重庆中考数学25年几何压轴题讲解
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03:32查看AI文稿AI文稿重庆初中的同学们，家长们大家好，我是老江。很多孩子一看到中考数学最后一道几何压轴题，直接就慌了，觉得题目又难，辅助线又想不到， 干脆直接放弃，其实完全没必要，今天老江就跟大家把重庆中考几何压轴题彻底讲透，听完你会发现他真的没有想象中那么难。首先咱们先捋清楚中考几何压轴题最核心，考的最多的就这几个模型，把它们吃透，辅助线一下子就能找到思路。 第一个就是一线三垂直模型，这是考直角全等相似的高频考点，只要看到直角垂直关系，第一时间往一线三垂直上想， 辅助线很容易就画出来了。第二个是背长中线，但凡题目里出现中点中线，想构造全等三角形转化线段，背长中线是最常用的方法，直接延长中线，快速找到解题突破口。第三个是截长补短法，专门解决线段和差问题， 比如证明一条线段等于另外两条线段的和或者差，截长或者补短，选对方法，题目直接迎刃而解。 第四个就是手拉手模型，说白了就是旋转，这是重庆中考几何压轴的重中之重，最常考的就是两种旋转，一种是九十度旋转构造等腰直角三角形， 另一种是六十度旋转构造等边三角形。大部分综合几何题都是这两种旋转模型的变形与综合，把旋转的性质摸透全等角度、线段关系全都能理清。 除了这些核心模型，剩下的都是咱们课本上学过的基础知识点，比如中卫线定律、直角三角形、斜边中线等于斜边的一半，这些定律都很简单，属于解析的基础工具，只要记熟性质，直接套用就行，难度并不大。其实我跟大家说句实在话， 咱们初中几何学了那么多定理、公理、推论，还有各类性质定理、判定定理，说白了，这些东西全都是用来做辅助线的。做题的时候不要盲目去画辅助线，先看题目给的条件， 有中点想中线，有直角，想垂直，有线段合叉，想截长补短，有共顶点等角想旋转， 根据条件对应定律和模型，辅助线自然就有了方向，根本不是瞎猜瞎画。再说说大家最头疼的第三问，压轴小问，重庆中考几何压轴第三问最常考的就是动点轨迹问题，核心就是做引援辅助线，去确定动点的运动轨迹， 要么是圆，要么是直线，只要能找到定点定长，判断出引圆的圆心和半径，找到动点轨迹，再结合前面的模型定理，剩下的计算和证明就简单多了，这一问的分数就能牢牢抓在手里。最后老江给大家吃一颗定心丸。 几何压轴题真的不可怕，关键在于专项训练，不要盲目刷题。针对性的把一线三垂直背长、中线截长补短、手拉手旋转这几个核心模型一道道练透， 在集中训练引援轨迹题型，踏踏实实练够五十道甚至一百道。对于成绩优秀的同学来说， 只要把答题思路练熟，考场上合理安排好答题时间，完全能把这道大题的分数拿到手。所以，别再害怕几何压轴题，把模型记牢，把定力用活，多练专项题型。中考数学最后一道大题你也能轻松攻克！
04:29查看AI文稿AI文稿这个视频我们来继续讲解相似的辅助线构造的第二节课，也就是关于一线三等角的相似构造。好，我们首先来看一下这道题目，题目中告诉我们角 d a b 这一个角等于角 d b e， 然后呢角 c 是 等于四十五度的，再给了一个 c e 平行 a d， 那 么这里就是一百三十五度，这里也是一百三十五度。 好，接着往后看，题目中告诉我们 a d 啊，和这个 a b 的 比值呢？是根号二倍，让我们求 c e 这一段和 b c 这一段的比值。 拿到这个题目以后，很明显你想直接去做肯定做不了，所以肯定要去增加辅助线。那怎么样构造辅助线呢？这道题目中有什么样的条件引导我们做什么样的辅助线呢？你会发现这里有一个一百三十五，这里还有一个一百三十五。 那就说在这条线 a、 c 上面呢，我们出现了两个相等的角了，那这个时候我们可以人为的构造出第三个相等的角，从而实现一线三等角的构造。 好还是一样的，我们在旁边给大家看一下，什么叫做一线三等角，就是一条线上面这里有一个角，然后呢这里有一个角，再加上旁边这里还有一个角， 在一条直线上出现了三个相等的角，我们把它们延长交起来，你就会发现左边和右边的这两个三角形它就是相似的，那为什么是相似的呢？我们来看一下， 首先这两个三角形已经有一个角相等了对不对？那么它加上这个角就等于这个大的外角对不对？而这个外角呢，又等于它加上这个角， 所以黄色加蓝色等于黄色加蓝色，所以这两个蓝色的角就相等了，那么这两个三角形 两个对应角相等，所以就相似了，对吧？所以这就是一线三等角的相似。在很多考试中，他不会直接给你三个角的啊，有的题目给你两个角，有的题目甚至只给你 一个角。那么下一个视频我们就来给大家讲解，一条线上只有一个角，我需要人为构造两个等角的矩形。好，那么在这里我们需要干嘛？一百三十五，一百三十五，所以在这边我应该也构造出一个一百三十五度，所以呢，我们将它做一条斜线， 对吧？把这个角构造为一百三十五度，这里叫做点 f， 那 么这样的话呢，我们就发现，此时的话呢，这一个三角形 和这一个三角形就实现了一线三等角的相似，好，那么相似的话我们看一下啊，此时他说 a d 等于根号二倍的 a b 吧，那么这两个相似，我们来对应比一下， a d 这条边对谁呢？ a d 这条边对的是 b f， 对吧？那么它就等于 a b 这条边比上 ef 了嘛？是不是？而题目中给的是 a d 等于它的根号二倍，所以我们只需要将这个比例稍微切换一下，横着比横着的，也就是 a d 比上 a b 等于 b f 抵上 e f， 那 么题目中告诉我们 a d 等于根号二倍的 ab， 所以 这个地方也就是根号二啊，也就说明什么呢？说明我们这个地方的 b f 是 e f 的 根号二倍。 那么再来看看，我们要求的是 c 比上整个 b c 呀，那怎么办呢？你要注意一下，我们在这里做的是一百三十五度，那么旁边这个角肯定就是四十五度了呀， 对不对？那说明这边是一个小的等腰直角。好，那么这个等腰直角以后我们再看看啊，那这个地方这个根号二倍吧，如果我把这个长度设为 a， 那 么这个 b、 f 就是 根号二 a， 对 不对？然后这个 c、 e 呢？也就是 a， 这是一个小等腰直角，所以它也是根号二 a， 那么这样的话，我们看 c 一 比上 b， c， c 是 a， b 上整个 b， c 是 两个根号二 a， 然后把 a 抵消化解以后就得到是四分之根号二，所以这就是一线三等角的相似构造，你学会了吗？
210丁博数学
01:49查看AI文稿AI文稿大家好，我是老江。很多同学都说重庆中考数学最后两道压轴题不会做，直接就空着， 这就太亏了，就算你做不出来，步骤分照样能拿，而且一拿就是好几分。今天我就教你们不会做也能抢分的套路。首先，不管是第二十四题二次函数综合，还是第二十五题三角形几何压轴， 只要你写对，这几步分就到手了。第一，先写解涩式二次函数压轴，第一问基本都是求解涩式代入点、坐标列方程，算出来这三到四分白送，人人都能拿。第二， 把已知条件抄一遍，写出能直接得出的结论。几何压轴题，看到平行就写角相等，看到等腰就写边相等， 看到直角就写勾股定律，哪怕你不会往下做，把这些简单推导写出来就有步骤分。第三，设未知数列关系式动点问题，设时间为 t， 写出线段长度、表达式存在性问题，先写假设存在，再把党量关系一列出来，阅卷老师就会给你分。第四， 分类讨论。先写标题。压轴题大多要分类讨论，你哪怕只写出一当十二当十， 不写答案都有一到两分。第五，公式写上去就有分，勾股定律相似三角形判定面积公式、终点坐标距离公式，只要写对公式，就算数算错也不会全扣。第六，能画辅助线，一定要画 几何题，连接一条线段，做一条高延长一条线，画对辅助线通常就有一到两分。最后，给大家一句实在话，重庆中考阅卷是按步骤给分，踩点得分。 压轴题不会做，千万别空着，把能写的都写上，少则三分，多则五到六分，差距就是这么来的。
