甘肃中考三角函数专题必刷题2026
朋友们大家好，今天我们来看下面这道题，他说 d 为 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 中点将三角形 a、 b、 d 沿 b、 d 翻折至三角形 e、 b、 d。 若 c、 e 比上 b、 d 等于三比四，让我们求弹琴的 a， 那 这个题可以从哪里出发呢？我们可以从这个翻折，即中点出发。 首先，因为翻折，也就是这个角 a、 d、 b 必然等于我们的角 b、 d、 e。 那为了方便我们导角，我们设这个角 b、 d、 c。 哎，就这个角，它为阿尔法，那么这个角 a、 d、 b， 它必然就是一百八十度减去阿尔法，当然了，也等于我们的角 b、 d、 e。 那我们设了角 b、 d、 c 等于阿尔法，所以呢，自然就能够得到这个角 g、 d、 e， 它就是一百八十度减去阿尔法，再减阿尔法，也就是一百八十度减去两倍的阿尔法。 那因为翻折的关系， a、 d 必然等于 d、 e， 而 d 点又是中点，所以呢， a、 d 又等于 c、 d。 所以 这个三角形 c、 d、 e， 它本身就是一个等腰三角形，它的顶角是一百八十度减去两倍的 r 法，所以这两个底角都是 r 法， 那这有 r 法，这有 r 法，这是内错角，所以就得到了一个 b、 d， 它呢平行于 c、 e。 而题目当中又告诉我们， c、 e 比上 b、 d 等于三比四，而要求的呢，是角 a 的 正切值，那也就意味着我们需要把 ac 和 bc 给表示出来， 题目当中没有给任何的数据，哎，我们通过 c、 e 比 b、 d 等于三比四，哎， 又通过平行能够知道，这一组三角形，它八字形相似 c、 f 比上 d、 f 必然也是三比四。那我们不妨呢设 c、 f， 它呢等于三 a， 那 么这个 d、 f， 它就是四 a， 那 整个的 c、 d 就是 七 a， 那 ac 呢？就是十四 a， 我们只需要再想办法把 b、 c 给表示出来就可以了。那 b、 c 怎么表示呢？现在我们知道这一组八字形相似， 它们的相似比是三比四，也就是这个 e、 f 比上 b、 f 等于三比四。考虑到 c 点处有个直角，所以我们再构造一组八字形，相似过 e 点做 a、 c 的 垂线， 让这个 e、 g 呢垂直于 a、 c， 那 又出来一对八字形相似，他们的相似比依然是三比四，那也就是说这个 g、 f 他 比上我们的 c、 f， 他 就等于三比四。 g、 f 的 长度不知道，但是 c、 f 的 长度我们是知道的，它不就是我们刚才射出来的三 a 吗？所以现在我们就得到了 g、 f 的 长度，它是多少呢？就是四分之九 a， 而我们整个的 d、 f 是 四 a， 所以呢，进一步可以得到 d、 g 的 长度就是四 a， 减去四分之九 a， 它呢就是四分之七 a， 它是四分之七 a。 得到这个能有什么用呢？因为我们是知道 d、 e 的 哎， d、 e 它不就是等于 c， d 也是等于七 a 的 吗？所以在这个三角形 d、 e、 g 当中，我们用勾股定律就可以求出来我们的 e、 g， 哎， e、 g 可求，那求出来 e、 g 以后，我们知道这个 e、 g， 它比上 bc， 它也是等于三比四的。那这儿把 e、 c、 e、 g 一 旦求出来带进去就得到了 bc 的 长度。 那 a、 c 呢？我们已经求完了，它是十四 a， 这样呢，就可以把它的角 a 的 正切值求出来了。
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02:21查看AI文稿AI文稿三角公式不用死背，今天我们带来的是一道三角函数问题，我们先一起来读题。已知 f x 图像过零，根号三，说 f x 在 零到 pi 上尤其仅有两个零点为 omega 的 一个最值情况， 我们把这个点给它代入根号三等于二倍的 sine， 也就是 sine 等于二分之根号三。又因为 f 呢，题目中已经说了在九十到一百八之间，所以说 f 只能取一百二等于三分之二 pi。 此时 f x 的 解析式就变成了二倍的 sine， omega， x 加上一个三分之二派，我们让 t 等于 omega， x 加上一个三分之二派，此时 t 的 范围 x 是 在零到派， t 的 范围应该是在三分之二派到 omega 派加三分之二派， 我们这个图像就转换成了 f t 等于二倍的三 t 的 一个图像，我们去画一下它的整体的一个趋势， 这是派，这是二派，这是三派。三分之二派从这开始起步，他要想有两个零点，只能是派和二派，也就是我们需要控制 omega 派加三分之派，那加三分之二派，它得在二分之派和三派之间，并且三派是能取到的，因为三派取到，这是取不到的，根本上还是取不到。我们给它解一下， 三分之四派小于 omega， 派小于等于三分之七派。 omega 是 大于三分之四，小于等于三分之七的，所以他应该是没有最小值，有最大值，最大值是三分之七，应该选 c 选项。 好，今天的分享到此结束。
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05:34查看AI文稿AI文稿好，今天我们继续聚焦初中数学第十章锐角三角形中的第二节，即直角三角形。这一部分是中考数学的重头戏，大概分值会占到百分之五到百分之八，既有两到三分的选择填空， 还有四到七分的解答。而且呢，解答呢，常常要结合仰角、俯角、坡度、方位角等实际的场景命题啊，这是我们必须吃透的中档题的核心考点。好，我们先看一下基本的概念。 解直角三角形的过程呢，就是由已知元素求未知元素的过程，就像解密一样，只要掌握了已知的条件，就能一步步算出未知的边和角。 那么解谜的钥匙是什么呢？就是直角三角形中的边角关系。在直角三角形中，角 c 等于九十度。这三种关系呢，必须烂熟于心啊！一个呢，是勾股定律，是 a 方加 b 方等于 c 方， 然后角的关系是角 a 加角 b 等于九十度，它边角的关系 a 等于 c 分 之 a。 口三 a 等于 c 分 之 b。 探查， a 等于 b 分 之 a， 这是连接边角的关键，也是解直角三角形中的核心公式。解直角三角形只有两种基本的类型啊，一呢，是已知一边一角，二是呢，已知两边所有的题目不管多复杂，都是这两种类型的变形。 另外，中考中常考的实际的应用，这几个概念必须要分清，阳角、辅角，阳角是往上看的角， 辅角呢是往下看的角。那坡角，坡角是坡面与水平面的夹角 or 法？ 坡度坡面垂直高度与水平宽度的比， i 等于 l 分 之 h 等于它的 r 法它方位角啊，比如说西偏南三十度， 那就要准确的在图中找出对应的这个角度，那在直角三角形中呢的解法啊，我知道了基础的概念，接下来就是怎么去解了， 那么下面呢，给大家梳理一下啊，清洗的一个解体的步骤啊，如已知两边啊，利用 a 方加 b 方等于 c 方，求第三边。那首先利用边角关系啊，求求出一角， 利用角 e 加角 b 等于九十度，然后再求另一角。第二种情况，如果已知一边一角，那先利用角 e 加角 b 等于九十度，先求的另外一个角，然后呢再利用边角关系，然后求出其他的两边， 或者说也可以求一边，以后利用 a 方加 b 方等于 c 方，然后呢来求第三边边角关系的应用。而如果已知两边呢，求另一边，那就直接 a 方加 b 方等于 c 方， 你知道一角求另一角呢？角 a 加角变成九十度啊，边角关系，两边可求角 一边，一角呢，可以求另一边啊，这是另边角关系，那他在其他图形中的应用，比如他可以用来计算多边形的面积，还可以解斜三角形，就是通过做高啊，把斜三角形构造成两个直角三角形， 还可以解决复杂的多变性计算的问题，中考的实际的应用题啊，常考这些场景，坡度坡角的问题，方位角的问题，仰角俯角的有关的问题 啊，其实还有航海工程建设方案决策类等的一些开放性的问题，但是不管场景怎么变，核心呢，都是要构造直角三角形，利用边角关系来进行纠解， 好避开误区啊，我们精准提分，我们要啊，要避开几个常见的学习的误区啊。第一个呢，找不准边角的关系，比如把三 a e 勾三 a e 搞混了， 或者说并错了直角边和斜边。解决变解决的办法是先标清直角三角形的直角、已知边和角，再对照定义写公式。第二个呢，是构造图形错误， 比如解决实际问题的时候，画出了仰角、俯角，或者说坡度的垂直高度和水平宽度搞反了，那这时候画画图的时候一定用不同的符号来标注已知条件啊，对照概念进行进行检查。 最后呢，就是概念混淆，把阳角、辅角、坡度、坡角、方位角的描述搞混了，同时要多结合画图来理解。另外，做辅助线是解复杂问题的关键，核心的思想是由已知和未知选辅助线构造直角三角形的条件， 比如遇到了斜三角形，那就做高，把它分成两个直角三角形。如果遇到多边形呢，那就是找直角做垂线，把位置边转化到 直角三角形的里边。总之，解直角三角形呢，看似是复杂，实际上呢，万变不离其宗啊，主要就抓住呢，勾股定律，锐角互余，还有三角函数这三个核心。
