高一数学必修二立体几何手抄报

两款长度舒适立体手抄。

南海区家长啊，这个学期的时间真的非常短，很多学校都在赶，进度赶得飞快。高一的新课现在已经讲到立体几何的八点四节了， 空间点线面啊，立体几何确实非常难，特别考验学生的空间想象能力啊，对学生来说是个不小的挑战。 这周五上课，我就发现了哈，孩子们做这类题目非常的吃力，尤其是那种没有配图的题目，连图都画不出来，根本没法下笔。所以呢，我专门带着学生画了画三能追，三能助、能抬这些图形，然后呢，让他们去求高，求表面积，求体积， 慢慢熟悉这类图形可能会遇到的计算。其实立体几何里呢，会画图真的非常重要啊，可能学校老师时间紧，很少带大家画图，所以刚刚接触立体几何的同学啊，可能看到这些图啊， 试一试自己能不能画出来啊。好吧，除此之外呢，也有个好消息哈，呃，学校里讲完这张就要暂停上新课的，之前一直都在赶进度，接下来正好啊，有时间把前面的知识点复习一下，比如说三角函数向量减、三角形负数等内容啊，好好的巩固一下， 不复习的话呢，很多知识点啊，都掌握不牢，这段时间算是给大家一个喘息的时间了哈。五一之后呢，高一可能就要进行一个统考，南海区大部分的高中都会参加啊，也请啊孩子们自己重视起来。

二零二七羊年的年月日立体手抄报教程来了， 下单后会提供这些图片，亲们可以根据自己情况选择打印。 视频中展示的是彩图打印效果，一共需要打印三张图，建议亲们选择打印黑白线稿图色后再剪贴，这样效果会更加真实，像自己手绘的。开始做之前，咱们需要准备的工具，剪刀、泡沫胶、活页圈、打孔器、 两张红色卡纸一张蓝色卡纸。下面开始制作。第一步，把每个小图案剪出来。第二步，制作日历部分。先把日历文字部分剪出来，然后红色卡纸裁剪出十二张模板相同的卡片， 再把日历文字和红色卡纸粘贴。 接着用打孔器在同一位置打孔，再按顺序依次摆放，用活页圈穿起来，没有活页圈和打孔器的亲也可以用针线直接装订起来。 第三步，把小图案背面贴上泡沫双面胶，视频中用的泡沫胶是零点五厘米厚的，大家可以做个参考。 第四步，粘贴组装。可以先大致摆一下图案位置，日历部分可以用打孔器在背景板再打一个孔，然后把日历和背景板穿到一起即可，再撕开泡沫胶粘贴就完成了。 最后一起来看看成品效果吧！

立体几何是不是把你给愁坏了？洁面问题真让人头疼啊。别慌，两种办法搞定它。我们来思考这样一个问题，过三个点，怎样做一个洁面呢？嗯，其实就像切蛋糕一样， 一刀下去，把它分成两部分，新形成的这个面呢，就是洁面。 那么该从哪里下刀呢？当然要选择它其中的一个表面了哦。好了，我们来看第一种方法，平行线法。第一步，连接同一个表面上的两个点，得到直线 l， 这就是下刀的位置哦。第二步， 找到阿尔法平面的平行平面北塔，它上面有第三个点，那我们过第三个点做直线 l 的 平行线，它与棱的交点就是新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾相连，然后进行判断。 如果所有的连线均在这个几何体的表面上，那么我们就得到结面了。但是呢，有的连线在几何体内部，那我们就需要重复一二步。 还是这个题，我们用第二种方法，延长交界法，我们还是要找到在同一个表面上的两个点连接并延长。 然后呢，把与它位于同一个表面上的这条棱 d 撇、 c 撇也延长一下，相交于同一个点。第二步，连接点 p 与第三个点， 它与棱 d 撇、 c 撇会有一个新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾连接。 如果所有的连线均在几何体的表面上，那我们就得到结面了哦，如果不是，我们就要重复一二步。留了两个练习，你来试一下吧。

哈喽，同学们好，每天一道数学题，中考高考没问题，咱们今天来讲这个高中数学比较基础的知识点，然后还是立体几何，然后第二个出题方向规则几何体的结构计算， 然后所说的规则几何题，咱们在高中的话基本基本上就是下边几个几类。第一呢是正棱锥，正棱锥的话，那棱锥的话就是比如说这种或者是 这种，对吧？棱锥，然后正棱锥的意思的话，就是它的底面是一个规则的，是一个规则的， 呃，是一个正多边形，是一个规则的图形，然后它的底面是相等的，底面边长是相等的，那底面边长相等，然后的话那它的侧棱相等，侧棱和侧棱相等， 侧棱互相相等，然后底面边长相等， 各自相等啊，各自相等。侧棱等侧棱，底边等，底边就底边是一个正多边形，正四面体的话就四个面都相等，叫正四面体，然后的话侧棱和底边边长都相等，它就是更特殊一点啊，这是正棱锥里边更特殊的 一个，然后的话都是正棱锥里边更特殊的一个，然后的话都是正棱锥里边更特殊的一个，然后的话都是正棱都相等， 所以的话出道这种说他是正棱锥或者是正四面体的话，一定要知道他什么意思，然后才能更好的去解题，对吧？就正棱锥就是底面边长相等啊，然后侧棱等，侧棱分别相等，正四面体就所有的棱都相等， 然后都是正方向，就这个意思，然后正棱台的话就是上边的， 上边的底面是是就是正棱锥的话，截一个面，截一个面，平行于底面，截一个面，然后也就说它上面的这一个边长相等，然后下边的话边长也相等，然后侧棱等，侧棱 好的，然后圆台的话就截圆锥啊，对吧？截圆锥 这种烟台。然后首先的话规则几个题，你要知道它出现的话都是以这个名字来出现的， 你要知道它满足哪些性质，到底是棱长相等还是底边相等，还是都相等啊？就这么个问题，正确的认识这几个概念就可以了。那么它的解析思路的话，基本上咱们解这种空间体的话，就是平面的话就是截面，我去计算截面， 然后正常的话是和这个高相等，然后因为它是正棱台的话，然后这一个上下底面的这个重心 是垂直的啊，这个是垂直的，对，这个点是是可以做垂线的啊。其他的话点这个 a 一 和 a， b 一 和 b， c 一 和 c 是 不是不能做垂线的啊？是一个斜线， 只有这个重心 d 和这一个 abc 的 这一个底面的这一个重心 e， 它是上下可以做垂线的啊。这个点的话是相对来说比较好用的，很多题都是用这个点去过度， 然后整体来说的话就是这一类问题的话，都是把空间计算向平面化，就是取结面啊，取结面，好的，咱们来看一下具体的题吧。 