高考数学函数顺口溜
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48:33查看AI文稿AI文稿欢迎来到十二小时高考数学知识大串讲。第七讲函数的三要素。函数在高考数学里的地位就是用四个字来形容，半壁江山。不夸张的说，函数学不好，数学基本很难上高分。 全国卷新高考卷中，函数与导数相关的题目总分在大概二十五分到四十分这样的一个区间。 选择填空是必考的，至少每年至少要两道，至少要两道，考的多的时候甚至考到四道、五道。比如说小题就是选择填空，可能就是十分到二十分这样的一个分值 解答题。大题必考一道倒数大题，这是直接考的。那么现在的新高考可能十六、十七、十八、十九都有可能考到倒数，他可能压轴，也可能不压轴，但是他的分分值呢？十五分或者十七分。 另外，间接用到函数思想的题目其实会更多，这只是刚才说的，只是直接考到函数与倒数 好，它的重要性咱们就不多说了。接下来我们就从函数最基础的三要素讲起。第一个内容叫做函数的定义域，定义域会考三种情况，第一种情况就是具体函数的定义。这种题非常简单，你需要知道的是什么呢？ 哪些函数？我们学过的哪些函数有自身定义的限制？第一个分式分母不能为零，比如说 y 等于 f x 分 之一，那么 f x 就 不能为零。 偶次方根被开，方数大于等于零，比如说 y 等于根号下 x， 那 么 x 大 于等于零。 然后对数的话，真数大于零， y 等于 log。 以 a 为底， x 对 数，真数 x 要大于零。另外这个底数 a 也有要求，这个底数 a 是 大于零且不对一的。 第四个，零次密或者负指数次密的底数不为零。 比如说这种 y 等于 x 的 零次幂，那么 x 是 不能等于零的。或者说 y 等于 x 的 负二次幂，它就可以写成 x 方分之一，所以说这个 x 也不能等于零。 然后最后一个就是三角函数中有一个正切函数，它的定义要满足 x 不 等于 k 派加上二分之派， k 除以 z。 第二个我们要知道的是，抽象函数的定义怎么去求？就是已知 f x 的 定义。求解哎， f g x 的 定义，或者已知 f g x 的 定义去求 f x 的 定义， 其实记住两条就可以。这种题特别简单，遵循两点，第一点，定义域是指自变量 x 的 取值范围。 然后第二个，在同一个法则下，括号内的式子的范围是相同的。我们就举个例子，比如说 f x 加一和 f x 减一，一个括号里放着 s 加一，一个括号里放着 s 减一。 比如说这个题已知的是，呃，第一个括号里的这个第一个式就是它 f x 加 e， 它的定义域是 x， 属于一到正无穷。这个一到正无穷指的是谁呢？指的是 x 的 范围。 那对于这个法则下的括号里的内容呢？是 x 加一，它就属于二到正无穷了。 由于在同一个法则下，这头是同一个 f， 那 么括号里的范围是一致的，这个括号里的范围就是 s 加一是二到正无穷，对应的这个括号里的 x 减一 也属于，嗯，二到正无穷，它也就大于二。那么解脱， x 就 大于三，这个 s 大 于三就是指的这里的 x 范围，也就是说这个函数的定域，它是 x 大 于三，或者 x 属于三到正无穷。 再来看定域的第三种考法，已知定域求参数。 这种题呢，通常是结合具体函数的定域求法，然后将问题转化为不等式恒常数问题。比如说我们看这个例子，给了这样一个函数， f x， 它的定域是 r， 就 所有的 x 都能取， 没有限制。那么实数 m 的 系数范围，我们发现这有个根号，并且在分母，要想所有的 x 都能取，是不是这个 根号下，要是大于零，它也不能等于零，因为它，因为它是在分母上，它要保证恒大于零，大于零，恒成立，对吧？实际上这个题转化的就是 m， s 方加 m， x 加一大于零，再 r 上横乘立，横乘立，那么就要考虑了，这个是个二次数，那它真的一定是二次数吗？要考虑 m 啊，那 m 是 不是可能等于零啊？ m 如果等于零，那 e 大 于零横成力，这没问题。那么如果 m 不 等于零， m 不 等于零， m 能小于零吗？很显然不能小于零，小于零，开口向下，它不可能大于零横成力，所以说 m 只能大于零， m 大 于零。二次函数要想在 r 上横成力，那么就要得等于 b 方， m 方减四 m c， c 要怎么的？小于零吧，那么就是 m 乘以 m 减四小一点，开口向上取，中间那 m 大 于零小于四，最后取一个并集，它俩取个并集，那取之范围就是 零到四。左 b 右看好。再来看 c l 数的第二个求函数解析式的方法，这方法挺多的，每一个我们都要了解。 首先看第一个方法，也是最简单的，叫做待定系数法，若已知这个函数模型为一次函数或者二次函数，这是最常考的，可用待定系数法来求解。 我们直接看这例子，若 f x 是 一个二次函数，就告诉你函数的形式，那么它是二次函数，它就一定满满足 f x 的 a s 方加 b， s 加 c 的 形式， 然后给了 f 零等于一，实际上它是告诉你 c 等于一的，就是常数项是一，那此时我们就可以代定系数，这个 f x 就 等于代定两个系数，二次项系数是 a s 方加上 b x 一 次项系数啊是 b， 然后常数项呢？它给的是一。 那么只需要我们列出 a 和 b 的 方程组，这是二元的列，列出两个方程，就可以把 a 和 b 解出来了，然后再看这个条件， 给了这个条件，实际上就是让我们去列方程的，列出方程，把这个 a b 解出来就可以了。那么这个条件如何用是关键。 有的同学可能想到，哎，直接把这个 f x 加一求出来，然后再把啊 f x 也带入，带入到这里之后，对比系数去求就可以了。这样算稍微慢一点，其实有更好的办法。 怎么办呢？就是我们可以直接带值，因为它没有什么定域，没有什么限制，二次函数 x 都能取，比如说我们可以带具体的数，比如说带谁好呢？令 x 等于零， 那 x 的 零是不是就得得到？就是 f 一 减 f 零等于零， 然后 f 一 又等于什么呢？ f 一 又等于，就是 a 加 b 加一，然后再减去一等于零，得到 a 加 b 等于零，对吧？ a 加 b 等于零， 在这吧， a 加 b 等于零，这是第一个方程，第二个方程，我们再取一个值，想想取谁好，那我就另这个括号里得零呗。那取 x 等于负一是不好一些， x 等于负一，你就会得到 f 零减去 f 负一 等于负二，那么代入的话就是一减去，把负一代入的话， 那是减 a， 然后再加上一个 b， 然后再减去一个一呗，等于负二，那就是呃 b 减 a 等于负二， 然后这个方程组就建立出来了，把 a 和 b 解出来，它俩相加，会得到二倍的 b 等于负二， b 等于负一，然后再代入 a 就 等于一了， 那这个函数就是 x 方减 x 加一，然后定义没有限制就可以了，这是待定系数法。第二个方法叫做代入法， 我们看直接看这个题，给了 f x， 然后给了 g x， 都都是一个具体函数。 g x 是 一个分段函数，让我们求出 g f x， 那 就实际上就是把这个 f x 往这个 g x 里带，但带的时候要注意 g x， 它是分段的，比如说我们要讨论一下，就是到底是在哪一段往里带。 几种情况要考虑 f x 什么时候大于零，大于等于零，什么时候小于零。就是当 f x， 也就是二 x 减一大于等于零时， g 这里的 x 大 于等于二分之一，大于的二分之一代入，就可以直接代入上一段，那就是 g f x， 它就等于二 x 减一的平方。 第二种情况，当这个二 x 减一小于零时， g x 小 于二分之一， 那么此时代入 g f x， 它就等于负一了， 那最后给它合并在一起就可以了，那给它列成这样的一个形式。综上， g f x 等于二 x 减一的平方，这是 x 大 于等于二分之一， 这个是负一，那就是 x 小 于二分之一，这是代入法。再来看第三种方法，叫做换元法，已知这个复合数 f 括号里头是个 g x， 它的解释可用换元的方式 去求它的解释，但此时要注意，换元之后自变量的范围就是换元一定要确定新元的范围，定域是永远你要考虑的一件事。 