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03:04查看AI文稿AI文稿来看昨天的每日一题，这是一道三角函数题，来看题干条件，给出了 f x 的 表达式是二倍的三，也 omega x 加上 y， 中间给了我们很多的限制条件。 最后他问我们 f x 在 六分之派到 c 塔上恰有两个零点，让我们去求 c 塔的取值范围。 我们来看最后题干中问的信息是 theta， 那 我们就需要根据中间的这些信息去求得 omega 和 phi， 也就是求得 f x 的 函数表来式。 我们一点点来分析。首先根据 x 一 x 二是 f x 等于二倍的三引 omega x 加上 phi 等于根号二的解，那我们就知道三引 omega x 一 加上 phi 等于二分之根号二。三引 omega x 二加上 phi 也等于二分之根号二。 我们把括号里面的东西看成一个整体，也就是 sin t 一 等于二分之根号二， sin t 二等于二分之根号二。根据正弦函数的图像特点，我们就知道 t 一 和 t 二分别等于四分之派加上二 k 一 派，或者是四分之三派加上二 k 二派。 那么根据题干 x 一 减去 x 二，它的绝对值的最小值是四分之派。我们先把 x 一 减 x 二的绝对值的最小值用欧米伽和 t 表示出来，它就是欧米伽分之一 t 一 减派减去 t 二减派，它的绝对值的最小值。 那么要想让它取得最小，也就是 k 一 和 k 二需要取，等把这串式子消掉，只剩下二分之派， 也就是二分之派。乘以欧米伽分之一等于四分之派，我们就能解出来欧米伽等于二，现在只差一个未知量 f， 那 我们还知道 f x 向左平移六分之派个单位长度之后，得到 g x 来看， g x 的 表达式就是 f x 加上六分之派，因为左加右减， 它等于二倍的 sin。 二 x 加上三分之 pi 加 f， 它是一个偶函数，也就是说它可以写成 cosine 二 x。 因为 cosine x 是 偶函数， 所以三分之 pi 加上 pi， 它就等于二分之 pi 加上 k， pi 就 等于六分之 pi。 由于 pi 的 绝对值要小于二分之 pi， 所以 k 只能取零， pi 就 等于六分之 pi， 所以 f x 等于二倍的 cosine 二 x 加上六分之 pi。 现在 f x 在 六分之派到 c 叉上恰有两个零点， x 是 属于六分之派到 c 叉的。二 x 加上六分之派，属于二分之派到二 c 叉加上六分之派来看，正弦函数的图像 恰有两个零点，也就是说只能有两个零点，不能够再多，也不能够再少。所以二 c 叉加上六分之派在二派和三派之间， 那么它能够在三派处取等。如果在二派处取等时，那么这个零点是不可以取到的，也就是二 c 塔加上六分之派严格大于二派，小于等于三派。 最后解的 c 塔大于十二分之十一派，小于等于十二分之十七派。这个题考验了我们三角函数的图像性质，大家需要好好理解。
108吃鱼就吐泡
01:55查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我，持续更新锐角三角函数解体方法。四、等角代化求锐角三角函数值的方法 当所求角所在的直角三角形的边长不确定，或者所求角位于非直角三角形中，可通过几何性质，例如全等相似或圆直角定力及其推论的进行等角代化，把它转换为相等的角。 因此求等角的三角函数值就可以得到所求角的三角函数值。例如如图所示，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 垂直于 ab 与 d， 已知 a、 c 及 ab 则算以角 a、 c、 d 的 指引号 b 二，如图，圆 o 是 三角形 a、 b、 c 的 外接圆 a、 d 是 圆 o 的 直径，圆 o 的 半径为二分之三， a、 c 等于二，求三与 b 的 值。好，我们看一下解的方法。 b 一 解一只角 a、 c、 d 等于角 b。 所以 借用 side 角啊， a、 c、 d 就 等于 side， b 就 等于 a、 c 比上 a、 b 就 等于三分之根号。 等我相似，转化为等角。例，二解，我们可以连接 c、 d， 由于角 b 与角 a、 d、 c 是 同一个弧，所对应的圆周角它们是相等的，又 a、 d 是 圆 o 的 直径，所以它所对应的圆周角 a、 c、 d 等于九十度。那么在 it 三角形 a、 d、 c 中， sin 角 a、 d、 c 就 等于 a、 c 比上 ad 就 等于二，比上三，所以最终的结果 sin b 为三分之二。这个是利用了圆周角定力。是啊！
50哨子老师
07:19查看AI文稿AI文稿初中数学几何板块核心内容，锐角三角函数，那作为中考的高频的考点，这一部分知识大概占分八到十二分，希望能通过今天的学习，让大家能够吃透用好这一部分知识。 那为什么要学习锐角三角函数那在我们的生活里面，我们经常会遇到这样的问题，那想知道教学楼的高度有多高，却没有办法直接爬上去测量，那想知道河对岸的这是个距离，却不能直接跨过去度量。 而锐角三角函数呢，就是解决这类不可及不可测的问题的一个数学工具。 从中考的角度来说，他既会以选择填空的形式考察基础的概念，也会在解答题中结合解直角三角形、 坡度测量、航海测距等实际的场景，出题必须掌握的核心的考点。好，我们看一下基本的概念。 首先呢，我们要牢牢的抓住锐角三角函数的定义，他所有的性质公式都源于定义好，这是他的根本。 在直角三角形中，角 c 等于九十度啊，我们把锐角 a 的 三角函数定义为正弦啊，他是对边比斜边，即三 a 等于 a 比 c 啊。大家可以记住，正对斜，正是正弦，对是对边，斜是斜边，余弦 口三 a， 它是临边对斜边。记口三， a 等于 b 除以 c。 记住啊，余临斜，余是余弦，临是临边， 斜是斜边。好，正切正切呢，是正对零啊，记着，正对零，它是正切，是对边比零边。 那鱼切呢？鱼切是零边比对边，既可摊上 a 等于 b 除以 a， 记住鱼鳞。对啊，鱼切等于零边对对边。 这有个关键的提醒啊，这边的对应关系啊，绝对是不能错的啊，对边邻边都是相对锐角 a 来说的，斜边呢，永远是最长的那一条啊，如果记错了，那后面的所有的计算都会出错， 这也是很多人容易踩坑的一个地方。知道了定义，我们再来树立一下核心的性质，这些规律呢，能帮助我们快速的解析。第一个呢是取值范围，锐角 a 是 大于零， 小于九十度，那三角函数表示范围是三， a 是 大于零，小于一。 cosine a 啊，是大于零，小于一。 tanthan a 是 大于零， cosine cosine a 也是大于零的， 那增减性那进入了趋势，那比较大小。 sin a 和 tanta a 都随着 a 的 增大而增大，随着 a 的 减小而减小。 cosine a 和 cotanta a 都随着角 a 的 增大而减小，随着它们的减小而增大。同一锐角 a 的 三角函数的关系， 第一个呢是平方的关系啊，三 a 的 平方加口三 a 的 平方等于一。第二个呢是商数关系，即摊着它 a， 它等于要三 a 除以口三 a， 倒数关系，就是摊着它 a 乘以口摊着 a 等于一。那互余两角之间的函数关系呢，就是三 a 等于口三英九十度减 a， 口三 a 等于三英九十度减 a， tan tan 等于可得 tan， 九十度减 a， 可得 tan tan 等于 tan tan 九十度减 a。 那 对于一些特殊的三角函数值，我们需要准确的记忆啊，三十度，四十五度，六十度，这都是必考的。一些特殊的角，那这些特特殊的三角函数值，他也需要把它记住，在这儿也就不一一的去念了。 如果遇到三角函数的代数式化简，我们优先呢，使用平方的方法啊，商数关系降次，然后呢，再化同， 比如化解一减三 a 的 平方，那就直接利用平方关系转化成口三 a 的 平方。如果已知探塔 a 等于二，那可以求三 a 除以口三 a， 那 就直接用商数关系知道结果，那就是二。 但比较大小同名的函数就看单调性异名的函数就需要先通过互余的关系换为同名 啊。比如说我们要比较三四十度和口三五十五度，那我们先把口三五十五度换成三三十五度，然后呢，再来比较三四十度和三三十五度啊，就能快速的得出结果， 好回归本质，规避误区。最后我们总结一下核心的要点，那定义是根本所有的性质和公式都源于直角三角形中的边的比值，理解为 对边、斜边邻边的对应关系啊，这就抓住了。核心公式呢，是工具，有平方关系， 商数关系，还有互余关系。那记忆呢？像这个三十度、四十五度或六十度的正欲悬的，它分母多少？二，那它的分子呢，分别是根一，根二，根三 啊，余弦呢，是根三，根二，根一就是二分之根一二二分之根一就是二分之一哈，二分之根二，二分之根三，那正切余切他的分母都是三，他的分子呢？分别是啊， 根三、根九和根号像二十七啊，他余弦就根号二十七，根九和根三，这样。 因为三 a 大 于零小于一，口三 a 也是大于零小于一啊，那我们就转化一下啊，三 a 等于口三角九十度减 a 啊，因为三 a 在 零到九十度，它随着角度的增大而增大，所以它单调性易增的， 我们可以这样利用这个性质来比较大小。那我们要规避到学习的误区，就三角函数的定义中没有注意到边和边的对应关系出错了。第二个呢，特殊角的值记错了，这个比较悲催啊，余弦正弦的互换关系记错了 啊，这都是对于基本概念的一些误读哈，所以我们要把基本的概念把它牢牢的记住啊，解析呢，就会又快又准。
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07:17查看AI文稿AI文稿接下来给大家讲一个初三的相，三角形综合啊！我们看这个题，如图， r、 d。 三角形 a、 b、 c 中呢角 a， c、 d 是 九十度， d 是 斜边 a、 b 上的一个中点， e 是 b、 c 上的一个动点啊 a、 e 与 c、 d 交于点 f， 并且什么 a、 c 的 平方等于 c、 e 乘 cd。 好， 第一个问，让你什么？让你求什么？求角？ afc 的 度数，这种给你什么乘一的形式， 那肯定是把它转化成什么？转化成比的形式，那这个 a、 c 的 平方等于 c、 e， 那 我们就把它转化成什么？ a， c 除除以 c， e 等于什么？ c， d， c， e 还有 c d， a， c 这两个是不是还有个这两个边？什么还有个公共角呀？这四角边啊，公共角 a， c、 d 啊，我们就可以写成角 a， c、 d 等于角 a， c、 d 等于角什么？ e c a， e c a 所以 我们可以得出哪两个三角形相似啊？三角形 a、 c、 d 相似于三角形 b， c， a 啊 b， c， a 好， 得出三角形相似，那我们还有什么呀？得出相似就有对应角相等啊，那我们这个角， 这个角和这个角相等，再加上我们 d 点是什么？ d 点是 ab 的 中点，我们可以得出 a、 d 和 c、 d 相等，那这个角， 哎，这个，那这个角和这个角就相等，它加它等于九十度，那它加它是不是也是九十度啊？所以这个角就九十度，所以这个角 a、 f、 c 就是 九十度啊！ 