然后这个二零二四年的第二卷，然后三星的三星难度的这么一个题，然后已知正棱台 a b c 和 a b c 体积个数的体积为三分之五十二，然后 ab 是 大变，然后是六，然后 ab 是 二，那大体的图形的话就可以稍微画一下，对吧？ 然后就是上面一个三角形，下面一个三角形， 龙台大体上是这样的，嗯，画的有点丑， 画的有点丑。这边然后的话他说咱怎么做嘞？然后要平面画，对吧？然后要求啥？他要求 a b c a 一 b 一 c 一 啊，然后它要求这个 a a 一 a a 这条线与这个底面 abc 的 夹角，实际上就是和它的底面高点夹角，是吧？高点夹角。 还有那个问题的话，它的这个上底和下底的重心是可以做垂线的， 所以这个很重要，这个是是是一致的，其他的都不对，都不对应，然后只有这一个 e f 了，上底和下底呢？这一个重心是对称的，所以的话，我如果截面的话，我截出来的应该是一个直角梯形， 就这个角呢？正 t 摊着，它 摊着角 a 吧， 就求这个，那肯定的话就是这一个高整体的这个高线除以在这个 a d 啊，所以等于高整体的高除以 a d。 然后由面积的话，他是知道上底和下底的边长的，因为都是正多边形啊，就是正三角形，所以的话我知道上底的面积是可以求的。还是截平面 a b 一 c 一 和 a a b c， 然后上底的话是一个边长，是二， 那面积，因为他知道是体积，对吧？体积的话，人们根据上一个的提供式圆棱台的话，应该是三分之一，上底加下底加上根号，下，上底乘下底乘以高， 那体积知道是三分之五十二，然后三分之一乘以上底， 根三，高斯根三，这三角形上底的这个高斯根三，所以这个 s 一 的话应该等于二分之一，比十二乘高，根三就是根三， 然后 s 二的话是六倍，呃，边长是六倍，那体积的话肯定是九倍，对吧？相似的，然后根号下九，根三乘，根三乘一次 五十二，等于 十三倍的根三乘一次 h， 等于 三分之四的平方。啊，有了 ace 了，然后就差 a d 了，对吧？ a d， a d 的 话，然后咱说了，这一个重心是一致的，我这三个形容重心， 重心的话等于啊，这个长度，这个 f 平面化，我就把它给拆掉，都拆成这个结面，这个 a e 的 话应该等于 三分之二倍的高啊。这个，这个是那个在数学三角形里边，它这个向量里边有一个定义啊，重心的话是三分之上边占二，下边上边占二，下面占一，所以它占三分之二的三分之二，所以是三分之二的 三根三，二根三，二根三，然后这一个的话就是我的 a f， 这 a e 的 话应该等于三分之二倍的平方，三分之二乘以高， 那这一段对吧？这一段 a d a d 的 话就应该等于 a f 减一 等于个二，根三减去三分之二倍的根三，等于三分之四倍的根三， a d 求出来了三分之四倍根三， h 求出来了三分之四倍的根三，所以它是它等一， 这一个算了好多平面，对吧？然后的话还是强调一点，就是截面的问题啊。截面，然后我用来求上底，单独截出来一个正三角形，边长是二，然后下底也是一个边长为六的正三角形，然后截这一个，因为这一个我必须得找一个这个上下对称的 啊。上下对称的，然后是 e f 重心， e f 是 这样子的，那我就可以求这个 a d 是 a d。 好的，这个计算量比较大一点。然后的话最主要的是这一个平面化，立体几何的平面化一定要非常熟。立体几何的平面化， 然后知道它截面的计算，然后把它截成平面，截成了三个平面去计算，相对来说我就知道他有一个条件，可以让位置上怎么过渡，然后重点就是这一个图形更好看一些。这个图形。 好的，这节课就讲到这里，希望对大家有所帮助，祝大家中考高考顺利。然后这一个常见的概念 和比较常见的这个平面化洁面，大家一定要非常熟才可以，然后能够得到这个考试的这一个五分的一个选择题。好，就讲到这里，再见。

hi， 同学们，直线与平面平行的判定定律，接下来语速偏慢，可以加速观看点赞关注哦！什么叫做判定？ 判定的意思其实就是让我们去证明线和面平行，所以当你遇到题目让我们去证明线和面平行的问题的时候， 那么你就要想到直线与平面平行的判定定律，然后去思考该找什么样的条件 来进行解决问题，这是我们做这一块题型的基本思路。那么小陈老师把判定定律的内容分为了这样的四个部分，那么进行拆分，帮助你们进行更好的理解， 以及我们在做证明题的时候应该怎么书写最后的证明过程。那么第一个内容，如果平面外一条直线， 那么这里面我们结合前面学的数学的基本表示形式就是语言符号啊。若平面外一条直线，这是我们在写的过程中不能少的一步，因为它是定力，一步都不能少。那么平面外一条直线，我们设这个直线为 l， 这个平面呢？设为 r， 那 么在写的过程中，如果我们就写成因为 直线外，那么是不是不在平面阿尔法上？然后再看第二句，与此平面内的一条直线， 平面内的一条直线，我们把它设为 m， 那 么因为 l 不 在平面阿尔法上，那么 m 在 平面阿尔法上， 然后第三步平行，就意味着 l 和 m 平行，那么当这三步都满足的情况下，就可以得出我们的结论，就是定力的判定得到我们的 l 和我们的平面阿尔法平行。 好，这就是在我们如果证明出直线与平面平行之后，最后要写的结果，利用定力内容来确定我们写的结果一定正确啊，并且每一步都不能少。 那么从这里面我们再来看什么东西呢？就是看我们真正要做的是什么，那你会发现从这里面发现啊，核心点是什么？是不是主要是为了证明线与线平行？那我们可以得到一个基本口诀，就是线线平行 可以证明线面平行， 这是口诀，那么这个口诀你要记住什么？你要先清楚这个线是指的是平面外的一条直线，那么这个线呢？是指的是平面内的一条直线， 那这样的话通过剪辑同时也把概念理解清楚了，然后就可以推出线面平行，形成一个固有的基本思维。然后我们再来考虑下一个事情，就是证明直线与直线平行。那么问题来了， 平面外的一条直线是题目告诉我们的，但是平面内的这一条直线是不是需要我们去找？所以在核心的基础上，我们又要利用数学思维的基本逻辑引出，我们是要去找 am 在 哪里， 那么怎么去找？