七年级下数学苏科版旋转几何题

复刻期下旋转压轴题第七道，这道题竟然有四个答案！这道题是我们去年连云港某校期中考试原题，一起来看一下。 一副三角板，最初按图一的方式放置两个三角板的直角，顶点 a 重合，点 e 落在边 ab 上，那就是这个图。然后这个 b、 a、 c 是 等于 d， a、 e 都等于九十度，然后 c、 a、 d 是 一百八十度。 本题中所有的角均小于或等于一百八十度，这个条件很重要。那么如图二，若将三角板 abc 绕点 a， 以每秒四度 的速度顺时针旋转，那就是这个方向旋转，然后三角板 a、 d、 e 保持不动，第五秒的时候， b、 a、 e 是 多少？那么原来 ab 与这个 a、 e 是 重合的，那么这个角 b、 a、 e 其实就是我们的旋转角，每秒四度五秒的话应该是二十度， 那么 c、 a、 d 的 度数是多少？原来的位置是这样的，那么我们的旋转角当然也是这个角度，这个角也是二十度，所以 c、 a、 d 等于一百六十度，那么此时它们两个相加，应该等于一百八十度。这个第一问相对比较简单， 第二问他说如果将这个三角板绕着点 a 顺时针旋转一周后停止，然后把旋转角记为阿尔法三角板 a、 d、 e 保持不动，那么图与一中这个关系是否仍然成立？请画图图形并说明理由。这个都成立，你可以去分为怎么画呢？ 因为在这个里面 b、 a、 e 我 们可以去画它这个位置，可以去把 ab 分 成四个部分去讨论。比如说我们第一种情况就是 ab 在 我们这中间的时候，那这种情况是成立的，我们已经验证过了，接下来我们去考虑第二种情况，如果我们这个 ab 运动到这里的时候， 那么这个时候我们 a、 c 是 在这，就是这个位置，我们大致画一下就可以，那么我们去来验证一下这个关系是否仍然成立。 b、 a、 e 是 我们整个的一个旋转角，它应该等于 r、 f， 那 么这个 c、 a、 d 等于什么呢？ c、 a、 d 在 这个里面等于它好，那么此时它等于什么呢？它也等于 r、 f， 就是 我们原来的 a、 c 运动到这， 所以这个我们标做这个是 c 撇，那么角 c、 a、 c 撇，它等于什么呢？也等于 r 法，角 c 撇 a、 d， 它此时是不是等于一百八十度减 r 法呀？对不对？那我们的此时角 b、 a、 e， 它也等于 r 法，所以它们两个相加还是什么？还是一百八十度？那这个题里面我们可以再继续按照其他的情况去进行检验。 这个当我们的 ab 如果运动到这边的时候，让我们 ac 在 这边的时候，到这个时候大家会发现 这个是 b， 这个是我们的 c， 那 么这个是一个直角，这也是一个直角。 b、 a、 e 是 这个角， cad 是 这个角，他们两个是互补的关系，这个很容易验证。那么接下来最后一种情况，就是我们当这个 ab 边 a、 b 运动到这里的时候，然后我们 a、 c 大 概在这里这样一个位置，这两个顶点应该是挨着的，这边是一个垂直，这边是一个垂直，这边是 b， 然后这边是 c， 所以 发现 b、 a、 e 和这个 c、 a、 d 仍然是互补的关系。因为周角是三百六十度，中间有两个直角，所以他们的关系是否始终成立？这个是成立的，我们可以去把这个图大致的画一下，然后接下来看我们这个第三问。这个是成立的，我们可以去把这个图大致的画一下，然后接下来看我们这个第三问。这个是两个答案，这道题应该是四个答案， 这道题怎么分析呢？他说若将三角板 abc 绕点 a 以每秒四度的速度顺时针旋转，同时那就是 abc 绕这方向旋转，它的速度是四度每秒， 然后三角板 a、 d、 e 以每秒四点五度的速度逆时针旋转，这个这个三角板它是逆时针旋转，也就说两个三角板它是同时旋转的，两个三角板均在旋转一周后停止。问，第几秒的时候， b、 a、 e 等于二分之一 c、 a、 d。 如果他们两个同时旋转，这个问题应该怎么思考？比如说我们在一个操场上去进行跑步， 一个人往这边跑，另一个人往这边跑，对不对？我们可不可以看做什么呢？比如说他的速度是二，他的速度是三，我们可不可以看做假设其中一个人不动，另一个人的速度是五呢？对不对？保持一种相对静止的一个状态。所以在这道题里面，我们 a、 d、 e 的 速度是四点五， abc 的 速度是四，然后 abc 往这边旋转， a、 e、 d 是 往这边旋转，可不可以近似看成我们这个 a、 e、 d， 它是静止不动的，然后 abc 再以每秒八点五度的速度在旋转， 这样的话我们就可以找到这个题的突破口。这个题里面我们已经在第二问当中去验证出来了，在一个三角板保持不动的情况下，另一个三角板旋转，他们俩之间的关系是否始终成立？这个 他们两个相加始终等于一百八。所以在第三问里面，如果他们两个又成了这样一个二分之一的关系，我们设这个角是阿尔法，那这个 cad 是 不是一百八十度减阿尔法呀？所以我们得到一个阿尔法等于二分之一倍的一百八十度，减阿尔法等于什么呢？等于九十减二分之一阿尔法， 那这样的话二分之三阿尔法等于九十，所以我们得到阿尔法应该等于六十。也就说这题问你，第几秒的时候，我们这个角 b a、 d 等于六十度，所以这个时候你不需要去研究在整个变化过程中， c a d 如何变化。那这个题应该怎么去考虑呢？大家注意， 比如说我们在最开始这种情况，这个 ab 往这边运动， a、 e 往这边运动，对不对？那他俩之间的角度大小是不是就是八点五 t 啊？对不对？那我们要分情况去讨论的话，应该分什么情况去讨论？比如说我们最开始旋转旋转， 我们这个 a e 和 ab 它共线的时候，我们这个在接下来的时间里面， a e 这个角 b a e 的 方向是不是发生了改变呢？所以我们分类讨论的区间是什么？当他们共线或者是重合的时候，那么第一种情况就是什么呢？当 时间 t 大 于零小于多少呢？他们两个一起转，他往这边转，他往这边转，那么共线的时候应该是选共同旋转了一百八十度，所以这里面的时间应该是一百八十度，除以八点五， 应该是这个时间，那在这个时间里面，我们这个角 b、 a、 e 就是 这个图，可以看作他是不是始终等于八点五 t 啊？ 对不对？那么你要求这个时间是是多少，那八点五 t 就 让他等于多少？等于六十，所以 t 应该等于多少呢？六十除以八点五。那这下面是小数，我们整体乘二，这边是十七，上面是一百二十，一百二十除以十七，不能整数，所以第一个时间就是我们的十七分之一百二十，这是第一个答案， 十七分之一百二十。 