好，第一个问出来了，大家看我们下一个题连接 b、 f 已知点 e、 e 又是什么？ bc 的 中点，若 ac 等于四，那你求 b、 f 的 长度，我们先根据这个 a、 c 的 平方等于 c、 e 乘 cd， 那我们就可以什么？我们设 c e 等于 d e 也就等于 x， 那 么这个 cd 就 等于二 x， cd 就 等于二 x， 我 们再用这个 式子给它这个式子看一下， ac 是 四，那四的平方就等于二 x 的 平方，我们可以得出 x 等于二倍根号二，所以我们 cd 就 等于多少 cd 就 等于四倍根号二。 c b 出来了， c e 也出来，那我们这个 a e 多少呀？ a e， 也就是哥鼓励你算一下啊，四平方加上这个是二倍根号二，这也是二倍根号二，那这个就是 四平方加二倍根号的平方等于多少？二倍根号六，这个 a a e 等于二倍根号六。还有呢？这个 a b a b， 它等于四倍根号三啊， a b 等于四倍根号三。 让你求的是 b f， 我 们 b f 怎么来呀？我们通过你看，这里面有垂直了，这是我们看着左边这部分，这是不是一个直角三角形？这是斜边上的高呀。那这里面就出现什么三角形相似呢？用哪个三角形？ a c e 三角形 a c e， 它是相似于三角形 a c e， 这个是 cfe cfe。 那 我们可以得出什么？得出对应边乘比例啊？那就是我们要用什么？用 a e a e 比上 c e 等于我们这个 c e 比上哪个比？ e f 等于 c e 比上 e f， 而我们这个 c e 是 不是和 b e 相等啊？我们把这 c e 换成 b e 啊。再看一下， a e 比上 b e 等于 b e 比上 e f。 哎， b e e f a e b e， 这四角边是不是又有一个公共角呀？这个角看这个角， 那这可以得出什么？得出两个三角形相似了啊？对应边乘比例，并且这两个这这两组对应边的中间的夹角相等，我们可以得出三角形 a、 e、 d 相似于三角形，这角向你就不写啊。 b e、 f， 那我们就可以看到 b f， 那 我们就是 ab 斜边这个最长的边， ab 比上 b f 等于我们哪个呀？等于 ab 比 b f 等于 a， e 比 b e， 我 们这个 b、 f 就 可以求出来了。往里面带， ab 是 四倍根号三， 就是四倍根号三，比上 b f 等于 a， e 是 二倍根号六，比上二倍根号二，所以我们求出 b f 等于多少呀？ b f 等于就是八倍根号六，除以二倍根号六等于四，哎， b f 等于四啊，这是第一种方法，我们通过相似进行转化，求出这个 b f 等于四，他没有做辅助线，是不是？再看我们还可以什么做辅助线构造直角三角形来 看着啊。我们要求 b f， 那 我们是不是以 b f 作为一个斜边来做垂直这样，这是通常常用的方法，我们这个通过三角函数，我们把 c f 求出来，这做一个假设，这个是点是 m 点， c f 求出来，我用再用三角函数，我们把这个 fm 求出来， fm 求出来，这个 e m 也能求出来了， 那这个 bm 出来了， fm 出来了，那通过什么勾五厘米把这个 bf 求出来，它也是四啊，这是第一种方法，这是第二种方法了，第一种方法就是不做那个。再看我们看这个什么中点，中点强调什么呀？背长中线法，我们把这个延长 做垂直，看见没有？这是直角，这是相等，这是相等的啊，我们可以得出什么三角形啊？三角形 c、 f， e 和这个，这个是 m b n e 这两个全等，全等之后我们可以得出什么这条边和这条边相等，这条边呢和这条边又相等， 我们再用三角函数，我们把这个什么 e f 求出来， c f 求出来，这比较好算的啊， e f 和 c f 算出来之后，那我们这个 f n 是 不是等于两倍的 e f 啊？而这个 b n 又等于 c f， 再用勾股定，你算一下这个还是四啊。好，今天题讲到这了，我们这题用什么？ 就是第二个小问，用了三种方法，大家可以自己去这两个生活真相里面，大家可以自己去尝试一下啊。如果大家还有什么其他疑问或者有趣的题，可以在评论区留言，我们一起讨论一下。
20嗨，大玉儿
16:10查看AI文稿AI文稿我们今天来讲一个关于三角函数的这个综合压轴题啊，我们看题目 已知，函数 f x 等于二倍根号三 sin 四分之 pi 加二分之 x 乘以 cos 四分之 pi 加二分之 x 减去 sin 四分之 pi 加 x， 且函数 y 等于 g x 的 图像与函数 y 等于 f x 的 图像关于直线 x 等于四分之半 对称。哎，我们看到一个函数关，另另外一个函数对称，对吧？我们根据函数的轴对称的性质可以知道，它的定义是 f x 等于 f， 二 a 减 x。 如果一个函数满足这个条件， 那他们就是关于 a 对 称，对吧？就是 x 加上二， a 减 x 除以二，这个括号里面的相加除以二，就是它的对称轴 x 等于 a 啊，它的对称轴是 x 等于 a， 也就是说这个 g x 关于这个 f x 的 图像关于四分之派对称，也就是这个 x 啊，这个 a 等于四分之派，对吧？那么它的这个 g x 实际上 g x， 它应该就等于 f， 这个四分之派带进去的话，这个 a 对 称轴是四分之派吗？那也就二分之派减 x， 对 吧？ 这个 g x 它应该是等于这个东西的 f 二分之派减 x， 那 我只要把 f x 求出来， 然后我用这个里面的 x 用二分之派减 x 替换进去就行了，对吧？就可以求出 g x 了。那 f x 它告诉呢？是这么一个式子，这个式子比较复杂，我们先要把它化简一下，对吧？根据这个三角的这个 根式啊，我们看这是二倍根号三，三引扩写括号里面一样两倍角公式，对吧？也就是它就得到了，这里是根号三，这是三引 x 加上二分之派，对吧？减去这个派，加是第三项线负的，那就加上三引 x， 好，这里根据右的根，是二分之 pi 加 x， 那 还是根号三倍 cosine x， 对 吧？编号 啊，变这个正弦，变余弦，加上三弦 x， 然后我们提出一个二来， 提出一个二来，这里是二分之根号，三倍 cos x 加上二分之一倍 sin x， 然后这里，这里变成 sin 啊，三分之派， 这里是 cosine 三分之派，那就是二倍 sin x 加上三分之派。好，这个 g f x 是 这样的，那么 g x， g x 等于 f 啊，二分之 pi 加减去 x， 那 它就等于二倍三也。 二分之 pi 减 x， 再加三分之 pi， 把这里面的 x 啊，用这个二分之 pi 减 x 替换， 就等于二倍四二，这是二分之 pi 加三分之 pi 就是 四分之啊，六分之三，六分之二，六分之五 pi， 六分之五 pi 减 x， 好， 用，把它这个 x 变成一个正的，我们用 pi 去减它啊， 用派去减它的话，就是二倍四二也。派减这个还是三，也就是等于 x， 然后加上六分之派， 好，这个 g x 的 解析式就是二分之啊，不对，二倍四二 x 加六分之派啊，好，这是第一问，那我们再来看第二问啊， 若存在 x 属于零到二分之派这么一个范围，使得 g x 平方减去 m， g x 加二等于零成立，求 m 的 最值啊，最大和最小。 那我们看这是相当于是关于一个 g x 的 一个二次方程吧，因为二次方程吧，含有 m 参数的。那我们先把这个 g x， 我 们看 g x， 我 们刚刚算出来是 g x 等于二倍三 x 加上六分之派， 对吧？然后 x 属于零到二分之派，我们看 x 属于零到二分之派，那么 x 加六分之派呢？它是不是属于都加一个六分之派？就是六分之派， 然后到加个二分之派，六分之派，六分之，这六分之三，六分之四，三分之二派，对吧？ 也就 x 加六分之派，那么 g x 呢？它的取值范围我们是不是就知道了？ 我们看啊，这个含这个上引 x 加六分之派是属这个范围的，我们看上引的图像是这样的，六分之派在这里，三分之二派 在这里，对吧？那么它最小的时候是取到这个 二分之一的，也就是它最小值是二分之一，最大值是一，它是二分之一 到一这么一个范围，然后乘以一个二，那它就变成了一到二这么一个范围，也就 g x 的 取值范围啊，它是属于前面是 b 区间啊，一到二后前前闭后开，因为这个呃前 都是 b 区间啊，这个一也是可以直接取到的，就一到二这么一个 b 区间。 好，我们知道 g x 属于一到二，我们就换原版令 g x 等于 t， t 属于一到二这么一个区间，然后我们把它带进去，也就 t 平方减 m， t 加二等于零，我们要求 m 的 取之范围，我们把 m 提到一边去，对吧？也就 t 平方加二除以 t 等于 m， 然后我们把这里再把一，也就是这里就是一 t 啊，加上 t 分 之二等于 m。 好， 我们看到这个式子用基本不能是，可不可以，由于 t 是 一个正数吧， 我们基本不能是大于等于两倍根号乘积，对吧？它是 t 加 t 分 之二，大于等于两倍，它们的乘积就是根号二，二倍根号二，至于它取不取得了等号，我们看念 t 等于 t 分 之二算。当 t 等于根号二的时候，取等号 t 的 一根号在不在这个区间，一到二在这个区间的，所以它能够取这个函数，取得一个最大值，它取得一个最小值， t 加 t 分 之二，取得一个最小值二倍根号二，那么 m 就是 一个最小值，二倍根号二，对吧？ 也就是说 m 最小值啊，二倍根号二好，还有求它的最大值，那我们看最大值怎么求？ t 加 t 分 之二， t 加 t 分 之二，它是一个双过函数，是吧？这样的， 由于这个 t 属于一到二这个范围，这个区间就没有了，一到二就一，这是一，这是二，那它这个值最小值，我们刚算出来的是根号二，对吧？ 取到最小的时候是根号二好，至于是一大呢？还是二大，我们把分别把它带进去算就好了。一带进去 一，加上二等于三，二带进去二加上这个二，二分之二也是加一也是等于三，也就是说当 t 等于啊，当 t 等于一或二的时候，它取得一个最大值， 当 t， 也就是 f x g x g x 等于一或二十 m 取最大值三啊，这个是第二问。 好，我们继续来看这个第三问啊。