那么一定要分析题目给我们的条件， 这个 a 们两点确定一条直线，我们是不是可以利用前面学的基本四十二啊？两个点在同一个平面内的时候，那么这条直线就在这个平面上，那么这两个点 那么也就说我们把它分成找点，那么这个点是不是都是通过题目条件给的去进行寻找？ 这是我们的一个基本思路。那接下来我们再来在这样的一个基本思路下，我们要去证明线线平行，他和哪些知识点有关系？比如说第一个思维模式啊，就是证明线线平行的一个思路。 从小学到高中，我们一直在学习平行线，那么平行线在哪些地方出现过？比如说第一个最经典的就是平行四边形， 因为平行四边形有个性质是对边平行且相等，你可以利用。比如说我们现在的问题是要证明 a 搭和 b、 c 平行， 那我可以去证明 ab 平行于 c 大， 且等于 c 大， 证明它是平行，得到 a 搭和 b、 c 平行 对不对？那这是一种可以得到平行的线的一种方式。那么第二的一种跟平行有关的最经典的是什么？当然是我们的相似三角形。 相似三角形最基本的样子，也是最基本的样子数，就是金字塔模型， 那么我们依然把它标为 a、 b、 c、 d。 那 么怎么去证明相似三角形？那么你都可以考虑到，有些题目如果发生有这样的条件，比如说一个边比另一个边 等于一个比值，那我们是不是就可以通过找点的形式，找等分点的形式去证明这两个边的比值相等，形成相似，得到 a、 b 和 c 搭平行， 是不就可以证明平行的啊？这也是我们在初学的时候主要利用的两个基本的思路，那么当然 思路千千万啊，这两个是我们必须先掌握清楚的，在这样的基础上再散发一些其他的思路进行总结和积累。 那么接下来我们来看一下一个比较经典的基础教学题。 好，我们看一下这个第四题，我们来分析一下它的条件。题目说如图，四棱锥 p、 a、 b、 c、 d 的 底面， a， b， c， d 为平行四边形，哎，我们分析条件一定要一个逗号，一个条件，平行四边形意味着什么？ 是不是就有天然的平行线？同时我们还可以考虑到平行四边形最大的性质是什么，就是对角线平分，平分意味着什么？平分就意味着 有终点，所以你在做之前不清楚题目需不需要这根线的时候，可以用铅笔轻轻的勾画出来，找到最关键的点，这个点我们可以把它设为 o， 当然轻轻的啊，方便你插。那么可以得到一个比例关系，是不是一比二， 因为中点比较特殊嘛，因为它可以正相似三角形，而相似三角形里面最经典的是不是可以引发出是不是所谓的中位线定律，如果不是中点呢？是不是等分点？三角形 其本质是不是都是相似三角形？那么我们再继续看这个题 啊，平行四边形我们考虑到这也是我们可以积累的东西，当然这根线不是说，哎，你们说什么，在 啊，直接连一下，看有没有什么可以看出来的东西，不是这样，待会小陈老师会告诉你为什么会填或者说连这条线。我们再看下一个条件， m 为 p c 的 中点， m 中点。哎，你要注意这个中点你可以理解为它就是二等分点，那么既然是二等分点，那么是不是就相当于它是一个比值关系？ 比值关系找谁？比值关系是不是就是找相似三角形， 是不是基本思路就有了？我们在题目中是不是尽可能的去找相似三角形， 那么条件的一些基本思路我们分析完了之后，再来从问题出发，形成闭环思想。那么问题是 bc 平行于平面 p a 大， 我们找到 bc 这根线要平行 p a 大， 那么我们说过，根据线面的判定定律，我们除了找到了这根线之外，是不是还要在这个平面上找到一根线跟它平行？那么在这里面很清楚了，因为平行是平行的原因， b c 跟它相关的平行线是不是一定会有 a 大？ 然后再根据我们的定力内容， bc 是 不在平面 pa 大 上，而 a 大 正好在平面 pa 大 上，所以 bc 是 不是就平行于平面 pa 大？ 那么第一个问题是不就解决了？那么有些同学不会写，根据我刚刚的定力内容的写法，你可以这样写证明。第一个，因为平行四边形 abcd， 所以 bc 平行于 a 档， 那么我们已经证完平行了，核心的条件是不是已经得出来了？那么接下来是不是就可以利用我们的判定的定力来进行数学最后的理由？那么又因为 是不是要根据我们的理由，是不是要平面外一条直线是 b c 不 在平面 p a d p a 搭，对不起，然后 a 搭呢？是不是一定在平面 p a 搭，因为 p a 搭这里面是本身就有 a 搭，这两个点 是不是就符合我们的基本四十二两点在一个平面，那么两点所确定的直线一定在这个平面是可以直接用的， 那么我们的条件是不是三项核心条件都已经有了，所以就可以证明 bc 平行于平面 p a 档？ 好，第一个问就证明完了，这是我们必须掌握的最基本的一些知识啊， 可以好好的揣摩一下，不要慌着去做更多的题，把基本知识和判定定律掌握清楚之后再去积累，会事半功倍。那么我们再来看一下第二题，他说 要让我们证明 ap 平行于平面 b m b 大。 找到这个线和面之后，我们要考虑要证明线面平行，那么是不是一定要找到平面内的某一根线和它平行？ 那么思路是要么找平行四边形，要么是不是找相似三角形。那么根据题目给的条件， m 是中点，而 a p 和这个平面里面唯一相关连的线是谁？ a p 和平面 bmd 唯一相关的是不是？从题目条件中 m 为 p c p c 和这个平面。你看 pc 的 一部分是不是把 ap 以及 pmd 是 不是建立了联系，所以我们的思考方向是不是就是从 pc 这个角度以及 ap 这个线 的角度进行出发？哎，你会发现 a p 和 pc 是 不是三个不共线的点？确定一个平面，那么辅助线呼之欲出，是不是一定会连接 a c？ 是 这样联系的 a c 这条辅助线， 所以我们的第一步可以建立连接 a c。 现在同学们知道为什么要连接 a c 了吧？ 每一条几何的辅助线都有它的理由，而这条线的由来一定是题目中暗示你的东西，所以你只要仔细分析题意，一定可以找出突破口。 那连接 a c 之后，我们就会发现，因为平行四边形的原因，那么 o 点是一定是 a c 的 中点，所以我们要说是不是连接 a c 还不够，必须得写出交 b 大 于点 o， 那么就意味着平行四边形，所以你可以先不考虑后面的先能写出什么，你先写什么，保证自己的思维不断练。