02:01查看AI文稿AI文稿同学们好，我是老江，今天主要分享重庆中考几何哈，看关键词知道如何使用模型做辅助线。第一个中点， 一般看到中点的话就要做备长中线，嗯，这个是用的最多的，有的时候会做中位线，然后啊，还有那个斜边中线，其中备长中线模型是用的最多的。 第二个是角平分线，然后是看到这个关键词可以做双垂线，比如比如说角平分线的性质哈，构造等，腰也可以，还有截长补短也可以。 第三个是旋转等边等腰共顶点啊，一般来说的话啊，是做手拉手全等或者相似。 然后呢，接下来是一条线上三个直角，一般这个就是一线三垂直，也就是一线三等角吧，还有线段和差，比如说 ab 加 cd 等于 e f， 这个主要是做截长补短这块， 接下来是折叠，一般来说是全等加勾股方程，就是利用勾股定力或者勾股定力，力好动点最值啊。我们要学的模型主要有将军引马，引圆，还有一个刮斗原理，说白了刮斗原理就是我们常说的主从联动， 接下来就是圆哈，就是直径对直角垂进，定里切线连半径垂直，这些都是基本的一些性质哈，基本上老江刚才说的这些基本上都可以用在整个初中 解和解题当中。看关键词直接想相应的模型，大部分情况下都可以找到做辅助线的一个思路。
03:45查看AI文稿AI文稿上一个视频我们讲了八年级下学期用构造正方形加八角的问题解决这个题，那么我们能不能用其他的思路和办法去解决它呢？我们再来读一下这个题啊，如图， a、 d 垂直于 b， 这还是一个垂直，然后角 b， a、 c 等于四十五度，确定了， 然后呢 d， b 等于六， c， d 等于四，让你求这个高高的长，将来怎么办？好？看到这个四十五度呢？我们肯定是要放垂构造我们的等腰直角三角形来，如果说我们这样去放个垂 过点 b 做 b t 垂直于 a， c 啊，交 a c 于点 t， 这点是 f。 好， 那你发现我 b t 是 不等于 a t， 这个角是不是也等于四十五度？ 好，也等于四十五度的时候，你发现啊，这里面会存在一个背靠背的等腰直角三角形，全等 a， atf 全等三角形 btc 嘛，好，我们做 做 b t 垂直于 a， c 于点 t， 交啊 a、 d 以点 f， 然后这个地方我们能得到的就是三角形啊，这个点垂直，这个点垂直，这两这两个小角是不是相同？然后我们这个角是等于九十度，还有一个等腰直角三角形 b t 等于 a t， 接下来得到三角形是 a， t， f 全等于三角形 a， t， f 全等于三角形，是 b t， c 就 三角形 a， t， f 全是三角形 ptc。 好， 这辆是 a s a 的 判定。好，那所以说我们这个地方得到的 af 是 等于 bc， 结果等于十，这辆十是确定的。 好，那我们接下来是把求出 df 的 长，这 df 该怎么做？你发现这个量是垂直，这个量是垂直啊，那你这个角等于这个角，那这个量是不是会存在着一组三角形的相似呢？好，如果说我设这个边为 x， 那里面是不是会存在着三角形的相似啊？我们设 d、 f 等于 x， 我 们已知啊，三角形 b、 d、 f， 它是相似于三角形是 a、 d、 c 的， 我们可以发现我 b、 d 比上 ad， 它结果就变成啊， b、 d 比上 ad 等于 df 比上 dc， 那 所以说六除以 ad 是 x， 加上十 d， f 是 我们的 x， d、 c 是 等于四。好，那这个地方我们是不是可以写的 x 就 等于二，所以说我 a、 d 结果等于十，加上二等于十二， 好，那所以说 a、 d 的 长等于十二。我们对于一个几何压轴题，我们思考的方式不一样，那么解决的方法也不一样。也说，如果说你想解决这样的题， 你首先要记住这种题突破点在哪里，比如说我们出现了四十五度，我们可以去构造正方形加半角，也可以放锤得到我们等腰。知道三角形也可以利用我们八年级上学期所学的全等模型来进行解决。 不同的思路带来不同的解法，不同的解法带来不同的解析压力，我希望的是通过不同的题目给大家提供发散性的解决问题的思维。好，这个题就讲到这啊，同学们拜拜啊！
06:47查看AI文稿AI文稿又是一道菱形的动点坠石问题，很多同学一遇到动点坠石问题就打怵发慌，其实熟悉周老师的同学们都知道，周老师的视频里边绝大多数的题型都是动点坠石问题， 动点最值问题，如果你掌握了它的本质，那你解起来是非常有成就感的。初中的动点最值问题，尤其是两条线段相加最小和的问题，一共有三种方式，第一个就是两点之间线段最短，两点之间线段最短，那主要的题型是什么？将军印码呀？一、 b p 在 直线 l 上运动，那么我过 p 点运动轨迹做定点的对称点，然后一连接两点之间线段最短。第二种解决方式是什么？点到直线的距离垂线段最短。假如说 a、 b 让你求 ab 加 bc 的 最小值， b 是 动点， c 也是动点，然后 你判断出 c 在 直线上运动， ab 加 bc 的 最小值，那我们说两点之间线段最短，那么我们连接 a、 c， 但是 c 点是运动的呀，也就是说 a、 c 的 长度随着 c 点的运动 而变化，那么此时 a、 c 的 最小值是什么呀？我们知道点到直线的距离垂线段最短的，那此时 a、 c 就是 ab 加 bc 的 最小值。第三种就是配方了，配方是我们二次函数里边经常用到的一个，那我们在几何当中主要就是用这两点。那 关于菱形的动点锥子问题，两条线段相加最小值，我们怎么去解决它呢？那我们就要根据菱形的性质， 来结合我们这两种方法去解决它。来看这道题，如图，菱形 a、 b、 c、 d 的 面积为二倍，根号五， ab 等于根号五 c p 等于 c q， ab 等于根号五，那 b c 就 等于根号五呗。让你求 ap 加 a q 的 最小值，来，我们再回过来，题里要求我们求两个线段相加最小值的时候， 周老师给了两个解决方法，这是我们经常用的解析方法，你会发现它们两个有一个共同点是什么？也就是说 a b 加 b p 的 最小值，然后我们做对称，然后 p 在 这， 那我们做完对称，你会发现 a p 等于 a 撇 p， 那 么 a p 加 b p 的 最小值就是 a p p 加 b p 的 最小值。也就是说两条线段的动点是结合在一起的，重合在一起的，包括这个也是两条线段相加的最小值。 动点的这块两条线段的一端一定是联系在一起的，重合在一起的。所以说这两个题型就有个共同点，两条线段当中的一个动点是重合的，那既然我们发现了这个规律，那我们就 应用到一起呗，我们让两条线段的一个端点重合呗。这个其实也是每一个动点最值提的一个想法，就是让两条线段的一个端点重合，那我们说 c p 等于 c q， q 和 p 分 别都是动点，那我们想要求 a p 加对 q 的 最小值，那我们是不是得让 p 点和 q 点重合呀？那它们俩怎么才能重合呢？聪明的你一定能想到 我们菱形性质当中一个我们非常常用的一个性质叫做什么对角线是菱形的对称轴啊，那你此时只要连接 ac， 这个 ac 所在直线是不是就是菱形 abc 的 对称轴啊？那既然是对称轴来 c q 和 cp 是 不是就关于直线 ac 对 称，既然关于它对称，那我一连接 a q， 那 么此时 a q 是 不是就等于 a p 了？这个没问题吧？如果你理解不了，我们，这么这么讲来， c q 等于 c p， 这是一组对应线段相等，然后 ac 等于 ac， 然后还有一个什么菱形的性质当中有对角线平分一组对角啊，那么这个角是不等于这个角？