若当 x 属于负三分之派到三分之二派时，不等式，二分之一 f x 减去 a 倍 积，负 x 大 于 a 减二横乘，以求实数 a 的 范围，这是一个关于啊含参数的一个不等式，对吧？含 a 的， 那我们我们先把这个代进去算啊， 二分之一倍 f x f x， 我 们前面算的是塞二倍，塞盈 二倍塞盈 x 加上三分之派， 减去 a 倍 g x g x 是 二倍啊， g 负 x， 那 就是二倍。四二幺 负 x 加六分之派大于 a 减二横成立，对吧？好，我们呢先把它整理一下，也就是这里是四二幺 x 加三分之派， 我们这里提个符号出来啊，就加上两倍 a， 三减 x 减六分之派大于 a 减二，好解，这么一个不等式。 好，我们看一下啊，要解它的话，我们首先把它的它们的范围给搞出来吧。由于 x x 是 属于负三分之派到二分三分之二派这个范围的， 那么 x 加三派呢？ x 加三分之派，它就属于都加一个三分之派，那就是负二分之派 到派啊，这里是加三分之派，那就是零 零到 pi 之间，那 x 减六分之 pi， 它属于是哪个范围？减六分之 pi， 就是 减三分之 pi， 负三分之减六分之 pi， 负二分之 pi， 三分之二 pi， 那 就是二分之 pi。 好， 我们知道了这两个的取值范围，那我们先开始判断啊。 首先我们来讨论一下这个 a 的 取值范围，肯定是在全体实数范围内讨论，对吧？好，我们首先第一， 当 a 等于零的时候，我们看一下 a 等于零，也就是 sin x 加三派加个零大于负二，对吧？ 由于我们这个三也是负一到正一的，对吧？它这肯定是比负二大，肯定是横成立啊。 好，我们看第二种情况，当 a 大 于零时， 当 a 大 于零时，这里是一个正数，那它要横成立的话，是不是要求这个是值的最小值啊？ 对吧？它的最小值，那是不是找这个？这是一个整数，那就找这个。等于负一的时候是不是最小啊？最小啊？找这个三点 x 减六分之派的最小值啊。 x 减六分之派是负二分之派的二分之派。我们看正弦函数的图像，它是这样的，这里是负二分之派，这里是二分之派， 那它最小值是，它是不是负一，对吧？也就是说这个括号里面等于负二分之派的时候，它是取最小。那实际上就是当 x 取什么负二分之派的时候， x 是 负三分之派， 这个啊，取最小值，最小值，然后我们看一下，它就整理出来啊。负三分之八分还是上一零？上一零是零，对吧？这里是零，这里是， 这里是负一，也就是负二。 a 负二， a 大 于 a 减二，那我们减出 a 的 范围来， a 就是 移过去小于三分之二，由于它是在大于零的范围里讨论的，那就是大于零， 大于零，小于三分之二，这是第二种情况啊。好，我们再看第三种情况， 当 a 小 于零时，当 a 小 于零，这个值啊，是个负数，负数的话，这个是变成正数的时候，它的正数越大，它是不是最小啊？也就三点 x 减六分之派，取最大的时候， 它取最大的时候，是不是一啊？等于二分之派的时候，它等于一。好，那就是 x 取什么 x， 它等于这个值，等于二分之派，也是 x 就 等于三分之二派的时候， x 等于三分之二派的时候，它取到一个最小值，它这个最小值是多少呢？这三分之二派就派 三分之二派加三分之派的派零，这里就是二。 a 大 于 a 减二，那就 a 大 于负二， a 大 于负二的时候，它取到一个这个式子啊，取到最小值，我们又是讨论 a 小 于零的时候取 啊讨论的，所以 a 大 于负二小于零，然后零在这里又成立，满足条件。所以综上所述啊，这个 a 的 取之范围就是 负二到三分之二，属于负二到三分之二这么一个区间啊，这个是这个第三小问。
90光头哥讲数学
09:58查看AI文稿AI文稿木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六白银一模函数压轴题。二十七题，已知抛物线与 x 轴交于点 a， 点 b 与 y 轴交于点 c， 其中 a、 c 的 坐标是知道的。第一问，求解析式。直接写 y 等于 x， 方减二， x 减三， 所以呢， b 点的坐标也很好，求让 y 为零，那么 b 就是 三等号零， a 点是负一，零， c 点是零，负三也写上，是吧，也写上好。第二问，点 e 是 第四项线抛物线上的点， 让你连接 a、 c， b， e， a、 e 还有 c、 b， 连完之后，左边的三角形 a、 c、 f 面积当做 s 一， 右边的三角形 b， e、 f 面积当做 s 二。现在告诉你 s 二减 s 一 等于一， 这个面积条件 s 一 和 s 二。你当然直接算的，是很难算的，它是两个都是不规则的。 但是如果你把它俩中间夹着的这个 a、 b、 f 这个三角形一部分的啊， 给它加上的话，那其实就变成了 a、 e、 b 减去 a、 c、 b 这两个大的以 ab 为底的三角形，面积差是一了。所以这个条件我们这样去转换一下就好做题了啊。 我们第二个先去设一点坐标，横坐标就当 e， 纵坐标是 e， 方减二， e 减三，接下来呢， 好，接着写， s 二减 s 一， 也就是 s 三角形 b， e， f 减去 s 三角形 a， c、 f 等于一， 所以它呢，加上公共的部分 s 三角形 b， e、 f 加上 s 三角形 a、 b、 f， 再减去 s 三角形 a、 c、 f 加上 s 三角形 a、 b、 f 应该也是一 g 就是 s 三角形 a、 b、 e 减去 s 三角形 abc 等于一，是吧？那这两个三角形我就能写了，它都是以 e 为以 ab 为底啊，所以左右边三角形是二分之一， ab 乘以 e 的 纵坐标高，就是啊，这个 e 的 绝对值再减去二分之一， ab 乘以 y c 的 绝对值等于一。接下来代入数字， a b 的 长用右减左应该是四，所以二分之一乘以四应该是二二倍的 y e 的 绝对值 减去这边是 ab 是 四，然后 y c 是 三，所以三四十二乘二分之一是六等于一，也就是这里的 y e 的 绝对值等于多少？应该是二分之七。又因为 e 在 第四象限，是吧？ 所以 y e 呢，只能等于负的二分之七。 ok， 那 我们就要减 x 了，也就是说，一方减二， e 减三等于负二分之七。把负二分之七到左边变成正的二分之七，那负三就是负的二分之六， 所以这里就是一方减二 e。 呃，减应该是加啊，对，加二分之一等于零。 我们现在直接求根，公式上， e 就 等于二分之负二的相反数是二加减根号下 b 的 平方是四，是吧？减四 a c， 那 就是减去个呃，四，乘以二分之一是减二，是不是？那么也就是说 e 就 会等于 呃，这个二分之二呢？就是一百一加减二分之根号二。又因为他在第四象限啊，我们，所以我们的一点的坐标，横坐标只能是什么？只能是正的，对吧？只能是正的，不能是负的。 但是这两个值呢？一加减根号二分之根号二，其都是正值，是吧？所以这里有两个啊，横坐标一加二分之根号二，逗号负二分之七，或者是横坐标一减二分之根号二，逗号二，负的二分之七。 ok， 这样我们做完了， 我们看第三问，第三问说如图二，设点 p x 一 y， 然后 q x 二， y 是 抛物线下 bc 下方的两个动点，并且 x 二 x 一 还有关系 过 p 做 p， 呃， pm 平行于 y 轴，然后呢，又过了 q， 做的是 q n 垂直于 bc， 现在问的是 pm 加根号二 q n 的 最大值。你要求这个根号二的 q n， 你 就要看一看它和什么线有关系啊？ 因为这个 b 和 c， 它的坐标都是多少？都是这个三零和零负三，所以呢，这里填有个四十五度，然后你的 q n 又是和它垂直的，所以我们先要找到根号二倍的 q n 在 哪里。 那很显然这里都是四十五度的话，我只需要，哎竖着做一个外周的平行线啊。然后呢，这个紫色的三角形其实也是一个等值，是吧？他也是等值的话，那么我们这个交点就当做 什么点？当做 p p 点， p q 当做 s s 点吧， s 点，好吧， s 点这个点的 长度也就是 s q 的 长度，那么就是 q n 的 根号二倍。所以最终你只需要求什么呢？你只需要求哎，这里的 s q 加上 mp 这两条线段的最值就行了。我们现在就写一下既然这些都和我们的直线，这条直线的解析式是吧？呃，我在这里写一下直线解析式啊。 第三问，那么直线解析式就是 y 等于 x 减三，所以我们可以把 m 和 s 的 这两个点的横坐标都和 p q 一 样，对吧？因为它都是平行 y 轴的， 那么所以这个时候 m 的 横坐标就是 x， 一 纵坐标就是 x 一 减三。然后呢，这个 s 点的横坐标就是和 q 点的一样， x 二纵坐标呢，是 x 二减三。那也就是说这个我们的 m n m p 的 长度加上根号二倍的 n q 就 等于 m p 的 长度加上 s q 的 长度，是吧？啊，这中间你需要正一下，你需要正一下，它是这个直角 等于幺，是吧？等于幺三角形啊。那所以呢，我们现在就接着写喽，因为你 m 的 和 s 的 点写了，你还需要把什么把， 把这个 p 和 q 的 点也写一下啊。那么我们写上面吧， p 点的坐标横坐标 x 一 纵坐标就是什么？就是 x 一 方减二， x 一 减三，那么 q 点它的横坐标是 x 二方减二， x 二减三。 那么所以刚才要求的这个 m p 加 s q 的 话，就等于，呃，就等于这个它要求是 pm， 我 们写 pm 吧， pm 加上 s q 就是 上减下 m 的 横， m 的 纵减去 p 的 纵加上 s 的 纵 减去这个 q 的 总，是吧，应该是减，刚才说错了，所以这里就是 y p m 应该是 y m 啊， y m 减去 y p 加上， 这是 y s 减去 y q， 是 吧？这里加个括号，所以我们就写 y m 是 什么呢？ y m 其实就是这的 x 一 减三呀，再减去 y p， y p 呢，是 x 一 方减二， x 一 减三，所以它就是减去 x 一 方加上二， x 一 加三， 再加上 y s y x 呢，就是 x 二方变成加二， x 二再加三，是吧？ ok， 那 这一串呢，我们还需要进行整理，为什么？因为 x 二还等于 x 一 加一啊，这里挺费事的啊。那我们就接着整理，把所有的 x 二换成 x 一 加一，也就是这里的。呃，前面其实应该可以，已经整到一起了，是负 x 一 方加三， x 一 加三减三没有了，后面呢，这个 x 二变成 x 一 加一再减三啊，然后再减去 x 一 加一的平方，再加上两倍的 x 一 加一 再加三，是吧？好，那这里的加三和减三其实也没有了，接着算，因为这个完全平方展开时候，有个负 x 方和前面的负 x 方加一起，负二 x 一 方， 那这个完全平方展开之后，中间会有个负二 x， 但后面只有一个正二 x， 所以呢，它没有了，是吧？那么前面是三 x 一， 后面再加一个 x 一， 应该是加上四 x 一， 这里还剩一个一，这边呢，完全展开之后应该是负一，所以也没有了，最后这里多了一个。什么是加二是吧？ 这是一个二次函数，所以当 x 一 等于负二， a 分 之 b， 也就是等于负的二， a 就是 负四分之四等于一时，整个的 pm 加上 s q， 取的是最大值。 最大值等于多少呢？把它带进去啊，一就是负二，负二加二没了，那就是四，对吧？结束关注我，考试再提十分。