那么因为平行四边形 abcd， 然后 ac 交 b 大 于点 o， 所以 o 为 ac 的 中点， 那么在这个平面上， o 为 a c 的 中点， m 为 p c 的 中点，那么 m o 是 不就一定平行于底部的这条线，并且是它的一半？那么 你会发现这个过程里面是不是缺了个什么东西，是不是 m o 在 刚刚讲述的过程中连起来了？那我们在题目前面是不是也得连起来，再连接 m o 好 继续写过程。因为平行得到终点，又因为 m 为 p c 终点， 所以 o m 平行且等于二分之一 a p 啊。有些同学都会问小陈老师，为什么这里要写平行且等于啊 啊？你问我，我只能回答说，我也不知道后面他需要什么，我现在能做的就是把我能做的全部写出来，不需要我不出错，需要，那就刚刚好就是这么一回事。那么 得到了线和线平行，而正好我们证明的这个线 o m 在 不在我们的 b m d 上，是不是？当然在的，因为我们已经指出了 o 是 b 搭上的， 而 m 是 p c 上的，是不是完全符合 m 是 在 p c 上，同时它是不是 b m d 上的，所以 o m 是 这个平面上的 ap 不 在这个平面，满足我们的判定定律。所以接下来根据我们判定定律的过程，是不是因为 ap 不 在，不在平面 m b 搭上 啊？不是平，不用写上啊。然后 o m 再平面 b m 搭上，同时在这里已经写过平行了，所以 a p 就 平行于平面 m b 到结束。好，听到这里呢，我们的同学是不是对我们的思路的第一条 平行四边形有了一个更深入的了解，这是它的基本作用，当然有更好的一些题型，或者说更能体现出第二个思路，就是我们说的相思三角形啊这些东西。那么小陈老师在后面会出一道题，就是这边的啊，看一下这边的第四题， 有兴趣的朋友可以截屏做一下，我也会把照片发在视频的最后方，谢谢。

很多老铁刚学立体几何啊，学不明白，真的不是你空间感差，也不是定力没有背会就是一个原因，图没画好，题就不可能做。对啊，今天我就讲透一个点，想要学好立体几何， 先从好好画图开始。第一，画图一定要画的标准，干净直观，虚线实线分清，平行线画平行，垂直线画垂直，不要随手乱画，图画的越标准，你脑子里的空间结构就越清晰，很多辅助线呢，一眼就能看出来。 第二，不会想象空中图形，那就多画几遍。同一个图形呢，换个角度画，画个视角画，画的多了，空间感自然就练出来了。 别光盯着题目的图看了，自己动手画一遍，理解程度完全是不一样的。第三，我们做证明题的时候呢，一定要边读题边标图，已知的平行、垂直相等线段，那全部在图上标出来，条件标全了，思路呢？自然浮陷， 比你在那空想十分钟都管用。第四，辅助线不会加，先把图完整。那么很多时候呢，不是你不会加，而是你图画的太乱，太潦草，看不到突破口啊。图画的规范了，该练哪里，该做垂线一目了然。 说到底，立体几何几乎没那么玄乎，你把图画标准，然后画清晰，画完整，空间感上来了，定力用活了，步骤也好写了，分数自然就上来了。来一句话，图画对立体几何会有一半。

同学们好，请坐好，那同学们，今天我们要讲的是立体图形的直观图， 那前面我们讲的助推排球以及简单的组合体，为了将这些空间几何体挂在纸上， 那我们用平面的图形把它给表达出来，使我们可以根据我们的平面图形想象空间几何体的形状跟结构。那这就需要学习直观图的画吗？ 那么什么叫直观图呢？是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在一个平面内的点， 这些点我们全部都要画到哪里去？画到一个平面图形里面去啊，所以画出来图形啊，往往跟我们啊，真实的形状不完全相同啊，那 我们在画这个直观图的上，往往是通过平行投影下得到的平面图形。那么首先我们要画立体图，那第一个，第一个就要规划怎么样啊？水平放置图形，他的直观图是什么样子的？ 好，所以今天我们第一个是水平放置的平面图形，他的直观图的画法。来我们看一下，这个大家就比较有生活经验了，咱们的窗户，然后呢，阳光打进来 照到地板平面上，你看到是什么？这才是矩形吗？啊？看到的是一个什么呀？平行的，你看到的这个农田呢？ 你看也是什么呀？平行是平行，那其实这个阳光是什么样子的线？ 平行的线是吧？平行线，只不过，只不过我们这个窗户在哪里？ 在跟我们的投影面是吧？投影的地板平下来是什么关系的？垂直的，而这平行光线呢，又跟我们这个平面有一个夹角，有一个夹角， 所以他水平投影过来是不是，是不是变形了，像平行四边一样呢？比如说农田，咱们的视线是不是出了平行实线过去啊？所以看到的是不是变成什么了？ 变成一个形似变形啊？所以这是跟我们观察的角度是有关系的。一个物体的投影不仅跟这物体的形状有关，而且是跟投影的关系，跟物体跟投影面的位置关系是有关系的。如果矩形 放在垂直于投影面的这样子一个平面上，然后投影线呢？又跟这个不垂直 啊，跟头笔面不垂直，那这矩形就变成一个平行边形了啊，这就是水平图形啊，它的直观度。那怎么画那？我们经常是用斜二侧画法来画斜二侧画法， 一个是斜的是吧？两个是平行的跟垂直的啊。那么我们在画的时候，在已知图形里面取互相垂直的 s 轴跟 y 轴， 两轴的焦点叫做 o， 那 画直角的时候呢？那就变成 s 撇 o 撇 y 这样一个坐标系，只不过 原来是垂直的，那你现在画的几度？四十，那左边同学看过来是四十，右边同学看这两条是不垂直的，那你看到了，是不是 角度是较大一点，那这边可以看过来是变四十五度了啊，所以人一画成四十五度，行画成一百三十度呢， 这是第一步，第二步的话是平行二头的，或者在二头上，它的长度啊，是不变的。 平行 h 轴的，那到 s 撇轴这边是还是平行的？菱形保持不变，平行外轴的还是保持平行的长度啊？平行 a 轴的，不变平行外轴的。这样啊，剪成什么？原来的？原来的一半， 哎，那比如说我这个是正方形，正方形我给它画出它的直角图，那我们应该怎么办？ 第一步咱们要先给他取一个坐标系来，是吧？哪里 a 点可以啊？ 那接下来我们要把它翻过来，是吧？所以这变成 s 点，这边歪一点角度， 然后现在呢？现在我这个正方形，哪个可以先把它搬过来啊？ ab， ab 长度有没有变？ a 变，所以这边是变成 ab 对 不对？那我搬过来一个一撇 b 撇吧。 接下来搬哪一个？墙搬完了，搬是不是在外角上？还在外角上？跟外角平行还是什么？要先把谁搬过来？ a b 好， 注意长度要怎么样？长度要减半，减在上面。那我这边是 b 点，就过来了， 接下来剩下哪个点？ c 点？ c 点怎么帮谁？ c d， 那 就 c d 原来跟 a 轴平行，现在呢？长度有没有改变？或者帮谁 bc 行不行？ 那你原来是平行外轴，那我现在就平行谁？我也觉得那长度，长度就跟 o 啊，跟这个 a d 是 一样长， 然后把这辅助的拆掉，这个就行了。所以第一个是画轴是吧？第二个是找什么呀？长的部分，第三找宽内部分是吧？那这样子拆掉就成堵了。 那这两个的面积有什么关系啊？也就是二比一对吧，因为因为他那个长的宽的部分要剪断呢， 这是正方形哈，那我这段是 a， 这段也是 a， 那 翻过来这是 a， 那这段是等于，那我这个四边形的面积呢？高是二分之 a 吗？不是几度，所以我应该是二分之 a 的 多少， 然后底数等于 a， 所以 我这 s 撇就等于四分之根号二乘以， 所以我的面积应该是原来面积多少？四分之四分之 零。那接下来我们来看一下这个正的六边平方 hmm， 那我们第一步要干嘛？去哪里？不要跑，你的原则是什么呢？ 尽可能多的点赞走上，等一下就少少出平行线了吧。 尽可能多的点在轴上啊，当你这样子水平放置有一条，这个 b c 这条边是水平放置，那我就要画成跟 a 轴怎么样？平行平行，所以我就请谁坐远点吧。 哎，你是正六边形，你找他什么中心是不是？ 那 a b 两点， a b 两点呢？哎， a m 是 在 s 轴上，并且它的长度是边长的两倍吧。那你说六个等边长也放在一起了吧，然后接下来呢？ 哎，接下来 a b 的 中垂线恰好呢？恰好把 e f 怎么样平分呢？乘以 m m 两点是吧？ 啊，那现在我们把 a 轴外轴给搬过来，这个就是 s 撇轴，这边 是数度 y 撇轴，那现在 a d 两点就搬过来了，长度有没有改变？没有变， 现在该谁了？要尽可能多了点再折算。那我们这边辅助的两个点是谁？ m n， 那 长度要减 m 撇 n 撇 接下来一点的位置呢？平行，你先过一点，那平行我划过来，还是保持平行嘛？所以我们把 e f 整条数可以平移过来了。 e f 平移过来，长度有没有改变？没有改变， 那同样呢，我们是把 b c 数可以平移过来了。 b c 我 们平移过来， 线段呢？线段过来也变成曲线了还是怎么样？这一段？所以再连起来，起来 就立底的感觉有了啊，然后把这个辅助的线给它剪掉了，剪掉了， 那这就是叫做学车把这个，那如果要写过程，那第一个在正六边形中取 a、 d 以及他的中垂线为 a 轴， y 轴两条交点为 o， 那 把相应的 s 点， y 点使的角度为四十度。第一步把什么呀？走啊，走第二步。第二步把什么部分？ 长的部分吗？啊，也就是在 a 轴上的平行， a 轴的部分是不是都可以翻过来了？翻过来了那长度是不变，那宽的部分呢？ 那就在在外轴或者平行，外轴的长度是二减半，平行也会保持还是平行的是吧？平行是保持着，但是长度是有改变的， 所以把这个都把它移过来，移完呀。第三步，第三步，那就插入辅助的线，然后呢就成平了，最后擦掉。有这个图， 他这边我强调一下啊，我刚才在黑板上都是独走画对吧？ 啊，但是你们呢，在事业里面的呢？不要徒手画啊，不要点乱啊，谁今天做徒手画，我就今天一定要你再重新做一遍啊， 因为我在黑板上这个尺子靠上去他是触摸的啊，就就会有压不出来了，所以我没办法只能用读作。你是有办法故意不读作啊？不用尺子，所以用铅笔用尺子啊，放好来， 那如果有要求写过程，你简单过程写一下啊，简单的过程写一下，刚才我们画的时候是不是要写 b 线线，坐标线来干嘛？ 那其实你建在中心该有孔雀提议，我是建在 a 点，这样 a 点行吗？可以，是不是可以，那起什么作用啊？ 定位所用的是不是？刚才有没有讲定位所用的，那就是 a、 b、 c、 d 相对于我这个坐标系的位置在哪里， 对吧？只是拿来定位所用的吧，所以你得换换哪里没关系，但是我们一个原则，尽可能多了点在头上，这样比较方便一些 啊。那你看，比如说我要定 f 点的位置呢？那其实我在圆图里面输过 f 点做 a 折 y 折的 离横坐标多少，离纵坐标多少，是不是可以把这位置给定出来？那么我在十二册里面呢，是不是也可以用这办法， 因为这个 f 点在的位置是谁？如果 f 撇 f 撇所在位置是跟我 s 轴外轴跟 a 撇外撇轴还是平行的， 然后长度 o 撇 q 撇的长度有没有改变？没有改变，所以你就看一下这边到 s 轴的距离是多少，然后我们这相应的是把 o q 撇跟 o m 撇是算出来， 然后做平行线，从这里就会定出来了。所以我们也可以用这办法来定位啊，相对总的距离是多少啊？也可以把这定出来，那我每个点都定出来的这些线数都好了啊。所以你可以这样做 啊，那技巧上面画直观的技巧就是选几十个灯， 坐标系指的近多边形，尽可能多的点在我们的轴上面。第二个 啊，那我们先要去找跟坐标轴平行的线段啊。平行线段，那他还是保持平行的，只不过长度平行，外点外轴的要变成什么？半减半，平行轴的长度是不变。 那么画直观图的时候要从多边形哦，经常会画圆，那圆的话，水平看起来像什么啊？椭圆，所以我们用椭圆来代替圆的直观图啊。 哎，那对呢，那如果我们自己自己画怎么画啊？间距是哪里啊？圆形？圆形。 然后我们再来做 s 撇跟 y 撇，看这边 ab 是 直径， cd 是 不是也是直径，所以我们先画谁，长度有没有改变？没有 下来直进 c 力， c 撇是不是减半？减半过来 c 撇这边 d， 当然现在不是直线了，来直线好，这 边转一点是吧？ 那你摇一下对不对？这就有直观的感觉了，那这个是一个什么啊？你看这是个椭圆，所以圆，这个直观读，我们就画的椭圆形。好，那第一个 你可以画这个，是不是还原呢？比如说一个平面图形采取斜二的画法，得到直观图是这样子的，这直观图是一个 边长为二的菱形。那请问请问原来这个平面图形的面积是多少呢？ 