一 撇 x 零，就这地方打一撇 f 一 撇 x 零，就是等于 limit 得它 x 趋近于零的时候， f x 零，加上得它 x， 减去 f x 零，比上 得它 x， 这是对它定义的一个基本表示的一个方式。好，那我在这个地方对它再进行一个转化，如何去对它进行转化呢？比方说我令 x 就 等于 x 零，加上得它 x， 对 它进行这样一个变换，那我得它 x 趋近于零啊，也就表明在这个定义当中， 我对它进行改写，我这个 x 零就是趋 x 就是 趋近于 x 零的。那我后面这个式就可以改写成 f x 减去 f x 零，比上下面这个得它 x， 就 可以给它写成 x 减去 x 零。那么这个也是导数的一个很重要的一个定义式啊，我们也需要去给大家掌握住的好。第二个起结的点 导数我们一般分为左导和右导，那左导数也就是 f 一 撇，在下面写一个符号啊， x 零， 它就等于 limit 得它 x 趋向于零负，也就是 f x 零，加上得它 x， 减去 f x 零， 除以得它 x， 这是它所对应的一个左导数。那如果用下面写的这个定义式去表示的话，也就是 limit x 趋向于 x 零负， f x 减去 f x 零， 比上 x 减去 x 零。同理啊，右导数我们就直接写了啊，也就是 limit 得它 x 趋向于零正 f x 零，加上得它 x 减去 f x 零，比上 得它 x， 也就是 limit x 趋向于 x 零正 f x 减去 f x 零，除以 x 减 x 零，这是我们要去说明的第二个点，那么第三个点是非常重要的一个点， 我们刚刚讲了乘 f x 在 x 零处可导，我们如何去说明函数在某一个点处可导，这就是它的关键点，也就是如果说 f x 在 x 零处 可导，它的充分必要条件其实就是什么，就是它的左导 和它的右导都存在，并且左导 还要等于右导，这是说明函数在某点处导数存在的一个重要的一个方式啊，那么第四个点， 这个点有点提前了，但是我们也给他说一下这个点，就说明了我们用定义。我们都知道导数求导后面会有很多的公式， 那有些地方用公式可能用不了，所以就给他提前进行一下说明，就是什么样子的呢？以下情形 需要用定义进行求导，那到底是哪几种情形呢？第一种， 求分段函数 在分段点处 的导数，这个时候是必须得用导数的定义去对它进行求导。那第二种，求一些具体 函数，求一些具体函数的导函数 在不易求的情况下，我们也考虑用定义去对它进行求导。啊， 不易求，呃，注意一个点吧，不易求的话，我们求它在某一个细节的点改成，但求 f 一 撇 x 零，这个时候可以选择用定义去对它进行求解。好，第三种 就是抽象函数求导， 因为这个时候没有具体的关系式给到我们，所以抽象函数求导我们也会用导数的定义去对它进行求解。好，那这就是我们导数整个基本的一个概念啊，我们今天就讲到这，点赞关注，带你解锁更多数学知识点。

这个书啊，通解高等数学啊，这个书呢，挺不容易的，这个书是用这个 map 软件把里边的图呢一张一张的画出来的，然后里边的话，嗯，专题呢，是有十五个专题，嗯， 三角函数与反三角函数极限的定义，两个重要极限无穷小的比较啊，函数简单点，零点存在定理，导数与微分中之定理与泰勒定理，导数的应用，定积分，定积分的应用空间解析几何啊，包含这个平面和这个平面，然后呢有这个多元函数的微分的这部分的这个图呢，就是我们同学对一元的图 呢，相对来说见的比较多啊，那么多元啊，这个微分法的这个极限，呃，连续和偏导啊，这个地方啊，就是大家见的很少，这部分画图呢，很困难，非常非常困难，因为这个，这个这个多元，这个空间这个图啊，很难画，所以这里面呢，选了一些比较典型的这个图。 然后呢多元的微分啊，有这个方向导数，这个和这个偏和梯度这一部分，因为大家对于方向导数和梯度啊这两个概念啊，大家就是其实啊不太理解啊，所以就把它呢都用图的方式来给大家展现了。