好，接下来我们第二个时间应该是什么？他们俩贡献之后， 比如说他们俩贡献之后，是不是要继续往下面进行旋转呢？那么我们这是贡献的时候，这是 e， 这是 b， 然后这边是什么？这是 e 撇，这边是 b 撇，走的是多少呢？四 t， 这边是什么呢？这边是一撇走的，一共是四点五 t， 所以 我们这个时候角 b、 a、 e 的 大小可以怎么表示？是不是用我们的三百六十度减掉这个四点五 t， 再减掉一个四 t。 所以 第二种情况下，当他们重合之前，那就是当我们的时间是大于八点五 分之一百八十，然后小于多少呢？这边我们可以给他写成十七分之三百六，也可以先可以这样写，这边是八点五除以三百六。好，那这个时候角 b、 a、 e 的 大小，我们是等于三百六十度，减掉那个八点五 t， 好， 那当他等于六十的时候，我们再求下 t， 那 此时八点五 t 应该等于多少？等于三百，所以 t 应该等于什么呢？十七分之六百，这是我们的第二个答案，十七分之六百。 那么这两种情况相对比较好考虑，接下来情况是什么？这里面呢注意一个问题，他旋转一周后停止， abc 三百六十度除以四度，他应该是九十秒的时候停止， 然后这个 a、 d、 e 三百六十度除以四点五度，他是八十秒的时候停止，我们这个时间远远没有没有到，所以这个时候他们两个还在同时进行旋转。那接下来第三种情况应该是什么呢？第三种情况是当我们的时间 t 再进行接下来一个一百八十度的手，因为他们重合之后，重合之后再去旋转的时候，角度方向共线的时候又发生变化吧，对不对？所以共线的时候又是什么？又是走一百八十度，那你这边就是五百四十度除以八点五，这个五百四十除以八点五的话， 这个数它是近四，等于我们的六十多，所以它还没有到八十的那个停止的时间。这个期间角 b、 a、 e 等于多少呢？我们可以去大致画一下这个图啊，它们俩都是从我们这个 b 大就这根线，我们挪到这来，从这开始进行旋转，然后当我们求出第二个种情况的时候，就是八点五，三百六十度除以八点五的时候，说明他们两个已经怎么样？已经转了一周重合了，已经转了一周重合，我们大致可以取在这个位置， 对不对？因为那个 e 的 速度比较快嘛，这是 a 点对不对？这是我们原来起始那个位置，那这个时候，比如说我们 b 撇和 e 撇在这个位置重合，接下来走的角度我们应该怎么考虑？比如说我们这个，呃， ab、 ab 继续往这边旋转，然后我们的 a、 e 继续往这边旋转，那这边是 e， 这边是 b， 怎么去表示这个角？ b e， 我 们知道这边整个角是什么？这个是 b 走的四 t， 这边整个角是怎么一走的？四点五 t， 所以 四点五 t 加上四 t， 也就是等于八点五 t， 中间这个 b、 a、 e 被加了两次，那么这个角 b、 a、 e 怎么表示？是不是就这个八点五 t 减到一个三百六十度，所以此时角 b、 a、 e 等于我们的， 等于我们的八点五 t 减三百六十度，那等于什么？等于六十，所以此时八点五 t 等于什么？等于四百二十，那么 t 就 应该等于什么？十七分之八百四十，这是第三个答案。十七分之八百四十，我们来验证一下它是否在这个范围内。呃，这个 八点五分之五百四十，他是十七分之一千零八十，然后八点五分之三百六十，他是十七分之七百二十，那很显然他是在这个范围内，我们可以验证一下。然后这是我们第三个答案，就是我们这个十七分之八百四十，那接下来一个分段区间应该是什么？这边我老师就擦掉了 五点五百四十那个讨论出来了，那下面一个分段区间，就是当我们这个 t 大 于八点五 除以五百四十的时候，下一个时间应该是什么？我们注意这里面，如果你想去找七百二十的时候，不要去这样找，因为他们两个共同去那个转的时候，每个人转了三百六十度，一共转了七百二十度，但是中间是有一个 八十秒的时候， a、 d、 e 是 停止的，所以他在小于八十的时候，我们进行分类讨论，然后他大于八十，在第九十秒的时候，我们去进行分类讨论。好，那么如果 他在大于八点五分之五百四和小于八十之间，刚刚我们求出这种情况，是他们贡献之前的一个情况。那好，那么他们在贡献之后呢？我们来看这个角 b、 a 应该怎么表示啊？还有这个图， 比如说我们这开始原来是 ab 的 位置，然后刚刚他们两个是从这开始旋转，逐渐旋转，旋转了一个一百八十度之后进行贡献， 那么贡献之后这个是老师随意画的一个位置。贡献之后，比如说我们这边的达到一个角，那这个是角，我们的角 b， 这边的是我们的角 e， 这边整个的角应该怎么表示？我们角 b、 a 应该等于什么呢？这边是 b 走过的，就是我们这边的是四点五 t， 然后这边是 b 走过的， b 走过的多少呢？ 四 t， 所以 这个时候角 b、 a、 e 应该怎么算啊？你注意这个四点五 t 加四 t 中间这部分都是被加了两次，只有谁没被加了两次？只有这个 b、 a、 e 没被加了两次。那这个时候角 b、 a、 e 加上这个八点五 t， 总共是不是等于两圈？也就是七百二十度，对不对？所以这个时候 b a 应该等于什么呢？七百二十度减八点五 t， 七百二十度减八点五 t， 七百二十度减八点五 t， 那 它等于六十的时候，我们来算一下，那这个时候八点五， t 等于我们的多少呢？等于我们的六百六十，所以 t 等于什么呢？ t 等于十三十七分之一千三百二十，这是我们的第四个答案，并且我们可以验证一下，这个一千三百二十， 他除以十七的话应该等于七十七点多，所以这个答案也是可以的。第四个答案就是十七分之一千三百二十，那么到了第八十秒之后，他是一个什么情况？到了第八十秒之后，注意看这个位置， 我们这个第八十秒的时候， a、 e、 d 他 是不是回到了原来的位置？但是因为 abc 他的速度比较快，他速度比较慢，他还没有回到原来的位置，比如说这是 a、 e、 d， 那么此时 ab 他 其实快到了，因为他也没有比他慢很多。那这个时候我们再来看一下这个 b、 a、 e 应该等于什么？这个是 b， 这个是 c。 好， 当我们的这个时间 t 大 于八十，小于到九十，因为九十的时候，这个 abc 也停止了，那这个角度是不是正好是我们的一个 三百六十度，减掉谁呢？减掉我们这个 b 走过的角度啊， b 走过的角度是多少？四 t 那 此时应该等于多少？等于六十，所以我们发现四 t 等于三百，那么 t 等于七十五， t 等于七十五，它不是这个范围内，所以这种情况要舍掉。那么这道题核心就是什么呢？ 根据第二个这个结论，我们可以看作一个三角形是在静止的，所以我们这个 b、 a、 e 和 cad 他 关系始终是什么？相加等于一百八，相加等于一百八，他如果说 b、 a、 e 等于二分之一 b a d 的 话，那么求说 b a、 e 等于六十，所以这道题就是问你第几秒的时候 b a、 e 等于六十，所以我们只研究一个角度的话，这一道题会轻松很多。那么角度发生变化的时候， 他说角度均小于什么，或等于一百八角度发生改变，所以这道题一个分类讨论相当于难一点。