来看这个例子，例题四给了这样一个，就是括号里这是 g s， g s 等于一减 s 比乘一加 x， 这是一个一次比一次的分式， 然后让我们去求 f x， 你 记住这样一句话，求函数解析式，实际上就是看对应的法则，对括号里的这个它这个整体整体要有整体思想，对这个整体进行了什么样的运算， 那么进行的预算的结果实际上就是体现出它的函数解析式是什么。那对于这个来说，我们把它当做一个整体，就有换元的思想，令 t 等于一减 x， 比上一加 x， 然后呢，把 x 反解出来，就是利用 t 来表示 x， 那 此时怎么办呢？是不是？对还有一件事忽略了，就是你换完 n n 之后，一定要确定新元的范围， 思考一下这个一减 x 比乘一加 x， 这个分式一次比一次，它不能取什么？它的取值范围是什么？它不能取值的就是这个系数是负一和这个系数一负一比一，也就是说 t 是 不等于负一的， t 是 不等于负一。然后有了这个范围之后，我们再去反减，反减 x， 用 t 来表示 x 就是 t 倍， t 倍的一减一加 x， t 加上 t 倍的 x 等于一减 x， 然后把所有含 x 的 放在一起，那就是 t 加一倍的 x 等于一减 t， 那 么 x 我 们就得出来了，等于 t 加一分之一减 t， 这样我们就反解出 x 用 t 来表示 x， 那 么整个函数就变成 f， t 等于一减去把 x 用这个 t 来替换， 就是一减 t 比上一加 t 块二的平方，比上一加上一减 t 比上一加 t 块二的平方。化简整理这个式子，此时我们分子分母同时乘以一加 t 方，那就是一加 t 的 平方， 然后再减去是一减 t 的 平方，比上一加 t 的 平方加上一减 t 的 平方。括号展开，先看分子，分子的话，这个一和 t 方都减掉了，然后有一个四倍的 t 比上分母的话，就是二 t 和负二 t 约掉了，就是有一个二 t 方加二除以个二，那就是二 t 比上 t 加 e， t 方加 e。 然后还要注意 t 是 不等于负一的，这个永远要考虑，你解函数问题的时候永远考虑它的定义，就是换元之后一定要确定新元的范围 好，然后我们习惯用 x 来表示这个自变量，那这把它这个呃自变量换成 x， 那 就变成二 x 比上 x 方加一，然后呢？ x x 不 等于负一。 ok 了。再来看第四个方法，叫做配凑法，其实配凑法和这个换元法，它的底层逻辑就都是一样的，都是那句话，就是我们要看这个法则 f 对 括号里的整体进行了什么样的运算。 只不过例题四，这个我们在右侧这个式子里头不能凑出来这个整体， 对吧？很难，也是可以说很难凑出来它这个整体，那这时候我们就选择换元，令它为 t， 然后把 x 用 t 来表示，就看出来，哎，它实际上对括号里的整体的一个 t 进行这样的计算 啊，那有些题呢？它就可以用配凑法就直接看出来，就是这括号里不是二的 x 次密吗？这整体是二的 x 次密， 然后后面给这样一个式子，我们对这个后面这个式子稍加处理，它就 log 以三为底二的 x 次密的对数，然后再加上二三三， 对吧。那你看这个括号里的整体不就在这呢吗？那它对括号里的整体进行什么样的匀算呢？不就直接把这个换成 x 就 可以了吗？就是它函数也是，它不就等于 log 以三为底， s 的 对数再加上二三三完事了。 然后再看例题六一样的逻辑，这个括号里的整体是它，这就是。呃， s 三方加上 s 三方分之一， 是不是立方和公式啊？那这时候你要想到把它展开，它等于 x 加上 x 分 之一乘，以 x 方减， x 乘 x 分 之一减一，然后再加上 x 方， 然后我们还要找到 x 方，呃，这个是 x 方分之一， x 方分之一， x 方和 x 方分之一之间的关。呃， x 方和 x 方分之一与 x 加 x 分 之一之间的关系。 实际上 x 加上 x 分 之一，它的平方就等于 x 方分之一加上 x 方分之一，然后再加上一个二， 对吧？那也就说它可以替换成，就是它和它加在一起，可以替换成 x 加 x 分 之一的平方去减个二，然后这个还有个减一就减三， 然后再与这个 x 加上 x 分 之一去乘，那我们就看出来了，它对括号里的整体进行了这样的一个计算，那直接把这个 x 加上 x 分 之一，这个整体换成 x， 就是 x 乘以， 嗯，这是 x 方减三，对吧？但是要注意注意的是什么呢？定义就是这个括号里的整体是什么范围， 这个整体它不就是 y 等于 x 加上 x 分 之一吗？这是一个对号函数，这不用多说了吧，它的值域一定是负无穷到负二，并上二到正无穷。 所以说最后这个定域，这个它的范围，也就是说这里的 x 范围 x 属于负熊到负二，这是能取得的并上二到正五熊。 再来看第五个方法，叫做解方程主法。我们直接来看题， f s 是 g x， g x 是 偶数，然后给了 f s 与 g x 的 一个相加等于 e 的 s 密，让我们求 f x 和 g x。 在 这里我们就要有列方程组的思想，就是把 f x 当作一个变量， g x 当作一个变量，把这些都当成长数， 然后列出，再列一个关于 f x 和 g x 的 一个式子，两个方程，两个未知数，去解 f x， 解 g x 就 可以了。 那么怎么去列呢？你看，给了奇函数和偶函数，很显然要用到奇偶性了，那么就选择把 x 令这个 x 换成负 x， 令 x 等于负 x， 就是 替换，就不写那么多了，我直接直接在这写，把这个这里头的 x 换成负 x， 这都换，那就是 f 负 x 加上 g 负 x 等于 e 的 负 x 次幺， 再再利用奇偶性再替换一下，那就是，呃， f x g 数就是负的 f x 加上 g x， g x 十五等于 e 的 负 x 次密。那此时我把这个题干上的 f x 加 g x 再抄一下， 此时我们是不是就得到了一个关于 f x 和 g x 这两个变量的，把它当中有两个未知数，这两个未知数的方程组， 两个方程，两个位数去解方程组就可以了。然后这是一式，这是二式，那么一式加上二式， f x 约掉了，那就是得到二倍的 g x 等于 e 的 x 次密，加上 e 的 负 x 次密， 推出来 g x 就 等于二分之一倍的 e 的 x， 加上 e 的 负 x 次密。然后再用二式减一式呗， 就会得到二倍的 f x 等于 e 的 x 次幂，减去 e 的 负 x 次幂，推出来 f x 就 等于二分之 e 的 x 幂，减去 e 的 负 x 次幂，这是方程组法去解函数解析式。 再来看第六个方法，求谁射谁。嗯，它往往体现着一种对称的思想，就是我知道一半一部分，然后去求另外一部分的函数解析式。它往往是这样的，比如说这个题告诉你， f s 是 个奇函数， 然后当 x 小 于零时，给了你对应小于零时候的函数解析式，然后求的呢？相关的一定是他不，不会直接让你把这个解析式利用起来的，就是小于零这部分解析式利用起来， 你要利用奇偶性，把另外一半，也就是大于零的时候解析式求出来，你这个才能结果才能代入，对吧？因为 line 二是大于零的， 所以说第一件事，你得先求出大于零的时候 x 大 于零时，它的函数解析式。 那么就记住这样一句话，求谁射谁，你要求大于零的解析式，就射 x 大 于零。 那么如何利用小于零的减一式呢？要做一个对称，什么对称 x 大 于零，那么负 x 就 小于零，那负 x 就 能满足这个函数减一式，它还是一个奇函数。 那么这一想，我们就把负 x 带入到对应的这个小于零这个函数减一式里。 f 负 x 就 等于负的 e 负 a x 乘以， 由于它是奇函数，所以 f 负 x 等于负的 f x， 我 们推出 f x 等于 e 的 负 a x 次幂，因为 x 大 于零，所以说我们得到的这个解析式就是大于零的时候的函数解析式。 有了这个解析式，我们就可以把这个条件条件，嗯，这个条件利用起来了。