2026山东中考数学题型设置
来看这道题，这是二六年山东烟台中考几何综合压轴题的最后一问。题目不简单，但是我给你一种既简易又通用的方法。 题目给了一个矩形 a、 b、 c、 d， 短边和长边的长度分别是三和六，在长边 bc 上有一个点 e 满足 b， e 的 长度是二。 说 f 点是直线 bc 上的动点，然后做出三角形 a、 f， g 和三角形 a、 b、 e 相似。问，我们当 c g 取得最小值的时候，线段 b、 f 的 长度是多少？ 可能很多同学的第一个思路是先去找 g 点的轨迹，然后找 c g 什么时候取最小值。如果你真的去求 g 点轨迹的话， g 点的轨迹呢？求出来大概是这样一条直线，然后根据点到直线，以垂线段为最短，找到取最小值时的 g 点。 但是题目让我们求的是最终 b、 f 的 长度，所以还要找点 f 的 位置。因为 f 点、 g 点和 a 点啊一起组成了这样一个直角三角形， 所以有了取最小值时 g 点的位置，我们还要再做出这个直角三角形，才能找到最终 f 点所在的位置。哎，显然这种方法做起来会很麻烦， 我来给你提供一种不需要找 g 点轨迹的方式。虽然 g 点的轨迹我们还不知道， 但是 f 点的轨迹很清楚，就在 b、 c 这条直线上动。所以一个很合理的想法就是我们可不可以把 c g 这条线段换个位置，让它变成从 f 点出发的新线段。如果我们可以做这个转移，那我们就不需要求 g 点的轨迹了。 你可以想一想，我们怎么才能把 c g 线段转移成从 f 点出发的新线段呢？要想在 f 和 g 这两个动点之间做线段的转移， 我们就要关注一下两个动点之间的位置关系。因为题目给出三角形 a f， g 和三角形 a、 b， e 相似，而 a b， e 中的 ab 边和 b e 边都是确定的，由勾股定律也很容易算出斜边的长度。 所以在这组相似关系下，三角形 a、 f、 g 三条边之间也有固定的比例，就是三比二比根号十三， 并且这个三角形形状也确定，我把它的角 f a、 g 标成 alpha， 那 我们看 f 点和 g 点在整个运动过程中，要一直满足 fa 和 ga 之间加角 alpha， 并且它们之间的比例是三比上根号十三。哎，这其实就可以看成是一个典型的刮豆问题。两个点就是绕着 a 点旋转角 alpha， 并且将它们到 a 点的距离进行缩放的一个关系。 既然我们想把 g c 线段转移回 f 点，我们就可以把整条 g c 线段一起绕着 a 点做顺时针角 alpha 的 旋转， 并且将它的大小缩小到原来的根号十三分之三。因为在这个变换下，这一点会回到 f 点，那么整条线段就会变回从 f 点出发的新线段。又因为一条线段呢，就是由它的两个端点定死的。 现在 g 点已经按这种方式转移回 f 点了，那我们就用同样的方式把 c 点也绕着 a 点做 alpha 的 旋转，以及缩小到原来的根号十三分之三。其实呢，就是像 g 点这样构造这么一个直角三角形。 哎，有了这个思路，我就先连接 a c， 然后以 a c 为斜边构造一个直角三角形 a m c m 点为新的直角顶点，并且使得 a m， m c 和 a c 三条边的比值也是三比二，比根号十三， 那么角 mac 大 小一定也是 alpha， 这样 c 点呢，就转移回了 m 点，因为 g 点转移回了 f 点， c 点转移回了 m 点，那么 g c 这条线段就转移回了 fm 这条线段。现在我把 fm 线段 连接上这道题的原题，是让你直接写出答案的，如果需要写完整的解答过程，这里其实就是构造了一组手拉手的相似。 先做三角形 a m c 和三角形 a f g 相似，由这组相似得到 a f 比 a g 和 a m 比 a c 都是三比。根号十三， 再加上以 a 为顶点的这两个角，哎，都是 alpha， 加上中间这个公共角，那我们就能证明手拉手中的这第二组相似就是 a f m 和 agc 相似。我把这组相似下的比例关系写出来， f m 比上 g c 等于 a f 比上 ag， 也就是三比根号十三。 这就是从 gc 线段到 fm 线段转移的完整的证明过程。因为这两条线段之间有固定的比值，所以当 gc 线段取最小值的时候， 另一条线段 fm 一定也取得最小值。哎，接下来我们就可以关心 fm 什么时候取最小值了。 f 点的轨迹是已知的，就在 bc 直线上， 那么由点到直线以垂线段最短，显然当 f 点走到垂足位置的时候，就是 m f 取最小值的时刻。 题目让我们求此时 b f 的 长 b 点在这个位置，所以我们只需要确定 f 点在 bc 上的位置，就能找到 b f 的 长了，看看这个位置怎么好求。 这里的一个关键条件就是在构造 m 点的时候， a m 和 m c 是 成三比二的关系，并且加一个九十度角，这是第一个垂直。然后 m f 撇 又和 c f 撇垂直，这是第二个垂直，再加上矩形的对边平行。所以如果我们把 m f 撇延长出去，它和 a d 肯定也是垂直的关系，也就构造出了一线三垂直的相似。 我设上面的垂足为点， n 相似的两个三角形是 a n m 和 m f 撇儿 c。 而且因为两个三角形的斜边是三比二的关系啊。因为我们最开始构造 a m c 的 时候 是做的它和三角形 afg 相似，所以 afg 两条直角边之间三比二的关系也被挪到了 am 和 mc 的 位置。所以现在这组一线三垂直的相似相似比也是三比二。利用这个比例关系，我们就很容易找到 f 撇的位置了。 我可以设右侧这个小三角形较短的直角边 m f 撇长度是二 x， 那 与之对应的 a n 长度就等于三 x。 因为矩形短边的长度等于三， 所以 n f 撇的长度也是三。因此左侧三角形的这个直角边 m n 长度就是三，加上二 x， 我把这个长度写在一旁， m n 的 长度是三加二 x， 那 它与对应的直角边 f 撇 c 之间仍然是三比二的关系， 所以 f 撇 c 就是 三分之二倍的 m n， 也就是二，加上三分之四倍的 x。 这样我们就可以用 x 把矩形的整条长边表示出来了，分别是 a n 的 x 和 f 撇 c 的 二加三分之四 x， 它们加在一起是二，加上三分之十三倍的 x， 再代入矩形的长边等于六，我们就很容易解出 x 的 值是十三分之十二。 题目让我们求的是 b f 撇的长，也就是 a n 的 长，再用 x 的 值乘以三，得到最终的答案是十三分之三十六，你听懂了吗？
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03:29查看AI文稿AI文稿参加济南中考的各位同学，今天考完数学，大家是不是感觉做题特别不顺手呢？ 其实今年的中考数学整体难度比二五年明显变难了。今年试卷最大的特点就是基础题很稳，中档题呢，给你挖坑，压轴题直接就拔高难度了。今年最吃亏的就是一直靠刷题套模板的中等生。 首先说一下基础题，完全没有变难，选择题、前几道填空题、计算题、统计大题、基础几何题型全部都是常规题型，百分之七十的基础题零超纲， 只要孩子做题细心不粗心，基础题完全可以拿满分。真正拉开差距的是中档题，这也是今年最大的翻车点。 今年的中档题彻底反套路，选择填空的倒数几道题，题干条件非常绕，根本套不上平时刷题的固定模型。 很多孩子读题耗时间，思路卡壳，硬生生在这里丢了分。包括解答题的第二小问，函数和几何结合的特别新颖。 咱们孩子平时练的天桥的三模啊，高新二模啊，常规题型基本都用不上， 很多学生直接时间崩盘了。最后是压轴，大体难度直接升级，今年的几何旋转二次函数压轴。 第三问分类情况多，逻辑复杂，计算量极大。往年中等孩子还能斜几步拿个步骤分。 今年绝大多数同学只能作对第一小问，后边直接无从下手。跟大家横向对比一下往年的真题啊，二五年的数学压轴题非常温和，容错率很高。 今年的中档题、压轴题就全面升级，整体难度远超二五年，这个难度呢，接近二四年，但创新题型更多，更考验孩子的真实思维。 最后给大家说下今年的分数大致区间啊。满分一百五，基础扎实、细心稳定的孩子，分数在一百一十五到一百二十八左右， 大部分中等生集中在一百到一百一十四，主要失分点全部在中档灵活体型。 而一百三十五分以上的顶尖的高分段人数会大幅减少，高分竞争空前激烈，整体平均分一定会低于去年。 所以，今年的数学试卷不是基础难，是套路没用， 不再考死记硬背的刷题能力，真正考验孩子的读题能力、临场应变能力和逻辑分析能力。 基础扎实的孩子分数波动很小，而只会机械刷题的中等生，今年分数大概率大幅下滑。济南中考数学真正的分水岭今年彻底拉开了！
473济南李老师数学提升
06:32查看AI文稿AI文稿收到东平家长的私信，孩子平时公式背的熟，基础计算题也能够全做对，可是一碰到文字多，结合生活场景的题目就丢分，经常卡壳，想听听王阳老师怎么说。 此视频较长，建议点赞收藏！这里的核心问题，其实并不是孩子的计算能力不行，而是数学建模能力弱。今天我就结合咱们二零二六年摊中考的真题，用通俗的语言，先把到底什么是数学建模， 中考为什么要重点考它？孩子丢分的主要方面给你讲明白。首先啊，我们先给数学卷膜下一个通俗又专业的定义。简单来讲，数学卷膜就是一座桥梁， 他把试卷里五花八门的生活场景、陌生工具、文字描述，剥离掉外在包装，翻译成我们课本上已经学过的方程、函数、几何、图形定义、公式等标准的数学问题。接着我们再用数学基础计算求解，最后再把计算结果还原，解答实际问题。 完整的流程其实就下面四步，现实场景，到抽象成数学题型，再到计算求解，最后回归实际作答。 他不是一道单独的难题，而是贯穿整张中考试卷的核心思维，也是现在的新课标山东中考重点考察的一个核心素养。现在的中考其实早就告别了纯刷题、套公式的老模式， 命题方向变成用数学解决实际问题的能力，而建模能力呢，就是拉开分数差距的关键。 接下来，我再次结合咱们这套泰安中考的真题，分五大类题型实景讲解，大家一听就能够明白孩子的问题出在哪。好，我们来看第一类问题，生活购物类 对应方程与不等式的模型是我们本次中考的第十八题。这道题以购买非遗琉璃瓶内画瓶为背景，一概描述了两种购买组合的总价，还设置了数量限制，让我们求最低费用。 很多孩子看到非遗纪念品这类的文字就慌，其实这层背景只是外衣，建模的过程非常的简单。第一步，翻译，把买一个苗金琉璃瓶和两个内化瓶共一百元，买三个苗金琉璃瓶和四个内化瓶共二百四十元，转化为二元一次方程组。 再进行。第二步计算，解除两种瓶子的单价，再把琉璃瓶数量不少于内化瓶两倍这个限制条件，给它转化为一元一次不等式，结合一次函数费用的最小值。这类题是中考基础建模题， 十分的孩子大多不是不会解方程，而是不会把生活语言转化为数学不等式，读不懂题目里的数量关系。 第二类，形成运动类对应一次函数模型，这是试卷选择题的第九题。好，我们来看一下这个题目。题目设定了箭步走的场景，两名同学同时出发，一人中途拍照停留十五分钟，一人全程匀速求追击时间， 画面里还有路程和时间的函数图像，咱们拆解建模思路，走路前行对应依次函数，原地停留不动，对应图像里的水平线段追上。这个动作本就是两个依次函数图像的焦点， 孩子如果只会单纯算速度，看不懂图像代表的运动状态，就完全无法下手，这就是典型的无法将动态的生活场景对应到函数图形模型上。当然这道题的计算是需要付出一定努力的，还是比较复杂的。 第三类，物体运动轨迹类对应二次函数模型试卷压轴大题的第二十二题，这道题它结合了京剧踢枪的传统文化场景，花枪在空中飞行，求飞行高度和水平距离，还有落地时间。 这也是咱们山东中考每年必考的一个压轴建模题了，我已经见过很多次了。从建模的角度来看呢，花枪飞行的弧线就是咱们数学里面的抛物线，对应二次函数飞行的最高点，也就是抛物线的顶点。花枪落地就是函数总坐标为零的时刻， 解题时需要我们自主建立平面直角坐标系，设出二次函数的解析式，结合已知点去求解。 很多孩子害怕这道题根源不是不会算二次函数，而是看到梯枪表演这些陌生的场景，没办法第一时间联想到抛物线模型，主动放弃，白白丢掉了十几分。 当然了，这里也有题干比较长，很多同学根本没有读完题所导致的，根本还是咱们在平时训练当中遇到这种题型少。 下面我们再来看第四类，测量应用类对应解直角三角形的模型。这是试卷的第二十一题，题目介绍了古代测量工具具盘，用来测量城门楼的高度。题干文字篇章非常的长，还有牵垂线、角度盘刻度等专业的描述。 咱们不少同学光读题就其实就失去耐心了。其实我们如果能够耐下心来拨开这道题的外因，这道题的数学内核还是非常固定的，视线、铅垂线、地面共同组成直角的三角形。题目里的阳角其实就是三角形的内角 长度计算依靠锐角、三角函数，也就是正弦和正切这些知识点。这类新定义、新工具题型是现在中考的热门方向， 命题人就是刻意用陌生场景考察我们的建模能力。孩子被新名词干扰，识别不出背后的直角，三角形模型是主要的失分点。第五类，图形的变换类对应几何综合模型。这是我们试卷填空压轴的第十个题， 题目是平行四边形的纸片折叠，结合平行线线段角度，求三角形的面积。折纸是孩子生活中啊都接触过的事，但放到试卷上就变成了难题。 这里的核心模型就是图形折叠，折叠的本质就是全等图形折叠前后的对应边，对应角是完全相等的，再结合咱们平行四边形的性质，勾股定律进行组合解析。 孩子如果只盯着折纸这个动作，不会提炼出全等平行直角、三角形这些几何模型的话，这道压轴题啊，就非常难。好了，王阳老师讲到这里，相信各位家长已经清楚了， 整张摊中考数学卷百分之六十以上的中档题、压轴题其实都在考察我们的建模能力。基础计算题大家差距不大， 真正区分普通学生、中等生和尖子生的就是这项能力。好了，在东平请关注王阳数学，和你共同努力！明天我们继续来讲这个建模能力。