速科七下旋转压轴题第五道，这道题是我们去年常州期中考试考过的一道原题，那么这道题给了我们一副三角板，如图一摆放，那么这里面是一个三十度，这个 c、 a、 b 是 一个六十度，这个角 e 和角 d 都是一个四十五度， 然后他说 af 是 平分 c、 a、 b 的， 那么这个 c、 a、 b 的 角应该是六十度，平分的话这两个角都是三十度，并且他也是三十度，那么通过这个角是六十度的话，我们也能推出来这是一个三十度。他说将这个三角板 d、 f、 e 就是 这个等腰直角三角形 绕点 f， 以每秒三度的速度顺时针旋转，那就这个方向去旋转，当点 d 落在 f、 b 上的时候， 旋转停止，设旋转时间为 t 秒。第一问，当 t 为和值时，我们这个 d、 e 平行 ab， 其实这种情况下他们两个已经差不多要平行了，他稍稍转一点，他们俩就能平行，那这个转多少度呢？我们去来看一下， 如果他们俩平行的话，这个角是一个四十五度，他应该等于他的内错角四十五度，因为因为我们这边他是一个三十度角，对不对？那所以这里应该变成了什么十五度，我们原来这里是不是三十度啊？那变成十五度的时候，说明旋转了多少？旋转了十五度，那速度是三的话，旋转十五度是不是需要五秒啊？ 对不对？因为你这个点地落在这个 f、 b 上就停止了，所以他没有第二次的时候保证我们这个 d 平行 a、 b， 那么第二个，当 t 等于多少秒的时候， d、 e 垂直 ab， 这个大家你可以去画一个差不多的图，也可以不用画 d、 e， 它垂直 ab 的 时候，你就知道这里是一个九十度就可以了，那这边已经是一个四十五度，所以这里边是不是一百三十五度啊？ 对不对？你要求 t 等于多少秒的时候，我们这个 d、 e 垂直 ab， 你 要找的就是旋转角，所以这是一百三十五度的话，我们这里是三十度，那么这个角 d、 f、 b 应该变成了多少呢？ 这边是一百三十五，这边是一百三十，所以一百八十减掉一个一百三十五，再减掉一个三十，他应该等于十五度。我们原来的角 d、 f、 b 应该等于多少呢？原来角 d、 f、 b 是 等于 原来的角 d、 f、 b 是 等于一百二十度，就是原来的，那现在变成十五度，说明转了多少？一百零五度，那么每秒转三度，一百零五除以三的话应该等于多少？三十五秒，所以第三十五秒的时候， d、 e 垂直 ab 有 没有第二次？没有了，因为点 d 要是落在这的时候就停止了 括号。二，他说在旋转过程中，我们这个 d、 f、 d、 f 在 哪？ d、 f 在 这， 他与 ab 的 交点为 p， 然后若三角形有两个这个 afp， 比如说这个图二里面，这个其实就是那个点 p 有 两个内角相等，求 t 的 值。那么这个题里面我们应该怎么思考？你至少要分三种情况去思考。三角形会有三个角，比如说角 afp 里面是不是有角？ a 以 a 为顶点的那个角，以 f 为顶点，那个角是不是以 p 为顶点？那个角两两相等的话，所以我们应该去分三个去讨论。那么这种情况下我们去可以考虑第一几种情况，他稍稍去转一些的时候， fa 另一个点，这个我们这个点 p， 他 是不是在 ab 上啊？对不对？在 ab 上，假设我们这个角 和另一个角相等的时候，那么这是一个三十度，他也是一个三十度。比如说我们这边会出现一个三十度的时候，对不对？点批落在这的时候， 那这样的时候他是三十，他是三十，他也是三十，说明我们这个什么？说明我们这个 df 是 根据 ac 垂直的，所以此时这里变成了九十度，你原来这是多少？原来这是一百二，现在变成了九十，说明赚了多少？三十度， 对吧？那三十度的话，你的 t 就 应该等于什么呢？ t 一 就应该等于这个三十度，去除以三应该等于多少？十秒？你要写过程的话应该怎么写啊？你要写就是我当哪一个角，你可以把这个示意图大概画出来，对不对？这是 d， 这是 p， 就是 当我们这个角， 呃， p a f 等于我们这个角 p f a 十，对不对？然后你又已知我们这个 p a f， 它等于什么？三十度，这个角也是三十度，你自然就能求出这个角的度数。所以写过程的话，其实以角角度大小为突破口。这第一种情况， 那么第二种情况，他其实在图二中已经相当于给出来那点 p， 在 这的时候，我们大概让这两角相等就可以呗。如果他是三十的话，下面两个相等，那这下面两个是不是应该都是七十五啊？对不对？ 好，如果这边是七十五度的时候，说明他正好转了七十五呗，对不对？这个是不是就是他的旋转角啊？原来我们 df 在 这，现在 df 到这了，中间的夹角是不是就旋转角？所以 t 二是不应该等于这个七十五度？除以三应该等于什么？二十五秒， 这就可以了。你这个也可以用什么？用角度来说啊？就比如说我们这两个角相等的时候，这个角 a、 f、 d 等于什么？等七十五度，这 a、 f、 d 是 什么？旋转角对不对？直接求时间就可以了。那么下一种情况就是什么呢？我们这个 a 为顶点的，刚才和我们这个 f 为顶点的相等了，现在我们这个 f 为顶点的和我们这个 p 为顶点的也相等了。接下来你要找的是什么？ a 为顶点的和 p 为顶点相等，对不对？那这个三十需要在这边找到一个三十，那这边找到一个三十，他应该在哪？是不是就在这呢？ 说明什么情况？当我们这个点 d、 df 落在这呢，说明什么情况？当我们这个 p 是 不是就在这啊？ 这样的话，他是三十，他是三十，是不是出现等角？所以当 d、 f 他 恰好落在我们 f、 b 边上的时候，旋转停止，那旋转停止的时候应该是多少？这边是一百二十度，所以应该是一百二十度，除以我们的 每秒是三度，那应该等于多少？四十秒。所以第二问的答案是应该有三个，一个是十秒，一个二十五秒，一个是四十秒。然后接下来我们去看第三问，第三问他给了一个什么呢？