高中数学必修二立体几何教案
高一数学必修二，这本书是你最容易拿分的一本书了，这本书到底该怎么学？有哪些重难点？罗老师带大家来看一看。那么第一章呢，是平面向量，非常重要，这一章里边有一个正弦定律和余弦定律， 需要结合我们前面所学的三角函数考察，高考大题里边必出一道，而且这一道大题是我们必须要得分的。除此之外，后面我们在选修里边会学到空间向量， 平面向量可以说是空间向量的基础。那么第二章呢，是复数，也是高考的一个必考点，但是非常简单，都是送分题，只在选择题当中考察，要么是第二题，要么是第三题。那么第三章呢，叫做立体几何初步，是整本书的第二个重难点，也是非常重要的高考大题里边必考一道， 所以这本书呢就占了两道大题了。那么例题几何初步除了他的主流考法，也就是我们经常做的平行啊，垂直啊，他的一个各种证明，还有两个比较难的考法， 一个就是外接球和内切球的各种问题，另外一个就是空间角的各种运算，所以这是两个难点， 想要冲高分的同学，这两个难点必须要掌握，必须要会。那么最后两张呢，就是统计和概率，如果考简单了，大家都会，如果考难了，谁也做不出来，那特别是概率，也基本上是每年都考， 正常的分值是在十分左右。所以大家要知道这一本书它的重难点在哪里，那么我们学起来呢，才会有方向。
粉丝8754获赞4.4万
相关视频
08:29查看AI文稿AI文稿高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！
749老胡模型数学思维提升
51:33查看AI文稿AI文稿同学们好，请坐好，那同学们，今天我们要讲的是立体图形的直观图， 那前面我们讲的助推排球以及简单的组合体，为了将这些空间几何体挂在纸上， 那我们用平面的图形把它给表达出来，使我们可以根据我们的平面图形想象空间几何体的形状跟结构。那这就需要学习直观图的画吗？ 那么什么叫直观图呢？是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在一个平面内的点， 这些点我们全部都要画到哪里去？画到一个平面图形里面去啊，所以画出来图形啊，往往跟我们啊，真实的形状不完全相同啊，那 我们在画这个直观图的上，往往是通过平行投影下得到的平面图形。那么首先我们要画立体图，那第一个，第一个就要规划怎么样啊？水平放置图形，他的直观图是什么样子的？ 好，所以今天我们第一个是水平放置的平面图形，他的直观图的画法。来我们看一下，这个大家就比较有生活经验了，咱们的窗户，然后呢，阳光打进来 照到地板平面上，你看到是什么？这才是矩形吗？啊？看到的是一个什么呀？平行的，你看到的这个农田呢？ 你看也是什么呀？平行是平行，那其实这个阳光是什么样子的线？ 平行的线是吧？平行线，只不过，只不过我们这个窗户在哪里？ 在跟我们的投影面是吧？投影的地板平下来是什么关系的？垂直的，而这平行光线呢，又跟我们这个平面有一个夹角，有一个夹角， 所以他水平投影过来是不是，是不是变形了，像平行四边一样呢？比如说农田，咱们的视线是不是出了平行实线过去啊？所以看到的是不是变成什么了？ 变成一个形似变形啊？所以这是跟我们观察的角度是有关系的。一个物体的投影不仅跟这物体的形状有关，而且是跟投影的关系，跟物体跟投影面的位置关系是有关系的。如果矩形 放在垂直于投影面的这样子一个平面上，然后投影线呢？又跟这个不垂直 啊，跟头笔面不垂直，那这矩形就变成一个平行边形了啊，这就是水平图形啊，它的直观度。那怎么画那？我们经常是用斜二侧画法来画斜二侧画法， 一个是斜的是吧？两个是平行的跟垂直的啊。那么我们在画的时候，在已知图形里面取互相垂直的 s 轴跟 y 轴， 两轴的焦点叫做 o， 那 画直角的时候呢？那就变成 s 撇 o 撇 y 这样一个坐标系，只不过 原来是垂直的，那你现在画的几度？四十，那左边同学看过来是四十，右边同学看这两条是不垂直的，那你看到了，是不是 角度是较大一点，那这边可以看过来是变四十五度了啊，所以人一画成四十五度，行画成一百三十度呢， 这是第一步，第二步的话是平行二头的，或者在二头上，它的长度啊，是不变的。 平行 h 轴的，那到 s 撇轴这边是还是平行的？菱形保持不变，平行外轴的还是保持平行的长度啊？平行 a 轴的，不变平行外轴的。这样啊，剪成什么？原来的？原来的一半， 哎，那比如说我这个是正方形，正方形我给它画出它的直角图，那我们应该怎么办？ 第一步咱们要先给他取一个坐标系来，是吧？哪里 a 点可以啊？ 那接下来我们要把它翻过来，是吧？所以这变成 s 点，这边歪一点角度， 然后现在呢？现在我这个正方形，哪个可以先把它搬过来啊？ ab， ab 长度有没有变？ a 变，所以这边是变成 ab 对 不对？那我搬过来一个一撇 b 撇吧。 接下来搬哪一个？墙搬完了，搬是不是在外角上？还在外角上？跟外角平行还是什么？要先把谁搬过来？ a b 好， 注意长度要怎么样？长度要减半，减在上面。那我这边是 b 点，就过来了， 接下来剩下哪个点？ c 点？ c 点怎么帮谁？ c d， 那 就 c d 原来跟 a 轴平行，现在呢？长度有没有改变？或者帮谁 bc 行不行？ 那你原来是平行外轴，那我现在就平行谁？我也觉得那长度，长度就跟 o 啊，跟这个 a d 是 一样长， 然后把这辅助的拆掉，这个就行了。所以第一个是画轴是吧？第二个是找什么呀？长的部分，第三找宽内部分是吧？那这样子拆掉就成堵了。 那这两个的面积有什么关系啊？也就是二比一对吧，因为因为他那个长的宽的部分要剪断呢， 这是正方形哈，那我这段是 a， 这段也是 a， 那 翻过来这是 a， 那这段是等于，那我这个四边形的面积呢？高是二分之 a 吗？不是几度，所以我应该是二分之 a 的 多少， 然后底数等于 a， 所以 我这 s 撇就等于四分之根号二乘以， 所以我的面积应该是原来面积多少？四分之四分之 零。那接下来我们来看一下这个正的六边平方 hmm， 那我们第一步要干嘛？去哪里？不要跑，你的原则是什么呢？ 尽可能多的点赞走上，等一下就少少出平行线了吧。 尽可能多的点在轴上啊，当你这样子水平放置有一条，这个 b c 这条边是水平放置，那我就要画成跟 a 轴怎么样？平行平行，所以我就请谁坐远点吧。 哎，你是正六边形，你找他什么中心是不是？ 那 a b 两点， a b 两点呢？哎， a m 是 在 s 轴上，并且它的长度是边长的两倍吧。那你说六个等边长也放在一起了吧，然后接下来呢？ 哎，接下来 a b 的 中垂线恰好呢？恰好把 e f 怎么样平分呢？乘以 m m 两点是吧？ 啊，那现在我们把 a 轴外轴给搬过来，这个就是 s 撇轴，这边 是数度 y 撇轴，那现在 a d 两点就搬过来了，长度有没有改变？没有变， 现在该谁了？要尽可能多了点再折算。那我们这边辅助的两个点是谁？ m n， 那 长度要减 m 撇 n 撇 接下来一点的位置呢？平行，你先过一点，那平行我划过来，还是保持平行嘛？所以我们把 e f 整条数可以平移过来了。 e f 平移过来，长度有没有改变？没有改变， 那同样呢，我们是把 b c 数可以平移过来了。 b c 我 们平移过来， 线段呢？线段过来也变成曲线了还是怎么样？这一段？所以再连起来，起来 就立底的感觉有了啊，然后把这个辅助的线给它剪掉了，剪掉了， 那这就是叫做学车把这个，那如果要写过程，那第一个在正六边形中取 a、 d 以及他的中垂线为 a 轴， y 轴两条交点为 o， 那 把相应的 s 点， y 点使的角度为四十度。第一步把什么呀？走啊，走第二步。第二步把什么部分？ 长的部分吗？啊，也就是在 a 轴上的平行， a 轴的部分是不是都可以翻过来了？翻过来了那长度是不变，那宽的部分呢？ 那就在在外轴或者平行，外轴的长度是二减半，平行也会保持还是平行的是吧？平行是保持着，但是长度是有改变的， 所以把这个都把它移过来，移完呀。第三步，第三步，那就插入辅助的线，然后呢就成平了，最后擦掉。有这个图， 他这边我强调一下啊，我刚才在黑板上都是独走画对吧？ 啊，但是你们呢，在事业里面的呢？不要徒手画啊，不要点乱啊，谁今天做徒手画，我就今天一定要你再重新做一遍啊， 因为我在黑板上这个尺子靠上去他是触摸的啊，就就会有压不出来了，所以我没办法只能用读作。你是有办法故意不读作啊？不用尺子，所以用铅笔用尺子啊，放好来， 那如果有要求写过程，你简单过程写一下啊，简单的过程写一下，刚才我们画的时候是不是要写 b 线线，坐标线来干嘛？ 那其实你建在中心该有孔雀提议，我是建在 a 点，这样 a 点行吗？可以，是不是可以，那起什么作用啊？ 定位所用的是不是？刚才有没有讲定位所用的，那就是 a、 b、 c、 d 相对于我这个坐标系的位置在哪里， 对吧？只是拿来定位所用的吧，所以你得换换哪里没关系，但是我们一个原则，尽可能多了点在头上，这样比较方便一些 啊。那你看，比如说我要定 f 点的位置呢？那其实我在圆图里面输过 f 点做 a 折 y 折的 离横坐标多少，离纵坐标多少，是不是可以把这位置给定出来？那么我在十二册里面呢，是不是也可以用这办法， 因为这个 f 点在的位置是谁？如果 f 撇 f 撇所在位置是跟我 s 轴外轴跟 a 撇外撇轴还是平行的， 然后长度 o 撇 q 撇的长度有没有改变？没有改变，所以你就看一下这边到 s 轴的距离是多少，然后我们这相应的是把 o q 撇跟 o m 撇是算出来， 然后做平行线，从这里就会定出来了。所以我们也可以用这办法来定位啊，相对总的距离是多少啊？也可以把这定出来，那我每个点都定出来的这些线数都好了啊。所以你可以这样做 啊，那技巧上面画直观的技巧就是选几十个灯， 坐标系指的近多边形，尽可能多的点在我们的轴上面。第二个 啊，那我们先要去找跟坐标轴平行的线段啊。平行线段，那他还是保持平行的，只不过长度平行，外点外轴的要变成什么？半减半，平行轴的长度是不变。 那么画直观图的时候要从多边形哦，经常会画圆，那圆的话，水平看起来像什么啊？椭圆，所以我们用椭圆来代替圆的直观图啊。 哎，那对呢，那如果我们自己自己画怎么画啊？间距是哪里啊？圆形？圆形。 然后我们再来做 s 撇跟 y 撇，看这边 ab 是 直径， cd 是 不是也是直径，所以我们先画谁，长度有没有改变？没有 下来直进 c 力， c 撇是不是减半？减半过来 c 撇这边 d， 当然现在不是直线了，来直线好，这 边转一点是吧？ 那你摇一下对不对？这就有直观的感觉了，那这个是一个什么啊？你看这是个椭圆，所以圆，这个直观读，我们就画的椭圆形。好，那第一个 你可以画这个，是不是还原呢？比如说一个平面图形采取斜二的画法，得到直观图是这样子的，这直观图是一个 边长为二的菱形。那请问请问原来这个平面图形的面积是多少呢？ 来衡量一下它长什么样？长有没有改变？没有，所以 a b 长度是几二二 来 a d 呢？ a d， a d 现在还是在半球上是吧？只不过长度为几？ c 点呢？ 平行，平行有没有改变？没有啊，所以还原回来试一个这个矩形面积为啊，所以第一种办法我们给它还原一下。 第二种方法我们也可以用关系来算。什么关系？直观读的面积等于谁？四分之根号二倍的。那我现在呢？直观读出来了，直观的面积是几？ 这张高等于几？菱形两条等于二。差什么？ 穿哪个东西？脚，你们脚几度？所以高为几？同高是根号啊啊，他是平行四边形，所以面积等于几？ 底层高，底层高对吧？把高一定要把丝伸过去疏零八。所以我们第二种办法也可以用关系来解决啊。用关系来， 好，我们继续来看一下，用斜侧画出一个水平放置平面图的直观图，然后这个 c 撇 b 跟它是垂直的，长度为根号二， a 撇 b 的 长度为五，请问沿图的面积是几呢？ 一组是还原，一组是关系。那我像 s 撇等一节啊， 二分之一五乘根号二，那他跟原图什么关系？四分之根号二，四分之根号二。 你把四分之根号二除过去啊，搞定了对不对？这样就快来，大哥们，那我要画原图，原图长什么样？ 先把 ab 数翻过来，有没有改变？没有改变， a o b， b 数都不变呢，翻过来这段长度为， 那下一个谁啊？ c、 d 是 垂直的一撇。来啊， c 撇 d 撇， c 撇 d 撇跟外侧，那还原回去呢？长度是吧？ 长度是几呢？为什么？这个东西是几啊？ c 撇 d 撇是几？为什么？因为这角度几度啊？是数，这量等于二，还原回去，而这 c、 d 刚好还原回去，是太乱， 所以 c 点的定位，平行 a 轴，平行 y 轴，那我在直观读里面应该找平行 h 撇轴，平行 y 撇轴来定这里的位置。 那如果我直观图是一个矩形呢？原来是啥啊？圆形识别啊，这段为二，这段为四，那怎么画啊？ 那先把 b、 c 给翻过来，是不是对， b， c 翻过来，那 b 点的位置呢？ 哎， o b 多长？哎，二， o b 也是二，对吧？因为这条路几路？然后你这边是矩形，是垂直的，所以这段是二。 这个呢，不是垂直 a 撇外撇，而是平行 a 撇外撇啊，或者在这个轴上呢？那就把谁给定出来？ a， a 本来是多少？二十二，十二，十二十二，那还是回去 四倍，根号二连起来地点怎么定位啊？平行没有改变，是不是还是平行？我们做两个平行数 b 点就出来了啊？那这段长度为四，这段 四根号二六六六，所以最长的边长六，对吧？这两边为六， 所以辞关图原图长长什么呀？我们要不要还原？不但要画，而且要还原。好了，那现在接下来我们要画空间几何体的辞关图。 那么比如说，比如说我这个粉笔盒，粉笔盒放在讲台桌上，那朋友们，那首先哪个东西很重要？笔叫做是不叫做水平放置的一个矩形， 所以底的话在直观图里面变成什么平行四边形的模样吗？再来，那我这个立体图形还有个什么高的部分？你们的视线跟我这平面什么关系？垂直的有没有发生形变？ 所以你看到什么样是不是就是什么样子的？所以追求的部分长度有没有改变？没有。那不搞定呢啊？因为你的视线是跟我这个数值的方向是垂直的， 所以你看到的就是他本来的模样吗？对吧？就是他的模样，所以，所以他的做法就是这一轴啊，这一轴的线段平行性跟长度都不变。 那比如说我要画长宽高分别为三二、一点五的 来，那我们先画啥？我们先画哪个东西？先要定轴，是不是那长一直轴我定哪里啊？顶点处就行了吧？然后先画底的。什么轴定完要先画底， 那底的话我们应该取一点 o 点，然后呢？ s 轴，那外轴要画成这个几度？四十五度， 然后这个 ab 的 长度呢？有没有改变？没有，所以我在 ab 还是几个单位？宽是二，如果 ab 要画成几， 举一个 d， 这个是一对吧，然后呢？ c 点保持平行是不是啊？ c 点做出来了 这样轴，我们还要把把竖的这条轴是不是画起来这样呢？高是一点五，那 a a 撇呢？ 还是一点五，所以我们取一个一点五，这里是 a 撇。 那干脆一些，我把所有的测量都把它放出来了。 d 撇什么地位啊？ d 撇说还是跟追求数平行呢，所以有没有改变？ 还有 c 一 点五， d 一 点后发少来。 接下来橡皮擦法来是吧，该辅助的都擦掉。 对，擦掉了，然后这边也都擦掉了啊，不要擦太疼啊。这个这个下面怎么这么大， 哈哈哈，还有你要有逆你的感觉，被遮挡的部分我们就要换成什么线遮挡的部分啊，石的部分还是要什么啊？保一生对不对？ 画的还行吧啊，还行，所以，所以画立体图形了，你把平面镜画了来，立体镜加一个退球就行了。 你看，我们先要画轴哈，朋友们几个步骤来。第一步画轴， 这水平放置的平面图形，那就是 x o y 变成四十五度的，然后竖轴也画出来。第二个，画笔 你画好以后呢，我们就回去画什么呀？车轮，因为车轮都保持着跟箭头式。那如果我不画车轮，那你们那可怎么办？上里面是什么图形？也是 也是水平画质的长方形嘛，所以我就把 a 一 点当做什么 点点，然后我再画一个 s 撇跟 s 轴是平行的， y 撇跟 y 轴是平行的，就把底下的动作给他。怎么样？再再做一次是不是也可以？ 也可以啊，因为上底也是水平放置的矩形，然后连起来就好了， 所以画完底以后，你就可以画车轮或者画上底啊，画车轮或者上底啊，最后成图，成图了以后，对遮挡的部分画成虚线啊，能看得见的都是实线， 包括我们的初中天的辅助线是都要画的虚线。那么在立体图这里面，你天的辅助线看得见的都是实线，看不见呢？被遮挡的都画成什么样？这样具有立体的感觉， 所以四步画轴画底，画车轮画成图，当然画车轮也可以画什么呀？啊？直观图，平面图形的直观图，画上底啊，画车轮或者是按上底，这都可以。 好，那么画几何体的直观图的时候，如果不做严格的要求，图形的尺寸可以啊，可以适当的选，选取都行， 但角度的话也可以制定，但是要求要具有一定的立体感。所以一般来讲，我们都画成四边形，一般来讲我们的长度都是这 长度是一般，画成二比一是比较好看一些啊，再画成二比一的圆，就画成椭圆，再来那三角形呢？ 三角形这个算术，我们一般来讲这个算术都是水平放置的。算术是什么呀？有一条边数跟跟这个旁边是不是平行的，所以正的放置，正的放置，那你看我们间距怎么建？ 哎，颜值高，这样子不对称一些，是三个点，是都在肉头上了，所以你画过来的时候怎么样啊？这一段是减半怎么样，你看是不是这样子的？ 所以正三角形直观图这样段会比较有有立体的感觉啊， 兄弟们。哎，你动手来看一下，圆柱里面半径是一，母线长是三， 当然课堂练习的时候允许你独守怪，但是做作业不能啊， 怪兽准确警观。 uhh。 那，那是不是先画水平放置圆呢？ 所以我们画一个 s 轴， y 轴加角四十五，然后取一个单位，一个单位，这是 a b， 然后呢？ o c 取多少？ 一半零点五 o b， 那 这样子的话，我们就把这个左圆给画出来了， 那后面就画成虚线会比较好一些。再来，哎，咱们先画啥东西？这个这球呢？ 五线长度为三，所以我们也可以先画高是不是？高 o 撇是三个单位，或者画什么 画四条五线来是不是？所以 a a 撇几个单位， 三个 b b 撇三个单位，这是五线，那我们也可以画谁？ 咦，哎呦，接下来把这怎么样啊？