69木易数理化
07:40查看AI文稿AI文稿哎，各位，看这道题啊，咱们怎么用三角函数解决几何问题？ 来看已知条件？已知条件， i 是 内心，内心是什么？内心就是三角形的三个角的角平分线的交点，对吧？ a， d 垂直于 bc， 对 吧？ a， d 垂直于 a i， b， e 垂直于 a i， 然后呢？ c， f 垂直于 a i， c， f 垂直于 a i， 是 吧？求证。 b， d 乘以 d， c， b， d 乘以 d， c 等于 be 乘以 c， f 等于 be 乘以 c， f， 咱们看一下啊，如果咱们用常规做法，不用三角函数，用常规做法，咱们怎么做呢？你看着啊，这个条件是不是可以转化为 b， d 比上 b， e 等于 c， f 比上 d， c， 就 求这个，是吧？那 b、 d 看着啊， b、 d 比上 b， e 等于 c， f， c， f 比成 d， c， 那 是不是就是求什么呢？三角形 d， e， b 以三角形 c， f， d 相似，是吧？这两个三角形相似，对吧？看看咱们能不能求相似， 这垂直，这垂直，这个角相等，对吧？还能知道其他条件吗？这个角和这个角呢 边有关系吗？所以啊，用常规办法啊，求这个相似啊，不太容易。 那看一下啊，咱们用三角函数看看，简单不简单？看着啊， b、 d 看看， b、 d 等于什么呢？ b、 d 是 不是 b， i 乘以这个角吧，对吧？是不是等于 b i 乘以 b， i 乘以 cosine 二分之 b 啊，对吧？这个，这是直角啊，对吧？是不是 cosine 二分之 b 啊？这个 cosine 二分之 b， 这个是多少呢？是不是等于 b i 乘以 cosine 九十度，减去二分之 a， 加上二分之 c 啊， 对吧？因为呢，这三条线是三个角的角平行线，对吧？三个角的一半相加，是不是等于九十度，对吧？啊，所以啊，这个二分之 b 可以 换成这个，对吧？它等于多少？是不是等于 口三音？口三音九十减，这个是不是等于三音了？是不是正确了，是吧？三音二分之 a 加上二分之 c， 二分之 a 加二分之 c 是 多少？二分之 a 加二分之 c， 是 不是正角， 对吧？是不是等于 b？ i。 乘以三角 b i f 是 不是这个角，对吧？看 d c 啊， d c 等于多少 d c 是 不是？这是个直角三角形，是不是等于 c i。 乘以勾三阴二分之 c 啊， 对吧？二分之 c， 对 吧？就等于 c i 勾三阴九十度减去二分之 a 加上二分之 b， 对 吧？ 那是等于 c i。 三元二分之 a 加上二分之 b， 对 不对？那是不是等于 c i。 三元二分之 a 二分之 b， 二分之 a， 这个是二分之 a 二分之二分之 a 二分之 b 二分之 a， 二分之 b， 是 不是这个角？ b i f e f 哎， 不对啊，这个二分之 a 加上二分之 c 二分之 a， 二分之 c 是 c c f 啊，这个是 c f 啊，这个是 c f c i f， 对 吧？那它俩相乘呢？它俩相乘 啊 b d 乘以 d c 是 不是等于 b i 三阴 c i f 乘以 c i 三阴 b i f， 对 吧？ 乘以啊， 那是不是它可以换成 b i 三音 b i 三音 b i f 把这拉九啊，这拉九倒一下啊，乘以 c i 三音 这个角搁这来啊 c i f。 看啊， b i 三阴 b f b i 三阴 b i f 是 不是等于 b e c i 三阴 c i 三 c f 是 不等于 f？ 是 不等于 f c， 对 吧？啊，所以 b d 乘以 d c 等于什么呀？ b e 乘以 c f， 是 吧？所以啊，这这种题啊，利用三角函数 解决这个几何问题啊，是很简单的，是吧？根据条件顺理成章啊，就出来了，对吧？
14阿大数学思维
06:53查看AI文稿AI文稿同学们，这种题啊，死记也得记下来，什么题啊，就是用三角函数来证明几何问题来看这道题。 角 b 等于角 c， 三十六度角 b， 角 c， 这是三十六度 a、 h 垂直于 b、 h， 这是九十度，对吧？ a、 d 是 b， a、 c 的 三等分线， 这个是三等分线，然后呢， a、 e 是 是这个角 a 外角的四等分线 a、 e 是 四等分线，然后呢， a、 d 等于 p， a、 d， 这是 p 是 吧？ a、 e 是 q， a、 e， 这是 q， a、 h 是 小 h， 然后求什么呢？求这个式子， p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一。 你看到这种题啊，只给了角度，只给角度，没有给任何的长度，对吧？那这种题就什么呢？就是用三角函数关系来证明几何问题来，咱们看这个题啊， 根据这个已知条件啊，咱们能得出什么？ 那这是什么？看着角 b、 a、 d 等于多少度啊？这个角等于多少度？ 是不是三分之一倍的角 b、 a、 c 是 吧？然后角 b、 a、 c 等于多少角 b、 a、 c， 它是不是等于 一百八十度减小角 b， 减小角 c 是 吧？角 b， 角 c 是 多少度？三十六度，这是七十二度，对不对？然后呢，一百八十减减去七十二，这是一百零八度， 那三分之一的它是多少？三分之一三三十六， 对吧？角 b、 a、 d 啊？ b， a、 d 三十六度，那角 d， a、 c 等于多少角 d， a、 c 等于， 是不是三分之二倍的这个对吧？那就是七十二度，那角 c、 a、 e 是 多少？ 是不是四分之一？四分之一角 c 就是 四分之一角 a、 d 外角，对吧？角又外角，这是多少度啊？一百八减去 角 b、 a、 c 是 吧？就是这个呗，对吧？ 也就是这个角加这个角，是吧？那就是七十二度， 然后它的四分之一 十八度，对吧？那求那看这个角是多少啊？这个角角 d， a， e 是 不是等于它加它呀？是吧？ d a c d a c 加上 c a e， 对 吧？那就是七十二加上十八等于九十度，对吧？那这个角是所以三角形啊，我这边来了啊，我这边来了 三角形 d， a， e 为直角三角形， 然后呢，它是不是和三角形 a， d， h 相似啊，对吗？它相似能推出什么？能推出啊，看着吗？ h h 比上 p h 减 p， 是 不是？ a， h 比上 a d， 是 吧？等于口三十八度，对吧？这个角等于这个角， 对吧？是不是？然后呢？看这个三角形里边啊， h 比上 q 是 不是等于 a， h 比上 a， e 等于多少？三十八度啊，对不对？看这个式子中推什么两边平方， 看是不是 a 比上 p， 它的平方加上 h， b 乘 q， 它的平方等于这个加这个的平方就是 三一十八度的平方加上 o 三一十八度的平方，是不是等于一啊， 对吗？所以啊，拆开来的 h 方比上 p 方加上 h 方比上 q 方等于一，对吧？所以能证明出什么？ p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一啊。 所以啊，这道题啊，死记也要也要记住啊，它都什么三角函数啊，用三角函数来证明几何问题。
15阿大数学思维
02:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是零下教数学的石老师，然后今天给大家讲一道初三下册锐角三角函数的实际问题应用的一道题，这道题不太难，很简单， 那像这种题咱们怎么做呢？三英三十度是不二分之一，考三英六十度是不二分之一。 tan 四十五度是不一，那咱们肯定要根据锐角三角函数去做。首先咱们画出它的图像，画出一个 r t 三角形， 这个角 a 它是不是九十度？那这个角是不是角 a， 这是九十度，然后这个是 b， 这个是 c， 那 咱们知道 bc 它是不是为根号二，然后这个时候那它的呃，那它的角 b 是 不是又是，是不是四十五度？那最后咱们要求它的面积，那求它的面积的话，咱们是不是可以 先求出是不是它的 a c 的 边， ab 的 边，那根据余弦定律，考三因 b， 考塞因 b 的 话是不等于零边比斜边，那它是不是也就是 ab 比上是不是根号二？斜边 ab 比上是不是也就是 bc？ 那 么考塞因四十五度是不等于二分之根号二，然后等于 bc 的 话 等于根号二，然后 ab 不知道那十字相乘是不二， ab 是 不就等于是不二， ab 是 不就等于一？那 ab 如果等于一之后，那么咱们再知道角 c 它是不是也是四十五度？那么咱们把 ac 的 长求出来的话，那考三英 c， 考三英 c， 它是不就等于零边是否比斜边，那 a c 比上是否 bc？ 考三英四十五度是不等于二分之根号二， 然后等于 ac 是 否不知道，然后 bc 它是否为根号二，那么这个时候这个 ac 咱们十字相乘之后， ac 做出来是不是也是一？那 ac 是 一，然后 ab 也是一，那么这时候它的面积 s 三角形的面积是不是就等于二分之一乘以底， 然后再乘以高，然后是不等于二分之一？所以这道题咱们应用锐角三角函数的知识点， 三音等于对边比斜边考三音等于零边比斜边， can 等于对边比零边。咱们是不是最后求出它的边长进，而是不是求出它的三角形的面积？然后各位家长和同学如果有什么不懂的，可以在评论区留言。