26:52查看AI文稿AI文稿接下来说第二问，我觉得这道题被大家说很难，主要原因是这个第二问，我好多年没有见到原和函数结合的题了啊，虽然这个题严格说其实跟函数没有太大关系啊。解决这道题的第二大问，需要具备两方面的技能， 一个是定边定角，还有一个就是动态焦点的处理，当然了，也涉及到一些含餐计算啊。我们先来说定边定角，这个大家不知道丑不丑啊，咱们一块复习一下。比如说，我现在告诉你有一个动点，他在动的过程中呢，始终满足他是定角的顶点，比如说定角是四十五度， 然后现在呢，如果你发现这个定角还对着一条已知边，那你就会发现屁点的轨迹是怎么走的。这是定角对定边，定角对定边，你会发现屁点呢，就会在三角形 a p b 的 外接圆上动，原理是圆周角定里 同弧所对的圆周角始终是相等的，我通过做这个圆，就相当于找到满足四十五度角的所有点屁了。定边定角得屁点轨迹，那这里呢，有一些细节要注意啊。首先各位，对于这个定边定角而言，屁点的轨迹是走了整个圆还是圆上的一部分？ 我们会发现这个点屁呢，它其实走的是圆上的一段弧，它必须在这个 u 弧上走的时候才符合题。 道理很简单，如果屁点走到列弧上，你会发现这个角就不是四十五度了，它变成对角互补一百三十五度了，说白了就是下面圆弧上不符合。提议啊，不符合四十五度角的条件， 所以一定注意定边定角的轨迹是一段圆弧，总结下来呢，就是只要看到定边对定角，只要看到定边对定角，你就可以想到做外接圆，而做了外接圆以后，动点轨迹 就是一段圆弧。这个理解了以后呢，对于定边定角呢，有一些小细节需要去注意啊，比如说你定边定角做完圆以后，接下来这个圆的圆心和半径呢？通常是有用的， 圆心和半径当然是有用的，所以你要去顺便标一下圆心，求一下半径。标圆心求半径，这个标圆心其实很简单，不用追求，画的非常精准啊，你就大概标一下圆心的位置，大概标一下圆心的位置。标完了以后，怎么去求半径呢？ 求半径很简单，就利用这个圆周角就行了。圆周角是四十五度，圆周角是四十五度，那你会发现它对应的圆心角就是已知的九十度，圆心角是九十度，这两个圈线段又相等，那就相当于得了一个等腰直角。等腰直角呢，那就会带来这两个圈都等于半径，等于根号。 斜边是二等值的直角，边是根号，所以半径就搞出来了。求半径的思路就很简单， 就是你一标圆心，圆周角转圆心角，半径就得出来了。半径会求了，定边定角的基础掌握了啊，但是接下来我要说的是，刚刚这些操作呢，是大多数几何题里面定边定角的基操， 但其实不是定边定角的完整形态啊，不是定边定角的完整形态。来，各位接下来你想想啊，如果我只告诉你角 a p b 等于四十五度， 而不告诉你屁的具体位置，那么屁点还能在哪里运动？我只告诉你这个条件，但是没有给你限定屁点在哪里，那么屁还可以去哪里动？你会发现，你能在上面做一个四十五度角， 肯定也能在下面做一个四十五度角，那要满足 a p b 是 四十五度，是不是说明 p 点在下方也是可以的？那在下方怎么找轨迹呢？其实是一样的，定角对定边，定角对定边，我可以在下面再做一个外接圆，而下方点 p 的 轨迹怎么走呀？ 点 p 的 轨迹相当于走的就是下面这个优弧。所以啊，定边定角问题， 完整的点屁轨迹其实应该是走一个弧路。但是这个东西在咱们的几何题中为啥不咋提呢？因为在几何题目里面，点屁的活动区域通常是受限的。几何题目中呢，他通常会给你把点屁放到一个矩形里面，放到一个具体的三角形里面， 会把这个点屁限制在 ab 的 上方或者下方，所以你大多数时候只考虑一个圆就行了。 但是如果去掉这个限制点， p 在 整个平面内都能动，满足四十五度角，其实就是上下都有一个幽弧，最终完整的轨迹其实是个弧路。 而且注意，这个弧路呢，其实也没有，都走上两个点是走不到的。哪两个点？其实这个 b 点和 a 点这两个点 p 点是走不过来的，因为走到这个位置的时候，其实这个角都不存在了啊， 它相当于是在整个弧度上动，但是 a 点和 b 点走不到，这是定边定角的完整轨迹。这个理解了以后，接下来咱们继续聊一聊坐标系中的动态焦点问题。什么叫动态焦点问题呢？给大家看个例子啊，比如说现在给你一个矩形， 然后呢告诉你这个直线，注意直线里面长竖向是带参数的，说这个直线要跟这个矩形有两个焦点， 求满足 t e 的 b 取值范围，这就是所谓的动态焦点问题，就是给你相交的两个东西啊，其中一个是能动的，其中一个动的过程中问你满足焦点个数的参数取值范围。那这类型问题怎么做呢？ 思路很简单，这类型问题的思路就是画图看，然后呢找临界状态就行了。画图看，找临界状态，比如说现在矩形已经有了，我要去分析这个焦点，我就可以把这个斜线给它画出来， 这条斜线就是一个斜着往下走的直线，而这条直线你会发现它的 b 是 一个参数，那么 b 增大， b 增大，那么这条直线是不是就往上走， b 减小，那么这个直线就往下走，所以呢，接下来我就让这个 b 增大， b 减小，去看直线和举行焦点的临界状态就可以了， 这就是画图看，去找临界状态。你比如说这条直线 b 增大， b 增大，那就直线往上走嘛，那直线往上走的过程中，你会发现什么时候就是临界状态了，什么时候就是焦点个数变化的时候，是不是当他正好经过点 b 的 时候，对吧？往上走，正好过点 b 的 时候就是临界状态， 而他如果往下走呢？是不是正好过远点的时候就是临界状态？相当于满足提议的点 b， 满足提议的点 b 呢？就在 这两条绿线之间。好了，那这时候你会发现要求 b 的 范围就简单了，我把这两条绿线的 b 分 别一求就可以了。 把两条绿线的 b 分 别求，那你会发现下面这个 b 呢，一眼看出来等于零，上面这个 b 能不能算呢？也能算，你把 b 点坐标带进去就行了啊，这个 b 二呢，也很好求， 把 b 点带入就得到了三等于负五加 b， 算出来这个 b 二呢，其实就是个八，于是满足提议的 b 范围就搞定了，就是零小于 b 小 于八。 注意是两个交点啊，所以呢，过 b 过 o 的 时候呢，是不满足两个交点的，这个临界状态不能取，不带等号，这是跟矩形的临界状态。这个其实很好找啊， 但是稍微麻烦一点呢，就是我让你这条直线跟圆弧有两个交点呢。其实分析思路是一样的，家人们还是看临界状态，你会发现，我们可以先画出一个满足题的图，这个图呢，他跟这个弧就是有两个交点的。 然后接下来呢，随着 b 增大，直线往上走，直线往上走的时候来，我们来看一下焦点变化的临界状态是啥时候往上移，什么时候是临界状态， 是不是当他跟这个圆弧相切的时候，相切的时候相当于是一个焦点从两个变一个，这叫临界状态，再往上走，焦点个数变零个了，就不用考虑了，所以关注临界状态是相切，那这条直线 b 减小，就要往下走， 往下走临界状态是过谁？注意这个圆弧不包含点 o 啊，圆弧不包含点 o 往下走，临界状态是啥？往下走临界状态是不是正好过 o 的 时候，所以下来过 o 的 时候，这也是临界状态，然后 o 是 空心点，所以你会发现，就只有左边有一个焦点，这是过 o 一个。 然后呢，那接下来你继续让他往下走，继续往下走呢，你会发现就只有一个焦点，过 a 的 时候，甚至没有焦点，是零个焦点。于是我就发现临界状态是相切和过 o， 把相切和过 o 的 b 值一求 b 的 范围就搞出来了。所以思路还是一样的啊，就是画图看 去，找两个焦点的临界状态， b 增大往上画找临界， b 减小往下画找临界状态。这其实是很多动态焦点问题的基本想法，就是让这个图形根据参数的变化动起来。 这种一次函数是最简单的一次函数呢，通常这个 b 是 参数 b 增大就往上移， b 减小就往下移，上下移动的过程中找到交点个数的临界状态， 你这个范围就可以求了。那这个懂了，以后咱们来看这道题，条件很简单，对吧？这次呢，你注意啊，这次呢，这个二次函数，我们只知道它经过点 a 负一零， 缺少了另外一个点的条件，所以表达式是没法直接求出来的。注意啊，表达式是没法直接求出来的。然后接下来呢，他告诉我们说 在直线 bc 上有一个点屁，而且这个角 a p o 要等于四十五度，问我们这样的点，尤其仅有两个的时候，求 b 的 范围。很显然，这道题的研究对象是点屁。那么点屁现在我们知道几个条件？ 关于点 p， 知道几个条件，你会问，关于点 p， 你 就只知道两个嘛？关于 p 呢，我首先知道它在 直线 b c 上，第二个呢，知道角 a p o 等于四十五度，这是我知道的两个条件，所以我肯定得去想一想这两个条件可以得到什么信息。首先，其实打眼一看， a p o 是 四十五度，这个条件大家应该有想法，你这个 a o a 点坐标是负一零啊， 相当于 a o 是 一是定边，四十五度是定角，所以 a o a p o 定边定角呢？已经有想法了，定边定角已经有想法了，但这个可以先不着急，放一放，然后接下来呢？主要是这个 bc， 怎么感觉这个 bc 啥都不知道呢？那你看看 bc 是 啥？ bc， 人家告诉你是与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，那我这时候可以干啥呢？ 我其实可以把这两个点的坐标搞一搞呀。 bc 两个点的坐标，我利用这些已知信息是不是看看能搞一搞，否则的话啥条件都不知道，我也做不下去。所以接下来有一个想法呢，就是 我得去看一看 b 和 c， 就 虽然现在可能求不出具体的值，但是我想看看能不能把他们的坐标表达式搞一搞。想到这个以后呢，我们就求起来啊。想要求这个的话，你会发现你知道 a 点坐标吗？知道 a 点坐标是不是可以代入啊？我代入 a 点负一零，那我能得到啥呢？你会发现，就得到了一个零 等于啥呢？等于负一减 b 再加 c。 得到负一减 b 加 c 以后呢，我相当于搞出来个啥呀？搞出来一个 c 就 等于 b 加一， c 等于 b 加一家人们 c 等于 b 加一，那你会发现，这时候这个二次函数的表达式就可以消参了， 它就能得到是负 x 平方加 b， x 再加上一个 b 加一。好，我搞定 c 点的坐标的同时，还给这个二次函数消了一个差。好，搞定这一步以后，家人们这个二次函数里面就只有一个参数了，只有一个参数了。来，那家人们这个 b 点的坐标能不能表示一下？ 我肯定得得到 bc 坐标的关系嘛，他俩肯定得有联系。那现在表达式都化简成这样了，那我是不是可以考虑搞一搞 b 点坐标？怎么搞 b 点坐标呢？ 那我其实就令 y 等于零，令 y 等于零呢，就得到了负 x 平方加 b， x 加上 b 加一等于零。 而且呢，现在我知道啥呢？我还知道 a 点坐标是负一，零相当于知道 x 一 等于负一，然后呢， b 点坐标是啥呢？ b 点坐标其实就是 x 二。来，家人们有没有什么快速算 x 二的办法？你都知道 x 一 了，有没有什么快速算 x 二的办法？记不记得一个叫 伟大定律的东西？或者这里其实随便怎么算都行了啊，你用求根公式甚至都能算出来啊。总之，接下来你会发现 x 二其实很好求啊。比如说，我们就知道 x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， x 一 是负一， a 分 之 c 是 啥呢？ a 分 之 c 是 负的， b 加一，所以我可以得到 x 二也等于 b 加一。于是啊，通过我的一系列计算， 我们发现啥呢？我们发现 c 点坐标能搞出来， b 点坐标也能搞出来。当然了，你用对称轴去算也可以。然后呢，还有的朋友说直接十字相乘，直接十字相乘一样也能解出来， 这里求另一个根的方式很多，你只要想往下算，敢往下算都能解出来啊，伟大定律是一种，甚至直接求根公式都能算出来。 所以呢，你会发现，这时候 bc 坐标就都算出来了。而各位， bc 坐标算出来以后，你发现啥了？你会发现 c 点的坐标呢，是零，逗号 b 加一， b 点的坐标呢？ b 点的坐标是 b 加一，逗号零。来，那我现在请问你，直线 bc 的 啥是一致的？你有没有发现，直线 bc 就是 与 x 轴夹角四十五度。哎，那你会发现你这个 bc 的 斜率 铁定是负一啊， b c 的 表达式我是肯定可以搞出来的呀， b c 的 表达式就是负 x 加 b 再加一，相当于我们通过算 b c 的 坐标。我把直线 b、 c 的 表达式给弄出来了。 通过这一系列的计算，我们呢，就把 p 点的两个限制条件分析明白了。其实啊， p 点呢，它就是在一条斜率为负一的直线上动，同时呢，要满足定边定角四十五度。 那各位想一想， p 点既要在直线上，又要在圆上，定边定角就是圆嘛，所以它应该是直线和圆的。啥玩意？ p 点应该是直线和圆的，啥？ 它在直线上，又要在圆上，它就是直线和圆的交点。接下来就简单了啊，这个问题呢，就变成了一个定边定角的圆和直线的交点问题。 而这里呢，稍微注意一下啊，人家只说了 p 在 直线上， a p b 是 四十五度， a p b 是 四十五度。我想请问大家，这个 p 点在上面还是在下面你知道吗？ 人家也没说一加 b 是 正的还是负的嘛，所以你会发现这个一加 b， 它其实也可以取负数，它可以走到下面去。于是呢，我们会发现这个 p 点的轨迹啊，它要满足定边定角，而定边定角呢，其实可以得到 p 在 上面的 u 弧上，同时还能得到啥呢？ p 点呢，也得到下面的圆弧上去，因为下面同样能满足 a p b 是 四十五度， 所以它就相当于是关于 x 轴对称的两段优弧，拼起来就是 p 点坐标。到这我们就完整地研究完了 p 点要满足的条件。接下来呢，其实你的点 p 就是绿色直线和两段红色幽弧的焦点，我要找到的是直线和圆弧有两个焦点时候， b 的 曲值范围。理解了以后，接下来呢，我们就得去画图找临界状态了啊。