擦掉啊，擦掉哇，擦了，不擦了， 然后后面遮挡的部位就画成什么啊？这个还可以，是吧？这是严重。 那么如果要你写画这个图，那一般来讲我画的步骤要讲，第一步画什么？走第一步画，走第二步 底底，你可以先画下下底，再画什么上底。那上底我们也可以去画什么啊， 侧棱，在侧棱在这里就叫什么线，母线，这里的元素里面是母线，所以我们去画母线，最后把这图连起来就好了啊。哎，在 再画一个，画一个组合底，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，圆锥的底面与圆锥的上底刚好是重合的，画住这个组合底 来动手啊，我们加一个。 第一步干嘛？第一步先画住是不是住干嘛？你看 搞定了没？ 哎，你刚才，刚才我们工程是不是进一个这里了？再进一步，注意头看这里哦，关键是顶点，他顶点在哪里啊？ 在这球上面，然后我们取啊， o 撇往上就取一个点，把这个 s 画好以后呢？接下来怎么体现锥的立体感觉？把谁连起来？ s a 撇跟谁？ s b 撇是连起来的，也就是要画锥，我们要先画底，再画谁零点最后 母线是不是 s a 撇和 s b 撇是母线，然后再掐一下就成图了，这就是组合底了，所以先画柱，再来一块。所以啊，组合底。 同学们，那如果我要画球的话，谁是水瓶换式呢？ 平面图形大圆啊，中间一个大圆，所以我们先画什么大圆？先画大圆，那就球心，然后去找 h 轴跟 y 轴， 然后我们刚才怎么画圆？是不是也讲过了，接下来换哪一个东西啊？所以把这一球说出来。 那现在呢？来这个两个点，这个 ab a、 b 就是 他的人啊，那外面就画一个大圆，为什么这边画可以画一个大圆啊？这一种，因为这个 x、 o、 z 这个这个平面 跟你的视线什么关系？你就站在前面来看，都垂直的，所以你看到的是不是整个大圆，如果没有改变是吧？那这样子拆掉就是你的这个直观。主管 就是主管，主管有的时候我们要，哎，我们要更立体一点，你看这个 y、 o、 z 这个平面呢？ 啊，是不是再画一个？这也是什么大圆？紫光图里面也是一个 椭圆吗？是不是也是一个椭圆？是竖着画的椭圆哎，长得这样子的好看吗？画一下就好。可见 过两点可以做多少个大圆啊？请问我过 ab 两点画了几个大圆啊？凡是地球的经线的部位是不是都是你的大圆啊？ 原因就是 ab 两点跟 o 点三点怎么样？共线而过，一条线可以做多少个圆？ a b 的 磁性元素有无数多个，但是一旦 a 点 b 点在这两个地方呢， 只能找到一个人，后边是不过线的三点确定一个平面，这个平面去切球， 注意我们这里的切只是指的是什么，要把它一分为二。我们现在讲的平面是什么？无限延展的？是无限延展的，那这个 a o b 这边切过去呢？ 这个球就变成了什么两部分呢？所以这个是是不是一个大圆？什么大圆， 得三点能做几个平面？一个，所以过 ab 的 大约几个，只有这一个是吧？啊？ 这是球来，那再来挂一下这个，这个正三楞柱里面的边长为二，侧楞长为三的正楞柱， 先要干嘛啊？走是不是第二步放什么？ 第二步画什么？第三步画什么车轮或者上里面啊？最后成品 啊。你看，那咱们底是水平换字的，什么正三角形，那我们前面讲的正三角形，我们让一边跟跟水平线是平行的啊，所以，所以我们怎么见 高？是不是比一条边更高，对吧？所以我们在画的时候呢，先画 h 轴，再画外球这个角度， 然后呢把谁搬过来？ a b 几个单位？ 两个单位啊，添加两个元素，一三，那 c 点呢？ c 点呢？那我的 o c 要多长啊？ 本来是根号三下下一下变成二分之根号三，一点七除二，八点零点八五左右，稍微短一点点，这是 c 点就出来了，那这样的话连起来，这是底就画好了， 接下来呢？接下来画什么？画车轮对不对？来车轮 a a 撇， a a 撇，跟这有什么关系？平行长度也不变， 所以车轮长三个单位，那 b 点这里是不是也是三个单位？ c 点三个单位，然后连起来 啊，这样就拆掉就搞定了，那这就是正三楞柱啊。正三楞柱，那拆的时候那个 c、 e、 c， c， e， c， 还有呢？ a， c， c， b 这三条数在背后是不是遮挡呢？那就要画成 这三条，我们画成曲线 啊，画成曲线以后，这个这三个直观图就出来了，可见最关键就是水平换次灯里面，我们经常抵制水平换次灯， 那在初中还做过一个什么？用三个不同的位置来看这个图，从而把这个 啊立体图形给它还原出来，是不是可以去赶出这立体图形的？对，那么三四图，你的视线跟这个物体是什么关系的？物体所在平面是什么关系的？第一个是什么图？ 正视图，你是站在正面，所以你看到的黑板平面还是什么形？矩形对不对？第二步， 左视图，你站到左边去看，那你跟左边的平面什么关系？垂直的是吧？垂直的，所以你看到左边的形状就是左视图的形状了。 九十度，还有什么时候？那你就站在上面，从上往下看，你的视线跟水平平面是什么关系的？垂直的，所以俯视图看到的是啊，从上往下的这个轮廓是不是轮 廓啊？轮廓不是你看到的这几个，你比如说这锥底， 比如说一个圆锥，那你的俯视图是什么样子的啊？这是一个点啊，不是说最上方，你是看到最上没有整个轮廓要出来吧？这个圆里面是一个，所以我们这边提一下吧， 这是用五个大小相同的小立方块搭成的几何体，他的俯视图长啥样呢？俯视图，你是站在哪里啊？ 站在前面，从上往下看对不对？所以 后面那一排呢？看到的是什么？三个什么？三个正方形？那前排有凸出来的是谁？正方形，所以你看到的应该是哪个选项？ a， 大朋友们，再来左视图呢？哪一个是你看到左边看到的轮廓是长这样子啊，这是左视图， 还有一个什么图正视图呢？没有没有。那你画一个人画啊，在 b 这边要怎么样？两个什么？ 所以这也是我们啊，还原他这个逆流成的一种办法啊。所以我们用这三十度来解决问题，来这个时间 高三七对不对？高三居然这么简单，对不对？三角形 ab 四中， ab 跟 ac 相等，什么原理？ a， b 跟 a、 c 相等，再来 c、 d 的 a， b， a 来中点， c， d 的 a， b， a 三角形 a， b、 c 的 面积为二，求 b、 d 的 最小， 这是终点，它是等腰的，所以我设这道为 t， 这道呢？ t 这道一面积已知二，我要求比例，比例放哪里求啊？ 啊？ abd 是 不是？那我们还要设一个什么？所以 b 立方等于谁？ b 立方减四， b 立方和上 面积怎么面积为二？什么意思啊？二 t t 在 一直做球做的最实惠吗？二 d 乘二 d 啊，整个面积 对吧？你要自然想到这东西，我要从这辆车换一个塞里面啊，我把它伸出来，然后怎么把它们沟通起来呢？多远怎么办？消沉 定方，所以它比例就变成角， a 的 一个函数就可以搞定了。这是第二个球体啊，三个半。
29汤老师
43:57查看AI文稿AI文稿好，真好，请坐。来吧，咱们今天继续来学简单的几何体，这就是圆柱、圆锥、圆台球 啊，那这一类的几何体都叫做什么体啊？顶称为什么体？旋转体。 那什么是旋转体啊？倒着一个圆头，然后做圆形平面图形，那是该平面的一条线，旋转一周得到的图形叫做旋转体， 所以，所以是平面的曲线，对吧？然后绕着所在的平面的一条直线，那我们的线运动成什么啊？面， 那这个曲线得到的就是叫做什么呢？这个曲面就得到曲面，我们把这个曲面就叫做旋转面。旋转面，那跟 b 的 旋转面围起来的体合体就叫做旋转体 啊，这围起来的叫做他的旋转力，那就包括他什么呀？内部的啊。那我们把这一条直线就叫做他的轴，他的轴， 那你要不要 a 撇 o 是 跟轴数垂直的，跟轴垂直转出来的图形是什么呢？啊？ a 撇 o 转出来的图形是什么呢？ a 撇转出来是圆， 那别的点转出来是圆，对的点，所以得到的是一个什么？圆面，这是一个最基本的图形，最基本的图形，所以复杂的曲线绕着一条线转，我要看他这个点的相对位置怎么来看， 比如说我要看 a 点转出来的效果呢？ 那我就过 a 点去做轴的垂线是不是在这个这个圆上？圆上，所以 a o 那 是不是就变成圆面了？圆面了，那这样子得到一个最基本的图形。 好，那接下来我们看一下圆柱，圆柱是怎么算出来的？旁方底，旁方底 绕着长方形，绕着一条，一条什么边，一条边 转出来的是不是都是圆柱？所以圆柱这个简单的图形是矩形所在的直线为我们的轴啊，为我们的轴， 那其余的边是一个封闭的图形，转出来所形成的旋转体，我们就叫做柱，叫做柱体。 因为你看我 a 撇 a 撇转一下是一个圆， a 撇呢？转出来是一个圆， 然后其实我们有个看做什么啊？你的点每一点都是什么？那把这一圆怎么样？那截起来是不是我们圆柱了？截起来圆柱了，可是 这上面任何一点做垂直过来，跟上面数都相等的，所以所以转出来图形，每个点到轴的距离都是等于什么？等于这个半径，是不是半径？ 好，那我们给他起一些名称。首先是轴，轴就是什么旋转轴， o o 撇叫做它的轴，叫做圆处的轴。 那沿着圆柱的轴切进去的平面是什么样子的啊？是一个矩形啊，那这个面我们经常叫什么呀？轴截面啊？轴截面第二个的话是 第二个的话是底面，这个圆 o 撇跟圆 o 这两个， 哎，这两个圆面，那就叫做它的底面，底面，注意我们这底是圆以及它的内，叫做底啊，这里叫上底，这个下两个底， 那么再来叫 a 撇 a 就 叫做它什么线啊？叫做母线啊， a 撇 a 叫做它的母线， 就是刚才我们这 a 撇 a 跟我们轴是怎么样平直的？那这条是不是有线？那无论你转到哪个位置， 这两个图形，这两个矩形都有什么关系？ o 撇 o b b 撇，这个矩形跟刚才那个矩形是相等的啊，相等，转到哪个位置都是相等的。 还有的话，一个面是侧面，侧面，我们刚才 a 点 a 这条线运动形成的面是什么线运动成面，面就是旁边这个曲的面，是吧？是曲的面，那这个面我们就叫做它的侧面、 正面。哎，那我们出宫就知道了，车面我们怎么研究啊？啊？展开，车面，展开是什么图形呢啊？ 展开来是一个长方形，长是几啊？嗯，高是几？高就是母线长是吧？高就是母线长。 所以这里很重要的一点，一个思想就是要化取，为什么呀？为直啊？那我们这里是化取为品，把这曲面就展开变成平面，把曲面展开成平面来凝聚这个曲面的属性， 但是就那追呢？对吗？追，追是什么？三，直角三角形，直角三角形绕着一边旋转出来，对吗？绕着直角边旋转出来的东西， 所以以直角三一一条直角边所在的直线为旋转轴，其与两边旋转形成的面所围成的几何体。这样圆锥围起来的啊，也包括在内部啊？圆锥， 那首先这个 s o 是 不是很重要？那 s o 就 叫它的轴啊，圆锥的轴就是我们的旋转轴 s o， 那如果我移到到这个位置呢？那我这 s o 跟 o b 什么关系？还是那这个 s o b 跟 s o a 这两个平面图形有什么关系啊？全等啊，全等。 第二个，第二个概念就是底了，那这里是不是有个底？什么圆后啊？圆后以及他的这个圆面，圆后以及他内部就叫做圆面，这就在他的底面。 再来，侧面是啥东西呢？哎，侧面，侧面是 s a 啊，这个斜边旋转而成的。什么啊？哎，曲面 旋转成曲面，那这个曲面我们怎么研究啊？展开，沿着 s a 把它剪开，剪完以后是长什么样的？再剪开了以后是一个扇形， 这扇形的弧长呢？二拍，二拍，二拍啊，这扇形的半径呢？又是它的什么线长度？线长度啊？那我们这条 啊，斜边，对吧？斜边就叫做它的线，那 s a 是 母线， s b 呢？哎，也是母线，也是母线，也就是无论旋转到什么位置，不垂直于啊轴的边 啊？不垂直轴的边这条 s a 啊，因为我们直角三斜边嘛，就他怎么样母线这样三根斜边叫母线， 但易受点。我如果一不小心我绕着直角边转出来呢？斜边转出来呢？这样转来，我们刚才说你是轴， 所以现在我们要看 o 点的位置。怎么看啊？做轴的什么线？垂线，那这是什么原理？直角绳这条是什么边？所以这是一个 圆锥，那这呢？所以这边也是一个圆锥，所以得到的是一个组合体啊，组合体，所以得到的是一个组合体啊，否则就是一个组合体了。 第三，才， 什么叫才不是才叫呢？就叫才，是不是？哎，我们要化才为追，化才为追，能还原成追的才叫。所以我们怎么定义才啊？ 我们看已经是一圆的，是二啊，圆锥，然后按照什么来圈？平行于底面的平面去截啊？那这两个 平面切的部分就叫做圆，就叫圆裁。用平行圆切底面的平面去截圆针，在底面跟前面之间的部分就叫做圆。 那当然，那它的轴前面是一个什么图形啊？ 啊？是一个，是一个什么体？轴斜面等腰梯形，那轴斜面的一半是什么？所以他也可以看作是直角梯形，绕着 这条算什么？ c 形的什么什么样的腰？跟底垂直的腰是直角的那个腰，直角的这个腰旋转出来的曲线围成的图形叫做圆台，是不可以站立， 所以才可以绕着这个转出来的。那，那我们来认识一下那轴是谁啊？轴就是 o 点， o 是 不是它的轴，所以第一个 d 圆台的轴， 圆台的轴就是圆锥的轴吧，还是 o， 那 这两个圆呢？就叫做上底跟下底面，那它的侧面是什么呢？ 哎，圈面，那他的圈面是什么？我不认识，那我就认识了。什么？圆锥的是扇形，然后再扇形剪掉一个啊，那么大圆心小圆叫做 圆环，那这一部分，这一部分是一个扇环，是吧？ 所以我们把它展开来是一个上法啊。那这个面我们就叫做原来的层面啊，原来的层面，那么哪一条是它的母线？ a a 撇是它的母线啊，是它的母线， 那母线撞到哪里的位置？他跟 o 啊，跟轴相对的位置都是什么？不变的对不对？因为你撞到哪里，这两个直角梯形都是什么关系的？哎，长得是一模一样，是旋转的， 所以这是母线它的一个特性。那你要成母线，你撞到这里来，跟原来是什么一样的一个东西，一样的一个平面， 来一些概念的变形， 那就说我们概念系数为什么那么严密？哎，如果出现一点皮肉的话， 那可能就不对了，是吧？那第一个他的皮肉在哪里啊？直脚边，直脚边，直脚边，那万一是斜边是一个组合体是吧？所以第一个是错了，第二 那个比较比较会斜交跟。哎，所以我们应该是 按照高所在的这个腰，是不是？所以他，如果不是， 他说一边所在直线旋转一周的图，那肯定怎么样？不是原来的对不对？哎，那我们刚认识一下，那如果我绕着 a o 转出来是啥？ 一个上面一个，下面一个，就是刚才那张是不是做轴的呈现进行分割，这底下矩形是一个住，那上面是一个嘴，住贴一个嘴，那如果是 a 撇 o 撇呢？ 那是柱挖掉一个，那如果我绕着 a a 点吗？一样的，你切割的时候是不是做垂直过来切割啊？ 这柱柱柱底下挖了一个洞，是吧？ 这样一个角度，所以啊，一定是绕着这条转出来是吧？怎么转不出来？那 c 平行四边形，一边所在直线转出来是圆柱形，台下面画的，下面画的。哎，那我们看一下，如果我是一个平行四边形， 如果是这条边绕着他转出来是啥东西呢？该怎么操作记得吗？该怎么操作？做轴的垂线，垂线把它分割为简单的几何体， 所以这一部分是不是直角可以绕着直角边，所以是。对，那这一部分呢？那应该这里做垂直过来，这个是角相迎，所以是柱弯，那跟刚才这个连台那边差不多，是不是？这也不对，所以只有谁是对的？ 可是球可以看做什么圆绕车直径转多少就够了，一百八就够了，或者半圆绕，直径三百六十也行。啊。 啊，这是概念的变形啊。第二，刚才这几圆的结构 我们不太熟悉的，就是侧面是不是？而侧面是一个曲面怎么办？ 发曲为直，发曲为平的吧，这个曲面把它换成平面吧，都是曲线就换成什么样啊？拉成直线来研究。那我们看这题，一个圆柱的侧面展开是长为四，宽为二的矩形，那圆柱的轴角面的面积是多少呢？ 哈哈哈哈， 这钱是啥 来？里面的圆周长，那我设它的半径为二，所以有二派二等于四，二派二等于四，所以二等于 二。二分之二宽为二股线为 概念轴前面。什么叫轴前面？沿着轴切下来得到的，是吧？沿着轴沿着轴切下来的， 所以他的这个图形是什么？矩形的长等于谁啊？ 二啊，不是刚才我们那个直角边所在的这一部分，而是什么？这个洁面是不是这个平面跟几何体？平面跟几何体怎么样？公共的部分在它洁面的， 那公共的部分应该是一个长为几为二，二宽为二的一个，是吧？所以答案应该是什么？二分之四乘以二，所以写的是啊。二分之 二展开是啥？展开？我们看一下这几的 已知。一个圆锥的轴节面是等边三角形，那把它的圈面展开得到上行的圆形角多大？ 选二没？选了一下 c 是 吧？怎么算呢？要求圆心角， 按照弧度的定义，圆形角会等于弧长比去半径，弧长比去半径，那我设的半径底的半径为二，所以我弧长为几？ 二，二二二。那这个扇形的半径是谁啊？ 这个是圆锥的什么东西？母线，他的轴前面是整边是母线，长度二二，所以是二派二属于，因此是 第二个的话，是球体的结构特征，那就是半圆帽子直径转出来，图形 半圆，以它直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面， 曲面叫做球面，那球面所围成的旋转体就叫做球体，简称球，所以我们讲的球是这个球面以及它的内部以及它的内部 来。那刚才我们这个直径是他的球啊，是在球，那球心就是半圆的。什么呀？圆心？球心就是半圆的，圆心叫球心， 那球的半径呢？那球面上任何一点到球心的距离是不都等于半径啊？都等于半径， 那直径就是过球心的啊，这个球面上两点只要过球心都是他的直径。 那还有呢？洁面轴洁面是一个什么轴洁面？什么叫轴洁面？ 那其实只要过球心都是他的折前面，只要过球心都在折前面，所以这个折前面是一个很大的圆，所以我们把它叫做大圆，大圆，这个大圆的圆的半径就是球的怎么样？半径。 哎，看见没？那如果我从底下这里切进去呢？啊？不过悬心，那这个圆就叫什么小圆啊？小圆圆心，我叫 o 撇。 哎，这个小圆和球心这样子连起来，这每个点连起来是啥东西呢？圆锥，是不是圆锥？ 所以这里切进去我们可以得到一个图形，怎么样？圆锥？什么圆锥？ o o 撇，是不是只得到圆锥 o o 撇？ 哎，那圆圈有什么特性呢？圆圈的顶点在底面射影是什么呢？哦哦哦，所以我用平面去截，我用平面去截这个球， 那我洁面圆心跟球星连起来跟我这洁面什么关系？ o o p。 跟我这洁面阿法是，阿法是。 再反过来，今后我要去定位球星在哪里，我怎么定位啊？我就把那个小圆圆心找出来，球星跟我连起来肯定要跟我在前面，那就在这个呃，前面的法线上面是不是所以球星就在我法线上 我就可以用这个办法来定这个球形的位置啊。