他说当 d、 e 边 与 ab 边交于点 m 与 bc 边交于点 n， 那 这个交点其实就是什么呢？点 n， 他 说如图二连接 a e， 那 我们先去把 a e 连上， a e 连上，他说设角 b， a e 等于 x 度，那这里面是一个 x 度， 然后设角 a e， d 等于 y 度，然后 d f、 b， 那 这个角是什么？等于 z 度，他让我们去求 x 加 y 加 z 的 值，那这个时候需要我们去找角度的关系呗？ 这个里面是不需要分类讨论的，因为在整个这个旋转过程中，没有角度方向发生突变，所以我们不需要去进行分类讨论。那这个里面有什么关系呢？它其实就是涉及到一个外角的思想，我们去观察这个三角形， a m e， x 加 y 加这个角，它是不是等于一百八十度？那么我们这个角加上旁边这个角也等于一百八十度，所以 x 加 y 是 不是就等于这个角？所以我们可以把 x 加 y 挪到哪来？挪到这边来， x 加 y 就 等于它，那这个跟 z 有 什么关系？我们 z 同样的道理， 在这个里面，这个角就是这个角， d， f、 b 加上我们这边三十度，用同样的道理，他是不是应该等于他呀？ 对不对？所以你这样就得到一个关系是什么呢？这个 z 加上三十度，他是等于这个角的，因为什么呢？他们都与他互补，对不对？所以 z 加上三十度是等于这个角的， 我们把它标做一个 h， 就是 d h， b 是 等于它的，那它再加上一个谁呢？这个角我们刚刚说它是不是等于 x 加 y 啊？对不对？再加上上面的四十五度，等于整个的三角形内角和一百八十度， 所以两边同时减掉一个什么呢？七十五呢？ x 加 y 加 z 就 等于什么呢？一百零五，这是一个定值。这个题不需要分类讨论，因为在整个题里，就整个旋转过程中，我们这个 x、 y、 z 他 是没有角度发生突变的情况，所以我们这个用那个倒角去倒内角和就可以挣出来。

苏科七下旋转压轴题第一道，这道题是去年苏州期中考试的原题，如图一，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点 c 和点 f 重合，那这里面给的就是两个直角顶点重合，点 a 在 这个 f e 延长线上，点 d 在 c、 b 延长线上， 然后有一个 ab 和 d e 的 交点是点记，并且这里面明确告诉我们这两个角是九十度，那说明这两个九十度是重合的，然后角 a 和角 d 这两个尖尖角，他们是三十度，那么一个直角三角形中有一个直角有个三十度，所以这两个角他都是什么呢？都是六十度。 好，第一问，让我们去求 a， g、 e 的 度数，那在这里面老师给大家去讲一个涉及到外角的一个概念啊，即使这个不学的话，他也能推出来一个三角形的内角和是一百八十度，那这个角一加上这个角二加上角三， 他是不是可以等于一百八十度？所以角四加上角三，他是不是也等于一百八十度？那么说明角一加角二是不是应该等于这个角四啊？ 所以大家记住在一个三角形中，一个三角形的外角，我们这个角四叫做三角形的一个外角等于什么呢？与它不相邻的这两个内角和，那么你也去可以通过老师这个关系去推出来。所以在这个题里面，我们这个 a g， e， a g， e 的 度数加上我们这个角 a 三十度，是不是应该等于这个六十度啊？那么 a， g， e 的 度数就应该等于三十度。好，接下来我们去看括号二，括号二，他说什么呢？他说将三角形 abc 绕着点 c 去进行旋转， 每秒十度的逆时针方向旋转，这是我们旋转的三要素，旋转中心是谁？旋转方向是谁？旋转角度是谁？他说旋转一百八十度之后停止，那么比如说以这个图来看， a、 c 是 将我们这个 bc 旋转到这边的时候，恰好是停止的好。他说 t 等于三的时候，判断 a、 c 与 d、 e 边的位置关系，那么 t 等于三三乘我们的十度应该等于什么呢？等于三十度。此时如果旋转 角度大小是三十度的时候， a、 c 是 不是与我们这个原来的角相差三十度啊？所以这边的话，我们注意画图相当于把 a、 c 去转了三十度， 那就是这个角是三十度呗。好，那这边是 bc， 那 如果旋转三十度的话，我们知道这个由题可知，角 e， 你 要写过程的话，可以写由题可知。 角 e 等于我们的一百八十度，减角 d 减去角 d、 f、 e 等于一百八十度，减三十度，减九十度等于六十度。好，那么它等于六十度的话，我们这个角是不是应该是等于九十度？ 然后你也可以说，旋转三十度之后，这个是 a、 c 交 d、 e 于点 h， 对 吧？然后此时这个角 c、 h、 e 应该等于什么？一百八十度减去这两个角对不对？他最后应该等于什么？等于九十度，所以什么 a、 c 垂直 d、 e 这是可以推出来的。那么这个如果推出来之后，圈二他问我们什么呢？圈二他说在旋转过程中，三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d、 e 平行求梯的值， 恰有一边的到底是哪边？我们不知道是不是要进行分类讨论呢？这个时候我们 t 等于三的时候，你会发现 我们这边是垂直的，这边也是垂直的，他们俩恰好是不是 bc 和 d e 平行，对不对？圈二，你的话你可以说，呃，当 第一种情况，当计划有圈的话，我们可以写个这样的，当 b c 平行 d e 时，由圈一可知， 当 t 等于三十，是不是？这个你就不用单独再写了，因为第一问，圈一，我们相当于已经求出来 t 等于三十，角 c h e 等于角 b c a， 我们这题里面给的是角角 a c b 吧，那我们就写角 a c b 题里面给的是角 a c， b 等于九十度，此时 bc 平行第一对不对题等于三十，这个就直接写出来就可以。然后我们再去找另外两边，你第一种情况讨论的是 bc 边平行对不对？那接下来可以谁平行啊？是不是有 ab 边和 ac 边呢？那按照这个旋转角度的话，我们你可以画个纸片，不理解的话， 下一次平行是不是应该是 a c 先平行啊？这边大家可以截个图啊，我们下一次再平行的时候，应该是 a c 边先平行，那么我们画一下，当 a c 平行 d e 的 时候， 这边还是 c， 这边是 a， 然后我们这边有个垂直，这边是 b， 那么他们两个平行的时候，你这个角是三十度，这个角是不是三十度？求 t 的 值是不是相当于求我们的旋转角？那这里是九十度，相当于 a 转了多少？ a 从这开始转，转到这的时候，他他们俩恰好平行，那这个角是一百二十度对不对？所以 t 是 不是应该等于一百二十度，除以十度，这里面过程老师就不写了，是不是应该等于十二秒，对吧？这是我们第二种情况，是我们 bc 平行 d e 的 时候， 第二种情况是我们这个 a c 平行 d e 的 时候，那第三种情况我们需要去考虑谁了？是不是接下来那个 ab 啊？ ab 是 不是按照我们这个图再往下转的时候，他会有个平行啊？对不对？你即使看不出来的话，你也可以就画一种 ab 平行吗？对不对？ ab 平行的话， ab 大 概是这样的吧， 对不对？我们这边是 a 点和 c 点， a 点和 c 点，那这边是 b， 他 们俩平行的话，那我平行的话一定要去找什么？找内错角和同一角，对不对？找三弦八角，所以我们可以把这个延长， 把这个延长到这边。如果我们的这个 ab 平行他的话，这两个角是不是内错角？那这个角是六十度，这个角是不是也是六十度？ 因为角 b 我 们可以推出来是六十度，所以这个角是不是六十度？所以你要找 t 是 合值的时候，我们找旋转角是可就可以。刚刚我们是找了一个 a 的 旋转角，那么点 b 是 从这开始转的，对不对？ b 是 从这个位置开始转的，这个角度是不是就是 b 的 旋转角啊？那这边是一个九十， b 转了六，这边转了那个角是六十， 所以相当于我们 bc 旋转了多少？是不是一百五十度啊，对不对？那时间应该是多少？一百五十度除以十度，所以应该等于十五秒，所以这题 t 的 值应该是三或十二或十五。对于这种三角形恰有一边与已知 边平行的时候，你就可以去分类讨论三种情况，就是我们三边分别与他平行的时候，分类讨论就可以。

七下图形的变换，这一个章节在整个这一侧来讲是相对于比较难的一个章节，涉及到平移、轴对称还有旋转的问题，那么也会在期中考试、期末考试中作为压轴题的存在。吴老师给大家整理了五十道图形的变换。这一章节的会考察的题目来源都是咱们江苏地区的正题，给大家看一下， 咱们这些题目都是咱们江苏去年月考和期中考试考过的一些真题，非常有针对性，包含平移、旋转、轴对称还有些折叠的问题，那么包含选择题、填空题，还有大题的部分，这类题大题的部分会在期中考试、期末考试作为压轴题的存在，大家可以去打印下来给孩子做一做。

速刻板七下旋转压轴题第二道这道题是我们去年姑苏区期末考试的旋转压轴题，那么这道题它其实给了一副三角板，那这一个是九十度和四十五度的，那就是相当于那个等腰直角三角形 d、 e、 f， 它是一个九十度， 然后 f 是 等于六十度，那这角就是一个三十度，两三角板放在一块，并且 b、 c 边和 e、 f 在 同一条直线上，三角形 d、 e、 f 的 顶点落在 bc 处， 然后将三角形 d、 e、 f 绕点 e 去进行逆时针方向旋转，那就这个方向旋转，旋转角是零到九十度之间。这道题问我们 c， 它等于多少的时候，那这个题里哪个是旋转角啊？ 原来 ef 在 这 ef 到这之后，那这个角是不是旋转角啊？对不对？求 c， 它就相当于求这个角，那么 d、 e 如果平行 ab 的 时候，这个角是不是四十五度？所以我们这个角是不是四十五度啊？ 又因为我们这个角 d、 e、 f， 它这个三角板，它这是不是应该等于三十度？那这个等于四十五度，这个整体等于四十五度，这里是一个三十度，所以这个小的旋转角 f、 e、 c， 它是不是就等于十五度？所以第一种情况下，十五度的时候， d、 e 平行 a、 b， 那么下一种情况的时候，他问 ef 如什么时候平行 ab， ef 平行 ab， 这里是那个 c， 它 c， 它是不是和这个角成同为角啊？那这个角是四十五度，所以此时 c， 它就是成什么四十五度。接下来看 括号二，他说如图二，设 ef 所在直线与边 ab 相交于点 m， d、 e 与 ac 交于点 n， 然后给了我们角 a m e 是 阿尔法，那就是这个角是一个阿尔法，然后 c n e 是 一个贝塔，那这个角就是一个贝塔。 他问我们在旋转过程中阿尔法与贝塔的关系，那大家注意一个问题，在整个旋转的过程中，这个 ef 恰好与这个 ab 平行的时候，是不是我们旋转了四十五度啊？对不对？从第一问可以知道，但是当你这个 ef 如果继续转的时候，它与 ab 的 交点是不是应该到这边来了， 对不对？此时的点 m 是 不是应该在这里？那这个时候我们应该分类讨论，那么分类讨论的区间是什么？就是这个零到四十五度， c 它大于零度，小于四十五度的时候，那么它总共 c 的 范围是？呃，零到九十度，那么我们下一个范围就什么？四十五度到九十度之间。好，那么四零到四十五度。其实我们按这个图来看就可以， 这个角是阿尔法，这个角是 c， 那 c 它的对顶角是不是在这啊？这个角是四十五，所以我们是不是可以得到一个阿尔法加上这个 c 等于这个四十五度啊？因为它们都加上哪个角？ 这个角等于一百八，对不对？四，这个角是一个一百三十五，对不对？阿尔法加上 c， 他 也加上一百三十五，也等于一百八，所以阿尔法加上这个角是 c， 他 啊，因为他是一个 c， 他的对顶角等于什么呢？四十五度。然后下一个我们继续来看，这里面大家可能稍稍有点看不清， 我们这是一个阿尔法，这个角是阿尔法，这个角是 seat， 这个角是 beta， 对 不对？那么阿尔法加上这个 seat 是 等于四十五的，那还有其他什么关系呢？这个角是个四十五，对不对？对于这个角， beta， 贝塔加上我们这个四十五度，加上这个三十，再加上下面这个 c 塔，是不是等于三角形内角和一百八十度啊？对不对？那么这个题我们要去找到什么阿尔法和贝塔的关系，就要把 c 塔消掉， 所以我们通过第一个能得到 c 塔是不等于四十五度减阿尔法呀？那带入到这里面，贝塔加上什么？这两个相加等于七十五度，加上 c 塔， c 塔是可以写成四十五度减阿尔法 等于什么？一百八十度，所以这两角相加等一百二十度，那么被他减阿尔法一百二十一，过来一百八减一百二十等于六十，所以得到第一个关系就是被他减阿尔法等于六十， 那么这个第一个关系是被他减阿尔法等于六十度。下一种情况就是老师画的另一个图，就是四十五度到九十度之间，那这个时候阿尔法在哪呢？角 ame， ame 是 这个角， 那这个角是 c t 对 不对？旋转角，那这个角是四十五度，所以你是不是得到一个 alpha， 加上这个四十五度等于什么呢？等于 c t， 然后接下来我们去看 beta 在 哪？ beta 是 c n e c n e 的 话，在这个里面，它应该是在我们这个角的位置，对不对？那么 c n e 有 什么关系呢？在这个里面 这个角是 beta， 这个角是什么？这角是一个四十五度， 所以我们得到一个什么呢？ beta 加上下面的四十五，加上这边的三十， 加上这边的 c theta 是 等于一百八十度的，那么通过第一个我们知道 c theta 它是等于阿尔法加四十五，所以直接带到下面，那这两个相加是七十五，那么 c theta 是 等于阿尔法加四十五， 等于一百八十度，所以两边同时减掉这个一百八十度，阿尔法加贝塔等于什么呢？六十，所以我们阿尔法和贝塔的关系有两个，这两个关系分别是什么？分别是 贝塔减阿尔法等于六十度，然后下面是一个什么？贝塔加阿尔法等于六十度。那么第三问，他说四贝塔加阿尔法小于一百五十度，让我们求 c 塔的范围，那 c 塔每一种情况下他是不是都与阿尔法有关系啊？ 我们求出阿尔法的范围，不就求出 c 塔的范围了吗？对不对？所以，嗯，四阿尔法加贝塔小一百五十度。我们要求阿尔法的话，先把贝塔消掉，那么贝塔在第一问里面他减阿尔法等于六十，那么贝塔是不是等于六十加阿尔法呀？ 对不对？所以这个四阿尔法加贝塔小一百五十度，我们可以写作什么呢？四阿尔法加贝塔小一百五十度，我们可以写作什么呢？四阿尔法加贝塔小一百五十度，我们可以写作什么呢？四阿尔法加上我们的， 呃，六十加阿尔法小于一百五，所以五阿尔法是不是小于多少呢？五阿尔法是小于我们的九十，阿尔法小于多少呢？十，我们的九十除以五是等于，嗯，十八， 所以阿尔法小于十八度，阿尔法小于十八度，那么 c 阿尔法它是在第一问里面可以写成什么？四十五度减 c， 它，所以你这个四十五度减 c， 它是不是应该小于什么十八度？那么 c 它应该大于什么？ c 它应该是大于二十七度。好，那么第，所以 c 它的第一个取值范围就应该是 c 它大于二十七度，小于什么？四十五度。因为要在这个范围基础上，那 c 它大于二十七度，在另一个基础上， beta 加阿尔法等于六十。所以 beta 是 不是等于六十减阿尔法呀？还根据这个式子来，那么四阿尔法加 beta 就 可以写成四阿尔法加上六十减阿尔法呗。四阿尔法加上六十减阿尔法，它是不是小于一百五？ 那这样三阿尔法它小于九十，阿尔法它是小于三十。那这个里面阿尔法可以写成什么呢？阿尔法可以写成 c 减四十五，对不对？所以你这个 c 减四十五是不是就小于三十啊？ 那么 c 它小于多少？七十五。所以 c 它的另一答案就是大于什么？大于这个四十五，小于什么七十五。有同学会问老师，这个四十五可不可以去等？如果旋转角是恰好四十五度的时候，你是没有这个焦点的，所以这四十五不能去等。那么 c 它有两个答案。

嗯，讲下这个，我们速客版衔接下侧，很多孩子一看到就蒙了，一个章节就是那个图形的运动，对吧？旋转反折啊，很多孩子一看到这个题就蒙了 啊，我来告诉大家，我不会讲具体的题型，我来告诉大家这个题型这种题目的时候两个原则，第一个原则就是说 以静制动，你不要只看它的动，你不要只看它的旋转，看它反折。你要先去知道一点，把一个大方向，一个前提把握住，就是它有不动的地方， 他反折之后，可反折之前两个图形是一样的，所以在找动什么，在变化之前，先去把那个没有变化的对应边对应角这个不动的东西给他找出来，这些就会成为你做题的一个关键，这就是你的条件。 第二个就是也是个很基本的，你要动手去画啊。很多孩子数学成绩不好，那有一个毛病，就是就那里想啊，坐那里想，两个眼噗嗤噗嗤闪在脑子里开始动，但是不动笔， 一定要动笔去画，特别是几何题，你就要用手啊，用支笔在你的草稿纸上，在这个图形上去画一画，去找一找哪个边和哪个边对应，哪个角和哪个角对应，对吧。 很多这个图形你一画出来之后，这些隐藏条件它自己会浮现出来的，你不动笔是做不好几何题的， 这个是铁律啊，就是同学们，我们在做这个图形的运动有变化的问题当中，无论是反折、旋转还是写这个最值问题的时候，首先要抓住原则，找到他运动过程当中 不变的量，然后第二个去动手画一画。好吧，它的背后其实都是一些很简单最基本的几何功力，好吧？加油啊。

初一下数学第三章几何变换啊，难度是比较大的。几何变换呢？它有三大变换，一个是平移，再一个呢是轴对称，再一个呢是旋转， 那么这本来难度是比较大的，没什么问题的啊。结果我们在做我们的亚洲周周练的时候，我们的亚洲周周练出来了，然后让家长去啊，让孩子去做，对不对？然后家长就说，怎么这么难啊？这难度为什么这么大？ 是不是考试不会考到呀？我们怎么就没学到？呃，你可能只是暂时没有考到啊，但是确实这个章节里面他就有这样的一些内容好吗？ ok， 而且很多时候你有没有想过，那我你没有遇到过，在我们的亚洲足球联赛里面出现了， 那我觉得这是我们的亚洲体周周练的价值，就是我们把这个亚洲体型总结的很全面。 ok， 所以 我就想给家长们说一下啊，其实难是正常的，因为本来这个章节就比较难，这个章节是几何，那我们训练也要达到一个最高难度 啊。结果呢？呃，你看，本周我们的蚩龟作图专题出来，大家基本上都沉默了，因为发现蚩龟作图难度更大，我其实印象很深刻，我当年上初中的时候，呃，我就特别怕蚩龟作图， 所以呢，起飞作图，咱们给大家出了二十道亚洲题，咱们光讲解啊，就两个小时以上，那些题目你找出来，然后再讲解，咱们基本上都是，呃，有一些题目呢，是三月份的月考题， 还有很多题是去年的期中题、期末题啊，就江苏各地的齿轮作图题的讲解，不是说咱们随便找找了些题乱讲啊啊，是吧？咱们第一个是讲解，第二个呢，就是那些题目都有题，题目的来源。好吧， 为什么大家一看到这个齿轮作图，一看一个不吱声的呢？就发现这个齿轮作图难度更大啊。正是因为齿轮作图它本身比较难，你想六种基本的齿轮作图很简单， 但起轱辘的难度就很大。所以咱们在咱们的亚洲提速六练里面，你把所有的题型全部建一遍，你后面你就不再怕起轱辘图了， ok 吗？所以难，但值得。