然后最后一部分是这个二重积分啊，和这个三重积分啊，二重积分的计算啊，还有三重积分啊，举了几个例子，这样的话，整数呢，就是全是以这个 图的形式来给大家展示哈，相对来说还是比较这个有意思的。这本书包含比方说等价无中小的这个啊，定义啊，为什么是等价无中小啊，所以我们就想用图的这个方式啊，来给大家来讲解哈，这个上下册都包括了啊，这本书不是很厚啊，是一百好像 一百三十四页，这本书不是很厚呃，一本小书搭配了这个一个小本子啊，这个这个，还有我头像的这个， 这个叫做逢考必过的这么一个空白的作题本啊，空白的作题本，教大家用这个本啊，写写笔记啊，做做题什么的，这个本质量还挺好的。还挺好的，就是这个书和这个小本本，这个专升本的同学，包含这个考研的同学呢，这个做成一个 科普的书，大家呢就是用这本书来掌握这些基本的定义，基本的概念，大概是这样的一个定位，不管是专升本的小伙伴还是考研的小伙伴都可以用啊，都可以用哈。

每日一题，今天我们练多元函数的方向导数计算，给大家五秒钟的时间思考一下， 现在开始上课看题目。我们要先设一个 f x， y z 等于 x 的 平方加 y 的 平方加 z 的 平方减一一个函数，然后我们通过对 f x， f， y， f， z 求导，我们就可以等于 f x 求导等于二 x， f y 求导等于二 y， f z 求导就会等于二 z。 所以 我们在球面 x 零 y 零， z 零的方向向量方向向量，我们就可以取得 二 x 零。逗号二 y 零，逗号二 z 零。接下来我们就要求它的方向余选那扩散压了法，我们就会等于 x 零，然后根号下 x 零的平方加上 y 零的平方加上 z 零的平方。 cosine 北塔就会等于 y 零的平方。比上 x 零的平方加上 y 零的平方加上 z 零的平方的根号， 然后 cosine 伽马的平方就可等于 z 零的平方比上根号下 x 零的平方加上 y 零的平方加上 z 零的平方。又因为这三个式子它都会等于一，所以我们求出来 它的方向导数就会等于它们分别带进去，然后加上这个 cosine alfa， cosine beta， cosine gamma 的 值，带进去我们就可以得到 x 零加上 y 零，加上 z 零。然后再是根号下的 x 零的平方加上 y 零的平方加上 z 零的平方。最后得出来答案就是 x 零加上 y 零加上 z 零， 然后这个题目就完成了，这个就是函数 u 在 该点 the y 法线方向的方向导数。然后谢谢大家，今天的学习就到这里，我们明天再见。

年年考，那有时候考小题，有时候还考大题。二零二二年数学二在考题，已知 f 在 e 的 点可导，并且这个极限等于二，求它，大家注意，只告诉 e 的 点可导要求这个极限。那么往往是要用定义，但是用定义呢，你首先会写定义啊，有同学说这个定义谁不会写，我也会写 啊，那一种就这样写， x 去向一，那这是 f x 减 f 一 除以 x 减一。还有一种写法是谁啊？那实际上就是这地方呢，就是 f 一 加 delta x 减 f 的 一除以谁 delta x， 那 么这呢，是 delta x 去向零， 两种形式，用谁方便，你就用谁，但是呢，这两种形式，你不管用谁，它都牵扯到谁。 f 一。 好，你看这两种方法，不管哪一种方法，都会牵扯到 f 一。 所以我们得知道 f 一 是谁等于什么，从哪里？从这倒看上，从在分子下零，分子一定小于零，由于这点可导，在这点连续这个极限就等于谁 f 一 啊，后面呢，减三倍的 f 一 啊，那这就等于负二倍 f 一， 负二倍 f 一 等于零，那我首先就得到 f 一 等于零。 为什么要知道 f 一 等于零？