定球形的位置你看大家们再看这里已知球的半径是十若他的洁面面积是六十四派，请问球形的洁面距离是多少？ 这前面是一个 哎远是不是是个小圆小圆的半径是 小明的半径是半。那我们现在要求谁啊？距离哪一个是他的距离啊。哦哦哦哦哦撇是不是距离 那哦哦撇是跟这面是垂直的。请问这个 d 等于几呢往哪里算呢？点那个啊这个求面上的点是不是 所以这道是什么半是等于几所以所以距离为几啊啊啊距离为六啊距离为六 啊。那就是这个碱面的结构哈。碱面的结构要大一些 哈哈哈哈 我在地理学了快四十年了啊那你们刚学的是不是 地球是半径为二的，那这个是球心。地球上 ab 两点都在北纬四十五度的纬线上 地理课代表是谁我看一看哎。北纬 五度的尾线。这个尾线怎么定义啊。赤道一点赤道这里是赤道平面是吧 指的是哪个角？四角就是这条线啊。纬度上面这个线 怎么样跟赤道平面的假角多少度？四十度假角数四十度 你看你这里是不是过来竖一个角那就这一圈都是几度的。四十四十 那根赤道平面四十五，那跟这个法线是多少哎啊也是四十五这个角度是四十五那法线就是我们的什么啊法线是不是就是我们的轴啊。那你是球面上的点 所以要做什么工作啊？过这个点去做轴的什么线？垂线，轴的垂线。 那这个动物在哪里？一个小圆上面是吧？这个小圆就叫北纬四十度。是北纬四十度， 可是应该啊，不知道，不认识，那这个小人半径为几啊？二分之根，号二啊。明白，那如果我是北纬三十度呢？ 三十五度，那这个角度应该几度？六十，这是二十，应该是二分之一号三。哈啊，这个纬度线，我们明白了，经线 一个人在 a 点处， 在一点，就你看上北，那就这个是什么方向？北这呢？左西这边是西方，这边是东方，是不是？ 那现在他是东京。二十度指的是什么？指的是他站的这个里面跟谁啊？想想是不是二十度的这条线上啊？ 这边在什么线？本初十五线就在这平面，是吧？那这里是二十度，东京二十度。这里呢？东京多少？一百一，一百一， 九十度，他在北极的那个地方的夹角，所以他们这两个半平面夹角几度。那哪个东西九十度啊？是不是九十度， 然后向东前进的多少呢？指的是哪一段？在圆面？圆面圆后移里面 的什么东西是他前进的？五 ab 的 长度是吧？ 这圆形角知道吗？这个加了几度？六十度，所以无穷等于谁啊？圆形角乘半径，半径是， 懂了没？啊？ 啊，那现在地理提高一分，要表扬我啊，那我们刚才这些简单的几何体做这一台，那我加个上一节， 对吧？下一节我们讲楞柱。那我们这一节讲什么啊？圆柱，那楞柱，圆柱都是柱，那柱体的体积都怎么形容？同底同高，所以我们经常会把这两个放在一起叫做什么啊？因为柱体的体积都是顶层高， 那我们把楞锥跟圆锥都叫做锥体，锥体的体积三分之一面形成， 那柱体跟锥体中间有一个台体，是不是台体？那台体的体型是柱体尖锥体。没那么简单啊，没那么简单，那可见柱吹台。如果我从 变换的角度来一下，可以看他们之间关系了，我们可以把柱体的圆柱的柱体的底上面向里变小，那就变什么了？ 再小的就变小了，变小了就变谁？锥是锥，那锥的上面从点放大以后就是还是要放大呢，就锥是吧。 啊，可见如果我们知道台底的体积是三分之一高，上底的面积加下底的还有多了一部分是上下底的横比中下整起来 k k 二。 所以台底的体型啊，柱体的体型是什么？ 他就把上里的膨胀为下里那么大，谁的括号里面是三 s， 所以 他就谁啊。 s h 那 台变成锥呢？三分之一，上面没了就变成谁是三分之一，谁 h， 谁谁谁谁。 所以我们从这根变换的角度来看啊，上笔变小了就变台了，再继续变小了就变了，说成一个点就变成，所以从这个角度来认识啊，助追台啊助追台。 第三，简单的组合笔， 现实生活中的物体表示的几何体，除了简单几何体以外，大量的是由简单几何体组合而成的， 那我们就把它叫做简单的组合体来。那第一个，这是啥啥组合的？ 住，然后才住，所以顺风过程呢？ 那我们就一部分一部分来研究吧。你要是圆柱，我是关键把母线就找出来，然后做母线的垂线是不可以进行分割成简单处理。 第二个球啊，住台柱是不是？ 那刚才是不是都把它啊？拼起来的？是不是拼起来了？那这缺掉一个角是吧？缺掉一个角，那缺掉一个角也叫做什么呀？也是主要理。 哎，那体积就是把这个切掉的部分给表面筋呢啊，三个这个角的三个切面的是不是 减掉三个切面完了呢？小心哈，你切完以后，那底面就变成我的表面了，只有表面筋会多出一块，少了三块是不是一样的？这个是 把长方体挖掉两个也是组合体，挖掉也是组合体，那体积就减了，表面体有去掉，有增加哈，有去掉有增加，有可能表面体会变大的，对不对？挖掉以后有可能表面体变大啊，小心。 所以拼接起来的叫做组合体。蛙跳呢？蛙去一部分呢，也叫做怎么样？也叫做组合体。节去或者蛙去都叫组合体，那么他的球减就把它转化为简单组合体的球减。 看课本上有这样一个题，将直角梯形绕着 a、 b 所在的直线旋转一周，由此得到的图形是什么样子的呢？ a、 b 是 轴，得到的图形是什么呢？那如果是这样子，我们要怎么操作啊？ 你怎么把它齿轮体变成简单的简单的齿轮体的组合呢？第一点的位置在这里，所以要怎么办？左轴的垂线上半部分是 直角，三角形绕车直角边，下半部分是矩形绕车 来，矩形绕着一边转出来，是吧？所以它的体组合体应该是上面是锥，下面是锥锥，所以得到的几何体是一个圆柱跟一个圆锥组成的。来放一条 c、 d 还是抓住一点跟轴什么呀？垂直跟轴，垂直 b 所以 过 b 做他的垂线，这是一个直角三度锥，所以他的几何体是 注刮掉嘴里沿 a、 d， a、 d 做轴是 哎。直角梯形绕着直角的这个腰是吧，刚好是什么？求圆台 绕 b， c， b， a、 e 是 直角三角形绕出 斜边转出来是哎。这里过来是不是两对， 是不是两追？下面这也是绕着他转出来的，他也是两追， 所以这样子的一个两追组合。你在啊挖掉这个是吧，有点像什么， 你要站起来像陀螺一样的啊。哎。有没有像陀螺那样子的？ 小姐姐们刚才我们讲的你要把这个旋转笔弄明白，那就是做轴的什么线？垂线进行分割，做轴的斜线进行分割是不是可以看清楚来再来。第六 如图所示的空间图形是一个圆柱挖掉挖掉锥，圆柱挖掉锥，那如果我平行底气切切到了多少？ 哎。修的那个环照的斜照都是环照的啊。他不是这样切，他怎么切的？现在是，现在是怎么切？竖直的平面去截这个复杂的空间图形则截面的图形可能是谁 怎么切的啊？走前面切进去是不是一个等腰三角形，外面是个矩形， 他说 a 是 对的啊， a 是 对的，那还有谁是对的呢？没有没有， 我满画一下，你们想我吗？ 对不对啊？一头到底的是不是到底啊。 走垂直的切拼拼是什么？走有一个假假切拼是什么？ 跟手有一个小小的这样切进去是什么？是果园是不是果园跟母线平行的去切它是什么？ 哎。抛物线那根轴平行的去切是什么？这里有一部分，是不是底下有没有一部分？ 所以他叫啥来着？穿曲线。所以我们在高二要学什么？悬椎曲线。悬椎曲线 我们这里讲的有没有想理论，没有直观感知，是不是 直观上面来看有没有到底没有半半是直的？肯定不是，那不就选好了吗？ 不需要你说知道这是圆锥曲线，我刚刚只是拓展了一下，你不要怕啊。拓展了一下啊，这是什么圆 锥曲线？接下来啊，所以我们要能直观的判断他是什么样一个图形啊，所以答案应该是 c a d。 好， 下个吧。
24汤老师
04:1421麦克ppt
43:01查看AI文稿AI文稿小马十号，请坐好，那今天我们要讲的是直线跟平面平行的判定， 那么第一个是判定定力，那么怎么来判定直线跟平面平行啊？那需要我们要分类一下呢？直线跟平面有几种关系？ 三种，那三种在平面内，香蕉，然后平行，其实是从什么的角度来分类的？ 公共点，对吧？再面对几个公点，无数多个公点，还有呢？香蕉一个平行， 那平行一个跟零个都叫做啊，这个是在平面内，那这个就在平面外， 所以我要判定线跟面平行，那就根据定义，线跟面啊，没有公共点，不过这两块地。但是这个呢？你好说线跟面没有公共点吗？ 那我们线是无限延伸了，平面延展了啊，所以我们不能通过有限的区间来说他没有公共点啊，那怎么办？所以就要想别的办法了啊。那比如说这个例子， 我们这个门啊，门打开以后，这个门轴跟墙面怎么样？门轴是不是定在这个墙面上，所以这条线在面内，那么这个门上的另外一边呢？比如我们这边的 ab 呢？ 跟这一个墙面什么关系？平行啊，如果不平行就会卡住，卡住就说明这这个门装的呢？装坏了。所以正常情况底下这条线跟面都是平行的， 那也就是你只要转动的时候， a b 都会跟着平面平行，那我这个门应该要没变形。没变形什么意思？ a b 需要跟谁？ c d 平行，所以 a b， 如 a b 如果跟 c d 平行，无论你们开到哪里，这条 a b 跟这个平面 啊，都是平行的，都是没有公共点数，都是平行的。所以，所以在转动过程中我们有三个问题，第一个问题是 这一转动过程中的边 ab 应该在这个墙面外，对不对？然后 cd 呢？在墙面内。 第三，这两条线始终是平行的，那我一定能保证这条 ab 跟这个墙面是平行的，跟这墙面是平行的啊。所以 再再比如说，再比如说大家的这个课本放在桌面上，对不对？那这个课本的轴呢？把这个书轴呢？都在平面上，然后你把这个书翻开来， 但书的另外一边呢？始终跟这个桌面怎么样也行，当然也有例外的事。什么事啊？哎？我书全打开了，那 a b 跟这平面什么关系？在平面是不是在平面内？ 所以，所以我们这就可以把它规范起来，对吧？规范起来，线和面平行可以通过什么来实现？线和线平行来实现？但是这两条线有什么要求？ 一条要在平面内，一条在平面外平面外，那这个就叫做线面平行的判定定律。 我要得到线面平行，怎么样？我去考虑什么啊？线线平行， 这就相当于叫做降格的考虑，是吧？都降格的考虑啊，线面平行，降格考虑什么？线线平行，对吧？那我也可以把怎么样 深刻考虑面面面平行，得到线和面平行，那这是后续我们再学啊。那今天我们主要是解决用线面平行，线线平来证明线面平行。 那首先这个判定定理的话，我们给他写成符号的形式应该怎么写？ 来见个面，用哪个符号 来在面？对？不在面用包含的符号，是不是包含的符号？好结论，见跟面平行 对不对？所以用符号来表示，符号来表示，用图形来表示，是不是画一个平面，面内有一条线，然后面外有一条线跟这条线呢？一起。 那符号来表示的话，就是 a 在 面外， b 在 面内，在这个大弦点底下，线线平行可以得到什么？变而变啊，线而变不是， 这三个条件缺一不可。你如果缺了第一条呢？线面平行，可能这条线我可以移到平面里面去，是吧？你是一个面平，可以移到这平面里面去，所以一定要看一看有没有这个限制条件。限制条件 这三个条件是缺一不可的。那这样子我们就可以把空间里面线面平行的问题转化成线线平行，那线线平行是不平面的问题了， 因为两个平行之间是什么线共面的问题，是不平面的问题了啊，可以把空间转换成平面问题来解决。那我们第一个要解决的是这问题怎么治？ 怎么证？但现在判定定力是定力，需要有一些基本事实来证的，是不是？ 那你现在证明谢月平手上有什么工具？哎？谢月平，我现在要证的就是谢月平，得到谢月平这判定力还没到，是不是只是说他是可以判定的啊？但是 现在我们要证明你，你要证明现面皮，你下手上只有什么功力？定义，定义讲什么？ 没有焦点，没有焦点好说吗？不好说，没有焦点不好说，所以刚才也说假设什么 啊？所以我们既然用反证法，那就说明一下，用反证法来证，对吧？那反证法要先说什么？假设怎么样？ 假设 a， 哎，不平行于二百，那不平行结论是 a 焦还有什么在面对？那然后他又说 a 了呢？所以我们可以设什么？ a 焦二百一 b 点， 哎，我想再加一点，然后呢？这个 a 点 m 可能跑了，直接必胜， 哎，有 a 跟 b 怎么样？那 a 跟 b 都没有公共点了，所以这个点 a 呢？啊，则 a 点在不在 b 上面，不在 b 上面，然后他们都在 r 版的，对不对？ 现在我们够叫神毛，对吧？ 哦，在平面内， ab 是 平行的，我要找矛盾，然后你这点又不在 b 上面，那我平九点钟平行就有传递性，是吧？啊，所以在二法内，怎么样？ 能不能做一条跟他平行可以不可以？那平面里面是肯定可以啊？啊，过 a 做 来做 c 使的怎么样？ c 平行 b， 对 不对啊？平行具有传递性，所以呢啊， a 平行于 b， 那 b 又平行 a， 所以呢？ b 跟 a 交于 a， 那 就 a 跟 a 跟我们的 c 怎么样？矛盾了没？ 因为 a c 你 不过 a 点，所以这以什么？这以 a 小 于 a。 好的，那我们的假设入错了，所以怎么样啊？那我们该是构造一条平行，或者，或者。那你这个 a 跟 b 啊，确定一个人的体面 先另一个平面，然后。然后呢？你现在这样说的话，就是 a 在 阿法内是跟这结论是矛盾了， 因为一道实验之外，一点有且只有一个平面，是吧？一个平面，那我这个 a b 是 平行的，是不确定一个平面， 呃，我们确定的一个平面，既过 a， b 又过 b 跟 a 而过 b 一个点 a 有 且只有一个平面， 所以这个 a 就 在我这个平面北塔内，而北塔就是谁，他懂，那是不是跟隐私矛盾呢？所以利用确定一个平面是不是也可以做到啊，但是我们利用传递性是不是也可以做到？ 他总是有点就是像这面平行不好判断啊。我们就定义没有公点，没有公点不好说啊，我假设怎么样有公点，所以就矛盾了是吧？ 好，那对判定定理的认识我们要比较熟，所以这些辨析你要能辨出来。第一个问题 是充分的吗？线面平行定义是吧？那就没有公理，那根面都没有公理，跟面里面线 肯定没有反过来。我跟每一条都没公理，那线跟面有什么公理？所以反之也成立谁是主要验。哎，怎么改一下他就错了呢？ 无数条直线把任意改成谁？无数？无数会出现什么问题？这无数条是什么样的线？一束的平行的直线是不是 啊？是会出现这样的问题啊？无数跟任意这是有区别的，是不是区别的啊？好，第二个问题。 所以线面平行你还要再判断这条是在面内还是在面外， 因为我线线平行可能这条线就在面内，也可能在面外就会跟面平行，面内呢？那不在面内了，所以他一定跟这面平行吗？我这面都转动到到你这边来，刚好就在面内了，所以他缺了一个条件是吧？哎， 到这里也没错。 那没有公链，那两条线上有什么关系哦，所以是平行或者呢？啊？或者一面，这是线线关系的分类，对吧？三 飞的形式这里也是飞的形式是可以的，我们把这这一个秘密给他怎么样？ 否定的形式不好发。那我们给他肯定一下吧，整体的肯定命题，一个命题跟谁是等价的命题。你要逆否一下是什么？ l 与阿尔法类的任意改成什么存在？直线怎么样？平行？那一定有 线跟面啊。啊？只可以再面可以，是不是可以？所以这个问题是我再处理问题的事啊，是不是这样子的？ 或者正面来下面不平行几种情况？香蕉不平行你就不能说一定是香蕉了？那还有可能是什么在面对是吧？这样就好说了吧啊，所以这个判断是错的啊。第四， 这是平直的话，没有一个是对的啊， 所以线面平行极有可能现在面内，所以我们一定要把三个条件都啊都完整的来表示。 第三，正方体过任意两条人的终点的直线，其中跟对小面平行呢？有多少条呢？ 对角面 b 一 b 一， 第一 b， 哎，那上里面呢？ 上里面给你，那上里面那肯定要跟谁平行啊？跟 b 一， 第一是平行的， 就跟 b b d 是 什么原因呢？没有。然后呢？下里面呢？是不是也有？还有呢？前面呢？左边呢？是不是？ 那其实其实这些终点哪一些会跟这个面平行啊？都在哪里？就中间这个平面上面的是不可以啊？ 那这四个点里面任意两点连起来总共连几条线啊？那就是四边形加上它对角线吧，是不是六六条？ 那这里六条还有呢？两点六条是吧？所以这会跟面，这会跟面，所以总共是十二点，这样子线有十二条。 好，那这些刚才我们都是直观的判定对吧？直观的去判定，只要线线平行，线在面外，那我们就可以得到线和面平行。 那接下来啊，我们应用这个定力来解决问题，你比如说我们在安装矩形的时候，为了使镜子的上边框跟天花板平行， 那我在安装的时候只要考虑跟谁平行就好了。哎，我在墙面上面安装，跟上上面平行，那我只要 平行于谁？平行于这上面的什么呀？交线就行了，是不是交线就行了啊？这个就是用这个定定来判定的啊， 那我们来看一下怎么用定力来证明线面平行呢？求测空间四边形相邻两边中点的连线 平行于经过另外两边的平面。 那首先我们要把图形画出来，是吧？这是用自然语言来描述的，那么图形语言 空间四边形就是什么？就是双人锥，就是四面啊，把它对角线连起来就就是它了啊，图形给它画出来，然后呢用符号语言把它表示出来，那这个要怎么写？ 已知什么啊？已知 e、 f 为 ab、 a、 d 的 什么啊？当然下一个条件在四边空间四边形 a、 b、 c、 d 中转， 然后呢，要求在谁，要求在谁？ e、 f 平行于另外两边，另外两边是相交直线，就确定一个平面，所以平行谁？面面 b、 c、 d 是 吧？面面 b、 c、 d。 那 要证明线面平行，这样的考虑 线线平行，哪条线呢？ b、 c 呢？ c、 d 呢啊？ b、 d， 你 为什么知道 b、 d 一定会，一定会平行呢啊？ 我要找一条线跟它平行，那这个线跟 e、 f 一定是什么？一定是共面的，我们找出来线是不是跟 e、 f 是 共面的，而确定一个平面，我们经常用什么来确定？ 三点确定一个平面，还有呢，两条平行直线确定一个平面，两条两条直线都确定一个平面， 那在这里呢？ a、 e 跟谁？ a 与 f 是 相交的， 所以我抓住 a 点做两条什么线，三交的直线，然后焦点是谁？ b、 d， 所以 e、 f 跟 b、 d 是 在一个面内， 那这个如果平行是平正面的，因为线跟面平行，我这条线跟面具有没有公圆？没有，没有。那 e、 f 跟 b、 d 有 没有公圆？ 没有，且在我做出来的这平面里面，所以他们只能怎么平行，所以我们这样找出来的是一定会平行的，而不是靠我们直观的去判断。 所以怎么找这条线呢？那我们一句话叫做什么？过线做一个面去找交线，那做这个面有几种办法做？ 