那么三角形 a、 c q 和三角形 a、 c p 是 不是就全等了？ 既然全等，那么 a q 就 等于 ap， 那 么让我们求的 ap 加 d q 的 最小值，我们现在是不是转换成 a q 加 d q 的 最小值了？那 a q 加 d q 的 最小值 q 在 b c 上运动来，是不是典型了将军印法？ 那既然进入密码做对称呗。来，我过 a 点做关于 b c 的 对称，点记点记，垂直平分 就是对称的，那此时线段垂直平分，线上的点到线段两端的距离相等，那么 a q 是 不就等于 q g 了？那我们求 a q 加对 q 的 最小值，是不是就是求 g q 加 d q 的 最小值，那么 a 是 定点， g 一定也是定点，那么两点之间什么线段最短呢？只要一连接对 g， 那 我们对 g 就是 我们要求的两条线段相加的最小值， 没问题吧？来，那么对 g 现在怎么求呢？我们已知的是 a b 等于 bc 等于 a， g 等于根号。还有个条件，什么没用上？ 面积没用上啊，面积是二倍根号五，我们知道菱形的面积，怎么求底乘高啊？底是多少？根号五，那高是多少？我设它为 x， 根号五，底乘高是不等于二倍根号五，那么 x 等于多少？等于二啊？那这个位置是垂直平分两个 x 呗。 a g 就 等于四， 没问题吧？ ag 等于四， a day 等于 bc， 等于根号五，然后这个位置有垂直 a day 还平行于 bc， 那 ag 垂直于 bc， ag 一定 垂直于 a day， 没问题吧？那这个三角形 a g day 是 不是就是直角三角形？我们用勾股定律就可以了。四四十六加五， a g 就等于根号二十一，有问题没？好，这道题就讲到这，如果你有关于中考几何压轴题的问题，可以评论区留言或者私信周老师，这节课就讲到这，更多精彩内容，我们下个视频见。
172周～先生
15:43查看AI文稿AI文稿这么棒的题又被你刷到了，这你受得了吗？这道题呢，是中考阶段期末图形变化的压轴题。这道题呢，一共有四个小问，这四个小问的知识点由浅入深，环环相扣，真不愧是查漏补缺、拓展提高的不二之选。 在做这道题之前呢，你可以先把视频暂停一下，看一下自己能够做到底几问 a few moments later 好 的，现在我们开始讲解。第一问，这道题说要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需要找到合适的切割线 模型。如图一，这个图在三角形 a、 b、 c 中做 a、 c、 a、 c 边上的中线 b、 d， 那 么 a、 c、 a、 c 边上的中线 b、 d， 也就是说 d 就是 a、 c 的 终点。 切割线 b、 d 分 成的两个三角形 a、 b、 d 和 b、 c、 d 的 面积相等。哪两个三角形呢？就是这两个三角形 a、 b、 d 和 b、 c、 d 这两个三角形的面积相等。 第一问，在图一中用尺规作图，做出切割线 a、 e 做出切割线 a、 e， 也就是说这个切割线过点 a， 那 么使得 a、 b、 e 等于 s。 三角形 a、 c、 e 切割线 a、 e 交 bc 于点 e， 那 么交 b、 d 于点 p， 保留作图痕迹，不解做法。 这个第一问呢，非常的简单，考察的知识点就是尺规作图。那么如何切割才能使两个三角形的面积相等呢？我们知道三角形的面积公式是底乘高除以二，我们来观察一下，如果点 e 在 bc 的 边上，那么如何做点 e 才能使三角形的面积相等呢？ 很显然，我们应该在等高的情况下，使得这两个三角形的底边相等，那么底边相等呢，就是 bc 的 终点，那么我们如何去做 bc 的 终点呢？众所周知，我们要做 bc 的 终点，首先要做 bc 的 垂直平分线，那么垂直平分线怎么做呢？ 好，我们现在来做 bc 的 中垂线，那么怎么做呢？我们要分别以 bc 的 中垂线，那么怎么做呢？我们要分别以大于二分之一 bc 为半径做弧 交于这两点，然后连接这两点，我们就可以找到 bc 的 中垂线，我们设这一点是点 e， 那 么我们第二步呢，我们再连接 ae， 我 们就可以做出了 ae 的 中线 三角形 a、 b、 c 的 中线交 b， c 于点 e， 那 么 a、 e 和 b、 d 的 交点就是点 p。 现在我们接着来看第二问，那么结合操作的作图，请判断 b、 d 和 dp 的 数量关系，并说明理由。我们首先来看一下是哪两个线段，那么 dp 就是这条线段和 dp 就是 这条线段。那么通过第一问的此规作图，我们可以得到这个 d 点和 e 点是不是都是三角形腰上的中点啊？那么腰上的中点它是不是可以连线 形成了？这个 d、 e 是 不是三角形 a、 b、 c 的 中位线啊？那么中位线的性质就是平行于 d 三边，且等于 d 三边的一半，所以根据这个性质，我们就有了 d、 e 和 ab 这两条边的比例关系，它们的比例关系呢是一比二， 根据它这个平行关系，所以我们可以得到这两个三角形是相似的，就是这个三角形和这个三角形 bpa 是 相似的，而且它的相似比是一比二。 因为 bp 和 dp 分 别是这两个三角形的对应边，所以说这两个线段的比例也是一比二，那么第二个呢，考察了一个三角形中位线的性质，也是非常的简单。 好的，我们现在来看第三问，第三问呢，稍微有点难度，我们先来读题，如图二，在直角三角形 a、 b、 c 中，也就是说这个角 b 是 一个直角， 那么角 a、 b、 c 等于九十度点， d、 e 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点就是 d、 e 分 别是 a、 c 和 b、 c 的 中点。若 a、 e 垂直于 b、 d， 我 们首先把这个垂直符号标上去，那么 a、 e 垂直于 b、 d， 也就是说这里是一个垂直，那么垂足为 p。 求肾 c 的 值，我们可以看得出来，那么求肾 c 的 值就是一个锐角三角函数，我们看一下肾 c 是 这里，我们又考虑到他们这个 d、 e 分 别是 a、 c 和 b、 c 的 终点，那么两个终点呢，我们优先考虑中位线，那么我们现在连接 d、 e 好，因为这个 d、 e 分 别是中点，它就是三角形 abc 的 中位线，因为呢，这个 d、 e 是 三角形的中位线，角 b 是 直角，所以呢，角 c、 e、 d 也是直角，我们首先给它标上去。 那么这个题呢，是要求三 c 三 c 呢，就是要求角 c 所对的直角边和斜边，它的直角边和斜边，第一个是 d、 e 和 d、 c， 第二个呢是 ab 和 ac， 那 么我们求哪个比较简单呢？ 读完题干之后，我们发现题干没有直接给出任何的数据，只是告诉了 d、 e 是 终点， d、 e 是 终点。我们可以得到的数据就是 d、 e 和 ab 的 比是一比二， 有了线段的比例，又有了锐角三角函数，那么这种情况我们通常先考虑求相似，相似的话里边有很多，其中这个三角形和这个三角形是相似的，我们通过前一问可以得到， 那么又因为这边是直角，那么就更多了，那么这个三角形和这个三角形也相似，这个三角形和这个三角形也相似。这么多相似，到底哪些是有用的，哪些是没用的呢？那么我们还得从这个问题导向去看， 那么这个问题呢，是要求角 c 的 正弦值。这些三角形好像都跟角 c 没有关系，那么我们看一下角 c 可不可以转换到别的角上去呢？ 我们来看这个 d、 e 垂直于 b、 c， 又因为 e 是 中点，所以我们就可以得到这个三角形和这个三角形是全等的两个三角形。