把这个奈二代入 建立方程 f line 二已代入，那就是 e 的 负 a line 二次幂，然后它等于八。化简一下，它实际上是 e 的 line 二的负 a 次幂， 它就等于多少二的负 a 次幂等于八， a 就 等于负三， 问题就搞定了。再来看 l t 九， l t 九给了这样一个条件，然后给了这样一个区间内的定域，就给了一段的函数解析式，呃，给了一段的函数解析式，对吧？然后让我们求另外一段 负二到零上的几是，有的同学可能会想，哎，求谁射谁，是不是射 x 属于这个负二到零啊，对吧？ x 就 射 x 属于 负二到零这段，我要求这段就射 x 属于这段，然后负二和负二到零和零到二。有的同学可能会想到，哎，这是不是相反数？再取个负 x 呗， 但不对。第一第八题，为什么取负 x？ 因为它这个既有性，这个条件能利用上，而这个题呢？给的条件是这个， 我们如何去把 x 属于负二到二这个区间转换到零到二这个区间，就利用它给的条件呢？它给的条件不就是 f x 加二吗？出现这个了，那你看 s 加二是不是现在就属于零到二了？ 是不是这样的逻辑，那既然 f 啊 x 加二属于零到二这个区间，它就能代入到已知的函数解析式里，我们就会得到 f x 加二，它就等于 一代入，那就是二倍的 x 加二，然后再减去 x 加二的平方， 整理一下，它等于什么呢？它等于二 x 加四，然后再减去 s 方减四， x 减四等于负 s 方，这是减二 x， 然后题干还给了它等于负 x， 它又等于负的 f x， 负的 f x， 那 f x 不 就等于 s 方加二 x 了？这就是在这段上的函数解析式。 第三个内容，求值域，这又是一个百分之百会考的内容，高考百分之百考，那么接下来我们就总结一下常见的求值域的方法。第一个，二次型函数求值域， 高考不会考，像初中那样考一个简单的二次函数，让你求值域，通常来说，他都是需要你先换元，把它换元成二次函数，然后再去求值域。比如说经常会与三角函数结合 看这个函数，这个函数里有一个二倍角，那当然想到二倍角公式，把它进行化减、恒等变换，这是 sin x， 所以 说给它变成一减去二倍的 sin x 的 平方，然后再加上 sin x， 然后把三 s 换元。 t， 那 就是负二 t 方加 t， 再加一 t 的 范围呢？ t 是 大于等于负一，小于等于一，在这样一个范围内，求一个关于 t 的 一个二次函数，求它的值域就可以了。 然后第二个，第二个是，这是由于这是 cos x， 所以 所以说这个二倍角公式就要把它变成什么呢？呃，二倍的 cos x 的 平方减一，再加上 cos x， 那 再把 cos x 换为 t， 那 就是二 t 方加 t 减一，同样的 t 大 于等于负一，小于等于一，在这个范围内求这个值域就可以了。 第三个，第三个，这是一个 sin 二 x， 这是 sin x 加上 cos， 你 要熟悉它俩之间的关系，它实际上可以把 sin 二 x sin 二 x 写成二倍的 sin x cos， 而 cos 加上 cos 给他来个平方，就会得到 cos 方加上 cos 方，再加上二倍的 cos cos， 而它呢，又等于一， 它又得一，所以说二倍的 cos cos 等于它的平方减一。如果我们令 cos 加 cos， cos 等于 t， 它等于 t 方，那它呢？不就就二倍三 s 乘以 s 不 就等于 t 方减一了，所以说它就等于 t 方减，加 t 再减一， 对吧。那么最后我们要注意的是什么呢？注意的就是这个 t 的 范围，由于我们令这个 t 等于 sin s 加上口减 x， 它用辅角公式把它换成呃，根号二倍的 sin x 加上四分之 pi x， 没有什么限制，所以它直域是根号负，根号二到根二， t 是 大 a 等于负根号二，小 a 等于根号二。 ok， 然后再看这个，这个的话，观察到这是 e 的 s 密的平方，这是 e 的 负 s 的 平方，而这 e 的 s 密加上 e 的 负 s 密， 那么 e 的 s 密加上 e 的 负 s 密，给它来一个平方，它就等于 e 的 二 s 密加上 e 的 负二 s 密，然后再加上一个二， 对吧？那如果你货源令它等于 t， 那 它呢？它就等于 t 方减二，所以说这个 y 就 变成 t 方， t 方加 t 减二，还要注意求出 t 的 范围。 t 等于 e 的 s 密，加上 e 的 负 s 密，很显然它是大于等于二，所以说 t 的 范围是大于等于二。 再来看第二个分式型函数，求值域。分式型函数呢，是非常常见的一类函数，高考经常会考，我们将其值域总结为以下几类。 第一类就是分子零次型。零次型是什么意思？就分子是一个常数，然后分母可能是一次的，可能二次的，或者别的函数，就这种形式叫做分子零次型的这种分式函数，比如说简单的 y 等于 x 分 之一，这是最简单的吧， 它的值域是什么呢？ x， y 不 能等零的，然后，呃，如果再给他加个一呢？就是 y 不 能得一，就看分离出来的这常数是什么。 由于它不能等于零，所以说这个值域就取决于这个常数了，这个常数是什么，它就不能等于什么，对吧？再比如说换一个函数，比如说是这样的， x 方加一分之一就是分母，它是一个二次的， s 方加一，那就是先把这个 s 方加一的范围给它求出来， x 方加一，它是大于等于一的， 最后取个倒数，就是这个对应这个分式的值域，它的倒数就是应该小于一，并且它大于零，所以 y 的 取值范围就是零到一。左看右 b， 就是先求分母，这种情况就先求分母的值域，然后再求倒数，然后再乘以这个 k， 就是 它的值域。第二种就是依次比依次的这种形式， 这个分子是一次挨数，分母也是一次挨数。遇到这种情况，我们要做的一件事叫做分离常数， 把它变成分子为零次型的，然后再求其值。比如这有个例子，这是一次比一次的，那么我们就选择先分离常数，分母不动，把分母在分子上抄一下， 由于分子上是二 x， 那 所以说把它括起来乘一个二，但是呢，现在变成二 x 加二了，对吧？原来是加一，你就再减个一就可以了， 那就它就变成了。呃，哎，这个实际上这样提出了一个二二减去 x， 加一分之一， 然后去求它的值域，然后求整体的值域就可以了，它的单调性已经确定出来了，对吧？那实际上这个位置，由于这个场数它不能小于零，所以说它的值域就是 y， 不 等于二。 好，再来看第三种形式，就是二次比一次，或者一次比二次。咱们就直接说二次比一次的， 就是分子是二次函数，分母是一次函数。这种形式的，通常来说怎么处理它？处理的结果实际上就这两个方向，一个是变成对号函数，一个是双刀函数。 比如说我们举个具体的例子吧，就是 y 等于 x 方加 x 减一。比如说分子是一个比较简单的，没有常数项的，这种情况最简单了，分母就是个 x， 那它，呃，它实际上给的是展开，分子都展开，每一项变成 x， 然后再加上一个一，再减去一个 s 分 之一，它实际上就是 x 减去 s 分 之一，再加一，这个函数就是一个双倒函数，它的图像是这样画的， 就这样画，那它的值域就是二，那如果再变化一下这位置，给它变成加一，变成加一，那这是加一，这就变成加一， 然后此时呢？这不就是个对数吗？就利用这个图像去解它的值域就可以了，就先求出 x 加上 x 分 之一的值域，然后再加一就可以了。 那如果我们再变化一下，这个函数是这样的， s 方加 x 加一，再比上 x 减一 这个分母，这个一次不再是只有一个孤零零的一个 x， 它又减了一个常数一， 那这时候我们要选择一种方式，叫做换元去处理它，令它等于 t， 令 t 等于 x 减一，那解出来 x 就 等于 t 加一， x 等于 t 加 e， 那 么此时这个 y 就 用 t 来表示，它等于 t 分 之 t 加一的平方，再加上 t 加一，再加一，那就等于 t 分 之， t 方加三 t， 然后再加上一个三呗。那最后它就变成 t 加上 t 分 之三，再加三，又变成对号函数的形式，利用这个图像求值域，然后加三就可以了。 