这个题第一题的话呢，我们要知道，旋转前后对应边，对应角是相等的，所以它 a、 d 等于六，实际上也就是 a、 b 等于六， a e 等于八，实际上也就是 a、 c 等于八。那么求 bc 的 长，我只需要二十四减六减八得到一个十。 第二问呢，说角 b、 a、 c 是 七十二度，但是它这个我们标的时候不不好标， d、 a、 c 是 三十二，好标，是吧？所以我先把三十二标上去，然后对应这个七十二，我这里标了一个四十， ok， 没有问题。那么因为你 b、 a、 c 是 七十二，那么 d， a、 e 是 不是也是七十二啊？ d a、 e 也是七十二，所以 c a e 这个角它也是四十，没有问题吧？ ok， 就 得把咱们知道的标上去啊，然后求角 e、 f、 c 的 大小。我们来看， e f c 啊， e f c， 我 们知道啊，在旋转的过程中， ab 是 转到了 ad， 所以 这个旋转角是不是四十度啊？ ac 转到了 ae， 这个旋转角是不是四十度啊？但你知道 ab 转到了 adac 转到了 ae， 还有 bc 呢？是 bc 转到了 e、 f e f 呀， f e 啊，那 bc 转到 f e， 那 么它们形成的夹角是不是肯定也是旋转角 四十度啊，对吧？所以角 e、 f、 c 我 们肯定知道，对吧？它是四十度。首先这个点你很快就能看出来，对吧？但是我们在求的时候呢，你不能说啊， 这个 bc 啊，转到了 d、 e 啊，所以角 e、 f、 c 是 等于旋转角的四十度， ok， 我 们还是用几何法去证明，不要用这种描述法， ok， 好， 那怎么去证明呢？角 e、 f、 c 是 不是这个角？ ok， 这个角是我要求的这个 x 吧， x， 我 们看啊，在这个八个模型里面，这里面啊， ok， 这个角和角它也是相等的， 所以 x 等于什么？是不是 x 就 等于这个四十度啊？看到没有？ x 等于四十度吧？八字模型看吧。嗯，就是这个题。

在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度啊，这里补一个， a、 b 等于十啊，因为勾股定律还没有学过， a、 c 等于六， b、 c 等于八。如果 d、 e 分 别是 b、 c、 a、 b 上的动点，那么 a、 d 加 d、 e 的 最小值，我们说过啊，动点问题，化折为值， 然后这个问题呢，是两定一动，对吧？这是定点，这是动点，这是动点啊，他求的是 a、 d 加 d、 e， 就 关于这三个点的嘛，所以我们需要做对称， 对吧，实现把 a、 d 加 d， e 啊，化折为直的效果。那么做对称的话呢，我肯定是做定点关于动点所在直线的对称，对吧？ 那么这是定点，动点所在直线一个是 e 点所在的是 ab， d 点呢？所在的是 bc， 所以 你看，我只能做啊， a 点关于 d 点所在直线的一个对称点， ok， 那 我们就做一下，那我这里我就来个 a 撇， 好吧，这里是一个，这个叫 a 撇吧，那事实上 a、 d 加 d e， 它就变成了 a 撇 d 加 d e 没有问题吧？ a 撇 d 加 d e， 好，我们来看啊， a 撇 d 加 d e 啊，这是动点，这是动点啊，这 d 是 动的，是不是啊？所以 a 撇 d 加 d e 呢？肯定是什么大于等于 a 撇 e 的， 没有问题吧，因为你这个折线，你肯定是小于 a 撇一嘛，啊，大约等于 a 撇一啊，是不是它能构成三角形，所以 a 撇一是最小的吧，但是你 a 撇一还没完呢，因为这个 e 也是一个动点， ok， e 也是一个动点，所以我就想， a 撇一什么时候最小啊， a 撇一什么时候最小， e 可是在 ab 上动啊， a 撇是定点啊，所以是不是 a 撇 e 垂直于 ab 的 时候，这个时候 a 撇 e 是 有最小值吧？ 好，那我们看最小，我们已经知道了，就是垂直的时候，那我要怎么求出来呢？怎么求出来这个值，对吧？怎么求出来？那我们就看 在三角形 a 撇 a b 中 啊，因为他已经知道了三边的长度啊，所以你来看啊， a 撇 a 的 长度就是六加六等于十二，然后这高呢？是不是就是一个八？咱们还是用面积法， 对不对？然后呢？ ab 呢？就是一个十呗，那 ab 的 高呢？就是一个 a 撇一了。好，那我们就知道 a 撇一 乘以十等于十二乘以八啊，咱们用的是面积法，底乘以高等于底乘高，对吧？所以 a 撇一呢，就等于一个九点六选 b， 那在这里的话，我我需要连接一撇一撇 b， 是 吧？放到这个三角形里面去解决，否则解决不了啊。

多图网格中啊，反正我们来看啊， a c b d 相交于点 e， 请剪用无刻度的直角完成下列多图 做图过程用虚线表示做图，结果用实线。我们一般就是这样做图的啊，就这个要求，你要能做到啊，否则会扣分的。嗯，好，那么来看吧。第一位，在图一中做一条线段， e f 使 e f 等于 ab， ab 的 长度是不是四啊 啊，而且 ef 平行于 bc， 肯定要平移，那怎么平移呢？ 你看一点啊，他不是格点，是不是你直接在这边？你说我找到了一个点啊，我找到了一个点啊，叫 f， 是 不是 e f 的 长度就等于 ab 啊，我就随便找到了一个点，不是随便你刻意的去找了一个点，而且呢，你真的擦了又画，画了又擦，你发现对了啊，肯定正好一样大。那肯定不行的啊，因为咱们做题不讲究你的手法， 你不能说，老师你看我这画的，绝绝绝绝对平行啊，这个长度绝对相等，是不是你你都也去看一下啊，你或者你对吧， 你懂我那个意思，这肯定是不行的，他一定是讲究方法的，对不对？我们知道无论是平移还是轴对称还是这个旋转啊啊，其实我是不是认为啊，呃， 我以图形平移为例子，图形的平移啊，朋友们是不是就是什么？就是上面的每条边都在平移， 是不是上面每个点都在平移？没有问题吧，那么轴对称和旋转也是相同的道理。好吧，那我就抓住一点，它是一个这个焦点。 ok， 我 一点平移，我直接平移到这边来，我也不知道怎么平移，但是一点是 a c 和 b 的 交点，所以我让 a、 c 向左平移四个单位长度，让 b、 d 向左平移四个单位长度，那就实现了一点 向左平移了四个单位长度。图在这个地方，这就是标准的答案，那么轴对称也是一样的，好吧，做点域关于 a、 b 的 对称点 啊， h， ok， 一 点是什么？一点是焦点，所以我先做出 a、 c 关于 ab 的 对称 线段，再做出 b、 d 关于 ab 的 对称线段，那么它的它们的焦点那个时候就是 h 了啊，就这样去做。同样的道理，对于这个旋转也是一样的，说做线段 b， e 绕着点 b， 我 逆时针旋转九十度走到了旋转 bg， 那 这个 e 点，因为他不是格点啊，所以我就要利用 e 点作为一个焦点，是不是啊？那么 e 点他是，既然是一个焦点，我就分别做出什么？分别做出 bd 绕 b 点平移之后的线段啊，再做出 a、 c 绕 b 点旋转啊， sorry， 旋转九十度之后的 线段，那那个时候是不是形成了一个焦点？那个焦点是不是就是 g 点？那么连接 b， g， b， g 不 就出来了，是不是就在这里 没有问题吧？啊，是不是这三个的核心思想是一样的一点，对吧？我这个 f 点我直接画不出来， s 点直接画不出来， g 点直接画不出来，但是呢，你这个一点是什么？是焦点？哎，所以我就利用这个特点去搞定这个题目。