对，所以角 c 呢，就等于角 d、 b、 c， 所以 我们首先把这一步写下来 好，这样的话呢，角 c 就 转化到了这个角上，转化之后呢，既要利用上已知给出的条件就是这个 d、 e 比向 a、 b 是 一比二，又要跟这个 d、 b、 e 建立关系。 这个时候我们优先找跟 dbe 相似的三角形，我们来看一下，跟 dbe 相似的三角形有很多，其中就有呃 dbe 内部的这两个小的。其次呢，还有这个 a、 b、 p 和 a、 b、 e， 它呢都跟这个 d、 b、 e 相似， 如果要把已知条件利用上，就是这个一比二，所以说呢，这个 d、 b、 e 相似的这个三角形一定有 ab 这条边，那么有 ab 这条边。又和 d、 b、 e 相似的三角形有两个，一个是这个 a、 b、 p， 一个是这个 a、 e、 b， 那 么我们用哪个呢？我们先来看这个 a、 p、 b 这个三角形，这个三角形呢，我们只知道这条 a、 b 的 边是 d、 e 边的二倍，那么我们呢，并不知道 a p 和 b p 的 数量关系，所以说呢，我们再接着看下一个三角形 a， b、 e， 那 么这个三角形呢，首先 be 这条边跟这个 d、 b， e 三角形的 be 这条边是重合的， 又有了 d， e 和 ab 的 比例是一比二，所以说这种情况呢，我们就直接考虑相似的乘数形式，乘数形式是什么呢？我们先来看这两个相似的三角形。首先第二步，三角形 d， e， b 相似于三角形 e， b， a， 我 们就可以得到了 b， e 的 平方就等于 d， e 乘以 ab， 所以 b， e 的 平方就等于呃，一乘二等于二，那么 b， e 呢，就等于根号二。 当然你也可以设这个 d， e 是 x， 那 么你就得出来这个 b、 e 就 变成了根号二， x 反让它们的比例是一比根号二。那么我们有了这两条直角边的比例之后，我们就可以得出斜边，这个斜边 b， d， b， d 呢，就等于 根号下边 d， e 的 平方，加上 b， e 的 平方就等于根号三。 那最后一步，所以呢，算 c 就 等于算 d， b、 e 就 等于多少等于一笔根号三，一笔根号三就最最后等于三分之根号三。 这道题呢，主要考察的就是要把这个中位线的已知条件和角 c 的 正弦值建立关系，把它们建立关系之后，然后再灵活应用相似，才能求出最后角 c 的 正弦值。所以说这个题呢，就是第三问，第三问是不是有点小难呢？ 我们接着来看第四问，这个第四问呢，就要好好的思考一下了，那么我首先要提示你一下， 第四问呢，就考察了隐形元的问题，而且在这个题里边还不止一个隐形元哦，我们现在来读题，那么如图三，就是这个图， r、 t 三角形， a、 b、 c 中角， b a、 c 等于九十度。我们首先把这个垂直符号来标出来， b、 a、 c 点 d 为 a、 c 的 中点点 d 还是中点点 e 为 b、 c 的 中点，它还是中点，所以说我们还是优先来做出它的中位线， a、 e 与 b、 d 相交于点， p 连接 cp 已知 bc 等于十。好，它给了一个数据就是 bc 等于十， e 不是 中点吗？所以我们 b、 e 就是 五，那么 ec 也是五，我们首先给它标上去。当角 b、 c、 p 最大时， b、 c、 p 是 哪个角啊？ b、 c、 p 这个角最大时，直接写出 ac 的 长， ac 的 长在哪里？就是这儿， 这里就是 a、 c 的 场。这个题我们应该怎么考虑呢？我们来看一下，这个角最大是最直问题，最直问题呢，我们就优先考虑最直的动点问题。 最直的动点问题呢？我们首先看一下这个角，我们要求的这个角的大小关系跟谁有关系？ 通过读题我们可以得知，是不是跟这个角屁有关系啊，因为这个决定这个角大小的 b、 c、 p 只有角屁是一个动点，角屁的运动路径，或者是说角屁是跟随谁的运动而运动的呀？ 在考虑角屁的运动路径，或者是说在考虑角屁的跟随状态的时候，我们优先考虑角屁所在的线段，那么角屁所在的线段一个是 b、 d， 一个是 a、 e， 通过考虑，聪明的同学已经发现了，因为 bc 两个点是定点，那么这个角 a 呢，是一个直角，所以说呢，我们首先考虑以 bc 为直径的角 a 在 圆周上运动，那么这就可以满足了，角 a 永远就是一个直角了。我们首先把这个圆环 简单的画一下，我们现在画出来这个圆周，画出圆周之后，我们可以发现这个 b e 等于 ec 等于 a e， 这呢就是以点 e 为圆心的 a e 是 不是一个半径啊？所以半径呢，就等于 b e 这个半径，所以 a e 呢就是五，这个呢是第一个隐形圆。我们在发现了这个隐形圆之后呢，我们再看一下点屁，我们要求的点屁的运动路径， 这个点屁呢所在的一个线段是 a e， 那 么点屁跟 a e 有 什么关系呢？我们或者说一下这个 e p 跟 e a 有 什么关系呢？记忆力好的同学已经发现了，我们在上一问的基础之上，我们是不是得到了 d e 是 三角形 c a b 的 中位线啊，也就是说我们得到了一个相似的三角形，是哪个相似三角形呢？是这个 和这个相似，而且呢，它的底边之比可以得到是一比二的性质，所以说呢，根据三角形对应边长乘比例的性质，我们就可以得到 pe 比上 pa 也就等于一比二。因为角 a 是 在以角 e 为圆心的圆周上，是做圆周运动的，所以呢， a e 的 边长是固定不变的，因为这个半径 a e 的 长不会变，所以 pe， 那 么它是不是永远占这个 a e 的 多少？是不是三分之一啊？ 所以呢，它 p e 的 边长也不会变，那么由此是不是又可以得到点 p？ 是 不是以点 e 为圆的圆周上也在做圆周运动啊？ 于是我们再画出第二个圆，那就是以点 e 为圆心 p e 为半径的一个圆。所以呢，点 p 就 永远在以点 e 为圆心 p e 为半径的圆周上运动。 那么我们来看一下，我们现在已经得知了点屁的运动路径，那么如何得到这个角 b c p 最大呢？也就是说，当屁运动到什么时候的时候，才能得到角 b c p 最大？ 聪明的同学早已经发现了，那就是什么呀？那就是过点 c 与圆 e 的 一个切线，当过点 c 的 直线与圆 e 相切的时候，此时我们才能得到角 b c p 的 最大值。也就是说，当角 p 运动到切点的时候， 就是这个位置。是角 p 的 时候，首先要连接 e p 做一个垂线，做一个垂线。 当点 p 运动到切点的时候，此时的点 a 应该在什么位置呀？我们知道这个 e p 和 e a 是 不是同线啊？所以说，我们先把点 a 画出来，也就是我们延长 e p， 点 a， 点 a 大 致运动到这个位置的时候，这个时候呢，我们再连接 ab 和 ac， 我们就得到了这个点 a， 这是一个直角，那么我们如何来求 a c 的 长呢？也就是这个边的长如何求呢？通过观察我们刚才的已知条件，我们知道了这个 ec 的 长是五，那么这个 a e 的 长也是五， 所以这个 e p 的 长是不是就可以得到它的长度是三分之五啊？那么我们又可以得到这个 ec 的 长， 所以在直角三角形 p e c 中，那么我们就可以求得它这个比较长的直角边 p c 的 长。然后我们又转移到了另一个三角形，就是 r t 三角形。 a p c 中， a p c 中，我们刚才已经求出了 e p 的 长，五减去 e b 的 长，所以它就等于 a p 的 长。我们既知道 a p 的 长，又知道刚才求出来的 p c 的 长，所以我们再次利用勾股定律，我们就可以求得了 a c 的 长度了。 这个题呢，既考察了动点问题，又考察了圆与三角形的结合问题。第三个呢，又考察了隐形圆， 是不是有点难呢？不过呢，你如果能理解他，而且能把过程写出来，对于你的好处也是非常大的哦。有没有感觉在你脑子里边的知识更加灵活了呢？这道题你听懂了吗？