那如果是二次，呃，就呃二次分之一次是一次比二次，就是把它倒过来，比如说这个倒过来 x 减一，比上 x 方加 x 加一这样的一个函数，那实际上换元的结果，最后不就是它相当于取取个倒数吗？ 那我就是相当于把这个值域取出来之后，再把这个值域取倒数，不就是它的值域了？比如说二次比一次和一次比二次，本质上是一样的， 对吧？化简的时候，化简的最后结果可能是这种多少，这种是对号函数的形式，也可能是这种双刀函数的形式，比如说对号函数，双刀函数你要熟悉，可以快速的画图求知欲。 而二次比一次和一次比二次，本质上就是通过需要换元就换元，不需要换元，就比如说这种情况直接就变成了，呃，对号函数或者双导函数去求值域。如果说这个一次的它带有常数项，你就选择先换元，换完元之后再变成对号函数和双导函数就可以了。 来，接下来我们看例题式，例题式给了这样一个函数， 这样的一个函数，我们要求它的值域这一展开的话，如果展开的话，它是不是变成四次比二次的了，对吧？但是你会发现这个二次的每一项都是 k 方，实际上你可以给它想象成 t， 这是 t， 那 分母就变成一次的 分母变一次分子就是变成了二次，是吧？并且我们没必要把它展开，我们要选择先换元，因为这个分母，呃，它的这个分母是这个一次，但但是它有带有常数项，它一定要把它换元，比如说我们就令这个它等于 t， 你说二 k 方加一等于 t， 那 么二 k 方就等于 t 减一了，二 k 方等于 t 减一，那这个二 k 方加三呢？就是 t 加二， 那这个呢？这是不是二 t 减二，再加一就是二， t 减一了， 那整个这个分式就变成 t 加二乘以二， t 减一，再除以这个 t， 然后把分子这个括号展开，那就是二 t 方， 这是加三， t 减二除以 t， 最后变成二， t 加上，这是三减去 t 分 之二最后的结果，这不就是一个双倒函数吗？就利用这个图像去解题就可以了，求它值域就可以了，对吧？就这种分式型函数，值域就分一次比一，零次比一次的，一次比一次的，还有二次比一次的 就是它的作 t， 二次比一次的就是最终的结果，就是对号函数或者双倒函数去求值域啊。 然后其实还有个二次比二次，比如说我再说一个，这种 y 等于 s 方加 x 减一，比上 s 方减 x 加一，是吧？这就随便选一个二次比二次。遇到这种情况怎么处理？ 就是先分离常数，它就自然变成一次比二次，怎么分离常数？分母是 x 方减 x 加一，那么把 x 方减 x 加一在分子上抄一下， 嗯，要和原来一样，那你就需要在这位置再加一个二 x， 你 现在加一，就需要再减个二， 可以了，那它就变成了这样的结果，一加上二倍的 x 减一， x 减一，对比上 x 方减 x 加一， 这不就是先分零长处，它就变成了一四比二四的形式，一四比二四的形式，再利用刚才说的第三种情况去处理就可以了。最后转化为对数函数或者双等函数求值域 啊。第三种求值域的方式叫做三角换元，嗯，这个三角换原有一部分同学可能会用不好，不知道怎么用，什么时候用三角换元，咱们来总结一下。 咱们先不看这个，我们先说一下比较简单的三角还原，就是比如说给你个圆儿， x 方加上 y 方等于一，然后让你求什么东西呢？求这个东西根号三倍的 x 加 y， 它的值域 你怎么去处理啊？那就可能会想到用三角换元，为什么会想到三角换元呢？咱们来解释一下。因为我们知道同角的基本关系是 sine c e 的 平方加上 cosine c e 的 平方等于一， 而这个圆这个结构恰好满足三角函数这个同角基本关系式，对吧？平方加平方等于一的这种结构，记住这种结构，这个结构是什么呢？ 结构是这样的，一个式子的平方用三角表示，再加上这个正方形表示，另外一个式子的平方等于一， 他就可以想到用这个三角换元，就这个三角里头和这个正方形里头，他可能放在两个不同的参数， 可能是 s， y， 啊，对吧？可能是多少倍的有系数没关系，只要能化简成这种平方加平方的结构等于一的形式，就可以想到用三角换元，然后这种结构的时候呢，我们再说一下，就是换完元，这个怎么换？我就把这简单的说一下， 我们就可以把 y 给它换，原为先说 s 吧，把 x 用 cosine 的 替换，把 y 用 sine 的 替换， 替换完之后你会发现我就用了一个角 see it， 用了这个角的 see it， 一个变量对应的正弦和余弦去表示了两个不同的变量， x， y， 那此时这个根号，它根号三，根号三 x 加 y 就 可以转化为根号三倍的 cosine， x， cosine 加上 sine， sine， 对 吧？这个我们就熟悉了用三角函数的知识，它一定是有界的，它可以进行负角公式的和一变形，它就是二倍的 sine， sine 加上加上六分之半， 对吧？利用三角函数的有一些性，我们就可以求出这个式子，它的值域， 它的结构特点就是这样，平方加平方的结构等于一，这是二次的结构，然后它要求的是什么呢？求，哎， a 倍的这个三角加上 b 倍的这个，这个这个这个矩形它的值域， 这种情况下我们就可以想到三角和圆啊，还有类似的，比如说椭圆，椭圆不也是这样的结构， s 方比上四加上 y 方比上三等于一， 那那让我们求几倍的几倍的 s， 几倍的 y 都行，比如说十倍的 x 加上呃，三倍的 y， 那这个就是这个可以用三角换元了，比如说这个 x 可以 给它换元为证，是多少呢？呃，二倍的 cosine x， y 的 等于根号三倍的 cosine x， 然后把这个 s 和 y 替换，替换成对应的正弦和余弦，然后辅助角公式就可以求知域了，就这样一个逻辑。再来看给的这个例子， 比如我们做利用三角换元来处理这个问题，这个问题为什么能用三角还是三角换元处理呢？就是在于这里头能出现这样的结构，你没有这个结构，你就用不了三角换元。 那么你看一看这个，这个是不是可以提出来一个根号，这个根号 s 和根号加一减 x， 它就是平方相加等于一，如果给他令，令他换元为 a， 他 换元 b， 是 不是 a 方加 b 方等于一啊？ 而让你求的是什么呢？求的不就是，嗯，这个是多少 a 加上根号二 b， 它的范围吗？这不就是满足这种平方加平方加平方等于一个常数一，然后依次地相加求值域的形式吗？ 然后进行换元，就这样一个逻辑，其实就很简单，就不用多说了。那么要注意的是是什么呢？遇到这种根号的形式，他对这个角有限制， 圆这个和椭圆这个对角没有限制，而这种情况对角有限制。为什么有限制？因为它是非负的根号 x， 它满足的是大于等于零，把根号 x 换原为 size 一， 等把这个呃，根号一减 x 换原为 cosine 的 时候， 由于它具有非负性， sine 也得大于零， cosine 也也大于零，所以说它的取值范围， sin 角的取值范围只能是零到二分之派。我们要取零到二分之派， 然后最后求值域的时候，也要考虑这个 c 的 角范围对这个值域的影响。最后 c 的 角就是什么呢？四分之 c 的 角是在哪四分之派到？呃，这个不对。嗯，这个角就是 c 的 加斐它的范围， c 的 加的斐的范围是四分之派到六分之五派， 这个范围在这个范围内。求最后最后这个负值角公式，得到的这个三角函数的它的值域就可以了， 看他能不能取到括号里这个呢？ c 特加否能不能取到二分之差？能取到二分之差，他就能取到。最大值是根号三，然后再考虑一下他能不能取到最小值呢？最小值取不到，但是他的能取到的范围是什么呢？大于这个值对应的三角函数值， 这是二分之一，二分之一对 sin 六分之 pi 是 二分之一，那也就是说它的值域最后是二分之，根号三到根号三，这样就可以了，这就是三角换元。第四个求值域的方法叫做有界性法，又称为反解法， 就是我们学过的一些函数，比如说三角函数啊 cosine， 它是有界的负一到一，再比如说 x 方大于点零， a 的 s 是 大于零的。当一个函数里有这部分结构的时候，就这几个结构的时候，有的时候我们去求值域的时候，可能会用到这种方法，叫做反解法， 那么什么意思呢？