但是在这之前呢， 先做一点准备工作，家人们就是你一旦得到轨迹是圆弧啊，你会发现接下来呢， 这个圆弧的半径呀，圆心呀之类的这些东西肯定是有用的，对吧？所以呢，咱们先不要着急往后推啊，你至少是不是先把这个圆弧的圆心半径搞一搞，圆心的位置呢，你就可以自己随便去点个点。然后呢，我们知道圆周角是四十五度， 那你会发现圆心角九十度就出来了啊，相当于搁这做了一个等值，等值角边呢，是不是就可以算出来是二分之根号二。 然后呢，连带的这个 m 的 坐标呢，其实也可以解出来，你做个三线合一呢，就是二分之一，二分之一，二分之一，所以呢， m 坐标就搞定了。 然后呢，下面这个圆呢，下面上面的圆对称下来了，所以呢，下面这个圆的圆心 n 我 们也可以得出来，就是负二分之一，负二分之一 这个圆心和半径你肯定要顺手算，因为一会儿大概率要用，所以先搞出来，搞出来以后呢，他要满足有两个焦点。满足有两个焦点， 那我是不是就去画图找临界状态就可以了？那咱们来画起来，先画个满足 t 的， 比如说这个直线呢，就是 y 等于负 x 加 b 加一 对吧，然后呢，它呢，满足是有两个焦点的，你能找到两个这样的点， p 一个，两个满足四十五度角，满足在直线上能找到两个。那接下来呢，我就让这个直线呢，随着 b 的 变化上下移动， 那我想请问往上移动，临界状态是啥时候往上移动呢？是不是在相切的时候去到临界状态相切他就跟这个圆弧只有一个焦点？咱们刚刚画的这个呢，是两个焦点，是满足提议的，上面只有一个焦点，哎，临界状态不满足， 然后接下来我就让他再往下走，往下走什么时候是临界状态往下走呢？你会发现，当他正好过 o 的 时候，当他正好过 o 的 时候， o 是 一个空心点，然后呢，上面这个是一个焦点，那过 o 的 时候呢，对应的是一个 焦点，这是一个临界状态。然后接下来呢， b 继续减小， b 继续减小，那你会发现这时候呢，哎，又变成两个焦点了， 只不过是跟上面的优虎有一个焦点，跟下面的优虎有一个焦点，但是合起来还是两个，所以呢，这个是两个焦点，满足要求的。好，那再往下走，临界状态是啥时候再往下走？临界状态是不是就是当他正好过点 a 的 时候，这个临界状态是过 a， 这时候几个焦点 a 是 空心的，取不到， 所以你会发现只有一个焦点。好了，继续走，继续往下走，往下走，又变成几个焦点了，又变成两个了，符合题。那什么时候是临界状态呢？是不是又是相切， 相切又是一个焦点？哎，那这时候又不符合了，我通过画图，我就找到了所有的临界状态。如果你没练过这种题，那就比较费劲了，就是，至少你得先见过这种比较简单的找焦点的题。 动态焦点的题要是一点没做过，那这个太复杂了。整体上我觉得这个题确实算是几难，最近几年考的最难的一道了。这些搞定了以后，接下来其实就简单了，有你会发现 哪些是满足提议的状态呢？中间这个两个焦点的状态是满足提议的，那它对应的 b 的 范围是谁和谁之间呢？是不是相切和过欧之间？ 如果咱们把相切的 b 算作 b 一， 过 o 的 算作 b 二，那你会发现中间这个 b 要满足什么呢？相当于它要满足大于 b 二，小于 b 一。 所以你是不是需要把 b 二和 b 一 求出来？然后呢，再往下走，你会发现这个直线， 这个直线呢，也是满足两个焦点的，他在谁和谁之间呢？他相当于在 b 二和过 a 的 b 之间。我们把过 a 的 b 叫做 b 三的话，那你会发现这个时候你的 b 要满足大于 b 三，小于 b 二。 然后呢，最后还有一个就是下面这个两个焦点的情况，他要在 b 三和相切之间，我们把相切时候的 b 叫做 b 四，所以呢，这个状态是啥呢？这个状态相当于 b 要大于 b 四，小于 b 三， 其实最后求的范围就是这个 b 一、 b 二、 b 三、 b 二和 b 四、 b 三这三个范围。那怎么求呢？就简单了，你把 b 一 算出来，把 b 二算出来， b 三算出来， b 四算出来，把四个 b 都解一下就好了。接下来就是算家人们，其实算比你想象的容易啊。这个题 想明白逻辑算就容易了。首先呢，你会发现上面这要相切，相切怎么计算？相切你想到啥？相切？是不是想到了可以去连接 对不对？想到了可以去连接，连接圆心和切点就得垂直，连完了以后呢，你就会发现，哎，朋友们，怎么感觉这个相切正好过的是圆和外轴的焦点呢？这是画出来正好这样还是真的是这样呢？ 其实很好正啊，就你会发现，刚刚你求圆心的时候，这是等值，相当于这些角都是四十五度。 然后呢，这条直线他的 k 是 负一， k 是 负一的话呢，我们可以得到他与坐标轴的夹角也是四十五度，也就是你会发现这两个四十五度一拼呢，拼出来这个大三角形正好是个等值。 大三角形正好是等值，就说明 am 切点正好是共线的啊，正好是共线的，所以你别说啊，这玩意还正好就是圆和外轴的交点。那我怎么去算这个时候的 b 值呢？那就很简单了，你会得到这个三角形直接是个等值 对不对？那下面 a o 是 一，那这个就是一，所以相当于这个点坐标是零一就有了，这里利用相切 直接得到 a 切点 o 这个三角形就是个等值啊，然后呢，这个点的坐标零一就直接出了，这个出了以后呢，其实 b 一 的值就可以解出来，相当于得到了 b 加一， b 一 加一等于一，所以解出来 b 一 等于零，然后接下来再继续啊，然后这条线往下走，正好过点 o， 正好过点 o 的 时候，这个是送的啊，这个送的相当于 b 二加一，直接等于啥？ b 二加一等于零，所以我算出来 b 二等于负一，然后呢，接下来继续往下走，继续往上走呢？是过点 a， 过点 a 的 时候啊，过点 a 的 时候，你把 a 点坐标带到那个表达式里面啊，带到那个表达式里面，你就可以得到 b 三加一等于负一， 然后呢，解出来 b 三就等于一个负二，然后呢，再往下走下面这个相切，这个相切咋算呢？还是一样的，连接圆心和切点， 连接圆形和切点就得了个垂直，而各位得了这个垂直以后，你同样可以通过这里面的四十五度角的关系，你正出来这个图形正好是个等值。你看啊，你这里的 o、 n 这角度肯定是四十五度嘛， 这四十五度的是五度，你会发现它们跟相切的这个垂直，就会正好拼出来一个 大等值，拼出来一个大等值，然后呢，接下来呢，你很容易根据半径是二分之二，这半径是二分之二，算出来啥呢？算出来这个斜边其实就是个二。所以呢，我们可以得到相切时候的这个 b 四 加一，对应的这个点等于啥呢？这个点其实就是一个零，逗号，负二， b 四加一等于负二， b 四等于负三就解出来了， 算完了以后就是写范围了，你看啊，你满足提议的 b 在 哪里呢？满足提议的 b 在 b 一 和 b 二之间，他要在 b 一 和 b 二之间。所以呢，首先要满足负一小于 b 小 于零， 这是一个情况。然后呢，再接下来呢，你这条线还可以在哪呢？还可以在 b 二和 b 三之间，所以呢，他还可以是大于负二小于负一。 然后再来呢，还可以在 b 三和 b 四之间，还可以在 b 三和 b 四之间，所以继续获负三小于 b 小 于负二， 完事。当然了，你也有另一种写法啊，有的小伙伴可以这么写，写法就是你的 b 要大于负三小于零。还有一种写法就是大于负三小于零，且什么呢？ 且 b 不 等于负一，且 b 不 等于负二。你这么写和写成三段效果是一样的啊，怎么写都得好了，这就是这道题啊，这道题 如果你对定边定角和动态焦点问题很熟，其实倒是不难想，中间的计算过程我觉得也没有太恶心的啊。然后呢，主要就是一开始算 b c 坐标，这里呢，涉及到了含三计算，你敢不敢往下算是一个重点， 我们来总结一下啊，这个题其实就是这么几件事。首先第一件事啊，第一件事想到可以代入点 a， 把 b 点 c 点的坐标算出来啊，把 b 点 c 点的坐标算出来， c 点是零， b 加一， b 点是 b 加一，零。 通过这一系列的计算呢，我们得到的 bc 的 表达式就是一个斜率为定值的直线。这是这个题的第二个坎呢，就是利用这个角 a、 p、 o 等于四十五度， 想到定边定角，发现呢，这个 p 点同时在圆弧上运动，这是这个题的第二个点，当你把这两个线明确了以后呢，你会发现，接下来你要处理的问题，其实就变成了圆弧和一条动直线的焦点啊。你这个斜线 b、 c 是 个动直线， 你要处理的点 p 其实就是动直线和两段 u 弧的焦点，他要两个满足题的点 p， 其实就是这两个或 有俩焦点，有俩焦点，然后这时候让你去求 b 的 范围。所以第三步就是处理这个焦点问题，然后焦点问题怎么玩呢？焦点问题咱们说其实就是画图找临界状态，画图找临界状态， 然后呢，画图以前注意圆的问题啊，你肯定先得把圆心半径顺手求出来啊。求出来以后呢，接下来就是开始画图 化满足的，往上移动找临界状态，往下移动找临界，再移动，再找临界，再移动再找临界，找到所有临界状态以后呢，你就找到了满足提议的 b 的 范围。接下来呢，就是把这些临界状态的 b 一 b 二 b 三 b 四分别一算就行了。 然后呢，这个计算其实核心是啥？就注意一下两个相切就行了。你这里不管是过 o 还是过 a， 它的 b 值都很好求，中间两个临界状态很好求，主要就是两个相切，两个相切，要想到相切，连圆心出垂直就完了。整个题讲完。
168胖叔初中数学
02:24查看AI文稿AI文稿中考结束了，我也来评价这张老牧师的数学试卷了。六月十四日上午，我无数次提醒自己要好好读题，但还是看错了好几道题。不不不，我无疑是愤怒的，前六个题依旧人机分遍题，如果你这都做不出来，就准备去中专吧， 九题十题，两道函数题也是十分的简单。考场上看到这两个，我兴奋的鹏鹏都飞了，仿佛看见幺二零给我招手了。十一题其实才是这套试卷最阴的，我都不敢想有多少人写成五加六倍的 a b。 在进考场前，我听说有威海参与出卷，所以内心就有了看到找规律题的准备，十四题也是很轻松的拿下了。看到这个十八码的十五题，我是真的绷不住了，做了五分钟没做出来，最后用尺子量出来了底和高，结果还忘记要除以二，写上了三点六就没再检查了。不不不，我无疑是粗心的。 十六十七还是老样子，没什么好说的。这里重点说一下十九题的第二问，我当时一眼看出来，用弦切角定力求出来 b 的 长，结果答案没有除以二，得到半径到这里，因为没有除以二，已经扣了五分了，我高兴的房都飞了， 二十题送你点分，让你放松警惕。剩下的二十一、二十二、二十三，出题人应该是老牧师了，出成那个吧唧样子。在答题卡上看到二十一题，我还以为这个十八码题让我放风筝， 结果发现比放风筝更加完蛋。还好我的阅读理解能力比较强，成功求了出来，但是因为写的太快了没发现，让我保留，是直接写上了分数形式，最后应该给我扣了一分， 我直接用大红肠调查当时的老几。哎呦我去，不好，孩子们是花枪，我们要完蛋了！这道题最阴的一点应该是必须在 o 点间隙，不然不得分，具体原因看一问的圈，一知道这个消息，我无疑是兴奋的成功拿下十二分， 嘿嘿嘿嘿嘿嘿，做到二十三题，我大概还有四十分钟，用三分钟把第一问拿下后，发现第二问看半天看不出来。不不不，我无疑是愤怒的 正了一组相似，之后用手拉手和共言才正出来，是直角得到了比例关系。做到最后一问，我大概只剩下十五分钟。想着前面没做出来的十五题，又看着没有一点思路的压轴，我的大脑直接荡机了。 最后曹操写了些步骤就了了交卷了。这套十八马试卷无疑是打破了我的幺二零吗？最后看看我的数学成绩吧，可爱的我又吃卷了，六百六十六，没想到改卷组的老师对我这么好，这无疑是让我高兴的，看什么看，你个老爱撕贼，赶紧给我学数学去！
9683洋清
10:26查看AI文稿AI文稿好了啊，今天我们来看一下山东省二零二六年的中考填空题，这五个题我们如何又快又准的把这十五分全部吃下。 那么今年的中考啊，我做了一下这个填空题啊，基本上来讲客观的来分析还是很简单的，我们来看下这十一题， 第十一题啊，他是一个怎么样计算题，那么这个考点啊，非常的简单，他考察的范围呢，就是说我们的一个合并同类项啊，这样的一个知识点。那么我们在做这个题的时候，我们首先一定要了解什么叫同类项 啊，同类项如何去合并，那么这里给大家做一个简单的解释啊，就是说如果说所含字母相同，并且字母的指数也相同的单项式，它们称之为同类项， 我们看这个和这个它明显是同类相对，不对，我们直接合并行了，它又等于十一 a b 吧。那么这个是第十一题啊，看第十二题， 圆形啊，扇面中间的图案是正多边形，多边形，内角和啊，我们现在还没有看到图像，他让我们求内角和，我们脑海中怎么样，第一时间要想到内角和的公式就是 n 减二乘以一百八十度，是不是？我们来找这个图形就可以了， 这个图形是不是这样，是不是这个图形对不对？他是一个几边形，我们可以数一下，一二三四五六六边形，对不对？他是一个六边形，那么六边形内角和是不是等于六减二 乘以一百八十度呀？就是四乘一百八十度等于七百二十度，对不对啊？这里哈虽然很简单，但是这个度你一定要写，不写这个度哈，这个空是不得分的。就这个题 看这十三题，若一元二次方程呢？一个根是十，另一个根是多少？一个根是十，这个时候啊，我们就不要客气了，直接把 x 换成十往里带 就是十减二乘以十减 m 等于零，我们化解就是八乘以十减 m 是 不是等于零？我们能算出来， m 是 等于 是的吧，那么 m 等于十，那么这个式子就变成了 x 减二乘以 x 减十等于零啊，那么两个数相乘等于零，至少有一个为零，对不对？所以说 x 一， 要么等于二， x 二等于十，对不对？ 那么一个根既然是十了，所以说他另一根只能是二吧，所以说啊，这个空我们就填二就可以了。这是第十三题。 好，我们来看第十四题。第十四题啊，这个题出的，呃，我个人来讲啊，这个题哈，出的水准略微 啊，咱不能说是偏，干嘛低哈，略微简单了一点，我们来看一下啊，都不需要复杂的计算。出题人的意思啊，他是想让我们求 a 一 a 二啊， a 二 a 三，他的距离是跟二用，我们怎么样？