期下这次期中考试难题天花板一定是旋转问题的压轴题，针对咱们苏科版旗下图形变换这一张， 折叠问题和旋转问题都比较难，吴老师给大家整理了二十道压轴题，十道折叠问题，十道旋转问题，并且来源都是咱们江苏地区去年期中考试和期末考试的真题，那么有很多同学已经开始做这套题了，反应比较难， 吴老师也会去把第十一题到第二十题，一共十道旋转压轴题给大家录制讲解视频，这个也有电子版，大家可以打印下来练一下期中考试，祝大家冲刺高分！

像这个题标记好的话，就会很快啊，首先角 b、 f、 e 沿着 e、 f 折叠，一定会出现等角，是不是？ 好？再将 c、 f、 d 沿着 d、 f 折叠，也一定会出现相等的角，折叠出等角嘛，对吧？ ok， 角 a、 b 撇 e 等于三十度，咱们来标一下啊， a、 b 撇就是一个六十， 因为 e、 f 是 折痕，所以这两个角是相等的吧？ ok， 总共一百八，减个六十，这两个角相等一百二，平分一下，那就是六十和六十，没有问题。 好，那么这个谁呀？ e、 f、 b 就是 一个三十。 ok， 那 这个 b 撇 f、 e 呢？或 e f、 b 撇呢？是不是也是三十？ e、 f、 b 撇，我来说一下啊，为什么是三十两？呃，你从两个角度都可以解释啊，第一个呢，就是因为 e、 f、 b 撇和 e、 f、 b 是 相等的，所以才是三十。第二个呢，就是你这里是六十，你这里是九十，所以你这里是三十，都行吧？ ok， 他 问 b 撇 f、 d 呢？是不是？哎，舍一下吧。 b 撇 f、 d 在 哪呢？ b 撇 f、 d， 我 舍它是 x。 ok， 那 么 b 撇 f、 e 是 一个三十， 你要知道这个 d f 是 折痕啊， d f 是 折痕， d f 是 折痕，那 f 点这里哪两个角相等呢？就是 d f c 和 d f c 撇， 能明白吗？所以呢， d f c 啊，它就是 x 加三十啊。 ok， 因为 d、 f、 c 撇是 x 加三十，所以我们在这个地方直接来一个 一百八十度吧。好吧，就就这这里平角一百八啊，那就是三十乘以三加二 x 等于一百八十度啊，得到 x 的是一个四十五度， 还是很快的啊，你看这地方嘛，你数一数，三十是不是三个， x 是 不是两个，对吧？

开始行动第一题，少年们加油！少年的书桌上没有虚度的光阴，十年磨一剑，那些看似不起波澜的，日复一日，终会让你看到坚持的意义。 第一题，它是一个动角问题，那么动角问题我们会优先想到啊，在这里舍个时间替我去列方程。那么对于这个小题目，我们没有必要小题大做啊，未必，列方程 直接开干直接算也是没有任何问题的。来，我们看所求三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d e 平行的时间是多少秒？ 分三种情况去讨论啊，因为三角形它有三条边。第一种情况是 a c 平行于 b e 啊，平行于 d e。 那 么我们来看一下 初使的时候 a c 和 d e 啊，它的夹角是三十度， d e 不 动， a c 逆时针 旋转，什么时候 a c 与 d e 平行呢啊，你们发现它旋转的时候夹角越来越小，平行的时候它们的夹角是零， 所以在这里啊，路程是一个三十度啊， a c 旋转的路程是一个三十度，速度呢是十五，时间三十除以十五等于二。 那么第二种情况就是 ab 平行于 d e， ok， 我 们来看一下此时此刻它们的夹角，我可以认为是一个三十度， ok， 是 个三十度，那么 d e 它不动， ac 呢？动，什么时候 d e 和 ab 啊？ d e 和 ab 平行， 我们研究的时候啊，这里这样画，现在夹角三十度啊，夹角三十度， ab 呢，它是 逆时针在转，所以你会发现他们的夹角越来越大，是不是夹角是越来越大的啊，从三十度慢慢增加，什么时候会平行呢？就是 当他们的夹角三十度，四十度，五十度，一直到一百度，一百五十度，一百七十度，一百七十九度，一百八十度时候，他们两个就会平行了，夹角是一百八十度。 ok 啊，或者说我们可以认为啊，他转了多少度呢？转了一百五十度，所以路程是一百五，速度是十五，时间就是一个十。 当然这个地方写的不太准确，直至平行时，他们的夹角其实是没有夹角的。是不是我们可以写转了一百五十度， 转了一百五十度啊？ ok， 然后直接在这里来个一百五除以十五就可以了。 那么第三种情况就是 d e 平行于 bc， 现在他们的夹角是多少？ 它们的夹角是六十度， d e 不 动啊，谁动呢？ bc 动， bc 运动啊，逆时针动。那么 bc 要再转个一百二十度，你想一下，是不是它们就会平行啊？所以 bc 要转一个路程一百二十度，速度是十五，时间就是一个八，所以有三种情况。

平行旋转问题七，下月考肯定会考，这个问题把很多同学难的头晕眼花，但是我告诉你，只要理解两个字，就能够轻松秒杀 平移。所谓平移，就是要把题目最后要求平行的两条线都给他平移到一个旋转点上去。那你看这一题，旋转之前他们如图放置，现在绕点 d 旋转，下面这个三角形 d、 e、 f 问旋转多少度才能使 bc 和 d e 平行？ 本题说了绕点 d 旋转， d 就是 旋转点，现在这条线和这一条线是分开的，它们没有在一个旋转点上，我们就不太好思考它旋转的位置。如果你把 b、 c 给平移到 d 上，变成这样了， b、 c 和 d k 是 平行的，只要 d、 e 能旋转到和 d k 重合，那它就一定平行于 bc。 因为过平面内的一个点做另外一条线的平行线，尤其只有一条。当 d e 旋转到这里的时候，可以与 d k 重合一次，再旋转一百八十度，还可以和 d k 再重合一次。题目说是一副三角板，所以这里是六十度，那这里也是六十度， 这个是内错角，也就是六十度，所以这里是三十度。那么第一次重合就是旋转三十度的时候，第二次重合就是旋转一百八十，再加三十度的时候，也就是两百一十度。听懂的同学给老师点个小爱心吧！