比如说我们来看这个题，这个题是由 x 方来表示的这个 y， 那么遇到这种情况的时候，我们知道 x 方满足大于等于零，我们就可以做到这样一件事，用 y 来表示这个 x 方， 怎么去表示呢？我们详细写一下，就是把这个分母乘过来，就是三 y 加上四 y， x 方等于一减二 x 方，然后把 x 方放到一起，就是 x 方倍的 四 y 加二等于一减三 y， 然后把这个除过来，就会得到这个式子，这个式子 s 方等于一减三 y 比上二加四 y， 就 完成了用 y 来表示 s 方这样的过程，这过程又叫做反解，所以说它就叫做反解法。 反解完之后，由于 x 方它是有界的，它大于等于零，那么这个分式是由 y 组成的，对吧？它大于等于零，是不是就建立一个关于 y 的 不等式，解出 y 的 范围就是这个函数的值域， 这就是反解法的精髓啊。再比如说我们看下这个下面这个例子，这个例子， 这个例子我们可以令它等于 y， 就 写出这个式子，由于我们知道三角函数是有界的，对吧？那么我们就可以把这个分母给它乘过来， 分母乘过来，我写在下面就是一减去 sine x 等于二 y 减三 y cosine x， 这个时候我们把三角带有三角的函数放在一起，就 cosine x 和 cosine x 放在一起，然后变成这个式子。 为什么这样做呢？因为 sin s 和 cosine s 可以 利用负极角公式进行合一变变形，负极角公式一用就得到它了。得到它之后，我们知道 sin x 减 f， 它是有界的， 它有界，它有范围，它是多少啊？负一到一嘛，那么我们把这个系数除过来，就它除以这个系数就得到这个式，那么它的绝对值不就应该是它的绝对值吗？ 哎，这个 f 这个位置写的有点问题，对吧？但没关系，我们知道是什么呢？这个绝对值这个结构，它的取值范围就小于等于一。 利用三角函数也有切性来反解出这个 y， 用 y 这个式子去求出呃，建立不等式对吧？它小于等于一 去解这个不等式，最后的解集是大于等于小于等于四分钟，就这样一个逻辑，这就是反解法或者有界性法，它的做题逻辑。
98王老师讲数学
00:33查看AI文稿AI文稿十五秒咱们就能记住的高中三角函数，高一、高二高三咱们都能用啊，看一遍就记住了啊，一辈子你也别忘了！ 孩子们来看口诀了，请记好，一二三三二一三九二十七，所有根号别忘记，塞引是二，正切小三做到底记住了没？
9357大郭老师讲高考
05:21查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下函数 a 卷的选择题，来看第一题，这个函数的定义域是多少？好，我们先看第一个，它在根号里面，所以呢， 根号里面被开方数要大于等于零，所以一减去二， x 要大于等于零，好，那第二个呢，它是在分母的位置，所以呢，它不能等于零，所以 x 减一要不等于零，好。第三个，它是对数函数，在增数部分要大于零，所以呢， x 加一 要大于零，好，那解出来的话呢， x， 第一个 x 小 于等于二分之一，好，第二个 x 不 等于一好，第三个 x 要大于负一，好，如果你这样子还看不出它的定域是多少，那我们可以画一条竖轴 好，这里是零，然后呢，这里是负一，好，这里是一，然后这里是二分之一。 第一个 x 小 于等于二分之一，好，那就是实心，然后往左边画，好，我们先来看第三个， x 要大于负一，好，那就是空心，然后往右边画， 再来看第二个， x 不 等于一，好，那就是没有包括一，那就只有在这中间这一部分哦，所以呢，他就是负一到二分之一，那这里的话，我们就选 b， 好， 来看第二题，下列函数在负无穷到零上单调递增的是，好，我们先来看第一个，第一个，一次函数 y 等于 k， x 加 b， 这里呢， k 小 于零， 所以它是减函数。第二个反比例函数 y 等于负的 x 分 之二， k 小 于零，它是增函数好，所以这道题呢，我们选 b， 按 c， y 等于 x 的 平方加三好，它的对称轴 x 呢等于零，好，然后呢，它在负无穷到零的这个区间内，它是一个减函数， 好的，再来看 b 选项， b 选项是 y 等于三 x 好， 这里呢，它是没有单调性的 好，所以呢，我们就选 b 看第三题。已知函数 f x 是 定义在 r 上的奇函数，注意，它是奇函数，且对于任意实数 x 都有 f x 减二等于 f x， 这个很重要。 好，接下来呢，还告诉我们一个条件， f 负一，它会等于五，要求的是 f 二加 f 三好。这类题型呢，其实你只要学会转化，很简单的一个屏幕。好，我们来看一下，这里呢， f x 减二，它会等于 f x 好， 这里我先把它写下来。那么 f 二会等于多少？ f 二就会等于二减去二，因为 f x 减二，它会等于 f x 嘛，所以二减二呢，就是等于零，所以是 f 零加上好，那 f 三等于多少？ f 三就等于三减二嘛，等于 f 一 好，所以呢，其实我们要求的就是 f 零加 f 一， 奇函数在 x 等于零处有意义时呢， f 一 会等于多少？我们来看好，那，因为它是奇函数，所以呢， f 一 就会等于负的 f 负一好，那 f 负一，它等于五，那负的 f 负一，它就会等于负五好，那 f 一 就等于负五，那就是零加三负五好，那就等于负五。选 a 好， 来看第四题，第四题是双分题，函数在这个区域内，它是正函数好，正函数有一个什么特点呢？就是质变量越大，音变量也越大。好，我们来看一下这这里哪一个什么特点呢？就是质变量越大，音变量也越大嘛， 它的自变量越大，它的音变量就越大。所以呢，选 b 来看第五题。设函数 f x 等于二 x 平方加四， x 加三，则 f x 的 单调真区间，注意是真区间好，它是一个 一元二次函数，它的开口是向上，所以真区间就是右边这一部分。那我们主要是求出它的对称轴好，这里 x 等于负的二， a 分 子 b 好， 代入的话，它会等于负一好，那就是负一，它对称轴，这里就是负一好，这边是正的，那就是正无穷， 那单调对称间就是负一到正无穷好，所以呢，只有 b 选项符合，选 b 来看。第六题作函数 f x 等于五， x 的 平方减 b， x 减一好， b 属于全体时数，它是一个偶函数好，注意，它是一个偶函数，要求的是 f 二 好，那我们先转换一下式子，根据偶函数的一个性质呢， f x 会等于 f 负的 x 好，那把这个式子转化一下，就是五乘以负的 x 的 平方，再减去 b 乘负的 x 减一好，然后呢，偶函数 b 呢，会等于零， b 等于零好，所以呢，转化之后，它就会等于五， x 的 平方 减一好，那 f 负二，就直接把负二代入到我们转化的这个式子里面，就是五乘以负二的平方 再减一好，负二的平方是四四乘五二十二十减一等于十九选 d 的 好。我们来看一下第七题，这个函数在这个区间上的奇偶性好，那在这里呢，这个函数在这个负三到三的区间，它是不关于圆点对称 好，所以呢，它是一个非极非偶函数好，来看第八题，第八题就是分段函数，分段函数呢，我们要从里往外算，先求出 f 六， f 六好，六，它大于一，直接带入第三个式子，就是负六加五等于负一好，接下来呢，就是求外边，也就是求 f 负一 好，负一小于等于零，把另一个式子带入，就是二乘负一加三等于一选 a。
47许先生的学习铺