求两点之间的这个这个距离公式让我们判断 啊，这个 k 六到底怎么去推？但实际上这个题啊，很简单的，我们不用去推也能够做出来。我们来看反比例函数是 y 等于 x 分 之 k 一 啊，这个线我们来看一下， y 等于 x 分 之 k 二， 好，我们来看啊， x 大 于零， k 一 等于一，我们来看啊， k 一 等于一的情况下，那么也就是说，第一个式子是不是 y 等于 x 分 之一啊， 那么又因为 y 等于 x 了，所以说 a 一 点的坐标它只能是怎么样？ a 一 点的坐标它只能是一撇一吧， 是这样吧，那么我们再来看，又因为这一段的距离是根二啊，我们做一个直角三角形， 对不对？那么又因为 y 等于 x 了，所以横啊，三角形的两个直角边是不是相等啊？都是四十五度的三角形吧，所以说根据勾股定律，那么这个边是一，这个边也是一，对不对？那么 a 一 点的坐标我们求出来了啊，这个边是一，这个边是一，对不对？ 所以说我们毫不客气的就知道 a 二的坐标一定是二撇二吧，那么同理，又因为哈，我们再换个颜色的笔去看一下， 那么他又告诉我们了，这个边也是根二，那么我们做一个直角三角形，那这个边是一，这个边也是一，对不对？那么所以说 a 三点的坐标他就是三撇三，同理推 a 四点的坐标是四撇四， a 五点的坐标是五撇五，那么 a 六点的坐标是不是六撇六？ 那么又因为让我们求 k 六，所以说 a 六，它是不是在反比例函数上就是 y 六等于 x 六分之 k 六吧，对不对？又因为 a 六的横坐标是六，对不对？纵坐标是六，所以说六等于六分之 k 六，那么 k 的 值 k 六的值是不是等于六乘六等于三十六啊？这个题啊，那么这个题就是三十六，那么我个人来讲第十四题啊，这种简易算法啊，是很容易出答案的，根根本不需要费时间，这第十四题看第十五题 啊，第十五题，这个题哈出的相对来说哈，略有难度，但是不大，我们来看一下这个题怎么去解决 第十五题，他说啊，平行四边形的这个 a、 b、 c、 d 中 ab 等于四啊，我们先标为净，它是四， ad 等于五，又因为 e 是 终点，所以它是二点五，那么它也是二点五，对不对？我们先标，别管三七二十一，你标的东西越多，这个题你最后读完之后可能就做出来了， 那么他又告诉我们啊，沿这个折叠啊，折叠之后可能就做出来了，那么他又告诉我们啊，沿这个折叠原理，那么这个边是不是也是二点五， 对吧？哎，很明显这是一个什么三角形？这是一个等腰等腰三角形，对不对？那么 a g 等于三了，等腰三角形，我们第一时间啊，之前给大家讲过，我们脑海中第一时间一定要弹现出一个什么东西叫做三线合一的词， 那么它既然三线合一了，我们就先做一个垂线，别管正确与否，你先做一个垂线，因为等腰三角形特特殊性，三线合一，我们设这个点为 h 行不行？设个点为 h， 所以 说我们再来看， 那么又因为三线合一，它是高线，也是中线，也是角平分线，对不对？所以说 ag 等于三， a、 h 就是 一点五吧，那么所以说它也是一点五吧。那么在直角三角形 a、 h、 e 中，由勾股定律我们能够算出来， e、 h 是 等于二的啊，这个 e、 h 这个边是等于二的。 好了，那么又因为什么？ eg 平行于这个 ab 的 时候，也就是说 eg 是 不是平行于这个 cd， 对 不对？他既然平行了，说明什么？那么这个边是二点五，我们很容易能够得到。怎么样三角形？ 我们来看啊，他是四，他是等腰，这个角等于这个角，所以他也是等腰三角形吧，对不对？很容易能做到，他也是等腰三角形，所以说这个边也是二点五，那么总长度是他是几 啊？他是四，所以说四减去二点五，他是不是一点五？那么根据这个平行原理，我们进一步能推得四边形，这个 g e d f， 他 是个菱形，四边都相等，所以说这个也是二点五吧。 好，那么再由于它的特殊性，又因为它俩平行了，所以说啊，我们能够轻松的得到 a g f e a g f e 这个四边形，它一定是个平行四边形， 对不对？那么又因为平行四边形了，所以说啊，好到到这里啊， 是我们已经推出了这么多的一个结论了，我们来看题，最后你发现他让我们求这个东西的面积， c f g c f g 三角形的面积，很明显它的面积就是没有固定的算法，就是二分之一底乘高，对不对？二分之一乘以底乘以高，也就是说你只需要知道谁当底，谁当高就可以了。那么又因为 eg 它是平行于 dc 的， 所以说我们这样做一个高啊，做一个高， 一定和这个三角形的高，他是一样的高吧，对不对？因为平行线对不对？所以说两高相等，也就是说我们要求出来这个，这个，这个既到 q 的 距离，是不是就出来了？也就等于三角形的面积，它是不是等于二分之一乘以 c f， c f 是 一点五，我们能知道再乘一个 c q， 对 不对？也就是说我们只需要求出来 c q， 那 么这个题就解决了，那么 c q 它是不是又等于 f？ 什么？加上这个点是 p 是不是等于 f p 啊？是不是 c q 它是等于 f p 的， 那么也就是说我们只需要求出来 f p， 那 么这个题就解决了，对不对？ f p 怎么求呢？我们来看一下啊。那么又因为它是平行四边形，两个三角形 g f e 和 g e a， 它俩这个三角形的面积是不是相等的？那么根据等面积法，我们是不是能够求出 f p 的 怎么样这样的一个长度吧。所以说我们来看 f p 用等面积法，在三角形啊，也有三角形 a g e a g e 的 面积一定等于三角形 g f e 的 面积，对不对？ g f e 的 面积有等面积法，它的面积我们是不是很好求？二分之一底乘高，底是三对不对？ 高是二是不是？那么这个三角形也是二分之一底乘高，底是多少？底是二点五，对不对？那么高是多少？是不是 f p 乘以 f p 吧，那么由这个式子，我们是不是把 f p 给求出来了，对不对？ f p 求出来之后，我们这里是不是知道了？知道之后我们是不是知道了 c q 的 长度啊？ c q 的 长度知道之后，那么这个题的总长度我们是不是出来了？最后我们算出来它的面积啊，就是五分之九，那么这个是这样一道题。
06:06查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们讲一下二零二六年山东省中考的压轴题，第二十三题啊，最后一题，那我们第一第一 小问第二小，我们简单说一下，这边是一个一百二十度的等腰三角形，那第一问其实在我们平常写的过程当中应该是会见得到的啊，应该会，那这时候我们其实只要证明三角形 a、 d、 f 和三角形 c、 e、 f 这两个三角形全等就可以了，我们连接 fc 啊，证明这两个三角形全等特别好，正啊，边角边就可以。 那其实第二问也是比较容易证明的，看到这个比例关系，对吧？我们是不是可以考虑正一下相似。第二问，证明三角形 a、 d、 f， 那 相似于三角形 c、 d、 e， 那通过边角边这相似就可以了，两边成比例。第一个呢，这 f 和 c、 e 的 比是一比二， a、 d 和 c、 d 的 比是一比二，加角都是三十度啊，就可以说明了，那这时候对应边 d、 f 和 e、 d 的 比，那也是一比二 啊，就可以说完，那我们重点来讲一下第三问，那第三问呢？在第二问的条件下，我们还是要说一下啊， 如果啊，这里面这个 d、 f 和 d、 e 的 比是一比二啊， d、 a 和 d、 c 的 比是一比二，其实还能够通过手拉手相似证明什么？还能证明三角形，呃，这个 a、 a、 d、 c 是不是相似于三角形 f、 d、 e， 那 这里面可以说明这个角 d、 f、 e 这个地方是九十度啊，这个很重要啊，就是在第三问的证明过程当中，他给这两个边 f、 g 等于 ef， 如果说这个 d、 e 垂直于这个 f、 e， d、 f 垂直于 eg 的 话啊， d、 f 垂直于 eg， 那 这时候这个 d、 e、 g 是 不是应该是个等腰三角形？那我们可以反过来通证明 d、 e 和 d g 相等啊，这是非常重要的，我们来说一说 啊，这时候可以说明，所以，呃，这个角 d、 f、 e 等于角 d、 a、 c 等于九十度，那这时候连接 连接 g、 d、 g、 b， 我 们来考虑一下，还能证明什么呢？那其实，呃，其实可以说明什么？三角形 d、 b、 g 全等于三角形 d、 a、 e 好， 是不是也是比较容易证？第一个啊，我们来说一说， d、 b 和 d a 是不是相等的？那 d、 a、 b 是 一个一百二的等腰三角形， d、 b 和 d a 是 这个幺。第二个呢？我们刚才说的这个 d、 e、 g 是 不是也是一个等腰三角形？那 d、 e 是 不是等于 d、 g？ 那 第三个，我们来说一下，它们的夹角是不是相等的？那其中这个角 b、 d、 a 等于角 g， d、 e 是 相等的，就是角 b、 d、 g 和这个角 a、 d、 e 相等啊，这时候比较容易证。这两个三角形全等，那还是边角边，那这时候能证明什么呀？是不是可以说明？说明角 d、 b、 g 等于角 d、 a、 e 等于九十度，那是不是可以说明点 e 点 e 一定在 在垂直于这个叫 b、 d 的 这么一条线上运动啊？这时候点 g 的 轨迹其实我们就找出来了，点 g 的 轨迹我们能确定啊，并且这个 b、 g 和这个 a、 e 是 不是相等的？你不是要求 af 吗？ af 是 不是应该等于二分之一的 ec？ 如果说我把 a、 e 都求出来，那其实也就是把 b、 g 求出来，那这时候 ec 就 求出来了， ec 求出来再除以二，那就是 af 求出来了。那我们再来说一下， 这时候我们怎么去求 b g 呢？那我们看一下这个 d， 呃，给的，给的那个 ab 等于六， ab 等于六，我们做过 a 点做 b g 的 垂线 啊， b g 的 垂线，假如它是 h 的 话，那因为 ab 等于六，那是不是说明 b h 应该等于三的？ b h 等于三的话， a h 是 不是应该等于三根号三，那我们在在这个三角形 a g、 h 这个三角形直角三角形中， a g 是 不是应该等于二根号七？题目中给的二根号七，那么这个 g h 用勾股定律是不是应该是等于一的？那注意， g h 等于一的话，可不表示， 不表示 b g 啊， b g 一定是等于四，是不是也有可能 b g 是 等于二的？那我们通过这里面我们就缩写一下啊，缩写一下， a g， a h 等于三根号三 a g 题目中给的等于二，根号七。在 r t 三角形 a g、 h 中，好，我们列一下勾股定律， a h 的 方加 g h 的 方等于 a g 的 方，那得到 g h 是 不是等于一的？ 那 g h 等于一，我们能得到 b g 等于几？ b g， 注意啊， b g 它可不一定， g 点可不一定，在 h 点的上方，它应该等于三加一或者三减一，也就是二或四， 那那么 e c 是 不是也是二或四？那么 af 是 不是等于二？分之一的 e c 就 等于一或二？那我们今天就讲到这里。
85初中数学
02:12查看AI文稿AI文稿咱们一起来拆解这道铜考压轴题。先看第一句，三角形 a、 b、 c 中 a、 b 等于 a、 c 顶角 b、 a、 c 等于一百二十度，你能读出什么？隐藏条件？ 这是等腰三角形，两个底角相等，算下来角 b 和角 c 都等于三十度，一百二十度等腰是经典模型，后面计算会用到边长关系。 下一句，把线段 a、 c 绕点 a 顺时针旋转六十度，得到线段 a、 d。 旋转能带来什么？固定等量旋转前后线段长度不变， a、 c 等于 a、 d。 旋转形成的夹角是六十度，有一个角为六十度的等腰三角形，就是等边三角形。 想要完整使用等边三角形的边角性质，我们需要做哪条辅助线连接 cd 构造等边三角形 acd 就 能得到 a、 d 等于 cd 等于 a、 c 三角形三个内角全都是六十度，这是本题突破口。 题目给出点 e、 f 分 别在 a、 b、 a、 c 上， a、 e 等于 c、 f 这组相等线段有什么作用？ 我们最终要证明 d、 e 等于 d、 f， 证明线段相等优先证三角形全等。 a、 e 和 c、 f 就是 全等三角形的一组对应边 d、 e、 d、 f 分 别处在哪两个三角形中？现在也有两组对应边全等还缺什么？ d、 e 在 三角形 a、 d、 e 里， d、 f 在 三角形 c、 d、 f 里现有 a、 e 等于 c、 f， a、 d 等于 c、 d 还差一组夹角相等， 连接 cd 得到的六十度角，搭配底角三十度，刚好能推出夹角相等，凑齐边角边全等。最后问个易错点，这道题能推出隐藏角平分线，那能不能用对角互补加角平分线模型直接解题？不能对角互补不是题干给出的已知条件， 是证完全等候才推导出来的结论模型前置条件不足，强行套用属于循环论证，考试会扣分，只能用旋转构造等边再证全等的方法。
53梦想是固执的坚持