因为你要凑导数定律，你不管凑这个凑，它都得用到 f 一， 那我现在这两项都是一临近的点，我当然要给它减 f 一， 好在 f 一 等于零， 但是呢，你这个时候是凑这个定义，还是凑这个定义，这也是有讲究的，所以你看，我们给他减一个 f 一， 给他减一个 f 一， 注意他和他都是一临近的点， 但是呢，你注意这个是不是更适合凑上面这个，那么这个呢，是一加上一个曲线，你更适合凑这个 啊，那就清楚了，那你这是 x， 这是一，我这就得 x 减一。你这是 e x 方，这是一，我下面就得 e x 方减一啊，你这个就是代替了我那个地方的得它，我下面就得散映平方呀，那咋办？除乘啊，所以常规的方法或者就除一个它，乘一个它， 然后呢，这个地方呢？我为了凑他，我也除一个他，我也乘一个他。那么大家注意，这就是导数定义的形式，这就是这个形式，这个呢也是导数定义的形式，这是这个形式。好在这个后面极限一，这个极限也是一， 那么所以呢，你看，我们就得到 f 一 撇一减三倍， f 一 撇一，那就等于负二倍， f 一 撇一等于二，那 f 一 撇一就等于负一。注意，这是十分就拿到了呀， 这就是按照定义来做，但是我们还希望大家不但能够这样做，而且希望你上了考场以后比别人做的快。 那怎么做的快？哎，那大家注意啊，你看，那我们在这凑，为了凑定义，我们希望下面是这个，但是他原来是这个，所以我们习惯常规的传统做法除尘 能不能做的简单一点，我说你根本不用除乘这个，我说这个东西是不等价于 e x 方减一啊，等价代换啊，我把这个东西就等价代换成这个东西。哎，你看这是 x 平方，你希望是它，那你还除这个吗？除乘吗？不用啊，这个等价于谁？赛引方，直接等价代换换成赛引方。 这就叫学活数学，学懂数学，学活数学，不用同除同乘了，等价代换一换就换成你想要的形式，这不是做的更简单吗？ 这题还有没有别的方法？有，也可以用谁？泰勒，你看同样道理，有题是可以知道这个。然后呢？我知道你说 e 的 可倒，我可以写出 e 的 e 节。泰勒 为什么要写这个？因为把这的 x 分 别换成这两个，用泰勒公式带进去，照样可以做这个题目。所以后面的高阶无穷小我没有写，因为它不影响这个极限。 然后完了以后呢？你看这是个常数，这是个常数。这个东西除平方是一，这个东西除平方是一，那不是就是 f 一 撇一，减三倍， f 一 撇一。然后呢？这个时候照样就可以做出来。这是二零二二年数学二十分的大题。

好，同学们，大家好，今天我们来看导数的几个意义。首先我们看一个很基本的函数的函数图像， 这地方我任意给出一个函数的函数图像，假设是这样，这是 y， 等于 f x。 好， 我随意的找一条线， 这样找一条线从中间给它穿过去，那么这条线我们一般会称为是这一条曲线的割线啊，这条曲线的割线好，这时候我在中间任意找点，这个点 假设对应的横坐标是 x 零，那么到了这个位置，到了这个位置在 x 纸上发生了改变，我们记它的改变量为得它 x， 那 这个点就是 x 零，加上得它 x。 好， 这时候我们把它中间这一部分看成是一个三角形，这一部分看成是一个三角形， 这个时候我们知道这一条边它所对应的边长其实就是得它 x， 那 这一条边所对应的边长就是得它 y， 那 么这条割线它的倾斜角 是多少？这个就是它的倾斜角，所以我们显而易见的能得到一个关系，这条割线的倾斜角的正切值就是得它 y， 比上得它 x。 那么在中学阶段我们就已经学过啊，倾斜角的正切值其实表示的是所对应的一个斜率，所以这个也就可以用来表示 这条割线所对应的一个斜率。好，接着对它进行一个变化，我们考虑当的它 x 无限地趋近于零，如果的它 x 趋近于零，是不是表明 右边这一个点是无限的？向左边这一个点靠近，靠近，靠近到最极限的情况是什么？靠近到最极限的情况是不是从 x 零这个点给它切过去了，所以我们就能得到 导数的几何意义，实质就是什么？就是切线的斜率，那么切线的斜率是如何去表示的？