02:50查看AI文稿AI文稿好，我们来看这道题目，题目说你从塔的底部 岛点向右出发，走到 a 点，然后这有个斜坡啊，斜坡 a b， 它的坡比给的是一比三，其实说什么呢？就是相当于是这个角的什么 正切值是三分之一，所以说咱们可以干嘛？过一点向它做延长，过 b 点向延长线做垂直，如果这个点是 h 点的话，那么我们能轻松得到 b h 和 a h 的 比是一比三， 因为实际什么呢？实际 ab 的 长是二倍根号五。哎，一三什么来着？对，勾股定律当中是一三根号十，所以我们可以写出来 ab 长是根号十，但它的实际长度是二倍根号五。 那怎么办呢？二倍根号五，其实根号十的根号二倍，因为二倍根号五是根号二十嘛，那么这条长是根号二十，相当于是每条边长扩大了根号二倍，那么这条边实际长度就是根号二， 这条边的实际长度就是三倍根号二。那么我们想求塔高倒一，这个怎么做呢？来突破口，在这里 我们延长 c b 一 直到岛屿这里，我们说这个点是 f 点。好，可以，那么 b、 f 必然是垂直于岛的，因为它们在水平线上嘛，因为啊，这个角是四十五度，则三角形， e f b 是 等腰直角三角形，那它是等腰直角三角形，所以呢，哎， e f 和 b f 是 等长的，那这个时候如果我们设 e f 的 长度是 x， 那 b f 的 长度也会是 x， 然后我的这段 bc 长呢？题目给了是十米，那我整个 f c 是 多少？ x 加十。哎，老师，那接着怎么办呢？很简单了呀，观察你的角， e、 c、 f 是 三十度， 那么三十度角所对直角边等于斜边的一半，他们三边关系比是一比，根号三比二，所以呢， x 的 根号三倍就等于什么？就等于 x 加十，由此我们就能解出方程来。 求出 x 之后呢，再加上刚刚求的这个根号二，哎，导一场就出来了，这是他的一个思路分析，等下我来写过程。
21数学唐老师
05:46查看AI文稿AI文稿木易木易数学荣誉，各位同学大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六兰州一整集合亚洲第二十四题。在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形去探讨与轴对称有关的几何问题。 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中， e 是 a d 上的一点，将三角形 a、 b、 e 沿着 b e 折叠。我们把这个折叠的过程去找到啊，首先他把 a、 b 折叠到了 p b 这里， 然后那同样的 a、 e 就 会折叠到 p e 这里，并且他们把九十度也带过来了。然后折痕是 b e， 这里说折叠完之后呢，连接 e p 并延长交 c d 于点 f f 在 这。现在接问说，小刚发现了 b p、 f， 也就是这个三角形全等于三角形 b、 c、 f， 看它全不全等呢？看它条件有没有足够的条件让它全等。首先呢，我们知道这里的 b、 c 和 b p 都等于正方形的边长，它是相等的。然后呢，这里会有一个直角的话，那么角 c 这里依然是直角，最后再加上什么，再加上他两的，呃，相当于折痕吧。 b f 是 个公共边。 所以呢，我们第一问就简单写下第一问，那就直接可以写啊，因为 bc 等于 ab， 也等于 b p， 又因为 b e 等于 b e， 这是公共边，所以三角形 b p、 e 全等于三角形 b、 c、 e 用了什么理由？ h l ok。 第二问，连接了 ap， 然后延长交与点击。 在做这件事之前呢，你应该先把第一问中的一些折叠的结果去给它反映出来。第二个图上，也就是这里的 a、 p 仍然会折叠到这里的 b p 去，并且这里的 a e 会和 e p 相等， 接着呢，这边的 b e 是 个折痕，对吧？它是个公共边。然后同样的，我们看下面啊，下面就比较有趣了啊，上把直角补一下下面的，因为左边我们是得到了这个 b p c 和 b p f 和 b c f 是 全等的，那我们不妨就把它也画出来， bc 画出来，然后这边直角画出来。最后，呃，我们需要把这个 b f 连上，然后我们就能知道 p f 和 f c 是 相等的，对吧？ 所以呢，我们把第一论，第一问当中的结论拿过来用，就是这两个三角形依然是全等，所以它最终让你求证的是 e f 是 哪一条？ e f 是 这一条是吧？这一条它等于 d g 加 c f 其中的一部分，我们已经给转化成功了，就是把 c f 已经转化成了啥？ p f， 对 吧？这就是加 p f， 那 d g 如果是 e p 的 话，这道题就解决了，它是不是 e p 呢？我们就看 d g， 如果我们把它也化成一个 哎，这个紫色的线段的话，它是不是等于这两条 a e 和 e p， 对 吧？ e p 这里可能不太容易看到，其实也可以看到啊，但是呢， d g 是 等于 a e 的， 为什么？因为三角形啊，我们这第二问，直接写一下这个过程啊，第二问， 第二问啊，我们可以发现啊，如果 d g， a e 和 e p 这三条线都相等的话，其实这个问题就得正了， 我们的 d g 其实就相当于是一 p， 对 吧？那他是不是呢？我们看到啊，正方形当中经常有这种圈叉互与倒角的问题啊， 如果这个角是圈，那么这个角就差，所以在正方形当中，这个 b a g 是 角叉，那么 d g a 也是角叉，这是平行的一个性质啊。 同样的道理，我们也能够知道，这个角 a b e， 那 么自然就是角圈了。为什么？为什么这个 e b 和 a g 一定是直角呢？这里有一个重要的性质，就是 a p 这两个对应点之间的连线，他一定是垂直于折痕的啊，这个点，要明白，垂直折痕我们才来带，带来了这么多全差互余啊。 ok， 那 既然是这样的话，那我们就知道了，这两个三角形，也就是 啊，三角形 a b e 会全等于三角形啊，应该是 a b e 的 话呢，就是 d a g， 对 吧？所以啊，这两个三角形为什么全等我？当然这个角已经整完了，边呢？边呢？就是啊，在刚才的条件之上，再加上一个什么，再加上一个 a d 等于 ab 就 行了，是吧？三个角度相等，然后呢，其中一个边又相等，这肯定全等了， 全等之后就能得到 d g 是 等于 a e 的， 又因为 a e 是 等于 pe 的，是吧？所以我们就知道 d g 就 等于 e p， ok， 那 么同样道理，由 e 可以 知道 cf 就 等于 pf， 所以这里的 e f 就 等于 d g， 呃，应该先把它的写上，就是等于 e p 加上 p f e p 又是 d g d g， 那 么这个 p f 又是 f c， 所以 就得正了，关注我，考试再提十分！
169木易数理化
11:43查看AI文稿AI文稿去往下我们再来讲一下这个模型三，我们来看一下啊。模型三叫等值内接等值模型不是这个模型喜欢考，我跟你说什么模型喜欢考在他的基础之上进行辨识或者融合旋转， 他就特别喜欢考。我们先来看一下什么叫等值内接等值从名字上都知道，就是一个等腰直角三角形，这就是等值嘛？内接等值也就是一个等腰直角三角形的内部又内接了一个等腰直角三角形，对吧？它的模型特征是我们来看一下， 就是他体盖里面首先会描述一个等腰直角三角形，这是第一个，第二个条件他会给我这个他的斜边就等腰直角三角形这个斜边的终点过这个终点做一个直角。 只要体盖里面提到了过等腰直角三角形，斜边中点做了一个直角，你不管它那个直角是长这个样子还是长这个样子，反正只要是做了一个直角，我就可以直接得到这个三角形，是一个等腰直角三角形， 我们是怎么样去进行证明的？因为你 p 点现在是 b c 的 中点，所以我知道等腰直角三角斜边中点，我直接连接 ap， 不是立马可以直接到 a p 是 垂直平分 bc 的。 因为你是一个等等腰直角三角形，所以我就有 a p 的 长度和 p b 和 p c 的 长度，其实全部都是相等的， 那你只要这一节长度和这节长度和这节长度相等，意味着什么呀？我们拥有这个角是直角，是不就可以直接得到这个小角？加上左边那个小角是不是等于九十度？ 你 a p 又垂直于 bc， 是 不是可以直接得到这个角？加左边这个角也等于九十度，那就相当于这边上这两个角加中间这个角都等于九十度，是不是就直接正出来了？这个角其实和这个角是相等的， 而且 a p 边和 pc 边又相等，这个角是不是四十五度？因为它是一个等腰直角三角形，这个角是不是也是四十五度？因为它也它也是一个大的等腰直角三角形。那这样的话我就知道了，你 a f p 这个三角形和 c e p 这这两个三角形是不是可以直接证出来它们俩是 s， 然后再加上 a， 再加这个 a s a 是 不是可以直接证出来这两个三角形全等？ 那这两个三角形全等意味着什么呀？是不可以直接得到 a f 这个边其实和 c e 这个边其实是相等的， 那这两个边值要相等，因为你 a c 和 ab 又相等，我是不是可以再证出来 a e 和这个 b f 这两个边长其实也是相等的，所以在这个地方他让我去证明什么 p e 和这个 p f 相等，我们刚刚都已经证出来了，这个三角形和这个三角形全等，它们俩全等是不是有对应边相等，也就有 p e 和 p f 是 相等， 所以这个是最重要的一步啊，后面所有的东西都是因为他成立而得到的，所以我们来看一下这个模型最重要的题干特征是什么？就是只要题干里面描述了一个等腰直角三角形， 然后过直他的这个对边，就斜边的中点又做了一个直角出来，然后和这两个边分别交于 m 和 n， 我 就立马知道我把它连起来，这个三角形也是一个等腰直角三角形，我立马可以得到这个线段长和这个线段长是相等的， 怎么样证明呢？我们刚已经正过了，直接连接这个直角顶点和这个点，然后立马可以得到这个左边这个三角形和这个三角形也是全等的， 很容易正出来。然后我们再来看一下，哎，那你这个边和这个边都相等，这个角又是直角，是不是就直接得到这个三角形是个等腰直角三角形？所以第二个结论也很容易正出来的，对吧？