哎，我们可以用相交的直线地作为一个面，是吧？也可以用什么平行平行是不是可以？那我们把这种就叫做一个中心出来两条线，这种就叫什么中心投影过来， 那这种就叫做啊，平行投影啊，常用的这两招，把它们中心投影过来或者平行投影过来 啊。所以那我们证明的是最大题目就比较简单了，是吧？那就把谁连起来连接 b、 d， 因为， 因为这两个都是中点，所以结论 e、 f 平行，谁？ b、 d 线线平行，那总共三个条件，再加上 f、 e、 f 不 在里面， b、 c、 d， 然后呢？ b、 d 再再平面 b、 c、 d， 所以 那么下结论呢啊， 所以我要证明，线面平行，找线跟线平行怎么找这条线？过线做面找掉线，怎么做这面平行投影或者中心投影？ 来，我们继续来看一下这，这是一个三轮锥， m、 n 是 重心， 就是 m、 n 跟 a、 d、 c 是 平行的， 线面平行啊，判定定力，这样可考虑线线平行，怎么找这条线呢？ 我们用什么投影？谁当中心？ s s 啊？ s m 是 不是由教练这样呢？对吧？ 所以我们证明的事，先把这个做的过程写出来，那应该是连接连接谁 s m 并延长交 a b 于 d， 对 吧？啊？然后呢？然后连接连接 s a 加大于啊， 那你现在是重心，重心跟顶点连起来，那叫什么线？中线有什么性质？因为这都是重心，所以结论， s m 比去 m e 等于就等于二比一。 平行和线的成比例，成比例是不平行了，这可以用吗？在这里可以不可以用呢？啊？这可以不可以用呢？ 因为我们刚才是中心投影，那这五个点是共面了，所以平面的纸能没用？所以我们上一节说，哎，你们自己把这一个省下来就可以了吧。 平线不是要乘比例？乘比例，那一定是什么呀？那前提负面的，对吧？所以能下结论吧。 所以 e m a 就 会平行，谁 e f， 接下来两句话在和什么不在，所以就可以下，最关键的，你需要把它找出来，找出来就行了。 所以我们通过直观来判断，到底是平行投影好投还是中心投影好投。投过来，那我要找的就这条啊， 所以要证明血面平行，这样的考虑线线，这样的考虑线线，那 三个条件缺一不可，面内面外还有呢？平行啊，也就在跟不在，还有平行则有这个三个条件，不能漏了，漏了就没有这个结论了。 那关键是不是要找这条平行线？那刚才我们经常会用到什么呀？中位线是吧？中位线用上移中位线来找啊，那其实就是中心投影，对不对？所以找这条线就两张，一个叫做中心投影，一个叫做 平行不变啊，平行不变也就是确定平面的办法吧。来继续，我们看一下这，这是一个正方体 b、 d 体对角线，跟我前面 a、 c、 e 成 连续，问什么问题呢？过线做面找什么交线？这条弯在这里， 你，你怎么做这个平面？过 b、 d 和他的交线容易发现呢？是平行投影还是中心投影呢？ 到底是两条平行于平面，还是两条相交于平面？那就找哪一个点 啊？一点的终点，因为 o 点呢，所以 e 二跟 b、 d 呢，是平行的，所以这用什么？中心等于是吧？中心等于哪边呢？ 所以你把 b、 d 连起来，加 a、 c， e、 o， 再把 o、 e 给连起来。因为因为三角形 d， e， b， d， e， d， b， d， e 里面这条是中位线，所以线线就平行，再加再跟不再，所以线面就平行了啊，这就比较容易了。来，继续来看一下， m、 a 分 别是中点和直线， a， m 跟正面 是平行的呢，是相交的呢？是相交的时候有可能垂直，有可能呢？不垂直。 哎，哪里找一个中心，然后把它给投过去，好找呢？不好找，不好找，那我们还有什么呢？平行 平行，这 m、 a 两点分属于两个平行平面，对吧？那我这做平行线好做不？好做，但是我这个平行投影过来要跟 abd 是 不是交线要剪切出来？ 那我站里面找来一条交界，好找啊。哦，那下面是不是就找 m、 n 啊？因为你在上里面这个结面，在上里面是不是结个 n 点啊？ 对吧？那我过 a 点要做谁的兵线？ m m 的 兵线，那就是谁 a 四， 这两条都平行，所以这就叫做平行，都平行投影过来了， 平行投影过来了，那请问这两条会平行吗？啊？平行，所以可不可以？ 所以啊，用的是平行投影。为什么用平行投影？因为我这两点，一点在上里面，一点在下里面的。那做两条平行线就好做啊，做两条平行线好做，还可以怎么样？ b d n 是 洁面吗？过 b d n 的 洁面长什么样？过 b d n 的 洁面长什么样？所以这个局部不好看，我们把它给延展一下，是不是长这样？ 所以这前面是 b d、 n、 e。 哈，这前面是 b d n e。 哦，那 b e， 哎，那我这平行投影呢？啊，这条我选 a b， 那 那上面应该选谁？哎， m e 说 m e， 所以 我们把平面先延展一下啊，所以 m a m 跟谁平行？ 跟 b e 平行，是 b e 平行，那 b e 是 不是在刚才我的前面里面谁线跟面就平行了？好，来，那继续。 这是一个正四面体的木块，那过点 p 把它锯开来，锯完以后呢？要跟 v a 和 b c 都平行，这个结面要跟它平行。 那请问我应该怎么去啊？ 线跟斜面平行。结论啊，那我们是通过线线平行得到线跟面平行， 所以我得过 p 点在前面，你先找一条跟 v a 平行， 那相当于是刚才说我 a v e r 怎么样投影到我这个界面里面，那就就就是什么投影？十一点连起来是中心投影。所以，所以怎么样？将来给我批点在 v a c 里面做 b， 做 v a 的 平行线嘛，对吧？这样子的话，我 v a 平行这条线，所以 v a 是 不是平行？正面写正面是，不过点拼。好，那我把这点记做 m a 接着呢？ t c 也要跟前面平行过线做面找交线。交线是不是要平行？ 所以我现在相当于在背面用 m 去做 b c 的 平行线。那再来 m a 再来再来，这边除以跟它平行连起来，搞定了没？ 所以我这个平面，呃，这是什么四边形啊？嗯， 平行， m a 跟 e f 平行， e m 跟 f a 平行，两组对边平行是平行面形， 那我们求它这个结面的什么？周长为四周长，平行和线段成， 所以这条多长？关键就看比例是不是？哎，那我们这比例是一比两的好吧，一比两的，那五 m n 多长？ 五 m n 比去，谁比去？ v e a 等于谁？ 当当当当当的比去，对吧？ 那我 v a 它是正数，面里我 v a 就 等于谁，所以 m a 等于让打，除一下让打 a， 然后 f a， 它一个平行于 a， 我 只要求谁就好了。 e m e m 呢？它跟 b c e m 比去，谁？ b c 等于谁？ e 比谁，所以 e m 等于 啊。一属于音箱单打 a， 所以 它们相加等于 a， a 周长相等，第二周长是二， a 是 a 等于几？ a 等于多少？它在表面积是不是四个正三角形？搞定了没？ 所以你跟对人要平行切进去，他一定是什么形？平行四边形跟对人平行切进去，一定是平行四边形。 那周长我们就用相似，对吧？平行线分掉成比例这个性质来算。哎，如果面积呢？各位 面积呢？平式面积从各层怎么来算？三角形这个角度大小呢？ 那是五 e a 跟 b c 的 夹角对不对？五 e c 跟 b a 夹角，比如正四面体，这夹角几度啊？是九十的， 这是面理，这个对人是互相垂直的，为什么你放在正方体里面去看这个，这是面理吧？是不是垂直的？所以这讲的知道了，那我知道这两段之之起，那就这两个存在一起， 这两个存在于什么？上位最起最直？存在于让大平方垂直一下，让大的平方， 对吧？那跟蛋蛋等于一的时候，他们一起对直吧，也就是截的话，应该从那一边中间切进去，是不是对直啊？ 所以如果求面积啊，两边夹角的正形是吧？那你九十度是不是两边夹角 啊？啊？这些我们再来看一下这些综合的动作。好， 这是一个人船为二的正方体， e、 f 是 中点， b 是 动，点在里面里面动， 有没有点 p 使得 f、 p 会跟洁面 a、 b、 c、 d 平行呢？ 啊？点 p 在 底面运动啊，点 p 在 底面运动 有没有 l p 会跟这个结面对角面 a、 b、 c、 d、 e 平行，有的就选哪一条啊？点点 p 在 一点的上会不会平行？这就可以了， 所以线根，线平得到线根，所以存在不存在。那这个动点的轨迹是什么呢？ 所有跟他平行的这些线构成的平面是谁啊？过 f 跟这个平面平行，哦，过是这样子的， 那点 p 既要在这个界面上，又要在底面，所以点 p 的 轨迹是一条线运动层面，过一个定点，所有跟它平行线就构成什么？就构成一个平面平行的平面啊。再来第二个，过 b、 f 三点的界面， 做 b、 e、 f 三零的洁面，咱们哪一个好做？ 左边有 e、 f， 右边呢？昨天我们讲的是不是通过平行的反平行，是吧？那就是切完了没？切完了，所以它是一个梯形，是不是梯形？ 这三轮车的体积是定值呢？ 两边是动的啊， c a b 数都是都是 d 的， 所以这个三个 j 我 们应该换一个角度来观察是谁的顶点， b 是 一点， b 错了顶点，然后 a 一 b 一 c 一 高是 d 的 吗？高就是二，搞定了没？所以啊，三的问题我们换一个角度来，是吧？换一个角度来， d 四 f a c d 贯接球 f a b c 这里是啥东西 哦，七夕节环节，这是一个什么东西？墙角墙角的问题就怎么研究 a c 轴成一对对哎， 收根这的外接球要不要？要，那这个长方里的外接球是吧，搞定了吗？你的对角线是不是他的直径？ a 弯加 b 弯加 c 弯，开根号入二啊？所以啊，这个追值得追，给他补成直得住，这个直得住还可以变成什么四能住这个长方体就搞定了。所以啊， 能不能补底，可以的话可以把不规则不好看的补成什么样规则的好算呢？对吧？那不行了，我们再来直接把。直接把就要去找什么呀？啊，对 啊，那刚才我们都说啊，它是终点，留着线跟面平行， 那现在我反过来，哎，这比例是多少的时候，我 p c 会平行， b e f 呢？ p c 会平行， b e f 呢？其中一点是已经知道是终点了， b f 点呢？我还不知道是哪个点， 那取多少个效果 pc 才会跟正面平行呢？结论是不是线跟面平行，然后我们再探讨一下，让它平行是吧？也要线跟面平行。 找线怎么找到一条线，哎，怎么找到一条线？平行投影或者中心投影这里呢？或 pc 适合于什么投影 中心？谁的中心？ a 座中心投过去，这里有一个焦点，投过去就是谁。 f 只有这一条跟这条一样。这是几等分点？ 这是一，这是二，这是几的问题。那你要平行谁这边也必须要听到没啊？好帅哥们。
60汤老师
02:44查看AI文稿AI文稿好，咱们今天来看一下内切球的问题，那么内切球对于轮锥来讲，我们的核心思路就是要利用等体积法，如果一个轮锥，他的内切球 存在以后，那么内切球球心到每个面的距离应该是相等的，都是 r， 那 么如果我们把这个球心和轮锥的每个顶点所连接以后，他就可以分成很多个轮锥， 然后我们的半径 r 就 会变成新的棱锥的高，我们就可以利用等体积法去做这个题目，所以要去求内切求的半径，核心思路是得知道棱锥的体积和表面积，那么我们来看下这个题目，他说 底面边长为二的正方形，然后正好侧棱都是二。好，这是我们的一个棱锥 a、 b、 c、 d， 顶点是 p， 每个棱长都是二， 侧棱也是二，那么我们要求它的体积肯定得先知道高，那这个高怎么求？那肯定是要往下做垂线去用勾股定律 ac 的 一半，再加上侧棱，那么我们可以去求 po， 它应该等于根号下 ap 的 平方减去 a o 的 平方， 那么 ap 的 平方是四， a o 的 平方是二，那么这个东西就应该是根号二，所以 po 的 长度是根号二，那么高是根号二，以后，我们就可以算体积， 体积等于三分之一 s h， 那 么三分之一乘以四，再乘以根号二，就等于三分之四倍根号二，这是我们的体积，然后我们继续去算这个表面积，那么表面积首先它是由 四个全等的等边三角形，再加上底面一个正方形构成，那么四个全等的等边三角形，那就应该是四乘以 二分之一。好，然后再加上他的底面积是四，那么这样的话我们可以算出来他其实应该是四倍根号三加四。然后我们利用等体积法，我们知道 v 他 会等于三分之一，那么全部的表面积 再去乘以半径 r， 那 么这样的话我们就可以推出来 r 其实等于三 v 除以啊，全部的表面积，你带进去四倍根号二除以 四倍根号三加四，我们可以得到 r 就 应该是二分之根号六减根号二，那么我们继续去求这个球的表面积啊，带到这个 s 等于四派 r 方就可以了， 再进行算，应该是八减四倍根号三派，所以这个题目选到 a 选项。
24函数魔导师
03:04查看AI文稿AI文稿好，我们今天来看这道题目，他给我们给了一个母线长为 a 的 圆锥的侧面展开图为半圆，然后里面放了个圆柱，他说圆柱的侧面积最大时，让我们求圆柱的体积。 那第一个东西，我们通过前面的第一句话，可以求出来一些关于圆锥的信息。我们可以求出来圆锥的半径，他应该会等于 二分之 a， 这怎么求呢？其实就是让我们的二派 r 等于二分之一，再乘以二派 a。 哎，这东西解出来 r 应该等于二分之 a， 那 么圆锥的底面半径知道，我们就可以知道圆锥的高， 圆锥的高带三角函数，我们可以解出来它是二分之根号三 a， 这是关于圆锥的两个信息。那么我们现在要关于求一下圆柱，他说圆柱的侧面积最大，那就是要知道圆柱的侧面积公式是什么东西。 对于圆柱来讲，它的侧面积其实展开以后是个长方形，长是它的二 pi， r 宽是它的高，所以侧面积最大就是要求的是底面半径和 h 的 一个关系。那么我们这个题目 就要去求解圆柱的底面半径和圆柱的高的一个关系。好看，旁边这个图，上下两个三角形肯定是相似的， 所以我们设圆柱的半径为 r 为 r， 一 高为 h， 那 么我们可以得到，由于相似得到两个关系式， r 一 比二分之 a 等于二分之根号三 a 减 h， 比二分之根号三 a 就是 上下两个三角形相似的比例式，那么我们就可以得到 r 一 等于根号三分之 二分之根号三 a 减 h， 这是一个 r 一 与 a 的 关系， r 一 与 h 的 关系。得到它以后，我们就要去求一下这个测面积， 它的测面积其实就是二 pi r 一 乘以 h， 那 么把它化解，它应该是根号三分之二 pi， 然后乘以 h， 再去乘以二分之，根号三 a 减 h。 观察后边这个部分， 后面这个部分明显是可以使用基本不等式的，原因是因为他们两个的和是一个二分之二，三 a 是 个定值，而且 h 是 正的，二分之二三 a 减 h 也是正的，因为是你的高，不可能比圆锥的高更高嘛。所以后面这个部分肯定也是个正的， h 等于 二分之，根号三 a 减 h 十。哎，这个东西有一个最小值对吧？有一个最大值是多少不重要，我们不用求它，我们只需要知道它的这个高和 a 的 关系。高是四分之根号三 a， 我 们就可以求出来 r 一 的关系， r 一 我们带进去求，这就是四分之一 a， 那么它的体积 v 就 等于底，面积乘以高 pi r 一 方，再乘以 h 等于四分之根号三 a 再去乘以十六分之 pi， a 等于六十四分之根号三 pi a 三。好，那这个题目就选到 a 选项。
85函数魔导师
03:05查看AI文稿AI文稿好，我们今天继续来看这道三轮锥的外接球的题，这道题他给我们给了一个三轮锥，告诉我们侧轮是垂直于底面的，而且高是二 abc， 一个角是一百二十度，然后告诉我们底面的面积是二分之三倍，刚好三，让我们求外接球表面积的最小值。首先我们先从问题出发分析一下这个题目，我们要求外接球表面积的最小值，那么无外乎就是要求的是这个 外接球的半径的最小值。那么一个三轮锥的外接球，它的半径 实际上来讲就应该是整个这个高的一半，然后再加上这个底面三角形外接圆的半径，利用这个勾股定律去做，这地方是我们小 r， 这地方是我们的二分之 h， 所以 这个题目就变成了我们要去求的是 底面三角形外接圆半径的最小值，那么我们知道底面三角形的外接圆肯定是要利用正弦定力，余弦定力去求它，那么第一步我们首先要干的事情是要利用这个面积先求出来二分之一 a， 这应该是 a c 三以内， b 等于二分之三倍，根号三，那么我们就可以求解出来，这个 a c 永远是个定值，这个定值是六， a c 是 六，我们要求的是底面圆的半径，那么我们肯定还是要利用正弦定力，那么正弦定力的话， 有 a c， 还知道了这个塞硬币，那么我们是不是可以利用余弦定力再去求一次 b 方等于 a 方加 c 方减去二 a c call 三以 b， 那 这个地方我们先把它化解一下，应该是 a 方加 c 方减去二 a c， 然后乘以负二分之一，然后观察一下这个 a 方加 c 方，我们是不是可以去求解？基本不等式，它应该会大于等于 二 a c 加上 a c， b 方大于等于三， a c， 那 就是 b 大 于等于十八，那就是 b 大 于等于三倍根号二。然后这我们注意一下，其实就是当 a 等于 c 时取等号，那么 b 大 于等于三倍根号二， b 的 最小值已经出来了，那么我们是不是可以去求 r 了？ r 应该会等于 b 除以二倍的散敛币，我们把这个式子变形的话，其实就是二 r 等于 b 除以散敛币啊，所以我们给它变形变过来这地方大于等于三倍，根号二除以 根号三，那么就是 r 大 于等于根号六，那么 r 大 于等于根号六。以后我们就可以利用我们第一次推的东西，这个 r 求的半径肯定等于 r 的 平方，再加上二分之 h 的 平方，再进去求一下，他应该是根号下六加一等于根号七，他是根号七，那么我们的 s 就 等于四派， r 方等于二十八派，所以这个题目选 b 选项。
96函数魔导师