03:11查看AI文稿AI文稿我们高一讲函数的时候，特别喜欢考这个函数，就说白了，我们考试的时候，飘带函数它会变形，你比如我写的这个函数和这个函数有什么区别？首先它俩长得很像啊，这不像呀，你看你通过分， 它是飘带函数的倒数，这是高考考的重中之重，特别喜欢考它图像，它的图像怎么画呢？来，我们给他画一画。来来来看，首先它分两种情况，第一种情况就是 x 等于零的时候，它就是零。 然后第二个呢，就是 x 不 等于零的时候，明白了。然后呢，我们把 x 给除下来， x 给除下来的话，它正好是 x， 减去 x 分 之一，也就说它是飘带函数倒数。听懂我的意思吗？它是飘带函数倒数的话，那大家思考一下，也就说我们先把原来飘带函数给大家画出来啊，这就是飘带函数。 那么这道题考了一个什么性质呢？考了一个高考必考的性质，哎，取倒数是影响单调性的，所以这个画法就考两点，跟你说，第一个点是什么？一定要知道，考点就考两点，第一倒数是影响单调性的，你得知道他怎么来的，不要背啊。 第二点是什么呢？他考的是极限运算。高一的同学，初高衔接的同学就应该学极限运算，可能很多同学学极限运算学不太明白，不会的，我给大家讲一讲，什么意思呢？比如当 s 点零的时候，他是零，我们给他画一画啊。极限运算都会画过什么？一比零是多少？ 一比正无穷是多少？一比正零是多少？一比负零是多少？这个地方很简单，从初高衔接就开始学啊。首先零的时候他当然是零啊，零的时候是零，我们刚才说到了，对不对？大家可以看一下，零到一的时候，他是不是他是真的， 他是真的，全倒数之后一定变成减的，这个地方是负无穷。一比负无穷是多少呢？一比负无穷，你不要把它想的太抽象，很多学生他想不明白一比负无穷是多少，为什么？ 因为他太抽象了，你把负无穷想成一个负的好大好大好大好大好大好大的一个数，你就明白他是多少了，你拿着小学计算就可以了。小学二年级吧，除法一比上一个好大好大的数显得是零啊，前面还有个符号，所以他取进负零， 听懂了吗？所以这个地方是负无穷，他取到时去进负零，这地方是正的，他取到数是变成减的， 对吧？变成减的，那么这个地方是靠近零，因为他这个分母肯定不能等于一啊，所以这个一是渐近线，分母等于零的时候，他都是渐近线啊。得理解这一点，就是因为极限预算，因为靠近一的时候，这个地方是零了。一比零是无穷大， 但是呢，这个量是一个负零的意思，一比负零显然是一个负无穷，所以他图像就应该是这个样子的，看见了吗？哎，这量是几呢？这量是一靠近负无穷，那么超过一，一丢丢，他就变成正零了。一比上一个正零，他就应该趋近于正无穷，所以他的图像就应该是这样的。 听明白了，他就涉及了极限预算，那么趋近正无穷的时候，一比正无穷，显然又是正零。当然我说的这些东西你都得需要会， 会什么呢？你都需要会这个极限运算，这样的话才可以。又因为它是一个奇函数，所以它的图像是关于原来对称的。关于原来对称的话，那当然图像是这个样子了， ok， 明白了吗？又因为它图像关于对称，那这个图像就搞出来了。
1034数学赵礼显
05:11查看AI文稿AI文稿下列函数定域是零到正无穷的函数，首先根号里边的数大于等于零，所以它的定域应该是 b 区间，零到正无穷。你看这有括号的中括号，所以不能选 啊。二、 b 选项，根号 x 分 之一，首先它在根号里边应该大于等于零，其次它又在分母，分母不能等于零，所以是大于零。选二 b 好。第二题， f x 等于 x 方减五， f 二 x， 这里二 x 的 位置就是原来 x 的 位置，所以把所有的 x 都换成二 x 就 行了。 x 方 x 换成二， x 的 平方减五， 二的平方是四， x 方是 x 方，四 x 方减五，所以选 c 啊。选 c， 经过一一的函数解析式啊，这个就是 x， 这个一就是 f， x 就是 二，一加一的二，所以不对 啊，一的时候一减二是负一啊，负一分之一还是负一啊，这也不经过一一，这里 x 是 一，这是根号一等于根号一就是一，所以一一满足，所以选 c。 第四题， f 一 百一百的位置就是 x 的 位置，把 x 换成一百就可以了，就是根号下一百就等于啊十啊，根号一百就是十，因为时乘十的一百。 第五题， f 负一啊，负一的位置就是 x 的 位置。首先， x 小 于零，负一肯定是小于零的，所以是二分之一，就填前面这二分之一就行了，所以 f 负一等于二分之一，所以这个就变成了 f 二分之一， 二分之一是大于等于零的啊，大于等于零的代入就行了。把 x 换成二分之一，所以就是四乘二分之一啊， 四乘二分之一等于啊二 a 同意函数啊，他俩一模一样，就是同意函数。首先，这是 x 的 绝对值，这个任意的 x 方，这个 x 可以 提到前边啊， 就变成了 x 的 浪 e， 浪 e 是 一啊，所以就变成了 x。 一个是 x 绝对值，一个是 x， 它肯定不是同一函数啊。这个根号下， x 方，它是 x 的 绝对值，一个是 x 的 绝对值，一个是 x， 也不是同一函数啊。任何数的零次方都得一，除了零之外 啊，除了零之外，所以这个也不行二 b 选项啊，这个 log 二分之一为抵 x 的 对数，这个可以变化一个形式啊， 这 log 以二分之一为底， x 对 数，它其实就是 log 二分之一换成二的负一次方啊，这个负一可以往前面挪， 负一啊，嗯，一就省略了啊。 log 以二为底， x 对 数啊，看，给它加上一个绝对值啊，负一的绝对值就乘以它和它是完全等价的，所以可以选啊，就选二 b 啊，二 b 啊，这负一可以往前扎啊。 第七题，值域是零到正无穷啊。 x 方啊，值域就是 x f x 的 范围， x 方啊，是大于等于零的，可以等于零啊，可以等于零，所以不能选二 b 选项，二的 x 次方，它是一个指数函数啊，指数函数它是二从左到上升的啊，值域就上下看，你看正好是零到正无穷。可以选啊，可以选 c 选项。我说一下 log x 图像，它是这么画的，横过一零这个定点，它的绝对值啊，肯定是把这个底下这个小于零的往上翻，你看它是大于等于零的，你看这没有等号，所以也不能选啊。 如已知函数，它与函数，它有相等的函数值啊，相等的函数值，也就是二 x 减一就等于 x 分 之一 x 的 值，咱们可以代代选项，你看，如果等于负一的时候，二乘负一是负二，负二减一是负三 啊，这要是负一就是负一分之一就是负一。不行，负一肯定不成立，排除看得一的时候。二乘一减一啊，是一，一分之一也是一一的时候。行， 咱们再看一下负二分之一，如果是负二分之一，二乘负二分之一减一等不等于啊，负二分之一分之一啊，这是二乘负二分之一是负一，负一减一是负二，一除以负二分之一就等于乘以它的倒数。负二分之一倒数是负二啊，一乘负二还是负二，哎，正好，所以选二 b 啊，二 b 这个选项都可以 f 负一啊，判断正误， f 负一负一就是 x 的 位置， x 小 于等于零，往前带二乘负一啊，二乘负一是负二，负二加三是正一，所以这变成正一了，所以就要求 f 一 一大于零，往底下带一的平方是一，一减 四等于负三啊，所以结果是负三就对了，是五，所以说不对。 f 负 x 等于它判断对不对啊？把所有的 x 都换成负 x 换啊， x 换成负 x， 那 就是二减，负 x 就是 二加 x 啊，这个 x 变成负 x 就是 二加负 x 就是 二减 x， 哎，正好，这是对的。定域就看 x 的 范围，这是大于负六，小于零，这是大于等于零。小于等于六啊，大于负六， 你看没有等号啊，然后零这有等号，你看零这衔接呢，小于等于六就正好啊，这是对的啊。定义 x 的 方位，负六到六，然后负六是小括号，六是中括号，然后零这块也连接上了，只有等号。
2858小小教书匠
00:43查看AI文稿AI文稿郭老师今天教你一个顺口溜，数学考试的时候真的能一分都不扣，家里有高中生的家长记得点赞收藏，只要让孩子记住这个顺口溜，高考常考的难点就能解决百分之九十。顺口溜就是函数值域，看定义域 单调基友，先分析导数求零判增减向量投影记公式，三角恒等变同名数力求和找通向 逆其几何见坐标系解析连理算，判别概率分布，再分类复数时需要分清，你学会了吗？
11全托集训顾老师