02:45查看AI文稿AI文稿各位，遇到十五度的角，这个辅助线怎么做？今天通过这道题啊，给大家讲清楚啊，说，已知啊， ac 等于十，咱标注一下啊， ac 等于十，对吧？角 a 是 十五度，求三角形啊， abc 的 面积，这是九十度啊，垂直的 啊，这这面积怎么求？有同学说啊，十五度的正弦值是多少啊？这个，这个，这个长度不一下就求出来了吗？这个高 十五度不是特殊角呀，十五度正弦值，余弦值、正切值都不知道，那怎么办？各位，十五度不是特殊角，但三十度是呀，对不对？我想办法给他做出来三十度不就行了吗？啊，这个辅助线有三种做法啊，给大家演示一下，第一种做法， 怎么样让十五度变成三十度？第一种做法，很常见的做法，把这个 a、 c 的 终点找到，找到终点以后连起来，你会发现这个就是三十度。 哎，有同学问，为什么呀？这不是直角吗？这直角的话，咱这个三角形是不是啊？是不是在这个圆上，以这个为直径的圆上，这个终点不就圆心 o 吗，对不对？这个长度等于这个长度，等于这个长度，都是半径 r 吗？ 对不对？那这个不就十五度，这个不也十五度，那这个就是三十度，对不对？这是一种做法，找这个斜边的中点，还有一种做法，有同学说，那我还有一种做法，让它变成三十度，怎么做呢？他把这个角放大一倍， 在这再做个十五度出来，你看这是不是变成三十度了呀？三十度所对的直角边是斜边的一半， 对不对？这又是一种做法啊，还有一种做法是什么？这两种做法你可以试试啊，还有一种做法是最简单的一种做法啊，怎么做呢？各位注意看啊，这是十啊，在这个方向上给他做一个十五度， 各位，这个方向上做个十五度，这不也是三十度吗？对不对？那好，那这个是三十度就好办了啊，三十度从这做个高下来，三十度所对的直角边是斜边的一半，那这个边长不就是五吗？ 对不对？这个边上是不是五？这个边上是五。那这个长度多少？肯定也是十呀，这不镜像过去的吗？这两个是全等的呀，镜像过去的，这是垂直。所以说啊，这个大三角形面积是不是五？乘以十除以二， 那是不是二十五呀？就说这个大三角形面积是不是二十五，什么大分子再除上按啊，不就是他一半的面积吗？所以说这个方法是最简单的啊，所以说辅助线你得会做呀，各位。
3.6万马老师数学研究
01:03查看AI文稿AI文稿中考数学想要一百三以上这种题，必须拿下！这里有角 b、 f、 c 等于九十度，跟它比较靠近的还有一个角 abc 也是九十度，你好好想一想，给你这两个九十度，你能得到什么？显然，我们可以根据同角的与角相等，可以得到角阿尔法等于角贝塔，这里还有 bc 和 ab 相等。 有了一角一边，是不是很容易想到构造全等三角形？所以我们直接过点 a 做 a、 g 垂直于 b、 e。 显然这里有三角形 c， b、 f 于三角形 b， a、 g 全等，所以 b、 f 等于 a、 g。 我 们假设 b、 f 等于 a、 g 等于一，而这里又有 a、 f 等于根号二倍的 b、 f， 所以 a、 f 等于根号二，所以 f、 g 也等于一。 所以角杯塔的正切值就等于二分之一。根据比例关系易得， ab 等于根号五， a、 e 就 等于二分之根号五，所以 e、 d 也等于二分之根号五。再根据之前的 fc 和 bg 相等，也就等于二，所以 e、 d 比上 fc 就 等于二分之根号五。比二等于四分之根号五。
79中考数学提分王
04:21查看AI文稿AI文稿p a 加 p， b 加 p c 最小值是多少？很多人看到这题就头大，只要学会这一招，以后遇到这种题，闭着眼都能做对。 第一步，在 b、 c 的 下方构造一个等边三角形 b、 c、 d。 三角形 b、 c、 d 的 边长都为 e。 第二步，过点地向 a、 c 做垂线，得到含有三十度的特殊直角三角形。 根据特殊三边比例关系，可得 c、 f 等于二分之根号三， d、 f 等于二分之一。第三步，把 a、 d 连起来， a、 d 的 长度就是 p a、 p b、 p、 c。 和的最小值了。根据勾股定律，可得 a、 d 的 平方等于 a、 f 的 平方等于七， 所以 a、 d 等于根号七。 p a、 p b、 p、 c 的 和大于等于 a、 d， 也就是它们和的最小值为根号七。为什么这样做呢？原理是什么？ 以 p、 c 为边，向外部构造等边三角形 p、 c、 n。 此时有两个等边三角形 c、 b、 q 和 c， p、 n 共点旋转，满足手拉手模型条件。 根据手拉手模型结论，可得三角形 c， p、 b 全等于三角形 c、 n、 q。 进而可得 p b 等于 n， q。 三角形 c， p、 n 为等边三角形 pc 等于 p n。 所以 p a、 p b、 p、 c 的 和等于 p a、 p n、 n、 q 的 和。当 a、 p n、 q 四点共线的时候，和最小最小值为 a、 q 的 长度 p 点运动到直线 a、 q 上时， 有同学会有这样的疑问吗？为什么非得是以 bc 作等边 ac 或者 ab 不 行吗？我们试一下 以 a、 c 为边，向外部做等边三角形 a、 c、 g。 过近点做 b、 c 的 垂线，可得含有三十度特殊直角三角形 c、 g、 h。 很 容易得到三边长度连接 g、 b， 则 g、 b 的 长度就是它们和的最小值。你可以试着以 p、 c 为边，向着三角形 a、 c、 g 的 方向构造等边，同样会得到手拉手模型。正法跟刚刚类似， 根据勾股定律不难算出 b、 j 的 长度仍然等于根号七。 再以 a、 b 为边向外部构造等边三角形 a、 b、 i 过 i 做 i， j 垂直于 c、 b 仍然可得。含有三十度的特殊直角三角形 i、 b、 j 连接 i、 c 同理可得 a、 c 也是它们和的最小值。 同样，根据勾股定律求出 s、 e 的 长度也是根号七。三种不同的方式构造辅助线，得到的结果却一样，这是巧合吗？ 以 a、 c 和 ab 向外部构造等边三角形，具备手拉手模型特征。根据手拉手模型结论，可得三角形 a、 l、 b 全等于三角形 a、 c、 k。 根据全等可得。对应边 l、 b 和 c、 k 相等。 同样的，以 b、 c 为边向下方构造等边三角形，与三角形 a、 c、 l 或者 b、 k、 a 也构成拉手模型， 也轻松可知，三角形 c、 b、 l 全等于三角形 c、 i、 m 同样可得， b、 l 等于 am。 又因为 b、 l 等于 c、 k， 所以不管是以三角形 a、 b、 c 的 哪条边向外部构造等边三角形，只要把对角的顶点拉起来，得到的线段长度都一样，都是最小值。把 p 点移到三条线 b、 o、 m 和 c、 k 的 交点处，此时 p、 a、 p、 b、 c 的 和最小 三条线的交点就是我们要求的费马点。听懂的话记得点赞、收藏、关注呀！
92飞哥传数