51:07查看AI文稿AI文稿小马老师好，请坐好，那我们今天要讲的是立体几何里面的平面， 前面我们初步认识的简单几何体的组成元素，比如说顶点、棱面，然后构成了这个能住、能追等多面体， 然后我们以直观的方式感知了这个基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的结构特征。 那么我们为了再进一步研究他们之间的位置关系，比如说平行垂直的位置关系，那我们就需要进一步的研究平面及其性质，所以我们这节课来研究平面的性质。 那首先平面的概念，什么是平面？什么东西是平面？来，我们有什么经验？ 那就初中我们研究过直线是吧？初中直线怎么怎么定义的？无限啊？无限延伸，那我们现在平面呢？啊，我们现在平面应该是什么样子的？ 我们这里讲的平面应该是一个理想化的，是不是无限延展？无限延展，但首先我们这个黑板平面呢，是给你平面的感觉，还有呢桌面呢？ 所以所以我们先从这个具体的事物抽象的这个概念吧，对吧？这是一个平的桌面，是一个平面来更大一点的宁静的水面呢 啊，平静的水面呢，是一个平面的感觉，看这些就是我们研究的平面，那几何里面所谓的平面就是从这些具体数抽相出来的，类似于直线， 我们直线是这样两段无限的延伸，那我平面呢？啊，在四周无限的延展，在四周无限的延展，这个就是平面，就是一个平面， 那像点线面，这都是最基本的概念，对吧？最基本的概念，没有办法用别的概念去定义它啊，那就形容这些就是平面，这就是平面，那怎么把平面用直观图形把它表示出来呢？ 那我们之前书有画啊，水平放置的平面图形的直观图， 所以我要画这个平面的话，我们就可以用平行四边形去表示，比如说我要画水平画质的平面呢？那我们就把一条棱画成跟水平的方式吧。 水平的画质，那这个的话，画成平行四边形就表示在平面，那我这平面如果是竖直的画的平面呢？ 那画这个平行四边的有一条，有一条边，我就画成什么啊？竖直的方向画一个平行四边形，对吧？那这个就是 读来表示它，读来表示它来，那咱们用符号语言来表示这个平面呢？那我们就可以用什么希腊字母阿法贝塔写在这个角的地方，那我们就跟这个就叫做平面。 平面阿法，那我们也可以用这个平行四边形来表示啊，所以我就可以写成平面 a、 b、 c、 d， 或者就用这个平行四边对角线来表示的平面，那我就可以写平面。谁平面 a 四就是指的平面 a 面，那我写平面 b、 d 呢？啊？平面 b、 d， 可不可以 用符号准确的来表示我们的几何，几何图形啊？几何图形，所以我们可以写成平面，省啊，这是 一面的表示，那么点线面之间的关系呢？ 点就是一个元素，对吧？那线可以看成什么？这是点的几何，所以我们线是不是可以看成几何面呢？面运动成面，面也可以点运动成什么呀？面，所以面是不是也是点的几何？ 所以准确的把点线面表达出来，那点跟线几种位置关系在或不在，那用符号来表示呢？把元素根集合吧，是不是属于这个符号？ 他不在就是把他怎么办？干掉，对不对？不属于 a 了，点在线线上，点在线外，那用图形来表示，你就把这图给画出来，对吧？ 那可见我要把一个几何东西表述清楚来，我可以用什么来表述啊？文字语言来叙述，是不是？文字语言来叙述？也可以用符号语言来，更抽象，但是会更简洁啊，这比较具体，但是也能算比较啰嗦。 那用图形语言有什么好处啊？不直观，不直观可以吗？这三种语言要互相学会去切换，你跟人家交流的时候，那当然是什么啊？文字语言。你不要说 a 属于 l， 那 你这个看到这个符号应该要 想到表达出来的是什么？ a 在 见 l 赛，对不对？见 l 赛来。那点个面呢？ 点个面呢？点在面内啊，还有呢？点在面外啊？点在面内，那就用什么话？ 那图形的话就是正面，那点在面外就是在平面，平面我用平行四面来表示吧，那这面外呢？那我那个点应该给他写到，那平平行四边音呢？外面啊，外面，那么点在面外， 那两条线呢？两条线呢？两条线相交呢？ 但是两个集合的关系交集，当然我们这可以简化一点，你不要说交一点 a， 你 不要来个集合， a 没有了就直接什么 a 啊？用这个符号来表示，两条直线相交于 a 啊？两条直线相交于 a， 那线跟面呢？线跟面积有关系？线在面内，线在面内，这两个数都是集合谁？图二包含是包含这图二， 但是这个符号跟我们企业里面有什么区别啊？企业里面是不是有个等啊？等哈，那我们这边用的是什么真包含的？真包含的啊？就是直接，但是你在， 哎，你再用自然语言来描述的。是啊，文字语言来描述，你看现在面内，现在面内，那就表示里面的二板内里画一条线来，那不在面内呢？ 不在面对这条线跟面什么关系啊？有可能跟面有没有公点，没有公点有可能呢，有一个公点是不是也叫在面外？ 十二可能是在跟他是没公共点的，或者有一个公共点。那你在变列是有多少公点，变列是多少公点啊？所以我们用符号语言来表示，就是把这个包含的符号怎么样干掉， 就叫做线不在面内，那就是线在面外，线在面外是不整条都在外面，整条都在外面，是叫外，是叫平行是吧？还有一种是有一个公点是不也叫面外啊？在，所以他可能是相交或者什么呀？平行， 所以线跟面几种关系大的来分是两种，然后在面外分成两种，一个公点跟没有公共点，一个公点跟没有公点，也就是香蕉跟 平行啊，将这个平行好，这是符号要会表达第二个平面的基本事实啊，我们的基本性质，这个 数学里面有一些啊，叫做用逻辑推理的办法，那我们一开始的这个根据呢？ 最基本的这个呢？我们经常叫做公理，我们在书上也叫做基本的什么呀？事实，你在承认这个基本的事实底下啊，然后来建立起我们这个逻辑的系统 逻辑，所以我们来研究几条理学，这边那最开始的就叫基本事实，也叫做公理啊，那这个体系就叫公理化的体系来研究。 ok， 所以我们来看一下第一个不正知名的结论，我要确定一个平面， 大家有几个人确定一个平面？这三面有什么要求吗？第一个，第一个基本知识，你可以用三面确定一个平面， 比如说我们在啊日常生活里面，你看我自行车这个有个脚架，再加两个轮子，是不可以稳稳的停住了， 因为这里面是不，这三点是不确定一个平面，所以把它支在这一边。三角下。为什么设计成三三个角的？因为三角的这三个点呢？是不确定一个平面跟另一个平面，所以它可以固定住啊，固定住，所以我们得到以下这个基本事实， 或不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 所以他前面加了一个什么，什么限定？再画一条不掉一条直线上。然后呢？什么叫有写只有 有啊？啊？再来怎么样写只有一个，是吧？那我们也可以叫做确定一个平面有写只有，我们也可以简单一点的叫做什么？确定一个平面 不贡献三点。确定一个平面，那不贡献三点呢？啊？能确定一个平面吗？不能确定是吧？所谓的确定是要有且只有一个，那过三点有多少个平面 啊？就共这三点呢？哎，会赚的是不是无数多个？这有钱有多少个钱有无数多个啊？所以一定要扣取他的限制啊， 所以我们用图来表示呢，就是这三个点，所以确定平面的边，确定平面二角，这是第一个，第二个、第二个面的关系呢？ 那如果我直线跟平面有一个公共点，那这条直线是否在平面二角内？有可能是相 角，是不是像角的？那要用几个点？这条线在平面内，两个点啊，两个就够了，是吧？为什么两个就够了？因为一条线前面要几个点？两个点，所以我们第二个基本事实， 那就是如果一条直线上有两个点在平面内呢？那这整条直线呢？都在这平面内，这条直线上所有点都在这平面内了，那这就界定了线跟面的关系， 可以用两个点来确定线跟面的关系。哎，用符号怎么来表示呢？ 有两个点在线上，那就是什么 a 啊， b， 然后呢，这两点要在哪里？在点上，且 a 在 阿法内， b 点呢？在阿法内。结论， 然后就在阿版面见个面，对吧。准确的用符号来表达啊，准确的用符号来表达， 那我们来看一下，如果不贡献三个点呢？不贡献那三个点，那我们就可以确定一个平面阿版。那这一条 a、 b 呢？ a、 b 在 哪里啊？而这条直线我们的直线是什么？无限延长了，所以可见这平面呢，也是无限的。那同样的 a、 c 数也在这平面上，还有 b、 c 数也在平面上 啊，不是这两条线随便抓两点，那这条线在不在平面上，所以从另外一个方面来讲，这平面也可以看作，是啊，我这些线的什么啊，你就编织起来了， 我们这直线网速构成了我这整个平面，用线运动成面的，而你线是无限的，所以我这面呢，也是无限的，所以我们说平面是无限，怎么样？这样？因为我直线就无限延伸的吧？而我这些线是不是构成了整个平面 线就运动成整个平面啊？给它绕一圈，滚一滚，是不是整个平面就编织起来了啊？首先我们可以用这个直线来感知我们这个平面这个概念。 好，那第三，两个面，两个面如果有一个公共点， 那是否这两个平面就相交于这一个点呢？其实一定不，两个平面如果有一个公点啊， 这个平面跟桌面只有一个公点，那他一定有多少个公点？为什么？因为你这一面站起来， 因为我只是用这个平四边形来表示平面，是吧？而平面实际上是无限的延展的，那我们应该这个平面是穿过桌面，是不是？ 那穿过桌面要跟桌面的公共点多少个？无数多个，这无数多个有什么特性？这一条啊，构成一条是构成一条直线 啊，所以这是基本四十三，基本四十三 一个啊，两个平面有一个公共点。结论，这两个平面就相交，交线是 l， 然后我们点 p 就 在这 l 上面啊，点 p 就 要直线 l 上啊。 所以我们不能说两个边只有一个功点，有一个功点就一定有多少个功点，无数个功点，这无数个点怎么样？贡献了？所以今后我要证明三点贡献呢， 我要证明三点贡献呢，提供了一种策略，同时存在两个啊，同时存在两个，也就是这三个。三个点是某两个平面的公共点，这三点就一定 贡献。所以这可以用来证明三点贡献，这可以用来证明三点贡献。 好，那那么那两个平面相交，我们怎么来画哈？怎么来画两个平面相交呢？ 原来我们把一个平面水平来放置嘛。啊，那我们看到这两个平面的正视图呢？两条相相交的直线是吧？ 然后来现在我要画平面，怎么样？交线把它画出来了，接着呢？把上面接着，我要画平行四边形来表示平面。是不是 啊？这个水平放置的平面画好了没？接下来我去画画一个什么啊？斜的平面，是不是来这里是不是表示平面的一条了？那我们是画平行四边形啊？ 差不多了哈，然后遮挡的部分呢？你可以不画，要画就画成 虚线啊，遮挡的部分换成虚线再描一下，这个就成型了。还可以吧，有个立体感觉。 所以我要画两条香蕉的，两个香蕉的平面，我就画两条香蕉的直线，像那个正视图，然后把它延展成平面就行了。是不是延展成平面就行了啊？ 这个是怎么来画两个平面相交？那么也可以两个平面垂直呢？你就画这个正四图的两条直线，怎么样？垂直，然后再画平行四边形来表示平面。 好，同学们，那我们三点决定一个平面，这三点也可以用什么来替换掉呢？ 三点决定一条横，一个平面，这三点我也可以用什么来决定，一定要我自己决定。这是因为啊，所以这个叫做它的推论。 要确定三点确定一个平面，那我一条直线跟直线弯一点，也确定一个平面。哎，这怎么说理啊？ 用基本事实来推正他。怎么用基本事实来推正他？ 那我要利用基本四十一是吧？所以我先要抓三个不共线点，那怎么抓这三个点？ l 上任取两个点是吧？还有呢，我们刚才不直接点 a， 怎么样？在直线 y， 因为 a 在 直线外，然后呢，我取两个点， b 跟 c 在 直线 a 上，所以呢，根据基本事实 e 具有什么结论 啊？ a， b， c 三个点，就什么确定？平面阿巴，你确定平面阿巴 也就有写只有一个平面，是吧？那现在呢？只要那个时间在平面，只要在平面上就行了，这段时间在平面上呢？啊？ 又因为因为什么啊？ b 系数在这里面，所以我们就有根据基本四十几，根据基本四十，我们可以得到什么结论？ 你这两点都在平面上，那整条直线呢？谁 a 在 平面啊？反面， 但这个平面阿法书是不是也是由我 a 跟 c 啊？啊？点 a 跟 a 这条直线确定的， 所以我们就可以确定了啊，这点 a 是 直线 a 外的一点，直线上我任意取两个点，那基本四十一，是不是确定一个平面了？然后呢，这个 a 呢？是不是也在平面内？ 所以这个确定的平面是不是由 a 跟点 a 确定的啊？那当然要得到这三点，我们除了一条直线和直线外，一点还可以怎么样？哎，你看这样子，有两条相交直线， 所以两条相交之间有且只有一个平面，证明方法一样，那这三点我们取哪三个点？交点上面啊？交点跟 两条啊，两个点各取两个点，是确定一个平面，然后呢，我这两条线段直线是不是都在这平面二把上？所以这唯一的平面二把是不是也可以由我 ab 来决定呢？ ab 来决定呢？所以系数的上， 我们一般来讲，哎，我怎么做的，对吧？然后接下来我才去正啊，才去正，所以先要做出来十二点， a b 是 直线， a b 上一于点 p 的 点由基本四十一，经过三点确定一个， 这三点不过线了，就确定一个平面，再由基本四十二。我 ab 呢， ab 路再平面二百倍， 这 ab 又在平面二法内，所以这个二法是不是由我 ab 确定出来的？ 即两条相交直线确定一个平面，那还可以用什么来替换？ 我要得到这三点，我可以两条相交直线，直线跟直线外一点，我也可以是两条平行的直线了，是不可以平行直线，所以经过两条平行直线有且只有一个。 哎，这怎么治啊？现在就不能惯性思维了是吧？哎，那什么叫平行思维？互相交，互相交就叫平行线是吧？ 我们一个大前缀。什么大前缀？我们在初中学的，是不是我们研究的平面几何？所以平行是怎么定义的？在平面内没有公共点叫做平行。那根据定义呢 啊，因为当两条实线在同一个平面内写不相交的时候叫平行线，所以如果我想平行线呢？必定有啊，那就直接 a d 必定在某个二百内。 那现在问题是什么？有选择有，我们现在就解决的有了。那你现在要讲它是唯一的， 怎么说他是唯一的呢？如果唯一不好说。哎，刚决定说又反正如果还有一个呢？他有唯一的讲，所以如果过 ab 还有一个平面贝塔呢？ 如果过 ab 还有一个平面贝塔呢？那我们现在要说这个阿尔法跟贝塔是其实是什么？同一个是不是同一个？我还有一个表示着不同的平面。那我们现在说他们是要矛盾的是不是？怎么说来矛盾呢？ 这个 a 上面我再取一个点 a 好 不好？ 谁阿法过谁啊？ a 过谁？ a 跟谁点 a？ 我 贝塔呢？还有一个点过谁？ a 跟 a 跟 a 跟你干的，吹乱 这里的吹的一啊。有过 a 和点 a， 有 且只有一个平面，所以阿法与贝塔是，哎，重合的。是不是重合，那跟我讲的是不矛盾的， 因为我说的如果还有一个平面表示我还有一个跟他不同的平面，这以是是矛盾呢？那什么意思？那有没有别的？没有，所以有且只有啊，反正来说正面不好说，我们就用反面来说。 好，那这样子就完整了。三个基本事实也叫做公里是吧？三个公里以及。哎， 基本四十一的，三个推的，基本四十一可以用另外三个去替换他，用另外三个条件替换他，这样子就完整的建立起我们这整个推理的基础啊。推理的基础 啊，看看这个木工师傅在检查这个凳子，我们问驴的车经常会，哎，这里绑两条线啊，他目测一下，哎，没问题。 为什么？因为啊，哦，如果这对角线拉过来，他们交一点呢？ 说明这个四个角怎么样？在不在一个平面上？在，在，那这个应该就做的比较好了，没问题了。哎，那如果不在一条直线上呢？那说明我们坐上去就会怎么样？摇摇摆是吧？那就要适当的调整起来了。所以，所以 很多时候是用了这些基本的事实来解决问题的啊，基本的事实来解决问题的啊，这个就是根据我们刚才的推量器啊，两条相交直线确定一个。 好，来一下我们第一个，来来来，判断一下刚才这些结论， 捡哪个？捡 d 是 吧？因为这前面 a、 b、 c 就是 刚才那三个人的 第三条直线，两两相交，确定一个平面。你看看这三条线都两两相交，那不是确定一个平面吗？ 三个平面就是截成三三头角。那有没有假设三两点相交交点公共点呢？那还有哪一种 两两相交？还有哪一种第三条呢？这是不是也是三条线两两相交啊？那是啥？就是我们的什么 墙角，墙角是不是三个？三条线两两相交于同一个点，能不能确定一个平面？那有多少个平面 啊？有三个平面是吧？是有三个平面，那如果，如果不是同一个点呢？两两相交线不是同一个点呢？啊？两两相交能不能确定一个平面啊？可以吗？ 可以啊，因为这三点呢？确定一个平面，这三条线两点相不确定一个平面， 第二个空间中不重合的两条直线。下列说法错误的是谁？ 二哥，选哪个 啊？可是三条线有几种关系啊？两条线有几种关系啊？啊？ 那三种在一个面内是吧？在跟面内是什么关系？平行或者香蕉， 还有呢？那就这两个一个公共点跟零个公共点是吧？零个中点有可能是平行，那也可能是什么这样子的吧，不在任何一个平面内。 那刚才这这就叫做什么？直线？共面的直线，那这就叫做不共面，不共面也叫做意面直线啊，意面直线。所以两条直线总共几种关系？三种是不是三种 共面的时候是平行或者相交，还有一种是什么意面？所以我说两条直线没有公共点，所以他们平行，对吧？有可能是什么意面？ 第三，经过一条直线上三个点的平面， 有写只有一个或者说确定的一个，对吗？三点贡献，三点贡献，那有多少个里面啊？ 那四个点，四个点呢？不知道怎么调，现在呢？有可能可以，有可能可以四个点，所以如果讲四个点，你要去讨论一下，是吧？第一种情况，四个点在一条 线上。第二种，三点在线上，一点在线那叫啥？有且如果他们都不在，没有三点在一条线上， 没有三点在一条线上，那就是啥没有三点在一个线上。 哎，不一定啊，还有呢，还有就拆下来了吧，对不对？平面是不是斜平面？里面是不是四个点？没有三个点，但是平面， 那如果不是平面，那就构成了呗，对不对？所以我们就讨论这四点到底是哪一种关系，是不是？ 接下来，接下来的话，我们要利用基本四十来证明三点共线或者三线共点。各位，我们看下这道题，这是一个长方体 偶遇，是上底面的对角线 a、 e、 c 跟 结面 a、 b 一 d 一 交于一点 p。 求证 o 一 b a 三点是在一条直线上， 首先这三个点都是哪个平面的？ a、 c、 a、 c 点批是谁啊？ 点 p 是 a 一 c， 这条线跟谁的交点，所以点 p 在 a、 b、 a、 b、 d 上，对吧？ o、 e 呢？点也在 a 点呢？还有一个也在，是不是？ 所以这三个点是不是这个结面 a、 b、 d 的 点？ 那你说这三点要共线，所以我要要说这三点也是另外，另外，另外是哪一个平面呢？ a a、 c、 c， 那 你点平是在这上面有这条线，还有哪一条线下面 点 p 数一点 o 一 在这条线。