也就是 在得它 x 趋近于零的时候，得它 y 与得它 x 所对应的一个比值， 而这个其实又是谁？这个就是我们的导数，也就是 f 一 撇 x 零，所以从这个地方就得到了导数的几何意义，其实就是谁就是切线的斜率。所以这地方用文字语言给它描述出来一个函数， f x 在 某一个点 x 零处的导数， 在 x 零处的导数 f 一 撇 x 零的 f 一 撇 x 零，在几何上表示曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零处的切线斜率， 那么这个就是我们导数所对应的一个几何意义。好，从这个地方我们就去说明它的几个点，第一个 我们的切线斜率实质就是谁，就是导数在就是函数在某点处所对应的一个导数，那么第二个我们就会去得到一个方程，叫切线方程。切线方程我们也是用中学阶段所学过的点斜式方程去对它进行表示，也就是 y 减去 f x 零，应该等于它的斜率，也就是 f 一 撇 x 零，乘上 x 减去 x 零。第三个就是法线方程， 那我们知道法线其实就是与切线进行的一个垂直，那这个垂直在中学阶段也斜过啊， 也就表明法线的斜率与切线的斜率相乘起来是应该等于负一，所以我们就能得到法线的斜率其实就是负的，切线的斜率分之一，也就等于负的 f 一 撇 x 零分之一， 所以这个法线方程就可以给它表示成 y 减去 f x 零，等于负的 f 一 撇 x 零分之一，再乘上 x 减去 x 零，那么这个其实就是导数的几何意义的一个主要应用。好我们今天关于导数几何意义的概念就讲到这个地方，点赞关注，带你解锁更多数学知识点！

好，同学们，大家好，今天我们来看导数的几个意义。首先我们看一个很基本的函数的函数图像， 这地方我任意给出一个函数的函数图像，假设是这样，这是 y， 等于 f x。 好， 我随意地找一条线， 这样找一条线从中间给它穿过去，那么这条线我们一般会称为是这一条曲线的割线。啊，这条曲线的割线好，这时候我在中间任意找点，这个点 假设对应的横坐标是 x 零，那么到了这个位置，到了这个位置在 x 纸上发生了改变，我们记它的改变量为得它 x， 那 这个点就是 x 零，加上得它 x。 好， 这时候我们把它中间这一部分看成是一个三角形，这一部分看成是一个三角形。 这个时候我们知道这一条边它所对应的边长其实就是得它 x， 那 这一条边所对应的边长就是得它 y， 那 么这条割线它的倾斜角 是多少？这个就是它的倾斜角。所以我们显而易见的能得到一个关系，这条割线的倾斜角的正切值就是得它 y， 比上得它 x。 那么在中学阶段我们就已经学过啊，倾斜角的正切值其实表示的是所对应的一个斜率，所以这个也就可以用来表示 这条割线所对应的一个斜率。好，接着对它进行一个变化，我们考虑当的它 x 无限地趋近于零，如果的它 x 趋近于零，是不是表明 右边这一个点是无限的？向左边这一个点靠近，靠近，靠近到最极限的情况是什么？靠近到最极限的情况是不是从 x 零这个点给它切过去了，所以我们就能得到 导数的几何意义，实质就是什么？就是切线的斜率，那么切线的斜率是如何去表示的？也就是 在得它 x 趋近于零的时候，得它 y 与得它 x 所对应的一个比值， 而这个其实又是谁？这个就是我们的导数，也就是 f 一 撇 x 零，所以从这个地方就得到了导数的几何意义，其实就是谁就是切线的斜率。所以这地方用文字语言给它描述出来一个函数， f x 在 某一个点 x 零处的导数， 在 x 零处的导数 f 一 撇 x 零的 f 一 撇 x 零，在几何上表示曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零处的切线斜率， 那么这个就是我们导数所对应的一个几何意义。