09:23查看AI文稿AI文稿能拿下这道题的，那你绝对是神一般的存在。来吧，我们看一下这道题该如何处理。给了我们一个矩形边长，分别是四和六， ef 是 这两边上的动点，其中角 ef 始终是四十五度。最后，让我们求三角形 aef 面积的最小值， 好，我们遇到面积最值问题啊，我们是不是要优先去找一下有没有确定的边，如果边确定，就可以转求高的最值问题。 如果有确定的高，我们也可以转求边的最值问题，或者是这个三角形的形状确定。如果形状确定了，那我们可以转求任意一边的最值问题，对不对？ 但是这道题啊，这个三角形 a、 e、 f 上述那几种情况都不满足。好，那遇到这种情况，我们就要联想，将这个三角形的面积对直转，求另外一个三角形面积的对直问题。 好，那该如何转化啊？他的突破口在这里，就是这个角 e、 a、 f 等于四十五度。当我们读到这个条件，你应该优先能想到半角模型吧， 这有一个直角夹四十五度啊。而这个半角模型呢，如何处理？是不就要想旋转呢？曾经我们也讲过这个半角模型，只不过基本的半角模型是等腰三角形，出半角， 呃，还有正方形啊，出半角那里边，我们是构造旋转全等，但在这里边呢，虽然没有等腰，没有正方形，我们依然去给他旋转，只不过构造的是旋转相似啊， 那我们如何添加辅助线啊？其实就是将 a、 d、 f 转九十度，给它转到这个位置啊，你会得到一个旋转形的相似。我们只需要做一个角啊，你使这个角和这个角相等， 呃，它这一条边啊，与 c、 b 的 延长线会交于一个点，这个点记啊，我们只需要做角 b a g 等于角， d a f 交 c b 原延长线于点 g， 那你就会得到 a、 b、 g 与 a d、 f 肯定是相似的，因为它还有一对直角，对吧？好，那有了这个相似，那我们肯定要去找相似比， 由于边长分别是四和六啊，所以它俩的相似比肯定就是三比二。好了，那接下来我们想把 a、 e、 f 的 面积转求另外一个三角形，那转求到哪个三角形当中呢？ 那就是 a、 e、 g 这个三角形为啥要转求这个三角形？那是因为 a、 e、 f 和 a e、 g 都有一个公共的边，也就是公共的底，所以呢，我们再过点 g， 过点 f， 向这个公共底做两个高线，我记作 m n。 好， 我们找出这两个三角形面积的倍数关系， 那这个倍数关系是不就是这两个高的倍数关系啊？因为他们的底是确定的，所以这两个三角形的面积比就一定等于这两个高的比值。好，那这个高的比值又如何找？那肯定要靠这对旋转型的相似啊，他的比例是去去找的。 那好吧，那我们看一下啊，有没有发现这个啊？三角形 a、 f、 n 与三角形 agm 此时都是等腰值， 因为你这有一个四十五度，然后我们做了一个垂线 a n、 f， 他 肯定是一个等腰值，并且呢，这个角他现在也是四十五度，由于这俩小角相等啊，他加上他是四十五，对吧？九十度减四十五，剩这两个角，哎，是四十五度，所以他俩相加呢， 肯定也会出现一个四十五度啊，这也有个四十五度，所以呢， amg 和这个 anf 现在都是等于二直角三角形，所以它们两个肯定是相似的吧。 好，那这个高之比应该等于什么？应该等于这个斜边之比吧，应该等于斜边之比，对吧？ af 比上 ag， 就是 我们这个旋转型相似的相似比，是不是三比二？ 他俩是不是三比二？没毛病，对不对？那我再根据两个等腰值相似，那他们的高之比肯定也是三比二啊，三份二份啊，肯定是三比二。好，来，我记录一下啊，也就是 s 三角形 a e f， af 比上 s 三角形，这个 a e g 啊， a e g 一定等于三比二，所以最后这个 s 三角形 a e f 就 应该等于二分之三倍的 s 三角形 a e g 啊。 好，所以你们看一下啊，我们要求 a e f 面积的最小值，这个问题是不是就转化啊？转化成，求三角形 a e g 啊，求 a e g 它面积的最小值，对吧？ 好，那我们看一下这个三角形啊，这回有没有发现，在这个三角形当中，其中这个 ab 它可是个定值了，有一个定高啊，它永远是四，对吧？那你要想让这个三角形面积最小，只需要让 g e 最小就好了。 好，那在这里面是不是又出现一个新的模型，曾经也讲过什么呀？定角夹定高啊，这个角度是确定的，是四十五度， 对吧？这个高也是确定的，有一个口诀叫什么定角夹定高，底边最短必等腰。 哎，也就说你要想让它最小，那 a g e 只有成为等腰三角形时，这个 g e 就是 最小的，当然这个结论你还有不清楚的，可以到主页啊，找一下那个定角夹定高。哎，我的证明方法在这里边就不多说了。 好，所以也就是说当 a e g 它为等腰三角形时， e g 就 一定是最小的， 那现在他是等腰三角形，那这个最小值又该如何求解呢？那又出现一个新的模型，那就叫半背角模型。半背角，因为你现在是等腰呢，这个又是高线，所以这俩角一定相等，整个这个角现在是四十五度，对吧？那这个角 就是四十五度的一半半倍角。模型指的是什么？你只要知道一个角的正切值，你就一定能求出他一半角的正切值啊，或者是他二倍角的正切值，对不对？ 而四十五度的正切值我们是知道的，是一比一，对吧？那这个一半角的正切值应该等于 g b， 他的对边比上这个邻边，他的邻边是四，所以我们求出 g b 二倍，就应该是这个最小底，也就是这一的长，对吧？好，那如何纠结？来半背角模型如何处理啊？我，我们另起个炉灶啊，在这里面给大家讲一下。 好，你现在已知的是四十五度的正切值，所以我们先做一个什么？先做一个四十五度的，也就是等腰直角三角形啊，我记做 abc。 好，我们现在要找四十五度的一半角，怎么找？你只需要将这个零直角边给它延长，延长到使这条线段。哎，我记作点 d 啊，使 c d 等于这个底边，你再连接 a d， 再去连接 a d。 啊。好，那这个角肯定是二十二点五，对吧？因为他俩相等，那 a、 c、 d 就是 等腰三角形，那这两个底角相等，这两个底角相等，他的外角是四十五度，外角等于不相邻的两个内角和，所以这个角肯定是二十二点五。 在这个等腰直角三角形，我们假设直角边为一份啊，所以他的斜边肯定是根号二啊， 那这条边长也就是根号二了。所以最后我们发现贪婪二十二点五度一定等于什么，哎，也就是四十五度的半角啊，他的正切值是对边 ab 吧，也就是一比上邻边根号二加一，对不对？根号二加一。然后我们化简之后就是根号二 减一，哎，这个就是半倍角模型啊。那有了二十二点五度的正切值，等于根号二减一。我们再回到这里去看一下啊，这个角现在它就是二十二点五度， 它的正切值是对边 g、 b 比上谁比上邻边四啊，一定等于二十二点五度的正切值，也就是根号二减一。由此我们就可以推出 g、 b 的 长，哎，也就是四倍，根号二减四。 所以此时 g、 e 的 最小值呢？ g、 e 的 最小值是不是就是二倍的 g b 了？二倍的它也就是八倍，根号二减去减去八。 好，接下来我们只需要带入这里啊，就可以算出 a、 e、 f 的 最小值，那就是二分之三乘以 a、 e、 g 面积的最小值，二分之一底升高底的最小值就是八倍，根号二减八， 高是谁呀？高，哎，是这个定高，也就是四，那我们计算一下啊，这个四跟这个分母两个二约掉了，对吧？ 然后三乘进去，去掉括号，那最终答案就是二十四倍，根号二减去二十四。好了，这就是最终这道题的答案啊。
3329大姚哥深圳市学问教育