12:34查看AI文稿AI文稿倒数型构造函数还在发忙，记住这些模板，此类题型直接套用。有一类题型，他是通过求导之后，我们反推他原本的函数，如果我们知道他原本的函数的模型，那么此类的题型呢？我们做起来非常快，今天我们来讲三个常见的，第一个， f x 与 x 构造的函数。第二个呢， f x 与 e 的 x 之方啊，这里打印错误。第三个， f x 与三 e x 以及 cos 三 e x 它的原本模型。 看到第一类，利用 f x 与 x 的构造，看到题目，已知函数 f x 在 r 上满足 f x 等于 f， 负 x， 意味着它是我们的偶函数， 当 x 属于负重到零的时候， f x 加 x， f e， p x 小于零，乘力若 a 等于啊，然后给给了我们 a， b， c， 让我们去比较 a， b， c 的大小关系吧。好，我们看到这， 那么这句话， f x 加上 x 乘以 f e， p x 小于零，它究竟是什么意思呢？我们来分析这个条件， f x 加上 x 乘以 f e， p x 小于零。好，我们看到这个，这个呢，稍微需要那么一点点经验。这里是不是出现了 f e， p x 意味着我们的 f x 怎么样？他求了倒，对吧？ 然后前面呢，还有一个函数，然后这里他是一个 f x， 意味着 f x 没有求导，但是他前面已经没有了，他只有系数一。中间呢，又是一个和的形式， 它像什么呀？是不是像我们函数 g 的形式，求导的形式啊，我们有什么呀？还记得 g 的形式求导吗？ g x 乘以 f x 对他们去求导，就变成了 g 一撇 x， f x 再加上我们的 g x， f e， p x。 我们来比较一下，你会发现这里跟他怎么样是有点像的对不对？只不过此时我们的 g x 变成了 x 吧，但是我们这里有 f x， 他这里却出现了我们的 g p x。 我们再想想看，我们的 x 如果直接求导的话，他的系数是不是直接变成一啊？ 所以我们这里的原函数的模型其实是什么东西呢？也就是我们的 x 乘以 f x， 我们令它等于 g x， 我们再检验一下，我们对 g x 去求导，你看看，首先我们 x 求导它就是一，然后后面不变，然后再加上呢？第一个不变，第二个求导，你会发现 他求完导之后就是题目里所给的条件，那么他小于零意味着我们的 g x 单调递减，当然他给我们的定义是 x 属于负无穷到 零的时候，它是单调递减，对不对？那我们的 a 跟 b 跟 c， 你会发现，我们这里的 x 它是不是就是二的零点六次方啊？其实这里也已经提示我们所需要构造的函数吧。然后 b 呢，若影二它也是大于零的，我们二的 零点六次方也是大于零，但是我们这里的 log 二八分之一它是小零。这里很明显我们需要通过它的机油性去把它变成同一边的，或者说同一个单调的区间内才好去判断。 所以我们这里利用我们的 f x 等于 f 负 x， 但是你要注意，我们这里都是 x 乘以 f x 的形式吧。所以就意味着我们要判断我们的 g x 在我们的 零到正无穷的单调性是什么样的。我们利用我们的 f x 为积函数来看一下，那我们只要看我们的积负 x， 它是不是就等于负 x 乘以 f f 负 x， 那么我们有知道 f x 它等于 f x 哒，所以它等于负的 x f x 它不就等于我们的 food g x 吗？所以我们知道 g x 怎么样，它是一个 g 函数，既然是 g 函数的话，我们知道它两边的单调性应该是保持一致的吧。所以呢，我们从零到正无穷的时候，它也是单调递减的。 现在看到他需要我们去比较的东西，我们的二的零点六次方，很明显他是大于一的，对不对啊？看到若影二呢，他是大于零，但是他是小于一的吧，因为我们这里唯一的时候，他刚好就是一嘛，然后最后一个 log 二八分之一，它等于负三，它是小于零的，那我们这个 g x， 它整体是一个单调递减的函数，所以我们越小的反而怎么样？越大对不对？所以我们最大的应该是我们的 c 到，其次是 b， 然后再是 a， 所以最后选到 b 选项。第二类的题型，利用 f x 与 e 的 x 之方来构造已知可导函数 f x。 若对任意的 x 属于啊，都有 f e p x 减 f x 小于一，并且呢， f 零等于二零二二， 那我们求不等式 f x 加一大于二零二三乘以一的 x 次方的解积为多少？同样，它这里的关键这句话是不是在这个地方？那这句话什么意思？我们得把它翻译出来， f 一撇 x 减去 f x 小于一，那我们来看看 f e p x 减 f x 意味着什么呢？你这里是对 f x 求导了，后面是没有求导，但是中间我们是一个差的形式，那什么求导会出现差的形式啊？是不是我们商的问题？那商的求导，但是他这里有个问题，你 照理来说这里还有一个圆函数 g x 吧，这里呢，应该有一个 g e p x， 但是你会发现 g x 与 g e p x 它通通不见了。 如果同学们没有经验的话，你从这个题目里也能够给到提示了，我们这里莫名其妙的做出来一个什么 e 的 x 次方吧，所以很明显，我们这里其实就是 e 的 x 次方， 因为 e 的 x 次方你求完导之后，它同样是本身，而且你通过这里是差的形式，你知道它是一个什么呀？商的形式，所以我们的分母它是 e 的二 x 之方嘛，跟上面的 e 的 x 次方肯定是可以直接消掉一个 e 的 x 次方嘛。 说明需要构造的函数是什么呢？首先我们要构造的就是 g x 等于我们的 f x 比上 e 的 x 之方，同学们可以去验证一下，我们求下答案。 g p x 首先等于分九档，它就是 f e p x， 然后呢，分母不变，减去分 分母。求导，分子不变，比上我们分母的平方不就是 e 的二 x 次方吗？你会发现可以约掉一个什么呀？ e 的 x 次方对不对？就变成了 f e p x 减去 f x， 再比上我们的 e 的 x 次方好，我们的分母肯定是很大于零的，意味着我们这里的分子它是不是小于一横成立啊？ 那么小于一横成立有什么用？我们需要判断的是他与零的大小关系吧。说我们这里还差了一个一，如果这里他小于一乘立，如果他这里减去一个一呢？意味着他怎么样？整体小于零 分子这个减一他应该是怎么去出来的？我们想想看，无非就是你这里有一个一，或者分母有一个一吧。我们去思考一下，如果分子有一个一，首先我们的分子就导，那这个一肯定就不见了，对吧？然后呢？分母 没有一的话，然后分母做到，然后再减去我们分母做到不变。分子如果他这里有一个一，我们想想看这里负负号，对吧？所以我们这里需要的是什么呀？是一个加一，对吧？如果变成加一的话，你区括号就变成了减一了。所以很明显我们的 g x， 它其实真正的是什么东西呢？ e 的 x 方分之 f x 加一就可以了。好，我们可以再次去验证一下， g p x 等于分子求导，就是 f e p x， 然后分母不变，减去分母求导，分子不变， 加上一，再比上我们分母的平方，也就是 e 的二 x 之方，所以最后约掉变成了 f e p x 减去 f x， 再减一比上我们 e 的 x 之方，这里很明显它是小于的，所以它整体就小于零。所以我们的 g x 呢？这个函数 他在我们他有给定义吗？任意的啊，属于 r 的时候，他都是单调递减的。再来看到他让我们解的不等式，其实从不等式，你会发现他也给了题，是吧？我们 f x 加一，我们把 e 的 x 除过来，不就变成了 f x 加一比上 e 的 x 四方吗？是，他其实让我们解的不等式，就是 f x 加一 比上 e 的 x 次方，也就是我们的 g x， 它大于二零二三这个解 g， 那我们怎么去接？还有一个条件没有用到，我们的 f 零等于二零二二，那我们看一下 g 零它是等于多少？ g 零它是等于 f 零加上一 b 上 e 的零次方也就是一，所以最后等于二零二二加一。好，你会发现他刚好 g 零就等于二零二三吧，二零二三， g x 呢？他又是一个单调递减的 函数，所以我们就求出来，只需要我们的 x 小于零就可以了。所以我们这个题目选到 a 选项， 大家看到最后一类的题型，利用 f x 与三 e x 以及 cos 三 e x 来构造已知偶函数 f x 定义域给了我们负二分之派到二分之派，它的导数为 f e p x， 当 f x 属于零到二分之派的时候， 有这样一个式子， f e p x 和三 e x 加上 f x， 三 e x 小于零。