好，从这个地方我们就去说明它的几个点，第一个 我们的切线斜率实质就是谁，就是导数在就是函数在某点处所对应的一个导数，那么第二个我们就会去得到一个方程，叫切线方程。切线方程我们也是用中学阶段所学过的点斜式方程去对它进行表示，也就是 y 减去 f x 零，应该等于它的斜率，也就是 f 一 撇 x 零，乘上 x 减去 x 零。第三个就是法线方程， 那我们知道法线其实就是与切线进行的一个垂直，那这个垂直在中学阶段也斜过啊， 也就表明法线的斜率与切线的斜率相乘起来是应该等于负一，所以我们就能得到法线的斜率其实就是负的，切线的斜率分之一，也就等于负的 f 一 撇 x 零分之一， 所以这个法线方程就可以给它表示成 y 减去 f x 零，等于负的 f 一 撇 x 零分之一，再乘上 x 减去 x 零，那么这个其实就是导数的几何意义的一个主要应用。好我们今天关于导数几何意义的概念就讲到这个地方，点赞关注，带你解锁更多数学知识点！

这种题是已知 s 零点可导，利用导数定义求极限的问题。好，记住下面这个公式，这种题可以描解，但前提必须知道的是 s 零这点的导数值是存在的。 接下来我们就利用这个公式进行我们秒杀，只需要找到 alpha 和 beta。 第一个 alpha 是 一， beta 是 负一，所以 alpha 减 beta 是 二分之二倍的 f 导 x， 零等于的是四。 第二个题里边，阿尔法是三，贝塔呢是五，阿尔法减贝塔呢是负二，那你是负二倍的 f 到 x， 零。哎。 f 到 s， 零呢是二，那是负四。再来第三个， 阿尔法呢是负一，后面没写，你可以给它补充上，相当于是加零倍的 h， 所以 贝塔呢，等于的是零。那阿尔法减贝塔呢，也是负一，那就是负的 f 到 s， 零等于的是负二。 第三个前面只有 s 零，没有 h， 那 也是对，刚才一样可以补充上加零倍的 h， 所以 alpha 呢，等于是零， beta 呢，等于的是负一。 alpha 零减负一是一，也就是 f 到 x， 零等于的是二。

你是不是也这样，翻开高数书就头大？极限、导数、维积分字都认识，连起来就是看不懂。其实不是你不聪明，是教材太抽象了。今天推荐这本宋浩主编的图解高等数学，它的特别之处就是用图说话。极限是什么？一张图让你看清逼境的过程 中直定律讲不明白，配上几何示意，瞬间通透。还有函数间断点、泰勒公式、空间解析几何。所有高数里的重点难点，全部用图解的方式拆解的明明白白。这本书不对公式，而是帮你建立直观理解。就像有人在黑板上一边画一边讲给你听，学起来自然轻松很多。 无论你是期末突击的本科生，还是想补基础的考研党，这本辅助用书都能帮你把抽象的高数变成能看懂的图。数学不可怕，怕的是没用对方法，带你读好书，看透人生。

渐近线我们就可以把图形画的准确一些，当然这个地方说的确定函数的特殊点，实际上就是指的跟坐标轴的一些交点，这些特殊点有了以后，然后再根据前面的增减性、凹凸性图形就可以画的更准确。 这个里边的其他内容都是我们这个地方仔细讲过的，但是有一个内容就渐近线，我们在这个地方得专门讲一下。 就关于这个渐近线呢，数学上严格的定义是什么，那他应该是这样来定义的，就是说给了一个曲线，这个 y 等于 f x， 什么叫做渐近线？ 这是 y 等于 f x， 它是这样定义，如果说有那么一条直线，这个是 y 等于 a， x 加 b， 那当取线上这个洞点啊，这是取线上一个洞点，沿着曲线如果去向无穷远处的时候，假如说取线上这个洞点到这个定直线的距离地去向零， 这个时候就称这个直线，就这个曲线的一个渐近线。如果这个直线呢？它是一条水平直线， 那我们就叫做水平渐近线。如果这个直线是一条垂直 x 轴的直线，我们就叫垂直渐近线，或者是牵垂渐近线。如果它是一条斜的矩形，斜的一条直线，我们就叫斜渐线。 