07:47查看AI文稿AI文稿几何快代数文新定义，还能提智商？ hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀一模的几何压轴题。这个几何压轴题呢，第一问还是比较简单的，我们就不说了哈， 然后我们看第二问，第二问呢？哎，命题老师是让我们求线段 a b， 还有线段 c d， 还有线段 c e 的 数量关系， 然后呢，有同学就说，哎呀，这三边数量关系，这我量了一下，他也不是谁加谁等于谁，这猜不出来呀，猜不出来我就不知道怎么办，怎么办呢，很慌啊， 哎！然后那还有同学说，那这个题目我不会画辅助线，我没有见过，没有练过 哎，那双题的学生啊，一定会提醒自己，那我这考场上的题本来就是陌生的，但是里边的元素一定熟悉的， 所以当我们有点慌的时候，我们就找老乡，我们看哪些条件是我们熟悉的，我们通过读条件也能让自己更淡定一些，对吧？从结论没思路来回去读条件 从结论没思路，我们回去读条件，我们上来就会读到这是九十度，那看到九十度，我们除了倒出倒角之外，我们也想到九十度这个直角三角形，它只要翻折就能出等腰，对不对？比如说我们被长 c b 啊，到点 h， 我 们让 b h 等于 a c， 那 么这个时候一旦我们连接 a h， 它是不是一定等于 a c， 对 不对？哎，这是我们很常用的啊，从二五年中考完之后，大家更熟悉了是吧？看到正直角三角形可以补，以及看到这个角角，我们立马就倒角，同时也提醒自己，只要有角，那我们呢，就要传染，就要关注它， 哎，关注所有和阿尔法相关的，比如说这个，这是一百八减二阿尔法，那我们说了，只要看到一百八减二阿尔法或者二阿尔法，我们都要知道它在提醒我们等幺的。好，那我们现在可以看到啊，它是这个角是一百八减二阿尔法， 哎，那应该提醒我们等腰三角形啊，在等腰三角形里，如果顶角是一百八减二 r 法，这个就是 r 法，这就是 r 法，以及它的外角这个角也是 r r 法，这就是给我们的提醒。 那我们呢，可以很明显的发现，按理说这两个等腰共顶点应该有旋转，但是这个是一百八减二 r 法，它的角不一样，不能直接转，怎么办呢？哎，你要把这角变成一样的怎么办？ 还是那句话，你要观察哦，这个角是一百八减二阿尔法，这个角是二阿尔法，它们俩什么关系？ 互补，互补角，想到什么呀？哎，要么放到一个三角形里，要么就是共线或者平行同旁内角，对不对？ 哎，那我们就给他，哎，共线，为啥呢？因为我们想让这个等腰在一起，就能出我们熟悉的旋转了，对不对？来，我们延长 h a 到点 q， 我 们让 a q 等于 ac， 当然也就等于 h 了， 因为这个 h a c 是 二 r 法，所以现在这个角来，我标清楚，标清楚一下，这个角就是一百八减二 r 等于这个，对不对？ 哎，那这个时候亲爱的朋友们，我们都同时减去中间这个是不是可以得到角 e a c 等于角 d a q 呀？ 对吧？哎，这个角就和这个角相等好，同时这个紫这个蓝的等于这个蓝的，这个粉的等于这粉的，所以一定会有一个旋转全等，是不是一定会有个旋转全等，那么连接谁呀？ 哎，连接 q d 就 出旋转全等了。好，这个时候我们把旋转全等给大家标出来啊，这个三角形和这个三角形，它就是旋转全等，粉边等于粉边，蓝边等于蓝边，叉角等于叉角，边角边就出现它俩全等了。 好，它俩全等，马上转化边，这个 c e 就 跑到这里来了。哎，那这个时候我们发现，哎，它三边数量关系本来不好猜，但现在好猜了，因为我们知道三边数量关系，要么共线，要么共行。 刚刚猜不出来，但是我一造一个工具，发现，这肯定是共行的呀，是不是肯定是共行的呀？那我们就知道了，哎， c e 和 cd 共行了，那所以 ab 一定也 在这个三角形里，所以我们要连接 c q， 而且 ab 一定和 c q 有 关系。好，这个时候你看，我们就可以大胆猜， ab 和 c q 有 什么关系啊？ 对，很明显二倍关系，是吧？哎，我们上工具来正一正，这个 a 现在其实就是 a q 的 中点， 这个 b 呢？哎，我们本来做的就是倍长 c b 嘛，所以 ab 是 h c 的 中点，所以 ab 是 三角形 q h c 的 中位线，那所以这个就是两个 ab 啊，并且，哎，我们呢，再倒倒角，哈，这个顶角，这个角 q a c 是 一百八减二 r 法，而且这个角三角形是等腰三角形，等腰三角形顶角知道了两个底角，哎，就能给它算出来是 r 法， 因为这里你看我们标投标多好，这是九十减 r 法，这是 r 法，哎，它俩是垂直的，是不是啊，或者这么说啊，因为这是中微线嘛，中微线它俩就是平行的呀， 那 c q 和 ab 平行， ab 垂直 c d， 所以 c q 也垂直 c d 啊，你看你倒角也能证明 c q 垂直 c d 中微线平行直接也能出这垂直的啊，好，垂直完之后，那这就是一个直角三角形，在直角三角形里，那三边关系就纯粹的是勾股关系， 因为 c q 方加 c d 方等于 q d 的 平方，所以我们把它换成要求的 c q 就是 两个 ab， 那 它的平方就是四 ab 方， 然后 c d 呢，就是我们要求的 c d q d q d 呢，就是我们的 c e。 好， 所以他们是这样一个关系，你说这关系要让咱猜，咱能猜出来吗？那不好猜，所以在考前呢，我们的点睛班呀，包括我们的押题上就给大家说了啊，如果你猜不出来，不要纠结了，就找熟悉的工具，就从工具下手就可以了。 那关于这类直角三角形不等腰的题目，我们呢也给大家准备了很多同类题，大家联系老师，可以要同类题的啊，练习题可以自己在练，多练五六道，专门把这个给它练熟。 同时呢，这一类型啊，就是我们的几何专题课上，包括正课上也都讲过啊，你看这个也是只要三星不等腰，然后中微线的， 对，这是完全一模一样的方法，就是变个方向，所以我们的再读生，哎，同学们，你一定要去再关注你的老题，复习的时候就去复习你的老题之前的精题。 嗯，同时我们呢，在一模后也给大家安排了这个几何压轴的专题课啊，你看我开了一个几何加圆中的一个课程，在这个第二节课就会讲到这种题型， 同时，哎，我这个函数和几何，我和肖飞老师上课的内容上面呢，我的第一节课也给大家会讲这种题型，大家呢，如果这种题型做的还不溜，那就可以来跟 上我们的几何压轴的专题课，或者是几何加函数压轴的专题课，我们联系老师都可以报名。
06:47查看AI文稿AI文稿几何中的绊脚模型问题是中考中的重中之重，同时也是难点，考验同学们对于模型的识别和运用能力。 像这道正方形里边求 e f 线段长度问题，关键就是利用绊脚模型构造全等三角形，很多同学没掌握绊脚模型的核心，遇到就卡壳，别担心，老师今天就用这条视频详细讲解绊脚模型在这类题型中的应用，教你快速找到解析突破口来。我们看题 说在正方形背景之下，有这样一条线段， a p 点 p 呢，是边？ d c 的 中点，同时给了边长是六，所以 b p 和 c p 的 长度是很好求的，都等于三。接着有线段 e f， 你 看啊，斜了吧唧的放在正方形里头，这我们经常见到，对吧？我们讲奥特曼线那样的线啊，但是这道题目给到的是 e f 和 a p 两线段夹角，是四十五度，你看，关键的 突破口啊，就在于这里的四十五度夹角。最后让我们求的是线段 e f， 它的长度是多少？求这个具体的线段长。那么说到求线段长呢，我们总结一下初衷，阶段求线段具体长度的方法就三种， 相似勾股和三角函数，外加一个就是等面积啊，三个或者是三点五个相似勾股，三角函数和等面积。 那这道小题里边，我们要求 e f 的 长怎么办呢？那显然啊，这有正方形的背景，所以我想着大部分的可能我要用勾股定律来计算了，是不是 再加上四十五度特殊角藏在正方形背景里头，那马上就想到我们大名鼎鼎的绊脚模型。什么是绊脚模型呢？也就是一个大角里头啊，包含着一个角度一半的关系，并且有一对相等的 线段，这是我们经典绊脚模型的样子。那这道小题呢，没有出现九十度大直角里的，直接包含四十五度角，那怎么办？方法就是自己来构造啊， 怎么来构造呢？这道题非常明显，利用平移可以构造绊脚模型。如何平移？你看 e f， 我 把它平移一下，把 e 点去和 a 点重合，平移 e f 到 这样一个蓝色线段 a q 的 位置。那平移之后有什么？有这两条线互相平行对不对？ 那么两线平行又带来什么内错角相等呀？你看，刚刚这个四十五度特殊角，是不是就被我们成功转移到了九十度角的同一个顶点位置，变成了这个九十度大直角中包含着它的一半 四十五度。所以半角模型最常考的就是九十度里头含四十五度，当然还会出现的是一百二十度里头包含一个六十度。 