哎，这两条线构成一个平面吗？可以可以，哪个平面？是，所以我把这怎么样连起来，这个叫做对角面啊，对角面，对角了， 就这样一个对角面上，那这三点会共线吗？会啊，是两个面的公共点，而两个平面的公共点是构成一条线，是他们的交线 啊。同学们，学习一下我们应该怎么来组织哈。首先二一，我要先说了，因为 a 一 c 交， b 一， d 一 于二，一，是不是 两条线交一次，所以怎么样？所以二一在哪条直线上？ b 一 b 一 这条线上对不对？你点是在这条线上，而这条线在哪个面上？ a， 所以 o 一 是在平面，平面 a， b 一 b 一下，对不对？点在线上，线在面对，那么点在面对吧啊？点 o 一 在面对， 还有呢？那我现在要说点 p 数也在面内，为什么点 p 在 面内啊？因为 a、 e、 c 交平面， a， b e， d， e， b， 说明这点 p 数线的面的公点，它记到现在也在面上，所以你要说点 p 呢？在平面， a， b， e， d， e， a， b， d。 啊，那现在，现在呢？我们还要说什么啊？ 然后我还要说这点 o， e， p 也在哪个平面上？对角面上啊，所以我们这边这边是两个交点，那我这里写成这边，所以它还会在哪个哪个平面啊？哪个线上？ a， a， e， c 上，所以 o e 是 正面上，那 o e 是 不是也在平面啊？ a e， a， c， c 上，是吧？ 啊，那现在线跟面交于这点是吧？所以，所以我这个呢点 p 在 线啊， a， e， c 上，所以点 p 在 面啊， a， e， a， c， c 啊，那这所以它们交线是 o， e， b 啊，那还有呢？ a 点的线，要不要说 这两个平面数都有 a 点，所以 a 点数它们的公点有减 a 为这两个平面的公共点，所以得下结论了吗？ 这三个点是不是这两个平面的公共点了？所以这三点就怎么样贡献了？所以要证明三点贡献，就是去判断一下这三点是哪两个平面的公共点。 那要说他的平面的公共点，那先要看一下这点在哪些线上，对吧？点线面是吧？ 点去找线，线去找什么呀？点，那就可以确定是哪两个平面的公共来。那比如这 有一个三角形三边，三边所在的直线跟平面二百交于 p q 二，求这 p q 二三点在同一条直线上， a、 b、 c 是 一个平面，然后这个平面交下来， 可以解解密， a、 b、 c 是 不走平面交，平面交下来的线在一起，就这好说吗？因为 a、 b， c 啊， a， b， c 都先确定一个面，那点 p 呢？ 是在平面 a， b、 c 上点 q 呢？点在线上线的面内吧。所以这三点是在平面 a、 b、 c 上， a， b、 c， 然后这里角又这三点呢？ 在阿宝是公共点，所以三点，三点共建，所以我们在确定的事先先说的是点批是公共点是吧？点批共点，同理可证， 同理可证。 q 点是公共点， r 点是公共点，所以三点贡献，或者你再教大家根据基本四十三，所以三点就贡献好再来。 在长方体中， e、 f 是 中点，然后求证 b， e， d， m、 c， c 三线共点， b， e、 d、 f 跟 c、 c 这三条线会交一点， 刚才我们就证明三点共线，我现在要证明什么？三线共线，共线，共线非常好，有的人说我先把两条线交于一点， 然后我们证明另外一条直线过过这个点，另外那条直线过这个点，等于证明三点共线， 所以他还是三点，谁先交一点，谁交一点这两条吧。 一样，为什么这两张会加一点？因为，因为他们都在那个面后面，我们就选个呈现 谁的中位线上面 e f， 因为 e 点 f 点为谁谁的终点，所以 e f 平行且等于 b 的 顶点， 对不对？而你只能是平面的性质啊，那空间里面怎么这条跨到这里来啊？过渡是不是？ 这这条 e、 f 是 平行写等于它一半好，然后它又等。第一，先等于下面写，然后这条跟下面这条呢？ 这要通过谁来说啊？就是那个对角面有在长方体中，怎么样？这个面对角面咱们直接说， 但是我可以说哪一个东西？ b b 一 平行且等于 b b 一， 可以吗？你想方设法是能住能住的车能怎么样？平行也相等的吧， 那说明这四点怎么样？四点是不共面的，那我平面的基本尺寸都可以用了， 这么空间问题就是平面问题的，平行且相等，所以我能下结论。所以四边形 b b、 e、 d、 e、 d 为平行四边形，对不对？所以呢？ 所以 b 一 d 一 平行且等于谁？ b d 啊？ b d， 所以 平行数可以传递过去的相等能不能传递？可以，所以我 e、 f 平行也等于平行，说明他们什么？共面，那这不就一个梯形吗？所以我能说他们相交吗？所以我们是不可以让他们交在一点了， 所以我现在是不可以说啊，所以我们说 我们现在就可以设了。这谁交？ e f， e， f， e， 对 吧？那你是梯形呢？是不肯定交 e 点了。现在呢？把两个侧面拿出来，现在证明什么？现在证明哎， g 在 哎西西上。怎么证明点在线上呢？两个面角在一起，那证明这三点是某两个平面的公共。是哪两个平面公共点？ b， c， c、 d。 因为 g 点在 d、 f 上，所以 g 点是在背面。 哦哦哦，这个 g 点呢？在 b 上，谁在？在哪一边？右边，对吧？这 g 点就在既在背面又在右边。那 c 呢？ c 点呢？ 右怎么样？这个 g， c， e， c 在 哪个平面 来，在平面 d， c， g 里面吧，是不是在 d， c， g 浅浅浅呢？ g， c， e， c 点在哪个平面？ b， c， d， g 是 b， c、 d， 所以 这三点就共线，也就近点在直线，谁 c、 c 以上，对吧？所以三线是共点了，三线共点， 所以我们用基本事实来证明三点共线和三线共点。三线共点，就先让两条线交于一点，再来证明三点，再来证明三点共线。 我现在要做过 d， e、 c、 e 这个三个点跟啊。呃，这个界面过这三个点界面， 因为我们三个点的平面，所有的平面是无限延展的，是不是？那也就是我这一刀要把这个正方形一分为四。呃，你不能说，然后截过来，平面就是 d、 e、 e、 c， 因为我面是无限的呢，现在在正方体中，我过这三个点的平面跟这个几何体的交的。这个平面图形是什么呢？那正方体的平面图形是什么呢？你不会记得 啊，这一刀切过去，左边左边的胶线就是谁了。弟弟，那没问题了吧？背面的胶线是谁？弟弟， 这一刀切过来他可能跟谁？还有胶，哎。正面，正面还有右边，是不是 右边？无论如何都会有两个平面，只是他应该也到下面去。我们这个正方，正方，你是不是这些多边形围起来结痂？ 是这样一个实心的几个点，然后我这平面是无限延长的，切过去对不对？好，那我要做洁面，是不是要把胶线求出来？要求胶线就要找什么两个点，公共点是吧？ 那个里面有一个公点是 c 的， 那还有一个公点在哪里？直接勾到要平行才行。哦，也就是说把它平平过来就行了，是不是？为什么？因为是什么？平行直线确定一个平面 没错啊，那要用到平行平面的线，两个平面平行被第三个平面截过来呢。交线 是平行的，但是你还没学过这东西啊。这个这道理是可以的。对的，他还没没学过啊。 这这条线是无限延展的，延展过来呢，把这一条给它延长一下。有没有个焦点？ e 点， f 点，这个点呢？ 这边在不在洁面上？在这个焦点也在哪里？ 所以这个洁面跟底面的交界是谁？因为这点是终点，是这两个什么关系相等，所以这点是什么点？终点，终点啊，终点， 所以我的洁面呢？哎， ahc 底是这样子，切过来是 ah 边，这洁面就做出来了，所以做洁面怎么做？ 那就利用到平面是无限延展的这性质，找两个公共点就把交线的呢？找公共点，公共点哪里找线上？好，那我们今天要讲的内容就这些，这个班。
36汤老师
04:12查看AI文稿AI文稿本期视频来看高一数学立体几何涉及到面面平行作图找动点轨迹的问题，看这道题，如图，正方体能长为二， e 为 b d e 的 中点 f， 这里没有标出来 f 是 在侧面上的一个动点， 并且 b e、 f 是 平行于平面 a e b e 的， 这里 a e b e 是 一个不可见的面，我用虚线连接 就是一个蓝色的平面，现在问 f 在 右侧面上的轨迹的长度，首先咱们突破点从哪开始找呢？就是 bef 平行于这个平面 a 一 b 一 b 一 是一个定点， f 呢是动点，是在右侧面上的一个动点， 怎么找他的运动轨迹呢？直线和平面平行想到这条直线所在的一个平面，如果和这个蓝色的平面平行的话，那么 就能推出这个 b e、 f 在 面内也是和蓝色平面平行的，对吧？那首先我要找到一个过 b e 点，并且平行于平面 a e b e 的 一个平面，怎么找？面面平行， 两条相交直线分别平行于面内两条相交直线，那么就可以推出来面面平行，对吧？所以我首先过 b 一， 先找到第一条和蓝色平面边线平行的直线， 那你很显然这个 a e、 e 能不能找到呢？和它平行的线呢？啊？我在 c c 一 上找中点，比如说 f 一， 我连接这个 b e、 f 一， 很显然它是平行于 a e、 e 的， 对吧？找到了一条，然后再找一条 和这个蓝色平面的一条线平行的相交线。那现在这个 a 一 b 观察一下这条线 过 f 一， 能不能找到 a 一 b 的 平行线呢？ a 一 b， 它是侧面的对角线，对吧？呃，我现在在找一个终点 c 一， 第一的终点 f 二，那我连接 f 一 f 二，它肯定是平行于 c 一 的， 而 c d 又是平行于这个 a、 e、 b 的， 所以 f 一 f 二这条线也是平行于左边对角线这个 a、 e、 b 的 吧，所以找到了第二条相交平行的线啊，那么连接 b e、 f 二， 那么现在这个红色的三角形所在的平面就一定平行于这个蓝色三角形的平面吧。然后呢，他说这个 b、 e、 f 是 平行于蓝色平面的，这个 f 已经确定了啊，这个红色的平面和右侧面是相交于线 f 一 f 二的， 那肯定这个 f 一定是在 f 一 f 二上的一个终点，对吧？那它的轨迹就是 f 一 f 二就能求出来了。好，咱们写下简单的过程啊。首先怎么做的？这个面面平行，首先在这个呃， c、 c、 e 上找一点，找个终点 f 一 啊，因为这个 b e、 f 一 是平行于 a、 e、 b 的， 然后根据两条相交线啊，这个 bef 一 交 f 一 f 二是等于 f 一 相交于 f 一 点，然后同样 a e 和 a e、 b 相交于 a e 点，并且 这个 bef 一 f e、 f 二是在平面 b e、 f 二内，然后这个 a e、 a e、 b e 内啊，这么多条件同时满足推出啊，这个红色的平面 b e、 f、 e、 f 二是平行于蓝色平面 a e、 b e 的 吧。然后呢，又因为平面有个 b e、 f、 e、 f 二和右侧面的交线就是线段 f e、 f 二，并且要求这个 b e、 f 是 平行于 a e、 b e 这个平面的，所以这个 f e、 f 二就是点 f 的 运动轨迹。那怎么求 f e、 f 二比较简单，连接 c d 一， 那很显然，这个 f e、 f 二应该是平行且等于二分之一的 c d 一 啊。 cd 一 呢？就是二倍根号二代入以后，最后结果就是根号二，这道题就做完了，大家理解了吗？
36张老师数学思维
03:27查看AI文稿AI文稿来到立体几何这一章节，那么这一章节我们今天首先要学习的是第一大类型题目，也就是求一些常见立体图形的体积，那么这个体积的求法有很多种，我们通常来讲常见的就是公式法 等体积法，分割法还有割补法，我们今天来先看第一种，也就是非常好用的公式法， 对于这种方法，我们只需要记住他们的体积的公式就可以。做一些题目来看这道题目，他告诉我们了这是一个正四棱台，上底面的边长和下底面的边长分别是二和四啊，告诉我们了侧面面积为十二倍根号三， 这大家要注意这个侧面面积是十二倍根号三，其实指的是我们的总侧面面积，也就是代表的是四个侧面面积之合是十二倍根号三，那其实每一个侧面面积其实就应该是我们的三倍根号三，这大家要注意这是一个易错点，那么我们 知道棱台的公式是什么，是上底面积加下底面积加他俩乘积开根号，再去乘以一个棱台的高。 在观察这个题目中，可以发现上底下底边长都告诉我们了，那所以对于前面这个括号里的所有东西，我们都已经可以解出来，那么这个题的当务之急就是要去解到棱台的高， 也就是这条高，我们假设是 o o 一 吧，要解这个高，那么我们就知道还有一个条件没有用，是十二倍根号三，侧面积是十二倍根号三，那每一个侧面就是三倍根号三， 三倍杠二三能做出来什么东西呢？我们知道棱台的侧面其实应该是一个梯形，那么它上底加下底乘高除以二，是不是可以算出来我们侧面面积的高，它的 s 应该会等于二分之一 bc， 再加 b e c e 再乘以 h 等于三倍根号三，我们可以解出来这个 h 其实应该会等于根号三，那么如果 h 是 根号三，就代表着我们可以把这个图形抽离出来，这是我们的 o o 一， 这个地方是我们高的 斜高的一个点，就是这是我们 bc 边， bc 边的点，那下面这个地方应该是我们的 bc 边的点，然后我们可以求出来的东西是谁？是不是求出来这个高是我们的 根号三，那这个高如果是根号三，我们要去解的是 o o 一 的话，我们按照初中的几何方式完全都可以解决它。我们只需要知道，我们假设这地方是个 p， 这是个 q， 我 们只需要解决 o p 的 长度和 o q 的 长度就可以。那么我们知道 o p 的 长度，它其实应该是在 底面面积中的这部分，它应该是底边边长的一半，所以它应该是一 o q， 就 理论来讲应该是上底面边长的一半，就应该是二。 好，那我们解决了以后，这个高是不就变成了一的平方？ o q 减去 o p 的 平方，再加上 o o 一 的平方会等于 p q 的， 所以 o o 一 会等于根号下， p q 的 平方是三就是三，减去一等于根号二。好，那现在我们的所有条件都可以出来了，那么就可以去求它的体积，体积就应该是三分之一，上底面面积是四，下底面面积是二，中间他们的底面积乘积分别是四 乘以二，再去乘以根号二，我们直接把它算出来，就是三分之二十八倍根号二，所以这个题目选到 a 选项。
34函数魔导师
43:08查看AI文稿AI文稿准备好，请坐。那今天我们要讲一些立体几何部分的难题，动点的问题 以及动点形成的轨迹的问题，鞋面的问题， 概括重点运动形形相关的问题。来看一下这道题有没有思考一下？ haha。 来星星，嗯，就是因为它直线与平面无重叠，然后就把它 这个直线和你构成的平面照出来，也就是说这一些线跟那没有公共的线都在哪里啊？ 在这个平行的平面上，也就是动点成线，动线成面， 而你都要过 d、 c 点，对吧？这个是定的点，相当于你要过定点去做一个平面，这条线数都在我这个平行的平面里面 右，这个点右在哪里里面？所以我要去找他们的什么呀？交线，交线就是你点的什么呀？对，你知道啊？对，现在问题我们就转化为过第一做正面的 来过第一做正面的人呢？平行，那要做线跟啊做面，这样平行落实为做线平行。大家们怎么做这条线？那我们应该在平面里面做平行线，是吧？ 第一个我在哪个平面里面做它平行好做啊？ a、 e、 t 这个平面里面是吧？那它是中点，所以我这条就是面呢？对角线啊。呃，一条了，然后呢？ 在哪个面里面去做后面后面 后面，那后面要过，第一做一条跟他平行，只要过。哎，因为这两个平面是很平行的，所以我只要做一 b 的 什么线，所以取他的中点， 但是我这个平面跟底面的交线在哪里啊？不能延长啊，所以我们要把平面进行延展，那要延展平面就是延长线，所以把第一跟这一点连起来，连起来，那么这连起来以后这一点呢？ 哎，这两段就什么关系相等，然后交线出来了，没？连起，连起，连起。所以这点什么点？中点，这点是中点，所以这个点 p 的 轨迹处角 啊，这条线段，这条线段的长度正好正好 啊，所以我们抓住这一点，你这条是过定点的直线，他运动成一个什么平面，那这个平面跟他就没有公共点啊，所以就是过。第一，做正面的菱形平面。那怎么做平行平面呢？ 那就做线的平行线，那我们确定平面再做平行，是吧？先确定在哪个平面里面做平行线啊？ 来进行我们这一类的问题。这是一个直的三棱柱，比上角 a 还是直角， 那这是什么模型的直三棱柱？全角的模型可以补成啊。长方体再看 c h 等于 h c， 也就是 h 点是它的终点，终点，那么在 a、 b 上是否有一点 k 使得呢？ h k， h k 和 a e， b c 平行？ 哈哈哈哈， s c， s c， 谁想这个问题就想到 s c s 什么动线层面？就是去过定点 s 做 平面的平行平面。所以要做平线还是做谁做谁的平线好，做自己的。哎， 你要做 a、 b、 c 的 平行平面，那是不是做这些人的平行线就行了？ 哪个好做？哎，先确定平面再来做平行线，对吧？你要过 h 点，那应该是 a、 e、 c 中最好做的，找什么点？中点， 这一条竖跟这平面是平行的，接着呢，终点你都已经决定了，现在换换谁谁做定点， 就上面这个点啊，说细点。然后呢？这谁的平行就哪一条的好做 啊？ b c， 那 要说 b c， 那 就在哪哪个面里面做平行，把 b c 移到那来，以谁取它什么点中点？ 那这两条，那这个面跟它会平行的吗？会的话，那这个截面跟 a 一 b 一 的焦点就是 k 啊， k 就 它什么点中点，所以我们就看出来了，是吧？ 所以要使得它平行，是吧？那结论中使它的平行，那就当什么呀？ a 一 k 比去 a 一 b 一 等于 一比二十，怎么样？ h k 跟正面就平行，然后要给它证明一下了，是吧？证明一下来，各位怎么证明？怎么证明？ k h 跟正面平行，用什么法证明？ 我们刚开始在面里面找线，做好找，找完以后怎么正好正线面平行，一种三格考虑面面平行，还有线格考虑线线平行来， 那这样子考虑，那我要确定平面找交界啊？怎么确定平面啊？是中心投影好投影还是平行投影啊？投影平行，为什么平行投影啊？ h 处在 c c 以上， c c 跟上面一个焦点是谁？ c， 所以我过 k 点去做谁的平线， c c e 的 平线，那就做谁的平线， b b 的 平线，那就这样写，取它的中点为 e， 然后呢？连接这个是吧？ 则它将 a b 于 f 点， f 是 它的什么点？中点， f 是 它的中点， 然后，所以呢？ k f 就 菱形且等于谁？二分之一的，对不对？ 对不对？然后呢？又 h c 呢？菱形且等于谁？二分之一， 所以出平行线相等。 k f 平行线等于 h c， 所以 这个四边形是，而四边形是平行四边形，所以，所以 k f u 平行谁 啊？啊？要不要这个啊？要。好，那就 k f 跟谁平行，所以 k k h 哈，跟谁平行？ f c 平行，所以见个面 平行，然后中间要加一个什么啊，再跟，这就完蛋了。 那看来烫焦的时候通过什么来烫焦会比较好？烫焦啊啊，先把线运动成面，在面里面找平行呢？是不是好找 来，那继续再看一下。 ahh， that is a。 怎么证明线面平行？过线做面找交线，也就这样个考虑线线平行或者啊，深刻考虑面面平行 来，那过线做面找下面怎么找？这条线用什么投影来找？平行？平行投影，那也就过 c 点做哪一条？ 你 c 在 这里要切进去找标线，对吧？过 c 点有哪条线啊？已经有哪条线了，哎， c b 了，已经有 c b 了，所以我现在要过 e 点做 c b 啊。 c e 的 什么？ c b 的 什么线？平行线，那就只需做斜的平行线就行了。 a d 的 平行线，为什么做 a d 平行线就行了？线面平行，然后所以得到什么啊？线 b c 跟谁平行？ ad 平行，这边加什么条件？ 线面平行，过线做面找标线，那就 b c 在 平面 abcd 里面，对吧？然后呢，平面 abcd， 交平面 abcd 和 abcd， 所以 能不能让它们平行 线面平行，折线线平行，再面对找交线是平行的，所以这底是一个梯形，那梯形的话， a d 是 不是他们的啊？中间的环节我们通过 a d 过渡一下，只要找这个边就好了。 然后呢，那做平行线就是找比例的这点吧，那我在 pa 上取一个点，这点是几等分点？三等分点，哎，我们把这点记作 f 吧。 f， 那 就哎， 在 pa 上取点 f， 使得什么 p f 比去 fa 等于，哎，一比二， 对吧？取点，然后我们连线连接 c f e 连接 f e， 则则具有 f e 平行且等于几？三分之一的 a、 d， 对 吧？ 那你这边呢？哎，你 b、 c 数也平行，且等于三分之一的 a d， b， c 等于三分之一的 a、 d， 所以呢？所以 f、 e 就 平行于谁？ b、 c 且相等，所以它是一个菱形四边形，所以我们的目标 b f 平行于谁？ c 过线桌面找交线，交线就平行了。我们用的是什么平行啊？什么投影 中心投影机吗？这条线 c 在 怎么个中心投影啊？地点上的人场徐徐泽龙。怎么中心投影？ 谁个中心啊？地点在谁上面？ p d， 所以 我只要把 d c 给它延长， d， c 给它延长，那颗 a b 有 没有个焦点？有，那这是把 c、 e 投影到这个面来了， 所以以它为中心投影过来了。其实就是过 c、 e 做面找的怎么样交线，再利用 平行线分现在成比例的逆时针比例出平行了啊，然后在这里面出搞定了，或者呢，或者升格为面，那就过一点，要做正面的平行线，只需做斜的平行线 p a p a， p a 是 在背面边，这边能不能做一圈，然后，然后呢？把这再给他连起来，说明他们是平行的，所以我们这两个面，就 那面里面线数跟他数都平行了啊，是否成在线段上点的 a 使的什么？使的 c， d 上的任意点 m 都有 m n 跟正面平行动线成面，面 是不是在这上面取一点？你得做一个面跟已知平面怎么样？因为你这条动的直线都形成一个平面 啊，这个点在上面，那我就要去做这条线就跟他平行，会平行吗？对不对？所以那就相当于 因为我 m 点运动成这条线嘛，相当于过这条线做正面的，怎么样平行的搞定了没？就一步到位了。 当然那你写的是要先把它怎么样找出来几等分点，三等分点，然后我们证明这一个线跟正面怎么样平行。那现在用什么来做？连起来要用什么来做？ 我要不要面面平行？所以线要面平行，不用了，我就用什么把 m、 a 投影到这里面，用什么办法来投影？平行？投影过 m 点做 e、 f 的， 哎，过这个做做 e、 f 的 什么线？平行线则这一条平行也跟它相等，所以侧平点选侧的，这会平行。对，搞定了没？ 这是跟平行有关的问题。来，那我们接下来来看一下第四节弯曲重点绕着一条线旋转这种弯曲的问题。 三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形，且 ab 是 中点，那这条路中位线， 然后把它绕着 ab 旋转起来，到达点 p 的 位置，得到这个四棱锥， 来到这个四棱锥，设意为四棱锥上的三等分点。求证 a、 p 跟 b、 c、 e 是 平行的， 然后求面积的体积的比，来思考一下。 hahaha， hahaha， yes， 来来，各位怎么想这问题？你要把这个结的结构是摸清， 那关键就是我们这一块直观图不好看啊，所以我们把直观图还原一下， 把平面图画出来是吧？平面图是 o、 c、 d 是 边长为四的，等边的是不是 边三是等边的，然后是不是中卫线拉起来撞起来啊？那是谁来旋转 ab， ab 就是 旋转轴是吧？ ab 是 不是就旋转轴？ 那么这翻起来以后再折同侧的面有没有改变啊？ o、 a、 b 的 形状有没有改变？所以 p、 a、 b 是 全长为二，边长为二的等边三角形是吧？ 然后底呢？底是一个什么形？ t 形，说 t 形上底是下底的一半，一半是不是？ 那你转起来以后就得到一个，所以这个三轮的结构我们知道有一个面是等边，底下是一个等腰一行就这样旋转起来的。看下第一位，线跟面平行，要正线面平行， 线线平行，哪条线在哪里？过线做面找交线。怎么做？面 中心投影还是平投影？谁个中心？因为 e、 p、 e、 p 是 c 出到 c 点了，所以我们就把斜连起来， ac 连起来，交它于 f 吧， 对吧？交它 f， 那 这是不是 e、 f 就 它投影呢？会平行吗？会成比例吗？是平行的， 所以线跟线平行，所以线跟面就平行于第二个关起来以后体积之比 这两个，这两个底底呢？底什么关系？ b、 c、 d， a， b、 c、 d 是 底数，共面的 顶是共面了，那好高，就是 p 点到正面的距离是吧？ p 点到正面的距离跟一点到正面距离什么关系？三米二米二，我们设它为高为 h 一， 再高为 h 二，则 h 一 比 h 二 啊，高出三比二，那还有什么什么之比？比面积？四边形 a、 b、 c、 d 的 面积比去谁？ b、 c、 d， 哎，他们什么关系啊？ 这比是什么呀？一比二高一样不一样谁？这两块面积比就是 来一比二，所以整个是几问三问他几问三比二，所以他们几级比为九比四，有九比四。好的， 请问点 p 的 轨迹是什么？ 请问点 p 在 哪里的时候，这个 p、 a、 b、 c 力的体积最大，那我是不是要把这个动点 p 的 轨迹给搞定？ 你绕着谁来转动？这一条是轴，谁是轴？ a b 是 轴， 那么我们就想到我们刚学地理学的时候，企业的机构如果有行政轴，关键找什么啊？ 要旋转轴的话，你转起来是旋转体的话，关键就是找他什么线，从轴的垂线， 所以他从等边上绕着这来旋转，因此这个把中点连起来，中点都到了这里出垂直的，所以点 o 的 轨迹是 以 b 为圆心，以 o b 为半径的一个圆弧，是不是这个圆弧？ 那什么叫体积最大？那圆弧应该在最高点，最高点是跟这个底面是垂直的，垂直的。那此时我们发现，哎，这这个几何体是什么？ o a o p、 b 是 一个什么结合体啊？旋转的时候， o 啊， a、 o、 k、 b 是 一个什么结合体啊？转起来是一个圆锥的一部分，只有两个圆锥的组合体啊， 哎，你把这连起来吧，你看这些都是什么线？哎，母线是不是母线？所以你跟轴垂直，那就得到什么呀？圆锥是不是得到圆锥？ 所以点 b 在 运动过程中，它是一个圆啊，它是一个圆，理解了吗？所以旋转往往跟旋转体是相关呢？跟旋转体是相关的。 好，那如果动点到定点的距离是定长呢？ 那这空间里面就是什么球？这空间里面是不是球啦？来，那昨天我们这道题目没做完，我们继续来一起看一下，回忆一下这个，这是一个什么真理？ e f c e f 技术三个钟啊，终点， 然后呢？ d h 等于 e 是 啥东西啊？ d h 等于 e， 动点 h 到地点的距离为一，那他就是一个球球， 然后这个点既在球上又在什么面上？什么意思？那就这点是球被面截下来的，截下来的这个曲线上面是不是？ 所以我们要做的就是啊？球面面积得到是啥东西？小圆是不是？小圆？ 但是 e、 f、 g 整个洁面这个局部啊，所以我们要把它给延展。延展，那怎么做洁面呢？平行是不利用平行，利用平面的性质来做， 那 f g， 所以 我前面取它的中点这一条是跟背面这条平行的，接下来呢，把 f g 给延长。这边有没有交点？有，这个点既在前面也在 底面啊，底面这里是不是还有一个点？所以前面的底面的交线出来了没？那就取它的什么点？中点，那左右边的出来，左边呢？平行，所以取它什么点？ 这是一个什么东西？正六边，这六，这个正六边形跟 a、 e、 b、 c、 e 什么关系？ 这个，这六边形跟 a、 b、 c、 e 什么关系？平行的，所以这六边形也跟谁是垂直的？跟体椎腰线都垂直的，那体椎腰线跟它的交点在哪里啊？是相对于一切的终点啊， 那这个点就是我们这几何体的中心，是不是啊？ d、 o、 d、 o 跟正面是什么关系呢？垂直的，垂直的，那这段是不是他的高了？ 那这是点 d 到正面呢？是距离是几对角线的一半一半二分之根？号线 啊，球被一个面结得到的是一个小圆，球心到小圆的面积啊，高距离为几？二分之二三，球的半径为一，所以小圆半径问题解决了没？ 水到定点是定啥？它就是一个球，你又在某个结面里面，那就球被面结结出来的图形。 好，这是我们昨天做的哈，我们再回顾一下。哎，那空间几何体的截面，空间几何体的截面， 那特别呢？如果是球截啊，球被面截，那就人长为四的正四面， e、 f、 n 是 终点， 则正四面体的外接球被这个三角形所在平面截得的截面面积是多少？ 我们怎么研究正四面体的外界球半径？第一招是什么？ 正四面体，我们可以从规更规则的图形里面去找啊。正四面体的外接球跟正方体的一样不一样，一样 是不一样呢，所以，所以正方体的外接球是一样的，所以这个它的直径二 r 就 会等于谁来，你这是 a， 你这是 a， 是 正方形的边长是几？二分之根号 a 是 底角，对角线是二分之根号六，谁二等于谁？四分之根号六， 对吧？这是第一招。利用什么来做补体？补体来做第二招呢？直接，直接，直接法的话，我们是要去找球星的位置，是吧？ 球心在哪里啊？里面的重球心是不是这个前面的上方随 o h 跟正面是垂直的，而 a、 h 呢？也垂直，所以 a、 o、 h 上面共线， 那 o、 b 是 不是就是二了？ o a 呢？也是二，所以这段是 h 减二，是不是 h 减二？这恰好是不是三角形 a、 b、 c 外切圆的半径啊？所以我们说 r 方会等于谁？ r 方会等于 h 减 r 的 平方，再来加上小 r 平方， h 跟小 r 给它算出来，按能不减出来，这第二个数直接拿来做。我们的 h 是 多少啊？小 r 是 几啊？ 边长为 a， 所以 小 r 二分之根号三， a 的 三分之一开根号 a， 对 吧？ 哎，谁高是几啊？三分之二开根号，那就三分之根号六 a， 根号六 a， 可见二是等于多少的 h。 四分之三乘四分之三的 h。 哎，第三，内切球的半径呢？用什么办法来形容？内切球的半径？高等体积吧， 这个体积等于三分之底面积，再乘谁高？那么你有四个面，所以可以割成几个三棱锥？四个四个三棱锥，每个三棱锥的体积是多少啊？ 每个三分之一的三分之一底跟这底要不要要高就是我的什么，这些球的半径怎么样？ 所以这个那些球的半径等于谁啊？四分之一的可见怎么样？ 外些球，内些球半径之比为几？三十三比一，你看那边，我们讲过了考试又考，结果我们还有人错啊？还有人错， 三比一吧，三比一。所以每个问题用什么办法来解释？最优的？你要去比较一下，你这几种都要掌握，对吧？比一下哪个是最优？比如说壳补铁，那我们就给他补铁一下。来球外径球半径是比较好做的， 对吧？那些球一般来讲我们用什么会更更快一些啊？等一起是吧？等一起更快。好，那回到原地来，那这个被截面所截，那就是球被面截。关键是什么？要找出来 球形大小圆的什么呀？距离是吧？哎，请问咱们的距离是几啊？好意思啊，是多少的高？四分之一的高，是不是四分之一的高？ 四分之一的高，所以对斜的多少啊？那我们的这个这个外弦曲的半径是多少的高啊？四分之三的高，所以，所以呢？这个小 r 是 几啊？ 把四分高拿出来，是三一，所以等于二分之根号二 h， 而 h 是 三分之二，可根号 a， 三分之根号六，再乘以 a， 那 我这里 a 等于几？四？ a 零四，所以他应该是三分之四根号，有三十根号三，就把它放进去，搞定了没？ 所以球被他截最关键的就是要发现球心的位置啊，这个小圆圆心的位置在哪里？因为小圆圆心的球心连起来跟这截面是垂直的 来看，还是这个界面的问题？大家看一下，已知 h 是 在直径上，然后是直径的三等分点， a b 跟二法垂直，垂直于直径都截进去了，那么前面所截的的面积为派，这截下来的半径为几？ 哎，这小圆的半径为几？一小圆半径是等于几？哎，我们继续再往下看， m 为二把上的二把这平面内的一点，然后呢， m h 是 等于四分之二 破 m 点做球的结面，请问什么是二这个结面面积最大呢？破破圆形大圆是不是最大了？再再听听， 请问觉得面积最小的这个圆是几呢？ 所以过一点的前面最大最小的问题研究方法是什么呢？你们过圆一点，圆内一点做 啊？过球那一点做球的怎么样？前面什么时候会最小啊？ 那就是球心到他的距离要最最长的时候是什么时候会最长？把 o 点跟 m 点连起来，跟着前面是垂直的时候做最长，否则 不谁吃呢？又要过 m 和不谁吃呢？那连起来以后这个过程呢？直角三角形对不对？这是 o， m 是 他的神殿，神殿， 所以所以就垂直上弦心距离最长，圆的时候在弦心，弦心距离最长，所以弦长是最短，那在空间里面呢？ 就是球心跟这点这个中心连起来垂直的时候是最长，这个时候前面的半径最大，面积最小吧？ 啊？老铁们，那这个时候 o m 垂直的面是吧？那 o m 多长啊？ o m 垂多长啊？ 这是一比二，所以这段是几？这段是二分之二，这段是几？ 一比二，三，一比二。那这个应该是三分之二二，这段是三分之四二，这段等于等于一，怎么来求二？ 耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶。一方会等于三分之二二，乘以谁？三分之四二，那二能不能求出来？ 二柱可以求出来，那这段距离能不能求出来？对，可以，然后这等于四分之二过五。谷地里能不能把这个求出来？可以地求出来二，知道搞定了没？ 这是过熊那一点最大最小的解面问题啊。最大最小解面问题。好，那今天我们要讲的是这些 c 了吗？
305汤老师
40:20查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的内容是面面平行的性质。 性质定力的内容是什么呢？也就是说我们已知两个面平行， 那么以他作为条件，可以推出哪一个呢？那当然是研究这两个面内的主线，他们之间什么关系，是吧？ 首先二反平面内的线跟被海什么关系啊？有没有公理？没有。所以面面平行，我们可以得到什么 啊？面跟面平行，那可以得到线和在一个面内的线都会平行于另外一个平面， 对吧？那昨天判定定你就是线面平行，可得到什么面面平行？那其次呢，两个面里面的线之间又有什么关系啊？ 为什么是平行或异面呢？ 直接来看线和线，这线跟线的话怎么样？如果两个面平行，那面里面的线呢？线跟线之间没有公共点，无公共点，那无公共点他们就是 平行或者平行或者一面。所以我们接下来要研究啊，研究，那么他们可能是平行的，可能是怎么样？一面， 那什么时候会是平行的呢？如果他们会平行，那这两条线 啊，能确定一个平面，如果在一个平面里面呢，那么他们就会平行，就会平行，所以两面平行，这两个面里面什么的线会平行，平行的， 共面的是不是平行的？那怎么找共面的呢？那就做一个面去跟他们找交线，那交线肯定是共面的， 那就没有公共点，所以他们就什么呀？就是平行的，所以我们就猜两个平行平面被第三个平面所截，交线呢？ 一定是什么呀？平行的，这就是他的性质定律啊，这就是他性质定律。两个平面平行，被第三个平面所截，这交线一定是什么呀？平行的， 那图形上面来讲是这样子的，你是阿尔法跟贝塔平行，然后呢？ 第三个平面跟他们的交线度都写出来，伽马加阿尔法于 a， 伽马加贝塔于 b， 则有 a 和 b 是 平行的，那这就是它的性质定力了。面面平行直接得到什么点和点？平行乘，正 因为爸爸跟贝塔平行，所以呢？ a、 b 无公共点，那公共点他们就意面或者平行，哪些意面不在任何一个平面内？不同在任何一个平面内，是不是意面？ 那么在一个面对就是他在一个面对吗？在，因为这 a 是 什么？ a 是 阿尔法跟伽马的交界， b 是 什么？ b 是 贝塔跟伽马的交界。那这两条线都在哪个平面里面？在面里面没公共点， 那就是我们在初中上定义平行的概念吗？在面对的公共点是不是就平行了？咋的？那这就是他的性质定了面面平行可以得到线，线平行怎么样的线后面的线后面他一定是平行的。 好，那我们在变斜的时候注意一下。比如第一个问题，已知两个不同的平面， m 为阿尔法内的一条直线， 那 m 跟贝塔平行是阿尔法跟贝塔平行的什么条件 是充分的吗？一条线管不住是吧？那判定定你需要几条线？两条，两条，而且代表两个维度的能代表整个平面呢？所以两条江江直线，所以才一条肯定就搞不定 面面平行。所以，所以两个面里面的线，或者说一个面里面线跟另外一个公点没有公共点，就叫做平行，所以是不是必要呢？ 