那我们刚刚其实也得到了这个三角形和这个三角形全等，是不是还可以进一步得到 a f 和 c e 的 长度其实是相等的， 对吧？那你说这两个线段长度相等，是不是又可以进一步得到 a e 和 b f 的 长度斜率也是相等呢？所以第三个结论也是很好证明的，一二三都很好证明，好在一二三的基础之上。我们现在再来看一下第四个结论，他让我去证明 a e 加上 af 等于根号二倍的 ap， 怎么样去证明 a e 和 a f 这两个线段？我我们在这边要去讲一个技巧，就是各位同学要记住，如果我们在证明题里面，他让我去证明什么两个线段和是另外一个线段的多少倍的时候， 我们最常采用这个方法，就是你去观察这两个线段，如果它的位置，那它不是相邻的，然后我们一般都会把它转成相邻的， 他如果不是落在同一条线上，我们一般都会想尽一切办法把这两个独立的线段想尽一切办法把它凑到同一条线上去。 那你像他现在给的 a e 和 af， 你 要去研究这两个线段的和等于另外一个线段的倍数，那你肯定要把这两个线段和加到一块去啊，你怎么样能够把两个线段加到一块去啊？你肯定只能把它延长，所以我们说截长补短不就是这样来的吗？ 当然而这个地方我们是不是发现，所以截长补短是不是最常研究的就是类似这种，这种什么线段之间的数量关系啊？两个线段和等于一个线段多少倍？看到这种东西你就要想到，哎，很有可能有截长补短，对吧？我们在大招课 第三篇的专题四里面非常详细的讲解了截长补短的，那么在这个地方， a e 和 af 它们俩的和，我发现 af 其实和 c e 是 相等的，所以我知道了 a e 加上 af， 其实就是 a e 加上了 c e， 而 a e 加 c e 其实就是 a c e， 如果这两个线段合，其实就是 ac， 我 要去证明这个结论是否成立，其实就是证明 a c 是 否等于根号二倍的 ap。 那 很明显嘛，这也是一个等腰直角三角形。确实啊，这个线段长是这个线段长的根号二倍， 这是第一个，第二个，在很多线段间关系证明里边，一旦出现根号二的时候， 你就要本能的想到等腰直角三角形，这是反过来的，为什么？因为等腰直角三角形里面正好有斜边，是他直角边的根号二倍。 所以我们在有的题目里边，出题人出现根号二的时候，我们也会本能的去想有没有直角三角等腰直角三角形有没有四十五度， 你就会使劲地往四十五度上去转化啊，这个是做题的一种意识哈，所以第三个我们也很容易挣出来，对吧？像这个加上这个正好等于 a p 的 根号二倍。我们再看下第四个结论，让我去证明 a e p、 f 这个四边形的面积正好等于这个大三角形面积它的一半， 很容易正啊，你这个在四边形是不是连接 a p 之后，怎么拆分成了左边和右边？右边这一坨是不是可以直接转移到这个位置来？所以我知道这四边形的面积其实就是 a e p， 再加上 p e c， 那你 a e p 加 p e c 其实是不是正好是这个三角形面积的一半，所以你就直接证出来了 a e、 p、 f， 它的面积其实就是这个三角面积的一半，所以第五个结论也证出来了。那第六个结论说， c e 方加上 b f 方等于 e f 方，怎么样去证明？ 你都看到了平方加平方了，你会立马想到什么样的东西？问一下大家，我们在什么样的式子里边，我们会出现平方加平方勾股定律， 但是你这这几个线段没有在勾股，没有在直角三角形里边啊，那这时候我们怎么办？我们就会想尽一切办法把这个什么平方加平方的这两个线段，我要把它转化到一个直角三角形里面去，这就是证明题的思路，这是一种数学思维，对吧？所以你说 c e 等于谁呢？正好等于 af， c b f 正好等于 a e， 所以 我就知道了这两个线段的平方和我可以转化成 a f 方加上 a e 方，而这个正好是一个直角三角形， a f 方加 a e 方正好是等于 e f 方，所以我就直接证出来了。 所以第六个也很好证明，那这个是等值内接等值模型，它里面涉及到六个结论，这六个结论都是比较容易推到的，我们在这个模型的基础之上，我们再把它变一下。各位同学， 我们要求的是等值内接等值，那如果我现在给的不是等腰直角三角形，我没有等腰，我现在只给你一个直角三角形， 我现在只给你一个直角三角形， a b c， 然后接下来我一样的，我去取 b c 的 中点为 p， 我 一样的过 p 点，我去做一个直角出来，我去做一个直角，然后这个直角交 ab， 还有 a c 于 m n 两个点，然后我们再连接 m n， 我们现在能得到什么样的东西？我们这六个结论还有谁是成立的？ 等值内接等值很特殊的，所以它的结论二级结论非常的多。但如果我们现在把等腰去掉，现在只是直角三角形，但是直角三角形过了斜边的终点，现在又做了一个直角出来， 那这个时候我能推导出来什么东西？他第六个结论依然是成立的，那这个地方我怎么样去证明这个 b m 方加 c n 方等于 m n 方呢？ 背长中线，因为你 p 点是直角三角形斜边的中点，我现在要去研究这个线段，这个线段，这个线段之间的关系，那我怎么去研究啊？ mp 类背长中线，我们把 mp 给他延长一下， 我们做一个倍长，我们延长到比如说到点 e， 使得 m p 和 pe 的 长度正好是相等的， 那你说这个长度和这个长度相等， b p 和 pc 的 长度又相等，这里又有对顶角相等，那我就知道了，我直接连接 c e 的 话，我立马可以直接得到什么东西， 我是不是可以直接读到这个三角形和这个三角形是不是正好是全等的？他们俩全等是不是有对应角相等，是不是有这个角其实和这个角是相等的， 而原本这个角加上这个角是不是等于九十度啊？因为你上面这个角是直角啊，所以现在这个角的位置转移到这个位置来了，是不是就意味着这个角加这个角是不是也等于九十度？所以这里这里是不就有？首先我们已经挣出来这里是有垂直的， 对吧？其次，你这个边和这个边相等，这个边和这个边相等，这里有对角相等，这两个三角形全等，是不是相当于把 b m 的 位置又转移到了 c e 这地方来了，对吧？那我就知道了， c e c n 和这个 m n 之间又具有什么样的关系呢？我们再去连接这个 n e， 你 n p 是 垂直于 m e 这条线的，然后相当于这个是一个直角三角形，这也是一个直角三角形。 然后你这个地方啊， n p 是 不相当于左右这两个直角三角形的公共边？你现在 m p 的 长度和 p e 的 长度又相等，我们根据 s a s 是 不是可以直接证出来这两个三角形全等？这两个三角形全等是不相当于 m n 的 位置，也可以转移到 n e 这个地方来，所以我就知道了，这个长度其实就是 m n 这个长度是 c， n 这个长度其实就是 b， m 这个角又是直角，那你不就直接得到了有 c n 方加上 b m 方依然是等于 m n 方呢？我们在大招课第三篇专题四线断线关系的探讨里面也讲过这个模型的。 那这个模型是从哪来的？其实就是从等值内接等值这个模型延伸出去的。那我们现在基于这个模型。
09:26查看AI文稿AI文稿像这种探求题，他一定是根据前面的几问去做题来看这个题，这是一个关于三角函数的探求题啊，研究探求题 啊，也可以说是一个算找规律吧。那我们看第一问，我们知道探出六十度等于根号三，三十度等于三分之根号三， 所以 tanthan 阿尔法等，让你发现结论就根据这个嘛。 tanthan 阿尔法等于二乘以 tanthan 二分之一阿尔法吗？如果是二乘以二分之一， tanthan 阿尔法应该是 三分之二根号三吧，所以肯定不等于啊，这很简单，第一问很简单。第二问呢，也是你看如图，给你一个图，跟你说角 c 等于九十度， a、 c 等于四，那很明显 ab 是 五嘛， 让你求它的二分之一角 a、 b、 c 的 值，哎，然后他知道你不会做吗？然后告诉你了研究思路，你看，构造一个二分之一角 a、 b、 c 的 角三角形，于是这么做，这么做，做出来这个啊，也就是说他做的是 b、 d 等于 ab， 所以呢，他就构造出来了一个角，这个角，你看角 d 是 等于角 b、 a、 d 的， 所以它们两个都相等，也等于二分之一角 a、 b、 c， 是 不是因为这是外角嘛，对吧？啊，它俩相等，所以我们这里可以求出二分之一角，它的角二分之一 a、 b、 c 不 就是 八、九九分之三，不就是三分之一吗？是不是因为？嗯，它构造的二分之一角 a、 b、 c， 这我就不多讲了啊。第二问也很简单，但是呢，第三问有可能就不会了。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 锐角，你看这里难点，第一个难点，它有图吗？它没有图。第二问，它简单在哪？它是有图的。 第三问，还告诉你，角 a 是 锐角，没有直角，三角形更是，哎，也不是直角，根本就没有三角 a、 b、 c， 所以 这里你得怎么样啊？你得自己画一个三角形，那画的时候就有问题了，那这个三角形 a、 b、 c 是 钝角啊？还是直角的还是锐角的三角形啊？ 这里我们也不知道，来继续往后看看还有没有什么提示啊？ tan 呢？ a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a、 ab 等于二根号十三，求三角形 a、 b、 c 的 面积。这里啊，首先就有个问题，我们在画三角形的时候，我们先得确定它是一个什么样的三角形，那这里怎么确定呢？ 来，其实咱们学过贪婪的 a 等于三分之一，而贪婪的三十度等于三分之零。三，我们知道正切值， 在一个角角二法大于零小于九十度时，这个角的正确正切值是随着这个角的增大。这个正切值怎么样的？是增大的， 具体我就不不讲为什么增大了，但是呢，嗯，结论是这样的啊，这个我上课时候讲过，你们老师应该也讲过啊， 当阿尔法越大，摊着它就越大。所以说，你看，三十度的正切值是比这个角 a 的 正切值要大的。所以这个角 a 肯定是怎么样， 小于三十度，是不是？那角 b 呢？角 b 就 小于六十度吧， 是不是？所以这个三角形我们初步一定确定好了，这一定是一个什么三角形？钝角三角形嘛，你看他告诉你他这三角形肯定是有原因的。