如何来确定这个渐近线呢？那就是根据个定义，我们最后可以得到这样的结论，那就是要确定这个水平渐近线，这就叫无穷。 如果 f x 有 极限 a， 或者这个单侧 x 趋向负无穷，有极限 a， 或者 x 趋向正无穷，有极限 a， 总之这三个只要有一个存在，那它就有水平渐近线， y 等于 a， 这就是看有没有水平渐近线，主要看 f， x 在 x 趋向无穷，会不会有有限的极限。 第二种渐近线呢？就叫垂直渐近线，是要看 x 趋向是谁啊？ x 零，如果 x 趋向 x 零的时候， f 趋向是谁？无穷， 那么这个时候呢？它就有垂直渐近线。 x 等于 x 零叫有限，点上极限是无穷，那么这个时候 x 等于 x 零，这是垂直 x 轴的一条线，它就它的一条垂直渐近线。 然后呢，有没有斜渐近线，是要看 x 趋向无穷， f 除以 x， 要看两个极限，一个是 f 除以 x， 这个要等于 a， 同时还要要求 f 减 a， x 这个极限要等于 b。 如果这两个极限都存在，一个是 a， 一个是 b， 那 它就有斜渐近线。这就是关于三种渐近线，水平垂直斜有没有，如果有，怎么来确定？下面呢？我们举个例子。

第二个一个曲线切线的斜率，朋友们，谁是切线的斜率？ 导数的几何意义？是不是就是切线的斜率啊？说白了就是给他求导，哎，来外撇等于 三分之一 x 三次方求导是三 x 方加上六， x 求导就是六加一，求导就是零，该约分约分。 外撇等于 x 方加六。好，那么切线的斜率就是把这个切点带入到我们的导数中，对吧？把这个切点 零一带入到导数中，结果应该 x 是 零，带入进去结果就是六，所以切线的斜率就是六。好，深入的来讨论一下，朋友们讲题吗？讲题吗？切线方程怎么写？ y 减 y 零等于一个 k 倍的 x 减 x 零，这个是我们的切点，这个是我们的斜率，这是切线方程。好，再来问一下发线方程怎么写？ 两者都一样，唯一的区别就是斜率相乘等于负一，所以说发现的斜率为负的六分之一。哎，自己去简化一下就好了。好吧，好，这是我们的第二个比较简单。

关于求导数的有理有算法则，那我们知道我们的前提条件是 u 和 v， 如果知道函数都可导， 那我们就得到谁，它们的和差，它们的乘积都可导，并且和差的导数就等于导数的和差乘积导数不等于导数，乘积它等于 u 一 撇， v 加 u， v 一 撇上来只要分不等于零， 就是两个可导函数，分母不等于零，商一定可导，但是商的导数也不等于导数的商更复杂，等于 v 方分子 u 一 撇， v 借 u v 一 撇。 那么大家注意，这个和差即商。四个公式里边最简单的是和差，因为和差导数等于导数和差，但是乘积导数不等于导数，乘积商的导数也不等于导数的商， 比较麻烦。哎，那我们就想，那如果你是乘法求倒或者除法求倒，按照这个就比较麻烦呀。但是和差简单啊，乘除能不能变成和差呢？ 我们知道一取对数，它能把乘法变成加法，它能把除法变成减法呀。 所以为什么要讲以对数求导法就是对数可以把乘除变加减，它求导数就变简单了呀。好，有的用算解决，下面呢，再解决复合函数求导。 那么大家对对这样一个复合函数导数，我们有什么解的？如果 f 和 u 讲的通俗点，就内层外层都可导，复合就可导， 因为它一复合以后是 x 函数，在这个导数等于谁列导法就等于外对中间变成 u 的 导数，乘上 u 对 x 的 导数，那就等于外层导数。 f 一 变， u 乘内层的导数， 这就叫复合函数列导法就是内外层都可导，复合函数导数等于外层导数乘上内层的导数。 好了，有理用算复合已解决，前面出的基本出的函数又解决，那么这样子所有出等函数倒数都解决了， 但是呢，注意，出等函数是由五类基本出的函数经过加、减、乘除和复合所得到。还有一个要求，能用 一个解析式来表示。那我们碰到的函数是不是都能用解析式表示呢？我们说未必啊。