好，我们来看到这句话， f e p x 乘以 cosine x， 再加上 f x 乘以 sine x 小于零。我们分析一下， 首先这里是 f x 的导，对不对？那么另外一个呢？就是没有求导的，所以这里没有求导就是 cosine 了。那么我们的 g x 乘以 f x 的这种形式， g x 是不是就等于 cosine x 啊？好，这里同学们注意往下看，那我们这里 是 f x 没有确脑，意味着他是求完导之后的函数吧，现在看什么函数求完导之后是三 x 呢？也就是我们前面的 cos 三因，但是你要注意，他求完导之后应该是 food 啊， cosine 一个传导作应该是 food sign x 吧，所以这里的加号啊，它原本是减号，应该是减去我们的 cosine 一撇 x， 你最后求完导之后就变成了加上 f x 乘以三 x， 能够理解吗？所以它中间其实真正的是减号，所以它构造的函数其实是一个商的形式，并且是我们的 f x 与 cosine x 这种形式。好，我们构造 g x 就等于 f x， 比上我们的 cosine x， 我们来验证一下看看。 g e p x 就等于我们分子九导 f e p x 分母不变，然后 减去分母，做到呢？它不就是负的 satin x 嘛，然后再分子不变，比上我们 cosine 平方 x 这个盘，它这里刚好就是我们这里给的东西吧，所以它呢小于零，我们口才音平方 x， 自然是小于零的喽，所以整体它就是小于零，意味着我们的 g x， 它在给我们的定义零到二分之派的时候， c x 单调递减，现在知道的是零到二分之派上是单调递减的。还有一个是什么呀？负二分之派到零，我们是不是不能够确定了？ 它前面给了我们一个偶函数，所以我们需要通过这个偶函数去判断我们的 g x， 它是一个什么样的函数。我们来看到我们的 g 负 x， 它就等于 f 负 x， 比上 cosiling 负 x， 那么 f 负 x 呢？因为它是偶函数嘛，我们的 f x 就等于 f x， cosine 负 x， 它就等于 cosine x 吧，它等于我们的 g x， 所以 g x 它其实真正的就是一个偶函数。好，我们来把它的图像大概的画一下，画个草图吧， 那么他是偶函数，从零到二分之拍的时候是单调递减，意味着从负二分之拍到零的时候，他是单调递增的，对吧？那么看到他既然是单调递减，我们看到他的不等式，我们把图像直接画出来好了，画个草图， 所以它大概是这样一个形式的图像，对不对？它的不等式让我们解的是什么呢？我们是需要把这个口三 x 除过来吧，我们写到旁边好了，我们的 f x 比上括三 e x 小于，你会发现这里出现了 f 三分之派，他没有分母啊，但是他前面有个系数是二，同学们想想看，括三 in 三分之派是不是刚好就是二分之一 呀？那么比上二分之一不就是乘了二吗？所以它其实真正的就是 f 三分之派，比上一个 cosine 三分之派好。那我们来看到，首先呢，它是一个偶函数 这样的一个形式，对吧？先增后减，他小于三分之派的大概在这个位置，这里是三分之派，这里呢也是三分之派， 所以我要这个 gx 小于我们的 g 三分之派的时候，意味着就是在这两边，也就是零啊，这里应该是负二分之派到三分之派的时候，并上一个我们的三分之派到二分之派这两个区间吧。所以我们选到 a 选项，应该能够理解吧。同学们， 以上呢，就是我们常见的三种，利用 f x 的导数推导出他圆函数的模型，从而去解决此类的问题。当然在考试的过程中他可能会出现一些细数的变化，同学们自己再去凑一下就可以了。好，我是杨洋，我们下期视频再见。
400杨杨杨讲数学
02:47查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们中午好呀。介介绍一下昨天晚上我昨天晚上点了什么？点了那个什么某星鸡排，看某星鸡排，然后还配那个榨菜。榨菜没办法，实在是有点小干。没有没有，买饮料。 可惜昨晚宵夜时候没给你们拍。不重要，这道题同学现在估计已经秒了。哎呀， 要派嘛，你过了一个区间就变负了嘛。咳咳， 这个很简单的，你看哦。 好，派加 alf， 首先是负的，对不对？对不对？那就很简单了，那就直接等于先抄下来， 对吧？你看以后再加一个锐角，那就负的呀，然后这凑起来就好了。我这教你，教你怎么记而已。哦， 你根据他给你的那个，呃，你要记的那个知识点，然后利用图像把它巩固，我是这么记的，然后这个 off 自拍要变了啊，要变成三人了。 然后呢？ off 自 off 自拍加这个 alt 法，我们看一个三人图像。 哎，在这里看吧，我写到那边看不见 off 自拍是不是在这里，对吧？那你再过来一点，就是负的了，所以它是负的，结束 一遍，二五遍。符号看象限符号，看是什么什么符号。哦，是原来那个函数的符号，然后等于负二三。 好，虽然说这个很简单，但是我还是讲了那么久，我服了。哎呀， 同学们，明天见。点点赞，点点关注，谢谢同学们，拜拜，明天见。
27术学术学
00:42查看AI文稿AI文稿我教你一个高考数学的顺口溜，数学考试的时候一分都不会扣，给家里有高中生的孩子点个小红心收藏好，有了这个顺口溜，就能帮你省下几万的补课费，你只要让孩子记住他高考常考的难点就能解决百分之九十。 你可以先点个小红心收藏好，不然等你要的时候找不到。顺口溜就是函数值看增减 项链、投影机公式、三角横等变同名珠联求和找同向立体几何建业力、坐标系解析、连理算判别复述、虚实要分清，你学会了吗？
2108学业规划朱老师
01:47查看AI文稿AI文稿二倍角公式又被我秒了！很多同学呢，背这个二倍角公式啊，背完就能够弄混，然后做题的时候就是一脸的懵，对吧？很多同学都有这种感觉，但其实他根本不需要去死记啊， 挣钱。乘以二百二法是不是等于二倍乘以二法 cos 二法，那我们就能够推出乘以二法 cos 二法等于二分之一乘以二平方 cos 平方，二法加减二倍乘以二法 cos 二法，那他是不是就等于乘以二法加减 cos 平二法的平方 你选 cosine 二倍 r 法是不是就等于 cosine 平方 r 减 cosine 平方 r 法，那它不就等于二倍 cosine 平方减一吗？等于一减二倍 cosine 平方 r 法，我们把二分之 r 当成 r 法，就有生命公式一加 cosine r 法是不是就等于二倍 cosine 平方二分之 r 法一减 cosine r 等于二倍 cosine 平方二分之 r 法吧。 然后我们看这 cosine 二倍啊法的这两个公式，我们是不是又能够推导出加密公式？ cosine 平方啊法等于二分之 cosine 二倍啊法加一剩余平方啊法等于二分之一减去 cosine 二倍啊法等于一减贪婪的平方啊法分之二倍贪婪的啊法记住这个分子分母的符号，我们是不是就不会用错了？ 掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目都是送分题，看一道二倍角题目都是送分母的符号，我们是不是就不会用错了？掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目都是送分母的符号，我们是不是就不会用错了？掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目的符号等于多少？ sin 二倍 r 法是不是等于一减二倍的 c 衍平方 r 法？那他就等于一减二乘以三分之一的平方吧！那他不就等于一减九分之二吗？那他不就等于九分之七吗？选 b 这是一个高考题啊，但我们只花了十秒。二倍角公式，不用死记硬背，掌握核心的公式。所有的高考题都是口算题。 再来看一道二零二一年新高考全国乙卷的题目，他说 cosine 平方十二分之派减去 cosine 平方十二分之五派。答案是多少？大家把答案写在评论区，让我看看有多少人会做，会做的同学打一个！会了点个关注，高中数学干货持续更新，轻松提分！
72高中数学阳学长