08:48查看AI文稿AI文稿hello， 大家好啊，今天一起玩一下一个非常好的题型，来自于二零二六年山东省统考入学的最后一题，它来喽，我们看这道题的底层逻辑考什么呢？ 来，话说啊，这是一个啊，这个等腰三角形 a b 等于 a c， 顶角为一百二十度。好，继续走。看，第一位说，将线段 a c 照 a 点顺时针转六十度，得到 a 的 好，即 a c 和 a 的 相等，这个角角为六十度，顺手，这个角为六十度。好思考。 ac 等于 a 的 顶角是六十度，所以如果一旦把的 c 连起来的话，那么 a 的 c 应该是一个等边三角形，所以脑海中啊，要传下来。 好，继续走。说， a e 这个火机啊，和 c f 相等，好，继续走。让我们求的 e 和的 f 这两个圈圈线段是否相等？ 好简单啊，证明线段相等，往往想群等，那么的 e 和的 f 是 不定位哪两个三角形呢？ 哎，定位这个三角形和这个三角形，为什么？因为 a e 和 c f 是 相等的关系。好，继续走，这个角为六十度，这个角角也为六十度。 好的 c 呢，和 a 的 相等，所以这两个三角形就是全等了。那么用 s a s 的 技巧， 所以三角形 a e 的 就全等于三角形 c f 的， 所以这个的 e 啊和的 f 相等啊。第一问是送分的， 好看。第二位说，如果 a h 与 a c 垂直顶角为一二零的等腰三角形，就分割成一个三十度和一个九十度。由于这个底角为三十度啊，顶角一二零啊，每一个底角为三十度，所以这个角为六十度， 好出现三六九的。这样三角形则满足 a h 与 h c 一 比二的关系。 a h 与 h c 啊，是一个一比二关系啊。一比二，比改号三。 好，继续走。说 c f 和 a e 啊，由于一个定量关系等于两倍的 a e 好， 所以 c f 和 a e 也是一个二比一，即 a e 比上 c f 是 一比二，那把它我们看成 a， 那 么 c f 看成二， a a h 我 们看成 b， 那这块儿就是二 b。 好， 继续走。这个角为三十度，这个角为三十度。 先不用读题，发现，哎，两边对应成比例，且角相等，三角形为相似三角形，所以三角形 a e h 和三角形 c f h 是 一个相似关系，那于是我们得出 e h 与 f h e h 与 f h 就 等于 a e 比上 c f 呗。好， a e 比 c f 是 一比二，所以 e h 比 f h 也是一个一比二的关系。好了，我们把图再擦一擦， 好来感受一下啊。好，这块比上这块也是一个一比二，那么同样我们舍为，假如说，呃，舍为 x 啊，这块就是二 x。 好， 继续走。我们发现这个三角形和这个三角形是相似类，是不是？所以这个角角和这个角角对勾角什么关系？相等， 对勾加叉勾是六十度，所以这个角多少度啊？也是六十度角， e h f 等于六十度，好观察， e h f 等于六十度，而 a h c 也等于六十度 啊，并且 e h 比 h f 是 一比二， a h 比 h c 一 比二，这不是类似于共顶点旋转之手拉手相似呗。好，三角形，这个 e h f 和三角形 a h c 是 不是相似啊？再说一遍， e h 比 h f 是 一比二， a h 比 h c 一 比二，并且 e h f 和 a h c， 哎，两个角角多少度？六十度 啊，所以发现，哎，这个角角和这个角相等了，角 h e f 和角 h a c 相等多少度？九十度嘞，好了，所以说这是一个三六九的这么一个直角三角形，来看一下这个三角形， 好，这个角六十度，这个角九十度，这个角三十度，好，那于是乎发现这个 e h 和 h f 是 e 二，根号三关系啊， e f 就 等于啊，根号三倍的 h e 啊， 好，我们继续玩一下最后一万，话说在二的条件下，既 c f 啊，和 a e 还是一个两倍的关系，对吧？然后这个角还 是啊，这个角九十度啊，那么这个角六十度啊，一比二比刚好三，这个角是一百二十度， ok， 来，我们看一下，说这两个火记相等啊，点 h 是 g f 的 中点，中点啊，往往脑海中会闪现两个方法，第一个叫做中位线，第二个叫倍长中线 啊，这个这两个方法都可以操作，我们看一下 a b 为六，这块也为六，好，继续走， a j 为二，根七好，求 a e， 求 a e 好，怎么办呢？这个题法一，我们直接在里面来构造中线，因为点 e 是 中点，所以取 a j 的 中点啊，加字母 k 啊，连接 k e 啊 k e 好 了， ok， 连起来， 好，这时候我们发现这块为该号七啊，该号七同步信息，这个角为一百二十度，这个角也为一百二十度， 所以出现一二零，马上想到零角六十度啊，六十度，所以过点 k 往这一块做垂线啊，加上字母 q， 好， 那这时我们发现是这块为 x， 这块为二 x， 这块为根号三 x， 好，下面只要搞定这个 a e， 为什么什么 x， 利用勾股定律就可以打完收工来看一下，它为二 x 中域线，它为四 x， 这块就为六减四 x， 由于 c f 等于两个 a e， 所以 a e 呢，就等于三减去二 x。 好，下一步勾股定律啊，则根三 x 的 平方加上三减二 x 加上 x 来定义这个直角三角形，应该是三减 x 的 平方等于根七的平方。 好，算一下，三 x 方加上九减去六 x 加 x 方等于七，则四 x 方减六 x。 呃，再加上二等于零。好，最终二 x 方减三 x 加一等于零 x 二 x 啊，负一负一， 最终 x 交叉相乘是负三。没问题， x 减一，二 x 减一等于零，但 x 一 等于一 x 二等于二分之一。那最终我们发现 a e 这个长度等于三减二 x 三减二乘以一等于一 啊，或者是三减二乘以二分之一等于二啊。答案是一或者是二。这个题打完收工，你学会了吗？
32知兴爱数学
02:29查看AI文稿AI文稿六六六，中考完了，今天也是来评价一下这个劳模式的试卷吧，你这个劳模式也是把学生逼得跳桥去跟胖猫作伴了吧。哦不不不，这无疑是悲伤的，看到这个试卷的第一眼，老子就觉得这个 i 四 z 试卷就不简单，更何况有两张答题卡哦不不不不， 前五道题也是免费的人捆题，哦哦哦，也是直接秒杀好吧，你这个劳模式的第六题我算了半天发现没个几百用，后来也是直接用两脚气量出来了， 我就是坐在这个十三的位置，做题的时候，那个监考老母时就一直盯着我看，我，不不不，这无疑是愤怒的，后面这几个题又是免费的，任困题也是直接写完，好吧，我不来到这个十四题，一对 k 把学生迷得神魂颠倒，但是只要读一下题就会发现原来是个纸老虎，算出三十六来也是直接秒杀好吧， 然后就是这个十五题居然没有考最值问题，这我也是高兴的算了半天不会算，时间已经过去二十五分钟了，也是随便拿尺子量了个一点八就跳过了，出考场对答案发现自己蒙对了，也是很高兴呀。 答题前面四道题也是人困题直接写完，但是我为了防止这个老木是扣我不皱分，也是写的非常严谨，导致时间又过去了三十分钟。 这个统计概率题也是很简单啊，花了十分钟就写完了，这个学校的臭学生好好的上课干什么，要参加社团，还要让我给老母师提建议， 哈哈哈，这个二十一题解三角函数也是个纸老虎呀，但是当时我们那个考场不给开空调，我也是浑身燥热呀，根本读不下去，但是好在我意识到这是在中考，我就硬着头皮做了，最后也做对了。做完这个题，时间还有四十分钟，我觉得稳了， 然后我就看到了这个破花墙，这个花墙还没有我的大红墙让，凭什么放在二次函数这个位置，这个题也是引空我二十五分钟，好吧，最后随便写了几笔就揍了真相，把这个花墙从这个老母狮的脑子里穿过去，我让你玩这个花墙， 这个答案也是很硬呀，速度居然还是分数，来来来，这个老母狮给我跑一个，不是这个速度，直接惩罚一个月不准玩自己的大红墙。 这个二十三题做到的时候，也没剩多少时间了，也是随便写了几笔，最后一文直接蒙了一个，一个二分之更好。吴建义最后蒙对了一个一，但是没有步骤，估计这个老母氏只给了我一分。我，不不不，这无疑是悲伤的。 这个答案，整个考场所有人的大红场加起来也没有这个答案长呀，也是很无奈了，好吧，最后看一下我的数学成绩。哇哦，这个老母氏居然给我这么高的大红场，加起来也没有这个答案长呀，也是很无奈了，好吧，最后看一下我的数学成绩。哇哦，最后看一下我的数学成绩，是高兴的。
913小街主OvO
06:22查看AI文稿AI文稿市中和历下期末考试的数学今天刚刚考完了，我们拿到试卷做了一下，然后给大家分析一下。呃，首先呢，市中和历下果然还是不服所望，他不像天桥和淮阴一样，今年考的比以往简单。嗯，他的难度呢， 我觉得还是和以往保持一样的水准啊，没有很难，当然也没有说更简单。总体来说，出题的质量还是比较高的。 从我的感觉上来说，我觉得适中。今年的话相对来说要比历下稍微好一点。从压轴题的难度上，他们俩其实差不多，但是我觉得适中。他在除压轴题以外的往前倒推的几个题上，他相对来说轻松一点。 但是立夏我觉得个别题可能会稍微难一点啊，但总体来说中呢，确实仍然保持着传统的题型，当然题的质量仍然比较高。而立夏呢，题型会比较新颖，但总体来说，我觉得两套题的质量都比较高。那我们分别来看一下。首先看一下适中的这条卷子， 选择题里面，你像选择题的第八第九题都是非常常规的啊。第八题考察一线三垂直，第九题呢，就是勾股定律的应用， 其中穿插了平行线之间的三角形面积的等级变形。但总体来说，第八第九题难度都不大。第十题呢，我给这个题点个赞啊！这个题确实我觉得出的非常好，和变量关系， 非常考验孩子读图分析这个能力。一定要把这种抽象的图转化成实际的两个人的运动情况，脑子里要有两个小人在跑，而且要分清楚每一段它代表什么含义，比如这个图像为什么会下降？为什么会上升？为什么会出现一个拐点？要搞清楚啊。另外，这个题还考察孩子们对行程问题，尤其是 相遇问题、追及问题这种基本公式，比如说，相遇时间应该等于路程除以速度和追及时间应该等于路程除以速度差对这种公式的一个掌握程度。最后一问，也考察一个知识点，就是大家在变量关系中一定要会写函数关系式。写出关系式之后，这个题第四问就会变得非常简单。 当然呢，你如果不写关系式，转换成小学的行程，但是难度会稍微大一点。好，这是第十题。 那么填空题里面十三、十四都非常简单啊。十三题考察了角平分线的一个性质定律啊。十四题呢，又是一个列关系式，所以变量之间关系列关系式是很重要的。十五题呢，今年考察了逆等线，而且注意立下去的填空。最后一题，今年也考察逆等线， 所以这个逆等线今年是扎堆考察了啊。当然，幸好我们在期末复习的时候，重点把这个逆等线刚好给大家复习过，所以呢，跟着我复习的孩子应该是能把逆等线做出来的。 ok， 接下来我们看一下这个大体。 那么这次市中的倒数第二大题呢，是一个动点问题。动点问题在市中和历下里面都考到了。呃，历下是作为填空一道题，市中的作为一道大题，这道题呢？ 呃，难度有，有难度啊，想把它拿到全分是不容易的。你比如说，从第二问开始，很多同学可能只想到两种情况，第三种情况计算量比较大，也不太好想啊。然后第三问呢，首先你要去画图，分析分析每个点他的运动状态，接下来呢， 要会用时间 t 去表示里面各个线段的长度。这个呢，是动点问题中一个核心，也是我尽量给孩子们强调的点。这次适中的二十五题，总体来说难度不大，尤其是前两问。 前第一问直接填个空，第二问的话，人家把辅助线已经给你了啊，你只需要根据辅助线来找一个全等三号线的条件，就是判定定。那么第三问，其实方法就是在第二个基础上再构造等边。那第三问有一点难度，就看大家有没有等边构造出来。 好，这是适中这道题啊。好，那接下来我们看一下立夏。立夏的第八题呢，是一个购物定的应用，属于呃，空间的最短路径问题。那我们做的时候一定要把空间问题转换成平面， 但要注意啊，这个长方题你要分几种不同情况，通过对比来看哪种情况最小。当然呢，我们在课上其实讲过结论的啊，把较小两边二和四组合在一块，他这样是最短的。 第九题呢，仍然是个购物定义用，但是呢，为什么说立下感觉稍微难一点？因为我觉得第九题他的思路要稍微难一点，因为他要列两个购物定义，计算量也稍微大一点，那就看大家能不能把这个题做出来。 那么第十题，历下今年和十中一样，考到了逆等线。哎，就跟我们刚才说过了啊，之前复习过呃，填空题里面十三十四都相对来说比较简单。十四题是个动体动点，但这个动点纯粹就是有了时间，有了速度，我们会表示那个线段长度，不用分类讨论， 表示一个梯形面就可以了啊，这个比较简单，十五题呢，这次啊，如果说大家有这个辅助线的一个想法的话，其实也比较简单啊，这个题的本质就是一个背长类中线 大题，里面二十三题是个新定义，我觉得这个新定义的题出的非常好，它难度不算大，但是非常考验孩子们的理解题的一个能力，而且呢，目前的话只有历下区考到了这么一个非常标准的一个新定义的题，是以后一个趋势，那么孩子们一定要去好好做一做啊。 那么二十四题呢，这个题呢，是个变量关系的题，我觉得这个题也考的非常好，它题很新，就是一个进水，一个出水， 一个进，一个出，再把这个水池的水的上升的高度与时间的变化给你画个图，这里面综合性就比较强啊。这个题当然难度本身不算特别大，但是仍然需要去分析这个 函数图像中每一段它的含义是什么，比如说为什么水位会上升，为什么会中间会出现平着呢？对吧？水位不变，那其实就是以这个水池开始水位上升，但是以它底下有个地漏啊，它还不停的往下漏水，那想这个地方该怎么考虑好 立下的？本次最后一道题难度并不大啊，至少前两问，我觉得咱们大部分孩子应该是都能做出来的啊，当然第三问确实有点难度。呃，第三问是要综合倒角，而且要用勾股定力，然后呢，要充分利用 啊，折叠前后图形全等，所以里面有对应边向等，对应角向等，一定要把对应边向的这个条件要发挥到极致。你会发现这个图中会有两个直角， 你可以求出 c f 长度是根三的，从而 e f 长度就是二减根三。那这样的话，此刻 b e 长度可求，而 b e 又放到等腰直角三角形 a b e 中。所以这个题的第三问确实综合性比较强，但是前两问呢，难度并不大啊。 ok， 好， 那这就是立夏的卷子，关于这两条卷子，大家有什么想法可以在评论区讨论一下。
271肖谈数学