也就是面面平行的另外一个性质是吧？面面平行可以推线，面平行可以推线线平行啊， 好，那性质定力就是应用，那应用就在证明问题上面的时候啊，怎么用？只要在两个平行平面间的线段，平行的线段 他们怎么样啊？他们是相等的，是吧？这个手势很相似，初步一下，我们证明过什么？平行间的平行线段是相等的，那我这平行平面间的线段是相等的，平行线段是相等的。等着 a、 b 已经平行了，我要证明三等三等 a、 b 一 共变了，那就证明 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，是吧？证明平行四边形， 那你已经已经有一对是平行的，那我只要证明再来一对是，而 a、 c 在 二把， b、 d 在 对塔 分组两个平行平面，什么时候他们会平行呢？共面，共面，共面被第三个平面所截，是不是就平行了？那我们怎么写呢？ 第一个，我们应该先说这四点是共面，这四点为什么共面？因为 a、 b 平行 c、 d。 所以 啊，所以 a、 b、 c、 d 四点共面。 那这 a、 c、 d 跟 b、 d 呢？就是两个平面的怎么样？角形，是不是？ 所以，所以我阿法教平面 b、 c 于谁，这平面我就比 b、 c 吧。啊，他跟他教于谁？ a、 c， 然后贝塔教平面 b、 c 于 b、 d。 为什么他们是？他们是平行的，阿法跟对他平行，两个平行平面被第三个平面所截，所以交线就会平行。 交线这个平行，那另外一组也平行，两组对边分别平行，所以四边形。哎，四边形我们就简单一点写是 a、 d， 或者写成 b、 c 都可以吧？ 四成四边形，平行四边形，平行四边形，所以对边就啊三选是结论出来了 啊，利用平行的性质啊，利用平面性质被第三个平面所截，这交线一定是平行的。那从本节的讨论我们可以看到，由线线平行可以得到什么啊？线面平行， 但线面平行的性质可以得到线线平行。所以线面的问题我们可以怎么考虑啊？降格考虑什么？线线平行对吧？ 当然我们要得到线面平行，我们也可以深格考虑什么啊？面面平行，反而是在其中一个面的线就跟另外一个平面平行的， 当然我要面面的问题怎么考虑？只有一条路，价格考虑什么线？几条线，两个回顾的线，两条相 啊。所以这一些啊，是性子跟叛逆，对吧？也就是我们在社会上面降格考虑或者升格考虑。那我们刚才还有面面平行的性质呢？面面平行可以直接得到什么啊？线线平行对吧？ 但是有没有线线平行直接得到线面平行？没有，一定是先到线面再到面面啊，再到这边。 所以这种转化的思想在我们在解决这类问题的时候特别重要，特别重要。那对应的就是这六条的判定定律跟性质定律。 我们课本上面这六条判定一个性质，可以直接使用作为证明的依据，因为我们在课堂上都证过了， 可见他们之间是可以转化的啊。由判地定律，线线得到什么呀？线面线面的性质就得到线线能行，当然 那怎么找这些线？记下，过线做面，找表形。怎么做面？做一个平面， 我们经常是中心投影或者平行投影啊，中心投影或者平行投影，然后由线面平行有判定定力得到面面平行啊，然后呢？面面平行根据定力则有什么呀？线根面平行， 然后面面平行还有性质可以直接得到线线的平行，所以他们之间是互相这样子的转化的，互相这样的转化的 来。这是课本上的一个问题啊，我们思考一下这道题，已知现在三个平面是互相平行的，然后有一条直线， a 跟三个平面交于 a、 b、 c， 另外一个一条直线是 b 交于 d、 f 等有 ab 比 bc 会等于 d， e 比 c 也大，这有点像什么平行线的折叠层，升级版的。是不是 我们把线升级为谁？所以也有平行面分线段成， 怎么这样呢？它显得不太一个平面的。对啊，哎，我这个 a b 两条直线有没有想过面，如果过面，那是平面，里面是变成平行线跟现在成比例的。 问题是这里有没有讲共面呢？没有 ab 可能也是什么意面的。 有的人说把它平移过去，这一句话非常重要。什么叫平移过去啊？平移过去干啥呢？地面的问题，转换了没？路面问题，再来， 我要平移过来可以。或者还有别人说把他们，你用公共直线把他们都变成负面的吧，可以做到吗？怎么做到 要负面？我们和平行直线全是一个平面，我们还有什么也可以用平面干胶，干胶水怎么样？ 哎，把 a 跟谁 f 怎么样？连起来可以吗？连接 a f， 连接 a、 f， 它跟贝塔有没有空点？有，我们把这个空点叫做 g。 各位现在呢？现在有没有共面的问题了？哪个共面？ a， c， f 出共面了， 那这个 c， f 跟 b g 呢？平行，那在平面里面平行线分线段成，那 d， e 跟 e、 f 呢？ 那我把 g、 e 连起来，这是这五个点呢？共面，这两条是平行线，分线段成，可以吗？ 所以我们把异面问题通过他们之间的一条公共的实线，把它转化为共面的问题啊。共面的问题 啊，那写的三，把刚才你的想法描述出来，那就连接什么 a， f， 然后呢？交贝塔于 g， 然后再把谁连起来啊？再把这个 b， g， c， d， 还有呢？ a， b 跟 c、 f 连起来啊？连接起来， 那线，现在我们是通过 a g 比 g， f、 g 过度，是吧？那你要说这两条是什么线，怎么说他们是平行线啊？因为 a 和 b， 他 贝塔跟伽马是平行的，所以呢？所以 b 七交线， b 七跟 c f 就， 就 b 七跟 c f 平行，所以呢？所以 ab 比 bc 就 等于 c a t b 是 不是 又因为二法平行 c 被它，所以呢？ a b 平行 c e， 所以 是不是 先算出 d e 比 e f 是 不等于 a g 比去 g f 搞定了没啊？那个等数也传递了，那是不是得到这来，所以结论出来了 啊？所以确定平面以后聚结谁得到了？他们是互相平行的。那刚才好像还有同学提议说怎么样平移，怎么平移呢？有啊， 把一条移到另外一条所在的线上面来，对不对呀？所以我们把把这个 d、 a 这条移到哪里来？ 你就过 a 点去做 b 的 什么呀？平行线，过 a 点做 b 的 平行线。那现在交交于 h 跟啊？跟 m 吧，是 h 跟 m， 那这边就是三角形的中位啊，三角形的那个什么呀？平行线，对吧？所以这个比值是通过 a、 h， b， c， h， n， 那 这边呢？这边是三条什么线？平行线是三条平行线， n 是 成比例的。 总之一句话，把他们会不会共灭的问题转化成共灭，那该行的是共灭也行，不共灭处也行。总之我就要把你转化成共灭的问题，共灭的问题然后再处理 好。呃，我们经常会用面面平行啊，去做减面，以及以及跟这里面的一些动点相关的问题。比如说这个题 啊，有的人写四分之三，有的人写三分之二，到底是什么？来再回顾一下这道题 里面是边长为一的正方形，然后呢， e 在 棱上是一个几等分点， 四等分点，三比一分点 p f 等于半打倍的 p c， 告诉我们点 f 是 不是在线上的一个动点，到底是几等分点的动点才能够保证 b f 跟 a、 c， e 是 平行的？ f 在 哪里才能够保证我会平行呢？ 那所有跟它平行的线构成什么？所以一句话叫做动线，动点成线，那动线就成什么啊？面， 那所有的过这个脸的面都要跟它平行，是不是？所以你 b、 f 在 哪个面里面 错点 b， 错点 b， 且与 a、 c、 e 菱形的平面 过点 b 过定点，平行的平面几个，那我把这个水平面做出来就好了嘛， 对吧？那我要做平面就要去做点，很显然这个 b、 f 是 不好做的，是不是换别的地方 画哪里啊？做点去做面，找什么？找交线？ 你做出来平面跟他是不平行的，那被这个面截交线要不要平行过点，比哪个面的交线好做？连起来吧。这点什么点做？中点一二三 e 二，要不要跟你过 b 点呢？这条线平行。要要要要要要要。那就把把 p d 的 什么点找出来， 中点找出来了，你要中位线，这两段要相等嘛？那这是疑问，这是疑问剩下几问。所以这条会不会平行？所以我这个 b、 f 所在的平面是不是过这个点 再来做一条跟这平面的线平行了呢？你看这个 p、 c、 d 里面这条平行线是吧？然后这个比值是几 二比一，所以这个点在哪里才会这条跟他平行来，是不是也是二比一？搞定了没？ 我如果会跟你平行，那我这条线一定是过 b 点跟你这个平面平行的面里面的线， 对吧？所以我就过点 b 做一个面，跟你，跟你 e、 a、 c 怎么样？平行就好了。而两平面平行被第三个平面所截，交线呢？要平行，所以把做面就变成做线的问题。啊 啊？所以所以的话是多少啊？ p f 是 他的二比一，哎，三分之二，三分之二。 好来，各位，那你来看一下， 做一个洁面，做一个洁面 跟正方体的前后上下都有交线，这个洁面的话是什么形状的呢？ 就一次看他是，他是一次是不是随便切过去？你随便切的话，那一定有什么一言不合一句， 那我们需要利用面面平行的性质，是吧？两面平行被第三面所截呢？所以上下两个面的线平行前后的呢？ 但是根据平行的性质，那他就怎么样平行四边。为什么？ 有没有办法决定他是不是平行的啊？对啊，你这个位置就可以动的是不是？所以只能判断他是一个平行，可见我们就可以用面面平行的性质来做洁面，是吧？ 我要做洁面素跟每个面的交线，所以我找平行的平面交线一定是什么呀？平行的反过来通过平行去做洁面。 来，各位，我们继续来看一下，在人长为二的正方体中， b f 是 中点， 请问这个面跟侧面的交线多长？ 这个面从侧面的交线过程过这三年的平面阿吧， 平面是无限延伸呢。那什么是正方体？六个面围起来的这个几何体就在这正方体，所以你前面应该是 哎跟每个面的胶线都画出来围起来的一个多边形，是不是你的洁面 啊？ 来，想到怎么做的举手一下。 还是不多啊。怎么想的？这个结论有什么特点啊？ 这两点上面，这底下，这上面一点分属于两个 啊？什么平面？你既然分出两个平行平面，所以交这一定是，那我就过 f 去做谁的平行线。好，我们先把它移到这里来吧， 这一条数跟他是平行的。哎，你在这终点，那我应该终点这里应该找直角分点 在平面里面移，是不是？那现在能不能移下来了？是不是？这是不是也是平面从这里的起点那里？ 所以你看星星之火可以燎原啊。我们现在是不是已经已经把两个面都搞定了？ 现在他车面，车面里面是一个点 f 的， 还差一个点，是不是？ 哎，这才差差一个点，我们再把个 m f 怎么样？延长延长。 m f 延长到哪里？ 不用的，因为这两点知道，那这个这条知道没？然后再说我还是平平平，现在我右边已经做出来了，那下我就做哪一边？左边，左边， 那左边，我把这边过来。这是几等分点？四等分点啊，这四等分点就这一条， 但是你这是会平行的，但是我要过哪个点？一点，那这里应该移几个单位？半个半个，那这边也要移半个，所以这里应该多了多少个单位？四分之一，四分之一，是不是这里连起来？ 这是一比几，这是四分之一。四分之一这么长，是不是这段是二分之一，这段呢？一，所以是多少？ 到底这是几的分点，所以这边是三分之二，这段是三分之四。前面的那条线是不是已经出来了？ 这里啊？那现在我把这些啊五处的去掉，我就连起来了，搞定了没？ 我们一直刚才全程都用绳棒来画这个，这里平行，平行的性质，用平行的性质来画，所以这个是三分之二，这段是， 这段是三分之二，这段是一。这条是你的腰线的长度了，可见我们刚做出来的几片形 啊。五边形是五边形，所以这块你前面可能是五边形，也可能几边形，最多最少 三角形、四边形、五边形、六边形是都可能的，特别是六边形。六边形是长什么样？这六边形呢？哦，一堆的人的终点连起来的，是吧？六边形搞定了， 所以我们利用面面平行的性质来做结面，两面平行，对其将解所结挑线一定要怎么样？平行？还有我们不要从虚空里面去移，移一条线，应该是在平面里面做平行线嘛。所以你看我们刚才一开始是把 d、 e、 b、 e、 e 移到哪里去？ b、 e、 n， 对 吧？再把 b、 e、 n 移到另外这终点，跟它这边连线，然后是不是平移下来了？那平移下来我们用的是不是也是这条跟这条平行相等啊？跟平行四边形来移的， 所以平移一条线或者过一点做一条线的平行线，一定要先垂直平面，在平面里面做它的平行线。好，来继续来看一下 体型为两百一十六的正方形，它这个边上为几六啊？棱长为六的正方形中， m a 是 中点 啊， m 是 终点，然后呢， a 是 在这条线段上， m n 跟 b d 形，则 a m n 结这个几何体的结面面积是多少？ n 在 线段上的动点，但是要保证这个平行。首先 n 是 什么点？ a 意思过这两个钟点，过这两个钟点，然后呢，跟 a 点连起来是一个结面， 但是他只是洁面的，怎么样？你要把整个洁面做出来，他的面积是多少？洁面的面积多少？三十 四十一号准备一下。 haha。 哈哈， 来，各位可以不可以用平行的性质来做呢？可以吗？ m i 就 算上里面，那我应该要过 a 点 做 m i 也就做斜的平线， b， d， 他 说空间你看不懂怎么办？ 哎，这是 a 点对吧？你要做他的什么线？ 平行线是不是正方体啊？正方形，我要做平行线，过 a 点做他平行线，哎，他把这个延长，这延长只要取什么？哎，取这段跟这段是不就可以了， 对吧？你这四十五度，现在我这里要做四十五度嘛，所以我这一段就跟 a、 d 怎么样？一样长，骑车一样感觉一样，那是不是就平行了啊？所以是不是这条线？ 可是我们应该把 b、 c 延长，然后把 c、 d 呢延长，并且取根， c、 d 一 样呢？取根还一样呢？根据平底的知识知 根面，根据平面几何的知识知这三点就会贡献却跟 b、 d 平起， 反正你用平面的知识容易得到了，你就可以直接下结论。我刚才说有没有说做他平线，我说啊，取这个相等，这个相等则这三点共线，且跟比例是平行的啊，这样比较好说了啊。 哎，那还没有啊，交线还做了平行，交线在哪里呢？交点在哪里呢？ a 点跟他怎么样？ 谁能分点呢？这是一比几，一比二，谁是一比谁阶段为两个单位阶段 对称呢？谁后面呢？哎，这点呢，也是二跟谁不对头，对对，二跟谁四，十二跟四，然后 现在最后把这连起来，这连起来，所以它是几边形？五边形能看得明白吗？这是六，这是四，谁？这条为 两队的根号十三这段，两队根号十三这段 来，根号十三这里根号十三这段三，根号二， 五边形，这些线段都知道，这五边形是确定的吗？并是会动，是不是？那怎么办？来分割对吧？把谁来连在一屁股连在一起？ p q 周长六个角，所以这个是什么梯形？等腰梯形上底下底腰都知道，确定了没？ 这个 a p q 是 什么？等腰三角形底知道腰知道什么球，所以它的结面是五边形，五边形割成三角形，一个四边形搞定了吧。 所以关键就是做什么呀？解面前面我们会做就好了啊，那你说那还可以怎么做呢？那我们前面有 有讲过我们还可以用平面的性质来，是吧？还可以怎么做啊？把 m i 延长，延长，那个 a d 有 没有交点？这个交点记在 前面上，也在左边，左边还有那个点连起来线好了没？所以这个点 q 是 不是找出来了？同样的技巧，是不是可以把 p 给找出来了？所以前面就找好了没？ 所以可以利用平行的性质也可以用啊。有两点？是啊，有两个公点，那就有一条什么呀？公共直线，只有利用平面的性质，是吧？有两个公点就有一条公共的直线， 所以你看，我们就可以把这连起来，那这里的话是 a f n m d 伸出来了，可见它的面积，也可以怎么求？ 如果是这样子来做，面对个什么球？ a q p 是 什么概念？等腰的扣掉， 想个小的。什么三角形，是不是你的五边形？所以得这么来算啊，得这么来算 来。那我们继续来看一下这能长为二的正方体中啊，他现在是谁的终点？ b c 的 终点叫做 m c， c 的 终点叫做 n 点 p 点 b 在 这个面里面， 然后 p a e 要跟谁 a m n 平行啊？那我把 a m n 这个平面画出来， a m n 这个平面画出来，大家觉得吗？你既然是这个平面，那我平面应该要给他延展一下，这个应该比较好延展吧。 m n 跟谁平行啊？过 a 点的，所以我们是斜面出这个面， 那现在动点，那现在这条动直线，动线成什么？所以我就相当于要过 a 一 做这个结面的。什么平行的平面，所做的平行的平面， 再来哪里的好处？哎？上底的好处吗？好处，上底的只要跟 am 平行就好了，是不是？所以上底应该取什么点？中点？正面，正面，正面是要跟背面是平行的，所以也是什么点？ 所以点 p 是 不是在上面运动？所以，所以既要在层面，又要在我这个面里面，那不就在这条线段上运动吗？而这是什么原因？ 最短，是不是这个距离最短的最长呢？短点上是最长的，搞定了没？ 所以，所以如果是动线，那我们就让他成什么呀？面，在面里面找线就比较好找了。 还有的话局部的洁面不好看，怎么样延展一下，整个洁面找出来就好找。那就是我们解题解这类问题的一个层面啊。那我们今天课在这一节课班。
47汤老师
01:33查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下这道关于球的题目，他说点 a 是 球球面上的一个点，过 o a 的 中点 o e 做了垂直于直线 o a 的 平面，我们先把图大概画一下，过 o e， o a 的 中点 o e 截一个面，他截完大概就是这个样子， 结完以后呢，他说这个结的平面面积为九派，让我们求球的表面积，那么球的表面积我们肯定要知道半径，这个大半径就是我们的 o a， o a 正好又是二倍的 o e a， o e a 和我们的这个小圆的半径又可以连立成一个直角三角形，我们就可以解了。所以这个题目首先先通过被结的圆面 九派可以先推出来。我们小 r 的 半径应该是三小 r， 如果是三的时候，我们在这找一个点，那么这个长度就是三，再连接 o 和这个点，比如我们点 b 吧，连接 ob， 连接 ob 以后，我们的大 r 就会等于根号下 o o 一 的平方加上三的平方， o o 一 正好是我们大儿的一半，那就是二分之儿的平方加上三的平方， 我们可以解出来这个儿儿等于二倍根号三，那么我们只需要带进去求我们的 s 就 应该等于四派，儿方等于四十八派，所以选 c 选项。
47函数魔导师