来衡量一下它长什么样？长有没有改变？没有，所以 a b 长度是几二二 来 a d 呢？ a d， a d 现在还是在半球上是吧？只不过长度为几？ c 点呢？ 平行，平行有没有改变？没有啊，所以还原回来试一个这个矩形面积为啊，所以第一种办法我们给它还原一下。 第二种方法我们也可以用关系来算。什么关系？直观读的面积等于谁？四分之根号二倍的。那我现在呢？直观读出来了，直观的面积是几？ 这张高等于几？菱形两条等于二。差什么？ 穿哪个东西？脚，你们脚几度？所以高为几？同高是根号啊啊，他是平行四边形，所以面积等于几？ 底层高，底层高对吧？把高一定要把丝伸过去疏零八。所以我们第二种办法也可以用关系来解决啊。用关系来， 好，我们继续来看一下，用斜侧画出一个水平放置平面图的直观图，然后这个 c 撇 b 跟它是垂直的，长度为根号二， a 撇 b 的 长度为五，请问沿图的面积是几呢？ 一组是还原，一组是关系。那我像 s 撇等一节啊， 二分之一五乘根号二，那他跟原图什么关系？四分之根号二，四分之根号二。 你把四分之根号二除过去啊，搞定了对不对？这样就快来，大哥们，那我要画原图，原图长什么样？ 先把 ab 数翻过来，有没有改变？没有改变， a o b， b 数都不变呢，翻过来这段长度为， 那下一个谁啊？ c、 d 是 垂直的一撇。来啊， c 撇 d 撇， c 撇 d 撇跟外侧，那还原回去呢？长度是吧？ 长度是几呢？为什么？这个东西是几啊？ c 撇 d 撇是几？为什么？因为这角度几度啊？是数，这量等于二，还原回去，而这 c、 d 刚好还原回去，是太乱， 所以 c 点的定位，平行 a 轴，平行 y 轴，那我在直观读里面应该找平行 h 撇轴，平行 y 撇轴来定这里的位置。 那如果我直观图是一个矩形呢？原来是啥啊？圆形识别啊，这段为二，这段为四，那怎么画啊？ 那先把 b、 c 给翻过来，是不是对， b， c 翻过来，那 b 点的位置呢？ 哎， o b 多长？哎，二， o b 也是二，对吧？因为这条路几路？然后你这边是矩形，是垂直的，所以这段是二。 这个呢，不是垂直 a 撇外撇，而是平行 a 撇外撇啊，或者在这个轴上呢？那就把谁给定出来？ a， a 本来是多少？二十二，十二，十二十二，那还是回去 四倍，根号二连起来地点怎么定位啊？平行没有改变，是不是还是平行？我们做两个平行数 b 点就出来了啊？那这段长度为四，这段 四根号二六六六，所以最长的边长六，对吧？这两边为六， 所以辞关图原图长长什么呀？我们要不要还原？不但要画，而且要还原。好了，那现在接下来我们要画空间几何体的辞关图。 那么比如说，比如说我这个粉笔盒，粉笔盒放在讲台桌上，那朋友们，那首先哪个东西很重要？笔叫做是不叫做水平放置的一个矩形， 所以底的话在直观图里面变成什么平行四边形的模样吗？再来，那我这个立体图形还有个什么高的部分？你们的视线跟我这平面什么关系？垂直的有没有发生形变？ 所以你看到什么样是不是就是什么样子的？所以追求的部分长度有没有改变？没有。那不搞定呢啊？因为你的视线是跟我这个数值的方向是垂直的， 所以你看到的就是他本来的模样吗？对吧？就是他的模样，所以，所以他的做法就是这一轴啊，这一轴的线段平行性跟长度都不变。 那比如说我要画长宽高分别为三二、一点五的 来，那我们先画啥？我们先画哪个东西？先要定轴，是不是那长一直轴我定哪里啊？顶点处就行了吧？然后先画底的。什么轴定完要先画底， 那底的话我们应该取一点 o 点，然后呢？ s 轴，那外轴要画成这个几度？四十五度， 然后这个 ab 的 长度呢？有没有改变？没有，所以我在 ab 还是几个单位？宽是二，如果 ab 要画成几， 举一个 d， 这个是一对吧，然后呢？ c 点保持平行是不是啊？ c 点做出来了 这样轴，我们还要把把竖的这条轴是不是画起来这样呢？高是一点五，那 a a 撇呢？ 还是一点五，所以我们取一个一点五，这里是 a 撇。 那干脆一些，我把所有的测量都把它放出来了。 d 撇什么地位啊？ d 撇说还是跟追求数平行呢，所以有没有改变？ 还有 c 一 点五， d 一 点后发少来。 接下来橡皮擦法来是吧，该辅助的都擦掉。 对，擦掉了，然后这边也都擦掉了啊，不要擦太疼啊。这个这个下面怎么这么大， 哈哈哈，还有你要有逆你的感觉，被遮挡的部分我们就要换成什么线遮挡的部分啊，石的部分还是要什么啊？保一生对不对？ 画的还行吧啊，还行，所以，所以画立体图形了，你把平面镜画了来，立体镜加一个退球就行了。 你看，我们先要画轴哈，朋友们几个步骤来。第一步画轴， 这水平放置的平面图形，那就是 x o y 变成四十五度的，然后竖轴也画出来。第二个，画笔 你画好以后呢，我们就回去画什么呀？车轮，因为车轮都保持着跟箭头式。那如果我不画车轮，那你们那可怎么办？上里面是什么图形？也是 也是水平画质的长方形嘛，所以我就把 a 一 点当做什么 点点，然后我再画一个 s 撇跟 s 轴是平行的， y 撇跟 y 轴是平行的，就把底下的动作给他。怎么样？再再做一次是不是也可以？ 也可以啊，因为上底也是水平放置的矩形，然后连起来就好了， 所以画完底以后，你就可以画车轮或者画上底啊，画车轮或者上底啊，最后成图，成图了以后，对遮挡的部分画成虚线啊，能看得见的都是实线， 包括我们的初中天的辅助线是都要画的虚线。那么在立体图这里面，你天的辅助线看得见的都是实线，看不见呢？被遮挡的都画成什么样？这样具有立体的感觉， 所以四步画轴画底，画车轮画成图，当然画车轮也可以画什么呀？啊？直观图，平面图形的直观图，画上底啊，画车轮或者是按上底，这都可以。 好，那么画几何体的直观图的时候，如果不做严格的要求，图形的尺寸可以啊，可以适当的选，选取都行， 但角度的话也可以制定，但是要求要具有一定的立体感。所以一般来讲，我们都画成四边形，一般来讲我们的长度都是这 长度是一般，画成二比一是比较好看一些啊，再画成二比一的圆，就画成椭圆，再来那三角形呢？ 三角形这个算术，我们一般来讲这个算术都是水平放置的。算术是什么呀？有一条边数跟跟这个旁边是不是平行的，所以正的放置，正的放置，那你看我们间距怎么建？ 