02:37查看AI文稿AI文稿同学们，欢迎来到数理化思维，这是山东二零二六年中考数学的填空压轴题，难度不是很大。 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于四， ad 等于五点， e 是 边 a、 d 的 中点，点 f 在 边 c、 d 上将平行四边形沿 ef 折叠，点 d 落在平行四边形内的点 g 处， ag 等于三 g 平行 ab。 求三角形 c、 f、 g 的 面积。三角形 c、 f、 g 没有什么特殊性，除了直接求出边长的思路外，常用的思路就是进行等底或等高的转换。 因为之一平行 ab 平行四边形，对边 ab 平行 cd， 所以 之一平行 cd 平行线间的距离处处相等。因此三角形 c、 f、 g 和三角形 e、 f、 g 是 等高的，和三角形 d、 e、 f 也是等高的。那么可以通过求这两个三角形的高来得到三角形 c、 f、 g。 的 高。 再研究一下三角形 e、 f、 g 有 没有特殊性之一平行 cd， 角 d 和角 d、 e、 j 互补， 角 d 与角 e、 g、 f 因为折叠的对称关系相等，所以角 e、 g、 f 和角 d、 e、 g 也互补，同旁内角互补 e、 d 平行 g、 f， 所以 对边平行四边形 d、 e、 g、 f 是 平行四边形，其实它还是个菱形。 还可以进一步得到四边形 a、 g、 f、 e 也是平行四边形。因为 a、 e 和 g、 f 这组对边平行且相等，接下来可以求下相关线段长。 因为 e 是 a、 d 中点，所以 a、 e 等于 d， e 等于二点五。因为对称关系，异质也等于二点五。 平行四边形对边相等， d、 f、 g、 f 均等于二点五， e、 f 等于 a、 g 等于三， c、 d 等于 ab 等于四，所以 c、 f 等于四。减二点五等于一点五。虽然三角形 c、 f、 g 有 了两条边长，但还是不能求出面积。 三角形 e、 f、 g 三边已知，且为等腰三角形，它的高就很好求了。设其 e、 g 边上的高为 h， e、 f 边上的高为 h 撇。利用等腰三角形三线合一以及勾股定律可以算出 h 撇为二。 然后利用三角形 e、 f、 g 面积的两种算法，可以得到 e g 乘以 h 等于 e f 乘以 h 撇，代入相应值后可得 h。 等于二点四，也就是三角形 c、 f、 g 底边 c、 f 上的高。所以三角形 c、 f、 g 的 面积为一点八平方厘米。谢谢观看。
13数理化思维
05:41查看AI文稿AI文稿下面我们看一下二零二六济南中考的这个圆的小题啊，这个题目呢，有两问， 第一小问呢比较容易，第二小问呢，难度比较大啊。嗯，在考试的时候，有很多同学卡在了第二位，我们来看一下这个题目怎么拆解它的第二位。先看一下它的第一小问， b e 垂直于直线， l l 是 圆 o 的 切线啊，证明 b、 d 是 角平分线 啊，因为切线，所以连接圆心和切点，这样的话我们就得到，哎，连切点得垂直，当我们连接切点的时候，这个角也是九十度 啊，所以马上得到这条线和这条线，它俩是个平行线，平行之后呢， 所以内错角相等，这两个角相等，又因为 o d 等于 o b， 这是等腰啊，所以这两个角又相等， 这个角又等于这个角，所以它俩就相等啊，这是典型的啊，平行加等腰出角平行线，是吧，这是一个小模型 啊，角平分线加平行出等腰，只要出现啊角平分线平行和等腰当中的任意两个就能推第三个啊，现在是知道等腰和平行推角平行，嗯，这一问不是很难。下面看一下第二问， 它说得 f 的 长度是二，嗯，这个得 f 的 长度是二， ab 是 圆 o 的 直径，然后呢，口算角 a b e， 嗯，就是这个角， 嗯，这个角的正弦呢，是三分之二，求什么呢？求这个 f b 的 长度， 嗯，求 f b 的 长度。实际上我们发现这条线和这条线平行之后，哎，所以这两个阴影的三角形，它两个是相似的啊，一种八字形的相似， 而且 d、 f 和 f b 这两个就是对应边，所以只要知道这两个算的相似比，就可以求出这两个算，就可以求出 b f 的 长度来啊。下面我们发现这个角的口算值啊，知是知道的， 知道这个角的口算值，也知道正弦值，也知道他的正切值，也知道我们可以都推出来， 现在关键的就在于这个角的它的余弦是怎么个用法啊？到现在因为没有直角三角形，所以下面这个地方就是我们很着急的一点，所以下面我们就尝试着来构造直角三角形 啊，比如说怎么构造呢？哎，这样构造，这是直角，哎，还可以怎么构造呢？因为我们发现这两条线又平行，这两个角是不是都是直角，所以也可以这个样子构造 啊，所以当我们发现这样构造的时候，哎，这个负数线就是一个正确的负数线，嗯，所以过点 o 做这个 o j 吧。嗯，垂直于 b 这个地方，一垂直，那这个图形就是一个矩形啊，因为本身它原来是个梯形，直角梯形啊，所以就出现了直角三角形， 所以也就是说这个边啊，这个边与这个边的比值是二比三，就是这块是二，这块是三。 又因为啊，又因为什么呢？又，因为刚才我们刚刚证了这等腰， o b 和 o 的 都是半径，所以它也相当于是三， 它是三，这个图形又是一个矩形啊，一个九十度，一个九十度，又一个九十度，所以这个长度就是三， 哎，这样的话，这个总长不就变成了三加二等于五，而这个边和这个边正是这两个三角形的对应边，也就是相似，比出来了三比五就等于二比 f b， 这样二比上 x， 我 要求的 f b 就 等于三比五，三 x 等于十， x 等于三分之十，这样我们就就求出了这个题的第二位 b f 的 场， 所以回过头来看一下。第二问，主要是要利用，利用什么呢？利用这个角的余弦怎么样？利用这个角的余弦，你要构造直角三角形啊，所以要多尝试， 不要就是尝试了一个直角三角形，不行，立马去想还有没有其他的直角三角形啊。在这里这个垂线做出来原因是什么呢？哎，因为这个地方已经有两个九十度角了，所以构造一个矩形也是很正常的一个辅助线， 所以应该大胆尝试，才能够找到它的用法。好了这个题目，这样我们就分享到这里。
132济南数学潘林倩
03:17查看AI文稿AI文稿三角形 a 比 c 是 等腰三角形顶角角 a 为一百二十度点 e 在 边 a b 上，点 f 在 边 a c 上， 且 c f 始终等于两倍 a e， 那 么我们就设 a e 为 a c， f 就是 二 a。 接下来做 a h 垂直于 a c， 连接 h e h f ef。 先看第一问， h e 和 ef 有 什么样的数量关系呢？ 因为顶角为一百二十度，所以可以求出底角角 c 等于九十度，所以角 e a、 h 也等于三十度。 在直角三角形 a、 c、 h 中， c h 等于两倍的 a h。 加上题目给的 c f 等于两倍 a e， 那 么三角形 a、 e、 h 与三角形 c f、 h 相似，那么角 a h e 与角 c h f 相等，也就是角 e h f 等于角 a h c e h 比 f h 又等于 a h 比 c h， 所以 我们得到三角形 e、 h、 f 与三角形 a、 h、 c 相似， 所以 h e 比 ef 等于 a h 比 ac 等于弹性，它三十度等于三分之根号三，再来看下一问，延长 f e 至点 g， 使得 e g 等于 f e 连接 a g， 告诉我们 ab 等于六， a g 等于二倍。根号七，求 a e 的 长是多少？ 根据条件， e f 等于 e g， 那 么 a e 就是 三角形 a f g 的 中线， 所以我们想到了被长中线，那么我们就在 a b 上取一点 p， 使得 e p 等于 a e， 然后连接 p f， 那 么三角形 a e、 g 与三角形 p e、 f 全等，那么 f p 等于 a g 等于二倍。根号七， 又因为 ac 等于 ab 等于六，所以 af 等于 ac 减 cf 等于六减二 a。 接下来我们做 f q 垂直于 ab， 因为角 b a、 c 等于一百二十度，所以角 fa q 等于六十度，那么在直角三角形 af q 中， a q 就 等于三减 a， f q 等于根三倍的三减 a， 那么 p q 可以 表示为三加 a， 因此在直角三角形 f p q 中啊，可以利用勾股定律列出方程，这样我们就可以求出 a 等于一或者是 a 等于二。
54创小新
05:23查看AI文稿AI文稿你有没有想过，一个两千多年前的测量工具，今天能让中考数学题活过来？二零二六年山东省中考数学第二十一题，考的是聚盘带阵算学初稿里记载的古代测角工具。这道题一出，多少学生在纸上画了半天，连举盘长什么样都没搞明白， 就开始算仰角算正切了？但如果我告诉你，现在用 ai 技术，三分钟就能生成一个举盘的三 d 动画模型， 学生可以亲手旋转对齐视线，读取刻度，看到角度是怎么被测出来的。你还觉得数学只能靠想象吗？先说个残酷的事实，第二十一题的失分率，历来在山东中考里排前三，不是因为计算难，而是因为学生根本没见过举牌。题目给了平面视域， 有正方形 a、 b、 c、 d， 有 左举，右举有铅垂线，有角度盘、举尺盘，这些词堆在一起，学生脑子里是一片空白。 他不知道铅垂线为什么能保证举盘数值，不知道左举右举对其视线意味着什么，更不知道举尺盘读数和角度盘读数之间的几何关系是怎么来的。你让他画图，他画不出来，你让他想象，他想象不了。 这不是学生的问题，是教学工具的问题。一道考综合实践的题，课堂上从来没有实践过，这不是讽刺吗？这就是 ai 赋能教学的切入点。我最近用 ai 建模工具复原了这道题里的举盘，不是平面图，是可交互的三 d 动画模型， 正方形 a、 b、 c、 d 的 框架，左举 ab， 右举 ab， 可以 绕点 a 旋转铅垂线 ag 始终竖直向下，模拟重力效果。当你把左举对准目标方向，举盘自然倾斜，铅垂线在角度盘上划过一个弧，焦点刻度就是仰角， 举齿盘上 d e 的 长度就是正切值的分子，学生可以亲手操作拖动。左举对准城门楼顶端，看到角度盘时针从零度跳到三十一度， 看到举齿盘读数从零跳到六。这一刻， ten 三十一度等于 vsh， 六十等于零点。六不再是一个需要记忆的公式，而是一个他亲眼测出来的结 果。更关键的是，第二十一题第二个难点，左举与视线 m e 重合和右举与视线 n e 重合的两次测量，在三 d 模型里就是两次操作，站在 a 点对一次 到 c 点对一次。学生看到的是两个不同位置的举盘姿态，以及铅垂线在两种情况下的不同偏转角。空间关系的认知从文字翻译变成了视觉直觉。 我要明确说一个观点， ai 赋能教学的本质不是让老师被取代，而是让学生不再被迫用空白想象去理解本该看到的东西。 新课标义务教育数学课程标准明确要求重视信息技术与数学课程的深度融合，利用现代信息技术手段丰富数学教学。注意用的是丰富，不是辅助。这意味着信息技术不是锦上添花，而是教学设计的有机组成部分。 举盘这道题就是新课标精神最典型的考法，他考的不是死记硬背，而是学生在真实情境中的数学建模能力。但现实是百分之九十五的课堂里，这道题的教法还是老师在黑板上画个示意图，学生抄下来，然后开始列方程， 实践变成了纸面，建模变成了刷题。 ai 三 d 模型的意义就是把这个过程倒回去，让学生先操作、先观察，先感受阳角是怎么被测出来的，再从操作中提炼出数学关系。先有直观，再有抽象，这是数学认知的底层逻辑， 也是新课标想推动的方向。最后，我想给所有数学老师和教育从业者三点思考，第一， 不可见的知识必须用技术让它可见。聚盘、侧角仪、经纬仪这些测量工具在课本里只有平面图，但学生对空间关系的理解，依赖的是三 d 经验。 ai 建模的成本已经低到几分钟可以生成一个交互模型， 这不再是有没有条件的问题，而是愿不愿意改变的问题。第二， ai 赋能的核心不是炫技，是缩短从直觉到抽象的距离。不要为了用 ai 而用 ai。 一个三 d 模型的价值不在于他多精美，而在于他是否帮学生跨越了看不懂图、理解几何关系、建立方程这个链条中最卡的那一环。举牌模型解决的就是看不懂图这一环，这是最底层、最关键的认知障碍。 第三，未来的中考命题方向只会越来越情境化。山东这道举盘题不是孤立，全国各省市中考都在加大数学文化加实践操作的比重。如果课堂上不补上时 见这一课，学生在考场上就只能靠文字翻译和猜图，而这恰恰是新课标最不想要的。两千多年前，带朕用巨盘丈量山川。二零二六年山东中考把巨盘搬上了试卷，而今天， ai 让每个学生都能亲手拿起巨盘。 技术不改变知识本身，但技术改变学生抵达知识的方式，当看见变得容易，理解就不再遥远。这就是 ai 赋能数学教育的意义，不是替代思考，而是让思考有起点。
1508爱咖啡数理大猩猩【播客】