来，钝角三角形，我们知道了，画一个钝角三角形， 这是角 a， 这是角 c， 他说贪婪的 a 等于三分之一，贪婪的 a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a， a， b 是 二根号十三。 那这里就有问题了，他告诉你，贪婪的 a 有 什么用呢？没有直角三角形啊，所以我们第一步得干什么？得自己去构造直角三角形，那我们还得把这个角 a 的 正确使用上呢，所以我们这里只能从 c 做出一些， 从 c 做垂线，做出 c d 来了，但是有什么用呢？那这个时候我们就要想一想第二个条件，角 b 等于两倍的角 a， 这个条件 是干什么用的？你看，在前面的第一问里，他让你探讨了角阿尔法和二分之一阿尔法的正切值的关系，然后又在第二问，你看这个第二问很关键，他给你构造了一个哎，他这里给你构造了一个二分之一角 abc， 那你说有没有可能这个角 a 也是通过这个方法构造出来的？这里我们一定是要能想到这个这个问题啊，像这种探求题，他一定是根据前面的嗯，几问去做题 啊，应该是差不多，所以我们要试着也要试着去构造一下这样的三角形。为什么？因为这个角 b 等于两倍的角 a 吗？你看这里这个角不就是等于两倍的这个角吗？ 所以这里我们会想到我，我们能不能在 a b 上找一个点 e， 让 c e 等于 a e， 哎，我找这个 c e 等于 a e 有 什么好处呢？你看，如果 c e 等于 a e 同时同时角 a， 是 不是等于二分之一角 b 啊？那角 a 还等于角 a c e 对不对？而角 c e b 是 不是也等于两倍的角 a 啊，是不是这个角也等于两倍的角 a， 所以 c、 e 是 等于 c b 的， 这是一个等幺三角形， 那这里相等的边这么多，那我们 ab 又知道，我们这里不就是让我们求 cd 吗？那我们求 cd， 求谁射谁把 cd 射给 x 呗。 c、 d 是 x 吧？第一个啊，这里告诉我们角 a 的 正切值是三分之一，所以 a、 d 就是 三 x 吧。 cd 是 x， ad 就是 三 x， 那 ad 是 三 x， 而 ab 是 二根号十三。这个二根号十三是怎么组成的？是由 a e 加 e， d 加 b， d 组成的吧， 对不对？它等于二根号十三。这里我们能不能运用一下这个勾固定里 这个三角形 c， d， e 啊？能不能把用 x 分 别表示出 c， e 和 d e 来，那这个题不就做出来了，是吧？那这里肯定是现在这个 c e 不 太好表示， d， e 也不太表示，我们只能去借助一下这个 二根号十三了，所以我写出来了 a、 b 的 这个式子呢，你看 b， d 和 d e 不 就是，它俩是一样的，是不是应该是二 b， d 加 d， e 等于二根号十三， 而这个 d， e 也就是 b d 啊，而这个 b、 d 又等于啥呢？ b、 d 是 不是等于 d， e 等于三 x 减 a， e 啊， 是不是？那我不就可以把这个 b、 d 带进去了吗？就是六 x 减二， a， e 加 a， e 等于多少？ 六 x 减二，根号十三，所以 d 一 我们就也表示出来了。 d 一 不是等于三 x 减一吗？也就是三 x 减六， x 加二，根号十三，等于二根号十三减三 x。 你看 d， e， c， e 和 d e， c， d 和 c e， 也就是 a e。 哈，我们都用含有 x 的 式表示出来了，那不就可以用勾股定律了吗？也就是 x 方加 d 是 二根号十三减三， x 的 平方就等于六 x 减二根号十三的平方，然后花点把 x 解出来，面积是不是就可以解出来了啊？这个题难点在哪？就在于 d e 和 a e 这里不太好，表示很多同学他不会用这个二根号十三。好，那这个二根号十三怎么用呢？我们只能是去用另一个式子去慢慢给它进行推导。嗯，没有什么特别的技巧。然后这种题啊，像这样的探求题，你只能是多做多积累 啊，也没有什么很好的方法去把这种题做出来。就是你做的多了，有感觉了，慢慢的你就自信了，这种题你就能。嗯，比较轻松的在考试中面对。
05:32查看AI文稿AI文稿继续看九街一日宴打卡练习啊，动点的一个函数问题，那么这个题呢，是一个非常精彩的题目，对吧？呃，二四年甘肃考了，那么很多省份啊，包括河南啊，山东啊，天津啊，对吧，这种题呢，也是要注意的，对吧？在二零二五年中考的时候一定要注意这种题目， 好，来看，如图一呢，给你矩形 a， b， c， d 对 角线，对吧？移动点， p 呢，是从 d 出发的， d， b， c 是 它的一个路径，然后呢，又做一个 p， q 是 垂直于这个 c d 的，是吧？呃，那么就知道了，这个垂足，那么设 p 的 一个运动距离是 x， p 的 运动距离是 x， 同学，对吧？ p q 减去一个 d， q 是 一个 y， y 减 d， q 是 一个 y， y 与 x 的 一个函数图像如图二所示，让你求 a d 的 一个长。这是一个非常经典的考题， 数形结合函数的一个图像问题，几何的一个啊，综合运用问题，对吧？啊，包括动点的一个灵活运用，对吧？好东西。所以说这种题的一个思路呢，就是你在审完题以后，一定要把这个 函数图像给你的这几个数啊，给他着重的去看一下。首先你确保 x 和 y 代表的什么意思，这个很容易，题干上已经给你了， x 代表的是 p q 与 d q 的 一个差，对吧？那么这个负二和四分别是什么意思呢？这个就是我们的突破点了，对吧？好的，同学，你来看， 你发现这个 x 啊，是不是随着这个 y 啊，是不是随着 x 增大而增大，哎，增大到一个点以后呢，开始去减小，哎，减小到零，哎，对吧？也就是 x 等于四的时候，这个 y 是 要等零的， y 等于说明这个 p q 是 等于 d q 的， 有没有问题？哎，这个 p q 是 要等 p q 要等于 d q 的， 对不对？同学，能理解不啊？就是 y 等零的时候，就是 p q 减 d q 是等零的，所以说呢， p q 就 要等于这个 d q， 这是我们观察到的信息。好，并且第二个信息什么呢？就是，哎，继续 x 继续增大，增大，对吧？哎，就是这个 y 值最小的时候是负二，同学，你来理解一下。 就是这个 p q 减 d q 最小的时候是负二，什么时候最小？你来看，你来想啊， p 一 直运动，对吧？运动运动，运动到哪个点的时候？ p 点运动到 q b 的 时候，同学，这个时候 p， 这个时候 q 是 不是在这了重合了，对不对？这个时候的 p q 和 d q 作差， 你是能看得见的，对吧？哎，那同学，你会发现，当 x 继续增大的时候， p 在 这，就是这个时候 p q 逐渐减小，而 d q 是 不变的啊，那么它逐渐减小了，后面这个不变，那所以说后面这个 y 直接就是这个 y 啊，同学，是不是会逐渐的减小， 能理解不？所以这个关键点你要看出来了。哎，就是当 p 点在 b 的 时候，也就是同学，什么时候， 也就是这个时候，也就是外值取高峰的时候，这个 p 呢？与 b 重合啊， p 与 b 重合，对吧？同学，这个你要理解， p 与 b 重合，并且此时这个 q 是 与 c 重合的，同学， 能理解不啊？能理解吧，一定要懂这个关键点。好，接下来，同学你快走走走走走，对吧？ p q 最小的时候，同学，就 p q 最小的时候， 是不是就是 y 值取最小的时候被减数最小的时候，是不是因为 d q 此时以后就不变了吗？是不是？所以同学，就是这个 x 就是 这个 y 啊，就是当 p 点对吧？啊，这个与 c 点重合，对吧？实际来讲 q p 都与 c 点重合的时候，对吧？ y 是 等于这个负二的，同学， 是吧？外等负二，所以说此时我们就知道应该是零减去这个 d q 是 要等于这个负二的， d q 就 等于二，这个是关键点。那所以说同学，我们就很容易知道 d c 就是 等二的，这个是你要判断出来的啊，这个判断出来，明白吧？这个很重要啊。好，那么接下来你怎么去做就好了啊？你是不是要充分利用这个信息啊？ 啊，就是 x 等四的时候 p q 和等 t q， 咱们说了啊，这个时候这个 p 是 与 b 重合的，那么接下来 p 肯定是在，哎，这个 p 肯定是在 b c 上的时候，同学，明白吧？是不是？ p 肯定是在 b c 上的时候存在 p q 等于 d q， 那 什么时候呢？我随便找一点，假如说在这我们连接 这个 dp， 对 吧？哎，这个时候 q 是 在这个 c 位置的时候，因为这个时候我们要满足的是 p q 要等于 d q。 同学，所以说这个是一个等腰直角，它是四十五度了，同学，明白吧？它这个是一个关键信息。好，我们的目标是求 a d 对 不对？ a d， 你 要知道的话，是不是我们只需要在这设一个这个 bp 等 b p 等小 a 吧，对不对？设 b p 等小 a， 因为此时我们是很容易知道这个 p a， 这个 c 需要等于我们用 q， 好 吧， q 和 c 是 重合的啊， p， q 是 要等 q d， q 是 等二的，同学，对吧？我设这个是小 a， 这是二，同学， 能理解不对？不对啊，那别忘了此时的 x， 它是等于这个 b， d 加 b， p 是 等于四的，所以这个时候我们的 b， d 啊，它就会等于四减去一个 b， p 就是 四减 a。 同学，那等量关系是不是就来了？同学，所以说我们是不是就知道了，在 二 t 三角形 b， c、 d 当中，同学，是不是就有四减 a 的 平方，它是要等于二的平方，加上一个二加 a 的 一个平方的 等量关系。勾股定律列等量关系很重要的一个考题，所以这个时候你就把 a 解出来就可以了，对吧？同学，这个你自己去解 a， a 就是 一个三分之二，所以此时我们求的这个 a， d 啊，它就会等于这个 bc 就是 二加，等于这个二加三分之二，结果就是三分之八，对吧？三分之八，答案是选二 b 选项。同学， 好吧，来这个题两个关键点啊，那么第一个就是 x 等于四， y 等零的时候，第二个就是这个 y 等负二的时候，要把这两个条件充分给它理解，并且要进行一个竖形结合啊。然后呢，我们第三个关键点就是利用勾股定律去求这个线段长了。同学，好吧，认真梳理一下，这个题很重要。