哎，颜值高，这样子不对称一些，是三个点，是都在肉头上了，所以你画过来的时候怎么样啊？这一段是减半怎么样，你看是不是这样子的？ 所以正三角形直观图这样段会比较有有立体的感觉啊， 兄弟们。哎，你动手来看一下，圆柱里面半径是一，母线长是三， 当然课堂练习的时候允许你独守怪，但是做作业不能啊， 怪兽准确警观。 uhh。 那，那是不是先画水平放置圆呢？ 所以我们画一个 s 轴， y 轴加角四十五，然后取一个单位，一个单位，这是 a b， 然后呢？ o c 取多少？ 一半零点五 o b， 那 这样子的话，我们就把这个左圆给画出来了， 那后面就画成虚线会比较好一些。再来，哎，咱们先画啥东西？这个这球呢？ 五线长度为三，所以我们也可以先画高是不是？高 o 撇是三个单位，或者画什么 画四条五线来是不是？所以 a a 撇几个单位， 三个 b b 撇三个单位，这是五线，那我们也可以画谁？ 咦，哎呦，接下来把这怎么样啊？擦掉啊，擦掉哇，擦了，不擦了， 然后后面遮挡的部位就画成什么啊？这个还可以，是吧？这是严重。 那么如果要你写画这个图，那一般来讲我画的步骤要讲，第一步画什么？走第一步画，走第二步 底底，你可以先画下下底，再画什么上底。那上底我们也可以去画什么啊， 侧棱，在侧棱在这里就叫什么线，母线，这里的元素里面是母线，所以我们去画母线，最后把这图连起来就好了啊。哎，在 再画一个，画一个组合底，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，圆锥的底面与圆锥的上底刚好是重合的，画住这个组合底 来动手啊，我们加一个。 第一步干嘛？第一步先画住是不是住干嘛？你看 搞定了没？ 哎，你刚才，刚才我们工程是不是进一个这里了？再进一步，注意头看这里哦，关键是顶点，他顶点在哪里啊？ 在这球上面，然后我们取啊， o 撇往上就取一个点，把这个 s 画好以后呢？接下来怎么体现锥的立体感觉？把谁连起来？ s a 撇跟谁？ s b 撇是连起来的，也就是要画锥，我们要先画底，再画谁零点最后 母线是不是 s a 撇和 s b 撇是母线，然后再掐一下就成图了，这就是组合底了，所以先画柱，再来一块。所以啊，组合底。 同学们，那如果我要画球的话，谁是水瓶换式呢？ 平面图形大圆啊，中间一个大圆，所以我们先画什么大圆？先画大圆，那就球心，然后去找 h 轴跟 y 轴， 然后我们刚才怎么画圆？是不是也讲过了，接下来换哪一个东西啊？所以把这一球说出来。 那现在呢？来这个两个点，这个 ab a、 b 就是 他的人啊，那外面就画一个大圆，为什么这边画可以画一个大圆啊？这一种，因为这个 x、 o、 z 这个这个平面 跟你的视线什么关系？你就站在前面来看，都垂直的，所以你看到的是不是整个大圆，如果没有改变是吧？那这样子拆掉就是你的这个直观。主管 就是主管，主管有的时候我们要，哎，我们要更立体一点，你看这个 y、 o、 z 这个平面呢？ 啊，是不是再画一个？这也是什么大圆？紫光图里面也是一个 椭圆吗？是不是也是一个椭圆？是竖着画的椭圆哎，长得这样子的好看吗？画一下就好。可见 过两点可以做多少个大圆啊？请问我过 ab 两点画了几个大圆啊？凡是地球的经线的部位是不是都是你的大圆啊？ 原因就是 ab 两点跟 o 点三点怎么样？共线而过，一条线可以做多少个圆？ a b 的 磁性元素有无数多个，但是一旦 a 点 b 点在这两个地方呢， 只能找到一个人，后边是不过线的三点确定一个平面，这个平面去切球， 注意我们这里的切只是指的是什么，要把它一分为二。我们现在讲的平面是什么？无限延展的？是无限延展的，那这个 a o b 这边切过去呢？ 这个球就变成了什么两部分呢？所以这个是是不是一个大圆？什么大圆， 得三点能做几个平面？一个，所以过 ab 的 大约几个，只有这一个是吧？啊？ 这是球来，那再来挂一下这个，这个正三楞柱里面的边长为二，侧楞长为三的正楞柱， 先要干嘛啊？走是不是第二步放什么？ 第二步画什么？第三步画什么车轮或者上里面啊？最后成品 啊。你看，那咱们底是水平换字的，什么正三角形，那我们前面讲的正三角形，我们让一边跟跟水平线是平行的啊，所以，所以我们怎么见 高？是不是比一条边更高，对吧？所以我们在画的时候呢，先画 h 轴，再画外球这个角度， 然后呢把谁搬过来？ a b 几个单位？ 两个单位啊，添加两个元素，一三，那 c 点呢？ c 点呢？那我的 o c 要多长啊？ 本来是根号三下下一下变成二分之根号三，一点七除二，八点零点八五左右，稍微短一点点，这是 c 点就出来了，那这样的话连起来，这是底就画好了， 接下来呢？接下来画什么？画车轮对不对？来车轮 a a 撇， a a 撇，跟这有什么关系？平行长度也不变， 所以车轮长三个单位，那 b 点这里是不是也是三个单位？ c 点三个单位，然后连起来 啊，这样就拆掉就搞定了，那这就是正三楞柱啊。正三楞柱，那拆的时候那个 c、 e、 c， c， e， c， 还有呢？ a， c， c， b 这三条数在背后是不是遮挡呢？那就要画成 这三条，我们画成曲线 啊，画成曲线以后，这个这三个直观图就出来了，可见最关键就是水平换次灯里面，我们经常抵制水平换次灯， 那在初中还做过一个什么？用三个不同的位置来看这个图，从而把这个 啊立体图形给它还原出来，是不是可以去赶出这立体图形的？对，那么三四图，你的视线跟这个物体是什么关系的？物体所在平面是什么关系的？第一个是什么图？ 正视图，你是站在正面，所以你看到的黑板平面还是什么形？矩形对不对？第二步， 左视图，你站到左边去看，那你跟左边的平面什么关系？垂直的是吧？垂直的，所以你看到左边的形状就是左视图的形状了。 九十度，还有什么时候？那你就站在上面，从上往下看，你的视线跟水平平面是什么关系的？垂直的，所以俯视图看到的是啊，从上往下的这个轮廓是不是轮 廓啊？轮廓不是你看到的这几个，你比如说这锥底， 比如说一个圆锥，那你的俯视图是什么样子的啊？这是一个点啊，不是说最上方，你是看到最上没有整个轮廓要出来吧？