29:09查看AI文稿AI文稿要搞定济南的这道题呢，总共需要具备三个重要技能。第一大问需要涉及到面积的处理，咱们先来看这个，首先啊，在一个函数题中，处理面积主要有两种思路，你要明确。第一种思路呢，就是我代公式去表示这个面积， 比如说已知了一个三角形， a、 b、 p 的 面积等于六，那么你可以通过公式表示这个等于六的面积，最终把它变成一个线段的条件啊，变成一个线段的条件，这是一种思路表示，那么还有一种思路呢，就是转化。然后呢，咱们先说表示的常规思路，表示呢， 有哪些方式呢？就比如说最简单的底边是水平线或者竖直线，那么你表示它的面积呢，你就直接做高底乘高就可以了， 这样很好算，原因是它的底边是横线，所以呢，底边用 a、 c 的 坐标很容易表示出来， 而它的高呢，对应的就会是一个竖线，竖线呢，也很容易用坐标的叉表示出来，总之你会发现面积有横竖边，它的面积就会很好求，所以我们就去找横竖边就好了。但是有的题它是不规则的图形，不规则的图形，那这时候你没法直接算，需要咋办呢？ 不规则的图形呢，需要你去割补，那么割补的时候咋割补比较好呢？注意横竖线会让面积更好算，所以我割补的时候，我们就可以考虑做横竖线，比如说过 e 做垂线，过 f 做垂线， 你就把这个四边形的面积变成了两个横竖直角边的三角形和一个上底下底高都是横竖线的梯形。总之横竖线组成的这些图形面积就很好求，这个就可以轻松搞定。所以呢，我们的想法就是 有横竖边的三角形，直接找横竖边为底，然后呢，不规则的图形，我用割补法割补的时候呢，用横竖线去割补， 面积都会很好求，这是面积的基本表示思路。那么有的时候呢，你会发现，有的面积呢，他就是没有横竖边，比如说我们在坐标系中，经常会看到三条边都是斜线的三角形，这种面积怎么求呢？有一个公式，这个公式叫做二分之一，水平关键值高。那么我们这里呢，稍微说一下这个公式是怎么来的， 其实水平宽千垂钩公式，它就是通过割补法处理这个面积得到的。现在这个三角形呢，它的三条边都是斜线，斜线面积就不好求，所以这时候咋办呢？我们可以想着去做一个横竖线， 比如说过 c 做竖线，你就把这个三角形分成了两部分，而你会发现这两部分面积，这两部分面积呢，都有 c、 d 这个数值的边，那么它的面积就会很好表示。我们在左边的三角形做 c、 d 的 高 h 一， 在右边的三角形也做 c、 d 的 高 h 二。哎，你就会发现，这个三角形面积直接就能用横竖线表示了。 左边的面积二分之一 c d、 h， 右边的面积二分之一 c、 d、 h 二。整理一下，二分之一 c、 d 乘以 h 一 加 h 二， 要不然这个面积就很轻松地用横竖线段表示出来了。好，表示出来以后呢，你会发现 c、 d 这条竖线，咱们且不说 h 一 加 h 二，你有没有发现 h 一 加 h 二加起来正好是 a、 b 坐标的什么？其实它正好是 a、 b 点横坐标的差。 怎么想呢？很简单，你过这三个点分别做竖线，你做完竖线以后，你就会发现， h 一 对应下面这节小线段，就这个，然后 h 二呢，对应这节小线段， h 一 h 二对应了下面这两节线段以后呢，你会发现，它们两个拼起来， 拼起来就是 b 点、 a 点的横坐标差，所以呢，我们可以得到这个面积，它是二分之一， b 点 a 点横坐标差，再乘以 c、 d， 然后在这个式子里面， b 点、 a 点的横坐标差， 就是这两个点的水平距离，叫做水平宽，水平距离叫做水平宽。两个点的横坐标差，水平距离叫水平宽。 而过第三点的这条铅垂线，这条竖线它是一个铅垂线，铅垂线，然后呢，这个东西叫做铅垂高，这就是水平宽铅垂高的来历，其实本质上 就是用横竖线去割补这个面积。得到的好公式。理解了以后，这是对面积的表示，就是以后你看到坐标线里面的面积有横竖边的三角形，直接做横竖边上的高，如果是不规则的图形，直接想割补，比如说四边形，直接想割补， 然后呢，再来呢，如果是三边都斜的三角形，你就可以用这个水平宽千垂高来直接算，本质还是用横竖相隔五。理解了怎么表示以后，接下来我再稍微说一下，有的时候呢，有的题目给你的面积呢，你直接算不好算，我们还可以想面积的转化， 所谓的面积转化啊，其实就是利用面积之间的关系来得结论。我们比较常见的几类面积关系呢？比如说 这个三角形底边的比是二比三，那么你可以得到啥呢？你可以得到这两个三角形的面积也是二比三， 这是一种面积关系和线段关系转化的思路，叫做底边比等于面积比。这个东西有啥用呢？这个东西有啥用呢？我给大家举个例子啊，就是咱们经常在函数题中遇到啥问题呢？比如说这是 d， 这是 a、 b、 c。 有 的题它会让你去求一个 s 一 比 s 二，你知道了底边比面积比以后，你会发现这个面积的比直接可以变成什么？求 s 一 比 s 二，它直接可以变成求 ab 比 bc， 就 相当于我用底边比面积比，直接把面积的关系变成边长线段的关系， 面积总是比边长要麻烦嘛，那所以我就简化问题了，就好做了，这是通过面积的关系直接转化这个所求好。那类似的还有啥呢？如果给你两条平行线， 给你两条平行线，那么 pbc 的 面积和 qbc 的 面积是什么关系？平行可以得到这里面 s 三角形 pbc 等于 s 三角形 q、 b、 c， 这是平行得等面积啊，就大家小学就学过的拉窗帘学过的这个 平行线共底三角形面积相等这个东西在函数题中经常怎么考呢？来我给大家变一下形啊，这个东西咋考？他可能会直接告诉你，三角形 p、 b、 c 等于 s 三角形 q、 b、 c 两个共底的三角形面积相等，他直接告诉你这个就可以推出我们的 p、 q 和 bc 是 平行的。原理是啥呢？因为面积相等，底相等，所以呢，你会发现你分别去做这两个三角形的高，你会发现这个 h 一 和 h 二是相等的， 垂线相等，那么你这时候一定能证出来上下是平行关系，垂线相等能证出平行关系，由面积关系直接得到了平行。而各位坐标系中两条直线平行有啥用？注意啊，实际做题的时候，这两条线通常是斜着的，平行有啥用？ 这个平行其实就可以带来斜率， k 是 相等的，看这种都是通过面积的关系直接得到线的关系。那最后呢，还有一种啊，还有一种，有的时候呢，它会告诉你，这样啊，就告诉你说这有一个 abc， 就是 告诉你 s 三角形 a， d， e 等于四比九，这两个面积等于四比九，然后我就告诉你 bc 平行于 d e。 各位这时候可以利用什么去转化这个面积的关系？是不是可以利用那个面积比等于相似比的平方？因为平行这其实是个 a 字相似，我相当于给的是 a 字相似 三角形的面积比，所以这时候呢，我们就可以推出相似比等于二比三，你的 bc d、 e 是 二比三的关系， 那接下来利用这个二比三的线段去做题，也会得到简化。总结下来就是，这是咱们比较常用的三类面积关系啊。三类面积关系，第一类呢，是告诉你同高三角形的面积比，你可以得到底边比，同高三角形高，相同的三角形面积比等于底边比。 第二种呢是共底三角形，共底三角形面积相等，那么我就可以得到高相等得平行线，得平行线，平行线会带来 k 相等。 第三种呢是有相似，告诉你面积比，相似有面积比，那就可以直接得到相似比啊，三种 直接把面积关系转化成线段关系的思路。这三种会了以后，咱们来看一下济南的这道第一问，这是他的第一大问的第一小问啊， 第一小问呢是送分的，我也不跟你说了，你反正代入就可以求出解析式。然后呢，顺便的 c 和 b 点的坐标也能标上啊。第一问送分的，然后接下来咱们主要看第一问的第二小问， 就是还是在刚刚这个算出来的表达式的前提下，表达式是已知的。现在呢，他告诉我们说有一个点 f， 这个 f 知道啥呢？知道它到 x 轴的距离是 h， 然后呢告诉我们说这个阴影三角形的面积等于两倍的 h， 然后接下来呢说 a f 上方的抛物线上有一个点 e， 然后呢点 q， 是 平面内的一点，然后呢，搁这做了个啥呢？搁这做了个平行四边形， 做了平行四边形，让你求这个平四面积的最大值。首先这里呢，咱们一步一步来啊，你会发现它上面呢，先给了你一个面积的条件啊，这个面积的条件就是这个三角形面积等于二 h， 那我肯定得先通过这个面积去算出来点啥东西，对吧？我得看看啥能往出算。 算出一些东西以后呢，再去考虑这个四边形，否则的话，这四边形里面只有 a 点已知，其他点都不知道，你也搞不了。所以接下来呢，咱们先想这个面积的条件怎么用，那这个面积的条件无非就是两个思路嘛，面积条件无非就是表示或者转化。那么这道题怎么去做呢？ 其实我自己做的时候啊，我第一反应去表示了，但是呢，发现表示的过程很麻烦，虽然最后我也算出来了，但是那个计算的过程很繁琐， 所以呢，我今天先不给大家讲表示的思路，如果一会听完转化的思路，大家还有兴趣，我们可以聊一下怎么去硬算。然后咱们现在呢，先说转化的思路，其实这道题想转化的思路是很合理的，就你会发现这道题的条件给的很刻意， 他告诉你这个三角形的面积是两倍的 h， h 是 个啥呢？是 f 到 x 轴的距离，距离面积你想到啥了？距离面积想到啥了？ 距离就是垂线，其实就相当于是个高呀，对不对？所以这道题其实已经在暗示你了，这个二 h 肯定是某个三角形的面积，这个 h 肯定跟某个三角形的面积是有关的，那我们这时候就可以找一找这个 h 它对应哪个三角形的高。哎，那你会发现要面积等于二 h 高是 h， 二分之一底乘高，那底是不是应该是四呀？ 二 h 对 应的底应该等于四才对。来，各位看一看 h 垂直的 x 轴上有没有四，其实你顺着这个方向想，很容易就找到了这里 ab 就是 个四， 啥意思呀？ h 是 高， ab 是 四，所以我会发现我的三角形 abf 它就是二 h， 所以 各位这个条件实际上想告诉你什么？实际上它就是在说三角形 daf 的 面积等于三角形啥呀？ 等于三角形 b a f 的 面积。告诉你这个面积其实再想一步就是啥，你会发现就是阴影三角形的面积和这个棕色三角形的面积相等，而这两个三角形又有公共的底边 a f， 所以 可以正出啥呀？是不是就可以正出这个斜线？ b c 和我们的 a f 是 平行的，由面积相等推出了一个平行，而各位，平行啊，平行，咱们知道是 k 相等，对吧？ 那你会发现 b 点 c 点坐标都知道，那 bc 的 直线表达式是不是直接求了，它就是负 x 加三，所以你的 a f 的 k， a f 的 k 也知道了，等于负一，它俩 k 相等， 而 af 上面还有个已知点 a 什么就求出来了，是不是 af 的 表达式你就能直接算出来了，所以它的表达式可以求出来，就是负 x 减一， 这的逻辑就是看到这个面积想到了二 h 对 应一个三角形，那么你会发现实际上给的就是阴影三角形和黄三角形面积相等，而这个面积相等底相同，就带来了平行线， 而各位这个平行线最终带来 k 相等，帮我们求出了 af 的 表达式。如果这套逻辑没问题，诸位，你说 af 的 表达式都求出来了，那么什么就可以算出来了？你的 f 在 抛物线上，你的 f 同时又在 af 这条已知直线上， 所以你这个 f 作为一个焦点坐标是不是直接能算出来了？哎，所以通过连力 f 坐标就搞定了，这就是这个面积条件的处理。二次函数表达式和这个一次函数的表达式一连力，哎， f 坐标就能算出来， 我就不算了啊，答案是四负五。那么到这为止呢，就是完成了上面这个面积条件的处理啊， 得了，等面积得了，平行平行得到 a f 表达式，搞定了 f 的 坐标，当 f 的 坐标算出来以后，家人们你再去审视这个平四的面积，是不是就好处理多了， 是不是就变成了我们特别熟悉的问题了？你会发现这个平行四边形里面 q 点的是平面内的一点，其实都是没条件的。那你想要求这个平四的面积怎么求？平四是不是连个对角线就得一半了？所以接下来呢，我们就想着连个对角线算三角形的面积就行了。 那你 q 是 平面内的点，没条件你最好别带它玩嘛。所以肯定是连哪个对角线了，是不是铁定是连 e f， 把平四面积变成两个三角形面积， 而各位变成两个三角形面积以后，这个阴影三角形面积怎么玩？这是不是都做烂了？你但凡做过点坐标系里的面积你都见过，这个图标准的要用水平宽铅垂高算的面积，是不是？这接下来就容易了？我看到 a 点坐标已知， f 坐标已知，所以水平宽就是四，减负一是个五， 铅垂高就是过第三点做个竖线，所以得到 s 三角形 a， e f， 他就等于啥呀？他就等于二分之一乘以水平宽，五再乘以铅垂高 e j， 那 你发现带回去平四面积等于五， e j 就 出来了，把平四分成两个三角形，然后呢？我看条件多的左边三角形 啊，左边三角形一表示，发现最终就是求一个 e j， 然后呢？求 e j， 那 就简单了， e j 的 最大值咋求呀？直接纵坐标叉就行了嘛。我就设 e 点坐标，横坐标设个 m， 纵坐标往表达式里面一带就有了， 那这点呢？这点的横坐标跟 e 点一样，是不是往这个 a f 表达式里面也一带，然后就得到它的坐标是长这样的， 那 e g 的 长度就是纵坐标做差，纵坐标做差减完了，就是这么个式子，纵坐标做差得到它 配方，那你就会发现 e g 的 最大值是啥？ e g 的 最大值是四分之二十五，带进去 四边形面积最大值。搞定好了，这就是第一大问的整个思路，来，我们一起来重新串一遍啊，大模块就是两块啊，第一块 给了一个面积的关系，我们想着去用它，怎么用的呢？想到了面积的转化，哎，我们发现这个 f 它到 x 轴的距离就是高，哎，然后呢，由这个高呢，我们想到了去找面积等于二 h 的 三角形， 然后就发现这个三角形的面积，这个绿三角形的面积和紫阴影面积相等啊，由这个面积相等呢，就得到了平行，平行呢，进一步的就帮我们得到了啥呀？得到了 af 的 表达式，这是第一大步 对这个面积条件的处理，通过 af 表达式呢，相当于 f 的 坐标就搞定了，这是第一大步呢，你要去处理这个平四的面积， 平四的面积呢，我们直接算不好算，然后呢，所以这时候想到了连对角线，把它变成两个三角形的面积，那这里连谁呢？通过连 e f 把它变成两个绿三角形面积，选它呢，是因为 a 知道， f 知道， 那么只有一点在抛物线上动是未知的，所以这个三角形面积呢，我们有办法处理。然后这时候呢，我们发现 这个三角形的面积三边都斜，所以想到了可以用水平宽铅垂高，水平宽铅垂高完了以后就是水平宽是五铅垂高是 e j， 三角形面积就是二分之五倍的 e j， 带进来就得到了四边形面积是五 e j， 所以呢，我只要求 e j 的 最大值就可以了， 而 e g 的 最大值那就简单了，配个方就完事。就是干了这么点事，其实逻辑不复杂，主要的点在于这里要有转化面积的意识。看到题目提示你 h 是 个高，你要想着去找高对应的面积来转化，想不想听一下硬算的思路，但是这个计算量可能有的小伙伴会觉得头疼， 但是我觉得应该讲一下，因为刚刚这个方法呢，其实还是有一点依赖于人家给你的提示，而且这个想法说实话，我感觉是稍微有一点点飘逸啊，稍微有一点点虽然也能解释的通啊，我看了人家这个思路以后，也立刻就明白了他的设计的原理， 但是总担心在考场上自己想不到这种做法。所以呢，我们来聊一聊怎么去硬算。