那么出现半角模型经典样子之后，那你就别想别的了，哈哈，有了经典样子，我们就马上想想半角模型的经典结论。当然，半角的结论其实是比较多的啊， 我们这呢只来说最最最经典的一个，别的你都可以不知道，但只要看到半角模型，你脑子里边马上要想到的就是这样一条结论。你看啊， 中间这是四十五度角，左边这圈角我叫它角一，上方叉角，我叫它角二。角一，这里有一个直角三角形，对着的直角边是我的红色线段，角二上方也围出了这样一个直角三角形，对着的直角边是我的粉色线段，那接下来呢， 我把这个 p 点和 q 点呢进行连接，连接 p q 之后有这样一条绿色的线段。那么我的半角模型，它最最最经典的结论就是， 图中角一角二的和是四十五度，等于中间这个角，我叫它角三，那么角一对着的边，也就是 d q 加上角二对着的边，也就是 b p， 它的长度一定等于这个大角，也就是半角角三对着的边，也就是 p q， 这就是半角模型最经典的结论。说老师这个线段关系是怎么来的？非常简单，半角模型构造，旋转全等，把这个三角形 a b p 转到左侧的位置，两次全等证明出来的。今天我不讲证明啊，不会的给我留言。 那么我们接下来就利用这个经典结论，看看能不能帮助我们完成这样一个线段计算的问题。刚才咱说到了啊，我们想计算这个线段长，这个是有正方形的背景，有很多的大直角，所以我想到利用勾股去计算 在这里边不知道的线段长，我设作 x， 整个正方形边长是六，所以呢，这个 c q 长就是六减 x cp。 知道了，根据半角模型结论，绿色线段 p q 是 红色和粉色二者的和，也就是 x 加三。在绿色阴影的直角三角形中，根据勾股定律， 我们去列出勾股方程，直角边三的平方加上直角边六减 x 的 平方，等于斜边 x 加三的平方，从这去计算 x 就 ok 了。怎么算？非常简单啊，这是九加上三十六，减去十二， x 加上 x 平方等于 x 方加上六， x 加九，两边 x 平方向消掉不见了，那么依次项呢？是十八 x 长竖线合并完是三十六，所以算得 x 等于二。啥意思啊？你看啊，算得红色线段 d q 长度为二， 那接下来我想求谁？我想求 e f， 是 不是 e f 我 平移走了，平移到了 a q 的 位置，所以 e f 和 a q 是 相等的。那 a q 怎么算呀？红色阴影直角三角形中勾股定底直角边二的平方，所以这里边根号四十二倍，根十 a q 算出来了， e f 跟它相等就有了。好，那么这道小题咱们总结一下，出现了这样子交叉的正方形，内部两条线段，且夹角四十五度， 这时候我们想到利用平移把这个四十五度角转移到顶点，在九十度角顶点的同一位置，构造经典的绊脚模型的样子。有了，样子就是结论。那么经典结论，角一加角二等于中间的角三，那么角一所对的边加上角二所对的边，就等于角三所 所对的边。利用边之间的关系，在绿色阴影直角三角形中勾股方程求得线段的长度，最后再来勾股计算倾斜的 e f 相交的等线段就可以了。那这道题目非常经典，你学会了吗？
2427北大超尘老师讲数学
06:01查看AI文稿AI文稿我们说中考数学当中菱形当中的动点最值问题，一直是同学们丢分最多的一个题型，如果你想在中考数学当中达到一百一十分以上，那么菱形当中的动点最值问题 这一类题你一定要拿下。上个视频我们针对这道题，我们用了费麻点的解决方式来梳理这道题，今天我们用另一种方法来 破解这个，今天我们用另一种方法来破解这道题来。我们说看到线段相加的最小值，我们要想到一共有三种方法，一个是两点之间线段最短，一个是点到直线的距离垂线段最短。第三个就是配方，那么 无论是两点之间线段最短，还是点到直线的距离垂线段最短，他们的本质都是共线，也就是说让几个我们要求的线段共线。 所以说当我们遇到这类题的时候，我们想我们的第一个想法一定是让他们共线，再去用我们刚才说的那三种方法去解决掉它。 那上一节我们讲的费马点，因为三条线段相加的最小值，我们第一个肯定是想的费马点，第二种方法是什么？也就是说我们能不能把这三条线段相加变成两条线段相加，再用那三种方式去解决掉它。来我们看 首先我们如果想要把这三条线段相加进行变形，我们一定离不开的是什么？一定离不开的是菱形的性质，那菱形有什么性质？其实菱形的性质很多，今天我们主要用到的是什么？对角线，菱形当中对角线所在的直线 一定是这个菱形的对称轴，既然是对称轴来我们看 m d 加 mb， m 点在 a、 c 上运动，那么 m、 d 加 mb， 我 们怎么把它变形？ 怎么变形来？聪明的同学一眼就能看出来 m、 d 是 等于 mb 的， 因为 a、 c 所在的直线就是这个菱形的对角线来，我们看 a、 d 等于 ab， am 等于 am。 既然 ac 所在直线是菱形的对称轴，那么 ac 一定平分角， b、 a、 d 对 角线平分一组对角也是菱形性质当中的一个，那么三角形 a、 m、 d 一定全等于三角形 a m b， m b 等于 m d 了，那 m a 加 m b 加 m d， 是 不是就等于 m a 加上二倍的 m d 了？那我把 m b 加 m d 变成二倍的 m d， 那 三条线段相加的和，我们就变成两条线段相加的和两条线段相加，让他们勾线就可以了。但是我们这有系数，有系数怎么办？那我看看我能不能把它也变成谁的二倍呗。 为什么这么考虑？因为我们这有个角没用上，我们一定要把所有的条件用尽。角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么角 b、 a、 d 一定等于六十度， b， a、 d 等于六十度，那么 c a、 b 角 c、 a、 b 一定等于三十角， d， a、 m 一定都一定等于三十。那三十度角出现了，我们会想到什么呢？本能反应一定是在直角三角形当中，斜边的中线 等于斜边的一半。在直角三角形中，三十度所对的直角边等于斜边的一半。那么此时 am 是不是就等于二倍的 m h？ 也就是说， 此时 m a 加 m b 加 m d， 我 们就转化成二倍的 m h 加上二倍的 m d， 我 把二提出来，二倍的 m h 加上 m d。 聪明的你到这一定会做了吧？来， 两点之间是不是线段最短呢？无论 m 点在 a c 上哪个位置运动，那么 m m d 加 m h 的 最小值一定是 m h， m 和 h 之间的连线，并且 m h 垂直于 ab。 那么为什么说 d h 一定要垂直 ab 的 时候， d h 才是 m d 加 m h 的 最小值呢？首先我们说两点之间线段最短，那么 m h 一定是 m d 加 m h 的 最小值， 对吧？但是 h 点随着 m 的 运动而运动， h 点的运动轨迹是什么？一定是 ab 所在的直线呢， 对吧？那么现在两点之间线段最短了， b 是 定点，然后 b h 的 长度随着 h 点的运动而运动， b h b h， 那 b h 什么时候最短呢？这个就涉及到我们说的点到直线的距离。 垂线段最短，那此时 m h 垂直 ab 的 时候，它就是最小值， 大家听懂了没？那么这个时候 m h 怎么求啊？这个时候就好求了，边长为六，这个角是六十度，这是垂直，那这个角是三十度。三十度所对的直角边等于斜边的一半，那 a h 等于三，那么 d h d h 就 等于三倍根号二，那么我们要求的二倍的 m h 加上 m d 就 等于六倍根号二。 这道题周老师讲明白没？如果你有动点坠职问题或者与中考压轴有关的问题，可以评论区留言或者后台私信周老师。今天的这节课就上到这，更多精彩内容我们下个视频见。
46周～先生