这个圆里面是一个，所以我们这边提一下吧， 这是用五个大小相同的小立方块搭成的几何体，他的俯视图长啥样呢？俯视图，你是站在哪里啊？ 站在前面，从上往下看对不对？所以 后面那一排呢？看到的是什么？三个什么？三个正方形？那前排有凸出来的是谁？正方形，所以你看到的应该是哪个选项？ a， 大朋友们，再来左视图呢？哪一个是你看到左边看到的轮廓是长这样子啊，这是左视图， 还有一个什么图正视图呢？没有没有。那你画一个人画啊，在 b 这边要怎么样？两个什么？ 所以这也是我们啊，还原他这个逆流成的一种办法啊。所以我们用这三十度来解决问题，来这个时间 高三七对不对？高三居然这么简单，对不对？三角形 ab 四中， ab 跟 ac 相等，什么原理？ a， b 跟 a、 c 相等，再来 c、 d 的 a， b， a 来中点， c， d 的 a， b， a 三角形 a， b、 c 的 面积为二，求 b、 d 的 最小， 这是终点，它是等腰的，所以我设这道为 t， 这道呢？ t 这道一面积已知二，我要求比例，比例放哪里求啊？ 啊？ abd 是 不是？那我们还要设一个什么？所以 b 立方等于谁？ b 立方减四， b 立方和上 面积怎么面积为二？什么意思啊？二 t t 在 一直做球做的最实惠吗？二 d 乘二 d 啊，整个面积 对吧？你要自然想到这东西，我要从这辆车换一个塞里面啊，我把它伸出来，然后怎么把它们沟通起来呢？多远怎么办？消沉 定方，所以它比例就变成角， a 的 一个函数就可以搞定了。这是第二个球体啊，三个半。

能画数学图形又能画手抄报的尺子，七件套来了！小学学的数学图形都能画各种各样的手抄报图案，还有有趣的万花尺，平常孩子注意力不集中的玩这个可以提高孩子的专注力，怎么玩都玩不腻！ 能画数学图形又能画手抄报的尺子，七件套来了！小学学的数学图形都能画各种各样的手抄报图案，还有有趣的万花尺，平常孩子注意力不集中的玩这个可以提高孩子的专注力，怎么玩都玩不腻！ 能画数学图形又能画手抄报的尺子，七件套来了！小学学的数学图形都能画各种各样的手抄报图案，还有有趣的万花尺，平常孩子注意力不集中的玩这个可以提高孩子的专注力，怎么玩都玩不腻！ 能画数学图形又能画手抄报的尺子七件套来了！小学学的数学图形都能画各种各样的手抄报图案，还有有趣的万花尺，平常孩子注意力不集中的玩这个可以提高孩子的专注力，怎么玩都玩不腻！ i love you！

三年级数学救星，这张认识周长手抄报，把定义测量法公式长正方形加多边形生活应用全整明白了。 卡通画风还在打印是作业贴桌是笔记清电子版能改能调，周长单元直接搞定。

大家好，我是超越老师，我们这个视频讲这个直观图啊，直观图它的 x x 轴和外轴的夹角啊，它是可以是四十五度或者一百三十五度，但是我们经常做的都是四十五度啊，这个里面你要记住一点，你在画图的一定要记住，一定要是找平行 x 轴， 或者叫平行外轴，或者就在 x 轴上，就在外轴上的那些线，其你才画的出来，我们是平行 x 的 长度不变，平行外轴的减半， 是不是这样的？然后因为这个原理，所以它的面积啊，就它在直角坐标系上的面积，肯定是比这个面积是不是要大一点，这个里面它的面积中间是差了一个四分之根号二倍的啊，这个要你记下来啊，最好能记下来，记不下来 你最好有点印象也行，听到没有？有点印象也行啊。然后讲了这个四分之根二，我们要讲一个等边三角形的面积啊，他是等于四分之根二三倍的 a 方啊，这两个你可以对着记，也别记混啊，因为这里面后期我们算体积表面积，经常会遇到等边三角形啊，所以 这个地方别记错了啊。然后我们看一下，他让你求这个面积啊，求这个面积，我们可以怎么样 直接求啊，求出这个圆，他能求圆面积啊，那你把这个算一下，你上底加下底就是二分之七乘以高高，不是这个四啊，你要去算一下，这，因为这四十五度做一个高线下来，我就不做了啊，我们免得做花了，这是不是就四，这是二倍二，所以答案是七倍二，所以答案是七倍 根号二，是不是这样子？这个等于七倍根号二，要求圆面积，我们说圆的面积乘以四分之根号二，等于七倍根号二，那你现在反过来算，是不是除啊？是不是这样？ 当然这个题你要学会画这个原来的图啊，我们算，你怎么算都行，你要学会画，我们来教下怎么画，你要画一下这个对不对？然后这是 y， 这是 x， 它这个这个 a a 一 撇， b 一 撇，它是平行 a 个轴的，看到了吗？平行 a 轴从图上能看出来啊？是不是看出来，然后的话， 但是他这个点是不知道位置啊？不知道位置，这个你可以随便找一个点啊，他因为他这个球面积没有告诉你，没让你球值是不是 a， 然后这个五不变，看到没有？这五变，然后这个是不是，是不是平行于外啊？这是平行于一个轴，这平行于外走的话，这是不是往上走要走多少？要走八，要注意走八 对不对？走八完了之后，上面是不是二分之七乘以一个八，对不对？然后就做出来了啊？ 同理这边也是一样的啊，又是让你求这个直观图的面积啊，那你先把它的面积算出来，他说边长是不是四分之根号三倍的 a 方啊？刚说了正好就考到了啊，然后你还要怎么样？乘以一个四分之根号二， 看到没有？最后就等于是不选 d 啊？然后我们直观图怎么去画啊？首先你要画出这个坐标系啊，坐标系是不是这样的？然后因为这个 o a， o a 是 不是在一个轴上，这是 o， 这是 a， 然后这个里面你看一下他没有平行外轴的线，看到没有？所以你怎么样？你只做辅助线，你画的时候那怎么做？是不是他做一个高线下来就可以了？ 这个长是你要背下来就二分之根号三倍的 a， 对 不对？然后在这个中点这个地方你要去往上怎么样？去延长？而且这个长要平匀他啊？延长的时候怎么样？是不是是四分之根号三倍的 a， 看到没有？是把他一连他就长这样子的，看到没有？长这样子的， 求周长的话，你就必须要画出原来的图像，要不然你做不了啊，我们看一下啊，看一下，首先这个长没有变啊，那这个，这个还是 b， 这是 a， 看没有，这个长是仍然是一啊，这个坐标是负一，写坐标吧。然后这个长是多少？ 是不一呀？所以你往上走是不是二呀？这是二。然后去画周长呢？这是不是根号五？根号五，所以答案是不是选 c？