硬算的思路我就不去讲详细计算了啊，我们大致看看思路，如果你要通过硬算来解决刚刚这道题，哎，我先说明一下啊， 咱们所谓的通过硬算来解决啊，其实主要指的是对上面这个条件的利用，接下来这个平四面积最大值和这个 e j 最大值的处理，跟刚刚这个方法是完全一样的啊。所以呢，我只讲到通过硬算把 f 坐标搞出来， 相当于就是只是讲第一步怎么算啊，那第一步怎么算呢？首先大思路是啥？我们说了给你面积的条件，一种想法是转化，还有另一种想法呢，就是去 表示，所以接下来咱们要讲的是如何通过表示来处理这个面积的条件。首先我们来聊一下含餐计算的注意事项，初中的含餐计算最关键的是什么？要 敢操作，家人们要敢操作。其实你面对的那些计算思路都是很常规的，很少遇到非常飘逸的，你见都没见过的计算思路，都是些很简单的想法，只是因为带参数了，所以很多小伙伴不敢往下算，导致卡在那了。那当然了， 因为他加参数了，所以他的计算难度呢，也会稍微高一点啊，但是你要最终肯定还是要达到这个计算难度呢，也会稍微高一点啊，但是你要最终肯定还是要达到这个计算难度呢，你迟早得练。 所以说第一步解决，敢操作，接下来第二个呢，就是通过多练习去把计算能力提升上来，这是大方向。然后呢，除了这个大方向呢，我再给大家讲一个含餐计算的常见的小技巧，就是有一类含餐计算会用到这个技能，就是说对于任意的 m， 始终有这个式子等于零，那么让你求 t 的 值给你这个式子等于零， 对任意 m 都成立，那 t 的 值怎么解？那么这种呢，我们说过啊，其实他有一个处理思路，就是我可以对这个式子进行英式分解，你给他的前面提一个 t， 就是 二 t 加三， 你给他的后面提一个二 m， 就是 二 m 倍的二 t 加三，你提完式子以后呢，你换他就变成了 t 加二， m 乘以二， t 加三等于零。然后接下来注意啊，因为 m 是 一个任意的值， m 是 任意的值，所以左侧这个式子是否等于零是不确定的，它相当于是一个可以变化的量，你想让这个方程横乘立，让它始终等于零，它这边是没法始终满足的，哎，那接下来你会发现，你只要满足什么就行了，是不是只要满足右边等于零就可以了？ 由这个等于零，我就推出了 t 等于负的二分之三，这是处理这种等式始终成立求参数值的一个思路。 m 是 任意值，我只要因式分解完了以后，你就会发现其中含 m 的 式子，它的值是变化的，那我就只能让另外一个不含 m 的 式子取零， 于是就得到了 t 的 值。这个思路懂了以后呢，我们手里拿着这个三角形，面积是二 h 的 等式， 然后呢，我就发现啥呢？我就发现其实这个 h 是 个啥呢？这个 h 就是 f 点的纵坐标，就是 f 点的纵坐标，取了个相反数。 而这个三角形的面积呢，我也能用 f 点的坐标去表示，因为它三边都斜嘛，所以这个三角形的面积，咱就可以用水平宽铅垂钩去给它表示一下。 所以接下来呢，我们就想着，右边用 f 坐标能表示，左边三角形面积也能用 f 坐标表示，我就把它们都表示一下，水平杆铅垂高的话呢，我就过地做竖线。然后呢，接下来我设个 f 坐标，那么你会发现你的 h 的 值是不是就出来了？算了，我写在图里面啊， h 的 值就出来了， h 的 值，这条线段等于啥呢？这条线段呢，其实就是 f 纵坐标的相反数， f 方减二， f 减三，然后接下来这个三角形的面积呢？三角形的面积呢，就是水平宽， f 减负一，水平宽啊，这节水平宽， 这角水平宽的长度是个啥呢？水平宽就是 f 和 a 的 横坐标差，所以这个水平宽减完了以后，是 f 减负一，就是 f 加一， 而铅垂高呢，就是 d n， 所以 这个等式表示出来就是啥呀，二分之一乘以水平宽， f 加一乘以铅垂高， d n 等于两倍的啥呀？ 两倍的 f 平方减二， f 再减三，这个等式表示出来以后，各位看着很恶心，但是你有没有发现这个式子，这个式子其实是能化简的呀？来，我们注意到它的右侧这个二次三项式是不是显然是可以十字相乘的？ 这玩意十字相乘完了是啥呀？他们是两倍的 f 加一乘以 f 减三嘛？两倍的 f 加一乘以 f 减三，那你会发现它两边都有 f 加一好了，那你会发现这两个 f 加一，它是不是可以直接约掉？ 所以呢，得到了 d n 就 等于四倍的 f 减三，就是硬表示，当这一步表示出来以后啊，你会发现，你的 d n 是 不是就是接下来的处理的核心了？ 你肯定得把 d n 这条线段搞一搞了，对不对？而要搞 d n 这条线段的话呢，人家告诉你点 d 在 一个已知的直线上，那你可以怎么玩？其实这跟咱们常规的水平观测高想法是一样的，你把 d 点的坐标设出来就好 啊，所以接下来我们想到了可以设 d 点坐标，设 d 点坐标呢，就相当于有了 n 点的横坐标，所以接下来呢，我要去表示 d n， 只要搞定 n 点的纵坐标就行了。 而家人们搞定 n 点的纵坐标需要知道啥？是不是需要知道 a f 的 表达式？ a 点是已知的， f 虽然未知，但是 这个 a f 的 表达式其实是可以表示出来的，你就直接用待定系数法去算就行了，你就直接设设 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你就带入去算就完了啊，肯定能解。零等于负， k 加 b 得到就是 b 等于 k， 这个带进来以后呢，就是负的 f 平方加二 f 再加三等于啥呢？等于 k， f 加 b。 你 这玩意其实是可以把 k、 b 都表示出来的，是可以把 k、 b 都表示出来的， 表示完了以后，甚至你会发现又出现了可以约分化简的，像最终的这个表达式可以写成这个样子，表达式里面 f 相当于是个参数，表示完了以后长这样。 这一步是对初中生而言最难的一步，虽然在高中属于常规操作，在高中这个计算甚至都有点看不上的感觉，但是对初中生而言，这一步 a f 表达式没练过，是真不敢往出写啊，这也是硬算最恶心的一步， af 的 表达式你要敢往出算就这里啊，你不要去纠结自己具体怎么算出来的啊，你只要知道思路就行了，就是这种复杂计算，你现在主要要听思路，具体怎么算出来你下去自己试，方式就是待定系数法， af 坐标带进去，那么表达式肯定能搞出来，搞完了以后，好朋友们， n 点横坐标是 d， a， f 的 表达是已知，所以是不是把 x 等于 d 带进来，所以 n 点的纵坐标就出来了，就是这一坨。好了， n 点坐标有了 d， n 的 长度就是纵坐标减去纵坐标，那这时候你换 d， n 的 长度呢，就是 d 点的纵坐标，负 d 加三， 减去啥呢？减去一个 n 点的纵坐标，减去这一坨，然后呢，减完了以后就变成了这我改一下啊，这好像写错了，减三加 f， 变成了一个减三加 f， 纵坐标差两个一减，减去三减 f 位的 d， 然后呢，减三再加 f， 减三再加 f 啊，得到的结果就长这样。这个式子我们是可以去进行一个化简和整理的，化简整理完了以后呢，就得到了这一坨， 看到一个这样的多项式，我们就可以试着去对它进行一个因式分解，那你会发现它因式分解完了长啥样呢？它因式分解完了以后，其实就是 f 减四乘以 d 减三等于零。有了这个式子以后， 我们来想一想怎么处理啊？那现在这道题相当于告诉你啥呢？它告诉你点 d 是 bc 上的动，点 d 在 bc 上动， 然后呢，这个点呢，在运动的过程中，相当于 d 的 值是不断在变的，对吧？ 然后呢，在变的过程中呢，始终要满足三角形面积等于两倍的 h， 也就是说 d 不 管怎么变，等式得成立。 上面这个等式一步一步推下来，其实就是下面这个式子，对于任意的 d 都要成立， 因为 d 是 个动点呀，他的横坐标可以取任意值，是不是再说他对任意的 d 都要成立，对任意的 d 都要成立呢？这个东西他不一定等于零，那我只能让谁为零，我只能让左边这个式子为零，所以 f 等于四就算出来了， 这就是硬算的思路，其实就是应用水平宽铅垂高去算，想法就是设个 f 坐标，设个 d 坐标，设了 f 坐标呢， h 能表示出来，三角形 d， a， f 的 面积能表示出来， 然后接下来呢，把 d、 n 一 表示，我就可以得到这样的等式，进而利用这个两式相乘等于零，一个是变量不能恒为零，让另一个等于零， f 的 横坐标就解出来了，我第一次做就是这么算出来的啊，所以计算这种事情啊， 朋友们，我再多说一句，就你上了高中以后，你会发现很多题你自己算的时候搞不出来，你听别人讲思路也不过就那样，所以愈发的需要大家在平时注重计算的练习。就这种题的硬算思路， 你其实应该自己下去尝试着算上几遍。计算这件事情呢，是一个很典型的越练越强，你越不练你就越费，你越练你就越强的一个东西。就计算一定要多练，尤其是出身高的朋友，各位， 这会是你初中和高中做题时候感觉差异最大的一块，高中绝大多数计算是含餐的，一定要多练，把这些听起来会但实操出问题的计算的多练，反复练，然后你最终才能去轻松的驾驭高中的考试。
138胖叔初中数学
05:16查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是大头老师，今天我们来看二零二六年济南中考数学第二十四题二次函数压轴题。我 这里有一份真题资料，如果你家孩子需要提升，关注评论区，打六六六，我免费送给你。我们简单过一下题目，二次函数 y 等于负 x， 平方加 b， x 加 c 与 x 轴分别交于 a 点和 b 点， a 点已知 b 点在 a 点右侧，与 y 轴交于 c 点。下图所示，我们先做一下第一题， 求函数的解析式，以及求出 b 点的坐标。这个时候我们把 a 点还有抛物线经过的二三点代入，可以求出 二次函数的解析式，让我们求 b 点， b 点的话是令 y 等于零，可以得到 x 等于三，所以 b 点坐标是三零。 ok， 我 们看一下第二小问， f 点是 b 点右侧抛物线上一点，也就是在 x 轴的下方 啊，它到 x 轴的距离是 h， 同时呢，直线 bc 上有一点的满足 s， 三角形的 a， f 等于二 h 啊，点 e 是 动点，他问 a， e， a、 f 为邻边做平行四边形，这个平行四边形的面积的最大值是多少？首先我们来分析一下这个题目， 平四边形 a， e， g， f 的 面积，我们可以给他区分一下啊，分成 a， e， f 和三角形 e、 f、 g。 所以 我们只需要表示出三角形 a， e， f 的 面积，就可以表示出整个平四边形的面积。 要表示三角形 a， e、 f 的 面积，那我们就要研究 a 点、 f 点还有 e 点的运动情况。其实我们可以比较清楚的发现， f 点它实际上是一个定点， f 到 s 轴的距离是定值 h， 那 a、 f 这条线它是固定的值，三角形 a 的 f， 它的面积是二 h， 它是一个斜三角形，所以它的面积表示的方法比较多样，我们一个一个来看。第一种我们可以用牵捶法 来计算三角形面积，第二种呢，是平行线等级变换法。第三种就是我们更为常见的割补法。这个题其实非常明显，我们可以用啊切水法来计算，为什么呢？我们来看一下从 a 点啊到 f 这里的水平宽，它实际上是一个固定的啊，我们可以通过计算来求的。 另外，铅垂高得到 a f 的 数值距离也是可以表示出来的。这个时候我们设 f 点的坐标是 m， 逗号负 n 的 平方加上二 m 加三 bc 所在的直线，我们可以表示出来， y 等于负 s 加三，这个时候我们来表示得点坐标啊， t 逗号负 t 加三，你会发现铅垂高得到 a f 的 数值距离，它实际上是一个关于 t 的 关系式，所以三角形 a， d f 的 面积就是一个关于 t 的 关系式。乘上 水平宽，也就是 m 加一括号，它再乘上二分之一啊，就等于二 h 这个地方，我二分之一就不写了，放在前面关于 t 的 一个式子里面。此时呢， h 也可以用 m 来表示，也就是 f 点的 纵坐标的绝对值。在这个式子当中啊，它是一个 t， 关于 m 的 式子， t 是 得点的坐标，它是一定会变化的，而 m 它是不变的，得是动点啊， t 的 变化，那如果让这个式子横成立的话， 那无论 t 取何值，它都不会干扰到这个式子。 a f 又是一个定长，那所以得点到 a f 的 距离始终是不变的，注意，我说的这个距离是垂直距离， 所以这会我们就可以知道的点所在的直线 bc 啊，他就平行于 a f， 也就是我们第二个方法啊，平行线等记法，注意，平行线等记法不能直接用，因为我们是给他推出来的，那平行的话就好做了。 ok， 我 们来写一下这道题。 s 三角形得 a f 等于二 h， 它是一个定值，与得在 b c 上的位置无关，并且三角形得 a f 是 以定线段 a f 为底，所以得点到直线 a f 的 距离横定 啊，所以我们可以推出来 a f 平行于 b c， 就 因为 k b c 的 斜率是负一啊，所以 a f 的 斜率也是负一，这个时候啊，我们就可以把 a f 所在的直线给求出来，此时我们再连立 抛物线和 a f 所在直线，即可求出 f 点的坐标。我们刚才说过了啊，平行四边形 a e、 g、 f， 它的面积就是用三角形 a、 e、 f 来表示，那三角形 a、 e、 f 的 面积怎么求呢？也是用到的铅垂法， 我们可以把 e 点坐标给设出来，这样的话， e 点到 a f 的 数值距离就可以知道了。能够 e 点做数值线，交 a f 于 h 点，青春高呢，就是 e 点的纵坐标，再加上 h 点的纵坐标的绝对值，水平宽呢 是 a 到 f 的 水平距离长度是五，此时呢，平行平行的面积就可以表示出来了。 最后我们可以求到一个关于 n 的 二函数，求他的最大值，这个太简单不过了啊，简单求一下，当 n 等于二分之三的时候，他取最大值啊，带进去求一下，最后求的答案呢是四分之一百二十五，关注大头老师，学习不迷路。
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